工程力学 第10章 应力状态分析(1)

l 确定主方向的表达式
主平面方向角的表达式
2τ xy σ x −σ y
tan2θ p ＝－
不难证明：对于确定的主应力，例如σp ,其方向角θp 由下式确定
tanθp = σ x −σ p τ xy
5
l 确定最大切应力的表达式
微元三组方向面内的最大切应力分别为
τ ′=
σ 2 −σ 3 2
τ ′′ =
[ [
]
]
[
]
上式称为一般应力状态下的广义胡克定律。 若微元的三个主应力已知时， 其应力状态如图 9-2b 所示， 这时广义胡克定律 变为:
1 [σ 1 −ν (σ 2 + σ 3 )] E 1 ε 2 = [σ 2 − ν (σ 3 + σ 1 )] E 1 ε 3 = [σ 3 − ν (σ 1 + σ 2 )] E ε1 =
l 平面应力状态中任意方向面上的应力解析式
σ x′ = τ x′y′ σ x + σ y σ x −σ y + cos2θ − τ xy sin2θ 2 2 σ x −σ y = sin2θ + τ xy cos2θ 2
3．主应力、主平面、最大的应力
从上式可以看出，对于不同的θ角，将有不同的正应力和切应力数值。因 此，一定存在着某一角度θＰ 使得这一方向面上的切应力等于零，而使正应力为 极值（极大或极小值） 。也就是说，在应力状态中，一定存在着某一方向面（其 外法线与 x 方向的倾角为θＰ） ，在这一面上切应力等于零，而正应力为极大值或 极小值。
范 钦 珊 教 育 教 学 工 作 室
eBook
FAN Qin-Shan’ s Education & Teaching Studio
工程力学（1）学习指导
（第 10 章）
n应力圆的应用
基于上述对应关系，不仅可以根据微元两相互垂直面上的应力确定应力圆上 一直径上的两端点，并由此确定圆心 C，进而画出应力圆，从而使应力图绘制过 程大为简化。而且，还可以确定任意方向面上的正应力和切应力，以及主应力和 面内最大切应力。
6
图 10－1
应力圆的应用
以图 10－1a 中所示的平面应力状态为例。首先在图 10－1b 所示的 Oσx′τx ′y′ 坐标系中找到与微元 A、D 面上的应力（σx，τxy） 、 （ σy，－τyx）对应的两点 a、d， 连接 ad 交σx′轴于点 C，以点 C 为圆心，以 Ca 或 Cd 为半径作圆，即为与所给应 力状态对应的应力圆。 其次，为求 x 轴反时针旋转θ角至 x ′轴位置时微元方向面 G 上的应力，可 将应力圆上的半径 Ca 按相同方向旋转 2θ，得到点 g，则点 g 的坐标值即为 G 面 上的应力值（图 10－1c） 。 应用应力圆上的几何关系，可以得到平面应力状态主应力与面内最大切应 力表达式，结果与前面所得到的完全一致。 从图 10－1b 中所示应力圆可以看出，应力圆与σx′ 轴的交点 b 和 e，对应着 平面应力状态的主平面，其横坐标值即为主应力σ′和σ″ 。此外，对于平面应 力状态，根据主平面的定义，其上没有应力作用的平面亦为主平面，只不过这一 主平面上的主应力 σ ′′′ 为零。 图 10－1b 中应力圆的最高和最低点（h 和 i） ，切应力绝对值最大，均为面 内最大切应力。不难看出，在切应力最大处，正应力不一定为零。即在最大切应 力作用面上，一般存在正应力。
当微单元体三对面上的应力已知时，为求任意斜截面上的应力，可用假想截 面从所考察的斜截面处将微单元体截为两部分，考察其中任意一部分的平衡，由 平衡条件即可求得该截面上的正应力和切应力。 这就是确定微单元体截面上应力 的基本方法。
l 正负号规则
1．θ角—自 x 正方向逆时针转到斜截面外法线的正方向，这时的θ角为正， 反之为负。 2．正应力—拉应力为正，压应力为负。 3．切应力—使微元整体或截开部分产生顺时针转动趋势者为正；反之为负。
需要指出的是，在图 10－ 1b 中，应力圆在坐标轴τx′ y′ 的右侧， 因而 σ′和σ″均为正值。这种情形不具有普遍性。当σx＜ 0 或在其他 条件下， 应力圆也可能在坐标轴 τx′ y′ 的左侧， 或者与坐标轴τx′ y′ 相交， 因此 σ′和σ″也有可能为负值，或者一正一负。
7
5． 广义胡克定律
一、教学要求与学习目标
1．正确理解关于应力的三个重要概念：
l 应力的点的概念； l 应力的面的概念； l 一点应力状态的概么要研究应力状态？怎样 描述一点的应力状态？。 3．正确应用平衡方法确定微元任意斜截面上的正应力与切应 力。 4．正确理解主平面、主应力、主方向、面内最大切应力、一 点的最大切应力等概念， 正确应用解析方法和应力圆的方法确定 主平面、主应力、主方向、面内最大切应力、一点的最大切应力。 5．正确应用广义胡克定律。
σ ′′ =
−
x
2 − σ y ) + 4τ xy 2
σ ′′′ = 0
