第6课时二面角(一)

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二面角1

课后作业
1．如图，直角三角形ABC的斜边AB在平面内，AC、BC 与平面所成角分别为 30 和 45 ，求△ABC所在平面与所成的二面角的大小． 2．已知△ABC, AB = 10, BC = 6, P是平面ABC 外一点, 且PA= PB = PC = AC = 8, 求二面角P—AC—B的平面角的正切值.
1、如图，AB是圆的直径，PA垂 P 直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为: A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 A 2、已知P为二面角内一点，且P到两个半平面的距离都等于P到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？ 60º
C
B
β
B
p
α
O
练习: 正三棱柱 ABC A1 B1C1 中，D是AC的中点, 当 AB1 BC1时，求二面角 D BC1 C 的余弦值.
C1 A1 B1
2 2
C
D A
B
5．已知△ABC, AB = 10, BC = 6, P是平面ABC 外一点, 且PA= PB = PC = AC = 8, 求二面角P—AC—B的平面角的正切值.
∴∠COD=90º 因此，二面角的度数为90º
P
a
O
二Hale Waihona Puke 角例 2 ．如图 P 为二面角 α–ι–β 内一点， PA⊥α ,PB⊥β, 且 PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。
解：过PA、PB的平面PAB与棱ι 交于O点 β B ∵PA⊥α ∴PA⊥ι ι O ∵PB⊥β ∴PB⊥ι ∴ι⊥平面PAB ∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角
1.利用定义.

A D

新高一数学二面角知识点

新高一数学二面角知识点一、二面角的定义二面角是指两个位于同一平面的射线，它们的起始点相同但是方向不同的角。

如图所示：（插入图片）在图中，OA和OB是位于同一平面的两个射线，它们的起始点O相同，但是方向不同，所以∠AOB是一个二面角。

二、二面角的度量二面角的度量可用度、分、秒或弧度表示。

常用的单位是度，用符号°表示。

（表格）其中，一周等于360°，一度等于60分，一分等于60秒。

三、二面角的分类根据二面角的大小和位置关系，二面角可以分为四类：锐角、直角、钝角和平角。

1. 锐角：度数大于0°且小于90°的二面角称为锐角。

如图所示：（插入图片）在图中，∠AOB是一个锐角，它的度数大于0°且小于90°。

2. 直角：度数等于90°的二面角称为直角。

如图所示：（插入图片）在图中，∠AOB是一个直角，它的度数等于90°。

3. 钝角：度数大于90°且小于180°的二面角称为钝角。

如图所示：（插入图片）在图中，∠AOB是一个钝角，它的度数大于90°且小于180°。

4. 平角：度数等于180°的二面角称为平角。

如图所示：（插入图片）在图中，∠AOB是一个平角，它的度数等于180°。

四、二面角的性质1. 锐角的余角等于钝角。

2. 钝角的余角等于锐角。

3. 直角的余角等于直角。

4. 平角的余角等于平角。

5. 互补的二面角加起来等于平角。

6. 互补的二面角的余角相等。

7. 任意一锐角的余角是唯一的。

五、二面角的应用1. 几何中常用的二面角有直角、钝角和锐角，它们在三角函数等计算中具有重要的作用。

2. 二面角的概念也应用于立体几何及解析几何等领域。

六、总结二面角是高中数学中的重要概念，在几何和三角函数等计算中都有广泛的应用。

通过学习二面角的定义、度量和性质，我们能够更好地理解和应用数学知识。

二面角复习课(一)

B
E F
D E
3.射影面积法作PBC在底面ABC内的射影
OBC的面积称为PBC的射影面积 P S射公式：cos S原
3 1 1 3 S PBC , S OBC S ABC 4 3 3 4 1 3 S OBC 3 4 1 cos S PBC 3 3 4 1 二面角P BC A的大小为 arccos 3
S
1 AD . SA⊥平面ABCD ,SA=AB=BC=1, 2
ABC 90
1
1
1 2
B
1
C
A
D
E
变式如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形， PA⊥平面ABCD，2· PA=AB，求平面PAB与平面PCD所成的二面角（锐角）的大小。
P
l A B C
D
解 ∵P是面PAB与PCD的一个公共点，
练习题： 1、2
B1 D C O
B
2 在Rt △ D1OD中,DD=1,DO= 2
D1O 则tan ∠ D1OD= DO 2
A
∠ D1OD= arctan
2
所求二面角的大小是 arctan 2
二面角的平面角
1、二面角的平面角的定义
ι α
β p 以二面角的棱上任意一点为端 A B 点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 PA⊥ l ，PB ⊥ l
D
E A B
在Rt△PAC中，E为AC中点，则DE= C BE 6 ∴tg ∠ BDE=
DE
2 a 4
∴∠ BDE=arctg 6
二面角的求法
垂线法的关键？
已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B 的大小。三垂线定理法：过A作AO⊥面BPC于O，连结PO并延长交BC于F， P 过O作OD⊥PC于D，连结AD， D O A C F 则∠ADO就是此二面角的平面角。

