QR分解ppt课件

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qr分解原理

qr分解原理QR分解原理。

QR分解是一种常用的矩阵分解方法，它可以将一个矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。

在数值计算和线性代数中，QR分解被广泛应用于求解线性方程组、最小二乘问题以及特征值计算等领域。

本文将详细介绍QR分解的原理及其应用。

QR分解的原理。

给定一个m×n（m≥n）的矩阵A，我们希望将其分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，即A=QR。

其中，Q的列向量是正交的，即Q^TQ=I，R是一个上三角矩阵。

QR分解的过程可以通过Gram-Schmidt正交化方法来实现。

Gram-Schmidt正交化方法的基本思想是：对于矩阵A的每一列向量，我们将其投影到前面列向量张成的子空间上，然后将这个投影的分量从原始向量中减去，得到一个新的正交向量。

重复这个过程，直到所有的列向量都被正交化。

具体的步骤如下：1. 对于矩阵A的第一列向量a1，我们将其单位化得到q1=a1/||a1||，这里||a1||表示向量a1的模。

2. 对于矩阵A的第二列向量a2，我们先将其投影到q1上，得到投影长度为a2^Tq1，然后将这个投影的分量从a2中减去，得到一个新的正交向量b2=a2-a2^Tq1q1。

最后将b2单位化得到q2=b2/||b2||。

3. 对于矩阵A的第三列向量a3，我们先将其投影到q1和q2张成的子空间上，然后将这个投影的分量从a3中减去，得到一个新的正交向量b3。

最后将b3单位化得到q3。

重复以上步骤，直到所有的列向量都被正交化。

最终得到一个正交矩阵Q，将Q^T与矩阵A相乘，得到上三角矩阵R。

QR分解的应用。

QR分解在数值计算和线性代数中有着广泛的应用。

其中最为重要的应用之一就是求解线性方程组。

对于一个m×n（m≥n）的矩阵A和一个n维向量b，我们希望求解Ax=b。

利用QR分解，我们可以将矩阵A分解为QR，然后将方程组Ax=b转化为QRx=b。

再利用正交矩阵的性质Q^TQ=I，我们可以将方程组进一步转化为Rx=Q^Tb，最后利用上三角矩阵R进行回代求解出向量x。

利用qr分解解方程

利用qr分解解方程
摘要：
一、QR 分解简介
1.QR 分解的定义
2.QR 分解在解方程中的应用
二、QR 分解解方程的步骤
1.确定方程的形式
2.构造QR 矩阵
3.求解矩阵方程
三、QR 分解解方程的实例
1.实例一
2.实例二
四、QR 分解解方程的优势与局限
1.优势
2.局限
正文：
QR 分解是一种在数学和工程领域广泛应用的矩阵分解方法，它可以将一个矩阵分解为两个矩阵的乘积，其中一个矩阵是正交矩阵，另一个矩阵是上三角矩阵。

