第10讲 数据的统计分析与描述

L ( 1 , , k )
称为似然函数.
i 的估计值
i 1
. 此估计值叫极大似然估计值 . 函数 的最大值的问题，则
求极大似然估计值的问题，就是求似然函数
L ( 1 , , k )
即
L 0 i 1,2, , k i LnL 0 i 1,2, , k i
1 n k 4. k 阶原点矩：Vk n X i i 1
1 n k U ( X X ) i k 阶中心矩： k n i 1
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二、分布函数的近似求法
得
1、整理资料： 把样本值 x1，x2，„，xn 进行分组，先将它们依大小次序排列，
* * * * * x1 x2 xn [ x1 , xn ] 的区间[a，b]内插入一些等分点： .在包含 ' ' a x1' x 2 xn b, 注意要使每一个区间 ( xi' , xi' 1 ] （i=1，2，„，n-1）
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假设检验的一般步骤是：
1．根据实际问题提出原假设 H0 与备择假设 H1，即说明需要检验 的假设的具体内容； 2．选择适当的统计量，并在原假设 H0 成立的条件下确定该统计量 的分布； ，并根据统计量 3．按问题的具体要求，选取适当的显著性水平 的分布查表，确定对应于 的临界值.一般 取 0.05,0.01 或 0.10 4．根据样本观测值计算统计量的观测值，并与临界值进行比较，从 而在检验水平 条件下对拒绝或接受原假设 H0 作出判断.
i 为总体 X 参数

的点估计量 .
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一、点估计的求法
(一）矩估计法
假设总体分布中共含有 k 个参数，它们往往是一些原 点矩或一些原点矩的函数，例如，数学期望是一阶原点矩， 方差是二阶原点矩与一阶原点矩平方之差等.因此，要想估计 i （i=1，2，„k） 总体的某些参数 ，由于 k 个参数一定可以 表为不超过 k 阶原点矩的函数，很自然就会想到用样本的 r 阶原点矩去估计总体相应的 r 阶原点矩，用样本的一些原点 矩的函数去估计总体的相应的一些原点矩的函数，再将 k 个 参数反解出来，从而求出各个参数的估计值.这就是矩估计法， 它是最简单的一种参数估计法.
极大似然法的想法是: 若抽样的结果得到样本观测值 x1,x2,„,xn, 则我们应当这样选取参数 i 的 值 , 使 这 组 样 本 观 测 值 出 现 的 可 能 性 最 大 . 即 构 造 似 然 函 数 ：

ˆ
n
p ( x i , 1 , k )
i 使 L ( 1 , , k ) 达到最大，从而得到参数
7
2、 分布 （n） 若随机变量 X1，X2，„ Xn 相互独 立，都服从标准正态分布 N（0，1） ，则随机 变量
2 2 2 2 服从自由度为 n 的 分布，记为 Y~ （n）.
2 2 2 X X X 1 2 n Y=
Y 的均值为 n，方差为 2n.
0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0
0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -6
-4
-2
0
2
4
6
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4.
F 分布 F（n1 ，n2 ） 2 2 若 X~ （n1 ） ，Y~ （n2 ） ，且相互独立，则随机变量
X n1 F Y n2
服从自由度为（n1 ，n2 ）的 F 分布，记作 F~ F（n1 ，n2 ）. 由 F 分布的定义可以得到 F 分布 的一个重要性质：
s
统计量 t
X m0 s n
n
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
在显著水平

下拒绝 H0，若
m m0
m m0
m m0 m m0 m m0
z u
1

2
t t
1

2
( n 1)
z u1 z u1
t t1 ( n 1) t t1 ( n 1)
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i ( 1. 点估计：构造（X1，X2，„，Xn）的函数
作为参数
ˆ
i
i1 ( i2 ( 2. 区间估计：构造两个函数 X1，X2，„，Xn）和 X1，X2，„， i1 , i 2 i
Xn）做成区间，把这 （ ）作为参数 的区间估计 .
i 的点估计量，称统计量
ˆ
X1，X2，„，Xn）
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1、总体方差s 已知
2
用 u 检验，检验的拒绝域为
W {z u
1