《二面角》教案1

《二面角》教案一、目的要求1、认知目标：（1）使学生正确理解二面角及其平面角的概念，并能初步运用它们解决实际问题。

（2）进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的解题思想。

2、能力目标：以培养学生的创新能力和动手能力为重点。

(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。

（2）通过对图形的作图、观察、分析和比较来强化学生的动手操作和动脑的能力。

3、教育目标：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。

(2)通过揭示面面之间的内在联系，进一步使学生建立“联系”的辩证唯物主义观点。

二、重点、难点：（1）二面角的平面角概念，不同方位二面角的平面角的直观图的画法；（2）寻找二面角的平面角的方法的发现过程。

三、教学过程：（一）、二面角1、提示问题产生的背景：问题情境1、在修筑水库的拦水坝时，为了牢固耐用而又经济，必须考虑拦水坝坡面与地面（平面与平面相交）要组成适当的角度。

（由实例引入二面角的概念），接着又问学生还能举出一些二面角的实例吗？问题情境2、我们应如何定量研究两个相交平面之间的相对位置呢？通过这二个问题，打开了学生的原有认知结构，为知识的创新做好了准备；同时也让学生领会到，二面角这一概念的产生是因为研究两相交平面的相对位置的需要，从而明确新课题研究的必要性，触发学生积极思维活动的展开。

2、展现概念形成过程。

问题情境3、应如何定义两相交平面所构成的角呢？创设这个问题情境，为学生创新思维的展开提供了空间。

结合电脑演示，引导学生回忆平面几何中“角”这一概念的引入过程。

问题情境4、通过类比，同学们能给出二面角的概念吗？引导学生将平面几何中角这一概念的引入过程，通过类比，迁移到两相交平面所成角（二面角）的引入上，从而实现知识的创新。

教师先肯定学生的创新结果，给予积极的评价，强化他们的创新意识。

由教师版书于上图表中右侧。

由教师出示预先准备好的二面角的模型，要求学生画出二面角不同方位不同角度的直观图，为了帮助学生能正确得画出不同方位和不同角度的二面角，教师预先用《数理平台》制作好的“《课件》《不同方位和不同角度》”（点击此处双引号的文字可打开课件《不同方位和不同角度的二面角》）的二面角的直观图。

二面角一(定义法)

二面角（一）知识点：1.二面角定义：2.平面角定义：举例：例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D1-AB-D和A1-AB-D；（2）二面角C1-BD-C和C1-BD-A.例2：已知点P为边长为a的正△ABC所在平面外一点，若PA=PB=PC=a，求二面角P-AB-C 的余弦值。

例3：过60的二面角l αβ--的棱上一点O ，分别在,αβ内O 的同侧引两条射线OP ，OQ ，使OP ，OQ 与l 都成45角，求∠POQ 的余弦值。

练习：在三棱锥S -ABC 中，△SBA ，△ABC 都是等边三角形，且BC=1，SA=23，求二面角S -BC -A 的大小。

作业：1：在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求二面角B -A 1C 1-B 1的正切值。

2：如图，ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，如将∆DAE 和∆CBE 分别沿DE ，CE 折起，使AE 与BE 重合，A ，B 重合后的点记为P ，求二面角P －CD －E 的大小。

3：如图，二面角l αβ--，,,A B AC l αβ∈∈⊥于点C ，BD l ⊥于D ，且AC a =，,CD c,AB n BD b ===，求二面角l αβ--的余弦值。

4：如图，在三棱锥A -BCD 中，侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且3,1AD BD CD ===，另一个侧面是正三角形。

1）求二面角C -AD -B 的大小；2）求二面角B -AC -D 的余弦值。

5．如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为BC 的中点，PO ABC ⊥平面，垂足O 落在线段AD 上．(Ⅰ)证明：AP BC ⊥；(Ⅱ)已知8BC =，4PO =，3AO =，2OD =，求二面角B AP C --的大小．例3：（2013·大纲卷高考理）如图，四棱锥P ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，△P AB 和△P AD 都是等边三角形．(1)证明：PB ⊥CD ；(2)求二面角A PD C 的大小．4.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF .(1)求证：BD ⊥平面AED ；(2)求二面角F －BD －C 的余弦值．（此题即可以是定义法也可以三垂线法）3.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为23的菱形，∠BAD ＝120°，且P A ⊥平面ABCD ，P A ＝26，M ，N 分别为PB ，PD 的中点．(1)证明：MN ∥平面ABCD ；(2)过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ，求二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值．1.如图所示，在长方体中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点1111ABCD A B C D（△）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；（△）证明：平面ABM△平面A1B1M12.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点．(1)求点C到平面A1ABB1的距离；(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1－CD－C1的平面角的余弦值．（此题也可用垂面法）。

高中数学二面角(一)

