2013年高考分类题库考点40 椭圆

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高考椭圆题型总结有答案

高考椭圆题型总结有答案椭圆题型总结一、椭圆的定义和方程问题 (一) 定义:1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之2. 和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( B )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是（ D ）A.椭圆B.圆C.直线D.线段4. 已知1F 、2F是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ,使得2PF PQ =,那么动点Q 的轨迹是( B )A.椭圆B.圆C.直线D.点 5. 椭圆192522=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 4 。

6. 选做：F 1是椭圆15922=+y x 的左焦点，P 在椭圆上运动，定点A （1，1），求||||1PF PA +的最小值。

解：26||2||2||||||221-=-≥-+=+AF a PF a PA PF PA(二) 标准方程求参数范围1. 试讨论k 的取值范围，使方程13522=-+-k y k x 表示圆，椭圆，双曲线。

（略）2. 轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>( C )A.充分而不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3. 若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的椭圆，α所在的象限是（ A ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4. 方程231y x -=所表示的曲线是椭圆的右半部分 .5. 已知方程222=+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 k>1(三) 待定系数法求椭圆的标准方程1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26；114416922=+x y （2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）；137148,113522222=+=+y x x y 或（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ,求椭圆方程. 13922=+y x2. 简单几何性质1．求下列椭圆的标准方程（1）32,8==e c ；（2）过（3，0）点，离心率为36=e 。

2013年高考数学椭圆

2
3
2 直线 AP的方程为 x－ 3 y＋ 6 ＝0. 设点 M 的坐标为 m , 0 ，
则点 M 到直线 AP的距离是由于 |m6| 2 |m6| 2
＝ | m－ 6 | ，又－ 6 m 6 ，故解得 m＝ 2.
故椭圆上的点 ( x， y )到点 M 的距离 d 满足 d ＝ ( x－ 2) ＋ y ＝ x － 4 x＋ 4 ＋ 20－ 9
2 x2 y ＝1 由已知得 36 20 ， ( x 6)( x 4) y 2 0
则 2 x ＋ 9 x－18 ＝ 0，解得 x＝或 x＝－ 6. 2 3 5 由于 y＞ 0，故 x＝，于是 y＝ 3, 2 2 3 5 所以点 P的坐标是 ( , 3) 2 2
椭圆的标准方程
【例1】已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 P1 ( 6，， P2 (－ 3，－ 2 )，求该椭 1) 圆的方程．
【解析】设所求的椭圆方程为 m x ＋ ny ＝1 ( m 0， n 0)．因为椭圆经过两点 P1 ( 6，， P2 (－ 3， 1) 1 m 9 6m n 1 所以 ,解得， 3m 2 n 1 n 1 3 故所求的椭圆标准方程为 x
25 4
,
设M 到右准线的距离为 MN ，由椭圆的第二定义知所以 5 4 25 4 此时 M 坐标为( 5 3 5，)． 2 ＝ e＝ , | MN | 5 5 4 17 4 MA ＝ MB ＋ MN . 4
MA ＝ MN ，所以 MB ＋

椭圆历年高考题

椭圆历年高考题(总6页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除椭圆历年高考真题（选填题）1.(2018·全国卷I高考文科·T4)已知椭圆C :+=1的一个焦点为,则C的离心率为()A .B .C .D .2.(2018·全国卷II高考理科·T12)已知F1,F2是椭圆C :+=1(a>b>0)的左,右焦点,A是C的左顶点,点P在过A 且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为()A .B .C .D .3.(2018·全国卷II高考文科·T11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为()A.1-B.2-C .D .-14.(2017·全国乙卷文科·T12)设A,B是椭圆C:23x+2ym=1长轴的两个端点,若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是()A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,3]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0, 3]∪[4,+∞)5.(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A. 6B.3C.23D.136.(2017·全国丙卷·文科·T11)同(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.63B.33C.23D.137.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T5)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.348.(2016·全国卷3·理科·T11)已知O为坐标原点,F是椭圆C:2222x ya b=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.13B.12C.23D.349.(2016·江苏高考T10)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆2222x y+=1a b(a>b>0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是.10.(2015·全国1卷理科·T14)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 .椭圆历年高考真题（选填题）参考答案1.(2018·全国卷I高考文科·T4)已知椭圆C:+=1的一个焦点为,则C的离心率为()A.B.C.D.【解析】选C.因为椭圆的一个焦点为(2,0),则c=2,所以a2=b2+c2=8,a=2,所以离心率e=.2.(2018·全国卷II高考理科·T12)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为()A.B.C.D.【命题意图】本题考查了椭圆的标准方程和椭圆的性质的应用以及数学运算能力.【解析】选D.由题意直线AP的方程为y=(x+a),△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,所以PF2=2c,∠PF2x=60°,故P(2c,c),代入y=(x+a)得,(2c+a)=c,解得e==.3.(2018·全国卷II高考文科·T11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为()A.1-B.2-C.D.-1【命题意图】本题考查椭圆的定义和性质的应用,考查了学生的运算和转化能力. 【解析】选D .在直角三角形PF 1F 2中,F 1F 2=2c ,∠PF 2F 1=60°, 所以PF 1=c ,PF 2=c ,又PF 1+PF 2=2a ,所以c +c =2a ,解得e ===-1.4.(2017·全国乙卷文科·T12)设A,B 是椭圆C:23x +2y m =1长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足∠AMB=120°,则m 的取值范围是( ) A.(0,1]∪[9,+∞)3∪[9,+∞) C.(0,1]∪[4,+∞)3∪[4,+∞)【命题意图】本题主要考查椭圆的性质,利用椭圆的性质解决相关问题.【解析】选A.当0<m<3时,焦点在x 轴上,要使C 上存在点M 满足∠AMB=120°,则ab3即3m3,得0<m≤1;当m>3时,焦点在y 轴上,要使C 上存在点M 满足∠AMB=120°,则a b 3即3m3,得m≥9,故m 的取值范围为(0,1]∪[9,+∞),故选A. 5.(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C: 22x a +22y b=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C 的离心率为 ( ) A.63 B. 33 C.23 D.13【命题意图】本题考查椭圆的性质及直线和圆的位置关系,考查学生的运算求解能力. 【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离22a b=a,整理得a 2=3b 2,即a 2=3(a 2-c 2)⇒2a 2=3c 2,即22c a =23,e=ca =63. 6.(2017·全国丙卷·文科·T11)同(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:22x a +22yb=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C 的离心率为 ( )A.6 B.3 C.2 D.13【命题意图】本题考查椭圆的性质及直线和圆的位置关系,考查学生的运算求解能力. 【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离d=22ab+=a,整理为a 2=3b 2,即a 2=3(a 2-c 2)⇒2a 2=3c 2,即22c a=23,e=c a =63.7.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T5)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为 ( ) A.13B.12C.23D.34【解析】选B.设椭圆的标准方程为22x a+22y b =1(a>b>0),右焦点F(c,0),则直线l 的方程为x c +yb =1,即bx+cy-bc=0,22bcb c -+=12b,又a 2=b 2+c 2,得b 2c 2=14b 2a 2,所以e=c a =12.8.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T12)与(2016·全国卷3·理科·T11)相同已知O 为坐标原点,F 是椭圆C:2222x y a b+ =1(a>b>0)的左焦点,A,B 分别为C 的左,右顶点.P 为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M,与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为 ( ) A.13B.12C.23D.34【解题指南】点M 是直线AE 和直线BM 的交点,点M 的横坐标和左焦点相同,进而找到a,b,c 的联系. 【解析】选A.由题意可知直线AE 的斜率存在,设为k,直线AE 的方程为y=k ()x a +,令x=0可得点E 坐标为()0,ka ,所以OE 的中点H 坐标为ka 0,2⎛⎫⎪⎝⎭,又右顶点B(a,0),所以可得直线BM 的斜率为-k 2,可设其方程为y=-k 2x+k 2a,联立()y k x a ,k k y x a,22⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩可得点M 横坐标为-a 3,又点M 的横坐标和左焦点相同,所以-a 3=-c,所以e=13.9.(2016·江苏高考T10)如图,在平面直角坐标系xOy 中,F是椭圆2222x y +=1a b (a>b>0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C 两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是 .【解题指南】利用k BF ·k CF =-1计算得出离心率的值. 【解析】将直线y=2b与椭圆的方程联立得B 3b a,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,C 3b a,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,F(c,0),则k BF =b 23a c --,k CF =b23a c -, 因为∠BFC=90°,所以k BF ·k CF =b 23a c 2--×b23a c 2-=-1, 整理得b 2=3a 2-4c 2,所以a 2-c 2=3a 2-4c 2,即3c 2=2a 2⇒e=ca =6. 答案:6 10.(2015·全国1卷理科·T14)（14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为。

高考数学总复习(基础知识+高频考点+解题训练)椭圆

椭__圆[知识能否忆起]1．椭圆的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点F 1，F 2间的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程及其几何性质条件2a ＞2c ，a 2＝b 2＋c 2，a ＞0，b ＞0，c ＞0图形标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 范围 |x |≤a ；|y |≤b|x |≤b ；|y |≤a对称性曲线关于x 轴、y 轴、原点对称曲线关于x 轴、y 轴、原点对称顶点长轴顶点(±a,0) 短轴顶点(0，±b ) 长轴顶点(0，±a ) 短轴顶点(±b,0) 焦点 (±c,0)(0，±c )焦距 |F 1F 2|＝2c (c 2＝a 2－b 2)离心率 e ＝ca∈(0,1)，其中c ＝a 2－b 2 通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为2b2a[小题能否全取]1．(教材习题改编)设P 是椭圆x 24＋y 29＝1的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．8C ．6D ．18解析：选C 依定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6. 2．(教材习题改编)方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的范围是( )A ．(－3,5)B ．(－5,3)C ．(－3,1)∪(1,5)D ．(－5,1)∪(1,3)解析：选C 由方程表示椭圆知⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＞0，m ＋3＞0，5－m ≠m ＋3，解得－3＜m ＜5且m ≠1.3．(2012·淮南五校联考)椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 解析：选C 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45，得k ＝－1925；若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21. 4．(教材习题改编)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8.则该椭圆的方程是________．解析：∵2c ＝8，∴c ＝4，∴e ＝c a ＝4a ＝12，故a ＝8.又∵b 2＝a 2－c 2＝48，∴椭圆的方程为y 264＋x 248＝1.答案：y 264＋x 248＝15．已知F 1，F 2是椭圆C 的左，右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为________．解析：在三角形PF 1F 2中，由正弦定理得 sin ∠PF 2F 1＝1，即∠PF 2F 1＝π2，设|PF 2|＝1，则|PF 1|＝2，|F 2F 1|＝3，所以离心率e ＝2c 2a ＝33.答案：331.椭圆的定义中应注意常数大于|F 1F 2|.因为当平面内的动点与定点F 1，F 2的距离之和等于|F 1F 2|时，其动点轨迹就是线段F 1F 2；当平面内的动点与定点F 1，F 2的距离之和小于|F 1F 2|时，其轨迹不存在．2．已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断，当焦点位置不明确时，要分两种情形讨论．椭圆的定义及标准方程典题导入[例1] (2012·山东高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1C.x 216＋y 24＝1D.x 220＋y 25＝1 [自主解答] ∵椭圆的离心率为32， ∴c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴a ＝2b . 故椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝⎛⎭⎪⎫255b ，255b ，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，即a 2＝4b 2＝20.故椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.[答案] D本例中条件“双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16”变为“此椭圆的长轴长等于圆x 2＋y 2－2x －15＝0的半径”问题不变．解：∵x 2＋y 2－2x －15＝0，∴(x －1)2＋y 2＝16，∴r ＝4，即2a ＝4，a ＝2. 又c a ＝32，∴c ＝3， ∴b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.由题悟法1．解决与到焦点的距离有关的问题时，首先要考虑用定义来解题． 2．椭圆方程的求法多用待定系数法，其步骤为： (1)定标准；(2)设方程；(3)找关系；(4)得方程．3．当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y 2n＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B＞0，且A ≠B )．以题试法1．(2012·张家界模拟)椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝( )A.72 B.32C. 3D ．4解析：选A 因为a 2＝4，b 2＝1，所以a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.不妨设F 1为左焦点，P 在x 轴上方，则F 1(－3，0)，设P (－3，m )(m ＞0)，则－324＋m 2＝1，解得m ＝12，所以|PF 1|＝12根据椭圆定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a －|PF 1|＝22－12＝72.椭圆的几何性质典题导入[例2] (1)F 1、F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的左右焦点，点P 在椭圆上运动．则1PF u u u r ·2PF u u u r的最大值是( )A ．－2B ．1C ．2D ．4(2)(2012·江西高考)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1、F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14 B.55C.12D.5－2[自主解答] (1)设P (x ，y )，依题意得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，1PF u u u r ·2PF u u u r＝(－3－x )(3－x )＋y 2＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2.∵0≤x 2≤4，∴－2≤34x 2－2≤1.∴1PF u u u r ·2PF u u u r 的最大值是1.(2)由题意知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，且三者成等比数列，则|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |，即4c 2＝a 2－c 2，a 2＝5c 2，所以e 2＝15，故e ＝55.[答案] (1)B (2)B由题悟法1．求椭圆的离心率实质上是建立a ，b ，c 中任意两者或三者之间的关系，利用e ＝c a或e ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2去整体求解．2．解决与椭圆几何性质有关的问题时：一是要注意定义的应用；二是要注意数形结合；三是要注意－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，0＜e ＜1等几何性质在建立不等关系或求最值时的关键作用．以题试法2．(1)(2012·西工大附中适应性训练)已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点的坐标为(3,0)，|AM u u u u r ,|＝1，且PM u u u r ,·AM u u u u r ,＝0，则|PM u u u r,|的最小值为________．(2)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是________．解析：(1)由|AM u u u u r,|＝1，A (3,0)知点M 在以A (3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，∵PM u u u r ,·AM u u u u r,＝0且P 在椭圆上运动，∴PM ⊥AM ，∴PM 为⊙A 的切线，连接PA (如图)，则|PM u u u r ,|＝ |PA u u u r |2－|AM u u u u r |2＝ |PA u u u r |2－1，∴当|PA u u u r ,|min＝a －c ＝5－3＝2时，|PM u u u r,|min ＝ 3.(2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，y ，线段F 1P 的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22c ，y 2，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝cy a 2＋c 2，当直线QF 2的斜率存在时，设直线QF 2的斜率为kQF 2＝cy b 2－2c2(b 2－2c 2≠0)由kF 1P ·kQF 2＝－1得y 2＝a 2＋c 22c 2－b2c2≥0，但注意到b 2－2c 2≠0，故2c 2－b 2＞0，即3c 2－a 2＞0，即e 2＞13，故33＜e ＜1.当直线QF 2的斜率不存在时，y ＝0，F 2为线段PF 1的中点．由a 2c －c ＝2c 得e ＝33，综上得33≤e ＜1.答案：(1) 3 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1直线与椭圆的位置关系典题导入[例3] (2012·安徽高考)如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．[自主解答] (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )．将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，－335c ，所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c .由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ，再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知， a ＝10，b ＝5 3.由题悟法1．直线与椭圆位置关系的判断将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解的组数来确定，即用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判断式Δ的符号来确定：当Δ>0时，直线和椭圆相交；当Δ＝0时，直线和椭圆相切；当Δ<0时，直线和椭圆相离．2．直线和椭圆相交的弦长公式 |AB |＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]或|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[y 1＋y22－4y 1y 2].3．直线与椭圆相交时的常见处理方法当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，设而不求计算弦长；涉及到求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．以题试法3．(2012·潍坊模拟)已知直线l ：y ＝x ＋6，圆O ：x 2＋y 2＝5，椭圆E ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝33，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等． (1)求椭圆E 的方程；(2)过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，圆心O 到直线l 的距离d ＝61＋1＝3，∴b ＝5－3＝ 2.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝33，a 2＝b 2＋c 2，b ＝2，∴a 2＝3，b 2＝2.∴椭圆E 的方程为y 23＋x 22＝1.(2)证明：设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，联立直线l 0与椭圆E 的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －x 0＋y 0，y 23＋x22＝1，消去y 得(3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2－6＝0， ∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0)2－6]＝0，整理得(2－x 20)k 2＋2kx 0y 0－(y 20－3)＝0.设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－y 20－32－x 20，∵点P 在圆O 上，∴x 20＋y 20＝5，∴k 1·k 2＝－5－x 20－32－x 20＝－1.故两条切线的斜率之积为常数－1.1．(2012·海淀模拟)2＜m ＜6是方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分与不必要条件解析：选B 若x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，6－m ＞0，m －2≠6－m ，∴2＜m ＜6且m ≠4，故2＜m ＜6是x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆的必要不充分条件．2．已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27＝1 B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1 解析：选B ∵a ＝4，e ＝34，∴c ＝3.∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.3．(2012·新课标全国卷)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12 B.23 C.34D.45解析：选C 由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －c ＝2c ，∴3a ＝4c ，∴e ＝34. 4．(2013·沈阳二中月考)已知椭圆x 24＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点M 在椭圆上，1MF u u u u r ,·2MF u u u u r,＝0，则M 到y 轴的距离为( )A.233B.263C.33D. 3解析：选B 由条件知，点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，该圆的方程是x 2＋y 2＝3，即y 2＝3－x 2，代入椭圆方程得x 24＋3－x 2＝1，解得x 2＝83，则|x |＝263，即点M 到y 轴的距离为263.5．(2012·安徽师大附中模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△FAB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( )A.3－12B.5－12 C.1＋54D.3＋14解析：选B 由题意得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52.又e ＞0，故所求的椭圆的离心率为5－12. 6．一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2, 3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A.x 28＋y 26＝1B.x 216＋y 26＝1 C.x 28＋y 24＝1D.x 216＋y 24＝1解析：选A 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由点(2, 3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立得a 2＝8，b 2＝6.7．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，根据椭圆定义知2a ＝12，即a ＝6，由c a ＝32，得c ＝33，b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝18．椭圆x 216＋y 24＝1的两焦点F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝________.解析：易得|PF 1|＝b 2a ＝44＝1.又点P 在椭圆上，于是有|PF 1|＋|PF 2|＝8，|PF 2|＝8－|PF 1|＝7.答案：79．(2012·哈尔滨模拟)设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左，右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：∵P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，∴|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋10－|PF 2|＝10＋|PM |－|PF 2|≤10＋|MF 2|＝10＋5＝15，当P ，M ，F 2三点共线时取等号．答案：1510．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积．解：(1)由已知得c ＝22，c a ＝63.解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y24＝1得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m4.因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB . 所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0. 所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.率为63，F 为11．(2013·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心椭圆的右焦点，M ，N 两点在椭圆C 上，且MF u u u u r ,＝λFN u u u r,(λ＞0)，定点A (－4,0)．(1)求证：当λ＝1时，MN u u u u r ,⊥AF u u u r,；(2)若当λ＝1时，有AM u u u u r ,·AN u u u r ,＝1063，求椭圆C 的方程．解：(1)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，F (c,0)，则MF u u u u r ,＝(c －x 1，－y 1)，FN u u u r,＝(x 2－c ，y 2)．当λ＝1时，MF u u u u r ,＝FN u u u r,，∴－y 1＝y 2，x 1＋x 2＝2c .∵M ，N 两点在椭圆C 上，∴x 21＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 21b 2，x 22＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 22b 2， ∴x 21＝x 22.若x 1＝－x 2，则x 1＋x 2＝0≠2c (舍去)， ∴x 1＝x 2，∴MN u u u u r ,＝(0,2y 2)，AF u u u r ,＝(c ＋4,0)，∴MN u u u u r ,·AF u u u r,＝0，∴MN u u u u r ,⊥AF u u u r ,.(2)当λ＝1时，由(1)知x 1＝x 2＝c ，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，N ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ， ∴AM u u u u r ,＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋4，b 2a ，AN u u u r ,＝⎝⎛⎭⎪⎫c ＋4，－b 2a ，∴AM u u u u r ,·AN u u u r ,＝(c ＋4)2－b 4a2＝1063.(*)∵c a ＝63， ∴a 2＝32c 2，b 2＝c 22，代入(*)式得56c 2＋8c ＋16＝1063，∴c ＝2或c ＝－585(舍去)．∴a 2＝6，b 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1.12．(2012·陕西高考)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB u u u r ＝2OA u u u r，求直线AB 的方程．解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB u u u r ＝2OA u u u r及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k2.将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k2.又由OB u u u r ＝2OA u u u r ，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k2＝161＋4k2，解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB u u u r ＝2OA u u u r及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2.由OB u u u r ＝2OA u u u r ，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k2.将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .1．(2012·长春模拟)以O 为中心，F 1，F 2为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足|1MF u u u u r,|＝2|MO u u u u r ,|＝2|2MF u u u u r,|，则该椭圆的离心率为( )A.33B.23C.63D.255解析：选C 不妨设F 1为椭圆的左焦点，F 2为椭圆的右焦点．过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于N 点，则N 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，0，并设|1MF u u u u r ,|＝2|MO u u u u r ,|＝2|2MF u u u u r ,|＝2t ，根据勾股定理可知，|1MF u u u u r ,|2－|1NF u u u u r ,|2＝|2MF u u u u r ,|2－|2NF u u u u r ,|2，得到c ＝62t ，而a ＝3t 2，则e ＝c a ＝63.2．(2012·太原模拟)已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)和椭圆C 2：x 2a 22＋y 2b 22＝1(a 2＞b 2＞0)的焦点相同且a 1＞a 2.给出如下四个结论：①椭圆C 1和椭圆C 2一定没有公共点；②a 21－a 22＝b 21－b 22；③a 1a 2＞b 1b 2；④a 1－a 2＜b 1－b 2. 其中，所有正确结论的序号是( ) A ．②③④ B ．①③④ C ．①②④D ．①②③解析：选C 由已知条件可得a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21－a 22＝b 21－b 22，而a 1＞a 2，可知两椭圆无公共点，即①正确；又a 21－a 22＝b 21－b 22，知②正确；由a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21＋b 22＝b 21＋a 22，则a 1b 2，a 2b 1的大小关系不确定，a 1a 2＞b 1b 2不正确，即③不正确；∵a 1＞b 1＞0，a 2＞b 2＞0，∴a 1＋a 2＞b 1＋b 2＞0，而又由(a 1＋a 2)(a 1－a 2)＝(b 1＋b 2)(b 1－b 2)，可得a 1－a 2＜b 1－b 2，即④正确．综上可得，正确的结论序号为①②④.3．(2012·西城模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是F (1,0)，且离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点P (0，y 0)，求y 0的取值范围．解：(1)设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得c ＝1. 因为椭圆C 的离心率为12，所以a ＝2c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当MN ⊥x 轴时，显然y 0＝0.当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y23＝1，消去y 并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为Q (x 3，y 3)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2.所以x 3＝x 1＋x 22＝4k 23＋4k 2，y 3＝k (x 3－1)＝－3k 3＋4k2. 线段MN 的垂直平分线的方程为y ＋3k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4k 23＋4k 2. 在上述方程中，令x ＝0，得y 0＝k 3＋4k 2＝13k＋4k. 当k ＜0时，3k ＋4k ≤－43；当k ＞0时，3k＋4k ≥4 3. 所以－312≤y 0＜0或0＜y 0≤312. 综上，y 0的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－312，312.1．(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解：(1)根据椭圆的左焦点为F 1(－1,0)，知a 2－b 2＝1，又根据点P (0,1)在椭圆上，知b ＝1，所以a ＝2，所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为直线l 与椭圆C 1和抛物线C 2都相切，所以其斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋m )2＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0，由题可知此方程有唯一解，此时Δ＝4k 2m 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2(m 2－1)＝0，即m 2＝2k 2＋1. ①把y ＝kx ＋m (k ≠0)代入抛物线方程得k4y 2－y ＋m ＝0，由题可知此方程有唯一解，此时Δ＝1－mk ＝0，即mk ＝1. ②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝2k 2＋1，mk ＝1，解得k 2＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－2，所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. 2．(2012·湖南高考)在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0 的圆心．(1)求椭圆E 的方程；(2)设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线l 1，l 2，当直线l 1，l 2都与圆C 相切时，求P 的坐标．解：(1)由x 2＋y 2－4x ＋2＝0得(x －2)2＋y 2＝2，故圆C 的圆心为点(2,0)．从而可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其焦距为2c .由题设知c ＝2，e ＝c a ＝12.所以a ＝2c ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12.故椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则l 1，l 2的方程分别为l 1：y －y 0＝k 1(x －x 0)，l 2：y －y 0＝k 2(x －x 0)，且k 1k 2＝12.由l 1与圆C ：(x －2)2＋y 2＝2相切得|2k 1＋y 0－k 1x 0|k 21＋1＝2，即[(2－x 0)2－2]k 21＋2(2－x 0)y 0k 1＋y 20－2＝0.同理可得[(2－x 0)2－2]k 22＋2(2－x 0)y 0k 2＋y 20－2＝0.从而k 1，k 2是方程[(2－x 0)2－2]k 2＋2(2－x 0)y 0k ＋y 20－2＝0的两个实根，于是⎩⎪⎨⎪⎧2－x 02－2≠0，Δ＝8[2－x 02＋y 20－2]>0，①且k 1k 2＝y 20－22－x 02－2＝12. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2016＋y 212＝1，y 2－22－x 02－2＝12，得5x 20－8x 0－36＝0.解得x 0＝－2或x 0＝185.由x 0＝－2得y 0＝±3；由x 0＝185得y 0＝±575，它们均满足①式．故点P 的坐标为(－2,3)，或(－2，－3)，或⎝ ⎛⎭⎪⎫185，575或⎝⎛⎭⎪⎫185，－575.3．(2012·河南模拟)已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点⎝⎛⎭⎪⎫ 2，22. (1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．解：(1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2a ＝32，2a 2＋12b 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)＞0，且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－11＋4k 2. 因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km x 1＋x 2＋m 2x 1x 2＝k 2，即－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0，又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±12. 由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ＞0，得0＜m 2＜2且m 2≠1. 设点O 到直线l 的距离为d ，则S △OPQ ＝12d |PQ |＝12·1＋k2x 1－x 22·|m |1＋k 2＝12|x 1－x 2||m |＝m 22－m2，又0＜m 2＜2且m 2≠1，所以S △OPQ 的取值范围为(0,1)．。

