人教版八年级上册数学《直角三角形的判定方法》课件

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人教版数学八年级上册1.3直角三角形全等的判定教学课件

【例3】如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和 △ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE.
证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD ＝AF，AC＝AE， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)． ∴CD＝EF. ∵AD＝AF，AB＝AB， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)． ∴BD＝BF. ∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.
D
F
作图探究
如图，线段a、c(a<c)，直角α。求作： Rt△ABC，使∠C=∠α，BC=a，AB=c。
a
c α
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
知识要点
“斜边、直角边”判定方法文字语言：
“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边” 指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE
D
Rt△GBF≌Rt△GDE(AAS).
FG=EG BD平分EF
变式训练2
如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.想想：BD
平分EF吗?
AB=CD, AF=CE.
Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
C
BF=DE
∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE
则 CH的长为（ A ）
A．1 B．2 C．3
D．4
3.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，
则△ADB与△ADC 全等（填“全等”或
“不全等”），根据 HL （用简写法）.
┑
4.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，
BD=CE.求证：△EBC≌△DCB.

人教版八年级数学上册1三角形全等的判定第4课时用“HL”判定直角三角形全等课件

E
∴CD = CE，
B
又DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A=∠B =90°，
在Rt△ACD与Rt△BCE中，
D
AC BC，
CD CE，
A
∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL).
∴DA = EB，
C
E
即D、E与路段AB的距离相等.
B
练习2 如图，AB = CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE = BF．求证：AE = DF．
∴Rt△ABC ≌ Rt△DEF（HL）．
例2 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？为什么？证明：∴∠ABC =∠DEF
（全等三角形对应角相等）．
∵ ∠DEF +∠DFE =90°，
∴ ∠ABC +∠DFE =90°．
DC AB， CF BE， ∴Rt△DFC≌Rt△AEB（HL).
FE
∴AE = DF.
A
B
练习3 如图，B、E、F、C 在同一直线上， AF⊥BC 于F，DE⊥BC与E，AB = DC，BE = CF，你认为 AB 平行于 CD 吗？说说你的理由.
解：平行. 理由：∵AF⊥BC，DE⊥BC， ∴∠AFB 和∠DEC 都是直角，又 BE = CF， ∴BE+EF=CF+EF，即 BF = CE.
例2 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？为什么？
证明：∵AC⊥AB，DE⊥DF，
∴∠CAB =∠FDE =90°．

12.2.4直角三角形全等的判定课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册

复习旧知
老师提出问题，学生回答：
1、判定两个三角形全等的方法：
、
、
、
2、如图，Rt△ABC中，直角边是
、
，
斜边是
3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，
（1）若∠A=∠D，AB=DE，
则△ABC与△DEF
（填“全等”或“不全等” ）
根据
（用简写法）
（2）若∠A=∠D，BC=EF，
则△ABC与△DEF
巩固练习
3、判断两个直角三角A）两条直角边对应相等（B）斜边和一锐角对应相等（C）斜边和一条直角边对应相等（D）两个锐角对应相等
巩固练习
4、如图，广场上有两根旗杆，已知太阳光线AB与DE是平行的，经过测量这两根旗杆在太阳光照射下的影子是一样长的，那么这两根旗杆高度相等吗？说说你的理由。
N
A
B
CM
C′
(1) 先画 ∠MC′N＝90°；
N
A
B
C M B′
C′
(2) 在射线 C′M 上截取 B′C′＝BC；
N
A
A′
B
C M B′
C′
(3) 以点 B′ 为圆心，AB 长为半径画弧，交射线 C′N 于 A′；
画图思路
A
B
C M B′
(4) 连接 A′B′.
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
12.2.4 直角三角形全等的判定 2024-2025学年人教版数学八年级上册
素养目标
1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程； 2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决实际问题。 3、探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够思考并进行简单的推理。

人教版八年级上册数学课件：两个直角三角形全等的判定条件

定理:如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别
对应相等，那么这两个直角三角形全等,简写成
“斜边、直角边”或“HL”表示。
B
几何语言
∵∠C=∠C ′=90°
A
C
B′
∴在RT∆ABC和RT∆A ′ B ′ C ′中
AB= A ′ B ′
AC= A ′ C ′
A′
C′
∴ RT∆ABC ≌ RT∆ A ′ B ′ C ′ （HL）
练习快速回答问题
1.两个锐角对应相等的两个直角三角形全等吗？
2.两条直角边对应相等的两个直角三角形全等吗？
3.有任意的两条边对应相等的两个直角三角形全等吗？ 4.有两边及一条边对应的三角形全等吗？ 5.判定两个三角形全等，共有多少种方法？
人教版八年级上册数学课件：两个直角三角形全等的判定条件
ＤＥ＝ＤＦ
∴Ｒt △ＤＥＢ≌Ｒt △ＤＦＣ
人教版八年级上册数学课件：两个直角三角形全等的判定条件
人教版八年级上册数学课件：两个直角三角形全等的判定条件
练习
２、如图，ＡＣ＝ＡＤ，∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０° ，求证：ＢＣ＝ＢＤ
ＣＡ
Ｄ
证明：∵∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０° ∴△ＡＢＣ和△ＡＢＤ是直角三角形在Ｒt △ＡＢＣ和Ｒt △ＡＢＤ中ＡＢ＝ＡＢ
人教版八年级上册数学课件：两个直角三角形全等的判定条件
人教版八年级上册数学课件：两个直角三角形全等的判定条件
小结：
• 1、应用斜边直角边（HL）公理判定两个三角形全等，要按照公理的条件，准确地找出“对应相等”的边和角；
• 2、寻找使结论成立所需要的条件时，要注意充分利用图形中的隐含条件，如“公共边、公共角、对顶角等等”；

