2015河北省考试说明拓展五一次函数、反比例函数与问题解决

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2015年河北中考数学总复习课件(第13课时_反比例函数)

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第13课时┃ 反比例函数
考点4 反比例函数的应用
利用待定系数法确定反比例函数表达式： k ①根据两变量之间的反比例关系，设 y＝； x 求函数表达式的方法步骤 ②代入图像上一个点的坐标，即 x，y 的一对对应值，求出 k 的值； ③写出表达式 k2 反比例函数与一求直线 y＝k1x＋b(k1≠0)和双曲线 y＝ (k2≠0) x 次函数的图像的的交点坐标，解这两个函数表达式组成的方程交点的求法组即可
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第13课时┃ 反比例函数
探究二反比例函数的图像与性质
命题角度： 1．反比例函数的图像与性质的应用； 2．用反比例函数中 k 的几何意义解决问题．
例 2 已知 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)是反比例函数 2 y＝的图像上的三点，且 x1<x2<0<x3，则 y1，y2，y3 的大小关 x 系是 ( C ) A．y3<y2<y1 B．y1<y2<y3 C．y2<y1<y3 D．y2<y3<y1
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第13课时┃ 反比例函数
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1. 若 y＝(a＋1)xa2－2 是反比例函数，则 a 的取值为 A．1 B．－1 C．±1 D．任意实数
解析
( A )
a2－2＝－1，且 a＋1≠0，应选 A.
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第13课时┃ 反比例函数
k 2．[2014· 常州] 已知反比例函数 y＝的图像经过点 P(－1， x 2)，则这个函数的图像位于 ( D ) A．第二，三象限 B．第一，三象限 C．第三，四象限 D．第二，四象限 k－1 3． [2014· 哈尔滨] 在反比例函数 y＝的图像的每一条曲 x 线上， y 都随 x 的增大而减小，则 k 的取值范围是 ( A ) A．k＞1 B．k＞0 C．k≥1 D．k＜1

专题1--一次函数与反比例函数问题

A．0＜x＜2 C．x＞2或－2＜x＜0
B．x＞2 D．x＜－2或0＜x＜2
【变式训练3】如图，正比例函数 y1 k1x 的图像与反比例
函数
y2
k2 x
的图象相交于A、B
两点，其中点A
D
的横坐标
x 为2，当 y1＞y2 时，的取值范围是（）
A．x＜ 2或x＞2
B． x＜ 2或0＜x＜2
C． 2＜x＜0或0＜x＜2
真题回顾
例（2015•广东）如图-1，反比例函数y=k/x（ k≠0，x＞0）的图象与直线y=3x相交于点C，过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数的图象于点D，且AB=3BD. （1）求k的值；（2）求点C的坐标；（3）在y轴上确定一点M，使点 M到C，D两点的距离之和d=MC+MD，最小求点M的坐标.
∴m=﹣4，
∴y=﹣
（2）当x＜0时，kx+b﹣ ＞0的解集是x＜﹣4．
m x
【变式训练4】一次函数y=kx+b 与反比例函数 y= 图象相交于A（-1，4），B（2，n）两点，直线AB交x轴于点D。（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）过点B 作BC⊥y轴，垂足为C，连接 AC交 x轴于点E，求△AED的面积S。
点
不 ①x的取值范围_x_≠_0____； ①x的取值范围_任__意__实__数；
同 ②图象是_双__曲__线_
②图象是_直__线____；
点 ③k>0时，y随的x增大 ③k>0时，y随的x增大
而_减__小（在每个象限
而_增__大_
内）
k<0时，y随的x增大而增__大__减__小_
第二、四象限

专题五一次函数、反比例函数与实际应用

专题五一次函数、反比例函数与实际应用,河北中考命题规律)年份题型考点题号分值难易度2019 解答题一次函数图象的判断、应用、反比例函数的表达式的确定24（2） 3 中等题2018 解答题一次函数的图象及性质、应用、实际问题中反比例函数表达式的确定24，26（1） 10＋1＝11 容易题、中等题 2017 选择题、解答题一次函数综合题、应用、反比例函数的图象15，24 2＋10＝12 中等题考情及预测纵观近三年河北中考，此专题为必考内容，有一定难度，通常以解答题形式出现，多与方程（组）、不等式（组）、三角形相结合；还可考查平移、旋转、翻折三种位置变换，2017年第24（3）题题目新颖，适合爱动脑筋的考生，体现了教学的批判思想.预测2020年在解答题中仍会出现 ,中考重难点突破)备考建议►此专题内容多出在中等题中，主要有以下三种题型：（1）利用待定系数法求表达式；（2）应用题找等量关系建立函数模型；（3）两种函数的综合考查.一次函数及反比例函数综合题【例1】（2019·石家庄裕华区模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A （5，3），点B （－3，3），过点A的直线y ＝12x ＋m （m 为常数）与直线x ＝1交于点P ，与x 轴交于点C ，直线BP 与x 轴交于点D.（1）求点P 的坐标；（2）求直线BP 的解析式，并求出△PCD 与△PAB 的面积比；（3）若反比例函数y ＝k x（k 为常数且k ≠0）的图象与线段BD 有公共点时，请求出k 的最大值和最小值. 【解析】（1）将点A 坐标代入直线解析式求得直线AP 的解析式，进而求得点P 的坐标；（2）利用待定系数法由点B ，P 坐标求得直线BP 的解析式，根据坐标关系计算三角形的面积进而求得比值；（3）根据k>0和k<0进行分类讨论确定k 的最大值与最小值.【解答】解：（1）∵直线y ＝12x ＋m 过点A （5，3）， ∴3＝52＋m ，解得m ＝12.∴y ＝12x ＋12. 当x ＝1时，y ＝1，∴P （1，1）；（2）设直线BP 的解析式为y ＝ax ＋b.∵B （－3，3），P （1，1），∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝－3a ＋b ，1＝a ＋b.解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝32. ∴直线BP 的解析式为y＝－12x ＋32. 当y ＝0时，x ＝3，∴D （3，0）.∵点C 在直线y ＝12x ＋12上， ∴当y ＝0时，x ＝－1，则C （－1，0）.∴S △PCD S △PAB ＝12×4×112×8×2＝14；（3）当k<0时，若反比例函数经过点B ，则k 的最小值为－9. 当k>0时，联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋32，y ＝k x，整理，得x 2－3x ＋2k ＝0.令Δ＝b 2－4ac ＝9－8k ＝0，解得k ＝98.∴k 的最大值为98. 1.（2019·邯郸一模）如图，直线l 1经过点A （6，0），且垂直于x 轴，直线l 2：y ＝kx ＋b （b>0）经过点B （－2，0），与l 1交于点C ，S △ABC ＝16.点M 是线段AC 上一点，直线MN ∥x 轴，交l 2于点N ，点D 是MN 的中点，双曲线y ＝m x（x>0）经过点D ，与l 1交于点E. （1）求l 2的解析式；（2）当点M 是AC 的中点时，求点E 的坐标；（3）当MD ＝1时，求m 的值.解：（1）由题意，得AB ＝8.∵S △ABC ＝16，即12×8×AC ＝16，∴AC ＝4. ∴C （6，4）.把B （－2，0），C （6，4）分别代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝0，6k ＋b ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝1.∴l 2的解析式为y ＝12x ＋1；（2）∵点M 是AC 的中点，∴M （6，2）.∵MN ∥x 轴，∴点N 的纵坐标为2.把y ＝2代入y ＝12x ＋1，得x ＝2.∴N （2，2）. ∵点D 是MN 的中点，∴D （4，2）.把D （4，2）代入y ＝m x，得m ＝8. ∴双曲线的解析式为y ＝8x（x>0）. 当x ＝6时，y ＝43，∴E ⎝⎛⎭⎫6，43；（3）设点M （6，n ），当MD ＝1时，D （5，n ），N （4，n ）.把N （4，n ）代入y ＝12x ＋1，得n ＝3. ∴D （5，3）.∴m ＝15.一次函数的实际应用【例2】（2019·唐山路南区二模）某公司在甲、乙仓库共存放某种原料450 t .如果运出甲仓库所存原料的60%、乙仓库所存原料的40%，那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多30 t .（1）求甲、乙两仓库分别存放原料多少吨；（2）现公司需将300 t 原料运往工厂，从甲、乙两仓库到工厂的运价分别为120元/t 和100元/t .经协商，从甲仓库到工厂的运价可优惠a 元/t （10≤a ≤30），从乙仓库到工厂的运价不变.设从甲仓库运m t 原料到工厂，请求出总运费W 关于m 的函数解析式（不要求写出m 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，请根据函数的性质说明：随着m 的增大，W 的变化情况.【解析】（1）根据甲、乙两仓库原料运出前后的关系，可得二元一次方程组，求解即可；（2）根据甲、乙的运费与运价的关系，可得函数解析式；（3）根据一次函数的性质，首先确定a 的取值，即要分类讨论，进而得出W 的变化情况.【解答】解：（1）设甲仓库存放原料x t ，乙仓库存放原料y t .根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝450，（1－40%）y －（1－60%）x ＝30.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝240，y ＝210. 答：甲仓库存放原料240 t ，乙仓库存放原料210 t ；（2）由于从甲仓库运m t 原料到工厂，则从乙仓库运（300－m ） t 原料到工厂，根据题意，得W ＝（120－a ）m ＋100（300－m ）＝（20－a ）m ＋30 000；（3）①当10≤a<20时，20－a>0，此时W 随着m 的增大而增大；②当a ＝20时，20－a ＝0，W 是定值30 000，此时W 不随m 的变化而变化；③当20<a ≤30时，20－a<0，此时W 随着m 的增大而减小.2.（2019·新疆中考）某水果店以每千克8元的价格购进苹果若干千克，销售了部分苹果后，余下的苹果每千克降价4元销售，全部售完.销售金额y （元）与销售量x （kg ）之间的关系如图所示.请根据图象提供的信息完成下列问题：（1）降价前苹果的销售单价是元/kg ；（2）求降价后销售金额y （元）与销售量x （kg ）之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）该水果店这次销售苹果盈利了多少元？解：（1）16；（2）由题意，得降价后y ＝640＋（16－4）（x －40）＝12x ＋160.当y ＝760时，x ＝50，∴自变量的取值范围是40＜x ≤50；（3）760－50×8＝360（元）.∴该水果店这次销售苹果盈利了360元.反比例函数与其他函数综合应用【例3】某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y （μg /mL ）与服药时间x （h ）之间的函数关系如图所示（当4＜x ≤10时，y 与x 成反比例）.（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y 与x 之间的函数关系式；（2）问血液中药物浓度不低于4 μg /mL 的持续时间为多少小时？【解析】（1）分别利用正比例函数以及反比例函数表达式求法得出即可；（2）由y ＝4分别求出相应的x 的值，进而得出答案.【解答】解：（1）由图象可知，当0≤x ≤4时，y 与x 成正比例关系，设y ＝kx.当x ＝4时，y ＝8，∴4k ＝8，解得k ＝2.∴y ＝2x （0≤x ≤4）.当4＜x ≤10时，y 与x 成反比例关系，设y ＝m x . 当x ＝4时，y ＝8，∴m ＝4×8＝32.∴y ＝32x（4＜x ≤10）. ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （0≤x ≤4），32x（4＜x ≤10）；（2）血液中药物浓度不低于4 μg /mL ，即y ≥4.∴2x ≥4且32x≥4，解得2≤x ≤8. ∵8－2＝6（h ），∴血液中药物浓度不低于4 μg /mL 的持续时间为6 h .,3.石家庄某公司将农副产品运往北京市场进行销售，记汽车行驶时间为t h ，平均速度为v km /h （汽车行驶速度不超过100 km /h ）.根据经验，v ，t 的一组对应值如下表：v/（km /h ） 75 80 85 90 95t/h 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16（1（2）汽车上午7：30从石家庄出发，能否在上午10：00之前到达北京市场？请说明理由；（3）若汽车到达北京市场的行驶时间t 满足3.5≤t ≤4，求平均速度v 的取值范围.解：（1）根据表格中的数据，可知v ＝k t. ∵v ＝75时，t ＝4，∴k ＝75×4＝300.∴v 关于t 的函数表达式为v ＝300t（t ≥3）；（2）不能.理由：从上午7：30到上午10：00经过的时间为2.5 h .当t ＝2.5时，v ＝3002.5＝120. ∵120>100，∴汽车上午7：30从石家庄出发，不能在上午10：00之前到达北京市场；（3）∵3.5≤t ≤4，∴平均速度v 的取值范围是75≤v ≤6007. 运动型问题【例4】（2019·石家庄桥西区模拟）如图1，在直角坐标系中，一次函数的图象l 1与y 轴交于点A （0，2），与一次函数y ＝x －3的图象l 2交于点E （m ，－5）.（1）求m 的值及l 1的表达式；（2）直线l 1与x 轴交于点B ，直线l 2与y 轴交于点C ，求四边形OBEC 的面积；（3）如图2，已知矩形MNPQ ，PQ ＝2，NP ＝1，M （a ，1），矩形MNPQ 的边PQ 在x 轴上平移，若矩形MNPQ 与直线l 1或l 2有交点，直接写出a 的取值范围.【解析】（1）把点E 的坐标代入l 2，即可求出m 的值，根据点E 和点A 的坐标可求出直线l 1的表达式；（2）连接OE ，根据点B ，C 的坐标可得OB ，OC 的长，点E 纵、横坐标的绝对值分别为△OBE 和△OCE 的高，先求出这两个三角形的面积，它们的和即为四边形OBEC 的面积；（3）当矩形与l 1有交点时，临界情况是相交于顶点，分别为点Q 和点N ，根据已知条件和l 1的表达式可求出点Q 和点N 的横坐标，结合点M 的坐标，可求出a 的取值范围；同理，当矩形与l 2有交点时，也可求出a 的取值范围.【解答】解：（1）∵点E （m ，－5）在一次函数y ＝x －3的图象上，∴m －3＝－5，解得m ＝－2.∴E （－2，－5）.设直线l 1的表达式为y ＝kx ＋b.∵直线l 1过点A （0，2），E （－2，－5），∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，－2k ＋b ＝－5.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，k ＝72. ∴直线l 1的表达式为y ＝72x ＋2；（2）连接OE.∵l 1：y ＝72x ＋2，∴y ＝0时，x ＝－47.∴B ⎝⎛⎭⎫－47，0. ∵l 2：y ＝x －3，∴x ＝0时，y ＝－3.∴C （0，－3）.∴S 四边形OBEC ＝S △OBE ＋S △OCE＝12×47×5＋12×2×3＝317；（3）－47≤a ≤127或3≤a ≤6. 4.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点O 是坐标原点，点A 在第一象限，点C 在第四象限，,点B 在x 轴的正半轴上，∠OAB ＝90°且OA ＝AB ，OB ＝6，OC ＝5.（1）求点A 和点B 的坐标；（2）点P 是线段OB 上的一个动点（点P 不与点O ，B 重合），以每秒1个单位长度的速度由点O 向点B 运动，过点P 的直线a 与y 轴平行，直线a 交边OA 或边AB 于点Q ，交边OC 或边BC 于点R ，设点P 运动时间为t s ，线段QR 的长度为m ，已知t ＝4时，直线a 恰好过点C.①当0＜t ＜3时，求m 关于t 的函数关系式；②点P 出发时，点E 也从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度向点O 运动，点P 停止时点E 也停止.设△QRE 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；③直接写出②中S 的最大值是 .解：（1）由题意知△OAB 是等腰直角三角形.∵OB ＝6，∴A （3，3），B （6，0）；（2）∵A （3，3），B （6，0），∴直线OA 的解析式为y ＝x ，直线AB 的解析式为y ＝－x ＋6.∵当t ＝4时，直线a 恰好过点C ，OC ＝5，∴C （4，－3）.∴直线OC 的解析式为y ＝－34x ，直线BC 的解析式为y ＝32x －9. ①当0＜t ＜3时，Q （t ，t ），R ⎝⎛⎭⎫t ，－34t ， ∴m ＝t ＋34t ＝74t ； ②当0＜t ＜3时，S ＝12PE·QR ＝12（6－2t ）·74t ＝－74t 2＋214t ；当3＜t ＜4时，S ＝12PE·QR ＝12（2t －6）·⎝⎛⎭⎫－t ＋6＋34t ＝－14t 2＋274t －18；当4≤t ＜6时，S ＝12PE·QR ＝12（2t －6）·⎝⎛⎭⎫－t ＋6－32t ＋9＝－52t 2＋452t －45； ③458.[当0＜t ＜3时，t ＝32时，S 的最大值为6316；当3＜t ≤4时，∵S ＝－14t 2＋274t －18＝－14⎝⎛⎭⎫t －2722＋14×2724－18，∴t ＝4时，S 的值最大，最大值为5；当4≤t ＜6时，S ＝－52t 2＋452t －45＝－52⎝⎛⎭⎫t －922＋458，∴t ＝92时，S 的最大值为458.综上所述，S 的最大值为458.] 请完成限时训练A 本P A 72～A 73，选做B 本P B 41。