高考数学十年真题专题解析—椭圆

椭圆年份题号考点考查内容2011理14椭圆方程椭圆的定义、标准方程及其几何性质文4椭圆的几何性质椭圆离心率的计算2012文理4椭圆的几何性质椭圆离心率的计算2013卷1理10椭圆方程直线与椭圆的位置关系，椭圆方程的求法文理20椭圆定义、标准方程及其几何性质椭圆的定义、标准方程及其几何性质，直线与椭圆位置关系卷2理20直线与椭圆位置关系椭圆的方程求法，直线与椭圆位置关系，椭圆最值问题的解法文5椭圆定义、几何性质椭圆的定义，椭圆离心率的求法2014卷1理20椭圆方程及几何性质椭圆的标准方程及其几何性质，直线与椭圆位置关系卷2理20椭圆方程及几何性质椭圆的标准方程及其几何性质，直线与椭圆位置关系2015卷1理14圆与椭圆椭圆的标准方程及其几何性质，过三点圆的方程的求法卷2理20直线与椭圆直线和椭圆的位置关系，椭圆的存在型问题的解法文20直线与椭圆椭圆方程求法，直线和椭圆的位置关系，椭圆的定值问题的解法2016卷1理20圆、直线与椭圆椭圆定义、标准方程及其几何性质，直线与圆、椭圆的位置关系卷2理20直线与椭圆椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系文21直线与椭圆椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系2017卷1理20直线与椭圆椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系，椭圆的定点问题文12直线与椭圆椭圆的标准方程及其几何性质卷3文11理10直线与圆，椭圆的几何性质直线与圆的位置关系，椭圆的几何性质2018卷1理19直线与椭圆椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系文4椭圆椭圆的几何性质2019卷1理10文12椭圆椭圆的定义、标准方程及其几何性质，椭圆标准方程的求法卷2理8文9椭圆与抛物线抛物线与椭圆的几何性质理21椭圆椭圆的标准方程及其几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆的最值问题的解法文20椭圆椭圆的定义、标准方程及其几何性质卷3文理15椭圆椭圆的定义、标准方程及其几何性质2020卷1理20文21椭圆椭圆的标准方程及其几何性质，椭圆定点问题卷2理19椭圆、抛物线椭圆、抛物线方程的求法，椭圆离心率的求法，抛物线的定义考点89椭圆的定义及标准方程1．(2019全国Ⅰ文12)已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n FAB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得32n =．22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．222243,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．2．(2018高考上海13)设P 是椭圆 ²5x + ²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A ．22B ．23C ．25D ．42【答案】C【解析】由椭圆的定义可知椭圆上任意点P 到两个焦点的距离之和为25a =，故选C ．【考点分析】椭圆的定义，考查考生的识记及基本运算能力．3．(2013广东文)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 【答案】D 【解析】∵1,2,3c a b ===D ．4．(2015新课标1理)一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 的正半轴上，则该圆的标准方程为_________．【答案】22325()24-+=x y 【解析】由题意圆过(4,0),(0,2),(0,2)-三个点，设圆心为(,0)a ，其中0a >，由4-=a ，解得32a =，所以圆的方程为22325()24-+=x y ．5．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1(–1、0)，F 2(1，0)．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2：222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D ．连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求点E 的坐标．【答案】(1)22143x y +=；(2)3(1,)2E --．【解析】(1)设椭圆C 的焦距为2c ．因为F 1(−1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c=1．又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 232==，因此2a=DF 1+DF 2=4，从而a=2．由b 2=a 2−c 2，得b 2=3．因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=．(2)解法一：由(1)知，椭圆C ：22143x y +=，a=2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1．将x=1代入圆F 2的方程(x−1)2+y 2=16，解得y=±4．因为点A 在x 轴上方，所以A(1，4)．又F 1(−1，0)，所以直线AF 1：y=2x+2．由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=，解得1x =或115x =-．将115x =-代入22y x =+，得125y =-，因此1112(,55B --．又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-．由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =．又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-．将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-．因此3(1,2E --．解法二：由(1)知，椭圆C ：22143x y +=．如图，连结E F 1．因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ，从而∠BF 1E=∠B ．因为F 2A=F 2B ，所以∠A=∠B ，所以∠A=∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A ．因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴．因为F 1(−1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±．又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-．因此3(1,2E --．【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力．考点90椭圆的几何性质6．【2019年高考全国Ⅰ理】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224,,312,a n ab a c∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y+=，故选B．法二：由已知可设2F B n=，则212,3AF n BF AB n===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n=+=∴=-=．在12AF F△和12BF F△中，由余弦定理得2221222144222cos4422cos9n n AF F nn n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F∠∠互补，2121cos cos0AF F BF F∴∠+∠=，两式消去2121cos cosAF F BF F∠∠,，得223611n n+=，解得32n=．22224,,312,a n ab a c∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y+=，故选B．7．【2019年高考北京理】已知椭圆22221x ya b+=(a＞b＞0)的离心率为12，则A．a2=2b2B．3a2=4b2C．a=2b D．3a=4b【答案】B【解析】椭圆的离心率2221,2ce c a ba===-，化简得2234a b=，故选B．8．【2018·全国Ⅰ文】已知椭圆C：22214x ya+=的一个焦点为(20)，，则C的离心率为A．13B．12C ．22D ．223【答案】C【解析】由题可得2c =，因为24b =，所以2228a b c =+=，即a =，所以椭圆C 的离心率22e ==，故选C ．9．【2018·全国Ⅱ文】已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．12-B ．2-C ．312-D 1-【答案】D【解析】在12F PF △中，122190,60F PF PF F ∠=∠=︒，设2PF m =，则12122,c F F m PF ===，又由椭圆定义可知1221)a PF PF m =+=+，则212c c e a a ====，故选D ．10．(2018上海理)设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意25=a ，=a ．由椭圆的定义可知，P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为2=aC ．11．【2017·全国Ⅰ文】设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB=120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞ D ．[4,)+∞【答案】A【解析】当03m <<时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠= ，则tan 60ab≥= ，≥，得01m <≤；当3m >时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠= ，则tan 60ab ≥= ≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞ ，故选A ．12．【2017·浙江卷】椭圆22194x y +=的离心率是()A ．133B ．53C ．23D ．59【答案】B【解析】椭圆22194x y +=的离心率94533e ==，故选B ．13．(2015新课标1文)已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：28y x =的焦点重合，A B 、是C 的准线与E 的两个交点，则AB =A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】B 【解析】∵抛物线C ：28y x =的焦点坐标为(2,0)，准线l 的方程为2x =-①，设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，所以椭圆E 的半焦距2c =，又椭圆的离心率为12，所以4,a b ==，椭圆E 的方程为2211612x y +=②，联立①②，解得(2,3),(2,3)A B ---或(2,3),(2,3)A B ---，所以||6AB =，故选B ．14．(2015广东文)已知椭圆222125x y m+=(0m >)的左焦点为()14,0F -，则m =A ．2B ．3C ．4D ．9【答案】B 【解析】由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ．15．(2014福建文理)设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是A ．25B ．246+C ．27+D ．26【答案】D 【解析】由题意可设10,sin )Q αα，圆的圆心坐标为(0,6)C ，圆心到Q 的距离为2222||(10cos )(sin 6)509(sin )50523CQ ααα=+-=-+=，当且仅当2sin 3α=-时取等号，所以max max ||||52262PQ CQ r +==≤，所以Q P ,两点间的最大距离是62．16．(2012新课标文理)设1F 、2F 是椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点，P 为直线23a x =上一点，12PF F ∆是底角为o30的等腰三角形，则E 的离心率为A ．21B ．32C ．43D ．54【答案】C 【解析】∆21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔==，故选C ．17．【2019·全国Ⅲ文】设12F F ，为椭圆C ：22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________．【答案】(15【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又122201482415,4152MF F S y =⨯-=∴=△，解得015y =，2201513620x ∴+=，解得03x =(03x =-舍去)，M \的坐标为(15．18．【2019·浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．【解析】方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点．由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y ，可得22(2)16x y -+=，与方程22195x y +=联立，可解得321,22x x =-=(舍)，又点P 在椭圆上且在x 轴的上方，求得315,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以15212PFk ==．方法2：(焦半径公式应用)由题意可知|2OF |=|OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-，从而可求得3,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以212PF k ==19．(2012江西文理)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是,A B ，左、右焦点分别是12,F F ．若1121||,||,||AF F F F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为_________．【答案】55【解析】由椭圆的性质可知：1AF a c =-，122F F c =，1F B a c =+．又已知1AF ，12F F ，1F B 成等比数列，故2()()(2)a c a c c -+=，即2224a c c -=，则225a c =．故55c e a ==．即椭圆的离心率为55．20．(2011浙江文理)设12,F F 分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B = ；则点A 的坐标是．【答案】(0,1)±【解析】设点A 的坐标为(,)m n ，B 点的坐标为(,)c d．12(F F，可得1()F A m n =+，2()F B c d =，∵125F A F B = ，∴62,55m n c d +==，又点,A B 在椭圆上，∴2213m n +=，2262(5()135m n ++=，解得0,1m n ==±，∴点A 的坐标是(0,1)±．21．【2019年高考全国Ⅱ文】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O为坐标原点．(1)若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；(2)如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．【答案】(1)1-；(2)4b =，a的取值范围为)+∞．【解析】(1)连结1PF ，由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，2PF c =，1PF =，于是1221)a PF PF c =+=，故C的离心率是1ce a==-．(2)由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在．当且仅当1||2162y c ⋅=，1y y x c x c ⋅=-+-，22221x y a b+=，即||16c y =，①222x y c +=，②22221x y a b+=，③由②③及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c=，故4b =．由②③得()22222a x c b c=-，所以22c b ≥，从而2222232,a b c b =+≥=故a ≥．当4b =，a ≥P ，所以4b =，a的取值范围为)+∞．22．(2015安徽理)设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM 的斜率为510．(Ⅰ)求E 的离心率e ；(Ⅱ)设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．【解析】(1)由题设条件知，点M 的坐标为21(,)33a b，又10OM k =，从而210b a =，进而得,2a c b ==，故255c e a ==．(2)由题设条件和(I)的计算结果可得，直线AB1y b +=，点N 的坐标为51(,)22b b -，设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为17(,)2x ，则线段NS 的中点T 的坐标为1517(,4244x b b +-+．又点T 在直线AB 上，且1NS ABk k ⋅=-，从而有151742441712252x b b b b ⎧+-+⎪+=⎨+⎪=⎪⎪⎪⎩，解得3b =，所以b =故椭圆E 的方程为221459x y +=．23．(2013安徽文理)如图，21,F F 分别是椭圆C ：22a x +22by =1(0>>b a )的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，1F ∠A 2F =60°．(Ⅰ)求椭圆C 的离心率；(Ⅱ)已知△A B F 1的面积为403，求a ，b 的值．【解析】(Ⅰ)1216022c F AF a c e a ο∠=⇔=⇔==(Ⅱ)设2BF m =；则12BF a m =-，在12BF F ∆中，22212122122cos120BF BF F F BF F F ο=+-⨯⨯2223(2)5a m m a am m a ⇔-=++⇔=，1AF B ∆面积211133sin 60()10,5,2252S F F AB a a a a c b ο=⨯⨯⨯⇔⨯⨯+⨯=⇔===考点91直线与椭圆的位置关系24．【2018高考全国2理12】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 的直线上，12PF F △等腰三角形，12120F F P ∠= ，则C 的离心率为()A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】D【解析】试题分析：先根据条件得22PF c =，再利用正弦定理得,a c 关系，即得离心率．试题解析：因为12PF F △为等腰三角形，12212120,2F F P PF F F c ∠=︒==，由AP 斜率为36得，222tan ,sin ,cos PAF PAF PAF ∠=∴∠=∴∠=，由正弦定理得22222sin 221,,4,sin 54sin 3PF PAF c a c e AF APF a c PAF ∠=∴==∴=∴=∠+-∠ ⎪⎝⎭，故选D ．25．(2017新课标Ⅲ文理)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为()A ．63B ．33C ．23D ．13【答案】A 【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离d a ==，整理为223a b =，即()22222323a a c a c =-⇒=，即2223c a =，63c e a ==，故选A ．26．【2016·新课标1文数】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()(A)13(B)12(C)23(D)34【答案】B【解析】如图，在椭圆中，11,,242OF c OB b OD b b ===⨯=，在Rt OFB △中，||||||||OF OB BF OD ⨯=⨯，且222a b c =+，代入解得224a c =，所以椭圆的离心率为12e =，故选B ．27．(2016年全国III 文理)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A【解析】由题意设直线l 的方程为()y k x a =+，分别令x c =-与0x =得||||()FM k a c =-，||||OE k a =，设OE 的中点为H ，由OBH FBM △∽△，得1||||2||||OE OB FM BF =，即||2||()k a a k a c a c=-+，整理得13c a =，所以椭圆离心率为13e =，故选A ．28．(2016江苏理)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是．【答案】3【解析】由题意得(),0F c ，直线2by =与椭圆方程联立可得2b B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2b C ⎫⎪⎪⎝⎭，由90BFC ∠=︒可得0BF CF ⋅=，,22b BF c ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，,22b CF c ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，则22231044c a b -+=，由222b a c =-可得223142c a =，则3ce a ===．29．(2015福建文)已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是A．(0,2B ．3(0,]4C．,1)2D ．3[,1)4【答案】A 【解析】设椭圆的左焦点为1F ，半焦距为c ，连结1AF ，1BF ，则四边形1AF BF 为平行四边形，所以11||||||||4AF BF AF BF +=+=，根据椭圆定义，有11||||||||4AF AF BF BF a +++=，所以84a =，解得2a =．因为点M 到直线l ：340x y +=的距离不小于45，即44,155b b ≥≥，所以21b ≥，所以2221,41a c c --≥≥，解得0c <所以02c a <≤，所以椭圆的离心率的取值范围为(0,2．30．(2013新课标1文理)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F(3，0)，过点F 的直线交椭圆于A ．B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝1【答案】D 【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +=－2，2211221x y a b +=①2222221x y a b +=②①－②得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，∴AB k =1212y y x x --=212212()()b x x a y y +-+=22b a，又AB k =0131+-=12，∴22b a =12，又9=2c =22a b -，解得2b =9，2a =18，∴椭圆方程为221189x y +=，故选D ．31．【2020年高考上海卷10】已知椭圆22:143x y C +=，直线l 经过椭圆右焦点F ，交椭圆C 于,P Q 两点(点P 在第二象限)，若Q 关于x 轴对称的点为'Q ，且满足'PQ FQ ⊥，则直线l 的方程为．【答案】1y x =-+【解析】由条件可知FQQ ' 是等腰直角三角形，所以直线l 的倾斜角是135 ，所以直线l 的斜率是tan1351=- ，且过点()1,0F ，得到直线l 的方程为()1y x =--，即1y x =-+．故答案为：1y x =-+．32．(2018浙江理)已知点(0,1)P ，椭圆224x y m +=(1m >)上两点A ，B 满足2AP PB = ，则当m =___时，点B 横坐标的绝对值最大．【答案】5【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =得122x x -=，1212(1)y y -=-，所以1223y y -=-，因为A ，B 在椭圆上，所以22114x y m +=，22224x y m +=，所以22224(23)4x y m +-=，所以224x +22324(m y -=，与22224x y m +=对应相减得234m y +=，2221(109)44x m m =--+≤，当且仅当5m =时取最大值．33．(2018浙江文)已知点(0,1)P ，椭圆224x y m +=(1m >)上两点A ，B 满足2AP PB = ，则当m =___时，点B 横坐标的绝对值最大．【答案】5【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB = ，得1212212(1)x x y y -=⎧⎨-=-⎩，即122x x =-，1232y y =-．因为点A ，B 在椭圆上，所以222222224(3)44x x m x y m⎧+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得21344y m =+，所以2222221591(32)(5)444244x m y m m m =--=-+-=--+≤，所以当5m =时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2．34．(2015浙江文)椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点(),0F c 关于直线by x c=的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是．【答案】22【解析】设左焦点为1F ，由F 关于直线by x c=的对称点Q 在椭圆上，得||||OQ OF =，又1||||OF OF =，所以1F Q QF ⊥，不妨设1||QF ck =，则||QF bk =，1||F F ak =，因此2c ak =，又2a ck bk =+，由以上二式可得22c a k a b c ==+，即c a a b c=+，即22a c bc =+，所以bc =，22e =．35．(2014江西文理)过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于．【答案】22【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，分别代入椭圆方程相减得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b-+-++=，根据题意有12122,2x x y y +=+=，且121212y y x x -=--，所以22221(02a b +⨯-=，得222a b =，整理222a c =，所以22e =．36．(2014辽宁文)已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN +=．【答案】12【解析】设MN 交椭圆于点P ，连接1F P 和2F P ，利用中位线定理可得AN BN +=122222412F P F P a a +=⨯==．37．(2014江西文)设椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点为21F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C 交于B A ，两点，B F 1与y 轴相交于点D ，若B F AD 1⊥，则椭圆C 的离心率等于________．【答案】33【解析】由题意可得2(,b A c a ，2(,)b B c a -，由题意可知点D 为1F B 的中点，所以点D 的坐标为2(0,2b a -，由B F AD 1⊥，所以11AD F B k k ⋅=-232b ac =，解得33e =．38．(2014安徽文)设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b by x E 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，若x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为____．【答案】22312x y +=【解析】由题意得通径22AF b =，∴点B 坐标为251(,)33c B b --将点B 坐标带入椭圆方程得22221()53()13b c b--+=，又221b c =-，解得222313b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴椭圆方程为22312x y +=．39．(2013福建文)椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，焦距为c 2．若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠，则该椭圆的离心率等于．【答案】13-【解析】由题意可知，21F MF ∆中，︒=∠︒=∠︒=∠90,30,60211221MF F F MF F MF ，所以有⎪⎩⎪⎨⎧==+==+12212221222132)2(MF MF a MF MF c F F MF MF ，整理得13-==ac e ，故答案为13-．40．【2020年高考全国Ⅲ文21理数20】已知椭圆()222:10525x y C m m +=<<的离心率为4，,A B 分别为C 的左、右顶点．(1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且,BP BQ BP BQ =⊥，求△APQ 的面积．【解析】解法一：(1)由c e a =，得2221b e a =-，即21511625m =-，∴22516m =，故C 的方程为221612525x y +=．(2)设点P 的坐标为(,)s t ，点Q 的坐标为(6,)n ，根据对称性，只需考虑0n >的情形，此时55s -<<，504t < ．∵||||BP BQ =，∴有222(5)1s t n -+=+①．又∵BP BQ ⊥，∴50s nt -+=②．又221612525s t +=③．联立①、②、③，可得，312s t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩或318s t n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩．当312s t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩时，(8,1)AP = ，(11,2)AQ =，∴15|82111|22APQ S ==⨯-⨯=△．同理可得，当318s t n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩时，52APQ S =△．综上所述，可得APQ △的面积为52．解法二：(1) 222:1(05)25x y C m m +=<<，∴5a =，b m =，根据离心率4c e a ====，解得54m =或54m =-(舍)，∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=．(2) 点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N，根据题意画出图形，如图，||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又 90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=，∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=．设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时，故532MB =-=， PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图，(5,0)A -，(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：222311110555125211d ⨯-⨯+===+，根据两点间距离公式可得：()()22652055AQ =++-=，∴APQ 面积为：15555252⨯=．②当P 点为(3,1)-时，故5+38MB ==， PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ==，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图，(5,0)A -，(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ 的距离为：()22831114055185185811d ⨯--⨯+===+，根据两点间距离公式可得：()()226580185AQ =++-=∴APQ 面积为：1518522185=．综上所述，APQ 面积为：52．41．【2020年高考天津卷18】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【解析】(Ⅰ) 椭圆()222210x y a b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF =，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以椭圆的方程为221189x y +=．(Ⅱ) 直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx +=，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+．将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++，所以点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，由3OC OF = ，得点C 的坐标为()1,0，所以直线CP 的斜率为222303216261121CP k kk k k k --+=-+-+=，又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =．所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-．42．【2019年高考天津理】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4，离心率为55．(1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||ON OF =(O 为原点)，且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率．【解析】(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意，524,5c b a ==，又222a b c =+，可得a =，2,b =1c =．所以，椭圆的方程为22154x y +=．(2)由题意，设()()()0,,0P P p M P x y x M x ≠，．设直线PB 的斜率为()0k k ≠，又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222,1,54y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2245200k x kx ++=，可得22045P kx k =-+，代入2y kx =+得2281045P k y k -=+，进而直线OP 的斜率24510P p y k x k-=-．在2y kx =+中，令0y =，得2M x k=-．由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2k -．由OP MN ⊥，得2451102k k k-⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，化简得2245k =，从而2305k =±．所以，直线PB 的斜率为2305或2305-．43．【2019年高考天津文】设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B．已知|2||OA OB =(O 为原点)．(1)求椭圆的离心率；(2)设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x=4上，且OC AP ∥，求椭圆的方程．【解析】(1)设椭圆的半焦距为c，由已知有2b =，又由222a b c =+，消去b 得22232a a c ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得12c a =，所以椭圆的离心率为12．(2)由(1)知，2,a c b ==，故椭圆方程为2222143x y c c+=．由题意，(, 0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221,433(),4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7c x c x ==-．代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-．因为点P 在x 轴上方，所以3,2P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭．由圆心C 在直线4x =上，可设(4, )C t ．因为OC AP ∥，且由(1)知(2 , 0)A c -，故3242ct c c=+，解得2t =．因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C 与l相切，得2=，可得=2c ．所以，椭圆的方程为2211612x y +=．44．【2018高考全国III 文20】(12分)已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >．(1)证明：12k <-；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0 ．证明：2FP FA FB =+．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．【解析】试题分析：(1)设而不求，利用点差法进行证明；(2)解出m ，进而求出点P 的坐标，得到FP，再由两点间距离公式表示出,FA FB，得到直l 的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．试题解析：(1)设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=．两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=．由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m =-．由题设得302m <<，故12k <-．(2)由题意得F(1，0)．设33()P x y ，，则331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，．由(1)及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，，3||=2FP uur ．于是1||22x FA ==-uur ．同理2||=22x FB -uur ．所以1214()32FA FB x x +=-+=uur uur ，故2FA FB FP +=uur uur uur ．45．【2018高考天津文19】(本小题满分14分)设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B．已知椭圆的离心率为3，AB =．(I)求椭圆的方程；(II)设直线():0l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点,P M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．【解析】试题分析：(I)由题意结合几何关系可求得3,2a b ==．则椭圆的方程为22194x y +=．(I I)设点P 的坐标为()11,x y ，点M 的坐标为()22,x y ，由题意可得215x x =．易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩可得1x =215x x =，可得89k =-，或12k =-．经检验的值为12-．试题解析：(I)设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由AB ==3,2a b ==．所以，椭圆的方程为22194x y +=．(II)设点P 的坐标为()11,x y ，点M 的坐标为()22,x y ，由题意，210x x >>，点的坐标为()11,x y --．由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得2PM PQ =，从而()21112x x x x -=--⎡⎤⎣⎦，即215x x =．易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y，可得1x =．由215x x =，可得()532k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-．当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，211212,5x x ==，符合题意．所以，k 的值为12-．46．【2018高考江苏18】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C过点12⎫⎪⎭，焦点())12,0,0F F ，圆O 的直径为12F F ．(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为l的方程．【解析】试题分析：(1)根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得,a b ，即得椭圆方程；(2)第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标．第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程．试题解析：(1)因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．又点12在椭圆C 上，2222311,43,a ba b ⎧+=⎪∴⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．(2)①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．(*) 直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，222222000000()()() 24443640(482)x x y y y x ∴∆=--+-=-=．0000,0,,1x y x y >∴== ．因此，点P的坐标为),1．②OAB △，所以1 2AB OP ⋅=，从而427AB =．设1122,,()(),A x y B x y ，由(*)得001,2x =2221212()()AB y x x y ∴=-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．22003x y += ，22022016(2)32(1)49x AB x -∴==+，即42002451000x x -+=，解得22005(202x x ==舍去)，则2012y =，因此P的坐标为(22．综上，直线l的方程为y =+．47．【2018高考全国1理19】(本小题满分12分)设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为()2,0．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2)设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．【解析】试题分析：(1)首先根据l 与x 轴垂直，且过点()1,0F ，求得直线l 的方程为1x =，代入椭圆方程求得点A 的坐标为21,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或21,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，利用两点式求得直线AM 的方程；(2)分直线l 与x 轴重合、l 与x 轴垂直、l 与x 轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果．试题解析：(1)由已知得()1,0F ，l 的方程为1x =．由已知可得，点A 的坐标为21,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或21,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．所以AM 的方程为222y x =-+222y x =．(2)当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，OMA OMB ∴∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则122,2x x <<，直线MA MB ,的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--．由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--．将(1)y k x =-代入2212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=．2212121333221222422441284,,23()40212121k k k k k k kk x x x x x x k k k k x x k ---+++==∴-++=∴=+++．从而0MA MB k k +=，故MA MB ,的倾斜角互补，OMA OMB ∴∠=∠．综上，OMA OMB ∠=∠．48．【2018高考全国3理20】(12分)已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >．(1)证明：12k <-；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++= 0．证明：,,FA FP FB成等差数列，并求该数列的公差．【解析】试题分析：(1)设而不求，利用点差法进行证明；(2)解出m ，进而求出点P 的坐标，得到FP，再由两点间距离公式表示出,FA FB，得到直l 的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．试题解析：(1)设()()1122,,,A x y B x y ，则222211221,14343x y x y +=+=．两式相减，并由1212y y k x x -=-得1212043x x y y k +++⋅=．由题设知12121,22x x y y m ++==，于是34k m=-．①由题设得302m <<，故12k <-．(2)由题意得()1,0F ，设()33,P x y ，则()()()()3311221,1,1,0,0x y x y x y -+-+-=．由(1)及题设得()()31231231,20x x x y y y m =-+==-+=-<．又点P 在C 上，34m ∴=，从而331,,22P FP ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ．于是122xFA ==-= ．同理222x FB =- ，()121432FA FB x x +=-+=∴ ．2FP FA FB =+∴ ，即,,FA FP FB成等差数列．设该数列的公差为d ，则12122d FB FA x x =-=-=②将34m =代入①得1k =-，l ∴的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=．故121212,28x x x x +==，代入②解得28d=49．【2018高考天津理19】(本小题满分14分)设椭圆22221x x a b +=(a>b>0)的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(,0)b ，且FB AB ⋅=．(I)求椭圆的方程；(II)设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点)，求k 的值．【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合椭圆的性质可得,32a b ==．则椭圆的方程为22194x y +=．(Ⅱ)设点P 的坐标为()11,x y ，点Q 的坐标为()22,x y ．由题意可得1259y y =．由方程组22{ 194y kx x y =+=，，可得1y =．由方程组{20y kx x y =+-=，，可得221ky k =+．据此得到关于k 的方程，解方程可得k 的值为12或1128试题解析：(Ⅰ)设椭圆的焦距为2c ，由已知有2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由已知可得，FB a =，AB =，由FB AB ⋅=，可得6ab =，从而,32a b ==，∴椭圆的方程为22194x y +=．(Ⅱ)设点P 的坐标为()11,x y ，点Q 的坐标为()22,x y ．由已知有120y y >>，故12PQ sin AOQ y y ∠=-．又2y AQ sin OAB =∠ ，而∠OAB=π4，故2AQ =．由sin 4AQ AOQ PQ =∠，可得1259y y =．由方程组22,194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x，可得1y =易知直线AB 的方程为20x y +-=，由方程组{20y kx x y =+-=，，消去x ，可得221ky k =+．由1259y y =，可得()15k +=，两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =，k ∴的值为12或1128．50．(2017天津文)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b ．(Ⅰ)求椭圆的离心率；(Ⅱ)设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c ．(i)求直线FP 的斜率；(ii)求椭圆的方程．【解析】(Ⅰ)设椭圆的离心率为e ．由已知，可得21()22b c a c +=．又由222b ac =-，可得2220c ac a +-=，即2210e e +-=．又因为01e <<，解得12e =．所以，椭圆的离心率为12．(Ⅱ)(ⅰ)依题意，设直线FP 的方程为(0)x my c m =->，则直线FP 的斜率为1m．由(Ⅰ)知2a c =，可得直线AE 的方程为12x yc c+=，即220x y c +-=，与直线FP 的方程联立，可解得(22)3,22m c c x y m m -==++，即点Q 的坐标为(22)3(,)22m c cm m -++．。

