2011年解题能力展示高年级组(试题+答案)

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高2011级下期半期考试数学参考答案

成都七中2008-2009学年下期高2011级期中考试数学试卷参考答案及评分标准命题人:邱旭审题人:魏华一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13.{x|2k π+2π<x<2k π+23π,其中k ∈Z}; 14.2; 15.[-23,3]; 16.①③④.三、解答题(本大题共6小题,共74分)17.解:(1)由已知,得311=+-tan αtan α,…………………………………………(2分)解得tan α=-2; …………………………………………………(4分)(2)原式=)(22cos αsin αsin ααcos αsin --…………………………………………(6分)=sin αcos αsin α+ ………………………………………………(8分)=1+tan α1……………………………………………………(10分)=21.…………………………………………………………(12分) 18.解:(1)由已知,得cosA(cosAcosB+sinAsinB)=cosB, …………………(1分)即(1-cos 2A)cosB=sinAcosAsinB, ………………………………(2分) 亦即sin 2AcosB=sinAcosAsinB.…………………………………(3分) 因为sinA>0,所以sinAcosB=cosAsinB, ………………………(4分) 于是sin(A-B)=0.…………………………………………………(5分) 又-π<A-B<π,从而A=B.故ΔABC 是等腰三角形.………………(6分) (2)在ΔABC 中,有C=π-(A+B)=π-2A,………………………………(7分) 所以tanC=tan(π-2A)=-tan2A.…………………………………(9分)由tanA=2得tan2A=Atan tanA 212-=-34.……………………………(11分)所以tanC 的值为34. ……………………………………………(12分)19.解:(1)由tan α=21,且0<α<π得:0<α<2π, …………………………(1分) 且sin α=55,cos α=552. ……………………………………(2分) 又0<β<π,所以0<α+β<23π. …………………………………(3分) 又由sin(α+β)=102-<0得: π<α+β<23π,且cos(α+β)=1027-.…………………………(4分) 故cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=1027-•552102-•55=10103-.…………………………(6分) (2)由cos β=10103-<0且0<β<π得,2π<β<π,且sin β=1010. (8分)所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=552•(10103-)+55•1010=22-.…………(10分)又由0<α<2π,2π<β<π,得-π<α-β<0.…………………………(11分) 所以α-β=43π-.……………………………………………………(12分)20.解:连结BD,由已知得AD=2cos θ,BD=2sin θ(其中4π<θ<2π).………(2分)在ΔBCD 中,由弦切角定理得∠BDC=θ,又DC=AB=2,∴ΔBCD 面积为2sin 2θ; ……………………………………………(4分) 又Rt ΔABD 的面积为2sin θ•cos θ. ………………………………(5分) ∴四边形ABCD 的面积为S=2sin θ•cos θ+2sin 2θ. ………………(6分) 因为S=sin2θ+(1-cos2θ) …………………………………………(8分)=2sin(2θ-4π)+1 …………………………………………(10分)所以当θ=83π时,四边形ABCD 面积取得最大值2+1. …………(12分)21.解:(1)由已知得g(α)=cos α•sin αsin α+-11+sin α•cos αcos α+-11…………(1分)=cos α•αcos sin α22)1(-+sin α•αsin cos α22)1(- …(2分) =cos α•cos αsin α-1+sin α•sin αcos α-1 ……………(3分) 由α为第二象限角,得sin α>0,cos α<0.…………………………(4分)所以g(α)=-(1-sin α)+(1-cos α) ………………………………(5分)=sin α-cos α……………………………………………(6分)(2)由已知,得g(α)=sin α-cos α=57. ……………………………(7分)平方,得sin α•cos α=-2512.① …………………………………(8分) 又由α∈(43π,π),得sin α+cos α<0.…………………………(9分)所以sin α+cos α=-cos αsin α⋅+21=-51.② ………………(10分)又sin 3α+cos 3α=(sin α+cos α)(sin 2α-sin αcos α+cos 3α)=(sin α+cos α)(1-sin αcos α) …………(11分)结合①②,得sin 3α+cos 3α=-12537.……………………………(12分) 22.解:(1)由f(x)=cos(ωx+φ)是R 上的奇函数，得f(0)=cos φ=0.又-π≤φ≤0,所以φ=-2π.………………………………………(1分)所以f(x)=cos(ωx-2π)=sin ωx. ………………………………(2分)由y=f(x)的图象关于直线x=4π对称,且ω>0，得ω•4π=k π+2π(k ∈N),解得ω=4k+2(k ∈N). ① ………………(3分)又f(x)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0π上是单调函数,所以0≤ω•x ≤ω•6π≤2π,解得ω≤3.② ……………………………………………………(4分)由①②,得ω=2.所以f(x)=sin2x. ………………………………(5分)(2)g(x)=f(x-4π)=sin(2x-2π)=-cos2x.……………………………(6分) ①原式=2044040140401sin cos sin cos sin +++-+ =204)2020(202)2020202sin cos sin cos sin (cos sin +++ =2042020sin cos sin + …………………………………………(7分) =20202042020cos cos sin cos sin ⋅+=2040sin 220cos sin + …………………………………………(8分) =20)2060(220cos sin sin -+ …………………………………(9分)=202020320cos sin cos sin -+ =3. ………………………………………………………(10分) ②m=f(x)-g(x)=sin2x+cos2x=2sin(2x+4π).…………………(11分) 易知函数y=2sin(2x+4π)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡8,0π上单调递增,在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,8ππ上单调递减.…………………………………………………………………(12分)又当x=0时,f(x)-g(x)=1; 当x=8π时,f(x)-g(x)=2;当x=6π时,f(x)-g(x)=213+. ………………………………(13分) 故所求实数m 的取值范围是m=2或1≤m<213+.……………(14分)。

数学解题能力展示五年级真题汇编0712

5.如图，7×7 的表格中，每格填入一个数字，使得相同的数字所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边），现在已经给出了 1，2，3，4，5 各两个，那么，表格中所有数的和是________。
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指南针小升初
6.甲、乙两人从 A 地步行去 B 地。乙早上 6:00 出发，匀速步行前往；甲早上 8:00 才出发，也是匀速步行。甲的速度是乙的速度的 2.5 倍，但甲每行进半小时都需要休息半小时。甲出发后经过________分钟才能追上乙。
三、填空题Ⅲ（每题12 分，共48 分）
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指南针小升初
9.甲、乙两人分别从AB两地同时出发，相向而行。第一次迎面相遇在距离B地100米处，相遇后甲的速度提高到原来的 2倍；甲到 B 后立即调头，追上乙时，乙还有 50米才到A。那么，AB间的路程长________米。 10.在右图中，线段AE、FG将长方形ABCD分成了四块；已知其中两块的面积分别是 2 cm2、 11cm2，且E 是 BC 的中点， O是AE的中点；那么长方形ABCD的面积是________cm2。
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指南针小升初
2011 年“数学解题能力展示”读者评选活动五年级组初试试题
一、填空题（每题8分，共40分） 1.算式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 的计算结果是________。
2.十二月份共有 31天，如果某年 12月 1 日是星期一，那么该年 12月 19日是星期 ________。(星期一至星期日用数字1至7表示) 3.如图的等腰梯形上底长度等于3，下底长度等于9，高等于4，那么这个等腰梯形的周长等于________。 4.某乐团女生人数是男生人数的2倍，若调走24名女生，则男生人数是女生人数的2 倍，那么该乐团原有男女学生一共有________人。 5.规定 1※2=0.1+0.2=0.3 , 2※3=0.2+0.3+0.4=0.9 , 5※4=0.5+0.6+0.7+0.8=2.6 。如果 a ※15=16.5，那么 a 等于________。

迎春杯年年中高年级初赛复赛试题真题整理

迎春杯2011年-2017年中高年级初赛复赛试题真题整理2011年少儿迎春杯三年级初赛(试题)2010年12月19日“数学解题能力展示”读者评选活动三年级组初赛试题（活动时间：12月19日11:00—12:00；满分150）一、填空题Ⅰ（每题8分，共40分）1.计算：82-38+49-51=.2.超市中的某种汉堡每个10元，这种汉堡最近推出了“买二送一”的优惠活动，即花钱买两个汉堡，就可以免费获得一个汉堡，已知东东和朋友需要买9个汉堡，那么他们最少需要花元钱。

3.小亮家买了72个鸡蛋，他们家还养了一只每天都下一个蛋的母鸡；如果小亮家每天吃4个鸡蛋，那么，这些鸡蛋够他们家连续吃天。

个只由数字8组成的自然数之和为1000，其中最大的数与第二大的数之差是.5．已知：1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=1111……△×9+○=111111那么△+○=.二、填空题Ⅱ（每题10分，共50分）6.四月份共有30天，如果其中有5个星期六和星期日，那么4月1日是星期.（星期一至星期日用数字1至7表示）7．小明把三支飞镖掷向下图所示的镖盘上，然后把三支飞镖的得分相加，镖盘上的数字代表这个区域的得分，未中镖盘记0分.那么小明不可能得到的总分最小是.8.一天中午，孙悟空吃了10个桃子，猪八戒吃了25个包子，孙悟空说猪八戒太能吃了，但猪八戒说自己的包子比桃子小得多，还是孙悟空吃的多.聪明的沙僧用天平得到了下面两种情况，（圆圈是桃子，三角是包子长方形表示重量为所标数值的砝码），那么1个桃子和1个包子共重克.9．在算式=2010中，不同的字母代表不同的数字.那么，A+B+C+D+E+F+G=.10．红星小学组织学生参加队列演练，一开始只有40个男生参加，后来调整队伍，每次调整减少3个男生，增加2个女生，那么调整次后男生女生人数就相等了.三、填空题Ⅲ（每题12分，共60分）11．如图1是一个3×3的方格表，每个方格（除了最后一个方格）都包含了1～9中某个数字和一个箭头，每一个方格中的箭头都正好指向了下一个数字所在方格的方向，如1号方格的箭头指向右方，代表2号方格在1号方格右方，2号方格指向斜下，代表3号方格在2号斜下方，3号方格指向上方，代表4号方格在3号方格上方，……（指向的方格可以不相邻），这样正好从1到9走完整个方格表。

