高考报告丛书《标准样卷》2020理科数学
2020年全国新课标卷三(理科数学)_参考答案
人次>400
空气质量好
空气质量不好
附： ，
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001kBiblioteka 3.8416.635
10.828
19．如图，在长方体 中，点 分别在棱 上，且 ， ．
（1）证明：点 在平面 内；
（2）若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
20．已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为 的左、右顶点．
15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
16．关于函数f（x）= 有如下四个命题：
①f（x）的图像关于y轴对称．
②f（x）的图像关于原点对称．
③f（x）的图像关于直线x= 对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
三、解答题
3．B
【解析】
【分析】
计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.
【详解】
对于A选项，该组数据的平均数为 ，
方差为 ；
对于B选项，该组数据的平均数为 ，
方差为 ；
对于C选项，该组数据的平均数为 ，
方差为 ；
对于D选项，该组数据的平均数为 ，
方差为 .
因此，B选项这一组的标准差最大.
17．设数列{an}满足a1=3， ．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
18．某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次
空气质量等级
[0，200]
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(新课标卷)
z 1 i (1 i)(1 i) 1 i, p1 : z 2;
p2 : z2 2i; p3 : z的共轭复数为 1 i; p4 : z的虚部为 1. 所以真命题是p2 , p4
4.设F1, F2是椭圆E
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
A. A B为a1, a2 , ..., aN的和
B.
A 2
B
为a1 , a2 , ..., aN的算
数平均数
C . A和B分别是a1, a2 , ..., aN中最 大的数和最小的数
D. A和B分别是a1, a2 , ..., aN中最 小的数和最大的数
7.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （ B）
2
15.某个部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，
元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部
件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：
小时）均服从正态分布N(1000, 502)，且各个元件能
否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过
1000小时的概率为
.
元件1, 2系统寿命超过1000小时的概率P( A) 1 (1 p)2
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.已知a, b, c分别为△ABC三个内角A, B,C的对边,
a cos C 3a sin C b c 0 (1) 求A; (2)若a 2, △ABC的面积为 3,求b, c.
(1)由a cos C 3a sin C b c 0及正弦定理, 得 :
当a4
4, a7
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）（解析版）
22 12 直线 l 与圆相离． 依圆的知识可知，四点 A, P, B, M 四点共圆，且 AB MP ，所以
PM
AB
2S△PAM
2 1 PA 2
AM
2 PA ，而 PA
形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A. 5 1 4
B. 5 1 2
C. 5 1 4
D. 5 1 2
【答案】C
【解析】
【分析】
设 CD a, PE b ，利用 PO2 1 CD PE 得到关于 a, b 的方程，解方程即可得到答案. 2
C. a b2
D. a b2
【答案】B 【解析】
【分析】
设 f (x) 2x log2 x ，利用作差法结合 f (x) 的单调性即可得到答案.
【详解】设 f (x) 2x log2 x ，则 f (x) 为增函数，因为 2a log2 a 4b 2 log4 b 22b log2 b
在
y2 x
Tr 1
C5r x4r yr2 中，令 r
1，可得：
y2 x
T2
C51x3 y3 ，该项中
x3 y3 的系数为 5
所以 x3 y3 的系数为10 5 15
故选：C 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属 于中档题.
9.已知 (0, π) ，且 3cos2 8cos 5 ，则 sin （ ）
，即12
9
p 2
，解得
p
=6
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)样卷(二)(解析版)
【答案】C
【解析】分别取棱 、 、 、 、 的中点 、 、 、 、 ，证明平面
平面 ，从而动点 的轨迹所形成的区域是平面 ，再求面积得解.
【详解】
如图，分别取棱 、 、 、 、 的中点 、 、 、 、 ，
则 ， ， ，
平面 平面 ，
点 在正方体内部或正方体的表面上，若 平面 ，
【详解】
由题设知 ， ．
在 中，由 ， ， 三点共线，可得 ，
在 中， ，
所以
所以 ， ，
所以 ．
当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 ， ．
故答案为：3.