高考数学(理)复习训练：《椭圆》(北师大版)

【A 级】基础训练1．(2013·高考全国大纲卷)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B ．x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D ．x 25＋y 24＝1解析：设出椭圆的方程，依据题目条件用待定系数法求参数．由题意知椭圆焦点在x 轴上，且c ＝1，可设C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a ＞1)，由过F 2且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长|AB |＝3，知点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32必在椭圆上，代入椭圆方程化简得4a 4－17a 2＋4＝0，所以a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. 答案：C2．(2013·高考全国大纲卷)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在椭圆C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1解析：利用直线P A 2斜率的取值范围确定点P 变化范围的边界点，再利用斜率公式计算直线P A 1斜率的边界值．由题意可得A 1(－2,0)，A 2(2,0)，当P A 2的斜率为－2时，直线P A 2的方程为y ＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0，解得x ＝2或x ＝2619.由点P 在椭圆上得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2619，2419，此时直线P A 1的斜率k ＝38.同理，当直线P A 2的斜率为－1时，直线P A 2方程为y ＝－(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得7x 2－16x ＋4＝0，解得x ＝2或x ＝27.由点P 在椭圆上得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫27，127，此时直线P A 1的斜率k＝34.数形结合可知，直线P A 1斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.答案：B3．(2013·高考全国新课标卷)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A.36 B ．13 C.12D ．33解析：根据椭圆的定义以及三角知识求解．如图，由题意知sin 30°＝|PF 2||PF 1|＝12，∴|PF 1|＝2|PF 2|.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 2|＝2a 3.∴tan 30°＝|PF 2||F 1F 2|＝2a32c ＝33.∴c a ＝33.故选D. 答案：D4．方程x 2k －3＋y 2k ＋3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．解析：方程x 2k －3＋y 2k ＋3＝1表示椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧k －3＞0，k ＋3＞0，k －3≠k ＋3，解得k ＞3.答案：k ＞35．(2014·佛山模拟)在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＝11，a 2＋a 3＋a 4＝21，则椭圆C ：x 2a6＋y 2a 5＝1的离心率为________．解析：由题意得a 4＝10，设公差为d ，则a 3＋a 2＝(10－d )＋(10－2d )＝20－3d ＝11，∴d ＝3，∴a 5＝a 4＋d ＝13，a 6＝a 4＋2d ＝16＞a 5，∴e ＝16－134＝34. 答案：346．(2014·北京顺义二模)在△ABC 中，AB ＝BC ，cos B ＝－718，若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝________. 解析：如图所示，设AB ＝BC ＝x ，由cos B ＝－718及余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝x 2＋x 2＋2x 2×718，∴AC 2＝259x 2， ∴AC ＝53x .∵椭圆以A 、B 为焦点， ∴焦距为2c ＝AB ＝x . 又椭圆经过点C ， ∴AC ＋BC ＝53x ＋x ＝2a ， ∴2a ＝83x ，∴e ＝c a ＝38. 答案：387．(2014·武汉模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点M (4,1)，直线l ：y ＝x ＋m 交椭圆于不同的两点A ，B . (1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围．解：(1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，因为e ＝32，所以a 2＝4b 2 ，又因为椭圆过点M (4,1)，所以16a 2＋1b 2＝1，解得b 2＝5，a 2＝20，故椭圆方程为x 220＋y 25＝1. (2)将y ＝x ＋m 代入x 220＋y 25＝1并整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0，Δ＝(8m )2－20(4m 2－20)＞0，解得－5＜m ＜5.8．(2011·高考辽宁卷)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都是e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D . (1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值；(2)当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．解：(1)因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2a 2＝1(a ＞b ＞0)．设直线l ：x ＝t (|t |＜a )，分别与C 1，C 2的方程联立，求得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，aba 2－t 2，B ⎝⎛⎭⎪⎫t ，b a a 2－t 2.当e ＝12时，b ＝32a ，分别用y A ，y B 表示A ，B 的纵坐标，可知|BC |∶|AD |＝2|y B |2|y A |＝b 2a 2＝34.(2)t ＝0时， l 不符合题意．t ≠0时，BO ∥AN ，当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即b aa 2－t 2t＝a ba 2－t 2t －a，解得t ＝－ab 2a 2－b2＝－1－e 2e 2·a . 因为|t |＜a ，又0＜e ＜1，所以1－e 2e 2＜1，解得22＜e ＜1，所以当0＜e ≤22时，不存在直线l ，使得BO ∥AN ；当22＜e ＜1时，存在直线l ，使得BO ∥AN .【B 级】能力提升1．已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为( )A ．4B ．8C ．12D ．16解析：直线y ＝k (x ＋3)过定点N (－3，0)，而M 、N 恰为椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM 的周长为4a ＝4×2＝8. 答案：B2．如果椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上存在一点P ，使得点P 到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆的离心率的取值范围为( ) A ．(0，2，－1] B ．[2－1,1] C ．(0，3－1]D ．[3－1,1)解析：设椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点P 作左准线的垂线，垂足为M ，则|PF 1||PM |＝e ，故|PF 1|＝|PM |e .又|PF 1|＝2a －|PF 2|，|PM |＝|PF 2|，所以有(1＋e )|PF 2|＝2a ，则|PF 2|＝2a1＋e ∈[a －c ，a ＋c ]，即a －c ≤2a1＋e ≤a ＋c ，解得：e ∈[2－1,1)．答案：B3．(2014·武汉模拟)若点F 1，F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的焦点，P 为椭圆上的点，当△F 1PF 2的面积为1时，PF 1→·PF 2→的值是( ) A ．0 B ．1 C ．3D ．6解析：△F 1PF 2的面积为1，设P (x 1，y 1)，则有12·|2c |·|y 1|＝1，即3|y 1|＝1，∴y 1＝±33，代入椭圆方程得：x 1＝±263，∴不妨令点P 为⎝ ⎛⎭⎪⎫263，33，又∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)， ∴PF 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－263，－33，PF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－263，－33 ∴PF 1→·PF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2632－()32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332 ＝83－3＋13＝0. 答案：A4．(2014·徐州模拟)已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. 解析：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，∴2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，∴S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，∴b ＝3. 答案：35．(2013·高考辽宁卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e ＝________.解析：设椭圆的右焦点为F 1，因为直线过原点，所以|AF |＝|BF 1|＝6，|BO |＝|AO |.在△ABF 中，设|BF |＝x ，由余弦定理得36＝100＋x 2－2×10x ×45，解得x ＝8，即|BF |＝8，所以∠BF A ＝90°，所以△ABF 是直角三角形，所以2a ＝6＋8＝14，即a ＝7.又因为在Rt △ABF 中，|BO |＝|AO |，所以|OF |＝12|AB |＝5，即c ＝5.所以e ＝57. 答案：576．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22，过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________．解析：由△ABF 2的周长等于4a ＝16，得a ＝4，又知离心率为22，即c a ＝22，进而c ＝22，所以a 2＝16，b 2＝a 2－c 2＝16－8＝8，∴C 的方程为x 216＋y 28＝1.答案：x 216＋y 28＝17．(创新题)已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足P A →·PB →＝PM→2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程得，(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0.因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)＞0，所以k 1＞－12.又x 1＋x 2＝8k 1(2k 1－1)3＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21，因为P A →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)·(x 2－2)(1＋k 21)＝|PM |2＝54.即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54. 所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤16k 21＋16k 1－83＋4k 21－2·8k 1(2k 1－1)3＋4k 21＋4(1＋k 21)＝4＋4k 213＋4k 21＝54，解得k 1＝±12. 因为k 1＞－12，所以k 1＝12.于是存在直线l1满足条件，其方程为y＝12x.。

2013年高考数学试题精编：8.1椭圆

解：（Ⅰ）设椭圆 E 的方程为
x2 y2 + = 1. a2 b2 1 c 1 x2 y2 由 e = , 得 = , b 2 = a 2 − c 2 = 3c 2 ,∴ 2 + 2 = 1. 2 4c 3c a 2 1 3 将A （2，3）代入，有 2 + 2 = 1, 解得： c = 2,∴ 椭圆 E的方程为 c c x2 y2 + = 1. 16 12 3 ( ∏ )由（ Ι ）知F1 ( − 2, 0), F2 (2, 0), 所以直线 AF1的方程为y= ( x + 2), 4 即3 x − 4 y + 6 = 0.直线 AF2的方程为 x = 2.由椭圆 E的图形知， ∠ F1 AF2的角平分线所在直线的斜率为正数。设P（x,y）为 ∠ F1 AF2的角平分线所在直线上任一点，则有于是3x-4y+6=-5x+10,即2x-y-1=0. 所以， ∠ F1 AF2的角平分线所在直线的方程为2x-y-1=0. 3x − 4 y + 6 5 若 3 x − 4 y + 6 = 5 x − 10, 得 x + 2 y − 8 = 0, 其斜率为负，不合题意，舍去。 = x−2
第八章圆锥曲线方程一椭圆
【考点阐述】椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．了解椭圆的参数方程．【考试要求】（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程．【考题分类】（一）选择题（共 4 题）
x2 y2 + =1 3 1.（福建卷文 11）若点 O 和点 F 分别为椭圆 4 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的 uuu r uuu r OP FP 的最大值为任意一点，则
x2 x ⋅ x0 + y2 = 1 + y ⋅ y0 = 1 [ 2, 2 2 ( x , y ) 故范围为 .因为 0 0 在椭圆 2 的内部，则直线 2 上的点（x,