秋季五年级第5 讲电梯和发车小学高年级数学竞赛奥数培训班

秋季五年级第5讲电梯和发车▲关于电梯和发车问题：（整体思路）一列二解三代入。

寻找不变量，根据不变量；列方程，求解问题。

★扶梯问题两个不变量：可见梯、电梯速度不变；★发车问题同向：追及：=⨯发车间距速度差追及时间相向：相遇：=⨯发车间距速度和相遇时间不变量：发车间隔时间t=间隔发车间距车速1.小志与小刚两个孩子在电梯上的行走速度分别为每秒2个台阶和每秒3个台阶，电梯运行后，他俩沿电梯运行方向的相同方向从一楼走上二楼，分别用时28秒和20秒，那么如果小志攀登静止的电梯需要用时多少秒？2.在地铁车站中，从站台到地面架设有向上的自动扶梯．小明想逆行从上到下，如果每秒向下迈2级台阶，那么他走过100级台阶后到达站台；如果每秒向下迈3级台阶，那么走过75级台阶到达站台．自动扶梯有多少级台阶?3.从电车总站每隔一定时间开出一辆电车．甲与乙两人在一条街上反方向步行．甲沿电车发车方向每分钟步行60米，每隔20分钟有一辆电车从后方超过自己；乙每分钟步行80米，每隔10分遇上迎面开来的一辆电车．那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？4.小红放学后沿着公共汽车的线路以4千米/时的速度往家走，一边走一边数来往的公共汽车．到家时迎面来的公共汽车数了11辆，后面追过的公共汽车数了9辆．如果公共汽车按相等的时间间隔发车，那么公共汽车的平均速度是多少？数学解题能力行程（过程写在笔记本上）：1. （2011年“数学解题能力展示”6年级初试）甲、乙、丙三人同时从A 出发去B ，甲、乙到B 后调头回A ，并且调头后速度减少到各自原来速度的一半．甲最先调头，调头后与乙在C 迎面相遇，此时丙已行2010米；甲又行一段后与丙在AB 中点D 迎面相遇；乙调头后也在C 与丙迎面相遇．那么，AB 间路程是米．2. （2010年“数学解题能力展示”6年级初试）如图，C 、D 为AB 的三等分点。

8点整时甲从A 出发匀速向B 行走，8点12分乙从B 出发匀速向A 行走，再过几分钟丙从B 出发匀速向A 行走；甲、乙在C 点相遇时丙恰好走到D 点，甲、丙8:30相遇时乙恰好到A 。

2011高考数学必看之-测试题组(必修5)全套含答案

特别说明：《新课程高中数学训练题组》是由李传牛老师根据最新课程标准，参考独家内部资料，结合自己颇具特色的教学实践和卓有成效的综合辅导经验精心编辑而成；本套资料分必修系列和选修系列及部分选修4系列。

欢迎使用本资料!本套资料所诉求的数学理念是：（1）解题活动是高中数学教与学的核心环节，（2）精选的优秀试题兼有巩固所学知识和检测知识点缺漏的两项重大功能。

本套资料按照必修系列和选修系列及部分选修4系列的章节编写，每章分三个等级：[基础训练A组]，[综合训练B组]，[提高训练C组]建议分别适用于同步练习，单元自我检查和高考综合复习。

本套资料配有详细的参考答案，特别值得一提的是：单项选择题和填空题配有详细的解题过程，解答题则按照高考答题的要求给出完整而优美的解题过程。

本套资料对于基础较好的同学是一套非常好的自我测试题组：可以在90分钟内做完一组题，然后比照答案，对完答案后，发现本可以做对而做错的题目，要思考是什么原因：是公式定理记错？计算错误？还是方法上的错误？对于个别不会做的题目，要引起重视，这是一个强烈的信号：你在这道题所涉及的知识点上有欠缺，或是这类题你没有掌握特定的方法。

本套资料对于基础不是很好的同学是一个好帮手，结合详细的参考答案，把一道题的解题过程的每一步的理由捉摸清楚，常思考这道题是考什么方面的知识点，可能要用到什么数学方法，或者可能涉及什么数学思想，这样举一反三，慢慢就具备一定的数学思维方法了。

目录：数学5（必修）数学5（必修）第一章：解三角形 [基础训练A组]数学5（必修）第一章：解三角形 [综合训练B组]数学5（必修）第一章：解三角形 [提高训练C组]数学5（必修）第二章：数列 [基础训练A组]数学5（必修）第二章：数列 [综合训练B组]数学5（必修）第二章：数列 [提高训练C组]数学5（必修）第三章：不等式 [基础训练A组]数学5（必修）第三章：不等式 [综合训练B组]数学5（必修）第三章：不等式 [提高训练C组]（数学5必修）第一章：解三角形[基础训练A 组]一、选择题1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（）A ．1B ．1-C ．32D ．32-2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A ．A sinB ．A cosC ．A tanD ．Atan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（）A ．2B ．23 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A ．090B ．0120C ．0135D ．0150 二、填空题1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。

2011山东高考基本能力及答案(word版)

年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）2011 基本能力测试分钟。

答题前，120分。

考试用时100页，满分12卷两部分，共II卷和第I本试卷分第座号、毫米黑色签字笔将自己的姓名、0.5考生务必用县区和科类填写在答题卡和准考证号、试卷规定的位置。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

分）30卷（共I第：注意事项I第1. 分。

30分，共1，每小题全部为单项选择题小题，30卷共铅笔把答题卡上队形的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干2B每小题选出答案后，用2. 净后，再选涂其他答案标号。

不涂在答题卡上，只答在试卷上不得分。

神奇壮丽的大自然，生命的摇篮，孕育着万物茁壮成长。

一．地球，我们共同的家园，江上如画，景象万千。

下列说法正确的是 1. 风向因素决定小麦的成熟,“夜来南风起，小麦覆陇黄”．AB ，潮起潮落与月球密切相关“春江潮水连海平，海上明月共潮生”．，日月星辰东升西落，绕地球运动周期相同“月下檐西，日出篱东”．C ，南坡暖北坡寒是世界各地都存在的现象“山下桃花山上雪，山前山后两重天”．D“气候”与“天气”既有联系又有区别。

下列选项描述气．气候对自然景观影响颇多，2 候的是．天空乌云密布，大雨倾盆A ．云南冬无严寒，夏无酷暑B ．今晨寒风凌烈，气温骤降C ．昨日晴空万里，艳阳高照D 生《黄山云海》优化画家常常用画笔表现神奇的自然。

．3动描绘了黄山的秀美景色。

下列说法正确的是．黄山地处热带地区A ．黄山是“五岳”之首B ．该画运用了散点透视中的高远法C ．作品表现出山色苍茫、云海弥漫的意境D ．美丽的大自然蕴藏着丰富的矿产资源。

钻石是经过琢磨的金刚石，下列说法正确的是4 ．金刚石比石墨的硬度高A ．金刚石是一种金属单质B ．金刚石是可再生资源C ．在金刚石被琢磨成钻石的过程中，金刚石发生了化学变化D ．大理石引盛产于云南大理而得名。

下列说法不正确的是5 ．大理石有较高的抗压强度，耐酸碱腐蚀A ．大理石的主要化学成分与石灰石相同B ．选用大理石作为建筑材料时应考虑其放射性C ．大理石可用于艺术雕塑D - 1 -。

2011学年第二学期高三数学区期末统测试卷理科答案

即 AB 2 OM 成立 ②当切线 l 的斜率不存在时， A( 2, 2), B ( 2, 2)或A( 2, 2), B ( 2, 2) 此时 AB 2 2, OM
2 ，即 AB 2 OM 成立-------------------10 分
（3）由条件可知：两条渐近线分别为 l1 : 2 x y 0; l2 : 2 x y 0 -------------------11 分设双曲线 C 上的点 P ( x0 , y0 ) ，
因为平面 CDE 平面 CD1O ，所以 m n 0 ，得 2 -------------------14 分

5 17 16 5 17 x 8 1 5 17 x 21．解：（1） x 2 2 x 2 --------2 分 2 2 0 x 2 0 x 2 4 x 1 2 x 3 -------------4 分 2 x 4
若 b1 b2 b3 bn0 ，则 a b1 a b2 a b3 a bn0 即对数列 bn 中的任意一项 bi (1 i n0 )
a bi b1 (n0 i )d bn0 1i bn -------------------6 分
12． 9 15．A
13．
81 2
17．C
14． 0, a b 18．D

2
2

16．B
19．解：（1）由正弦定理
c a sin C a 2a 2 5 -------------------4 分 ,得 c sin C sin A sin A
（2）由余弦定理，得 cos A

2011年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)

一、填空题（每小题8分，共64分）1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为． 3．设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ． 4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是．二、解答题（本大题共3小题，共56分）9．（16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．加试1. （40分）如图，Q P ,分别是圆内接四边形ABCD 的对角线BD AC ,的中点．若DPA BPA ∠=∠，证明：CQB AQB ∠=∠．2. （40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--具有如下性质：4.（50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值。

2011解题能力展示初赛五年级(含解析)