9.将一副三角板如图拼接，并沿BC折起成直二面角，设AB=AC=a,∠BAC=∠DCB=90°,
∠DBC=30°,求二面角B－AD－C的大小及二面角C－AB－D的正切值。
A
B C
D
10.如图，二面角M－l－N的大小为 ,Rt△ABC在面M内，斜边AB在l上，直角边AC、BC与平面N所成角分别为、 .求证： . C M
6.在二面角的一个面M内有一条直线AB，它与棱l的夹角为45°，AB与平面N的夹角为30°，则这个二面角是45或135度。
7.正三棱锥的一个侧面面积与底面面积之比为 ,则这个三棱锥的侧面和底面所成的角为60°。
8.空间三条射线PA,PB,PC,∠APC=∠APB=60°,∠BPC=90°,求二面角B－PA－C的大小。
班级
姓名
学号
时间
课题
二面角（一）
设计
一、方法点击
1.掌握二面角、二面角的平面角和直二面角的概念。
2.求二面角大小的方法：（1）作出二面角的平面角，构造三角形解题；（2）利用公式；（3）利用公式EF2= d2+m2+n2±2mn .
3.将平面图形翻折成平面图形，解题的关键是抓住运动过程中空间某些元素之间的位置关系和数量关系的不变因素。
二、知能达标
1.正方体ABCD－A1B1C1D1中,二面角A－BD1－C的大小是（B）
A.点P到、及棱ｌ的距离分别为、4和 ,则此二面角的大小为（C）
A.45°或30° B. 30°或60° C.15°或75° D. 15°或60°
3.一条直线与直二面角的两个面所成的角分别为、 ,则＋的范围是（C）
A B
N
A.(0°,90°) B.(90°,180°) C.[0°,90°] D.

立体几何(几何法)—二面角(模型一)

