河北南宫一中高三数学二轮复习 86 双曲线学案
高考数学二轮复习 专题15 椭圆、双曲线、抛物线教学案 理-人教版高三全册数学教学案
专题15 椭圆、双曲线、抛物线1.以客观题形式考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线的定义、离心率、焦点弦长问题、双曲线的渐近线等，可能会与数列、三角函数、平面向量、不等式结合命题，若与立体几何结合，会在定值、最值、定义角度命题．2.每年必考一个大题，相对较难，且往往为压轴题，具有较高的区分度．平面向量的介入，增加了本部分高考命题的广度与深度，成为近几年高考命题的一大亮点，备受命题者的青睐，本部分还经常结合函数、方程、不等式、数列、三角等知识结合进行综合考查．一、椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质椭圆双曲线抛物线定义|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)定点F和定直线l，点F不在直线l上，P到l距离为d，|PF|＝d标准方程焦点在x轴上x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)焦点在x轴上x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)焦点在x轴正半轴上y2＝2px(p>0)图象几何性质范围|x|≤a，|y|≤b |x|≥a，y∈R x≥0，y∈R 顶点(±a,0)，(0，±b)(±a,0)(0,0)对称性关于x轴、y轴和原点对称关于x轴对称焦点(±c,0)⎝⎛⎭⎪⎫p2，0轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b离心率e＝ca＝1－b2a2(0<e<1) e＝ca＝1＋b2a2(e>1) e＝1【误区警示】1．求椭圆、双曲线方程时，注意椭圆中c 2＝a 2＋b 2，双曲线中c 2＝a 2－b 2的区别． 2．注意焦点在x 轴上与y 轴上的双曲线的渐近线方程的区别．3．平行于双曲线渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点；平行于抛物线的轴的直线与抛物线有且仅有一个交点．考点一 椭圆的定义及其方程例1．(2017·北京卷)已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2，0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－m ＋2n （x －m ），y ＝n2－m （x －2），解得点E 的纵坐标y E ＝－n （4－m 2）4－m 2＋n 2.由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2，所以y E ＝－45n .又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |，S △BDN ＝12|BD |·|n |，所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n且e 1e 2<1【答案】A【变式探究】已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵A ，B 在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1 ②①－②，得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b2＝0， 即b 2a 2＝－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）（x 1＋x 2）（x 1－x 2）， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，而y 1－y 2x 1－x 2＝k AB ＝0－（－1）3－1＝12，∴b 2a 2＝12.又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1，故选D.答案 D考点二 椭圆的几何性质例2．【2016高考新课标3理数】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A【变式探究】(2015·北京，19)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点P (0，1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c2解得a 2＝2，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. 设M (x M ，0)．因为m ≠0，所以－1＜n ＜1. 直线PA 的方程为y －1＝n －1mx . 所以x M ＝m 1－n ，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m1－n ，0.考点三 双曲线的定义及标准方程例3．(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2D.233解析：取渐近线y ＝b ax ，化成一般式bx －ay ＝0，圆心(2，0)到直线的距离为22－12＝|2b |a 2＋b 2，又由c 2＝a 2＋b 2得c 2＝4a 2，e 2＝4，e ＝2. 答案：A【变式探究】【2016高考天津理数】已知双曲线2224=1x y b-（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）（A ）22443=1y x -（B ）22344=1y x -（C ）2224=1x y b -（D ）2224=11x y -【答案】D【变式探究】(2015·福建，3)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3解析 由双曲线定义||PF 2|－|PF 1||＝2a ，∵|PF 1|＝3，∴P 在左支上，∵a ＝3，∴|PF 2|－|PF 1|＝6，∴|PF 2|＝9，故选B.答案 B考点四 双曲线的几何性质例4．【2016高考新课标1卷】已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )（A ）()1,3- （B ）(- （C ）()0,3 （D ）( 【答案】A【解析】由题意知：双曲线的焦点在x 轴上，所以2234m n m n ++-=，解得21m =，因为方程22113x y n n -=+-表示双曲线，所以1030n n +>⎧⎨->⎩，解得13n n >-⎧⎨<⎩，所以n 的取值范围是()1,3-，故选A ．【变式探究】(2015·新课标全国Ⅱ，11)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 2解析 如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则|AB |＝2a ，由双曲线的对称性，可设点M (x 1，y 1)在第一象限内，过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1，0)，∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°，∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝|MN |＝|BM |sin ∠MBN ＝2a sin60°＝3a ，x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (x 1，y 1)的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2，∴e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝2，选D. 答案 D考点五 抛物线的定义及方程例5．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 3答案：C【变式探究】【2016年高考四川理数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px => 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为( )（A （B ）23（C （D ）1 【答案】C【解析】设()()22,2,,P pt pt M x y （不妨设0t >），则212,2.,23p FP pt pt FM FP ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故选C.【变式探究】过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B. 2 C.322D ．2 2 解得x 1＝2，x 2＝12.∴|BF |＝x 2＋1＝32，∴|AB |＝3＋32＝92.∴S △AOB ＝12|AB |·d＝12×92×223＝322.答案 C考点六 抛物线的几何性质例6．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2，0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程． (1)证明：设l ：x ＝my ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x ＝my ＋2，得y 2－2my －4＝0，Δ＝4m 2＋16恒大于0，y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－4.OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋2)(my 2＋2)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2＋2m (y 1＋y 2)＋4 ＝－4(m 2＋1)＋2m ·2m ＋4＝0， 所以OA →⊥OB →，即O 在圆M 上．(2)解：由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4. 故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )，圆M 的半径r ＝（m 2＋2）2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0，故(x 1－4)·(x 2－4)＋(y 1＋2)·(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可得y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4，所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3，1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝8516.【2016高考新课标1卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=,|DE|=则C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B【解析】如图,设抛物线方程为22y px =,,AB DE 交x 轴于,C F 点,则AC =即A点纵坐标为,则A 点横坐标为4p ,即4OC p=,由勾股定理知2222DF OF DO r +==,2222AC OC AO r +==,即22224()()2p p+=+,解得4p =,即C 的焦点到准线的距离为4,故选B.【变式探究】(2015·天津，6)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1D.x 24－y 23＝1 解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，又渐近线过点(2，3)，所以2ba＝3，即2b ＝3a ，①抛物线y 2＝47x 的准线方程为x ＝－7，由已知，得a 2＋b 2＝7，即a 2＋b 2＝7②， 联立①②解得a 2＝4，b 2＝3，所求双曲线的方程为x 24－y 23＝1，选D.答案 D1.【2017课标1，理10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【解析】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y D x y E x y ，直线1l 的方程为()11y k x =-，联立方程()214{ 1y xy k x ==-，得2222111240k x k x x k --+=，∴21122124k x x k --+=-212124k k +=，同理直线2l 与抛物线的交点满足22342224k x x k ++=，由抛物线定义可知12342AB DE x x x x p +=++++=22122222121224244448816k k k k k k ++++=++≥=，当且仅当121k k =-=（或1-）时，取等号.2.【2017课标II ，理9】若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2 BD．3【答案】A3.【2017浙江，2】椭圆22194x y +=的离心率是A ．B．3C ．23D ．59【答案】B【解析】e ==B ． 4.【2017天津，理5】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A ）22144x y -= （B ）22188x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=【答案】B【解析】由题意得224,14,188x y a b c a b c ==-⇒===⇒-=- ，选B.5.【2017北京，理9】若双曲线221y x m-=的离心率为3，则实数m =_________.【答案】2【解析】221,a b m == ，所以131c m a +== ，解得2m = . 6.【2017课标1，理】已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为________.【答案】233【解析】如图所示，作AP MN ⊥，因为圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，则MN 为双曲线的渐近线by x a=上的点，且， AM AN b ==， 而AP MN ⊥，所以30PAN ∠=， 点到直线by x a=的距离221b AP b a =+，在Rt PAN 中， cos PA PAN NA∠=，代入计算得223a b =，即3a b =，由222c a b =+得2c b =， 所以233c e a b===. 7.【2017课标II ，理16】已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N 。
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第六节 双曲线学案 文-人教版高三全册数学学案
第六节双曲线1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．2．了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用．3．理解数形结合的思想．知识点一双曲线的定义平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离____________为常数2a(2a<2c)，则点P的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．答案之差的绝对值1．判断正误(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( )(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )答案：(1)×(2)×2．设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于( )A．1 B．17C．1或17 D．以上答案均不对解析：由题意知|PF1|＝9<a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|－|PF1|＝2a ＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.答案：B知识点二双曲线的标准方程与几何性质1．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)图形性 质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a ，y ≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点顶点坐标：A 1(－a,0)，A 2(a,0)顶点坐标：A 1______，A 2______渐近线y ＝±b ax__________离心率e ＝ca，e ∈______，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝____；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a 、b 、c的关系 c 2＝______(c >a >0，c >b >0)______和______等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为______，离心率为______．答案1．(0，－a ) (0，a ) y ＝±a bx (1，＋∞) 2a a 2＋b 22．实轴 虚轴 y ＝±x e ＝ 23．双曲线方程：x 2|k |－2＋y 25－k ＝1，那么k 的范围是( )A ．k >5B ．2<k <5C ．－2<k <2D ．－2<k <2或k >5解析：由题意知，(|k |－2)(5－k )<0，解得－2<k <2或k >5. 答案：D4．(2016·新课标全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，点M 在E上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2 B ．32 C. 3D ．2解析：设F 1(－c,0)，将x ＝－c 代入双曲线方程，得c 2a 2－y 2b 2＝1，所以y 2b 2＝c 2a 2－1＝b 2a 2，所以y ＝±b 2a .因为sin ∠MF 2F 1＝13，所以tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝c 2－a 22ac ＝c 2a －a 2c ＝e 2－12e＝24，所以e 2－22e －1＝0，所以e ＝ 2.故选A. 答案：A5．(选修1－1P53练习第3题改编)以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为__________．解析：设要求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由椭圆x 24＋y 23＝1，得焦点为(±1,0)，顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)．所以a ＝1，c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝3，所以双曲线标准方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝1热点一 双曲线的定义及应用【例1】 已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 在双曲线右支上运动，则|PF |＋|PA |的最小值为______．【解析】 如图所示，设双曲线的右焦点为E ，则E (4,0)．由双曲线的定义及标准方程得|PF |－|PE |＝4，则|PF |＋|PA |＝4＋|PE |＋|PA |.由图可得，当A ，P ，E 三点共线时，(|PE |＋|PA |)min ＝|AE |＝5，从而|PF |＋|PA |的最小值为9.【答案】 9 【总结反思】双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|，|PF 2|的联系.(1)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45(2)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 242－y 232＝1B.x 2132－y 252＝1 C.x 232－y 242＝1 D.x 2132－y 2122＝1解析：(1)由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2.由双曲线定义，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中， |F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2 ＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.(2)由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ， 则||PF 1|－|PF 2||＝8<10＝|F 1F 2|.由双曲线的定义知曲线C 2为双曲线且a ＝4，b ＝3. 故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.答案：(1)C (2)A热点二 双曲线的标准方程【例2】 (2016·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.3x 220－3y25＝1 D ．3x 25－3y220＝1【解析】 由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.