一次函数与反比例函数综合应用教案

一次函数与反比例函数综合应用教案一、教学目标1. 让学生掌握一次函数和反比例函数的基本概念和性质。

2. 培养学生运用一次函数和反比例函数解决实际问题的能力。

3. 引导学生通过合作交流，提高解决问题的策略和思维能力。

二、教学内容1. 一次函数的基本概念和性质。

2. 反比例函数的基本概念和性质。

3. 一次函数和反比例函数的综合应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：一次函数和反比例函数的基本概念、性质和综合应用。

2. 教学难点：一次函数和反比例函数的综合应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究一次函数和反比例函数的性质。

2. 利用案例分析法，让学生通过实际问题体会一次函数和反比例函数的应用价值。

3. 采用合作交流法，培养学生团队协作和沟通能力。

五、教学过程1. 导入新课：通过生活实例引入一次函数和反比例函数的概念。

2. 自主学习：让学生自主探究一次函数和反比例函数的性质。

3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用一次函数和反比例函数解决问题。

4. 合作交流：分组讨论，让学生分享解题策略和心得。

5. 总结提升：总结一次函数和反比例函数的性质及应用，提高学生解决问题的能力。

6. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。

六、教学活动设计1. 活动一：引入概念通过展示实际生活中的线性关系图片，如直线轨道上列车的运动，引导学生思考线性关系的表现形式。

引导学生提出一次函数的表达式，并解释其含义。

2. 活动二：探索性质学生通过绘制一次函数图像，观察并总结其在坐标系中的性质。

通过实际例子，让学生理解一次函数的斜率和截距对图像的影响。

3. 活动三：反比例函数的引入引导学生从比例关系出发，思考反比例函数的概念。

通过实际问题，如在固定面积内，距离与面积的关系，引入反比例函数。

七、教学评价设计1. 评价目标：学生能理解并应用一次函数和反比例函数解决实际问题。

通过设计具有挑战性的问题，如购物预算问题，让学生应用所学的函数知识。

一次函数和反比例函数综合题

一次函数和反比例函数综合题一次函数和反比例函数综合题一次函数和反比例函数是数学中常见的两种函数形式。

它们在实际应用中具有广泛的应用，能够帮助我们分析和解决很多问题。

在这篇文档中，我们将通过几个实际问题来介绍一次函数和反比例函数，并且阐述它们在问题求解中的作用。

一次函数（即线性函数）的一般形式为y = kx + b，其中k和b分别代表斜率和截距。

一次函数的图像是一条直线，通过给定的两个点，我们就可以确定唯一一条直线。

一次函数在直线上的特点使得它在很多实际问题中都起到了重要作用。

反比例函数的一般形式为y = k/x，其中k是一个非零实数。

反比例函数的图像是一个拋物线，其与x轴和y 轴都有渐进线。

若要确定一条反比例函数的图像，我们需要已知一对坐标点。

反比例函数在实际生活中也能够很好地解决问题。

首先，我们来看一个一次函数的应用问题。

问题1：某校体育场的露天电视屏幕宽度为10米。

如果离电视屏幕距离为30米，站在距离电视屏幕10米处，该同学把电视屏幕的宽度误看为5米，请问该同学距离屏幕实际上有多远？解析：设该同学离电视屏幕的实际距离为x，则有一次函数关系式10/30 = 5/x。

解出x可得x = 15（米）。

所以该同学距离电视屏幕实际上是15米。

接下来，我们来看一个反比例函数的应用问题。

问题2：一个车间有6台机器，可以在20小时内完成一项任务。

现在该车间购买了2台新机器，那么完成同样任务需要多少小时？解析：设新的完成任务所需小时数为x，则有反比例函数关系式6/20 = 8/x。

解出x可得x = 40（小时）。

所以完成同样任务现在需要40小时。

通过以上两个问题的分析，我们可以看出一次函数和反比例函数在解决实际问题中的作用。

一次函数可以用来建立两个变量之间的线性关系，而反比例函数用来建立两个变量之间的反比例关系，这样我们就能够通过已知条件确定未知量的值，解决问题。

另外，我们还可以将一次函数和反比例函数结合起来进行分析。

考点05 反比例函数的图像和性质(解析版)

考点五反比例函数的图像和性质知识点整合一、反比例函数的概念1．反比例函数的概念一般地，函数ky x=（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成1y kx -=的形式．自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．2．反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0）中x ，y 的取值范围反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0）的自变量x 的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y 的取值范围也是非零实数．二、反比例函数的图象和性质1．反比例函数的图象与性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．（2）性质：当k >0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小．当k <0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大．表达式ky x=（k 是常数，k ≠0）kk >0k <0大致图象所在象限第一、三象限第二、四象限增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大2．反比例函数图象的对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．3．注意（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数kyx=中x≠0且y≠0．（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x 的增大而增大．三、反比例函数解析式的确定1．待定系数法确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数kyx=中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式为kyx=（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．四、反比例函数中|k|的几何意义1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S △ABC =2S △ACO =|k |；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数ky x=交于A 、B 两点，且一次函数与x 轴交于点C ，则S △AOB =S △AOC +S △BOC =1||2A OC y ⋅+1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅+；（3）如图③，已知反比例函数ky x=的图象上的两点，其坐标分别为()A A x y ，，()B B x y ，，C 为AB 延长线与x 轴的交点，则S △AOB =S △AOC –S △BOC =1||2A OC y ⋅–1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅-．五、反比例函数与一次函数的综合1．涉及自变量取值范围型当一次函数11y k x b =+与反比例函数22k y x=相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对12y y >时自变量x 的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x 的范围.例如，如下图，当12y y >时，x 的取值范围为A x x >或0B x x <<；同理，当12y y <时，x 的取值范围为0A x x <<或B x x <．2．求一次函数与反比例函数的交点坐标（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k 值的符号来决定.①k 值同号，两个函数必有两个交点；②k 值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．考向一反比例函数的定义1．反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y ，等号右边是关于自变量x 的分式，分子是不为零的常数k ，分母不能是多项式，只能是x 的一次单项式．2．反比例函数的一般形式的结构特征：①k ≠0；②以分式形式呈现；③在分母中x 的指数为-1典例引领变式拓展故答案为：2．考向二反比例函数的图象和性质当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y随x的增大而减小．当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内，y随x的增大而增大．双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．典例引领根据图象可知，114x x>+的解集是-正确的有②③；故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，平移的性质，反比例函数图象与几何变换，掌握性质，数形结合是解题的关键．2．如图，点(1,2)A 和点(,)B a b 是反比例函数右侧，则下列说法中，不正确的是（A ．该反比例函数解析式B ．矩形OCBD 的面积为C ．该反比例函数的另一个分支在第三象限，且【详解】解：根据题意，10k ->，解得1k <，∴0k =满足题意，故选：D ．变式拓展二、填空题三、解答题把上表中的坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的(1)请在该平面直角坐标系中作出(2)观察函数图象，并结合表中的数据：①猜测1y与x之间的函数关系，并求②求2y关于x的函数表达式；（2）①观察表格可知，1y 是x 设1k y x=，把()30,10代入得：1030k =，∴300k =，∴612x ≤≤．考向三反比例函数解析式的确定1．反比例函数的解析式k y x=（k ≠0）中，只有一个待定系数k ，确定了k 值，也就确定了反比例函数，因此要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x ，y 的对应值或图象上一个点的坐标，代入k y x=中即可．2．确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y 的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上．（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k ，则点在图象上，若乘积不等于k ，则点不在图象上．典例引领【答案】30【分析】此题主要考查了平移的性质和反比例函数图象上点的坐标特征，题关键．利用平行四边形的面积公式得出得出k 的值．【详解】∵将该函数图像向上平移x 【答案】52【分析】本题主要考查了矩形的性质及待定系数法求反比例函数解析式，根据矩形的边与y 轴平行，()1,B m ，D【答案】8 yx =【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、正方形的性质等知识点，确定点是解题的关键．先根据坐标与图形得到A【答案】5 yx =-【分析】本题考查反比例函数图像的性质，键．变式拓展【答案】28【分析】利用反比例函数图像上的坐标特点，即可得出答案．【详解】解：∵ABCD 是矩形，∴90DAB ABC ∠∠==【答案】24a <<【分析】本题考查利用待定系数法求反比例函数解析式，及解不等式．先求出双曲线解析式，由题意可用长．再由线段BC 与双曲线有交点且与点考向四反比例函数中k的几何意义三角形的面积与k的关系（1）因为反比例函数kyx=中的k有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．（2）若三角形的面积为12|k|，满足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足．典例引领A ．4-B ．6【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，题的关键．利用APC 与PBD 相似即可解决问题．【详解】解：PC x ⊥ 轴，PD ⊥PDB PCA ∴∠=∠，PD x 轴，BPD PAC ∴∠=∠，APC PBD ∴ ∽，∴AC PC PD BD=．二、填空题【答案】-3【分析】本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，的面积是是解答此题的关键．作AD OB ⊥OA =12OB ，然后通过证得AOD BOA ∽何意义即可求得k 的值．∵Rt OAB 中，30ABO ∠=︒，∴OA =12OB ，∵90ADO OAB ∠∠==︒，AOD BOA ∠∠=∴AOD BOA ∽，∴214AOD S OA S OB ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，【答案】5-【分析】此题主要考查了反比例函数的图象，比例函数的图象，理解反比例函数比例系数的几何意义是解决问题的关键．连接AB y ∥轴，得ABC 和AB y ∥轴，ABC ∴ 和AOB ∆关于AB 边上的高相等，52ABC AOB S S ∆∆∴==，根据反比例函数比例系数的几何意义得：变式拓展（1）用含m 的代数式表示（2）若3OMN S =△，则【答案】24m k =90OAB ∠=︒，∴N 点的横坐标为m ，反比例函数()0k y x x=>的图象过点N ，∴N 点的纵坐标为4m ， OME OAN S S =△△，OMN OME OAN MEAN MEAN S S S S S=+-=△△△梯形梯形，3OMN S =△，三、解答题【答案】(2,4)C 或(8,1)C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，形的判定与性质；由反比例函数的对称性得四边形设点8,C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，分别过点∵点A 、C 在反比例函数∴1842AOE COF S S ∆∆==⨯=，当04m <<时，则AOE S ∆∴6ACFE AOC S S ∆==梯形，k=【答案】6【分析】本题考查了反比例函数⊥轴，垂足为点E，连接等．作AE x到三角形AOB的面积，两个面积之和为⊥轴，垂足为点【详解】解：作AE x，AE x⊥轴，AB AC=∴=，BE CE，=5OC OB(1)求k和m的値；(2)当8x≥时，求函数值【答案】(1)10k=，m(2)5 04y<≤．考向五反比例函数与一次函数的综合反比例函数与一次函数综合的主要题型：（1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等．解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．典例引领（1）若2k =，4b =-，则（2）若CE DE =，则b 与【答案】12k +【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，系是解此题的关键．【答案】12【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的性质．过点⊥轴于点E，过点CB作BE x()DE=---=，证明AD∥132联立43y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得：1131x y =-⎧⎨=⎩，2113x y =-⎧⎨=⎩，∴()3,1A -，()1,3B -，二、解答题(1)求反比例函数与一次函数的函数表达式；(2)连接OA OB ，，求OAB 的面积；(3)请结合图象直接写出不等式m kx b x+<【答案】(1)6y x =，y ＝x ＋1(2)52AOB S =对于1y x =+，当0y =时，=1x -；当0x =∴()1,0C -，()0,1D ∴1,OC =1,OD =∴111112*********AOB S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+ （3）解：由图象可知：不等式m kx b x+<的解集为：(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)设D 为线段AC 上的一个动点（不包括图象于点E ，当CDE 的面积最大时，求点【答案】(1)反比例函数解析式为y =(2)点E 坐标为()2,3-．变式拓展(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求AOB 的面积；(3)观察图象，直接写出不等式【答案】(1)y x =--(2)6(3)<4x -或02x <<【分析】（1）先把点A 代入反比例函数解析式，即可求出（2）先求出直线y =-（3）观察函数图象即可求得不等式的解集．【详解】（1）解：∵(A(1)求一次函数和反比例函数的关系式；(2)若点E 是点C 关于x 轴的对称点，求【答案】(1)一次函数解析式1y x 4=-(2)32ABE S =△【分析】（1）利用点A 的坐标，代入可求出反比例函数解析式，进而求出点待定系数法可求出一次函数的解析式；当点P在BC上运动时，则PB∵2sin ==2PH B PB ，即PH =∴(1132822y DB PH =⋅=⨯⋅()304;x x ⎧≤≤由图像可得，函数图像有最大值为（3）解：根据函数图像可得：当【点睛】本题主要考查了函数图像与性质、求函数解析式、画函数图像、三角形面积、运用函数图像解不等式等知识点，求得函数解析式以及数形结合思想是解题的关键．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；的面积；(2)求ABO(1)求a ，k 的值．(2)利用图像信息，直接写出不等式1102k x x+-≥的解集(3)如图2，直线CD 过点A ，与反比例函数图像交于点C ，与x 轴交于点,OA OC ，求OAC 的面积．【答案】(1)4a =，12k =；(2)4x ≥(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)在y轴上取一点N，当(3)将直线1y向下平移2围．根据函数图象可得：当11．如图，在平面直角坐标系例函数2myx=（m为常数，且(1)求反比例函数与一次函数的解析式．(1)求反比例函数的解析式；(2)点C在这个反比例函数图象上，坐标．【答案】(1)8 yx =(2)()4,2 C90∠=∠=∠=ABO BOE AEO∴四边形ABOE是矩形，∴==，OB AE2OE AB==45，∠=︒ADO∴ 是等腰直角三角形，AED∴==，DE AE4。

