平面向量数量积的坐标表示ppt
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新教材人教A数学必修二课件：6.3.5平面向量数量积的坐标表示
(2)向量数量积的运算有两种思路：一种是基向量法， 另一种是坐标法，两者相互补充.如果题目中的图形是 等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时，一般选择 坐标法.
【习练·破】
1.(2019·全国卷Ⅱ)已知 =(2，3)， =(3，t)，
| |=1，则
A.-3
B.-2
= (C.Au2uBur )
D.3
4
10
4
类型一 数量积的坐标运算
【典例】1.(2019·岳阳高一检测)已知向量a=(2，1)，
b=(-1，k)，a·(2a-b)=0，则k= ( )
A.-12
B.-6
C.6
D.12
2.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，
则
的值为________；
的最大值为
________.
uuur uuur DEgCB
(1)向量模的公式：设a=(x1，y1)，则|a|=
.
两= 点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)x，12＋则y12| |
uuur AB
(x2 x1)2＋(y2 y1)2 .
(2)向量的夹角公式：设两非零向量a=(x1，y1)，b= (x2，y2)，a与b 夹角为θ， 则cos θ=
agb ＝ x1x2＋y1y2 . | a |g| b | x12＋y12 x22＋y22
【思考】 | |的计算公式与解析几何中两点间的距离公式一样 吗？为什么？
提式Au示 是uBur ：完全| 一|的致计的算，公实式际与上解| 析|几即何为中A，两B点两间点的间距的离距公离.
uuur AB
uuur AB
3.已知a=(3，-1)，b=(1，-2)，则|a|=________，a与 b的夹角为________.
平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
向量数量积的坐标运算与度量公式PPT课件
k t3 3t 4
k t2 1 t2 4t 3 1 t 22 7
t4
4
4
当t 2时，k t 2 有最小值 7 .
t
4
说明：本题考查平面的数量积及相关知识，与函数联 系在一起，具有综合性。要注意观察揭示题中的隐含 条件，然后根据垂直条件列出方程得出k与t的关系， 利用二次函数求最值。
2 2 ≤ cos ≤1
3
课堂小结：
这节课我们主要学习了平面向量数量积 的坐标表示以及运用平面向量数量积性质的坐 标表示解决有关垂直、平行、长度、角度等几
何问题。 设a （x1，y1），b （x2，y2）
a b x1 x2 y1 y2
（1）两向量垂直条件的坐标表示
a b x1 x2 y1 y2 0
解: (Ⅰ) OP OQ 2 cos x , OP OQ 1 cos2 x ,
cos
OP OQ OP OQ
2cos x 1 cos2 x
,∴
f
(x)
2cos x 1 cos2 x
(x
4
, 4
)
第20页/共24页
变形 2：平面直角坐标系有点 P(1, cosx) ， Q(cos x,1) ，
（2）两向量平行条件的坐标表示
a / /b x1y2 x2 y1 0
第22页/共24页
设a （x1，y1），b （x2，y2）
（3）向量的长度（模）
a
2
2
a
x2 1
y2 1
或a
x2 1
y2 1
（4）两向量的夹角
cos a b
ab
= x1x2 + y1y2 x12 + y12 x22 + y22
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角ppt
小结作业
1.a∥b x1 y 2 x2 y1 0 a⊥b x1 x2 y1 y 2 0 二者有着本质区别. 2.若非零向量a 与b的夹角为锐角（钝 角），则a· b＞0（＜0），反之不成立.
3.向量的坐标运算沟通了向量与解析几 何的内在联系，解析几何中与角度、距 离、平行、垂直有关的问题，可以考虑 用向量方法来解决.
例题讲解
例1、设a (5, 7), b (6, 4), 求a b及a、 b夹角的余弦.
变式练习
已知向量a＝(4，3),b＝(－1，2), 求: (1) a· b； (2) (a＋2b)· (a－b)； (3) |a|2－4a· b. (1) 2；（2）17； （3）17.
【湖南师大附中内部资 料】高一数学必修4课件： 2.4.2 平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角 （新人教A版）
高一数学必修4第2章
2.4 平面向量的数量积
2.4.2 平面向量数量积的坐标 表示、模、夹角
复习巩固
1、下列命题正确的有___________ 2 2 2 (1)a a (2) a a 2 2 2 (3) a b a b (4) a b a b (5)(0 a) b 0 ( a b) (6)若a b a c, 且a 0, 则b c
复习巩固
2、已知非零向量 AB与向量 AC满足 AB AC AB AC 1 （ + ）BC 0, 且 AB AC AB AC 2 则ABC为（
D
）
A、三边不相等的三角形 B、直角三角形 C、等腰非等边三角形 Ｄ、等边三角形
§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
二、向量的模和两点间距离公式:
1向量的模(长度公式)：
设a (x, y),则
2
a x2 y2,或a
x2 y2
2两点间的距离公式： 设Ax1, y1、Bx2, y2 ,则AB x2 x1, y2 y1
AB x2 x1 2 y2 y1 2
【拓展提升】数量积坐标运算的方法技巧 (1)进行数量积运算时,要正确使用公式 a·b=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系: |a|2=a·a.(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2. (a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2. (2)利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来 说应当先设出向量的坐标,然后根据题目中已知 的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量 积的坐标运算列出方程组来进行求解.