2011“数学解题能力展示”读者评选活动笔试试题小学五年级（2010年12月19日）一、填空题I（每题8分，共40分）1．算式12345678910⨯+⨯+⨯+⨯+⨯的计算结果是．2．十二月份共有31天，如果某年12月1日是星期一，那么该年12月19日是星期．（星期一至星期日用数字1至7表示）3．右图的等腰梯形上底长度等于3，下底长度等于9，高等于4，那么这个等腰梯形的周长等于．4．某乐团女生人数是男生人数的2倍，若调走24名女生，则男生人数是女生人数的2倍，那么该乐团原有男女学生一共人．5．规定120.10.20.3※，如果1516.5a=※，=+++==+=※，540.50.60.70.8 2.6※，230.20.30.40.9=++=那么a等于．二、填空题（每题10分，共50分）6．如图，蚂蚁从正方体的顶点A沿正方体的棱爬到顶点B，并且恰好经过正方体的每个顶点一次，那么蚂蚁一共有种不同的爬法．BA7．在右图每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立，那么两个乘数的和是．1028．两个正方形如图放置，图中的每个三角形都是等腰直角三角形，若其中较小正方形的边长为12厘米，那么较大正方形的面积是平方厘米．9．如图的55⨯的表格中有6个字母，请沿格线将右图分割为6个面积不同的小长方形（含正方形），使得每个长方形中恰好有一个字母，且每个字母都在小长方形角上的方格中，若这六个字母分别等于它所在小长方形的面积，那么五位数ABCDE = ．FEDC BA10．小人国有2011个小矮人，他们中的每个人不是戴红帽子就是戴蓝帽子，小矮人戴红帽子时说真话，戴蓝帽子时说假话；并且他们随时可以更换自己帽子的颜色，某一天，他们恰好每两人都见了一次面，并且都说对方戴蓝帽子，那么这一天他们总共最少改变了次帽子的颜色．三、填空题（每题12分，共60分）11．如图，一个大长方形被分成8个小长方形，其中长方形A B C D E 、、、、的周长分别是26厘米、28厘米、30厘米、32厘米、34厘米，那么大长方形的面积最大是平方厘米．EDC B A12．如图是一个66 的方格表，将数学1~6填入空白方格中，使得每一行、每一列数字1~6都只恰好出现一次，方格表还被粗线划分成了6块区域，每个区域数学1~6也恰好都只出现一次，那么最下面一行的前4个数字组成的四位数ABCD 是．DCBA655544222113．甲、乙两车同时从A 地出发开往B 地，出发的时候，甲车的速度比乙车的速度每小时快2.5千米，10分钟后，甲车减速了，再过5分钟后，乙车也减速了，这时乙车比甲车每小时慢0.5千米，又过了25分钟后两车同时到达B 地，那么甲车当时速度每小时减少了千米．14．把同时满足下列两个条件的自然数称为“幸运数”：（1）从左往右数，第三位起，每一位的数字是它前面的两个数字的差（大数减去小数）；（2）无重复数字，例如：132、871、54132都是“幸运数”；但8918（数字“8”重复）、990（数字“9”重复）都不是“幸运数”，那么最大“幸运数”从左往右的第二位数字是．15．一个由某些非零自然数所组成的数组具有以下的性质：（1）这个数组中的每个数（除了1以外），都可被2、3、5中的至少一个数整除；（2）对于任意非零自然数n ，若此数组中包含有2n 、3n 、5n 中的一个，则此数组中必同时包含有n 、2n 、3n 和5n ．如果此数组中数的个数在300和400之间，那么此数组包含个数．2011“数学解题能力展示”读者评选活动笔试试题小学五年级参考答案1 2 3 4 5 6 7 8190 5 22 48 4 6 684 1629 10 11 12 13 14 1534216 2009 512 2413 10 5 364部分解析一、填空题I（每题8分，共40分）1．算式12+34+56+78+910⨯⨯⨯⨯⨯的计算结果是__________．【考点】速算巧算【难度】☆【答案】190【解析】原式=2+12+30+56+90=190．2．十二月份共有31天，如果某年12月1日是星期一，那么该年12月19日是星期__________．（星期一至星期日用数字1至7表示）【考点】周期问题【难度】☆【答案】5【解析】19被7除余5，所以是星期五．3．右图的等腰梯形上底长度等于3，下底长度等于9，高等于4，那么这个等腰梯形的周长等于__________．【考点】几何【难度】☆☆【答案】22【解析】两边的三角形都是底为3，高为4的直角三角形，根据勾股定理，斜边为5，所以周长为3+9+5+5=22．4．某乐团女生人数是男生人数的2倍，若调走24名女生，则男生人数是女生人数的2倍，那么该乐团原有男女学生一共__________人．【考点】应用题【答案】48【解析】设调走后的女生是1份，则男生是2份，调走前的女生是4份，24人是3份，每份8人，调走前男女共6份，48人．5．规定12=0.1+0.2=0.3*，23=0.2+0.3+0.4=0.9*，54=0.50.60.70.8=2.6*+++，如果1516.5a *=，那么a 等于__________．【考点】定义新运算【难度】☆☆ 【答案】4【解析】等差数列的中间项，也就是第八项，为16.515=1.1÷，所以第一项为0.4，4a =．二、填空题（每题10分，共50分）6．如图，蚂蚁从正方体的顶点A 沿正方体的棱爬到顶点B ，并且恰好经过正方体的每个顶点一次，那么蚂蚁一共有__________种不同的爬法．BA【考点】计数问题【难度】☆☆ 【答案】6【解析】第一步有三种走法，第二步有两种走法，(这些都是对称的)，之后就唯一确定了．所以共有32=6⨯种走法．7．在右图每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立，那么两个乘数的和是__________．102【考点】数字谜【答案】684【解析】被乘数的2倍等于90，而被乘数和乘数十位的乘积等于1，所以乘数十位等于1或2．如果等于1，则902=1÷不可能成立．如果等于2，则9102=455÷，而4559=4095⨯，所以结果为455+229=684．8．两个正方形如图放置，图中的每个三角形都是等腰直角三角形，若其中较小正方形的边长为12厘米，那么较大正方形的面积是__________平方厘米．【考点】几何【难度】☆☆☆ 【答案】162【解析】全部分成和最小的等腰直角三角形大小相同的图形，大正方形分成18个，小正方形分成16个，所以答案为12×12÷16×18=162．9．如图的55⨯的表格中有6个字母，请沿格线将右图分割为6个面积不同的小长方形（含正方形），使得每个长方形中恰好有一个字母，且每个字母都在小长方形角上的方格中，若这六个字母分别等于它所在小长方形的面积，那么五位数=ABCDE __________．FEDC BA【考点】几何【难度】☆☆☆☆ 【答案】34216【解析】12345=21++++，需要增加4．最大可以有9，而且不能有7．如果有9，则F=9，剩余16只能是12346++++，经尝试结果为34216．如果有8，则F=8，不在角上，不合题意．10．小人国有2011个小矮人，他们中的每个人不是戴红帽子就是戴蓝帽子，小矮人戴红帽子时说真话，戴蓝帽子时说假话；并且他们随时可以更换自己帽子的颜色，某一天，他们恰好每两人都见了一次面，并且都说对方戴蓝帽子，那么这一天他们总共最少改变了__________次帽子的颜色．【考点】逻辑推理【难度】☆☆☆☆ 【答案】2009【解析】互相说对方戴蓝帽子则一定是一红一蓝．每两个人都有过一次一红一蓝，设一开始有x 个红帽子，y 个蓝帽子，则x 个人至少改变1x -次，y 个人至少改变1y -次，总共至少改变112009x y -+-=次．三、填空题（每题12分，共60分）11．如图，一个大长方形被分成8个小长方形，其中长方形A 、B 、C 、D 、E 的周长分别是26厘米、28厘米、30厘米、32厘米、34厘米，那么大长方形的面积最大是__________平方厘米．EDC B A【考点】几何【难度】☆☆☆ 【答案】512【解析】如果右边并上一个一模一样的长方形，则其周长为()128A E C D E B ++++-=厘米，所以面积最大为3232=1024⨯平方厘米，原题答案为10242=512÷．12．如图是一个66⨯的方格表，将数学1~6填入空白方格中，使得每一行、每一列数字1~6都只恰好出现一次，方格表还被粗线划分成了6块区域，每个区域数学1~6也恰好都只出现一次，那么最下面一行的前4个数字组成的四位数ABCD 是__________．DCBA6555442221【考点】数阵图【难度】☆☆☆☆ 【答案】2413【解析】第一行的5只能在第5格，进而推出另外两个5的位置．左上块的4只能在第2行第4格，所以第六行的4只能在B ，进而推出另外两个4的位置．第三列上两格是3和6，所以下两格是1和2，D 是3．然后便可势如破竹，答案为2413．13．甲、乙两车同时从A 地出发开往B 地，出发的时候，甲车的速度比乙车的速度每小时快2.5千米，10分钟后，甲车减速了，再过5分钟后，乙车也减速了，这时乙车比甲车每小时慢0.5千米，又过了25分钟后两车同时到达B 地，那么甲车当时速度每小时减少了__________千米．【考点】行程问题【难度】☆☆☆☆ 【答案】10【解析】前10分钟，甲车比乙车多行512千米;后25分钟，甲车比乙车多行524千米;所以中间的5分钟，乙车比甲车多行58千米，也就是说乙车比甲车快7．5千米/时．因此，甲车减速了7.5 2.5=10 千米/时．14．把同时满足下列两个条件的自然数称为“幸运数”：（1）从左往右数，第三位起，每一位的数字是它前面的两个数字的差（大数减去小数）；（2）无重复数字，例如：132、871、54132都是“幸运数”；但8918（数字“8”重复）、990（数字“9”重复）都不是“幸运数”，那么最大“幸运数”从左往右的第二位数字是__________．【考点】数论【难度】☆☆☆☆ 【答案】954132【解析】观察题目可得，最大的幸运数是954132．易知幸运数里面不能含有0，如果有七位，容易观察到无法取到．15．一个由某些非零自然数所组成的数组具有以下的性质：（1）这个数组中的每个数（除了1以外），都可被2、3、5中的至少一个数整除；（2）对于任意非零自然数n ，若此数组中包含有2n 、3n 、5n 中的一个，则此数组中必同时包含有n 、2n 、3n 和5n ．如果此数组中数的个数在300和400之间，那么此数组包含__________个数．【考点】数论【难度】☆☆☆☆☆ 【答案】364【解析】原题可以改变描述方式为：有一些口袋里面装一些小球，每两个口袋里面装的内容不完全相同，除了一个空口袋以外，都至少有红、绿、黄三种颜色中的一种．若一个口袋里面有一个红、绿、黄中的一种颜色的小球，则还有三个口袋的内容分别是该口袋去掉该球，以及将该球换成另外两种颜色的球．这样，一开始所有口袋都只能有红绿黄三种颜色的球，否则连续去掉红绿黄的球就推出矛盾了．设球最多的口袋有x 个球，则把所有不足x 个球的口袋放入蓝球补足x 个，则显然x个球的所有四种颜色组合都必须出现，用插板法得到33x C +在300和400之间，所以11x =，答案为364．。

