北师大版数学高二-数学总复习 第2章1 变化的快慢与变化率随堂自测 北师大版
高中数学2_1变化的快慢与变化率同步精练北师大版选修2
高中数学 2.1 变化的快慢与变化率同步精练 北师大版选修2-21.正方体的棱长从1增加到2时，正方体的体积平均膨胀率为( )．A ．8B ．7C ．72D ．12．若正方体的棱长从x ＝1到x ＝a 时正方体的体积平均膨胀率为21，则a 的值为( )．A ．2B ．3C ．4D ．以上都不对 3．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的瞬时变化率为k 2，则( )．A ．k 1＞k 2B ．k 1＜k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定4．观察函数f (x )的图像(如图)，平均变化率2121()()f x f x y x x x -∆=∆-表示( )．A ．直线AB 的点斜式方程B ．直线AB 的斜截式方程C ．直线AB 的两点式方程D ．直线AB 的斜率5．设函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( )．A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)6．已知曲线y ＝x 2－1上两点A (2,3)，A ′(2＋Δx,3＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AA ′的斜率为__________，当Δx ＝0.1时，割线AA ′的斜率为__________．7．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，y x∆∆＝__________. 8．一水库的蓄水量与时间关系图像如图所示，试指出哪一段时间(以两个月计)蓄水效果最好？哪一段时间蓄水效果最差？9．一质点按规律s ＝2t 2＋2t 做直线运动(位移单位：米，时间单位：秒)．求：(1)该质点在前3秒内的平均速度；(2)质点在2秒到3秒内的平均速度；(3)质点在3秒时的瞬时速度．10．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义．参考答案1.答案：B 解析：设正方体的棱长为a ，体积为V ，则ΔV ＝23－13＝7，Δa ＝2－1＝1，71V V a ∆==∆＝7. 2.答案：B 解析：ΔV ＝a 3－13＝a 3－1，Δa ＝a －1， ∴311V a a a ∆-=∆-＝21，则a ＝4或a ＝－5(舍去)． 3.答案：B 解析：∵Δy 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )2－x 02＝2x 0Δx ＋(Δx )2， ∴1y x∆∆＝2x 0＋Δx ，∴k 1为Δx 趋于0时的平均变化率，∴k 1＝2x 0. ∵Δy 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )＝x 02－(x 0－Δx )2＝2x 0Δx －(Δx )2，∴2y x ∆∆＝2x 0－Δx ，∴k 2为Δx 趋于0时的平均变化率，∴k 2＝2x 0.故k 1＝k 2.4.答案：D 解析：2121()()f x f x y BC x x x AC-∆==∆-＝t an ∠BAC ＝k AB . 5.答案：D6.答案：5 4.1 解析：k ＝222[(2)1](21)4()x x x x x+∆---∆+∆=∆∆＝4＋Δx .当Δx ＝1时，k 1＝5.当Δx ＝0.1时，k 2＝4＋0.1＝4.1.7.答案：12＋6Δx ＋(Δx )2 解析：Δy ＝(2＋Δx )3－2－(23－2)＝6(Δx )2＋12Δx ＋(Δx )3， ∴y x∆∆＝12＋6Δx ＋(Δx )2. 8.答案：解：由图像可以看出，6月至8月水库的蓄水量增长最快，蓄水效果最好，9月至11月水库的蓄水量减少最快，蓄水效果最差．9.答案：解：(1)质点在前3秒内的平均速度为(3)(0)3s s v -=＝8(米/秒)． (2)质点在2秒到3秒内的平均速度为(3)(2)32s s v -=-＝12(米/秒)． (3)(3)(3)s s t s t t ∆+∆-=∆∆＝14＋2Δt . 当Δt 趋向于0时，质点在3秒时的瞬时速度为14米/秒．10.解：yx∆∆＝22[()7()15](715)x x x x x xx+∆-+∆+--+∆＝Δx＋2x－7.当Δx趋向于0时，yx∆∆趋向于2x－7，因此第2 h时和6 h时，原油温度的瞬时变化率为－3和5.它说明在2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速度下降；在6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速度上升．。
高中数学第2章变化率与导数1变化的快慢与变化率学案北师大版选修2_2
§1 变化的快慢与变化率1．函数的平均变化率(1)定义：对一般的函数y ＝f (x )来说，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.通常我们把自变量的变化x 2－x 1称作自变量的改变量，记作Δx ，函数值的变化f (x 2)－f (x 1)称作函数值的改变量，记作Δy .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)作用：平均变化率用来刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． 思考：函数的平均变化率是固定不变的吗？[提示] 不一定．当x 0取定值，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；当Δx 取定值，x 0取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定．2．函数的瞬时变化率(1)定义：对于一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，若设Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝f (x 1)－f (x 0), 则函数的平均变化率是Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率． (2)作用：瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢．1．如图，函数y ＝f (x )在[1,3]上的平均变化率为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2B [Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－33－1＝－1．]2．一质点运动规律是s ＝t 2＋3(s 的单位为m ，t 的单位为s)，则在t ＝1 s 时的瞬时速度估计是________m/s.2 [Δs ＝s (1＋Δt )－s (1)＝(1＋Δt )2＋3－(12＋3)＝2Δt ＋(Δt )2，∴ΔsΔt＝2Δt ＋(Δt )2Δt ＝2＋Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于2．]3．一次函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)从x 1到x 2的平均变化率为________．a [一次函数的图像为一条直线，图像上任意两点连线的斜率固定不变，故一次函数在定义域内的任意两个自变量取值之间的平均变化率都等于常数a .]A ．0.40B ．0.41C ．0.43D ．0.44(2)已知函数f (x )＝x ＋1x，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．思路探究：(1)由Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2＋0.1)－f (2)可得． (2)求Δx ＝x 2－x 1→求Δy ＝f (x 2)－f (x 1)→计算ΔyΔxB [(1)Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝f (2．1)－f (2)＝2．12－22＝0.41．] (2)[解] 自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为 f (2)－f (1)2－1＝2＋12－(1＋1)1＝12；自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为 f (5)－f (3)5－3＝5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋132＝1415.因为12<1415，所以函数f (x )＝x ＋1x在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快．1．求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1． 第二步，求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． 第三步，求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.2．求平均变化率的一个关注点 求点x 0附近的平均变化率，可用f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的形式．1．函数y ＝x 2＋1在[1,1＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．2 B ．2x C ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2C [∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2， ∴Δy Δx ＝2Δx ＋(Δx )2Δx＝2＋Δx ，故选C.]12速度哪个快？思路探究：比较相同的时间Δt 内，两人走过的路程的平均变化率的大小即可得出结果． [解] 在t 0处，s 1(t 0)＝s 2(t 0)， 但s 1(t 0－Δt )>s 2(t 0－Δt )， 故s 1(t 0)－s 1(t 0－Δt )Δt <s 2(t 0)－s 2(t 0－Δt )Δt.所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，因此，在如题图所示的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快．平均变化率的意义1．本题中比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过比较平均变化率的大小关系得出结论．2．平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢．2．某手机配件生产流水线共有甲、乙两条，产量s (单位：个)与时间t (单位：天)的关系如图所示，则接近t 0天时，下列结论中正确的是( )A ．甲的日生产量大于乙的日生产量B ．甲的日生产量小于乙的日生产量C ．甲的日生产量等于乙的日生产量D ．无法判定甲的日生产量与乙的日生产量的大小B [由平均变化率的几何意义可知，当接近于t 0时，曲线乙割线的斜率大于曲线甲割线的斜率，故乙的日产量大于甲的日产量．]1．高台跳水运动员相对于水面的高度h 与起跳时间t 的函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t＋10，求运动员在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，6549时间内的平均速度为多少？ [提示] 易知h ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＝h (0)，v －＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549－h (0)6549－0＝0.2．物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？[提示] 不能．如高台跳水运动员从起跳高度到最高点后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态．3．如何描述物体在某一时刻的运动状态？[提示] 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．要求物体在t 0时刻的瞬时速度，设运动方程为s ＝s (t )，可先求物体在(t 0，t 0＋Δt )内的平均速度Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt，然后Δt 趋于0，得到物体在t 0时刻的瞬时速度．【例3】 一辆汽车按规律s ＝3t 2＋1做直线运动，估计汽车在t ＝3 s 时的瞬时速度．(时间单位：s ；位移单位：m)思路探究：先求时间从3到3＋Δt 时的平均速度，再由Δt 趋于0求得瞬时速度． [解] 当时间从3变到3＋Δt 时， v －＝s (3＋Δt )－s (3)Δt ＝3(3＋Δt )2＋1－(3×32＋1)Δt＝3Δt ＋18，当Δt 趋于0时，v －趋于常数18.∴这辆汽车在t ＝3 s 时的瞬时速度为18 m/s.求函数f (x )在点x ＝x 0处的瞬时变化率的步骤1．求Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；2．计算ΔyΔx ，并化简，直到当Δx ＝0时有意义为止；3．将Δx ＝0代入化简后的ΔyΔx即得瞬时变化率．3．求函数y ＝f (x )＝3x 2＋x 在点x ＝1处的瞬时变化率． [解] Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝3(1＋Δx )2＋(1＋Δx )－(3＋1)＝7Δx ＋3(Δx )2．∴Δy Δx ＝7Δx ＋3(Δx )2Δx＝7＋3Δx . ∴当Δx 趋于0时，ΔyΔx ＝7＋3Δx 趋于7＋3×0＝7.∴函数y ＝3x 2＋x 在点x ＝1处的瞬时变化率为7.1．平均变化率与瞬时变化率之间的联系平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙不精确的”，当平均变化率ΔyΔx中Δx →0时，平均变化率变为瞬时变化率．2．瞬时速度与平均速度的区别和联系(1)区别：瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关．(2)联系：瞬时速度是平均速度的极限值．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由Δx ＝x 2－x 1，知Δx 可以为0.( )(2)Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是Δx ＝x 2－x 1相应的改变量，Δy 的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率可正，可负，可为零．( )(3)对山坡的上、下两点A ，B 中，Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可以近似刻画弯曲山路的陡峭程度．[答案] (1)× (2)√ (3)√2．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，则在一段时间[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( ) A ．3Δt ＋6 B ．－3Δt ＋6 C ．3Δt －6D ．－3Δt －6D [Δs Δt ＝5－3(1＋Δt )2－(5－3)Δt＝－6－3Δt .]3．设某产品的总成本函数为C (x )＝1 100＋x 21 200，其中x 为产量数，生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为________．1912 [ΔC Δx ＝C (1 000)－C (900)1 000－900＝1912.] 4．在F1赛车中，赛车位移s 与比赛时间t 存在函数关系s ＝10t ＋5t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)，求：(1)t ＝20，Δt ＝0.1时Δs 与Δs Δt ；(2)t ＝20时的瞬时速度．[解] (1)Δs ＝s (20＋Δt )－s (20)＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－10×20－5×202＝1＋20＋5×0.01＝21．05(m)， Δs Δt ＝21.050.1＝210.5(m/s)． (2)∵Δs Δt＝10(20＋Δt )＋5(20＋Δt )2－10×20－5×202Δt＝5Δt ＋210，当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于210，所以在t ＝20时的瞬时速度为210 m/s.。