《反比例函数》突破提高类型五反比例函数与一次函数结合求不等式解集与面积

类型五、反比例函数与一次函数结合求不等式解集与面积【解惑】如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数1y kx b =+与反比例函数2(0)ny n x =>交于点()2,1A --，()1,B m ．(1)求1y ，2y 对应的函数表达式； (2)求AOB 的面积； (3)直接写出不等式nkx b x+≥的解集．方法：1.求（1）代入即可；2.（2）先求得直线AB 与y 轴的交点C 为()0,1，然后根据割补AOB AOC BOC S S S =+△△△求得即可；3.（3）观察图形，先找出一次函数与反比例函数的交点，一次函数的值大于反比例函数的值，说明一次函数在反比例函数上面的部分，然后再看横坐标范围即可．【融会贯通】1．如图，直线1y k x b =+与双曲线2k y x =交于A 、B 两点，其横坐标分别为1和5，则不等式21kk x b x+<的解集是（）．A ．15x <<B ．5x >或01x <<C ．5x >或1x <D ．15x ≤≤2．如图，直线y kx =与双曲线3y x -=在同一坐标系中如图所示，则不等式3kx x-<的解集为（）A ．01x <<B ．1x <-C ．1x <-或01x <<D ．10x -<<或1x >3.如图，一次函数111y k x b =+的图象与反比例函数22k y x=的图象相交于点()5,A m ,()1,B n -两点，当12y y >时，则自变量x 的取值范围是______．【知不足】1.如图，小明同学利用计算机软件绘制函数22x y x =+，122y x =-+，根据学习函数的经验，可以知道21222x x x ≥-++的解集是（）A ．4x ≤-或2x ≥B ．42x -≤<-或22x -<≤C ．42x -≤<-或2x ≥D ．4x ≤-或42x -≤<-2．已知一次函数1(0)y kx b k =+<与反比例函数()20my m x=≠的图象交于点A (－1，yA )和点B (3，yB )两点，当y 1＞y 2时，实数x 的取值范围是（） A ．x ＜－1或0＜x ＜3 B ．－1＜x ＜0或0＜x ＜3 C ．－1＜x ＜0或x ＞3D ．0＜x ＜33. 如图，一次函数11(0)y k x b k =+≠与反比例函数22(0)k y k x=≠的图象交于点()2,3A ，(),1B a -，则不等式 xk b x k 21≥+ 的解集是___________．4.如图，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象相交于点()3,1A 、()1,B n -两点.(1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象，请你直接写出满足条件：21k k x b x+≥的x 的取值范围. 【一览众山小】1.如图，直线y kx =与双曲线3y x =-在同一坐标系中如图所示，则不等式3kx x>-的解集为（）A ．01x <<B ．1x <-C ．1x <-或01x <<D ．10x -<<或1x >2．如图，正比例函数11y k x =的图像与反比例函数22k y x=的图像相交于A 、B 两点，点A 的横坐标为2，当120y y <<时，x 取值范围是( )A ．02x <<或2x >B ．02x <<C ．2x <-D ．20x -<<3.如图，一次函数3y x =-+的图象与反比例函数()0ky k x =≠在第一象限内的图象交于()1,A a 和B 两点，与x 轴交于点C ．(1)求反比例函数的解析式； (2)求出另一个交点B 的坐标；(3)根据图象直接写出当0x >时，不等式3kx x-+<的解集． 4．如图，直线3y kx =+与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，与反比例函数my x=交于点A 、D ，过D 作DE x ⊥轴于E ，连接OA ，OD ，若()2,A n -，:1:2OAB ODE S S =△△．(1)求点B 的坐标，并求出反比例函数的表达式； (2)求点D 的坐标； (3)直接写出关于x 不等式：3mkx x>-的解集为______．5．如图，一次函数()0y ax b a =+≠的图像与反比例函数()0ky k x=≠的图像交于()2,M m ，()1,4N --两点．(1)求反比例函数的解析式及m 的值； (2)观察图像，直接写出不等式kax b x<+的解集．【温故为师】1.已知一次函数(0)y ax b a =+≠的图象与反比例函数(0)ky k x=≠的图象相交于点(3,2)A -，(2,)B n ．(1)求一次函数和反比例函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；(2)根据函数图象，直接写出不等式kax b x+<的解集；(3)若这个一次函数的图象与y 轴交于点C ，点D 是点C 关于x 轴的对称点，连接AD ，BD ，求△ABD 的面积．2．如图，一次函数1y kx b =+与反比例函数2my x=的图像交于()1,A n -、()3,2B -两点．(1)求一次函数与反比例函数的解析式．(2)根据图像，请直接写出一次函数值1y 大于反比例函数值2y 时x 的取值范围．3．如图，直线(0)y kx b k =+≠与双曲线my x=（m ≠0）相交于A （1，2），B （-2，-1）两点，(1)若111222333(,),(,),(,)A x y A x y A x y 为双曲线上的三点，且1230x x x <<<，则123,,y y y 的大小关系为； (2)观察图象，请直接写mkx b x+＞时，x 的取值范围为； (3)分别连接OA 、OB ，求△OAB 的面积．4．如图，在平面直角坐标系中，P 是坐标原点，反比例函数1ky x=的图象与正比例函数22y x =的图象交于A ，B 两点，点C 在x 轴正半轴上，AC AO =，ACO △的面积为8．(1)求k 的值和B 点的坐标；(2)根据图象直接写出12y y >时x 的取值范围．5．如图，在平面直角坐标系中，直线11y k x b =+与双曲线2y =2k x相交于A （-2，3），B （m ，-2）两点，(1)求1y ，2y 对应的函数表达式；(2)根据函数图像，直接写出关于x 的不等式1+k x b <2k x的解集； (3)过点B 作BP //x 轴交y 轴于点P ，在x 轴上是否存在点Q ，使得△ ABQ 的面积等于△ABP 的面积的一半，若存在求出Q 点的坐标．6．如图，一次函数y ＝kx +b 与反比例函数6(0)y x x=>的图像交于A （m ，6），B （n ，3）两点．(1)求一次函数的解析式； (2)根据图像直接写出60kx b x+-<时x 的取值范围； (3)若M 是x 轴上一点，且△MOB 和△AOB 的面积相等，求点M 坐标． 7．如图，直线12y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，与反比例函数()20ky k x=<的图象交于点()2,C m -，D ，连接OD ，OC ．(1)求反比例函数的解析式； (2)求COD △的面积；(3)直接写出当x 取什么值时，12y y >． 8．如图，一次函数y =kx +b (k ≠0)与反比例函数y =mx(m ≠0)的图象在第一象限内交于A (1，6)，B (3，n )两点．请解答下列问题：(1)求这两个函数的表达式；(2)根据图象直接写出kx +b ﹣mx>0的x 的取值范围． 9．如图，直线y x m =+与双曲线ky x=相交于()21A ，、B 两点．(1)求m 及k 的值；(2)不解关于x 、y 的方程组,,y x m k y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩直接写出点B 的坐标；(3)直接写出0kx m x--> 的取值范围． 10．如图，已知一次函数1y kx b =+的图象与x 轴相交于点A ，与反比例函数2c y x =的图象相交于()1,5B -、5,2C d ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点．(1)求k 、b 的值，并直接写出当12y y ≤时x 的取值范围；(2)点(),P m n 是线段AB 上的一个动点，过点P 作x 轴的平行线与函数2cy x=的图象相交于点D ．求PAD 的面积S 关于n 的函数解析式11．已知：正比例函数y x =的图像与反比例函数ky x=的图像有一个交点的纵坐标是2，(1)当3x =-时，求反比例函数ky x=的值； (2)当32x -<<时，反比例函数ky x=的取值范围是______； (3)当正比例函数值大于反比例函数值时，x 的取值范围是______．12．如图，已知反比例函数ky x=的图象与一次函数y x b =-+的图象交于点()1,4A ，点()4,B n ．(1)求n 和b 的值； (2)观察图像，不等式kx b x>-+的解集为________．答案与解析1．如图，直线1y k x b =+与双曲线2k y x=交于A 、B 两点，其横坐标分别为1和5，则不等式21k k x b x+<的解集是（）．2．如图，直线y kx =与双曲线y x =在同一坐标系中如图所示，则不等式kx x<的解集为（）A ．01x <<B ．1x <-3.如图，一次函数111y k x b =+的图象与反比例函数22y x=的图象相交于点()5,A m ,()1,B n -两点，当12y y >时，则自变量x 的取值范围是______．【答案】10x -<<或5x >【详解】由图像知，当10x -<<或5x >时，一次函数在反比例函数上方，即12y y >，【知不足】1.如图，小明同学利用计算机软件绘制函数22x y x =+，122y x =-+，根据学习函数的经验，可以知道21222x x x ≥-++的解集是（）A ．4x ≤-或2x ≥B ．42x -≤<-或22x -<≤2．已知一次函数1(0)y kx b k =+<与反比例函数()20y m x=≠的图象交于点A (－1，yA )和点B (3，yB )两点，当y 1＞y 2时，实数x 的取值范围是（） A ．x ＜－1或0＜x ＜3 B ．－1＜x ＜0或0＜x ＜3 C ．－1＜x ＜0或x ＞3 D ．0＜x ＜3【答案】A 【详解】解：依照题意画出函数图象，如图所示．观察函数图象，可知：当x ＜﹣1或0＜x ＜3时，一次函数图象在反比例函数图象上方，∴当y 1＞y 2，实数x 的取值范围为x ＜﹣1或0＜x ＜3．4. 如图，一次函数11(0)y k x b k =+≠与反比例函数22(0)k y k x=≠的图象交于点()2,3A ，(),1B a -，则不等式xk b x k 21≥+ 的解集是___________．2kb x，只需要一次函数的图象在反比例函)，(6,B --4.如图，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2ky x=的图象相交于点()3,1A 、()1,B n -两点.(1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象，请你直接写出满足条件：21k k x b +≥的x 的取值范围.10x -≤<或3x ≥．【一览众山小】1.如图，直线y kx =与双曲线3y x =-在同一坐标系中如图所示，则不等式3kx x>-的解集为（）A ．01x <<B ．1x <-x 把3y =代入3y x=-得=1x -，∴()1,3A -，再把()1,3-代入直线y kx =得，3k =-，解得3k =-，∴3y x =-，联立方程组33y xy x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得13x y =-⎧⎨=⎩或13x y =⎧⎨=-⎩， 32．如图，正比例函数11y k x =的图像与反比例函数22y x=的图像相交于A 、B 两点，点A 的横坐标为2，当120y y <<时，x 取值范围是( )A ．02x <<或2x >B ．02x <<C ．2x <-D ．20x -<<【答案】C 【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点A 的横坐标为2，∴点B 的横坐标为2-，由函数图象可知，当<2x -时，反比例函数图象在正比例函数的图象的上方，且位于y 轴负半轴，∴当120y y <<时，x 取值范围是<2x -，3.如图，一次函数3y x =-+的图象与反比例函数()0ky k x=≠在第一象限内的图象交于()1,A a 和B 两点，与x 轴交于点C ．(1)求反比例函数的解析式； (2)求出另一个交点B 的坐标；(3)根据图象直接写出当0x >时，不等式3kx-+<的解集． 4．如图，直线3y kx =+与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，与反比例函数y x=交于点A 、D ，过D 作DE x ⊥轴于E ，连接OA ，OD ，若()2,A n -，:1:2OAB ODE S S =△△．(1)求点B 的坐标，并求出反比例函数的表达式； (2)求点D 的坐标；(3)直接写出关于x 不等式：3mkx >-的解集为______．1=2AOB S =3DOE S ，∵反比例函数图像位于二、四象限，∴，∴反比例函数的表达5．如图，一次函数()0y ax b a =+≠的图像与反比例函数()0y k x=≠的图像交于()2,M m ，()1,4N --两点．(1)求反比例函数的解析式及m 的值；(2)观察图像，直接写出不等式kax b <+的解集．．点x【温故为师】1.已知一次函数(0)y ax b a =+≠的图象与反比例函数(0)ky k x=≠的图象相交于点(3,2)A -，(2,)B n ．(1)求一次函数和反比例函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；(2)根据函数图象，直接写出不等式kax b x+<的解集； (3)若这个一次函数的图象与y 轴交于点C ，点D 是点C 关于x 轴的对称点，连接AD ，BD ，x∴反比例函数的表达式为6y x=-,612ABD ACD BCD S S S CD =+=2．