天津市耀华中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题(含解析)

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天津市和平区耀华中学2018_2019学年高一数学下学期期中试题(含解析)

天津市耀华中学2018-2019学年度第二学期中形成性检测高一年级数学学科试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请把正确答．．．．．案填涂在答题卡上．．．．．．．．. 1.如图，已知OAB ∆的直观图O A B '''∆是一个直角边长是1的等腰直角三角形，那么OAB ∆的面积是（）A.12B.2C. 1【答案】D 【解析】【分析】根据斜二测画法的基本原理，将平面直观图'''O A B ∆与还原为原几何图形，利用三角形面积公式可得结果.【详解】平面直观图'''O A B ∆与其原图形如图，直观图'''O A B ∆是直角边长为1的等腰直角三角形，还原回原图形后，边''O A 还原为OA ，直观图中的'OB 在原图形中还原为OB 长度，且长度为2，所以原图形的面积为11222S OA OB =⋅=⨯= D. 【点睛】本题主要考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与与'x 轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与'y 轴平行且长度减半.2.将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】解：将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体中可以从左向右看得到,则该几何体的侧视图为D3.直线1l ：20x ay ++=与2l ：320x y a ++-=平行，则a 的值等于（） A. -1或3 B. 1C. 3D. -1【答案】C 【解析】【分析】根据直线平行的判定定理得到31=13a a ⨯⨯⇒=，之后将参数代入排除重合的情况. 【详解】直线1l ：20x ay ++=与2l ：320x y a ++-=平行，则根据向量平行的判定得到：31=13a a ⨯⨯⇒=.当a=3时，代入直线得到两个直线为320,310x y x y ++=++=两个直线平行且不重合.故得到参数值为：3. 故答案为：C.【点睛】这个题目考查了已知两直线平行求参的问题，属于基础题；根据判定定理求出参数后，要排除两直线重合的情况.4.V ABC 中，若 3,120AB BC C ==∠=，则AC =（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】余弦定理2222?cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入得2340AC AC +-=解得1AC =或4AC =-(舍去)选A.5.如图，在三棱锥S ABC -中，2SC AB ==，E 、F 分别是SA 、BC 的中点，且满足EF =SC 与AB 所成的角等于（）A. 60︒B. 120︒C. 120︒或者60︒D. 30︒【答案】A 【解析】【分析】通过做平行线将异面直线所成角化为EGF ∠或其补角，根据三角形中的余弦定理得到结果.【详解】取AC 的中点G,连接EG,GF,可得,EG SC GF AB ，此时，EGF ∠为异面直线SC 与AB所成的角或其补角，根据,EG SC GFAB 可得到,EG GF 分别为三角形的中位线，EG=1GF=1,，FE =在三角形EFG 中，根据余弦定理得到222111cos ,2112EGF +-∠==-⨯⨯因为异面直线所成的角为直角或锐角，故得到异面直线SC 与AB 所成的角等于60︒. 故答案为：A.【点睛】本题考查了异面直线所成角的求法，异面直线所成的角常用方法有：将异面直线平移到同一平面中去，达到立体几何平面化的目的；或者建立坐标系，通过求直线的方向向量得到直线夹角或其补角.6.在ABC ∆中，2220b bc c --=，a =7cos 8A =，则ABC ∆的面积为（）A. 2B. 3C.2【答案】C 【解析】【分析】将题干中的式子变形为2()20b bcc--=，解得2b c =，由余弦定理得到边长b,c,再由同角三角函数关系得到sin A =. 【详解】在ABC ∆中，2220b bc c --=，两边同除以22()20b bc cc⇒--=因式分解得到=2=-1()b bc c或舍去 2b c ∴=，2276cos 2,482b c A c b bc +-==⇒==ABC ∆的面积为1sin ,sin 2S bc A A ===故答案为：C.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.7.在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则1AB 与平面11ABC D 所成角的正弦值为（）A.5B.25C.5D.12【答案】B 【解析】【分析】做出线面角，在直角三角形中解角的正弦值.【详解】做11B H BC ⊥于H 点，连接AH ，因为1AB CB ⊥面，1AB B H ∴⊥，又因为111,B H BC BC AB B ⊥⋂=，111B H ABC D ∴⊥面，根据线面角的定义得到1B AH ∠为所求角，在11BB C 中，1111,2,BB B C ==由等面积法得到1B H=1AB ，线面角的正弦值为：112.5HB AB = 故答案：B.【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，线面角的求法。

2020-2021学年天津市耀华中学高二下学期期中数学复习卷(含答案解析)

2020-2021学年天津市耀华中学高二下学期期中数学复习卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知函数f(x)=ax−x3在区间[1,+∞)上单调递减，则a的最大值是()A. 0B. 1C. 2D. 32.复数a+i2−i为纯虚数，则实数a=()A. −2B. −12C. 2 D. 123.记事件A发生的概率为，定义(A)=[+]为事件A发生的“测度”.现随机抛掷一个骰子，则下列事件中测度最大的一个是()IF a<10THENy=2∗aelsey=a∗aPRINT yEndA. 向上的点数为1B. 向上的点数不大于2C. 向上的点数为奇数D. 向上的点数不小于34.二次函数y=ax2+bx与指数函数y=(ba)x在同一坐标系中的图象可能是()A. B.C. D.5.对次函数f(x)=ax+bx+c(a为非零整数)，同学给出下列结论，其有有一结是错误则错误的结论是()A. −1是f(x)的零点B. 1是f(x)的极值点C. 3是f(x)的极值D. 点(2,8)在曲线y=f(x)上6.设函数f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数，且∀x∈(0,+∞)，f(f(x)−e x+x)=e.若不等式2f(x)−f′(x)−3≥ax对x∈(0,+∞)恒成立，则a的取值范围是()A. (−∞,e−2]B. (−∞,e−1]C. (−∞,2e−3]D. (−∞,2e−1]7.设f(x)=xe−2+x2,g(x)=e xx,对∀x1,x2∈R+,有f(x1)k≤g(x2)k+1恒成立,则正数的k取值范围()A. (0,1)B. (0,+∞)C. [1,+∞)D. [12e2−1,+∞)8.y=x3在点M(−2,−8)处的切线方程是()A. 12x−y−16=0B. 12x−y+16=0C. 12x+y−16=0D. 12x+y+16=09.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，若对于任意实数x有f′(x)+f(x)>0，且f(0)=1，则不等式e x f(x)>1的解集为()A. (−∞,0)B. (0,+∞)C. (−∞,e)D. (e,+∞)10.已知函数f(x)=a(x−1x )−2lnx(a∈R)，g(x)=−ax，若至少存在一个x0∈[1,e]，使f(x0)>g(x0)成立，则实数a的范围为()A. [λ,+∞)B. (0,+∞)C. [0,+∞)D. (G(x),+∞)二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）11.在半径为R的圆内，作内接等腰△ABC，当底边上高ℎ∈(0,t]时，△ABC的面积取得最大值3√3R24，则t的取值范围是______．12.复数z=3−4i(i是虚数单位)的虚部是______13.四位成绩优异的同学报名参加数学、物理两科竞赛，若每人至少选报一科，则不同的报名方法数为______ .(用数字作答)14.函数f(x)=x3+ax2+bx+c，x∈[−2,2]，表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线的斜率均为−1，有以下命题：①f(x)的解析式是f(x)=x3−4x，x∈[−2,2]；②f(x)的极值点有且只有1个；③f(x)的最大值与最小值之和为0；其中真命题的序号是______ ．15.某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为______ ．16.设三次函数f(x)=13ax3+12bx2+cx(a,b，c为实数且a≠0)的导数为f′(x)，g(x)=f′′(x)，若对任意x∈R，不等式f′(x)≥g(x)恒成立，则b2a2+e2的最大值为______．三、解答题（本大题共2小题，共30.0分）17.设f(x)=ln(x+1)+ax，(a∈R且a≠0)．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若a=1，证明：x∈[1,2]时，f(x)−3<1x成立．18.已知函数f(x)=e x−1−ax2+bx−c．(Ⅰ)当a=0时，若f(x)≥f(1)恒成立，求满足条件的b的集合；(Ⅱ)当a=e2时，若对任意大于0的实数b，f(x)有且只有一个零点，求正数c的最小值．【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵f(x)=ax−x3∴f′(x)=a−3x2∵函数f(x)=ax−x3在区间[1,+∞)上单调递减，∴f′(x)=a−3x2≤0在区间[1,+∞)上恒成立，∴a≤3x2在区间[1,+∞)上恒成立，∴a≤3．故选D．根据f(x)在区间[1,+∞)上单调递减，可得f′(x)≤0在区间[1,+∞)上恒成立，建立等量关系，求出参数a最大值即可．本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及恒成立等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．2.答案：D解析：解：∵复数a+i2−i =(a+i)(2+i)(2−i)(2+i)=2a−1+(2+a)i5为纯虚数，∴2a−1=0，2+a≠0，解得a=12．故选：D．利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题．3.答案：A解析：试题分析：本题考查等可能概率的计算，引进新定义，从而解决问题。

