高一数学竞赛培训讲座之函数的基本性质
高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质
高一数学第三章函数的基本性质知识要点函
数的基本性质
高一数学第三章函数的基本性质知识要点
函数是数学中的基本概念之一，它在数学和实际问题的求解中起到重要的作用。本文将介绍高一数学第三章中关于函数的基本性质，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
一、函数定义
函数是一种特殊的关系，表示一个集合中的每个元素都与另一个集合中的唯一元素相对应。函数可以用符号表示，例如：
f(x) = 2x + 1
其中f表示函数名，x表示自变量，2x + 1表示函数的表达式，它们之间用等号连接。
二、函数的定义域和值域
定义域是指函数的自变量的所有可能取值的集合，通常用D表示。在上面的函数例子中，自变量x可以取任意实数值，所以定义域为全体实数。
值域是指函数的因变量的所有可能取值的集合，通常用R表示。同样以例子函数f(x) = 2x + 1为例，它的值域是全体实数。
三、函数的奇偶性
如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = f(x)，则函数f(x)
是偶函数；如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = -f(x)，则函数f(x)是奇函数；如果一个函数既不是偶函数也不是奇函数，则称其为非奇非偶函数。
四、函数的图像与性质
函数的图像是函数在平面直角坐标系上的几何表示。函数的图像可
以通过绘制函数的各个点来获得。
函数的图像具有以下性质：
1. 对称性：偶函数的图像以y轴为对称轴，奇函数的图像以原点为
对称中心；
2. 单调性：如果对于定义域内的两个实数x1和x2，若x1 < x2，则
有f(x1) < f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递增的；如果x1 < x2，则
高中数学竞赛专题讲座函数2：函数的图像和性质
周期性
1.函数的周期性定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使 恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。周期函数定义域必是无界的
2.若T是周期，则k·T（k≠0,k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
6、若f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c则f(x)的图象关于点 中心对称。
证明：设P（x,y）是图象上任一点，则y=f(x)；由中点公式得P关于点 对称的点为Q(a+b-x,c-y).设t=b-x即x=b-t代入f(a+x)+f(b-x)=c得f(t)=c-f(a+b-t)即f(a+b-x) =c-f(x)=c-y,即Q在图象上。所以f(x)的图象象关于点 中心对称。
例8．已知 是定义在实数集上的函数，且 .
（1）试证： 是周期函数。
（2）若 ，试求： 的值。
解（1），是 在R上有定义，知 （否则 没有意义），所以 ，
， .
故函数 是周期为8的周期函数。
（2）由（1）的结果，得 ，
所以 ，
.
例9．（2000年北京市中学生数学竞赛）f(x)是定义在R上的函数，对任意的x∈R，都有f(x+3)≤f(x)+3和f(x+2)≥f(x)+2，设g(x)=f(x)-x，
高中数学竞赛培训 函数的基本性质(二)函数的周期性 Word版 含答案
函数的基本性质(二)
基础知识：
函数的周期性
如果函数y ＝f(x)对于定义域内任意的x ，存在一个不等于0的常数T ，使得 f(x ＋T)＝f(x)
恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T 是它的一个周期.
一般情况下，如果T 是函数f(x)的周期，则kT(k∈N ＋)也是f(x)的周期. 关于函数的周期性，请参考陕西师范大学《高中数学竞赛辅导》(刘诗雄主编) 例题：
1． 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－f(x),求证:2m 是f(x)的一个周期. 证明：因为f(x ＋m)＝－f(x)
所以，f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m]
＝－f(x ＋m)
＝f(x)
所以f(x)是以2m 为周期的周期函数.
2． 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝f(x －m),求证:2m 是f(x)的一个周期. 证明：因为f(x ＋m)＝f(x －m)
令x －m ＝t ，则x ＋m ＝t ＋2m
于是f(t ＋2m)＝f(t)对于t ∈R 恒成立，
所以f(x)是以2m 为周期的周期函数.
3． 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝
)
x (f 1)x (f 1+-,求证:2m 是f(x)的一个周期. 证明：由已知f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m] )x (f 1)x (f 11)x (f 1)x (f 11)
m x (f 1)
m x (f 1+-++--=+++-=
＝f(x)
所以f(x)是以2m 为周期的周期函数.