记忆口诀：注意坐标形式下两向量垂直的条件与两向量平 行的条件不要混淆， “a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0”可简记为“对应相乘和为0”； “a∥b⇔x1y2－x2y1＝0”可简记为“交叉相乘差为0”．
四、向量夹角公式的坐标表示:
设a x1, y1 ,b x2 , y2 , a与b夹角为，0
(1)掌握向量数量积的坐标表达式， 会进行向量数量积的坐标运算;
(2)能运用数量积表示两个向量的夹角，计 算向量的长度，会用数量积判断两个平面 向量的垂直关系.
一、平面向量数量积的坐标表示:
a x1, y1 ,b x2 , y2 a,b非零向量 y A(x1,y1)
a x1i y1 j,b x2i y2 j
B(x2,y2)
a
bj
a b (x1i y1 j) (x2i y2 j)
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示(课件)
3、 cos
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
4、 a // b x1y2 x2 y1 0
5、 a b x1x2 y1y2 0
6、已知:A（x1,x2),B(x1,x2)则
AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 ,
向量的模的公式： a
x12 y12 , b
x22 y22 .
（2）若设A(x1,y1),B(x2,y2)，则如何计算向量AB
的模？
两点间的距离公式：AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 ,
小组合作探究活动 （3）如何推导出向量夹角公式的坐标表示式？
向量的夹角的公式：
已知两个非零向量a=(x 1, y1) ， b=(x2 , y2)， 则
又 α＋β∈(0，π)，所以 α＋β＝34π.
变式练习
已知向量 a＝ sin α＋π6 ，3 ，b＝(1,4cosα)，α∈(0，π)． (1) 若 a⊥b，求 tanα的值； (2) 若 a∥b，求α的值．
分析
(1) a b x1x2 y1y2 0
(2) a // b x1y2 x2 y1 0
变式练习
解：(1)
因为
a⊥b，所以
sin
α＋π 6
＋12cosα＝0，
即 23sinα＋12cosα＋12cosα＝0，即 23sinα＋225cosα＝0.
又 cosα≠0，所以 tanα＝－25 3. 3
(2) 若 a∥b，则 4cosαsinα＋π6＝3，
即 4cosα 23sinα＋12cosα＝3，所以 3sin2α＋cos2α＝2，所以 sin2α＋π6＝1. 因为 α∈(0，π)，
若平行，需 sinαcosα＋2＝0，即 sin2α＝－4，
《平面向量数量积的坐标表示》课件2
3、 cos
x1 x2 y1 y2 x1 y1
2 2
x2 y2
2
2
4、 a // b x1y2 x2 y1 0 5、 a b x1 x2 y1 y2 0
6、已知:A（x1,x2),B(x1,x2)则
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ,
基础训练题
1.有四个式子: 10 a 0, 20 a 0, 3a b a c b c,
4 a b a b , 其中正确的个数为:
A. 4个 B.3个 C. 2个
D
D.1个
2. 已知a, b均为单位向量下列结论正确的是 , :
B
D.a b 0
证明：
AB (2 1,3 2) (1,1)
BC (2 2,5 3) (4,2)
AC (2 1,5 2) (3,3)
AB AC 1 (3) 1 3 0
∴ ＡＢ⊥ＡＣ 又∵ ︱ＡＢ︱ ≠ ︱ＡＣ︱
∴△ABC是直角三角形
练习: 书P107，1，2， 书P108习题2.4A第5题（１）
x2 y2 .
2 2
如何计算？
2）、若设A(x1,y1),B(x2,y2)，则向量AB的 模
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ,
这就是A、B两点间的距离公式.
探索3： 你能写出向量夹角公式的坐标表示式
已知两个非零向量a=(x 1, y1) ， b=(x2 , y2)
其中假命题序号是:
(2)
4.若a 0,1, b 1,1且 a b a, 则实数的值是
A．-1 B.0 C.1 D.2
6-3-5 平面向量数量积的坐标表示(教学课件)-高中数学人教A版 (2019)必修第二册
解：如图，在平面直角坐标系中画出点，，，
我们发现是∆直角三角形.证明如下：
因为 = − , − = (, ),
= − − , − = (−, )
所以 ∙ = × − + × =
于是 ⊥
因此， ∆直角三角形
6.3.5 平面向量数量
积的坐标表示
引入
①
③
i i =
ij=
1
②
0
④
j j =
j i =
1
0
数量积坐标表示
因为a x1 i y1 j, b x2 i y2 j,
所以a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j )
2
方法一：AM·AN＝AD＋ AB·AB＋ AD
3
2
1 2 1 2
＝0＋ ×2 ＋ ×3 ＋0＝5.
2
3
→
→
方法二：以 A 为原点，AB，AD的方向分别为 x，y 轴的
正方向建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，M(1，2)，N(3，1)，
→
→
→ →
于是AM＝(1，2)，AN＝(3，1)，故AM·AN＝5.
例1
(1)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)．
①求a·(a－b)；
②求(a＋b)·(2a－b)；
③若c＝(2，1)，求(a·b)c.
①方法一：∵a＝(－1，2)，b＝(3，2)，∴a－b＝(－4，0)．
∴a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
方法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.