【点睛】
本题考查平面向量的基本定理，解题关键是由 ， ， 三点共线，引入参数 ： ，再在 中用 表示出 ，从而最终用参数 表示 ．
三、解答题
17．在 中，内角 、 、 所对的边分别是 、 、 ，且 ，
（1）求 ；
（2）当 取角三角形
【解析】（1）利用正弦定理化简已知条件得到 ，由此求得 .（2）原式化简可得 ，故 时取得最大值，此时三角形为直角三角形.
【详解】
解：（1）由正弦定理 得 ，
又 ,
∴ ,即 ，
∵ ∴ .
（2）∵ ∴ ,
∴
∵ ,∴当 时，取得最大值，
连接BD.易知BD⊥AC,BD⊥PA,又PA∩AC=A,
所以BD⊥平面PAC,即BD⊥平面AFC,故 为平面AFC的一个法向量,易得 =(- ,3,0),
所以cos<m, >= = = .
结合图形可知,所求二面角的余弦值为 .
【点睛】
本题主要考查利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
2020学年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)数学理
2020年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)数学理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|x ＜1}，B={x|3x＜1}，则( ) A.A ∩B={x|x ＜0} B.A ∪B=RC.A ∪B={x|x ＞1}D.A ∩B=∅解析：∵集合A={x|x ＜1}，B={x|3x＜1}={x|x ＜0}，∴A ∩B={x|x ＜0}，故A 正确，D 错误；A ∪B={x|x ＜1}，故B 和C 都错误. 答案：A2.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14 B.8π C.12 D.4π 解析：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S=2π，则对应概率P=248ππ=.答案：B3.设有下面四个命题： p 1：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ；p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1=2z ； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R. 其中的真命题为( ) A.p 1，p 3 B.p 1，p 4 C.p 2，p 3 D.p 2，p 4解析：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ，故命题p 1为真命题； p 2：复数z=i 满足z 2=-1∈R ，则z ∉R ，故命题p 2为假命题；p 3：若复数z 1=i ，z 2=2i 满足z 1z 2∈R ，但z 1≠2z ，故命题p 3为假命题； p 4：若复数z ∈R ，则z =z ∈R ，故命题p 4为真命题.答案：B4.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24，S 6=48，则{a n }的公差为( ) A.1 B.2 C.4 D.8解析：∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 4+a 5=24，S 6=48，∴1113424656482a d a d a d ++⎧⎪⎨⎪+⎩+=⨯=，，解得a 1=-2，d=4，∴{a n }的公差为4. 答案：C5.函数f(x)在(-∞，+∞)单调递减，且为奇函数.若f(1)=-1，则满足-1≤f(x-2)≤1的x 的取值范围是( ) A.[-2，2] B.[-1，1] C.[0，4] D.[1，3]解析：∵函数f(x)为奇函数. 若f(1)=-1，则f(-1)=1，又∵函数f(x)在(-∞，+∞)单调递减，-1≤f(x-2)≤1， ∴f(1)≤f(x-2)≤f(-1)，∴-1≤x-2≤1，解得：x ∈[1，3]. 答案：D6.(1+21x)(1+x)6展开式中x 2的系数为( )A.15B.20C.30D.35 解析：(1+21x)(1+x)6展开式中： 若(1+21x )=(1+x -2)提供常数项1，则(1+x)6提供含有x 2的项，可得展开式中x 2的系数： 若(1+21x)提供x -2项，则(1+x)6提供含有x 4的项，可得展开式中x 2的系数：由(1+x)6通项公式可得6r rC x .可知r=2时，可得展开式中x 2的系数为26C =15. 可知r=4时，可得展开式中x 2的系数为46C =15. (1+21x)(1+x)6展开式中x 2的系数为：15+15=30. 答案：C7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A.10B.12C.14D.16解析：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形=12×2×(2+4)=6，∴这些梯形的面积之和为6×2=12.答案：B8.如图程序框图是为了求出满足3n-2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A.A＞1000和n=n+1B.A＞1000和n=n+2C.A≤1000和n=n+1D.A≤1000和n=n+2解析：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“A＞1000”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求.