如图，一次函数1y kx b =+与反比例函数2y x=的图像交于()1,A n -、()3,2B -两点．(1)求一次函数与反比例函数的解析式．y 大于反比例函数值y 时x 的取值范围．3．如图，直线(0)y kx b k =+≠与双曲线y x=（m ≠0）相交于A （1，2），B （-2，-1）两点，(1)若111222333(,),(,),(,)A x y A x y A x y 为双曲线上的三点，且1230x x x <<<，则123,,y y y 的大小关系为；(2)观察图象，请直接写mkx b x+＞时，x 的取值范围为；减小，10x x <<于反比例函数的图象上方，kx b +得：与x 轴的交点为点C ，当0y =时，10x +=，解得=1x -，即(1,0),1C OC -=，1131211222OABOACOBCSSS=+=⨯⨯+⨯⨯= 4．如图，在平面直角坐标系中，P 是坐标原点，反比例函数1ky x=的图象与正比例函数22y x =的图象交于A ，B 两点，点C 在x 轴正半轴上，AC AO =，ACO △的面积为8．(1)求k 的值和B 点的坐标；y y >时x 的取值范围．【答案】(1)8,(2,4)k B =--(2)<2x -或02x <<（1）如图，过点A 作AD OC ⊥于点D ，AC AO =，CD DO ∴=，11184222AODACDAOCSSS k ∴===⨯==，又该反比例函数图象在第一、三象限，即0k >， 8=，由题意得，方程组2y x=⎧⎪⎨，又点5．如图，在平面直角坐标系中，直线11y k x b =+与双曲线2y =2x相交于A （-2，3），B （m ，-2）两点，(1)求1y ，2y 对应的函数表达式；(2)根据函数图像，直接写出关于x 的不等式1+k x b <2k x的解集； (3)过点B 作BP //x 轴交y 轴于点P ，在x 轴上是否存在点Q ，使得△ ABQ 的面积等于△ABP222226．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数6(0)y xx=>的图像交于A（m，6），B（n，3）两点．(1)求一次函数的解析式；(2)根据图像直接写出6kx bx+-<时x的取值范围；当y =0时，0=-3x +9，解得：x =3，∴P （3，0）∵点A 到x轴的距离为6，点B 到x 轴的距离为3，∴AOB AOP BOP S S S ∆∆∆=-=1193633222⨯⨯-⨯⨯=，197．如图，直线12y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，与反比例函数()20y k x=<的图象交于点()2,C m -，D ，连接OD ，OC ．(1)求反比例函数的解析式； (2)求COD △的面积；x 取什么值时，y y >．（2）解：过D 作DN OB ⊥于N ，过C 作CM OB ⊥于M ，设(),D a b ，∴2b a =-+，8-=b a ，∴82--+=a a，∴2280a a --=，∴12a =-，24a =，∴14b =，22b =-，∴()2,4C -，()4,2D -，4CM =2y x =-+()0,2A ()2,0B 2OB =CODCOBBODSSS=+，8．如图，一次函数y =kx +b (k ≠0)与反比例函数y =mx(m ≠0)的图象在第一象限内交于A (1，6)，B (3，n )两点．请解答下列问题：(1)求这两个函数的表达式； (2)根据图象直接写出kx +b ﹣m>0的x 的取值范围．9．如图，直线y x m =+与双曲线y x=相交于()21A ，、B 两点．(1)求m 及k 的值；(2)不解关于x 、y 的方程组,,y x m k y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩直接写出点B 的坐标；(3)直接写出0kx m x--> 的取值范围．【答案】(1)12m k =-=，(2)()12B --，(3)02x <<或1x <-【详解】（1）将点A （2,1）的坐10．如图，已知一次函数1y kx b =+的图象与x轴相交于点A ，与反比例函数2y x=的图象相交于()1,5B -、5,2C d ⎛⎫⎪⎝⎭两点．(1)求k 、b 的值，并直接写出当12y y ≤时x 的取值范围；(2)点(),P m n 是线段AB 上的一个动点，过点P 作x 轴的平行线与函数2cy x=的图象相交于PADS=）解：点5c ∴=-，5,2C d ⎛⎫ ⎪⎝⎭两个点的坐标代入1y ，(,)P m n 在线段，PD x ∥轴及点在反比例函数图象上，5,n n ⎫-⎪⎭，532n n -∴=+21344PAD S n n =++PAD ∴的面积析式为PAD S =-11．已知：正比例函数y x =的图像与反比例函数y x=的图像有一个交点的纵坐标是2，(1)当3x =-时，求反比例函数ky x =的值； (2)当32x -<<时，反比例函数ky x=的取值范围是______；x ，点，A 点在反比例函数3-时，y 的增大而减小，当3=-时，的增大而减小，当解：A 、B 两点关于原点对称性，，当正比例函数值大于反比例函数值时，正比例函数的图像位于反的取值范围是12．如图，已知反比例函数y x=的图象与一次函数y x b =-+的图象交于点()1,4A ，点()4,B n ．(1)求n 和b 的值； (2)观察图像，不等式kx b >-+的解集为________．。

一次函数和反比例函数及解答

2015年初中一次函数和反比例函数的练习题及解答一．填空题（共5小题）1．（2014秋•嘉祥县校级期末）如果函数y=（k﹣3）+kx+1是二次函数，那么k的值一定是．2．（2013秋•东海县校级月考）函数的图象是抛物线，则m=．3．（2014•武汉模拟）直线y=mx+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，那么不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是．4．（2011•河池）如图是二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2=mx+n（m≠0）的图象，当y2＞y1，x的取值范围是．5．（2011•沙县校级质检）如图，⊙O的半径为2．C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=﹣x2的图象，则阴影部分的面积是．二．解答题（共8小题）6．（2014•仙桃）反比例函数y=在第一象限的图象如图所示，过点A（1，0）作x轴的垂线，交反比例函数y=的图象于点M，△AOM的面积为3．（1）求反比例函数的解析式；（2）设点B的坐标为（t，0），其中t＞1．若以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数y=的图象上，求t的值．7．（2014•自贡）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．8．（2014•南充）如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A（2，5）和点B，与y轴相交于点C（0，7）．（1）求这两个函数的解析式；（2）当x取何值时，y1＜y2．9．（2014•天水模拟）如图，已知A （﹣4，n），B （2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点；（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；（3）求不等式的解集（请直接写出答案）．10．（2014•淮北模拟）如图，已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点．（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．11．（2014•永川区校级模拟）如图，已知反比例函数y=的图象经过点A（1，﹣3），一次函数y=kx+b的图象经过点A与点C（0，﹣4），且与反比例函数的图象相交于另一点B（3，n）．（1）试确定这两个函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图形直接写出反比例函数值大于一次函数值时自变量的取值范围．12．（2014•市中区一模）如图，反比例函数（x＞0）的图象经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为（2，0），tan∠AOB=．（1）求k的值；（2）将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数（x＞0）的图象恰好经过DC的中点E，求直线AE的函数表达式；（3）若直线AE与x轴交于点M、与y轴交于点N，请你探索线段AN与线段ME的大小关系，写出你的结论并说明理由．13．（2014•黄冈模拟）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（8，4）．过点D（0，6）和E（12，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；（2）若反比例函数（x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；（3）若反比例函数（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围．2015年04月07日467044198的初中数学组卷参考答案与试题解析一．填空题（共5小题）1．（2014秋•嘉祥县校级期末）如果函数y=（k﹣3）+kx+1是二次函数，那么k的值一定是0．2．（2013秋•东海县校级月考）函数的图象是抛物线，则m=﹣1．3．（2014•武汉模拟）直线y=mx+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，那么不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是1＜x＜2．；根据4．（2011•河池）如图是二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2=mx+n（m≠0）的图象，当y2＞y1，x的取值范围是﹣2＜x＜1．5．（2011•沙县校级质检）如图，⊙O的半径为2．C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=﹣x2的图象，则阴影部分的面积是2π．π×2二．解答题（共8小题）6．（2014•仙桃）反比例函数y=在第一象限的图象如图所示，过点A（1，0）作x轴的垂线，交反比例函数y=的图象于点M，△AOM的面积为3．（1）求反比例函数的解析式；（2）设点B的坐标为（t，0），其中t＞1．若以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数y=的图象上，求t的值．|k|=3；的图象上，根据正方形的性质得∴|k|=3；得的图象上时，7．（2014•自贡）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．）代入时，××8．（2014•南充）如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A（2，5）和点B，与y轴相交于点C（0，7）．（1）求这两个函数的解析式；（2）当x取何值时，y1＜y2．，．，，9．（2014•天水模拟）如图，已知A （﹣4，n），B （2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点；（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；（3）求不等式的解集（请直接写出答案）．，运用y=．∴×2+10．（2014•淮北模拟）如图，已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点．（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．求出﹣求出得；得﹣，11．（2014•永川区校级模拟）如图，已知反比例函数y=的图象经过点A（1，﹣3），一次函数y=kx+b的图象经过点A与点C（0，﹣4），且与反比例函数的图象相交于另一点B（3，n）．（1）试确定这两个函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图形直接写出反比例函数值大于一次函数值时自变量的取值范围．）∵∴即（又∵∴12．（2014•市中区一模）如图，反比例函数（x＞0）的图象经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为（2，0），tan∠AOB=．（1）求k的值；（2）将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数（x＞0）的图象恰好经过DC的中点E，求直线AE的函数表达式；（3）若直线AE与x轴交于点M、与y轴交于点N，请你探索线段AN与线段ME的大小关系，写出你的结论并说明理由．，∴=的纵坐标为在双曲线），解得，∴，AN=…EC=13．（2014•黄冈模拟）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（8，4）．过点D（0，6）和E（12，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；（2）若反比例函数（x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；（3）若反比例函数（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围．∴，x+6x+6）∵；x+6（（。