我们发现是∆直角三角形.证明如下：
因为 = − , − = (, ),
= − − , − = (−, )
所以 ∙ = × − + × =
于是 ⊥
因此， ∆直角三角形
6.3.5 平面向量数量
积的坐标表示
引入
①
③
i i =
ij=
1
②
0
④
j j =
j i =
1
0
数量积坐标表示
因为a x1 i y1 j, b x2 i y2 j,
所以a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j )
2
方法一：AM·AN＝AD＋ AB·AB＋ AD
3
2
1 2 1 2
＝0＋ ×2 ＋ ×3 ＋0＝5.
2
3
→
→
方法二：以 A 为原点，AB，AD的方向分别为 x，y 轴的
正方向建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，M(1，2)，N(3，1)，
→
→
→ →
于是AM＝(1，2)，AN＝(3，1)，故AM·AN＝5.
例1
(1)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)．
①求a·(a－b)；
②求(a＋b)·(2a－b)；
③若c＝(2，1)，求(a·b)c.
①方法一：∵a＝(－1，2)，b＝(3，2)，∴a－b＝(－4，0)．
∴a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
方法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.
2.4平面向量数量积的坐标表示 课件(2课时)
B
b
θ
O
b同向； 当θ= 180º 时， a 与 b反向；
a b a b
a
A
当θ= 90º 时， a与 b垂直，记作 a b 。
a b
平面向量数量积的重要性质有: 设a与b都是非零向量， e是单位向量，θ 0是a与e
的夹角，θ 是a与b的夹角。
(1)e a a e a cos 0
想一想：还 有其他证明 方法吗？
△ABC是直角三角形
提示：可先计算三边长，再用勾股定理验证。
变形：在ABC中，设 AB (2,3), AC (1, k ), 且 ABC是直角三角形，求k的值。
解 : BC AC AB (1, k 3) 又ABC是直角三角形 即(2, 3) ( 1, k 3) 0 2 3( k 3) 0 11 k 3
待定系数法
分析： 可设x=（m, n)，只需求m, n. 易知 m n 1 …… ① 再利用 a x (定义) a x （数量积的 坐标法）即可！ 解：设所求向量为 x (m, n) ,由定义知：
2 a x a x cos 45 8 2 2 另一方面 a x ( 3 1) m ( 3 1) n
( 2)a b a b 0
( 3)当a与b 同向时a ， b a b
当a与b 同向时a ， b a b
特 别 地a ， a a 或a a a a
(4) cos ab ab
2
2
( 5) a b a b
二、新课讲授
问题1：已知 a ( x1, y1 ),b ( x2 , y2 ), 怎样用 a, b 的坐标表示 a b 呢？请同学们看下 列问题. 设x轴上单位向量为 i ，Y轴上单位向量为 请计算下列式子： ① i i =
b
θ
O
b同向； 当θ= 180º 时， a 与 b反向；
a b a b
a
A
当θ= 90º 时， a与 b垂直，记作 a b 。
a b
平面向量数量积的重要性质有: 设a与b都是非零向量， e是单位向量，θ 0是a与e
的夹角，θ 是a与b的夹角。
(1)e a a e a cos 0
想一想：还 有其他证明 方法吗？
△ABC是直角三角形
提示：可先计算三边长，再用勾股定理验证。
变形：在ABC中，设 AB (2,3), AC (1, k ), 且 ABC是直角三角形，求k的值。
解 : BC AC AB (1, k 3) 又ABC是直角三角形 即(2, 3) ( 1, k 3) 0 2 3( k 3) 0 11 k 3
待定系数法
分析： 可设x=（m, n)，只需求m, n. 易知 m n 1 …… ① 再利用 a x (定义) a x （数量积的 坐标法）即可！ 解：设所求向量为 x (m, n) ,由定义知：
2 a x a x cos 45 8 2 2 另一方面 a x ( 3 1) m ( 3 1) n
( 2)a b a b 0
( 3)当a与b 同向时a ， b a b
当a与b 同向时a ， b a b
特 别 地a ， a a 或a a a a
(4) cos ab ab
2
2
( 5) a b a b
二、新课讲授
问题1：已知 a ( x1, y1 ),b ( x2 , y2 ), 怎样用 a, b 的坐标表示 a b 呢？请同学们看下 列问题. 设x轴上单位向量为 i ，Y轴上单位向量为 请计算下列式子： ① i i =
平面向量数量积的坐标表示 课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册
AE 1 AB (1, 2), 2
又OA (1, 1) (O为坐标原点), 则OC OA AC (0, 3),所以点C(0, 3)
OD OA AD (3, 9), 所以点D的坐标为(3, 9)
OE OA AE (2, 1), 所以点E的坐标为(2, 1)
7. 你认为下列各组点具有什么样的位置关系? 证明你的猜想. A. A(1, 2), B(3, 4), C(2, 3.5); (2) P(1, 2), Q(0.5, 0), R(5, 6); (3) E(9, 1), F (1, 3), G(8, 0.5).
(2)由(1, 3) ( x 1, y 5), 得点B的坐标为(0, 8); (3)由(2, 5) ( x 3, y 7), 得点B的坐标为(1, 2)
4.已知平行四边形ABCD的顶点A(1, 2), B(3, 1), C(5, 6), 求顶点D 的坐标.