高考数学试题椭圆专题汇编

第十章圆锥曲线与方程第一节椭圆高考试题考点一椭圆的定义及应用1.(2009年北京卷,理12)椭圆22192x y +=的焦点为F 1、F 2,点P 在椭圆上.若|PF 1|=4,则|PF 2|= ,∠F 1PF 2的大小为 .解析:由椭圆方程22192x y +=可知a 2=9,b 2=2,∴c 2由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=6, 由|PF 1|=4,得|PF 2|=2.在△PF 1F 2中,由余弦定理的推论有 cos ∠F 1PF 2=2221212122PF PF F F PF PF +-=224228242+-⨯⨯=-12. ∴∠F 1PF 2=120°. 答案:2 120°2.(2012年四川卷,理15)椭圆22143x y +=的左焦点为F,直线x=m 与椭圆相交于点A 、B,当△FAB 的周长最大时,△FAB 的面积是 .解析:由椭圆定义可知,当直线x=m 过椭圆右焦点(1,0)时,△FAB 的周长最大. 由椭圆方程22143x y +=知a=2,c=1. 当x=1时,由21143y +=, 得y=±32. ∴S △FAB =12×(2×32)×(1+1)=3. 答案:33.(2009年上海卷,理9)已知F 1、F 2是椭圆C: 22221x y a b+= (a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且12PF PF ⊥,若△PF 1F 2的面积为9,则b= .解析:由题意可知,1212PF PF =9,①2221212PF PF F F +==(2c)2,②由椭圆定义可知,|PF 1|+|PF 2|=2a,③ 联立①②③解得a 2-c 2=9,即b 2=9,∴b=3.答案:3考点二椭圆的方程及其简单性质应用1.(2013年新课标全国卷Ⅰ,理10)已知椭圆E:22221x y a b += (a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F 的直线交E 于A 、B 两点.若AB 的中点坐标为(1,-1),则E 的方程为( ) (A)2214536x y += (B)2213627x y += (C)2212718x y += (D)221189x y += 解析:已知椭圆与直线相交弦的中点及斜率,可以用两点式求解. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 的中点D(1,-1), 则k AB =12, x 1+x 2=2,y 1+y 2=-2,2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得:()()12122x x x x a-++()()12122y y y y b -+=0,即1212y y x x --=-()()212212b x x a y y ++,即12=22b a , ∴a 2=2b 2.又因c=3,所以b 2=9,a 2=18,椭圆方程为221189x y +=.故选D. 答案:D2.(2011年新课标全国卷,理14)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点F 1、F 2在x 轴上,离心,过F 1的直线l 交C 于A 、B 两点,且△ABF 2的周长为16,那么C 的方程为 .解析:设椭圆标准方程为22221x y a b += (a>b>0), 由题意知|BA|+|BF 2|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|+|AF 1|+|AF 2|=4a=16, ∴a=4, 由e=ca得 ∴b 2=a 2-c 2=8,∴椭圆标准方程为221168x y +=.答案:221 168x y+=3.(2011年江西卷,理14)若椭圆22221x ya b+=的焦点在x轴上,过点11,2⎛⎫⎪⎝⎭作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A、B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是.解析:设点D1 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,由平面几何知识易知,AB⊥OD,∴k AB=-2.设AB方程为y=-2x+m.又过点11,2⎛⎫⎪⎝⎭作圆x2+y2=1的切线中有一条是x=1,不妨设B(1,0).把x=1,y=0代入AB方程,可得m=2.由题意可知,b=2,c=1,∴a2=5.∴椭圆方程为221 54x y+=.答案:221 54x y+=考点三椭圆离心率的求法1.(2012年新课标全国卷,理4)设F1,F2是椭圆E:22221x ya b+= (a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=32a上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )(A)12(B)23(C)34(D)45解析:如图所示,设直线x=32a与x轴的交点为Q,由题意可知,∠F2F1P=∠F1PF2=30°,|PF2|=|F1F2|=2c,∴∠PF2Q=60°,∠F2PQ=30°.∴|F2Q|=12|PF2|.即32a-c=12·2c,∴e=ca=34.答案:C2.(2012年江西卷,文8)椭圆22221x y a b += (a>b>0)的左、右顶点分别是A 、B,左、右焦点分别是F 1、F 2,若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( )(A)14(C)12解析:由题意知,|AF 1|=a-c,|F 1F 2|=2c,|F 1B|=a+c. 由|AF 1|、|F 1F 2|、|F 1B|成等比数列可得: (2c)2=(a-c)(a+c).整理得a 2=5c 2,∴e=c a答案:B3.(2013年福建卷,理14)椭圆Γ: 22221x y a b+= (a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2c.若直线(x+c)与椭圆Γ的一个交点满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1,则该椭圆的离心率等于 .解析:直线(x+c)过点F 1(-c,0)且倾斜角为60°, 所以∠MF 1F 2=60°,∠MF 2F 1=30°, 所以∠F 1MF 2=90°, 所以F 1M ⊥F 2M, 在Rt △F 1MF 2中,|MF 1|=c,|MF 2c,所以e=ca =22c a =122cMF MF +-1.答案-14.(2013年辽宁卷,理15)已知椭圆C: 22221x y a b+= (a>b>0)的左焦点为F,椭圆C 与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos ∠ABF=45,则椭圆C 的离心率e= .解析:如图所示,由|AB|=10,|AF|=6,cos ∠ABF=45,得BF=8,则AF ⊥BF,半焦距c=FO=12AB=5.设椭圆右焦点为F 2,由对称性知AF 2=BF=8,a=7,所以e=c a =57. 答案:575.(2010年大纲全国卷Ⅰ,理16)已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交C 于点D,且BF =2FD ,则C 的离心率为 .解析:设椭圆C 的焦点在x 轴上,F(c,0),B(0,b). 椭圆方程为22221x y a b +=, 其中a 2=b 2+c 2,设D(x,y),则FD =(x-c,y). 又BF =(c,-b),由BF =2FD 可得()2,2,c x c b y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩∴3,2.2x c b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∵点D 在椭圆上,∴22223221b c a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=, 整理得22c a =13,∴e=ca. 答案考点四直线与椭圆的位置关系1. (2013年江西卷,理20)如图,椭圆C: 22221x y a b += (a>b>0)经过点P 31,2⎛⎫⎪⎝⎭,离心率e=12,直线l 的方程为x=4.(1)求椭圆C 的方程;(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P),设直线AB 与直线l 相交于点M,记PA,PB,PM 的斜率分别为k 1,k 2,k 3.问:是否存在常数λ,使得k 1+k 2=λk 3?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由. 解:(1)由P 31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上得,221914a b+=.① 依题设知a=2c,则b 2=3c 2.②②代入①解得c 2=1,a 2=4,b 2=3.故椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)设B(x 0,y 0)(x 0≠1), 则直线FB 的方程为y=01y x -(x-1),令x=4,求得M 0034,1y x ⎛⎫⎪-⎝⎭,从而直线PM 的斜率为k 3=()0002121y x x -+-,联立()00221,11,43y y x x x y ⎧=-⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得A 0000583,2525x y x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭,则直线PA 的斜率为k 1=()00022521y x x -+-,直线PB 的斜率为k 2=()002321y x --,所以k 1+k 2=()00022521y x x -+-+()002321y x --=000211y x x -+-=2k 3.故存在常数λ=2符合题意.2.(2013年新课标全国卷Ⅱ,理20)平面直角坐标系xOy 中,过椭圆M: 22221x y a b+= (a>b>0)右焦点的直线交M 于A,B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12. (1)求M 的方程;(2)C,D 为M 上的两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB,求四边形ACBD 面积的最大值. 解:(1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),P(x 0,y 0),则2211221x y a b +=,2222221x y a b+=,2121y y x x --=-1,由此可得()()221221b x x a y y ++=-2121y y x x --=1. 因为x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0,00y x = 12, 所以a 2=2b 2.又由题意知,M 的右焦点为,0),故a 2-b 2=3.因此a 2=6,b 2=3.所以M 的方程为22163x y +=. (2)由220,1,63x y x y⎧+⎪⎨+=⎪⎩解得x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0,x y =⎧⎪⎨⎪⎩ 因此由题意可设直线CD 的方程为y=x+n n ⎛< ⎝, 设C(x 3,y 3),D(x 4,y 4).由22,163y x n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得3x 2+4nx+2n 2-6=0.于是x 3,4因为直线CD的斜率为1, 所以4-x 3. 由已知,四边形ACBD 的面积 S=12|CD|·当n=0时,S 取得最大值,.所以四边形ACBD . 3.(2013年北京卷,理19)已知A 、B 、C 是椭圆W:24x +y 2=1上的三个点,O 是坐标原点. (1)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (2)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由. 解:(1)椭圆W: 24x +y 2=1的右顶点B 的坐标为(2,0).因为四边形OABC 为菱形,所以AC 与OB 相互垂直平分, 所以可设A(1,m),代入椭圆方程得14+m 2=1,即m= 所以菱形OABC 的面积是 12|OB|·|AC|=12×2×. (2)四边形OABC 不可能为菱形.理由如下: 假设四边形OABC 为菱形.因为点B 不是W 的顶点,且直线AC 不过原点,所以可设AC 的方程为y=kx+m(k ≠0,m ≠0).由2244,,x y y kx m ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩消去y 并整理得 (1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-4=0.设A(x 1,y 1),C(x 2,y 2),则122x x +=-2414km k +,122y y +=k ·122x x ++m=214m k +. 所以AC 的中点为M 224,1414kmm k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 因为M 为AC 和OB 的交点, 所以直线OB 的斜率为-14k.因为k ·14k ⎛⎫- ⎪⎝⎭≠-1,所以AC 与OB 不垂直.所以OABC 不是菱形,与假设矛盾.所以当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能是菱形. 4.(2012年北京卷,理19)已知曲线C:(5-m)x 2+(m-2)y 2=8(m ∈R).(1)若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆,求m 的取值范围;(2)设m=4,曲线C 与y 轴的交点为A,B(点A 位于点B 的上方),直线y=kx+4与曲线C 交于不同的两点M,N,直线y=1与直线BM 交于点G,求证:A,G,N 三点共线. (1)解:曲线C 的方程化成标准方程,2218852x y m m +=--. ∵曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆, ∴85m ->82m ->0, 解得72<m<5. 即当曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆时,m 的取值范围是（72,5）. (2)证明:当m=4时,曲线C 的标准方程为22184x y +=, ∴A(0,2),B(0,-2). 由224,184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y,得(2k 2+1)x 2+16kx+24=0.(*)∵直线与曲线交于不同的两点, ∴Δ=(16k)2-4×24·()221k +>0,即k 2>32. 设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2), 则x 1,x 2是方程(*)的两根. ∴x 1+x 2=-21621k k +,x 1·x 2=22421k +. 直线BM 的方程为:y=112y x +x-2, ∴G （1132x y +,1）. 法一 k AG -k AN =1121302x y --+-2220y x --=-1123y x +-222y x -=-11423kx x ++-2242kx x +-=-43k-21211x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-43k-2·2216212421kk k -++=-43k+43k=0 即k AG =k AN .∴A 、G 、N 三点共线. 法二 AG =(1132x y +,-1),AN =(x 2,y 2-2), ∵1132x y +·(y 2-2)-(-1)·x 2=()121326x kx kx +++x 2 =()12121466kx x x x kx +++=22124164621216kk k k kx ⋅-⋅+++ =0.∴AG ∥AN , 即A 、G 、N 三点共线.5.(2012年陕西卷,理19)已知椭圆C 1: 24x +y 2=1,椭圆C 2以C 1的长轴为短轴,且与C 1有相同的离心率.(1)求椭圆C 2的方程;(2)设O 为坐标原点,点A 、B 分别在椭圆C 1和C 2上,OB =2OA ,求直线AB 的方程. 解:(1)由题意可知椭圆C 1的长轴长为4,离心率e 1, 设C 2方程为22221x y b a+= (a>b>0),由题意得椭圆C 2短轴长2b=4,离心率e 2∴b=2,a 2=16.∴椭圆C 2的方程为221416x y +=. (2)∵OB =2OA , ∴A 、O 、B 三点共线. 设AB 方程为y=kx. 由22,14y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得(1+4k 2)x 2=4.设A(x 1,y 1), 则21x =2414k +. 设B(x 2,y 2),同理可求得22x =2164k +. 由OB =2OA 得: 22x =421x ,即2164k +=4·2414k +, 解得k=±1.∴直线AB 的方程为y=x 或y=-x.6.(2013年湖北卷,理21)如图,已知椭圆C 1与C 2的中心在坐标原点O,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分别为2m,2n(m>n),过原点且不与x 轴重合的直线l 与C 1,C 2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.记λ=mn,△BDM 和△ABN 的面积分别为S 1和S 2.(1)当直线l 与y 轴重合时,若S 1=λS 2,求λ的值;(2)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S 1=λS 2?并说明理由.解:依题意可设椭圆C 1和C 2的方程分别为C 1: 22221x y a m +=,C 2: 22221x y a n +=,其中a>m>n>0,λ=mn>1.(1)如图1,若直线l 与y 轴重合,即直线l 的方程为x=0, 则S 1=12|BD|·|OM|=12a|BD|, S 2=12|AB|·|ON|=12a|AB|, 所以12S S =BDAB. 在C 1和C 2的方程中分别令x=0, 可得y A =m,y B =n,y D =-m, 于是BD AB=B D A By y y y --=m n m n +-=11λλ+-. 若12S S =λ,则11λλ+-=λ,化简得λ2-2λ-1=0.由λ>1,可解得λ故当直线l 与y 轴重合时,若S 1=λS 2,则λ(2)如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S 1=λS 2.根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k>0), 点M(-a,0),N(a,0)到直线l 的距离分别为d 1,d 2,则 d 1,d 2所以d 1=d 2. 又S 1=12|BD|d 1,S 2=12|AB|d 2, 所以12S S =BD AB=λ,即|BD|=λ|AB|. 由对称性可知|AB|=|CD|, 所以|BC|=|BD|-|AB|=(λ-1)|AB|, |AD|=|BD|+|AB|=(λ+1)|AB|, 于是AD BC=11λλ+-.① 将l 的方程分别与C 1,C 2的方程联立, 可求得x A,x B.根据对称性可知x C =-x B ,x D =-x A ,于是AD BC=22A B x x.②=()11λλλ+-.③ 令t=()11λλλ+-,则由m>n,λ>1,可得0<t<1, 于是由③可解得k 2=()()2222211n t a t λ--.因为k 2>0,于是③式关于k 有解,当且仅当()()2222211n t a t λ-->0,等价于(t 2-1)(t 2-21λ)<0. 由λ>1,0<t<1,可解得1λ<t<1,即1λ<()11λλλ+-<1,由λ>1,解得λ所以当1<λ≤,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S 1=λS 2; 当λ,存在与坐标轴不重合的直线l,使得S 1=λS 2.7.(2013年天津卷,理18) 22x a +22y b=1(a>b>0)的左焦点为F,过点F 且与x 轴垂直的直线被. (1)求椭圆的方程;(2)设A, B 分别为椭圆的左、右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C, D 两点. 若AC ·DB +AD ·CB =8,求k 的值.解:(1)设F(-c,0),由c a=3,知过点F 且与x 轴垂直的直线的方程为x=-c,代入椭圆方程有()22c a-+22y b=1,解得y=,,解得,又a 2-c 2=b 2,从而所以椭圆的方程为23x +22y =1.(2)设点C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),由F(-1,0)得直线CD 的方程为y=k(x+1),由方程组()221,132y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y,整理得(2+3k 2)x 2+6k 2x+3k 2-6=0.由根与系数的关系可得x 1+x 2=-22623k k +,x 1x 2=223623k k -+.因为所以AC ·DB +AD ·CB =(x 1,y 1)·2,-y 2)+(x 22)·-x 1,-y 1)=6-2x 1x 2-2y 1y 2=6-2x 1x 2-2k 2(x 1+1)(x 2+1)=6-(2+2k 2)x 1x 2-2k 2(x 1+x 2)-2k 2=6+2221223k k ++.由已知得6+2221223k k++=8,解得k=. 8.(2012年天津卷,理19)设椭圆22221x y a b+= (a>b>0)的左、右顶点分别为A 、B,点P 在椭圆上且异于A 、B两点,O 为坐标原点.(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为-12,求椭圆的离心率; (2)若|AP|=|OA|,证明直线OP 的斜率k 满足. (1)解:由题意可知A(-a,0),B(a,0), 设P(x,y), 则22221x y a b+=. ∴k AP ·k BP =y y x a x a⋅+-=222y x a -=222221x b a x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭- =-22b a =-12. ∴22b a =12. ∴e=c a. (2)证明:法一易知直线OP 的方程为y=kx, 由2222,1,y kx x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y,整理得x 2=22222a b b a k +①设P(x,kx).则由|AP|=|OA|得(x+a)2+k 2x 2=a 2,整理得(k 2+1)x 2+2ax=0.又x ≠0, ∴x=-221ak +② 联立①②,整理得(1+k 2)2=4k 2·a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭2+4.∵a>b>0, ∴(1+k 2)2>4k 2+4,即k 2+1>4,∴. 法二设P(x 0,kx 0), ∵点P 在椭圆上,∴22200221x k x a b+=.∵a>b>0,kx 0≠0. ∴2220022x k x a b +<1, 即(1+k 2)20x <a 2.由|AP|=|OA|,得(x 0+a)2+k 220x =a 2,整理得(1+k 2)20x +2ax 0=0.又x 0≠0, ∴x 0=-221ak +. ∴(1+k 2)·(-221a k +)2<a 2, 即1+k 2>4,k 2>3,∴.9.(2013年安徽卷,理18)设椭圆E:222211x y a a +=-的焦点在x 轴上. (1)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;(2)设F 1,F 2分别是椭圆E 的左、右焦点,P 为椭圆E 上第一象限内的点,直线F 2P 交y 轴于点Q,并且F 1P ⊥F 1Q,证明:当a 变化时,点P 在某定直线上. (1)解:因为焦距为1,所以2a 2-1=14,解得a 2=58. 故椭圆E 的方程为2288153x y +=. (2)证明:设P(x 0,y 0),F 1(-c,0),F 2(c,0),其中由题设知x 0≠c,则直线F 1P 的斜率100F P y k x c=+, 直线F 2P 的斜率200F P y k x c=-. 故直线F 2P 的方程为y=00y x c-(x-c). 当x=0时,y=00cy c x -,即点Q 坐标为(0,0cy c x -). 因此,直线F 1Q 的斜率为1F Q k =y c x -. 由于F 1P ⊥F 1Q,所以1F P k ·1F Q k =00y x c +·00yc x -=-1. 化简得20y =20x -(2a 2-1).(*)将(*)式代入椭圆E 的方程,由于点P(x 0,y 0)在第一象限,解得x 0=a 2,y 0=1-a 2,即点P 在定直线x+y=1上. 10.(2012年安徽卷,理20)如图,点F 1(-c,0),F 2(c,0)分别是椭圆C:22221x y a b+= (a>b>0)的左、右焦点,过点F 1作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P,过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x=2a c于点Q.(1)如果点Q 的坐标是(4,4),求此时椭圆C 的方程; (2)证明:直线PQ 与椭圆C 只有一个交点. (1)解:法一由题意得P(-c,2b a), ∴2PF k =20b a c c---=-22b ac .∵F 2Q ⊥PF 2, ∴2F Q k =22ac b , ∴直线F 2Q 的方程为y=22acb (x-c), ∴Q(2a c,2a),∴24,24,a c a ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得a=2,c=1. ∴b 2=3.∴此时椭圆C 的方程是22143x y +=. 法二设直线x=2a c与x 轴交于点M, 由题意得P(-c,2b a).