答案：D9.已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+23)，则下面结论正确的是( )A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线C 2解析：把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向右平移12π个单位长度，得到函数2cos 2cos 2sin 2126()()3()y x x x πππ=-=-=+的图象，即曲线C 2.答案：D10.已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10解析：如图，l 1⊥l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，要使|AB|+|DE|最小，则A 与D ，B ，E 关于x 轴对称，即直线DE 的斜率为1， 又直线l 2过点(1，0)，则直线l 2的方程为y=x-1，联立方程组241y x y x ⎧=⎨=-⎩，，则y 2-4y-4=0，∴y 1+y 2=4，y 1y 2=-4，∴12y y -=，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16. 答案：A11.设x 、y 、z 为正数，且2x=3y=5z ，则( ) A.2x ＜3y ＜5z B.5z ＜2x ＜3y C.3y ＜5z ＜2x D.3y ＜2x ＜5z解析：x 、y 、z 为正数， 令2x=3y=5z=k ＞1.lgk ＞0.则lg lg lg lg 2lg 3lg 5k k kx y z ===，，，∴325y x z ===.====，∴0，∴3y ＜2x ＜5z.答案：D12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N ＞100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( ) A.440 B.330 C.220 D.110解析：设该数列为{a n }，设b n=()()1112122n n n n n aa -+++⋯+=-，(n ∈N+)，则()1211n n n iii i b a +===∑∑，由题意可设数列{a n }的前N 项和为S N ，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n =21-1+22-1+…+2n -1=2n-n-2，可知当N 为()12n n +时(n ∈N+)，数列{a n }的前N 项和为数列{b n }的前n 项和，即为2n-n-2， 容易得到N ＞100时，n ≥14，A 项，由29302⨯=435，440=435+5，可知S 440=T 29+b 5=230-29-2+25-1=230，故A 项符合题意. B 项，仿上可知25262⨯=325，可知S 330=T 25+b 5=226-25-2+25-1=226+4，显然不为2的整数幂，故B 项不符合题意. C 项，仿上可知20212⨯=210，可知S 220=T 20+b 10=221-20-2+210-1=221+210-23，显然不为2的整数幂，故C 项不符合题意. D 项，仿上可知14152⨯=105，可知S 110=T 14+b 5=215-14-2+25-1=215+15，显然不为2的整数幂，故D 项不符合题意. 答案：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|2a b +|= . 解析：∵向量a ，b 的夹角为60°，且|a |=2，|b |=1，∴222222442421cos60411(2)a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯︒+⨯=，∴||223a b +=. 答案：14.设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，，，则z=3x-2y 的最小值为 . 解析：由x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，，，作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立2121x yx y+=+=-⎧⎨⎩，，解得A(-1，1).∴z=3x-2y的最小值为-3×1-2×1=-5.答案：-515.已知双曲线C：22221x ya b-=(a＞0，b＞0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为 .解析：双曲线C：22221x ya b-=(a＞0，b＞0)的右顶点为A(a，0)，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=2b，=，即2ac=，可得离心率为：e=3.16.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为.解析：由题意，连接OD ，交BC 于点G ，由题意得OD ⊥BC ，OG=6BC ，即OG 的长度与BC 的长度成正比，设OG=x ，则，DG=5-x ，三棱锥的高h ==，S △ABC =2132x ⨯=，则V=213ABCS h ⨯==令f(x)=25x 4-10x 5，x ∈(0，52)，f ′(x)=100x 3-50x 4， 令f ′(x)≥0，即x 4-2x 3≤0，解得x ≤2， 则f(x)≤f(2)=80，∴V =cm 3，∴体积最大值为3.