北师大版数学高二- 选修2试题 2.1 变化的快慢与变化率
【成才之路】 高中数学 2.1 变化的快慢与变化率基础巩固 北师大版选修2-2一、选择题1．函数y ＝f (x )的自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数值的改变量Δy 等于( ) A ．f (x 0＋Δx ) B ．f (x 0)＋Δx C ．f (x 0)·Δx D ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)[答案] D[解析] 写出自变量x 0和x 0＋Δx 对应的函数值f (x 0)和f (x 0＋Δx )，两式相减，就得到了函数值的改变量．2．若函数f (x )＝2x 2－1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx 等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2[答案] C[解析] Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2＋1＝4Δx ＋2Δx 2，∴ΔyΔx＝4＋2Δx .3．质点运动规律s ＝t 2＋3，则在时间(3,3＋Δt )中，相应的平均速度为( ) A ．6＋Δt B ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt[答案] A[解析] ∵Δs ＝(3＋Δt )2＋3－32＝6Δt ＋Δt 2∴ΔsΔt＝6＋Δt . 二、填空题4．若物体运动方程为s (t )＝－2t 2＋t ，则其初速度为____． [答案] 1[解析] 物体的初速度即t ＝0时的瞬时速度，Δs Δt ＝[－20＋Δt 2＋0＋Δt]－0Δt ＝－2Δ＋1，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于1，即初速度为1.5．已知成本c 与产量q 的函数关系式为c ＝4q 2＋q －6，则当产量q ＝10时的边际成本，(注：边际成本是指在一定产量水平下，增加或减少一个单位产量所引起成本总额的变化量)为________．[答案] 81[解析] Δc ＝[4(10＋Δq )2＋(10＋Δq )－6]＝(4×102＋10－6)＝4(Δq )2＋81Δq ， ∴Δc Δq＝4Δq2＋81ΔqΔq＝4Δq ＋81.当Δq 趋于0时，ΔcΔq 趋于81，即当产量q ＝10时，边际成本为81. 三、解答题6．已知质点M 按规律s ＝3t 2＋2做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)． (1)当t ＝2，Δt ＝0.01时，求ΔsΔt ；(2)求质点M 在t ＝2时的瞬时速度． [解析] Δs Δt＝s t ＋Δt －s tΔt＝3t ＋Δt2＋2－3t 2＋2Δt＝6t ＋3Δt .(1)当t ＝2，Δt ＝0.01时， ΔsΔt＝6×2＋3×0.01＝12.03cm/s. (2)当Δt 趋于0时，6t ＋3Δt 趋于6t ， ∴质点M 在t ＝2时的瞬时速度为12cm/s.[点评] 本题重点是求质点M 的瞬时速度，瞬时速度是根据一段时间内物体的平均速度的趋近值来定义的，因此只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度.一、选择题1．一质点的运动方程为s ＝2t 2，则此质点在时间[1,1＋Δt ]内的平均速率为( ) A ．4＋Δt B ．2＋(Δt )2C ．4Δt ＋1D ．4＋2Δt[答案] D [解析] Δs Δt＝21＋Δt 2－2Δt＝4＋2Δt .2．函数y ＝f (x )＝x 2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为k 1，在区间[x 0－Δx ，x 0]上的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1＞k 2B ．k 1＜k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定[答案] A[解析] k 1＝f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝x 0＋Δx2－x 2Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f x 0－f x 0－Δx Δx ＝x 20－x 0－Δx 2Δx＝2x 0－Δx .由题意知：Δx >0，∴k 1>k 2，选A.3．将半径为R 的球加热，若球的半径增加ΔR ，则球的体积大约增加( ) A.43πR 3ΔR B ．4πR 2ΔR C ．4πR 2D ．4πR ΔR[答案] B[解析] 43π(R ＋ΔR )3－43πR 3＝43π[R 3＋3R 2ΔR ＋3R (ΔR )2＋(ΔR )3－R 3] ≈4πR 2ΔR .故选B.4．以初速度为v 0(v 0>0)做竖直上抛运动的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2，则物体在t 0秒到t 0＋Δt 秒间的平均速度为( )A ．v 0－gt 0－12g ΔtB ．v 0－gt 0C ．v 0－12g ΔtD ．gt 0－12g Δt[答案] A[解析] ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－v 0t 0＋12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt .∴物体在t 0秒到t 0＋Δt 秒间的平均速度为v 0－gt 0－12g Δt . 5．物体甲、乙在时间0到t 1范围内路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是( )A ．在0到t 0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度B ．在0到t 0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度C ．在t 0到t 1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度D ．在t 0到t 1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度 [答案] C[解析] 在0到t 0范围内，甲、乙所走的路程相同，时间一样，所以平均速度相同，在t 0到t 1范围内，时间相同，而甲走的路程较大，所以甲的平均速度较大．二、填空题6．一质点运动规律是s ＝t 2＋3(单位：s (m)，t (s))，则在t ＝1秒时的瞬时速度估计是________m/s.[答案] 2[解析] Δs ＝s (1＋Δt )－s (1)＝(1＋Δt )2＋3－(12＋3)＝2Δt ＋(Δt )2， ∴Δs Δt ＝2Δt ＋Δt 2Δt＝2＋Δt ，当Δt 趋于0秒时，ΔsΔt趋于2米/秒．7．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为：s ＝18t 2，则t ＝2时，此木块的瞬时速度为____________． [答案] 12[解析] Δs Δt ＝18t ＋Δt 2－18t 2Δt ＝14t ＋18Δt .当t ＝2，且Δt 趋于0时，Δs Δt 趋于12. 三、解答题8．已知函数f (x )＝x 2＋x ，分别计算f (x )在自变量x 从1变到3和从1变到2时的平均变化率．[解析] 自变量x 从1变到3时，函数f (x )的平均变化率为f 3－f 13－1＝32＋3－12＋12＝5，自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为f 2－f 12－1＝22＋2－12＋11＝4.[点评] 解决函数平均变化率的计算问题，要紧扣定义：函数f (x )当自变量x 从x 1变到x 2时，函数值的平均变化为f x 2－f x 1x 2－x 1.此外，要保证计算过程的准确性．9．设质点做直线运动，已知路程s 是时间t 的函数，s ＝3t 2＋2t ＋1.(1)求从t ＝2到t ＝2＋Δt 的平均速度，并求当Δt ＝1，Δt ＝0.1与Δt ＝0.01时的平均速度；(2)求当t ＝2时的瞬时速度．[分析] 用函数的平均变化率和瞬时变化率来求．[解析] (1)因为Δs ＝3(2＋Δt )2＋2(2＋Δt )＋1－(3×22＋2×2＋1)＝14Δt ＋3Δt 2，所以从t ＝2到t ＝2＋Δt 的平均速度为v ＝ΔsΔt＝14＋3Δt . 当Δt ＝1时，v ＝17； 当Δt ＝0.1时，v ＝14.3； 当Δt ＝0.01时，v ＝14.03.(2)当t ＝2时的瞬时速度为v ＝lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0(14＋3Δt )＝14. 10．质点M 按规律s (t )＝at 2＋1作直线运动(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s)．问是否存在常数a ，使质点M 在t ＝2时的瞬时速度为8m/s?[解析] 假设存在常数a ，则Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ×22－1＝4a ＋4a Δt ＋a (Δt )2＋1－4a －1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以Δs Δt ＝4a Δt ＋a Δt 2Δt＝4a ＋a Δt .当Δt 趋于0时，4a ＋a Δt 趋于4a,4a ＝8，解得a ＝2. 所以存在常数a ＝2，使质点M 在t ＝2时的瞬时速度为8m/s.[点评] 对于是否存在的探究性问题，可先假设其存在，然后按瞬时速度的定义求解即可．。
北师版高中数学选修2-2课后习题版 第二章 §1 变化的快慢与变化率
第二章DIERZHANG变化率与导数§1变化的快慢与变化率课后篇巩固提升1.函数y=x2在区间[x0,x0+Δx](Δx>0)上的平均变化率为k1,在[x0-Δx,x0]上的平均变化率为k2,则( )A.k1>k2B.k1<k2C.k1=k2D.k1与k2的大小关系不确定k1=f(x0+Δx)-f(x0)Δx =(x0+Δx)2-x02Δx=2x0+Δx,k2=f(x0)-f(x0-Δx)Δx =x02-(x0-Δx)2Δx=2x0-Δx,则k1-k2=4Δx.因为Δx>0,所以k1>k2.故选A.2.一个物体的运动方程为s=t2-t+1,其中s的单位是米,t的单位是秒.则物体在3秒末的瞬时速度是( )A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.4米/秒解析∵Δs Δt=(3+Δt )2-(3+Δt )+1-(32-3+1)Δt=5Δt+Δt 2Δt=5+Δt,∴当Δt→0时,Δs Δt→5.3.将半径为R 的球加热,若球的半径增加ΔR,则球的表面积增量ΔS 等于( ) A.8πRΔRB.8πRΔR+4π(ΔR)2C.4πRΔR+4π(ΔR)2D.4π(ΔR)22-4πR 2=8πRΔR+4π(ΔR)2,故选B.4.物体甲,乙在时间0到t 1范围内路程的变化情况如图所示,下列说法正确的是( )A.在0到t 0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度B.在0到t 0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度C.在t 0到t 1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度D.在t 0到t 1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度0到t0范围内,甲,乙所走的路程相同,时间相同,所以平均速度相同,在t0到t1范围内,时间相同,而甲走的路程比乙的大,所以甲的平均速度大.5.已知曲线y=2的坐标为( )A.(1,3)B.(-4,33)C.(-1,3)D.不确定M的坐标为(t0,2t02+1),则Δy Δx =2(t0+Δx)2+1-2t02-1Δx=4t0Δx+2(Δx)2Δx=4t0+2Δ的坐标为(-1,3).6.已知函数y=f(x)=-x2+x在区间[t,1]上的平均变化率为2,则t= .Δy=f(1)-f(t)=(-12+1)-(-t2+t)=t2-t,所以ΔyΔx =t2-t1-t=-t.又因为ΔyΔx=2,所以t=-2.7.一物体的运动曲线为s=3t-t2,则该物体的初速度为.-(0+Δt)2-(3×0-02)=3Δt -(Δt)2,∴当Δt 趋于0时,Δs Δt=3Δt -(Δt )2Δt=3-Δt 趋于3.8.已知甲厂生产一种产品,产品总数y 与时间x(1≤x≤12,单位:月)的图像如图所示,则下列说法正确的是 . ①前3个月内增长越来越快. ②前3个月内增长越来越慢. ③产品数量一直增加. ④第3个月到第8个月内停产.3个月内函数图像越来越平,增长越来越慢,第3个月到第8个月内总数未变化,所以这段时间内停产;第8个月到第12个月内总数增加越来越快,故正确的应为②④.9.已知函数f(x)=2x在区间[1,t]上的平均变化率为-23,则t= .y=k x(k≠0)在区间[m,n]上的平均变化率为-kmn,∴-21×t=-23,解得t=3.10.设某产品的总成本函数为C(x)=1 100+x 21200,其中x 为产量数,则生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为 .=C (1000)-C (900)1000-900=1100+100021200-(1100+90021200)100=1912.11.已知函数y=f(x)=3x 2+2,求该函数在x 0=1,2,3附近Δx 取12时的平均变化率k 1,k 2,k 3,并比较大小.y=f(x)=3x 2+2在区间[x 0,x 0+Δx]上的平均变化率为f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=[3(x 0+Δx )2+2]-(3x 02+2)Δx=6x 0+3Δx.当x 0=1,Δx=12时,函数在区间[1,1.5]上的平均变化率k 1=6×1+3×0.5=7.5;当x 0=2,Δx=12时,函数在区间[2,2.5]上的平均变化率k 2=6×2+3×0.5=13.5;当x 0=3,Δx=12时,函数在区间[3,3.5]上的平均变化率k 3=6×3+3×0.5=19.5.∵7.5<13.5<19.5,∴k 1<k 2<k 3.12.航天飞机升空后一段时间内,第t s时的高度h(t)=5t3+30t2+45t+4,其中h的单位为m,t的单位为s.(1)h(0),h(1),h(2)分别表示什么?(2)求前2 s内的平均速度;(3)求第2 s末的瞬时速度.表示航天飞机发射前的高度;h(1)表示航天飞机升空1s后的高度;h(2)表示航天飞机升空2s后的高度.(2)航天飞机升空后前2s内的平均速度为v=h(2)-h(0)2-0=5×23+30×22+45×2+4-42=125(m/s).故航天飞机升空后前2s内的平均速度为125m/s.(3)∵航天飞机升空后在t=2s时的位移增量与时间增量的比值为v=ℎ(2+Δt)-ℎ(2)Δt=5(2+Δt)3+30(2+Δt)2+45(2+Δt)+4-(5×23+30×22+45×2+4)Δt=5(Δt)3+60(Δt)2+225ΔtΔt=5(Δt)2+60Δt+225,∴当Δt→0时,v→225,因此第2s末的瞬时速度为225m/s. ∴航天飞机升空第2s末的瞬时速度为225m/s.13.柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的,铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成黏稠状液体.如果开始加热后第x 小时的沥青温度(单位:℃)满足y=f(x)={80x 2+20,0≤x ≤1,-2049(x 2-2x -244),1<x ≤8.(1)求开始加热后15分钟时沥青温度的瞬时变化率; (2)求开始加热后第4小时沥青温度的瞬时变化率.因为0≤x≤1时,f(x)=80x 2+20,15分钟=0.25小时.Δy Δx =f (0.25+Δx )-f (0.25)Δx=80(0.25+Δx )2+20-(80×0.252+20)Δx=80[0.5Δx+(Δx )2]Δx=40+80Δx,当Δx 趋于0时,Δy Δx趋于40.故开始加热后15分钟时的瞬时变化率为40. (2)因为1<x≤8时, f(x)=-2049(x 2-2x-244),当x=4时,ΔyΔx=-2049[(4+Δx )2-2(4+Δx )-244]+2049(42-2×4-244)Δx=-2049[6Δx+(Δx )2]Δx=-2049(6+Δx),当Δx趋于0时,ΔyΔx 趋于-12049,即开始加热后第4小时的瞬时变化率为-120 49.。
北师大版数学高二-2.1 变化的快慢与变化率课时作业 北师大版选修2-2
