版高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象学案新人教A版必修06

学 习 资 料 汇编

1.4.3 正切函数的性质与图象

1.能画出正切函数的图象.(重点)

2.掌握正切函数的性质.(重点、难点)

3.正切函数的定义域及正切曲线的渐近线.(易错点)

[基础·初探]

教材整理1 正切函数的图象

阅读教材P 43倒数第二行至P 44思考以上内容，完成下列问题. 1.正切函数的图象：

图1­4­2

2.正切函数的图象叫做正切曲线.

3.正切函数的图象特征：

正切曲线是被相互平行的直线x ＝π

2

＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是R .( )

(2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心.( )

(3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是x ＝k π±π

2，k ∈Z .( )

(4)正切函数是增函数.( )

【解析】 由正切函数图象可知(1)×，(2)√，(3)×，(4)×. 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×

教材整理2 正切函数的性质

阅读教材P 42～P 43倒数第三行以上内容，完成下列问题.

1.函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象与性质见下表：

2.函数y ＝tan ωx (ω≠0)的最小正周期是|ω|

.

(1)函数y ＝tan ⎝

⎛⎭⎪⎫2x －π4的定义域为________. (2)函数y ＝tan ⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为________. 【解析】 (1)∵2x －π4≠k π＋π

2，k ∈Z ，

∴x ≠

k π

2＋3

8

π，k ∈Z . (2)令k π－π2

2，k ∈Z ，

得k π－34π

4

，

即y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为

⎝

⎛⎭⎪⎫k π－34π，k π＋π4，k ∈Z .

【答案】 (1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪

⎪⎪

x ≠k π2＋3

8π，k ∈Z

(2)⎝

⎛⎭⎪⎫k π－34π，k π＋π4，k ∈Z

[小组合作型

]

正切函数的定义域、值域问题

求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域. 【导学号：70512013】

【精彩点拨】 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线.

【自主解答】 要使函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )有意义，则

⎩

⎪⎨

⎪⎧

tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.

在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭

⎪⎫－π4，π4. 又因为y ＝tan x 的周期为π，所以所求x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪⎪⎪

－π4

＋k π≤x <π

4＋k π，k ∈Z

.

1.求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数

y ＝tan x 有意义即x ≠π2

＋k π，k ∈Z .

2.解正切不等式的两种方法：

(1)图象法：先画出函数图象，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合. (2)三角函数线法：先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域.要特别注意函数的定义域

.

[再练一题]

1.求函数y ＝tan x －1

tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的定义域. 【导学号：00680021】

【解】 根据题意，

得⎩⎪⎨⎪⎧

tan x ≥1，

tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≠0，

x ＋π6≠π2＋k πk ∈Z

，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

π4＋k π≤x <π

2

＋k π，x ≠－π

6＋k π，

x ≠π3＋k π，

(k ∈Z ).

所以函数的定义域为⎣⎢

⎡⎭⎪⎫π4＋k π，π3＋k π∪⎝ ⎛⎭

⎪⎫π3＋k π，π2＋k π(k ∈Z

).

正切函数的奇偶性、周期性

(1)函数y ＝4tan ⎝

⎛⎭⎪⎫3x ＋π6的周期为

________.

(2)判断下列函数的奇偶性： ①f (x )＝tan 2

x －tan x

tan x －1

；

②f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋tan ⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋π4.

【精彩点拨】 (1)可用定义法求，也可用公式法求，也可作出函数图象来求. (2)可按定义法的步骤判断.

【自主解答】 (1)由于ω＝3，故函数的周期为T ＝π|ω|＝π3

. 【答案】

π3

(2)①由⎩⎪⎨

⎪⎧

x ≠k π＋π2，k ∈Z ，tan x ≠1，

得f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π

4，k ∈Z ，

不关于原点对称，

所以函数f (x )既不是偶函数，也不是奇函数.

②函数定义域为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |x ≠k π－π4且x ≠k π＋π

4，k ∈Z ，

关于原点对称，

又f (－x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －π4＋tan ⎝

⎛⎭⎪⎫－x ＋π4