第一章第4节

由加法法则, 得
C (n, r ) C (n 1, r ) C (n 1, r 1)
等价形式：
C (m n, m) C (m n 1, m) C (m n 1, m 1)
的组合意义可解释为 : 等式左端表示从(0,0)到( m, n) 的最短路径数.等式右端表示从(0,0)分别到( m, n 1)
若该组合不含有a, 则添上a后就得到一个含 偶数个(r 1个)元的组合.
反之,设r为偶数(r 0), 则同样可以通过去掉a 或添上a得到唯一的一个奇数个元的组合.从而两者 是一一对应的.
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等式8
1 2 2 2 n 2 n 1 (C n ) 2(C n ) n(C n ) nC 2 n 1
M r M r 1 M r (k 2) r , M M 1 M (k 2) M (k 1)
对k (k 2, 3, , M r 1)求和,即为摸到白球的概 率,这恰为等式左端.
从而等式成立.
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等式10 当n m 时，
n m k 0
r r n r n r n r r i 0 i r - i i 0 i i n r n r n r 0 0 1 1 r r
亦即
C ( n, 0) C ( n 1,1) C ( n r 1, r 1) C (n r , r ) C (n r 1, n 1)
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等式5 范得蒙(Vandermonde)
恒等式
r m n n m r i 0 i r - i n m n m n m 0 r 1 r 1 r 0 r min( m , n)
C (n, n k )C (k , r ) C (n, k )C (k , r )
种分法，这恰好是等式的左端.
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在具体使用组合意义法证明组合等式时,常常 把问题中产生r组合的所有方法看作一个集合,然后 用某种规定的方式将此集合分解为若干个不相交的 子集，并计算各子集的元素个数,最后用加法法则 求和以核实组合等式成立. 等式4
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不含a1 ,a2 , ,ar 而含ar+1的n 1元组合数有C (n, n)个;
不含a1 ,a2 , ,ar ,ar+1的n 1元组合数均为零(因剩余 只有n个元). 由加法法则得
C ( n, n) C (n 1, n) C ( n r 1, n) C (n r , n) C ( n r 1, n 1)
等式11 n n1 k n 2 k 1 k
n
n为正整数
n n! n n 1 证因 k k!(n k )! k k 1
n n n n n 1 n 1 所以 k k n k k 1 k 1 k k 1 k 1 k 1 n
组合意义 设A {a1 , a2 , , an }, 将A的全部r 组 合分为两类: (1) 第一类中r组合都含固定元a1 .这类组合可视为
从A {a1 }中n 1个元里任取r 1个元, 在添上a1而得.
2
所以这类组合的组合数为C (n 1, r 1).
(2) 第二类中r组合不含a1 .这实际上就是A {a1 } 的r组合.所以这类组合的组合数为C (n 1, r ).
C
mk n
C
m mk
2
n m
C
m n
即
n m n m 1 n n n m n 2 m m m 1 m n m m
到(m 1, n)的路径数相同. 这个数为
C (m n 1, n);
从(0,0)经过(m, n 1)到达(m, n)的路径数与(0,0)
到(m, n 1)的路径数相同, 这个数为
C (m n 1, n 1);
由加法法则知等式成立.
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等式3 乘法公式（Newton恒等式）
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等式1 对称关系式 C (n, r ) C (n, n r )
等式2 加法公式（杨辉恒等式）
C (n, r ) C (n 1, r ) C (n 1, r 1)
等价形式：
C (m n, m) C (m n 1, m) C (m n 1, m 1)
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C (n, r )C (n r , k r )
种分法，这恰好是等式的右端. (2) 如果按另一种顺序来分组, 先给第三组分n- k 个人, 有C(n, n - k) 种分法；然后从余下的k个人中给 第一组分r个人,有C(k, r)种分法；最后将余下的k - r 个人全部分给第二组. 于是按这种顺序分组共有
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和(m 1, n)的最短路径数之和.
y
(0, n)
( m 1 n 1)
(m, 0)
(0, 0)
x
因从(0,0)到(m, n)的路径不是经过(m 1, n), 就是经过
(m, n 1)到达(m, n)点.