2020年“春笋杯”数学解题能力展示复赛试卷(小高组)(1)

2011年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小高组）一、填空题Ⅰ（每题8分，共40分）1．（8分）定义一种新运算a☆b满足：a☆b＝b×10+a×2，那么2011☆130＝．2．（8分）从1999年到2010年的12年中，物价涨幅为150%（即1999年用100元能购买的物品，2010年要比原来多花150元才能购买）．若某个企业的一线员工这12年来工资都没有变，按购买力计算，相当于工资下降了%．3．（8分）如图中大圆的半径是20厘米，7个小圆的半径都是10厘米．那么阴影图形的面积是平方厘米（π取3.14）．4．（8分）某届“数学解题能力展示”读者评选活动初试共有12000名学生参加，分为初中、小学高年级、小学中年级三个组别、小学的两个组共占总人数的，不是小学高年级组的占总人数的．那么小学中年级组参赛人数为人．5．（8分）如图是一个除法竖式，这个除法竖式的被除数是多少？二、填空题Ⅱ（每题10分，共50分）6．（10分）算式1!×3﹣2!×4+3!×5﹣4!×6+…+2009!×2011﹣2010!×2012+2011!的计算结果是．7．（10分）春节临近．从2011年1月17日（星期一）起工厂里的工人陆续回家过年，与家人团聚．若每天离厂的工人人数相同，到1月31日，厂里还剩下工人121名，在这15天期间，统计工厂工人的工作量是2011个工作日（一人工作一天为1个工作日，工人离厂当天及以后不需要统计），其中周六、日休息，且无人缺勤，那么截止到1月31日，回家过年的工人共有人．8．（10分）有一个整数，它恰好是它的约数个数的2011倍，这个整数的最小值是．9．（10分）一个新建5层楼房的一个单元每层有东西2套房：各层房号如图所示，现已有赵、钱、孙、李、周五家入住，一天他们5人在花园中聊天：赵说：“我家是第3个入住的，第1个入住的就住我对门．”钱说：“只有我一家住在最高层．”孙说：“我家入住时，我家的同侧的上一层和下一层都已有人入住了．”李说：“我家是五家中最后一个入住的，我家楼下那一层全空着．”周说：“我家住在106号，104号空着，108号也空着．”他们说的话全是真话，设第1、2、3、4、5家入住的房号的个位数依次为A、B、C、D、E，那么五位数＝．10．（10分）6支足球队，每两队间至多比赛一场如果每队恰好比赛了2场，那么符合条件的比赛安排共有种．三、填空题Ⅲ（每题12分，共60分）11．（12分）0～9可以组成两个五位数A和B，如果A+B的和是一个末五位数字相同的六位数，那么A×B的不同取值共有个．12．（12分）甲乙两人分别从A、B两地同时出发，在A、B往返行走；甲出发的同时，丙也从A出发去B．当甲乙两人第一次迎面相遇在C地时，丙还有100米才到C；当丙走到C时，甲又往前走了108米；当丙到B时，甲乙正好第二次迎面相遇．那么A、B两地间的路程是多少米？13．（12分）如图，大正方形被分成了面积相等的五块．若AB长为3.6厘米，则大正方形的面积为平方厘米．14．（12分）用36个3×2×1的实心小长方体拼成一个6×6×6的大正方体，在各种拼法中，从大正方体外的某一点看过去最多能看到个小长方体．15．（12分）平面中有15个红点，在这些红点间连一些线段，一个红点连出了几条线段，就在这个红点上标几．已知所有标有相同数的红点之间互不连线，那么这15个红点间最多连了条线段．2011年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小高组）参考答案与试题解析一、填空题Ⅰ（每题8分，共40分）1．（8分）定义一种新运算a☆b满足：a☆b＝b×10+a×2，那么2011☆130＝5322．【解答】解：根据分析可得，2011☆130＝130×10+2011×2＝1300+4022＝5322；故答案为：5322．黑豆网https://黑豆网是国内不错的在线观看电影的网站，涵盖电影，电视剧，综艺，动漫等在线观看资源！金马医药招商网:##金马医药招商网是专业提供医药代理招商的资讯信息发布平台，医药代理招商网即医药视频招商网或医药火爆招商网这里提供专业的医药代理招商服务。

2011“数学解题能力展示”(迎春杯)高年级组复试题

2011“数学解题能力展示”（迎春杯）高年级组复试题一、填空题Ⅰ（每题8分，共40分）1、计算：定义一种新运算a☆b 满足：a☆b＝b×10＋a×2。

那么2011☆130＝_____________。

2、从 1999 年到2010 年的12 年中，物价涨幅为150%（即1999 年用100 元能购买的物品，2010 年要比原来多花150 元才能购买）。

若某个企业的一线员工这12 年来工资都没变，按购买力计算，相当于工资下降了 %。

3、下图中大圆的半径是 20 厘米，7 个小圆的半径都是10 厘米。

那么阴影图形的面积是平方厘米（π取3.14）。

4、某届“数学解题能力展示”读者评选活动初试共有12000 名学生参加，分为初中、小学高年级、小学中年级三个组别。

小学的两个组共占总人数的1615，不是小学高年级组的占总人数的21。

那么小学中年级组参赛人数为___________。

5、下图是一个除法竖式．这个除法竖式的被除数是___________。

二、填空题Ⅱ（每题10分，共50分）6、算式 1!×3－2!×4＋3!×5－4!×6＋…＋2009!×2011－2010!×2012＋2011!的计算结果是___________。

7、春节临近，从2011 年1 月17 日（星期一）起工厂里的工人陆续回家过年，与家人团聚．若每天离厂的工人人数相同，到1 月31 日，厂里还剩下工人121 名，在这15 天期间，统计工厂工人的工作量是2011 个工作日（一人工作一天为1 个工作日，工人离厂当天及以后不需要统计）。

其中周六、日休息，且无人缺勤．那么截至到1 月31 日，回家过年的工人共有___________人。

8、有一个整数，它恰好是它的约数个数的2011 倍．这个整数的最小值是_______。

9、一个新建 5 层楼房的一个单元每层有东西2 套房；各层房号如右图所示，现已有赵、钱、孙、李、周五家入住．一天他们5 人在花园中聊天：赵说：“我家是第3 个入住的，第1 个入住的就住我对门。

2011年高考全国课标卷物理试题答案与解析(word版)

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试(物理试题)本是卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷第1页至第5页，第Ⅱ卷第6页至第12页。

全卷满分300分1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

答第Ⅱ卷卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

3.考试结束，监考员将将试题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷（选择题共120分）本试卷共21小题，每小题6分，共126分。

合题目要求的。

二、选择题：本大题共8小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有的只有一项符合题目要求，有的有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

14.为了解释地球的磁性，19世纪安培假设：地球的磁场是由绕过地心的轴的环形电流I引起的。

在下列四个图中，正确表示安培假设中环形电流方向的是15.一质点开始时做匀速直线运动，从某时刻起受到一恒力作用。

此后，该质点的动能可能A. 一直增大B. 先逐渐减小至零，再逐渐增大C. 先逐渐增大至某一最大值，再逐渐减小D. 先逐渐减小至某一非零的最小值，再逐渐增大16.一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离。

假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是A. 运动员到达最低点前重力势能始终减小B. 蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性力做负功，弹性势能增加C. 蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒D. 蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关17.如图，一理想变压器原副线圈的匝数比为1：2；副线圈电路中接有灯泡，灯泡的额定电压为220V，额定功率为22W；原线圈电路中接有电压表和电流表。

(高能力题目说明)小学数学2011年高能力题

小学数学2011年高层次数学能力题目及说明(一)高层次数学能力的界定在有关教育目标的分类框架中，最知名是布卢姆的分类．根据布卢姆(Bloom)等人提出的广为人知的认知能力目标分类学，学生的认知水平可由低到高分为知识、理解、应用、分析、综合和评价这6个层次．对于数学能力的分类框架，主要有以下三种：威尔逊以中学生的数学学习为对象，编制了一个数学学业水平的评价模型，其中的认知领域被划分为四个水平：计算、领会、运用和分析．威尔逊认为，上述四个认知水平具有顺序性和层次性．我国顾泠沅领导的青浦实验小组早在1991年的时候，就对布卢姆目标分类及威尔逊的数学认知目标进行重新的认定，并在大样本测量数据的基础上用主成分分析法构建了如下的数学认知水平分析框架：表1数学认知水平的层次框架(青浦实验小组，1991)美国各州首席教育官员理事会(CCSSO)从对象、行动、工具和认知领域四个方面对学校的课程目标进行了细化，其中，中小学的数学认知领域被划分为五个水平：(1)记忆事实、定义、公式；(2)实施程序；(3)说明和解释数学的思想；(4)猜想、一般化、证明；以及(5)联结与解决非常规问题(CCSSO，1999)可以看出，尽管分类的名称和层级不同，但是有一些共同之处，如前两种中的“领会”即第三种的“说明和解释数学的思想”。

