具有标准发生率和脉冲干扰的SIRS传染病模型分岔分析

合集下载

急性传染病的系统动力学建模——SIR模型

引爆点同接触数和易感人群的依赖关系
上图显示了不同参数下的引爆点的情形。图中曲线的左边，系统处于稳定状态，在这些区域不会发生疾病的传播，因为感染比例、接触速率、疾病持续期和易感人群所占人口比重都比较低。曲线右边，系统处于不稳定状态，疾病四处传播。
扩展知识
SIR模型是比较简单粗糙的模型，这个模型得到了历史上发生过的大规模的传染病，如上个世纪初在印度孟买发生的瘟疫数据的有力支持。
思考
我们已经在不同参数组合下对SIR模型进行了模拟，从中又能发现哪些规律呢，是什么因素决定了疾病的传播？ SIR模型的精确引爆点时可以计算出来的。疾病传播的条件是传染速率高
于康复速率：
它等价于
上式刻画的正是某种传染病在人群中爆发的临界点（阈值），也就是流行病学中的阈值定理。式中cid称为接触数，cid(S/N)称为疾病的繁殖比例。
判断某种疾病能否扩散其实是判断：疾病传播过程中哪种反馈起主导作用。如果传播正反馈强于康复负反馈和耗尽过程，哪怕只出现一个病人，也能导致所有人得病。
对模型进行模拟
我们设定某一社区人数为10000人，接触速率为每天6人，感染比例为 0.25，患病的持续时间是2天。初始状态下，系统中有1人患病，其他人都属于易感人群。将这些参数代入模型进行模拟可得：
后来很多研究人员对SIR模型做了推广。在不考虑出生与死亡等种群动力学因素的情况下
(1)传染病若无潜伏期，动力学模型可表示为：
SI模型，患病后难以治愈；
SIS模型，患病后可以治愈，恢复者不具有免疫力；
SIR模型，患病者治愈后获利终身免疫力；
SIRS模型，病人康复后只有暂时免疫力，单位时间内将有部分康复者丧失免疫力而可能再次被感染。
SIR模型行为特征:引爆点