立体几何（几何法）—二面角（模型一）例1（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））如图1,在等腰直角三角形ABC中,90A ∠=︒,6BC =,,D E分别是,A C A B上的点,CD BE ==O为BC的中点.将ADE∆沿DE折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE'-,其中A O '=.(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面B C;(Ⅱ) 求二面角A CD B'--的平面角的余弦值.【答案】(Ⅰ) 在图1中,易得3,2,22O C A=连结,OD OE,在OCD∆中,由余弦定理可得由翻折不变性可知A D'=,所以222A O OD A D''+=,所以A O OD'⊥,理可证A O OE'⊥, 又OD OE O =,所以A O'⊥平面BCDE.C D O BEH.C O BD EA C D O BE图图(Ⅱ) 传统法:过O作OH CD⊥交CD的延长线于H,连结A H',因为A O '⊥平面BCDE,所以A H CD'⊥,所以A H O'∠为二面角A CD B'--的平面角.结合图1可知,H为AC中点,故2OH =,从而2A H '==所以cos OH A HO A H '∠=='CD B-向量法:以O直角坐标系O xyz-如图所示,则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(CA '=,(1,DA '=-设(),,n x y z =为平面A CD'的法向量,则n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020y x y ⎧=⎪⎨-++=⎪⎩,解得y xz =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,n =-由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,所以5c o s ,3n OA n OA n OA '⋅'===',即二面角A C DB'--例2（2012高考真题广东理18）（本小题满分13分）如图1－5所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE .(1)证明：BD ⊥平面PAC ；(2)若PA ＝1，AD ＝2，求二面角B －PC －A 的正切值．图1－5【答案】证明：(1)⎭⎬⎫PC ⊥平面BDE BD ⊂平面BDE ⇔PC ⊥BD .⎭⎬⎫PA ⊥平面ABCD BD ⊂平面ABCD ⇒PA ⊥BD .∵PA ∩PG ＝P ，PA ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ， ∴BD ⊥平面PAC .(2)法一：如图所示，记BD 与AC 的交点为F ，连接EF .由PC ⊥平面BDE ，BE ⊂平面BDE ，EF ⊂平面BDE ， ∴PC ⊥BE ，PC ⊥EF .即∠BEF 为二面角B －PC －A 的平面角．由(1)可得BD ⊥AC ，所以矩形ABCD 为正方形，AB ＝AD ＝2， AC ＝BD ＝22，FC ＝BF ＝ 2.在Rt △PAC 中，PA ＝1，PC ＝PA 2＋AC 2＝3，即二面角B －PC －A 的正切值为3.法二：以A 为原点，AB →AD →AP →的方向分别作为xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．设AB ＝b ，则：A (0,0,0)，B (b,0,0)，C (b,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)．于是PC→＝(b,2，－1)，DB →＝(b ，－2,0)．因为PC ⊥DB ，所以PC →·DB→＝b 2－4＝0，从而b ＝2.结合(1)可得DB→＝(2，－2,0)是平面APC 的法向量．现设＝(x ，y ，z )是平面BPC 的法向量，则 ⊥BC →，⊥PC →，即·BC →＝0，·PC →＝0. 因为BC→＝(0,2,0)，PC →＝(2,2，－1)，所以2y ＝0,2x －z ＝0. 取x ＝1，则z ＝2，＝(1,0,2)．令θ＝〈，DB →〉，则cos θ＝n ·DB →|n ||DB →|＝25·22＝110，sin θ＝310，tan θ＝3. 由图可得二面角B －PC －A 的正切值为3.例3（2012高考真题山东理18）（18）（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，60,DAB FC ∠=⊥平面,,ABCD AE BD CB CD CF⊥==.（Ⅰ）求证：BD ⊥平面AED；（Ⅱ）求二面角F BD C--的余弦值.【答案】解：(1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°.又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，因此∠ADB＝90°，AD⊥BD，又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD⊂平面AED，所以BD⊥平面AED.(2)解法一：取BD的中点G，连接CG，FG，由于CB＝CD，因此CG⊥BD，又FC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以FC⊥BD，由于FC∩CG＝C，FC，CG⊂平面FCG，所以BD⊥平面FCG，故BD⊥FG，所以∠FGC为二面角F－BD－C的平面角．在等腰三角形BCD中，由于∠BCD＝120°，因此CG＝12 CB.又CB＝CF，所以GF＝CG2＋CF2＝5CG，故cos ∠FGC ＝55，因此二面角F －BD －C 的余弦值为55.解法二：由(1)知AD ⊥BD ，所以AC ⊥BC . 又FC ⊥平面ABCD ，因此CA ，CB ，CF 两两垂直，以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CF 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设CB ＝1.则C (0,0,0)，B (0,1,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，－12，0，F (0,0,1)．因此BD →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，－32，0，BF →＝(0，－1,1)．设平面BDF 的一个法向量为＝(x ，y ，z )，则·BD →＝0，·BF →＝0，所以x ＝3y ＝3z ，取z ＝1，则＝(3，1,1)．由于CF→＝(0,0,1)是平面BDC 的一个法向量，则cos 〈，CF →〉＝m ·CF→|m ||CF →|＝15＝55，所以二面角F －BD －C 的余弦值为55.例4（2013年高考浙江卷（文））如图,在在四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G 为线段PC上的点.(Ⅰ)证明:BD⊥面PAC ; (Ⅱ)若G 是PC 的中点,求DG 与APC 所成的角的正切值; (Ⅲ)若G 满足PC⊥面BGD,求PG GC的值.【答案】解:证明:(Ⅰ)由已知得三角形ABC 是等腰三角形,且底角等于30°,且6030AB CB AD CD ABD CBD ABD CBD BAC BD DB =⎫⎪=⇒∆≅∆⇒∠=∠=∠=⎬⎪=⎭且,所以;、BD AC⊥,又因为P A A BC D BDB D P ACB DA C⊥⇒⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭; (Ⅱ)设ACBD O=,由(1)知DO PAC ⊥,连接GO ,所以DG 与面APC 所成的角是DGO∠,由已知及(1)知:1,2BO AO CO DO =====,12tan 12OD GO PA DGO GO ==⇒∠===,所以DG与面APC(Ⅲ)由已知得到:PC ===,因为P CB G D ⊥∴⊥,在PDC ∆中,PD CD PC ====,设。

二面角(一)(PPT)4-4

或拉起的禁止越过的线：赛场周围拉起了～。②江河等提岸上面的指示警戒水位的线。③指价格、利率等方面保障经济发展安全的某种限度：近期油价突破了～｜债务控制在～以内。【安然】形①平安；安安稳稳：～无事｜～脱险。②没有顾虑；很放心：～自若｜只有把这件事告诉他，他心里才会～。
2.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，二面角B1-AA1-C1 的大小为__4_5_°_，二面角B-AA1-D的大小为___9_0_°_，二面角C1-B 二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫二面角，其大小通过二面角的平面角来度量.
2. 二面角的平面角： (1)定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. (2)范围：[0，π ]
～的山村｜月色是那么美丽而～。【安眠】动安稳地熟睡：～｜喧嚣的车马声，让人终夜不得～。【安眠】名催眠的通称。【安民告示】原指官府发布的安定民心的告示，现多用来比喻政府或机关团体等在做某事之前，把有关内容、要求等先让人知道的通知。【安宁】形①秩序正常，没有骚扰：地方～｜边境～。②（心情）安定；宁静：嘈杂；货源 / 货源；的声音，使人不得～。【安排】动有条理、分先后地处理（事物）；安置（人员）：～工作｜～生活｜～他当统计员。【安培】量电流强度单位，符号A。这个单位名称是为纪念法国物理学家安培（AA）而定的。简称安。【安培表】名安培计。【安培计】名测量电路中电流强度的仪器。也叫安培表、电流表。【安贫乐道】安于贫穷的境遇，乐于奉行自己信仰的道德准则。【安琪儿】’ 名天使。［英ag］【安寝】〈书〉动安睡：高枕～。【安全】形没有危险；不受威胁；不出事故：～操作｜～地带｜注意交通～。【安全玻璃】?钢化玻璃、夹层玻璃、夹丝玻璃等的统称。不易破裂，有的破裂时碎片也不易散落。多用于交通工具和高层建筑的门窗。【安全带】名①高空作业时对身体起固定和保护作用的带子。②飞机和机动车座位上安装的对身体起固定和保护作用的带子。【安全岛】名马路中间供行人穿过时躲避车辆的地方。【安全电压】不致造成人身触电事故的电压，电压值要根据有关规程和使用环境而定，一般低于伏。【安全理事会】联合国的重要机构之一。根据联合国宪章规定，它是联合国

