幻方的构造
幻方定义和规律
幻方定义和规律幻方，作为一种具有神秘色彩的数学游戏，一直以来都吸引着人们的注意。
它的定义和规律引发了许多学者的思考和研究。
在这篇文章中，我们将深入探讨幻方的定义和规律，揭示其中的奥秘。
我们需要了解什么是幻方。
幻方是由一组整数构成的方阵，其中每一行、每一列和对角线上的数字之和都相等。
也就是说，幻方是一个特殊的方阵，在数值上呈现出一种平衡和对称的特性。
幻方的规律是如何产生的呢？首先，我们需要明确一个概念——幻方的阶数。
幻方的阶数表示方阵的行数和列数，通常用n表示。
根据幻方的定义，我们知道每一行、每一列和对角线上的数字之和都相等，所以我们可以推断出幻方的和是多少，即n乘以每个数的平均值。
以3阶幻方为例，我们可以通过数学推导得到。
假设幻方的和为S，根据定义，每一行、每一列和对角线上的数字之和都等于S。
那么，我们可以得到以下等式：3S = n * (n^2 + 1) / 2。
通过解方程，我们可以求解出S的值。
幻方的规律还表现在数字的排列上。
对于奇阶幻方来说，数字的排列是相对简单的，可以利用一种叫做"奇序法"的方法来构造。
奇序法的基本思想是，将数字按照一定的规则填充到方阵中。
具体的规则是，从第一行的中间列开始，依次填充数字，每次向右上方移动一格。
当超出方阵边界时，需要按照特定的规则进行处理。
通过这种方法，我们可以构造出任意奇阶幻方。
对于偶阶幻方来说，数字的排列就更加复杂了。
由于偶数无法平分为两个相等的整数，所以无法使用奇序法来构造。
但是，通过一些特殊的技巧和方法，我们仍然可以构造出偶阶幻方。
其中最著名的就是四阶幻方，也被称为"洛伊斯四阶幻方"。
洛伊斯四阶幻方是由德国数学家洛伊斯于1848年发现的，它的构造方法相当巧妙。
除了基本的规律之外，幻方还有一些更加深奥的特性。
例如，幻方的对角线之和等于方阵中所有数字之和的一半。
这是一种非常有趣的性质，也是幻方研究中的一个重要发现。
幻方的构造方法
幻方的构造方法
幻方的构造方法有很多，如连摆法、德洛涅法、巴舍法、拉丁方阵法、西洛克斯法、杨辉法、卞和法、加尔贝格法、马凯法、常用法等。
连摆法：从幻方最上行中央起，填1，以后每一步都填右上格。
若超出上格线，则移至该列最下格；若超出最右线，则移至该行最左格；若超出顶角，或右上已填数（重叠），则回到原数的下格。
填毕所有空格，即得所求幻方。
德洛涅法：先画出由1至n^2的n×n方格阵，再将1放在第一行的中间一列，从此按以下规则构造幻方：每一个数放在它上一数的右上方，若该位置已有数，则将该数放到它下一数的左方，如此继续下去，直到填满整个方格阵为止。
幻方知识点总结
幻方知识点总结一、幻方的定义。
幻方是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、每列和对角线上的数字之和都相等的数学结构。
例如，一个简单的三阶幻方（3×3的方格）：begin{array}{ccc}hline8 1 6 hline3 5 7 hline4 9 2 hlineend{array}这里每行、每列和两条对角线上的数字之和都是15。
二、幻方的阶数。
1. 阶数的概念。
- 幻方的阶数是指幻方的行数（或列数），用n表示。
常见的有三阶幻方（n = 3）、四阶幻方（n=4）等。
2. 不同阶数幻方的特点。
- 三阶幻方。
- 是最基本、最常见的幻方。
它的数字组合相对固定，中心数字具有特殊性质。
在三阶幻方中，中心数字是这9个数字的平均数。
例如在上面的三阶幻方中，数字是1 - 9，它们的平均数是5，正好是中心数字。
- 四阶幻方。
- 构造相对复杂一些。
四阶幻方的幻和（每行、每列、对角线数字之和）计算为：(1 + 2+3+·s+16)÷4=(16×(16 + 1)÷2)÷4= 34。
三、幻方的构造方法。
1. 奇数阶幻方（以三阶幻方为例）——罗伯法。
- 把1（或最小的数）放在第一行正中。
- 按以下规律排列剩下的数：- 每一个数放在前一个数的右上一格。
- 如果这个数所要放的格已经超出了最顶行，那么就把它放在底行，仍然要放在右一列。
- 如果这个数所要放的格已经超出了最右列，那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行。
- 如果这个数所要放的格已经填好了其他的数，或者同时超出了顶行和右列，那么就把这个数放在前一个数的下一行同一列的格内。
2. 偶数阶幻方（以四阶幻方为例）——对称交换法。
- 先将1 - 16按顺序填入4×4的方格中。
- 然后将对角线上的数字（从左上角到右下角和从右上角到左下角）进行对称交换。
例如，交换1和16，4和13，6和11，7和10，就可以得到一个四阶幻方。
构造幻方
构造幻方所谓幻方，也教纵横图，就是在n×n的方阵中放入1到n2个自然数：在一定的布局下，其各行、各列和两条对角线上的数字之和正好都相等。
这个和数就叫做“幻方常数”或幻和。
幻方分为奇数阶幻方、偶数阶幻方（单偶阶幻方、双偶阶幻方），下面就这三类幻方的构造分别示范。
奇数阶幻方的经典方法－罗伯奇数阶幻方，也就是3阶、5阶、7阶……幻方，那么如何构造这样的幻方呢？我们可以采取罗伯法（也叫连续摆数法），其法则如下：把“1”放在中间一列最上边的方格中，从它开始，按对角线方向（比如说按从左下到右上的方向）顺次把由小到大的各数放入各方格中，如果碰到顶，则折向底，如果到达右侧，则转向左侧，如果进行中轮到的方格中已有数或到达右上角，则退至前一格的下方。
按照这一法则建立5阶幻方的示例如下图：罗伯法（连续摆数法）的助记口诀：1居上行正中央，依次斜填切莫忘。
上出框界往下写，右出框时左边放。
重复便在下格填，角上出格一个样。
