L24_CH8离散时间系统函数H(z)与系统特性

零极点与时域特性 离散系统的稳定性
一、系统函数
1. 定义
系统在零状态条件下，输出的z变换式 与输入的z变换式之比，记为H(z)。
H ( z) =
Z { y f [k ]} Z { f [k ]}
=
Yf ( z) F ( z)
一、系统函数
2. H(z)与h[k]的关系 与 的关系
δ [k]
h[k]
例：试判断下面因果LTI离散系统的稳定性
1 H ( z) = (1 − 0.5 z −1 )(1 − 1.5 z −1 )
解：
从收敛域看 该因果系统的收敛域为|z|>1.5 收敛域不包含单位圆，故系统不稳定。 从极点看 系统的极点为z1=0.5, z2=1.5 极点z2=1.5在单位圆外，故系统不稳定。
•
x[ k − 2 ]
•
x [ k − n + 1] x [ k − n ]
D
•
bn
a1 a2
a n −1 an
时域框图
二、离散系统的模拟框图 离散系统的模拟框图
1. 直接型结构 H ( z ) =
b0 b1 bn-1 F(z) ∑ X(z) z -1 a1 a n-1 an z-1 z-1X(z) z-1 z-1 z-n+1X(z) bn z -nX(z) ∑ Y(z)
离散时间信号与系统的z 离散时间信号与系统的z域分析
离散时间信号的z 离散时间信号的z域分析 离散时间系统的z 离散时间系统的z域分析 离散时间系统函数与系统特性 离散时间系统的模拟
系统函数H(z)与系统特性 系统函数 与系统特性
系统函数H(z) 系统函数
系统函数的定义 H(z)与h[k]的关系 z域求零状态响应 求H(z)的方法
Z { y f [ k ]}
yf [k] = δ [k]*h[k] = h[k ] ]*h [
Z {h[ k ]} H ( z) = = = Z {h[ k ]} Z {δ [ k ]} 1
H (z) = Z{h[k]}
h[k ] = Z −1[ H ( z )]
一、系统函数
3. 求零状态响应
f [k] F(z) yf [k] = f [k]*h[k] Yf (z) = F(z)H(z)
一、系统的基本联接
2. 系统的并联
F (z )
Y (z )
F (z )
Y (z )
Y ( z ) = H 1 ( z ) X ( z ) + H 2 ( z ) X ( z ) = [ H 1 ( z ) + H 2 ( z )]F ( z )
一、系统的基本联接
3. 反馈环路
F (z )
E (z )
H(z) = H1(z) H2(z) ….. Hn(z)
画出每个子系统直接型模拟流图，然后将各 子系统级联。
F(z)
H 1(z)
H 2(z)
H n(z)
Y(z)
二、离散系统的模拟框图 离散系统的模拟框图
3. 并联型结构
将系统函数分解为一阶或二阶相加的形式， 即
H(z) = H1(z) +H2(z) + …. +Hn(z)
5 1 1 Y ( z) = − − −1 −1 2 1 − 0.5 z (1 − 0.5 z ) 1 + 0.5 z −1
3 + 0.5 z −1 − 1.5 z −2 = (1 − 0.5 z −1 ) 2 (1 + 0.5 z −1 )
例： 一LTI离散系统，其初始状态为y[−1]=8，y[−2]=2,
b0 + b1 z −1 + L + bn −1 z − ( n −1) + bn z − n 1 + a1 z −1 + L + a n −1 z −( n −1) + a n z − n
-
-
-
z域框图
二、离散系统的模拟框图 离散系统的模拟框图
2. 级联型结构
将系统函数分解为一阶或二阶相乘的形式， 即
h[k] H(z)
一、系统函数
4. 求H(z)的方法 的方法
① 由系统的单位脉冲响应求解：H(z)=Z{h[k]} ② 由定义式
H ( z) = Z { y f [k ]} Z { f [k ]}
③ 由系统的差分方程写出H(z)
例： 一LTI离散系统，其初始状态为y[−1]=8，y[−2]=2,
Y (z )
Y ( z) = E ( z)K ( z)
E ( z ) = F ( z ) − β ( z )Y ( z )