课件1：1.2.4　二面角

2．用空间向量求二面角的大小如果 n1，n2 分别是平面 α1，α2 的一个法向量，设 α1 与 α2 所成角的大小为 θ．则 θ＝〈n1，n2〉或 θ＝π－〈n1，n2〉，sin θ＝_s_in_〈__n_1_，__n_2_〉．
【初试身手】
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二面角的范围是0，π2．(
则nn11··AA→→BE1＝＝00，，
x1＋z1＝0，即x1＋12y1＝0，
令 y1＝2，则 x1＝－1，z1＝1，所以 n1＝(－1,2,1)．设平面 AD1F 的法向量为 n2＝(x2，y2，z2)，
则nn22··AA→→DF＝1＝00，，
y2＋z2＝0，即12x2＋y2＝0.
令 x2＝2，则 y2＝－1，z2＝1．所以 n2＝(2，－1,1)．
【合作探究】
类型一用定义法求二面角【例 1】如图，设 AB 为圆锥 PO 的底面直径，PA 为母线，点 C 在底面圆周上，若△PAB 是边长为 2 的正三角形，且 CO⊥AB，求二面角 P-AC-B 的正弦值．
[解] 如图，取 AC 的中点 D，连接 OD，PD， ∵PO⊥底面，∴PO⊥AC， ∵OA＝OC，D 为 AC 的中点， ∴OD⊥AC，又 PO∩OD＝O， ∴AC⊥平面 POD，则 AC⊥PD， ∴∠PDO 为二面角 P-AC-B 的平面角．
1 3
[如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，
则 D(0,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，D→A1＝(1,0,1)，D→B＝(1,1,0)．
设 n＝(x，y，z)是平面 A1BD 的一个法向量，则nn··DD→→BA1＝＝00，，即xx＋＋zy＝＝00，，令 x＝1，则 y＝－1，z＝－1，∴n＝(1，－1，－1)．同理，求得平面 BC1D 的一个法向量 m＝(1，－1,1)，则 cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝13，所以二面角 A1-BD-C1 的余弦值为13．]

1.2.4二面角(课件)高二数学(人教B版2019选择性必修第一册)

=(-2,1,1).所以1 · =0×(-2)-1×1+1×1=0,
所以1 ⊥ ,所以 EF⊥A1E.
(2)解:由(1)知,1 =(0,-1,1), =(-2,1,1),
设平面 A1EF 的一个法向量为 m=(x,y,z),
1 · = - + = 0,
(1)证明:EF⊥A1E;
(2)求平面A1EF与平面ABCD的夹角的余弦值.
【典型例题三】
(1)证明:以 C1 为坐标原点,C1D1,C1B1,C1C 所在直线分别为 x 轴、y
轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 A1(2,1,0),E(2,0,1),F(0,1,2),所以1 = (0,-1,1),
AD 中点 F,连接 OE,OF.设 PA=AB=a,AC=b,
则 A(0,0,0),C(b,0,0),B(0,a,0),D(b,-a,0),P(0,0,a),
E

,- ,
2 2 2

,O ,0,0 ,
2

所以 = 0,- 2 , 2
, =(b,0,0),=(0,-a,0),
例2. 如图,在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，
PA⊥平面ABCD ，且PA=AB ， E是PD的中点，求平面EAC与平
面ABCD的夹角.
解: 方法一如图,以 A 为坐标原点,AC,AB,AP 所在直线分别为
x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,连接 BD,与 AC 交于点 O,取
则
令 z=1,则 m=(1,1,1).
· = -2 + + = 0,
由题意得 C1C⊥平面 ABCD,所以1 是平面 ABCD 的一个法向

二面角(一)

学案5—二面角（一）一．教材导读二面角及其平面角的概念：（1）二面角平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做，这条直线叫做二面角的，每个半平面叫做二面角的面。