1居上行正中央——数字1放在首行最中间的格子中依次斜填切莫忘——向右上角斜行，依次填入数字上出框界往下写——如果右上方向出了上边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字竖直降落至底行对应的格子中右出框时左边放——同上，向右出了边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字平移至最左列对应的格子中重复便在下格填——如果数字｛N｝右上的格子已被其它数字占领，就将｛N ＋1｝填写在｛N｝下面的格子中角上出格一个样——如果朝右上角出界，和“重复”的情况做同样处理。
偶数阶幻方的一种制作方法——双偶阶、单偶阶幻方1.双偶阶幻方（中心对称交换法）n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……)(n=4k，k=1，2，3，4，5……)先说明一个定义。
互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n×n+1，称为互补。
先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：这个方阵的对角线，已经用颜色标出。
幻方的原理和应用
幻方的原理和应用什么是幻方？幻方是一种特殊的方阵，它的特点是每一行、每一列以及对角线上的数字之和都相等。
幻方最早出现在中国古代数学书籍《周髀算经》中，被称为“洛书”。
幻方按照数字的奇偶性可以分为奇阶幻方和偶阶幻方。
奇阶幻方的阶数为奇数，偶阶幻方的阶数为偶数。
奇阶幻方更为常见，因为奇阶幻方的构造方法更为简单。
下面将分别介绍奇阶幻方和偶阶幻方的构造方法。
奇阶幻方的构造方法奇阶幻方的构造方法有多种，其中最著名的是三阶幻方的构造方法，即“阳线法”。
阳线法的步骤如下：1.将1放在第一行的中间位置；2.下一个数字（2）放在上一个数字（1）的右上方；3.若右上方已有数字，将下一个数字放在上一个数字的正下方；4.若已到达了第一行，将下一个数字放在最后一行的下一列；5.若已到达了最后一列，将下一个数字放在前一列的同一行；6.重复上述步骤，直到填满整个方阵。
三阶幻方的构造方法比较简单，而对于更高阶的奇阶幻方，可以通过一些变形和旋转的方法得到。
偶阶幻方的构造方法与奇阶幻方相比，偶阶幻方的构造方法更加复杂。
最常见的偶阶幻方是四阶幻方，也被称为“Dürer方阵”。
下面介绍四阶幻方的构造方法：1.将1放在第一行的中间位置；2.下一个数字（2）放在上一个数字的正右上方；3.若右上方已有数字，将下一个数字放在上一个数字的正下方；4.若已到达了第一行，将下一个数字放在第四行的下一列；5.若已到达了第四列，将下一个数字放在前一列的第一行；6.若已到达了第一行且第四列，将下一个数字放在前一列的第四行。
其他偶阶幻方的构造方法与四阶幻方类似，采用类似的规则和变形即可获得。
幻方的应用幻方不仅仅是一种有趣的数学结构，还有一些实际应用。
以下是一些幻方应用的例子：1.密码学：幻方可以用作加密和解密的基础。
通过将明文编码为幻方中的数字，可以实现简单的加密算法。
2.游戏设计：幻方可以用作游戏中的谜题或迷宫的基础。
在游戏中，玩家可能需要解决幻方中的数字组合，以获得进一步的线索或通向下一关卡。
幻方_??????
幻方1.概念简析：幻方：是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样.2.构造幻方常用的方法：（1）适用于所有奇数阶幻方的填法—罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．（2）仅适用于三阶幻方—九宫格口诀.口诀是：九宫者，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。
（3）适用于所有偶数阶幻方的填法—对称交换的方法1.将数依次填入方格中，对角线满足要求。
2.调整行，对角线数不动，对称行的其它数对调；调整列，对角线数不动，对称列的其它数对调。
3.三阶幻方的性质：1.幻和相等，幻和等于9个数的和除以3.2.中间数必位于幻方中心，中间数等于幻和除以3.3.黄金三角: 黄金三角顶点的数为两腰之和除以2.视频描述把0、2、4、6、8、10、12、14、16这9个数填在下面图中的方格内，使每行、每列和每条对角线上的三个数的和都相等。
1.1.请用11、13、15、17、19、21、23、25、27编制一个三阶幻方。
注：此题答案默认为0，正确答案见解析！2.2.把7—15这九个数构成一个三阶幻方。
注：此题答案默认为0，正确答案见解析！3.3.请用1、4、7、10、13、16、19、22、25编制一个三阶幻方。
注：此题答案默认为0，正确答案见解析！视频描述将下面左边方格中的9个数填入右边方格中，使每一行、每一列、每条对角线中的三个数相加的和都相等。
1.1.将图中的数重新排列，使横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等。
注：此题答案默认为0，正确答案见解析！2.2.把３、４、５、８、９、10、13、14、15编成一个三阶幻方，并求出幻和是多少？3.3.将图中的数重新排列，使横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等。
三阶幻方的N种构造方法
三阶幻方的N种构造方法三阶幻方是一种3x3的数字方阵，其中每一行、每一列和对角线上的数字之和都相等。
以下是几种构造三阶幻方的方法：1.蛇型法：首先将数字1放在第一行的中间位置，然后按照蛇形的方式，依次填充数字2、3、4⋯、9、当数字超出边界时，从相反的边界开始填充。
这样构造出的三阶幻方如下：8163574922.阶梯法：首先将数字1放在第一行的第一列，然后依次填充数字2、3到第一列的第三行。
接下来，将数字4填充到第一行的第二列，之后将数字5、6依次填充到第二列的第一行和第三行。
最后将数字7、8、9填充到第二列的第二行、第三行和第一行，最终构造出以下三阶幻方：2769514383.方块法：将数字1填充到方阵的上方，然后从上方顺序填充数字2、3、4到右上角、右下角和左下角。
接下来，将数字5填充到剩余的位置。