数学人教版八年级上册直角三角形全等的判定(5)精品PPT课件

3．两个直角三角形中，由于有直角相等的条件，所以判定两个直角三角形全等只须找两个条件，并且两个条件中至少有一个条件是一对边相等．
4、对于一般的三角形“SSA”不可以证明两个三角形全等，但是如果这个角是直角，这两个三角形就全等，因为满足了斜边、直角边公理。所以“HL”公理仅适用于判定直角三角形全等．
⑴ 作∠MC´N=90°;
B
(2)在射线C´M上取线段B´C´=BC
(3) 以B´为圆心,AB为半径画弧，交射线C´N于点A´;
⑷ 连接A´B´.
Rt△ABC≌ Rt△A'B'C'
B´
M
∟
∟
A
C A´N
C´
知识要点
直角三角形全等的判定方法：斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等． “斜边、直角边公理”或“HL”
下面让我们一起来验证这个结论。
探究5：
任意画出一个Rt△ABC,∠C=90° 再画一个Rt△A´B´C´，使得∠C´= 90° B´C´=BC，A´B´= AB。把画好的Rt△A´B´C´剪下来，放到Rt△ABC 上，它们全等吗？
请你动手画一画
任意画出一个Rt△ABC,∠C=90°
画Rt△A´B´C´ 让B´C´=BC，A´B´= AB :
三边对应相等
SSS
两直角边对应相等
SAS
一锐角和它与直角的夹边对应相等 ASA
一锐角和它的对边对应相等 AAS
斜边和一条直角边对应相等 HL
具体采用哪一种方法，我们应根据具体问题的实际情况选择判断两直角三角形全等的方法。
作业：
(1) 作业：课本P44 7，8题 (2) 练习：课本P43 1，2题

直角三角形的性质与判定人教版八年级数学上册完美课件

图 11－2－15
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
【解析】由角平分线的性质，得∠ABC＝50°，由三角形内角和的知识，得∠C＝70°，
又∵∠ADC＝90°，∴∠DAC＝20°.
11.2.1 第2课时直角三角形的性质与判定-2020秋人教版八年级数学上册课件 (共24 张PPT)
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11.2.1 第2课时直角三角形的性质与判定-2020秋人教版八年级数学上册课件 (共24 张PPT)
【解析】 A．∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝2∠B＝3∠C， ∴13∠A＋12∠A＋∠A＝180°，解得∠A＝1 01810°≠90°，错误； B．∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠C＝2∠B，不能得出∠C＝90°，错误； C．∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，∴∠C＝75°≠90°，错误； D．∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠B＝∠C， ∴∠C＝90°，正确．故选 D.
11.2.1 第2课时直角三角形的性质与判定-2020秋人教版八年级数学上册课件 (共24 张PPT)
8．如图 11－2－16 所示，在△ABC 中，∠A＝90°，点 D 在 AC 边上，DE∥BC，若
65°
∠1＝155°，则∠B 的度数为________.
图 11－2－16
11.2.1 第2课时直角三角形的性质与判定-2020秋人教版八年级数学上册课件 (共24 张PPT)

数学人教版八年级上册第12章第5课时用“HL”判定直角三角形全等PPT课件

证明：∵BE⊥CD， ∴∠CEB＝∠AED＝90°. 在 Rt△BEC 和 Rt△DEA 中， BE＝DE， BC＝DA， ∴Rt△BEC≌Rt△DEA(HL)．
∴∠CBE＝∠ADC. ∵∠CBE＋∠C＝90°，∴∠ADC＋∠C＝90°. ∴∠DFC＝90°.∴DF⊥BC.
【变式 3】 (教材 P43 练习 T1 变式)如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从 A，B 出发，小明沿 AC 行走，小芳沿 BD 行走，并同时到达 C，D.若 CB⊥AB，DA⊥AB，则 CB 与 DA 相等吗？为什么？
数学
第十二章全等三角形第5课时用“HL”判定直角三角形全等
01 课前预习
1.斜边和一条直角边边、直角边”或“ HL
分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜 ”)．
2.如图，∠B＝∠E＝ 90 °.
在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，
AB＝ DE
AC
＝ DF
，，
∴Rt△ABC≌Rt△ DEF
【变式 2】如图，AC⊥AB，BD⊥CD，请添加一个条件，使
△ABC≌△DCB.
(1)添加 AB＝DC
，根据是 HL ；
(2)添加 AC＝DB
，根据是 HL ；
(3)添加
∠ABC＝∠DCB
，根据是 AAS
；
(4)添加
∠ACB＝∠DBC
，根据是 AAS
.
知识点 3 三角形全等的判定与性质的综合运用【例 3】如图，BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA.求证：FD⊥BC.
解：CB＝DA. 理由：由题意易知 AC＝BD. ∵CB⊥AB，DA⊥AB， ∴∠DAB＝∠CBA＝90°. 在 Rt△DAB 和 Rt△CBA 中， BD＝AC， AB＝BA， ∴Rt△DAB≌Rt△CBA(HL)．∴DA＝CB.