2019年河北省中考数学总复习专题5一次函数反比例函数与实际应用精讲试题

数学精品复习资料解题策略此专题内容多出在中档题中，主要有以下三种题型：(1)待定系数法求表达式；(2)应用题找等量关系建立函数模型；(3)两种函数的混搭．,重难点突破)一次函数与反比例函数综合题【例1】一次函数y ＝mx ＋5的图像与反比例函数y ＝kx(k≠0)在第一象限的图像交于A(1，n)和B(4，1)两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为M.(1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求△OAM 的面积S ；(3)在y 轴上求一点P ，使PA ＋PB 最小．【解析】(1)根据待定系数法分别求出反比例函数与一次函数表达式即可；(2)根据反比例函数的性质，直接求出面积即可；(3)作点A 关于y 轴的对称点N ，连接BN 交y 轴于点P ，则点P 即为所求．【答案】解：(1)将B(4，1)代入y ＝k x ，得1＝k 4.∴k ＝4，∴y ＝4x.将B(4，1)代入y ＝mx ＋5，得1＝4m ＋5，∴m ＝－1，∴y ＝－x ＋5；(2)在y ＝4x 中，令x ＝1，解得y ＝4，∴A(1，4)，∴S ＝12×1×4＝2；(3)作点A 关于y 轴的对称点N ，则N(－1，4)，连接BN 交y 轴于点P ，点P 即为所求．设直线BN 的关系式为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝1，－k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－35，b ＝175，y ＝－35x ＋175，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，175.1．(泰安中考)一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝mx的图像相交于A(－1，4)，B(2，n)两点，直线AB 交x轴于点D.(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)过点B 作BC⊥y 轴，垂足为C ，连接AC 交x 轴于点E ，求△AED 的面积S.解：(1)将A(－1，4)代入y ＝m x ，得4＝m－1，∴m ＝－4，∴y ＝－4x.将x ＝2代入y ＝－4x，得y ＝－2，∴B(2，－2)．将A(－1，4)，B(2，－2)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝4，2k ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝2，∴y ＝－2x ＋2；(2)∵△AED 的高为4，△ACB 的高为：4＋2＝6.∵ED∥BC，∴△AED ∽△ACB ， ∴S △AED S △ACB ＝(46)2＝49， ∴S △AED ＝49×12×2×6＝83.【方法指导】先综合考虑两者之间的联系，再利用待定系数法求一次函数及反比例函数的表达式．一次函数的实际应用【例2】(2016邯郸二十三中模拟)山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投入市场，某车行经营的A 型车去年销售总额为5万元，今年每辆售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%.A ，B 两种型号车的进货和销售价格如下表：(1)今年A (2)该车行计划新进一批A 型车和新款B 型车共60辆，且B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？【解析】(1)把卖出的数量相同作为等量关系列方程；(2)建立获利的函数关系式，然后用一次函数的性质回答问题．【答案】(1)设今年A 型车每辆售价为x 元，则去年每辆售价为(x ＋400)元．由题意，得50 000x ＋400＝50 000（1－20%）x.解得x ＝1 600.经检验，x ＝1 600是所列方程的根．答：今年A 型车每辆售价为1 600元；(2)设车行新进A 型车m 辆，则B 型车为(60－m)辆，获利y 元．由题意，得y ＝(1 600－1 100)m ＋(2 000－1 400)(60－m)，即y ＝－100m ＋36 000.∵B 型车的进货数量不超过A 型车数量的2倍． ∴60－m ≤2m.∴m≥20.∵－100＜0，y 的值随m 的值增大而减小． ∴当m ＝20时，获利最大， ∴60－m ＝60－20＝40(辆)．即当新进A 型车20辆，B 型车40辆时获利最大．2.(2017鄂州中考)小东家与学校之间是一条笔直的公路，早饭后，小东步行前往学校，途中发现忘带画板，停下给妈妈打电话，妈妈接到电话后，带上画板马上赶往学校，同时小东沿原路返回，两人相遇后，小东立即赶往学校，妈妈沿原路返回16 min 到家，再过5 min 小东到达学校．小东始终以100 m /min 的速度步行，小东和妈妈的距离y (单位：m )与小东打完电话后的步行时间t (单位：min )之间的函数关系如图所示，下列四种说法：(1)打电话时，小东和妈妈距离是1 400 m ；(2)小东与妈妈相遇后，妈妈回家速度是50 m /min ； (3)小东打完电话后，经过27 min 到达学校； (4)小东家离学校的距离为2 900 m . 其中正确的个数是( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．(丽水中考)2016年3月27日“丽水半程马拉松竞赛”在莲都举行，某运动员从起点万地广场西门出发，途经紫金大桥，沿比赛路线跑回终点万地广场西门．设该运动员离开起点的路程s(km )与跑步时间t(min )之间的函数关系如图所示，其中从起点到紫金大桥的平均速度是0.3 km /min ，用时35 min ，根据图像提供的信息，解答下列问题：(1)求图中a 的值；(2)组委会在距离起点2.1 km 处设立一个拍摄点C ，该运动员从第一次过点C 到第二次过点C 所用的时间为68 min .①求AB 所在直线的函数表达式； ②该运动员跑完赛程用时多少分钟？解：(1)a ＝0.3×35＝10.5；(2)①∵直线OA 经过点O(0，0)，A(35，10.5)， ∴直线OA 的表达式为s ＝0.3t(0≤t≤35)， ∴当s ＝2.1时，0.3t ＝2.1，解得t ＝7.∵该运动员从第一次过点C 到第二次过点C 所用时间为68 min ，∴该运动员从起点到第二次过点C 所用的时间是7＋68＝75(min )，∴直线AB 经过(35，10.5)，(75，2.1)两点，设直线AB 的表达式为s ＝kt ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧35k ＋b ＝10.5，75k ＋b ＝2.1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－0.21，b ＝17.85， ∴s ＝－0.21t ＋17.85；②∵该运动员跑完赛程所用的时间即为直线AB 与横轴交点的横坐标的值． ∴当s ＝0时，－0.21t ＋17.85＝0，解得t ＝85， ∴该运动员跑完赛程用时85 min .4．(2017咸宁中考)某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月(30天)的试销售，售价为8元/件．工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘制成如图图像，图中的折线ODE 表示日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的函数关系，已知线段DE 表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．(1)第24天的日销售量是________件，日销售利润是________元； (2)求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；(3)日销售利润不低于640元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？解：(1)330，660；(2)设线段OD 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx.因为y ＝kx 的图像过点(17，340)，∴17k ＝340，解得k ＝20，∴线段OD 所表示函数表达式为：y ＝20x.根据题意，得线段DE 所表示的y 与x 之间的函数表达式为：y ＝340－5(x －22)＝－5x ＋450.∵D 是线段OD 与线段DE 的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝20x ，y ＝－5x ＋450，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18，y ＝360.∴D的坐标为(18，360)，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x （0≤x≤18），－5x ＋450（18＜x≤30）；(3)当0≤x≤18时，由题意得(8－6)×20x≥640，解得x≥16；当18＜x≤30时，由题意得(8－6)×(－5x ＋450)≥640，解得x≤26，∴16≤x ≤26，26－16＋1＝11(天)，∴日销售利润不低于640元的共有11天．∵D 的坐标为(18，360)，∴日最大销售量为360件，(8－6)×360＝720(元)，∴试销售期间，日销售最大利润为720元．【方法指导】确定一次函数表达式，建立函数模型，再解决实际问题．反比例函数与其他函数综合应用【例3】某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验，测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x h 之间的函数关系如图所示(当4≤x≤10时，y 与x 成反比例)．(1)根据图像分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y 与x 之间的函数关系式； (2)问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时？【解析】(1)分别利用正比例函数以及反比例函数表达式求法得出即可；(2)据y ＝4分别求出相应的x 的值，进而得出答案．【答案】解：(1)由图像可知；当0≤x≤4时，y 与x 成正比例关系，设y ＝kx.由图像可知，当x ＝4时，y ＝8，∴4k ＝8，解得k ＝2.∴y＝2x(0≤x≤4)．当4＜x≤10时，y 与x 成反比例，设y ＝mx.由图像可知，当x ＝4时，y ＝8，∴m ＝4×8＝32，∴y ＝32x(4＜x≤10)．∴血液中药物浓度上升阶段，y ＝2x(0≤x≤4)；血液中药物浓度下降阶段，y ＝32x(4＜x≤10)．(2)血液中药物浓度不低于4微克/毫升，即y≥4.∴2x ≥4且32x≥4，解得2≤x≤8.∴持续时间为6 h .5．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5 h 内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(h )的关系可近似地用二次函数y ＝－200x 2＋400x 刻画；1.5 h 后(包括1.5 h )y 与x 可近似地用反比例函数y ＝k x刻画(如图)．(1)根据上述数学模型计算：①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？ ②当x ＝5时，y ＝45，求k 的值；(2)按国家规定，车辆驾驶人员血液中酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．解：(1)①当x ＝－b2a＝1时，y ＝200.∴喝酒后1 h 血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200毫克/百毫升；②把x ＝5，y ＝45代入反比例函数y ＝kx，得k ＝5×45＝225；(2)把y ＝20代入反比例函数y ＝225x，得x ＝11.25.∴喝完酒经过11.25 h 为第二天早上7：15.∴第二天早上7：15以后才可以驾车，7：00不能驾车去上班．【方法指导】确定反比例函数表达式，建立函数模型，再解决与其他函数有关的实际问题．。

一次函数和反比例函数的知识点及例题

一次函数和反比例函数知识点及典型例题一次函数：一、基础知识1.一次函数定义：若两个变量x ，y 间的关系可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数。

其中x 是自变量，y 是因变量。

当b=0时，y=kx( k ≠0)，称y 是x 的正比例函数。

2.一次函数的图像画法：①列表②描点③连线在实际解题过程中，画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b ），（bk -，0）.即横坐标或纵坐标为0的点.3、一次函数的表示方法（1）列表法（2）解析式法：（3）图象法：4、正比例函数及性质1）解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0） 2）必过点：（0，0）、（1，k ） 3）走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限 4）增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小 5、一次函数的性质（重点，请牢记）1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0) 2）必过点：（0，b ）和（-kb，0） 3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限 4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小. 6）图像的平移：当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.6、一次函数y=kx ＋b 的图象（重点，请牢记）7、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx ＋b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx 平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）. 8、直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2的位置关系（1）两直线平行：k 1=k 2且b 1 ≠b 2 2）两直线相交：k 1≠k 2 3）两直线重合：k 1=k 2且b 1=b 2 9、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）设一次函数（2）代人点的坐标（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.二、经典例题题型一、点的坐标方法： x 轴上的点纵坐标为0，y 轴上的点横坐标为0；若两个点关于x 轴对称，则他们的横坐标相同，纵坐标互为相反数；若两个点关于y 轴对称，则它们的纵坐标相同，横坐标互为相反数；若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数； 1、若点A （m,n ）在第二象限，则点（|m|,-n ）在第____象限；2、若点P （2a -1,2-3b ）是第二象限的点，则a,b 的范围为______________________；3、已知A （4，b ），B （a,-2），若A ，B 关于x 轴对称，则a=_______,b=_________;若A,B 关于y 轴对称，则a=_______,b=__________;若若A ，B 关于原点对称，则a=_______,b=_________； 4、若点M （1-x,1-y ）在第二象限，那么点N （1-x,y -1）关于原点的对称点在第______象限。