构造出的三阶幻方如下：2947536184.加法法：首先将数字1填充到方阵的中间位置。
然后从中间位置开始，按照数字的递增顺序依次填充2、3、4到右上角、右下角和左下角。
最后将剩下的数字以对称的方式填充到相应的位置。
构造出的三阶幻方如下：8163574925.填充法：首先将数字1填充到方阵的上方，然后从上方顺序填充数字2、3、4到右上角、右下角和左下角。
接下来，将数字5填充到剩余的位置。
构造出的三阶幻方如下：294753618以上只是几种常见的构造三阶幻方的方法，实际上，三阶幻方的构造方法有很多种，而且可以进行旋转和翻转等操作来得到更多的构造方法。
由于幻方的特殊性质和对称性，可以通过一些数学方法进行推导和计算来构造出更多的三阶幻方。
幻方是数学中的一个有趣且古老的问题，它的研究既有实际应用价值，又具有数学美感。
人教七年级 上册一元一次方程数学沃土中长出的奇葩----幻方
数学沃土中长出的奇葩----幻方一、幻方的由来幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹治水时，有年夏天，大禹凿开了龙门，伊河在龙门南形成的湖水流入了洛河。
待湖水渐渐变浅时，从湖底浮出一个足有磨盘大的乌龟。
大禹的手下见了，忙挥剑去砍，被大禹拦住了。
大禹看这只龟对百姓也从没做过坏事，便把它放入洛河。
过了不久，有一天，整个洛阳城都被大雾笼罩，大禹率领手下到洛河岸边察看水情。
忽然，在大雾茫茫的洛河里升起了一束五彩宝光，随之，罩在空中的大雾也烟消云散。
大禹仔细一看，那宝光升起的地方，浮出一只乌龟，那宝光也正是从乌龟背上的一块玉版放出来的。
原来，当日的乌龟为报答大禹，特将此玉版献上，并称这块玉版为“洛书”。
如图1所示：“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。
把这些连在一起的圆圈用数目表示出来，得到九个数。
这九个数就组成了一个纵横图。
这个图实际上就是将1-9这九个数字写成三行三列，使每行、每列及两条对角线上三个数的和都等于15，如图2所示，这样的3×3的图我们称为三阶幻方。
由于此图共有九个数字，所以汉代的徐岳把他称为九宫算(或九宫图)。
九宫算在汉代之后又有很大的扩展，成为纵横均为ｎ行的纵横图也就是n阶幻方。
这就是幻方的由来.二、三阶幻方中的规律根据幻方成立的条件，我们知道三阶幻方具有如下规律：1、每一行，每一列，每一条对角线上的三个数的和相等，我们不妨把这个相等的和值叫做三阶幻方的幻和.2、中心数处于幻方最中间的数称为中心数，且幻和=3×中心数.3、含中心数的行，列，对角线上的三个数中，其余两个数的和是中心数的2倍.证明：设三阶幻方的幻和为S，对角线的三个数为a,b,c，其中b是中心数，根据幻方知道：a+b+c=S,S=3b,所以a+c=2b.4、和任何一个角上的数同横行，同竖列，同对角线上的其余两个数的和相等.如图3，以数a为例，则有d+e=b+c=f+g.证明：设三阶幻方的幻和为S，根据幻方知道：a+b+c=S, a+d+e=S, a+ f+g =S,所以d+e=b+c=f+g.5、和周边三数的中间数同横行，同竖列的两个数的和相等.如图3，以数b为例，则有a+c=p+f.6、任何一个角上的数都等于与这个数不在同一横行、竖列及对角线上的两个数之和的一半. 证明：设三阶幻方的幻和为S，根据幻方知道：a+b+c=S, a+f+g=S, p+ f+b =S, g+ h+c =S,所以a+b+c+a+f+g+p+f+b+g+h+c=4S，所以2（a+b+c）+2f+2g+p+h=4S，所以2S+2（S-a）+p+h=4S，即2S+2S-2a+p+h=4S,所以p+h=2a.三、三阶幻方的构造1、已知九数，构造幻方例1 用11，13，15，17，19，21，23，25，27这九个数构造一个广义的三阶幻方.分析：当已知九个数构造幻方时，关键是确定幻方的中心数，构造幻方的主要方法是-阶梯法，也就是把正方形从四周向外扩展成阶梯状，然后把数按照由小到大的顺序排列好，从最左边阶梯开始，按照从小到大的顺序依次斜置于阶梯上，后把拓展出的正方形内的数按照左右更替放置，上下更替放置的方式，把正方形外的数移到正方形内部，完成三阶幻方的构造.解：因为中心数为19，构造阶梯如图4，所以三阶幻方如图有图所示.2、已知幻和，构造幻方例2 自行选取一组数构造一个三阶幻方，使得每行，每列和每条对角线上的三个数的和都等于45.分析：根据幻和与中心数之间的关系，我们可以确定出中心数的大小，然后利用等差方式依次向前确定四个数，向后确定四个数，利用阶梯法可以完成构造.解：因为幻和为45，所以中心数为15，按照依次差5方式确定数如下：-5，0，5，10和20，25，30，35，构造阶梯法如图5所示，所以三阶幻方如图5右图所示.3、已知同横行的三数，构造幻方例3 在图6所示的广义的三阶幻方中给出了3个数，你能将其余的六个数全填上吗？分析：根据条件，我们的解题思路是：1、求幻和：S=3+4+（-1）=6；2、求中心数：6÷3=2；3、根据幻和，确定3，2所在对角线上空缺的数；4、根据幻和，确定4，2所在竖列上空缺的数 5、依次确定其余空缺的数.解：符合题意的三阶幻方如图6中的右图所示.4、已知同横行的两数，和与行有公共空角在列中的一个数，构造幻方例4 在图7所示的广义的三阶幻方中给出了3个数，你能将其余的六个数全填上吗？分析：根据条件，我们的解题思路是：1、根据规律4确定右下角中的数：4+8=2+x；2、根据规律3确定中心数：（4+x）÷2；3、根据对角线上的三数可以确定幻和；4、根据幻和，依次确定其余空缺的数.解：符合题意的三阶幻方如图7中的右图所示.5、已知同横行的两数，和与某数在一条对角线上的一个数，构造幻方例5 在图8所示的广义的三阶幻方中给出了3个数，你能将其余的六个数全填上吗？分析：根据条件，我们的解题思路是：1、根据规律4确定最右边竖列中的空缺数：2+9=10+x，x=1；2、根据规律3确定中心数：（2+10）÷2=6；3、根据对角线上的三数可以确定幻和：2+6+10=18；4、根据幻和，依次确定其余空缺的数.