【答案】 A 【总结反思】求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线由双曲线定义，确定2a,2b 或2c ，从而求出a 2，b 2，写出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点在x 轴还是y 轴，设出标准方程，再由条件确定a 2，b 2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值.(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点与圆x 2＋y 2－10x ＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为( )A.x 25－y 220＝1 B.x 225－y 220＝1 C.x 220－y 25＝1 D.x 220－y 225＝1 (2)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为__________．解析：(1)由题意知圆心坐标为(5,0)，即c ＝5，又e ＝c a＝5，所以a 2＝5，b 2＝20，所以双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.(2)法1：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法2：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)．由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.答案：(1)A (2)x 24－y 2＝1热点三 双曲线的几何性质 考向1 求双曲线的离心率【例3】 (2016·山东卷)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．【解析】如图，由题意不妨设|AB |＝3，则|BC |＝2.设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则在Rt △BMN 中，|MN |＝2c ＝2，故|BN |＝|BM |2＋|MN |2＝322＋22＝52.由双曲线的定义可得2a ＝|BN |－|BM |＝52－32＝1，而2c ＝|MN |＝2.所以双曲线的离心率e ＝2c2a＝2.【答案】 2考向2 求双曲线的渐近线【例4】 已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0【解析】 由题意，不妨设|PF 1|>|PF 2|，则根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c >a ，所以有|PF 2|<|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°，所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2·2c ·4a cos30°，得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a .所以双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，即2x ±y ＝0.【答案】 A考向3 求变量的取值范围【例5】 已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233【解析】 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)．∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 2<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33. 【答案】 A【总结反思】(1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±b a满足关系式e 2＝1＋k 2.(2)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用b 2＝c 2－a 2和e ＝c a转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.(1)(2017·安徽合肥质检)若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x(3)(2017·江西名校学术联盟一调)设A 1，A 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，若双曲线上存在点M 使得两直线斜率k MA 1·kMA 2<2，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A ．(0，3)B ．(1，3)C ．(3，＋∞)D ．(0,3)解析：(1)由题意，得b a＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4，故选B.(2)由题意得，e ＝c a ＝52⇒c ＝52a ⇒54a 2＝a 2＋b 2⇒b ＝12a ，故渐近线方程为y ＝±b a x ＝±12x ，故选C.(3)设M (x ，y )，A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则kMA 1＝yx ＋a，kMA 2＝yx －a，∴kMA 1·kMA 2＝y 2x 2－a 2(*)．又M (x ，y )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，∴y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a 2－1，代入(*)式得，b 2x 2－a 2b 2a 2x 2－a 2＝b 2a 2<2，即c 2－a 2a2＝e 2－1<2⇒1<e < 3.答案：(1)B (2)C (3)B双曲线类型问题与椭圆类型问题类似，因而研究方法也有许多类似之处，如“利用定义”，“方程观点”，“直接法或待定系数法求曲线方程”，“数形结合”等．但双曲线多了渐近线，问题变得略为复杂和丰富多彩．复习中要注意如下两个问题：(1)已知双曲线方程，求出它的渐近线方程；(2)求已知渐近线的双曲线方程；已知渐近线方程为ax ±by ＝0时，可设双曲线方程为a 2x2－b 2y 2＝λ(λ≠0)，再利用其他条件确定λ的值，此方法的实质是待定系数法．忽视“判别式”致误【例】 已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？【分析】 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，所以在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑“判别式”．致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑“判别式”，导致解题错误．【解】 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0(2－k 2≠0)．①∴x 0＝x 1＋x 22＝k 1－k2－k2. 由题意，得k 1－k2－k2＝1，解得k ＝2. 当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点． 解题策略：(1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确．错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的．(2)本题属探索性问题．若存在，可用点差法求出AB的斜率，进而求方程；也可以设斜率k，利用待定系数法求方程．(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验．。
高三数学一轮复习 第2讲 双曲线教案-人教版高三全册数学教案
第二讲 双曲线一、考情分析解析几何是用代数的方法解决几何问题，体现了形数结合的思想，因而这一部分的题目的综合性比较强，它要求学生既能分析图形，又能灵活地进行各种代数式和三角函数式的变形，这对学生能力的要求较高．“圆锥曲线”是解析几何的重点内容，特别是在对学生掌握坐标法的训练方面有着不可替代的作用．本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路，帮助考生培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养良好的个性品质，以及勇于探索、敢于创新的精神，进一步提高学生“应用数学”的水平．二、知识归纳 （一）椭圆的定义（1）第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之差的绝对值等于常数()1222||a a F F <的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．特征式：()121222||MF MF a a F F -=<．注：①若122||a F F =，则点的轨迹是以12F F 、为端点的两条射线； ②若122||a F F >，则这样的点不存在；③若()121222||MF MF a a F F -=<，则点的轨迹仅是双曲线的一支． （2）第二定义：平面内动点到定点的距离和它到一条定直线l 的ＰＦ１Ｆ２Ｐ距离的比是常数()1e ∈+∞，，那么这个点的轨迹叫做双曲线．其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率．特征式：()1M lMFe e F l d →=>∉，． 注：若F l ∈时，表示过F 与l 相交的两条直线（不含点F ）． （二）双曲线的方程（1）双曲线的标准式方程：①()()()2222100x m y n a b ab---=>>，；（焦点在x 轴的平行线上，中心在()m n ，的双曲线方程）②()()()2222100y n x m a b ab---=>>，．（焦点在y 轴的平行线上，中心在()m n ，的双曲线方程）（2）双曲线的参数方程：①()2222sec 100tan x a x y a b y b a b ϕϕ=⎧⇔-=>>⎨=⎩，；②()()()2222sec 100tan x m a x m y n a b y n b a b θθ=+--⎧⇔-=>>⎨=+⎩，． （3）双曲线的向量式方程：()121222||OM OF OM OF a a OF OF ---=<-．（三）性质：对于双曲线()2222100x y a b a b-=>>，而言，（1）范围及特征关系：x a ≥；222a b c +=．Ｆ（2）对称性：图象既关于y 轴对称，又关于x 轴对称，也关于原点对称．原点叫双曲线的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫双曲线的对称轴．（3）顶点：双曲线和实轴的交点叫做双曲线的顶点．2(0)(0)A a A a -，，，；加两焦点12(0)(0)F c F c -，，，与()12(0)0B b B b -，，，共有六个特殊点．21A A 叫双曲线的实轴，21B B 叫双曲线的虚轴，长分别为22a b 、．a b 、分别为双曲线的实半轴长和虚半轴长．（4）离心率：双曲线焦距与实轴长之比)1c e e e a =⇔=>． 注：双曲线形状与e 的关系：10b e a→→，，双曲线的开阔程度越小；b e a→+∞→+∞，，双曲线的开阔程度越大．（5）双曲线的准线方程：对于22221x y a b -=，左准线21a l x c =-：；右准线22a l x c=：；对于22221y x a b -=，下准线21a l y c=-：；上准线22a l y c=：．（6）焦准距：焦点到准线的距离2222a c ab pc c c c-=-==（焦参数）．（7）通径：经过焦点且垂直于实轴的弦称之为通径，长度为22b a．（8）渐近线：双曲线的渐近线方程是x aby ±=（令22220x y a b -=即可）．（9）焦半径公式：焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：10MF a ex =+（左焦半径）；20MF a ex =-（右焦半径）；焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式：10MF a ey =+（下焦半径）；20MF a ey =-（上焦半径）；（规律：左加右减，上减下加．）（10）焦点三角形：曲线上的点与焦点连线构成的三角形 称焦点三角形；2sin2cot 2sin2S b e αβγαβ∆+==-；．（如何证明？）（四）等轴双曲线（1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． （2）性质：①渐近线方程为：x y ±=；②渐近线互相垂直；③离心率2=e ．（3）方程： )0(22≠=-λλy x ，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上．（五）共轭双曲线（1）定义：如果双曲线1C 的实轴是双曲线2C 的虚轴，双曲线的虚轴2C 是双曲线1C 的实轴，这两个双曲线称为互为共轭双曲线．（2）求法：2222222211x y x y a b a b-=←−→-=-； ＰＦ１ Ｆ２αβγ（3）性质：若共轭双曲线12C C 、的离心率分别为12e e 、，则： ①2212111e e +=；②12e e +≥；③122e e ≥；④1211e e +≤ （六）双曲线系方程（焦点在x 轴的上，中心在原点）（1）共焦点的双曲线系：()222210x y k c k k c +=<<-；注：若2k c >，则表示共焦点的椭圆系．（2）共渐进线的双曲线系：()22220x y a bλλ-=≠．注：若()22220x y a bλλ+=>，则表示离心率相同的椭圆系．三、精典例析 （一）活用定义 例1：定点()292A F ，，是双曲线221916x y C -=：的右支上的动点．（1）求2PA PF +的最小值； （2）求235PA PF +的最小值．解析：（1）双曲线221916x y C -=：的离心率为53e =21112666PA PF PA PF a PA PF FA +=+-=+-≥-=；（2）233655PA PF PA PD AH +=+≥=，取等号时，2P ⎫⎪⎪⎝⎭． 引申：1P A PA PF AP d d e--+=+≥准线准线也适用于椭圆、抛物线．例2：（12x y =++表示什么曲线？（22x y =+-表示什么曲线？ 解析：（1）设()P x y ，=即：()P x y ，到定点()11A ，的距离与它到定直线20l x y ++=：的距离之比为故原方程表示以定点()11A ，为焦点，以定直线20l x y ++=：为准线的双曲线．（2）∵()1120A l x y ∈+-=，：，∴原方程表示过定点()11A ，，与定直线20l x y +-=：相交的直线1x =与1y =．例3：一炮弹在某处爆炸，在A 处听到爆炸声的时间比在B 处晚2s ．（1）爆炸点应在什么样的曲线上？（2）已知A 、B 两地相距800m ，并且此时声速为340/m s ，求曲线的方程．分析：解应用题的关键是建立数学模型 根据本题设和结论，注意到在A 处听到爆炸声的时间比B 处晚2s,这里声速取同一个值解析：（1）由声速及A 、B 两处听到爆炸声的时间差，可知A 、B 两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A 、B 为焦点的双曲线上．∵爆炸点离A 处比离B 处更远，∴爆炸点应在靠近B 处的一支上．（2）建立直角坐标系xoy （如图），设爆炸点P 的坐标为()P x y ，，则：3402680PA PB -=⨯=，即340a =，∵800AB =， ∴22240044400c b c a ==-=，，故所求双曲线的方程为：()221011560044400x y x -=>．点评：利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置．如果再增设一个观测点C ，利用B 、C(或A 、C)两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置．这是双曲线的一个重要应用，强化学生“应用数学”的意识．思考：如果A 、B 两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上．（爆炸点应在线段ＡＢ的中垂线上）例4：方程22259x y k k k +=--表示什么曲线？ 解析：（1）当0k <时，表示焦点在y 轴上的双曲线； （2）当0k =时，表示两条相交直线35y x =±； （3）当09k <<时，表示焦点在x 轴上的双曲线；（4）当925k <<时，表示椭圆型曲线，①若917k <<时，表示焦点在x 轴上的椭圆；②若17k =时，表示圆22136x y +=；③若1725k <<时，表示焦点在y 轴上的椭圆；（5）当25k >时，表示焦点在y 轴上的双曲线． （二）活用性质 例5：（1）（05湖南卷）已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF的面积为22（O为原点），则两条渐近线的夹角为．（2）（05福建卷）已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 ．解析：（1）∵右焦点为()0F c ，，右准线2a x c=，渐近线by x a=±，∴2a ab A c c ⎛⎫± ⎪⎝⎭，，1122ab S c ab c =⋅=，∵△OAF的面积为22a2b e =⇒=，故两条渐近线的夹角为3π．（2）运用正三角形的特性知：边MF 1的中点坐标是2c ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，则：∵22422442222221480810c c a a b c e e a c a ⎛⎫⎛⎫± ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭-=⇒-+=⇔-+=-，∴241e e =+⇒=．例6：双曲线的渐进线方程为34y x =±，求双曲线的离心率．解析：设()2240169x y λλ-=≠， （1）当0λ>时，2216925a b c λλλ===，，，∴54e =； （2）当0λ<时，2291625a b c λλλ=-=-=-，，，∴53e =； 故双曲线的离心率是54e =或53e =．例7：ABC ∆中，A B 、是2255x y +=的焦点，且1sin cos 222B A C-=，求点C 的轨迹方程．解析：∵22225515x x y y +=⇔+=，∴()()2204A B AB -=，0、，，．∵1sincos 2sin cos cos cos2222222B AC B A B A C B A --++=⇔=， ∴11sin sin sin 222B AC AC BC AB -=⇔-==，故点C 的轨迹方程是()22113y x x -=>．（三）焦半径公式及焦点三角形例8：已知双曲线的左右两焦点分别为12F F 、，点M 是双曲线上不重合于顶点的一点，点P 为12MF F ∆的内心，证明：点P 在x 轴上的射影是双曲线的顶点．解析：（1）若点M 在双曲线右支上，过P 作PN 垂直12F F 于点N ，设右顶点为Ａ，则：112212222MF F F MF c aNF c a +-+===+，212122222MF F F MF a cNF c a +--+===-，∵12F A c a AF a c =+=-，，∴右顶点Ａ与点N故点P 在x 轴上的射影就是双曲线的右顶点．（2）若点M 在双曲线左支上，同理可证，点P 在x 轴上的射影是双曲线的左顶点．例9：已知双曲线的左右两焦点分别为12F F 、，点M 是双曲线右支上不重合于顶点的一点，设1221MF F MF F αβ∠=∠=，，若()()sin 1cos 1sin 1cos 3αββα+=+．（1）求双曲线的离心率；（2）如果动点M 的坐标为(),x y ，且2244x y -+有最小值15时，求双曲线的方程．讲解：（1）如果对三角公式较为熟悉，不难发现：()()tansin 1cos 2sin 1cos tan 2ααβββα+=+．所以，要求双曲线的离心率，只需考虑如何用a b c e 、、、来表达tantan22αβ即可．法1：设双曲线的实轴长为2a ，焦距为2c ，点P 为12MF F ∆的内心，过P 作PN 垂直12F F 于点N ，则：12tantan 22PN PNNF NF αβ==，，又112212222MF F F MF c a NF c a +-+===+，212122222MF F F MF a cNF c a +--+===-，∴13=()()tansin 1cos 2sin 1cos tan 2ααβββα+=+＝2111NF c a e NF c a e --==++， ∴2e =．法2：直接利用正、余弦定理也可得出结论．tan21sinsinsincoscossintan22222222sin sin cos cos sin tan sin22222221tan2e ααβαβαβαβββααβαβααββ++++=====---+-．（2）∵22 23e b a =⇒=，∴M 的坐标(),x y 适合方程22233x y a -=，∵2222224435x y x y x y -+=-++-()22222233315x y x x y a =-+-≥-==．（等号当且仅当x ==．∴ 225,15a b ==，双曲线的方程为：221515x y -=．（四）焦点弦：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦． 例10：过双曲线2213y x -=的左焦点Ｆ1作倾斜角为6π的弦ＡＢ，求AB 及2F AB ∆的周长．解析：设()()1122A x y B x y ，，，，则：22228413013x x x y x =+⇒--=⎨-=⎪⎩，显然，0∆>，且121211328x x x x +==，，法1：123AB x =-=． 法2：()()()1121211212121212223AB BF AF x x x x x x =-=+-+=+---=++=．2F AB ∆的周长为：()()()2212122133121231212323AF BF x x x x x x ++=+-+-=+---=+-=+．