∵PF 1⊥x 轴,QM ⊥x 轴,PF 2⊥F 2Q, ∴△PF 1F 2∽△F 2MQ, ∴1122PF F F F M QM=,即222b caa MQc c=-. 解得|MQ|=2a, ∴Q(2a c,2a).∴24,24,a c a ⎧+⎪⎨⎪=⎩解得a=2,c=1, ∴b 2=3.∴此时椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)证明:由(1)知P(-c,2b a ),Q(2a c,2a), ∴直线PQ 的方程为22222a x y a c b a a c a c=-=---, 整理得y=cax+a. 由2222,1,c y x a a x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去y,整理得(b 2+c 2)x 2+2a 2cx+a 4-a 2b 2=0.即a 2x 2+2a 2cx+a 2c 2=0,∴x 2+2cx+c 2=0.解得x=-c,y=2b a.∴直线PQ 与椭圆C 只有一个交点.11.(2013年山东卷,理22)椭圆C:22221x y a b+= (a>b>0)的左、右焦点分别是F 1、F 2,过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程;(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接PF 1,PF 2.设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M(m,0),求m 的取值范围;(3)在(2)的条件下,过点P 作斜率为k 的直线l,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点.设直线PF 1,PF 2的斜率分别为k 1,k 2,若k ≠0,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值. 解:(1)由于c 2=a 2-b 2,将x=-c 代入椭圆方程22221x y a b +=,得y=±2b a, 由题意知22b a=1,即a=2b 2.又e=ca所以a=2,b=1. 所以椭圆C 的方程为24x +y 2=1.(2)法一设P(x 0,y 0)(y 0≠0). 又F 1,0),F 2,0),所以直线PF 1,PF 2的方程分别为1PF l :y 0x-(x 0y 0=0, 2PF l :y 0x-(x 0y 0=0.由于点P 在椭圆上,所以22004x y +=1..因为,-2<x 0<2,=,所以m=34x 0. 因此-32<m<32. 法二设P (x 0,y 0)(y 0≠0). 当0≤x 0<2时,①当x 0,直线PF2的斜率不存在,易知P 12⎫⎪⎭或P 12⎫-⎪⎭.若P ,则直线PF 1的方程为因为,所以若P 12⎫-⎪⎭,同理可得②当x 0,设直线PF 1,PF2的方程分别为y=k 1y=k 2).=,所以(()2212221111m k m k +=+. 因为22004x y +=1,且k 12所以(()(()2220022204444m x x m xx +-==+-=)()20244+-,. 因为,0≤x 0<2且x 0,整理得m=034x ,故0≤m<32且m综合①②可知0≤m<32. 当-2<x 0<0时,同理可得-32<m<0. 综上所述,m 的取值范围是(-32,32). (3)设P(x 0,y 0)(y 0≠0),则直线l 的方程为y-y 0=k(x-x 0). 联立()22001,4x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩整理得(1+4k 2)x 2+8(ky 0-k 2x 0)x+4(20y -2kx 0y 0+k 220x -1)=0.由题意得Δ=0,即(4-20x )k 2+2x 0y 0k+1-20y =0.又22004x y +=1,所以1620y k 2+8x 0y 0k+20x =0,故k=-004x y . 由(2)知1211k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭0=002x y ,所以1211kk kk +=12111k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=(-004y x )·002x y =-8, 因此1211kk kk +为定值,这个定值为-8. 12.(2012年福建卷,理19)如图,椭圆E:22221x y a b += (a>b>0)的左焦点为F 1,右焦点为F 2,离心率e=12.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点,且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程;(2)设动直线l:y=kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ 为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由. 解:(1)由椭圆定义知, |AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a, △F 2AB 的周长=|AB|+|AF 2|+|BF 2| =|AF 1|+|BF 1|+|AF 2|+|BF 2| =4a. ∴4a=8,a=2, 又e=c a =12, ∴c=1,∴b 2=3.∴椭圆E 的方程是22143x y +=. (2)由22,143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y,整理得(3+4k 2)x 2+8mkx+4m 2-12=0.∵动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P(x 0,y 0), ∴Δ=(8km)2-4(3+4k 2)(4m 2-12)=0,m ≠0,整理得m 2=4k 2+3.①此时x 0=()284234mk km k -=-+, y 0=k ·4k m ⎛⎫- ⎪⎝⎭+m=3m ,∴P 43,k m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 由4,x y kx m =⎧⎨=+⎩得Q(4,4k+m). 假设在坐标平面内存在定点M,使得以PQ 为直径的圆恒过点M, 由椭圆的对称性可知,点M 一定在x 轴上, 设M(x 1,0),则MP =143,kx mm ⎛⎫-- ⎪⎝⎭, MQ =(4-x 1,4k+m). ∵MP ⊥MQ,即MP ·MQ =0对满足①式的所有m,k 均成立,即14k x m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(4-x 1)+3m ·(4k+m)=0对满足①式的所有m 、k 成立. 整理得(4x 1-4)km+ 21x -4x 1+3=0.② 由于②对满足①的m,k 恒成立,∴1211440,430,x x x -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩解得x 1=1. 故存在定点M(1,0),使得以PQ 为直径的圆恒过点M.13.(2012年广东卷,理20)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C: 22221x y a b+= (a>b>0)的离心率且椭圆C 上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程;(2)在椭圆C 上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=1与圆O:x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B,且△OAB 的面积最大?若存在,求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积;若不存在,请说明理由.解:(1)由e=c a得a 2=3b 2, 椭圆方程为222213x y b b +=. 设椭圆上一点P(x,y)到点Q(0,2)的距离为d,则∴当y=-()422-⨯-=-1时,d 取到最大值,d max 解得:b 2=1.∴椭圆方程为23x +y 2=1. (2)假设椭圆C 上存在点M(m,n)满足题意, 则23m +n 2=1, 即m 2=3-3n 2.设圆O:x 2+y 2=1的圆心到直线l:mx+ny=1的距离为d 1,则d 1<1且d 1.∴ ∴S △OAB =12·|AB|d 1=12·∵d 1<1, ∴m 2+n 2>1, ∴0<221m n +<1, ∴1-221m n +>0.∴S △OAB=12. 当且仅当221m n +=1-221m n +, 即m 2+n 2=2>1时,S △AOB 取到最大值.由22222,33,m n m n ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 解得223,21.2m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴存在点M 满足题意,M点的坐标为⎝⎭⎝⎭⎛ ⎝⎭⎛ ⎝⎭. 此时△AOB 面积最大为12. 14.(2012年浙江卷,理21)如图所示,椭圆C:22221x y a b += (a>b>0)的离心率为12,其左焦点到点P(2,1)的不过原点O 的直线l 与C 相交于A,B 两点,且线段AB 被直线OP 平分.(1)求椭圆C 的方程;(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程. 解:(1)设椭圆左焦点为F(-c,0),则由题意得1,2c a ⎪=⎩ 解得1,2.c a =⎧⎨=⎩∴b 2=3.∴椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由题意可设直线l 方程为y=kx+m(m ≠0).由22,143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y,整理得(4k 2+3)x 2+8kmx+4m 2-12=0.(*)由题意可知,x 1,x 2是方程(*)的两个根, ∴Δ=(8km)2-4(4k 2+3)(4m 2-12)>0.x 1+x 2=-2843kmk +,x 1·x 2=2241243m k -+.∴线段AB 的中点M 坐标为(-2443km k +,2343mk +). ∵点M 在直线OP:y=12x 上, ∴2343m k +=12·(-2443km k +),得m=0(舍去)或k=-32. 此时方程(*)为3x 2-3mx+m 2-3=0. 则Δ=3(12-m 2)>0,12212,3.3x x m m x x +=⎧⎪⎨-⋅=⎪⎩∴1-x 2|设点P 到直线AB 的距离为d, 则.∴S △ABP =12|AB|d =12其中m 2<12且m ≠0,即m ∈∪).令u(m)=(m-4)2(12-m 2),m ∈),则u ′(m)=2(m-4)(12-m 2)-2m(m-4)2=-4(m-4)(m 2-2m-6)当时,u ′(m)>0, 当,u ′(m)<0. ∴当,u(m)取到最大值, 故当且仅当,S △ABP 取到最大值. 此时,直线l的方程为y=-32即15.(2011年四川卷,理21)椭圆有两顶点A(-1,0)、B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点,并与x 轴交于点P.直线AC 与直线BD 交于点Q.(1)当,求直线l 的方程; (2)当点P 异于A 、B 两点时,求证: OP OQ ⋅为定值. (1)解:由于椭圆焦点在y 轴上, 故可设椭圆方程为22221x y a b += (a>b>0). 由题意知,b=1,c=1, ∴∴椭圆方程为x 2+22y =1.由题意可知,直线l 的斜率存在,设为k, 则l 方程为y=kx+1. 由221,12y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y, 整理得(k 2+2)x 2+2kx-1=0.设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2), 则x 1+x 2=-222k k +,x 1·x 2=-212k +. ∴1-x 2| ==)2212k k ++. 解得k=∴当, 直线l 的方程为或(2)证明:根据题意,设直线l 的方程为y=kx+1(k ≠0,k ≠±1),则P(-1k,0), 设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2). 由(1)知x 1+x 2=-222k k +,x 1·x 2=212k -+. 直线AC 的方程为:y=111y x +(x+1).① 直线BD 的方程为y=221y x -(x-1)② 联立①②消去y,得111y x +(x+1)= 221yx -(x-1), 即11x x +-=()()212111y x x x y ⋅+-.∵-1<x 1,x 2<1, ∴11x x +-与21y y 异号. ∴(11x x +-)2=()()2221221211y x y x +-=()()()()22212212221221x x x x-+--=()()()()222122121111x x x x-+--=()()()()12121111x x x x ++-- =()()1212121211x x x x x x x x +++-++ =22222112221122k k k k k k --+++-++=11k k -⎛⎫ ⎪+⎝⎭2. 又y 1·y 2=(kx 1+1)(kx 2+1) =k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1=-222k k +-2222k k ++1 =22222k k -+=()22212k k -+=-()()22112k k k +-+=-()22212k k ++·11k k -+,∴y 1·y 2与11k k -+异号, ∴11x x +-与11k k -+同号. ∴11x x +-=11k k -+, 解得x=-k,∴Q(-k,y). ∴OP OQ ⋅=(-1k,0)·(-k,y) =(-1k)·(-k) =1.即OP OQ ⋅为定值.16.(2011年辽宁卷,理20)如图所示,已知椭圆C 1的中心在原点O,长轴左、右端点M 、N 在x 轴上,椭圆C 2的短轴为MN,且C 1,C 2的离心率都为e.直线l ⊥MN,l 与C 1交于两点,与C 2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.(1)设e=12,求|BC|与|AD|的比值; (2)当e 变化时,是否存在直线l,使得BO ∥AN,并说明理由. 解:(1)因为C 1,C 2的离心率相同, 故依题意可设C 1: 22221x y a b+=,C 2:222421b y x a a+= (a>b>0). 设直线l:x=t(|t|<a),分别与C 1,C 2的方程联立,求得当e=12时分别用y A ,y B 表示A,B 的纵坐标,可知|BC|∶|AD|=22B A y y =22b a =34.(2)当t=0时的l 不符合题意,当t ≠0时,BO ∥AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等, 即b t b t a-,解得t=-222ab a b -=-221e e-·a.因为|t|<a, 又0<e<1,所以221e e -<1,<e<1.所以当0<e 时,不存在直线l,使得BO ∥AN;<e<1时,存在直线l,使得BO ∥AN. 17.(2010年安徽卷,理19)如图所示,已知椭圆E 经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率e=12.(1)求椭圆E 的方程;(2)求∠F 1AF 2的平分线所在直线l 的方程;(3)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由. 解:(1)设椭圆E 的方程为22221x y a b+=,由e=12, 即c a =12,得a=2c, ∴b 2=a 2-c 2=3c 2.∴椭圆的方程可化为2222143x y c c+=.将A(2,3)代入上式, 得22131c c +=, 解得c=2(负值舍去), ∴椭圆E 的方程为2211612x y +=. (2)由(1)知F 1(-2,0),F 2(2,0), 所以直线AF 1的方程为y=34(x+2), 即3x-4y+6=0, 直线AF 2的方程为x=2.由点A 在椭圆E 上的位置知,直线l 的斜率为正数. 设P(x,y)为l 上任一点, 则3465x y -+=|x-2|.若3x-4y+6=5x-10,得x+2y-8=0(因其斜率为负,故舍去). 于是,由3x-4y+6=-5x+10得2x-y-1=0, ∴直线l 的方程为2x-y-1=0.(3)假设存在这样的两个不同的点B(x 1,y 1)和C(x 2,y 2), ∵BC ⊥l, ∴k BC =2121y y x x --=-12. 设BC 的中点为M(x 0,y 0), 则x 0=122x x +,y 0=122y y +, 由于M 在l 上,故2x 0-y 0-1=0.① 又B,C 在椭圆上,所以有221111612x y +=与222211612x y +=. 两式相减,得2222212101612x x y y --+=, 即()()122116x x x x +-+()()122112y y y y +-=0.将该式整理为18·122x x ++2121y y x x --·16·122y y +=0,并将直线BC 的斜率k BC 和线段BC 的中点表示代入该表达式中, 得18x 0-112y 0=0, 即3x 0-2y 0=0.② ①×2-②得x 0=2,y 0=3,即BC 的中点为点A,而这是不可能的. ∴不存在满足题设条件的相异两点.模拟试题考点一应用椭圆的定义解决椭圆上的点到焦点的距离问题1.(2013北京西城高三上学期期末)已知椭圆24x +22y =1的两个焦点是F 1、F 2,点P 在该椭圆上,若|PF 1|-|PF 2|=2,则△PF 1F 2的面积是 .解析:由椭圆方程24x +22y =1可知∴|PF 1|+|PF 2|=4. 又|PF 1|-|PF 2|=2, ∴|PF 1|=3,|PF 2|=1.又|F 1F 2,∴|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2,∴PF 2⊥F 1F 2, ∴12PF F S=12|PF 2||F 1F 2|=12×1×.答案2.(2013北京海淀高三上学期期末)已知点F 1、F 2分别是椭圆x 2+2y 2=2的左、右焦点,点P 是该椭圆上的一个动点,则21PF PF +的最小值是 .解析:设P(x,y),则x 2+2y 2=2,由椭圆方程22x +y 2=1可知,b=1,c=1,∴F 1(-1,0),F 2(1,0). ∴1PF =(-1-x,-y),2PF =(1-x,-y),∴1PF +2PF =(-2x,-2y).∴|1PF +2PF |==2=2∵y 2≤1,∴|1PF +2PF |的最小值是2. 答案:2考点二椭圆的方程及其简单性质应用1.(2013广东“十校”高三联考)定义:关于x 的不等式|x-A|<B 的解集叫A 的B 邻域.已知a+b-2的a+b 邻域为区间(-2,8),其中a 、b 分别为椭圆22x a +22y b=1的长半轴长和短半轴长,若此椭圆的一焦点与抛物线y 2x 的焦点重合,则椭圆的方程为()(A)28x +23y =1(B)29x +24y =1(C)29x +28y =1(D) 216x +29y =1解析:由题意可知|x-(a+b-2)|<a+b 的解集是(-2,8), ∴2a+2b-2=8,即a+b=5.①又抛物线y 2x 的焦点为∴椭圆的焦点在x 轴上,且,即a 2-b 2=5.②联立①②可得a=3,b=2,∴椭圆标准方程为29x +24y =1.答案:B2.(2011辽宁模拟)椭圆236x +29y 1上有两个动点P 、Q,E(3,0),EP ⊥EQ,则EP ·QP 的最小值为( )(A)6(C)9解析:设P(x 0,y 0),则2036x +209y =1,EP =(x 0-3,y 0),又QP =EP -EQ ,∴EP ·QP =EP ·(EP -EQ )=2EP -EP ·EQ =2EP =(x 0-3)2+20y=(x 0-3)2+9-2014x =2034x -6x 0+18, 又x 0∈[-6,6],∴当x 0=4时,EP ·QP 取到最小值6. 答案:A考点三求椭圆的离心率1.(2012成都二模)已知A 、B 分别为椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的左、右顶点,C(0,b),直线l:x=2a 与x 轴交于点D,与直线AC 交于点P,若∠DBP=π3,则此椭圆的离心率为( )(A)12(B)2(C)29(D)3解析:如图所示,由已知得A(-a,0), B(a,0),C(0,b), D(2a,0). 设P(2a,y 0), ∵A 、C 、P 共线, ∴k AC =k AP , 即b a =03y a, ∴y 0=3b, ∴P(2a,3b). 又∵∠DBP=π3,且tan ∠DBP=DP BD ,32b a a-,∴b a =3,∴e=c a 3答案:D2.(2012厦门质检)已知F 是椭圆C:22x a +22y b =1(a>b>0)的右焦点,点P 在椭圆C 上,线段PF 与圆(x-3c）2+y 2=29b 相切于点Q,且PQ =2QF ,则椭圆C 的离心率等于( )(A)3(B)23(C)2(D)12解析:记椭圆的左焦点为F ′,圆(x-3c)2+y 2=29b 的圆心为E,连接PF ′、QE. ∵|EF|=|OF|-|OE|=c-3c =23c,PQ =2QF , ∴EF F F'=13=QF PF, ∴PF ′∥QE, ∴QF PF '=13,且PF ′⊥PF. 又∵|QE|=3b(圆的半径长), ∴|PF ′|=b.据椭圆的定义知:|PF ′|+|PF|=2a, ∴|PF|=2a-b. ∵PF ′⊥PF,∴|PF ′|2+|PF|2=|F ′F|2,∴b 2+(2a-b)2=(2c)2,∴2(a 2-c 2)+b 2=2ab,∴3b 2=2ab,∴b=23a=3a,c a =3,∴椭圆的离心率为3. 答案:A考点四直线与椭圆的位置关系的解法1.(2013四川树德中学3月阶段性考试)椭圆E: 22x a +22y b=1 (a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2,过F 1作垂直于椭圆长轴的弦PQ,|PQ|为3. (1)求椭圆E 的方程;(2)若过F 1的直线l 交椭圆于A,B 两点,判断是否存在直线l 使得∠AF 2B 为钝角,若存在,求出l 的斜率k 的取值范围.解:(1)依题意23,22 2.b a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得a 2=4,b 2=3,∴椭圆的方程为24x +23y =1.(2)①当过F 1的直线AB 的斜率不存在时,不妨取A （-1,32）,B （-1,-32）则2F A ·2F B =74,显然∠AF 2B 不为钝角.②直线l 的斜率为k,l 方程为y=k(x+1),由()221,143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 消去y,整理得(3+4k 2)x 2+8k 2x+4k 2-12=0.∵直线l 与椭圆交于两点,∴Δ=(8k 2)2-4(3+4k 2)(4k 2-12)=4×36(k 2+1)>0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=-22834k k +,x 1·x 2=2241234k k -+.2F A =(x 1-1,y 1), 2F B =(x 2-1,y 2).∵∠AF 2B 为钝角, ∴2F A ·2F B <0. 即(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2<0,整理得(k 2+1)x 1x 2+(k 2-1)(x 1+x 2)+k 2+1<0.即(k 2+1)·2241234k k -+-(k 2-1)·22834k k ++k 2+1<0,整理得7k 2<9,解得-7<k<7. ∴存在满足条件的直线l,其斜率k 的取值范围为. 2.(2013江苏南通高三一模)已知左焦点为F(-1,0)的椭圆过点E （）.过点P(1,1)分别作斜率为k 1,k 2的椭圆的动弦AB,CD,设M,N 分别为线段AB,CD 的中点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若P 为线段AB 的中点,求k 1;(3)若k 1+k 2=1,求证直线MN 恒过定点,并求出定点坐标. 解:(1)依题设c=1,且右焦点F ′(1,0).所以2a=|EF|+|EF ′3,b 2=a 2-c 2=2,故所求的椭圆的标准方程为23x +22y =1.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则213x +212y =1,①223x +222y =1.②②-①,得()()21213x x x x -++()()21212y y y y -+=0.所以k 1=2121y y x x --=-()()212123x x y y ++=-46ppx y =-23. (3)依题设,k 1≠k 2. 设M(x M ,y M ),又直线AB 的方程为y-1=k 1(x-1), 即y=k 1x+(1-k 1), 亦即y=k 1x+k 2,代入椭圆方程并化简得(2+321k )x 2+6k 1k 2x+322k -6=0.于是,x M =1221323k k k -+,y M =221223k k +,同理,x N =1222323k k k -+,y N =122223k k +.当k 1k 2≠0时,直线MN 的斜率k=M NM Ny y x x --=()()2222112121469k k k k k k k k +++-+=21211069k k k k --.直线MN 的方程为y-221223k k +=21211069k k k k --(x-1221323k k k -+),即y=21211069k k k k --x+(21211069k k k k --·1221323k k k ++221223k k +),亦即y=21211069k k k k --x-23. 此时直线过定点（0,-23）. 当k 1k 2=0时,直线MN 即为y 轴, 此时亦过点（0,-23）. 综上,直线MN 恒过定点,且坐标为（0,-23）. 综合检测1.(2012东北三校)设椭圆24x +y 2=1的左焦点为F,P 为椭圆上一点,,则|PF|等于( )(A)12(B)32(C)52(D)72解析:设,y),由34+y 2=1, 解得y 2=14.由椭圆方程24x +y 2=1知a=2,b=1.。