综合考虑以上三种分类，结合三年级小学生学习数学的阶段性特点，我们对这个阶段的高层次数学能力界定为：数学理解、数学思考和解决问题。

(见如下分析框架)高层次数学能力框架(二)高层次数学能力的题目分析A 卷6．王老师从教室的后面走到前面共走了10步，大约是900厘米．王老师从教室到办公室要走30步，大约是（）厘米．A ． 27B ． 270C ． 300D ． 2700 考查目标：能根据步测等方法测量物体长度或进行推理。

能力维度：解决问题、推理具体说明：考查学生是否能读懂问题情境中的数学信息，寻求与选择其中的数学关系，或者用解两步应用题的方法，或者利用数量关系进行推理后解决问题。

2009年数学解题能力展示(迎春杯)高年级组复赛试题及详细解析

2009年迎春杯高年级组复赛试题1. 计算：216471370216128625302829÷⨯= ． 2.在方框中填入适当的数字，使得除法竖式成立．已知商为奇数，那么除数为．90023. 用数字0、0、1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、6、7、7、8、8、9、9组成五个四位数，要求这5个数的和的各位数字都是奇数，那么这个和数最大是．4.在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如右图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．若恰好投在两块(或三块)区域的交界线上，则得两块(或三块)区域中分数最高区域的分数．如果比赛规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中次飞镖．411 175.在一个奇怪的动物村庄里住着猫、狗和其他一些动物．有20%的狗认为它们是猫；有20%的猫认为它们是狗．其余动物都是正常的．一天，动物村的村长小猴子发现：所有的猫和狗中，有32%认为自己是猫．如果这个奇怪的动物村庄里有狗比猫多180只．那么狗的数目是只．6.太平洋某岛国的一个部落里只有两种人：一种是永远说真话的老实人，一种是永远说假话的骗子．一天，这个部落的2009个人举行了一次圆桌会议，每个人都声称：“我左右的两个人都是骗子”．第二天，会议继续进行，但一人因病未能到会，因此只有2008个人参加第二天的会议．大家按照新的顺序坐了下来，此时，每个人都声称：“我左右的两个人都和我不是同一种人”．参加第一天圆桌会议的人之中共有位老实人．7.A、B两地位于同一条河上，B地在A地下游100千米处．甲船从A地、乙船从B地同时出发，相向而行，甲船到达B地、乙船到达A地后，都立即按原来路线返航．水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同．如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是米/秒．8.一个电子表用5个两位数(包括首位为0的两位数)表示时间，如15:23:45/06/18表示6月18日15点23分45秒．有一些时刻这个电子表上十个数字都不同，在这些时刻中，表示时间的5个两位数之和最大是．9.从1～999中选出连续6个自然数，使得它们的乘积的末尾恰有4个0，一共有种选法．10.请将1，2，3，…，10这10个自然数填入图中的10个小圆圈内，使得图中的10条直线上圆圈内数字之和都相等．那么乘积A B C⨯⨯=．CAB11.三个两两不同的正整数，和为126，则它们两两最大公约数之和的最大值为．12.如图，ABCD是一个四边形，M、N分别是AB、CD的中点．如果△ASM、△MTB与△DSN的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD的面积为．MNTSDC BA13.一条路上有东、西两镇．一天，甲、乙、丙三人同时出发，甲、乙从东镇向西而行，丙从西镇向东而行，当甲与丙相遇时，乙距他们20千米，当乙与丙相遇时，甲距他们30千米．当甲到达西镇时，丙距东镇还有20千米，那么当丙到达东镇时，乙距西镇千米．F E D C BA14.右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形且边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的倍．⑷⑶⑵⑴⑾⑽⑼⑻⑺⑹⑸15.老师给前来参加“迎春晚会”的31位同学发放编号：1，2，……，31．如果有两位同学的编号的乘积是他们编号和的倍数，则称这两位同学是“好朋友”．从这31位同学中至少需要选出人，才能保证在选出的人中一定可以找到两位同学是“好朋友”．2009年迎春杯高年级组复试解析1.计算：216471370216128625302829÷⨯= ．【分析】分析：对于这种分数计算题，应当先将其化成假分数再进行约分．原式1253028291370 211286253066472829+=⨯⨯⨯⨯+2872530419921286158272829=⨯⨯⨯到了这一步，由于15827，4199，2829都较大，不容易直接进行判断，但是对于287，2530，286，可以看出它们有因子7，41，11，23，13等，可以进行约分，再看看15827，4199，2829等较大的数中是否有因子7，41，23，13，如果有，相应地进行约分，最后可得结果为5．具体的式子如下：原式74125112313323215211137732323341⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯(其中323还可以分解成1719⨯，但是由于分子、分母中的323可以直接约掉，所以计算过程中不需要对它进行分解)2.在方框中填入适当的数字，使得除法竖式成立．已知商为奇数，那么除数为．9002e f22d 22dedcba990109002【分析】首先看除式的第二、三行，一个三位数减去一个两位数，得到一个一位数，可得这个三位数的前两位为1、0，这个两位数的十位数字为9，个位不能为0．除数是一个三位数，它与商的百位和个位相乘，所得的两个三位数的百位都是9，那么可得商的百位和个位相同．先将已得出的信息填入方框中，并用字母来表示一些方框中的数，如右图所示．由于商为奇数，所以e 是奇数，可能为1、3、7、9(不可能为5)．若为1，则92abc d =，而92abc f d f ⨯=⨯为三位数，于是1f =，又这个乘积的十位数字为0，而d 不能为0，矛盾．所以e 不为1；若为3，则923abc d =÷，d 可能为1、4、7， abc 相应的为304、314、324．当abc 为314和324时abc f ⨯所的结果的十位数字不可能为0，不合题意；若abc 为304，则f 可能为1或2，经检验f 为1和2时都与竖式不符，所以e 也不能为3；若为7，则927abc d =÷，只有5d =时满足，此时136abc =，那么3f =．经检验满足题意；若为9，则929abc d =÷，d 只能为7，此时108abc =，f 则只能为1．经检验也不合题意．所以只有除数为136时竖式成立，所以所求的除数即为136．3.用数字0、0、1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、6、7、7、8、8、9、9组成五个四位数，要求这5个数的和的各位数字都是奇数，那么这个和数最大是．【分析】由于一个数除以9的余数等于这个数的各位数字之和除以9的余数，那么这五个四位数的和除以9的余数，就等于这五个四位数的各位数字之和除以9的余数，而这五个四位数的各位数字之和为()0129290++++⨯=L ，除以9的余数为0，所以这五个四位数的和除以9的余数也是0，也就是说这五个四位数的和是9的倍数．由于每个四位数都小于10000，所以这五个四位数的和小于50000，那么这个和的首位不超过4，由于各位数字都是奇数，所以首位最大为3，千位和百位最大为9．当前三位分别为3、9、9时，要使这个和是9的倍数，后两位数字的和除以9应余6，可能为6和15；然而这两个数都是奇数，它们的和为偶数，所以只能是6，那么这两个数应分别为5和1才能使和最大，此时最大和为39951．而当这五个四位数分别为9348，9247，8236，7115，6005时，它们的和恰好为39951，因此所求的最大值为39951．4.在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如右图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．若恰好投在两块(或三块)区域的交界线上，则得两块(或三块)区域中分数最高区域的分数．如果比赛规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中次飞镖．411 17【分析】假设投中17分、11分、4分的次数分别为x 次、y 次和z 次，那么投中飞镖的总次数为()x y z ++次，而总得分为17114x y z ++分，要想获奖，必须17114120x y z ++=．由于17120x <，得到6x ≤．当x 的值一定后，要使()x y z ++最小，必须使y 尽可能大．若6x =，得到11418y z +=，此时无整数解；若5x =，得到11435y z +=，此时1y =，6z =，51612x y z ++=++=；若4x =，得到11452y z +=，此时y 最大为4，当4y =时2z =，这种情况下10x y z ++=；若3x =，得到11469y z +=，此时3y =，9z =，33915x y z ++=++=；若2x =，得到11486y z +=，此时y 最大为6，当6y =时5z =，这种情况下13x y z ++=；若1x =，得到114103y z +=，此时y 最大为9，当9y =时1z =，这种情况下11x y z ++=；若0x =，得到114120y z +=，此时y 最大为8，当8y =时8z =，这种情况下16x y z ++=．经过比较可知()x y z ++的值最小为10，所以至少需要投中10次飞镖才能获奖．5.在一个奇怪的动物村庄里住着猫、狗和其他一些动物．有20%的狗认为它们是猫；有20%的猫认为它们是狗．其余动物都是正常的．一天，动物村的村长小猴子发现：所有的猫和狗中，有32%认为自己是猫．如果这个奇怪的动物村庄里有狗比猫多180只．那么狗的数目是只．【分析】仔细分析题目，发现本题其实是一个简单的浓度问题：有20%的狗认为自己是猫，有80%的猫认为自己是猫；而将猫和狗混合在一起，所有的猫和狗中，有32%的认为自己是猫．那么根据浓度三角，狗和猫的数量之比为：()()80%32%:32%20%4:1--=．而狗比猫多180只，所以狗的数目为()180414240÷-⨯=只． 6.太平洋某岛国的一个部落里只有两种人：一种是永远说真话的老实人，一种是永远说假话的骗子．一天，这个部落的2009个人举行了一次圆桌会议，每个人都声称：“我左右的两个人都是骗子”．第二天，会议继续进行，但一人因病未能到会，因此只有2008个人参加第二天的会议．大家按照新的顺序坐了下来，此时，每个人都声称：“我左右的两个人都和我不是同一种人”．参加第一天圆桌会议的人之中共有位老实人．【分析】第一天的时候，考虑相邻的三个人，中间的人如果是老实人，那么他左右的两个人都是骗子；中间的人如果是骗子，那么他左右的两个人中至少有1个是老实人．可见每相邻的三个人中至少有1个老实人．由于200936692÷=L ，可以先选取两个人，其中至少有1个是老实人(即任意选取1个老实人，再选取一个与他相邻的人)，再将剩下的2007个人每相邻的三人分为一组，共分成669组，那么每组中至少有1个老实人，所以第一天至少有1669670+=个老实人．第二天的时候，还是考虑相邻的三个人，中间的人如果是老实人，那么他左右的两个人都是骗子；中间的人如果是骗子，那么他左右的两个人中至少有一个和他是同一种人，也就是说至少有一个是骗子，至多有一个是老实人．可见每相邻的三个人中至多有1个老实人．由于200836691÷=L ，可以先任意选取1个骗子，再将剩下的2007个人每相邻的三人分为一组，共分成669组，那么每组中至多有1个老实人，所以第二天至多有669个老实人．由于第二天有一个人没来，所以第一天比第二天至多多1个老实人，那么第一天至多有6691670+=个老实人，而根据前面的分析，第一天至少有670个老实人，所以第一天恰好有670个老实人． 7. A 、B 两地位于同一条河上，B 地在A 地下游100千米处．甲船从A 地、乙船从B 地同时出发，相向而行，甲船到达B 地、乙船到达A 地后，都立即按原来路线返航．水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同．如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是米/秒．【分析】本题采用折线图来分析较为简便．如图，箭头表示水流方向，A C E →→表示甲船的路线，B D F →→表示乙船的路线，两个交点M 、N 就是两次相遇的地点．由于两船在静水中的速度相同，所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同，那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同，表现在图中，就是BC 和DE 的长度相同，AD 和CF 的长度相同．