2019-2020学年天津市和平区耀华中学2018级高二4月月考数学试卷及解析

2019-2020学年天津市和平区耀华中学2018级高二4月月考数学试卷★祝考试顺利★ (解析版)一.选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的1.函数()()3xf x x e =-的单调递减区间是（）A. (),2-∞B. ()0,3C. ()1,4D. ()2,+∞【答案】A 【解析】对函数()f x 进行求导,利用导数()0f x '<解不等式即可求解. 【详解】()()3x f x x e =-,()()2x f x x e '∴=-,根据单调性与不等式的关系可得()()20xf x x e '=-<,解得2x <.所以函数()()3xf x x e =-的单调递减区间是(),2-∞.故选：A.2.若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增,则实数k 的取值范围是（） A. (],2-∞- B. (],1-∞-C. [)2,+∞D. [)1,+∞【答案】D【详解】试题分析：,∵函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增,∴在区间()1,+∞上恒成立．∴,而在区间()1,+∞上单调递减,∴．∴的取值范围是[)1,+∞．故选D ．3.已知i 是虚数单位,a ,b ∈R ,则“a ＝b ＝1”是“（a +bi ）2＝2i ”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】利用充分必要条件的定义和复数的四则运算及两个复数相等的充要条件即可判断. 【详解】当“a ＝b ＝1”时,“（a +bi ）2＝（1+i ）2＝2i ”成立, 故“a ＝b ＝1”是“（a +bi ）2＝2i ”的充分条件；当“（a +bi ）2＝a 2﹣b 2+2abi ＝2i ”时,“a ＝b ＝1”或“a ＝b ＝﹣1”, 故“a ＝b ＝1”是“（a +bi ）2＝2i ”的不必要条件；综上所述,“a ＝b ＝1”是“（a +bi ）2＝2i ”的充分不必要条件；故选：A4.已知为i 虚数单位,则1ii +的实部与虚部之积等于（） A. 14- B. 14C. 14iD. 14i - 【答案】A 【解析】因为i i(1i)11i 1i (1i)(1i)22-==+++-,所以的实部与虚部之积为111224⨯=；故选B. 5.若复数z 满足()121i z i +=-,则z =( ) A.25B. 35【答案】C【详解】分析：由题先计算112iz i-=+,然后求出共轭复数根据模长公式计算即可. 详解：由题可得：1(1)(12)1312555i i i z i z i ---===--+∴==故选C.6.下列求导运算正确的是（） A. （cosx ）'＝sinxB. （3x ）'＝3x log 3eC. 1(lg )'ln10x x = D. （x 2cos x ）′＝﹣2x sin x【答案】C 【解析】利用基本初等函数的求导公式和运算法则进行求解即可.【详解】对于选项A ：因为（cos x ）'＝﹣sin x ,故选项A 不正确；对于选项B ：因为（3x ）'＝3x ln 3,故选项B 不正确；对于选项C ：因为（lgx ）′＝1ln10x ,故选项C 正确；对于选项D ：因为（x 2cos x ）′＝2x cos x ﹣x 2sin x ,故选项D 不正确. 故选：C7.点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点, 则点P 到直线2y x =-的距离的最小值是（）A. １C. ２D. 【答案】B 【解析】1'21y x x=-=,则1x =,即()1,1P ,所以d ==故选B ．8.1n +（n ∈N *）”的过程如下：证明：①当n ＝1时,显然命题是正确的．②假设当n ＝k （k ≥1,k ∈N *）时,1k +,那么当n ＝k +1时(1)1k =<++,所以当n ＝k +1时命题是正确的,由①②可知对于n ∈N *,命题都是正确的,以上证法是错误的,错误在于（） A. 从k 到k +1的推理过程没有使用归纳假设 B. 假设的写法不正确 C. 从k 到k +1的推理不严密 D. 当n ＝1时,验证过程不具体【答案】A 【解析】利用数学归纳法的证明步骤进行逐项判断可知,此证明中,从推出()1P k +成立中,没有用到假设()P k 成立的形式,不是数学归纳法. 【详解】用数学归纳法应这样证明： ①当n ＝1时,显然命题是正确的；②假设当n ＝k （k ≥2,k ∈N *）时,1k =<+,即k 2+k ＜（k +1）2；则当n ＝k +1时(1)1k =<<=++, 所以当n ＝k +1时命题是正确的, 由①②可知对于n ∈N *,命题都是正确的．原题目中的证法是错误的,错误在于从k 到k +1的推理过程没有使用归纳假设；只是用了放缩法和不等式的性质,不符合数学归纳法的要求．故选：A 9.已知函数()32114332f x x mx x =-+-在区间[]12，上是增函数,则实数m 的取值范围为（） A 45m ≤≤ B. 24m ≤≤ C. 2m ≤ D. 4m ≤【答案】D 【解析】求函数的导函数,利用导函数与原函数单调性的关系进行判断,要使()f x 在区间[]12，上是增函数,则()0f x '≥在[]12，上恒成立,分离参数m ,即可得到答案．【详解】由题得2()4f x x mx '=-+,要使()f x 在区间[]12，上是增函数,则()0f x '≥在[]12，上恒成立,即240x mx -+≥,则244x m x x x+≤=+在[]12，上恒成立,又44x x +≥=,当且仅当2x =时,等号成立,所以4m ≤, 故答案选D10.已知定义在R 上的偶函数f （x ）,其导函数()f x ',当x ≥0时,恒有2x()f x '+f （﹣x ）＜0,若g （x ）＝x 2f （x ）,则不等式g （x ）＜g （1﹣2x ）的解集为（）A. （13,1）B. （﹣∞,13）∪（1,+∞）C. （13,+∞）D. （﹣∞,13）【答案】A【解析】根据函数f （x ）为偶函数,则函数g （x ）也是偶函数,利用导数判断函数()g x 在[0,+∞）上的单调性,则不等式g （x ）＜g （1﹣2x ）等价于g （|x |）＜g （|1﹣2x |）,解不等式即可. 【详解】因为g （x ）＝x 2f （x ）,当x ≥0时,g ′（x ）＝2x [2x()f x ' +f （﹣x ）]≤0, ∴函数g （x ）在[0,+∞）上单调递减． ∵函数f （x ）是定义在R 上的偶函数, ∴函数g （x ）是定义在R 上的偶函数,则不等式g （x ）＜g （1﹣2x ）即g （|x |）＜g （|1﹣2x |）,∴|x |＞|1﹣2x |,解得：13＜x ＜1．∴不等式g （x ）＜g （1﹣2x ）的解集为（13,1）．故选：A二、填空题：本大题共4小题,每小题6分,共24分 11.曲线2e (2)x y x =+在点(0,2)处的切线方程为______. 【答案】22y x =+ 【解析】对函数求导,得出在(0,2)处的一阶导数值,即得出所求切线的斜率,再运用直线的点斜式求出切线的方程.【详解】令()2e (2)xf x x =+,2()e (22)x f x x x '=++,所以(0)2f '=,又(0)2f =,∴所求切线方程为22y x -=,即22y x =+. 故答案为：22y x =+. 12.函数()219ln 2f x x x =-的单调减区间为_______ ．【答案】()0,3. 【解析】利用导数研究函数单调性即可得到结论. 【详解】解：∵()219ln 2f x x x =-,0x >,则299()x f x x x x'-=-=,由()0f x '<,即290x -<,解得33x -<< ,0,03x x >∴<<,即函数的单调减区间为()0,3, 故答案为：()0,3.13.若函数f （x ）＝x 2+x ﹣lnx +1在其定义域的一个子区间（2k ﹣1,k +2）内不是单调函数,则实数k 的取值范围是___．【答案】13[,)24.【解析】根据题意,求出函数()f x 的定义域,由区间（2k ﹣1,k +2）为其定义域的一个子区间得到关于k 的不等式,对函数()f x 进行求导,利用导数判断函数()f x 的单调区间,结合函数()f x 在区间（2k ﹣1,k +2）上不单调得到关于k 的不等式,然后取交集即可. 【详解】由题意知,函数f （x ）＝x 2+x ﹣lnx +1的定义域为（0,+∞）, 由区间（2k ﹣1,k +2）为其定义域的一个子区间,可得：0≤2k ﹣1＜k +2,解得12≤k ＜3, f ′（x ）＝2x +1﹣1(21)(1)=x x x x -+,令f ′（x ）＝0,解得x ＝12,所以当102x <<时,()0f x '<,函数()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当12x >时,()0f x '>,函数()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增, ∵函数f （x ）＝x 2+x ﹣lnx +1在其定义域的一个子区间（2k ﹣1,k +2）内不是单调函数,∴2k ﹣1＜12＜k +2,解得：﹣32＜k ＜34,与12≤k ＜3联立解得：12≤k ＜34．故答案为：13[,)24.14.若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线,也是曲线ln(1)y x =+的切线,则b = ．【答案】1ln2-试题分析：对函数ln 2y x =+求导得1y x '=,对ln(1)y x =+求导得11y x '=+,设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点111(,)P x y ,与曲线ln(1)y x =+相切于点222(,)P x y ,则1122ln 2,ln(1)y x y x =+=+,由点111(,)P x y 在切线上得()1111ln 2()y x x x x -+=-,由点222(,)P x y 在切线上得2221ln(1)()1y x x x x -+=-+,这两条直线表示同一条直线,所以,解得11111,2,ln 211ln 22x k b x x =∴===+-=-.【名师点睛】函数f （x ）在点x 0处的导数f ′（x 0）的几何意义是曲线y ＝f （x ）在点P （x 0,y 0）处的切线的斜率．相应地,切线方程为y −y 0＝f ′（x 0）（x −x 0）．注意：求曲线切线时,要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同．三、解答题：本大题共两小题,共计26分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()22ln f x x a x x=++,a R ∈．（Ⅰ）若4a =-,求曲线()y f x =在点()()1,1A f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在[)1,+∞上单调递增,求实数a 的取值范围．【答案】（I ）470x y +-=；（Ⅱ）[)0,+∞．【解析】（I ）对函数()f x 进行求导得到()f x ',把4a =-和1x =分别代入()f x 和()f x ',求出()1f 、()1f ',利用导数的几何意义即可求解；（Ⅱ）对函数()f x 进行求导,再由()0f x '≥在[)1,+∞上恒成立得到关于a 的不等式,利用分离参数法和构造函数法求出实数a 的取值范围即可.【详解】（I ）因为函数()22ln f x x a x x =++,a R ∈,所以()222a f x x x x'=-+,当4a =-时,()224ln f x x x x=+-,()11203f =+-=. ()2242f x x x x'=--,()12244f '=--=-． ∴曲线()y f x =在点()()1,1A f 处的切线方程为()341y x -=--,所以470x y +-=即为所求；（Ⅱ）函数()f x 在[)1,+∞上单调递增,()2220a f x x x x'∴=-+≥,可得222a x x ≥-, 令()222x x g x -=,[)1,x ∈+∞, 因为函数2y x=为[)1,+∞上的减函数,函数22y x =为[)1,+∞上的增函数,所以,函数()g x [)1,+∞上单调递减．当1x =时,函数()g x 取得最大值为()10g =,因此,实数a 的取值范围为[)0,+∞． 16.求函数f （x ）＝e x （e x ﹣a ）﹣a 2x （a ∈R ）的单调区间．【答案】见解析. 【解析】对函数()f x 进行求导,分a ＞0,a ＜0和a ＝0三种情况分别利用导数判断函数的单调性求其单调区间即可.【详解】f ′（x ）＝e x（e x﹣a ）+e x•e x﹣a 2＝2（e x+2a）（e x ﹣a ）．下面对a 分类讨论：a ＝0时,f （x ）＝e 2x 在R 上单调递增；a ＞0时,令f ′（x ）＝0,解得x ＝lna ,可得：函数f （x ）在（﹣∞,lna ）上单调递减,在（lna ,+∞）上单调递增；a ＜0时,令f ′（x ）＝0,解得x ＝ln （﹣2a）,可得：函数f （x ）在（﹣∞,ln （﹣2a ））上单调递减,在（ln （﹣2a）,+∞）上单调递增．综上可得：a ＝0时,f （x ）单调递增区间为(),-∞+∞；a ＞0时,函数f （x ）的单调递减区间为（﹣∞,lna ）,单调递增区间为（lna ,+∞）；a ＜0时,函数f （x ）的单调递减区间为（﹣∞,ln （﹣2a））,单调递增区间为（ln （﹣2a ）,+∞）．。

精品解析：【全国百强校】天津市耀华中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题(解析版)

7.若函数 f ( x ) = l n x + a x + 1 在 1 , + ) 上是单调函数，则 a 的取值范围是 (
)
x
A. 1 (− ,0 ] [ , + ) 4
B. 1 (− , − ] [0 , + ) 4
C.
1

− ,0

4

【答案】B
【解析】
【分析】
x→ 0
x
x→ 0
3 x
【详解】因为 f ( 1 ) = 1 ，
所以 l i m
x→ 0
f (1 + 3 x ) − x
f (1 ) = 3 lim
x→ 0
f (1 + 3 x ) − 3 x
f (1 )
. = 3 f ( 1 ) = 3
故选 C
【点睛】本题主要考查导数的概念，熟记导数的概念即可，属于常考题型.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据复数相等的充要条件，求得 x = 1 , y = 1 ，再由复数模的计算公式，即可求解.
【详解】由题意知，复数满足 ( 1 + i ) x = 1 +
yi
，可得

x
=1
，解得 x
= 1, y
= 1，
x = y
所以 | x + y i | = 1 + i =
【详解】 f ( x ) =
2x +
3
f ( 1 ) ，令 x
= 1 ，得 f ( 1 ) =
2+

天津耀华中学18-19学度高二下年中考试-数学(文)

天津耀华中学18-19学度高二下年中考试-数学（文）高二年级数学试卷（文）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时L20分钟。

祝各位考生考试顺利！第I卷（选择题共60分）【一】选择题：本大题共L2小题，每题5分，共60分，在每题的4个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，将答案填写在答题纸上、1、设I是虚数单位，复数12aii+-为纯虚数，那么实数A为A、2B、－2C、12-D、12那么A，B，C中至少有一个是偶数时，以下假设是正确的选项是A、假设A，B，C都不是偶数B、假设A，B，C都是偶数C、假设A，B，C至多有两个是偶数D、假设A，B，C至少有两个是偶数3、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，假设输入X的值为－4，那么输出Y的值为（）、A、0、5B、1C、2D、44、A为正实数，I为虚数单位，2a i||i+=，那么A＝（）A、2BC、15、函数f(x)在R上满22288f(x)f(x)x x=--+-，那么曲线y f(x)=在点（1，F（1））处的切线方程是（）、A、21y x=-B、y x=C、32y x=-D、23y x=-+6、假设A》0，B》0，且函数32422f(x)x ax bx=--+在X＝1处有极值，那么AB 的最大值等于（）A 、2B 、3C 、6D 、97、函数3x f (x )(x )e =-的单调递增区间是（）A 、（-∞，2）B 、（0，3）C 、（1，4）D 、〔2，+∞〕8、函数22x y sin x =-的图象大致是9、设A ∈R ，假设函数x y e ax,x R =+∈有大于零的极值点，那么（）、A 、1a <-B 、1a >-C 、1a e <-D 、1a e >-10.点P 在曲线41x y e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，那么α的取值范围是A 、[0)4,πB 、[)42,ππC 、3(]24,ππD 、3[,)4ππ11、设f (x ),g(x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当X 《0时，0f '(x )g(x )f (x )g'(x )+>、且G （3）＝0、那么不等式0f (x )g(x )<的解集是（）A 、（－3，0）（3，+∞）B 、（－3，0）（0，3）C 、（-∞，－3）（3，+∞）D 、（-∞，－3）（0，3） 12、函数F （X ）的定义域为R ，F （－1）＝2，对任意X ∈R ，f '(x )》2，那么F （X ）》2X ＋4的解集为（）、A 、（－1，1）B 、（－1，＋∞）C 、（－∞，－L ）D 、（－∞，＋∞）第II 卷（非选择题共90分）二·填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分，将答案填写在答题纸上、13、在复平面内，复数21ii -对应的点的坐标为。

2019-2020学年天津市耀华中学高二(下)期中数学试卷(附答案详解)