以后将按三个主应力 σ ′、 σ ′′、 σ ′′′ 代数值由大到小顺序排列 ， 并 分 别 用 σ 1、σ 2、σ 3 表示，且 σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 。 根据主应力的大小与方向可以确定材料何时发生失效或破坏，确定失效或破 坏的形式。因此，可以说主应力是反映应力状态本质内涵的特征量。
l 主平面与主应力
4
应力状态中切应力为零的平面称为“主平面” ，主平面上作用的正应力称为 “主应力” 。主应力作用方向称为“主方向” 。 根据以上分析，也可以说主应力就是应力状态中正应力的极大和极小值。 除了正应力取极值外，在应力状态中的切应力也存在着极值，一般将其绝对 值最大者称最大剪应力。但是，必须指出：最大剪应力与主应力不作用在同一面 上，并且在最大剪应力作用面上，正应力也不一定为零。
二、理 论 要 点
1．一点应力状态及其表示方法
在一般受力形式下，构件上各点（即使是同一截面上的各点）的应力是不同 的。因此，说明应力时，必须首先指明是哪一点的应力，这就是应力的“点的概 念” 。其次，过一点可以作很多方向不同的平面（简称“方向面” ） ，即使是同一 点，不同方向面上的应力也是不同的。因此，说明一点应力时，还需要指明过这 一点哪个方向面上的应力。这就是应力的“面的概念” 。 所谓“一点的应力状态” ，就是指过一点各个方向面上应力的总称。为了表 示一点应力状态，在一般情况下，总是围绕所讨论的点作一正六面体，当正六面 体的边长充分小时，它便趋于宏观上的“点” 。这种微小六面体又称为“微单元 体”简称“微单元” 。 当微单元三对互相垂直面上的应力已知时，就可以采用截面法通过平衡条件 （或者通过由平衡条件得到的解析式及其图解法） 得任意方向面上的应力。 因此， 可以说，微单元体及其三对互相垂直面上的应力代表了这一点的应力状态。 通常所说的“确定一点的应力状态” ，就是指确定代表这一点的微单元体三 对互相垂直面上的应力。因此，为了确定一点的应力状态，在取微单元时，总是 尽量使三对面上的应力为已知（包括应力等于零） 。为此，矩形截面和圆截面杆 中微单元体的取法有所区别： l 对于矩形截面梁或杆：三对面中一对面为横截面；另外两对面为平行于 梁或杆表面的纵截面。
τ ′′′=
σ1 − σ 3 2
σ1 − σ2 2
一点应力状态中的最大切应力，必然是上述三者中的最大的，即
τ max = τ ′′=
σ1 − σ 3 2
4．应力圆及其应用
n 平面应力状态与其应力圆的几种对应关系：
点 面对应 －应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和
切应力值。 转向对应－ 应力圆半径旋转时，半径端点的坐标随之改变，对应地，微元上 方向面的法线亦沿相同方向旋转， 才能保证方向面上的应力与应力圆上半径端点 的坐标相对应。 2 倍角对应 －应力圆上半径转过的角度，等于方向面法线旋转角度的 2 倍。
l 确定主应力的表达式
平面应力状态中，除了有一个等于零的主应力外，一般情形下有两个不等于 零主应力。这两个不等于零的主应力以及平面应力状态固有的等于零的主应力， 分别用 σ ′、 σ ′′、 σ ′′′ 表示。
σx +σ y 2 σx + σy 2 1 2 1 2
σ′=
+
(σ (σ
x
2 − σ y ) + 4τ xy 2
上一章 返回总目录 下一章
链接到 工程力学 (1) eBook
第 10 章
9
3
l 对于圆截面的轴或杆：除一对面为横截面外，另外两对面中有一对为互 相平行的圆柱面；另一对则为通过杆件轴线的纵截面。 l 截取微单元体时，还必须注意相对面之间的距离应为无限小：对于矩形 杆或梁，分别为 dx、 dy、 dz；对于圆截面轴或杆，则分别为 dx、 dr、 dθ。
2．截面法在微单元体上的应用、平面应力状态中 任意斜截面上应力的确定
8
式中ε1 、ε 2 、ε3 分别为沿主应力σ1 、σ2 、σ3 方向的应变。
三、学 习 建 议
1 ．要重视整体平衡与局部平衡概念在应力状态分析中的应 用，而且要特别注意应力不能直接参与平衡，应力必须乘以其作 用面积才能参与平衡。 2．要善于应用应力圆确定主应力以及最大切应力，应用应力 圆时，一定要注意三种对应关系。 3．应力圆的功能主要不是作为图解法的工具用以量测某些 量。它一方面通过明晰的几何关系帮助大家导出一些基本公式， 而不是死记硬背这些公式；另一方面，也是更重要的方面是作为 一种思考问题的工具，用以分析和解决一些难度较大的问题。请 读者分析本章中的某些习题时注意充分利用这种工具。 4．要严格区分面内最大切应力与一点处的最大切应力。在平 面应力状态中，如果有一个主应力等于零，另外两个主应力大于 零，由这两个不等于零的主应力所画出的应力圆上的最大切应 力，并不是这一点的最大切应力。
图 10－2 一般应力状态下的应力一应变关系 在小变形条件，考虑到正应力与切应力所引起的正应变和切应变，都是相互