一次函数和反比例函数综合问题

一次函数和反比例函数综合问题(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--个性化辅导教案学科学生年级年级授课时间 2016 年月日授课教师一次函数和反比例函数综合问题一选择题1.如图，已知直线y x2=-+分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线kyx=交于E，F两点.若AB=2EF，则k的值是A．1- B．1 C．12D．342.已知点A在双曲线2yx=-上，点B在直线y x4=-上，且A，B两点关于y轴对称，设点A的坐标为()m,n，则m nn m+的值是【】A．10- B．8- C．6 D．43.如图，双曲线myx=与直线y=kx+b交于点M、N，并且点M的坐标为（1，3），点N的纵坐标为﹣1．根据图象信息可得关于x的方程mkx bx=+的解为【】A. ﹣3，1B. ﹣3，3C. ﹣1，1D. ﹣1，34.如图，已知点A是直线y=x与反比例函数kyx=（k＞0，x＞0）的交点，B是kyx=图象上的另一点，BC∥x轴，交y轴于点C．动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M，N ．设四边形OMPN 的面积为S ，P 点运动时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致为【】A. B. C. D.5. 如图，点P （﹣1，1）在双曲线上，过点P 的直线l 1与坐标轴分别交于A 、B 两点，且tan ∠BAO =1．点M 是该双曲线在第四象限上的一点，过点M 的直线l 2与双曲线只有一个公共点，并与坐标轴分别交于点C 、点D ．则四边形ABCD 的面积最小值为【】A ．10B ．8C ．6D ．不确定 6．如图，直线1y x 12=-与x 轴交于点B ，双曲线ky (x 0)x =>交于点A ，过点B 作x 轴的垂线，与双曲线ky x=交于点C ，且AB =AC ，则k 的值为-----------A ．2B ．3C ．4D ．6 7．已知k 1＞0＞k 2，则函数y =k 1x 和y =2k x的图象在同一平面直角坐标系中大致是【】A B C D 8.如图，反比例函数6y x=-在第二象限的图象上有两点A 、B ，它们的横坐标分别为-1，-3.直线AB 与x 轴交于点C ，则△AOC 的面积为【】A. 8B. 10C. 129. 若ab ＞0，则一次函数y =ax +b 与反比例函数aby x=在同一坐标系数中的大致图象是【】10. 如图，正比例函数y 1=k 1x 和反比例函数22k y =x的图象交于A （﹣1，2）、B （1，﹣2）两点，若y 1＜y 2，则x 的取值范围是【】A ．x ＜﹣1或x ＞1B ．x ＜﹣1或0＜x ＜1C ．﹣1＜x ＜0或0＜x ＜1D ．﹣1＜x ＜0或x ＞111.如图，一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数4y=x的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②△AOB∽△FOE；③△DCE≌△CDF；④AC=B D．其中正确的结论是【】A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③④二、填空题1.如图，一次函数y=kx﹣1的图象与x轴交于点A，与反比例函数3yx=（x＞0）的图象交于点B，BC垂直x轴于点C．若△ABC的面积为1，则k的值是．2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线3y x2=与双曲线6yx=相交于A，B两点，C是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交y轴于点P，连接BP，B C. 若△PBC的面积是20，则点C的坐标为 .3. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数1y x 23=+与反比例函数()5y x>0x=的图象交点的横坐标为x 0．若k ＜x 0＜k +1，则整数k 的值是．4. 如图，已知直线1y x 2=与双曲线ky x=（k ＞0）交于A 、B 两点，点B 的坐标为()42--，，C 为双曲线ky x=（k ＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC 的面积为6，则点C 的坐标为5. 如图，已知一次函数y =kx +b 的图象经过点P （3，2），与反比例函数2y x=（x ＞0）的图象交于点Q （m ，n ）．当一次函数y 的值随x 值的增大而增大时，m 的取值范围是．6.如图，已知函数y =2x 和函数ky=x的图象交于A 、B 两点，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，若△AOE 的面积为4，P 是坐标平面上的点，且以点B 、O 、E 、P 为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P 点坐标是．7. 如图，直线y =6x ，y =23x 分别与双曲线ky x=在第一象限内交于点A ，B ，若S △OAB =8，则k = ．8. 如图，直线b x y +-=与双曲线xy 1=（x ＞0）交于A 、B 两点，与x 轴、y 轴分别交于E 、F 两点，连结OA 、OB ，若AOB OBF OAE S S S ∆∆∆=+，则=b ．9. 如图，M 为双曲线3y=上的一点，过点M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线y ＝－x ＋m 于点D 、C 两点，若直线y ＝－x ＋m 与y 轴交于点A ，与x 轴相交于点B ，则AD •BC 的值为．三、解答题1.如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，直线CD 与x 轴、y 轴分别交于点C ，D ，AB 与CD 相交于点E ，线段OA ，OC 的长是一元二次方程x 2﹣18x +72=0的两根（OA ＞OC ），BE =5，tan ∠ABO =43．（1）求点A ，C 的坐标；（2）若反比例函数y =k x的图象经过点E ，求k 的值；（3）若点P 在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q ，使以点C ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是矩形若存在，请写出满足条件的点Q 的个数，并直接写出位于x 轴下方的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，点A（1，6）和点M（m，n）都在反比例函数kyx=（x＞0）的图象上，（1）k的值为；（2）当m=3，求直线AM的解析式；（3）当m＞1时，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，试判断直线BP与直线AM的位置关系，并说明理由．3.如图，一次函数y=ax+b与反比例函数kyx=的图象交于A、B两点，点A坐标为（m，2），点B坐标为（﹣4，n），OA与x轴正半轴夹角的正切值为13，直线AB交y轴于点C，过C作y轴的垂线，交反比例函数图象于点D，连接OD、B D．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求四边形OCBD的面积．4. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形DOBC 是矩形，且D （0，4），B （6，0）．若反比例函数1k y x=（x ＞0）的图象经过线段OC 的中点A ，交DC 于点E ，交BC 于点F ．设直线EF 的解析式为2y k x b =+．（1）求反比例函数和直线EF 的解析式；（2）求△OEF 的面积；（3）请结合图象直接写出不等式12k k x b >0x+-的解集．5.如图，在平面直角坐标系中，一次函数11y k x 1=+的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，与反比例函数22k y x=的图象分别交于点M ，N ，已知△AOB 的面积为1，点M 的纵坐标为2，（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）直接写出12y y >时x 的取值范围。

反比例函数和一次函数综合题(教案)

反比例函数和一次函数综合题教学目标1.经历解决一次函数和反比例函数综合问题的过程，对一次函数和反比例函数有进一步的整体和拓展认识.2.在解决一次函数和反比例函数的交点问题和计算一次函数与反比例函数图象所涉及的常见几何图形的面积的过程中，进一步提高学生的分析和解决问题的能力.3.在探究问题解决过程中，体会“数形结合”，同时在数学学习活动中获得成功的体验. 教学重点 1.一次函数与反比例函数图象所涉及常见三角形面积计算.2.一次函数与反比例函数的综合运用.教学难点一次函数与反比例函数重要知识点的综合运用. 【活动一】预备知识1. 已知一次函数y=k 1x+b(k 1≠0)与y=xk 2(k 2≠0)相交于点A ，若点A 的横坐标为x A ，则点A 的坐标可表示为___________________或者____________________。

2、已知直线y 1=k 1x+b 1(k 1≠0)与y 2=k 2x+b 2 (k 2≠0)互相垂直，则____________3、已知反比例函数xy 2=图像与一次函数)0(<+=k b kx y 图像交于A ),(A A y x 、B ),(B B y x两点，请用含k 、b 的代数式填空：①B A x x +=______; ②B A x x ⋅=______; ③2)(B A x x -=_______;④2)(B y y A -=______2)(B A x x -; ⑤AB=()()22B A B A y y x x -+-=2)_(__________B A x x - =]4))[(122B A B A x x x x k -++（【活动二】例题讲解例：如图1，已知直线y=x-2与x 轴、y 轴交于点B 、A ，过A 、B 两点分别作y 轴、x 轴的垂线交于点F ，点C 为BF 的中点，双曲线y=xm(x>0)经过点C 。

（1）如图1，写出F 点的坐标，并求出双曲线的解析式。

05-专项2 反比例函数与一次函数的综合应用九年级上册数学冀教版

第二十七章反比例函数
快速核答案过专项阶段强化专项训练类型1 反比例函数与一次函数图像共存问题 1.D 2.D 类型2 反比例函数与一次函数图像的交点问题
3.D 4.（1）解：将代入，得．
（2）①当时，. 点在直线上，，解得，直线的函数表达式为.画出两函数图像如图1所示，则区域内的整点有，，共2个．
直线的函数表达式为，此时区域内恰有5个整点（如图2所示）．当区域内恰有5个整点时，的取值范围是，又为整数，，．
解法一分两种情况：①当时，一次函数的图像经过第一、二、四象限，函数的图像位于第一、二象限，C项不合题意；②当时，一次函数的图像经过第一、三、四象限，函数的图像位于第三、四象限，A项、B项不合题意,D项符合题意.
解法二一次函数，所以一次函数的图像经过点，排除A项.B项，由一次函数的图像可知，由函数的图像可知，的符号不一致，排除B项项，由一次函数的图像可知,由函数的图像可知,的符号不一致，排除C项项，由一次函数的图像可知，由函数的图像可知，的符号一致，符合题意.
D
A. B.或 C.或 D.或
【解析】由题图可知，函数和的图像的交点的横坐标分别为，1. 当或时，的图像在的图像的上方，当或时，，即．
4.[2023保定十九中期末]在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图像交于点．
（1）求的值.
解：将代入，得．
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记直线与函数的图像所围成的区域（不含边界）为.点（，为整数）在直线上．
类型2 反比例函数与一次函数图像的交点问题
（1）比较函数值大小：当横坐标一致时，在上方的点对应的函数值大于在下方的点对应的函数值.（2）交点问题：已知交点坐标求表达式，把交点坐标代入表达式中，利用待定系数法求解即可.

反比例函数与一次函数不等式解集

反比例函数与一次函数不等式解集一、什么是反比例函数和一次函数？反比例函数是指函数的自变量x和因变量y之间的关系满足y=k/x 的函数形式，其中k为常数且k≠0。

反比例函数的图像通常是一个双曲线。

一次函数是指函数的自变量x和因变量y之间的关系满足y=ax+b的函数形式，其中a和b为常数且a≠0。

一次函数的图像通常是一条直线。

二、反比例函数的不等式解集对于反比例函数y=k/x，其中k为常数且k≠0，我们可以通过以下步骤求解不等式解集：1. 将不等式转化为等式，得到y=k/x；2. 根据k的正负性和不等式的方向，确定x的取值范围；3. 将确定的x值代入y=k/x，求解y的取值范围；4. 将x和y的取值范围组合起来，得到最终的不等式解集。

举个例子来说明，考虑不等式y>2/x，我们可以按照上述步骤求解：1. 将不等式转化为等式，得到y=2/x；2. 由于k=2>0，且不等式方向为“大于”，所以x的取值范围为x<0或x>0；3. 将确定的x值代入y=2/x，求解y的取值范围。

当x<0时，y<0；当x>0时，y>0；4. 将x和y的取值范围组合起来，得到不等式解集为{x<0}∪{x>0, y>0}。

三、一次函数的不等式解集对于一次函数y=ax+b，其中a和b为常数且a≠0，我们可以通过以下步骤求解不等式解集：1. 将不等式转化为等式，得到y=ax+b；2. 根据a的正负性和不等式的方向，确定x的取值范围；3. 将确定的x值代入y=ax+b，求解y的取值范围；4. 将x和y的取值范围组合起来，得到最终的不等式解集。

举个例子来说明，考虑不等式y≥3x-1，我们可以按照上述步骤求解：1. 将不等式转化为等式，得到y=3x-1；2. 由于a=3>0，且不等式方向为“大于等于”，所以x的取值范围为整个实数集R；3. 将确定的x值代入y=3x-1，求解y的取值范围。