引申：设两交点1122()()A x y B x y ，，，，则：（1）当双曲线焦点在x 轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：①过左焦点与左支交于两点时，此时，11122()bk AB AF BF a e x x a>=+=--+， ； ②过左焦点与左、右两支交于两点时，此时，11122()bk AB AF BF a e x x a<=-=++， ； ③过右焦点与右支交于两点时，此时，11122()bk AB AF BF a e x x a>=+=-++， ； ④过左焦点与左、右两支交于两点时，此时，11122()bk AB AF BF a e x x a<=-=-+， ． （2）当双曲线焦点在y 轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关．（五）中点弦 例11：双曲线2212y C x -=：上是否存在被点()11B ，平分的弦？解析：显然，点()11B ，在双曲线外，若存在被点()11B ，平分的弦MN ，则弦的斜率必存在．设()()1122M x y N x y ，，，，则：2211121222121222222222x y y y x x k x x y y x y ⎧-=-+⎪⇒=⋅⇔=⎨-+-=⎪⎩，故()121l y x -=-：； ()22212124308012y x x x y x ⎧-=-⎪⇒-+=∆=-≤⎨-=⎪⎩，， 故双曲线2212y C x -=：上不存在被点()11B ，平分的弦．引申：（1）若点B 在双曲线内，则以点B 为中点的弦必存在； （2）若点B 在双曲线外，则以点B 为中点的弦可能存在，也可能不存在．（六）直线与双曲线相交问题例12：(05重庆卷)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()20，，右顶点为)0．（1）求双曲线C 的方程； （2）若直线l ：2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A和B ，且2>⋅OB OA (O 为原点)，求k 的取值范围．解析：（1）设双曲线方程为()2222100x y a b a b-=>>，，则：∵2a c ==，2222a b +=，∴ 21b =，故双曲线C 的方程为2213x y -=．（2）设()()A AB B A x y B x y ，，，，则：2222(13)9013y kx k x x y ⎧=+⎪⇒---=⎨-=⎪⎩， ∵直线l ：2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，∴222222130113)36(13)36(1)0k k k k k ⎧-≠⎪⇒≠<⎨∆=+-=->⎪⎩且，且2291313A B A Bx x x x k k -+==--， ∵2>⋅OB OA ，∴2A B A B x x y y +>，∵2((1)()2A B A B A B A B A B A B x x y y x x kx kx k x x x x +=+=+++∴222223739120331313k k k k k +-+>⇔>⇔<<--， ∴2113k <<，故k的取值范围为3(1(1)33--，，． 例13：（05北京卷）如图，直线(1l y kx k =：2l y kx =-：之间的阴影区域（不含边界）记为W 部分记为W 1，右半部分记为W 2．（I ）分别用不等式组表示W 1和W 2；（II ）若区域W 中的动点()P x y ，到l 1、l 2的距离之积等于2d ，求点P 的轨迹C 的方程；（III ）设不过原点O 的直线l 与（II ）中的曲线C 相交于M 1，M 2两点，且与l 1，l 2分别交于M 3、M 4两点．求证：△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心重合．解析：（I ）(){}(){}1200W x y kx y kx x W x y kx y kx x =<<-<=-<<>，，，，，；（II ）∵直线10l kx y -=：，直线20l kx y +=：，222222||1k x y d d k -=⇔=+， ∵()P x y W ∈，，∴2220k x y ->，∴ 2222222222(1)01k x y d k x y k d k -=⇔--+=+． ∴动点P 的轨迹C 的方程为22222(1)0k x y k d --+=； （III ）分为以下两种情形分别加以证明；①当直线l 与x 轴垂直时，可设直线l 的方程为()0l x a a =≠：，由于直线l 、曲线C 关于x 轴对称，且l 1与l 2关于x 轴对称，于是M 1M 2、M 3M 4的中点坐标都为()0a ，，所以△OM 1M 2、△OM 3M 4的重心坐标都为203a ⎛⎫⎪⎝⎭，，即它们的重心重合； ②当直线l 1与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为()0l y mx n n =+≠：，则：222222222222(1)0()20k x y k d k m x mnx n k d d y mx n ⎧--+=⇒-----=⎨=+⎩， ∵直线l 与曲线C 有两个不同交点，∴22k m ≠且2222222(2)4()()0mn k m n k d d ∆=+-⋅++>， 设()()111222M x y M x y ，，，，则：12222mnx x k m +=-，1212()2y y m x x n +=++，设()()333444M x y M x y ，，，，则：3y kx nx y mx nk m =⎧⇒=⎨=+-⎩；4y kx n x y mx n k m =-⎧-⇒=⎨=++⎩ ∴3412222mnx x x x k m+==+-， ∴()()3434121222y y m x x n m x x n y y +=++=++=+， 故△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心重合． 四、课后反思．。
高三数学一轮复习-第2讲-双曲线教案
第二讲双曲线一、考情分析解析几何是用代数的方法解决几何问题，体现了形数结合的思想，因而这一部分的题目的综合性 比较强，它要求学生既能分析图形，又能灵活地进行各种代数式和三角函数式的变形，这对学生能力 的要求较高．“圆锥曲线”是解析几何的重点内容，特别是在对学生掌握坐标法的训练方面有着不可替代的作 用．本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路，帮助 考生培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养 良好的个性品质，以及勇于探索、敢于创新的精神，进一步提高学生“应用数学”的水平．二、知识归纳（一）椭圆的定义（1）第一定义：平面内与两个定点 F 1、F 2的距离之差的绝对值等于常数 2a2a | F 1F 2 |的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．特征式： MF 1 MF 2 2a 2a |F 1F 2|． Ｐ注：①若2a | F 1F 2 |，则点的轨迹是以 F 1、F 2为端点的两条射线；Ｆ１Ｆ２②若2a | F 1F 2 |，则这样的点不存在； ③若 MF 1MF 22a2a|F 1F 2 |，则点的轨迹仅是双曲线的一支．（2）第二定义：平面内动点到定点的距离和它到一条定直线l 的距离的 比是常数e1，，那么这个点的轨迹叫做双曲线．其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率．ＰＦ特征式：MF e e 1， Fl ． d M l注：若 F l 时，表示过 F 与l 相交的两条直线（不含点 F ）．（二）双曲线的方程（1）双曲线的标准式方程： x m2yn 2① ② 1 a 0， b 0；（焦点在 x 轴的平行线上，中心在m ，n的双曲线方a2b2程）程）y n2xm 21 a 0， b 0．（焦点在 y 轴的平行线上，中心在m ，n的双曲线方a2 b2（2）双曲线的参数方程：x asec x 2 by 2 1 a 0， b0；2 2①y btanax m 2y n21a0，b 0． ②x m asec y n btana2 b2（3）双曲线的向量式方程： OM OF 1 OM OF 2a 2a |OF OF 2 |．2 1（三）性质：对于双曲线 x a 22 by 21a0，b而言， 2（1）范围及特征关系： xa ；a ．bc2 2 2（2）对称性：图象既关于 y 轴对称，又关于 x 轴对称，也关于原点对称．原点叫双曲线的对称中 心，简称中心． x 轴、 y 轴叫双曲线的对称轴．（3）顶点：双曲线和实轴的交点叫做双曲线的顶点． A (a ，0)，A 2(a ，0)；加两焦点F 1(c ，0)，F 2(c ，0)与 B 1(0，b)，B 20，b 共有六个特殊点． A 1A 2叫双曲线的实轴， B 1B 2叫双曲线的虚轴，长分别为2a 、2b ．a 、b 分别为双曲线的实半轴长和虚半轴长．（4）离心率：双曲线焦距与实轴长之比e c e 1(b)2e1．aa注：双曲线形状与e 的关系：e 1，b0，双曲线的开阔程度越小；e，b，双曲aa线的开阔程度越大．（5）双曲线的准线方程：对于 xa22 by 2 2 1，左准线l ：xa 2；右准线l ：x a 2； 12ccy 2 2bx 2 2 1，下准线l 1：ya2；上准线l 2：y a 2对于．c ac（6）焦准距：焦点到准线的距离 p ca2c 2 2a 2 b（焦参数）．c c c（7）通径：经过焦点且垂直于实轴的弦称之为通径，长度为 2ba2．（8）渐近线：双曲线的渐近线方程是 yb x （令 2 by 2 0即可）．x 2 2a a（9）焦半径公式：焦点在 x 轴上的双曲线的焦半径公式： MF 1a ex 0（左焦半径）； MF 2 a ex 0（右焦半径）；焦点在 y 轴上的双曲线的焦半径公式： MF 1a ey 0（下焦半径）； MF 2 a ey 0（上焦半径）；（规律：左加右减，上减下加．）Ｐ（10）焦点三角形：曲线上的点与焦点连线构成的三角形Ｆ１Ｆ２sin 称焦点三角形； Sb2 cot ； e ．（如何证明？） 2 2sin 2（四）等轴双曲线（1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． （2）性质：①渐近线方程为： y x ；②渐近线互相垂直；③离心率 e 2． （3）方程： x y(0)，当0时交点在 x 轴，当0时焦点在 y 轴上．2 2（五）共轭双曲线 （1）定义：如果双曲线 C 1的实轴是双曲线C 2的虚轴，双曲线的虚轴 C 2是双曲线C 1的实轴，这 两个双曲线称为互为共轭双曲线．（2）求法： x a 22by 2 1x 2by 21；222a（3）性质：若共轭双曲线C 1、C 2的离心率分别为e 1、e 2，则：①1 2 e1 2 1；②e 1 e 22 2；③e 1e 22；④ 1 1 2．e e 21e 12（六）双曲线系方程（焦点在 x 轴的上，中心在原点）（1）共焦点的双曲线系： x ；22y 2 2 10 kck k c注：若k c2，则表示共焦点的椭圆系．（2）共渐进线的双曲线系： x a 2 2 by 20． 2注：若 x a 22 by 2，则表示离心率相同的椭圆系． 2三、精典例析（一）活用定义 例1：定点 A9，2，F 2是双曲线C ：xy 1的焦点，Ｐ是双曲线Ｃ的右支上的动点．2 29 16D HP（1）求 PA PF 2的最小值； A（2）求 PA3 PF 2的最小值． 5Ｆ1Ｆ2 解析：（1）双曲线C ：xy1的离心率为 e5，229 163PA PF 2 PA PF 1 2a PA PF 1 6FA 1 610 26； ，取等号时， P3 5（2） PA3 PF 2 PAPDAH36 5 ，2． 5 21引申： PAPF AP d P 准线 d A准线也适用于椭圆、抛物线． e例2：（1）方程 x 12y12x y 2表示什么曲线？（2）方程x 12y 1 2x y2表示什么曲线？x 1 2y1 2 解析：（1）设 Px ，y，则原方程等价于： 2，x y2 2 即： P x ，y 到定点 A 1，1的距离与它到定直线l ：x y 2 0的距离之比为32，故原方程表示以定点 A 1，1为焦点，以定直线l ：x y 20为准线的双曲线．（2）∵ A1，1l ：xy 2 0，∴原方程表示过定点 A 1，1，与定直线l ：x y 2 0相交的直线 x 1与 y1．例3：一炮弹在某处爆炸，在A 处听到爆炸声的时间比在B 处晚2s ． （1）爆炸点应在什么样的曲线上？（2）已知A 、B 两地相距800m ，并且此时声速为340m/ s ，求曲线的方程．分析：解应用题的关键是建立数学模型根据本题设和结论，注意到在A 处听到爆炸声的时间比B 处晚2s,这里声速取同一个值解析：（1）由声速及A 、B 两处听到爆炸声的时间差，可知A 、B 两处与爆炸点的距离的差，因此 爆炸点应位于以A 、B 为焦点的双曲线上．∵爆炸点离A 处比离B 处更远，∴爆炸点应在靠近B 处的一支上．（2）建立直角坐标系 xoy （如图），设爆炸点P 的坐标为 P(x ，y)，则：yPA PB 340 2 680，即 a340，P ∵ AB800，∴ c400，b 2 c 2 a244400，OxBAx2y 2 故所求双曲线的方程为：1x0．115600 44400 点评：利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置．如果再增设一个观测点C ，利用B 、C(或A 、C)两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置．这 是双曲线的一个重要应用，强化学生“应用数学”的意识．思考：如果A 、B 两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上．（爆炸点应在线段ＡＢ 的中垂线上）x 2 y2例4：方程k 表示什么曲线？25k k9解析：（1）当k 0时，表示焦点在 y 轴上的双曲线；（2）当k 0时，表示两条相交直线 y 3 x ； 5（3）当0 k 9时，表示焦点在 x 轴上的双曲线； （4）当9k25时，表示椭圆型曲线，①若9k 17时，表示焦点在 x 轴上的椭圆；②若k 17时，表示圆 x ③若17k25时，表示焦点在 y 轴上的椭圆；（5）当k 25时，表示焦点在 y 轴上的双曲线．y 2 2136； （二）活用性质例5：（1）（05湖南卷）已知双曲线 x a 22 by 21 a 0， b 0的右焦点为F ，右准线与一条渐近23a2线交于点A ，△OAF的面积为 （O 为原点），则两条渐近线的夹角为．2（2）（05福建卷）已知F 1、F 2是双曲线 2by 1(a0,b 0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正x 2 2a2三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是．解析：（1）∵右焦点为 F c ，0，右准线 xa ，渐近线 ybx ，2caa 2ab ，c ，S 1 cab c 1 ab ，∴ A c 2 2∵△OAF的面积为 a2，∴ 3ab e2，2 故两条渐近线的夹角为．3（2）运用正三角形的特性知：边MF 1的中点坐标是c ，3 c ，则：2 223 c 2 2c 2∵ 14a 4 8a 2 b2c 4e 4 8e 210，a 2 c a2 2∴e24 2 3e 31．例6：双曲线的渐进线方程为 y 3 x ，求双曲线的离心率． 4解析：设 x24y 2 0，169 （1）当0时，a （2）当0时，a 2 2 16， b 9，c2 25，∴ e5 ； 4 9， b 16，c2 25，∴ e 5；3 故双曲线的离心率是 e 5 或 e 5．4 35的焦点，且sin B A 1 C cos ，求点C 的轨迹方程．2 2 2 例7：ABC 中， A 、B 是 x2 5y 2解析：∵ x 2 5y25x y221，∴ A 2，0、B 2，0，AB 4．5∵sin B A 1cos C 2sin B Acos B A C B A ，2 cos cos2 2 2 2 2 2∴sin B sin A 1sinC AC BC 1 AB 2，2 2故点C 的轨迹方程是 x2y1 x1．23（三）焦半径公式及焦点三角形例8：已知双曲线的左右两焦点分别为 F 1、F 2，点M 是双曲线上不重合于顶点的一点，点P 为MF 1F 2的内心，证明：点P 在 x 轴上的射影是双曲线的顶点．解析：（1）若点M 在双曲线右支上，过P 作PN 垂直 F 1F 2 于点N ，设右顶点为Ａ，则：NF 1 MF 1F 1F 2 MF 22c 2a ca ， Ｍ 2 2ＰNF 2 MF 2F 1F 2 MF 1 2a 2c ca ，Ｆ1 ＡＦ222∵ F 1 Ac a ，AF 2 a c ，∴右顶点Ａ与点N 重合．故点P 在 x 轴上的射影就是双曲线的右顶点．（2）若点M 在双曲线左支上，同理可证，点P 在 x 轴上的射影是双曲线的左顶点．例9：已知双曲线的左右两焦点分别为 F 1、F 2 ，点M 是双曲线右支上不重合于顶点的一点，设MF 1F 2，MF 2F 1 ，若 sin1cos 1．sin1cos3（1）求双曲线的离心率；（2）如果动点M 的坐标为x, y，且 4x2 2 5xy 4y2有最小值15时，求双曲线的方程． tansin 1cos sin 1cos 讲解：（1）如果对三角公式较为熟悉，不难发现：2． tan 2所以，要求双曲线的离心率，只需考虑如何用a 、b 、c 、e 来表达 tan tan2 即可．2法1：设双曲线的实轴长为2a ，焦距为 2c ，点P 为MF 1F 2的内心，过P 作PN 垂直 F 1F 2 于点N ，则：tan 2PN ，tanPN，NF 1 NF 2Ｍ 2 P又 NF 1MF 1F 1F 2 MF 22c 2a ca ，N2 2Ｆ2OＦ2NF 2 MF 2F 1F 2 MF 1 2a 2c ca ，22tan∴ sin 1cos 12＝ NF 2 c a e 1， NF 1 c a e 13 sin1costan 2∴ e 2．法2：直接利用正、余弦定理也可得出结论．tan2 1 sinsin sin cos cos sin tan2 2 2 2 2 2 2esin sin cos cos2．sinsin tan22 2 2 2 221 tan2（2）∵ e 2b 23a 2，∴M 的坐标x, y适合方程3x 2 y 23a ，2∵ 4x2 5xy4y223x 2 y 2 xy 2 5y 22 5xy15．（等号当且仅当 x5 y 5 42时取得）．3a223x 2y22x5y3x2214∴ a25,b 15，双曲线的方程为： x 2y 1．25 15（四）焦点弦：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦．例10：过双曲线 xy1的左焦点Ｆ1作倾斜角为的弦ＡＢ，求 AB 及F 2AB 的周长．22 36解析：设 A x 1，y 1，Bx 2，y 2，则：Ｂ3y x 2A8x 2 4x 13 0， 2 x 2y 13Ｆ1ＯＦ2显然，0，且 x 1 x 2 1，x 1x 213 8 ， 2 法1： AB 1k2x 1 x 2 3． 法2： ABBF 1 AF 112x 2 12x 1 12x 2 12x 1 2 2x 1 x 23．F 2AB 的周长为：3AF 2BF 2 312x 1 12x 2 312x 112x 232x 2x 133 3．引申：设两交点 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则： （1）当双曲线焦点在 x 轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关： ①过左焦点与左支交于两点时，此时， kb ， AB AF 1 BF 1 2a e(x 1x 2)；a②过左焦点与左、右两支交于两点时，此时， kb ， AB AF 1 BF 1 2a e(x 1 x 2)；a③过右焦点与右支交于两点时，此时， kb ， AB AF 1BF 1 2a e(x 1x 2)；a④过左焦点与左、右两支交于两点时，此时， kb ， AB AF 1 BF 1 2a e(x 1x 2)．a（2）当双曲线焦点在 y 轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关． （五）中点弦 例11：双曲线C ：x2y21上是否存在被点 B 1，1平分的弦？2解析：显然，点 B 1，1在双曲线外，若存在被点 B1，1平分的弦MN ，则弦的斜率必存在．设 Mx 1，y 1，Nx 2，y 2，则：2x 1 2 y 122 2y 1 y 22x 1 x 2 k2，故l ：y 1 2 x 1；x 1x 2 y 1y 22x 22 y22y 12x 1 2x24x3 0，8 0，2 x 2 y 12故双曲线C ：x2y2 1上不存在被点 B1，1平分的弦．2引申：（1）若点 B 在双曲线内，则以点 B 为中点的弦必存在；（2）若点 B 在双曲线外，则以点 B 为中点的弦可能存在，也可能不存在． （六）直线与双曲线相交问题例12：(05重庆卷)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为2，0，右顶点为，3 0．（1）求双曲线C 的方程； （2）若直线l ：y kx 2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA OB2 (O 为原点)，求k 的取值范围．解析：（1）设双曲线方程为 x a 22 by 2 1a 0， b0，则： 2∵ a3， c 2，a 2 b 2 2 2 ，∴ b 21，故双曲线C 的方程为 x2y21．3y kx 2 （2）设 A(x A ，y A )，B(x B ，y B )，则：(13k )x2 26 2kx 9 0，x 2y 123 ∵直线l ： y kx 2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，∴13k20 k(6 2k) 36(13k )36(1k )2 2 2 2 1且k 21，3 6 2k 2，x A x B 9且 x A x B 13k 13k2∵OA OB2，∴ x A x By A y B 2，∵ x A x By A y Bx A x B(kx A2)(kx B2) (k 2 1)x A x B2k(x A x B )21) 9 22k 1632kk 22 33kk213k27 1(k 2∴ 3k3k27 2 3k 1 3k29 0 1k 23，2 2 1 31 k21，∴3故k 的取值范围为(1，3)( 3，1)． 33Ｌ1 例13：（05北京卷）如图，直线l 1：ykxk与直线 l 2：y kx 之间的阴影区域（不含边界）记为W ，其左半W 2W 1Ｏ部分记为W 1，右半部分记为W 2．Ｌ2 （I ）分别用不等式组表示W 1和W 2； （II ）若区域W 中的动点 Px ，y到l 1、l 2的距离之积等于d 2，求点P 的轨迹C 的方程；（III ）设不过原点O 的直线l 与（II ）中的曲线C 相交于M 1，M 2两点，且与l 1，l 2分别交于M 3、 M 4两点．求证：△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心重合．解析：（I ）W 1 x ，y kx y kx ，x 0，W 2 x ，y kx ykx ，x 0； （II ）∵直线l 1：kx y 0，直线l 2：kx y 0，∴ | kxy || kx y |d | k2 x 2 y 12 | d2，22k21 k12k ∵ P x ，y W ，∴k 2x 2 y 20，k 2 x 2 y 12d 2 k 2 x 2 y 22(k 2 1)d20．∴ k 2∴动点P 的轨迹C 的方程为k2xy 2 (k2 1)d2 0；（III ）分为以下两种情形分别加以证明；①当直线l 与 x 轴垂直时，可设直线l 的方程为l ：xa a 0，由于直线l 、曲线C 关于 x 轴 对称，且l 1与l 2关于 x 轴对称，于是M 1M 2、M 3M 4的中点坐标都为a ，0，所以△OM 1M 2、△OM 3M 4的重心坐2标都为a ，0，即它们的重心重合；3②当直线l 1与 x 轴不垂直时，设直线l 的方程为l ：ymxnn，则：k2 x 2 y (k 1)d2 2 2(ky mx nm )x 2mnx n k d d0，2 2 2 2 2 2 2 ∵直线l 与曲线C 有两个不同交点，∴k 2 m 2 且(2mn) 2 4(k 2 m 2 )(n 2 k 2 d 2 d 2 ) 0，2mn 设 M 1x 1，y 1，M 2 x 2，y 2 ，则： x 1 x 2设 M 3x 3，y 3，M 4 x 4，y 4 ，则：， y 1 y 2 m(x 1 x 2)2n ， k 2 m 2 y kx n y kx y mx n n x 4 y mx n x 3； k m k m 2mn ∴ x 3x 4 x 1 x 2， k 2 m 2 ∴ y 3 y 4 m x 3 x 42n m x 1 x 22n y 1 y 2，故△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心重合．四、课后反思 ．。
