牛顿第二定律及其微分形式
牛顿第二定律与动量定理的专题详解
牛顿第二定律与动量定理刍议广东省佛冈中学周长春在高中《物理》教材中，动量定理F·t＝mv2－mv1，是由牛顿第二定律F＝ma推导出来的，那么应如何准确地理解动量定理与牛顿第二定律呢？本文做一初浅的探讨。
一、动量定理是牛顿第二定律原来采用的形式在牛顿提出运动第二定律之前，伽利略在批判亚里士多德的力与速度的依赖关系的基础上，提出了力与加速度的依赖关系，但是他没有也不可能在当时的条件下发现作用力与加速度之间的定量关系。
在1684年8月之后，牛顿用几何法和极限概念论证了引力平方反比律，在为解决万有引力是否跟质量成正比的问题时，他发现了运动第二定律，具体的记载有两处，一处是在“论物体的运动”一文手稿中写道：“…动力与加速度的力之比等于运动与速度之比。
因为运动的量是由速度乘以物质的量导出的…”。
另一处是在《自然哲学的数学原理》的定义Ⅷ中给出的：“因为运动的量是由速度乘以物质的量求出来的，并且动力是由加速度的力乘以同一物质之量求出来的，物体的几个粒子上的加速的力的作用总和就是整个物体的动力”。
上面两段话中，“加速的力”指的是加速度，“运动”“运动的量”指的是动量，“动力”指的是与加速度对应的作用力，“物体”“物质的量”就是质量。
由此可知，牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中已明确提出动量的定义：“运动量是用它的速度和质量一起来量度的”，“并把动量的变化率称之为力”，“他又用动量来表述运动第二定律”。
综上所述，牛顿其实已经提出了运动第二定律的文字表述：作用力与加速度成正比。
但当时牛顿并没有明确地用公式（F＝ma）表述出来，牛顿第二定律原来采用的形式是力F、质量m、速度v和时间t这四个物理量，选择适当的单位，可使比例系数k＝1，这时，牛顿第二定律可表示为①因此，牛顿第二运动定律的真实表述应该是物体所受外力等于其动量对时间的变化率。
①式也叫做牛顿第二定律的微分形式。
《自然哲学的数学原理》已经提出了作用力与加速度成正比，但当时牛顿并没有将公式①直接用F＝ma表述出来，这是为什么呢？我国研究牛顿的资深学者阎康年先生在他的专著《牛顿的科学发现与科学思想》中专门研究了牛顿的质量观：“牛顿对质量概念的认识分静质量和动质量两个方面。
牛顿第二定律详解
牛顿第二定律详解实验：用控制变量法研究：a与F的关系，a与m的关系知识简析一、牛顿第二定律1.内容：物体的加速度跟物体所受合外力成正比，跟物体的质量成反比；a的方向与F合的方向总是相同。
2.表达式：F=ma揭示了：①力与a的因果关系，力是产生a的原因和改变物体运动状态的原因；②力与a的定量关系3、对牛顿第二定律理解：（1）F=ma中的F为物体所受到的合外力．（2）F＝ma中的m，当对哪个物体受力分析，就是哪个物体的质量，当对一个系统（几个物体组成一个系统）做受力分析时，如果F是系统受到的合外力，则m是系统的合质量．（3）F＝ma中的F与a有瞬时对应关系，F变a则变，F大小变，a则大小变，F方向变a也方向变．（4）F＝ma中的F与a有矢量对应关系，a的方向一定与F的方向相同。
（5）F＝ma中，可根据力的独立性原理求某个力产生的加速度，也可以求某一个方向合外力的加速度．（6）F＝ma中，F的单位是牛顿，m的单位是kg，a的单位是米／秒2．（7）F＝ma的适用范围：宏观、低速4. 理解时应应掌握以下几个特性。
(1) 矢量性F=ma是一个矢量方程，公式不但表示了大小关系，还表示了方向关系。
(2) 瞬时性a与F同时产生、同时变化、同时消失。
作用力突变，a的大小方向随着改变，是瞬时的对应关系。
(3) 独立性(力的独立作用原理) F合产生a合；Fx合产生ax合；Fy合产生ay合当物体受到几个力作用时，每个力各自独立地使物体产生一个加速度，就象其它力不存在一样，这个性质叫力的独立作用原理。
因此物体受到几个力作用，就产生几个加速度，物体实际的加速度就是这几个加速度的矢量和。