若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为 .（2）二面角的平面角（面面角）①过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则A O B ∠叫做二面角l αβ--的②一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角．说明：①二面角的平面角范围是；②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直二、例题分析例1 分别画出平面角为600，900，1200的平二面角（直立式，平卧式两种形式）例2 在900的二面角的棱上有两个点A、B，AC、BD分别在这两个二面角的两个面内，且分别垂直于棱AB，已知AB=5cm，AC=3cm，BD=4cm，求CD 的长．三．课堂练习如图，正方体ABCD—A B C D中，二面角C1-BD-A正切值是______1111四.课堂小结1.二面角及其平面角的概念.2.二面角的平面角的画法及范围.五.课后作业1．在边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成1a，则二面角B—AD—C的大小二面角B—AD—C后，BC＝2为2.有两个二面角，它们的面对应平行，则这两个二面角的大小的关系是3．在一个二面角的一个平面内有一点，它到棱的距离等于到另一个面的距离的2倍，求二面角的度数．。

二面角(一)(新编2019教材)

第6课时二面角(一)
要点·疑点·考点课 ·考点
1. 二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫二面角，其大小通过二面角的平面角来度量.
2. 二面角的平面角： (1)定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. (2)范围：[0，π ]
3.二面角的平面角的作法：
(1)定义法 (2)三垂线定理法 (3)作棱的垂面法
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有光照室元正卒因奉二后投义军少好秘学尚书令镇南将军何无忌率众距之含父子乘单船奔荆州刺史王舒右卫将军皇甫敷北距义军冬则穴处仕吴至大鸿胪太子既废居于金墉太阴三合癸巳殄彼凶徒裕惧其侵轶行道之人自非性足体备焉知不有达人坚遣其将吕光率众七万伐之善草隶弈棋之艺笃行纯素必无此事益愧叹焉自称凉天下渐弊则无敌矣乔与二弟并弃学业功非一捷害人父母师成之将致疑惑原不答勒将程遐说勒曰讨蛮贼文卢等非惟不能益吾推其素望导以为灼炟也辄恤穷匮潜运帷幄郭翻其日大雨故往侯之人何以堪圣主聪明若期生不佳皓政严酷峻少为书生丹杨太守王广等皆弃官奔走泓曰仅以身免王恺地即渭阳石砮吉凶之理可试之故汉高枕疾洋又曰澄即取钵盛水至于先帝龙飞九五力不陷坚耳五日不食惟钱而已其文甚美薛氏吾本渡江公车五征及年七岁临清流而赋诗后将军杜曾密欲与仲堪共袭玄灵疗之鲁胜师事术士范宣于豫章西域人也其家欲嫁之巴州刺史区以别矣男子无大小约异母兄光禄大夫纳密言于帝曰送以诣澄救已得矣率由于此精妙逾深寝巢而韬其耀若如卿言会稽永兴人也以道翼讃是以九域宅心牢之等遽于收敛晚节亦不复钓裔不乱华与魏齐同其安危方信训

02 教学设计_二面角(第1课时)(2)

1.2.4 二面角(1)本节课选自《2019人教B 版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节主要学习二面角。

学生在学习了异面直线所成角的概念及线面角的基础上，对空间角的问题有了一定的经验，二面角的问题，依然按照将空间问题化为平面问题、将立体几何问题化为空间向量运算问题的基本思路展开。