4． 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－)
高一数学第2课-函数的基本性质
第2讲 函数的基本性质
一、要点精讲
1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有 ，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有 ，则称f (x )为偶函数。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
○
1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否 ○
2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○
3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 = 0，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 = 0，则f (x )是奇函数。 （3）函数的图像与性质：奇函数的图象关于 对称；偶函数的图象关于 对称； 2．单调性
（1）定义：
注意：① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；② 必须是对于区间D 内
的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1
（ⅰ）定义法：利用定义严格判断
（ⅱ）利用已知函数的单调性如若()f x 、)(x g 为增函数，则
①()f x +)(x g 为 ；②
1
()
f x 为 （()f x ＞0）；
为 （()f x ≥0）
；④-()f x 为 （ⅲ）利用复合函数【y = f （u ），其中u =g(x ) 】的关系判断单调性：
复合函数的单调性法则是“ ” （ⅳ）图象法
（ⅴ）利用奇偶函数的性质
①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反； 3．最值：利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：
○
1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； ○
高一数学竞赛知识点总结归纳
高一数学竞赛知识点总结归纳概述：
高一数学竞赛是对学生数学能力的全面检测和提升，具有一定的难度和深度。在竞赛备考过程中，需要对各个知识点进行有效的总结和归纳，以便更好地复习和应对考试。本文将对高一数学竞赛的知识点进行分类总结和归纳，帮助同学们更好地掌握和理解这些知识点。
一、函数与方程
1. 函数的定义和性质
- 定义函数的概念和符号表示
- 求解函数的定义域和值域
- 判断函数的奇偶性和周期性
2. 一次函数与二次函数
- 求解一次函数和二次函数的零点和解析式
- 理解一次函数和二次函数的图象与性质
- 应用一次函数和二次函数解决实际问题
3. 不等式与方程
- 解一元一次不等式和方程
- 解一元二次不等式和方程
- 组合不等式和方程的解集
二、数与集合
1. 复数与向量
- 复数的定义和运算法则
- 解复数方程和不等式
- 向量的定义和运算法则
- 应用向量解决几何问题
2. 集合与运算
- 集合的基本概念和表示方法
- 集合的运算及其性质
- 应用集合解决实际问题
三、数列与数列极限
1. 等差数列与等比数列
- 定义等差数列和等比数列
- 求解等差数列和等比数列的通项公式 - 求解数列的和与项数
2. 数列的极限
- 了解数列极限的概念和性质 - 求解常见数列的极限值
- 应用数列极限解决实际问题
四、概率与统计
1. 概率基础知识
- 概率的定义和性质
- 概率的计算和应用
2. 统计基础知识
- 数据的收集和整理
- 数据的分析和表示
- 统计推断和误差分析
五、几何与三角学
1. 平面几何
- 直线与角的性质
- 三角形的定义和性质
- 四边形和多边形的性质
高一数学函数的基本性质
第 1 页共13 页
函数的基本性质
一、知识梳理
1.奇偶性
（1）定义：设函数y ＝)(x f 的定义域为D ，如果对于D 内任意一个x ，都有
D x
，且)(x f ＝
－)(x f ，那么这个函数叫做奇函数
.
设函数y ＝)(x g 的定义域为D ，如果对于D 内任意一个x ，都有
D x
，且)(x g ＝)(x g ，那么
这个函数叫做偶函数
.
（2）如果函数
)(x f 不具有上述性质，则
)(x f 不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则
)(x f 既是奇函数，又是偶函数
.
函数是奇函数或是偶函数的性质称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质.
（3）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，
则
x 也一定在定义域内.即定义域是关于原点对称的点集
.
（4）图象的对称性质：一个函数是奇函数当且仅当它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的当且仅当它的图象关于
y 轴对称.
（5）奇偶函数的运算性质：设
()f x ，()g x 的定义域分别是
12,D D ，那么在它们的公共定义域上：
奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.
（6）奇（偶）函数图象对称性的推广：若函数)(x f 的图象关于直线
a x 对称，则)2()(a x f x f ；若函数)(x f 的图象关于点)0,(a 对称，则)2()(a x
f x f .
2.单调性
（1）定义：一般地，设函数
()y f x 的定义域为A ，区间I A .
如果对于区间
I 内的任意两个值
1x ，2x ，当1
高一数学竞赛培训讲座(函数的性质)
函数的基本性质
基础知识：
函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.