2019-2020学年天津市耀华中学高二（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.函数y=x+3x+2lnx的单调递减区间是()A. (−3,1)B. (0,1)C. (−1,3)D. (0,3)2.设z=10i3+i，则z的共轭复数为()A. −1+3iB. −1−3iC. 1+3iD. 1−3i3.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A. 18B. 38C. 58D. 784.若函数f(x)=12x2−2x+alnx有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是()A. a>1B. −1<a<0C. a<1D. 0<a<15.函数f(x)=x3−ax2−bx+a2在x=1处有极值10，则点(a,b)为()A. (3,−3)B. (−4,11)C. (3,−3)或(−4,11)D. 不存在6.若函数f(x)=13x3+x2−23在区间(a,a+5)上存在最小值，则实数a的取值范围是()A. [−5,0)B. (−5,0)C. [−3,0)D. (−3,0)7.设函数f(x)=ax3−x+1(x∈R)，若对于任意x∈[−1,1]都有f(x)≥0，则实数a的取值范围为()A. (−∞,2]B. [0,+∞)C. [0,2]D. [1,2]8.已知函数f(x)=x3−3x，若过点M(3,t)可作曲线y=f(x)的三条切线，则实数t的取值范围是()A. (−9,−8)B. (−18,18)C. (−18,6)D. (−6,6)9.已知函数f(x)=x2−3x+5，g(x)=ax−lnx，若对∀x∈(0,e)，∃x1，x2∈(0,e)且x1≠x2，使得f(x)=g(x i)(i=1,2)，则实数a的取值范围是()A. (1e ,6e) B. [1e,e74) C. [6e,e74) D. (0,1e]∪[6e,e74)10.定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意实数x，有f(x)>f′(x)，且f(x)+2019为奇函数，则不等式f(x)+2019e x<0的解集为()A. (−∞,0)B. (0,+∞)C. (−∞,1e ) D. (1e,+∞)二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）11.函数f(x)=x3−3x(x∈[−2,3])的最大值为______．12.复数z满足1+z1−z=i，则|z|=______．13.6名同学站成一排，甲、乙两人相邻，丙与丁不相邻，则共有______种不同的排法(用数字作答)．14.从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为______cm3．15.用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数，且是偶数，则这样的三位数有______个．16.已知函数f(x)=x−1−lnx，对定义域内的任意x都有f(x)≥kx−2，则实数k的取值范围是______．三、解答题（本大题共2小题，共30.0分）17.已知函数f(x)=e x−ax2，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=bx+1．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)求f(x)在[0,1]上的最大值．18.已知函数f(x)=x−(a+1)lnx，g(x)=−2+ax,(a∈R)．(1)若a=2，求函数f(x)的极值；(2)设函数ℎ(x)=f(x)−g(x)，求函数ℎ(x)的单调区间；(3)若对[1,e]内任意一个x，都有f(x)>g(x)成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，属于基础题．求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可．【解答】解：函数的定义域是(0,+∞)，y′=1−3x2+2x=(x+3)(x−1)x2，令y′(x)<0，解得：0<x<1，故函数在(0,1)递减，故选：B．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数代数形式的除法运算及共轭复数，属于基础题．直接由复数代数形式的除法运算化简，则z的共轭复数可求．【解答】解：∵z=10i3+i =10i(3−i)(3+i)(3−i)=10+30i10=1+3i，∴z=1−3i．故选D．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．属于基础题．求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24−2=16−2=14种情况， ∴所求概率为1416=78．故选D ．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的极值问题，属于中档题．求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a 的不等式组，解出即可．【解答】解：f(x)的定义域是(0,+∞)， f ′(x)=x −2+ax =x 2−2x+ax，若函数f(x)有两个不同的极值点，则g(x)=x 2−2x +a =0在(0,+∞)有2个不同的实数根， g(x)对称轴为直线x =1，在y 轴右侧，故{Δ=4−4a >0g (0)=a >0, 解得0<a <1，故选D ．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查利用函数的极值存在的条件求参数的能力，掌握函数极值存在的条件，属于中档题．首先对f(x)求导，然后由题设在x =1时有极值10可得{f′(1)=0f(1)=10解之即可求出a 和b 的值．【解答】解：对函数f(x)求导得f ′(x)=3x 2−2ax −b ，又∵在x =1时f(x)有极值10， ∴{f′(1)=3−2a −b =0f(1)=1−a −b +a 2=10，解得{a =−4b =11或{a =3b =−3，验证知，当a =3，b =−3时，在x =1无极值，故选：B ．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了导数的综合应用及学生作图识图的能力，属于中档题．由题意，求导f′(x)=x 2+2x =x(x +2)确定函数的单调性，从而作出函数的简图，由图象求实数a 的取值范围．【解答】解：由题意，f′(x)=x 2+2x =x(x +2)，故f(x)在(−∞,−2)，(0,+∞)上是增函数，在(−2,0)上是减函数，作其图象如右图，令13x 3+x 2−23=−23得， x =0或x =−3；则结合图象可知， {−3≤a <0a +5>0；解得，a ∈[−3,0)；故选C ．7.【答案】C【解析】解：若x =0，则不论a 取何值，f(x)≥0都成立；当x >0即x ∈(0,1]时，f(x)=ax 3−x +1≥0可化为： a ≥1x 2−1x 3，设g(x)=1x2−1x3，则g′(x)=3−2xx4，所以g(x)在区间(0,1]上单调递增，因此g(x)max=g(1)=0，从而a≥0；当x<0即x∈[−1,0)时，f(x)=ax3−x+1≥0可化为：a≤1x2−1x3，设g(x)=1x2−1x3，则g′(x)=3−2xx4，g(x)在区间[−1,0)上单调递增，因此g(x)min=g(−1)=2，从而a≤2，则0≤a≤2．即有实数a的取值范围为[0,2]．故选：C．对x讨论，当x=0，当x∈(0,1]时，f(x)=ax3−3x+1≥0可化为：a≥1x2−1x3，设g(x)=1x2−1x3，由导数判断单调性，即可求出a≥0；x∈[−1,0)时，求出a≤2，由此可得a的取值范围．本题考查不等式恒成立问题的解法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．8.【答案】A【解析】解：设切点为(a,a3−3a)，∵f(x)=x3−3x，∴f′(x)=3x2−3，∴切线的斜率k=f′(a)=3a2−3，由点斜式可得切线方程为y−(a3−3a)=(3a2−3)(x−a)，∵切线过点M(3,t)，∴t−(a3−3a)=(3a2−3)(3−a)，即2a3−3a2=−t−9，∵过点M(3,t)可作曲线y=f(x)的三条切线，∴关于a的方程2a3−3a2=−t−9有三个不同的根，令g(x)=2x3−3x2，∴g′(x)=6x2−6x=0，解得x=0或x=1，当x <0时，g′(x)>0，当0<x <1时，g′(x)<0，当x >1时，g′(x)>0， ∴g(x)在(−∞,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增， ∴当x =0时，g(x)取得极大值g(0)=0，当x =1时，g(x)取得极小值g(1)=−1，关于a 的方程2a 3−3a 2=−t −9有三个不同的根，等价于y =g(x)与y =−t −9的图象有三个不同的交点， ∴−1<−t −9<0， ∴−9<t <8，∴实数t 的取值范围为(−9,8)．故选：A ．设切点为(a,a 3−3a)，利用导数的几何意义，求得切线的斜率k =f′(a)，利用点斜式写出切线方程，将点A 代入切线方程，可得关于a 的方程有三个不同的解，利用参变量分离可得2a 3−3a 2=−t −9，令g(x)=2x 3−3x 2，利用导数求出g(x)的单调性和极值，则根据y =g(x)与y =−t −9有三个不同的交点，即可得到t 的取值范围．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．运用了转化的数学思想方法，对能力要求较高．属于中档题．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，难度较大．对∀x ∈(0,e)，f(x)的值域为[114,5)，g ′(x)=ax−1x，推导出a >0，g(x)min =g(1a)=1+lna ，作出函数g(x)在(0,e)上的大致图象，数形结合由求出实数a 的取值范围．【解答】解：∵函数f(x)=x 2−3x +5，g(x)=ax −lnx ，x ∈(0,e)， ∴f(x)min =f(32)=94−92+5=114；x →0,f(x)→5∴对∀x ∈(0,e)，f(x)的值域为[114,5)， g ′(x)=a −1x =ax−1x，当a ≤0时，g ′(x)<0，与题意不符，∴a >0，令g ′(x)=0，得x =1a ，则1a ∈(0,e)， ∴g(x)min =g(1a )=1+lna ，作出函数g(x)在(0,e)上的大致图象，如图，观察图形得到： {1+lna <114g(e)=ae −1≥5，解得6e ≤a <e 74．∴实数a 的取值范围是[6e ,e 74).故选：C ．10.【答案】B【解析】解：构造函数g(x)=f(x)e x，则g ′(x)=f ′(x)−f(x)e x<0，所以g(x)在R 上单独递减，因为f(x)+2019为奇函数，所以f(0)+2019=0， ∴f(0)=−2019，g(0)=−2019．因此不等式f(x)+2019e x <0等价于g(x)<g(0)，即x >0，故选：B ．由题意构造函数，结合函数的单调性和函数的奇偶性求解不等式即可．本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性，构造函数求解不等式的方法等知识，属于中等题．11.【答案】18【解析】解：f(x)=x 3−3x ，可得f′(x)=3x 2−3=0可得：x =±1，函数以及导函数在[−2,3]上的变化情况如下：f(−2)=−2，f(−1)=2，f(3)=18．所以函数的最大值为18．故答案为：18．利用导函数，求出函数的极值点，以及函数的端点值，即可求解函数f(x)的最大值．本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的极值函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．12.【答案】1【解析】解：∵1+z1−z=i，∴z=−1+i1+i =(−1+i)(1−i)(1+i)(1−i)=2i2=i．则|z|=1．故答案为：1．直接由1+z1−z=i利用复数代数形式的乘除运算求出z，则z的模可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．13.【答案】144【解析】解：先排丙与丁以外的4人且甲、乙在一起，有A33A22=12种排法，再排丙、丁两人有A42=12种排法，∴共有12×12=144种排法．故填：144．先排丙与丁以外的4人，再利用插空法排丙与丁，计算出结果．本题主要考查排列、组合的基础知识，属于基础题．14.【答案】144【解析】解：设小正方形的变长为xcm(0<x<5)，则盒子的容积V=(10−2x)(16−2x)x=4x3−52x2+160x(0<x<5)，V′=12x2−104x+160=4(3x−20)(x−2)，当0<x<2时，V′>0，当2<x<5时，V′<0，∴x=2时V取得极大值，也为最大值，等于(10−4)(16−4)×2=144(cm3)，故答案为：144．设小正方形的变长为xcm(0<x<5)，可表示出盒子的容积，利用导数可求得其最大值．本题考查导数在解决实际问题中的应用，考查学生的阅读理解能力及利用数学知识解决问题的能力．15.【答案】52【解析】解：由题意，从0，1，2，3，4，5六个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位偶数，可分为两类，当末位是0时，这样的三位数有A52=20个当末位不是0时，从余下的两位偶数中选一个放在个位，再从余下的四位非零数字中选一个放在首位，然后从余下的四个数中取一个放在中间，由此知符合条件的偶数有A21×A41×A41=32综上得这样的三位数共有20+32=52个故答案为52可用分步原理求解本题，可分为两类，一类是末位是0，一类是末位不是0，在每一类中再分为三步，第一步排末位，从三个偶数中选一个，第二步排首位，从余下的四个非零数中选一个，中间的数从余下的四个数中选一个即可本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是正确理解偶的含义，以及计数原理，且能根据问题的要求进行分类讨论，本题考查了推理判断的能力及运算能力]16.【答案】(−∞,1−1e2【解析】解：∵f(x)=x−1−lnx≥kx−2，∴kx≤x+1−lnx，x>0，也即k≤1+1 x −lnxx在x>0时恒成立．令g(x)=1+1−lnxx ，x>0，则g′(x)=lnx−2x2，x>0，令g′(x)=0⇒x=e2.易知g(x)在x∈(0,e2)上单调递减，g(x)在x∈(e2,+∞)上单调递增，故g(x)min=g(e2)=1−1e2，∴k≤1−1e2．故填：(−∞,1−1e2].先分离出k，得到k≤1+1x −lnxx在x>0时恒成立，再处理g(x)=1+1−lnxx，x>0的最小值即可解决问题．本题主要考查导数在处理最值问题中的简单应用，属于基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=e x−2ax，由题设得f′(1)=e−2a=b，f(1)=e−a=b+1，解得a=1，b=e−2．(Ⅱ)由(1)知f(x)=e x−x2，所以f′(x)=e x−2x，f″(x)=e x−2，所以f′(x)在(0,ln2)上单调递减，在(ln2,+∞)上单调递增，所以f′(x)≥f′(ln2)=2−2ln2>0，所以f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)max=f(1)=e−1．【解析】(Ⅰ)先求导f′(x)=e x−2ax，由题设得f′(1)=e−2a=b，f(1)=e−a=b+ 1，解得a，b．(Ⅱ)由(1)知f(x)=e x−x2，所以f′(x)=e x−2x，f″(x)=e x−2.所以f′(x)在(0,ln2)上单调递减，在(ln2,+∞)上单调递增，所以f′(x)≥f′(ln2)=2−2ln2>0，所以f(x)在[0,1]上单调递增，进而求出f(x)max．本题考查导数的综合应用，属于中档题．18.【答案】解：(1)∵函数f(x)=x−(a+1)lnx，∴f(x)的定义域为(0,+∞)，当a=2时，f(x)=x−3lnx，f′(x)=1−3x =x−3x，由f′(x)=0，得x=3，列表：∴f(x)的极小值是f(3)=3−3ln3，f(x)没有极大值．(2)ℎ(x)=x+2+ax−(a+1)lnx，ℎ′(x)=1−2+ax2−a+1x=x2−(a+1)x−(a+2)x2=(x+1)[x−(2+a)]x2，①当a+2>0时，即a>−2时，在(0,2+a)上，ℎ′(x)<0，在(2+a,+∞)上ℎ′(x)>0，∴ℎ(x)在(0,2+a)上单调递减，在(2+a,+∞)上单调递增；②当2+a≤0，即a≤−2时，在(0,+∞)上ℎ′(x)>0，∴函数ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增；(3)“对[1,e]内任意一个x，都有f(x)>g(x)成立”等价于“函数ℎ(x)=x+2+ax−(a+ 1)lnx在[1,e]上的最小值大于零”，由(Ⅱ)可知：①当2+a≤0时，ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，∴ℎ(x)min=ℎ(1)=a+3>0，解得−3< a≤−2；②当2+a≥e，即a≥e−2时，ℎ(x)在[1,e]上单调递减，∴ℎ(x)的最小值为ℎ(e)=e−a−1+a+2e >0可得a<e2−e+2e−1，∵e2−e+2e−1=e+2e−1>e−2，∴e−2≤a<e2−e+2e−1；③当2+a≤1，即a≤−1时，ℎ(x)在[1,e]上单调递增，∴ℎ(x)最小值为ℎ(1)，由ℎ(1)=3+a>0可得a>−3，∴−1≥a>−1；④当1<2+a<e，即−1<a<e−2时，可得ℎ(x)最小值为ℎ(2+a)=a+3−(a+1)ln(a+2)，∵0<ln(2+a)<1，0<a+1<e−1，∴0<(a+1)ln(a+2)<e−1，故ℎ(2+a)=a+3−(a+1)ln(a+2)>a+3−e+1>2−e+1>0，恒成立．综上讨论可得所求a的范围是：(−3,e2−e+2e−1).【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，当a=2时，f(x)=x−3lnx，f′(x)=1−3x =x−3x，利用导数性质能求出f(x)的极值．(2)ℎ(x)=x+2+ax −(a+1)lnx，ℎ′(x)=(x+1)[x−(2+a)]x2，根据a>−2，a≤−2分类讨论，能求出函数ℎ(x)的单调区间．−(a+ (3)“对[1,e]内任意一个x，都有f(x)>g(x)成立”等价于“函数ℎ(x)=x+2+ax1)lnx在[1,e]上的最小值大于零”，由此利用导数性质能求出a的范围．本题考查函数的极值的求法，考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，利用函数单调性、极值和导数之间的关系是解决本题的关键，考查导数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．。