解：符合题意的三阶幻方如图8中的右图所示.6、已知正方形角上的一个数，和与这个数同行，同列且相邻的两个数，构造幻方例6 在图9所示的广义的三阶幻方中给出了3个数，你能将其余的六个数全填上吗？分析：根据条件，我们的解题思路是：1、根据规律6确定最右下角中的空缺数：[（-11）+(-5）]÷2=-8；2、根据规律3确定中心数：[（-6）+(-8）]÷2=-7；3、根据对角线上的三数可以确定幻和：（-6）+(-8）+（-7）=-21；4、根据幻和，依次确定其余空缺的数.解：符合题意的三阶幻方如图9中的右图所示.7、已知正方形角上的两个数，和与这个数夹行，夹列中的一个数，构造幻方例7 在图10所示的广义的三阶幻方中给出了3个数，你能将其余的六个数全填上吗？分析：分析：根据条件，我们的解题思路是：1、根据规律5确定中心数：4+8=5+x，x=7；2、根据规律3确定另一角上的数：8+x=14，x=6；3、根据对角线上的三数可以确定幻和：6+8+7=21；4、根据幻和，依次确定其余空缺的数.解：符合题意的三阶幻方如图10中的右图所示.。
幻方构造方法
幻方构造方法：（有很多种，这里只举出几种）奇数阶：n=2*m+1,m为自然数1)将数字1填在(0,(n+1)/2) ；要注意c中是从下标0开始2)从左上往右下依次填。
3)由2),列的下标出界(超过n-1)时，行加1，以n为摸的余数为应填的列数；4)由2),行的下标出界(超过n-1)时，列加1，以n为摸的余数为应填的行数；5)由2),行列都未出界，但已添上其他数，应在当前位置左横移一个位置进行填数。
然后是偶数阶：前一种：n=4*m+2, m为自然数1)将n阶方阵分为四个小魔方阵ABCD如下排列：B CD A因为n*n=4*(2*m+1)*(2*m+1),记u=n/2=2*m+1,分为1~u*u,u*u+1~2*u*u,2*u*u+1~3*u*u,3*u*u+1~4*u*u即在调用子函数的时候分别如下面传递参数:A(0),B(u*u),C(2*u*u),D(3*u*u)分别在ABCD中按照前面的填法把奇数阶填好(注意加上所传参数作为基数，每一个元素都要加上这个值)，最后做如下交换：(1)B中第0~(m-1)-1行中元素与C中相对应元素交换(2)D中第(n-1)-m+1~(n-1)共m行的每行中的元素与A中相对应元素交换(3)交换D:(u+m,m)与A中对应元素(矩阵中心值)(4)交换D:(n-1,m)与A中对应元素(实际为矩阵最大值n*n)所谓对应位置，指相对于小魔方阵的左顶角的相对的行列位置上面的这些你可以用数学进行证明，利用魔方阵常数(注意n阶的和u阶的关系)后一种：n=4*m,m为自然数因为行列都是4的倍数，因而可以将整个矩阵分为每4*4的小矩阵。
先判断一个数是否在划为4*4小矩阵的对角线上，如果在，则填该位置的数为n*n-i+1(i为该元素的相对位置，从1开始，比如n阶的第s行第t个元素则其i=s*n+t)如果不在，则填上i。
参考资料：/archives/structure/2ae241192e129bc795deb5a721562f3d.php五阶幻方简便算法悬赏分：10 - 解决时间：2008-10-8 19:08五阶幻方简便算法提问者：狐老大- 试用期一级最佳答案五阶幻方10 11 17 23 `422 `3 `9 15 1614 20 21 `2 `81` 7` 13 19 259 `3 22 16 1521 20 14 `8 `213 `7 `1 25 195 `24 18 12 `617 11 10 `4 2317 24 `1 8 1523 `5 `7 14 16`4 `6 13 20 2210 12 19 21 `311 18 25 `2 `9下面这些构造方法都是比较适合于编程的。
幻方
法 三
3 4 5 6 7 8 9 10 11
6 3 4 9 7 5 10 11 8
6 11 4 5 7 9 10 3 8
2、四阶幻方 杨辉在《续古摘奇算经》上卷 （1275）记载“易幻术”曰：“十六子 依次递作四行排列。先以外四角对换： 一换十六，四换十三；后以内四角对换： 六换十一，七换十。横直斜角，皆三十 四数。”
三 、 美 丽 的 幻 方
这幅九阶完美幻圆由1至81自然数列填 成，具有如下组合性质： （1）九条圆半径上各九数之和等于369； （2）九个圆周上各九数之和等于369； （3）九条左旋螺线上各九数之和等于369 ； 它是一个全等组合,即“半径=圆环=螺 线”，因此是一个最优化组合幻圆，堪为 一件稀世珍宝。
1 4 2
7
8
5
6 9
3
4 9 2 3 5 7 8 1 6
试试看，你准行！ 请把3至11这九个连续整数填 入三阶幻方，使每行、每列、每 条对角线上各数的和相等。 3
6 9 10 11 7 8 4 5
法 一
6 11 4 5 7 9 10 3 8
4 9 2 3 5 7 8 1 6
法 二
6 11 4 5 7 9 10 3 8
耆那幻方是在印度哈周拉合市的 耆那教寺庙门前一块石牌上刻的，是 12－13世纪的产物。它的任何2×2的 方块内的4个数字和也是34。这个幻 方是一个泛对角幻方（完美幻方）。
7 2 16 9
12 13 3 6
1 8 10 15
14 11 5 4
五、思考题：
在4×4格中，每行、每列、对 角线各四个数的和都相等，其中 a+b=2000，c+d=2001，这十六个数 的和是____。
人教初中数学七年级 上册一元一次方程数学沃土中长出的奇葩----幻方
数学沃土中长出的奇葩----幻方一、幻方的由来幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹治水时，有年夏天，大禹凿开了龙门，伊河在龙门南形成的湖水流入了洛河。
待湖水渐渐变浅时，从湖底浮出一个足有磨盘大的乌龟。
大禹的手下见了，忙挥剑去砍，被大禹拦住了。
大禹看这只龟对百姓也从没做过坏事，便把它放入洛河。
过了不久，有一天，整个洛阳城都被大雾笼罩，大禹率领手下到洛河岸边察看水情。