【步步高 学案导学设计】 高中数学 2.1 变化的快慢与变化率课时作业 北师大版选修2-2 课时目标 1.理解函数平均变化率和瞬时变化率的概念.2.会求函数的变化率，并能判断函数变化的快慢.3.理解瞬时速度的概念．1．一般地，对函数y ＝f (x )来说，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为：______________，记作Δy Δx . 2．瞬时变化率 当__________时，函数的平均变化率Δy Δx 就趋于函数在x 0点的瞬时变化率；瞬时变化率刻画的是________________________________．一、选择题1．当自变量从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A ．在[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的变化率D ．以上都不对2．已知函数f (x )＝2x 2－1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则Δy Δx等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x3．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－24．物体的运动规律s ＝s (t )，物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是( )A.v ＝Δs Δt ＝s t ＋Δt －s t ΔtB.v ＝s Δt ΔtC.v ＝s t tD.Δs Δt ＝s t ＋Δt －s t Δt当Δt 趋近于0时的值 5．一质点按规律s ＝2t 3运动，则其在t ＝2时的瞬时速度为( ) A ．4 B ．6 C ．24 D ．486．一物体的运动方程是s＝12at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是( )A．at0B．－at0C.12at0D．2at0二、填空题7．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为________．8．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______．9．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v(t)＝t2＋2t＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt]内的平均加速度是________，在t＝1时的瞬时加速度是________．三、解答题10．已知函数f(x)＝x2－2x，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．11.一辆汽车按规律s＝3t2＋1作直线运动，通过平均变化率，估计汽车在t＝3 s时的瞬时速度(时间单位：秒，位移单位：米)．能力提升12．已知成本y与产量x的函数关系式为y＝42x2＋2，则x＝1时的边际成本是多少？13．枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a＝5×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3 s．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．1．函数变化率刻画函数值变化的快慢．2．求瞬时变化率的步骤：①求Δy ；②求Δy Δx ；③当Δx 趋于0时，求Δy Δx 的值．答 案知识梳理1.f x 2－f x 1x 2－x 12．Δx 趋于0 函数在某一点处变化的快慢作业设计1．A2．B [∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2×12＋1＝4Δx ＋2(Δx )2，∴Δy Δx ＝4Δx ＋2Δx 2Δx＝4＋2Δx .] 3．B [Δy Δx ＝f 3－f 13－1＝1－32＝－1.] 4．A5．C [Δs ＝2×(2＋Δt )3－2×23＝24Δt ＋12(Δt )2＋2(Δt )3，∴Δs Δt＝24＋12Δt ＋2(Δt )2. Δt 趋于0时，Δs Δt→24.] 6．A [∵Δs Δt ＝s t 0＋Δt －s t 0Δt ＝12a Δt ＋at 0， ∴Δt 趋于0时，Δs Δt→at 0.] 7．0.418．1解析 由平均变化率的几何意义知k ＝2－11－0＝1. 9．4＋Δt 4解析 在[1,1＋Δt ]内的平均加速度为Δv Δt ＝v 1＋Δt －v 1Δt＝Δt ＋4，t ＝1时的瞬时加速度是Δt 趋于0时，Δv Δt→4. 10．解 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为：f －1－f －3－1－－3＝[－12－2×－1]－[－32－2×－3]2＝－6.函数f (x )在[2,4]上的平均变化率为：f 4－f 24－2＝42－2×4－22－2×22＝4. 11．解 汽车在[3,3＋Δt ]内的平均速度为Δs Δt ＝s 3＋Δt －s 3Δt＝33＋Δt 2＋1－3×32－1Δt ＝18＋3Δt . 当Δt 趋于0时，Δs Δt →18. ∴汽车在t ＝3 s 时的瞬时速度为18 m/s.12．解 Δy ＝42(1＋Δx )2＋2－42×12－2＝42(Δx )2＋84Δx .则Δy Δx ＝42Δx 2＋84Δx Δx＝42Δx ＋84， 当Δx 趋于0时，Δy Δx的值逼近84. 所以x ＝1时的边际成本为84.13．解 运动方程为s ＝12at 2. 因为Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2， 所以Δs Δt ＝at 0＋12a Δt .所以Δt 趋于0时，Δs Δt＝at 0. 由题意知，a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ，所以at 0＝8×102＝800 (m/s)．即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.。
北师大版数学高二学案 2.1 变化的快慢与变化率
2.1 变化的快慢与变化率[学习目标] 1.理解平均变化率，会求给定区间上的平均变化率.2.理解瞬时变化率，知道函数在某点处的瞬时变化率的求法.3.认识平均变化率与瞬时变化率的关系.知识点一 函数的平均变化率 1.平均变化率的概念设函数y ＝f (x )，x 1，x 2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2；类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1).于是，平均变化率可以表示为ΔyΔx .2.求平均变化率求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]上平均变化率的步骤如下： (1)求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1； (2)求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx.思考 (1)如何正确理解Δx ，Δy? (2)平均变化率的几何意义是什么？答案 (1)Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘，其值可取正值、负值，但Δx ≠0；Δy 也是一个整体符号，若Δx ＝x 1－x 2，则Δy ＝f (x 1)－f (x 2)，而不是Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，Δy 可为正数、负数，亦可取零. (2)如图所示：y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，⎪⎪⎪⎪Δy Δx 越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然.平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，若函数y ＝f (x )图像上有两点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，则f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝k AB .知识点二 瞬时速度与瞬时变化率把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s (t )描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt. 物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻t 0的速度，即t 0时刻的瞬时速度，用v 表示，物体在t 0时刻的瞬时速度v 就是运动物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均变化率s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt 在Δt →0时的极限，即v ＝Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt →v .瞬时速度就是位移函数对时间的瞬间变化率. 思考 (1)瞬时变化率的实质是什么？ (2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？答案 (1)其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值，它是刻画函数值在某处变化的快慢.(2)①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；②联系：当Δx 趋于0时，平均变化率ΔyΔx 趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值.题型一 求平均变化率例1 求函数y ＝f (x )＝2x 2＋3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝12时该函数的平均变化率.解 当自变量从x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝[2(x 0＋Δx )2＋3]－(2x 20＋3)Δx ＝4x 0Δx ＋2(Δx )2Δx＝4x 0＋2Δx . 当x 0＝2，Δx ＝12时，平均变化率的值为4×2＋2×12＝9.反思与感悟 平均变化率是函数值的增量与相应自变量的增量的比值，所以求函数在给定区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率问题，即求Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的值.跟踪训练1 (1)已知函数y ＝f (x )＝2x 2－1的图像上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx＝______________. 答案 2Δx ＋4解析 因为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(Δx )2＋4Δx ，所以平均变化率ΔyΔx ＝2Δx ＋4.(2)求函数y ＝f (x )＝1x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率(x 0≠0).解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝1(x 0＋Δx )2－1x 20＝－Δx (2x 0＋Δx )(x 0＋Δx )2x 20，∴Δy Δx＝－Δx (2x 0＋Δx )(x 0＋Δx )2x 2Δx＝－2x 0＋Δx (x 0＋Δx )2x 2.题型二 实际问题中的瞬时速度例2 一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移单位：m ，时间单位：s).(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2 s 时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2 s 时的平均速度.解 (1)初速度s (Δt )－s (0)Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt ＝3－Δt ，当Δt →0,3－Δt →3. 即物体的初速度为3 m/s. (2)s (2＋Δt )－s (2)Δt＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－4)Δt＝－(Δt )2－Δt Δt＝－Δt －1，当Δt －1→0时，－Δt －1→－1，即此物体在t ＝2 s 时的瞬时速度为1 m/s ，方向与初速度方向相反. (3)v ＝s (2)－s (0)2－0＝6－4－02＝1.即t ＝0到t ＝2 s 时的平均速度为1 m/s.反思与感悟 作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，Δt 趋近于0，指时间间隔Δt 越来越小，但不能为0，Δt ，Δs 在变化中都趋近于0，但它们的比值趋近于一个确定的常数.跟踪训练2 已知一物体作自由落体运动，下落的高度的表达式为s ＝12gt 2，其中g 为重力加速度，g ≈9.8米/平方秒(s 的单位：米).(1)求t 从3秒到3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.000 1秒各段内的平均速度； (2)求t ＝3秒时的瞬时速度.解 (1)当t 在区间[3,3.1]上时，Δt ＝3.1－3＝0.1(秒)，Δs ＝s (3.1)－s (3)＝12g ·3.12－12g ·32≈2.989(米). v 1＝Δs Δt ≈2.9890.1＝29.89(米/秒). 同理，当t 在区间[3,3.01]上时，v 2≈29.449(米/秒)，当t 在区间[3,3.001]上时，v 3≈29.404 9(米/秒)，当t 在区间[3,3.000 1]上时，v 4≈29.400 49(米/秒). (2)Δs Δt ＝s (3＋Δt )－s (3)Δt ＝12g (3＋Δt )2－12g ·32Δt ＝12g (6＋Δt )， 当Δt →0时，12g (6＋Δt )→3g ≈29.4(米/秒)，所以t ＝3秒时的瞬时速度约为29.4米/秒. 题型三 求瞬时变化率例3 通过平均变化率估计函数y ＝3x 2－2在下列各点的瞬时变化率： (1)x ＝1；(2)x ＝2；(3)x ＝0.解 ∵Δy Δx ＝[3(x ＋Δx )2－2]－(3x 2－2)Δx＝6x ＋3Δx .(1)当x ＝1，Δx 趋于0时，ΔyΔx趋于6.∴函数y ＝3x 2－2在x ＝1处的瞬时变化率为6. (2)当x ＝2，Δx 趋于0时，ΔyΔx 趋于12，∴函数y ＝3x 2－2在x ＝2处的瞬时变化率为12. (3)当x ＝0，Δx 趋于0时，ΔyΔx趋于0.∴函数y ＝3x 2－2在x ＝0处的瞬时变化率为0.反思与感悟 平均速度与瞬时速度是两个不同的概念，当Δt 趋于0时，可以用平均速度的值来近似估算瞬时速度的值.跟踪训练3 已知质点M 按规律s ＝2t 2＋3(位移单位：cm ，时间单位：s)做直线运动： (1)当t ＝2，Δt ＝0.01时，求ΔsΔt ； (2)当t ＝2，Δt ＝0.001时，求Δs Δt； (3)求当t ＝2 s 时的瞬时速度.解 Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )Δt ＝2(t ＋Δt )2＋3－(2t 2＋3)Δt＝4t ＋2Δt .(1)当t ＝2，Δt ＝0.01时，ΔsΔt ＝4×2＋2×0.01＝8.02(cm/s)；(2)当t ＝2，Δt ＝0.001时，ΔsΔt ＝4×2＋2×0.001＝8.002(cm/s)；(3)当t ＝2 s 时，Δs Δt ＝8＋2Δt ，当Δt 趋近于0时，8＋2Δt 趋近于8，即ΔsΔt 趋近于8，所以质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 cm/s. 解题技巧：平均变化率的大小比较比较函数在几个点附近的平均变化率的大小，要先求出函数在各点附近的平均变化率，再进行比较.例4 求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 的值为13，哪一点附近的平均变化率最大？解 在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx .在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx .在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx＝6＋Δx .若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，∴在x ＝3附近的平均变化率最大.点评 若Δx 的值不是13，而是一个任意非零常数，则在比较时需要作差进行，从而确定平均变化率的大小.1.在求解平均变化率时，自变量的变化量Δx 应满足( ) A.Δx ＞0 B.Δx ＜0C.Δx ≠0D.Δx 可为任意实数答案 C解析 因平均变化率为ΔyΔx，故Δx ≠0.2.沿直线运动的物体从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么当Δt →0时，ΔsΔt 的物理意义为( )A.从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度B.t 时刻物体的瞬时速度C.当时间为Δt 时物体的速度D.从时间t 到t ＋Δt 时位移的平均变化率 答案 B 解析v ＝Δs Δt ，而当Δt →0时，ΔsΔt→v 瞬，则为t 时刻物体的瞬时速度.3.若已知函数f (x )＝2x 2＋1，图像上点P (1,3)及邻近一点Q (1＋Δx,3＋Δy )，则ΔyΔx ＝________.答案 4＋2Δx解析 Δy Δx ＝2(1＋Δx )2＋1－2×12－11＋Δx －1＝4＋2Δx .4.已知函数f (x )＝2x 在区间[1，t ]上的平均变化率为－23，则t ＝________.答案 3解析 ∵反比例函数f (x )＝2x 在区间[1，t ]上的平均变化率为f (t )－f (1)t －1＝－2t ，∴－2t ＝－23，解得t ＝3.5.观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； ……照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________.答案 43×n ×(n ＋1)解 观察等式右边的规律：第1个数都是43，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1.1.求平均变化率的步骤：(1)求Δy ，Δx .(2)求ΔyΔx.2.求瞬时速度的一般步骤：(1)求Δs 及Δt .(2)求Δs Δt . (3)求当Δt →0时，ΔsΔt→v 瞬.。