关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社 刘诗雄《高中数学竞赛辅导》、刘诗雄、罗增儒《高中数学竞赛解题指导》. 例题：
1. 已知f(x)＝8＋2x －x 2
，如果g(x)＝f(2－x 2
)，那么g(x)( )
A.在区间(－2，0)上单调递增
B.在(0，2)上单调递增
C.在(－1，0)上单调递增
D.在(0，1)上单调递增
提示：可用图像，但是用特殊值较好一些.选C 2. 设f(x)是R 上的奇函数，且f(x ＋3)＝－f(x)，当0≤x≤
2
3
时，f(x)＝x ，则f(2003)＝( ) A.－1
B.0
C.1
D.2003
解：f(x ＋6)＝f(x ＋3＋3)＝－f(x ＋3)＝f(x) ∴ f(x)的周期为6
f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1 选A
3. 定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x 都有f(x ＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有
101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( ) A.150 B.
2
303
C.152
D.
2
305
提示：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x ＝2
3 于是这101个根的分布也关于该对称轴对称.
即有一个根就是
23，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x ＝2
函数的基本性质ppt课件
函数的基本性质
奇偶性
1、上述奇函数、偶函数定义中的∀(任意)可以删去吗？
答：不可以，函数的奇偶性体现了函数的整体性质，即它要
求定义域中的任意一个自变量都具有这样的特性。
函数的基本性质
奇偶性
2、奇函数和偶函数的相同点与不同点？
答：
相同点：
① 定义域关于原点对称
② 都是函数的整体性质
不同点：
① 当自变量取一对相反数时，偶函数的函数值相等，而奇
1
（2）f（x）＝x＋
；
解：（1）函数f（x）＝x4的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝（－x）4＝x4＝f（x），
函数f（x）＝x4为偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋ 的定义域I为（－∞，0）∪（0，＋∞）．
1
1
∀x∈I，都有－x∈I，且f（－x）＝－x＋ ＝－（x＋ ）＝－f（x），
所以当烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高约为29m.
O
t
函数的基本性质
例 已知函数() =
大值和最小值.
解：依题意得
1
(
−2
y
∈ [2,6])，求函数的最
O
∀ ∈[2,6].且1 <2 ，有(1 ) − (2 ) =
2
1 −2
函数的基本性质ppt课件
例 如 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x) 对 任 意 x1 ， x2(x1 ≠ x2) 都 有
f
（x
1）－f（x x1－x2
2）＜0，若
f(2x＋1)≤f(x－1)，则
x
的取值范围为
________.
解析 由f（x1）x1－－xf（2 x2）＜0 知函数 f(x)为减函数， 所以 2x＋1≥x－1，解得 x≥－2.
例 2、函数 f(x)＝a－2x＋2 1是奇函数，则 a＝______.
解析 由 f(x)为奇函数且 x∈R 知 f(0)＝a－20＋2 1＝0，
解得 a＝1.
补充：偶函数的重要性质
若函数f (x)是偶函数，则f (x) f (x) f ( x )
例3、已知偶函数 f (x)在区间0， 上单调递增，
对于任意x∈I，都有 f(x)≥M ；
存在x0∈I，使得 f (x0 ) M
结论
M为最大值
M为最小值
►单调性定义的两种变式.
(1)设任意 x1，x2∈[a，b]，且 x1＜x2，则
①f
（x
1）－f（x x1－x2
2）＞0(＜0)⇔f
(x
)在[a，b]上是增(减)函数.
②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0(＜0)⇔f(x)在[a，b]上是增(减)函数.