一类时滞SIR传染病模型的稳定性与Hopf分岔分析

第27卷第3期2010年9月经济数学M AT HEM A T ICS IN ECON OM I CSV ol.27,No.3Sep.2010一类时滞SIR传染病模型的稳定性与Hopf分岔分析*赵仕杰1,袁朝晖2(11桂林电子科技大学数学与计算科学学院,广西桂林541004;21湖南大学数学与计量学院,湖南长沙410082)摘要研究了一类具有时滞及非线性发生率的SIR传染病模型.首先利用特征值理论分析了地方病平衡点的稳定性,并以时滞为分岔参数,给出了Hopf分岔存在的条件.然后,应用规范型和中心流形定理给出了关于Hopf分岔周期解的稳定性及分岔方向的计算公式.最后,用Matlab软件进行了数值模拟.关键词时滞;稳定性;非线性发生率;H opf分岔中图分类号O175.14文献标识码:A1引言近年来,传染病动力学得到了广大学者的广泛关注,大量针对各种传染病的模型(如:[1 -3])相继提出,并获得了一些很好的结果.但大多数模型对发生率的选取往往限制在简单物质作用率即双线性函数或标准发生率函数上,如文献[4-6]研究了具有双线性发生率的传染病数学模型的持久性、平衡点的稳定性等动力学行为.然而在对某些传染病而言,双线性与标准发生率的假设往往不足描绘现实背景,因此,很多学者考虑了一般的非线性发生率,如文献[7,8]在选取特殊的非线性发生率的基础上研究了平衡点的稳定性、H opf分岔现象等动力学行为.文献[9]研究了具有非线性发生率B SI q的SER传染病模型.文献[10]使用了非线性饱和函数发生率.本文将考虑下列SIR传染病模型d S(t) d t =r(1-S(t)K)S(t)-B S(t)I(t-S)1+A S(t),d I(t) d t =B S(t)I(t-S)1+A S(t)-L I(t)-C I(t),d R(t) d t =C I(t)-L R(t),(1)其中S(t),I(t)及I(t)分别表示易感染类、感染类和恢复类在t时刻的个体数目,r为内禀自然增长率,K为环境对群体的最大容纳量,B为传染率,L为自然死亡率,A为心理作用系数即易感者知道染病者染病后,就会采取相应的措施从而影响发生率变化,C为移出率系数,S表示*收稿日期:2009-11-24基金项目:广西自然科学基金资助项目(2010GXNS FC013012)作者简介:赵仕杰(1982)),男,河北承德人,硕士生E-mail:第3期赵仕杰等:一类时滞SIR 传染病模型的稳定性与H o pf 分岔分析疾病的潜伏期,假设系统中所有的参数为非负数.系统(1)的前两个方程不依赖于第三个方程,因此可以仅考虑由方程组(1)的前两个方程所构成的系统d S(t)d t =r (1-S(t)K )S(t)-B S (t)I (t-S )1+A S (t),d I (t)d t =B S (t)I (t -S )1+A S (t)-L I (t)-C I (t).(2)系统(2)的初始条件定义为:S (H )=U 1(H ),I (H )=U 2(H ),U i (H )\0,H I [-S ,0],U i (0)\0(i =1,2).2 稳定性与Hopf 分岔定义基本再生数R 0=B K (1+A K )((L +r ).假设R 0>1,则系统(2)有唯一的平衡点E *=(S *,I *),其中S *=C +L B -A (C +L ),I *=r(1+A S *)S *(1-S *K )B.系统(2)在平衡点E *=(S *,I *)附近对应线性近似系统为d S(t)d t =(r -2rS *K -r (K -S *)K (1+A S *))S(t)-(C +L )I (t -S ),d I (t)d t =(r(K -S *)K (1+A S *))S(t)-(C +L )I(t)+(C +L )I (t -S ).(3)则系统(3)对应的特征方程为K 2+m 1K +m 0+(n 1K +n 0)e -K S =0,(4)其中m 1=r(K -S *)K (1+A S *)+2rS *K +C +L -r,m 0=(C +L )(r(K -S *)K (1+A S *)+2rS *K -r ),n 1=-C -L ,n 0=-(C +L )(2rS *K-r ).定理1 假设R 0>1成立,且有不等式2A s *+1-K A >0,(5)则当S =0时,系统(2)的地方平衡点E *是局部渐近稳定的.证明当S =0时,特征方程(4)变为K 2+(m 1+n 1)K +m 0+n 0=0.(6)由于m 1+n 1=r(K -S *)K (1+A S *)+2rS *K -r =rS *(2A S *+1-K A )K (1+A S *)1从而由不等式(5)可知m 1+n 1>0.另一方面,由R 0>1可知S *<K ,从而m 0+n 0=r (C +L )(K -S *)K (1+A S *)>0.所以由Routh -H urw its 准则可知方程(6)的所有的根都具有负实部,也就是说,当S =0时,正)17)经济数学第27卷平衡点E*是局部渐近稳定的.定理2假设R0>1成立,且有不等式(5)及K+(2A K-3)S*-4A S*>0,(7)成立,则存在一个定值S0>0,当S I[0,S0)时,E*是局部渐近稳定的,当S>S0时,E*是不稳定的,即S=S0为系统(2)的分岔值.证明由定理1知:当S=S0时,E*是渐近稳定的,下面说明存在S0>0,当S I[0,S0)时,E*是渐近稳定的,当S=S0时特征方程(4)具有纯虚根K=i X,其中i表示虚数单位,X> 0.把K=i X代入方程(4)分离实部和虚部得m1X=n0sin X S-n1X cos X S,X2-m0=n0cos X S+n1X sin X S.(8)将式(8)的两边分别平方相加得X4+(m21-2m0-n21)X2+m20-n20=0.(9)经过简单计算可得m21-2m0-n21=(r(K-S *)K(1+A S*)+2rS*K-r)2.由式(7)得m0-n0=(C+L)(r(K-S*)K(1+A S*)+4rS*K-2r)=-r(C+L)K+(2A K-3)S*-4A S*2K(1+A S*)<01因而结合m0+n0>0可知m20-n20<0,所以方程(9)存在唯一的正解X0,即特征方程(4)有一对形如?i X0的纯虚根.由式(8)可得S n=1X0arccosn0(X20-m0)-m1n1X20n20+n21X20+2n PX0(n=0,1,2,).由定理1可知当S=0时,E*是稳定的.因此,由Butler的引理[12]知:当S<S0时,E*仍然是渐近稳定的.若能证明下列横切条件d(Re K)d S S=S>0,则在S>S0附近,特征方程(4)至少存在一个具有正实部的特征根.事实上,通过对方程(4)关于S求导可得(2K+m1+n1e-K S-S(n1K+n0)e-K S)d Kd S=K(n1K+n0)e-K S,解得d K d S -1=2K+m1+n1e-K S-S(n1K+n0)e-K SK(n1K+n0)e-K S=2K+m1K(n1K+n0)e-K S+n1K(n1K+n0)-SK =K2-m0-K2(K2+m1K+m0)+-n0K2(n1K+n0)-SK.因此sig n d(Re K)d S S=Sk =sig n Red Kd S-1K=i X)18 )第3期赵仕杰等:一类时滞SIR 传染病模型的稳定性与H o pf 分岔分析=sig n Re [K 2-m 0-K 2(K 2+m 1K +m 0)]+Re [-n 0K 2(n 1K +n 0)]K =i X 0=sig n (X 20+m 0)(X 20-m 0)X 20[(m 0-X 20)2+(m 1X 0)2]+n 20X 20(n 20+n 21X 20).由于式(9)可变形为(m 0-X 20)2+(m 1X 0)2=n 20+n 21X 20,所以sig n d(Re K )d S S =S k=sig n (X 20+m 0)(X 20-m 0)X 20[(m 0-X 20)2+(m 1X 0)2]+n 20X 20(n 20+n 21X 20)=sig n X 40+n 20-m 20X 20(n 20+n 21X 20).这样,由前面已证明的不等式m 20-n 20<0可知d (Re K (S ))d S S =S 0>0.因此,系统(2)在S =S 0出现H o pf 分岔.3 Hopf 分岔方向与分岔周期解的计算公式下面用规范型方法及中心流形定理给出系统(2)H opf 的分岔方向,分岔周期解的稳定性及周期解的计算公式.令t =s S ,u 1=S -S *,u 2=I -I *,u -i (t)=u i (S t),S =S 0+T ,D1=11+A S*,为了方便起见,去掉0-0,则系统(2)可以写成为:u #(t)=L T (u t )+f (T ,u t ),(10)其中u(t)=(u 1(t),u 2(t))TI R 2,u t (H )=u(t+H ),H I [0,1],并且L v :C =C[0,1]y R 2和f :R 2@C y R 2分别表示为L T (u t )=(S 0+T )r -2rS *K -r (K -S *)D 1K 0r(K -S *)D 1K-C -LU 1(0)U 2(0)+(S 0+T )0-C -L 0C +L U 1(-1)U 2(-1),(11)且f (T ,u t )=(S 0+T )f 11f 221(12)式中,f 11=-r KU 21(0)+B A I *D 31U 21(0)-B D 21U 1(0)U 2(-1)+B A D 31U 21(0)U 2(-1)-B A 2I *D 41U 31(0)+,,f 22=-B A I *D 31U 21(0)+B D 21U 1(0)U 2(-1)-B A D 31U 21(0)U 2(-1)+B A 2I *D 41U 31(0)+,.由Riesz 表示定理可知,对于H I [0,1],存在一个有界变差函数G (H ,T ),使得:L T <=Q 0-1d G (H ,T )<(H ),<IC.(13)实际上,可以选择:G (H ,T )=(S 0+T )r -2rS*K-r(K -S *)D 1Kr (K -S *)D1K-C -LD (H ))19)经济数学第27卷-(S 0+T )0-C -L0C +LD (H +1)1(14)其中D 表示狄拉克D 函数.对于U I C([0,1],R 2),定义:A(T )U =d U (H )d H,H I [-1,0),Q-1d G (s,T )U (s),H =0.且R(T )U =0,H I [-1,0),f (T ,U ),H =0.由于d u t (H )d H =d u(t +H )d H =d u(t+H )d t =d u t (H )d t,从而d u t d H =d u td t,系统(10)可化为u #(t)=A (T )u t +R(T )u t .(15)对于W I C *=C([0,1],(R 2)*),伴随算子A *(0)定义为A *(0)W (s)=-d W(s)d s,s I (0,1],Q-1d G T (t,0)W (-t),s =0.和双线性内积3W ,U 4=W -(0)U (0)-Q 0-1Q H N =0W -(N -H )d G (H )U (N )d N .(16)其中,G (H )=G (H ,0).下面记A =A(0),A *=A *(0),由第2节的讨论知道,?i X 0S 0是A 的特征值,从而也是A*的特征值.首先需要计算A 和A*分别关于特征值i X 0S 0和-i X 0S 0的特征向量.设q(H )=(1,q 1)Te i X 0S 0H是A 关于特征值i X 0S 0的特征向量,则Aq (H )=i X 0S 0q(H ).由A 的定义以及式(11)、式(13)和式(14)有S 0r -2rS *K-r (K -S *)D 1K 0r(K -S *)D 1K-C -L q (0)+S 00-C -L 0C +L q (-1)=i X 0S 0q(0).解得q 1=r(K -S *)D 1K [(C +L )(1-e -i X 0S0)+i X 0].另一方面,设q *(s)= D (1,q *1)e i X 0S 0s 是A *关于特征值-i X 0S 0的特征向量,则易得q *1=(C +L )e i X 0S0(C +L )e i X 0S 0-(C +L )+i X 01其中 D =11+ q *1+S 0q 1(C +L )(-1+ q *1)e -i X 0S 0,且满足3q *,q 4=1及3q *, q 4=1.下面计算在T =0处决定中心流形的局部坐标.