高中数学 第二章 变化率与导数 1 变化的快慢与变化率教案(含解析)北师大版选修2-2-北师大版高二
1变化的快慢与变化率平均变化率下表是某病人吃完退烧药，他的体温变化情况：x (min) 0 10 20 30 40 50 60 y (℃)3938问题1：观察上表，每10分钟病人体温变化相同吗？ 提示：不相同．问题2：哪段时间体温变化较快？ 提示：从20 min 到30 min 变化快． 问题3：如何刻画体温变化的快慢？提示：用单位时间内的温度变化的大小，即体温的平均变化率．平均变化率(1)定义：对一般的函数y ＝f (x )来说，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为f x 2－f x 1x 2－x 1.其中自变量的变化x 2－x 1称作自变量的改变量，记作Δx ，函数值的变化f (x 2)－f (x 1)称作函数值的改变量，记作Δy .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.(2)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢.瞬时变化率一质点的运动方程为s ＝10t 2，其中s 表示位移，t 表示时间． 问题1：求该质点从t 1＝1到t 2＝2的平均速度v 1. 提示：v 1＝10×4－10×12－1＝30.问题2：问题1中所求得的速度是t ＝1或t ＝2时的速度吗？提示：不是，是平均速度．问题3：求该质点从t1＝1到t1v2.提示：v2＝错误!＝21.问题4：v1，v2中哪一个值较接近t＝1时的瞬时速度？提示：v2，因为从t1＝1到t2＝1.1的时间差短．瞬时变化率(1)定义：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化率是ΔyΔx＝f x1－f x0x1－x0＝f x0＋Δx－f x0Δx.而当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率．(2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢．(1)函数的平均变化率可正可负，反映函数y＝f(x)在[x1，x2]上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快．(2)平均速度和瞬时速度都是反映运动物体的位移随时间变化而变化的情况．平均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值，而瞬时速度是运动物体在某一时刻的速度，当一个时间段趋于0时的平均速度就是瞬时速度．求函数平均变化率[例1] 2(1)求函数f(x)在[2,2.01]上的平均变化率；(2)求函数f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．[思路点拨] 先求Δx，Δy，再利用平均变化率的定义求解．[精解详析] (1)由f(x)＝2x2＋1，得Δy＝f(2.01)－f(2)＝0.080 2，Δx＝2.01－2＝0.01，∴Δy Δx ＝0.080 20.01＝8.02. (2)∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1 ＝2Δx (2x 0＋Δx )， ∴Δy Δx ＝2Δx 2x 0＋Δx Δx＝4x 0＋2Δx . [一点通] 求平均变化率的步骤(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 1)－f (x 0)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 1－x 0. (3)求平均变化率Δy Δx＝f x 1－f x 0x 1－x 0.[注意] Δx ，Δy 的值可正，可负，但Δx ≠0，Δy 可为零，若函数f (x )为常值函数，则Δy ＝0.1．在曲线y ＝x 2＋1的图像上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx 为( )A ．Δx ＋1Δx ＋2B ．Δx －1Δx －2C ．Δx ＋2D ．2＋Δx －1Δx解析：选C ∵x 1＝1，x 2＝1＋Δx ，即Δx ＝x 2－x 1，∴Δy ＝(x 22＋1)－(x 21＋1)＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2， ∴Δy Δx ＝2Δx ＋Δx 2Δx＝2＋Δx .2．已知函数f (x )＝x ＋1x，分别计算f (x )在区间[1,2]和[3,5]上的平均变化率， 并比较在两个区间上变化的快慢．解：自变量x 从1变化到2时，函数f (x )的平均变化率为Δy Δx＝f2－f 12－1＝12.自变量x 从3变化到5时，函数f (x )的平均变化率为Δy Δx ＝f 5－f 35－3＝1415.由于12<1415，所以函数f (x )＝x ＋1x在[1,2]的平均变化比在[3,5]的平均变化慢．运动物体的平均速度与瞬时速度[例2] 已知s (t )＝5t 2.(1)求t 从3秒到3.1秒的平均速度； (2)求t 从3秒到3.01秒的平均速度； (3)求t ＝3秒时的瞬时速度．[精解详析] (1)当3≤t ≤3.1时，Δt ＝0.1， Δs ＝s (3.1)－s (3) ＝5×(3.1)2－5×32＝5×(3.1－3)×(3.1＋3)， ∴ΔsΔt＝,0.1)＝30.5(m/s)． (2)当3≤t ≤3.01时，Δt ＝0.01， Δs ＝s (3.01)－s (3)， ＝5×(3.01)2－5×32＝5×(3.01－3)×(3.01＋3)， ∴ΔsΔt＝,0.01)＝30.05(m/s)． (3)在t ＝3附近取一个小时间段Δt ， 即3≤t ≤3＋Δt (Δt >0)，∴Δs ＝s (3＋Δt )－s (3)＝5×(3＋Δt )2－5×32＝5·Δt ·(6＋Δt )， ∴Δs Δt ＝5Δt 6＋Δt Δt＝30＋5Δt . 当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于30.∴在t ＝3时的瞬时速度为30 m/s.[一点通] 在某一时间段内的平均速度与时间段Δt 有关，随Δt 变化而变化；但求某一时刻的瞬时速度时，Δt 是趋于0，而不是Δt ＝0，此处Δt 是时间间隔，可任意小，但绝不能认为是0.3．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( ) A ．0.41 B ．3解析：选DΔsΔt＝错误!＝4.1. 4．一辆汽车按规律s ＝at 2＋1做直线运动，若汽车在t ＝2时的瞬时速度为12，求a . 解：∵s ＝at 2＋1，∴s (2＋Δt )＝a (2＋Δt )2＋1＝4a ＋4a ·Δt ＋a ·(Δt )2＋1.于是Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝4a ＋4a ·Δt ＋a ·(Δt )2＋1－(4a ＋1)＝4a ·Δt ＋a ·(Δt )2.∴Δs Δt ＝4a ·Δt ＋a ·Δt 2Δt＝4a ＋a ·Δt .当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于4a .依据题意有4a ＝12，∴a ＝3.(1)瞬时变化率的绝对值度量函数在某点处变化的快慢．(2)当瞬时变化率大于0时，说明函数值在增加；当瞬时变化率小于0时，说明函数值在减小；其绝对值大小才能说明变化的快慢．(3)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．1．设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( ) C ．2 D ．0解析：选AΔy Δx＝f 1.1－f 11.1－1＝,0.1)＝2.1.2．一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么Δt 趋于0时，ΔsΔt为( ) A ．从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度B ．在t 时刻物体的瞬时速度C ．当时间为Δt 时物体的速度D ．在时间t ＋Δt 时物体的瞬时速度 解析：选BΔsΔt中Δt 趋于0时得到的数值是物体在t 时刻的瞬时速度． 3．一辆汽车在起步的前10秒内，按s ＝3t 2＋1做直线运动，则在2≤t ≤3这段时间内的平均速度是( )A ．4B ．13C ．15D ．28解析：选C Δs ＝(3×32＋1)－(3×22＋1)＝15. ∴Δs Δt ＝153－2＝15. 4．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系式为s ＝18t 2，则t ＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为( )A ．2B ．1C.12D.14解析：选C 因为Δs ＝18(2＋Δt )2－18×22＝12Δt ＋18(Δt )2，所以Δs Δt ＝12＋18Δt ，当Δt无限趋近于0时，12＋18Δt 无限趋近于12，因此t ＝2时，木块在水平方向的瞬时速度为12，故选C.5．函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率为________．解析：当自变量从－2变化到－2＋Δx 时，函数的平均变化率为ΔyΔx＝－2＋Δx2－2－2＋Δx ＋1－4＋4＋1Δx＝Δx －6.答案：Δx －66．质点的运动方程是s (t )＝1t2，则质点在t ＝2时的速度为________．解析：因为Δs Δt ＝s2＋Δt －s 2Δt＝12＋Δt2－14Δt＝－4＋Δt 42＋Δt2，当Δt →0时，Δs Δt →－14，所以质点在t ＝2时的速度为－14.答案：－147．已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx .解：f (x )＝2x 2＋3x －5， ∴Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－(2×x 21＋3×x 1－5) ＝2[(Δx )2＋2x 1Δx ]＋3Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx . (1)当x 1＝4，Δx ＝1时，Δy ＝2＋(4×4＋3)×1＝21， ∴Δy Δx ＝211＝21. (2)当x 1＝4，Δx ＝0.1时，Δy 2＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92， ∴ΔyΔx＝,0.1)＝19.2. 8．若一物体运动方程如下(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s)：s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2， t ≥3，29＋3t －32， 0≤t ＜3.求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．解：(1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为 Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度．∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt＝29＋3×0＋Δt －32－29－3×0－32Δt＝3Δt －18，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于－18，∴物体在t ＝0时的瞬时速度(初速度)为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt ＝29＋3[1＋Δt －3]2－29－3×1－32Δt ＝3Δt －12，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于－12，∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为－12 m/s.。
北师大版数学高二作业 第二章 1变化的快慢与变化率
第2章 变化率与导数 1 变化的快慢与变化率一、选择题1．一辆汽车在起步的前10秒内，按s ＝3t 2＋1作直线运动，则在2≤t ≤3这段时间内的平均速度是( )A ．4B ．13C ．15D ．28解析： Δs ＝3×32＋1－3×22－1＝15，v ＝Δs Δt ＝151＝15.答案： C2．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则当x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43D ．0.44解析： Δy ＝2.12－22＝0.41. 答案： B3．如果质点A 按规律s ＝2t 3运动，则在t ＝3 s 时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54D ．81解析： s ′(3)＝23＋Δt 3－2×33Δt＝54＋18Δt ＋2(Δt )2.当Δt →0时s ′(3)→54. 答案： C4．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1.k 2的大小关系为( )A ．k 1＞k 2B ．k 1＜k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析： k 1＝x 0＋Δx 2－x 2Δx ＝2x 0＋Δxk 2＝x 20－x 0－Δx 2Δx＝2x 0－Δx .k 1－k 2＝(2x 0－Δx )－(2x 0－Δx )＝2Δx .由于Δx 可正、可负，所以k 1，k 2的大小不定，故选D. 答案： D 二、填空题5．函数f (x )＝2x ＋1在区间[－3，－1]上的平均变化率为________________．解析： f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为2×－1＋1－2×－3－1－1＋3＝2.答案： 26．已知三个运动物体A.B.C ，它们的位移与时间t 的函数关系分别为S A ＝2.5t ，S B ＝t 2，S C ＝t 3，则在t ＝1秒时瞬时速度最大的物体为________________．解析： 由定义可求得物体A ，B ，C 在t ＝1秒时的瞬时速度分别为2.5,2,3. 答案： C 三、解答题7．质点M 按规律s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解析： 因为Δs ＝a (Δt ＋2)2＋1－(a ·22＋1)＝a ·(Δt )2＋4a ·Δt ，所以ΔsΔt＝a ·Δt ＋4a .又当Δt →0时，ΔsΔt→4a ，所以4a ＝8，则a ＝2. 8．已知函数f (x )＝sin x ，x ∈[0，π2]，(1)分别求y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6及⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上的平均变化率．(2)比较两个平均变化率的大小，说明其几何意义．解析： (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时， k 1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－f 0π6－0＝12－0π6－0＝3π. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2时，k 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6π2－π6＝1－12π3＝32π. (2)由(1)可知：k 2＜k 1，作出y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的图像如图所示．可以发现，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上随着x 的增大，函数值变化的越来越慢．9．求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x ≥0－xx ＜0在x ＝0的邻近处的平均变化率．解析： 当Δx ＞0时，Δy Δx ＝f0＋Δx －f 0Δx ＝Δx －0Δx＝1，当Δx ＜0时，Δy Δx＝f0＋Δx －f 0Δx ＝－Δx －0Δx＝－1.。