天津耀华嘉诚国际中学数学高二下期中测试

一、选择题1．(0分)[ID ：13609]已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（）A ．2B C D 2．(0分)[ID ：13599]已知向量5168,77AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，68,77AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，D ，E 是线段BC 上两点，且15BD BC =，13CE CB =，则向量AD 与AE 的关系是（） A ．2AD AE = B ．12AD AE =C ．AD AE ⊥D ．AD 与AE 成60︒夹角3．(0分)[ID ：13583]已知向量(22cos m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．周期为2πD ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 4．(0分)[ID ：13582]《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为2π3，弦长为40√3m的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（）平方米.（其中π≈3，√3≈1.73） A ．15B ．16C ．17D ．185．(0分)[ID ：13581]若在直线l 上存在不同的三点 A B C 、、，使得关于x 的方程20x OA xOB BC ++=有解（O l ∉），则方程解集为（）A ．∅B ．{}1-C ．{}1,0-D ．⎪⎪⎩⎭6．(0分)[ID ：13578]若非零向量a ，b 满足||a b |=|，向量2a b +与b 垂直，则a 与b 的夹角为（）A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．307．(0分)[ID ：13574]如图，在ΔABC 中，AN ⃑⃑⃑⃑⃑ =12AC ⃑⃑⃑⃑ ，P 是BN 的中点，若AP⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC ⃑⃑⃑⃑ ，则实数m 的值是（）A ．14B ．1C ．12D ．328．(0分)[ID ：13556]已知2sin()34πα+=，则sin 2α=（）A ．12B ．32C ．12-D ．32-9．(0分)[ID ：13550]函数()()sin f x A x ωϕ=+，（其中0A >， 0>ω， 2πϕ<）的一部分图象如图所示，将函数上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象表示的函数可以为（）A ．()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()sin 43f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭10．(0分)[ID ：13610]设ω>0,函数y=sin(ωx+3π)+2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是 A ．23B ．43C ．32D ．311．(0分)[ID ：13567]把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝－π2 B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π412．(0分)[ID ：13564]已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 A ．11 B ．9 C ．7D ．513．(0分)[ID ：13548]若向量a ，b 满足同3a =，2b =，()a ab ⊥-，则a 与b 的夹角为（） A ．2π B ．23π C ．6π D ．56π 14．(0分)[ID ：13541]已知a ，b 均为非零向量，()2a b a -⊥，()2b a b -⊥，则a ，b 的夹角为（）A ．3π B ．2π C ．23π D ．56π15．(0分)[ID ：13529]设O 是△ABC 所在平面上的一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则△ABC 的形状一定是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．以上都不对二、填空题16．(0分)[ID ：13725]如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ=______________．17．(0分)[ID ：13719]设 a b c ，，是平面内互不平行的三个向量，x ∈R ，有下列命题：①方程20ax bx c ++=不可能有两个不同的实数解；②方程20ax bx c ++=有实数解的充要条件是240b a c -⋅≥；③方程22220a x a bx b +⋅+=有唯一的实数解bx a=-；④方程22220a x a bx b +⋅+=没有实数解，其中真命题有_______________.(写出所有真命题的序号)18．(0分)[ID ：13703]已知ΔABC 是边长为√3的正三角形，PQ 为ΔABC 外接圆O 的一条直径，M 为ΔABC 边上的动点，则PM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值是______. 19．(0分)[ID ：13691]已知α为锐角，5cos 5α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．20．(0分)[ID ：13682]设1e ，2e 是两个不共线的空间向量，若122AB e e =-，1233BC e e =+，12CD e ke =+，且A ，C ，D 三点共线，则实数k 的值为_________.21．(0分)[ID ：13673]如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E 、F 是AD 上两个三等分点,155BA CA BE CE =⋅=⋅，，则BF CF =⋅___________.22．(0分)[ID ：13668]若对n 个向量12,,,n a a a 存在n 个不全为零的实数12,,,n k k k ，使得11220n n k a k a k a +++=成立，则称向量12,,,n a a a 为“线性相关”，以此规定，能说明123(1,0),(1,1),(2,2)a a a ==-=线性相关”的实数123,,k k k 依次可取的一组值是____________（只要写出一组答案即可）23．(0分)[ID ：13651]已知G 是ABC ∆的重心，D 是AB 的中点则GA GB GC +-=____________24．(0分)[ID ：13642]已知向量||3,||2==a b ，且(2)()5a b a b -⋅+=，则a 在a b+投影为______．25．(0分)[ID ：13639]一个球夹在120°的二面角内，且与二面角的两个面都相切，两切点在球面上的最短距离为π，则这个球的半径为_______ .三、解答题26．(0分)[ID ：13774]已知向量a →(1=，2)，b →(3=-，4)．（1）求a b +与a b -的夹角；（2）若a →(⊥a b λ→→+)，求实数λ的值．27．(0分)[ID ：13772]已知平面向量a 与b 是夹角为120的两个单位向量．（1）若2a b -与k +a b 垂直，求实数k 的值；（2）求2a b +与a b -的夹角的大小．28．(0分)[ID ：13764]在Rt ABC ∆中,090C ∠=,边AC BC 、的中点分别是E D 、,若,,2CA a CB b a b ====.（1）分别用a b 、表示AD →和BE →；（2）求AD BE 、所成钝角的大小(结果用反三角函数表示).29．(0分)[ID ：13735]设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =. （Ⅰ）证明：sin cos B A =；（Ⅱ）若3sin sin cos 4C A B -=，且B 为钝角，求,,A B C . 30．(0分)[ID ：13730]若0,022ππαβ<<-<<，1cos ,cos 4342ππβα⎛⎫⎛⎫+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．D 2．A 3．D 4．B 5．B 6．B 7．C 8．A 9．A 10．C 11．A 12．B13．C14．A15．A二、填空题16．【解析】【分析】在中由余弦定理求得再由正弦定理求得最后利用两角和的余弦公式即可求解的值【详解】在中海里海里由余弦定理可得所以海里由正弦定理可得因为可知为锐角所以所以【点睛】本题主要考查了解三角形实际17．①④【解析】【分析】利用共面向量定理以及共线向量的性质一一判断即可得出答案【详解】因为是平面内互不平行的三个向量则由共面向量定理可得：共面时有且仅有一对有序实数对使得成立；则由①可化简为且共面可得有18．34【解析】【分析】利用向量运算化简PM⋅MQ再求解即可【详解】由题易得OP=OQ=1故PM⋅MQ=PO+OM⋅MO+OQ=PO⋅MO+PO⋅OQ+OM⋅MO+OM⋅OQ=OM⋅OQ+OP+PO⋅O19．【解析】【分析】先利用同角三角函数关系计算sinαtanα再利用两角和的正切即可求得结论【详解】∵α为锐角∴∴tanα2∴tan故答案为【点睛】本题考查同角三角函数关系考查两角和的正切公式考查学生的20．【解析】【分析】根据共线列关系式解得结果【详解】因为ACD三点共线所以因为所以故答案为:【点睛】本题考查根据向量共线求参数考查基本分析求解能力属基础题21．-1【解析】【分析】把所用向量都用表示结合已知求出的值则的值可求【详解】解：∵D是BC的中点EF是AD上的两个三等分点又故答案为：-1【点睛】本题考查平面向量的数量积运算平面向量的线性运算是中档题22．【解析】【分析】利用题中的定义设出方程利用向量的坐标运算得到方程组给其中一个未知数赋值求出方程组的一个解【详解】设k1+k2+k3则依次可取的一组值是故答案为【点睛】本题考查理解题中给的新定义向量的23．4【解析】【分析】由是的中点G是的重心则再联立求解即可【详解】解：因为是的中点G是的重心则即又所以所以故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的线性运算重点考查了三角形的重心的性质属基础题24．【解析】【分析】由向量的数量积的运算公式求得进而求得再利用投影的公式即可求解得到答案【详解】由题意根据向量的数量积的运算公式可得可得所以又由即在上的投影为故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量的数25．3【解析】【分析】根据题意画出过球心且垂直于二面角棱的截面图再由弧长公式即可求解【详解】由题意作出过球心且垂直于二面角棱的截面图如图所示因为二面角为120°所以设球的半径为由弧长公式可得解得故答案为三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】根据平方运算可求得12a b ⋅=，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=求得结果. 【详解】由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=，解得：12a b ⋅=1cos ,422a b a b a b⋅∴<>===本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.2．A解析：A 【解析】【分析】先求出=6,8AD （），=3,4AE （），所以2AD AE =，即得解. 【详解】1141()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+45168168,,(6,8)577577⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 111215168268(),,3333377377AE AC CE AC CB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+=+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3,4)=，所以2AD AE =. 故选：A. 【点睛】本题主要考查基底法和向量的坐标运算，考查共线向量，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．D解析：D 【解析】【分析】【详解】()22cos 2cos 2212sin(2)16f x x x x x x π=+=+=++，当12x π=时,sin(2)sin163x ππ+=≠±,∴f (x )不关于直线12x π=对称；当512x π=时,2sin(2)116x π++= ,∴f (x )关于点5(,1)12π对称； f (x )得周期22T ππ==，当(,0)3x π∈-时,2(,)626x πππ+∈-,∴f (x )在(,0)3π-上是增函数．本题选择D 选项.4．B解析：B 【解析】分析：先根据经验公式计算出弧田的面积，再利用扇形面积减去三角形面积得实际面积，最后求两者之差.详解：因为圆心角为2π3，弦长为40√3m ，所以圆心到弦的距离为20，半径为40，因此根据经验公式计算出弧田的面积为12(40√3×20+20×20)=400√3+200，实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为12×2π3×402−12×20×40√3=1600π3−400√3，因此两者之差为1600π3−400√3−(400√3+200)≈16，选B.点睛：扇形面积公式12lr =12αr 2，扇形中弦长公式2rsin α2，扇形弧长公式l =αr.5．B解析：B 【解析】【分析】利用向量的运算法则将等式中的向量都用以O 为起点的向量表示，利用三点共线的条件列出方程求出x . 【详解】20x OA xOB BC ++=，即20x OA xOB OC OB ++-=，所以2x OA xOB OB OC --+=，因为,,A B C 三点共线，所以2(1)1x x -+-=，解得120,1x x ==-，当0x =时，20x OA xOB BC ++=等价于0BC =，不合题意，所以1x =-，即解集为{}1-，故选B. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法运算，三点共线的条件对应的等量关系式，属于简单题目.6．B解析：B 【解析】∵||||a b =，且2a b +与b 垂直，∴(2)0a b b +⋅=，即220a b b ⋅+=，∴2||2b a b ⋅=-，∴2||12cos ,2b a b a b a b b b-⋅===-⋅⋅，∴a 与b 的夹角为120︒．故选B ．7．C解析：C 【解析】【分析】以AB⃑⃑⃑⃑⃑ ,AC ⃑⃑⃑⃑ 作为基底表示出AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，利用平面向量基本定理，即可求出．【详解】∵P ，N 分别是BN ，AC 的中点，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BN ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12(AN ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AN ⃑⃑⃑⃑⃑ =12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC ⃑⃑⃑⃑ .又AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC ⃑⃑⃑⃑ ，∴m =12.故选C.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，意在考查学生的逻辑推理能力．8．A解析：A 【解析】【分析】将问题中的角2α看作未知角，条件中的角4απ+看作已知角，由未知角与已知角的关系2()242ππαα+-=，可以用已知角表示未知角，然后通过利用诱导公式以及二倍角公式即可求解未知角的正弦值. 【详解】因为sin 42πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，又因为2()242ππαα+-=，所以22()42ππαα=+-，则有2sin 2sin 2()42 sin 2()24 cos 2()412sin ()412ππααππαπαπα⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=-+⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=故选A. 【点睛】本题考查了三角函数值的求解问题，属于给值求值类型，常常利用角的关系对问题进行等价转化，再运用相关的诱导公式、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行求解，属于基础题.9．A解析：A【解析】由图象可知A=1，周期T π=，所以2ω=，又过点(,0)6π-，所以3πϕ=，即()sin(2)3f x x π=+，每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到()sin()3f x x π=+，故选A.10．C解析：C 【解析】函数sin 23y x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象向右平移43π个单位后44sin 2sin 23333w y w x wx ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以有43332013222w kk k w w k w ππ=∴=>∴≥∴=≥ 故选C11．A解析：A 【解析】把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得πsin(2)6y x =+ ，再将图象向右平移π3个单位长度得πππsin(2())sin(2)cos 2362y x x x =-+=-=-，一条对称轴方程为x ＝－π2，选A.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.12．B解析：B 【解析】【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x 4π=-为f （x ）的零点，x 4π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f （x ）在（18π，536π）上单调，可得ω的最大值．【详解】 ∵x 4π=-为f （x ）的零点，x 4π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，∴2142n T π+⋅=，即21242n ππω+⋅=，（n ∈N ）即ω＝2n +1，（n ∈N ）即ω为正奇数，∵f （x ）在（18π，536π）上单调，则53618122T πππ-=≤，即T 26ππω=≥，解得：ω≤12，当ω＝11时，114π-+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|2π≤，∴φ4π=-，此时f （x ）在（18π，536π）不单调，不满足题意；当ω＝9时，94π-+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|2π≤，∴φ4π=，此时f （x ）在（18π，536π）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选B ．【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是最小正周期的一半;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x =对称,则()0f x A =或()0f x A =-.13．C解析：C 【解析】【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件和向量的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由向量垂直的充分必要条件有：()20a a b a a b ⋅-=-⋅=，即30a b -⋅=，据此可得：3a b ⋅=，设a 与b 的夹角θ，则：3cos 32a b a bθ⋅===⨯⨯,故6πθ=,即a 与b 的夹角为6π. 本题选择C 选项. 【点睛】本题主要考查向量垂直的充分必要条件，向量夹角的计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．A解析：A 【解析】由题意得，因为()()2,2a b a b a b -⊥-⊥所以()()22220,220a b a a a b b a b b a b -⋅=-⋅=-⋅=-⋅=，即22222,2a a a b b ba b ==⋅==⋅，所以向量a 和b 的夹角为1cos ,2a b a b a b⋅〈〉==⋅,又,[0,]a b π〈〉∈，所以,3a b π〈〉=，故选A.考点：向量的夹角公式及向量的数量积的运算.15．A解析：A 【解析】【分析】根据已知条件，利用向量的线性运算以及数量积运算，证得AB AC =，由此证得ABC ∆是等腰三角形. 【详解】由()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，得()()0CB OB OA OC OA ⎡⎤⋅-+-=⎣⎦，()()0AB AC AB AC -⋅+=，220ABAC -=，所以AB AC =，所以ABC ∆是等腰三角形. 故选：A 【点睛】本小题主要考查平面向量线性运算，考查平面向量数量积运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.二、填空题16．【解析】【分析】在中由余弦定理求得再由正弦定理求得最后利用两角和的余弦公式即可求解的值【详解】在中海里海里由余弦定理可得所以海里由正弦定理可得因为可知为锐角所以所以【点睛】本题主要考查了解三角形实际【解析】【分析】在ABC ∆中，由余弦定理，求得BC ，再由正弦定理，求得sin ,sin ACB BAC ∠∠，最后利用两角和的余弦公式，即可求解cos θ的值．【详解】在ABC ∆中，40AB =海里，20AC =海里，120BAC ∠=，由余弦定理可得2222cos1202800BC AB AC AB AC =+-⋅=，所以BC =,由正弦定理可得sin sin 7AB ACB BAC BC ∠=⋅∠=，因为120BAC ∠=，可知ACB ∠为锐角，所以cos ACB ∠=所以21cos cos(30)cos cos30sin sin 3014ACB ACB ACB θ=∠+=∠-∠=．【点睛】本题主要考查了解三角形实际问题，解答中需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，合理使用正、余弦定理是解答的关键，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：列方程，求结果．17．①④【解析】【分析】利用共面向量定理以及共线向量的性质一一判断即可得出答案【详解】因为是平面内互不平行的三个向量则由共面向量定理可得：共面时有且仅有一对有序实数对使得成立；则由①可化简为且共面可得有解析：①④【解析】【分析】利用共面向量定理以及共线向量的性质一一判断即可得出答案. 【详解】因为a b c ，，是平面内互不平行的三个向量，x ∈R ，则由共面向量定理可得：a b c ，，共面时，有且仅有一对有序实数对(),m n 使得c ma nb =+成立；则由①可化简为()()2c xa xb =-+-，且a bc ，，共面可得有序实数对()2,x x --有唯一解，即方程20ax bx c ++=有唯一实数解，则①方程20ax bx c ++=不可能有两个不同的实数解正确；由①的分析可得方程20ax bx c ++=有唯一实数解，则②的说法方程20ax bx c ++=有实数解的充要条件是240b a c -⋅≥不正确；化简22220a x a bx b +⋅+=可得()20ax b+=，则()20ax b+=即得b xa =-，因为向量a b ，不共线，所以b xa =-无实数解，即方程22220a x a bx b +⋅+=无实数解，所以③不正确，④正确. 综上可得：①④正确. 故答案为：①④. 【点睛】本题考查了共面向量定理和共线向量的性质的应用，属于一般难度的题.18．34【解析】【分析】利用向量运算化简PM ⋅MQ 再求解即可【详解】由题易得OP=OQ=1故PM ⋅MQ=PO+OM ⋅MO+OQ=PO ⋅MO+PO ⋅OQ+OM ⋅MO+OM ⋅OQ=OM ⋅OQ+OP+PO ⋅O 解析：34【解析】【分析】利用向量运算化简PM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 再求解即可. 【详解】由题易得|OP⃑⃑⃑⃑⃑ |=|OQ ⃑⃑⃑⃑⃑ |=1.故 PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(PO ⃑⃑⃑⃑⃑ +OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅(MO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +OQ ⃑⃑⃑⃑⃑ )=PO ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +PO ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OQ ⃑⃑⃑⃑⃑ +OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OQ ⃑⃑⃑⃑⃑=OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(OQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )+PO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=1−OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2, 故当M 为ΔABC 三边的中点时，|OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |最小， 1−OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2取最大值,此时|OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=12,故PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值是1−(12)2=34. 故答案为：34【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算以及正三角形中的关系等.属于中等题型.19．【解析】【分析】先利用同角三角函数关系计算sinαtanα再利用两角和的正切即可求得结论【详解】∵α为锐角∴∴tanα2∴tan 故答案为【点睛】本题考查同角三角函数关系考查两角和的正切公式考查学生的解析：3-【解析】【分析】先利用同角三角函数关系，计算sin α，tan α，再利用两角和的正切，即可求得结论．【详解】∵α为锐角，cos α=，∴5sin α= ∴tan αsin cos αα==2 ∴tan 11234112tan tan πααα++⎛⎫+===-⎪--⎝⎭故答案为3- 【点睛】本题考查同角三角函数关系，考查两角和的正切公式，考查学生的计算能力，属于基础题．20．【解析】【分析】根据共线列关系式解得结果【详解】因为ACD 三点共线所以因为所以故答案为:【点睛】本题考查根据向量共线求参数考查基本分析求解能力属基础题解析：25【解析】【分析】根据共线列关系式，解得结果. 【详解】因为A ，C ，D 三点共线，所以//AC CD因为12121223352AC BC e e e e e AB e =+=-++=+ 所以25:21:5k k =∴= 故答案为: 25【点睛】本题考查根据向量共线求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.21．-1【解析】【分析】把所用向量都用表示结合已知求出的值则的值可求【详解】解：∵D 是BC 的中点EF 是AD 上的两个三等分点又故答案为：-1【点睛】本题考查平面向量的数量积运算平面向量的线性运算是中档题解析：-1 【解析】【分析】把所用向量都用,BD DF 表示，结合已知求出22,BD DF 的值，则BF CF ⋅的值可求．【详解】解：∵D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，2,2BE BD DE BD DF CE BD DF ∴=+=+=-+， 3,3BA BD DF CA BD DF =+=-+，2245BE CE DF BD ∴⋅=-=， 22915BA CA DF BD ⋅=-=，222,3DF BD ∴==，又,BF BD DF CF BD DF =+=-+，221BF CF DF BD ∴⋅=-=-，故答案为：-1．【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，是中档题．22．【解析】【分析】利用题中的定义设出方程利用向量的坐标运算得到方程组给其中一个未知数赋值求出方程组的一个解【详解】设k1+k2+k3则依次可取的一组值是故答案为【点睛】本题考查理解题中给的新定义向量的解析：4,2,1--【解析】【分析】利用题中的定义设出方程，利用向量的坐标运算得到方程组，给其中一个未知数赋值求出方程组的一个解．【详解】设k 11a +k 22a +k 330a =，则123232020k k k k k ++=⎧⎨-+=⎩123,,k k k 依次可取的一组值是4,2,1--故答案为4,2,1--【点睛】本题考查理解题中给的新定义、向量的坐标运算、平面向量的基本定理．23．4【解析】【分析】由是的中点G 是的重心则再联立求解即可【详解】解：因为是的中点G 是的重心则即又所以所以故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的线性运算重点考查了三角形的重心的性质属基础题解析：4GD 【解析】【分析】由D 是AB 的中点，G 是ABC ∆的重心，则2CG GD =，1()2GD GA GB =+，再联立求解即可. 【详解】解：因为D 是AB 的中点，G 是ABC ∆的重心，则2CG GD =，即2GC GD =- 又1()2GD GA GB =+，所以2GA GB GD +=, 所以2(2)4GA GB GC GD GD GD +-=--=, 故答案为：4GD . 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了三角形的重心的性质，属基础题.24．【解析】【分析】由向量的数量积的运算公式求得进而求得再利用投影的公式即可求解得到答案【详解】由题意根据向量的数量积的运算公式可得可得所以又由即在上的投影为故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量的数解析：【解析】【分析】由向量的数量积的运算公式，求得4a b ⋅=-，进而求得||5a b +=，再利用投影的公式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据向量的数量积的运算公式，可得22(2)()25a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=，可得4a b ⋅=-，所以222||()25a b a b a a b b +=+=+⋅+=，又由()94||5a ab a b ⋅+-==+a 在a b +【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，以及向量的投影的计算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，以及向量的投影的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．25．3【解析】【分析】根据题意画出过球心且垂直于二面角棱的截面图再由弧长公式即可求解【详解】由题意作出过球心且垂直于二面角棱的截面图如图所示因为二面角为120°所以设球的半径为由弧长公式可得解得故答案为解析：3 【解析】【分析】根据题意画出过球心且垂直于二面角棱的截面图，再由弧长公式，即可求解．【详解】由题意，作出过球心且垂直于二面角棱的截面图，如图所示，因为二面角为120°，所以603AOB π∠==，设球的半径为R ，由弧长公式可得3R ππ=，解得3R =．故答案为3．【点睛】本题主要考查了二面角的平面角的概念及应用，以及弧长公式的应用，着重考查了空间想象能力与思维能力，属于基础题．三、解答题 26．（1）34π；（2）1λ=-. 【解析】【分析】(1)先求a b +与a b -的坐标，再代入向量的夹角公式求解.(2)由题得()0a a b λ⋅+=，解方程即得解. 【详解】（1）∵(1a =，2)，(3b =-，4)， ∴(2a b +=-，6)，(4a b -=，2)-，∴()2642cos40a b a b -⋅-+-===，，，；又∵()0,a b a b ，π+-∈，∴34a b a b π+⋅-=；（2）当()a ab λ⊥+时，()0a a b λ⋅+=，∴()()1213240λλ⋅-+=，，，则13480λλ-++=，∴1λ=-．【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，考查向量的夹角的计算和向量垂直的坐标运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.27．（1）54（2）3π【解析】【分析】（1）先根据向量数量积定义求a b ⋅，再根据向量垂直关系列方程解得结果, （2）先分别求2a b +与a b -的模，再根据向量夹角公式求结果. 【详解】21=11cos32a b π⋅⨯⨯=- （1）因为2a b -与k +a b 垂直，所以(2)()0a b a kb -⋅+=22152(21)02(21)024a kb k a b k k k ∴-+-=⋅∴---=∴=（2）221|2|=44412a b a b a b +++⋅=+-=22||=2111a b a b a b -+-⋅=++=2213(2)()22122a b a b a b a b +⋅-=--⋅=-+= 因此3(2)()12cos 2,2|2|||33a b a b a b a b a b a b +⋅-<+->===+⋅-⋅2,3a b a b π∴<+->=【点睛】本题考查向量数量积定义、向量垂直以及向量夹角,考查综合分析求解能力，属中档题.28．（1）12AD b a =-，12BE a b =-；（2）4arccos 5π-（答案形式不唯一）. 【解析】【分析】（1）根据题意可得12AD CD AC CB CA =+=-,12BE CE BC CA CB =+=-,整理即可；（2）利用数量积求向量AD 和BE 的夹角余弦值,再利用反三角函数表示钝角即可【详解】（1）由题,可得1122AD CD AC CB CA b a =+=-=-, 1122BE CE BC CA CB a b =+=-=- （2）由题,0a b ⋅=,则 222222111151111224222242222AD BE b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=--+⋅=--=-⨯-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222222211112252444AD b a b a b a b a ⎛⎫=-=-⋅+=+=⨯+= ⎪⎝⎭,即5AD = 2222222211112252444BE a b a a b b a b ⎛⎫=-=-⋅+=+=⨯+= ⎪⎝⎭,即5BE = 4cos ,55AD BEAD BE AD BE ⋅-<>===-⋅ 则AD BE 、所成钝角为4arccos5π- 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用,考查数量积的应用,考查反三角函数求角,考查运算能力 29．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）30,120,30.A B C ===【解析】试题分析：（Ⅰ）由题根据正弦定理结合所给已知条件可得sin sin cos sin A A A B=，所以sin cos B A =；（Ⅱ）根据两角和公式化简所给条件可得3sin sin cos cos sin 4C A B A B -==，可得23sin 4B =，结合所给角B 的范围可得角B,进而可得角A,由三角形内角和可得角C.试题解析：（Ⅰ）由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a A A b B==，所以sin cos B A =．（Ⅱ）因为sin sin cos sin[180()]sin cos C A B A B A B -=-+-sin()sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B A B A B =+-=+-= 3cos sin 4A B ∴=有（Ⅰ）知sin cos B A =，因此23sin 4B =，又Ｂ为钝角，所以sin B =，故120B =，由cos sin A B ==30A =，从而180()30C A B =-+=，综上所述，30,120,30,A B C ===考点：正弦定理及其运用【名师点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．30．【解析】试题分析：因为02πα<<，所以42ππα<<，又1cos()43πα+=，所以sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由423cos πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin 423πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又02πβ-<<，则0424πβπ<+<，所以423cos πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因此sin 24429cos βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 考点：三角恒等变换中的角度变换、诱导公式、两角和正弦公式的应用.【易错点晴】此题主要考查三角恒等变换中的角度变换、诱导公式、两角和正弦公式等方面知识的应用，属于中档题.在三角恒等变换中常常根据条件与问题之间的角度、三角函数名等关系，通过将角度进行适当的转变、三角函数名进行适当的转换来进行问题的解决，这样会往往使问题的解决过程显得方便快捷，但需要提醒的是对角度进行转变时，应该注意新的角度的范围对三角函数值的影响.。

