高中数学必修4三角函数常考题型：三角函数的定义案

三角函数的定义

【知识梳理】

1．任意角三角函数的定义

(1)单位圆：在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆． (2)单位圆中任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ；x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ；y

x 叫做α的正切，

记作tan α，即tan α＝y

x

(x ≠0).

2．三角函数

正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，它们统称为三角函数．

3．三角函数的定义域

三角函数 定义域 sin α R cos α R

tan α

⎩⎨⎧⎭

⎬⎫α⎪⎪

α≠π

2＋k π，k ∈Z

4．三角函数值的符号

5．终边相同的角的同一三角函数的值 (1)终边相同的角的同一三角函数的值相等． (2)公式：sin(α＋k ·2π)＝sin_α， cos(α＋k ·2π)＝cos_α，

tan(α＋k ·2π)＝tan_α，其中k ∈Z .

【常考题型】

题型一、三角函数的定义及应用

【例1】 (1)若角α的终边经过点P (5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________， tan α＝________.

(2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． (1)[解析] ∵x ＝5，y ＝－12，∴r ＝

52＋(－12)2＝13，则sin α＝y r ＝－1213，cos α＝x r ＝5

13

，

tan α＝y x ＝－125

.

[答案] －1213 513 －125

(2)[解] 直线3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，3)，则r ＝

(－1)2＋(3)2＝2，所以sin α＝

32，cos α＝－1

2，tan α＝－3； 在第四象限取直线上的点(1，－3)，则r ＝12＋(－3)2＝2，所以sin α＝－

3

2

，cos α＝1

2

，tan α＝－ 3. 【类题通法】

利用三角函数的定义求值的策略

(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： 法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值．

法二：注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值sin α＝

b

a 2＋

b 2

，余弦值cos α＝

a a 2＋b

2

，正切值tan α＝b

a .

(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．

【对点训练】

已知角α的终边过点P (12，a )，且tan α＝5

12，求sin α＋cos α的值．

解：根据三角函数的定义，tan α＝a 12＝5

12，

∴a ＝5，∴P (12,5)．这时r ＝13，

∴sin α＝513，cos α＝1213，从而sin α＋cos α＝17

13

.

题型二、三角函数值符号的运用

【例2】 (1)若sin αtan α<0，且cos α

tan α<0，则角α是( )

A ．第一象限角

B ．第二象限角

C ．第三象限角

D ．第四象限角

(2)判断下列各式的符号： ①sin 105°·cos 230°； ②cos 3·tan ⎝⎛⎭

⎫－2π

3. (1)[解析] 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二、三限角． 由

cos α

tan α

<0可知cos α，tan α异号，从而α为第三、四象限角． 综上可知，α为第三象限角． [答案] C

(2)[解] ①∵105°，230°分别为第二，第三象限角， ∴sin 105°>0，cos 230°<0. 于是sin 105°·cos 230°<0. ②∵π

2<3<π，

∴3是第二象限角， ∴cos 3<0，

又－2π

3

是第三象限角，

所以tan ⎝⎛⎭⎫－2π3>0，∴cos 3·tan ⎝⎛⎭⎫－2π3<0. 【类题通法】

三角函数值的符号规律

(1)当角θ为第一象限角时，sin θ>0，cos θ>0或sin θ>0，tan θ>0或cos θ>0，tan θ>0，反之也成立；

(2)当角θ为第二象限角时，sin θ>0，cos θ<0或sin θ>0，tan θ<0或cos θ<0，tan θ<0，反之也成立；

(3)当角θ为第三象限角时，sin θ<0，cos θ<0或sin θ<0，tan θ>0或cos θ<0，tan θ>0，反之也成立；

(4)当角θ为第四象限角时，sin θ<0，cos θ>0或sin θ<0，tan θ<0或cos θ>0，tan θ<0，反之也成立．

【对点训练】

若sin 2α＞0，且cos α＜0，试确定α终边所在的象限． 解：因为sin 2α＞0，所以2k π＜2α＜2k π＋π(k ∈Z )， 所以k π＜α＜k π＋π

2

(k ∈Z )．

当k 为偶数时，α是第一象限角；当k 为奇数时，α为第三象限角．所以α为第一或第三象限角．

又因为cos α＜0，所以α为第三象限角．

题型三、诱导公式一的应用

【例3】 计算下列各式的值：

(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π

5

·tan 4π. [解] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)

＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝22×32＋12×12 ＝

64＋14 ＝

1＋6

4

. (2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12. 【类题通法】

诱导公式一的应用策略

应用诱导公式一时，先将角转化到0～2π范围内的角，再求值．对于特殊角的三角函数值一定要熟记．

【对点训练】 求下列各式的值： (1)sin

25π

3

＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°.