答案：3三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A.(1)求sinBsinC ；(2)若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC 的周长.解析：(1)根据三角形面积公式和正弦定理可得答案， (2)根据两角余弦公式可得cosA=12，即可求出A=3π，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c ，问题得以解决. 答案：(1)由三角形的面积公式可得21sin 23sin ABCa Sac B A==，∴3csinBsinA=2a ， 由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA ，∵sinA ≠0，∴sinBsinC=23； (2)∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=16， ∴cosBcosC-sinBsinC=121632-=-，∴cos(B+C)=-12，∴cosA=12，∵0＜A ＜π，∴A=3π，∵2sin sin sin a b c R A B C ===== ∴sinBsinC=()2222123b c bc bc R R ⋅===，∴bc=8， ∵a 2=b 2+c 2-2bccosA ，∴b 2+c 2-bc=9，∴(b+c)2=9+3cb=9+24=33， ∴18.如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA=PD=AB=DC ，∠APD=90°，求二面角A-PB-C 的余弦值.解析：(1)推导出AB ⊥PA ，CD ⊥PD ，从而AB ⊥PD ，进而AB ⊥平面PAD ，由此能证明平面PAB ⊥平面PAD.(2)由已知可得四边形ABCD 为平行四边形，由(1)知AB ⊥平面PAD ，得到AB ⊥AD ，则四边形ABCD 为矩形，设PA=AB=2a ，则AD=22a.取AD 中点O ，BC 中点E ，连接PO 、OE ，以O 为坐标原点，分别以OA 、OE 、OP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC 的一个法向量，再证明PD ⊥平面PAB ，得PD 为平面PAB 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A-PB-C 的余弦值.答案：(1)∵在四棱锥P-ABCD 中，∠BAP=∠CDP=90°， ∴AB ⊥PA ，CD ⊥PD ， 又AB ∥CD ，∴AB ⊥PD ，∵PA ∩PD=P ，∴AB ⊥平面PAD ，∵AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD.(2)∵AB ∥CD ，AB=CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，由(1)知AB ⊥平面PAD ，∴AB ⊥AD ，则四边形ABCD 为矩形，在△APD 中，由PA=PD ，∠APD=90°，可得△PAD 为等腰直角三角形， 设PA=AB=2a ，则取AD 中点O ，BC 中点E ，连接PO 、OE ，以O 为坐标原点，分别以OA 、OE 、OP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则：a ，0，0)，a ，2a ，0)，P(0，0a)，a ，2a ，0).()0PD =--，，，(2)2PB a=-，，，()00BC =-，，.设平面PBC 的一个法向量为n =(x ，y ，z)，由00n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，得200ay +=-=⎪⎩，，取y=1，得2)1(0n =，，. ∵AB ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥AD ， 又PD ⊥PA ，PA ∩AB=A ，∴PD ⊥平面PAB ，则PD 为平面PAB 的一个法向量，()0PD =-，.∴cos 2PD n PD n a PD n⋅===⨯＜，＞由图可知，二面角A-PB-C 为钝角，∴二面角A-PB-C 的余弦值为-3.19.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2). (1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ，μ+3σ)之外的零件数，求P(X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ-3σ，μ+3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ===，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i=1，2，…，16.用样本平均数x 作为μ的估计值μ，用样本标准差s 作为σ的估计值σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(3μσ-，3μσ+)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附：若随机变量Z 服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ-3σ＜Z ＜μ+3σ)=0.9974，0.997416≈0.9592≈0.09.