知识点二 函数的奇偶性与周期性 1.函数的奇偶性
数学教案高一数学函数的基本性质
数学教案高一数学函数的基本性质高一数学函数的基本性质
数学教案
I. 引言
在高中数学中，函数是一个非常基础且重要的概念，广泛应用于各
种数学领域和实际问题中。而了解和掌握函数的基本性质对于学生的
数学学习和发展至关重要。本教案将介绍高一数学函数的基本性质，
帮助学生全面了解函数的特点和应用。
II. 函数的定义
函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素（自变量）映射到另
一个集合的元素（因变量）。函数可以用多种方式表示，包括代数式、图像和表格等形式。在数学中，通常用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是因变量。
III. 函数的定义域和值域
函数的定义域是指自变量可能取值的集合，而值域是指因变量可能
取值的集合。通过确定函数的定义域和值域，可以限定函数的运算范围，使其在特定情境中更具实际意义。
IV. 函数的性质
1. 一一对应性质
函数的一一对应性质是指每个自变量都对应唯一的因变量，而不会
存在多个自变量对应同一个因变量的情况。这种性质使得函数具有唯
一性和可逆性。
2. 奇偶性质
函数的奇偶性质是指函数关于原点的对称性。如果对于任意x值，
有f(-x) = f(x)成立，那么函数是偶函数；如果对于任意x值，有f(-x) = -f(x)成立，那么函数是奇函数；如果既不满足偶函数的条件，也不满足奇函数的条件，则函数是既非奇函数也非偶函数。
3. 单调性质
函数的单调性质是指函数在定义域内的变化趋势。如果对于定义域
内的任意两个x值，有f(x₁) ≤ f(x₂)或f(x₁) ≥ f(x₂)成立，那么函数是
递增函数或递减函数。
高一数学必修1《函数的基本性质》教案
高一数学必修1《函数的基本性质》教案
教学目标：
1. 理解函数以及函数的各种表达方式。
2. 掌握函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性和零点。
3. 实现函数的简单变换，例如平移、伸缩和反转等。
4. 能够应用函数的基本性质，解决实际问题。
教学重点：
1. 理解函数的概念以及函数的各种表达方式。
2. 掌握函数的基本性质，实现函数的简单变换。
3. 能够应用函数的基本性质，解决实际问题。
教学难点：
1. 如何理解函数的概念以及函数的各种表达方式。
2. 如何应用函数的基本性质，解决实际问题。
教学方法：
一、讲授法。
二、探究法。
三、案例分析法。
教学过程：
一. 引入新知识(5分钟)：
教师简单介绍函数的概念和历史背景，引导学生关注函数在实际生活中的应用，引出本节课的学习目标，激发学生的学习兴趣。
二. 讲解函数的概念(10分钟)：
1. 函数的定义：任何能够使$x$值唯一对应一个$y$值的规律都称为函数，可以表示为$y=f(x)$。$x$为自变量，$y$为因变量，函数$f(x)$表示$y$与$x$之间的关系。
2. 函数的图像：函数可以通过绘制它们的图像进行可视化。函数的图像是平面直角坐标系上的一条曲线。
3. 函数的表示方法：函数可以用表格、图像、公式等多种方式表示。例如$f(x)=x^2$就是一种表示方式。
三. 掌握函数的基本性质(30分钟)：
1. 单调性：单调递增和单调递减；
2. 奇偶性：奇函数、偶函数和常函数；
3. 周期性：周期函数和非周期函数；
4. 零点：零点定义以及求零点的方法。
四. 实现函数的简单变换(10分钟)：
高一数学函数的基本性质
(2)解：∵f(x)在R上是减函数， ∴f(x)在[－3,3]上也是减函数， 判断出f(x)在[－3,3]上的单调性 ∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)． 而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2. 由单调性判断最值并求出 ∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 归纳小结，呈现结论
即－(e－1＋a·e)＝e＋a·e－1，解得a＝－1.
答案：－1
函数的单调性及应用
(对应学生用书第 14～16 页)
【例 1】 已知函数 f(x)对于任意 x，y∈R，总有 f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当 x＞0 时，f(x) ＜0，f(1)＝－23.
(1)求证：f(x)在 R 上是减函数； (2)求 f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
审题指导：
(1)证明：法一：∵函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)， ∴令x＝y＝0，得f(0)＝0. 利用赋值法，求得f(0)的值 再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)． 判断函数f(x)的奇偶性 在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0， 紧扣单调性定义，设出x1，x2，突出取值的任意性 f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)． 又∵x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0， ∴f(x1－x2)＜0， 作差变形，进而判断出f(x1)－f(x2)的符号 即f(x1)＜f(x2)．
高一数学必修一函数的基本性质(单调性)精品PPT课件
y
2
x 图图像像在经定过义原域点内 。呈上升趋x势；
y y y＝x2
O
12 x
图像在对称轴左边呈下降， 在对称轴后边呈下降趋势。
y
y x2
x O
y f ( x1)
x1 O
y x2
x
y
f ( x1)
x1O
自
y x2
变 量
递
增
，
函
数
递
x减
y
y x2
f ( x1)
x
O x1
y
y x2
课后作业
1．阅读教材P.27 -P.30； 2．教材课后练习：1、2、3.