(4) 同体性F=ma中F、m、a各量必须对应同一个物体(5)局限性适用于惯性参考系(即所选参照物必须是静止或匀速直线运动的,一般取地面为参考系)；只适用于宏观、低速运动情况，不适用于微观、高速情况。
牛顿运动定律的应用1．应用牛顿运动定律解题的一般步骤：(1) 选取研究对象(2) 分析所选对象在某状态(或某过程中)的受力情况、运动情况(3) 建立直角坐标：其中之一坐标轴沿的方向然后各力沿两轴方向正交分解(4) 列出运动学方程或第二定律方程F合=a合；Fx合=ax合；Fy合=ay合用a这个物理量把运动特点和受力特点联系起来(5) 在求解的过程中,注意解题过程和最后结果的检验,必要时对结果进行讨论.2．物理解题的一般步骤：(1) 审题：解题的关键，明确己知和侍求，特别是语言文字中隐着的条件(如：光滑、匀速、恰好追上、距离最大、共同速度等)，看懂文句、及题述的物理现象、状态、过程。
牛顿第二定律微分方程
牛顿第二定律微分方程
牛顿第二定律是经典力学中的一个基本原理，它描述了物体的加速度与作用力之间的关系。
这个定律可以表示为：
F = ma
其中，F 是作用在物体上的合力，m 是物体的质量，a 是物体的加速度。
如果我们考虑一个物体在多个力的作用下运动，那么牛顿第二定律可以表示为：
F_net = ma
其中，F_net 是作用在物体上的所有力的合力。
现在，我们可以将牛顿第二定律转化为微分方程。
假设物体的质量是常数，那么加速度 a 可以表示为：
a = F_net / m
由于加速度是速度v 的导数，即 a = dv/dt，我们可以将上式转化为：
dv/dt = F_net / m
这就是牛顿第二定律的微分方程形式。
它描述了物体的速度如何随时间变化，取决于作用在物体上的合力。
需要注意的是，这个微分方程是一个一阶微分方程，因为它只涉及速度v 的一阶导数。
此外，F_net 通常是一个关于时间t 和物体位置x 的函数，因此这个微分方程可能是一个非线性方程，难以解析求解。
在实际应用中，我们通常需要使用数值方法来求解这个微分方程。
牛二定律所有公式
牛顿第二定律所有公式牛顿第二定律是经典力学中的一个基本定律，它描述了力和加速度之间的关系。
牛顿第二定律可以用数学公式表达为：F=ma其中，F是作用在物体上的合外力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
这个公式说明，物体的加速度与合外力成正比，与物体的质量成反比。
牛顿第二定律可以推导出许多其他的公式，用于解决不同情况下的力学问题。
下面我们介绍一些常见的牛顿第二定律的公式。
匀变速直线运动如果物体在直线上做匀变速运动，那么它的速度、位移和时间之间有如下关系：v=v0+ats=v0t+12at2v2=v20+2as其中，v是物体的末速度，v0是物体的初速度，s是物体在时间t内的位移，a是物体的加速度。
这些公式可以用牛顿第二定律和微积分推导出来。
圆周运动如果物体在圆周上做匀速运动，那么它的线速度、角速度和半径之间有如下关系：v=ωr其中，v是物体的线速度，ω是物体的角速度，r是圆周的半径。
这个公式可以用几何关系推导出来。
如果物体在圆周上做非匀速运动，那么它受到两个方向的加速度：向心加速度和切向加速度。
向心加速度指向圆心，切向加速度沿着切线方向。
这两个加速度和线速度、角速度和半径之间有如下关系：a c=v2r=ω2ra t=dvdt=rdωdt其中，a c是向心加速度，a t是切向加速度。
这些公式可以用牛顿第二定律和微积分推导出来。
受力平衡如果物体处于静止状态或匀速运动状态，那么它受到的合外力为零，即：∑F=0这个条件称为受力平衡条件，它可以用于求解静力学问题。
例如，如果一个物体悬挂在两根绳子上，那么它受到三个力：重力、绳子1的拉力、绳子2的拉力。
如果物体不动，那么这三个力必须平衡，即：F g+F1+F2=0其中，F g是重力，F1是绳子1的拉力，F2是绳子2的拉力。