忽然，在大雾茫茫的洛河里升起了一束五彩宝光，随之，罩在空中的大雾也烟消云散。
大禹仔细一看，那宝光升起的地方，浮出一只乌龟，那宝光也正是从乌龟背上的一块玉版放出来的。
原来，当日的乌龟为报答大禹，特将此玉版献上，并称这块玉版为“洛书”。
如图1所示：“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。
把这些连在一起的圆圈用数目表示出来，得到九个数。
这九个数就组成了一个纵横图。
这个图实际上就是将1-9这九个数字写成三行三列，使每行、每列及两条对角线上三个数的和都等于15，如图2所示，这样的3×3的图我们称为三阶幻方。
由于此图共有九个数字，所以汉代的徐岳把他称为九宫算(或九宫图)。
九宫算在汉代之后又有很大的扩展，成为纵横均为ｎ行的纵横图也就是n阶幻方。
这就是幻方的由来.二、三阶幻方中的规律根据幻方成立的条件，我们知道三阶幻方具有如下规律：1、每一行，每一列，每一条对角线上的三个数的和相等，我们不妨把这个相等的和值叫做三阶幻方的幻和.2、中心数处于幻方最中间的数称为中心数，且幻和=3×中心数.3、含中心数的行，列，对角线上的三个数中，其余两个数的和是中心数的2倍.证明：设三阶幻方的幻和为S，对角线的三个数为a,b,c，其中b是中心数，根据幻方知道：a+b+c=S,S=3b,所以a+c=2b.4、和任何一个角上的数同横行，同竖列，同对角线上的其余两个数的和相等.如图3，以数a为例，则有d+e=b+c=f+g.证明：设三阶幻方的幻和为S，根据幻方知道：a+b+c=S, a+d+e=S, a+ f+g =S,所以d+e=b+c=f+g.5、和周边三数的中间数同横行，同竖列的两个数的和相等.如图3，以数b为例，则有a+c=p+f.6、任何一个角上的数都等于与这个数不在同一横行、竖列及对角线上的两个数之和的一半. 证明：设三阶幻方的幻和为S，根据幻方知道：a+b+c=S, a+f+g=S, p+ f+b =S, g+ h+c =S,所以a+b+c+a+f+g+p+f+b+g+h+c=4S，所以2（a+b+c）+2f+2g+p+h=4S，所以2S+2（S-a）+p+h=4S，即2S+2S-2a+p+h=4S,所以p+h=2a.三、三阶幻方的构造1、已知九数，构造幻方例1 用11，13，15，17，19，21，23，25，27这九个数构造一个广义的三阶幻方.分析：当已知九个数构造幻方时，关键是确定幻方的中心数，构造幻方的主要方法是-阶梯法，也就是把正方形从四周向外扩展成阶梯状，然后把数按照由小到大的顺序排列好，从最左边阶梯开始，按照从小到大的顺序依次斜置于阶梯上，后把拓展出的正方形内的数按照左右更替放置，上下更替放置的方式，把正方形外的数移到正方形内部，完成三阶幻方的构造.解：因为中心数为19，构造阶梯如图4，所以三阶幻方如图有图所示.2、已知幻和，构造幻方例2 自行选取一组数构造一个三阶幻方，使得每行，每列和每条对角线上的三个数的和都等于45.分析：根据幻和与中心数之间的关系，我们可以确定出中心数的大小，然后利用等差方式依次向前确定四个数，向后确定四个数，利用阶梯法可以完成构造.解：因为幻和为45，所以中心数为15，按照依次差5方式确定数如下：-5，0，5，10和20，25，30，35，构造阶梯法如图5所示，所以三阶幻方如图5右图所示.3、已知同横行的三数，构造幻方例3 在图6所示的广义的三阶幻方中给出了3个数，你能将其余的六个数全填上吗？分析：根据条件，我们的解题思路是：1、求幻和：S=3+4+（-1）=6；2、求中心数：6÷3=2；3、根据幻和，确定3，2所在对角线上空缺的数；4、根据幻和，确定4，2所在竖列上空缺的数 5、依次确定其余空缺的数.解：符合题意的三阶幻方如图6中的右图所示.4、已知同横行的两数，和与行有公共空角在列中的一个数，构造幻方例4 在图7所示的广义的三阶幻方中给出了3个数，你能将其余的六个数全填上吗？分析：根据条件，我们的解题思路是：1、根据规律4确定右下角中的数：4+8=2+x；2、根据规律3确定中心数：（4+x）÷2；3、根据对角线上的三数可以确定幻和；4、根据幻和，依次确定其余空缺的数.解：符合题意的三阶幻方如图7中的右图所示.5、已知同横行的两数，和与某数在一条对角线上的一个数，构造幻方例5 在图8所示的广义的三阶幻方中给出了3个数，你能将其余的六个数全填上吗？分析：根据条件，我们的解题思路是：1、根据规律4确定最右边竖列中的空缺数：2+9=10+x，x=1；2、根据规律3确定中心数：（2+10）÷2=6；3、根据对角线上的三数可以确定幻和：2+6+10=18；4、根据幻和，依次确定其余空缺的数.解：符合题意的三阶幻方如图8中的右图所示.6、已知正方形角上的一个数，和与这个数同行，同列且相邻的两个数，构造幻方例6 在图9所示的广义的三阶幻方中给出了3个数，你能将其余的六个数全填上吗？分析：根据条件，我们的解题思路是：1、根据规律6确定最右下角中的空缺数：[（-11）+(-5）]÷2=-8；2、根据规律3确定中心数：[（-6）+(-8）]÷2=-7；3、根据对角线上的三数可以确定幻和：（-6）+(-8）+（-7）=-21；4、根据幻和，依次确定其余空缺的数.解：符合题意的三阶幻方如图9中的右图所示.7、已知正方形角上的两个数，和与这个数夹行，夹列中的一个数，构造幻方例7 在图10所示的广义的三阶幻方中给出了3个数，你能将其余的六个数全填上吗？分析：分析：根据条件，我们的解题思路是：1、根据规律5确定中心数：4+8=5+x，x=7；2、根据规律3确定另一角上的数：8+x=14，x=6；3、根据对角线上的三数可以确定幻和：6+8+7=21；4、根据幻和，依次确定其余空缺的数.解：符合题意的三阶幻方如图10中的右图所示.。
幻方的构造方法
1 5 9 13
2 6 10 14
3 7 11 15
4 8 12 16
①以1-16依次作四行排列; ②打两条对角线，被对角线穿过的数字不动; ③其他数字，按对角线的交点为对称中心， 对称对调.