设T =0时式(10)的解,定义:z (t)=3q *,u t 4,W (t,H )=u t -2Re z (t)q(H ),(17)及W (t,H )=W (z (t),z -(t),H )1)20)第3期赵仕杰等:一类时滞SIR 传染病模型的稳定性与H o pf 分岔分析其中W(z , z ,H )=W 20(H )z 22+W 11(H )z z +W 02(H ) z 22+W 30(H )z 36+,,(18)这里z 和 z 表示q *和 q *方向上中心流形C 0的局部坐标.对于式(15)的解u t I C 0,Ûz (t)=i X 0S 0z + q *(0)f (0,W (z , z )+2Re zq (H ))C i X 0S 0z + q *f 0(z , z )=i X 0S 0z +g(z , z )1其中g(z , z )= q *f 0(z , z )=g 20z 22+g 11z z +g 02 z 22+g 21z 2 z 2+,.(19)考虑到f (T ,u t )的定义g(z , z )= D S 0(1, q *)f 011f 022,其中f 011=-r Ku 21t (0)+BA I *D 31u 21t (0)-BD 21u 1t (0)u 2t (-1)+BA D 31u 21t (0)u 2t (-1)-BA 2I *D 41u 31t (0)+,,f 022=-BA I *D 31u 21t (0)+BD 21u 1t (0)u 2t (-1)-BA D 31u 21t (0)u 2t (-1)+BA 2I *D 41u 31t (0)+,.与式(19)比较系数,得到:g 20=2 D S 0-r K +( q *1-1)(-B A I *D 31+B D 21q 1e -i X 0S0),g 11=2 D S 0-r K+( q *1-1)(-B A I *D 31+B D 21Re {q 1e -i X 0S0}),g 02=2 D S 0-r K+( q *1-1)(-B A I *D 31+B D 21 q 1e i X 0S 0),g 21=2 D S 0{-r K(W (1)20(0)+2W (1)11(0))+( q *1-1)[-B A I *D 31(W (1)20(0))+2W (1)11(0)+B A 21( q 12e i X 0S 0W (1)20(0)+12W (2)20(-1)+W (1)11(0)q 1e -i X 0S 0+W (2)11(-1))-B A D 31(q -1ei X 0S+2q 1e-i X 0S)+3B A 2I *D 41].下来计算W 20(H )和W 11(H ).把式(15)和式(17)代入ÛW =Ûu t -Ûz q - z #q 得ÛW =AW -2Re { q *(0)f 0q(H )},H I [-1,0)AW -2Re { q *(0)f 0q(H )}+f 0,H =0=$A W +H (z ,z -,H )1(20)其中H (z , z ,H )=H 20(H )z 22+H 11(H )z z +H 02(H ) z 22+,1(21)这样由式(20)可得(A -2i X 0S 0)W 20=H 20(H ),AW 11=-H 11(H ).(22)与式(21)比较系数得:H 20(H )=-g 20q(H )- g 02 q (H ),H 11(H )=-g 11q(H )- g 11 q (H ).(23)由式(22)和(23)以及A 的定义有ÛW 20(H )=2i X 0S 0W 20(H )+g 20q(H )+ g 02 q (H ).因为q(H )=(1,q 1)T ei X 0S 0H,故W 20(H )=i g 20X 0S 0q(0)e i X 0S 0+i g 023X 0S 0q (H )e -i X 0S 0+E 1e 2i X 0S 0,(24)其中)21)经济数学第27卷E 1=22i X 0-r +2rS *K +r(K -S *)D1K(C +L )e-2i X 0S-r(K -S *)D 1K2i X 0+(C +L )(1-e -2i X 0S)-1-r K +B A I *D 31-B D 21q 1e -i X 0S 0-B A I *D 31+B D 21q 1e-i X 0S.类似地W 11(H )=-i g 11X 0S 0q(0)e i X 0S 0+i g 11X 0S 0q (H )e -i X 0S0+E 2,(25)其中E 2=2-r +2rS *K +r(K -S *)D 1K(C +L )-r(K -S *)D 1KC +L-1-r K +B A I *D 31-B D 21Re {q 1e -i X 0S}-B A I *D 31+B D 21Re {q 1e -i X 0S0}.这样就可以计算g 21,同时也可以计算下列各值:c 1(0)=i 2X 0S 0(g 11g 20-2g 112-g 0223)+g 212,T 2=Re {c 1(0)}Re {K '(S 0)},B 2=2Re {c 1(0)},T 2=Im {c 1(0)}+F 2Im {K '(S 0)}X 0S 0.定理3 ( )T 2决定了H opf 分岔的方向:若T 2>0(<0),则系统(2)产生超临界(次临界)H o pf 分岔.( )B2决定了H opf 分岔稳定性:若B 2>0(<0),则周期解是不稳定的(稳定).( )T 2决定了分岔周期解的周期:若T 2>0(<0),则分岔周期解的周期是随S 的增加而增加(减少)的.4 数值模拟基于第2节正平衡点稳定性与H opf 分岔的分析和第3节分岔的方向与分岔周期解的讨论.做如下数值:令r =0.2,C =L =A =0.1,B =0.2,K =8.可求得正平衡点E *=(1.1111,0.9568),X =0.1696,S 0=0.3682,由定理1可得正平衡点E *是局部渐近稳定的.由第3节的计算公式算得:T2=0.2156,B 2=-0.0054.这样,由定理3可知:当S =0.3682时,系统(2)在平衡点处产生一个超临界的稳定H opf 分岔周期解.对应的数值仿真可见图1和图2.图1 S =0.28<S 0时系统(2)的相图图2 S =0.38>S 0时系统(2)的相图)22)第3期赵仕杰等:一类时滞SIR 传染病模型的稳定性与H o pf 分岔分析参考文献[1] COOKE K.Stability analysis for a vector dis ease model[J].Rocky M ountain J ou rnal of M athem atics ,1979,9(1):31-42.[2] BERE TT A E ,T AKEUCH I Y.Glob al stability of an S IR epidem ic m odel with time delays [J].J ou rnal of M athem at-ical Biology,1995,33(3):250-260.[3] LI G,WANG W ,JIN Z.Glob al stability of an SE IR epidemic model w ith cons tant immigration[J].C haos Solitons andFractals ,2006,30:1012-1019.[4] SONG M ,M A W ,T AKEUCH I Y.Perman ence of a delayed SIR epidemic m odel w ith den sity dep endent birth rate[J].Journal of Computation al and Applied M athem atics ,2007,201(2):389-394.[5] ZH ANG F,LI Z,ZH ANG F.Glob al stability of an S IR epidemic model w ith constant in fectious period[J].AppliedM athematics and C om putation,2008,199:285-291.[6] LI J,M A Z.Glob al analysis of SIS epidemic models w ith variable total population size[J].M athematical and C om puterM odelling,2004,39(11/12):1231-1242.[7] RU AN S ,WANG W.Dynamical beh avior of an epidem ic m odel w ith a n onlinear incid ence rate[J ].J.Differential E -quations ,2003,188:135-163.[8] SONG Z,XU J,LI Q.Local and glob al bifu rcation s in an S IRS epidemic m odel[J ].Applied M athematics and Compu -tation,2009,214:534-547.[9] ZHANG X,CH EN L.The periodic solu tion of a clas s of epidemic m odels[J ].Computer s and M ath ematics with Appl-ication s,1999,38(3/4):61-71.[10]ANDERSON R M ,M AY R M .Regulation an d stab ility of h ost -parasite p opu lation interactions [J ].Journal of AnimalEcology,1978,47:219-247.[11]H ASSARD B,KAZARINOFF N,WAN Y H.T heory and Application s of Hopf Bifurcation [M ].Lond on:LondonM ath,S ok.Lect.Notes,Series,41.Cambridge:Cambridge U niv.Press,1981.[12]FREE DM AN H I,RAO V S H,Th e trade -off betw een mutual in terference an d time lag s in p redator prey system s[J].Bulletin of M ath ematical Biology,1983,45(6):991-1004.Stability and Hopf Bifurcationof a Delayed SIR Epidemic ModelZH AO Sh-i jie 1,YUAN Zhao -hui 2(11Dep ar tment of M athematics,Guilin Univer sity of Electr onic Science and Technology College,Guilin,Guangxi 541004,China;21College of M athematics and Econometrics ,H unan University ,Changsha,H unan 410082,China)Abstract A delayed SIR epidem ic model w ith nonlinear incidence was st udied.Firstly,the stability ofthe endemic equilibrium w as inv estig at ed by using the t heo ry of char act eristic value.Cho osing the delay as a bifurcatio n par amet er,w e obtained t he conditio ns ensur ing the ex istence of H opf bifur cation.T hen,based o n cent er manifold and no rmal fo rm theor y,the for mulas fo r deter mining the dir ect ion of Ho pf bifurcation as well as the stabilit y of bifurcating per io dic solutions wer e obtained.F ina lly,so me numer ical simulatio ns w ere car -ried out by M at lab.Keywords delays;stability ;nonlinear incidence;H opf bifur cation)23)。