这个方程可以用矢量相加或分解为水平和垂直分量来求解。
动量定理如果物体受到一个变化的力，在一段时间内从初速度变为末速度，那么它的动量也发生了变化。
高一物理章节内容课件 第二章质点动力学
地面的加速度是多少？（以竖直向上为
正）
解：以绳为参照系，设绳对地 的加速度为 a绳对地
T '
T a绳对地
人 T mg (ma绳对地) ma0 物 Mg T (Ma绳对地) M 0
Mg ♕ mg
▲ 注意：ห้องสมุดไป่ตู้于滑轮这种左右两边的情形， 左右两边的正方向应相反
3 a绳对地 g a0 方向：右向上，左向下
★ 作用于桌面的压力
N1 N m已落下部分g , 3gm已落下的部分
4. 质点系的动量定理 任意一段时间间隔内质点系所受合外力 的冲量等于在同一时间间隔内质点系内 所有质点的动量矢量和的增量。
5．动量守恒定律(Law of Conservation of Momentum) （1）※
度，是Vx
N mg CyVx2
N
CxVx2
m
dVx dt
(mg CyVx2 ) CxVx2
m dVx dx
dx dt
dx dt
(mg CyVx ) CxVx m
2
2 dVx dx
条件：Vx V0 90km/ h时，
Vx
N
0
mg
C yV02
解：★ 注意 摩此擦M力分r布F在整个圆盘上，因
第一步：在距轴为 r 处取质量元 dm ，它受到
的摩擦力为 df
df kdm g
方向：
df
r
第二步：求 df 产生的摩擦力矩 dM 大小、方向
dM rdf sin rkdm g 方向：沿轴
dm
m
R2
简谐运动微分方程推导
简谐运动微分方程推导
简谐运动是物理学中非常重要的一个概念，它描述了一种周期性的运动，如振动和波动等。
在数学上，简谐运动可以用微分方程来描述。
本文将介绍简谐运动微分方程的推导过程。
首先，我们需要了解简谐运动的定义。
一个物体进行简谐运动时，它的位移x可以表示为：
x = A sin(ωt + φ)
其中，A是振幅，ω是角频率，t是时间，φ是相位常数。
简谐运动的周期T等于2π/ω，频率f等于ω/2π。
我们现在要推导简谐运动的微分方程。
根据牛顿第二定律，物体的加速度a等于力F除以质量m：
a = F / m
对于简谐运动，力可以表示为弹性力和阻尼力的合力：
F = -kx - bv
其中，k是弹性系数，b是阻尼系数，v是速度。
我们可以通过对位移和速度的一阶导数进行求解，得到简谐运动的微分方程：
x'' + (k/m) x= 0
这个微分方程也可以表示为：
x'' + ωx = 0
其中，ω=k/m是简谐运动的角频率的平方。
这个微分方程描述了一个在没有外力作用下的简谐运动。
如果加入阻尼或强制外力，微分方程将会有所不同。
总之，简谐运动微分方程是描述简谐运动的重要数学工具。
通过推导，我们可以更好地理解简谐运动的本质。
牛顿第二定律的临界问题
F=ma，其中F表示作用力，m表示物 体的质量，a表示物体的加速度。
适用范围与限制
适用范围
适用于宏观低速物体，即物体速度远小于光速的情况。
限制
不适用于微观粒子或高速运动的情况，此时需要考虑相对论效应。
牛顿第二定律的重要性
基础性
牛顿第二定律是经典力学的基础，为物 理学和工程学提供了重要的理论支持。
流体动力学临界问题主要研究流体在流速达 到极限状态时的流动规律和受力情况。
详细描述
当流体的流速达到极限值时，如湍流或流体 中的音速，其流动规律和受力情况会发生显 著变化。在流体动力学临界问题中，需要运 用牛顿第二定律和流体动力学的基本原理， 分析流体的流动规律和受力情况，以确定其 极限流速和安全系数。
在物理教学中的应用
高中物理教学
高中物理教学中，牛顿第二定律临界问题是一个重要的知识点， 有助于学生理解力和运动的关系。
大学物理教学பைடு நூலகம்
在大学物理教学中，牛顿第二定律临界问题可以帮助学生深入理解 力学的基本原理，提高他们的科学素养。
物理竞赛
在物理竞赛中，牛顿第二定律临界问题是一个常见的考点，有助于 选拔具有潜力的优秀学生。