八阶幻方怎么做？ 继续用对称交换法来试试吧！ 把它看成是4个四阶幻方，
将刚刚的三阶幻方绕中心旋转一定角度， o o 如：90 、180 等。 你得到新的三阶幻方了吗？
实际上， 平面幻方的构造，分为三种： ①奇数(3、5、7……）阶幻方; ②双偶数（4、8、12……4n）阶幻方;
③单偶数（6、10、14……4n+2)阶幻方 .
这种方法叫做罗伯法， 那么你能不能写出其他的奇数幻方呢？ 刚刚的三阶幻方就属于奇数阶幻方了。 它适合编制所有的奇数阶幻方。 以五阶幻方为例，跟我一起来试试吧。 按照口诀，剩下的就交给你吧！
17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9
一居上行正中央， 依次斜填切莫忘， 上出格时往下填， 右出格时左边放， 排重便在下格填， 角上出格一个样。
七阶、九阶、十一阶 …… 已经难不到了你了 那，如果给你数字 1 — 16 ，你能写出一个 这种方法叫做对称交换法。 你做出来了吗？ 四阶幻方？
南宋数学家杨辉，在他著的《续古摘 奇算法》里介绍了这种方法：
① ④ ② ⑤ ⑧ ③ ⑥到大的递增次序斜排 ②把上、下两数对调，左、右两数也对调; ③把中部四数各向外面挺出，幻方就出现了。
除了刚刚得出三阶幻方外，你还能写 还是让我来告诉你吧！ 出其他的三阶幻方吗？
④ ⑨ ② ③ ⑤ ⑦ ⑧ ① ⑥
(完整版)幻方解法整理归纳
在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等,具有这种性质的图表,称为“幻方"。
我国古代称为“河图”、“洛书"，又叫“纵横图”。
1、奇数阶幻方——罗伯特法(也有人称之为楼梯法)（如图一：以五阶幻方为例） 奇数阶幻方n 为奇数 (n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1,k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法（也有人称之为楼梯法）。
填写方法是这样: 把1（或最小的数)放在第一行正中； 按以下规律排列剩下的n×n—1个数： (1)每一个数放在前一个数的右上一格;(2）如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4）如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内;（5)如果这个数所要放的格已经有数填入,处理方法同(4）。
这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。
口诀：1居首行正中央， 依次右上莫相忘 上出格时往下放, 右出格时往左放。
排重便往自下放， 右上出格一个样图一2、单偶数阶幻方()122＋＝m n ——分区调换法（如图二:以六阶幻方为例）① 把()122＋＝m n 阶的幻方均分成4个同样的小幻方A 、B 、C 、D(如图二）图二(注意A 、B 、C 、D 的相对位置不能改变，因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方） ② 用连续摆数法在A 中填入21a ——构成幻方,同理，在B 中填入()2221a a ——＋、在C 中填入()22312aa ——＋、在D 中填入()22413a a ——＋均构成幻方(2na ＝）(如图三）图三(因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方，必然可以用连续摆数法构造幻方） ③ 在A 的中间一行上从左侧的第二列起取m 个方格，在其它行上则从左侧第一列起取m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调(如图四）：图四不管是几阶幻方,在A 中取数时都要从中间一行的左侧第二列开始；因为当6＝n 时,1＝m ，所以本例中只取了一个数)④ 在A 中从最右一列起在各行中取1－m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调。
曾经发现的构造幻方规律
曾经发现的构造幻方规律很久之前就知道这个办法，只是记录在笔记本里，今天就拿出来分享一下。
总之一句话概括：给我两个基本幻方我能构造出所有幻方。
就是以3阶幻方和4阶幻方作为基本幻方，以基本幻方作为中心，向外扩展成5、7、9等奇数幻方和6、8、10等偶数幻方。
可能已经有很多人了解到了，我就用五阶幻方简单的阐述一下。
例如：我们准备构造一个五阶幻方，就先做一个框架在三阶幻方的外层：=》将中心三阶幻方的数都加上8，【其实对于构造n阶幻方来说，中间层即n-1阶的数加上2（n-1）】这时开始将五阶幻方的1～25个数进行划分，就是除了中心的9个数（9～17）分成两部分，一部分是1～8，另一部分是18～25，并相互配对，其中五阶幻方的幻和为65【其实对于n阶幻方的幻和为n(n²+1)/2】。
例如：由于五阶幻方的幻和为65，就得找出5个数（注：找的数在上面分类里的列的数不能重复）填在第一列（或第一行），很容易就找到一组数：1、3、22、20、19。
（1+3+22+20+19=65）填写后：所以在剩下的3对数找满足第一行的计算就可以了。
发现这三对数中2、24；5、21；8、18可以找到2、21、18正好满足：1+2+21+18+23=65。