基于SIR模型的传染病预测和最优控制分析

基于SIR模型的传染病预测和最优控制分析传染病是一种可通过空气、水、食物等途径传播的疾病，其在人群中的传播是非常快速和广泛的。

为了更好地理解传染病的传播规律和加强疾病的控制，传染病预测和最优控制分析成为了一种重要的研究方法。

基于SIR（Susceptible-Infectious-Recovered）模型的传染病预测和最优控制分析，正逐渐成为传染病学的主流研究方法。

SIR模型是一种典型的传染病动力学模型，它将人群划分为三个类别：易感人群（Susceptible）、感染人群（Infectious）和康复人群（Recovered）。

模型基于一组因数来描述人群中每个类别的数量变化，这些因数包括感染率、康复率和易感人群的增长率。

基于这些因数，我们可以通过建立微分方程系统来描述人群中每个类别的数量变化。

在传染病预测方面，SIR模型可以通过计算人群中每个类别的数量变化来预测传染病的传播趋势。

通过对感染率、康复率和易感人群的增长率等因数进行调整，我们可以模拟出不同传染病在不同人群中的传播情况。

这对于政府、研究机构和公众来说，有助于了解疾病的传播模式、预测疫情发展趋势，进而采取相应的预防和控制措施。

在最优控制分析方面，SIR模型可以帮助我们找到最佳的控制策略，以最小化传染病的传播和减少与传染病相关的损失。

最佳控制策略可以通过微分方程系统的解析方法或数值模拟等方法进行计算。

基于最优控制分析，我们可以确定最佳的疫苗接种策略、隔离措施或其他控制手段，以有效地减少传染病的传播速度和规模。

然而，SIR模型也存在一些局限性。

首先，该模型是基于一些简化假设构建的，如恒定感染率、康复率和易感人群增长率等。

在实际应用中，这些因数可能会随时间和环境的变化而发生变化，因此，需要对模型进行调整和修正。

其次，该模型只考虑了人群之间的直接接触传播途径，而忽略了其他非直接接触的传播途径。

因此，在实际应用中，仍需结合具体传染病的特点和传播方式进行模型调整。

一类具有标准发生率的SIR传染病模型的全局分析

ＪＭｘ（）一－＃－
ｔＪ（１一一ｒＭ）
＂－２
）
＃］Ｉ
一（＋￡）一（＋６）＜０
ｄｔ（／）一ｒｅ／￣Ｊｖ
一一
＋（＋ｅ］＋６一ｅ卢）（）（
一一
２．）ｒ
手＋）０（ｃ＜
Ｊ＝０垒
Ｄ＝ｆｓＩＩ（，）ｓ≥ ０ ≥ ０ｓＩ１，，十 ≤ ｌ
２平衡点的存在性
＋：一妻： ±
＋ｅ（＋６））一
令系统（）右端等于零易得系统有两个平衡２
由Ｒ＜１可得。
＞０特征方程有两个负，
准发生率的ＳＲ传染病模型。借助再生矩阵求得了模型的基本再生数，讨论了平衡点的存在性Ｉ并
和全局稳定性。
关键词：染病模型；衡点；局稳定性传平全中图分类号：７Ｏ１５文献标识码：Ａ文章编号：０６—７５２１）５０６－０１０３３（０１０－０１２
１模型
点：Ｏ０，。ＳＩＭ（，）Ｍ（，）
建立传染病动力学模型对传染病的流行规律
进行定性定量的研究是一种重要方法。本文研究的是具有标准发生率的ＳＲ模型，（）Ｙ（）Ｉ￡，￡，Ｙ（）分别表示ｔ刻易感者和两类染病者的人￡时

一类具有标准发生率的SIR传染病模型的全局分析

收稿日期：２０１１－０７－０５．，作者简介：徐娟（女，江苏高邮人，在读硕士研究生，助教，研究方向：常微分方程．１９８２－）
６１
第２４卷第５期２０１１年１０月
高等函授学报（自然科学版）（）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｉｈｅｒＣｏｒｒｅｓｏｎｄｅｎｃｅＥｄｕｃａｔｉｏｎＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓｇｐ
ｘｙ２）＝Ａ－μ 烄ｘ ′（ｔｘ－β Ｎｘｙ２烅 ′ ｘ）＝β －μ ｙｙ１－ε ｙ１１（Ｎ ′ ｘ）＝ε ｙ１－μ ｙ２－ｂｙ２２（烆ｙ
因病死亡率， ε 为ｙ１类向ｙ２类的转化率。对系统进行无量纲变换：（）１
其中Ａ为种群输入率，ｂ为 μ 为自然死亡率，
１模型建立传染病动力学模型对传染病的流行规律进行定性定量的研究是一种重要方法。本文研究），），的是具有标准发生率的ＳＩＲ模型，ｘ（ｔｔｙ１（）分别表示ｔ时刻易感者和两类染病者的人ｔｙ２（数，且ｙｙｙ１染病但不具传染力，２具有传染力，１会向ｙ２转化。
［
］
（）（ｄｅｔＪ（Ｍ１）＝［Ｉ＊＋（－ε ］ β μ＋ε μ＋ｂ） β ＊＊）Ｓ２ＳＩ－β － β ）（ ε－（ μ＋ε μ＋ｂ））（＋（＝ β － μ＋ε μ＋ｂ）ｂ ε ＋＋ μ ２） ε（－（ β μ＋ｂ） μ＋ｂ）（ μ＋ε ［－ ε β－（）ｂ＋＋ ε ε μ

一类带有时滞的SIR模型的稳定性及分支分析

一类带有时滞的SIR模型的稳定性及分支分析作者：孔建云刘茂省王弯弯来源：《河北科技大学学报》2017年第03期摘要：为了研究饱和发生率和时滞对传染病模型动力学性态的影响，建立了一类具有饱和发生率和指数出生且帶有时滞的SIR模型，通过对模型特征方程的分析，判定了系统的地方病平衡点的稳定性，并找到了系统发生分支的临界值，通过数值模拟验证了理论分析结果的正确性。

结果表明：当时滞小于临界值时，地方病平衡点是局部渐近稳定的；当时滞大于临界值时，地方病平衡点不稳定，并产生了Hopf分支。

研究结果对解释传染病的周期性暴发、预防和控制传染病的传播具有借鉴作用。

关键词：稳定性理论；SIR模型；时滞；饱和发生率；Hopf分支中图分类号：O175.13文献标志码：Adoi： 10.7535/hbgykj.2017yx03003Abstract：In order to analyze the effects of saturation incidence and time delay on the dynamics of epidemic model， a delayed SIR model with a saturated incidence rate and exponential birth is constructed. By considering the characteristic equation of the system， the stability of the endemic equilibrium is analyzed， and the critical value of the bifurcation is found. The theoretical analysis results are verified by numerical simulations. The result shows that when the delay is less than the critical value， the endemic equilibrium is locally asymptotically stable； When the delay is larger than the critical value， the endemic equilibrium is unstable and there exists a Hopf bifurcation. The results of this study can be used to explain the periodic outbreaks of infectious diseases， and guide the prevention and control of the spread of the disease.Keywords：stability theory； SIR model； delayed； saturated incidence rate； Hopf bifurcation由于气候的变化和环境的不断遭到破坏，一些新的突发性传染病威胁着人类的生命，影响着人们的日常生活。

传染病问题的SIR模型

传染病问题中的SIR 模型摘要：2003年春来历不明的SARS 病毒突袭人间，给人们的生命财产带来极大的危害。

长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是我国及全世界有关专家和官员关注的课题。

不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI 模型，SIS 模型，SIR 模型等。

在这里我采用SIR （Susceptibles ，Infectives ，Recovered ）模型来研究如天花，流感，肝炎，麻疹等治愈后均有很强的免疫力的传染病，它主要沿用由Kermack 与McKendrick 在1927年采用动力学方法建立的模型。