利用牛顿第二定律临界问题，工程师 可以优化车辆的动力学设计，提高车 辆的稳定性和安全性。
在机械系统设计中，牛顿第二定律临 界问题可以帮助工程师优化机器的性 能，提高机器的工作效率和稳定性。
航空航天设计
在航空航天领域，牛顿第二定律临界 问题被广泛应用于飞行器的设计和优 化，以确保飞行器的稳定性和安全性。
在物理、工程和科学实验等领域中， 当需要精确地找出临界点和临界条件 时，解析法具有广泛的应用价值。
解析法的优缺点分析
牛顿第二定律微分方程
牛顿第二定律微分方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：牛顿第二定律是经典力学中一个非常重要的定律，它描述了物体运动的动力学规律。
牛顿第二定律的数学表达形式为\[ F = ma \]F代表物体受到的合力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
这个定律告诉我们，当一个物体受到一个力作用时，它会加速，而加速度的大小与受力的大小成正比，与物体的质量成反比。
在一些结构复杂的系统中，可能受到多个力的作用，牛顿第二定律的微分形式可以更好地描述这种情况。
使用微分方程描述物体的运动是一种非常重要的方法，通过微分方程可以更加精确地描述物体的加速度随时间的变化。
假设一个物体受到多个力的作用，这些力分别是\[ F_1, F_2,F_3, ..., F_n \]，根据牛顿第二定律，物体的加速度可以表示为\[ a = \frac{\sum\limits_{i=1}^n F_i}{m} \]我们可以将受到的各个力拆解成不同的部分，比如重力，摩擦力等，最终得到微分方程的形式。
接下来，我们将对一个简单的例子进行分析，说明如何建立牛顿第二定律微分方程。
假设有一个质量为m的物体在水平面上运动，在受到一个恒定的外力F的作用下。
此时，物体受到的合力可以表示为\[ F_{\text{合}} = F - f \]f代表摩擦力，根据库仑摩擦定律，摩擦力大小正比于物体受力的大小，方向与物体的运动方向相反。
根据牛顿第二定律，物体的加速度可以表示为我们可以将摩擦力拆解成两部分，一部分是静摩擦力\[ f_s \]，一部分是动摩擦力\[ f_k \]。
在物体刚开始运动时，摩擦力等于静摩擦力，此时静摩擦力可以表示为\[ \mu_s \]是静摩擦系数，N是物体受到的支持力。
如果外力F小于或等于静摩擦力，物体会保持静止；如果外力大于静摩擦力，物体就会开始运动，此时摩擦力等于动摩擦力。
动摩擦力可以表示为\[ \mu_k \]是动摩擦系数。
在这种情况下，物体的加速度可以表示为根据牛顿第二定律微分方程的形式，我们可以进一步将N表示为物体受到的支持力，支持力可以表示为\[ N = mg \]，这里g是重力加速度。
力的三种效应及应用
求解力学问题的三把金钥匙——力的三种效应及应用力学是物理学的基础和重要的组成部分，在中学物理教材中，力学知识的核心可以概括为力的三种效应即力的瞬时效应、力的时间积累效应、力的空间积累效应。
力的这三种效应从三个不同的视角揭示了自然界中最普遍的现象之一---运动现象的内在本质及其遵循的规律，为力学问题的解决提供了三种求解方法。
下面就力的三种效应及其应用做以粗浅探讨：1、力的瞬时效应：牛顿第二定律的微分形式为d(mv)/dt=F, mv表示物体的“运动量”，简称动量，d(mv)/dt为动量对时间求导，即动量随时间改变的快慢程度。
在宏观、低速情况下，物体的质量m为定值，d(mv)/dt可写作mdv/dt，dv/dt为速度对时间求导，即速度随时间改变地快慢程度——加速度；如果物体做匀变速运动，加速度为恒量，记做dv/dt=a,则d(mv)/dt=F可写作ma=F，该式就是中学物理教材中牛顿第二定律的数表达式。
F=ma给出了力F与加速度a的瞬时定量关系，称为力的瞬时效应。