那么根据对称性可以知道，M 点距BC 的距离与N 点距DE 的距离相等，也就是说两次相遇地点与A 、B 两地的距离是相等的．而这两次相遇的地点相距20千米，所以第一次相遇时，两船分别走了()10020240-÷=千米和1004060-=千米，可得两船的顺水速度和逆水速度之比为60:403:2=．而顺水速度与逆水速度的差为水速的2倍，即为4米/秒，可得顺水速度为()432312÷-⨯=米/秒，那么两船在静水中的速度为12210-=米/秒．8.一个电子表用5个两位数(包括首位为0的两位数)表示时间，如15:23:45/06/18表示6月18日15点23分45秒．有一些时刻这个电子表上十个数字都不同，在这些时刻中，表示时间的5个两位数之和最大是．【分析】假设五个两位数的十位数上的数字之和为x ，那么个位数上的数字之和为45x -，则五个两位数上的数字之和为1045459x x x +-=+，所以十位数上的数字之和越大，则五个两位数之和越大．显然，五个两位数的十位数字都不超过5，只能是012345，，，，，这五个数字中的五个．如果五个数字是54321，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，2只能在“时”的十位上，1只能在“月份”的十位上，此时“日期”的个位、“月份”的个位、“时”的个位不能同时满足实际情况．如果五个数字是54320，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，2只能在“时”的十位上，此时“日期”的个位、“时”的个位不能同时满足实际情况．如果五个数字是54310，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，则“日期”的个位无法满足情况．如果五个数字是54210，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，210，，依次在“日期”的十位上、“时”的十位上、“月份”的十位上容易满足条件．所以最大值为()45954210153+⨯++++=．9. 从1～999中选出连续6个自然数，使得它们的乘积的末尾恰有4个0，一共有种选法．【分析】连续的6个自然数中，必有3个偶数，这3个偶数是3个连续偶数，其中至少有1个是4的倍数，那么这3个偶数的积肯定是42的倍数，所以任意的连续6个自然数的积都是42的倍数．另外，连续的6个自然数中，至少有一个5的倍数，至多有两个5的倍数： ⑴如果其中只有1个5的倍数，由于末尾要有4个0，那么这个5的倍数应是45的倍数，即是625的倍数，又小于1000，只能是625，那么这6个数可以是621～626，622～627，623～628，624～629，共4种；⑵如果其中有2个5的倍数，那么只能是这连续6个自然数中的最大数和最小数都是5的倍数．由于这两个5的倍数不可能同时是25的倍数，所以其中必有一个是35125=的倍数，可能为125，250，375，500，625，750，900．对于其中除625外的6个数，每个数都可以是这连续6个自然数中的最大数和最小数，所以对这6个数，每个数都有2种取法，共有2612⨯=种取法；而对于625来说，与另一个5的倍数相乘，将会是55的倍数，要想使末尾恰有4个0，则这连续6个自然数的乘积要是42的倍数但又不是52的倍数．检验620～625和625～630这两组的连续6个自然数，后者满足题意，前者则不合题意．所以有2个5的倍数的情况下共有12113+=种选法．根据加法原理，共有41317+=种选法．小结：本题容易出错的地方在于容易忽略掉625～630这一组数，因为在平常做题中面对此类问题基本上都是2比5多的情况，所以学生可能对于2比5少的可能性根本不予考虑．10.请将1，2，3，…，10这10个自然数填入图中的10个小圆圈内，使得图中的10条直线上圆圈内数字之和都相等．那么乘积A B C ⨯⨯= ．CBA【分析】对于本题，可以通过“10条直线上圆圈内数字之和都相等”(实际上是11条)这一等量关系，将每一个小圆圈中的数表示出来．由于每一条直线上的数之和都为A B C ++，可得图中每一个小圆圈中的数如下图：A+C可以得到，332A B C B C A C ++=-=-，可得2A B C =+，代入得2333B C B C +=-，即6B C =，只能是1C =，6B =，28A B C =+=，则86148A B C ⨯⨯=⨯⨯=．11.三个两两不同的正整数，和为126，则它们两两最大公约数之和的最大值为．【分析】假设这三个数分别为a ，b ，c ，且a b c <<，则126a b c ++=，要求的是()()(),,,a b b c a c ++的最大值．由于(),a b 是a 和b 的最大公约数，根据辗转相除法求最大公约数的过程，可以知道(),a b 也是b a -和a 的最大公约数，而一个数的约数不可能比这个数大，所以(),a b a ≤，()(),,a b a b a b a =-≤-．同理可得，(),b c b ≤，(),b c c b ≤-；(),a c a ≤，(),a c c a ≤-．由(),a b a ≤，(),a b b a ≤-得到()()7,2553a b a b a b a ≤+-=-；由(),b c b ≤，(),b c c b ≤-得到()()7,344b c b c b c b ≤+-=-；由(),a c a ≤，(),a c c a ≤-得到()7,7a c a ≤；三式相加可得()()()()7,7,7,53474a b b c a c b a c b a a b c ++≤-+-+=++，故()()()()44,,,1267277a b b c a c a b c ++≤++=⨯=．也就是说()()(),,,a b b c a c ++的最大值为72．要使等号成立，必须使五个不等式(),a b a ≤，(),a b b a ≤-，(),b c b ≤，(),b c c b ≤-，(),a c a ≤中的等号都成立，即(),a b a =，(),a b b a =-，(),b c b =，(),b c c b =-，(),a c a =，得到2b a =，4c a =，即::1:2:4a b c =时等号成立．在本题中就是a ，b ，c 分别为18，36，72时它们两两最大公约数之和取得最大值72．小结：本题的结论1:2:4较容易猜到，但证明起来较困难．另外可能会有人猜到::1:2:3a b c =时取到最大值，这是错误的．12.如图，ABCD 是一个四边形，M 、N 分别是AB 、CD 的中点．如果△ASM 、△MTB 与△DSN 的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD 的面积为．MNTSDC B AMN TSDCBA【分析】连接MN 、AC 、BD ．由于M 是AB 的中点，所以AMN ∆与BMN ∆的面积相等，而MTB ∆比ASM ∆的面积大1，所以MSN ∆比MTN ∆的面积大1；又由于N 是CD 的中点，所以DMN ∆的面积与CMN ∆的面积相等，那么CTN ∆的面积比DSN ∆的面积大1，所以CTN ∆的面积为9．假设MTN ∆的面积为a ，则MSN ∆的面积为1a +．根据几何五大模型中的蝴蝶定理，可知ASD∆的面积为481a +，BTC ∆的面积为63a．要使这两个三角形的面积为整数，a 可以为1，3或7．由于ADM ∆的面积为ABD ∆面积的一半，BCN ∆的面积为BCD ∆面积的一半，所以ADM ∆与BCN ∆的面积之和为四边形ABCD 面积的一半，所以ADM ∆与BCN ∆的面积之和等于四边形BMDN 的面积，即： 4863697181a a a a +++=+++++，得4863211a a a+=++．将1a =、3、7分别代入检验，只有7a =时等式成立，所以MTN ∆的面积为7，MSN ∆、ASD ∆、BTC ∆的面积分别为8、6、9．四边形ABCD 的面积为()6789260+++⨯=．小结：本题中“且图中所有三角形的面积均为整数”这个条件是多余的．13.一条路上有东、西两镇．一天，甲、乙、丙三人同时出发，甲、乙从东镇向西而行，丙从西镇向东而行，当甲与丙相遇时，乙距他们20千米，当乙与丙相遇时，甲距他们30千米．当甲到达西镇时，丙距东镇还有20千米，那么当丙到达东镇时，乙距西镇千米．F E D C BA【分析】如图，甲、乙两人从B 地出发，丙从A 地出发，甲、丙相遇在C 处，此时乙到达D 处，C 、D 相聚20千米；三人继续前进，当丙和乙在E 处相遇时，甲到达F 处，E 、F 相聚30千米．当甲、丙相遇时，甲、丙两人合走了一个全程，且此时甲比乙多走了20千米；当丙和乙分别从C 、D 出发走到E 处相遇时，丙和乙合走了20千米，丙和甲合走了30千米，甲比乙多走了10千米．由于10:201:2=，可见丙和甲合走的30千米就是全程的一半，那么全程为60千米．当甲到达西镇时，丙距东镇还有20千米，所以甲、丙的速度之比为()60:60203:2-=，那么两人相遇时丙走了2602423⨯=+千米，甲走了3603623⨯=+千米，乙走了362016-=千米，丙和乙的速度比为24:163:2=，那么当丙到达东镇时，乙距西镇2601203⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭千米．14.右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形且边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的倍． ⑷⑶⑵⑴⑾⑽⑼⑻⑺⑹⑸【分析】本题中的两个图都是立体图形的平面展开图，将它们还原成立体图形，可得到如下两图：其中左图是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形，是一个四个面都是正三角形的正四面体，右图以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形，是一个不规则图形，底面是⑾，四个侧面是⑺⑻⑼⑽，两个斜面是⑸⑹．对于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求，也就是对于这种我们不熟悉的立体图形，用一些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分．由于左图四个面都是正三角形，右图底面是正方形，侧面是等腰直角三角形，想到都用正方体来套．对于左图来说，相当于由一个正方体切去4个角后得到(如下左图，切去1ABDA 、1CBDC 、111D AC D 、111B AC B )；而对于右图来说，相当于由一个正方体切去2个角后得到(如下右图，切去1BACB 、1DACD )．D 1C 1B 1A 1D CBAABCDA 1B 1C 1D 1假设左图中的立方体的棱长为a ，右图中的立方体的棱长为b ，则以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积为：3231114233a a a a -⨯⨯⨯=，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积为3231122233b b b b -⨯⨯⨯=．由于右图中的立方体的棱长即是题中正方形⑾的边长，而左图中的立方体的每一个面的对角线恰好是正三角形⑴的边长，通过将等腰直角三角形⑺分成4个相同的小等腰直角三角形可以得到右图中的立方体的棱长是左图中的立方体的棱长的2倍，即2b a =．那么以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积与以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积的比为：()33331212::21:163333a b a a =⨯=，也就是说以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的16倍．15. 老师给前来参加“迎春晚会”的31位同学发放编号：1，2，……，31．如果有两位同学的编号的乘积是他们编号和的倍数，则称这两位同学是“好朋友”．从这31位同学中至少需要选出人，才能保证在选出的人中一定可以找到两位同学是“好朋友”．【分析】如果a b ，()a b <两个编号的同学是“好朋友”，那么ab ka kb =+，则2k a k b k=+-．2k =时满足条件的()a b ，有()36，； 3k =时满足条件的()a b ，有()412，； 4k =时满足条件的()a b ，有()520，、()612，； 5k =时满足条件的()a b ，有()630，； 6k =时满足条件的()a b ，有()824，、()520，、()520，； 8k =时满足条件的()a b ，有()1224，； 10k =时满足条件的()a b ，有()1530，； 12k =时满足条件的()a b ，有()2030，、()2128，；则全部同学相互之间的关系网如图(其余311516-=名学生未列)：101552030634122482821189关系网图可分为不关联的3部分，其中包含11个人的部分最多可以选出6名互不是“好朋友”的同学，包含2个人的两个部分各可选出1人，以保证互不是“好朋友”，加上未列出的16人，所以31人中最多可以选出1661124+++=人互不是“好朋友”，此时只要再选出一人，即可保证选出的人当中有两位同学是“好朋友”，所以至少应该选出25人．小结：本题容易忽略掉21和28这一对“好朋友”．。