}
2
即 W {z u
2．总体方差s 未知
用样本方差s 代替总体方差s
2
2 2
1

2
或z u
1

2
}
，这种检验叫 t 检验 .
总体方差s 未知
2
总体方差s 已知
2
H0
H1
统计量 z=
X m0
内都有样本观测值 xi （i=1，2，„，n-1）落入其中.
( xi , xi 1 ] 中出 2、求出各组的频数和频率：统计出样本观测值在每个区间
现的次数ni ，它就是这区间或这组的频数.计算频率 f i
' '
'
'
ni . n
'
x1 , x 2 , , x n 各点，分别以 3、作频率直方图：在直角坐标系的横轴上，标出 ( xi' , xi' 1 ] 为底边，作高为
我们总是需要去估计某些未知参数或数字特征，这就是参数估计问题
ˆ( 参数估计就是从样本 （X1，X2，„，Xn）出发，构造一些统计量 i
.即 X1 ，
X2，„，Xn） （i=1 ，2，„，k）去估计总体 X 中的某些参数 （或数字特 征） i （i=1 ，2，„，k）.这样的统计量称为 估计量.
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(二）极大似然估计法
L ( 1 , 2 , , k ) P ( X 1 x1 , X 2 x 2 , , X n x n ) P ( X 1 x1 ) P ( X 2 x 2 ) P ( X n x n )
p ( x1 , 1 , k ) p ( x 2 , 1 , , k ) p ( x n , 1 , k )
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
1 若 F~ F（n1 ，n2 ） ，则 ~ F ( n 2 , n1 ) F
F分布F（10，50）的密度函数曲线
0.1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
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返回
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1 , 2 , , k ）的类型已知或未知， 无论总体 X 的分布函数 F（x；
H0 H1
m 均值 未知 统计量
2

2
1
2 s0
(X
i 1
n
2 i
m)

2
1
2 s0
(X
i 1
n
2 i
X )2
在显著水平
2 s 2 s0

下拒绝 H0，若
2 2 ( n 1) 或 2 2 1
s
1

2
n
1
,X u
s
s
1

2
n

2
].
s n ].
下的置信区间为 [ X t EX 在置信水平 1-
2． 未知方差DX，求EX的置信区间

2
n
,X t
1
（二）方差的区间估计
2 2 ( n 1 ) s ( n 1 ) s 下的置信区间为[ , ]. DX 在置信水平 12 2

1


2
2
返回
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对总体X的分布律或分布参数作某种假设，根据 抽取的样本观察值，运用数理统计的分析方法，检 验这种假设是否正确，从而决定接受假设或拒绝假 设. 1.参数检验：如果观测的分布函数类型已知，这时构造出的 统计量依赖于总体的分布函数，这种检验称为参数检验. 参数检验的目的往往是对总体的参数及其有关性质作出明 确的判断. 2.非参数检验：如果所检验的假设并非是对某个参数作出明 确的判断，因而必须要求构造出的检验统计量的分布函数 不依赖于观测值的分布函数类型，这种检验叫非参数检验. 如要求判断总体分布类型的检验就是非参数检验.
数学建模与数学实验
数据的统计描述和分析
后勤工程学院数学教研室
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实验目的
1、直观了解统计基本内容。
2、掌握用数学软件包求解统计问题。
实验内容
1、统计的基本理论。 2、用数学软件包求解统计问题。
3、实验作业。
数 据 的 统 计 描 述 和 分 析
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统计的基本概念
参数估计
0
5
10
15
20
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3、 t 分布 t（n） 若 X~N （0 ， 1 ） ，Y~ （ n ） ，且 Y n
服从自由度为 n 的 t 分布，记为 T~t（n）. t 分布 t（20）的密度函数曲线和 N（0，1）的 曲线形状相似.理论上 n 时，T~t（n） N（0，1）.
m m0
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（二）单个正态总体方差检验
2 设 X1，X2，„，Xn 是来自正态总体 N ( m , s ) 的样本，欲检验假设：