应用中可以从物体的受力分析出发，求出物体的加速度a，进而求解位移s、速度v等运动学问题；也可以从分析物体的运动情况出发，求出物体的加速度，进而解决物体的受力问题。
2、力的时间积累效应：力的时间积累效应就是求力F对时间t的积分，由d(mv)/dt=F可得Fdt=mdv则有ʃFdt=ʃmdv 即ʃFdt=mv2-mv1当F为恒力时有F(t2– t1 )= m(v2– v1 ) 即F△t = m△V这就是动量定理：在一段时间内物体动量的变化（m△V），等于物体在同一时间内所受外力的冲量（F△t）。
力的时间积累效应在应用中与力的瞬时效应的应用类似，也是双向的。
3、力的空间积累效应：力的时间积累效应就是求力对位移的积分，其微分形式为Fds ，由d(mv)/dt=F可得Fds = d(mv)ds/dt ，又ds/dt = v则有Fds = vd (mv) , 对其积分ʃFds =ʃvd(mv) 当F为恒力时有F(s2 – s1) = m(v22– v12)/2这就是动能定理：物体动能的增加，等于外力对物体所做的功。
运动微分方程和运动方程
运动微分方程和运动方程运动微分方程和运动方程是物理学中描述物体运动的重要工具。
它们通过数学模型来描述物体在空间中的位置、速度和加速度随时间的变化规律，可以帮助我们预测和分析物体的运动状态。
首先，我们来看一下运动微分方程。
运动微分方程是描述物体运动的微分方程，它基于牛顿第二定律和运动学原理，将物体的质量、力和加速度联系起来。
一般来说，物体的运动微分方程可以表示为：F = m * a其中，F表示物体所受的合外力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
这个方程告诉我们，物体所受的合外力与物体的质量和加速度之间存在着一种关系。
接下来，我们来看一下运动方程。
运动方程是描述物体运动的方程，它基于物体的初速度、加速度和时间，将物体的位移与这些因素联系起来。
一般来说，物体的运动方程可以表示为：s = ut + 0.5 * a * t^2其中，s表示物体的位移，u表示物体的初速度，a表示物体的加速度，t表示时间。
这个方程告诉我们，物体的位移与物体的初速度、加速度和时间之间存在着一种关系。
通过运动微分方程和运动方程，我们可以解决许多与物体运动相关的问题。
例如，我们可以通过已知物体的质量和所受力来计算物体的加速度；我们可以通过已知物体的初速度、加速度和时间来计算物体的位移；我们还可以通过已知物体的位移、初速度和时间来计算物体的加速度等等。
在实际应用中，我们常常需要根据具体问题来选择合适的运动微分方程和运动方程。
例如，在自由落体问题中，由于只有重力对物体产生作用，我们可以将合外力F设置为重力mg，然后根据物体的质量m和加速度a来求解物体的运动状态。
在弹簧振子问题中，由于弹簧对物体产生作用，我们需要考虑弹簧力，并根据弹簧力和物体的质量m来求解物体的运动状态。
总之，运动微分方程和运动方程是描述物体运动的重要工具。
它们通过数学模型来描述物体在空间中的位置、速度和加速度随时间的变化规律，可以帮助我们预测和分析物体的运动状态。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的方程，并结合已知条件来求解问题。
大学物理第二章-质点动力学
3）忽略绳或线质量时，绳内部各处的张力都相等
4）弹（性）力：由胡克定律 f ，kkx为决定于弹簧本身结构的常数；负
号表示弹力的方向总是指向要恢复它原长的方向
3、摩擦力 相互接触的物体在沿接触面相对运动时，或有相对运动趋势时，在接触
面之间产生一对阻止相对运动的力。（静摩擦力、动摩擦力（滑动摩擦力、 滚动摩擦力等））
m m
车 u上
mv1
mv2
v1 v2
t2
Fdt
t1
mv2
mv1
地上
t
2
Fdt
t1
m(v1
m(v2
u)
u)
m (v2
m(v1
u) u) mv2
mv1
[例2]一质点受合外力作用，外力为
F 10ti 2(2 t ) j 3t 2k (SI)
求此质点从静止开始在2s内所受合外力的冲量和质点在