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而从(0,0)经过(m 1, n)到达(m, n)的路径数与(0,0)
rn
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等式6 和式公式
n C ( n , i ) 2 i 0 n
组合意义
取n元集的所有子集, 每一个元素
n
都有“取”与“不取”两种可能, 由此构成所有状态,由 乘法法则, 其总数为2 . 它等于从n个元素中分别取 0个,1个, , n个元素的总组合数.
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等式7 n n n n n ( 1) 0 0 1 2 n
C (n r 1, r ) C (n r , r ) C (n r 1, r 1) C (n r 2, r 2) C ( n,0)
C (n i , i )
i 0
8
r
或
C (n r 1, r ) C ( n r , n) C ( n r 1, n) C (n r 2, n) C (n, n)
另一方面, 可以先选出m k人(k 0,1, 2,,
n m), 然后再从中选出m名正式代表, 其余k人为
m k m 列席代表. 对每个k,有Cn Cm k 种选法. 于是所
有可能的选法有 C
k 0
n m
mk n
C
m mk
种.
综合两方面知等式成立.
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常见的组合恒等式还有：
组合意义 从n名先生, n名太太中选出n人(至 少有一位太太)组成委员会, 在这n个人中必须由一 位太太担任主席, 考虑所有的选法.
一方面, 先选一名太太任主席, 再从其余的2n 1
1 n 1 n 1 人中选n 1人, 共有Cn C2 n1 nC2 n 1 种选法.
另一方面, 可先从n名太太中选出k人, 然后从 这k人中选一人任主席, 最后再从n名先生中选n k
C (n, k )C (k , r ) C (n, r )C (n r , k r )
分析：将n个人分为三组，使得第一组有r个人, 第二组有k- r个人, 第三组有n- k个人. 考虑两种分组 方案： (1)将n个人先给第一组分r个,有C(n,r)种分法； 然后从余下的n - r个人中给第二组分k - r个，有 C(n - r,k - r)种分法； 最后将余下的n - k个人全 部分给第三组. 于是，按这种顺序分组共有
n - 1 n k k 1 k - 1
n
n 1 n ( k 1) k 0 k
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k 1 n k k k k 2 人( k 1, 2, , n), 有Cn Ck Cn kCn Cn k (Cn ) 种 k 2 选法.于是共有 k (Cn ) 种选法. k 1 n
综上两个方面, 等式得证.
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等式9 设r , M 都是自然数，M r ,则有 r M r r M r M r 1 r + M M M 1 M M 1 M 2 M r M r 1 1 r 1 M M 1 r+1 r
C ( n i , n)
i 0
r
组合意义 考虑从n + r + 1个元素{a1 , a2 ,, an r 1 } 中取n 1个的组合.
含a1的n 1元组合数有C (n r , n)个;
不含a1而含a2的n 1元组合数有C (n r 1, n)个;
不含a1 ,a2而含a3的n 1元组合数有C (n r 2, n)个;
n 1 n 1 n n 2 k 0 k
n 1
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n 等式12 k n (n 1) 2n 2 , n为正整数 k 1 k
n 2
n n 2 2 n n 1 证 k k k 1 k k 1 k k 1 n
组合意义 考虑n个相异的红球, m个相异的蓝球.从这 n + m个球中取r 个的组合.其结果必是下列情形之一 :
有i个红球,r i 个篮球(i 0,1,2, , n ).
对固定的i , 有
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C (n,i )C (m,r i ) 种选法 . 对i求和即得等式.
特例，当m r时，有
组合意义 考虑从n个人中选出m名正式代表及若 干名列席代表的选法(列席代表人数不限, 可以为0).