天津市耀华中学年高二下册第二学期期中考试数学(理)试题及答案【精校】.doc

rr r r rr ③“ ( mgn)t m(ngt) ”类比得到“ (agb)gc ag(bgc) ”；
ur r r ur r ur r ④“ t 0, mt xt m x ”类比得到“ p 0, agp bgp a
rr r r ⑤“ |mgn|=|m|g|n|”类比得到“ | agb | | a |g| b | ”；
要求的，请．将．答．案．填．涂．在．答．题．卡．上．．．
1 3i
1．复数
等于
3i
(A) i (B)
i (C)
3 i (D)
3i
2． “因为指数函数 y a x 是增函数 ( 大前提 ) ，而 y
x
1 是指数函数 ( 小前提 ) ，所以函数 y 3
增函数 ( 结论 ) ”，上面推理的错误在于
(A) 大前提错误导致结论错
r b ”；
以上式子中，类比得到的结论正确的个数是
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (
D) 5
5．设圆柱的表面积为 S，当圆柱体积最大时，圆柱的高为
x
1
是
3
S
(A)
(B)
3
3 S (C)
6S
(D)
3
3
6．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于
6S
60o”时，应假设
(A) 三个内角都不大于 60o
12．定义在 R 上的可导函数 f (x) ，且 f ( x) 图象连续不断， f '( x) 是 f (x) 的导数，当 x≠0 时，
f ( x)
f '( x)
>0，则函数 g( x) f ( x)
x
(A) 0 (B) 1 (C
) 2 (D) 0