高三数学一轮复习 专题 双曲线导学案(无答案) 学案
双曲线及其标准方程（第一课时）一、课时目标：1.了解双曲线的定义、几何图形2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题． 二、知识梳理：1. 定义:平面内，与两个定点F 1，F 2 距离的差的绝对值为______(小于21F F ) 的点的轨迹。
定义式：{}21212F F a PF PF P <=-（1） 2121F F PF PF =-，点P 的轨迹为________ （2） 2121F F PF PF >-,点P 的轨迹为_________ 2．双曲线的标准方程及图形三、知识运用A1、双曲线13422=-y x 上一点P 到其中一个焦点的距离为5，到另外一个焦点的距离为 A2、双曲线064422=+-y x 上一点P 到它的一个焦点的距离等于1，那么P 到另一个焦点的距离为A3、双曲线191622=-y x 的焦距为（ ）A 、10 B 、7 C 、 72 D 、5 A4、双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫22，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0C ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0D ．(3，0)A5、双曲线x 2m －y23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( )A .12B ．1或3C .1＋22D .2－12A6、已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a(a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B7、已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于( ) A.23B ．1C ．2 D4 C8、k >9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的( )A ．充要条件B 充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件C9、设21\F F 是双曲线12422=-y x 的两个焦点，P 是双曲线上的点，且2143PF PF =则21F PF ∆的面积为（ ）A 、24 B 、38 C 、24 D 、48 四、例题分析例1、求适合下列条件的双曲线方程A （1）焦点（-5,0）、（5,0）双曲线上一点到两焦点的距离差的绝对值等于6 A(2)焦点在x 轴上，3,4==b a 双曲线的标准方程为B （3）焦点为（0,6）、（0，-6），且经过点(2，-5) C(4)经过两点A （-7，-)3,72(),26B例2、A(1)如果12,F F 分别是双曲线191622=-y x 的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点1F 的弦，且||6AB =，则2ABF ∆的周长是．C(2)一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．抛物线B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆C 思考题：设F 1、F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|＝五、课堂小结：1、双曲线的定义:________________________2、双曲线的标准方程 ：先定位，再定量 ，解决不了就讨论分类 ⎪⎩⎪⎨⎧)3()2()1(（3、(C 层)解决焦点三角形的方法⎩⎨⎧)2()1( 作业：A1、焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B .x 23－y 2＝1 C ．y 2－x 23＝1 D .x 22－y22＝1C2、已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )A .x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C .x 22－y 23＝1 D .x 23－y22＝1 C3、已知方程x 21＋k －y21－k＝1表示双曲线，则k 的取值X 围是________．C4、F 1、F 2是双曲线x 29－y216＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝双曲线的简单几何性质一、课时目标:1、 理解双曲线的X 围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，2、 会根据几何性质求双曲线方程，及学会由双曲线的方程研究几何性质． 二、知识梳理1.双曲线的简单几何性质标准 方程 x 2a 2－y2b 2＝1 (a>0，b>0)y 2a 2－x2b 2＝1 (a>0，b>0)图形X 围 焦点对称性 关于______轴对称，关于原点对称顶点轴长 实轴长=______,虚轴长=_______ 渐近线Y ＝±a bx离心率e ＝c a>1三、知识运用A1．下列曲线中离心率为62的是( ) A .x 22－y 24＝1 B .x 24－y 22＝1C .x 24－y 26＝1 D .x 24－y210＝1 A2．双曲线x 225－y24＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±25xB ．y ＝±52xC ．y ＝±425xD ．y ＝±254xA3．设双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22x D ．y ＝±12x A4．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝x ，则双曲线的方程为( )A ．2x 2－4y 2＝1B ．8x 2－8y 2＝3C ．2y 2－4x 2＝1D ．8y 2－8x 2＝3C5.已知双曲线x 22－y 2b2＝1(b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝( ) A ．－12 B ．－2C0 D ．4C6．两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a>b ，则双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的离心率e ＝______.四．例题分析A 例1：求双曲线 的实半轴和虚半轴、焦点坐标、 离心率、渐近线方程。
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.6 双曲线教学案 苏教版-苏教版高三全册数学教学案
第六节双曲线[最新考纲] 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a <2c )的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>|F1F2|时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝±bax y＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实、虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)[常用结论]双曲线中的几个常用结论 (1)焦点到渐近线的距离为b .(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a.(5)过双曲线焦点F 1的弦AB 与双曲线交在同支上，那么AB 与另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为4a ＋2|AB |.(6)双曲线的离心率公式可表示为e ＝1＋b 2a2.一、思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )(2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线． ( )(3)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2. ( ) [答案](1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、教材改编1．假设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离心率为( )A. 5 B ．5 C. 2 D ．2 A [由题意可知b ＝2a ，∴e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝5，应选A.] 2．以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 ( )A ．x 2－y 23＝1B.x 23－y 2＝1 C ．x 2－y 22＝1D.x 24－y 23＝1 A [设所求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由椭圆x 24＋y 23＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，在x 轴上的顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0). 所以a ＝1，c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝3，所以双曲线标准方程为x 2－y 23＝1.]3．假设方程x 22＋m －y 2m ＋1＝1表示双曲线，那么m 的取值范围是 ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) [因为方程x 22＋m －y 2m ＋1＝1表示双曲线，所以(2＋m )(m ＋1)＞0，即m ＞－1或m ＜－2.]4．双曲线x 2－y 216＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于 ．6 [设双曲线的焦点为F 1，F 2，|PF 1|＝4，那么||PF 1|－|PF 2||＝2，故|PF 2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c －a ＝17－1，故|PF 2|＝6.]考点1 双曲线的定义及其应用 双曲线定义的主要应用(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．(1)圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，那么动圆圆心M 的轨迹方程为 ．(2)F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，那么|PF |＋|PA |的最小值为 ．(3)F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，那么c os∠F 1PF 2＝ .(1)x 2－y 28＝1(x ≤－1) (2)9 (3)34[(1)如下图，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A和B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |.因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|.根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，那么b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．(2)设双曲线的右焦点为F 1，那么由双曲线的定义，可知|PF |＝4＋|PF 1|，所以当|PF 1|＋|PA |最小时满足|PF |＋|PA |最小．由双曲线的图象，可知当点A ，P ，F 1共线时，满足|PF 1|＋|PA |最小，|AF 1|即|PF 1|＋|PA |的最小值．又|AF 1|＝5，故所求的最小值为9.(3)因为由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22， 所以|PF 1|＝2|PF 2|＝42，所以cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝422＋222－422×42×22＝34.] [母题探究]1．将本例(3)中的条件“|PF 1|＝2|PF 2|〞改为“∠F 1PF 2＝60°〞，那么△F 1PF 2的面积是多少？[解] 不妨设点P 在双曲线的右支上， 那么|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2 3.2．将本例(3)中的条件“|PF 1|＝2|PF 2|〞改为“PF 1→·PF 2→＝0〞，那么△F 1PF 2的面积是多少？[解] 不妨设点P 在双曲线的右支上， 那么|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝4，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝2.在“焦点三角形〞中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．1.虚轴长为2，离心率e ＝3的双曲线的两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线的一支于A ，B 两点，且|AB |＝8，那么△ABF 2的周长为( )A ．3B ．16＋ 2C ．12＋ 2D ．24B [由于2b ＝2，e ＝c a＝3，∴b ＝1，c ＝3a ，∴9a 2＝a 2＋1，∴a ＝24. 由双曲线的定义知，|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝22， ①|BF 2|－|BF 1|＝22， ②①＋②得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝2， 又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝8＋2，那么△ABF 2的周长为16＋2，应选B.]2．(2019·洛阳模拟)双曲线x 2－y 2＝4，F 1是左焦点，P 1，P 2是右支上的两个动点，那么|F 1P 1|＋|F 1P 2|－|P 1P 2|的最小值是 ．8 [设双曲线的右焦点为F 2，∵|F 1P 1|＝2a ＋|F 2P 1|，|F 1P 2|＝2a ＋|F 2P 2|，∴|F 1P 1|＋|F 1P 2|－|P 1P 2|＝2a ＋|F 2P 1|＋2a ＋|F 2P 2|－|P 1P 2|＝8＋(|F 2P 1|＋|F 2P 2|－|P 1P 2|)≥8(当且仅当P 1，P 2，F 2三点共线时，取等号)，∴|F 1P 1|＋|F 1P 2|－|P 1P 2|的最小值是8.]考点2 双曲线的标准方程 求双曲线标准方程的方法(1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a 2，b 2，得双曲线方程． (2)待定系数法：即“先定位，后定量〞． ①焦点位置不确定时，设Ax 2＋By 2＝1(AB <0)；②与x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；③与x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k＝1(－b 2<k <a 2)．(1)(2019·大连模拟)F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF 2与x 轴垂直，∠PF 1F 2＝30°，且虚轴长为22，那么双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 22＝1B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 28＝1 D ．x 2－y 22＝1(2)根据以下条件，求双曲线的标准方程： ①虚轴长为12，离心率为54；②渐近线方程为y ＝±12x ，焦距为10；③经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)；(1)D [(1)由题意可知|PF 1|＝43c 3，|PF 2|＝23c 3，2b ＝22，由双曲线的定义可得43c3－23c 3＝2a ，即c ＝3a .又b ＝2，c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝1，∴双曲线的标准方程为x 2－y 22＝1，应选D.](2)[解] ① 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)． 由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.②设所求双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)， 当λ>0时，双曲线标准方程为x 24λ－y 2λ＝1，∴c ＝5λ.∴5λ＝5，λ＝5；当λ<0时，双曲线标准方程为y 2－λ－x 2－4λ＝1，∴c ＝－5λ.∴－5λ＝5，λ＝－5.∴所求双曲线方程为x 220－y 25＝1或y 25－x 220＝1.③设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1.(mn >0)∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线方程为y 225－x 275＝1.(1)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a ＜|F 1F 2|；③焦点所在坐标轴的位置．(2)求双曲线标准方程时，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论．1.(2019·荆州模拟)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点构成一个等边三角形，那么双曲线C 的标准方程是( )A.x 212－y 2＝1 B.x 29－y 23＝1 C ．x 2－y 23＝1D.x 223－y 232＝1 C [由双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点构成一个等边三角形，可得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－3b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，∴双曲线C 的标准方程是x 2－y 23＝1，应选C.]2．双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0，焦点坐标为(±5,0)，那么双曲线的方程为 ．x 216－y 29＝1 [将3x ±4y ＝0化为x 4±y 3＝0，设以x 4±y 3＝0为渐近线的双曲线方程为x 216－y 29＝λ(λ≠0)，因为该双曲线的焦点坐标为(±5,0)，所以16λ＋9λ＝25，解得λ＝1，即双曲线的方程为x 216－y 29＝1.] 考点3 双曲线的几何性质双曲线的渐近线 求双曲线的渐近线的方法求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±ab x .反之，渐近线方程为y ＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a >0，b >0，λ≠0)． 1.[一题多解](2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，那么其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x A [法一：(直接法)由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，即b a＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x .法二：(公式法)由e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b a＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±b ax ＝±2x .]2．