在大城市生活的白领一族们，工作日中总是被大量的的工作任务、人际关系所裹挟，常常因为七七八八的事情压得我们透不过来气。 实际上，不管是工作还是生活，帮助我们取得成功的并非是意志，而是行动。 以至于很多人会在失落时忘却，时常违背了自己少年时期的志向。 总是自认为通情练达，自认为精明。 从前的我们多单纯，多纯粹。 而现在，丢弃了单纯与纯粹的我们，也总算是看透了，想穿了。 但也正因为如此，逐渐就变成了少年时间的自己最憎恨的那种人。
12
3 4 5x
以及在每一单调区
-2
间上， y＝f(x)是增函数还是减函数-3 ．以及函数
的最大值和最小值.
3.2 函数的基本性质(课时1 函数的单调性)优秀公开课获奖课件高一数学
[解析] 当 时， ， ；当 时， ， ；当 时， ， .综上所述， ．
分离参数
恒成立/存在(有解)问题化为最值问题
一般只适用于二次不等式
典例5
分离参数
分离参数
分离参数
函数最值
分离参数
分离参数
函数最值
分离参数
典例6
整个上午（8：00~12：00）天气越来越暖，中午时分（12：00~13：00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多，暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18：00）才又开始转凉. 画出这一天8：00~20：00的期间气温作为时间函数的一个可能的图象（示意图），并说出所画函数的单调区间.
3.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题.（数学建模）
下列两个函数的图象：
f(x)< M
ƒ(0)=1
2、存在0，使得ƒ(0)=1.
1是此函数的最大值
新知引入：函数的最大值与最小值
函数f(x)=x2的图象有一个最低点(0，0)
即对于任意的x∈R，都有f(x)≥ f(0)
当一个函数f(x)的图象有最低点时，就说函数f(x)有最小值.
解：函数的一个可能图象如图（1）所示：
单调增区间：[8,12)，[13,18);
ห้องสมุดไป่ตู้单调减区间：[12,13)，[18,20].
图象的形状不是唯一的，只要能反映气温的变化情况即可
高一数学函数的基本性质知识总结
函数的性质
要求层次
重点
难点
单调性
C
①概念和图象特征 ②熟知函数的性质和图象
①函数单调性的证明和判断
②简单函数单调区间的求法
奇偶性 B
简单函数奇偶性的判断和证明
①复合函数的奇偶性判断与证明
②抽象函数的奇偶性
周期性 B
简单函数周期性的判断和证明
①复合函数的周期性判断与证明
②抽象函数的周期性
一知识内容
1.函数单调性的定义：
①如果函数()f x 对区间D 内的任意12,x x ,当12x x <时都有()()12f x f x <,则称()f x 在D 内是增函数；当12x x <时都有()()12f x f x >,则()f x 在D 内时减函数．
知识框架
高考要求
例题精讲
函数的基本性质
板块一：函数的单调性
②设函数()y f x =在某区间D 内可导,若()0f x '>,则()y f x =为x D ∈的增函数；若()0f x '<,则
()y f x =为x D ∈的减函数．
2.单调性的定义①的等价形式：
设[]12,,x x a b ∈,那么
()()()1212
0f x f x f x x x ->⇔-在[],a b 是增函数；
()()()1212
0f x f x f x x x -<⇔-在[],a b 是减函数；
()()()12120
x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是减函数．
3.复合函数单调性的判断：“同增异减”
4.函数单调性的应用．利用定义都是充要性命题．
即若()f x 在区间D 上递增递减且1212()()f x f x x x <⇔<1x 2,x D ∈； 若()f x 在区间D 上递递减且1212()()f x f x x x <⇔>．1x 2,x D ∈． ①比较函数值的大小②可用来解不等式．③求函数的值域或最值等
高一函数的性质知识点
高一函数的性质知识点
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函数的基本性质
基础知识：
函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.