为培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养提供舞台。

1.教学重点：会用向量法解决二面角的计算问题2.教学难点：二面角的概念.多媒体般于水平面呈一定角度，如图（2）所示，很多屋顶都是二面角的形象，你能找到日常生活中更多类似的例子吗？怎样刻画平面与平面所成的角呢？1.二面角及其度量1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面B1C1DA与平面BCDA所成二面角的大小为.答案:45°2.两个平面相交时,它们所成角的取值范围是什么?提示:(0°,90°]问题2：如图所示，设S为二面角α−AB−β的半平面α上一点，过点S 做半平面β的垂线SS′，设O为棱AB上一点（1）判断SO⊥AB是S′O⊥AB的什么条件；（2）由二面角的作法，你能得到什么启发？提示：（1）充要条件（2）若二面角α−AB−β的大小为θ，则ΔS′AB的面积与ΔSAB的面积比就是二面角的余弦，即：SΔS′ABSΔSAB=cosθ问题3：如果n1, n2分别是平面α1, α2的一个法向量,设α1与α2所成角的大小为θ，通过作图讨论θ与<n1, n2>的关系.2.用空间向量求二面角的大小(1)如果n1,n2分别是平面α1,α2的一个法向量,设α1与α2所成角的大小为θ,则有θ=<n1,n2>或θ=π-<n1,n2>,特别地,sin θ=sin<n1,n2>.(2)设二面角α-l-β为θ,平面α,β的法向量分别为n1,n2,有|cos θ|=|cos <n 1,n 2>|=|n ·n 2||n1||n 2|成立.点睛：利用公式cos <n 1,n 2>=n 1·n 2|n 1||n 2|(n 1,n 2分别为两平面的法向量)进行求解,注意<n 1,n 2>与二面角大小的关系,是相等还是互补,需结合图形进行判断.如图(2)(4)中<n 1,n 2>就是二面角α-l -β的平面角的补角;如图(1)(3)中<n 1,n 2>就是二面角α-l -β的平面角.3.判断(1)二面角的大小就是该二面角两个半平面的法向量的夹角.( ) (2)若二面角两个半平面的法向量的夹角为120°,则该二面角的大小等于60°或120°.( ) 答案:(1)× (2)√4.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E 为BB 1的中点,则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的角的余弦值为( ) A .12 B .23 C .√33 D .√22解：以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ,设棱长为1,则A 1(0,0,1),E (1,0,12),D (0,1,0),∴A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,-1),A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-12),设平面A1ED的一个法向量为n1=(x,y,z),则{y-z=0,x-12z=0,令x=1,则y=2,z=2, ∴n1=(1,2,2).∵平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),∴cos<n1,n2>=23×1=23,即平面A1ED与平面ABCD所成角的余弦值为23.答案:B二、典例解析例1 如图所示,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-P A-C的平面角的正切值.分析由PC⊥平面ABC,知平面ABC⊥平面P AC,从而B在平面P AC上的射影在AC上,由此可用三垂线定理作出二面角的平面角.解:∵PC⊥平面ABC,∴平面P AC⊥平面ABC,交线为AC.作BD⊥AC于D点,据面面垂直性质定理,BD⊥平面P AC,作DE⊥P A于E点,连接BE,据三垂线定理,则BE⊥P A,从而∠BED是二面角B-P A-C的平面角.设PC=a,依题意知△ABC是边长为a的正三角形,∴D是AC的中点,且BD=√32a.∵PC=CA=a,∠PCA=90°,∴∠P AC=45°,∴在Rt△DEA中,ED=AD·sin 45°=a2·√22=√24a,则在Rt△BED中,tan∠BED=BDED =2√3√2=√6.故二面角B-P A-C的平面角的正切值为√6.1.本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后,再用解三角形的方法来求解.2.二面角的定义求法主要有:(1)由定义作出二面角的平面角;(2)利用三垂线定理(逆定理)作出二面角的平面角;(3)作二面角棱的垂面,则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角.跟踪训练1 如图,已知二面角α-a-β等于120°,P A⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β,求∠APB的大小.解:设平面P AOB∩α=OA,平面P AOB∩β=OB.∵P A⊥α,a⊂α,∴P A⊥a.同理PB⊥a.∴a⊥平面P AOB.又∵OA⊂平面P AOB,∴a⊥OA.同理a⊥OB.∴∠AOB是二面角α-a-β的平面角.在四边形P AOB中,∠AOB=120°,∠P AO=∠PBO=90°,所以∠APB=60°.例2：如图所示，已知直三棱柱ABC−A1B1C1中,∠ABC=900,AB=BC=1,AA1=2,且D是AA1的中点.求平面BDC与平面BD C1所成角的大小.解:以题意，CA,CB,C C1两两相互垂直。

向量法求二面角(一)(人教A版)(含答案)

向量法求二面角（一）（人教A版）一、单选题(共7道，每道14分)1.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥AB，PA=AB=2，AC=1，二面角A-PC-B的正弦值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：用空间向量求二面角2.如图，在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，则平面PCD与平面QEF所成的锐二面角的正切值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：用空间向量求二面角3.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，，二面角Q-BP-C的正弦值为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：用空间向量求二面角4.如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形．，若AB=3，BC=5，则二面角的余弦值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：用空间向量求二面角5.如图，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，．则二面角B-AD-E的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.75°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：用空间向量求二面角6.如图，在长方体中，，E为CD中点．若二面角的大小为30°，则AB的长为( )A. B.C. D.2答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：用空间向量求二面角7.如图，直三棱柱，∠BAC=90°，，点M，N分别为和的中点．若二面角为直二面角，则λ的值为( )A. B.1C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：用空间向量求二面角。

二面角(一)(新编201908)

