复数校本教材

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12.1复数的概念

教学流程

数的概念是从实践中产生和发展起来的。早在人类社会初期,人们在狩猎、采集果实等劳动中,由于计数的需要,就产生了1,2,3,4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N。

随着生产和科学的发展,数的概念也得到发展。

因生产和科学发展的需要而逐步扩充,数集的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是,数集扩到实数集R以后,像x2=-1这样的方程还是无解的,因为没有一个实数的平方等于-1.由于解方程的需要,人们引入了一个新数i,叫做虚数单位.并由此产生的了复数。

二、讲解新课:

1.虚数单位i:实数的单位是什么?(实数的单位是1,所以实数的单位都是省略的。如,实数3。)等学生回答后,提出虚数单位i,讲解新课。

2. 虚数单位的性质: ⑴21i =-;

问题3:-1的平方根是什么?-4的平方根呢?-5的平方根呢?-a (a>0)的平方根呢?

i ±,i 2±,i 5±,i a ±.

问题4:象上述几个数都是含有虚数单位的数,你还能举出一些含有虚数单位的数吗?

⑵实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立.

3、复数的定义:形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数,a 叫复数的实部,b 叫复数的虚部

4、练习

5、复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系:对于复数(,)a bi a b R +∈,

当且仅当b =0时,复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ; 当b ≠0时,复数z =a +bi 叫做虚数; 当a =0且b ≠0时,z =bi 叫做纯虚数; 当且仅当a =b =0时,z 就是实数0. 复数的分类

⎩⎪⎨⎧=≠⎩⎨

⎧=∈+时为纯虚数)(虚数无理数

有理数

实数复数0)0

()0(),(a b b R b a bi a

6. 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等

这就是说,如果a ,b ,c ,d ∈R ,那么a +bi =c +di ⇔a =c ,b =d

一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.如3+5i 与4+3i 不能比较大小.

现有一个命题:如果两个

复数都是实数,就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比

较大小。 三、讲解范例:

例1请说出复数i i i i 53,3

1,21

3,32---+-+的实部和虚部,有没有纯虚数?

答:它们都是虚数,它们的实部分别是2,-3,0,-3;虚部分别是3,21,-31,-5;-3

1i 是纯虚数.

例2 复数-2i +3.14的实部和虚部是什么?

答:实部是3.14,虚部是-2. 易错为:实部是-2,虚部是3.14!

例3已知()()()i b a i a a +-=-+-3312,其中a 、∈b R ,求a 与b 。

解 根据复数相等的定义,得⎩⎨⎧+-=-=-)3(312b a a a ⇒⎩⎨

⎧-==5

1

b a 四、课堂练习:

P-285-1、2、3

五、小结 :这节课我们学习了虚数单位i 及它的两条性质,复数的定义、实部、虚部及有关分类问题,复数相等的充要条件,复平面等等.基本思想是:利用复数的概念,联系以前学过的实数的性质,对复数的知识有较完

§12.2 复数的运算

1、复数的乘法运算规定为

设z 1=a +bi ,z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数,那么它们的积(a +bi )(c +di )=(ac -bd )+(bc +ad )i .注:其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把i 2换成-1,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数

口诀:两个复数相乘等于实部相乘减去虚部相乘做为积的实部,两个实部与虚部相乘的和做为积得虚部。 例1设i z i z +-=+=1,5221

求2

1z

z

解:i i i i z z 37)52(]5)2[()1)(52(21--=-+--=+-+= 复数的乘法运算法则: ①1221z z z z = ②)()(321321z z z z z z = ③z z •=•11

④3121321)(z z z z z z z +=+ 例2计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)

解:(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i) (-2+i)= -20+15i. 设bi a z +=我们把bi a -叫做z 的共轭复数,记作z 例4 求))((bi a bi a -+的值 解22222))((b a i b a bi a bi a +=•-=-+ 注:22b a z z +=• 复数的除法运算

2

22

121z z z z z z ••=

除法口诀:把分子、分母同乘以分母的共轭复数,然后化简写成bi a +的形式 例:求i i 4321-+的值

解:

i

i

4321-+ 22

(12)(34)386451012

(34)(34)342555

i i i i i i i i ++-++-+=

===-+-++ §12.3 复平面

每个复数z 都能唯一地写成bi a +的形式,那么该复数实部与虚部组成的有序实属对),(b a ,而建立直角坐标系oxy 后,每一个有序实数对),(b a 在平面内都有唯一地一个点z ,它的坐标是),(b a

复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ,b )是一一对应关系这是因为对于任

何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R ),由复数相等的定义可知,可以由一个有序实数对(a ,b )唯一确定,如z =3+2i 可以由有序实数对(3,2)确定,又如z =-2+i 可以由有序实数对(-2,1)来确定;又因为有序实数对(a ,b )与平面直角坐标系中的点是一一对应的,如有序实数对(3,2)它与平面直角坐标系中的点A ,横坐标为3,纵坐标为2,建立了一一对应的关系 由此可知,

复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.

点Z 的横坐标是a ,纵坐标是b ,复数z=a+bi(a 、b ∈R)可用点Z(a ,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴

对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对应的有序实数对为(0,0), 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外,虚轴上的点都表示

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