由题意知AD
BC
,
设D(
x,
(2) EF EG,
EF·EG
1 3
b
1 2
a
1 2
a
1 3
b
1 2 1 2 19 2 1 2 b a a a 0,
9 4 94 4
EF EG, 即EF EG
7. 你认为下列各组点具有什么样的位置关系? 证明你的猜想. A. A(1, 2), B(3, 4), C(2, 3.5); (2) P(1, 2), Q(0.5, 0), R(5, 6); (3) E(9, 1), F (1, 3), G(8, 0.5).
(3) E、F、G三点共线. 证明：因为EF (8, 4), EG (1, 0.5), 所以EF 8EG,因为直线EF与直线EG有公共点E, 所以E、F、G三点共线.
又OA (1, 1) (O为坐标原点), 则OC OA AC (0, 3),所以点C(0, 3)
OD OA AD (3, 9), 所以点D的坐标为(3, 9)
OE OA AE (2, 1), 所以点E的坐标为(2, 1)
7. 你认为下列各组点具有什么样的位置关系? 证明你的猜想. A. A(1, 2), B(3, 4), C(2, 3.5); (2) P(1, 2), Q(0.5, 0), R(5, 6); (3) E(9, 1), F (1, 3), G(8, 0.5).
(2)由(1, 3) ( x 1, y 5), 得点B的坐标为(0, 8); (3)由(2, 5) ( x 3, y 7), 得点B的坐标为(1, 2)
4.已知平行四边形ABCD的顶点A(1, 2), B(3, 1), C(5, 6), 求顶点D 的坐标.
由题意知AD
BC
,
设D(
x,
(2) EF EG,
EF·EG
1 3
b
1 2
a
1 2
a
1 3
b
1 2 1 2 19 2 1 2 b a a a 0,
9 4 94 4
EF EG, 即EF EG
7. 你认为下列各组点具有什么样的位置关系? 证明你的猜想. A. A(1, 2), B(3, 4), C(2, 3.5); (2) P(1, 2), Q(0.5, 0), R(5, 6); (3) E(9, 1), F (1, 3), G(8, 0.5).
(3) E、F、G三点共线. 证明：因为EF (8, 4), EG (1, 0.5), 所以EF 8EG,因为直线EF与直线EG有公共点E, 所以E、F、G三点共线.
人教A版(2019)必修第二册 第6章6-3-4 平面向量数量积的坐标表示 课件(31张)
内容索引
3. 若两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．i，j分别是x轴，y轴上的单 位向量．
(1) 将a，b用向量i和j表示； 【解析】 a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j. (2) 根据向量数量积的定义及上面的结论计算a·b； 【解析】 a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2＋y1y2. (3) 由(1)(2)得出用a，b的坐标来表示它们的数量积a·b. 【解析】 a·b＝x1x2＋y1y2.
(2) |a|2＝14＋34＝1，|b|2＝3＋1＝4， x·y＝[a＋(t2－2)b]·(－ka＋t2b)＝0， 即－k＋4t2(t2－2)＋(t2－kt2＋2k)a·b＝0， 所以 k＝4t4－8t2.
内容索引
利用两个平面向量垂直的充要条件x1x2＋y1y2＝0，列出相应的关系， 从而解决一些相关问题．
【解析】 在平面直角坐标系中画出点A，B，C(画图略)发现△ABC 是直角三角形，证明如下：
由题意，得A→B＝(1,1)，A→C＝(－3,3)， 所以A→B·A→C＝0，即A→B⊥A→C， 所以△ABC 是直角三角形．
内容索引
因为两个平面向量垂直的充要条件是a·b＝0，又两个向量的数量积 的坐标运算为a·b＝x1x2＋y1y2，所以在平面直角坐标系中，要得到垂直关 系，只要说明x1x2＋y1y2＝0，其中(x1，y1)，(x2，y2)分别表示两个向量的 坐标．
12345
内容索引
5. (2022·咸宁期末)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m，－4)． (1) 若(a＋b)⊥(－2a)，求m的值； (2) 若a与b的夹角为钝角，求m的取值范围．
【解析】 (1) a＋b＝(m－1，－2)，－2a＝(2，－4)．
因为(a＋b)⊥(－2a)，所以(a＋b)·(－2a)＝0，
3. 若两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．i，j分别是x轴，y轴上的单 位向量．
(1) 将a，b用向量i和j表示； 【解析】 a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j. (2) 根据向量数量积的定义及上面的结论计算a·b； 【解析】 a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2＋y1y2. (3) 由(1)(2)得出用a，b的坐标来表示它们的数量积a·b. 【解析】 a·b＝x1x2＋y1y2.
(2) |a|2＝14＋34＝1，|b|2＝3＋1＝4， x·y＝[a＋(t2－2)b]·(－ka＋t2b)＝0， 即－k＋4t2(t2－2)＋(t2－kt2＋2k)a·b＝0， 所以 k＝4t4－8t2.