天津市第一中学2018-2019学年高二数学下学期期中试卷(经典版).doc

天津市第一中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试用时90 分钟。

第 I 卷第 1 页，第 II 卷第 2 页。

考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效。

祝各位考生考试顺利!第 I 卷一．选择题1．某学校高一、高二年级共有 1800 人，现按照分层抽样的方法，抽取 90 人作为样本进行某项调查．若样本中高一年级学生有 42 人，则该校高一年级学生共有A．420 人B．480 人C．840 人D．960 人2．函数f (x) = 3x2 + ln x - 2x 的极值点的个数为A．0 B．1 C．2 D．无数个3．某研究机构在对具有线性相关的两个变量 x，y 进行统计分析时，得到如下数据，由表中数据求得y 关于 x 的回归方程为yˆ= 0.7x +a ，则在这些样本中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为1 1A．B．4 23C．D．044．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的 1120 名学生中随机抽取了 100 名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这 100 名学生的成绩按照[80，90），[90，100），[100，110），[110，120）， [120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率分布直方图如图所示则下列说法正确的是A．频率分布直方图中 a 的值为 0.040B．样本数据低于 130 分的频率为 0.3C．总体的中位数（保留 1 位小数）估计为 123.3 分D．总体分布在[90，100）的频数一定不总体分布在[100，110）的频数相等5．若A、B、C、D、E 五位同学站成一排照相，则A、B 两位同学至少有一人站在两端的概率是1 3 3 7A．B．C．D．5 10 5 106．函数f ( x) =sin xln( x+2)的图象可能是A. B.C. D.⎩7．某校为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似《最强大脑》的 PK 赛，A ，B两队各由 4 名选手组成，每局两队各派一名选手 PK ，比赛四局．除第三局胜者得 2 分外，其余各局胜者均得 1 分，每局的负者得 0 分．假设每局比赛 A 队选手获胜的概率均为 2，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的得分的概率为 31652A ．B ．2781 ⎧20 7 C ． D ．2790 , 0 < x ≤ 1 8．函数 f ( x ) = | ln x |, g ( x ) =| x 24 | 2, x，若关于 x 的方程 f (x ) + m = g (x ) 恰有1⎨-->三个丌相等的实数解，则 m 的取值范围是A．[0,ln 2] B．(-2 -ln 2,0]D．[0, 2 + ln 2)C． (-2 -ln 2,0)第 II 卷二．填空题9．从区间（﹣2，3）内任选一个数 m，则方程mx2+y2＝1 表示的是双曲线的概率为．10．一批排球中正品有 m 个，次品有 n 个，m+n＝10（m≥n），从这批排球中每次随机取一个，有放回地抽取 10 次，X 表示抽到的次品个数若 DX＝2.1，从这批排球中随机一次取两个，则至少有一个次品的概率 p＝11．已知直线y = 2x -1不曲线y = ln(x +a)相切，则a 的值为12．某公司 16 个销售店某月销售产品数量（单位：台）的茎叶图如图，已知数据落在[18，22]中的频率为 0.25，则这组数据的中位数为．13．函数f（x）＝e x﹣3x+2 的单调增区间为．14．已知函数f（x）＝ax+lnx，若f（x）≤1 在区间（0，+∞）内恒成立，实数 a 的取值范围为．三．解答题15．已知某校有歌唱和舞蹈两个兴趣小组，其中歌唱组有 4 名男生，1 名女生，舞蹈组有2 名男生，2 名女生，学校计划从两兴趣小组中各选 2 名同学参加演出．（1）求选出的 4 名同学中至多有 2 名女生的选派方法数；（2）记 X 为选出的 4 名同学中女生的人数，求 X 的分布列和数学期望．16．某工厂有甲乙两个车间，每个车间各有 3 台机器．甲车间每台机器每天发生故障的概1率均为3111，乙车间 3 台机器每天发生概率分别为，，662．若一天内同一车间的机器都丌发生故障可获利 2 万元，恰有一台机器发生故障仍可获利 1 万元，恰有两台机器发生故障的利润为 0 万元，三台机器发生故障要亏损 3 万元．（1）求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；（2）由于节能减排，甲乙两个车间必须停产一个，以工厂获得利润的期望值为决策依据，你认为哪个车间停产比较合理．17．已知函数f ( x) =a x +1x+ ln x 在点（1，f（1））处的切线方程是 y＝bx+5．（1）求实数 a，b 的值；1（2）求函数f（x）在[ , e] 上的最大值和最小值（其中 e 是自然对数的底数）．e18．已知函数f (x) =xe kx (k ≠ 0) ．（1）求曲线y =f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；（2）讨论 f（x）的单调性；（3）设g(x) =x2 - 2bx + 4 ，当k =1时，对任意的x ∈R ，存在x ∈[1, 2] ，使得1 2f (x1 ) ≥g(x2 )，求实数b 的取值范围x 2y 219．已知椭圆 C ： +a 2b 2 = 1(a > b > 0) 的左右焦点分别 F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），3过 F 2 作垂直于 x 轴的直线 l 交椭圆于 A ，B 两点，满足 | AF 2 |=c ．6（I ）求椭圆 C 的离心率．（II ）M ，N 是椭圆 C 短轴的两个端点，设点 P 是椭圆 C 上一点（异于椭圆 C 的顶点），直线 MP ，NP 分别不 x 轴相较于 R ，Q 两点，O 为坐标原点，若|OR|•|OQ|＝8，求椭圆 C 的方程．一．选择题（共 9 小题）1．C2．A3．B4．C参考答案【分析】由频率分布直方图得的性质求出a＝0.030；样本数据低于130 分的频率为：1﹣（0.025+0.005）×10＝0.7；[80，120）的频率为0.4，[120，130）的频率为0.3．由此求出总体的中位数（保留1 位小数）估计为：120+≈123.3 分；样本分布在[90，100）的频数一定不样本分布在[100，110）的频数相等，总体分布在[90，100）的频数丌一定不总体分布在[100，110）的频数相等．【解答】解：由频率分布直方图得：（0.005+0.010+0.010+0.015+a+0.025+0.005）×10＝1，解得a＝0.030，故A 错误；样本数据低于 130 分的频率为：1﹣（0.025+0.005）×10＝0.7，故B 错误；[80，120）的频率为：（0.005+0.010+0.010+0.015）×10＝0.4，[120，130）的频率为：0.030×10＝0.3．∴总体的中位数（保留1 位小数）估计为：120+≈123.3 分，故 C 正确；样本分布在[90，100）的频数一定不样本分布在[100，110）的频数相等，总体分布在[90，100）的频数丌一定不总体分布在[100，110）的频数相等，故D 错误．故选：C．5．D【分析】五名同学站成一排照相，共有n＝＝120 种排法．A、B 两位同学至少有一人站在两端的排法有：+＝84 种，由此能求出A、B 两位同学至少有一人站在两端的概率．【解答】解：五名同学站成一排照相，共有n＝＝120 种排法．A、B 两位同学至少有一人站在两端的排法有：+ ＝84 种，∴A、B 两位同学至少有一人站在两端的概率为p＝．故选：D．6．A【解析】解：若使函数的解析式有意义则，即即函数的定义域为可排除B，D 答案当时，，则可排除C 答案故选：A．由函数的解析式，可求出函数的定义域，可排除B，D 答案；分析时，函数值的符号，进而可以确定函数图象的位置后可可排除C 答案．本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握函数定义域的求法及函数值符号的判定是解答的关键．7．C【分析】比赛结束时A 队的得分高于 B 队的得分的情况有 3 种；A 全胜，A 三胜一负，A 第三局胜，另外三局两胜一负，由此能求出比赛结束时A 队的得分高于 B 队的得分的概率．【解答】解：比赛结束时A 队的得分高于 B 队的得分的情况有3 种；A 全胜，A 三胜一负，A 第三局胜，另外三局两胜一负，∴比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的得分的概率为：P＝（）4++＝．故选：C．8．B二．填空题（共 5 小题）9．【分析】根据题意，求出方程 mx2+y2＝1 表示双曲线的条件即可．【解答】解：当m∈（﹣2，0）时，方程mx2+y2＝1 表示的是双曲线，所以所求的概率为P＝＝．故答案为：．8 10．11．151ln 2 212．27【分析】根据题意知a≤2，再由中位数的定义求得结果．【解答】解：根据茎叶图中的数据知，数据落在[18，22]中的频率为0.25，则频数为16×0.25＝4，∴a≤2；∴这组数据的中位数为×（26+28）＝27．故答案为：27．13．（ln3, +∞）【分析】求出原函数的导函数，由导函数小于0 求解指数丌等式得答案．【解答】解：由f（x）＝e x﹣3x+2，得f′（x）＝e x﹣3，由f′（x）＝e x﹣3>0，得 x>ln3．∴函数 f（x）＝e x﹣3x+2 的单调减区间为（ln3, + ∞）．故答案为：（ln3, +∞）．14．（﹣∞，﹣]【分析】求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，根据f（x）≤1 在区间（0，+∞）内恒成立，得到关于a 的丌等式，解出即可．【解答】解：f′（x）＝a+，①a≥0 时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，而x→+∞时，f（x）→+∞，丌合题意；②a＜0 时，令f′（x）＞0，解得：x＜﹣，令 f′（x）＜0，解得：x＞﹣，故 f（x）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减，故 f（x）max＝f（﹣）＝﹣1+ln（﹣）≤1，解得：a≤﹣，故答案为：（﹣∞，﹣]．三．解答题（共 5 小题）15．解：（1）由题意知，所有的选派方法共有＝60 种，其中有 3 名女生的选派方法共有＝4 种，所以选出的 4 名同学中至多有 2 名女生的选派方法数为60﹣4＝56 种．…（3 分）（2）X 的可能取值为0，1，2，3．……………………………………………………（5分）P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，（8 分）∴X 的分布列为：∴E（X）＝＝．…………………………………（10 分）16．解：（1）乙车间每天机器发生故障的台数为ξ，则ξ的可能取值为 0，1，2，3；且 P（ξ＝0）＝（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）＝，P（ξ＝1）＝C21××（1﹣）×（1﹣）2+（1﹣）×＝，P（ξ＝2）＝C21××（1﹣）×+（）2×（1﹣）＝，P（ξ＝3）＝××＝，∴乙车间每天机器发生故障的台数ξ的分布列；（2）设甲车间每台机器每天发生故障的台数η，获得的利润为 X，则η～B（3，），P（η＝k）＝••，（k＝0，1，2，3），∴EX＝2P（η＝0）+1×P（η＝1）+0×P（η＝2）﹣3×P（η＝3）＝2×+1×+0﹣3×＝；由（1）得 EY＝2P（ξ＝0）+1×P（ξ＝1）+0×P（ξ＝2）﹣3×P（ξ＝3）＝2×+1×+0﹣3×＝；∵EX＜EY，∴甲车间停产比较合理．17．【分析】（1）求出函数的导数，通过切线方程棱长方程即可求实数a，b 的值；（2）求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值，然后求函数f（x）在上的最大值和最小值．【解答】解：（1）因为，，………（1 分）则 f'（1）＝1﹣a，f （1）＝2a，函数 f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣2a＝（1﹣a）（x﹣1），…………（2 分）（直线y＝bx+5 过（1，f（1））点，则f（1）＝b+5＝2a）由题意得，即a＝2，b＝﹣1．………………………………………（4 分）（2）由（1）得，函数f（x）的定义域为（0，+∞），……（5 分）∵，∴f'（x）＜0⇒0＜x＜2，f'（x）＞0⇒x＞2，∴在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．……（7 分）故 f（x）在上单调递减，在[2，e]上单调递增，……………（9 分）∴f（x）在上的最小值为f（2）＝3+ln2．………………………（10 分）又，，且．∴f（x）在上的最大值为．………………………（11 分）综上，f （x）在上的最大值为2e+1，最小值为 3+ln2．……………（12 分）18．19．【分析】（Ⅰ）设A 点的横坐标为c，代入椭圆方程求得y，即有，结合a，b，c 的关系，以及离心率公式，解方程可得e；（Ⅱ）设M（0，b），N（0，﹣b），P（x0，y0），代入椭圆方程，求得MP 的方程和NP 的方程，令y＝0，可得R，Q 的坐标，由条件可得a，b 的方程，解方程可得 a，b，进而得到所求椭圆方程．【解答】解：（Ⅰ）设A 点的横坐标为 c，代入椭圆方程得，y＝±b ＝±，解得，∴，又 b2＝a2﹣c2＝ac，由 e＝可得 e2+ e﹣1＝0，解得；（Ⅱ）设 M（0，b），N（0，﹣b），P（x0，y0），可得 b2x02+a2y02＝a2b2，则直线MP 的方程为，令 y＝0 得到 R 点的横坐标为，同理可得直线NP 的方程为，令 y＝0 得到 Q 点的横坐标为，∴，而 e＝＝，可得 c2＝6，b2＝2，所以椭圆的方程为．。

天津市耀华中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题

天津市耀华中学2018-2019学年度第二学期期中形成性检测高二年级数学试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设(1) 1i x yi +=+，其中,x y 是实数，则x yi +=（） A. 1B.C. D. 22.已知(3)(1)z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A. (31)-，B. (13)-，C. (1,)+∞D. (3)-∞-，3.已知()()231f x x xf '=+，则()2f '-=（）A. 1B. 2C. 4D. 84.已知(1)1f '=，0(13)(1)lim x f x f x∆→+∆-∆等于（）A. 1B. -1C. 3D.135.函数()ln xf x x=，则（） A. e x =为函数()f x 极大值点 B. e x =为函数()f x 极小值点C. 1e x =为函数()f x 的极大值点 D. 1ex =为函数()f x 的极小值点6.函数2()(0,0)f x ax bx a b =+>>在点(1,(1))f 处的切线斜率为2，则8a bab+的最小值是（） A. 10B. 9C. 8D. 7.若函数()1ln f x x ax x=++在[)1,+∞上是单调函数，则a 的取值范围是( ) A. 1(,0][,)4-∞⋃+∞ B. 1(,][0,)4-∞-⋃+∞C. 1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. (],1-∞的8.设点P是曲线335y x =+上任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（） A. 203π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B. 2023πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，， C. 223ππ⎛⎤⎥⎝⎦， D. 233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，9.若函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（） A. (,2]-∞-B. 1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C. 12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D. (2,)-+∞10.用数学归纳法证明：“(1)(2)()n n n n ++⋯+=213(21)nn ⋅⋅-”.从“n k =到1n k =+”左端需增乘的代数式为（） A. (21)(22)k k ++B. 2(21)k +C.211k k ++ D.231k k ++ 11.由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除5位数的个数是（）A. 144B. 192C. 216D. 24012.已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16.0分）答案填入答题卡中13.复数21iz i+=-（i 为虚数单位）的共轭复数是__________． 14.若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z实部为________．15.在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门的的理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有__________种．16.定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()210x f x '+>，()15f =，则不等式()14f x x<+的解集为__________．三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24.0分）答案填入答题卡中17.已知函数2()()x x f x e e a a x =--（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围． 18.己知函数()()0bf x ax c a x=++>的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-. (Ⅰ)用a 表示出,b c ；(Ⅱ)若()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围；(Ⅲ)证明: 111123n++++>()()()ln 1121n n n n ++≥+．。

2018·2019学年度第二学期期中质量调查高二数学(解析版)