I z P2z P1z mv2z mv1z
说明：
1）一维问题、力作用时间很短时，
F
常引入平均冲力
F
F
t2 Fdt
t1
p2 p1
t2 t1 t2 t1
t1 t2 t
2）I的方向一般不是
F的(t方) 向，而
I
是微分冲量 的矢F量d和t 的方向。
Fdt
3）物体的动量相对于不同的惯性系是不同的，但动量定律不 变。
物体在竖直方向运动，建立坐标系oy
y
T
ar
ar
a1 m1 a2
m2
m1
o
m1g
T
m2
m2 g
(1)电梯匀速上升，物体对电梯的加速度等于它们对
地面的加速度。A的加速度为负，B的加速度为正， 根据牛顿第二定律，对A和B分别得到：
牛顿第二定律
4、平面运动刚体的动能 刚体的平面运动可以分解为任选基点的平动和绕该基点的转动， 则以质心C为基点，刚体的平面运动动能就等于随质心C的平动动能 与绕质心C转动的动能之和。
1 1 1 2 2 2 T = MvC + J Cω = J Pω 2 2 2
对整个质点系，有： d Σ 则：
P 为刚体平面运动的 瞬心，JP为刚体对瞬 心轴的转动惯量。
达朗贝尔原理 Alemberte)(动静法 D’Alemberte)(动静法) Alemberte)(动静法)
§1. 质点的达朗贝尔原理 G m 称为惯性力，则有： N F
ma=F+N F+N- ma=0
令
G = - ma F+N+G=0
即为质点的达朗贝尔原理。
上式在形式上是一个平衡方程，G 具有力的量纲，是质量和加 速度的乘积，因此称为惯性力。 惯性力是人为地、假想地加上去的，并不真实的作用在物体上。 达朗贝尔原理从形式上将动力学问题转化为静力学问题，它并不改 变动力学问题的实质，质点实际上也并不平衡。
5、质点系的动能定理 设一质点系由n个质点构成，对第 i个质点有：
dT = Σ δ W
m ivi = Σ δW i 2
2
m ivi d = δW i 2
2
即为质点系动能定理的微分形式。 即为质点系动能定理 的积分形式。
积分上式，有：
T2 − T1 = ΣW
动能定理主要用来求解
v、ω、a、ε，不能求反力！
动力学普遍定理
重点研究刚体在 各种运动形式下的 运动微分方程 动量定理 动量矩定理 动能定理
§1. 质点的动量定理 1.质点的动量: k=mv 矢量， 量纲为:kg ⋅ m/s = kg ⋅ m/s 2 ⋅ s = N ⋅ s 2.力的冲量: S =F t 矢量， 量纲为:N s 前式中， F为常力， 若F为变力， 则为 t1 s = F dt S 元冲量: dS =F d t
力学部分主要公式： (1). 牛顿第二定律
R
vC r l0 l 3r
2 2
r
细杆质心C将沿着圆的渐开 线运动 切向加速度为 aC切
dvC dvC dr d 2 2 2 l 3r dt dr d dt
l 4 02 R
法向加速度为
l r aC法 r 2 2 2
2 2 0
l 3r
10 的角速度旋转，
J2
第二个圆盘静止，然后使两盘水平轴接近，
求：当接触点处无相对滑动时，两圆盘的角速度
10
r1
r2
解： 受力分析： 无竖直方向上的运动
10
o1
N1
r1
f
o2
N2
r2
N1 f m1 g N 2 f m2 g
以O1点为参考点， 计算系统的外力矩：
f
m1 g
m2 g
3mg cos mg cos Rx sin R y cos 4
当 0 时,得到
3mg Rx 4 mg Ry 4
Ry
0
Rx
例6.一长为 l 的细麦杆可绕通过中心 o 的水平转轴 在铅锤面内自由转动。开始时麦杆静止于水平位置 一质量与麦杆相同的甲虫以速度 v0 垂直落到麦杆的
d l J mg cos dt 2 1 2 这里 J ml 3 d
0
mg
3g cos 得到角加速度 dt 2l 表达式可写成 d d d 3 g cos dt d dt 2l d 3g cos d 2l 3g d cos d 2l
a1
m1
a1
m2
a2.