高考椭圆最常考的题型(140分推荐)

高考椭圆最常考的题型（140分推荐）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知椭圆：x 24+y 2b2=1(0<b <2) ，左、右焦点分别为F 1,F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A,B 两点，若|BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为5，则b 的值是( )A. 1B. √2C. 32D. √32. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，直线x =√2与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，则椭圆的方程为( )A.x 22+y 2=1B.x 24+y 22=1C.x 28+y 24=1D.x 26+y 23=13. 已知直线y =kx(k ≠0)与椭圆C ：x 2a2+y 2=1(a >1)交于P ，Q 两点，点F ，A 分别是椭圆C 的右焦点和右顶点，若|FP|+|FQ|+|FA|=52a ，则a =( )A. 4B. 2C. 43D. 2√334. 已知直线2x +y −4=0经过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F 2，且与椭圆在第一象限的交点为A ，与y 轴的交点为B ，F 1是椭圆的左焦点，且|AB |=|AF 1|，则椭圆的方程为( )A. x 240+y 236=1B. x 220+y 216=1C. x 210+y 26=1D.x 25+y 2=15. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则椭圆的离心率为( )A. √32B. √22C. 12D. 136. 已知椭圆方程为x 2+ky 2=5的一个焦点是(0,2)，那么k =( )A. 59B. 97C. 1D. 537. 已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2a 2+y 24=1的焦距为4，则C 的离心率( )A. 13B. 12C. √22D. 2√238. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1 (a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为√33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为4√3，则椭圆C 的方程为( )A. x 23+y 2=1B. x 23+y 22=1 C. x 212+y28=1 D. x 212+y24=1二、单空题（本大题共2小题，共10.0分）9.已知椭圆C的焦点在x轴上，且离心率为12，则C的方程可以为．10.椭圆E：x2a2+y23=1的右焦点为F2，直线y=x+m与椭圆E交于A，B两点．若△F2AB周长的最大值是8，则m的值等于________．三、解答题（本大题共20小题，共240.0分）11.设椭圆C∶x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为35．(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标．12.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√33，短轴一个端点到右焦点的距离为√3．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)过椭圆的左焦点且斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点，求|AB|．13.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(1,√32)在椭圆C上，且△PF1F2的面积为32．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若椭圆C上存在A，B两点关于直线x=my+1对称，求m的取值范围．14.已知点P(3,4)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，试求：(1)椭圆的方程；(2)△PF1F2的面积．15.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，短轴长为2√3．(Ⅰ)求椭圆Ｃ的标准方程；(Ⅱ)若斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的垂直平分线过定点(13,0)，求k的取值范围．16.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)和直线l:xa−yb=1，椭圆的离心率e=√63，坐标原点到直线l的距离为√32．(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E(−1,0)，若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．17.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过两点(0,1)，(√3,12)．(I)求椭圆E的方程；(II)若直线l:x−y−1=0交椭圆E于两个不同的点A，B，O是坐标原点，求△AOB 的面积S．18.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，M(√3,−12)是椭圆C上的一点．(1)求椭圆C的方程；(2)过点P(−4,0)作直线l与椭圆C交于不同两点A、B，A点关于x轴的对称点为D，问直线BD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，短轴的一个端点到右焦点的距离为3√2．(1)求椭圆的方程；(2)若直线y=x−1与椭圆相交于不同两点A、B，求|AB|．20.已知椭圆C1的方程为x24+y23=1，椭圆C2的短轴为C1的长轴且离心率为√32．(1)求椭圆C2的方程；(2)如上图，M，N分别为直线l与椭圆C1，C2的交点，P为椭圆C2与y轴的交点，△PON 的面积为△POM的面积的2倍，若直线l的方程为y=kx(k>0)，求k的值．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点和上顶点，且AB=√7，右准线l的方程为x=4．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点A的直线交椭圆于另一点P，交l于点Q.若以PQ为直径的圆经过原点，求直线PQ的方程．22.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P(0,1)的直线l与椭圆C交于两点A，B.已知在椭圆C上存在点Q，使得四边形OAQB是平行四边形，求Q的坐标．23.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，长轴长为4，直线y=kx+2与椭圆C交于A，B两点且∠AOB为直角，O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；(2)求AB的长度．24.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P(0,1)的直线l与椭圆C交于两点A，B.已知在椭圆C上存在点Q，使得四边形OAQB是平行四边形，求Q的坐标．25.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x−3)2+y2=1，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点A在圆C上，右准线与圆C相切．(1)求椭圆E的方程；(2)设过点A的直线l与圆C相交于另一点M，与椭圆E相交于另一点N.当AN=127AM时，求直线l的方程．26.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P(0,1)的直线l与椭圆C交于两点A，B.已知在椭圆C上存在点Q，使得四边形OAQB是平行四边形，求Q的坐标．27.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆E上.(1)若F1F2=2√2，点P的坐标为(√3,√2)，求椭圆E的方程；(2)若点P横坐标为a2，点M为PF1中点，且OP⊥F2M，求椭圆E的离心率．28.如图，在直角坐标系xOy中，设椭圆C:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的左右两个焦点分别为F1、F2过右焦点F2且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为M( √2, 1 )(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的一个顶点为B( 0,−b )，直线BF2交椭圆C于另一点N，求△F1BN的面积29.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且经过点(1,32)，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C 于D，E两点(其中D在x轴上方)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若ΔAEF与ΔBDF的面积比为1:7，求直线l的方程．30.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点坐标为F1(−√3,0),F2(√3,0)，且椭圆E经过点P(−√3,12)．(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点M是椭圆E上位于第一象限内的动点，A,B分别为椭圆E的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形ABCD的面积．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查椭圆的定义的应用，做题时要善于发现规律，进行转化，三角形AF2B为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出三角形AF2B的周长，欲使|BF2|+|AF2|的最大，只须|AB|最小，利用椭圆的性质即可得出答案．【解析】解：由椭圆的方程可知：长半轴长为a=2，由椭圆的定义可知：|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8，所以|AB|=8−(|AF2|+|BF2|)≥3，由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b2a=3，可求得b2=3，即b=√3．故选D．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的方程和离心率，属于简单题．结合已知条件建立关系式求得a2=6,b2=3，即可得到椭圆方程．【解答】解：因为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，所以ca =√22①又因为直线x=√2与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，所以A(√2,√2)代入x2a2+y2b2=1得2a2+2b2=1②又因为a2=b2+c2③联立①②③解得a2=6,b2=3，所以椭圆的方程为x26+y23=1．故选D．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了椭圆的概念与标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系，属于基础题．取椭圆的左焦点F′，由三角形全等知|PF|=|QF′|，由椭圆的概念及集合性质知|FP|+ |FQ|=|F′Q|+|FQ|=2a,|FA|=a−c,b=1，代入条件及利用a，b，c的关系式求得a．【解答】解：取椭圆的左焦点F′，因为直线过原点，∴|OP|=|OQ|,|OF|=|OF′|，由椭圆的对称性，∴|PF|=|QF′|，∴|FP|+|FQ|=|F′Q|+|FQ|=2a,∵|FP|+|FQ|+|FA|=52a,|FA|=a−c，所以2a+a−c=52a，即a=2c，∵a2=b2+c2=1+14a2，a=2√33．故选D．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的定义、标准方程以及简单的几何性质，属于基础题．由直线2x+y−4=0经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F2，可求得c=2，由椭圆定义可求得即a=√5，故a2=5，b2=1，椭圆方程可解．【解答】解：直线2x +y −4=0与x 轴和y 轴的交点分别为F 2(2,0)，B(0,4)，所以c =2，又2a =|AF 1|+|AF 2|=|AB|+|AF 2|=|BF 2|=2√5，所以a =√5，从而b 2=5−4=1，所以椭圆方程x 25+y 2=1．故选D ．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆的几何性质，涉及向量的线性关系，属基础题．根据向量关系得出|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，根据平行线截线段成比例定理得出|AO||AF|的值，得到a ，c 的关系，求得离心率．【解答】解：如图所示：∵AP⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，∴|PA||AB|=23，又∵PO//BF ， ∴|AO||AF|=|PA||AB|=23，即aa+c =23， ∴e =ca =12．故选C ．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程及椭圆的简单性质，利用待定系数法求参数的值，属于基础题．把椭圆x 2+ky 2=5的方程化为标准形式，得到c 2的值等于4，解方程求出k ．【解答】解：椭圆x 2+ky 2=5，即x 25+y 25k=1，∵焦点坐标为(0,2)，c 2=4， ∴5k −5=4，∴k =59，故选：A ．7.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查椭圆的离心率，属于基础题．根据题意求出c =2，a =2√2，由e =ca 即可求出结果．【解答】解：∵椭圆C ：x 2a 2+y 24=1的焦点在x 轴上，且焦距为4，∴a 2>4，c =2， ∴a 2−4=4， ∴a =2√2， ∴e =ca =2√2=√22．故选C ．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．利用△AF 1B 的周长为4√3，求出a =√3，根据离心率为√33，可得c =1，求出b ，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF 1B 的周长为4√3，∵△AF 1B 的周长为|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=2a +2a =4a ， ∴4a =4√3， ∴a =√3， ∵离心率为√33，∴ca =√33，c =1，∴b =√a 2−c 2=√2，即椭圆C 的方程为x 23+y 22=1．故选B ．9.【答案】x 24+y 23=1(答案不唯一)【解析】【分析】本题主要考查了椭圆的标准方程以及椭圆的几何性质，解题的关键是熟练掌握椭圆标准方程中a ，b 和c 之间的关系，属于基础题．利用离心率为12，可得b =√32a ，即可求解．【解答】解：设椭圆的标准方程为 x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，∵离心率为12， ∴e =ca =√a 2−b 2a=12， ∴b =√32a ，令a =2，则b =√3，∴椭圆的标准方程为x 24+y 23=1．故答案为x 24+y 23=1(答案不唯一)．10.【答案】1【解析】【分析】本题考查的知识要点：椭圆的定义和方程的应用，属于基础题型．首先利用椭圆的定义建立周长的等式，进一步利用三角形的边长关系建立等式，求出相应的值，最后求出结果．【解答】解：椭圆E ：x 2a 2+y 23=1的右焦点为F 2，N 为左焦点，直线y =x +m 与椭圆E 交于A ，B 两点，则△F 2AB 周长l =AB +BF 2+AF 2=AB +2a −NB +2a −NA =4a +(AB −NA −NB)，由于NA +NB ≥AB ，所以当N 、A 、B 三点共线时，△F 2AB 的周长l =4a =8，所以a =2，所以椭圆的方程为x 24+y 23=1，直线y =x +m 经过左焦点，所以m =1．故答案为1．11.【答案】解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b 2=1，则b =4，∵e =ca =35，∴a 2−b 2a 2=925，即1−16a 2=925，∴a =5，∴椭圆C 的方程为x 225+y 216=1． (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y =45(x −3)，设直线与C 的交点为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2). 将直线方程y =45(x −3)代入C 的方程，得x 225+(x−3)225=1，即x 2−3x −8=0，故x 1+x 2=3．设线段AB 的中点坐标为(x′,y′)，则x′=x 1+x 22=32，y′=y 1+y 22=25(x 1+x 2−6)=−65，即所求中点坐标为(32,−65).【解析】本题考查椭圆的标准方程及性质，以及直线与椭圆的综合应用，属于中档题目． (1)将(0,4)代入椭圆方程求出b ，再由椭圆的离心率求出a ，得到椭圆方程； (2)写出直线方程联立椭圆方程，利用中点坐标公式结合韦达定理得出．12.【答案】解：(Ⅰ)由题意：e =c a =√33，即a =√3c ，短轴一个端点到右焦点的距离为√3，即b 2+c 2=(√3)2=3，而a 2=b 2+c 2，所以a 2=3，b 2=2，所以椭圆的方程：x 23+y 22=1；(Ⅱ)由(Ⅰ)，左焦点(−1,0)，直线l 的方程：y =x +1，设A(x,y)，B(x′,y′)，联立直线l 与椭圆的方程，消去y 整理得：5x 2+6x −3=0，所以x +x′=−65，xx′=−35，∴|AB|=√1+k 2√(x +x′)2−4xx′ =√1+1×√(−65)2−4×(−35)=8√35．【解析】本题考查直线与椭圆的交点弦长，属于基础题．(Ⅰ)由题意得离心率及长半轴长及a ，b ，c 之间的关系，求出椭圆的方程；(Ⅱ)由题意写出直线l 的方程与椭圆联立写出两根之和及之积，再由弦长公式求出弦长．13.【答案】解：(1)由题意可得{ 1a 2+34b 2=1,√3c 2=32,c 2=a 2−b 2解得a =2，b =1，故椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点为M(x 0,y 0). 因为直线x =my +1过定点(1,0)，所以(x 1−1)2+y 12=(x 2−1)2+y 22.因为A ，B 在椭圆上，所以x 124+y 12=1，x 224+y 22=1，所以(x 1−1)2+1−x 124=(x 2−1)2+1−x 224，整理得x 12−x 224=(x 1−x 2)(x 1+x 2−2)，所以x 1+x 2=83，所以x 0=43.因为点M 在直线x =my +1上，所以x 0=my 0+1，则y 0=13m .由{x 24+y 2=1,x =43,得y =±√53，则−√53<13m <0或0<13m <√53，解得m <−√55或m >√55.故m 的取值范围为(−∞,−√55)⋃(√55,+∞)．【解析】本题考查椭圆的性质和标准方程，直线与椭圆的位置关系，属于中档题． (1)由题意得{ 1a 2+34b 2=1,√3c 2=32,c 2=a 2−b 2，解出a ，b ，进而求出答案．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点为M(x 0,y 0)，由条件求出x 1+x 2=83，x 0=43，进而由条件求出y =±√53，进而求出答案．14.【答案】解：(1) 令F 1(−c,0)，F 2(c,0)，∵PF 1⊥PF 2，∴k PF 1·k PF 2=−1，即43+c ·43−c =−1，解得c =5，∴椭圆的方程为x 2a 2+y 2a 2−25=1．∵点P(3,4)在椭圆上，∴9a 2+16a 2−25=1，解得a 2=45，或a 2=5，又a >c ，∴a 2=5舍去，故所求椭圆方程为x 245+y 220=1．(2)P 点纵坐标的值即为F 1F 2边上的高，∴△PF1F2=12|F1F2|×4=12×10×4=20．【解析】本题考查椭圆的简单性质的应用，以及用待定系数法求椭圆的标准方程的方法．(1)设出焦点的坐标，利用垂直关系求出c值，椭圆的方程化为x2a2+y2a2−25=1，把点P的坐标代入，可解得a2的值，从而得到所求椭圆方程．(2)P点纵坐标的值即为F1F2边上的高，由S△PF1F2=12|F1F2|×4求得△PF1F2的面积．15.【答案】解：(Ⅰ)由题意可知：{2b=2√3ca=12a2=b2+c2，得{a=2b=√3c=1,故椭圆C的标准方程为x24+y23=1；(Ⅱ)设直线l：y=kx+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，将y=kx+m代入椭圆方程，消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0，所以，即m2<4k2+3…………①由根与系数关系得x1+x2=−8km3+4k2，则y1+y2=k(x1+x2)+2m=6m3+4k2，所以线段AB的中点P的坐标为(−4km3+4k2,3m3+4k2)．又线段AB的垂直平分线l′的方程为y=−1k (x−13)，由点P在直线l′上，得3m3+4k2=−1k(−4km3+4k2−13)，即4k2+3km+3=0，所以m=−13k(4k2+3)…………②由①②得(4k2+3)29k2<4k2+3，∵4k2+3>0,∴4k2+3<9k2所以k2>35，即k<−√155或k>√155，所以实数k的取值范围是．【解析】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线和圆锥曲线间的关系，考查了直线和圆锥曲线的关系问题，常采用联立直线方程和圆锥曲线方程，利用根与系数的关系求解，属于中档题．(Ⅰ)由离心率得到a ，c ，b 的关系，再代入椭圆的标准方程中即可求解．(Ⅱ)设出A ，B 的坐标，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于0得到m 2<4k 2+3，再结合根与系数关系得到AB 中点P 的坐标为(−4km3+4k 2,3m3+4k 2).求出AB 的垂直平分线l′方程，由P 在l′上，得到4k 2+3km +3=0.结合m 2<4k 2+3求得k 的取值范围．16.【答案】解：(Ⅰ)直线l 方程为bx −ay −ab =0，依题意可得：{ca=√63ab√a 2+b 2=√32，又a 2=b 2+c 2,解得：a 2=3，b =1， ∴椭圆的方程为x 23+y 2=1;(Ⅱ)假设存在这样的k ，使以CD 为直径的圆过定点E ，联立直线与椭圆方程得(1+3k 2)x 2+12kx +9=0， ∴△=(12k)2−36(1+3k 2)>0，∴k >1或设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，则{x 1+x 2=−12k1+3k 2x 1·x 2=91+3k2，② 而y 1⋅y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1),ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+1,y 2),要使以CD 为直径的圆过点E(−1,0)，当且仅当CE ⊥DE 时，故EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 则y 1y 2+(x 1+1)(x 2+1)=0，∴(k 2+1)x 1x 2+(2k +1)(x 1+x 2)+5=0，③ 将②代入③整理得k =76>1，经验证使得①成立，综上可知，存在k =76，使得以CD 为直径的圆过点E ．【解析】本题考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，注意合理地进行等价转化，属于中档题．(Ⅰ)直线l 方程为bx −ay −ab =0，依题意可得：{ca =√63√a 2+b 2=√32，由此能求出椭圆的方程;(Ⅱ)假设存在这样的值，联立方程得(1+3k 2)x 2+12kx +9=0，再由根的判别式和根与系数的关系进行求解即可．17.【答案】解：(1)由题意得{b 2=13a2+14b2=1，解得{a =2b =1，所以椭圆E 的方程为x 24+y 2=1．(2)记A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{x 24+y 2=1x =y +1，消去x 得5y 2+2y −3=0．所以y 1,2=−1或35，直线l 与x 轴的交点为(1,0)，记为点P ，S =12|OP||y 1−y 2|=45．【解析】本题主要考查了椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义，直线与椭圆的位置关系，三角形面积的应用，属于简单题．(1)根据已知及椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义的计算，求出椭圆E 的方程;(2)根据已知及直线与椭圆的位置关系，三角形面积的计算，求出△AOB 的面积S ．18.【答案】解：(1)∵c a =√32，a 2=b 2+c 2，∴a 2=4b 2，∴x 24b 2+y 2b 2=1，将M (√3,−12)代入椭圆C ，∴b 2=1， ∴椭圆C 方程为：x 24+y 2=1．(2)显然AB 斜率存在，设AB 为：y =k(x +4)，{x 24+y 2=1,y =k(x +4)⇒(1+4k 2)x 2+32k 2x +64k 2−4=0,Δ=16−192k 2>0，∴k 2<112．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，D(x 1,−y 1)， ∴x 1+x 2=−32k 21+4k2，x 1x 2=64k 2−41+4k 2，∵BD ：y +y 1=y 2+y1x 2−x 1(x −x 1)，∴y =0时x =x 1+x 2y 1−x 1y 1y 1+y 2=2kx 1x 2+4k(x 1+x 2)k(x 1+x 2)+8k=2k(64k 2−41+4k 2)+4k(−32k 21+4k 2)k(−32k 21+4k 2)+8k =128k 3−8k−128k 3−32k 3+8k+32k 3=−1，∴直线BD 过定点(−1,0)．【解析】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率的应用，考查转化思想以及计算能力．(1)根据点在椭圆上得3a 2+14b 2=1，与离心率联立方程组解得a 2=2，b 2=1，即得太严方程；(2)设直线l 的方程为y =k(x +4)，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则 x 1+x 2=−32k 21+4k 2，x 1x 2=64k 2−41+4k 2求出BD 的方程，令y =0，解得横坐标，结合韦达定理化简可得横坐标为定值，即可证明直线BD 过定点．19.【答案】解：(1)根据题意，椭圆C 的短轴一个端点到右焦点的距离为3√2，则有a =3√2，又由椭圆C 的离心率为√22，则有e =ca =√22，则有c=3，则b2=a2−c2=18−9=9，则椭圆的标准方程为：x218+y29=1;(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)．由(1)可得：椭圆的标准方程为：x218+y29=1，直线l的方程为：y=x−1，联立{x218+y29=1y=x−1，消去y得3x2−4x−16=0，则有x1+x2=43,x1x2=−163，|AB|=√1+12√(x1+x2)2−4x1x2=√2√169+643=4√263．【解析】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆的标准方程，属基础题．(1)根据题意，由椭圆的几何性质可得e=ca =√22且a=3√2，解可得c的值，进而计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆的标准方程，即可得答案；(2)联立直线与椭圆的方程，可得方程3x2−4x−16=0，结合根与系数的关系由弦长公式计算可得答案．20.【答案】解：(1)椭圆C1的方程为x24+y23=1的长轴长为4，设椭圆C2的方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0)，由题意可得b=2，e=ca =√32，a2−c2=4，解得a=4，b=2，c=2√3，可得椭圆C2的方程为y216+x24=1；(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，△PON面积为△POM面积的2倍，可得|ON|=2|OM|，即有|x2|=2|x1|，联立{y =kx 3x 2+4y 2=12，消去y 可得x =±√123+4k2，即|x 1|=√123+4k 2，同样求得|x 2|=√164+k 2，由√164+k 2=2√123+4k 2，解得k =±3，由k >0，得k =3．【解析】本题考查椭圆的方程和性质及直线与椭圆位置关系，考查联立方程求交点，考查化简整理的运算能力，属于中档题． (1)由题意设椭圆C 2的方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)，运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，解方程即可得到所求方程；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由题意可得|x 2|=2|x 1|，联立直线y =kx 和椭圆方程，求得交点的横坐标，解方程即可得到所求值．21.【答案】解：(1)设椭圆的焦距为2c(c >0)．由题意得{a 2c=4,a 2=b 2+c 2,√a 2+b 2=√7,解得a 2=4，b 2=3．所以椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1．(2)方法一：由题意得直线PQ 不垂直于x 轴，设PQ 的方程为y =k(x −2)，联立{y =k(x −2),x 24+y 23=1,消y 得(4k 2+3)x 2−16k 2x +16k 2−12=0．又直线PQ 过点A(2,0)，则方程必有一根为2，则x P =8k 2−64k 2+3．代入直线y =k(x −2)，得点P (8k 2−64k 2+3,−12k4k 2+3)．联立{y =k(x −2),x =4,所以Q(4,2k)．又以PQ 为直径的圆过原点，所以OP ⊥OQ ，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4⋅8k 2−64k 2+3+2k ⋅−12k 4k 2+3=8k 2−244k 2+3=0，解得k 2=3，所以k =±√3．所以直线PQ 的方程为√3x −y −2√3=0或√3x +y −2√3=0．方法二：设点P(x 0,y 0)(x 0≠2)，所以直线PQ 方程为y =yx 0−2(x −2)，与右准线x =4联立，得Q(4,2y 0x0−2)．又以PQ 为直径的圆过原点，所以OP ⊥OQ ，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以4x 0+2y 02x0−2=0 ①，又x 024+y 023=1 ②，联立①②，解得x 0=65或x 0=2(舍)，所以P (65,−4√35)或P (65,4√35)．所以直线PQ 的斜率为±√3，从而直线PQ 的方程为√3x −y −2√3=0或√3x +y −2√3=0．【解析】本题考查椭圆的标准方程，椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系，属于难题． (1)由题意列出关于a ，b ，c 的方程组，求解即可；(2)方法一：由题意得直线PQ 不垂直于x 轴，设PQ 的方程为y =k(x −2)，联立{y =k(x −2),x 24+y23=1,求出P (8k 2−64k 2+3,−12k 4k 2+3)，Q(4,2k).利用OP ⊥OQ ，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4⋅8k 2−64k 2+3+2k ⋅−12k4k 2+3=8k 2−244k 2+3=0，求出k 即可求解；方法二：设点P(x 0,y 0)(x 0≠2)，所以直线PQ 方程为y =yx 0−2(x −2)，与右准线x =4联立，得Q(4,2y 0x−2).又以PQ 为直径的圆过原点，所以OP ⊥OQ ，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求出x 0=65，得到P (65,−4√35)或P (65,4√35).所以直线PQ 的斜率为±√3，即可求解．22.【答案】解：(1)由椭圆C:x 2a 2+y2b 2=1的离心率为12，右焦点与右准线的距离为3，得c a =12，a 2c−c =3，解得c =1，a =2，所以b 2=a 2−c 2=3，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，四边形OAQB 是平行四边形时OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 当直线I 的斜率不存在时，直线l 过原点O ，此时OAB 三点共线，不符合题意：当直线I 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =k +1，与椭圆方程联立有{y =kx +1,x 24+y 23=1,所以x 24+(kx+1)23=1，即(3+4k 2)x 2+8kx −8=0，所以△>0，x 1+x 2=−8k3+4k 2，所以y 1+y 2=63+4k 2，将Q(x 1+x 2,y 1+y 2)的坐标代入椭圆方程得(−8k3+4k 2)24+(63+4k 2)23=1，化简得k 2=14，所以k =±12，符合题意，所以Q 的坐标是(1,32)，(−1,32).【解析】本题考查了椭圆的标准方程及性质，考查了直线与椭圆的位置关系． (1)由离心率及右焦点F 到右准线的距离为3及a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的方程； (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，设直线l 的方程为y =k +1，与椭圆方程联立消去y 后结合韦达定理可得x 1+x 2，y 1+y 2，结合点Q(x 1+x 2,y 1+y 2)在椭圆上可解得k 的值，故可得Q 的坐标．23.【答案】解：(1)由题意2a =4，∴a =2，∴ca =√32，∴c =√3，b 2=a 2−c 2=1，∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，把y =kx +2代入x 24+y 2=1，得(4k 2+1)x 2+16kx +12=0，Δ=(16k)2−4×12×(4k 2+1)=64(k 2−3)>0，即k 2>3， ∴x 1+x 2=−16k 1+4k 2，x 1x 2=121+4k 2，∵∠AOB 为直角，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0， ∴x 1x 2+(kx 1+2)(kx 2+2)=0，即(k 2+1)x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4=0， ∴12(k 2+1)1+4k 2−32k 21+4k 2+4=0，∴−4k 2+16=0，∴k 2=4，∴x 1+x 2=−16k1+4k 2=±3217，x 1x 2=121+4k 2=1217，∴|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√5⋅√(3217)2−4817=4√6517，故|AB|的长度4√6517．【解析】本题考查了椭圆方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，属于中档题．(1)根据离心率和长轴长，可得a ，b ，然后即可写出椭圆方程；(2)联立直线与椭圆，利用韦达定理以及∠AOB =90°，求出k.再用弦长公式求出弦长|AB|．24.【答案】解：(1)由椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3.得{e =c a =12,a 2c −c =3解得{a =2,c =1所以b 2=a 2−c 2=3，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，因为OAQB 为平行四边形，所以OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则Q(x 1+x 2,y 1+y 2)，当直线l 的斜率不存在时，直线l 过原点O ，此时O 、A 、B 三点共线，不符合题意：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx +1，与椭圆方程联立有{y =kx +1,x 24+y 23=1,所以x 24+(kx+1)23=1，即(3+4k 2)x 2+8kx −8=0，所以△>0，x 1+x 2=−8k3+4k 2，所以y 1+y 2=63+4k 2，将Q(x 1+x 2,y 1+y 2)的坐标代入椭圆方程得(−8k3+4k 2)24+(63+4k 2)23=1，化简得k 2=14，所以k =±12，符合题意，所以Q 的坐标是(±1,32).【解析】本题考查了椭圆的标准方程及性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于较难题．(1)由离心率及右焦点F 到右准线的距离为3及a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的方程； (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，设直线l 的方程为y =kx +1，与椭圆方程联立消去y 后结合韦达定理可得x 1+x 2，y 1+y 2，结合点Q(x 1+x 2,y 1+y 2)在椭圆上可解得k 的值，故可得Q 的坐标．25.【答案】解：(1)记椭圆E 的焦距为2c(c >0).因为右顶点A (a , 0)在圆C 上，右准线x =a 2c与圆C ：(x −3)2+y 2=1相切．所以{(a −3)2+02=1 , | a 2c−3 |=1 ,解得{a =4 ,c =8,(舍去) { a =2 ,c =1 ．于是b 2=a 2−c 2=3，所以椭圆方程为：x 24+y 23=1．(2)法1：设N (x N , y N ) , M (x M , y M )，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y =k (x −2)．由方程组 {y =k (x −2) , x 24+y 23=1消去y 得，(4k 2+3)x 2−16k 2x +16k 2−12=0．所以x N ⋅2=16k 2−124k 2+3，解得x N =8k 2−64k 2+3. 由方程组{ y =k (x −2) ,(x −3)2+y 2=1 ,消去y 得(k 2+1)x 2−(4k 2+6)x +4k 2+8=0 , 所以x M ⋅2=4k 2+8k 2+1，解得x M =2k 2+4k 2+1．因为AN =127AM ，所以2−x N =127(x M −2)．即124k 2+3=127⋅21+k 2，解得 k =±1，所以直线l 的方程为x −y −2=0或 x +y −2=0．法2：设N (x N , y N ) , M (x M , y M )，当直线l 与x 轴重合时，不符题意．设直线l 的方程为：x =ty +2 (t ≠0)．由方程组{x =ty +2 , x 24+y 23=1消去x 得，(3t 2+4)y 2+12ty =0，所以y N =−12t3t 2+4 ，由方程组 {x =ty +2 ,(x −3)2+y 2=1消去x 得(t 2+1)y 2−2ty =0，所以y M =2tt 2+1，因为AN =127AM ，所以y N =−127y M ，即−12t3t 2+4=−127⋅2t t 2+1，解得 t =±1，所以直线l 的方程为x −y −2=0或 x +y −2=0．【解析】本题主要考查了椭圆的概念及标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系及判定，直线的一般式方程，考查学生的计算能力和推理能力，属于较难题． (1)记椭圆E 的焦距为2c ，根据题意可知{ (a −3)2+02=1 ,| a 2c −3 |=1 ,从而即可得a ，c 的值，进而求得椭圆E 的方程．(2)法1：设N (x N , y N ) , M (x M , y M )且直线l 的方程为：y =k (x −2)，从而联立直线和椭圆方程消去y 后可得x N =8k 2−64k 2+3，同理联立直线和圆可得x M =2k 2+4k 2+1，再根据AN =127AM 即可求得k 的值，从而求得直线l 的方程．法2：设N (x N , y N ) , M (x M , y M )且设直线l 的方程为：x =ty +2 (t ≠0)，联立直线和椭圆方程消去x 可得y N =−12t3t 2+4，再联立直线和圆可得y M =2tt 2+1，从而据AN =127AM 即可求得t 的值，从而求得直线l 的方程．26.【答案】解：(1)由椭圆C:x 2a 2+y2b 2=1的离心率为12，右焦点与右准线的距离为3，得c a =12，a 2c−c =3，解得c =1，a =2，所以b 2=a 2−c 2=3，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，四边形OAQB 是平行四边形时OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 当直线I 的斜率不存在时，直线l 过原点O ，此时OAB 三点共线，不符合题意：当直线I 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =k +1，与椭圆方程联立有{y =kx +1,x 24+y 23=1,所以x 24+(kx+1)23=1，即(3+4k 2)x 2+8kx −8=0，所以△>0，x 1+x 2=−8k3+4k 2，所以y 1+y 2=63+4k 2，将Q(x 1+x 2,y 1+y 2)的坐标代入椭圆方程得(−8k3+4k 2)24+(63+4k 2)23=1，化简得k 2=14，所以k =±12，符合题意，所以Q 的坐标是(±1,32).【解析】本题考查了椭圆的标准方程及性质，考查了直线与椭圆的位置关系． (1)由离心率及右焦点F 到右准线的距离为3及a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的方程； (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，设直线l 的方程为y =k +1，与椭圆方程联立消去y 后结合韦达定理可得x 1+x 2，y 1+y 2，结合点Q(x 1+x 2,y 1+y 2)在椭圆上可解得k 的值，故可得Q 的坐标．27.【答案】解：(1)设椭圆E 焦距为2c ，则2c =|F 1F 2|=2√2，所以c 2=a 2−b 2=2， ① 又点(√3,√2)在椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1上，所以3a 2+2b 2=1，②联立①②解得{a 2=6b 2=4或{a 2=1b 2=−1(舍去)，所以椭圆E 的方程为x 26+y 24=1；(2)设椭圆E 焦距为2c ，则F 1(−c,0)，F 2(c,0)，将x =a2代入x 2a 2+y 2b 2=1，得y 2=3b24，不妨设点P 在x 轴上方，故点P 坐标为(a2,√3b2)，又点M 为PF 1中点，故点M 坐标为(a−2c 4,√3b4)，所以F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a−6c 4,√3b 4)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a 2,√3b2)，由，得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即a−6c 4⋅a2+√3b4⋅√3b 2=0，化简得a 2−6ac +3b 2=0，将b 2=a 2−c 2代入得3c 2+6ac −4a 2=0，即3(ca )2+6⋅ca −4=0，所以3e 2+6⋅e −4=0，解得e =−1±√213，因为e ∈(0,1)，所以椭圆E 的离心率为e =√213−1．【解析】本题考查向量的数量积、椭圆的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系，为基础题．(1)把点(√3,√2)代入椭圆方程，求出a ，b ，即可求出结果； (2)将x =a2代入x 2a2+y 2b 2=1，得出点P 坐标为(a 2,√3b2)，得出点M 的坐标和相应向量的坐标，利用数量积，即可求出结果．28.【答案】解：(1)因为l ⊥x 轴，所以F 2(√2,0)，由题意可得{2a 2+1b 2=1a 2−b 2=2，解得{a 2=4b 2=2,∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1．(2)直线BF 2的方程为y =x −√2．由{y =x −√2x 24+y 22=1得点N 的纵坐标为√23．又| F 1F 2 |=2√2， ∴S △F 1BN =12×(√2+√23)×2√2=83．【解析】本题考查求椭圆的方程，三角形的面积，是直线与椭圆位置关系，属于基础题(1)由题意可得F 2(√2,0)，进而得到{2a 2+1b 2=1a 2−b 2=2，求解即可得到椭圆C 的方程；(2)根据题意可得直线BF 2的方程为y =x −√2.联立直线方程和椭圆方程即可得到N 的纵坐标为√23.再根据| F 1F 2 |=2√2和三角形的面积公式即可得解．29.【答案】解：(1)设椭圆的半焦距长为c ，∴{ c a =121a 2+94b 2=1, 又∵a 2=b 2+c 2，∴{a =2b =√3，∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)设直线DE 的方程为x =ky −1，D(x 1,y 1)，E(x 2,y 2)，，联立{x =ky −13x 2+4y 2=12⇒3(ky −1)2+4y 2=12 ∴(3k 2+4)y 2−6ky −9=0 ∴{y 1+y 2=6k3k 2+4 ①y 1y 2=−93k 2+4 ②y 2=−37y 1 ③,由①③得{y 1=21k2(3k 2+4)y 2=−9k 2(3k 2+4)代入 ②21⋅9⋅k 24(3k 2+4)2=93k 2+4⇒k =±43综合图象知k =43∴l 的方程为3x −4y +3=0【解析】本题考查了椭圆的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系和圆锥曲线中的面积问题，是中档题．(1)由离心率为12和(1,32)在椭圆上，再结合a 2=b 2+c 2，可得a 、b ，从而得出椭圆方程；(2)设直线DE 的方程为x =ky −1，由ΔAEF 与ΔBDF 的面积比为1:7，可得y 2y 1=−37，直线DE与椭圆联立，计算可得k的值，即可得出直线l的方程．30.【答案】解：(1)因为椭圆焦点坐标为F1(−√3,0),F2(√3,0)，且过点P(−√3,12)，所以2a=PF1+PF2=12+√494=4，所以a=2，从而b=√a2−c2=√4−3=1，故椭圆的方程为x24+y2=1；(2)设点M(x0,y0)(0<x0<2,0<y0<1)，C(m,0)，D(0,n)，因为A(−2,0)，且A，D，M三点共线，所以y0x0+2=n2，解得n=2y0x0+2，所以BD=1+2y0x0+2=x0+2y0+2x0+2，同理得AC=x0+2y0+2y0+1，因此，S ABCD=12AC⋅BD=12⋅x0+2y0+2x0+2⋅x0+2y0+2y0+1=(x0+2y0+2)2 2(x0+2)(y0+1)=x02+4y02+4x0y0+4x0+8y0+42(x0y0+x0+2y0+2)，因为点M(x0,y0)在椭圆上，所以x024+y02=1，即x02+4y02=4，代入上式得：S ABCD=4x0y0+4x0+8y0+82(x0y0+x0+2y0+2)=2，∴四边形ABCD的面积为2．【解析】本题考查的是椭圆的标准方程和计划意义，直线与椭圆的位置关系，属于较难题．(1)由2a=PF1+PF2=12+√494=4得到a，再由焦点坐标可得到c，利用b=√a2−c2，即可得到b，从而得到椭圆E的标准方程；(2)设点M(x0,y0)(0<x0<2,0<y0<1)，C(m,0)，D(0,n)，A，D，M三点共线，所以y0x0+2=n2，从而得到BD=1+2y0x0+2=x0+2y0+2x0+2，AC=x0+2y0+2y0+1，由S ABCD=12AC⋅BD，即可得到四边形ABCD的面积．。