(2019·揭阳一模)双曲线mx 2＋y 2＝1的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，那么m 的值为( )A ．－14B ．－1C ．－2D ．－4D [因为m ＜0，那么双曲线为：y 2－x 2－1m＝1，渐近线方程为：±－mx ＋y ＝0，所以－m ＝2，解得m ＝－4，应选D.]3．(2019·郑州模拟)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P是C 上一点，假设|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角的大小为30°，那么双曲线C 的渐近线方程是( )A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0B [假设点P 在双曲线的右支上，那么⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .∵|F 1F 2|＝2c ＞2a ，∴△PF 1F 2最短的边是PF 2， ∴△PF 1F 2的最小内角为∠PF 1F 2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理得4a 2＝16a 2＋4c 2－2×4a ×2c ×cos 30°， ∴c 2－23ac ＋3a 2＝0，∴e 2－23e ＋3＝0，∴e ＝3，∴c a＝3， ∴c 2＝3a 2，∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b 2＝2a 2，∴b a＝2， ∴双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0，应选B.]4．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，假设双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)经过点(3,4)，那么该双曲线的渐近线方程是 ．y ＝±2x [∵双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，∴32－16b2＝1，解得b 2＝2，即b ＝ 2. 又a ＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y ＝±2x .]双曲线的离心率求双曲线的离心率或其范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．(1)点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 作垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，假设△ABE 是锐角三角形，那么该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(2,1＋2)D ．(1,1＋2)(2)(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．假设F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，那么C 的离心率为 ．(1)B (2)2 [(1)假设△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF ＜45°，在Rt△AFE 中，|AF |＝b 2a ，|FE |＝a ＋c ，那么b 2a＜a ＋c ，即b 2＜a 2＋ac ，即2a 2－c 2＋ac ＞0，那么e 2－e －2＜0，解得－1＜e ＜2，又e ＞1，那么1＜e ＜2，应选B.(2)如图，由F 1A →＝AB →，得F 1A ＝AB .又OF 1＝OF 2，所以OA 是三角形F 1F 2B 的中位线，即BF 2//OA ，BF 2＝2OA .由F 1B →·F 2B →＝0，得F 1B ⊥F 2B ，OA ⊥F 1A ，那么OB ＝OF 1，所以∠AOB ＝∠AOF 1，又OA 与OB 都是渐近线，得∠BOF 2＝∠AOF 1，又∠BOF 2＋∠AOB ＋∠AOF 1＝π，得∠BOF 2＝∠AOF 1＝∠BOA ＝60°，又渐近线OB 的斜率为b a ＝tan 60°＝3， 所以该双曲线的离心率为e ＝ca ＝1＋b a 2＝1＋32＝2.]双曲线的渐近线的斜率k 与离心率e 的关系：k ＝b a ＝c 2－a 2a ＝c 2a 2－1＝e 2－1. 1.(2019·衡水模拟)双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，假设双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，那么双曲线C 1的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，233 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞ C ．(1,2) D ．(2，＋∞)A [由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a,0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab |a 2＋b 2<12a ，即c >2b ，即c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以 c 2>4(c 2－a 2)，即c 2<43a 2，所以e ＝c a <233，又知e >1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1，233.] 2．(2019·济南模拟)双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．假设矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，那么E 的离心率是 ．2 [由得|AB |＝|CD |＝2b 2a ，|BC |＝|AD |＝|F 1F 2|＝2c .因为2|AB |＝3|BC |，所以4b 2a＝6c ， 又b 2＝c 2－a 2，所以2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2，或e ＝－12(舍去)．]。
高中数学双曲线优质教案
高中数学双曲线优质教案
年级：高中
课题：双曲线
教学目标：
1. 掌握双曲线的定义和性质；
2. 熟练掌握双曲线的标准方程和重要公式；
3. 能够运用双曲线的性质解决实际问题。
教学重点与难点：
重点：双曲线的定义和性质、标准方程、焦点、渐近线等重点知识点。
难点：双曲线的焦点和渐近线的理解与应用。
教学准备：
1. 教材《高中数学》；
2. 教学课件；
3. 黑板和彩色粉笔；
4. 相关练习题。
教学过程：
一、导入（5分钟）
通过展示双曲线的图像或相关现实生活中的例子引入双曲线的概念，并引出双曲线的定义和性质。
二、讲解（15分钟）
1. 讲解双曲线的定义、标准方程和性质；
2. 讲解双曲线的焦点、渐近线等重要知识点。
三、练习（20分钟）
根据教学内容设计一些练习题，让学生在课堂上进行练习，巩固所学知识，同时引导学生掌握解题方法。
四、拓展（10分钟）
引导学生从现实生活中找出双曲线的应用场景，让学生探讨双曲线在现实中的应用，并引导学生深入了解双曲线的更多性质。
五、作业布置（5分钟）
布置相关作业，让学生进行巩固练习。
教学反思：
通过该课，学生应该掌握双曲线的基本概念、性质和计算方法，能够应用所学知识解决相关问题。
同时，老师应该关注学生对双曲线性质的理解深度和应用能力，及时进行个别辅导和指导。
高三数学一轮总复习第八章解析几何8.6双曲线课件
C1，C2在第二、四象限的公共点。若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是 ()
3
6
A. 2 B. 3 C.2 D. 2
24
(3)若双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)右顶点为A，过其左焦点F作x轴的垂线交双 →→
曲线于M，N两点，且MA·NA＞0，则该双曲线的离心率的取值范围为( ) A．(2，＋∞) B．(1,2) C.23，＋∞ D.1，32 解析：(1)∵e＝ac＝ 25， ∴e2＝ac22＝a2＋a2 b2＝54。 ∴a2＝4b2，ba＝12。 ∴渐近线方程为y＝±bax＝±12x。 (2)椭圆C1中，|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2 3。
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5．若双曲线1y62 －xm2＝1的离心率e＝2，则m＝__4_8_______。 解析：由题意得a2＝16，b2＝m， ∴c2＝a2＋b2＝16＋m， 又e＝2，由ac22＝e2，得161＋6 m＝4，∴m＝48。
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课堂学案 考点通关
考点例析 通关特训
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考点一
双曲线的定义及标准方程
【例1】
25
又因为四边形AF1BF2为矩形， 所以∠F1AF2＝90°。 所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，
所以|AF1|＝2－ 2，|AF2|＝2＋ 2。
所以在双曲线C2中，2c＝2
3，2a＝|AF2|－|AF1|＝2
2，故e＝ac＝
3＝ 2
26，故选D项。
(3)由题意，可得M－c，ba2，N－c，－ba2，A(a,0)，
23
考点二
双曲线的几何性质及应用
【例2】
(1)已知双曲线C：
x2 a2
－
y2 b2
2022版高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第六讲 双曲线学案(含解析)新人教版
学习资料2022版高考数学一轮复习第八章解析几何第六讲双曲线学案（含解析）新人教版班级：科目：第六讲双曲线知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2｜）__的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__焦点__,两焦点间的距离叫做双曲线的__焦距__．注:设集合P＝｛M｜｜｜MF1|－|MF2｜｜＝2a｝，|F1F2|＝2c,其中a，c为常数，且a＞0，c＞0；(1）当a＜c时，P点的轨迹是__双曲线__；(2)当a＝c时,P点的轨迹是__两条射线__；(3)当a＞c时，集合P是__空集__．知识点二双曲线的标准方程和几何性质标准方程错误!－错误!＝1(a＞0,b＞0）错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0) 图形性质范围x≥a或x≤－a,y∈R x∈R,y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1__（－a,0)__，A2__(a,0）__顶点坐标：A1__（0，－a）__，A2__（0，a)__渐近线y＝__±错误!x__y＝__±错误!x__离心率e＝错误!，e∈(1,＋∞),其中c＝错误!实虚轴线段A1A2叫做双曲线的__实轴__,它的长｜A1A2｜＝__2a__;线段B1B2叫做双曲线的__虚轴__，它的长|B1B2｜＝__2b__；__a__叫做双曲线的__实半轴长__，b叫做双曲线的__虚半轴长__a、b、c的关系c2＝a2＋b2（c＞a＞0，c＞b＞0）错误!错误!错误!错误!双曲线中的几个常用结论(1）焦点到渐近线的距离为b．（2）实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝错误!⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系）．(3)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为错误!（通径）．过双曲线的焦点与双曲线一支相交所得弦长的最小值为2b2a；与两支相交所得弦长的最小值为2a．（4）过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|．（5)双曲线的离心率公式可表示为e＝错误!．(6)双曲线的形状与e的关系：|k｜＝错误!＝错误!＝错误!,e越大,即渐近线斜率的绝对值就越大,双曲线开口就越开阔．（7）错误!－错误!＝1(a＞0，b＞0)与错误!－错误!＝1（a＞0,b＞0)互为共轭双曲线,其离心率倒数的平方和为1．．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√"或“×”)(1）平面内到点F1（0,4），F2（0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．（×）（2)方程错误!－错误!＝1（mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线．(×）（3)双曲线方程x2m2－错误!＝λ（m＞0,n＞0，λ≠0)的渐近线方程是错误!－错误!＝0,即错误!±错误!＝0．(√)（4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于错误!．（√)（5）若双曲线错误!－错误!＝1(a＞0,b＞0）与错误!－错误!＝1（a＞0,b＞0）的离心率分别是e1，e2，则1e21＋错误!＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线）．（√）题组二走进教材2．（必修2P61T1)若双曲线错误!－错误!＝1(a＞0，b＞0）的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（A)A．错误!B．5C． 2 D．2［解析］由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为错误!±错误!＝0,即bx±ay＝0,∴2a＝错误!＝b．又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2．∴e2＝错误!＝5,∴e＝错误!．3．（必修2P61A组T3）已知a＞b＞0,椭圆C1的方程为错误!＋错误!＝1，双曲线C2的方程为错误!－错误!＝1,C1与C2的离心率之积为错误!，则C2的渐近线方程为(A）A．x±2y＝0 B．错误!x±y＝0C．x±2y＝0 D．2x±y＝0[解析]椭圆C1的离心率为错误!，双曲线C2的离心率为错误!，所以错误!·错误!＝错误!，即a4＝4b4，所以a＝错误!b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±错误!x，即x±错误!y＝0．题组三走向高考4．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x2a2－错误!＝1（a＞0，b＞0)的离心率为错误!，则其渐近线方程为（A)A．y＝±错误!x B．y＝±错误!xC．y＝±错误!x D．y＝±错误!x[解析]由题意e＝错误!＝错误!＝错误!，∴错误!＝错误!,∴双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x,故选A．5．（2020·新课标Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2－错误!＝1的两个焦点,O为坐标原点，点P在C上且|OP｜＝2，则△PF1F2的面积是（B)A．错误!B．3C．错误!D．2[解析］由题意可得a＝1，b＝3，c＝2，∴|F1F2|＝2c＝4，∵|OP|＝2，∴|OP｜＝错误!|F1F2|,∴△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥PF2，∴｜PF1｜2＋｜PF2|2＝4c2＝16，∵｜｜PF1|－|PF2｜｜＝2a＝2，∴｜PF1|2＋|PF2|2－2|PF1｜·｜PF2|＝4,∴｜PF1｜·｜PF2｜＝6,∴△PF1F2的面积为S＝错误!｜PF1|·|PF2｜＝3，故选B．考点突破·互动探究考点一双曲线的定义及其应用——自主练透例1 (1）已知定点F1（－2,0)，F2（2，0），N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是(B）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆（2）（2021·河南洛阳统考)已知F是双曲线错误!－错误!＝1的左焦点，A(1，4），P 是双曲线右支上的动点，则｜PF｜＋｜P A|的最小值为__9__．[解析](1）如图,连接ON，由题意可得|ON｜＝1，且N为MF1的中点,又O为F1F2的中点，∴|MF2｜＝2．∵点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,由垂直平分线的性质可得｜PM|＝|PF1｜,∴|｜PF2|－｜PF1｜｜＝｜｜PF2|－|PM｜｜＝|MF2|＝2＜｜F1F2|，∴由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线．(2)设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知｜PF｜＝4＋｜PF1|，所以当｜PF1|＋｜P A｜最小时满足|PF｜＋｜P A｜最小．由双曲线的图形可知，当点A，P，F1共线时,满足|PF1｜＋｜P A｜最小,|AF1|即|PF1｜＋|P A｜的最小值．又｜AF1｜＝5，故所求的最小值为9．名师点拨（1)利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．(2）在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理,经常结合｜｜PF1｜－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与｜PF1|·|PF2|的联系．〔变式训练1〕（1）在△ABC中,B(4，0)，C(－4，0），动点A满足条件sin B－sin C＝错误!sin A时，则点A的轨迹方程为__错误!－错误!＝1(x＞2)__．(2）（2021·广东佛山质检）已知P为双曲线C：错误!－错误!＝1（a＞0,b＞0)上一点，O为坐标原点，F1,F2为双曲线C左右焦点．若|OP|＝｜OF2｜,且满足tan∠PF2F1＝3，则双曲线的离心率为（C）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!［解析]（1)设A的坐标为（x，y）,在△ABC中，由正弦定理,得错误!＝错误!＝错误!＝2R（其中R为△ABC外接圆的半径），代入sin B－sin C＝错误!sin A，得错误!－错误!＝错误!错误!．又∵|BC｜＝8，∴｜AC｜－|AB｜＝4，因此A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)，且2a＝4,2c＝8，即a＝2，c＝4,b2＝c2－a2＝12．所以所求A点的轨迹方程为错误!－错误!＝1(x＞2)．(2)点P在双曲线C的右支上，且满足|OP｜＝｜OF2｜,即有O为△PF1F2外接圆的圆心,即有∠F1PF2＝90°，由双曲线的定义可得|PF1｜－|PF2|＝2a，∵tan∠PF2F1＝3，所以｜PF1｜＝3｜PF2｜，则|PF1|＝3a，｜PF2｜＝a，由｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2|2，即（3a)2＋a2＝4c2，即有c2＝错误!a2，e＝错误!知，故选C．考点二双曲线的标准方程——师生共研例2 根据下列条件,求双曲线的标准方程:（1)与已知双曲线x2－4y2＝4有共同渐近线且经过点(2，2）；(2）渐近线方程为y＝±错误!x，焦距为10；（3)经过两点P（－3,2错误!)和Q(－6错误!，－7）;(4）双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为2，且过点（4，－错误!）．[解析］(1)设所求双曲线方程为x2－4y2＝λ(λ≠0），将(2，2）的坐标代入上述方程,得22－4·22＝λ，∴λ＝－12．∴所求双曲线方程为错误!－错误!＝1．（2)设所求双曲线方程为错误!－y2＝λ（λ≠0）,当λ＞0时，双曲线标准方程为错误!－错误!＝1,∴c＝错误!．∴错误!＝5，λ＝5；当λ＜0时，双曲线标准方程为错误!－错误!＝1，∴c＝错误!．∴错误!＝5，λ＝－5．∴所求双曲线方程为错误!－错误!＝1或错误!－错误!＝1．(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1．(mn＞0)∴错误!解之得错误!∴双曲线方程为错误!－错误!＝1．（4)依题意，e＝错误!⇒a＝b．设方程为错误!－错误!＝1，则错误!－错误!＝1,解得m＝6．∴错误!－错误!＝1．名师点拨求双曲线的标准方程的方法（1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线定义，确定2a，2b或2c,从而求出a2,b2，写出双曲线方程．（2）待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量"，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为Ax2＋By2＝1(AB＜0)，根据条件确定A、B即可．特别的①与双曲线x2a2－错误!＝1（a＞0，b＞0）共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－错误!＝λ（λ≠0)；②与双曲线错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0）共焦点的双曲线方程可设为错误!－错误!＝1(－b2＜k＜a2)；③渐近线为y＝错误!x(或y＝－错误! x)的双曲线的方程可设为错误!－错误!＝λ(λ≠0)．特别地：离心率为错误!的双曲线的方程可设为x2－y2＝λ（λ≠0）．〔变式训练2〕(1）（2017·新课标Ⅲ）已知双曲线C:x2a2－错误!＝1（a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y ＝错误!x，且与椭圆错误!