解题能力展示中的行程部分(高年级)

行程问题（陈拓老师）【往届特点】解题能力展示中几乎每届每个年级的初赛和复赛中都会有行程问题，涉及有多次往返相遇、流水行船、变速问题等问题。

常用的方法一般采用比例不变量解题或解方程（组）。

【往届真题】1.（2006年六年级初赛）甲、乙两地相距100千米，张山骑摩托车从甲地出发，1小时后李强驾驶汽车也2.3.4.5.6.乙第二次相遇，最后两人同时到达目的地。

那么B、C两地相距__________米；7.（2008年六年级初赛）A、B两地相距22.4千米。

有一支游行队伍从A出发，向B匀速前进；当游行队伍队尾离开A时，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发。

乙向A步行；甲骑车先追向队头，追上队头后又立即骑向队尾，到达队尾后再立即追向队头，追上队头后又立即骑向队尾……当甲第5次追上队头时恰与乙相遇在距B地5.6千米处；当甲第7次追上队头时，甲恰好第一次到达B地，那么此时乙距A 地还有__________千米。

8.（2008年高年级复赛）如图，小明家和小强家相距10千米，小强家与公园相距25千米，小明9:20从家骑车出发去公园，10:40小强从家出发，步行去公园。

当小明到达学校时，他立即弃车步行；又过了一会儿，当小强到达学校时，他立即开始骑车。

两人同时于下午2:00到达公园，如果两人步行速度相同，骑车速度也相同，那么学校与公园相距__________千米；9.BC CB12 D15.（2010高年级复赛）李开车从甲地去乙地，出发后2小时，车在丙地出了故障，修车用了40分钟，修好后，速度只为正常速度的75%，结果比计划时间晚2小时到乙地．若车在行过丙地72千米的丁地才出故障，修车时间与修车后的速度分别还是40分钟与正常速度的75%，则比计划时间只晚1.5小时．那么，甲乙两地全程____千米；16.（2011五年级初赛）甲、乙两车同时从A地出发开往B地。

出发的时候，甲车的速度比乙车的速度每小小明家小强家学校公园时快2.5千米。

【免费下载】数学解题能力展示活动迎春杯三年级组初赛真题详解及试卷分析

2011年数学解题能力展示活动（迎春杯）三年级组初赛真题详解及试卷分析一、填空题（每小题8分，共40分）1.计算82-38+49-51=______2.超市中的某种汉堡每个10元，这种汉堡最近推出了“买二送一”的优惠活动，即花钱买两个汉堡，就可以免费获得一个汉堡，已知东东和朋友需要买9个汉堡，那么他们最少需要花______元钱。

3. 小亮家买了72个鸡蛋，他们家还养了一只每天都下一个蛋的母鸡，如果小亮每天吃4个鸡蛋，那么这些鸡蛋够他们家连续吃______天。

4. 5个只由数字8组成的自然数之和为1000，其中最大的数与第二大的数之差是_____。

5.已知：1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1111 …… △×9+○=111111那么△+○=______。

二、填空题（每小题10分，共50分）6. 四月份共有30天，如果其中有5个星期六和星期日，那么4月1日是星期______7. 小明把三只飞镖掷向下图所示的镖盘上，然后把三支飞镖的得分相加，镖盘上的数字代表投中这个区域的得分，未中镖盘记0分，那么小明不可能得到的总分最小是_____.8. 一天中午，孙悟空吃了10个桃子，猪八戒吃了25个包子，孙悟空说猪八戒太能吃了，但猪八戒说自己的包子比桃子小得多，还是孙悟空吃得多。

聪明的沙僧用天平得到了如下图所示的两种情况，那么1个桃子和1个包子共重_____克。

9.在算式+=2010中，不同的字母代表不同的数字，那么A+B+C+D+E+F+G=______10.红星小学组织学生参加演练，一开始只有40个男生参加，后来调整队伍，每次调整减少3个男生，增加2个女生，那么调整_____次后男生女生人数就相等了。

三、填空题（每题12分，共60分）11.如图是一个3×3的方格表，每个方格（除了最后一个方格）都包含了1-9中某个数字和一个箭头，每个方格中的箭头都正好指向了下一个数字所在方格的方向，如1号方格的箭头指向右方，代表2号方格在1号方格右方，2号方格指向斜下，代表3号方格在2号斜下方，3号方格指向上方，代表4号方格在三号方格下方，……（指向的方格可以不相邻），这样正好从1到9走完整个方格表，图2是一个只标了箭头和数字1、9的方格表，如果按上述要求也能从1到9走完完整个方格表，那么A所在方格应该表示数字_______.12. 今天是12月19号，我们将由边长为1的阴影小正方形组成的数字1、2、1、9放在8×5的大长方形中，将大长方形旋转180°，就变成了“6121“，如果将这两个8×5的大长方形重叠放置，那么重叠的的1×1的阴影格子共有_____个。