应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，预测疾病发生的状态，评估各种控制措施的效果，为预防控制疾病提供最优决策依据, 维护人类健康与社会经济发展。

关键字：传染病；动力学；SIR 模型。

一﹑模型假设1. 在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。

总人口数N(t)不变，人口始终保持一个常数N 。

人群分为以下三类：易感染者(Susceptibles)，其数量比例记为s(t)，表示t 时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例；感染病者(Infectives)，其数量比例记为i(t)，表示t 时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；恢复者(Recovered)，其数量比例记为r(t)，表示t 时刻已从染病者中移出的人数（这部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。

）占总人数的比例。

2. 病人的日接触率（每个病人每天有效接触的平均人数）为常数λ，日治愈率（每天被治愈的病人占总病人数的比例）为常数μ，显然平均传染期为1／μ，传染期接触数为σ=λ／μ。

传染病模型 (2)

传染病模型
传染病模型是一种用数学和计算机模拟来研究传染病传播过程和预测未来发展趋势的方法。

常用的传染病模型包括SIR模型、SEIR模型、SI模型等。

1. SIR模型：SIR模型划分人群为三个组成部分，分别是易感者(Susceptible, S)、感染者(Infected, I)和恢复者(Recovered, R)。

模型假设人群之间的转移是通过直接接触传播的，且感染后会产生免疫力。

该模型用于研究传染病的基本传播过程。

2. SEIR模型：SEIR模型在SIR模型的基础上加入了暴露者(Exposed, E)的概念。

暴露者是指已经感染病毒但尚未出现症状的人群。

该模型考虑了传染病的潜伏期，在研究疫情的初期或具有显著潜伏期的传染病时较为常用。

3. SI模型：SI模型是最简单的传染病模型，只考虑了易感者(S)和感染者(I)两个组成部分。

该模型没有考虑恢复者和
免疫力的概念，适用于一些无法恢复或无法获得免疫的传
染病。

传染病模型的建立需要依赖大量的数据和参数，如传染率、恢复率、潜伏期等，可以利用已有的疫情数据对模型进行
参数估计。

基于模型的分析可以帮助政府和卫生机构制定
合适的控制措施，预测疫情的发展趋势，并进行防控策略
的优化。

然而，传染病模型仍有其局限性，如对人群行为
的假设较为简单，无法精确模拟复杂的社交网络。

因此，
模型的结果需要结合实际情况进行综合分析。

带有标准发生率和信息干预的随机SIRS传染病模型的灭绝性和平稳分布

带有标准发生率和信息干预的随机SIRS传染病模型的灭绝性
和平稳分布
赵英英;胡华
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2018(31)3
【摘要】本文考虑了一类具有标准发生率和信息干预的随机SIRS传染病模型.定义了一个停时,通过构造适当的Lyapunov函数证明了停时为无穷大,从而证明了该模型唯一正解的全局存在性.通过构造紧集和适当的Lyapunov函数,证明模型解的平稳分布的存在性及其遍历性.此外还证明了疾病的灭绝性.
【总页数】10页(P704-713)
【关键词】SIRS传染病模型;信息干预;灭绝性;平稳分布;遍历性
【作者】赵英英;胡华
【作者单位】宁夏大学数学统计学院
【正文语种】中文
【中图分类】O211.63;O175.13
【相关文献】
1.具有信息干预的随机SIRS模型的平稳分布和灭绝性 [J], 夏焕新;包康博
2.一类带有饱和发生率和Logistic增长的随机病毒感染模型的灭绝性及平稳分布[J], 罗超;张晓丹;
3.一类具有logistic增长的随机SIRS传染病模型的平稳分布和灭绝性 [J], 杜金姬;
秦闯亮
4.带有标准发生率和信息干预的随机时滞SIRS传染病模型的动力学行为 [J], 赵英英;胡华
5.带有标准发生率和信息干预的时滞SIRS传染病模型的稳定性分析 [J], 赵英英;胡华
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

sir传染病模型的辨识分析及稳定性分析

信阳师范学院硕士学位论文SIR传染病模型的辨识分析及稳定性分析姓名：***申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：***201104SIR传染病模型的辨识分析及稳定性分析作者：刘冠军学位授予单位：信阳师范学院引用本文格式：刘冠军SIR传染病模型的辨识分析及稳定性分析[学位论文]硕士 2011天津音乐学院硕士学位论文天津音乐学院音乐教育专业课程设置初探姓名：郭爽申请学位级别：硕士专业：音乐学指导教师：靳学东20081215中文摘要中文摘要高等音乐院校音乐教育专业作为我国高等音乐师范教育体系中的重要组成部分, 是对高校学生进行审美教育的主要渠道，抓好音乐教育课程的建设与完善是推进高校音乐学院素质教育的首要举措，如何在21世纪迎接来自国际、国内的诸多挑战,特别是如何改革我们的音乐教育思想、观念、学科课程的内容、体系、教学方法、手段、模式等,是我们当前亟待解决的问题。

本文对天津音乐学院音乐教育专业的课程设置进行了分析与探索，对国内的几所专业音乐院校和高等师范大学音乐教育课程的现状以及问题展开分析，并探讨了国外音乐院校音乐教育课程设置的现状及启示，从中得到有益的参考和借鉴，随即展开对天津音乐学院音乐教育课程设置的思索和建议，从理论上明确高等音乐院校音乐教育的目的和理念，构建音乐教育的课程结构和教学内容，突出天津音乐学院音乐教育的整体优势和办学特色。

本文共包括四个部分：第一部分，绪论中介绍了选题的背景和天津音乐学院音乐教育课程设置的历史脉络；第二部分论述了天津音乐学院音乐教育专业设置的现状；第三部分是与国内外高等学校比较对我们的启示；第四部分对天津音乐学院音乐教育专业设置的总结与思索；并展望了天津音乐学院音乐教育专业美好的发展前景。

关键词：音乐教育课程设置综合素质创新IAbstractAbstractMusic education in altitude music academy as an important part in our music teacher-training in higher education system of China,, is the main channel carry through aesthetic education to the students in institution of higher education .the building and consummation of music education curriculum is the pre-requisite act on boosting the education for all-around development in altitude music academy , How to meet the 21st century from international and domestic challenges, in particular, how to reform our music education, the concept of the curriculum content, system and teaching methods, means and modes etc, is our current problem. In this paper, analyses the status quo of music education curriculum as well as some issues aiming at several special music academy and higher normal university, and explores status quo and enlightenment of music education curriculum setting in foreign music school institutions, gained some helpful reference and use for reference. Subsequently, opens out explorements and suggestions of music education curriculum to Tianjin Conservatory of Music. Nail down the purpose and conception of music education in altitude music academy in theory. Constructing of music education in the curriculum structure and teaching content .To highlight the advantages of education and school characteristics in Tianjin Conservatory of Music.This article includes a total of four parts:Part1, Introduction of the topics introduced in the context of the Tianjin Conservatory of Music and the history of Music Education curriculum.part2, discuss the status quo of music education curriculum in Tianjin Conservatory of Music.part3, it presents our enlightenment comparing with Colleges and universities at home and abroad.part4, the discussion and analysis of the music education course institution in Tianjin Conservatory of Music, and prospects the music education specialty better prospects for development in Tianjin Conservatory of Music.Key words: music education, curriculum system, comprehensive quality , reformationII天津音乐学院学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。

