幂函数知识点总结及练习题

幂函数

（1）幂函数的定义：一般地，函数y xα

=叫做幂函数，其中x为自变量，α是常数．

（2）幂函数的图象

（3）幂函数的性质

①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．

②过定点：所有的幂函数在(0,)

+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0

α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)

+∞上为增函数．如果0

α<，则幂函数的图象在(0,)

+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．

④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q p

α=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q p

y x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q p

y x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q

p

y x =是非奇非偶函数．

⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若

01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．

幂函数练习题

一、选择题：

1．下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是 （ ） A ．y x =4

3

B ．y x =32

C ．y x =-2

D ．y x =-

14

2．函数2-=x y 在区间]2,2

1[上的最大值是 （ ） A ．4

1 B ．1- C ．4 D ．4-

3．下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ ） A ．3x y -= B ．3-=x y C ．32x y = D ．13-=x y 4．函数3

4

x y =的图象是 （ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 5．下列命题中正确的是 （ ） A ．当0=α时函数αx y =的图象是一条直线

B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点

C ．若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数

D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 6．函数3x y =和3

1

x y =图象满足 （ ）

A ．关于原点对称

B ．关于x 轴对称

C ．关于y 轴对称

D ．关于直线x y =对称

7． 函数R x x x y ∈=|,|，满足 （ ）

A ．是奇函数又是减函数

B ．是偶函数又是增函数

C ．是奇函数又是增函数

D ．是偶函数又是减函数 8．如图1—9所示，幂函数αx y =在第一象限的图象，比较

1,,,,,04321αααα的大小（ ）

A ．102431<<<<<αααα

B ．104321<<<<<αααα

C ．134210αααα<<<<<

D ．142310αααα<<<<<

二、填空题：.

1．函数y x =-

32

的定义域是 .

2．14()3,27)()f x f x -幂函数的图象过点（，则的解析式是 . 3．942

--=a a x y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 .

4．函数2422-+=x x y 的单调递减区间是 .

三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 1．比较下列各组中两个值大小

（1）060720880896116115353

..(.)(.).与；（）与--

1α

3α

4α

2α

2．求证：幂函数3x y =在R 上为奇函数且为增函数.

3．下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.

.

65432121

323

23

12

3-

--======x y x y x y x y x y x y ）；（）；（）（；

）；（）；（）（

（A ） （B ） （C ） （D ） （E ）

（F ）

巩固训练 一、选择题

1．已知集合{

}{}2,2,1==N M ，则N M 等于（ ） A ．{}2,1 B ．{}1 C ．{}2 D ．2 2．下列函数中，值域是()+∞,0的函数是（ ）

A ．3x y =

B ．4x y =

C ．2-=x y

D ．3

1-=x

y

3．函数1

1

-=

x y 的定义域是（ ） A ．()+∞,1 B ．[)+∞,1 C ．()1,∞- D ． ()()+∞∞-,11,

4．二次函数12+-=x y 的单调递减区间是（ ）

A ．(]0,∞-

B ．[)+∞,1

C ．(]1,-∞-

D ．[)+∞,0

5．函数3)(x x f -=的图象（ ）

A ．关于直线x y =对称

B ．关于x 轴对称

C ．关于原点对称

D ．关于y 轴对称

6．幂函数)(Q n x y n ∈=的图象一定经过点（ ）

A ．()0,0

B ．()1,1

C ．()1,1--

D ．()1,0 7．已知{}512,>-==x x A R I ，则A =（ ）

A ．{}3≤x x

B ．{}2-≥x x

C ．{}32≤≤-x

D ．{}32≤≤-x x

8．若一元二次不等式0122<--px x 的解集是{}q x x <<-2，则p 的值是（ ）

A ．不能确定

B ．4

C ．－4

D ．８

10．函数)1(1≥--=x x y 的反函数是（ ） A ．)(12R x x y ∈+= B ．)0(12>+=x x y