填写后：最后再补充对应的互补的数就完成了！当然，还有其他组合也可以满足。
例如：外层组合：25、24、23、7、8和2、4、21、20、18，其中2、24、7、8是四个角的数。
外层组合：25、3、22、19、8和24、23、5、6、7，其中3、23、7、19是四个角的数。
其实推算的时候可能找到一定的规律，例如下面几个幻方的外层推算数字：至少也可以知道点规律：其中谈绿色的数是公共的（填在幻方的角），玫瑰红色的数是填在幻方外层的列上，淡黄色的数是填在幻方外层的行上，剩下的数就根据对应关系填写就行了。
还有偶数幻方也一样的原理，但是建议在电脑的工作表里制作简单，因为可以用到工作表里的函数计算功能。
幻方ppt课件
偶数阶幻方的构造方法
偶数阶幻方中最常用的是四阶和八阶幻方。四阶幻方的构 造方法是将1放在第一行中间，然后按顺序将其它数字填入 ，每行从左到右填入数字，每列也从左到右填入数字，保 证每个数字都不重复。
单人幻方游戏
九宫格幻方
将1至9的数字填入3x3的九宫格中，使得每行、每 列以及对角线的数字之和都相等。
16格幻方
将数字1至16填入4x4的方格中，使得每行、每列 、两条对角线以及四个角落的数字之和都相等。
25格幻方
将数字1至25填入5x5的方格中，使得每行、每列 、两条对角线以及四个角落的数字之和都相等。
奇数阶幻方
由奇数个数字组成的幻方，通常为3×3、5×5等。这类幻 方构造相对简单，但也有一定的难度。
偶数阶幻方
由偶数个数字组成的幻方，如4×4、6×6等。这类幻方构 造较为复杂，需要遵循一定的规律和技巧。
广义幻方
不仅限于数字，还可以用字母、符号等代替数字，甚至可 以是非线性的矩阵。这类幻方更加灵活多变，具有更广泛 的用途。数学中的规律美 Nhomakorabea规律之美
幻方中的数字按照一定的规律排 列，这种规律美是数学中非常重
要的美学特征之一。
逻辑之美
幻方的构造过程需要遵循一定的 逻辑，这种逻辑美也是数学中非
常重要的美学特征之一。
统一之美
幻方中的数字虽然千变万化，但 都遵循着统一的规律和逻辑，这 种统一美也是数学中非常重要的
美学特征之一。
数学中的逻辑美
多人幻方挑战赛
团队赛
01
多个团队同时进行幻方挑战，以最快完成且符合规则的团队为
构造三阶幻方的方法
构造三阶幻方的方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊构造三阶幻方的方法。
首先，构造三阶幻方有特定的步骤哦。
先把数字 1 放在第一行中间位置，然后按照斜上方依次填入数字，若遇到边界，就把下一个数字填到相对的那一侧。
就好像走迷宫一样，可有意思啦！但要注意哦，填到已有数字的位置时，就要填到它下面啦。
这步骤简单吧？嘿嘿，是不是觉得挺有趣的。
然后说说这过程中的安全性和稳定性。
就像建房子，每一块砖都要放对位置，才能稳稳当当。
构造三阶幻方也是这样，只要按照规则来，就不会出错，安安稳稳地就把幻方给造出来啦，多靠谱呀！
三阶幻方的应用场景那可多啦！比如在数学游戏中，它能带来很多乐趣，让我们玩得不亦乐乎。
它的优势也很明显呀，能锻炼我们的思维能力，就像给大脑做了一场健身操！
我给大家举个实际案例吧。
在一次数学竞赛中，有个题目就是关于三阶幻方的，那些掌握了构造方法的同学，那可真是如鱼得水呀，轻松就解决了问题，看到他们得意的样子，就知道效果有多好啦！
所以呀，构造三阶幻方真的是个超棒的数学技巧，它既能带来乐趣，又能提升我们的能力，为啥不赶紧学起来呢？。
第9讲 幻 方
第9讲幻方杨辉的三阶幻方构造法：九子斜排，上下对易，左右对易，四维挺出。
例1、把1~9这九个自然数填在如右图的九个空格里，使每一横行、每一纵行和两条对角线上三个数的和都相等。
罗伯法（适用于编排所有的奇数阶幻方）1居上行正中央，依次斜填切莫忘；上出框时往下填，右出框时左边放；排重便在下格填，右上排重一个样。
例2、请用罗伯法完成例1。
例3、把3、4、5、6、7、8、9、10、11九个数字填入下图九个空格里，每格填一个数字，使每一横行、每一纵行和两条对角线上三个数的和都相等。
例4、已知下面幻方的幻和是18，请将幻方填写完整。
例5、请将下面的三阶幻方填写完整。
例6、在下面的空格中填入不大于15且互不相同的自然数使每一横行、竖行和对角线上的三个数之和都等于30。
练习1、将1~25填入下图的方格内，组成一个五阶幻方。
2、把5、10、15、20、25、30、35、40、45填入方格，组成一三阶幻方。
3、已知图中三阶幻方的幻和是24，请将幻方填写完整。
4、请将下面的三阶幻方填写完整。
5、在下面两个图的空格中填入不大于15且互不相同的自然数，使每一横行、竖列和对角线上的三数之和都等于30。
6、如图，九个小正方形内各有一个两位数，而且每行、每列及两条对角线上的三个整数的和相等。
那么X=（）。
作业1、用6~14这九个自然数构成一个三阶幻方。
2、把1、3、5、7、9、11、13、15、17填入方格，组成一个三阶幻方。
3、将1~50中的偶数填入下图的方格内，组成一个五阶幻方。
4、将1~49填入下图的方格内，组成一个七阶幻方。
5、用1~9这九个数补全图中的幻方，并求幻和。
幻方构造的计算方法
《幻方构造的计算方法》前言这本《幻方构造的计算方法》小册子经过2016年11月30日初稿（《李功儒数学论文集》中的第十二部分《幻方构造的计算方法——单位幻方法》）、2017年9月19日修改（定名为《幻方构造和幻方交换的单位幻方法》），于今又做了修改。