一类具有时滞和标准发生率的SIR流行病模型的稳定性分析的开题报告

一类具有时滞和标准发生率的SIR流行病模型的稳定性分析的开题报告标题：一类具有时滞和标准发生率的SIR流行病模型的稳定性分析摘要：本文研究了一类具有时滞和标准发生率的SIR流行病模型的稳定性分析。

该模型考虑了病毒在潜伏期结束后才能感染他人的传播机制，并且使用标准发生率描述感染概率。

通过构建矩阵型Lyapunov-Krasovskii函数，我们证明了系统在全局意义下的稳定性。

特别地，我们证明了无病平衡点的稳定性以及当时滞存在时系统的稳定性。

此外，我们还进行了数值模拟，验证了理论结果的可行性。

关键词：SIR模型；时滞；标准发生率；稳定性；Lyapunov-Krasovskii函数内容：1. 引言随着全球化的不断深入，疾病传播变得越来越常见和复杂。

对疾病传播的建模和控制成为了重要的研究领域。

其中，SIR（易感者-感染者-康复者）模型是流行病学中常用的模型之一。

该模型描述了人口的感染和康复过程，可以提供给决策者制定有效的公共卫生政策。

然而，由于疫情的不可预测性，SIR模型的稳定性分析变得非常重要。

2. 模型描述考虑一类具有时滞和标准发生率的SIR流行病模型。

该模型的传播机制假设病毒在潜伏期结束后才能感染他人。

易感者（S）感染病毒后成为感染者（I），随后康复并具备免疫能力成为移动免疫者（R）。

模型的动力学可以用以下方程式描述：dS(t)/dt = -βIS(t-τ)/(1+αI(t-tau))dI(t)/dt = [βIS(t-τ)/(1+αI(t-tau))] - γI(t)dR(t)/dt = γI(t)其中，β表示感染率，γ表示康复率，τ表示潜伏期长度，α表示标准发生率。

在此基础上，我们引入了一个与时滞有关的函数q(t)来描述减少的接触率，即：q(t) = exp(-d(t-θ))，当 t >= θ时，q(t) = 13. 稳定性分析为了分析该模型的稳定性，我们构建了一个矩阵形式的Lyapunov-Krasovskii函数，该函数的导数等于一定量的负数。

具有脉冲出生及垂直传染的SIS传染病模型的分岔分析

期解中分岔出来，２一周期解通过ｆｌｉｐ分岔从周期解中分岔出来，验证了理论分析。
关键词：ＳＩＳ传染病模型；出生脉冲；周期解；垂直传染；ｆｌｉｐ分岔
中图分类号：０１７５．１文献标志码：Ａ文章编号：１６７３ — ８Ｏ８Ｘ（２Ｏ１３）Ｏ１ — ００５６ — ０５
ＢｉｆｕｒｃａｔｉｏｎｏｆＳＩＳｅｐｉｄｅｍｉｃｍｏｄｅｌｗｉｔｌ１ｖｅｒｔｉｃａｌｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎａｎｄｂｉｒｔｈｐｕｌｓｅｓ
第３３卷第１期２０１３年２月
桂林电子科技大学学报
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧｕｉｌｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
近２Ｏ年来，国内外传染病动力学的研究进展迅速，大量模型被用于分析各种各样的传染病问题。刘汉武等【３］提出了连续接种的具有年龄结构的ＳＩＳ传染病模型。周义仓ｎ］提出了一个具有年龄结构的传染病模型的全局稳定性。Ｌｉｃ】给出了离散时间的ＳＩ和ＳＩＳ传染病模型的全局分析。传统的种群动力学模型假设种群的
ＬｕＰｅｎｇ，ＪｉａｎｇＧｕｉｒｏｎｇ，ＨａｏＬｉｊｉｅ

一类具有标准发生率的SIRS传染病模型分岔分析

发生率比双线性发生率更符合实际．
＝ｙｌ一（＋ｏ）Ｒ，
△Ｓ＝（ｂ
＝
ＺｉＩｂ＿－ｃＶＮ），（ｃ一ｃ（ Ⅳ），，
，
连续动力系统的分岔理论研究已较为丰富，而
＝ｚｌＲｐＳ
．
ｓ＋ ’ 一ｐ ’ ）ｔ＝ｎＴ
２无病周期一解和平凡解的存在、稳定性
当种群中不存在感染者，即，（ｔ）＝０（ｔ＞０）时，
Ⅳ（）＝Ｓ（ｔ）＋（ｔ），系统（１）变为：
的传染病模型，利用映射研究该模型正周期解的存
在性及该系统的分岔现象．
１模型描述 ຫໍສະໝຸດ ’Ⅳ ＝一ｓ，＝一
１ｔ＃ｎＴ
（８＋ｏＱＲ，
ｊ
（２）
设Ｓ（ｔ），，（ｔ）和Ｒ（ｔ）分别为ｔ时刻的易感者、感染者和移出者的数量，现给出有脉冲生育和接
ａＮ＝（６一ｃ Ⅳ ） Ⅳ ，１：ｎ
关键词ＳＩＲＳ传染病模型，标准发生率，跨临界分岔，ｆｌｉｐ分岔
ＤＯＩ：１０．６０５２／１６７２－６５５３－２０１４－０１１
引言
疾病发生率是刻画传染病模型的主要内容，经典的传染病模型大多是采用双线性发生率 … 和饱
第２期
刘苏雨等：一类具有标准发生率的ＳＩＲＳ传染病模型分岔分析

关于SIRS传染病模型中疾病发生率的作用

关于SIRS传染病模型中疾病发生率的作用SIRS（易感-感染-恢复-易感）传染病模型是一种描述传染病传播和流行的数学模型，主要用于预测和分析传染病的流行情况，以便采取有效的控制措施。