解析：(1)通过P(X=0)可求出P(X ≥1)=1-P(X=0)=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；(2)(ⅰ)由(1)及知落在(μ-3σ，μ+3σ)之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；(ⅱ)通过样本平均数x 、样本标准差s 估计μ、σ可知(3μσ-，3μσ+)=(9.334，10.606)，进而需剔除(3μσ-，3μσ+)之外的数据9.22，利用公式计算即得结论. 答案：(1)由题可知尺寸落在(μ-3σ，μ+3σ)之内的概率为0.9974， 则落在(μ-3σ，μ+3σ)之外的概率为1-0.9974=0.0026， 因为P(X=0)=016C ×(1-0.9974)0×0.997416≈0.9592，所以P(X ≥1)=1-P(X=0)=0.0408， 又因为X ～B(16，0.0026)， 所以E(X)=16×0.0026=0.0416；(2)(ⅰ)由(1)知尺寸落在(μ-3σ，μ+3σ)之外的概率为0.0026， 由正态分布知尺寸落在(μ-3σ，μ+3σ)之外为小概率事件， 因此上述监控生产过程方法合理；(ⅱ)因为用样本平均数x 作为μ的估计值μ，用样本标准差s 作为σ的估计值σ，且16119.9716i i x x ===∑，0.212s ===，所以3μσ-=9.97-3×0.212=9.334，3μσ+=9.97+3×0.212=10.606， 所以9.22∉(3μσ-，3μσ+)=(9.334，10.606)，因此需要对当天的生产过程进行检查，剔除(3μσ-，3μσ+)之外的数据9.22， 则剩下的数据估计μ=9.97169.2210.0215⨯-=，将剔除掉9.22后剩下的15个数据，利用方差的计算公式代入计算可知σ2≈0.008，所以σ≈0.09.20.已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3(-1，P 4(1)中恰有三点在椭圆C 上.(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1，证明：l 过定点.解析：(1)根据椭圆的对称性，得到P 2(0，1)，P3(-1，2)，P 4(1，2)三点在椭圆C 上.把P 2(0，1)，P 3(-1代入椭圆C ，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C 的方程. (2)当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l ：y=kx+b ，(b ≠1)，联立22440y kx b x y =+⎧⎨+-=⎩，，得(1+4k 2)x 2+8kbx+4b 2-4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l 过定点(2，-1).答案：(1)根据椭圆的对称性，P 3(-1，P 4(1)两点必在椭圆C 上， 又P 4的横坐标为1，∴椭圆必不过P 1(1，1)， ∴P 2(0，1)，P3(-1，2)，P4(1，2)三点在椭圆C 上. 把P 2(0，1)，P 3(-1代入椭圆C ，得：22211141b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得a 2=4，b 2=1，∴椭圆C 的方程为2214x y +=.证明：(2)①当斜率不存在时，设l ：x=m ，A(m ，y A )，B(m ，-y A )， ∵直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1， ∴221121A A P A P N y y k k m m m----+=+==-， 解得m=2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足.②当斜率存在时，设l ：y=kx+b ，(b ≠1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立22440y kx b x y =+⎧⎨+-=⎩，，整理，得(1+4k 2)x 2+8kbx+4b 2-4=0， x 1+x 2=2814kbk-+，x 1x 2=224414b k -+， 则()()2221212112121211P A P B x kx b x x kx b x y y k k x x x x +-++---+=+= ()()()222228888811414441114kb k kb kb k b k b b b k --+-+===--+-+，又b ≠1， ∴b=-2k-1，此时△=-64k ，存在k ，使得△＞0成立，∴直线l 的方程为y=kx-2k-1，当x=2时，y=-1，∴l 过定点(2，-1).21.已知函数f(x)=ae 2x +(a-2)e x-x. (1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a 的取值范围.解析：(1)求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f(x)单调性； (2)由(1)可知：当a ＞0时才有个零点，根据函数的单调性求得f(x)最小值，由f(x)min ＜0，g(a)=alna+a-1，a ＞0，求导，由g(a)min =g(e -2)=e -2lne -2+e -2-1=211e--，g(1)=0，即可求得a 的取值范围.