高三椭圆复习课

工程学
椭圆在工程学中有着广泛的应用。例如，在桥梁设计中，设计师经常使用椭圆来设计桥墩和支撑结构，以增加桥梁的强度和稳定性。
03
物理学
在物理学中，椭圆有时被用来描述带电粒子在磁场中的运动轨迹。当
带电粒子在磁场中受到洛伦兹力的作用时，它的运动轨迹就是一个椭
圆。
与科技相关的椭圆应用
计算机图形学
在计算机图形学中，椭圆被用来制作各种形状和图案，如标志、图标、背景等。同时，椭圆的算法也被广泛应用于图像处理和计算机视觉领域。
与函数、不等式等知识综合考查
与函数知识综合
椭圆的一些性质和考点可以与函数知识进行结合，如椭圆的参数方程和函数的性质类似，考生需要掌握椭圆的参数方程并能够求解一些参数的范围等。
与不等式知识综合
椭圆的一些性质和考点也可以与不等式知识进行结合，如距离的最值问题、范围问题等，考生需要掌握一些不等式的性质和证明方法，如基本不等式、柯西不等式等。
高三椭圆复习课
xx年xx月xx日
目录
• 椭圆的定义和性质 • 高考试卷中椭圆的常考题型 • 椭圆的数学文化与实际应用 • 高考中椭圆的考点分析 • 复习椭圆的策略和方法
01
椭圆的定义和性质
椭圆的定义
椭圆的概念
椭圆是一种二次曲线，定义为平面上到两个定点(F1和F2)的距离之和等于常数(常数大于|F1F2|)的点的轨迹。
03
椭圆的数学文化与实际应用
椭圆的数学历史
椭圆的概念和定义
椭圆是一种二次曲线，由平面上的一个定点(焦点)和一条不通过该定点且与该平面相交的直线(准线)所决定。
椭圆的发现和证明
椭圆在数学中有着悠久的历史，古希腊数学家海伦和阿波罗尼奥斯是研究椭圆的重要先驱。海伦发现了椭圆的面积公式，而阿波罗尼奥斯则证明了椭圆的基本性质。

椭圆高考考点梳理及高考真题分类解析

椭圆高考考点梳理及真题分类突破一、高考考点梳理（一）、椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数.1．若a＞c，则集合P为椭圆；2．若a＝c，则集合P为线段；3．若a＜c，则集合P为空集.（二）、椭圆的标准方程和几何性质－a≤x≤a －b≤y≤b－b≤x≤b －a≤y≤a二、历年高考真题题型分类突破题型一椭圆的定义与标准方程【例1】（2019国Ⅰ卷）已知椭圆C的焦点为FF2（1，0），过1（﹣1，0），F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1 B．+＝1C．+＝1 D．+＝1解析：∵|AF2|＝2|BF2|，∴|AB|＝3|BF2|，又|AB|＝|BF1|，∴|BF1|＝3|BF2|，又|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|＝，∴|AF2|＝a，|BF1|＝a，在Rt△AF2O中，cos∠AF2O＝，在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1＝，根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1＝0，可得+＝0，解得a2＝3，∴a＝．b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2．所以椭圆C 的方程为：+＝1．故选B.【例2】（2018国Ⅱ卷）已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1=600，则C 的离心率为( )A ．1- 32B ．2- 3C ．3-12D ．3-1解析：依题设| PF 1|=c,| PF 2|=3c,由| PF 1|+| PF 2|=2a 可得c+3c=2a ，所以e=3-1,故选D .题型二椭圆的几何性质【例3】（2018国Ⅰ卷）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( ) A ．13B ．12C ．22D ．223解析： ∵ c=2，4=a 2-4 ∴a=2 2 ∴e=22.故选C . 【例4】（2017国Ⅰ卷）设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1][9,)+∞ B ．(0,3][9,)+∞ C ．(0,1][4,)+∞D ．(0,3][4,)+∞解析：(1).假设椭圆的焦点在x 轴上，则0＜m ＜3时，设椭圆的方程为：（a ＞b ＞0），设A （﹣a ，0），B （a ，0），M （x ，y ），y ＞0，则a 2﹣x 2=，∠MAB=α，∠MBA=β，∠AMB=γ，tanα=，tanβ=，则tanγ=tan[π﹣（α+β）]=﹣tan（α+β）=﹣=﹣=﹣=﹣=﹣，∴tanγ=﹣，当y最大时，即y=b时，∠AMB取最大值，∴M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO=≥tan60°=，解得，0＜m≤1；(2).当椭圆的焦点在y轴上时，m＞3，当M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO=≥tan60°=，解得：m≥9，∴m的取值范围是（0，1]∪[9，+∞），故选A．题型三直线与椭圆的综合问题【例5】（2017国Ⅲ卷）已知椭圆)0(,1:2222>>=+b a by a x C 的左、右顶点分别为21,A A ，且以线段21A A 为直径的圆与直线02=+-ab ay bx 相切，则C 的离心率为（）A36 B 33 C 32 D 31解析：由题意可得：22)(200a b ab a b a -++⋅-⋅=得223b a =又222c a b -= 所以)(3222c a a -= 则36=e 故选A .。