在SIRS传染病模型中，人群被分为四个组群：易感者（S）、感染者（I）、康复者（R）和再次易感者（S）。

本文将探讨SIRS传染病模型中疾病发生率的作用。

疾病发生率是指在一定时间内，人群中新发病例的数量。

在传染病模型中，疾病发生率可以通过感染率（infection rate）来描述，即感染者与易感者之间的接触导致感染的速率。

感染率通常受到多种因素的影响，如传染性、易感者的数量、传播途径等。

在SIRS传染病模型中，疾病发生率的作用主要表现在以下几个方面：1. 影响传播速率：疾病发生率直接影响了传染病的传播速率。

传染病的传播速率是描述病原体在人群中传播的速度和强度的指标，通常可以通过基本传染数（basic reproduction number）来表示。

疾病发生率越高，传播速率也就越快，病原体在人群中的传播范围也会更广。

因此，在SIRS传染病模型中，及时控制感染率是遏制传染病流行的关键。

2.影响疾病持续时间：疾病发生率也会影响疾病在人群中的持续时间。

当疾病发生率较低时，感染者到康复者的转化速度相对较慢，疾病持续时间也会相对较长。

反之，当疾病发生率较高时，感染者到康复者的转化速度较快，疾病持续时间会相对较短。

因此，调控感染率可以有效缩短疾病流行的时间，减少病原体在人群中的传播。

3.影响疫情规模：疾病发生率还会影响疫情的规模。

高疾病发生率意味着更多的人受到感染，疫情规模也会更大。

相反，低疾病发生率可以减少感染者的数量，缓解疫情的严重程度。

因此，在SIRS传染病模型中，控制感染率是预防疫情扩散和减少疫情规模的重要手段。

综上所述，疾病发生率在SIRS传染病模型中扮演着至关重要的作用。

通过控制感染率，可以有效地减缓疾病的传播速度、减少疫情的持续时间和缩小疫情规模。

传染病的传播模型与空间分析方法探讨

传染病的传播模型与空间分析方法探讨传染病的传播一直是人类社会所关注的问题之一。

为了更好地了解传染病的传播规律并采取相应的防控措施，研究者们开发了各种传播模型和空间分析方法。

本文旨在探讨传染病传播模型的研究现状，并介绍几种常用的空间分析方法。

一、传染病传播模型传染病传播模型是一种用于描述和预测传染病传播过程的数学模型。

常见的传染病传播模型包括SIR模型、SEIR模型和SI模型等。

SIR模型是传统的传染病传播模型之一，将人群分为易感者（Susceptible）、感染者（Infectious）和康复者（Recovered）三类。

该模型假设人群之间的传播是直接的，并且忽略了人群之间的空间分布。

SEIR模型在SIR模型的基础上增加了暴露者（Exposed）这一类别，反映了病毒潜伏期。

该模型可以更准确地描述传染病的传播过程，但仍未考虑空间因素。

为了更准确地模拟传染病在空间上的传播，研究者们提出了多种空间传播模型，如空间SIR模型、空间SEIR模型和点过程模型等。

这些模型可以考虑人群之间的空间距离和移动规律，更好地描述传染病的传播过程。

二、空间分析方法空间分析方法是利用地理信息系统（Geographic Information System, GIS）和空间统计学的理论和方法，对传染病的空间分布进行分析。

常用的空间分析方法包括聚集分析、格网分析和核密度分析等。

聚集分析是用于评估空间上的群集程度的方法。

通过计算传染病发病点的空间分布是否呈现出显著的聚集或离散现象，可以判断传染病的传播是否存在空间集聚现象。

格网分析将研究区域划分为规则的格网，通过统计每个格网内的传染病发病数量或发病率，可以得到传染病的空间分布情况。

格网分析可以帮助研究者更直观地了解传染病的疫情蔓延趋势，并根据此结果进行相应的干预措施。

核密度分析是一种基于空间点密度的统计方法。

通过计算传染病发病点周围一定半径范围内的点数量，可以得出传染病的热点区域。

一类SIR传染病模型的分岔分析

一类SIR传染病模型的分岔分析李明山;张渝曼;周效良【摘要】研究一类连续SIR传染病模型的分岔性质.通过中心流形定理研究模型的跨临界分岔和音叉分岔并计算出其规范形,同时进一步给出分岔生物学解释.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(041)006【总页数】4页(P785-788)【关键词】SIR传染病模型;跨临界分岔;音叉分岔;中心流形定理【作者】李明山;张渝曼;周效良【作者单位】岭南师范学院数学与统计学院,广东湛江524048;岭南师范学院数学与统计学院,广东湛江524048;岭南师范学院数学与统计学院,广东湛江524048【正文语种】中文【中图分类】O175.13近年来，传染病数学模型在研究传染病预防控制中发挥了重要作用.自Kermack与McKendrick于1927年在文献［1］中建立易感（Susceptible）-染病（Infective）-康复（Recovered）模型（简称 SIR 模型）以来，传染病模型的动力学研究取得大量的研究成果［1-14］.传染病数学模型应用于分析传染病的一般传播规律，对传染病的传播机制、流行规律和防控理论的相关研究具有重要理论意义.在学者们的研究下，在连续SIR传染病模型动力学研究中涌现出许多优秀的成果［2-7，9-11］.对于连续传染病模型而言，不仅仅要研究模型的稳定性，更要研究其分岔性质.因为稳定性仅仅说明了当时间趋于无穷模型解的性态，没有涉及模型的解受外界干扰时模型解的性态变化［2-3，5］.研究传染病模型分岔性质可以得到传染病模型的解受外界干扰时模型解的性态变化和传染病模型对应系统拓扑结构的变化与模型系数参数发生微小扰动时的关系，从而得到传染病模型的相关动力学性质［3-7，9-10］.故研究传染病模型的分岔性质对传染病的防控措施、传播机制与流行规律等相关理论研究是非常重要的.1 模型介绍在2012年，Wang等在文献［5］中研究了如下连续SIR传染病模型由于系统（1）前2个等式不含有R，所以只需考虑如下子系统其中，S、I、R 分别代表易感者、染病者、康复者，k是感染率，μ是自然死亡率，r是康复率，a代表治疗措施对传染病传播的延迟效应.在文献［5］中假设模型（2）所有的系数参数均大于0.系统（2）有2个无病平衡点 E 0（0，0）和 E 1（A，0），系统（2）在 E 1（A，0）处的Jacobi矩阵如下2 系统（2）的跨临界与音叉分岔下面用中心流形定理来研究系统（2）在无病平衡点E 1（A，0）处跨临界分岔和音叉分岔的性质与正规形.定理 2.1 当 w ＝0）≠0时，在平衡点E 1（A，0）处将发生跨临界分岔.具体地讲，对w实施较小的扰动使得w＜0时，平衡点E 1（A，0）是双曲且稳定的；在w＝0时，平衡点是非双曲的；当w＞0时，平衡点E 1（A，0）是双曲且不稳定的.因此，当w在w ＝0附近发生微小变化时，系统（2）平衡点E 1（A，0）的双曲性和稳定性都发生了改变，并且平衡点的稳定性在w＝0发生了交替，即系统（2）在无病平衡点E 1（A，0）处发生跨临界分岔，其正规形为定理 2.2 当 w ＝0，（）＝0，α≠0时，在平衡点 E 1（A，0）处将发生音叉分岔.系统（2）平衡点E 1（A，0）的双曲性和稳定性的变化与定理2.1所述相同，其正规形为证明当w ＝0时，有λ1＜0，λ2＝0，为了体现系统（2）在无病平衡点E 1（A，0）处的跨临界分岔对参数 w 的依赖，把 J（E 1）写成 Jw（E 1）；施行如下坐标变换，易知系统（2）在无病平衡点 E 1（A，0）处的Jacobi矩阵为特征值λ1、λ2对应的特征向量可以写成如下形式：由变换（6）可以得到如下系统由引理2.1可知在w＝0附近系统（7）平衡点（u，v）＝（0，0）处的稳定性与分岔性质可通过中心流形上一参数系统来研究，由文献［15］中的定理18.1.2知中心流形具有如下形式由引理2.1知可通过如下（9）式计算中心流形（8）：根据文献［15］可知系统（2）在 E 1（A，0）平衡点处发生跨临界分岔，（11）式表明在（u，v）＝（0，0）附近所有高阶项O（3）不改变其分岔性质，亦表明在（u，v）＝（0，0）附近系统（10）的拓扑结构与的拓扑结构是局部拓扑等价的.（12）式可以视作系统（2）在无病平衡点E 1（A，0）处跨临界分岔的正规形.由文献［15］可知系统（2）在 E 1（A，0）平衡点处发生音叉分岔.（14）式可以视作系统（2）在无病平衡点 E 1（A，0）处音叉分岔的正规形.此时系统（2）在无病平衡点E 1（A，0）处发生退化的音叉分岔.由应用初等积分法可得且系统（15）的每个等式都是独立的微分方程，所以系统（15）的轨道结构是清楚的.证毕.3 分岔的生物学解释由定理2.1 和2.2 可知，在 E 1（A，0）处系统（2）的局部拓扑结构对参数w非常敏感，当w穿过0时，系统（2）平衡点 E 1（A，0）的双曲性和稳定性都发生了改变，这表明传染病在种群中流行状态也发生了改变，故参数w在0附近的微小变化与传染病在种群中流行状态有着非常紧密的联系，此时系统（2）的拓扑结构与参数w在0附近的微小变化有着某种对应关系.这种对应关系对研究传染病的流行规律、传播机制和预防控制有重要的理论意义.人们可通过研究传染病模型的分岔性质来得到并且控制传染病模型的敏感参数，从而达到控制传染病在种群中流行状态的目的.致谢岭南师范学院攀峰计划项目对本文给予了资助，谨致谢意.参考文献【相关文献】［1］KERMACK W O，MCKENDRICK A G.Contributions to the mathematical theory of epidemics［J］.P Roy Soc A，1927，115（772）：700-721.［2］MEMGX Z，CHEN L S.The dynamics of a new SIR epidemic model concerning pulse vaccination strategy［J］.Appl Math Comput，2008，197（2）：582-597.［3］ESQUIVEL ER，VALESEA，ALMEIDA GG.Stability and bifurcation analysis of a SIR model with saturated incidence rate and saturated treatment［J］.Math Comput Simulat，2016，2016（121）：109-132.［4］ZHANGX，LIU X N.Backward bifurcation of an epidemic model with saturated treatment function［J］.JMath Anal Appl，2008，348（1）：433-443.［5］WANG JL，LIU SQ，ZHENG B W，et al.Qualitative and bifurcation analysis using an SIR model with a saturated treatment function［J］.Math Comput Model，2012，55（3／4）：710-722.［6］ZHOU T T，ZHANG W P，LU Q Y.Bifurcation analysis of an SISepidemic model with saturated incidence rate and saturated treatment function［J］.Appl Math Comput，2014，226（1）：288-305.［7］HUZ X，LIU S，WANGH.Backward bifurcation of an epidemic model with standard incidence rate and treatment rate［J］.Nonlinear Anal：RWA，2008，9（5）：2302-2312. ［8］LI M S，LIU X M，ZHOU X L.The dynamic behavior of a discrete Vertical and horizontal transmitted disease model under constant vaccination［J］.International JModern Nonlinear Theory and Application，2016（5）：171-184.［9］李明山，张渝曼，黄晓玉，等.一类具有水平和垂直传播的连续SIR传染病模型的分岔性质［J］.应用数学进展，2017，6（2）：218-224.［10］商宁宁，王辉，胡志兴，等.一类具有饱和发生率和饱和治愈率的SIR传染病模型的分支分析［J］.昆明理工大学学报（自然科学版），2015，40（3）：139-148.［11］樊爱军，王开发.一类具有非线性接触率的种群力学流行病模型分析［J］.四川师范大学学报（自然科学版），2002，25（3）：261-263.［12］马知恩，周义仓，王稳地，等.传染病动力学的数学建模与研究［M］.北京：科学出版社，2004.［13］陈兰荪.数学生态学模型与研究方法［M］.北京：科学出版社，1988.［14］马知恩，周义仓，吴建宏.传染病建模与动力学［M］.北京：高等教育出版社，2009. ［15］WIGGINSS.Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos ［M］.New York：Springer-Verlag，1990.。