在此期间及以前，写稿得到有关人的帮助和支持，本人向他们表示衷心的感谢，并致以崇高的敬意。
以往幻方构造中所存在的问题的主要表现是每阶能构造出的幻方个数太少，这不利于幻方实际应用的研究，因为一个具体实际问题的规律只能符合一个幻方。
试想：当实际问题中出现每行每列每条对角线上的各数的相加之和都相等的幻方时，如果理论上难以构造，那至少对多于实际幻方中的数字个数的数阵是否为幻方难以进行预先估计、探讨和研究，当然也就无法进行深入研究。
可能有人会说，电脑编程会快速构造出少于或多于实际幻方中的数字个数的幻方，这是不切实际的。
如仅对阶数非常低的5阶来说，电脑编程在没有好的方法下的可能算法是：将25个数进行全排列，有25 !（这是天文数字）个排列，再对每个排列按从左到右划分为5组，将第一组到第五组从上往下放置，也就是有25!个数阵，对每个数阵进行每行每列每条对角线各自相加计算，将有相加之和不相等的数阵舍去，这将是海量的计算，需要多大能力的电脑呢？如果阶数增加，电脑能行吗？所以，需要先找出能构造尽量多的幻方的方法，再用电脑编程，就有必要了。
本文只研究能构造尽量多幻方的方法。
幻方构造有两种方法：计算方法、试验方法（至于交换方法是建立在有幻方的基础上的，交换后的幻方个数多少，还是取决于用计算方法和试验方法所能构造幻方个数的多少）。
试验方法经过2000多年的积累，产生了许多种具体试验成果的方法：连续摆数法、阶梯法（楼梯法）、奇偶数分开的菱形法、对称法、对角线法、比例放大法等等……以往人们将大多数的时间和精力花在试验方法上，甚至将象棋的规则、《易经》中的蕴含搬出来，真是无所不用其极，绞尽脑汁。
构造幻方的技巧
构造幻方的技巧
1. 嘿，你知道吗，构造幻方有个超有用的技巧就是对称法呢！比如说，就像我们照镜子一样，让数字在相对的位置上保持对称，这样不就能快速搞定一部分啦！就像3x3 的幻方，把中位数放中间，其他数字两两对称放置，是不是很神奇呀！
2. 哇塞，还有个技巧叫等差序列法哟！想象一下，数字们排着队，有规律地前进。
比如 5x5 的幻方，先用等差序列把数字排好，再根据规则调整，你看，一个漂亮的幻方不就出来啦！
3. 嘿，别忘了巧用中心数呀！这就像是舞台的中心主角一样重要呢。
比如在奇数阶幻方里，中心数可是起着关键作用的呀，以它为基准去摆弄其他数字，多有意思呀！
4. 哈哈，还有一个神奇的技巧叫行列交换法呢！就好像小朋友交换玩具一样，把数字所在的行和列换一换位置，说不定就能构造成幻方啦，不信你试试呀！
5. 哇哦，奇数偶数分开考虑也是个很棒的方法呀！就像把不同的小伙伴分到不同的队伍里，分别对待它们，这样构造幻方会更清晰明了呢！
6. 哎呀呀，固定角落法也很赞哦！让一些关键数字固定在角落，就像给房子打下坚实的根基一样，再去填满其他地方，是不是很厉害呀！
7. 嘿，还有一种叫斜线填充法呢！想象一下沿着斜线把数字放进去，是不是很有创意呀。
比如在某些幻方里，先沿着斜线填好几个数字，剩下的就好办多啦！
8. 哇，逐步调整法也不能忽视呀！就跟我们慢慢调整自己的状态一样，一点一点地让幻方变得完美，很有意思吧！
9. 我觉得呀，构造幻方真的超有趣！这些技巧都各有各的奇妙之处，用起来就感觉自己像个小小的魔术师呢，能把数字变得那么神奇！赶紧去试试吧！。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
58
44 14 52 59 5
45 53
4
48 56
1
62
63
幻方的这种平衡思想，经常被用来寻找优化问 题的第一个可行解（可行方案）！
16
2
3
13
5
9
11
7
10
6
8
12
4
14
15
1
保留数字： 1
4
6
7
10 11
13
16
64
2
55 47
3
54 46
61
60
651 437 Nhomakorabea50 42
57
9 17
40
32
12 20
37
29
13 21
36
28
16 24
33
25
26 34
23 15
27 35
22
30 38
19 11
31 39
18 10
41 49
从1开始，按照45度线填数字。如果本格45度上方 遇到黑格子、有了数字的格子，则，填本格下面的格 子。
18
17 23 4 10 24 5 6 12
25
1 7 13 19
2
8 14 20 21
9
15 16 22 3 17 23 4 10
11
18
25
2
9
双偶数阶幻方的构造
双偶数阶＝4k×4k。 例如，构造4阶幻方。 首先，将4×4表格的2条对角线上的格子刷黄。从 左到右、从上到下依次填写数字，将非对角线格子填 上数字（遇到黄格子，不填数字，同时，保留黄格子 对应的数字，不填） 。 第2步，从下到上、从右到左，填写保留的黄格子 对应的数字。
构造幻方
南
4
东
9 5 1
北
2 7 6
西
3 8
著名的 洛书 · 幻方
奇数阶幻方的构造
1687年，法国国王路易十四派遣西蒙· 卢贝尔 （Simon de la Loubere）出使暹罗（泰国），在暹罗 期间，他学会了寻找奇数阶幻方的一种简便方法。 例如，构造5阶幻方。
首先，在第一行的正中间写1。然后，在5×5表格 的最上面加一行（＝第5行），在表格的最右边加一 列（＝第1列），此时，表格变为6×6的表格，将右 上方格子刷黑（此格子不填数字）。