＋错误!＝1有公共焦点，则C的方程为(B) A．错误!－错误!＝1 B．错误!－错误!＝1C．错误!－错误!＝1 D．错误!－错误!＝1(2)(2019·新课标Ⅲ）双曲线C：错误!－错误!＝1的右焦点为F．点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若｜PO|＝｜PF|，则△PFO的面积为（A)A．错误!B．错误!C．2错误!D．3错误![解析]（1）椭圆错误!＋错误!＝1的焦点坐标（±3,0)，则双曲线的焦点坐标为(±3，0）,可得c＝3，双曲线C：错误!－错误!＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝错误!x，可得错误!＝错误!，即错误!＝错误!，可得错误!＝错误!，解得a＝2，b＝错误!，所求的双曲线方程为:错误!－错误!＝1．故选B．（2)双曲线C：错误!－错误!＝1的右焦点为F（错误!，0)，渐近线方程为：y＝±错误! x,不妨设P在第一象限,可得tan∠POF＝错误!，P错误!，所以△PFO的面积为：错误!×6×错误!＝错误!，故选A．考点三，双曲线的几何性质—-多维探究角度1双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴、顶点、范围例3 （2021·武汉武昌区调研)双曲线C：错误!－错误!＝1(a＞0，b＞0）的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则C的实轴长等于__8__．[解析］双曲线的焦点(0，5)到渐近线y＝错误!x,即ax－by＝0的距离为错误!＝错误!＝b＝3，所以a＝4，2a＝8．角度2双曲线的渐近线例 4 (1)(2021·河北张家口、衡水、邢台联考改编）已知双曲线E：错误!－错误!＝1（m＞0）的一条渐近线方程为x＋3y＝0，则下列说法正确的个数是（B)①E的焦点在x轴上②m＝错误!③E的实轴长为6④E的离心率为错误!A．1 B．2C．3 D．4（2)(2021·福建厦门质检)已知双曲线C：错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0)的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点,以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点,若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为（B)A．y＝±错误!x B．y＝±错误!xC．y＝±2x D．y＝±错误!x［解析］（1）由m＞0，可知双曲线E的焦点一定在x轴上,故①正确；根据题意得错误!＝错误!＝错误!，所以m＝36，故②错误；双曲线E的实轴长为2错误!＝12，故③错误；双曲线E的离心率e＝错误!＝错误!＝错误!，故④正确．故选B．(2)设双曲线的另一个焦点为F′，由双曲线的对称性，四边形AFBF′是矩形，所以S△ABF＝S△AFF′,即bc＝8，由错误!,得：y＝±错误!，所以｜MN｜＝错误!＝2,所以b2＝c,所以b＝2，c＝4,所以a＝23,C的渐近线方程为y＝±错误!x．故选B．角度3双曲线的离心率例5 （1）（2021·福建三明期末质检）已知双曲线错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x＋错误!y－4＝0垂直,则该双曲线的离心率为（C) A．错误!B．错误!C．2 D．4（2)（2018·新课标Ⅲ）设F1,F2是双曲线C：x2a2－错误!＝1(a＞0，b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点，过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P，若｜PF1｜＝6|OP｜,则C的离心率为（C）A．错误!B．2C． 3 D．错误!（3）(2021·河北省衡水中学调研)已知点F是双曲线错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0）的右焦点,点E是该双曲线的左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点，若∠AEB是钝角,则该双曲线的离心率e的取值范围是（C）A．(1＋2，＋∞) B．(1,1＋错误!)C．（2，＋∞）D．(2,1＋错误!)[解析]（1)由题意可知错误!·错误!＝－1，∴错误!＝错误!，∴e＝ca＝错误!＝2．故选C．（2)点F2（c，0)到渐近线y＝错误!x的距离｜PF2|＝错误!＝b(b＞0）,而|OF2|＝c,所以在Rt△OPF2中,由勾股定理可得｜OP｜＝错误!＝a，所以|PF1｜＝错误!｜OP|＝错误!a．在Rt△OPF2中，cos∠PF2O＝错误!＝错误!，在△F1F2P中,cos∠PF2O＝错误!＝错误!，所以错误!＝错误!⇒3b2＝4c2－6a2，则有3(c2－a2）＝ 4c2－6a2，解得错误!＝错误!（负值舍去）．即e＝错误!．故选C．（3）由题意,得AB为双曲线的通径，其长度为|AB｜＝错误!，因为∠AEB＞错误!,所以∠AEF＞错误!，则tan∠AEF＝错误!＞1，即错误!＞1，即c2－a2＞a(a＋c),即e2－e－2＞0，解得e＞2．故选C．名师点拨1．求双曲线离心率或其范围的方法（1)直接法：由题设条件求出a，c,从而得e．（2)等价转化法:由e＝错误!或e＝错误!等公式将已知条件转化为e的等式，从而得e．（3）列出含有a,b,c的齐次方程（或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．解题时要特别注意几何特点，以简化运算．2．求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线错误!－错误!＝1(a＞0，b＞0）的渐近线的方法是令错误!－错误!＝0,即得两渐近线方程错误!±错误!＝0．或确定焦点位置并求出错误!或错误!的值，从而写出渐近线方程．注：如图F为双曲线错误!－错误!＝1的焦点，l为渐近线；FH⊥l，则｜FH|＝b，|OH｜＝a．〔变式训练3〕(1)(角度1）（2021·安徽蚌埠质检)已知双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，一个焦点F(2,0）,则该双曲线的虚轴长为（C）A．1 B．错误!C．2 D．2错误!(2)(角度2）（2021·河南郑州一中期中）设P是双曲线错误!－错误!＝1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1｜＝3，则|PF2|的值为__7__．（3)（角度3）（2021·安徽皖南八校联考)已知双曲线C:x2a2－y2b2＝1（a＞0,b＞0）的一条渐近线与圆（x－2）2＋y2＝1相切，则双曲线C的离心率为(A）A．错误!B．错误!C ．2 2D ．错误![解析］ (1)因为双曲线的渐近线方程为y ＝±错误!x ，一个焦点F (2，0），所以a 2＋b 2＝c 2＝4，①错误!＝错误!，②联立①、②可得：a 2＝3，b 2＝1，∴b ＝1，从而2b ＝2, ∴该双曲线的虚轴长2,故选C ． (2）双曲线的渐近线方程y ＝错误!x ， 得a ＝2，由于｜PF 1｜＝3，2a ＝4，由双曲线定义知｜｜PF 1|－｜PF 2｜｜＝2a ＝4，得｜PF 2｜＝7． (3)由题意可知圆心（2，0）到渐近线y ＝ba x 的距离为半径r ＝1，即错误!＝1，即3b 2＝a 2， 又a 2＋b 2＝c 2，则3(c 2－a 2)＝a 2， 解得e ＝错误!＝错误!．故选A ． 考点四,直线与双曲线—-多维探究 角度1 直线与双曲线位置关系例6 (2021·唐山一中模拟)过点A (0，1）作直线，与双曲线x 2－y 29＝1有且只有一个公共点,则符合条件的直线的条数为（ C )A ．0B ．2C ．4D ．无数［解析]通解：由题意可得直线的斜率一定存在， 设为k ,则直线方程为y ＝kx ＋1,代入双曲线方程整理得（9－k2）x2－2kx－10＝0①当k＝±3时，方程①有一解，直线与双曲线只有一个公共点;当k≠±3时，由Δ＝0解得k＝±错误!，此时直线与双曲线相切，只有一个公共点，故符合条件的直线有4条,选项C正确．优解：由图形可知，过点A(0，1）作与双曲线渐近线平行的直线有2条，作与双曲线相切的直线也有两条，则与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条，选项C正确．[引申1］本例中，若过点A的直线与双曲线有两个交点，则直线斜率的取值范围为__(－3，3）__．［引申2]本例中，若将“A(0,1）”改为“A（1,0）"，则符合条件的直线有__3__条．[引申3］本例中，若将“A(0,1)”改为“A（2，0)”,则符合条件的直线有__2__条．［引申4］本例中,过点A与双曲线的左支有两个交点的直线斜率的取值范围为__(3，错误!）__．[解析]设直线方程为y＝kx＋1，由错误!得（9－k2）x2－2kx－10＝0．由Δ＝4k2＋40（9－k2)＝0，得k＝±错误!,即k切＝±错误!．结合图形可知3＜k＜错误!．注：或由错误!求解．［引申5]本例中，过双曲线左焦点且与左支有两个不同交点的直线斜率的取值范围为__（－∞,－3）∪（3，＋∞）__．名师点拨1．解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y）的一元二次方程，利用判别式和根与系数的关系求解，注意整体代入．2．有时利用数形结合思想，根据直线的斜率k与渐近线的斜率或某切线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷．角度2弦的问题例7 （1)（2021·山东师大附中模拟）过双曲线x2－错误!＝1的右焦点作直线l交双曲线A，B两点，则满足|AB|＝6的直线l有（B)A．4条B．3条C．2条D．1条(2）以A(2，1）为中点的双曲线C：2x2－y2＝2的弦所在直线的方程为__4x－y－7＝0__．[解析](1)当直线l的倾斜角为90°时，｜AB|＝错误!＝6；当直线l的倾斜角为0°时，|AB｜＝2＜6．故当直线l适当倾斜时，还可作出两条直线使得|AB|＝6．故选B．（2）设弦的端点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2),则错误!，∴2（x1＋x2)（x1－x2)－（y1＋y2)(y1－y2)＝0，又MN的中点为A（2，1)，即x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，∴4（x1－x2）＝y1－y2，即k MN＝4，∴所求直线方程为y－1＝4(x－2),即4x－y－7＝0．名师点拨](1）“中点弦”问题常用“点差法”求解,但求弦所在直线方程后应代回检验．（2）弦长问题用弦长公式求解，注意“焦点弦”的弦长与通径、实轴长间关系的应用．如本例(1）中双曲线实轴长为2，通径长为6，则满足|AB|＝m的直线①当2＜m＜6时有2条；②当m＞6时有4条;③当m＝2时有1条；④当0＜m＜2有0条．〔变式训练4〕(1)如果直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4的右支有两个公共点，则k的取值范围是__错误!__．（2)已知双曲线x2－错误!＝1，过P（2,1)点作一直线交双曲线于A，B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的方程为__6x－y－11＝0__．[解析]（1)由错误!得(1－k2）x2＋2kx－5＝0,由Δ＝4k2＋20(1－k2)＝0得k＝±错误!，结合图形可知1＜k＜错误!．（2）设A（x1,y1),B(x2，y2），代入双曲线方程3x2－y2＝3,相减得直线AB的斜率k AB＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝6．故所求直线的方程为y－1＝6（x－2），即6x－y－11＝0．名师讲坛·素养提升高考中的离心率问题例8 (1)（2021·广东六校联考）已知双曲线Γ：x2a2－错误!＝1(a＞0，b＞0）的左焦点为F（－5,0)，点A的坐标为（0,2），点P为双曲线右支上的动点，且△APF周长的最小值为8,则双曲线的离心率为（D）A．错误!B．错误!C．2 D．错误!(2)（2019·全国)已知双曲线C：错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0），过C的左焦点且垂直于x轴的直线交C于M，N两点,若以MN为直径的圆经过C的右焦点,则C的离心率为（A）A．错误!＋1 B．2C．错误!D．错误!（3)（2021·江西吉安五校联考)已知F1,F2是双曲线错误!－错误!＝1（a＞0,b＞0）的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y＝错误!对称，则该双曲线的离心率为（B）A．错误!B．错误!C．错误!D．2（4)（2021·天津南开区期末）已知双曲线错误!－错误!＝1(a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2,点M在双曲线的左支上，且|MF2|＝7｜MF1｜，则此双曲线离心率的最大值为（A）A．错误!B．错误!C．2 D．错误!(5）（2021·安徽省安庆一中模拟)已知双曲线错误!－错误!＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(D）A．(1，2）B．(1，2]C．（2,＋∞) D．[2，＋∞）[解析］（1）由题易知双曲线的右焦点F1(错误!，0）,即c＝错误!,|AF|＝错误!＝3，点P为双曲线右支上的动点，根据双曲线的定义可知|PF|－｜PF1|＝2a,∴｜PF|＝｜PF1｜＋2a ,所以△APF 周长为：|AF |＋|AP |＋|PF ｜＝|AF |＋|AP ｜＋｜PF 1｜＋2a , 当点A ，P ，F 1共线时，周长最小, 即｜AF ｜＋｜AF 1｜＋2a ＝8，解得a ＝1， 故离心率e ＝错误!,故选D ．(2)设双曲线C ：错误!－错误!＝1(a ＞0，b ＞0）的左焦点为F 1，右焦点为F 2, ∵以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点， ∴｜F 1M |＝|F 1F 2｜,∴错误!＝2c ，∴c 2－a 2＝2ac ，∴e 2－2e －1＝0，∴e ＝1±错误!, ∵e ＞1，∴e ＝错误!＋1,故选A ． （3）由题意可知｜OF 1|＝｜OF 2|＝|OP |，∴PF 2⊥PF 1，∴｜PF 2｜｜PF 1|＝错误!，设|PF 2｜＝bx ，则x 2（b 2＋a 2)＝4c 2,∴x ＝2， 又2a ＝｜PF 2｜－|PF 1|＝2(b －a )，∴2a ＝b ， ∴e ＝错误!＝错误!,故选B ． (4）由错误!知|MF 1｜＝错误!,∴错误!≥c －a ，∴e ＝错误!≤错误!，故选A ． （5）由题意可知错误!≥tan 60°＝错误!， ∴e ＝错误!≥2，故选D ．[引申]本例（5)中，若直线与双曲线的右支有两个交点，则离心率的取值范围是__(1,2)__；若直线与双曲线左、右两支各有一个交点，则离心率的取值范围是__（2，＋∞）__．名师点拨求离心率的取值范围需构造a 、b 、c 间的不等关系，一般从以下几方面入手：①曲线的范围；②构造方程,借助判别式；③数形结合．〔变式训练5〕(1)(2019·全国卷Ⅱ，12）设F 为双曲线C :错误!－错误!＝1(a ＞0，b ＞0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝｜OF ｜，则C 的离心率为( A )A ．错误!B ．错误!C ．2D ． 5(2)(2021·湖北武汉综合测试）过双曲线C :错误!－错误!＝1(a ＞0，b ＞0）左焦点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆与C 的渐近线相切，则C 的离心率为( C )A ．5－1B ．错误!C ．错误!D ．错误!（3)（2021·东北三省四市模拟)已知矩形ABCD ,AB ＝12，BC ＝5,以A ，B 为焦点,且过C ，D 两点的双曲线的离心率为__32__．(4）（2019·新课标Ⅰ）已知双曲线C ：错误!－错误!＝1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若错误!＝错误!，错误!·错误!＝0，则C 的离心率为__2__．［解析] （1)如图，连接OP ，∵｜PQ |＝｜OF ｜＝c ， ∴PQ 过圆心错误!易得P 错误!． 又∵|OP |＝a ，∴a 2＝⎝⎛）c 22＋错误!2＝错误!，∴错误!2＝2,∴e＝错误!＝错误!．故选A．(2）由题意知错误!＝b，即错误!＝1，∴e＝错误!＝错误!，故选C．（3）由题意知：2c＝AB＝12，即c＝6，BD＝122＋52＝13,由双曲线定义可得2a＝BD－AD＝13－5＝8，a＝4,∴双曲线的离心率为e＝错误!＝错误!．(4)如图，∵错误!＝错误!．∴A为F1B的中点，且O为F1F2的中点，∴AO为△F1F2B的中位线，又∵错误!·错误!＝0，∴F1B⊥F2B，则OB＝F1O＝c．设B（x1,y1)，A（x2，y2），∵点B在渐近线y＝错误!x上，∴错误!,得错误!，又∵A为F1B的中点,∴错误!，∵A在渐近线y＝－错误!x上，∴错误!＝－错误!·错误!，得c＝2a，则双曲线的离心率e＝错误!＝2．2022版高考数学一轮复习第八章解析几何第六讲双曲线学案（含解析）新人教版- 22 - / 21。
河北南宫一中高三数学二轮复习 86 双曲线学案
第八章 第6讲 双曲线学习目标：1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质． 2. 了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用． 3. 理解数形结合的思想.1条重要规律——等轴双曲线的离心率及渐近线的关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 2种必会方法——求双曲线标准方程的两种方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a 、2b 或2c ，从而求出a 2、b 2，写出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点是在x 轴上还是在y 轴上，设出标准方程，再由条件确定a 2、b 2的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．3项必须注意——双曲线问题的三个易混点(1)区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.(2)求双曲线的离心率e 时，只要求出a 、b 、c 的一个齐次方程，再结合c 2＝a 2＋b 2，就可求得e (e >1)，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．(3)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±abx .考点1 双曲线的概念平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做 这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做 集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a >0，c >0；(1)当 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当 时，P 点的轨迹是两条 ； (3)当 时，P 点不存在．课堂检测：判断下列点的轨迹是否为双曲线(请在括号内填写“√”或“×”)．(1)平面内到点A (0,2)，B (0，－2)距离之差等于2的点的轨迹；( )(2)平面内到点A (0,2)，B (0，－2)距离之差的绝对值等于3的点的轨迹；( ) (3)平面内到点A (0,2)，B (0，－2)距离之差等于4的点的轨迹；( )（4)平面内到点A (0,2)，B (0，－2)距离之差的绝对值等于4的点的轨迹；( ) (5)平面内到点A (0,2)，B (0，－2)距离之差等于6的点的轨迹；( ) (6)平面内到点A (0,2)，B (0，－2)距离之差的绝对值等于6的点的轨迹．( ) 考点2 双曲线的标准方程和几何性质想一想： (1)Ax 2＋By 2＝1表示焦点在y 轴上的双曲线的条件是什么？(2)若双曲线的两条渐近线的夹角是90°，则双曲线的实轴长与虚轴长有何关系？课堂训练1：(1)已知双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一条渐近线的方程为y ＝2x ，则b ＝ .(2)若双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于－14.考向一 双曲线的标准方程例1 (1)[2013·广东高考]已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A. x 24－y 25＝1B. x 24－y 25＝1C. x 22－y 25＝1D. x 22－y 25＝1(2)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚半轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________． 触类旁通：双曲线方程的求解方法(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m －y 2n＝1(mn >0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，这种形式在解题时更简便． (2)当已知双曲线的渐近线方程bx ±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值．1. [2013·天津高考]已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．2. [2012·大纲全国卷]已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上， |PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( ) A. 14 B. 35 C. 34D. 45考向二 双曲线的性质及应用例2 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A. y ＝±14xB. y ＝±13xC. y ＝±12x D. y ＝±x注意：（1)实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重点．(2)由于e ＝c a是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形即可求e ，并注意e >1.3. [2013·福建高考]双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A. 25B. 45C. 255D. 4554. [2012·重庆高考]设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________. 考向三 直线与双曲线的综合问题例3 [2014·太原模拟]P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．跟踪训练2：5. 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6. (1)求a ，b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|， 证明：|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等比数列．。