内容索引
利用两个平面向量垂直的充要条件x1x2＋y1y2＝0，列出相应的关系， 从而解决一些相关问题．
【解析】 在平面直角坐标系中画出点A，B，C(画图略)发现△ABC 是直角三角形，证明如下：
由题意，得A→B＝(1,1)，A→C＝(－3,3)， 所以A→B·A→C＝0，即A→B⊥A→C， 所以△ABC 是直角三角形．
内容索引
因为两个平面向量垂直的充要条件是a·b＝0，又两个向量的数量积 的坐标运算为a·b＝x1x2＋y1y2，所以在平面直角坐标系中，要得到垂直关 系，只要说明x1x2＋y1y2＝0，其中(x1，y1)，(x2，y2)分别表示两个向量的 坐标．
12345
内容索引
5. (2022·咸宁期末)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m，－4)． (1) 若(a＋b)⊥(－2a)，求m的值； (2) 若a与b的夹角为钝角，求m的取值范围．
【解析】 (1) a＋b＝(m－1，－2)，－2a＝(2，－4)．
因为(a＋b)⊥(－2a)，所以(a＋b)·(－2a)＝0，
《平面向量的应用》课件
详细描述
向量的模表示向量的长度，可以通过坐标表示计算得出。具体计算公式为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$分别是向量的起点和终点的坐标。
向量加法和数乘可以通过坐标表示进行计算，遵循平行四边形法则和数乘的分配律。
详细描述
总结词
向量的大小或模定义为向量起点到终点的距离。
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，可以通过勾股定理计算得到。向量的模具有几何意义，表示向量起点到终点的距离。
详细描述
向量小。
总结词
向量的加法是将两个有向线段首尾相接，形成一个新的有向线段。数乘则是将一个向量放大或缩小，保持方向不变。通过向量的加法和数乘，可以组合多个向量，形成复杂的向量关系。
平面向量的应用实例
03
速度和加速度
在匀速圆周运动和平抛运动等物理问题中，可以利用平面向量表示速度和加速度，进而分析运动规律。
力的合成与分解
通过向量加法、数乘和向量的数量积、向量的向量积等运算，可以方便地表示出力的合成与分解过程，进而分析物体的运动状态。
力的矩
矩是一个向量，可以利用平面向量表示力矩，进而分析转动效果。
总结词：平面向量在解决几何问题中具有广泛的应用，如向量的加法、减法、数乘等运算可以用于解决长度、角度、平行、垂直等问题。
总结词：平面向量在解决代数问题中具有广泛的应用，如向量的模长、向量的数量积、向量的向量积等运算可以用于解决方程组、不等式等问题。
总结词
通过平面直角坐标系，可以将向量表示为有序实数对。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量可以由其起点和终点的坐标确定，并表示为有序实数对。例如，向量$overset{longrightarrow}{AB}$可以表示为$(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。
向量的模表示向量的长度，可以通过坐标表示计算得出。具体计算公式为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$分别是向量的起点和终点的坐标。
向量加法和数乘可以通过坐标表示进行计算，遵循平行四边形法则和数乘的分配律。
详细描述
总结词
向量的大小或模定义为向量起点到终点的距离。
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，可以通过勾股定理计算得到。向量的模具有几何意义，表示向量起点到终点的距离。
详细描述
向量小。
总结词
向量的加法是将两个有向线段首尾相接，形成一个新的有向线段。数乘则是将一个向量放大或缩小，保持方向不变。通过向量的加法和数乘，可以组合多个向量，形成复杂的向量关系。
平面向量的应用实例
03
速度和加速度
在匀速圆周运动和平抛运动等物理问题中，可以利用平面向量表示速度和加速度，进而分析运动规律。
力的合成与分解
通过向量加法、数乘和向量的数量积、向量的向量积等运算，可以方便地表示出力的合成与分解过程，进而分析物体的运动状态。
力的矩
矩是一个向量，可以利用平面向量表示力矩，进而分析转动效果。
总结词：平面向量在解决几何问题中具有广泛的应用，如向量的加法、减法、数乘等运算可以用于解决长度、角度、平行、垂直等问题。
总结词：平面向量在解决代数问题中具有广泛的应用，如向量的模长、向量的数量积、向量的向量积等运算可以用于解决方程组、不等式等问题。
总结词
通过平面直角坐标系，可以将向量表示为有序实数对。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量可以由其起点和终点的坐标确定，并表示为有序实数对。例如，向量$overset{longrightarrow}{AB}$可以表示为$(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。
2.4.2平面向量数量积的坐标表示教学课件
[研一题]
[例 2] 平面直角坐标系 xOy 中，O
是原点(如图)．已知点 A(16,12)、B(－5,15)．
(1)求| OA|，| AB|；
(2[[[[自)自 自 自求主主 主 主∠解O解 解 解A答答 答 答B.]]]] ((((1111))))由由 由 由OOOOAAAA＝＝ ＝ ＝((((11116666,,,,11112222))))，， ， ， AAAABBBB＝＝ ＝ ＝((((－－ － －5555－－ － －11116666,,,,11115555－－ － －11112222))))＝＝ ＝ ＝((((－－ － －22221111,,,,3333))))，， ， ，得得 得 得 ||||OOOOAAAA||||＝＝ ＝ ＝ 111166662222＋＋ ＋ ＋111122222222＝＝ ＝ ＝22220000，， ， ， ||||AAAABBBB||||＝＝ ＝ ＝ －－ － －222211112222＋＋ ＋ ＋33332222＝＝ ＝ ＝11115555 2222....
y A(x1,y1)
B(x2,y2)
a
bj
oi x
b 设两个非零向量 a =(x1,y1), =(x2,y2),则
aaaaaaaa==bb==bb====xx======xx11==xxxx11iixx((xx11i11i(x(x++11xxxx11x+x+xx1xx12222yy11ii2222yyiiii++11++ii22++11++j2j2++yy,,jjyy+y+,y,yy1111xx1yy111xjjxyy11j))j221yy1))22yybb22((bb2(2x(xii==xxii22==22jjiixxjjii++xx++22++++22iixxyyiixxy++y2222++2y2y22jjyyyyj))11jyy)212)1ii22iijj,,jjjj,,jj++++yyyy111yy1yy2222jjjj2222
平面向量数量积的坐标表示课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
【学习目标】
1.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.