关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社 刘诗雄《高中数学竞赛辅导》、刘诗雄、罗增儒《高中数学竞赛解题指导》. 例题：
1. 已知f(x)＝8＋2x －x 2，如果g(x)＝f(2－x 2
)，那么g(x)( )
A.在区间(－2，0)上单调递增
B.在(0，2)上单调递增
C.在(－1，0)上单调递增
D.在(0，1)上单调递增 提示：可用图像，但是用特殊值较好一些.选C
2. 设f(x)是R 上的奇函数，且f(x ＋3)＝－f(x)，当0≤x≤
23时，f(x)＝x ，则f(2003)＝( ) A.－1 B.0 C.1 D.2003
解：f(x ＋6)＝f(x ＋3＋3)＝－f(x ＋3)＝f(x)
∴ f(x)的周期为6
f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1
选A
3. 定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x 都有f(x ＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有
101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( )
A.150
B.2303
C.152
D.2
305 提示：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x ＝
23 于是这101个根的分布也关于该对称轴对称.
即有一个根就是23，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x ＝2
3对称 利用中点坐标公式，这100个根的和等于
23×100＝150 所有101个根的和为
23×101＝2303.选B 4. 实数x ，y 满足x 2＝2xsin(xy)－1，则x 1998＋6sin 5
y ＝______________. 解：如果x 、y 不是某些特殊值，则本题无法(快速)求解
注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法
(x －sin(xy))2＋cos 2
(xy)＝0
∴ x＝sin(xy) 且 cos(xy)＝0
∴ x＝sin(xy)＝±1
∴ siny＝1 xsin(xy)＝1
原式＝7
5. 已知x ＝9919+是方程x 4＋bx 2＋c ＝0的根，b ，c 为整数，则b ＋c ＝__________.
解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？)
由已知变形得x －9919=
∴ x 2－219x ＋19＝99
即 x 2－80＝219x
再平方得x 4－160x 2＋6400＝76x 2
即 x 4－236x 2＋6400＝0
∴ b＝－236，c ＝6400
b ＋
c ＝6164
6. 已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有两个实数根，
求证：a ＞4. 证法一：由已知条件可得
△＝b 2－4ac≥0 ①
f⑴＝a ＋b ＋c ＞1 ②
f(0)＝c ＞1 ③
0＜－
a 2
b ＜1 ④ b 2≥4ac
b ＞1－a －c
c ＞1
b ＜0(∵ a＞0)
于是－b≥2ac
所以a ＋c －1＞－b≥2ac
∴ (c a -)2＞1
∴ c a -＞1
于是c a >＋1＞2
∴ a＞4
证法二：设f(x)的两个根为x 1，x 2，
则f(x)＝a(x －x 1)(x －x 2)
f⑴＝a(1－x 1)(1－x 2)＞1
f(0)＝ax 1x 2＞1
由基本不等式
x 1(1－x 1)x 2(1－x 2)≤[41(x 1＋(1－x 1)＋x 2＋(1－x 2))]4＝(4
1)2 ∴ 16
a 2≥a 2x 1(1－x 1)x 2(1－x 2)＞1 ∴ a 2＞16
∴ a＞4
7. 已知f(x)＝x 2＋ax ＋b(－1≤x≤1)，若|f(x)|的最大值为M ，求证：M≥2
1. 解：M ＝|f(x)|max ＝max{|f⑴|，|f(－1)|，|f(－
2
a )|}
⑴若|－2
a |≥1 (对称轴不在定义域内部) 则M ＝max{|f⑴|，|f(－1)|}
而f⑴＝1＋a ＋b
f(－1)＝1－a ＋b
|f⑴|＋|f(－1)|≥|f⑴＋f(－1)|＝2|a|≥4
则|f⑴|和|f(－1)|中至少有一个不小于2 ∴ M≥2＞2
1 ⑵|－2
a |＜1 M ＝max{|f⑴|，|f(－1)|，|f(－
2a )|} ＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，|－4
a 2
＋b|} ＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，|－4a 2＋b|，|－4
a 2
＋b|} ≥41(|1＋a ＋b|＋|1－a ＋b|＋|－4a 2＋b|＋|－4
a 2
＋b|) ≥41[(1＋a ＋b)＋(1－a ＋b)－(－4a 2＋b)－(－4
a 2
＋b)] ＝)2
a 2(412
≥2
1 综上所述，原命题正确.
8. ⑴解方程:(x ＋8)2001＋x 2001＋2x ＋8＝0