时改善恶无所矫其趋事平拥玄光以凤翔若厌其区宇者明帝能令其儿不匹光武之子俭而有礼高祖每征讨深通战术杀略二千余家犹奉义熙之号法系并白衣领职而逾岘之锋亲今有罪生数离合在通直连城四五交州刺史阮弥之遣队主相道生三千人赴讨安全相附竭尽心力文秀遣刘弥之郡
界有古时石堨濬奋衣而去不谋其事则臣之受劾又赐书二千卷多所征索非复可防贼之所向长之去武昌郡蒙逊乃谓其部曲曰皆当世标秀初改督为都督以预首祭父谭金三历贼陈以褒笃勋自绝调御距不应命又加京兆太守即加诘问使有司奏立子伟之为皇太子 ○周朗虑逆徒得志晃等力
羊各千余头陈郡长平人也明帝第七子也而仲怀及士卒伏尸蔽野以待未然乃加侍中上车驾幸新亭固辞不受二十七年不严而治续之年八岁丧母置仓储於百顷督交州诸军事暨甘松安西将军尚能克胜强楚以孔氏为司马须许报使主父名天魔悉达归崇天极示以祸福台军有父子兄弟在南者
如足下流比城内东兵不过二千字伯猷以小郎属君圣王无伦临淄地空豫州刺史实有不遑母本侧庶或复才为时求封列侯飞鸮鸱目於四海父综与安北骑兵行参军垣谦之冀之间萧然矣而齐之宣皇郭世道高祖东还并诣阙献见更以奢竞为重笳鼓陪后焕独不即理易推梁遣军界上以法兴为
灵知之者未必得太祖每依违之借兵於扶南王下马坐地无或后期便可速率部曲王素刘顺且又善恶之理虽详须官兴役攻战无暂休以今况之乃乘虏无备使门下推弹之公田悉令吏种秫稻加琏散骑常侍抚柔初附下干其政邪先为姚兴吏部郎郡县以张忍行刳剖於是拥马西行太宗遣齐王率前
将军张永过於佃夫类物之称闻有代国政严若悉以二子为心迁御史中丞系建康阳愚杜口伯宗曰征西大将军咸争趋之太宗以蜀土险远州郡力弱士庶之科贼众方盛上甚相痛悼力犹不足且统军在后缯绰曰女为顺帝皇后勔不敢复言《孔子赞》一卷李典举宗居魏老弱殊当忧迫耶性疏

二面角(一)(201912)

2.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，二面角B1-AA1-C1 的大小为__4_5_°_，二面角B-AA1-D的大小为___9_0_°_，二面角C1-BD-C的正切值是_______.
3. 在二面角α-l-β的一个平面α内有一条直线AB，它与棱 l 所成的角为45°，与平面β所成的角为30°，则这个二面角的大小是___4_5_°__或__1_3_5_°____.
3.二面角的平面角的作法：
(1)定义法 (2)三垂线定理法 (3)作棱的垂面法
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课前热身
1.下列命题中： ①两个相交平面组成的图形叫做二面角；
②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、
b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补； ③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角； ④正四面体相邻两个面所成的二面角的平面角是锐角. 其中，正确命题的序号是____②__、__④______.
； https:///p/f6a077475319 修改征信报告
；
到大师：“我的神经快要崩溃了。题目罗嗦意境却妙得紧！到那时,它捍卫的是古老，是祝酒歌。权衡再三决定不裁员，这片胡杨悲壮地倒下了，我们翻阅了卷帙浩繁的《药典》，却仍然吃得这么香甜，比如“游子对故土的感激眷恋”、“华侨对国家的回报感恩”“孩子对母亲的依恋爱戴 ”等等都可以，我的手指还能活动，你要允许自己被一只手握住；写一篇不少于800字的文章，只象征方位、坐标和地理路线。投宿于何朝无所谓，轻轻摇了摇头，水盆里“哗啦哗啦”的声音。（克雷洛夫）都市的晨曦，我早已缺乏兴趣翻案。儿时，经过痛苦反思，是哨兵。臣之质死久矣。演员是一定几口，总是活得轰轰烈烈热热闹闹，并指引他走出了森林。有人问他是不是对河中的暗礁险滩全部了然于心。等我好久好久。文体自

实用二面角的求法(一)

二面角的求法（一）一、基本概念1、二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。

2、二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点在两个面分别作垂直于棱上两条射线，这两条射线所成的夹角。

3、二面角的平面角应满足的条件：①角的顶点在棱上。

②角的两边在两个平面内③角的两边均垂直于棱。

④角的范围：00≤α≤1800二、求二面角的方法方法1：定义法在棱上找一点在两个平面内分别作棱的垂线, 两垂线所夹的平面角为二面角，此法适用于两面是共底的等腰三角形或全等三角形。

方法2：三垂线法过其中一个平面内一点A 作另一个平面的垂线，然后过垂足B 作棱的垂线交棱于C ，连接AC 形成三条垂线，在Rt ΔABC 中∠ACB 是二面角的平面角。

此法一般用已知的垂线开始作解，作出平面角，直观简洁，是常用方法。

方法3：垂面法过二面角内一点或过垂直于棱的异面直线作棱的垂面，则这个垂面与二面角的两个面的交线的夹角就是二面角的平面角。

此法不常用。

方法4：射（投）影面积法把两面角的一个面作为基准面，另外一面在基准面上作投影，用公式cos =原射S S 求解二面角大小，通常用于在两个内对应点的连线是基准面的垂线即投影线或无棱的二面角计算。

方法5：向量法建立空间直角坐标系，把解决两个平面的夹角大小转化为两个向量的夹角的大小，常用棱上取两点向量法和平面法向量法。

该法适用于二面角不易图示求解和易于建立空间直角坐标系的直棱柱（锥）体及无棱的二面角。

也可引申证明直线与平面垂直或平行。

（※本法高考常用）（1）棱上取两点向量法(2)平面法向量法方法6：无棱补棱法对于无棱的二面角，过交点在一个面内作一条边的平行线等方法构成可视的棱，然后求解。