高中数学学案双曲线 全国通用
第八章 圆锥曲线方程二 双曲线【考点阐述】双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质． 【考试要求】（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． 【考题分类】（一）选择题（共13题）1.（福建卷理11文12）双曲线22221x y a b==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A.(1,3)B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞解：如图，设2PF m =，12(0)F PF θθπ∠=<≤，当P 在右顶点处θπ=，22ce a ===∵1cos 1θ-<≤，∴(]1,3e ∈另外也可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线. 也可用焦半径公式确定a 与c 的关系。
2.（海南宁夏卷文2）双曲线221102x y -=的焦距为（ ）【标准答案】Ｄ【试题解析】由双曲线方程得22210,212==∴=a b c ，于是==c c 【高考考点】双曲线的标准方程及几何性质【易错提醒】将双曲线中三个量,,a b c 的关系与椭圆混淆，而错选Ｂ【备考提示】在新课标中双曲线的要求已经降低，考查也是一些基础知识，不要盲目拔高3.（湖南卷理8）若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2) B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)【答案】B【解析】2033,22a ex a e a a a c -=⨯->+23520,e e ⇒-->2e ∴>或 13e <-(舍去),(2,],e ∴∈+∞故选B.4.（湖南卷文10）．双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( )A． B．)+∞ C．(11] D．1,)+∞ 【答案】C【解析】200a ex a x c -=+20(1)a e x a c ⇒-=+2(1),a a e a c⇒+≥- 1111,a e c e∴-≤+=+2210,e e ⇒--≤11e ⇒≤≤ 而双曲线的离心率1,e>(11],e ∴∈故选Ｃ.5.（辽宁卷文11）已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：D解析：本小题主要考查双曲线的知识。
河北南宫一中高三数学二轮复习 88 圆锥曲线的综合问题学案
第八章第8讲 圆锥曲线的综合问题学习目标：1．能解决直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系等问题． 2. 理解数形结合的思想． 3. 了解圆锥曲线的简单应用. 知识要点：1个必背口诀——如何解决圆锥曲线的综合问题联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘． 2种必会方法——有关弦长和弦中点问题的求解(1)涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，采用设而不求，利用弦长公式计算弦长．求解时，不要忽略判别式大于零．(2)涉及求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标，弦中点坐标和弦所在直线的斜率联系起来，相互转化． 3个特别提醒——圆锥曲线中的三个注意事项(1)直线l 与双曲线有且只有一个公共点⇔{ a ≠0Δ＝0或l 与渐近线平行． (2)直线l 与抛物线有且只有一个公共点⇔{ a ≠0Δ＝0或l 与对称轴平行或重合．(3)“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数. 考点1 直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y ) ＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F x ，y ＝0，消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C ； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C ； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是 ；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是[想一想] 直线与圆锥曲线只有一个公共点时，是否是直线与圆锥曲线相切？[填一填] (1)已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a 等于 . (2)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的交点的个数为 .考点2 圆锥曲线的弦长 1. 圆锥曲线的弦长直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．2. 圆锥曲线的弦长的计算设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2·|y 1－y 2|.(抛物线的焦点弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ，θ为弦AB 所在直线的倾斜角)． [填一填] (1)已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝ .(2)设抛物线y 2＝16x 上一点P 到x 轴的距离为12，则点P 与焦点F 的距离|PF |＝ . (3)直线y ＝x ＋1与2x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |＝ .(4)椭圆x 24＋y 22＝1中过点P (1,1)的弦恰好被点P 平分，则此弦所在直线方程是 .考向一 圆锥曲线中的最值、范围问题典例1 [2014·盐城模拟]已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上．若右焦点F 到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．[奇思妙想] 本例条件不变，若直线y ＝kx ＋1与椭圆相交于不同的两点M 、N ，且|MN |＝2，求直线的斜率k .触类旁通：判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法 圆锥曲线中最值、范围的求解方法与圆锥曲线相关的最值、范围问题综合性较强，解决的方法：一是由题目中的限制条件求范围，如直线与圆锥曲线的位置关系中Δ的范围，方程中变量的范围，角度的大小等；二是将要讨论的几何量如长度、面积等用参数表示出来，再对表达式进行讨论，应用不等式、三角函数等知识求最值，在解题过程中注意向量、不等式的应用． 跟踪训练1：1. 椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2、离心率为22，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且AP →＝3PB →. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)求m 的取值范围．考向二 圆锥曲线中的定值、定点问题典例2 [2013·陕西高考]已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．触类旁通：求过一点的圆的切线方程的方法圆锥曲线中定值、定点问题的求解方法圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长、短轴，双曲线的虚、实轴，抛物线的焦参数等．定值问题的求解与证明类似，在求定值之前，已经知道定值的结果(题中未告知，可用特殊值探路求之)，解答这类题要大胆设参，运算推理，到最后参数必清，定值显现．跟踪训练2：[2013·安徽高考]设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．考向三 圆锥曲线中的存在性问题典例3 [2013·北京高考]已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．触类旁通：存在性问题的求解方法(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．跟踪训练3：[2014·银川联考]已知抛物线C 的方程为y 2＝px (p >0)．直线l ：x ＋y ＝m 与x 轴的交点在抛物线C 的准线的右侧．(1)求证：直线l 与抛物线C 恒有两个不同的交点；(2)已知定点A (1,0)，若直线l 与抛物线C 的交点为Q ，R ，满足AQ →·AR →＝0，是否存在实数m ，使得原点O 到直线l 的距离不大于24？若存在，求出正实数p 的取值范围；若不存在，请说明理由．数学思想系列9——函数思想解决圆锥曲线中的最值问题 (实验班必做)[2012·浙江高考]如图，在直角坐标系xOy 中，点P (1，12)到抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线的距离为54.点M (t,1)是C上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 被直线OM 平分．(1)求p ，t 的值；(2)求△ABP 面积的最大值．课后反思：课后作业： 完成8-8跟踪训练。
高考数学二轮复习双曲线学案(含解析)
双曲线问题考向一：双曲线的定义与焦点三角形1、在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用．2、在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF 1|－|PF 2||＝2a 平方，建立与|PF 1|、|PF 2|间的联系．1.［2016•全国Ⅱ，11］已知F 1、F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A ． 2B ．32C ． 3D ．2答案 A解析：解法一：由MF 1⊥x 轴，可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ， ∴|MF 1|＝b 2a .由sin ∠MF 2F 1＝13，可得cos ∠MF 2F 1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223，又tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝b 22ac ，∴b22ac ＝13223，∴b 2＝22ac ，∵c 2＝a 2＋b 2∴c 2－a 2－22ac ＝0 e 2－22e －1＝0，∴e ＝ 2. 解法二：设|MF 1|=m ，则|MF 2|=3m，|F 1F 2|=2√2m 2a =|MF 2|−|MF 1|=2m，2c =|F 1F 2|=2√2m所以e =√22、[2014•大纲卷，9］已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )A ．14B ．13C ．24 D ．23答案 A解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|F 1A |－|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝2|F 2A |，解得|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝4a ，又由已知可得ca＝2，所以c ＝2a ，即|F 1F 2|＝4a ，所以cos ∠AF 2F 1＝|F 2A |2＋|F 1F 2|2－|F 1A |22|F 2A ||F 1F 2|＝4a 2＋16a 2－16a 22×2a ×4a ＝143、[2013•湖南卷，14］设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________． 答案 3解析：不妨设点P 在双曲线C 的右支上，由双曲线定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，① 又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，②由①②得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，因为c >a ， 所以在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2为最小内角，因此∠PF 1F 2＝30°，在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos30°，即4a 2＝16a 2＋4c 2－83ac .所以c 2－23ac ＋3a 2＝0，两边同除以a 2得，e 2－23e ＋3＝0.解得e ＝ 3. 考向二：双曲线的标准方程1、［2016•全国Ⅰ，5］已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．(－1，3)C ．(0，3)D ．(0，3)答案 A解析 ∵原方程表示双曲线，且焦距为4，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n >0，3m 2－n >0，m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，①或⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n <0，3m 2－n <0，－3m 2－n －m 2＋n ＝4，②由①得m 2＝1，n ∈(－1，3)．②无解2、[2014•北京卷，11］设双曲线C 经过点(2，2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．答案x 23－y 212＝1；y ＝±2x 解析 根据题意，可设双曲线C ：y 24－x 2＝λ，将(2，2)代入双曲线C 的方程得λ＝－3，∴C 的方程为x 23－y 212＝1.渐近线方程为y ＝±2x .与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．考向三：与渐近线有关的双曲线问题1、【2019全国Ⅰ卷理16】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB=u u u r u u u r ，120F B F B ⋅=u u ur u u u u r ，则C 的离心率为____________． 【答案】2分析：解答本题时，通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，从而可以得到1AOB AOF ∠=∠，再结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠进而得到2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=o 从而由tan 60ba=︒=. 解析：如图，由1,F A AB =u u u r u u u r 得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形 12F F B 的中位线，即22,2.BF OA BF OA =∥由120F B F B ⋅=u u u r u u u u r ，得121,,F B F B OA F A ⊥∴⊥∴1OB OF =，1AOB AOF ∠=∠， 又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21πBOF AOB AOF ∠+∠+∠=，∴2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=o又渐近线OB 的斜率为tan 60ba=︒=2c e a ====．解法2：如图，由1,F A AB =u u u r u u u r 得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22,2.BF OA BF OA =∥ 由120F B F B ⋅=u u u r u u u u r，得121,,F B F B OA F A ⊥∴⊥∴1OB OF =， 取B (x ,ba x )，x 2+b 2a 2x 2=c 2，x =a，所以B (a ,b )因为F 1A =b，所以OA =a，BF 1=2b，BF 2=2a S ∆BF 1F 2=122a ×2b =122c ×b，所以e =22、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．4B ．2C ．．【答案】A【解析】由2,a b c ====,2P PO PF x =∴=Q ，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在b y x a =上，则2P P b y x a =⋅==112224PFO P S OF y ∴=⋅==△3、［2018•全国Ⅰ，11］已知双曲线C ：x23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A ．32 B ．3 C ．2 3 D ．4 答案 B解析：由题意分析知，∠FON ＝30°.所以∠MON ＝60°，又因为△OMN 是直角三角形，不妨取∠NMO ＝90°，则∠ONF ＝30°，于是FN ＝OF ＝2，FM ＝12OF ＝1，所以|MN |＝3.4、［2018•全国Ⅲ，11］设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 2 答案 C解析一：由题可知|PF 2|＝b ，|OF 2|＝c ，∴|PO |＝a .在Rt △POF 2中，cos ∠PF 2O ＝|PF 2||OF 2|＝bc，∵在△PF 1F 2中 ，cos ∠PF 2O ＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|＝bc，∴b 2＋4c 2－6a22b ·2c＝b c⇒c 2＝3a 2，∴e ＝ 3.解析二：由题可知|PF 2|＝b ，|OF 2|＝c ，∴|PO |＝a . 过F 1作渐近线的垂线，垂足为Q.因为P、Q关于原点对称，|QF 1|＝b ，|QO |＝a ，|PQ |＝2a . 在Rt △PQF 1中，|QF 1|2+|PQ |2=|PF 1|2 b 2+4a 2=6a 2，则b 2=2a 2，c 2=3a 2 ∴e ＝ 3.5、［2017•全国Ⅰ，15］已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．答案233解析：如图，由题意知点A (a ，0)，双曲线的一条渐近线l 的方程为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0，∴点A 到l 的距离d ＝aba 2＋b 2. 又∠MAN ＝60°，MA ＝NA ＝b ，∴△MAN 为等边三角形，∴d ＝32MA ＝32b ，即ab a 2＋b2＝32b ，∴a 2＝3b 2， ∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝233. 考向四：双曲线的离心率问题1、［2015•全国Ⅱ，11］已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A ． 5B ．2C ． 3D ． 2 答案 D解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，不妨设点M在双曲线的右支上，如图，AB ＝BM ＝2a ，∠MBA ＝120°，作MH⊥x 轴于H ，则∠MBH ＝60°，BH ＝a ，MH ＝3a ，所以M (2a ，3a )．将点M 的坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1，得a ＝b ，所以e ＝ 2.2、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A B C ．2D 【答案】A解析：设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==Q ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， ∴||2c OA =，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=，故选A ．考向五：与其他知识交汇的双曲线问题1、［2017•全国Ⅱ，9］若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A ．2B ． 3C ． 2D ．233答案 A解析：设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ， 圆的圆心为(2，0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3.根据点到直线的距离公式得|2b |a 2＋b 2＝3，解得b 2＝3a 2.所以C 的离心率e ＝ca＝c 2a 2＝ 1＋b 2a 2＝2. 2、［2013•天津卷，5］已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1B ．32C ．2D ．3答案 C解析：由已知得双曲线离心率e ＝c a＝2，得c 2＝4a 2，∴b 2＝c 2－a 2＝3a 2，即b ＝3a .又双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，抛物线的准线方程为x ＝－p2，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，bp 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－bp 2a ，于是|AB |＝bp a .由△AOB 的面积为3可得12·bp a ·p2＝3，所以p 2＝43·a b＝43·a3a＝4，解得p ＝2或p ＝－2(舍去)，故选C.3、［2013•山东卷，11］抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A ．316 B ．38 C ．233 D ．433答案 D解析：设抛物线C 1的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2.设双曲线C 2的右焦点为F 1，则F 1(2，0)．直线FF 1的方程为y ＝－p4x ＋p2，设M ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，x 202p ，因为M 在直线FF 1上，∴x 202p ＝－p 4x 0＋p 2.① ∵y ＝12p x 2，∴y ′＝1p x ，∴C 1在M 点处的切线斜率为1p x 0，又x 23－y 2＝1的渐近线方程为y＝±33x ，故由题意得1p x 0＝33，② 将①、②联立得p ＝433，故选D.。