2019年数学北师大版选修2-2练习：第2章 1 变化的快慢与变化率 含解析
第二章 §11．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( )A ．0.41B ．3C ．4D ．4.1 解析：Δs Δt ＝(3＋2.12)－(3＋22)2.1－2＝2.12－220.1＝4.1×0.10.1＝4.1 答案：D2．设函数y ＝f(x)＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( )A ．2.1B ．1.1C ．2D ．0解析：Δy Δx ＝f (1.1)－f (1)1.1－1＝0.210.1＝2.1. 答案：A3．一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么Δt 趋于0时，Δs Δt为( ) A ．从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度B ．在t 时刻物体的瞬时速度C ．当时间为Δt 时物体的速度D ．在时间t ＋Δt 时物体的瞬时速度解析：ΔsΔt 中Δt 趋于0时得到的数值是物体在t 时刻的瞬时速度．答案：B4．质点的运动方程是s(t)＝1t 2，则质点在t ＝2时的速度为________． 解析：因为Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝1(2＋Δt )2－14Δt ＝－4＋Δt 4(2＋Δt )2，当Δt →0时，Δs Δt →－14，所以质点在t ＝2时的速度为－14. 答案：－145．已知函数f(x)＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx .解：f(x)＝2x 2＋3x －5，∴Δy ＝f(x 1＋Δx)－f(x 1)＝2(x 1＋Δx)2＋3(x 1＋Δx)－5－(2×x 21＋3×x 1－5)＝2[ (Δx)2＋2x 1Δx]＋3Δx ＝2(Δx)2＋(4x 1＋3)Δx.(1)当x 1＝4，Δx ＝1时，Δy ＝2＋(4×4＋3)×1＝21，∴Δy Δx ＝211＝21. (2)当x 1＝4，Δx ＝0.1时， Δy ＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92， ∴Δy Δx ＝1.920.1＝19.2.。
2.1变化的快慢与变化率-北师大版高中数学选修2-2练习
1第二章变化率与导数§1 变化的快慢与变化率课后训练案巩固提升1.若函数f (x )=2x 2-1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx ,1+Δy ),则Δy Δx等于( )A.4B.4xC.4+2ΔxD.4+2(Δx )2解析:∵Δy=f (1+Δx )-f (1)=2(1+Δx )2-1-2+1=4Δx+2(Δx )2,∴ΔyΔx =4Δx+2(Δx )2Δx=4+2Δx. 答案:C2.一个物体的运动方程为s=t 2-t+1,其中s 的单位是米,t 的单位是秒.则物体在3秒末的瞬时速度是( ) A.7米/秒 B.6米/秒 C.5米/秒D.4米/秒解析:∵ΔsΔt =(3+Δt )2-(3+Δt )+1-(32-3+1)Δt=5Δt+Δt 2Δt =5+Δt ,∴当Δt →0时,ΔsΔt →5.答案:C3.将半径为R 的球加热,若球的半径增加ΔR ,则球的表面积增量ΔS 等于( ) A.8πR ΔRB.8πR ΔR+4π(ΔR )2C.4πRΔR+4π(ΔR)2D.4π(ΔR)2解析:ΔS=4π(R+ΔR)2-4πR2=8πRΔR+4π(ΔR)2,故选B.答案:B4.物体甲,乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示,下列说法正确的是()A.在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度B.在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度C.在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度D.在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度解析:在0到t0范围内,甲,乙所走的路程相同,时间相同,所以平均速度相同,在t0到t1范围内,时间相同,而甲走的路程比乙的大,所以甲的平均速度大.答案:C5.导学号88184017已知曲线y=2x2+1在点M处的瞬时变化率为-4,则点M的坐标为()A.(1,3)B.(-4,33)C.(-1,3)D.不确定解析:设点M的坐标为(t0,2t02+1),则Δy Δx=2(t0+Δx)2+1-2t02-1Δx=4t0Δx+2(Δx)2Δx=4t0+2Δx,由题意知4t0=-4,即t0=-1.2故点M的坐标为(-1,3).答案:C6.函数y=f(x)=ln x+1从e到e2的平均变化率为.解析:∵Δx=e2-e,Δy=f(e2)-f(e)=(ln e2+1)-(ln e+1)=ln e=1,∴ΔyΔx =1e2-e.答案:1e2-e7.一物体的运动曲线为s=3t-t2,则该物体的初速度为.解析:∵Δs=3(0+Δt)-(0+Δt)2-(3×0-02)=3Δt-(Δt)2,∴当Δt趋于0时,ΔsΔt =3Δt-(Δt)2Δt=3-Δt趋于3.答案:38.已知甲厂生产一种产品,产品总数y与时间x(1≤x≤12,单位:月)的图像如图所示,则下列说法正确的是.①前3个月内增长越来越快.②前3个月内增长越来越慢.③产品数量一直增加.④第3个月到第8个月内停产.解析:前3个月内函数图像越来越平,增长越来越慢,第3个月到第8个月内总数未变化,所以这段时间内停产;第8个月到第12个月内总数增加越来越快,故正确的应为②④.答案:②④349.已知函数f (x )=2x 在区间[1,t ]上的平均变化率为-23,则t= .解析:∵反比例函数y=k x (k ≠0)在区间[m ,n ]上的平均变化率为-k mn ,∴-21×t =-23,解得t=3.答案:310.设某产品的总成本函数为C (x )=1 100+x 21 200,其中x 为产量数,则生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为 .解析:ΔCΔx =C (1 000)-C (900)1 000-900 =1 100+1 00021 200-(1 100+90021 200)100=1912.答案:191211.已知函数y=f (x )=3x 2+2,求该函数在x 0=1,2,3附近Δx 取12时的平均变化率k 1,k 2,k 3,并比较大小.解函数y=f (x )=3x 2+2在区间[x 0,x 0+Δx ]上的平均变化率为f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=[3(x 0+Δx )2+2]-(3x 02+2)Δx=6x 0+3Δx. 当x 0=1,Δx=12时,函数在区间[1,1.5]上的平均变化率k 1=6×1+3×0.5=7.5;当x 0=2,Δx=12时,函数在区间[2,2.5]上的平均变化率k 2=6×2+3×0.5=13.5;当x 0=3,Δx=12时,函数在区间[3,3.5]上的平均变化率k 3=6×3+3×0.5=19.5.∵7.5<13.5<19.5,∴k 1<k 2<k 3.12.航天飞机升空后一段时间内,第t s 时的高度h (t )=5t 3+30t 2+45t+4,其中h 的单位为m,t 的单位为s .(1)h(0),h(1),h(2)分别表示什么?(2)求前2 s内的平均速度;(3)求第2 s末的瞬时速度.解(1)h(0)表示航天飞机发射前的高度;h(1)表示航天飞机升空1 s后的高度;h(2)表示航天飞机升空2 s 后的高度.(2)航天飞机升空后前2 s内的平均速度为v=ℎ(2)-ℎ(0)2-0=5×23+30×22+45×2+4-42=125(m/s).故航天飞机升空后前2 s内的平均速度为125 m/s.(3)∵航天飞机升空后在t=2 s时的位移增量与时间增量的比值为v=ℎ(2+Δt)-ℎ(2)Δt=5(2+Δt)3+30(2+Δt)2+45(2+Δt)+4-(5×23+30×22+45×2+4)Δt=5(Δt)3+60(Δt)2+225ΔtΔt=5(Δt)2+60Δt+225,∴当Δt→0时,v→225,因此第2 s末的瞬时速度为225 m/s.∴航天飞机升空第2 s末的瞬时速度为225 m/s.13.导学号88184018柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的,铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成黏稠状液体.如果开始加热后第x小时的沥青温度(单位:℃)满足y=f(x)={80x2+20,0≤x≤1,-2049(x2-2x-244),1<x≤8.(1)求开始加热后15分钟时沥青温度的瞬时变化率;(2)求开始加热后第4小时沥青温度的瞬时变化率.解(1)因为0≤x≤1时,f(x)=80x2+20,5615分钟=0.25小时.Δy Δx =f (0.25+Δx )-f (0.25)Δx=80(0.25+Δx )2+20-(80×0.252+20)=80[0.5Δx+(Δx )2]Δx=40+80Δx ,当Δx 趋于0时,Δy Δx趋于40.故开始加热后15分钟时的瞬时变化率为40. (2)因为1<x ≤8时 ,f (x )=-2049(x 2-2x-244),当x=4时,ΔyΔx =-2049[(4+Δx )2-2(4+Δx )-244]+2049(42-2×4-244)Δx=-2049[6Δx+(Δx )2]Δx=-2049(6+Δx ),当Δx 趋于0时,Δy Δx趋于-12049,即开始加热后第4小时的瞬时变化率为-12049.。
北师大版数学高二课时作业 2.1 变化的快慢与变化率
第二章 变化率与导数2.1 变化的快慢与变化率一、选择题1．质点运动规律s ＝t 2＋3，则在时间[3,3＋Δt ]中，相应的平均速度等于( )A ．6＋ΔtB ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt2．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则当Δx 趋近于0时，Δy Δx趋近于( ) A ．aB ．bC ．a ＋bD ．无法确定3.如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－24．如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2) (s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( )A ．－4.8 m /sB ．－0.88 m/sC ．0.88 m /sD ．4.8 m/s5．已知某一运动物体满足s (t )＝5t 2，则它在t ＝3秒时的瞬时速度为(s ：单位为米，t ：单位为秒)( )A ．5米/秒B ．25米/秒C ．30米/秒D ．15米/秒6．一个质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－3t 2＋8t ，那么速度为零的时刻是( )A ．1秒末B ．1秒末和2秒末C ．4秒末D ．2秒末和4秒末二、填空题7．已知函数y ＝2x＋3，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________. 8．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3，且y ＝f (x )在[2，a ]上的平均变化率为94，则a ＝________. 9．如图所示，函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是____________．10．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动．如果它的加速度是a ＝5×105 m /s 2，子弹从枪口射出所用的时间为1.6×10－3 s ，则子弹射出枪口时的瞬时速度为__________m/s.三、解答题11．甲城市2009年财政收入为15亿元人民币，2015年的财政收入为45亿元人民币；乙城市2009年财政收入为20亿元人民币，2015年财政收入为45亿元人民币，据上述数据，试比较甲、乙两城市的财政收入，哪个发展趋势较好？12.路灯距地面8 m ，一个身高为1.6 m 的人以84 m/min 的速度在地面上从灯在地面上的射影点C 沿某直线离开路灯．(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式；(2)求人离开路灯的第一个10 s 内身影的平均变化率．π13．试比较正弦函数y＝sin x在x＝0和x＝2附近的平均变化率哪一个大．答案精析1．A 2.A 3.B 4.A 5.C 6.D7.13解析 Δy ＝f (1.5)－f (2)＝⎝⎛⎭⎫21.5＋3－⎝⎛⎭⎫22＋3＝43－1＝13. 8.94解析 Δy ＝f (a )－f (2)＝a 2－2a ＋3－(4－4＋3)＝a 2－2a ，又Δx ＝a －2，∴平均变化率Δy Δx ＝a 2－2a a －2＝a ＝94. 9．[x 3，x 4]解析 由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上的平均变化率分别为：f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，f (x 3)－f (x 2)x 3－x 2， f (x 4)－f (x 3)x 4－x 3，结合图像可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4]．10．800解析 运动方程为s ＝12at 2. ∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2， ∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ， ∴当Δt →0时，Δs Δt→at 0. 又∵a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3 s ，∴v ＝at 0＝8×102＝800(m/s)．11．解 据题意得甲城市的财政收入年平均变化率为：45－152015－2009＝306＝5(亿元/年)． 乙城市的财政收入年平均变化率为：45－202015－2009＝256(亿元/年)． 故甲城市的财政收入比乙城市变化得快．甲城市的发展趋势较好．12．解 (1)如图所示，设人从C 点运动到B 点的路程为x m ，AB 为人影，AB 的长度为y ，因为DC ∥EB ，所以AB AC ＝BE CD， 即y y ＋x ＝1.68，所以y ＝14x . (2)84 m /min ＝1.4 m/s ，故第一个10 s 内自变量的增量Δx ＝1.4×10－1.4×0＝14.又因为Δy ＝14×14－14×0＝72， 所以Δy Δx ＝7214＝14. 即人离开路灯的第一个10 s 内身影的平均变化率为14. 13．解 当自变量从0变到Δx 时，函数的平均变化率为k 1＝sin Δx －sin 0Δx ＝sin Δx Δx. 当自变量从π2变到Δx ＋π2时，函数的平均变化率为 k 2＝sin (π2＋Δx )－sin π2Δx＝cos Δx －1Δx. 由于是在x ＝0和x ＝π2的附近的平均变化率，可知Δx 较小，但Δx 既可化为正，又可化为负． 当Δx ＞0时，k 1＞0，k 2＜0，此时有k 1＞k 2.当Δx ＜0时，k 1－k 2＝sin Δx Δx －cos Δx －1Δx＝sin Δx －cos Δx ＋1Δx＝2sin (Δx －π4)＋1Δx. ∵Δx ＜0，∴Δx －π4＜－π4， ∴sin(Δx －π4)＜－22， 从而有2sin(Δx －π4)＜－1， 2sin(Δx －π4)＋1＜0， ∴k 1－k 2＞0，即k 1＞k 2.综上可知，正弦函数y ＝sin x 在x ＝0附近的平均变化率大于在x ＝π2附近的平均变化率．。