2018-2019学年天津市武清区高二（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（4分）在画两个变量的散点图时，下列说法正确的是（）A．可以选择两个变量中任意一个变量在x轴上B．可以选择两个变量中任意一个变量在y轴上C．预报变量在x轴上，解释变量在y轴上D．预报变量在y轴上，解释变量在x轴上2．（4分）同时抛掷3个硬币，正面向上的个数是随机变量，这个随机变量的所有可能取值为（）A．3B．4C．1、2、3D．0、1、2、3 3．（4分）在（﹣）6的展开式中，中间一项的二项式系数为（）A．20B．﹣20C．15D．﹣154．（4分）A．B，C，D，E五名同学站成一排，若要求A与B相邻，则不同的站法有（）A．72B．48C．24D．125．（4分）已知X～B（9，）则E（X）、D（X）的值依次为（）A．3，2B．2，3C．6，2D．2，66．（4分）一般地，在两个分类变量的独立性检验过程中有如下表格：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.005P（K2≥k0）k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.879已知两个分类变量X和Y，如果在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为X和Y有关系，则随机变量K2的观测值可以位于的区间是（）A．（0.025，0.05）B．（0.010，0.025）C．[3.841，5024）D．[5024，7.879）7．（4分）设每个工作日甲、乙、丙3人需使用某种设备的概率分别为0.2，0.5，0.6，若各人是否需使用该设备相互独立，则同一工作日中至少有1人需使用该设备的概率为（）A．0.84B．0.16C．0.94D．0.348．（4分）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）A．8种B．12种C．16种D．20种二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）9．（4分）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为，甲获胜的概率为，则甲不输的概率为．10．（4分）在（x﹣）5的二次展开式中，x2的系数为（用数字作答）．11．（4分）已知变量x，y具有线性相关关系，由其一组数据（如表）得到y关于x的线性回归方程为＝mx﹣，则实数m＝．x2356y 1.524 4.5 12．（4分）从数字0，1，2，3，4，5，6中任取3个，这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有种．（用数字作答）13．（4分）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ＝0）＝，E（ξ）＝1，则D（ξ）＝．三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步）14．（8分）在的展开式中．（Ⅰ）求第3项；（Ⅱ）求含项的系数．15．（8分）袋中有相同的5个白球和4个黑球，从中任意摸出3个，求下列事件发生的概率．（Ⅰ）摸出的全是白球或全是黑球；（Ⅱ）摸出的白球个数多于黑球个数．16．（10分）已知两个线性相关变量x，y的数据如表：x12345y12467（Ⅰ）求出y关于x的线性回归方程（Ⅱ）预测当x＝8时y的值．参考公式：＝＝．17．（10分）在一次购物抽奖活动中，已知某10张奖券中有6张有奖，其余4张没有奖，且有奖的6张奖券每张均可获得价值10元的奖品，某顾客从此10张奖券中任意抽取3张．（Ⅰ）求该顾客中奖的概率：（Ⅱ）若约定抽取的3张奖券都有奖时，还要另奖价值6元的奖品，求该顾客获得的奖品总价值X（元）的分布列和均值．18．（12分）某校阅览室的一个书架上有6本不同的课外书，有5个学生想阅读这6本书，在同一时间内他们到这个书架上取书（Ⅰ）求每个学生只取1本书的不同取法种数；（Ⅱ）求每个学生最少取1本书，最多取2本书的不同取法种数；（Ⅲ）求恰有1个学生没取到书的不同取法种数．2018-2019学年天津市武清区高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（4分）在画两个变量的散点图时，下列说法正确的是（）A．可以选择两个变量中任意一个变量在x轴上B．可以选择两个变量中任意一个变量在y轴上C．预报变量在x轴上，解释变量在y轴上D．预报变量在y轴上，解释变量在x轴上【分析】类比函数图象中，自变量值为横坐标在x轴上，函数值为纵坐标在y轴上，结合相关关系中，散点图中预报变量及解释变量的作用，即可得到答案．【解答】解：由于预报变量的值可类比为函数的函数值解释变量的值可类比为函数的自变量的值故预报变量在y轴上，解释变量在x轴上故选：D．【点评】本题考查的知识点是散点图，类比推理，其中根据函数关系中，x，y轴上数据的意义类比推理相关关系中预报变量及解释变量的位置，是解答本题的关键．2．（4分）同时抛掷3个硬币，正面向上的个数是随机变量，这个随机变量的所有可能取值为（）A．3B．4C．1、2、3D．0、1、2、3【分析】根据概率的定义即可求出．【解答】解：同时抛掷3个硬币，正面向上的个数是随机变量，这个随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，故选：D．【点评】本题考查概率的求法，是基础题．3．（4分）在（﹣）6的展开式中，中间一项的二项式系数为（）A．20B．﹣20C．15D．﹣15【分析】由二项式定理及二项式系数得：（﹣）6的展开式的中间一项为第4项，则其二项式系数为＝20，得解．【解答】解：由（﹣）6的展开式的中间一项为第4项，则其二项式系数为＝20，故选：A．【点评】本题考查了二项式定理及二项式系数，属中档题．4．（4分）A．B，C，D，E五名同学站成一排，若要求A与B相邻，则不同的站法有（）A．72B．48C．24D．12【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将AB看成一个整体，考虑2人的顺序，②，将这个整体与其他3人全排列，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，将AB看成一个整体，考虑2人的顺序，有A22＝2种情况，②，将这个整体与其他3人全排列，有A44＝24种情况，则A与B相邻的站法有2×24＝48种；故选：B．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意相邻问题用捆绑法分析，属于基础题．5．（4分）已知X～B（9，）则E（X）、D（X）的值依次为（）A．3，2B．2，3C．6，2D．2，6【分析】根据二项分布X～B（n，p）的期望和方差公差E（X）＝np，D（X）＝np（1﹣P）．【解答】解：因为X～B（9，），所以E（X）＝np＝9×＝3，D（X）＝np（1﹣p）＝9××＝2．故选：A．【点评】本题考查了离散型随机变量的期望与方差公式，属中档题．6．（4分）一般地，在两个分类变量的独立性检验过程中有如下表格：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.005P（K2≥k0）k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.879已知两个分类变量X和Y，如果在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为X和Y有关系，则随机变量K2的观测值可以位于的区间是（）A．（0.025，0.05）B．（0.010，0.025）C．[3.841，5024）D．[5024，7.879）【分析】根据在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为X和Y有关系，对照临界值得出随机变量K2的观测值应满足的范围．【解答】解：根据题意，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为X和Y有关系，所以随机变量K2的观测值k应满足：5.024＜k＜6.635，即（5.024，6.635）．故选：D．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题．7．（4分）设每个工作日甲、乙、丙3人需使用某种设备的概率分别为0.2，0.5，0.6，若各人是否需使用该设备相互独立，则同一工作日中至少有1人需使用该设备的概率为（）A．0.84B．0.16C．0.94D．0.34【分析】从反面考虑，同一工作日中至少有1人需使用该设备的反面为同一工作日中三人都不需要该设备，求出概率即可．【解答】解：依题意，设A表示同一工作日中至少有1人需使用该设备，则A的对立事件为同一工作日中至少有1人需使用该设备的反面为同一工作日中三人都不需要该设备，所以P（A）＝1﹣P（）﹣1﹣（1﹣0.2）×（1﹣0.5）×（1﹣0.6）＝0.84．故选：A．【点评】本题考查了积事件概率的求法，相互独立事件的积事件的概率，对立事件的概率，属于基础题．8．（4分）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）A．8种B．12种C．16种D．20种【分析】根据题意，使用间接法，首先分析从6个面中选取3个面的情况数目，再分析求出其中其中有2个面相邻，即8个角上3个相邻平面的情况数目，进而可得答案．【解答】解：使用间接法，首先分析从6个面中选取3个面，共C63种不同的取法，而其中有2个面相邻，即8个角上3个相邻平面，选法有8种，则选法共有C63﹣8＝12种；故选：B．【点评】本题考查组合的运用，但涉及立体几何的知识，要求学生有较强的空间想象能力．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）9．（4分）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为，甲获胜的概率为，则甲不输的概率为．【分析】甲不输包含甲获胜和甲乙平局，故则甲不输的概率为+．【解答】解：依题意，甲不输包含甲获胜和甲乙平局两种情况，所以则甲不输的概率P＝+＝．故填：．【点评】本题考查了概率的求法，解题时要认真审题，注意互斥事件的概率公式的合理运用．是基础题．10．（4分）在（x﹣）5的二次展开式中，x2的系数为40（用数字作答）．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2求出x2的系数．【解答】解：，令所以r＝2，所以x2的系数为（﹣2）2C52＝40．故答案为40【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．11．（4分）已知变量x，y具有线性相关关系，由其一组数据（如表）得到y关于x的线性回归方程为＝mx﹣，则实数m＝．x2356y 1.524 4.5【分析】直接由表格中的数据求得样本中心点的坐标，代入线性回归方程即可求得m值．【解答】解：∵，，∴样本中心点的坐标为（4，3），代入＝mx﹣，得3＝4m﹣，解得m＝．故答案为：．【点评】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本中心点是关键，是基础题．12．（4分）从数字0，1，2，3，4，5，6中任取3个，这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有34种．（用数字作答）【分析】根据题意，分2种情况讨论：①，当取出的3个数中有0时，此时3个数的乘积为0，是偶函数，②，当取出的3个数中没有0时，由排除法分析可得此时的取法数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①，当取出的3个数中有0时，有C62＝15种取法，此时3个数的乘积为0，是偶函数，符合题意；②，当取出的3个数中没有0时，有C63＝20种取法，其中取出的3个数都时奇数的取法有1种，则取出3个数中至少有1个偶数的取法有20﹣1＝19种，即此时取出3个数的乘积为偶数的取法有19种；则这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有15+19＝34种；故答案为：34．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．13．（4分）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ＝0）＝，E（ξ）＝1，则D（ξ）＝．【分析】结合方差的计算公式可知，应先求出P（ξ＝1），P（ξ＝2），根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得．【解答】解：设P（ξ＝1）＝p，P（ξ＝2）＝q，则由已知得p+q＝，0×+1×p+2q ＝1，解得p＝，q＝，所以D（ξ）＝（0﹣1）2×+（1﹣1）2×+（2﹣1）2×＝．故答案为：．【点评】本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式．三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步）14．（8分）在的展开式中．（Ⅰ）求第3项；（Ⅱ）求含项的系数．【分析】（Ⅰ）由二项式定理及二项式展开式的通项得：展开式的通项T r+1＝x8﹣r（﹣）r＝（﹣2）r x8﹣3r得：令r＝2，则T3＝（﹣2）2x8﹣6＝112x2．（Ⅱ）由由（1）得：令8﹣3r＝﹣1，解得r＝3，所以＝，得解．【解答】（Ⅰ）展开式的通项T r+1＝x8﹣r（﹣）r＝（﹣2）r x8﹣3r得：令r＝2，则T3＝（﹣2）2x8﹣6＝112x2．（Ⅱ）由（1）得：令8﹣3r＝﹣1，解得r＝3，所以＝，故含项的系数为﹣448．【点评】本题考查了二项式定理及二项式展开式的通项，属中档题．15．（8分）袋中有相同的5个白球和4个黑球，从中任意摸出3个，求下列事件发生的概率．（Ⅰ）摸出的全是白球或全是黑球；（Ⅱ）摸出的白球个数多于黑球个数．【分析】（Ⅰ）设从袋中摸出的3个球全是白球或全是黑球的事件为A，分别计算出基本事件总数及满足事件A的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．（Ⅱ）设从袋中摸出的白球个数多于黑球个数的事件为B．事件B包含两个基本事件：第一个，摸出的3个球都是白球的事件，记为M；第二个，摸出2个白球，1个黑球的事件，记为N，代入古典概型概率计算公式即可求出．【解答】解：（Ⅰ）设从袋中摸出的3个球全是白球或全是黑球的事件为A，从袋中任意摸出3个球有种不同情况，摸出的全是白球有种不同情况，摸出的全是黑球有种不同情况，因为从袋中任意摸出3个球的所有情况都是等可能的所以，＝，（Ⅱ）设从袋中摸出的白球个数多于黑球个数的事件为B．事件B包含两个基本事件：第一个，摸出的3个球都是白球的事件，记为M；第二个，摸出2个白球，1个黑球的事件，记为N．P（M）＝，P（N）＝，所以，．【点评】本题考查的知识点是等可能事件的概率，古典概型，熟练掌握古典概型概率计算的方法和步骤是解答的关键．16．（10分）已知两个线性相关变量x，y的数据如表：x12345y12467（Ⅰ）求出y关于x的线性回归方程（Ⅱ）预测当x＝8时y的值．参考公式：＝＝．【分析】（Ⅰ）由已知表格中的数据求得与，则回归方程可求；（Ⅱ）在回归方程中，取x＝8求得y值即可．【解答】解：（Ⅰ），，，，∴＝＝，．∴y关于x的线性回归方程为；（Ⅱ）当x＝8时，y＝1.6×8﹣0.8＝12．【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．17．（10分）在一次购物抽奖活动中，已知某10张奖券中有6张有奖，其余4张没有奖，且有奖的6张奖券每张均可获得价值10元的奖品，某顾客从此10张奖券中任意抽取3张．（Ⅰ）求该顾客中奖的概率：（Ⅱ）若约定抽取的3张奖券都有奖时，还要另奖价值6元的奖品，求该顾客获得的奖品总价值X（元）的分布列和均值．【分析】（Ⅰ）利用对立事件的概率公式可得；（Ⅱ）求出概率后，写出分布列，求出期望．【解答】解：（Ⅰ）设顾客从此10张奖券中任意抽取3张不中奖的事件为A则……………………………………………（2分）所以，该顾客中奖的概率为……………………（4分）（Ⅱ）随机变量X的所有可能值是0，10，20，36 ……………………（5分）……………………………………………（8分）故随机变量X的分布列为：X0102036P………………………………（9分）…………………………（10分）【点评】本题考查了离散型随机变量的期望和方差，属中档题．18．（12分）某校阅览室的一个书架上有6本不同的课外书，有5个学生想阅读这6本书，在同一时间内他们到这个书架上取书（Ⅰ）求每个学生只取1本书的不同取法种数；（Ⅱ）求每个学生最少取1本书，最多取2本书的不同取法种数；（Ⅲ）求恰有1个学生没取到书的不同取法种数．【分析】（Ⅰ）根据题意，每个学生只取1本书，只需在6本书中任选5本，分给5个学生即可，由排列数公式计算即可得答案；（Ⅱ）根据题意，分2种情况讨论：①，每个学生只取1本书，②，一个学生取2本书，其余学生每人取一本书；由加法原理计算可得答案；（Ⅲ）根据题意，分2种情况讨论：①，1个学生取3本书，3个学生每人取1本书，最后一个学生没取到书，②，2个学生每人取2本书，2个学生每人取1本书，最后一个学生没取到书，由加法原理计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，每个学生只取1本书，只需在6本书中任选5本，分给5个学生即可，则不同取法种数为＝720种，（Ⅱ）每个学生最少取1本书，最多取2本书分两种情况：①，每个学生只取1本书，取法为；②，一个学生取2本书，其余学生每人取一本书．确定取2本书的学生有种方法，这个学生取哪2本书有种方法，其余4个学生取剩下的4本书且每人一本有种方法，故一个学生取2本书，其余学生每人取一本书取法为，所以，每个学生最少取1本书，最多取2本书的不同取法为+＝720+1800＝2520种；（Ⅲ）恰有1个学生没取到书分两种情况：①，1个学生取3本书，3个学生每人取1本书，最后一个学生没取到书，此时取法种数为，②，2个学生每人取2本书，2个学生每人取1本书，最后一个学生没取到书，此时取法种数为，所以，恰有1个学生没取到书的不同取法种数为+＝＝7800种．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．。

2018-2019学年天津四中高二下学期期中数学试题(解析版)