(河北专版)中考数学第一编教材知识梳理篇第三章函数及其图象第四节反比例函数的图象及性质试题

（河北专版）中考数学第一编教材知识梳理篇第三章函数及其图象第四节反比例函数的图象及性质试题,河北8年中考命题规律)年份题号考查点考查内容分值总分201626(1) 反比例函数的解析式的确定在压轴综合题中以反比例函数二次函数为背景综合考查3 3201510 实际问题中反比例函数图象的判断实际问题以印刷书本数量和使用时间成比例关系3 3201414 反比例函数的图象及性质新定义分段函数，由所给数值判断满足所得解析式的函数图象3 3201310 反比例函数的图象及性质以判断所给结论是否正确的设问形式考查反比例函数的图象及性质3 3201222(1) 反比例函数图象及性质反比例函数与一次函数、平行四边形结合，(1)利用平行四边形的性质，求反比例函数的解析式3 3201112 反比例函数的性质及几何意义程序图、反比例函数与三角形结合，利用反比例函数的性质及k的几何意义判断所给结论的正确性3 3201022(2) 反比例函数的图象及性质反比例函数与一次函数、矩形结合，(2)根据定点求反比例函数的解析式，判断某点是否在图象上3 32009 6 反比例函数的图象及性质已知反比例函数解析式及图象判断增减性2 2命题规律反比例函数在中考中一般设置1道题，分值为2—3分，主要在选择题或解答题中考查，纵观近8年河北中考题可以看出，一般有如下类型：(1)反比例函数解析式的确定，在解答题中考查了3次；(2)反比例函数图象的分析与判断，在选择题中考查了3次；(3)反比例函数图象与性质的相关计算，在选择题中考查了2次，在填空题中考查了1次，解答题中考查了1次．命题预测预计2017年中考的考查会以反比例函数图象及性质的相关计算为主要考查内容.,河北8年中考真题及模拟)反比例函数的图象及性质(8次)1．(2009河北6题2分)反比例函数y ＝1x(x ＞0)的图象如图所示，随着x 值的增大，y 值( B )A ．增大B ．减小C ．不变D ．先减小后增大2．(2014河北14题3分)定义新运算：a⊕b＝⎩⎪⎨⎪⎧a b ，（b ＞0）－ab ，（b ＜0）例如：4⊕5＝45，4⊕(－5)＝45.则函数y ＝2⊕x(x≠0)的图象大致是( D ),A ) ,B ) ,C ) ,D )3．(2013河北10题3分)反比例函数y ＝mx的图象如图所示，以下结论：①常数m ＜－1；②在每个象限内，y 随x 的增大而增大；③若A(－1，h)，B(2，k)在图象上，则h ＜k ；④若P(x ，y)在图象上，则P′(－x ，－y)也在图象上．其中正确的是( C )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④4．(2015河北10题3分)一台印刷机每年印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系，当x ＝2时，y ＝20，则y 与x 的函数图象大致是( C ),A ) ,B ),C ) ,D )5．(2011河北12题3分)根据图①所示的程序，得到了y 与x 的函数图象，如图②.若点M 是y 轴正半轴上任意一点，过点M 作PQ∥x 轴交图象于点P ，Q ，连接OP ，OQ ，则以下结论：①x ＜0时，y ＝2x；②△OPQ 的面积为定值；③x＞0时，y 随x 的增大而增大；④MQ＝2PM ；⑤∠POQ 可以等于90°.其中正确的结论是( B )A ．①②④B ．②④⑤C ．③④⑤D ．②③⑤6．(2016石家庄二十八中模拟)反比例函数y ＝2x的图象在( B )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限7．(2016沧州八中模拟)下列说法中不正确的是( D ) A ．函数y ＝2x 的图象经过原点B ．函数y ＝1x的图象位于第一、三象限C ．函数y ＝3x －1的图象不经过第二象限D ．函数y ＝－3x的值随x 的值的增大而增大8．(2016保定模拟)在反比例函数y ＝m x中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则二次函数y ＝mx 2＋mx 的图象大致是( A ),A ) ,B ) ,C ) ,D )9．(2016衡阳四中模拟)如图，函数y ＝－x 的图象是二、四象限的角平分线，将y ＝－x 的图象以点O 为中心旋转90°与函数y ＝1x的图象交于点A ，再将y ＝－x 的图象向右平移至点A ，与x 轴交于点B ，则点B 的坐标为__(2，0)__．(第9题图)(第10题图)10．(2016唐山九中模拟)如图，点A 是反比例函数y ＝kx图象上的一个动点，过点A 作AB ⊥x 轴，AC ⊥y 轴，垂足分别为点B ，C ，矩形ABOC 的面积为4，则k ＝__－4__．11．(2010河北22题8分)如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A ，C 分别在坐标轴上，顶点B 的坐标为(4，2)．过点D(0，3)和E(6，0)的直线分别与AB ，BC 交于点M ，N.(1)求直线DE 的解析式和点M 的坐标；(2)若反比例函数y ＝mx(x ＞0)的图象经过点M ，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N 是否在该函数的图象上；(3)若反比例函数y ＝mx(x ＞0)的图象与△MNB 有公共点，请直接写出m 的取值范围．解：(1)y ＝－12x ＋3；M(2，2)；(2)y ＝4x ，点N 在函数y ＝4x的图象上；(3)4≤m ≤8.12．(2012河北22题8分)如图，四边形ABCD 是平行四边形，点A(1，0)，B(3，1)，C(3，3)．反比例函数y ＝mx(x ＞0)的图象经过点D ，点P 是一次函数y ＝kx ＋3－3k(k≠0)的图象与该反比例函数图象的一个公共点．(1)求反比例函数的解析式；(2)通过计算，说明一次函数y ＝kx ＋3－3k(k≠0)的图象一定过点C ；(3)对于一次函数y ＝kx ＋3－3k(k≠0)，当y 随x 的增大而增大时，确定点P 横坐标的取值范围(不必写过程)．解：(1)y ＝2x；(2)当x ＝3时，y ＝3k ＋3－3k ＝3. ∴图象一定过点C ；(3)设点P 的横坐标为a ，则23＜a ＜3.,中考考点清单)反比例函数的概念1．一般地，如果变量y 与变量x 之间的函数关系可以表示成①__y ＝kx__(k 是常数，且k≠0)的形式，则称y是x 的反比例函数，k 称为比例函数．反比例函数的图象和性质2．函数图象解析式 y ＝kx(k≠0，k 为常数)k k ＞0 k ＜0图象函数系数所在象限增减性质对称性 y ＝k x (k≠0)k ＞0 第一、三象限(x ，y 同号) 在每个象限内y 随x 的②增大而减小关于③y ＝－x 对称k ＜0 第二、四象限(x ，y 异号) 在每个象限内y 随x 的④增大而增大关于⑤y ＝x 对称k 的几何意义设P(x ，y)是反比例函数y ＝k x 图象上任一点，过点P 作PM⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ，则S 矩形PNOM ＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|【方法技巧】反比例函数与一次函数、几何图形结合 (1)反比例函数与一次函数图象的综合应用的四个方面： A ．探求同一坐标系下两函数的图象常用排除法．B ．探求两函数解析式常利用两函数的图象的交点坐标．C ．探求两图象中点的坐标常利用解方程(组)来解决，这也是求两函数图象交点坐标的常用方法．D ．两个函数值比较大小的方法是以交点为界限，观察交点左、右两边区域的两个函数图象上、下位置关系，从而写出函数值的大小．(2)在平面直角坐标系中求三角形的面积时，通常以坐标轴上的边为底，相对顶点的横坐标(或纵坐标)的绝对值为高；如果没有坐标轴上的边，则用坐标轴将其分割后求解．反比例函数解析式的确定5．步骤(1)设所求的反比例函数为y ＝kx(k≠0)；(2)根据已知条件列出含k 的方程； (3)由代入法解待定系数k 的值；(4)把k 代入函数解析式y ＝kx中．6．求解析式的两种途径求反比例函数的解析式，主要有两条途径：(1)根据问题中两个变量间的数量关系直接写出；(2)在已知两个变量x ，y 具有反比例关系y ＝kx(x≠0)的前提下，根据一对x ，y 的值，列出一个关于k 的方程，求得k 的值，确定出函数的解析式．反比例函数的应用利用反比例函数解决实际问题，首先是建立函数模型．一般地，建立函数模型有两种思路：一是通过问题提供的信息，知道变量之间的函数关系，在这种情况下，可先设出函数的解析式y ＝kx(k≠0)，再由已知条件确定解析式中k 的取值即可；二是问题本身的条件中不确定变量间是什么关系，此时要通过分析找出变量的关系并确定函数解析式．,中考重难点突破)反比例函数的图象及性质【例1】(1)(2016黔东南中考)若ab<0，则正比例函数y ＝ax 与反比例函数y ＝bx在同一坐标系的大致图象可能是( ),A ) ,B ),C ) ,D )(2)(2016安顺中考)如果点A(－2，y 1)，B(－1，y 2)，C(2，y 3)都在反比例函数y ＝kx(k>0)的图象上，那么y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 1<y 3<y 2B ．y 2<y 1<y 3C ．y 1<y 2<y 3D ．y 3<y 2<y 1 【学生解答】(1)B ；(2)B1．(2016遵义中考)已知点A(－2，y 1)，B(3，y 2)是反比例函数y ＝kx(k<0)图象上的两点，则有( B )A ．y 1<0<y 2B ．y 2<0<y 1C ．y 1<y 2<0D ．y 2<y 1<02．(2016保定博野模拟)已知A(－1，y 1)，B (2，y 2)两点在双曲线y ＝3＋2mx上，且y 1＞y 2，则m 的取值范围是( D )A ．m ＞0B ．m ＜0C ．m ＞－32D ．m ＜－323．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝x －1与函数y ＝1x的图象可能是( C ),A ) ,B ),C ) ,D )反比例函数k 的几何意义【例2】(2016铁岭中考)如图，点A 在双曲线y ＝4x 上，点B 在双曲线y ＝kx(k≠0)上，AB∥x 轴，分别过点A ，B 向x 轴作垂线，垂足分别为点D ，C.若矩形ABCD 的面积是8，则k 的值为( )A ．12B ．10C ．8D ．6 【学生解答】A【点拨】由k 的几何意义→点A ，B 对应矩形AEOD ，BEOC 的面积→k 值．4．(2016河南中考)如图，直线y ＝kx 与双曲线y ＝2x(x>0)交于点A(1，a)，则k ＝__2__．(第4题图)(第5题图)5．(2016深圳中考)如图，已知点A 在反比例函数y ＝kx(x ＜0)上，作Rt △ABC ，点D 为斜边AC 的中点，连接DB 并延长交y 轴于点E ，若△BCE 的面积为8，则k ＝__16__.反比例函数与一次函数结合【例3】(2015巴中中考)如图，在平面直角坐标xOy 中，已知四边形DOBC 是矩形，且D(0，4)，B(6，0)．若反比例函数y ＝k 1x(x ＞0)的图象经过线段OC 的中点A ，交DC 于点E ，交BC 于点F ，设直线EF 的解析式为y ＝k 2x ＋b.(1)求反比例函数和直线EF 的解析式； (2)求△OEF 的面积；(3)请结合图象直接写出不等式k 2x ＋b －k 1x＞0的解集．【解析】(1)先利用矩形的性质确定C 点坐标(6，4)，再确定A 点坐标为(3，2)，则根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k 1的值，即可求出反比例函数解析式；然后利用反比例函数解析式确定F 点的坐标为(6，1)，E点坐标为(32，4)，再利用特定系数法求直线EF 的解析式；(2)利用S △OEF ＝S 矩形BCDO －S △ODE －S △OBF －S △CEF 进行计算；(3)观察函数图象得到当32＜x ＜6时，一次函数图象都在反比例函数图象上方，即k 2x ＋b ＞k 1x .【学生解答】解：(1)y ＝6x ，y ＝－23x ＋5；(2)S △OEF ＝454；(3)不等式k 2＋b －k 1x ＞0的解集为32＜x ＜6.6．(2016郴州中考)如图，已知点A(1，2)是正比例函数y 1＝kx(k≠0)与反比例函数y 2＝mx(m≠0)的一个交点．(1)求正比例函数及反比例函数的解析式；(2)根据图象直接回答：在第一象限内，当x 取何值时，y 1<y 2?解：(1)y 1＝2x ，y 2＝2x；(2)0<x<1.7．(2016济宁中考)在矩形AOBC 中，OB ＝6，OA ＝4，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上一点，过点F 的反比例函数y ＝kx(k>0)图象与AC 边交于点E.(1)请用k 表示点E ，F 的坐标；(2)若△OEF 的面积为9，求反比例函数的解析式．解：(1)∵E，F 是反比例函数y ＝kx(k>0)图象上的点，且OB ＝6，OA ＝4，∴点E 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4，4，点F 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，k 6； (2)由题意知：S △ECF ＝12EC ×CF ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫6－14k ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－16k ，∴S △EOF ＝S 矩形AOBC －S △AOE －S △BOF －S △EOF ＝24－12k －12k －12⎝ ⎛⎭⎪⎫6－14k ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－16k ＝9.∴12－k248＝9，解得k ＝12(负值舍去)．∴反比例函数的解析式为y ＝12x.,中考备考方略)1．(2016唐山九中模拟)若点A(a ，b)在反比例函数y ＝2x的图象上，则代数式ab －4的值为( B )A ．0B ．－2C ．2D ．－62．(2016龙东中考)已知：反比例函数y ＝6x，当1<x<3时，y 的最小整数值是( A )A ．3B ．4C ．5D ．63．(2016兰州中考)在同一直角坐标系中，一次函数y ＝kx －k 与反比例函数y ＝kx(k≠0)的图象大致是( A ),A ) ,B ),C ) ,D )4．(2016株洲中考)已知，如图一次函数y 1＝ax ＋b 与反比例函数y 2＝kx的图象如图所示，当y 1<y 2时，x 的取值范围是( D )A ．x<2B ．x>5C ．2<x<5D ．0<x<2或x>55．(2016孝感中考)“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．科学证实：近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m )成反比例．如果500度近视眼镜片的焦距为0.2 m ，则表示y 与x 函数关系的图象大致是( B ),A ) ,B ),C ) ,D )6．(2016福州中考)一个反比例函数图象过点A(－2，－3)，则这个反比例函数的解析式是__y ＝6x__．7．(2016原创)在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD 的边均平行于坐标轴，A 点的坐标为(a ，a)．如图，若曲线y ＝3x(x ＞0)与此正方形的边有交点，则a 的取值范围是__3≤a ≤3＋1__.8．(2016常德中考)如图，直线AB 与坐标轴分别交于A(－2，0)，B(0，1)两点，与反比例函数的图象在第一象限交于点C(4，n)，求一次函数和反比例函数的解析式．解：设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，可得⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝0，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝1.∴直线AC 的解析式为y ＝12x ＋1.把x ＝4，y ＝n 代入y ＝12x ＋1，得n ＝3，∴C(4，3)．设反比例函数的解析式为y ＝mx ，得m ＝4×3＝12.∴反比例函数的解析式为y ＝12x.9．(2016自贡中考)若点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，都是反比例函数y ＝1x图象上的点，并且y 1＜0＜y 2＜y 3，则下列各式中正确的是( B )A ．x 1＜x 2＜x 3B ．x 1＜x 3＜x 2C ．x 2＜x 1＜x 3D ．x 2＜x 3＜x 110．(2016保定二模)如图，直线和双曲线分别是函数y 1＝x(x≥0)，y 2＝4x(x ＞0)的图象，则以下结论：①两函数图象的交点A 的坐标为(2，2)；②当x ＞2时，y 1＜y 2；③当x ＝1时，BC ＝3；④当x 逐渐增大时，y 1随着x 的增大而增大，y 2随着x 的增大而减小．其中正确结论的序号是( A )A ．①③④B ．①②③C ．②③④D ．①②③④(第10题图)(第11题图)11．(2016原创)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 在第一象限内，边BC 与x 轴平行，A ，B 两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y ＝3x的图象经过A ，B 两点，则菱形ABCD 的面积为( D )A ．2B ．4C ．2 2D ．4 212．(2016唐山南路二模)如图所示，已知A(0.5，y 1)，B(2，y 2)为反比例函数y ＝1x图象上的两点，动点P(x ，0)在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是( D )A ．(0.5，0)B ．(1，0)C ．(1.5，0)D ．(2.5，0)13．(2016天津中考)若点A(－5，y 1)，B(－3，y 2)，C(2，y 3)在反比例函数y ＝3x的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( D )A ．y 1<y 3<y 2B ．y 1<y 2<y 3C ．y 3<y 1<y 2D ．y 2<y 1<y 314．(2016兰州中考)如图，A ，B 两点在反比例函数y ＝k 1x 的图象上，C ，D 两点在反比例函数y ＝k 2x 的图象上，AC ⊥x 轴于点E ，BD ⊥x 轴于点F ，AC ＝2，BD ＝3，EF ＝103，则k 2－k 1＝( A )A ．4B .143C .163D ．6(第14题图)(第15题图)15．(2016淄博中考)反比例函数y ＝a x (a>0，a 为常数)和y ＝2x 在第一象限内的图象如图所示，点M 在y ＝ax的图象上，MC ⊥x 轴于点C ，交y ＝2x 的图象于点A ；MD⊥y 轴于点D ，交y ＝2x 的图象于点B ，当点M 在y ＝ax的图象上运动时，以下结论：①S △ODB ＝S △OCA ；②四边形OAMB 的面积不变；③当点A 是MC 的中点时，则点B 是MD 的中点．其中正确结论的个数是( D )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个16．(2015丽水中考)如图，反比例函数y ＝kx的图象经过点(－1，－22)，点A 是该图象第一象限分支上的动点，连接AO 并延长交另一支于点B ，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，顶点C 在第四象限，AC 与x 轴交于点P ，连接BP.(1)k 的值为__22__；(2)在点A 运动过程中，当BP 平分∠ABC 时，点C 的坐标是__(2，－2)__．17．(2016随州中考)如图，直线y ＝x ＋4与双曲线y ＝kx(k≠0)相交于A(－1，a)，B 两点，在y 轴上找一点P ，当PA ＋PB 的值最小时，点P 的坐标为__⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52__． (第17题图)(第18题图)18．(2016内江中考)如图，点A 在双曲线y ＝5x 上，点B 在双曲线y ＝8x 上，且AB∥x 轴，则△OAB 的面积等于__32__．19．(2016广安中考)如图，一次函数y 1＝kx ＋b(k≠0)和反比例函数y 2＝mx(m≠0)的图象交于点A(－1，6)，B(a ，－2)．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)根据图象直接写出y 1>y 2时，x 的取值范围．解：(1)将A(－1，6)代入y 2＝mx，得m ＝－6，∴y 2＝－6x.将B(a ，－2)代入y 2＝－6x，得a ＝3，∴B(3，－2)．将A(－1，6)，B(3，－2)代入y 1＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝6，3k ＋b ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝4.∴y 1＝－2x ＋4；(2)∴x<－1或0<x<3.20．(2016聊城中考)如图，在直角坐标系中，直线y ＝－12x 与反比例函数y ＝kx的图象交于关于原点对称的A ，B 两点，已知A 点的纵坐标是3.(1)求反比例函数的解析式；(2)将直线y ＝－12x 向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点C ，如果△ABC 的面积为48，求平移后的直线的函数解析式．解：(1)反比例函数的解析式为y ＝－18x；(2)设平移后的直线为y ＝－12x ＋b 与y 轴交于点D.连接AD ，BD.∵AB ∥CD ，∴S △ABD ＝S △ABC ＝48.∵点A ，B 关于原点O 对称，∴点B 的坐标为(6，－3)，即|x A |＝x B ＝6.∴S △ABD ＝S △AOD ＋S △BOD ＝12OD ·|x A |＋12OD ·x B ＝6OD.即6OD ＝48，OD ＝8.∴平移后的直线解析式为y ＝－12x ＋8.21．(2016原创)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx的图象交于A(2，3)，B(－3，n)两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)若P 是y 轴上一点，且满足△PAB 的面积是5，直接写出OP 的长．解：(1)∵反比例函数y ＝m x 的图象经过点A(2，3)，∴m ＝6，∴反比例函数的解析式是y ＝6x，∵点B(－3，n)在反比例函数y ＝6x的图象上，∴n ＝－2.∴B(－3，－2)．∵一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过A(2，3)，B(－3，－2)两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝3，－3k ＋b ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1. ∴y ＝x ＋1；(2)OP 的长为3或1.22．(2016贵阳适应性考试)如图，在平面直角坐标系中，▱OABC 的边OA 在x 轴上，∠COA ＝30°，OC ＝8，AC⊥OA ，对角线OB 与AC 相交于点M ，反比例函数y ＝kx(x>0)的图象经过点C.(1)求反比例函数的解析式；(2)将▱OABC 向右平移，使它的对角线交点M 在反比例函数的图象上，求平移的距离．解：(1)∵AC⊥OA，∴∠OAC ＝90°，在Rt △OAC 中，∠COA ＝30°，OC ＝8，∴AC ＝12OC ＝12×8＝4.∵OA＝OC 2－AC 2＝82－42＝43，∴点C 的坐标为(43，4)．∵反比例函数y ＝k x 的图象过点C(43，4)，∴k ＝xy ＝43×4＝163，∴反比例函数解析式为y ＝163x ；(2)∵四边形OABC 是平行四边形，∴AM ＝CM ＝12AC ＝12×4＝2，设▱OABC 向右平移a 个单位长度，则平移后点M′的坐标为(43＋a ，2)．又∵M′(43＋a ，2)在反比例函数y ＝163x的图象上，∴2(43＋a)＝163，解得a ＝43，∴平移的距离为4 3.。