SIRS传染病模型的全局稳定及最优控制分析

SIRS传染病模型的全局稳定及最优控制分析
张素霞;胡钢
【期刊名称】《西安理工大学学报》
【年(卷),期】2014(30)3
【摘要】讨论了一个具有一般饱和传染率及两种控制措施SIRS传染病模型,分析了模型平衡点的稳定性态,并通过构造Lyapunov函数得到了地方病平衡点的全局稳定性.同时,本研究探讨了对易感者和染病者通过降低传染率和提高恢复率进行管理控制的最优措施,利用最优控制理论分析了一定时间内使染病者人数最少同时所投入经济成本最低的控制措施和管理方法,对疾病流行时实施最优控制的效果进行了数值模拟,结果显示当采取治疗等管理措施后,疾病由流行逐渐得到控制,直至最终绝灭.
【总页数】6页(P320-325)
【作者】张素霞;胡钢
【作者单位】西安理工大学理学院,陕西西安710054;西安理工大学理学院,陕西西安710054
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.一类有非线性发生率的 SIRS传染病模型的全局稳定性分析 [J], 郭金生;丁小梅;唐玉玲
2.具有标准发生率和因病死亡率的离散SIRS传染病模型的全局稳定性 [J], 王蕾;王凯
3.具有连续接种和治疗的SIRS传染病模型的全局稳定性 [J], 虞秀丽
4.具有Logistic增长的SIRS传染病模型的稳定性及最优控制分析 [J], 许云霞; 雷学红
5.具有Logistic增长的SIRS传染病模型的稳定性及最优控制分析 [J], 许云霞;雷学红
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

基于SIRS传染病模型的不同控制策略比较

基于SIRS传染病模型的不同控制策略比较赵明【期刊名称】《北华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(016)005【摘要】建立并分析了一类具有标准发生率、垂直传染、连续接种和治疗的 SIRS 传染病模型.综合运用 Routh-Hurwitz判据、LaSalle不变集原理和广义Bendixson-Dulac定理,获得了保证SIRS传染病模型的无病平衡点和地方病平衡点全局渐近稳定的阈值条件.通过比较两种控制策略的有效性,说明同时使用接种和治疗两种策略比单独应用一种更有效.%A SIRS epidemic model with standard incidence rate,vertical transmission,continuous vaccination and treatment is established and analyzed. By using Routh-Hurwitz criterion, LaSalle invariant set principle and generalized Bendixson-Dulac theorem, the global asymptotic stable threshold conditions of disease-free equilibrium and endemic equilibrium in the SIRS epidemic model are obtained. Comparing the effectiveness of the two control strategies shows that using two strategies of vaccination and treatment concurrently is superior to only one strategy for eradicating the disease.【总页数】6页(P561-566)【作者】赵明【作者单位】北华大学数学与统计学院,吉林吉林 132033【正文语种】中文【中图分类】O175.1【相关文献】1.变种群量的SIRS型传染病模型及控制策略 [J], 高京广;孙有发;张成科2.基于SIR传染病模型的不同控制策略比较 [J], 朱玑;李维德;朱凌峰3.SIRS传染病模型的连续接种和脉冲接种的比较 [J], 章培军;李维德;朱凌峰4.基于信息干预和治疗的时滞SIRS传染病模型的最优控制 [J], 李小妮5.基于SIRS传染病模型的银行风险传染机制研究 [J], 叶莉;李浩川;赵萌因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

具有离散时滞和标准发生率的SIR传染病模型的全局吸引性和持久性

具有离散时滞和标准发生率的SIR传染病模型的全局吸引性和持久性尚乔歌;张龙;滕志东【期刊名称】《新疆大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(029)002【摘要】In this paper, we studied a class of discrete SIR epidemic model with time delay and standard rate and density dependent birth and death rates. The criteria for global attrativity of disease-free is obtained by applying Lyapunov functional techique and give sufficient condition for permanence of system as Ro > 1.%研究了人口的出生和死亡都受密度制约的一类具有离散时滞和标准发生率的SIR传染病模型,通过构造Lyapunov泛函的方法,研究了无病平衡点的全局吸引性,并且给出了当Ro＞1时,系统持久性的充分条件.【总页数】8页(P174-181)【作者】尚乔歌;张龙;滕志东【作者单位】新疆大学数学与系统科学学院,新疆乌鲁木齐830046;新疆大学数学与系统科学学院,新疆乌鲁木齐830046;新疆大学数学与系统科学学院,新疆乌鲁木齐830046【正文语种】中文【中图分类】O175【相关文献】1.一类具有时滞和非线性发生率的SIRS传染病模型稳定性与Hopf分岔分析 [J], 陈方方;洪灵2.一类具有非线性发生率的时滞SIRS传染病模型 [J], 刘娟3.一类具有脉冲和双时滞的离散SIRS传染病模型的研究 [J], 罗粤丽;高淑京;谢德辉4.具有标准发生率和因病死亡率的离散SIRS传染病模型的全局稳定性 [J], 王蕾;王凯5.具有时滞和非线性发生率的离散SIRS传染病模型的持久性 [J], 李浩;滕志东;王蕾因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。