K ( z) Y ( z) = F ( z) 1 + β ( z)K ( z)
K ( z) H ( z) = 1 + β ( z)K ( z)
二、离散系统的模拟框图 离散系统的模拟框图
n
H1(z)
H2(z)
二、离散系统的模拟框图 离散系统的模拟框图
1. 直接型结构
系统可以看成两个子系统的级联
H1 ( z) = 1
1+ ∑a j z− j
j =1
n
X ( z) = F ( z)
H 2 ( z ) = ∑ bi z
i =0
n
−i
Y ( z) = X ( z)
描述这两个系统的差分方程为
1. 直接型结构
设差分方程中的 m=n，即
y[k ] + ∑ a j y[k − j ] = ∑ bi Hale Waihona Puke [k − i ]nn
H ( z) =
bi z −i ∑ 1+ ∑ a j z− j
j =1 i =0 n
j =1 n
i =0
=
1 1+ ∑ a j z− j
j =1 n
.∑ bi z −i
i =0
当输入x[k]= (0.5)ku[k]时，输出响应为 y[k]= 4(0.5)ku[k]− 0.5k(0.5)k−1 u[k−1]−(−0.5)ku[k] 求系统函数H(z)。
解：对于初始状态为y[−1]=8, y[−2]=2的一般二阶系统
b0 + b1 z −1 + b2 z −2 − 8a1 − 2a2 − 8a2 z −1 Y ( z) = X ( z) + −1 −2 −1 −2 1 + a1 z + a2 z 1 + a1 z + a2 z
当输入x[k]= (0.5)ku[k]时，输出响应为 y[k]= 4(0.5)ku[k]− 0.5k(0.5)k−1 u[k−1]−(−0.5)ku[k] 求系统函数H(z)。
解：
y[k ] = 5(0.5) k u[k ] − (k + 1)(0.5) k u[k ] − (−0.5) k u[k ]
3 + 0.5 z − 1.5 z = (1 − 0.5 z −1 ) 2 (1 + 0.5 z −1 )
−1 −2
H(z)
−2
2.5 − 1.25 z − 0.5 z H ( z) = 1 − 0.25 z − 2
−1
二、零极点与时域特性
H ( z) = bm z m + bm −1 z m −1 + L + b1 z + b0 z n + a n −1 z n −1 + L + a1 z + a 0
x[k ] + ∑ a j x[k − j ] = f [k ]
j =1 n
y[k ] = ∑ bi x[k − i ]
i =0
n
二、离散系统的模拟框图 离散系统的模拟框图
1. 直接型结构
b0
b1
b2
f [k ]
+
+ + +
y[ k ]
∑
+ +
b n −1
∑
− −
x[ k ]
− −
•
D
•
D
x [ k − 1]
画出每个子系统直接型模拟流图，然后将各 子系统并联。 H1(z)
F(z)
H2(z) Hn(z)
∑
Y(z)
例：已知
试作其直接形式，并联形式及级联形式的模拟框图。
3 + 3.6 z −1 + 0.6 z −2 H ( z) = 1 + 0.1z −1 − 0.2 z − 2
解： 1）直接型
3 3.6 f[k]
例*：试判断下面LTI离散系统的稳定性和因果性
1 H ( z) = (1 − 0.5 z −1 )(1 − 1.5 z −1 )
解： 系统可能的收敛域为
|z| <0.5， 0.5 < |z| < 1.5 ， |z| > 1.5 1) |z| <0.5，ROC不含单位圆 系统不稳定、非因果 2) 0.5 < |z| < 1.5 ，ROC包含单位圆 系统稳定、 非因果 3) |z| > 1.5 ROC不含单位圆 系统不稳定、 因果
离散系统H(z)与h[k]关系 离散系统 与 关系
Im(z )
k
k
k
×
k
j
×
−1
|r|
× × ×
×
×
× ×
θ
×1 ×
×
k
Re(z )
k
×
−j
k
k
k
三、离散系统的稳定性
定理： 离散LTI系统稳定的充要条件是 定理：
k = −∞
∑
∞
h[k ] < ∞
由H(z)判断系统的稳定性： H(z)的收敛域包含单位圆则系统稳定。因果 系统的极点全在单位圆内则该系统稳定。