例析一次函数和反比例函数综合题

例析一次函数和反比例函数综合题一、一次函数的定义及性质：一次函数是指具有形式f(x)=mx+c的函数，其中m和c为常数，且m 不等于0。

一次函数的图像是一条直线，它的特点是经过点(x1,y1)和(x2,y2)的两个点，其斜率m等于∆y/∆x=(y2-y1)/(x2-x1)。

二、反比例函数的定义及性质：反比例函数是指具有形式f(x)=k/x的函数，其中k为常数且k不等于0。

反比例函数的图像是一个双曲线，其特点是当x趋近于0时，f(x)趋近于正无穷大；当x趋近于正无穷大时，f(x)趋近于0。

综合题：1.一条铁丝长80米，将它剪成两段，一段用来做正方形的边长，另一段用来做正方形的对角线。

问：如何剪长能使正方形面积最大？解答：设正方形的边长为x，则剩余的铁丝长度为80-x。

根据题意，我们可以得到两个条件：1）正方形的周长等于边长的4倍，即4x=80-x，解得x=16；2）正方形的对角线等于边长的√2倍，即√2x=80-x，解得x≈26.77由于正方形的面积为边长的平方，所以我们需要求解面积函数f(x)=x^2的最大值。

根据一次函数的性质，我们可以计算出斜率为2x，将其与x轴交点求出来，即x=-2x/2=-1、由此可以得到极值点x=-1处的最大值，即x=(-1)^2=1综上所述，当铁丝剪短为1米时，正方形的面积最大，面积为1平方米。

2. 在一根海绵上刻画出一条线段，约15秒钟后刻画的线段长13cm，而约30秒钟后刻画的线段长25cm。

问：刻画的线段长度与时间之间是否存在函数关系？如果存在，是一次函数还是反比例函数？解答：根据题意，我们可以知道约经过15秒钟后线段长度增加了12cm，约经过15秒钟后线段长度增加了25cm。

设线段长度为y，时间为x，则根据条件我们可以列出两个方程：1）y=c+mx，其中m=(y2-y1)/(x2-x1)=(25-13)/(30-15)=12/15=4/5；2）y=k/x。

对于第一个方程，我们可以求得y=4/5x+c，其中c为常数。

2020年河北中考考试说明题型拓展五：一次函数、反比例函数与问题解决(PDF版,无答案)

一、选择题1.如图，在平面直角坐标系中有两点A(6,2)、B(6,0),以原点为位似中心,相似比为1:3,把线段AB 缩小,则过A 点对应点的反比例函数的解析式为()A.xy 4= B.xy 34= C.xy 34-= D.xy 18=2.平面直角坐标系中有六个点：A(1,5)，B(-3,35-)，C(-5,-1)，D(-2,25)，E(3,35)，F(25,2)，其中有五个点在同一反比例函数图象上，则不在这个反比例函数图象上的点是()A.点CB.点DC.点ED.点F3.如图∆ABC 顶点A 在反比例函数y=xk(x>0)的图像上，顶点C 在X 轴上,AB//x 轴，若点B 的坐标为(1,3),S ∆ABC=2,则k 的值为()A.4 B.-4 C.7 D.-74.一名考生步行前往考场,10分钟走了总路程的1/4,估计步行不能准时到达,于是他改乘出租车赶往考场,他的行程与时间关系如图所示(假定总路程为1)，则他到达考场所花的时间比一直步行提前了()A.20分 B.22分 C.24分 D.26分5.在平面直角坐标系x O y 中,点P 在由直线y =−x +3,直线y =4和直线x =1所围成的区域内或其边界上,点Q 在x 轴上,若点R 的坐标为R(2,2)，则QP+QR 的最小值为()A.17B.25+ C.53 D.46.在平面直角坐标系中，分别过点A(m,0),B(m+2,0)作x 轴的垂线l 1和l 2,探究直线l 1,直线l 2与双曲线y=3/x 的关系，下列结论中错误的是()A 两直线中总有一条与双曲线相交B当m=1时，两直线与双曲线的交点到原点的距离相等C当-2<m<0时，两直线与双曲线的交点在y轴两侧D当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的最短距离是27.如图，把直线y=-2x向上平移后得到直线AB，直线AB经过点(m,n)，且2m+n=6，则直线AB的解析式是() A.y=-2x-3 B.y=-2x-6 C.y=-2x+3 D.y=-2x+68.如果规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.3]=2,那么函数y=x-[x]的图象为（)8题图9.如图，是韩老师早晨出门散步时离家的距离(y)与时间(x)之间的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是()A. B. C. D.二、填空题1.如图，矩形ABCD的顶点A,B在x轴上，且关于y轴对称.反比例函数y=k1/x (x>0)的图象经过点C,反比例函数y=k2/x(x<0)的图象分别与AD,CD交于点E,F,若S∆BEF=7,k1+3k2=0,则k1等于4题图5.如图,如图在平面直角坐标系中，有一个由六个边长为的坐标分别为(3,5),(6,1).若过原点的直线l 将这个图案分成面积相等的两部分，则直的函数解析式为.5题图8题图6.已知点P(3,0),⊙P 是以点相切，则k +b 的值为7.如图,A、B 是双曲线xky 的一个分支上的两点,且点是.8.如图,矩形ABCD 的边AB 在直线与矩形ABCD 的边有公共点，则实数9.如图，在平面直角坐标系中,点于点N,当MN≤8时，设点M 的横坐标为m,则m 的取值范围为（）三、解答题1.在平面直角坐标系xOY 中.函数y=x k（x>0）的图象G 经过点A（4,1）,直线l:y=41x+b 与图象G 交于点B,与y 轴交于点C.⑴求k 的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G 在点A,B 之间的部分与线段OA,OC,BC 围成的区域（不含边界）为W.①当b=-1时,直接写出区域W 内的整点个数；②若区域W 内恰有4个整点，结合函数图象.求b 的取值范围.2.如图，直线y=ax+2,与x 轴交于点A (1,0),与Y 轴交于点B (0,b)o 将线段AB 先向右平移1个单位长度、再向上平移t(t >0)个单位长度，得到对应线段CD,反比例函数y=xk（X>0）的图象恰好经过C、D 两点，连接AC、BD.(1)求a 和b 的值；(2)求反比例函数的表达式及四边形ABCD 的面积；(3)点N 在x 轴正半轴上，点M 是反比例函数y=xk(x>0)的图象上的一个点，若∆CMN 是以CM 为直角边的等腰三角形时，求所有满足条件的点M 的坐标.4.如图,直线l上有一点P1(2,1),将点在直线l上。