2012年高考试题分类考点40 椭圆

考点40 椭圆一、选择题1.（2012·浙江高考文科·Ｔ8）如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点.若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（）【解题指南】分别设出椭圆与双曲线的方程,根据其焦点相同和M ，O ，N 将椭圆长轴四等分得出离心率之间的关系.【解析】选Ｂ.设双曲线的方程为椭圆的方程为由于M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，所以212a a =，又1212,c ce e a a ==，所以12212e a e a ==.2.（2012·江西高考文科·Ｔ8）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（）(A)14 (B) （C ）12【解题指南】由|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列建立a ，c 的方程，转化为离心率e ，解方程得e.【解析】选B. 因为A ，B 为左、右顶点，12,F F 为左、右焦点，所以1AF a c=-，122F F c=，成等比数列，所以()()24,a c a c c +-=即225a c =，所以离心率e =.3.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ4）与（2012·新课标全国高考理科·Ｔ4）相同设F 1,F 2是椭圆E ：的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（）(A)12 (B)23 (C)34 (D)45【解题指南】根据题意画出图形，寻求a ，c 所满足的数量关系，求得离心率. 【解析】选C.设直线32ax =与x 轴交于点M ，则260PF M ∠=︒，在2Rt PF M ∆中，2122PF F F c ==，232a F M c =-，故22312c o s 6022a cF M PF c -︒===，解得34c a =，故离心率34e =.二、填空题4.（2012·江西高考理科·Ｔ13）椭圆22221x y a b += ()0a b >>的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是12,F F ，若成等比数列，则此椭圆的离心率为_______.【解题指南】由|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列建立a ，c 的方程，转化为关于离心率e 的方程，解方程得e.【解析】A 、 A ，B 为左右顶点，12,F F 为左右焦点，所以1AF a c=-，122F F c=，1BF a c=+，又因为成等比数列，所以()()24a c a c c -+=，即225a c =，所以离心率5c e a ==【答案】三、解答题5.（2012·广东高考理科·Ｔ20）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =椭圆C 上的点到点Q （0，2）的距离的最大值为3. （1）求椭圆C 的方程.（2）在椭圆C 上，是否存在点M （m,n ）使得直线l ：mx+ny=1与圆O ：x 2+y 2=1相交于不同的两点A ，B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应△OAB 的面积；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意得∴a 2=3b 2，∴x 2+3y 2=3b 2.P 为椭圆上一点，PQ ===若b ≥1,y ∈[-b,b],∴当y=-1时，max PQ 3.==∴b 2=1,b=1. 若0<b<1,则当y=-b 时，max PQ 3,=无解.∴b=1.又a 2=b 2+c 2,a 2=3b 2,∴椭圆C 的方程为2213x y +=.(2)假设存在，设原点到直线:1l mx ny +=的距离为d,则d =，||AB ==1||2OABS AB d ∆∴==,(,)M m n 在椭圆上，22221133m m n n ∴+==-即，21213OABS m ∆∴=≤=+，当且仅当2213m =,即2231,22m n ==，∴点()()2222M M ∴±±-或此时max 1()2AOB S ∆=.显然存在这样的点M 的坐标为使AOB S ∆最大，最大值为12.6.（2012·广东高考文科·Ｔ20）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C :22221x y a b +=（0a b >>）的左焦点为1(1,0)F -,且点(0,1)P 在1C 上. （1）求椭圆1C 的方程.（2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C :24y x =相切，求直线l 的方程.【解题指南】(1)根据题意可知1,1c b ==，从而可解出a 的值，问题得解. （2）由题意得直线的斜率一定存在且不为0，设出直线方程，分别与椭圆方程和抛物线方程联立，根据直线与椭圆和抛物线相切时满足判别式等于0，可求得直线l 的方程.【解析】（1）由题意得1,1,c b a ====, 椭圆1C 的方程为2212x y +=.(2) 由题意得：直线的斜率一定存在且不为0，设直线l 的方程为y kx m =+因为椭圆C 1的方程为2212x y +=，消去y 得222(12)4220k x kmx m +++-= ∵直线l 与椭圆1C 相切，2222164(21)(22)0k m k m ∴∆=-+-=.即22210(1)k m -+= ① 直线l 与抛物线2C :24y x =相切，则消去y 得222(24)0k x km x m +-+=，即1(2)km = ②. 由①②解得所以直线l 的方程为7.（2012·陕西高考文科·Ｔ20）与（2012·陕西高考理科·Ｔ19）相同已知椭圆1C :2214x y +=，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率.（1）求椭圆2C 的方程. （2）设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆1C 和2C 上，2OB OA =，求直线AB 的方程.【解析】（1）由已知可设椭圆C 2的方程为22214y x a +=（2a >）=4a =，故椭圆C 2的方程为221164y x +=.（2）（方法一）A ，B两点的坐标分别记为(,)A A x y ，(,)B B x y ，由2OB OA = 及（1）知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y kx =，将y kx =代入椭圆方程2214x y +=中，得22(14)4k x +=，所以22414A x k =+，将y kx =代入221164y x +=中，得22(4)16k x +=，所以22164Bx k =+，又由2OB OA = 得224B A x x =，即221616414k k =++，解得1k =±，故直线AB 的方程为y x =或y x =-. （方法二）A ，B两点的坐标分别记为(,)A A x y ，(,)B B x y ，由2OB OA =及（1）知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y kx =，将y kx =代入椭圆方程2214x y +=中，得22(14)4k x +=，所以22414A x k =+，由2OB OA =得将22,B B x y 代入椭圆C 2的方程221164y x +=中，得224114k k +=+，即22414k k +=+，解得1k =±，故直线AB 的方程为y x =或y x =-.。

(完整版)高考椭圆几种题型

高考椭圆几种题型― 引言在高考之中占有比较重要的地位，并且占的分数也多。

分析历年的高考试题，在选择题，填空题，大题都有椭圆的题。

所以我们对知识必须系统的掌握。

对各种题型，基本的解题方法也要有一定的了解。

二椭圆的知识（一）、定义1 平面内与与定点F 1、F 2的距离之和等于定长2a （2a>|F 1F 2｜）的点的轨迹叫做椭圆，其中F 1、F 2称为椭圆的焦点，｜F 1F 2|称为焦距。

其复数形式的方程为｜Z-Z 1|+｜ Z —Z 2|=2a （2a>｜Z 1—Z 2|）2一动点到一个定点F 的距离和它到一条直线的距离之比是一个大于0小于1的常数，则这个动点的轨迹叫椭圆，其中F 称为椭圆的焦点，l 称为椭圆的准线。

(二）、方程1中心在原点，焦点在x 轴上:)0(12222>>=+b a b y a x2中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12222>>=+b a bx a y3 参数方程：⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x4 一般方程：)0,0(122>>=+B A By Ax （三）、性质1 顶点：),0(),0,(b a ±±或)0,(),0(b a ±±2 对称性：关于x ，y 轴均对称，关于原点中心对称.3 离心率:)1,0(∈=ace 4 准线ca y c a x 22=±=或5 焦半径:设),(00y x P 为)0(12222>>=+b a b y a x 上一点，F 1、F 2为左、右焦点，则01ex a PF +=，02ex a PF -=;设),(00y x P 为)0(12222>>=+b a bx a y 上一点，F 1、F 2为下、上焦点，则01ex a PF +=,02ex a PF -=。

三椭圆题型（一)椭圆定义 1.椭圆定义的应用例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，椭圆的标准方程为：11422=+y x ；（2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，椭圆的标准方程为：116422=+y x ；说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况．例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ,求k 的值．分析:分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由21=e ，得4=k ．当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ,82+=k b ，得k c -=12．由21=e ，得4191=-k ,即45-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上,也可能在y 轴上．故必须进行讨论．例3 已知方程13522-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围．解：由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ，且4≠k ．∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ,且4≠k ．说明：本题易出现如下错解：由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ,故k 的取值范围是53<<k ．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆．例4 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆,求α的取值范围．分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．解：方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>-αα．因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈．说明：（1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α，0cos 1>-α，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，αsin 12=b ．（3）求α的取值范围时,应注意题目中的条件πα<≤0例5 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切,求动圆圆心P 的轨迹方程．分析：关键是根据题意,列出点P 满足的关系式．解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径,即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4,半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程：171622=+y x ．说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．2。

2013年高考真题分类汇编：考点40 椭圆 Word版含解析

考点40 椭圆一、选择题1. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ5）设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为（）A.6 B.13 C.12 D.3【解题指南】利用已知条件解直角三角形，将12,PF PF 用半焦距c 表示出来，然后借助椭圆的定义，可得a,c 的关系，从而得离心率. 【解析】选D. 因为21212,30PF F F PF F ⊥∠=,所以2122tan 30,PF c PF ===。

又122PF PF a +==，所以c a ==即椭圆的离心率为3，选D. 2.(2013·大纲版全国卷高考理科·T8)椭圆C:13422=+y x 的左、右顶点分别为1A ,2A ,点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是 ( )A.1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B.3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D.314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解题指南】将),(00y x P 代入到13422=+y x 中,得到0x 与0y 之间的关系,利用1PA k 2PA k ⋅为定值求解2PA k 的取值范围.【解析】选B.设),(00y x P ，则2200143+=x y ，2002-=x y k PA ，2001+=x yk PA1PA k 22222003334444-?==---PA x y k x x ，故1PA k 2143PA k -=.因为]1,2[2--∈PA k ,所以]43,83[1∈PA k 3. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ8）已知F 1（-1,0）,F 2（1,0）是椭圆C 的两个焦点,过F 2且垂直于x 轴的直线交于A,B 两点,且=3,则C 的方程为 ( )A.2212x y += B.22132x y += C.22143x y += D.22154x y += 【解题指南】由过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦点且垂直x 轴的通径为a b 22求解.【解析】选 C.设椭圆得方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，由题意知232=a b ，又1222=-=b a c ，解得2=a 或21-=a （舍去），而32=b ，故椭圆得方程为13422=+y x .4. （2013·四川高考文科·Ｔ9）从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且//AB OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）A.12C.【解题指南】本题主要考查的是椭圆的几何性质，解题时要注意两个条件的应用，一是1PF 与x 轴垂直，二是//AB OP【解析】选C ，根据题意可知点P 0(,)c y ，代入椭圆的方程可得222202b c y b a=-，根据//AB OP ，可知11PF BO F O OA=，即0y b c a =，解得0bc y a =，即2222222b c b c b a a -=，解得2c e a ==，故选C. 5. （2013·广东高考文科·Ｔ9）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是（）A ．14322=+y xB ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 【解题指南】本题考查圆锥曲线中椭圆的方程与性质，用好,,,a b c e 的关系即可.【解析】选D.设C 的方程为222210x y a b a b+=>>，（），则11,,2,32c c e a b a =====，C 的方程是13422=+y x .6. （2013·辽宁高考文科·Ｔ11）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A,B 两点,连接AF,BF. 若|AB|=10,|BF|=8,cos ∠ABF=45,则C 的离心率为 ( )A.35B.57C.45D.67【解题指南】由余弦定理解三角形，结合椭圆的几何性质（对称性）求出点到右焦点的距离，进而求得,a c【解析】选B.在三角形ABF 中，由余弦定理得2222cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠,又410,8,cos 5AB BF ABF ==∠=解得 6.AF =在三角形ABF 中，2222221086AB BF AF ==+=+，故三角形ABF 为直角三角形.设椭圆的右焦点为F '，连接,AF BF '',根据椭圆的对称性，四边形AFBF '为矩形，则其对角线10,FF AB '==且8BF AF '==，即焦距210,c =又据椭圆的定义，得2AF AF a '+=，所以26814a AF AF '=+=+=.故离心率25.27c c e a a === 二、填空题7.(2013·江苏高考数学科·T12) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为【解题指南】利用126d d =构建参数a,b,c 的关系式. 【解析】由原点到直线BF 的距离为1d 得1bcd a=，因F 到l 的距离为2d 故22a d c c =-，又126d d =所以222221a c a c e c -=⇒-=⇒-=又b a =e =【答案】8.（2013·上海高考文科·T12）与（2013·上海高考理科·T9）相同设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4π=∠CBA .若AB=4，BC=2，则Γ的两个焦点之间的距离为 .【解析】如图所示，以AB 的中点O 为坐标原点,建立如图所示的坐标系.)1,1(3,1,145,2,4,C AD DB CD CBA BC AB AB CD AB D ⇒===⇒︒=∠==⊥上，且在设38,34,111)11(,422222222==⇒+==+=⇒c b c b a b a C a 代入椭圆标准方程得，把6342=⇒c 【答案】634.9.(2013·福建高考文科·T15) 与（2013·福建高考理科·Ｔ14）相同椭圆Γ: 22221(0)+=>>x y a b a b的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2c.若直线y=)+x c 与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1,则该椭圆的离心率等于 . 【解题指南】22cce aa==,而2c 是焦距,2a 是定义中的|PF 1|+|PF 2|=2a,因此,如果题目出现焦点三角形(由曲线上一点连接两个焦点而成),求解离心率,一般会选用这种定义法: 1212||||||F F e PF PF =+.【解析】∠MF 1F 2是直线的倾斜角,所以∠MF 1F 2=60°,∠MF 2F 1=30°,所以△MF 2F 1是直角三角形,在Rt △MF 2F 1中,|F 2F 1|=2c,|MF 1|=c,|MF 2|=,所以122212||||c c e a MF MF ====+. 【答案】1.10. （2013·辽宁高考理科·Ｔ15）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于,A B 两点，连接,.AF BF 若410,6,cos 5AB AF ABF ==∠=，则C 的离心率____.e = 【解题指南】由余弦定理解三角形，结合椭圆的几何性质（对称性）求出点A 到右焦点的距离，进而求得,a c .【解析】在三角形ABF 中，由余弦定理得2222cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠,又410,6,cos 5AB AF ABF ==∠=，解得8.BF =在三角形ABF 中，2222221086A B B FA F ==+=+，故三角形ABF 为直角三角形。

2013届高考北师大版数学总复习课件：9.5椭圆

[答案] A
[解析] ∵△ ABF2 是正三角形，∴ |AF2|＝ 2|AF1|. 又∵ |AF2|＋ |AF1|＝ 2a 且 3|AF1|＝ |F1F2|， 2 a 2 3 1 ∴|AF1|＝ a.又 |F1F2|＝ 2c，∴ ＝， 3 2c 3 c 3 ∴ e＝＝ . a 3
4． (2010· 广东文)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ( 4 A. 5 2 C. 5 3 B. 5 1 D. 5 )
7．求以坐标轴为对称轴，一焦点为(0,5 2)，且截直线 y＝ 1 3 x－2 所成弦的中点的横坐标为的椭圆方程． 2
x2 y2 [解析] 根据题意设所求椭圆的方程为 2＋ 2＝1(a> b>0)． b a ∵c＝5 2，∴a2＝b2＋50. y＝3x－2 2 由x y2 ，消去 y 得＝1 2＋ 2 b b ＋50
[答案] C x2 y2 [解析] 化为＋＝1， 1 1 － sinα cos α 1 1 ∴－ > >0，故选 C. cos α sinα
3．(2012· 合肥质检)已知 F1，F2 是椭圆的两个焦点，过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点，若△ABF2 是正三角形，则这个椭圆的离心率为( 3 A. 3 2 C. 2 2 B. 3 3 D. 2 )
(理 )设 0≤ α<2π，若方程 x2sinα－ y2cosα＝ 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 α 的取值范围是(
3π 7π A. 0， ∪ ， 2π 4 4 π 3π C. ， 4 2
)
π 3π B. ， 4 2 3π 3π D. ， 2 4
x2 y2 1 6．(教材改编题)若椭圆＋＝1 的离心率为，则实数 m＝ 2 m 2 ________.

2009-2013年高考概率椭圆三角函数大题汇总

2013 17 △ABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB ．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值2012 17（2012•黑龙江）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C +3a sin C −b −c ＝0 （1）求A ；2011 17等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1+3a 2=1，a 32=9a 2a 6，（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ，求数列2010 17设数列满足a 1=2，a n+1-a n =3•22n-1 （1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =na n ，求数列的前n 项和S n2009 19．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，S n+1=4a n +2（n ∈N *）．（1）设b n =a n+1-2a n ，证明数列{b n }是等比数列；（2）求数列{a n }的通项公式．2009 18 如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1．（Ⅰ）证明：AB=AC ；（Ⅱ）设二面角A-BD-C 为60°，求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小．2010 18．如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高，E 为AD 中点（1）证明：PE ⊥BC（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值．2011 18．如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD ，PD ⊥底面ABCD ．（Ⅰ）证明：PA ⊥BD ；（Ⅱ）若PD=AD ，求二面角A-PB-C 的值．＝BC ＝（2）求二面角A 1-BD-C 1的大小．2013 18．如图，直棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别是（Ⅰ）证明：BC 1∥平面A 1CD（Ⅱ）求二面角D-A 1C-E 的正弦值2009某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的数学期望．n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828（1）估计该地区老人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．2，94≤t＜1024，t≥102从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）（2012•黑龙江）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）（2013课标全国Ⅱ）19(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的数学期望．2009 21．已知椭圆C ：2282BY AX +=1 (a ＞b ＞0) 离心点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OB OA OP +=成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由．2010 20 设F 1，F 2分别是椭圆E ：2282BY AX +＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1斜率为1的直线ℓ与E相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列．（1）求E 的离心率；（2）设点P （0，-1）满足|PA|=|PB|，求E 的方程2011 20．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，-1），B 点在直线y=-3上，M 点满足MB ∥OA ，AB MA ⋅=BA MA ⋅ M 点的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值．2012 20．设抛物线C ：x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ∈C ，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD 的面积为4值及圆F 的方程；（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m，n 距离的比值．201320．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：2282BY AX +2009 22．设函数f （x ）=x 2+aln （1+x ）有两个极值点x 1、x 2，且x 1＜x 2，2010 21．设函数f （x ）=e x -1-x-ax 2．（1）若a=0，求f （x ）的单调区间；（2）若当x ≥0时f （x ）≥0，求a 的取值范围．2013 21．已知函数f （x ）=e x -ln （x+m ）（Ι）设x=0是f （x ）的极值点，求m ，并讨论f （x ）的单调性；（Ⅱ）当m ≤2时，证明f （x ）＞0．2010 23．已知直线C 12011 23．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为x ＝2cos αy ＝2+2sin α（α为参数）M是C 1上的动点，P 点满足om 2op ==2012 23．选修4-4；坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程是x ＝2cos ϕy ＝3sin ϕ(ϕ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为2013 23．选修4--4；坐标系与参数方程已知动点P ，Q 都在曲线C ： x ＝2cos βy ＝2sin β(β为参数)上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π），M 为PQ 的中点．（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为a 的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．2010 24．设函数f （x ）=|2x-4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f （x ）的图象：（Ⅱ）若不等式f （x ）≤ax 的解集非空，求a 的取值范围．2011 24．选修4-5：不等式选讲设函数f （x ）=|x-a|+3x ，其中a ＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f （x ）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f （x ）≤0的解集为{x|x ≤-1}，求a 的值．2012 24已知函数f （x ）=|x+a|+|x-2|（1）当a=-3时，求不等式f （x ）≥3的解集；（2）若f （x ）≤|x-4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．2013 24设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明：（Ⅰ）ab +bc +ca ≤31x ＝1+t cos α y ＝t sin α。

高考数学总复习40椭圆

0
,
9 b2
1,b
3.
又2a 3 2b,a 9.
所以此时椭圆的方程为 y2 x2 1. 81 9
综上所述, 所求椭圆的方程为
x2 y2 1或 y2 x2 1.
9
81 9
2设椭圆的标准方程为mx2 ny2 1m 0, n 0,因为椭
圆经过点P 2 3,1 ,Q
3, 2
b a
, b
c, 故e
2. 2
2设 F1Q r1, F2Q r2, F1QF2 ,
r1 r2 2a,| F1F2 | 2c,
cos r12 r22 4c2 (r1 r2 )2 2r1r2 4c2
2r1r2
2r1r2
a2 r1r2
1≥
r1
a2
r2 2
2
1
0,
当且仅当r1 r2时, cos 0,
第四十讲椭圆
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1.椭圆的定义
(1)定义:平面内两定点为F1､F2,当动点P满足条件点P到点F1､ F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)时,P点的轨迹为椭圆 ;F1､F2是椭圆的两个焦点.
(2)定义的数学表达式为:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|). (3)注意:定义中,“定值大于|F1F2|”(即2a>2c)是必要条件.
86
25 25
[反思感悟]在求椭圆的标准方程时, 会遇到焦点位置不确定而有两种结果的情况, 这时应注意分类讨论.由于分类讨论较复杂,因此在处理椭圆焦点位置不确定的情况时, 有
时可直接设椭圆方程为Ax2 By2 1A 0, B 0,或由已
知条件设椭圆系
如
x2 a2
y2 b2

高考椭圆大题专题分类

高考椭圆大题专题分类一、求椭圆的方程以及面积1．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)． (1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积．解析 (1)由已知得c ＝22，c a ＝63.解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)， AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m4. 因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB . 所以PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2. 此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0. 所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3，2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.2．(2013·烟台一模)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上两点，已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1b ，y 1a ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2b ，y 2a ，若m·n ＝0且椭圆的离心率e ＝32，短轴长为2，O 为坐标原点． (1)求椭圆的方程；(2)△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．解析 (1)∵2b ＝2，∴b ＝1，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32.∴a ＝2，c ＝ 3.∴椭圆的方程为y 24＋x 2＝1. (2)①当直线AB 的斜率不存在，即x 1＝x 2时， y 1＝－y 2，由m·n ＝0得x 21－y 214＝0，∴y 21＝4x 21.又A (x 1，y 1)在椭圆上，∴x 21＋4x 214＝1，∴|x 1|＝22，|y 1|＝2，△AOB 的面积S ＝12|x 1||y 1－y 2|＝12|x 1|·2|y 1|＝1.②当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝kx ＋b (其中b ≠0)，代入y 24＋x 2＝1，得 (k 2＋4)x 2＋2kbx ＋b 2－4＝0.Δ＝(2kb )2－4(k 2＋4)(b 2－4)＝16(k 2－b 2＋4)， x 1＋x 2＝－2kb k 2＋4，x 1x 2＝b 2－4k 2＋4，由已知m·n ＝0得x 1x 2＋y 1y 24＝0，∴x 1x 2＋（kx 1＋b ）（kx 2＋b ）4＝0，代入整理得2b 2－k 2＝4，代入Δ中，满足题意，∴△AOB 的面积S ＝12·|b |1＋k 2|AB |＝12|b |·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝|b |4k 2－4b 2＋16k 2＋4＝4b 22|b |＝1.∴△AOB 的面积为定值13、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程。