2018-2019学年天津四中高二下学期期中数学试题一、单选题1．计算(1)(2)i i +⋅+= A ．1i - B ．13i +C ．3i +D ．33i +【答案】B【解析】分析：根据复数乘法法则求结果. 详解：()()1221313,i i i i ++=-+=+ 选B.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi 2．定积分1(2)x x e dx +⎰的值为( )A ．2e +B ．1e +C ．eD ．1e -【答案】C【解析】试题分析：121220100(2)()|()|()|x x x x x x e x dx e x e x e x ==+=+=+-+⎰=(1)1e e +-=.故选C. 【考点】1.微积分基本定理；2.定积分的计算.3．复数22i 1+i ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于（） A ．2i B ．2i - C ．4i D ．4i -【答案】A【解析】由复数的运算法则：()()222i 1221+i i i i i ⎛⎫⎡⎤=-=--= ⎪⎣⎦⎝⎭. 本题选择A 选项.4．设x ＝，y ，z ，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A ．x ＞y ＞zB ．z ＞x ＞yC ．y ＞z ＞xD ．x ＞z ＞y【答案】D【解析】先对y,z 分子有理化，比较它们的大小，再比较x,z 的大小得解. 【详解】y -，z＞0，∴z ＞y.∵x －z0，∴x ＞z.∴x ＞z ＞y. 故答案为D 【点睛】(1)本题主要考查比较法比较大小，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.5．已知0122332222729n n n n n n n C C C C C ++++⋅⋅⋅+=，则123n n n n n C C C C +++⋅⋅⋅+=（） A ．63 B ．64 C ．31 D ．32【答案】A【解析】根据二项式定理展开式的逆运算即可求得n 的值,进而由二项式系数和求得123nn n n n C C C C +++⋅⋅⋅+的值.【详解】根据二项式定理展开式的逆运算可知()012233222212n n n n n n n n C C C C C ++++⋅⋅⋅+=+所以637293n == 所以6n =则12360622163n n n n n nC C C C C +++⋅⋅⋅+=-=-= 故选:A【点睛】本题考查了二项式定理展开式的逆运用,二项式系数和的应用,属于基础题.6．用5种不同的颜色给图中4个区域涂色，如果每个区域涂一种颜色，相邻区域不能同色，那么涂色的方法有（）种.A ．120B ．180C ．240D ．72【答案】B【解析】利用乘法原理直接得到答案. 【详解】按照1,2,3,4的顺序涂色，共有：5433180⨯⨯⨯=. 故选：B . 【点睛】本题考查了乘法原理，意在考查学生的应用能力. 7．定义在R 上的函数()f x 和()g x ，其各自导函数'()f x 和'()g x 的图像如图所示，则函数()()()F x f x g x =-其极值点的情况是（）A ．只有三个极大值点，无极小值点B ．有两个极大值点，一个极小值点C ．有一个极大值点，两个极小值点D ．无极大值点，只有三个极小值点【答案】C【解析】如图所示，三个交点对应的横坐标为123,,x x x ，'()'()'()F x f x g x =-，根据图像得到函数的单调区间得到答案. 【详解】如图所示：三个交点对应的横坐标为123,,x x x ，'()'()'()F x f x g x =-.当3x x >时，'()0F x >，函数单调递增；当23x x x <<时，'()0F x <，函数单调递减；当12x x x <<时，'()0F x >，函数单调递增；当1x x <时，'()0F x <，函数单调递减；故函数有一个极大值点，两个极小值点. 故选：C .【点睛】本题考查了函数的图像的识别，函数的极值，意在考查学生对于函数知识的综合应用， 8．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙至少有一人参加.当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为（） A ．360 B ．520 C ．600D ．720【答案】C【解析】将问题分为甲参加乙不参加、甲不参加乙参加、甲乙同时参加三类，分别计算种类数，然后相加，求得所有的发言顺序的种数. 【详解】当甲参加乙不参加时，方法数为344442496C A ⋅=⨯=种.当甲不参加乙参加时，方法数为344442496C A ⋅=⨯=种.当甲乙同时参加时，先在其余4名学生中选2人，方法数有246C =种，将选出的两人排好，方法数有222A =种，将甲、乙两人插入3个空挡中，方法数有236A =种，故方法数为62672⨯⨯=种.所以总的方法数有969672264++=种，故选D.【点睛】本小题主要考查排列组合，考查分类加法计数原理以及分步乘法计数原理，属于中档题.解题的难点在于“甲乙两人至少有一人参加”，也就是要对情况进行分类讨论.在每种情况中，利用分步乘法计数原理计算出方法数，最后利用分类加法计数原理相加，求得总的方法数.二、填空题9．i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 . 【答案】2-【解析】试题分析：由复数的运算可知，()()12i a i -+是纯虚数，则其实部必为零，即，所以.【考点】复数的运算.10．281()x x-的展开式中x 7的系数为__________.（用数字作答）【答案】56-【解析】试题分析：展开式通项为281631881()()(1)rrr r r r r T C x C x x--+=-=-，令1637r -=，得3r =，所以展开式中7x 的系数为．故答案为56-．【考点】二项式定理【名师点睛】①求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n≥r ）；第二步是根据所求的指数，再求所要求的项． ②有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．11．已知()1cos f x x x =，则()2f f ππ⎛⎫'+= ⎪⎝⎭_________．【答案】【解析】试题分析：因为211'()cos sin f x x x x x=--，所以21113()()cos cos sin 222()22f f πππππππππ'+=--=-. 【考点】1.导数的计算；2.任意角的三角函数. 12．如图所示，由曲线3y sinx,x 0,x πx 2===与轴围成的阴影部分的面积是______.【答案】3【解析】先求出y ＝sinx 与直线x ＝32π的交点，然后利用积分的几何意义可得S ＝32sin (sin )xdx x dx πππ+-⎰⎰，结合积分基本定理可求.【详解】由题意可得，y ＝sinx 与直线x ＝32π的交点为3,12π⎛⎫-⎪⎝⎭由积分的几何意义可得，S ＝32sin (sin )xdx x dx πππ+-⎰⎰＝30cos cos |x x πππ-+ ＝3 故答案为3 【点睛】本题主要考查了积分基本定理及积分的几何意义的简单应用，属于基础题.13．圆222x y r +=在点()00,x y 处的切线方程为200x x y y r +=，类似地，可以求得椭圆22182x y +=在点(2,1)处的切线方程为________. 【答案】240x y +-=【解析】类比得到22221x y a b+=在点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，代入数据计算得到答案. 【详解】222x y r +=在点()00,x y 处的切线方程为200x x y y r +=，类比得到22221x y a b+=在点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，故椭圆22182x y +=在点(2,1)处的切线方程为2182x y +=，即240x y +-=. 故答案为：240x y +-=. 【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的推理能力和计算能力.14．已知函数3()31f x x x a =-++在[2,)x ∈-+∞上有3个不同的零点，则实数a 的取值范围为____; 【答案】（-3，1）【解析】取3()31=0f x x x a =-++，参数分离，画出图像得到答案. 【详解】33()31=031+f x x x a a x x =-++⇒=--32()31'()3301+g x x x g x x x =--⇒=-+=⇒=±画出图像：实数a 的取值范围为（-3，1）故答案为（-3，1）【点睛】本题考查了函数的零点问题，参数分离画出图像是解题的关键.三、解答题15．已知2nx x ⎛- ⎝的展开式中第3项的系数与第5项的系数之比为314.(1)求n 的值;(2)求展开式中的常数项.【答案】（1）10n =；（2）81045C =.【解析】试题分析：2nx ⎛ ⎝展开式的通项为()52211r n r r r n T C x -+=-，∴展开式中第3项与第5项的系数分别为2n C ,4n C ,据题意得24314n n C C =求出n=10（2）展开式的通项为()52021101r rr r TC x-+=-，令52002r -= 试题解析：⑴2nx ⎛ ⎝展开式的通项为()52211r n r r r n T C x -+=-， ∴展开式中第3项与第5项的系数分别为2n C ,4n C ,据题意得24314n n C C =，解得10n =； (2)∴展开式的通项为()52021101r rr r T C x-+=-，令52002r -=得8r =， ∴展开式中的常数项为81045C =.点睛：对于二项式定理的题型，一定要熟记通项，然后根据题意先求出对应的r ，然后再根据题目要求求解相应问题 16．已知32()f x x ax bx c =+++在1x =与23x =-时都取得极值．（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若3(1)2f -=，求()f x 的单调区间和极值．【答案】（Ⅰ）12a =-，2b =-；（Ⅱ）f （x ）的递增区间为2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和（1，＋∞），递减区间为2,13⎛⎫-⎪⎝⎭．当x ＝－23时，f （x ）有极大值f 23⎛⎫- ⎪⎝⎭＝4927；当x ＝1时，f （x ）有极小值f （1）＝－12．【解析】【详解】（1）因为函数在极值点处导数等于0，所以若f （x ）在1x =与23x =-时，都取得极值，则()210,0,3f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭''就可得到a ，b 的值；（2）先由3(1)2f -=求出函数中的c 值，再求导数，令导数大于0，解得x 的范围是函数的增区间，令导数小于0，解得x 的范围是函数的减区间，增区间与减区间的分界点为极值点，且当极值点左侧导数大于0，右侧导数小于0时取得极大值，当极值点左侧导数小于0，右侧导数大于0时取得极小值，再把x 的值代入原函数求出极大值与极小值试题解析：f′（x ）＝3x 2＋2ax ＋b ＝0．由题设知x ＝1，x ＝－23为f′（x ）＝0的解．∴ －23a ＝1－23，3b ＝1×23⎛⎫- ⎪⎝⎭．∴ a ＝－12，b ＝－2．经检验，这时x ＝1与x ＝－23都是极值点．（2）f （x ）＝x 3－12x 2－2x ＋c ，由f （－1）＝－1－12＋2＋c ＝32，得c ＝1．∴ f （x ）＝x 3－1x 2－2x ＋1．∴ f （x ）的递增区间为2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和（1，＋∞），递减区间为2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭．当x ＝－23时，f （x ）有极大值f 23⎛⎫-⎪⎝⎭＝4927；当x ＝1时，f （x ）有极小值f （1）＝－12． 17．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）.（1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率.（2）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列. 【答案】（1）67；（2）见解析【解析】（1）先计算不含编号为3的卡片的概率117p =，再用11p p =-得到答案. （2）随机变量X 的可能取值为：1,2,3,4，计算概率得到分布列. 【详解】（1）不含编号为3的卡片的概率4514751357C p C ===，故1617p p =-=. （2）随机变量X 的可能取值为：1,2,3,4.()4711135p X C ===；()34474235C p X C ===；()3547237C p X C ===；()3647447C p X C ===.分布列为：【点睛】本题考查了概率的计算，分布列，意在考查学生的应用能力和计算能力. 18．数列{}n a 满足112a =，()*123nn n a a n N a +=∈+. （1）求1a ，2a ，3a ，4a .（2）根据（1）猜想数列的通项公式n a ，并用数学归纳法证明你的结论. 【答案】（1）112a =，218a =，3126a =，4180a =；（2）131n n a =-，证明见解析【解析】（1）直接代入计算得到答案. （2）猜测131n na =-，利用数学归纳法证明得到答案. 【详解】（1）112a =，()*123n n n a a n N a +=∈+，则1211238a a a ==+，23212326a a a ==+，34312380a a a ==+. （2）猜想131n n a =-. 当1n =时，验证成立；假设当n k =时成立，即131k k a =-；当1n k =+时，1111123233131231313k k k k k k k a a a +++--====++--+，故1n k =+时成立. 综上所述：131n n a =-对所有n 成立. 【点睛】本题考查了数列的通项公式，数学归纳法，意在考查学生对于数学归纳法的应用能力. 19．用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成没有重复数字的：（1）三位偶数有多少个？（2）能被3整除的三位数有多少个？（3）可以组成多少个比210大的三位数？【答案】（1）30；（2）20；（3）32【解析】（1）考虑个位是0时，个位是2时，个位是4时，三种情况计算得到答案. （2）能被3整除的三位数的数字组成共有：0,1,2；0,2,4；1,2,3；2,3,4四种情况，分别计算得到答案.（3）考虑百位是2时，百位是3时，百位是4时，三种情况，分别计算得到答案.【详解】（1）个位是0时，有2412A =个；个位是2时，有339⨯=个；个位是4时，有339⨯=个.故共有30个三位偶数.（2）能被3整除的三位数的数字组成共有：0,1,2；0,2,4；1,2,3；2,3,4四种情况.共有：12123322223320C A C A A A ⨯+⨯++=个.（3）当百位是2时，共有112328A A ⨯+=个；当百位是3时，共有2412A =个；当百位是4时，共有2412A =个；故共有32个.【点睛】本题考查了排列组合的应用，分类计算是常用的数学方法，需要熟练掌握. 20．已知函数()2ln p f x px x x=--．（Ⅰ）若2p =，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围；（Ⅲ）设函数2()e g x x=（e 为自然对数底数），若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得()()00f x g x >成立，求实数p 的取值范围．【答案】（1）22y x =-；（2）[1,)+∞；（3）24,1e e ⎛⎫+∞⎪-⎝⎭. 【解析】（1）当2p =时，函数2()22ln ,(1)222ln10f x x x f x=--=--= 222()2f x x x=+- 曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线的斜率为(1)222 2.f =+-=''1分从而曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为02(1),y x -=-即22y x =-（2）22222().p px x p f x p x x x-='+=+-3分令2()2h x px x p =-+，要使()f x 在定义域（0，∞）内是增函只需()0h x ≥在（0，+∞）内恒成立 4分由题意20,()2p h x px x p >=-+的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为1(0,)x p=∈+∞，min 1(),h x p p∴=- 只需10,1p p p-≥≥即时， ()0,()0h x f x '≥≥()f x ∴在（0，+∞）内为增函数，正实数p 的取值范围是[)1,+∞6分（3）2()[1,]e g x e x=Q 在上是减函数， x e ∴=时，min ()2;g x =min 1,()2x g x e ==时，即()[2,2]g x e ∈1分①当0p <时，2()2h x px x p =-+ 其图象为开口向下的抛物线，对称轴1x p=在y 车的左侧，且(0)0h <，所以()[1,]f x x e ∈在内是减函数．当0p =时，在()2h x x =-因为[1,]x e ∈，所以22()0,()0.x h x f x x =-<'< 此时，()[1,]f x x e ∈在内是减函数．故当0p ≤时，()[1,]f x x e ∈在上单调递减max ()(1)02f x f ⇒==<，不合题意；②当01p <<时，由[1,]x e ∈10x x ⇔-≥ 所以11()()2ln 2ln .f x p x x x x x x=--≤-- 又由（2）知当1p =时，()[1,]f x x e ∈在上是增函数， 1112ln 2ln 22x xe e e x e e∴----=--<，不合题意； 11分 ③当1p ≥时，由（2）知()[1,]f x x e ∈在上是增函数，(1)02f =<又()[1,]g x x e ∈在上是减函数，故只需max min ()(),[1,]f x g x x e >∈ 而max min 1()()()2ln ,()2f x f e p e e g x e ==--= 即1()2ln 2,P e e e --> 解得241e p e >-，所以实数p 的取值范围是24(,)1e e +∞-． 13分注：另有其它解法，请酌情给分．。