第80课时 导数的应用

课题：导数的应用

教学目标：1.理解可导函数的单调性与其导数的关系；2.了解可导函数在某点取得极

值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；3.会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.

（一） 主要知识及主要方法：

1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:

()1求()f x ';()2确定()f x '在(),a b 内符号;()3若()0f x '>在(),a b 上恒成立，

则()f x 在(),a b 上是增函数；若()0f x '<在(),a b 上恒成立，则()f x 在(),a b 上是减函数

①()0f x '>⇒()f x 为增函数（()0f x '<⇒()f x 为减函数）. ②()f x 在区间(),a b 上是增函数⇒()f x '≥0在(),a b 上恒成立；

()f x 在区间(),a b 上为减函数⇒()f x '≤0在(),a b 上恒成立.

2.极大值： 一般地，设函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都

有0()()f x f x <，就说0()f x 是函数()f x 的一个极大值，记作y 极大值0()f x =，0x 是极大值点.

3.极小值：一般地，设函数()f x 在0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x >就说0()f x 是函数()f x 的一个极小值，记作y 极小值0()f x =，0x 是极小值点.

4.极大值与极小值统称为极值

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点： （1）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. （2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极xs 大值或极小值可以不止一个.

（3）即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f .

（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.

5.当()f x 在点0x 连续时，判别0()f x 是极大、极小值的方法:

若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，

)(0x f 是极小值.

6.求可导函数()f x 的极值的步骤:

()1确定函数的定义区间，求导数)(x f '()2求方程()0f x '=的根

()3用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检

查)(x f '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么()f x 在

这个根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点 .

7.函数的最大值和最小值: 一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必

有最大值与最小值．

说明：()1在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数

x

x f 1)(=

在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；

()2函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附

近函数值得出的．

()3函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，

是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．

()4函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止

一个，也可能没有一个.

8.利用导数求函数的最值步骤:

由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．

设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：()1求)(x f 在(,)a b 内的极值；

()2将

)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值p

9.求参数范围的方法：①分离变量法；②构造（差）函数法.

10.构造函数法是证明不等式的常用方法：构造时要注意四变原则：变具体为抽象，变

常量为变量，变主元为辅元，变分式为整式.

11.通过求导求函数不等式的基本思路是：以导函数和不等式为基础，单调性为主

线，最(极值）为助手，从数形结合、分类讨论等多视角进行综合探索.

（二）典例分析：

问题1．()1（08届云南平远一中五模）函数)(x f y =

在定义域)3,2

3

(-

内可导，其

图象如图所示，记)(x f y =的导函数为)(x f y '=，则不等式0)(≤'x f 的解集为

.A [)3,2]1,3

1[ -

.B ]3

8,34[

]21,1[ - .C [)2,1]2

1

,23[ -

.D ⎪⎭

⎫

⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛--3,38]34,21[1,23