2.能用坐标表示平面向量垂直的条件,会处理有关长度、角度和
垂直等问题.
课前预习
知识点一 平面向量数量积的坐标表示
x1 x2 + y1 y2
已知向量 = (x1 , y1 ), = (x2 , y2 ),则 ⋅ =____________,即两个向
（1）若两个非零向量的夹角θ 满足cos θ < 0,则两向量的夹角θ 一
定是钝角.( × )
（2）已知两个非零向量 = (x1 , y1 )， = (x2 , y2 )，若
x1 y2 − x2 y1 = 0，则向量与的夹角为0∘ .( × )
课中探究
探究点一 向量数量积的坐标运算
例1（1） 设 = (1,2)， = (3, −4)， = (3,2)，则( + 2) ⋅ =
它们对应坐标的乘积的和
量的数量积等于________________________.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
已知 = (−3,4), = (5,2),则 ⋅ = −7.( √ )
课前预习
知识点二 向量模的坐标表示
x2 + y2
x2 + y2
1.若 = (x, y),则||2 =________,||
⋅
求出cos θ
||||
.
（2）若题目条件涉及向量的坐标，则利用公式cos θ =
x1 x2 +y1 y2
x21 +y21 x22 +y22
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
【学习目标】
1.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.
2.能用坐标表示平面向量垂直的条件,会处理有关长度、角度和
垂直等问题.
课前预习
知识点一 平面向量数量积的坐标表示
x1 x2 + y1 y2
已知向量 = (x1 , y1 ), = (x2 , y2 ),则 ⋅ =____________,即两个向
（1）若两个非零向量的夹角θ 满足cos θ < 0,则两向量的夹角θ 一
定是钝角.( × )
（2）已知两个非零向量 = (x1 , y1 )， = (x2 , y2 )，若
x1 y2 − x2 y1 = 0，则向量与的夹角为0∘ .( × )
课中探究
探究点一 向量数量积的坐标运算
例1（1） 设 = (1,2)， = (3, −4)， = (3,2)，则( + 2) ⋅ =
它们对应坐标的乘积的和
量的数量积等于________________________.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
已知 = (−3,4), = (5,2),则 ⋅ = −7.( √ )
课前预习
知识点二 向量模的坐标表示
x2 + y2
x2 + y2
1.若 = (x, y),则||2 =________,||
⋅
求出cos θ
||||
.
（2）若题目条件涉及向量的坐标，则利用公式cos θ =
x1 x2 +y1 y2
x21 +y21 x22 +y22
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解： 1 a b 4 (1) 3 2 2 ， （）
| a | 42 32 5 , | b | 12 22 5 ,
ab 2 2 5 . cos | a || b | 5 5 25
例2. 已知向量 a (4 , 3) , b (1 , 2) . （）求a 与 b 的夹角 ； 1 （）若a b 与 2a b 垂直， 的值. 2 求
ab （3）cos | a || b |
| a |2 或 | a | a a (a a 可简写成a 2 ) 特别地 a a
（4）|a · ≤| a | · b | . b| |
4.数量积的运算律：
a b | a || b | cos
已知向量 、 、 和实数 ， a b c 则
a b x1 x2 y1 y2
性质：
a b x1 x2 y1 y2
2
x 2 y 2 或|a |= （1）设a =（x，y），则 | a |
x2 y2 .
B 若设 A x1 , y1 、 x2 , y2 则 AB
即平面内两点间的距离公式．
x2 x1 2 y2 y1 2
O
i i
x
例题讲解
例1．设a (5,7)， (6,4)，求 (1) a b ; (2) | a b | . b
解： (1) a b 5 (6) (7) (4)
30 28 2.
(2) a b (5 ,7) (6 , 4) (11 ,3)
(3) 若 a b 与 2a b 平行，求 λ 的值 .
解： 2 a b (4 , 3 2 ) , 2a b (7 , 8) , （）
且 (a b) (2a b)，
7(4 ) 8(3 2 ) 0 52 . 9 (3) (a b)//(2a b) ， 8(4 ) 7(3 2 ) 0
| BC | ( 4) 2 ( 1) 2 17 , | AB || BC |
ABC 是等腰直角三角形 .
例4. 已知 a (2 , 1) , b (λ , 1) , 它们的夹角为θ，
问：λ为何值时，θ为直角？锐角？钝角？ 解： a (2 , 1) , b (λ , 1) ,
2.4.2
平面向量
数量积的坐标表示、模、夹角
1.平面向量的数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a · ，即 b
a b | a || b | cos
a 2.数量积的几何意义： b等于 a 的长度 | a | 与
1. 2
例3. 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
C(-2,5)
y
证明 : AB (2 1,3 2) (1,1)
AC (2 1,5 2) (3,3)
AB AC 1 (3) 1 3 0
OD (1 , 1 ) , OE ( 1 , 1) 2 2
D
O
1 1 2 4 5 5 2
A
x
故
1 1 2 cosDOE OD OE 5 | OD || OE | 2
巩固练习
（1）已知 a =（4，3），向量 b 是垂直于 a 的单位向量，求 b .