解： 画隔离体图，受力分析
a1
牛顿第二定律与动量定理的专题详解
牛顿第二定律与动量定理刍议广东省佛冈中学周长春在高中《物理》教材中，动量定理F·t＝mv2－mv1，是由牛顿第二定律F＝ma推导出来的，那么应如何准确地理解动量定理与牛顿第二定律呢？本文做一初浅的探讨。
一、动量定理是牛顿第二定律原来采用的形式在牛顿提出运动第二定律之前，伽利略在批判亚里士多德的力与速度的依赖关系的基础上，提出了力与加速度的依赖关系，但是他没有也不可能在当时的条件下发现作用力与加速度之间的定量关系。
在1684年8月之后，牛顿用几何法和极限概念论证了引力平方反比律，在为解决万有引力是否跟质量成正比的问题时，他发现了运动第二定律，具体的记载有两处，一处是在“论物体的运动”一文手稿中写道：“…动力与加速度的力之比等于运动与速度之比。
因为运动的量是由速度乘以物质的量导出的…”。
另一处是在《自然哲学的数学原理》的定义Ⅷ中给出的：“因为运动的量是由速度乘以物质的量求出来的，并且动力是由加速度的力乘以同一物质之量求出来的，物体的几个粒子上的加速的力的作用总和就是整个物体的动力”。
上面两段话中，“加速的力”指的是加速度，“运动”“运动的量”指的是动量，“动力”指的是与加速度对应的作用力，“物体”“物质的量”就是质量。
由此可知，牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中已明确提出动量的定义：“运动量是用它的速度和质量一起来量度的”，“并把动量的变化率称之为力”，“他又用动量来表述运动第二定律”。
综上所述，牛顿其实已经提出了运动第二定律的文字表述：作用力与加速度成正比。
但当时牛顿并没有明确地用公式（F＝ma）表述出来，牛顿第二定律原来采用的形式是力F、质量m、速度v和时间t这四个物理量，选择适当的单位，可使比例系数k＝1，这时，牛顿第二定律可表示为①因此，牛顿第二运动定律的真实表述应该是物体所受外力等于其动量对时间的变化率。
①式也叫做牛顿第二定律的微分形式。
《自然哲学的数学原理》已经提出了作用力与加速度成正比，但当时牛顿并没有将公式①直接用F＝ma表述出来，这是为什么呢？我国研究牛顿的资深学者阎康年先生在他的专著《牛顿的科学发现与科学思想》中专门研究了牛顿的质量观：“牛顿对质量概念的认识分静质量和动质量两个方面。
第二章 牛顿定律
FN
N
θ
R
mg
v mg cosθ − FN = m R vdv mg sin α = m Rdα
2
∵ FN = 0 2 2 θ = arccos 时，小球脱离大球 小球脱离大球. ∴ cosθ = 3 3
1 2 mgR(1 − cos θ ) = mv 2
的液体，上方悬一长为l， 例4 密度为ρ1的液体，上方悬一长为 ，密度为ρ2的 均质细棒AB，棒的B端刚好和液面接触 今剪断绳， 端刚好和液面接触。 均质细棒 ，棒的 端刚好和液面接触。今剪断绳， 并设棒只在重力和浮力作用下下沉， 并设棒只在重力和浮力作用下下沉，求：
棒刚好全部浸入液体时的速度。 棒刚好全部浸入液体时的速度。 A
解 ： （1 ）
mg − F = ma
B
O
x
dv dv ρ2lsg − ρ1xsg = ρ2sl = ρ2lsv x dt dx ρ1x v x ρ1x vdv = (1− )gdx ∫ vdv = ∫ (1− )gdx 0 0 ρ2l ρ2l
第二章
动力学基本定律
力是维持物体运动的原因。 力是维持物体运动的原因。
力不是维持运动的原因。
牛顿定律
牛顿第一定律（惯性定律）
任何物体都将保持静止或匀速直线运动的 状态直到其他物体所作用的力迫使它改变这种 状态为止。 状态为止。
数学形式： 数学形式：
v = 恒矢量 ， F = 0
惯性： 任何物体保持其运动状态不变的性质。 惯性： 任何物体保持其运动状态不变的性质。
f2 = µ2 N2
f1 = µ1N1
由A式： 式
µ1mAg − FT = −mAa 由B式： F − µ1m g − µ2 (m + m )g − F = m a 式 A A B T B
牛顿第二定律动量对时间的导数文字叙述
牛顿第二定律是经典力学中的基本定律之一，描述了物体运动时所受到的力与其产生的加速度之间的关系。
根据牛顿第二定律，物体的动量对时间的导数等于物体所受的合外力。
具体地，牛顿第二定律可以用以下文字叙述：