全国优质课一等奖人教版初中八年级上册数学《直角三角形全等的判定(HL)》公开课课件

证明:连接DC.
∵AC⊥AD，BC⊥BD，
∴∠A=∠B=90°，
在Rt△ADC和Rt△BCD中，
AB BA
AC
BD
∴Rt△ADC≌Rt△BCD (HL)，
∴AD=BC.
已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD，求证：BC=DC．
证明：连接AC.
∵AB⊥BC,AD⊥DC,
∴∠B=∠D=90°,
（2）解：∠B+∠AFD＝180°，理由如下：
由（1）得：△ACD≌△AED， ∴DC＝DE，
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
DC DE
DF
DB
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）， ∵∠CFD+∠AFD＝180°，
∴∠CFD＝∠B，
∴∠B+∠AFD＝180°.
例4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB 于E，点F在边AC上，连接DF．（3）在（2）的条件下，若AB＝m，AF＝n，求BE的长（用含m，n的代数
若AB=DE，AC=DF，此时△ABC与△DEF还会全等吗？
任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C′，使得 ∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB. 把画好的Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，它们全等吗？
直角三角形“HL”判定方法文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
式表示）．
（3）解：由（2）知，Rt△CDF≌Rt△EDB， ∴CF＝BE，由（1）知AC＝AE， ∵AB＝AE+BE， ∴AB＝AC+BE， ∵AC＝AF+CF， ∴AB＝AF+2BE， ∵AB＝m，AF＝n， ∴BE＝12（m﹣n）．

人教版(部编)八年级数学上册-直角三角形的性质和判定

总结归纳
思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本图形吗？
基本图形
AB o
A
B
o D
C
D
∠A=∠D
C
∠A=∠C
二有两个角互余的三角形是直角三角形
问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ，那么△ABC 是直角三角形吗？
在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°，又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是 △ABC是直角三角形.
C．∠BCD和∠A
D．∠BCD
7.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是 AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：△ACD是直角三角形．
证明：∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵∠ACD=∠B， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴△ACD是直角三角形.
课堂小结
直角三角形的性质与判定
八年级数学上（RJ）教学课件
第十一章三角形
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
第2课时直角三角形的性质和判定
导入新课
情境引入
内角三兄弟之争
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷. 你知道其中的道理吗？
B．50°
C．60°
D．70° 5.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是
（ D） A．∠A+∠B=∠C B．∠A-∠B=∠C C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C

人教版-数学-八年级上册-《直角三角形全等的判定》课件

（
）
A、三条边对应相等
B、两条边及其对应夹角相等
C、两角和一条边对应相等
D、两条边和一条边所对的角对应相等
2、典型例题
例1 (湖南株洲):如
图,AE=AD,要使
ΔABD≌ΔACE,请你增
加一个条件是
.
B
E
A D
C
例2 (湖北十堰):如图,已知 ∠1=∠2,AC=AD,增加下列条件:①AB=AE,② BC=ED,③∠C=∠D,④ ∠B=∠E,其中能使 ΔABC≌ΔAED的条件有 ( )个.
中,AD⊥BC于D,BE⊥AC
于E,AD交BE于F,若
BF=AC,那么∠ABC的大
小是( )
A
A.40°
B.50° C.60° D.45°B
1 FE 2 DC
四、小结:
1.在证明全等三角形或利用它证明线段或角的相等时,首先要寻找我们已经知道了什么（从已知条件,公共边,公共角,对顶角等隐含条件中找对应相等的边或角）,其次要搞清我们还需要什么,而这一步我们就要依照5个判定方法去思考了.
2.注意正确地书写证明格式(顺序和对应关系 ).
补充:
1、如图，A在DE上，F在AB上，且AC=CE，
∠1=∠2=∠3，则DE的长为（）
A、DC
B、BC
C、AB
D、AE+EC
E A
D
1
F
3
B
2CBiblioteka 2、 (浙江):如图,点B在AE
上,∠CAB=∠DAB,要使
ΔABC≌ΔABD,可补充的一
个条件是
.
２、下列判断正确的是（
）
A、等边三角形都全等
B、面积相等的两个三角形全等