北师大版数学高二-(北师大)选修2-2 作业 2.1变化的快慢与变化率
1．设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( )A ．2.1B ．1.1C ．2D ．0解析：Δy Δx ＝f (1.1)－f (1)1.1－1＝0.210.1＝2.1. 答案：A2．一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么Δt 趋于0时，Δs Δt为( )A ．从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度B ．在t 时刻物体的瞬时速度C ．当时间为Δt 时物体的速度D ．在时间t ＋Δt 时物体的瞬时速度解析：Δs Δt中Δt 趋于0时得到的数值是物体在t 时刻的瞬时速度． 答案：B3．一辆汽车在起步的前10秒内，按s ＝3t 2＋1做直线运动，则在2≤t ≤3这段时间内的平均速度是( )A ．4B ．13C ．15D ．28解析：Δs ＝(3×32＋1)－(3×22＋1)＝15.∴Δs Δt ＝153－2＝15. 答案：C4．如果某物体做运动方程为s ＝2(1－t 2)的直线运动(s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( )A ．－4.8 m/sB ．－0.88 m/sC ．0.88 m/sD ．4.8 m/s解析：Δs Δt ＝2[1－(1.2＋Δt )2]－2(1－1.22)Δt ＝－4.8－2Δt .当Δt 趋于0时，Δs Δt趋于－4.8. 答案：A5．函数y ＝1x 在区间[1,3]上的平均变化率为________． 解析：Δy Δx ＝13－13－1＝－13. 答案：－13 6．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3，且y ＝f (x )在[2，a ]上的平均变化率为94，则a ＝________. 解析：在区间[2，a ]上的平均变化率Δy Δx ＝a 2－2a ＋3－3a －2＝a ，由已知可得a ＝94. 答案：94[] 7．已知函数f (x )＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)分别求y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π6及⎣⎡⎦⎤π6，π2上的平均变化率． (2)比较两个平均变化率的大小，说明其几何意义．解：(1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时， k 1＝f ⎝⎛⎭⎫π6－f (0)π6－0＝12－0π6－0＝3π. 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π2时，k 2＝f ⎝⎛⎭⎫π2－f ⎝⎛⎭⎫π6π2－π6＝1－12π3＝32π. (2)由(1)可知：k 2<k 1，作出y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上的图像如图所示． 可以发现，y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上随着x 的增大，函数值变化得越来越慢． 8．若一物体运动方程如下(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s)：s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2， t ≥3，29＋3(t －3)2， 0≤t ＜3.求： (1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．解：(1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t ∈[3,5]内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为Δs Δt ＝29＋3×(0＋Δt －3)2－29－3×(0－3)2Δt＝3Δt －18， 当Δt 趋于0时，Δs Δt趋于－18， ∴物体在t ＝0时的瞬时速度(初速度)为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2Δt＝3Δt －12， 当Δt 趋于0时，Δs Δt趋于－12， ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为－12 m/s.。
北师大版数学高二选修1-1 3.1 变化的快慢与变化率 同步测试
§3.1 变化的快慢与变化率(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx 满足( ) A ．Δx >0 B ．Δx <0 C ．Δx ≠0 D ．Δx ＝0答案： C2．在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx 为( )A ．Δx ＋1Δx ＋2B ．Δx －1Δx －2C ．Δx ＋2D ．2＋Δx －1Δx解析： ∵x 1＝1，x 2＝1＋Δx ，即Δx ＝x 2－x 1， ∴Δy ＝(x 22＋1)－(x 12＋1)＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1) ＝2Δx ＋(Δx )2，∴Δy Δx ＝2Δx ＋(Δx )2Δx ＝2＋Δx . 答案： C3．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( ) A ．0.41 B ．3 C ．4D ．4.1解析： Δs Δt ＝3＋2.12－(3＋22)2.1－2＝4.1.答案： D4．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系式为s ＝18t 2，则t ＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为( )A ．2B ．1 C.12D.14解析： 因为Δs ＝18(2＋Δt )2－18×22＝12Δt ＋18(Δt )2，所以Δs Δt ＝12＋18Δt ，当Δt 无限趋近于0时，12＋18Δt 无限趋近于12，因此t ＝2时，木块在水平方向的瞬时速度为12，故选C.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率为________． 解析： 当自变量从－2变化到－2＋Δx 时，函数的平均变化率为Δy Δx ＝(－2＋Δx )2－2(－2＋Δx )＋1－(4＋4＋1)Δx＝Δx －6. 答案： Δx －66．质点的运动方程是s (t )＝1t 2，则质点在t ＝2时的速度为______．解析： Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt＝1(2＋Δt )2－14Δt ＝－4＋Δt 4(2＋Δt )2Δt →0 Δs Δt →－14 答案： －14三、解答题(每小题10分，共20分) 7．已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx .解析： f (x )＝2x 2＋3x －5， ∴Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－(2×x 12＋3×x 1－5) ＝2[(Δx )2＋2x 1Δx ]＋3Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx .(1)当x 1＝4，Δx ＝1时，Δy ＝2＋(4×4＋3)×1＝21， ∴Δy Δx ＝211＝21. (2)当x 1＝4，Δx ＝0.1时，Δy ＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92， ∴Δy Δx ＝1.920.1＝19.2. 8．求函数y ＝x ＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率． 解析： 设函数值变化量为Δy ， ∵Δy ＝(x 0＋Δx )＋1－x 0＋1＝(x 0＋Δx )＋1－(x 0＋1)x 0＋Δx ＋1＋x 0＋1 ＝Δxx 0＋Δx ＋1＋x 0＋1， ∴Δy Δx ＝1x 0＋Δx ＋1＋x 0＋1. 即y ＝x ＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为1x 0＋Δx ＋1＋x 0＋1.9．(10分)若一物体运动方程如下：(位移：m ，时间：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 (t ≥3) ①29＋3(t －3)2 (0≤t <3) ②. 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．解析： (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2， 物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f (0＋Δt )－f (0)Δt＝29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3(0－3)2Δt＝3Δt －18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为Δt →0limΔs Δt＝Δt →0lim(3Δt －18)＝－18， 即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f (1＋Δt )－f (1)Δt＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3(1－3)2Δt ＝3Δt －12.∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为Δt →0lim＝Δs Δt＝Δt →0lim(3Δt －12)＝－12. 即物体在t ＝1时的速度为－12 m/s.。
高中数学 第二章 变化率与导数章末综合测评(含解析)北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学试
(二) 变化率与导数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.某质点沿直线运动的位移方程为f (x )＝－2x 2＋1，那么该质点从x ＝1到x ＝2的平均速度为( )A.－4B.－5C.－6D.－7【解析】Δy Δx ＝f （2）－f （1）2－1＝（－2×22＋1）－（－2×12＋1）1＝－6.【答案】C2.设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A.1 B.12C.－12D.－1【解析】y ′＝2ax ，于是切线斜率k ＝f ′(1)＝2a ，由题意知2a ＝2，∴a ＝1. 【答案】A3.下列各式正确的是( ) A.(sin α)′＝cos α(α为常数) B.(cos x )′＝sin x C.(sin x )′＝cos x D.(x －5)′＝－15x －6【解析】 由导数公式知选项A 中(sin α)′＝0；选项B 中(cos x )′＝－sin x ；选项D 中(x －5)′＝－5x －6.【答案】C4.设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3【解析】 令f (x )＝ax －ln(x ＋1)， 则f ′(x )＝a －1x ＋1. 由导数的几何意义可得在点(0，0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1. 又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2. ∴a ＝3.【答案】D5.已知二次函数f (x )的图像如图1所示，则其导函数f ′(x )的图像大致形状是( )图1A B C D【解析】 由图像知f (x )＝ax 2＋c (a <0)，∴f ′(x )＝2ax (a <0)，故选B. 【答案】B6.已知函数y ＝x －1，则它的导函数是( ) A.y ′＝12x －1B.y ′＝x －12（x －1）C.y ′＝2x －1x －1D.y ′＝－x －12（x －1）【解析】u ＝x －1，y ′＝(u )′·u ′＝12u＝12x －1＝x －12（x －1）. 【答案】B7.若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A.4x －y －3＝0 B.x ＋4y －5＝0 C.4x －y ＋3＝0D.x ＋4y ＋3＝0【解析】 切线l 的斜率k ＝4，设y ＝x 4的切点的坐标为(x 0，y 0)，则k ＝4x 30＝4，∴x 0＝1，∴切点为(1，1)，即y －1＝4(x －1)，∴4x －y －3＝0. 【答案】A8.(2016·某某二中期末检测)设函数f (x )＝x m＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f （n ）(n ∈N ＋)的前n 项和是( ) A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.nn －1D.n ＋1n【解析】 ∵f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ，∴1f （n ）＝1n 2＋n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f （n ）(n ∈N ＋)的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.故选A.【答案】A9.如图2，下列图像中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图像，则f (－1)等于( )图2A.－13B.13C.73D.－13或73【解析】f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)＝[x ＋(a －1)][x ＋(a ＋1)].显然(2)(4)不符合，若(1)是f ′(x )的图像，则有a ＝0，与已知矛盾，故(3)是f ′(x )的图像，∴a ＝－1.∴f (－1)＝－13－1＋1＝－13.【答案】A10.过点(－1，0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A.2x ＋y ＋2＝0 B.3x －y ＋3＝0 C.x ＋y ＋1＝0D.x －y ＋1＝0【解析】y ′＝2x ＋1，设所求切线的切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)，则x 20＋x 0＋1x 0＋1＝2x 0＋1，∴x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，曲线y ＝x 2＋x ＋1在点(0，1)处的切线斜率为1，方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0.当x 0＝－2时，切线方程为3x ＋y ＋3＝0.【答案】D11.点P 是曲线x 2－y －2ln x ＝0上任意一点，则点P 到直线4x ＋4y ＋1＝0的最短距离是( )A.22(1－ln 2) B.22(1＋ln 2) C.22⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋ln 2 D.12(1＋ln 2) 【解析】y ′＝2x －1x ＝－1⇒x ＝12⇒y ＝14＋ln 2，所以切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14＋ln 2，切点到直线的距离就是两平行线间的距离，由点到直线的距离公式求得d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4×12＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋ln 2＋142＋42＝22(1＋ln 2)，故选B. 【答案】B12.已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值X围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C.