当一个物体受到作用力时，它的加速度与所受的力成正比，与物体的质量成反比。
加速度的方向与作用力的方向相同。
换句话说，在给定物体的质量m和作用力F的情况下，物体的加速度a可以通过以下公式计算：
F = ma
其中， F表示作用力的大小和方向， m表示物体的质量， a表示物体的加速度。
而动量是描述物体运动状态的物理量，定义为物体的质量乘以其速度。
物体的动量p 可以用以下公式表示：
p = mv
其中， m表示物体的质量， v表示物体的速度。
动量对时间的导数等于力，可以通过以下公式表示：
dp/dt = F
其中， dp/dt表示动量p对时间t的导数， F表示物体所受的合外力。
这个公式表示了牛顿第二定律的数学形式，它说明了一个物体的动量随时间的变化率等于作用在物体上的合外力。
这表明力的作用会改变物体的动量，并导致物体产生加速度。
牛顿第二定律及其微分形式
这里的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ运动”指物体的质量和速度矢量的乘
积。 p mv
牛顿第二定律实质上是：
d
p
F
或
d
p
F
dt
牛二分牛二分牛定分顿的形顿的形顿 律形第微式第微式第的式二微
dt
速度远低于光速时，过渡为
F
ma
牛顿第二定律的微分形式是基本的普遍形式， 适用于高速运动情况与变质量问题。
fp??tddtddfp??或牛顿第二的微分形式牛顿第二的微分形式牛顿第二定律的微分形式速度远低于光速时过渡为af??m牛顿第二定律的微分形式是基本的普遍形式适用于高速运动情况与变质量问题
§2-3 牛顿第二定律及其微分形式
1. 牛顿第二定律
牛顿第二定律：物体受到外力作用时，它所
获得的加速度的大小与外力的大小成正比，并与物
表示各个力产生的加速度。
牛顿第二定律
F
mmaaF1imFa12F2 mai
Fi
直角坐标系与自然坐标系中的分量形式
Fx
m d vx dt
m
d2 dt
x
2
Fy
m d vy dt
d2 y m dt2
Fz
m d vz dt
d2 z m dt2
Ft
牛二分牛二分牛定分顿的形顿的形顿律形第微式第微式第的式二微
dt
速度远低于光速时，过渡为
F
ma
牛顿第二定律的微分形式是基本的普遍形式， 适用于高速运动情况与变质量问题。
牛顿第二定律及其微分形式
2. 牛顿第二定律的微分形式
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1. 牛顿第二定律
牛顿第二定律：物体受到外力作用时，它所获
得的加速度的大小与外力的大小成正比，并与物体
的质量成反比，加速度的方向与外力的方向相同。
F
ma
对应单位： N kg m/s 2
牛顿第二定律
讨论：
(1)质量的理解：质量是惯性的量度。不受外力保
持运动状态不变；一定外力作用时，质量越大，加
d2 z m dt2
Ft
mat
mdv dt
v2
Fn man m
牛顿第二定律及其微分形式
2. 牛顿第二定律的微分形式
牛顿第二定律原文意思：运动的变化与所加的 动力成正比，并且发生在这力所沿直线的方向上。
牛这顿里d第的p 二“p定运F律动m或实”vd质指p上物是体F：的d质t 量和牛二分牛二分牛定速分顿的形顿的形顿 律形第微式度第微式第的式矢二微量的乘积。
分别力表F示1、合力F2、、合、加速Fi度同，时a作1、用在a2、物体、上a，iF分、别a
表示各个力产生的加速度。
牛顿第二定律
F
maF1imFa12F2 mai
Fi
ma
直角坐标系与自然坐标系中的分量形式
Fx
m d vx dt
m
d2 dt
x
2
Fy
m d vy dt
d2 y m dt2
Fz
m d vz dt
dt
速度远低于光速时，过渡为
F
ma
牛顿第二定律的微分形式是基本的普遍形式， 适用于高速运动情况与变质量问题。
速度越小，运动状态越难改变；质量越小，加速度
越大，运动状态容易改变。因此，这里的质量叫做
惯性质量。
(2)瞬时性的理解：定律中的力和加速度都是瞬时
的，同时存在，同时消失。
F
md
v
dt
牛顿第二定律
(3)矢量性的理解：矢量表达式，力与加速度 都是矢量，二者方向相同，满足叠加原理。
叠加原理：几个力同时作用在一个物体上，物 体产生的加速度等于每个力单独作用时产生的加 速度的叠加。