2021-2022年高三数学双曲线专题教案 新人教A版
2021年高三数学双曲线专题教案新人教A版一、考纲要求：二、知识点复习：1．定义：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值是常数（小于）的点的轨迹叫双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。
注意：2．椭圆的标准方程及其简单几何性质：三、课前热身：1．双曲线的实轴长和虚轴长分别是( )A. ，4B.4，C.3，4D. 2， 2．双曲线的焦距为（ ） A ．B ．C ．D ．3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A 、 B 、 C 、 D 、4. 已知点分别是双曲线的两个焦点，P 为该曲线上一点，若为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．5. 若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为（ ） A B C D6. 已知双曲线,则实轴 ；虚轴 ；焦距 ；焦点坐标 ；离心率 ；渐近线 四、例题分析： 类型一：定义应用例1.已知双曲线，，为两焦点，点在双曲线上，， 求的值.例2.若椭圆和双曲线)0n ,0m (1ny m x 22>>=-，有 相同的焦点，，点为椭圆与双曲线的交点，则例3. 已知双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-，点A,B 在双曲线右支上，且线段AB 过右焦点，，为左焦点，则的周长= 。
例4. 点为双曲线右支上的动点，为双曲线右焦点，已知,则 的最小值为 。
类型二：几何性质例1. 双曲线：的虚轴长是市州长的2倍，则例2. 双曲线：)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的左右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于M 点，若垂直于x 轴,则双曲线的离心率是例3. 设为等腰三角形，,则以A,B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率例4. 已知双曲线：的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率例5. 设双曲线：)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的离心率则两条渐近线家教的取值范围是类型三：求双曲线标准方程 明确：求椭圆标准方程的两个问题： <1>.定型（焦点位置）； <2>.定量确定怎么定？ 1）.；2）.几何性质（实轴2a ；虚轴2；焦距2c ；离心率）； 3）.点在双曲线上； 4）.图形关系。
(新课标)高三数学一轮复习 第8篇 双曲线学案 理-人教版高三全册数学学案
第五十三课时双曲线课前预习案考纲要求掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质.基础知识梳理1．双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做．这两个定点叫双曲线的，两焦点间的距离叫做 .集合P＝{M| |MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0；(1)当时，P点的轨迹是双曲线；(2)当时，P点的轨迹是两条射线；(3)当时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围对称性顶点渐近线离心率实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝；1.若k ∈R ，则方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线的充要条件是( )A ．－3<k <－2B ．k <－3C ．k <－3或k >－2D ．k >－22.已知双曲线x 2a －y 22＝1的一个焦点坐标为(－3，0)，则其渐近线方程为________．3.设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF 1|＝3，则|PF 2|等于________．4.已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且点(4，－10)在双曲线上．双曲线的方程为________________课堂探究案考点1 双曲线的定义【典例1】(1)动点P 到定点F 1(1,0)的距离比它到定点F 2(3,0)的距离小2，则点P 的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．一条射线D ．两条射线(2)已知圆C ：(x -3)2＋y 2＝4，定点A （-3,0），求过定点A 且和圆C 外切的动圆圆心M 的轨迹方程.【变式1】已知三点P (5,2)、F 1(－6,0)、F 2(6,0),以F 1、F 2为焦点且过点P 的双曲线的标准方程为_____________.【变式2】已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．24B ．36C ．48D ．96考点2 双曲线的标准方程典例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1) 虚轴长为12，离心率为54；（2）顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .【变式3】根据下列条件，求双曲线方程：(1) 与双曲线116922=-y x 有共同渐近线，且过点)32,3(-； (2) 与双曲线141622=-y x 有公共焦点，且过点)2,23(。
高考数学一轮复习 86双曲线课件 新人教A版60页文档
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。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
高考数学一轮复习 86双曲线课件 新
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
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7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
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吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
双曲线复习学案
双曲线复习学案高二 二部 数学组 李青锋一、双曲线的定义到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））。
这两个定点叫双曲线的焦点。
要注意两点：（1）距离之差的绝对值。
（2）2a ＜|F 1F 2|。
当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。
二、双曲线的标准方程（222a c b -=，其中|1F 2F |=2c ）焦点在x 轴上：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）焦点在y 轴上：12222=-b x a y （a ＞0，b ＞0）（1）如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上。
a 不一定大于b 。
（2）与双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x（3）双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n -=>练习题组一、选择题1．已知a=3,c=5，并且焦点在x 轴上，则双曲线的标准程是（ ）A ．116922=+y x B. 116922=-y x C. 116922=+-y x 1916.22=-y x D 2．已知,5,4==c b 并且焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程是（ ）A ．191622=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D.116922=-y x 3．双曲线191622=-y x 上P 点到左焦点的距离是6，则P 到右焦点的距离是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 184．.双曲线191622=-y x 的焦点坐标是 （ ） A. （5，0）、（-5，0）B. （0，5）、（0，-5） C. （0，5）、（5，0） D.（0，-5）、（-5，0）5、方程6)5()5(2222=++-+-y x y x 化简得：A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 6．已知实轴长是6，焦距是10的双曲线的标准方程是（ ）A ．.116922=-y x 和116922=+-y x B. 116922=-y x 和191622=+-y x C. 191622=-y x 和191622=+-y x D. 1162522=-y x 和1251622=+-y x 7．过点A （1，0）和B （)1,2的双曲线标准方程（ ）A ．1222=-y xB ．122=+-y xC ．122=-y x D. 1222=+-y x 8．P 为双曲线191622=-y x 上一点，A 、B 为双曲线的左右焦点，且AP 垂直PB ，则三角形PAB 的面积为（ ） A ． 9 B ． 18 C ． 24 D ． 369．双曲线191622=-y x 的顶点坐标是 （ ） A ．（4，0）、（-4，0） B ．（0，-4）、（0，4）C ．（0，3）、（0，-3） D ．（3，0）、（-3，0）10．已知双曲线21==e a ，且焦点在x 轴上，则双曲线的标准方程是（ ）A ．1222=-y xB ．122=-y xC ．122=+-y x D. 1222=+-y x11．双曲线191622=-y x 的的渐近线方程是（ ） A ． 034=±y x B ．043=±y x C ．0169=±y x D ．0916=±y x12．已知双曲线的渐近线为043=±y x ，且焦距为10，则双曲线标准方程是（ ）A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 13．方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k14．过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长（ ） A ．28 B ．22C ．14D ．12 15．已知双曲线方程为1422=-y x ，过P （1，0）的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L 的条数共有 （ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条16．方程x k y k22941--+=的曲线是双曲线，则它的焦点坐标是 ( ) (A)(±13，0) (B)(0，±13) (C)(±13，0) (D)(0，±13)二、填空题17．已知双曲线虚轴长10，焦距是16，则双曲线的标准方程是________________.18．已知双曲线焦距是12，离心率等于2，则双曲线的标准方程是___________________.19．已知16522=++-t y t x 表示焦点在y 轴的双曲线的标准方程，t 的取值范围是___________. 20. 椭圆C 以双曲线122=-y x 焦点为顶点，且以双曲线的顶点作为焦点，则椭圆的标准方程是___________________ 21．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =___________ 22．过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线1422=-y x 的弦所在直线方程为 23．双曲线3322=-my mx 的一个焦点是（0，2），则m 的值是三、解答题24．已知双曲线C ：191622=+-y x ，写出双曲线的实轴顶点坐标，虚轴顶点坐标，焦点坐标，渐近线方程。
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第八章 第6讲 双曲线
学习目标：
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质． 2. 了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用． 3. 理解数形结合的思想.
1条重要规律——等轴双曲线的离心率及渐近线的关系
双曲线为等轴双曲线⇔双曲线离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 2种必会方法——求双曲线标准方程的两种方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a 、2b 或2c ，从而求出a 2
、b 2
，写出双曲线方程．
(2)待定系数法：先确定焦点是在x 轴上还是在y 轴上，设出标准方程，再由条件确定a 2
、b 2
的值，即“先
定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2
n
2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的
值．
3项必须注意——双曲线问题的三个易混点
(1)区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2
＝b 2
＋c 2
，而在双曲线中
c 2＝a 2＋b 2.
(2)求双曲线的离心率e 时，只要求出a 、b 、c 的一个齐次方程，再结合c 2
＝a 2
＋b 2
，就可求得e (e >1)，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．
(3)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±a
b
x .
考点1 双曲线的概念
平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做 这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做 集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a >0，c >0；
(1)当 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当 时，P 点的轨迹是两条 ； (3)当 时，P 点不存在．
课堂检测：判断下列点的轨迹是否为双曲线(请在括号内填写“√”或“×”)．
(1)平面内到点A (0,2)，B (0，－2)距离之差等于2的点的轨迹；( )
(2)平面内到点A (0,2)，B (0，－2)距离之差的绝对值等于3的点的轨迹；( ) (3)平面内到点A (0,2)，B (0，－2)距离之差等于4的点的轨迹；( )
（4)平面内到点A (0,2)，B (0，－2)距离之差的绝对值等于4的点的轨迹；( ) (5)平面内到点A (0,2)，B (0，－2)距离之差等于6的点的轨迹；( ) (6)平面内到点A (0,2)，B (0，－2)距离之差的绝对值等于6的点的轨迹．( ) 考点2 双曲线的标准方程和几何性质
想一想： (1)Ax 2＋By 2
＝1表示焦点在y 轴上的双曲线的条件是什么？
(2)若双曲线的两条渐近线的夹角是90°，则双曲线的实轴长与虚轴长有何关系？
课堂训练1：(1)已知双曲线x 2
－y 2
b
2＝1(b >0)的一条渐近线的方程为y ＝2x ，则b ＝ .
(2)若双曲线mx 2
＋y 2
＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于－1
4
.
考向一 双曲线的标准方程
例1 (1)[2013·广东高考]已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于3
2，则C 的方程
是( )
A. x 24－y 25＝1
B. x 24－y 25＝1
C. x 22－y 25＝1
D. x 22－y 2
5
＝1
(2)已知F 为双曲线C ：x 29－y 2
16＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚半轴长的2倍，点A (5,0)
在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________． 触类旁通：双曲线方程的求解方法
(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m －y 2
n
＝1(mn >0)，这样可避免讨论和
复杂的计算；也可设为Ax 2
＋By 2
＝1(AB <0)，这种形式在解题时更简便． (2)当已知双曲线的渐近线方程bx ±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为
b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值．
1. [2013·天津高考]已知抛物线y 2
＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离
心率为2，则该双曲线的方程为________．
2. [2012·大纲全国卷]已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2
－y 2
＝2的左、右焦点，点P 在C 上， |PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( ) A. 14 B. 35 C. 34
D. 4
5
考向二 双曲线的性质及应用
例2 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5
2
，则C 的渐近线方程为( )
A. y ＝±14x
B. y ＝±13x
C. y ＝±1
2
x D. y ＝±x
注意：（1)实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重点．
(2)由于e ＝c a
是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用
b 2＝
c 2－a 2消去b ，然后变形即可求e ，并注意e >1.
3. [2013·福建高考]双曲线x 2
4
－y 2
＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )
A. 25
B. 45
C. 255
D. 45
5
4. [2012·重庆高考]设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂
直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________. 考向三 直线与双曲线的综合问题
例3 [2014·太原模拟]P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲
线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为1
5.
(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →
，求λ的值．
跟踪训练2：
5. 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交
点间的距离为 6. (1)求a ，b ；
(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|， 证明：|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等比数列．。