（2）已知a 10, b (1,2)，且a // b，求a的坐标.
1 2λ 1 0 且 2 1 λ( 1) 0 .
cos | a θ 为钝角 a b 0 且 a b 1 || b |
2λ 1 0 且 2 1 λ( 1) 0
2
1 且 2. 2
例5. 已知 △ABC，A(2，-1)、B(3，2)、C(-3，-1)，BC边上的高为 AD，求 D点及AD的坐标. 解： 设 D(x，y)， 则由已知得
A
AD ( x 2 ，y 1)， (6 ， 3)， BC AD BC ， AD BC 0 ， 6( x 2) 3( y 1) 0 ， B ① 即 2x y 3 .
3 （3）已知a (3,0), b (k ,5)，且a与b的夹角为 ， 4 求k的值. 3 4 3 4 答案：（ ） ( , )或b ( , ). 1b 5 5 5 5 （2）（ 2， 2）或（ 2， 2 2）；（3）k 5. 2
| a | ( 2) 2 ( 1) 2 5 , a b 2λ 1 , 2 cos a b | b | 1 , | a || b | 为直角 a b 0 2λ 1 0 1 . 2
cos | 1 θ 为锐角 a b 0 且 a b a || b |
| a b | 112 ( 3) 2 130.
例2. 已知向量 a (4 , 3) , b (1 , 2) . （）求 a 与 b 的夹角 的余弦； 1 （）若a b 与 2a b 垂直， 的值. 2 求
(3) 若 a b 与 2a b 平行，求 λ 的值 .
B(x2,y2)
y
A(x1,y1)
a
j
b
a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j )
x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j
2 2
O
i i
x
x1 x2 y1 y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即
在
b
a
的方向上的投影| b | cos 的乘积。
B
b
| b | cos B1
a
A
O
3.由数量积的定义，可得以下重要性质:
a b | a || b | cos
设a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角， 则 b （1）a⊥b a · = 0 （2）当a 与b 同向时， · = | a | | b |， a b a b 当a 与b 反向时， · =－| a | | b |，
B(2,3) A(1,2)
AB ACx0ຫໍສະໝຸດ 三角形 ABC是直角三角形 .
变式： 已知 A(－1, 2), B(3, 1), C(2, －3) 判断ABC的形状. 证明： AB (3 1 ， 2) (4 ， 1) , 1
AC (2 1 ， 3 2) (3， 5) , BC (2 3 ， 3 1) ( 1 ， 4) , AB BC 4 ( 1) (1) (4) 0. AB AC . | AB | 4 2 ( 1) 2 17 , 又
⑴交换律： a b b a
⑵对数乘的结合律：(a) b (a b) a (b)
⑶分配律：(a b) c a c b c
已知两个非零向量 a=(x1 ，y1) ，b=(x2 ，y2) ，
怎样用 a 和 b 的坐标表示 a · 呢？ b 单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，则 0 1 ① i i _____ ② i j ______ 0 1 ③ j i ______ ④ j j _____
3( x 3) 6( y 2) 0 ，
即 x 2 y 1 . 联立 ① ②解得： x ②
D
C
BD y 又 BD // BC ， ( x 3 ， 2)，BC (6 ， 3)，
y 1 . D(1，1)， (1，2) . AD
例6. 已知正方形 OABC 的边长为 1 ，点D 、 分别为 AB 、 E BC y 的中点，求 DOE 的余弦值． E B C 解： OA 和 OC 所在直线为坐标轴建立 以 直角坐标系， 如图所示. 则由已知条件，可得
（2）向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐 标表示式.
x1 x2 y1 y2 ab cos 2 2 x12 y12 x2 y2 | a || b |
y
A(x1,y1) B(x2,y2)
a
j
a b a b 0 x1 x2 y1 y2 0
b
a // b x1 y2 x2 y1 0
| a | 42 32 5 , | b | 12 22 5 ,
ab 2 2 5 . cos | a || b | 5 5 25
例2. 已知向量 a (4 , 3) , b (1 , 2) . （）求a 与 b 的夹角 ； 1 （）若a b 与 2a b 垂直， 的值. 2 求
ab （3）cos | a || b |
| a |2 或 | a | a a (a a 可简写成a 2 ) 特别地 a a
（4）|a · ≤| a | · b | . b| |
4.数量积的运算律：
a b | a || b | cos
已知向量 、 、 和实数 ， a b c 则
a b x1 x2 y1 y2
性质：
a b x1 x2 y1 y2
2
x 2 y 2 或|a |= （1）设a =（x，y），则 | a |
x2 y2 .
B 若设 A x1 , y1 、 x2 , y2 则 AB
即平面内两点间的距离公式．
x2 x1 2 y2 y1 2
O
i i
x
例题讲解
例1．设a (5,7)， (6,4)，求 (1) a b ; (2) | a b | . b
解： (1) a b 5 (6) (7) (4)
30 28 2.