2011年高考数学总复习提能拔高限时训练：数学归纳法(练习+详细答案)大纲人教版

随时训练56 数学归纳法一、选择题1.用数学归纳法证明“aa a a a n n --=++++++111212 (a ≠1,n ∈N *)”在验证n=1成立时,左边计算所得项是( )A.1B.1+aC.1+a+a 2D.1+a+a 2+a 3解析：当n=1时,左边=1+a+a 1+1=1+a+a 2.答案：C2.用数学归纳法证明不等式“6412721412111>++++-n 成立”，则n 的第一个值应取( ) A.7 B.8 C.9 D.10 解析：1)21(2211)21(1--=--=n n左边，要使64127)21(21>--n 成立，应有n ＞7. 答案：B3.已知2121111)(nn n n n f ++++++=,则( ) A.f(n)中共有n 项，当n=2时，3121)2(+=f B.f(n)中共有n+1项，当n=2时，413121)2(++=f C.f(n)中共有n 2-n 项，当n=2时，3121)2(+=f D.f(n)中共有n 2-n+1项，当n=2时，413121)2(++=f 解析：f(n)的项数为n 2-n+1，当n=2时，413121)2(++=f . 答案：D4.用数学归纳法证明“对一切n ∈N *，都有2n ＞n 2-2”这一命题，证明过程中应验证( )A.n=1时命题成立B.n=1,n=2时命题成立C.n=3时命题成立D.n=1,n=2,n=3时命题成立解析：假设n=k 时不等式成立，即2k ＞k 2-2,当n=k+1时，2k+1=2·2k ＞2(k 2-2),由2(k 2-2)≥(k+1)2-2⇔k 2-2k-3≥0⇔(k+1)(k-3)≥0⇔k ≥3.因此需验证n=1,2,3时命题成立.答案：D5.已知数列{a n }的各项均为自然数,a 1=1,且它的前n 项和为S n ,若对所有的正整数n,有S n+1+S n =(S n+1-S n )2成立,通过计算a 2,a 3,a 4,然后归纳出S n ( ) A.2)1(+n n B.2)1(2+n C.212-n D.212-n 解析：由已知,得211++=+n n n a S S ,∴21n n a S S =+-,两式相减,得2211n n n n a a a a -=+++.∴a n+1-a n =1,即{a n }是等差数列,公差d=1.∴a 2=2,a 3=3,…,a n =n. ∴2)1(+=n n S n . 答案：A 6.证明21214131211n n >-+++++(n ∈N *),假设n=k 时成立,当n=k+1时,左端增加的项数是( )A.1项B.k-1项C.k 项D.2k 项解析：当n=k 时,不等式左端为1214131211-+++++k ; 当n=k+1时,不等式左端为12121121312111-+++-+++++k k k ,增加了121211-+++k k 项,共有(2k+1-1)-2k +1=2k 项. 答案：D7.在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为)3(21-n n 条时,第一步验证n 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.0解析：边数为n 的初始值是3.答案：C8.设函数f(n)=(2n+9)·3n+1+9,当n ∈N *时，f(n)能被m(m ∈N *)整除，猜想m 的最大值为( )A.9B.18C.27D.36解析：由f(n+1)-f(n)=36·3n-1(n+6)知m 的最大值为36.答案：D9.已知数列{a n }中，a 1=1,a 2=2,a n+1=2a n +a n-1，用数学归纳法证明a 4n 能被4整除，假设a 4k 能被4整除，应证( )A.a 4k+1能被4整除B.a 4k+2能被4整除C.a 4k+3能被4整除D.a 4k+4能被4整除解析：当n=k+1时，应证a 4(k+1)=a 4k+4成立.答案：D10.上一个n 级的台阶,若每次可上一级或两级,设上法的总数为f(n),则下列猜想中正确的是( )A.f(n)=nB.f(n)=f(n-1)+f(n-2)C.f(n)=f(n-1)·f(n-2)D.⎩⎨⎧≥-+-==3),2()1(2,1,)(n n f n f n n n f 解析：当n=1时，只有一种上法,即f(1)=1,当n=2时可分为两类：若每次仅上一层,有一种上法,若每次上两层,也只有一种上法,由加法原理,得f(2)=2.当n ≥3时,可分为两类：若第一次仅上一层,则剩余的n-1层台阶的上法种数为f(n-1);若第一次上两层,则剩余的n-2层台阶的上法种数为f(n-2).由加法原理,得f(n)=f(n-1)+f(n-2).二、填空题11.观察下表：12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10……设第n 行的各数之和为S n ,则=∞→2lim n S n n ____________________________. 解析：第一行1=12,第二行2+3+4=9=32,第三行3+4+5+6+7=25=52,第四行4+5+6+7+8+9+10=49=72.归纳：第n 行的各数之和S n =(2n-1)2,∴4)12(lim lim 22=-=∞→∞→nn n S n n n . 答案：412.用数学归纳法证明“2n+1≥n 2+n+2(n ∈N *)”时，第一步的验证为________________________.答案：当n=1时，左边=21+1=4,右边=12+1+2=4，左边=右边，不等式成立13.用数学归纳法证明不等式241312111>++++++n n n n 的过程中,由n=k 推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是___________________________.解析：∵不等式的左边增加的式子是)22)(1(2111221121++=+-+++k k k k k ,故填)22)(12(1++k k . 答案：)22)(12(1++k k 14.如图,第n 个图形是由正n+2边形“扩展”而来(n=1,2,3,…),则第n-2个图形中共有________________个顶点.解析：观察规律：第一个图形有32+3=(1+2)2+(1+2)；第二个图形有(2+2)2+(2+2)=42+4；第三个图形有(3+2)2+(3+2)=52+5；……第n-2个图形有(n+2-2)2+(n+2-2)=n 2+n 个顶点.三、解答题15.已知数列{a n }前n 项和为S n ,且满足S n +a n =2n+1,(1)写出a 1,a 2,a 3,并推测通项a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论. (1)解：231=a ,472=a ,8153=a ,猜想：n n a 212-=. (2)证明：①当n=1时，212231-==a ,命题成立. ②假设n=k 时,命题成立，则k k a 212-=, 当n=k+1时,a 1+a 2+…+a k +2a k+1=2(k+1)+1,且a 1+a 2+…+a k =2k+1-a k ,∴2k+1-a k +2a k+1=2(k+1)+1=2k+3. ∴k k a 212221-+=+,11212++-=k k a , 即当n=k+1时,命题成立.由①②知对于任意n ∈N *猜想成立 .16.数列{a n }中,a 1=2,nn n a a a 121+=+,试证：n a n 122+<<(n ∈N *). 证明：(1)n=1时,a 1=2,1222+<<显然成立. 又a 1＞0,∴a n ＞0成立.(2)假设n=k 时,k a k 122+<<成立. 当n=k+1时,kk k a a a 121+=+, ∵a k ＞0且kk a a 12≠, ∴21221=•>+kk k a a a ; 又k a k 21222+<,且221<k a , ∴11222212212++≤++<+k k a a k k , 即11221++<<+k a k ,n=k+1时命题成立.综上,对任意的n ∈N *有na n 122+<<. 教学参考例题志鸿优化系列丛书【例1】是否存在正整数m,使得f(n)=(2n+7)·3n +9对任意自然数n 都能被m 整除?若存在,求出最大的m 值,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.解：由f(n)=(2n+7)·3n +9,得f(1)=36,f(2)=3×36,f(3)=10×36,f(4)=34×36.由此猜想m=36.下面用数学归纳法证明：(1)当n=1时,显然成立.(2)假设n=k 时,f(k)能被36整除,即f(k)=(2k+7)·3k +9能被36整除;当n=k+1时,［2(k+1)+7］·3k+1+9=3［(2k+7)·3k +9］+18(3k-1-1),由于3k-1-1是2的倍数,故18(3k-1-1)能被36整除.这就是说,当n=k+1时,f(n)也能被36整除.由(1)(2)可知对一切正整数n 都有f(n)=(2n+7)·3n +9能被36整除,m 的最大值为36.【例2】用数学归纳法证明n n n +≤++++≤+21213121121 (n ∈N *). 证明：(1)当n=1时,左边=23211=+, 23121=+=右边,∴2321123≤+≤,命题成立. (2)假设n=k 时,不等式成立, 即k k k +≤++++≤+21213121121 成立. 则当n=k+1时,kk k k k 2212211212131211+++++++++++ 2112121212121212111++=++=+++++>+++k k k k k k k个, 又k k k k k 2212211212131211+++++++++++ )1(2121212121312112++<++++++++<k k k k k k 个, ∴当n=k+1时，命题成立.综上,命题得证.。

四年级奥数数独与其他数学游戏教师版

知识要点数独与其他数学游戏数独（日语：数独すうどく）是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼图游戏。

拼图是九宫格（即3格宽3⨯格高）的正方形状，每一格又细分为一个九宫格。

在每一个小九宫格中，分别填上1至9的数字，让整个大九宫格每一列、每一行的数字都不重复。

数独的通解方法及步骤：1、根据横列、竖列和方格的限制条件排除各个点不可能的数字，并从19-将各个可能的数字用小字体逐个写进每个空白的格子。

（该步骤大约需要1520-分钟，这是求解的初始，务必确保没有遗漏）。

2、审视第一步骤的结果，如果发现某个空格只有一个数字，即确定该空格为这个数字。

并根据该数字审视其相关的横列、竖列和方格，并划除相同的数字。

（该情况出现的可能往往不多，除了较简单的数独题，但这是一个必要的过程，而且在随后的过程中要反复使用此方法。

）3、审视各个横列、竖列和方格中罗列出的可能的数字结果，若发现某一个数字在各个横列、竖列或方格中出现的次数仅一次，则可以确定该空格的解为此数字。

并根据第二条的方法排除与此空格相关列或方格中相同的数字。

4、审视各个横列、竖列和方格中罗列的各个可能的结果，找出相对称的两个数组合的空格（或3个、4个组合），并确定这两个空格（或3个、4个）的数字只可能为这两个数字，即两个数字在这两个空格的位置可以交换，但不可能到该行、该列或该方格的其他位置。

根据此结果可以排除相关列或方格罗列出相关数字的可能，并缩小范围。

（该步骤处理的难度相对复杂，需要在积累一定经验的基础上进行，也是最终求解的关键）5、反复使用2、3、4提到的步骤，逐步得到一个一个空格的解，并将先前罗列的各种可能的结果一个一个排除，使可能的范围越来越小，直至得到最后结果。

数独【例 1】在44⨯方格表内的每一行、每一列及每个角落上的22⨯方格表上的数字都恰好有数字A 、B 、C 、D 各一个。

请填写完整这张表。

C AB AD D ABC D AB C DA B C D D C BA【分析】答案如图所示。