⎝⎛⎦⎥⎤π2，3π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π【解析】 因为y ＝4e x＋1， 所以y ′＝－4e x（e x ＋1）2＝－4exe 2x ＋2e x＋1＝－4e x＋1ex ＋2. 因为e x >0，所以e x＋1e x ≥2，所以y ′∈[－1，0)，所以tan α∈[－1，0).又因为α∈[0，π)，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上) 13.设函数y ＝f (x )是一次函数，若f (1)＝－1，且f ′(2)＝－4，则f (x )＝________. 【解析】 ∵y ＝f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b ， ∴f ′(x )＝a ，则f (1)＝a ＋b ＝－1，又f ′(2)＝a ＝－4. 即a ＝－4，b ＝3，∴f (x )＝－4x ＋3. 【答案】 －4x ＋314.若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标为－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________.【解析】 ∵y ′＝2x －1，∴当x ＝－2时，y ′＝－5. 又P (－2，6＋c )， ∴6＋c－2＝－5，∴c ＝4. 【答案】 415.设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )(a ，b ，c 是两两不等的常数)，则a f ′（a ）＋b f ′（b ）＋cf ′（c ）＝________.【解析】 ∵f ′(x )＝(x －b )(x －c )＋(x －a )·(x －c )＋(x －a )·(x －b )， ∴f ′(a )＝(a －b )(a －c )， 同理f ′(b )＝(b －a )(b －c )，f ′(c )＝(c －a )(c －b )，代入原式中得值为0. 【答案】 016.设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝____. 【解析】f ′(x )＝－sin (3x ＋φ)·(3x ＋φ)′＝－3sin (3x ＋φ)， ∴f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋π3，当f (x )＋f ′(x )为奇函数时，φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵0<φ<π，∴φ＝π6.【答案】π6三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)求下列函数的导数. (1)y ＝3x 2＋x cos x ； (2)y ＝tan x x；(3)y ＝x 2－2x ＋5x 3.【解】 (1)y ′＝(3x 2)′＋(x cos x )′ ＝6x ＋x ′cos x ＋x (cos x )′ ＝6x ＋cos x －x sin x .(2)法一：y ′＝（tan x ）′·x －tan xx2＝xcos 2x －tan x x2＝x －cos 2x ·tan x x 2cos 2x ＝x －sin x cos x x 2cos 2x.法二：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x cos x ′＝（sin x ）′x cos x －sin x （x cos x ）′x 2cos 2x＝x cos 2x －sin x （cos x －x sin x ）x 2cos 2x＝x －sin x cos xx 2cos 2x.(3)∵y ＝1x －2x2＋5x3＝x －1－2x －2＋5x －3，∴y ′＝－x －2－2×(－2)x －3＋5×(－3)x －4＝－1x 2＋4x 3－15x4.18.(本小题满分12分)已知曲线y ＝f (x )＝x 3－8x ＋2. (1)求曲线在点(0，2)处的切线方程；(2)过原点作曲线的切线l ：y ＝kx ，求切线l 的方程.【解】 (1)∵f (x )＝x 3－8x ＋2，∴f ′(x )＝3x 2－8，则f ′(0)＝－8，所以曲线在点(0，2)处的切线方程为y －2＝－8(x －0)，即8x ＋y －2＝0.(2)设切点为P (a ，a 3－8a ＋2)，切线斜率k ＝3a 2－8，则切线方程y －(a 3－8a ＋2)＝(3a 2－8)(x －a )，又因为切线过原点，所以0－(a 3－8a ＋2)＝(3a 2－8)(0－a )，即2a 3－2＝0，所以a ＝1，即切线l 斜率为k ＝－5，切线l 方程为y ＝－5x ，即5x ＋y ＝0.19.(本小题满分12分)(2016·某某高二检测)已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限.(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程. 【解】 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知得3x 2＋1＝4，解得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又因为点P 0在第三象限，所以切点P 0的坐标为(－1，－4).(2)因为直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，所以直线l 的斜率为－14，因为l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，所以直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.20.(本小题满分12分)(2016·高考改编)设函数f (x )＝x ea －x＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)求过点(2，f (2))且与切线y ＝(e －1)x ＋4垂直的直线方程l . 【解】 (1)因为f (x )＝x e a －x＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )ea －x＋b .依题设，⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝e. (2)由(1)知k l ＝11－e，且f (2)＝2e ＋2， ∴y －(2e ＋2)＝11－e(x －2). 即所求直线l 的方程为y ＝11－e x ＋21－e＋2e ＋2. 21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2. (1)若a ＝1，求f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)对于任意x ≥2使得f ′(x )≥x 恒成立，某某数a 的取值X 围.【解】 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋x 2，则f ′(x )＝1x＋2x ，故在点(1，f (1))处的切线斜率为k ＝f ′(1)＝3，又f (1)＝1，即切点为(1，1)，故切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)当x ≥2时，f ′(x )≥x ，即ax＋2x ≥x (x ≥2)恒成立，即a ≥－x 2在x ∈[2，＋∞)上恒成立.令t ＝－x 2，当x ∈[2，＋∞)时，易知t max ＝－4，为使不等式a ≥－x 2恒成立，则a ≥－4，故实数a 的取值X 围为[－4，＋∞).22.(本小题满分12分)(2016·某某高二检测)已知两曲线f (x )＝x 3＋ax ，g (x )＝ax 2＋bx ＋c 都经过点P (1，2)，且在点P 有公切线.(1)求a ，b ，c 的值； (2)设k (x )＝f （x ）g （x ），求k ′(－2)的值.【解】 (1)依题意，⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝2，a ＋b ＋c ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＋c ＝1.故f (x )＝x 3＋x ，g (x )＝x 2＋bx ＋1－b ， 所以f ′(x )＝3x 2＋1，g ′(x )＝2x ＋b ，由于两曲线在点P (1，2)处有公切线，故f ′(1)＝g ′(1)，即4＝2＋b ， 所以b ＝2. 故c ＝1－b ＝－1.(2)由(1)可得f (x )＝x 3＋x ，g (x )＝x 2＋2x －1，故k (x )＝f （x ）g （x ）＝x 3＋xx 2＋2x －1，故k ′(x )＝（x 3＋x ）′（x 2＋2x －1）－（x 3＋x ）（x 2＋2x －1）′（x 2＋2x －1）2＝（3x 2＋1）（x 2＋2x －1）－（x 3＋x ）（2x ＋2）（x 2＋2x －1）2＝x 4＋4x 3－4x 2－1（x 2＋2x －1）2. 故k ′(－2)＝16－32－16－1（4－4－1）2＝－33.。
最新北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》检测卷(答案解析)(2)
一、选择题1．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5 2．函数f (x )＝22x x -+ 在点 (1，2) 处的切线方程为（ ） A ．x +y +1=0B ．x -y -1=0C ．x -y +1=0D ．x +y -1=03．若函数f （x ）＝alnx （a ∈R ）与函数g （x ）=a的值为（ ） A ．4B ．12C ．2e D ．e4．设P 为曲线2:2C y x x =+上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则点P 横坐标的取值范围为( )A ．1,⎫++∞⎪⎣⎭B ．1,⎫-+∞⎪⎣⎭C ．1⎤-+⎥⎣⎦D ．1⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦5．已知函数()f x 的导函数为()f x '且满足()()21ln f x x f x '=⋅+，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ） A ．12e- B ．2e - C ．1-D ．e6．直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则4a b +的值为（ ） A ．2B ．－1C ．1D ．－27．若存在过点()0,0O 的直线l 与曲线()3232f x x x x =-+和2y x a =+都相切，则a 的值是( ) A ．1B ．164-C ．1或164-D ．1或1648．已知函数32(),3x f x x x m m R =+-+∈，2()45g x x x =-+，若直线2y x a =+与两函数的图象均相切，则m =（ ）A ．233-或13- B ．3-或7- C ．73-或7- D ．73-或13- 9．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．[0，π)C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[0，4π]∪[2π，34π]10．若直线2y kx =-与曲线13ln y x =+相切，则k =（ ） A ．3B ．13C ．2D ．1211．下列导数运算正确的是A ．()sin 'cos x x =-B ．()3'3x x=C ．()21log 'ln2x x =⋅ D ．211'x x⎛⎫= ⎪⎝⎭ 12．若曲线e x y x ax =-与直线0x y -=相切（e 是自然对数的底数），则实数a 的值为（ ） A ．eB ．1-C ．eD ．0二、填空题13．直线y b =分别与直线21y x =+和曲线2ln y x x =+相交于点A 、B ，则AB 的最小值为________.14．曲线12x y x e =++在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为______． 15．已知函数1()11f x x a x =++-+的图象是以点(1,1)--为中心的中心对称图形，2()x g x e ax bx =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与曲线()y g x =在点(0,(0))g 处的切线互相垂直，则a b +=__________．16．如果曲线f (x )＝x 3＋x －16，的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，则切线方程_________.17．已知实数a ，b 满足225ln 0a a b --=，R c ∈，则22()()a c b c -++的最小值为__________． 18．等比数列中，，函数，则曲线在点处的切线方程为____.19．函数f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f′（﹣1）=6，则a 的值等于__．20．某物体作直线运动，其位移S 与时间t 的运动规律为2S t t =+（t 的单位为秒，S 的单位为米），则它在第4秒末的瞬时速度应该为__________米/秒.三、解答题21．已知函数2()2ln .f x x a x =+（1）若函数()f x 的图象在()2,(2)f 处的切线斜率为l ，求实数a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间. 22．已知函数的图像在点处切线的斜率为，记奇函数的图像为．（1）求实数的值；（2）当时，图像恒在的上方，求实数的取值范围；（3）若图像与有两个不同的交点，其横坐标分别是，设，求证：．[来23．设函数()ln 2f x x ax =-.（I ）若函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线为直线l ，且直线l 与圆()2211x y ++=相切，求a 的值；（II ）当0a >时，求函数()f x 的单调区间. 24．已和函数()32111,32f x x x x =-+∈R . （1）求函数图象经过点3,12⎛⎫⎪⎝⎭的切线的方程： （2）求函数()3211132f x x x =-+的图象与直线1y =所围成的封闭图形的面积. 25．已知函数3()16f x x x =+-（1）求曲线()y f x =在点(1,14)-处的切线的方程；（2）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标. 26．已知函数()()1ln 1x f x x++=和()()1ln 1g x x x =--+（1）若()f x '是()f x 的导函数，求(1)f '的值 （2）当0x >时，不等式()()0g x f x kx'->恒成立，其中()g x '是()g x 导函数,求正整数k 的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据切线的定义得到()13f =，()'11f =，相加得到答案.【详解】根据题意知：()1123f =+=，()'11f =，故()()'114f f +=.故选：C.【点睛】本题考查了切线方程，属于简单题.2．C解析：C 【分析】 求出()'fx ，()'1f ，点斜式写出切线方程，再化为一般式，即得答案.【详解】()()2'2,21f x x x f x x =-+∴=-， ()'12111f ∴=⨯-=.∴函数()f x 在点()1,2处的切线方程为21y x -=-，即10x y -+=. 故选：C . 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线的方程，属于基础题.3．C解析：C 【分析】根据公共点处函数值相等、导数值相等列出方程组求出a 的值和切点坐标，问题可解. 【详解】 由已知得()()a f x g x x ''==，， 设切点横坐标为t ，∴alnt a t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得22e t e a ==，. 故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，以及利用方程思想解决问题的能力，属于中档题.4．B解析：B 【分析】根据倾斜角范围可求得切线斜率的范围，根据导数的几何意义可利用导函数构造不等式求得所求横坐标的取值范围. 【详解】设切线的倾斜角为θ，则,32ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭∴切线斜率)k ∈+∞22y x '=+22x ∴+≥1x ≥=即P 点横坐标的取值范围为1,⎫-+∞⎪⎣⎭故选：B 【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系、导数的几何意义的应用；关键是能够根据直线斜率与倾斜角的关系确定切线斜率的取值范围.5．