答案：(1)由f(x)=ae 2x +(a-2)e x -x ，求导f ′(x)=2ae 2x +(a-2)e x-1，当a=0时，f ′(x)=2e x-1＜0，∴当x ∈R ，f(x)单调递减， 当a ＞0时，f ′(x)=()()1121122xxxx e ae a e e a ⎛⎫+-=⎛⎫ ⎪- ⎝⎭⎝+⎪⎭， 令f ′(x)=0，解得：x=ln1a ， 当f ′(x)＞0，解得：x ＞ln 1a，当f ′(x)＜0，解得：x ＜ln 1a， ∴x ∈(-∞，ln1a )时，f(x)单调递减，x ∈(ln 1a，+∞)单调递增； 当a ＜0时，f ′(x)=1122xa e ex a ⎛⎫⎛⎫⎪- ⎝⎭⎝+⎪⎭＜0，恒成立， ∴当x ∈R ，f(x)单调递减，综上可知：当a ≤0时，f(x)在R 单调减函数， 当a ＞0时，f(x)在(-∞，ln1a )是减函数，在(ln 1a，+∞)是增函数； (2)①若a ≤0时，由(1)可知：f(x)最多有一个零点，当a ＞0时，f(x)=ae 2x +(a-2)e x-x ，当x →-∞时，e 2x →0，e x→0， ∴当x →-∞时，f(x)→+∞，当x →∞，e 2x →+∞，且远远大于e x和x ， ∴当x →∞，f(x)→+∞，∴函数有两个零点，f(x)的最小值小于0即可， 由f(x)在(-∞，ln1a )是减函数，在(ln 1a，+∞)是增函数， ∴f(x)min =()21111ln 2ln f a a a a a⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝+-⨯-⎭=＜0， ∴111ln a a --＜0，即ln 111a a+-＞0， 设t=1a ，则g(t)=lnt+t-1，(t ＞0)， 求导g ′(t)=1t+1，由g(1)=0， ∴t=1a＞1，解得：0＜a ＜1，∴a 的取值范围(0，1).22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，直线l 的参数方程为41x a t y t =+⎧⎨=-⎩，，(t 为参数)(1)若a=-1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l，求a.解析：(1)将曲线C 的参数方程化为标准方程，直线l 的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得焦点坐标；(2)曲线C 上的点可以表示成P(3cos θ，sin θ)，θ∈[0，2π)，运用点到直线距离公式可以表示出P 到直线l进行分析，可以求出a 的值.答案：(1)曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，化为标准方程是：2219x y +=； a=-1时，直线l 的参数方程化为一般方程是：x+4y-3=0；联立方程221,9430x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩，或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，所以椭圆C 和直线l 的交点为(3，0)和(2125-，2425). (2)l 的参数方程41x a t y t =+⎧⎨=-⎩，(t 为参数)化为一般方程是：x+4y-a-4=0，椭圆C 上的任一点P 可以表示成P(3cos θ，sin θ)，θ∈[0，2π)， 所以点P 到直线l 的距离d为：d ==，φ满足tan φ=34，又d 的最大值d max |5sin(θ+φ)-a-4|的最大值为17， 得：5-a-4=17或-5-a-4=-17，即a=-16或a=8.23.已知函数f(x)=-x 2+ax+4，g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1，1]，求a 的取值范围.解析：(1)当a=1时，f(x)=-x 2+x+4，g(x)=|x+1|+|x-1|=2121121x x x x x ⎧⎪-≤≤⎨⎪--⎩，＞，，，，＜，分x ＞1、x ∈[-1，1]、x ∈(-∞，-1)三类讨论，结合g(x)与f(x)的单调性质即可求得f(x)≥g(x)的解集为[-1，]； (2)依题意得：-x 2+ax+4≥2在[-1，1]恒成立⇔x 2-ax-2≤0在[-1，1]恒成立，只需()()2211201120a a ⎧-⋅-≤⎪⎨----≤⎪⎩，，解之即可得a 的取值范围. 答案：(1)当a=1时，f(x)=-x 2+x+4，是开口向下，对称轴为x=12的二次函数，g(x)=|x+1|+|x-1|=2121121x x x x x ⎧⎪-≤≤⎨⎪--⎩，＞，，，，＜， 当x ∈(1，+∞)时，令-x2+x+4=2x ，解得，g(x)在(1，+∞)上单调递增，f(x)在(1，+∞)上单调递减，∴此时f(x)≥g(x)的解集为(1]； 当x ∈[-1，1]时，g(x)=2，f(x)≥f(-1)=2.当x ∈(-∞，-1)时，g(x)单调递减，f(x)单调递增，且g(-1)=f(-1)=2. 综上所述，f(x)≥g(x)的解集为[-1]； (2)依题意得：-x 2+ax+4≥2在[-1，1]恒成立，即x 2-ax-2≤0在[-1，1]恒成立，则只需()()2211201120a a ⎧-⋅-≤⎪⎨----≤⎪⎩，，解得-1≤a ≤1， 故a 的取值范围是[-1，1].。