(2) a b (5 ,7) (6 , 4) (11 ,3)
(3) 若 a b 与 2a b 平行，求 λ 的值 .
解： 2 a b (4 , 3 2 ) , 2a b (7 , 8) , （）
且 (a b) (2a b)，
7(4 ) 8(3 2 ) 0 52 . 9 (3) (a b)//(2a b) ， 8(4 ) 7(3 2 ) 0
| BC | ( 4) 2 ( 1) 2 17 , | AB || BC |
ABC 是等腰直角三角形 .
例4. 已知 a (2 , 1) , b (λ , 1) , 它们的夹角为θ，
问：λ为何值时，θ为直角？锐角？钝角？ 解： a (2 , 1) , b (λ , 1) ,
2.4.2
平面向量
数量积的坐标表示、模、夹角
1.平面向量的数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a · ，即 b
a b | a || b | cos
a 2.数量积的几何意义： b等于 a 的长度 | a | 与
1. 2
例3. 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
C(-2,5)
y
证明 : AB (2 1,3 2) (1,1)
AC (2 1,5 2) (3,3)
AB AC 1 (3) 1 3 0
OD (1 , 1 ) , OE ( 1 , 1) 2 2
D
O
1 1 2 4 5 5 2
A
x
故
1 1 2 cosDOE OD OE 5 | OD || OE | 2
巩固练习
（1）已知 a =（4，3），向量 b 是垂直于 a 的单位向量，求 b .
（2）已知a 10, b (1,2)，且a // b，求a的坐标.
1 2λ 1 0 且 2 1 λ( 1) 0 .
cos | a θ 为钝角 a b 0 且 a b 1 || b |
2λ 1 0 且 2 1 λ( 1) 0
2
1 且 2. 2
例5. 已知 △ABC，A(2，-1)、B(3，2)、C(-3，-1)，BC边上的高为 AD，求 D点及AD的坐标. 解： 设 D(x，y)， 则由已知得
A
AD ( x 2 ，y 1)， (6 ， 3)， BC AD BC ， AD BC 0 ， 6( x 2) 3( y 1) 0 ， B ① 即 2x y 3 .
3 （3）已知a (3,0), b (k ,5)，且a与b的夹角为 ， 4 求k的值. 3 4 3 4 答案：（ ） ( , )或b ( , ). 1b 5 5 5 5 （2）（ 2， 2）或（ 2， 2 2）；（3）k 5. 2
| a | ( 2) 2 ( 1) 2 5 , a b 2λ 1 , 2 cos a b | b | 1 , | a || b | 为直角 a b 0 2λ 1 0 1 . 2
cos | 1 θ 为锐角 a b 0 且 a b a || b |
| a b | 112 ( 3) 2 130.
例2. 已知向量 a (4 , 3) , b (1 , 2) . （）求 a 与 b 的夹角 的余弦； 1 （）若a b 与 2a b 垂直， 的值. 2 求
(3) 若 a b 与 2a b 平行，求 λ 的值 .
B(x2,y2)
y
A(x1,y1)
a
j
b
a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j )
x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j
2 2
O
i i
x
x1 x2 y1 y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即
在
b
a
的方向上的投影| b | cos 的乘积。
B
b
| b | cos B1
a
A
O
3.由数量积的定义，可得以下重要性质:
a b | a || b | cos
设a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角， 则 b （1）a⊥b a · = 0 （2）当a 与b 同向时， · = | a | | b |， a b a b 当a 与b 反向时， · =－| a | | b |，
B(2,3) A(1,2)
AB ACx0ຫໍສະໝຸດ 三角形 ABC是直角三角形 .
变式： 已知 A(－1, 2), B(3, 1), C(2, －3) 判断ABC的形状. 证明： AB (3 1 ， 2) (4 ， 1) , 1
AC (2 1 ， 3 2) (3， 5) , BC (2 3 ， 3 1) ( 1 ， 4) , AB BC 4 ( 1) (1) (4) 0. AB AC . | AB | 4 2 ( 1) 2 17 , 又
⑴交换律： a b b a
⑵对数乘的结合律：(a) b (a b) a (b)
⑶分配律：(a b) c a c b c
已知两个非零向量 a=(x1 ，y1) ，b=(x2 ，y2) ，
怎样用 a 和 b 的坐标表示 a · 呢？ b 单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，则 0 1 ① i i _____ ② i j ______ 0 1 ③ j i ______ ④ j j _____
3( x 3) 6( y 2) 0 ，
即 x 2 y 1 . 联立 ① ②解得： x ②
D
C
BD y 又 BD // BC ， ( x 3 ， 2)，BC (6 ， 3)，
y 1 . D(1，1)， (1，2) . AD
例6. 已知正方形 OABC 的边长为 1 ，点D 、 分别为 AB 、 E BC y 的中点，求 DOE 的余弦值． E B C 解： OA 和 OC 所在直线为坐标轴建立 以 直角坐标系， 如图所示. 则由已知条件，可得
（2）向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐 标表示式.
x1 x2 y1 y2 ab cos 2 2 x12 y12 x2 y2 | a || b |
y
A(x1,y1) B(x2,y2)
a
j
a b a b 0 x1 x2 y1 y2 0
b
a // b x1 y2 x2 y1 0