材料力学(理工科课件)第十三章_能量法()[53P][15.1MB]

G 2 2 uε γ 2 11 2G
(Energy Method)
二、变形能的普遍表达式 （General formula for strain energy）
3
F2
B B'
1 Vε Fδ 2
F3
C
F--广义力(包括力和力偶) δ--广义位移
F1
(包括线位移和角位移)
1
A
2
C'
(Energy Method)
三、变形能的应用（Application of strain energy）
1.计算变形能（Calculating strain energy） 2.利用功能原理计算变形 （Work-energy principle for calculating deflection） 例题1 试求图示悬臂梁的变形能,并利用功能原理求自由端B的挠度. 解： M ( x ) F x
Me ( x) Vε dx l 2 EI ( x )
2
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9
(Energy Method)
4.组合变形的变形能（Strain energy for combined loads) 截面上存在几种内力,各个内力及相应的各个位移相互独立, 力独立作用原理成立,各个内力只对其相应的位移做功.
2 FN ( x) T 2 ( x) M 2 ( x) Vε dx dx dx l 2 EA( x ) l 2GI ( x ) l 2 EI ( x ) p
二、位移互等定理（Reciprocal displacement theorem)
若第一组力只有 F1,第二组力只有 F3,
则
Fδ Fδ
' 1 1
' 3 3
' ' 如果 F1= F3,则有 δ1 δ3
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(Energy Method)
位移互等定理（reciprocal work theorem）：
F
A x1 a l C x2 b B
面的挠度.
M 2 ( x) Vε dx l 2 EI Fb 2 Fa 2 ( x ) ( x ) 1 2 a b l dx1 l dx 2 0 0 2 EI 2 EI F 2b 2 a 3 F 2a 2 b 3 F 2a 2b 2 2 2 6 EIl 2 EIl 3 2 EIl 3
[ M ( x ) M ( x )]2 Vε Vε 1 w A dx l 2 EI M 2 ( x) M 2 ( x) M ( x)M ( x) dx dx dx l 2 EI l 2 EI l EI
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(Energy Method)
M ( x)M ( x) wA dx （Mohr’s Theorem） l EI M ( x)M ( x) M ( x)M ( x) dx dx Δ l l EI EI
1 W F wC 2
由Vε=W 得
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Fa 2b 2 wC 3 EIl
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(Energy Method)
§13-3 互等定理（Reciprocal Theorems )
一、功的互等定理（ Reciprocal work theorem ）
（1）设在线弹性结构上作用力 F1 ,F2 两力作用点沿力作用方向 的位移分别为
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(Energy Method)
§13-1 概述（Introduction）
一、能量方法 （Energy methods )
利用功能原理 Vε = W 来求解可变形固体的位移,变形和内力 等的方法.（不考虑其他能量的损失,外力在相应位移上作的功,在 数值上就等于积蓄在物体内的应变能.）
二、外力功（Work of the external force）
dW F1d(Δl1 )
dF1l d(Δl1 ) 共1页 EA
4
(Energy Method)
F dF1
l
F1 O F l
l1 dl1
l
l
F
积分得:
W dW
F
0
l F 2l F F1 dF1 Δl EA 2 EA 2 共1页
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(Energy Method)
一、杆件变形能的计算（Calculation of strain energy for various types of loading）
1.轴向拉压的变形能（Strain energy for axial loads) 当拉力为F1 时,杆件的伸长为l1 当再增加一个dF1时,相应的变形增量为d(Δl1) 此外力功的增量为：
固体在外力作用下变形,引起力作用点沿力作用方向位移,
外力因此而做功,则称为外力功.
三、变形能（Strain energy（也称应变能）
在弹性范围内,弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄 的能量,称为弹性变形能,简称变形能.
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(Energy Method)
§13-2 杆件变形能的计算 ( Calculation of strain energy for various types of loading )
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(Energy Method)
（3）在 F3和 F4的作用下,F1 和F2 的作用点又有位移 F3
F2 F1
2 1 1
2
1´和 2´
F1 和 F2 在 1´和 2´上 完成的功应为
' F1δ1 F2 δ'2
3
4
因此,按先加 F1,F2 后F3,F4 的次序加力,结构的应变能为
根据功能原理 Vε= W , 可得以下变形能表达式
1 1 Vε W FΔl FN Δl 2 2
Fl FN l Δl EA EA
2 F力或截面发生变化时:
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2 FN i li Vε i 1 2 E i Ai n
6
(Energy Method)
2
8
(Energy Method)
3.弯曲变形的变形能 （Strain energy for flexural loads） Me • 纯弯曲（pure bending )
θ Me
Me
Me

2

1 1 Mel M l Vε W M e θ M e 2 2 EI 2 EI
• 横力弯曲（nonuniform bending ）
F1作用点沿 F1 方向因作用 F3而引起的位移等于F3 作用点沿 F3 方向因作用 F1而引起的位移.（The deflection at A due to a load acting at B is equal to the deflection at B due to the same load acting at A )
2 FN ( x )dx 当轴力或截面连续变化时： Vε 0 2 EA( x ) l
比能 （ strain energy density）: 单位体积的应变能. 记作u
1 U 2 FΔl 1 uε σε V Al 2
σ Eε
1 σ 2 Eε 2 u ε σε 2 2E 2 共1页
面的外力（ dydz） 对相应的位移 dx 作了功. 当材料在线弹性范围内内工作时, 上述力与位移成正比,因此,单元体上
b z a

d

x
dx
dx
外力所作的功为

1 1 dW ( τdydz )(γdx ) τγ (dxdydz ) 2 2 dVε dW dW 1 比能为u ε τγ dV dV 共 d 2 1x 页dydz
（单位 J/m3)
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(Energy Method)
2.扭转杆内的变形能（Strain energy for torsional loads）
Me
Me

Me
l

2

1 1 Mel Me l T l Vε W M e Δ M e 2 2 GI p 2GI p 2GI p 2 n T 2 ( x) T Vε dx 或 Vε i li l 2GI ( x ) p 共1页 i 1 2Gi I pi
共1页
图c
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(Energy Method)
（2）三个力同时作用时 任意截面的弯矩:
M ( x) M ( x)
2
[ M ( x ) M ( x )] 变形能: Vε2 dx l 2 EI
Vε2 Vε1
[ M ( x ) M ( x )]2 Vε Vε 1 w A dx l 2 EI
三、注意（Notice）
（1）力和位移都应理解为广义的. （2）这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下,只是由变 形引起的位移.
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(Energy Method)
§13-7 单位荷载法 莫尔定理 （Unit-load method & mohr’s theorem）
一、莫尔定理的推导（Derivation of mohr’s theorem）
5.纯剪切应力状态下的比能 （Strain energy density for pure shearing state of stresses）
假设单元体左侧固定,因此变形后右侧将向下移动 dx.
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(Energy Method)
因为很小,所以在变形过程中,上
y
下两面上的外力将不作功. 只有右侧
1
F2 F1
2
1 ,2
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(Energy Method)
F1 和 F2 完成的功应为