B解析：B 【分析】对函数求导得到导函数，代入1x =可求得()11f '=-，从而得到()f x '，代入1=x e求得结果. 【详解】由题意得：()()121f x f x''=+令1x =得：()()1211f f ''=+，解得：()11f '=-()12f x x '∴=-+12f e e ⎛⎫'∴=- ⎪⎝⎭本题正确选项：B 【点睛】本题考查导数值的求解，关键是能够通过赋值的方式求得()1f '，易错点是忽略()1f '为常数，导致求导错误.6．A解析：A 【解析】 【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由切点满足切线的方程和曲线的方程，解方程即可求解，得到答案． 【详解】由题意，直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)， 则点(1,4)满足直线2y kx =+，代入可得412k =⨯+，解得2k =， 又由曲线()32f x x ax b =++，则()232f x x a '=+，所以()213122f a '=⨯+=，解得12a =-，即()3f x x x b =-+，把点(1,4)代入()3f x x x b =-+，可得3411b =-+，解答4b =，所以144()422a b +=⨯-+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟记导数的几何意义，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．D解析：D 【解析】 【分析】点()0,0O 在()3232f x x x x =-+上，分点()0,0O 是曲线()f x 上的切点，和点()0,0O 不是曲线()f x 上的切点进行讨论，分别对两条曲线求导，利用切点处的导数即为切线的斜率，列方程，可解出答案. 【详解】解：点()0,0O 在()3232f x x x x =-+上，且()2'362f x x x =-+①点()0,0O 是曲线()f x 上的切点 则()k '02f ==，切线l 的方程为：2y x =设直线l 在2y x a =+上的切点为()200,P x x a +因为'2y x =，所以0k 22x ==，所以01x =，所以()1,1P a +, 又点P 在直线2l y x =：上，所以12a +=，即1a =②点()0,0O 不是曲线()f x 上的切点，设曲线()f x 上的切点为()320000,32Q x x x x -+（00x ≠）则()322000000032k '362x x x f x x x x -+==-+=，解得032x =，1k 4=-所以33,28Q ⎛⎫-⎪⎝⎭，切线l 的方程为：14y x =-设直线l 在2y x a =+上的切点为()200,P x x a +因为'2y x =，所以01k 24x ==-，所以018x =-，所以11,864P a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭, 又点P 在直线14l y x =-：上，所以1116448a ⎛⎫+=-⨯- ⎪⎝⎭，即164a =所以1a =或164故选：D.【点睛】本题考查了导数的几何意义，求解与切线方程有关的问题一定要先确定切点，题中没给切点的要先设切点坐标，然后根据切点处的导数即为切线的斜率列式求解.8．D解析：D 【分析】先根据直线和()245g x x x =-+的图像相切，求出a=-4,再根据直线和()323x f x x x m =+-+相切求出切点P (1,2)-或(3,10)--.把点P (1,2)-和(3,10)--代入曲线方程即得m 的值. 【详解】联立2y x a =+与2()45g x x x =-+得2650,x x a -+-=364(5)0,a 4a ∴∆=--=∴=-,所以直线方程为y=2x-4,由题得2()21,f x x x '=+-设切点P 坐标为00,)x y （， 所以20000()21=21f x x x x '=+-∴=，或-3,所以切点P (1,2)-或(3,10)--.把点P (1,2)-和(3,10)--代入()323x f x x x m=+-+得m=73-或13-. 故选D 【点睛】本题主要考查直线和曲线相切，考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．A解析：A 【解析】由题得cos y x '=，设切线的倾斜角为α，则，3tan cos 1tan 1[0,][,)44k x ππαααπ==∴-≤≤∴∈⋃，故选A.10．A解析：A 【分析】设切点为00(,2)x kx -，对13ln y x =+求导，得到3y x '=，从而得到切线的斜率03k x =，结合直线方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果. 【详解】设切点为00(,2)x kx -，∵3y x '=，∴0003,213ln ,k x kx x ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩①②由①得03kx =， 代入②得013ln 1x +=， 则01x =，3k =， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.11．C解析：C 【分析】根据基本导数公式判断即可． 【详解】()sin 'cos x x =，()3'3ln 3xx= ，()21log 'ln2x x =⋅，'211x x⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 故选C. 【点睛】本题考查了基本导数公式，属于基础题12．D解析：D 【分析】设切点坐标为()0000,xA x x e ax -，则根据切点在直线0x y -=上可知0000xx x e ax =-，然后再利用0|1x x y ='=列出关于0x 与a 的方程组求解. 【详解】设切点坐标为()0000,xA x x e ax -，()1e xy x a '=+-，则根据题意得：()0000011xx x x e ax x e a ⎧=-⎪⎨+-=⎪⎩，解得000x a =⎧⎨=⎩. 故选：D. 【点睛】本题考查根据曲线的切线方程求参数的值，解答时注意先设出切点的坐标，将切点坐标代入切线方程以及利用切点处的导数值为斜率列出方程组求解即可，另外求解与切线方程有关的问题时，注意“在某一点的切线”与“过某一点的切线”的区别.二、填空题13．【分析】求出函数的斜率为2的切线方程与两条平行线的交点间的横坐标之差为的最小值【详解】如图作出函数的图象作直线平移到与函数图象相切由图象知直线与这两条平行线的交点的横坐标之差为所求最小值由得令得此时解析：3ln 22-【分析】求出函数2ln y x x =+的斜率为2的切线方程，y b =与两条平行线的交点间的横坐标之差为AB 的最小值． 【详解】如图，作出函数2ln y x x =+的图象，作直线21y x =+，平移到与函数图象相切，由图象知直线y b =与这两条平行线的交点的横坐标之差为所求最小值． 由2ln y x x =+得21y x '=+，令212y x'=+=得2x =，此时22ln 2y =+，即切点为(2,22ln 2)+，由22ln 221y y x =+⎧⎨=+⎩得1ln 2222ln 2x y ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，∴min 132(ln 2)ln 222AB =-+=-． 故答案为：3ln 22-．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数图象交点问题，解题关键是转化与化归思想的应用，把直线y b =与直线21y x =+和曲线2ln y x x =+交点间距离的最小值转化为直线21y x =+与函数图象的平行切线间的问题．利用导数几何意义即可迅速求解．14．【解析】【分析】先根据导数几何意义求切线斜率得切线方程再求三角形面积【详解】因为所以与与两坐标轴交点为因此围成的三角形面积为【点睛】本题考查导数几何意义以及直线方程考查基本分析与运算能力属基础题解析：32【解析】 【分析】先根据导数几何意义求切线斜率，得切线方程，再求三角形面积. 【详解】因为12x y e '=+，所以03,320)3313(y k x y x e =-=-∴=++=， 与与两坐标轴交点为(1,0),(0,3)-，因此围成的三角形面积为1313.22⨯⨯= 【点睛】本题考查导数几何意义以及直线方程，考查基本分析与运算能力，属基础题.15．【分析】由中心对称得可解得再由两切线垂直求导数得斜率令其乘积为-1即可得解【详解】由得解得所以又所以因为由得即故答案为【点睛】本题主要考查了函数的中心对称性考查了导数的几何意义即切线斜率属于中档题 解析：43-【分析】由中心对称得()()022f f +-=-，可解得a ，再由两切线垂直，求导数得斜率，令其乘积为-1，即可得解. 【详解】由()()022f f +-=-，得11121242a a a +---+-=-=-， 解得1a =，所以()11f x x x =++. 又()()21'11f x x =-++，所以()3'14f =.因为()2xg x e x bx =++，()'2xg x e x b =++，()'01g b =+，由()3114b +=-，得413b +=-，即43a b +=-. 故答案为43- 【点睛】本题主要考查了函数的中心对称性，考查了导数的几何意义即切线斜率，属于中档题.16．y ＝4x －18或y ＝4x －14【解析】【分析】先求然后求出的解即得切点的横坐标从而求得切线方程【详解】设切点为因切线与直线垂直故故或当时切线方程为；当时切线方程为综上填或【点睛】对于曲线的切线问题注解析：y ＝4x －18或y ＝4x －14.【解析】【分析】先求()'f x ，然后求出()'4f x =的解即得切点的横坐标，从而求得切线方程. 【详解】设切点为()00,x y ，因切线与直线134y x =-+垂直，故()200'314f x x =+=，故01x =-或01x =，当01x =-时，()018f x =-，切线方程为()4118414y x x =+-=-； 当01x =时，()014f x =-，切线方程为()4114418y x x =--=-， 综上，填418y x =-或414y x =-. 【点睛】对于曲线的切线问题，注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别，切线问题的核心是切点的横坐标.如果切点为()()00,x f x ，那么切线方程为：()()()000'y f x x x f x =-+.17．【解析】分析：分别设则表曲线上的点到直线的距离则最小值表示与直线平行的切线之间的距离求出曲线的切线方程根据平行线之间的距离公式即可求解详解：分别设则表曲线上的点到直线的距离所以最小值表示与直线平行的【解析】分析：分别设()223ln (0),y f x x x x y x ==->=-()y f x =上的点到直线y x =-y x=-平行的切线之间的距离，求出曲线的切线方程，根据平行线之间的距离公式，即可求解． 详解：分别设()223ln (0),y f x x x x y x ==->=-，()y f x =上的点到直线y x =-的距离，y x =-平行的切线之间的距离，因为()225ln f x x x =-，所以()54f x x x='-， 令()541f a a a=-=-'，解得1a =，所以()12f b ==， 所以曲线过点(1,2)的切线方程为2(1)y x -=--，即30x y +-=，所以直线30x y +-=与直线yx =-间的距离为d ==2．点睛：本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，以及两条平行线之间的距22()()a c b c -++y x =-平行的切线之间的距离上解答的关键，着重考查了转化与化归思想，以及推理与计算能力，试题属于中档试题．18．【解析】在等比数列中且所以所以函数在点处切线方程为即点睛：本题主要考查了等比数列的性质求导法则利用导数研究曲线在某点处切线的方程属于中档题利用等比数列的性质及求是解答本题的关键 解析：201232y x =+【解析】在等比数列{}n a 中，212012220111006100793a a a a a a ===== ，且122012()()()()2f x x x x x x x a =---+ ，所以122012122012120122201120162017222100622012'(0)()()()()()()33333f a a a a a a a a a a a a ⨯=---===⋅== ，所以函数()y f x = 在点(0,(0))f 处切线方程为(0)'(0)(0)y f f x -=- ，即201232y x =+ 。
高中数学 第2章 变化的快慢与变化率同步练习 北师大版选修2-2
变化的快慢与变化率 同步练习1．在曲线12+=x y 的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx,2+Δy ）,则yx ∆∆为（ ） A ．21+∆+∆x x B ．21-∆-∆x xC ．2+∆xD ．x x ∆-∆+12２．物体的运动规律是)(t s s =，物体在[]t t t ∆+,时间内的平均速度是（ ） Ａ．t t s t s v ∆∆=∆∆=)( Ｂ．t t s t t s v ∆-∆+=)()( Ｃ．t t s v )(= Ｄ．当0→∆t 时，0)()(→∆-∆+=t t s t t s v３．一质点的运动方程是235t s -=，则在一段时间[]t ∆+1,1内相应得平均速度为：（ ） Ａ．63+∆t Ｂ．63+∆-t Ｃ．63-∆t Ｄ．63-∆-t４．在求平均变化率中，自变量的增量x ∆（ ）Ａ．0>∆x Ｂ．0<∆x Ｃ．0=∆x Ｄ．0≠∆x５．将半径为R 的球加热，若球半径增加R ∆，则球的体积增量V ∆等于（ ） Ａ．342RR ∆π Ｂ．R R ∆24π Ｃ．24R π Ｄ．R R ∆π4６．若物体的位移公式为)(t s s =，从0t 到t t ∆+0，这段时间内，下列说法错误的是（ ）Ａ．)()(00t s t t s s -∆+=∆叫做物体的位移Ｂ．)()(00t s t t s s -∆+=∆叫做位置增量 Ｃ．t t st t s t s ∆-∆+=∆∆)()(00叫做这段时间内物体的平均速度Ｄ． t s∆∆一定与t ∆无关７．求x x y 22-=在2到49之间的平均变化率。
８．求x y cos =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0π内的平均变化率。
９．求xy 1=在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率。
１０．国家环保总局对长期超标准排放污物，污染严重而又未进行治理的单位，规定出一定期限，强令再次期限内完成排污治理。
下图是国家环保总局在规定的排污达标日期前，对甲乙两企业连续检测的结果（W 表示排污量），哪个企业治理得比较好？为什么？１１．高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度为105.69.4)(2++-=t t t h试估计在下列时刻运动员高度的瞬时变化率：（1） t = 1 ； （2）t = 2.1 。
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数学总复习 第3章1 变化的快慢与变化率随堂自测（含解析） 北
师大版
1.(2012·西安检测)某物体的位移公式为s ＝s (t )，从t 0到t 0＋Δt 这段时间内，下列理解正确的是( )
A ．(t 0＋Δt )－t 0称为函数值增量
B ．t 0称为函数值增量
C ．Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)称为函数值增量
D.Δs Δt
称为函数值增量 解析：选C.函数值增量的概念是指函数值的改变量．
2.已知函数f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )
A ．0.40
B ．0.41
C ．0.43
D ．0.44
解析：选B.∵x ＝2，Δx ＝0.1，∴Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )
＝f (2.1)－f (2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41.
3.函数y ＝1x
在区间[x 0，x 0＋Δx ](x 0≠0，且x 0＋Δx ≠0)的平均变化率为________． 解析：Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝1x 0＋Δx －1x 0Δx
＝－1x 0（x 0＋Δx ）
. 答案：－
1x 0（x 0＋Δx ） 4.(2012·焦作检测)一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的距离s 与时间t 之间的函
数关系为s ＝18
t 2，则t ＝2时，木块的瞬时速度为________． 解析：Δs Δt ＝18（t ＋Δt ）2－18t 2Δt ＝14t ＋18
Δt . 当t ＝2，且Δt 趋于0时，
Δs Δt 趋于12
. 答案：12。