QR 分解在解方程中有着广泛的应用，尤其适用于求解具有特殊形式的矩阵方程。

在进行QR 分解解方程时，首先需要确定方程的形式。

这通常涉及到将方
程进行适当的变形，以便于构造QR 矩阵。

接下来，需要构造QR 矩阵，这一步骤通常涉及到高斯消元法等算法。

构造出QR 矩阵后，可以利用矩阵的乘法性质求解矩阵方程。

在实际操作中，QR 分解解方程的过程可能需要借助计算机进行。

不过，随着计算机性能的提升和计算方法的优化，QR 分解解方程的计算速度已经得到了显著提高。

QR 分解解方程在许多实际问题中都有着广泛的应用，例如在图像处理、信号处理、量子力学等领域都有着重要的作用。

然而，QR 分解解方程也存在一些局限，例如它不适用于所有类型的矩阵方程，且在处理大型矩阵时可能需要耗费较大的计算资源。

总的来说，QR 分解解方程是一种在数学和工程领域中有着广泛应用的计算方法，它可以帮助我们有效地求解具有特殊形式的矩阵方程。

QR二维码编、解码原理PPT课件

8）填充位和填充码字：本例中，数据位流长度为72位，满足数据容量要求，无需添加填充位和填充码字。
9）位流到码字的转换：所得的数据位流将被分为一个个码字，所有的码字长度都是8位。综上，所得到的数据码字序列为：
00010000 01000000 00001100 01010110 01101010 01101110 00010100 11101010 01010000
6）数字模式中位流的长度计算公式：B=4+C+10（D DIV 3）+R=4+10+50+4=68
编码
7
2.数据编码：采用既定规则，数据字符转换为位流，加必要符号，后将位流转换为码字例：对数字0123456789012345（16个数字字符）进行编码，生成QR码。
编码
7）添加终止符：查表可知版本1-H的数据位数应为72，故需添加终止符序列0000，此时数据位流为72位，满足版本要求。
二维码基础 --QR（Quick Response）码
2
纲要
I.
QR码的编码
II.
QR码的解码
3 编码：QR码符号的结构
编码
每个QR码符号由名义上的正方形模块构成，组成一个正方形阵列，它由编码区域和能包用括于寻数象据图编形码、。分符隔号符的、四定周位由图空形白和区校包正围图。形下迅在图速内为地的QR识码功别版能可本图能7形符的组号Q成的R码。结功构能图图。形不
4) 将字符计数指示符转换为二进制（查表知版本1-H为10位）：字符数为：16→0000010000
5) 加入模式指示符0001（查表）以及字符计数指示符的二进制数据： 0001 0000010000 0000001100 0101011001 1010100110 1110000101 0011101010 0101

利用qr分解解方程

利用qr分解解方程QR分解是一种常用的矩阵分解方法，可以用来解线性方程组或者求矩阵的逆。

本文将介绍QR分解的基本原理和具体的解方程的过程。

一、QR分解的基本原理QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R 的乘积。

正交矩阵Q的列向量两两正交且模长为1，上三角矩阵R的主对角线以下元素全为0。

QR分解可以应用于解线性方程组和矩阵的逆求解等问题。

二、解方程过程假设有一个线性方程组Ax=b，其中A是一个已知的矩阵，x和b是待求解的向量。

我们可以通过QR分解来解决这个方程组。

1. 对矩阵A进行QR分解，得到A=QR，其中Q是一个正交矩阵，R是一个上三角矩阵。

2. 将原始方程组Ax=b转化为QRx=b。

3. 由于Q是正交矩阵，所以它的逆等于它的转置：Q^TQ=I，其中I 是单位矩阵。

将这个关系应用到方程QRx=b上，得到R^T(Q^TQ)x=R^Tb，化简得Rx=Q^Tb。

4. 由于R是一个上三角矩阵，可以方便地求解该方程。

从最后一行开始，先求解最后一个变量的值，然后带入到倒数第二行，继续求解倒数第二个变量的值，依次类推，直到求解出所有变量的值。

三、案例分析假设有一个线性方程组：2x + 3y = 54x + y = 81. 构造系数矩阵A和常数向量b：A = [[2, 3], [4, 1]]b = [5, 8]2. 对矩阵A进行QR分解，得到A=QR：Q = [[0.447, -0.894], [0.894, 0.447]]R = [[4.472, 2.236], [0, 2.683]]3. 将方程QRx=b转化为Rx=Q^Tb：Q^Tb = [[2.236], [6.708]]Rx = [[4.472, 2.236], [0, 2.683]] * x = [[2.236], [6.708]]4. 通过回代求解变量的值：由第二行可得，2.683x_2 = 6.708，解得x_2 = 2.5代入第一行可得，4.472x_1 + 2.236 * 2.5 = 2.236，解得x_1 = -0.5所以，原方程组的解为x = [-0.5, 2.5]。

矩阵的分解QR分解

例：设A=
2
1
2 ，求QR分解.
1 2 1
解：设A= x1, x2, x3 ，其中x1=(1,2,1)T , x2 =(2,1,2)T , x3=(3,2,1)T .
可以验证r(A)=3,所以A 满秩.
由正交化过程得y1
=(1,2,1)T
,
y2
=(1,-1,1)T
,
y3
=(
1 2
,0,-
1 2
)T
.
单位化：z1 =(
1, 6
2, 6
ห้องสมุดไป่ตู้
1 6
)T
,
z2
=(
1 ,3
1, 3
1 3
)T
,
z3
=(
1 ,0,2
1 )T . 2
令Q=(z1, z2 , z3),则
||y1||
R=
0
0
(x2 , z1) ||y2|| 0
6
( x3 , ( x3 ,
z1 z2
) )
=
0
||y3||
0
6 3 0
一组基
x1, , xn，xn+1, , xm ,
令 B=(x1, , xn，xn+1, , xm )=(A,K)为m阶满秩方阵，由定理
1知存在正交阵Q Rmm及正线上三角阵S Rmm , 使B=QS.
令S=(R, S1), R为m n阶阵(列满秩),所以
B=(A,K)=QS=Q(R, S1)=(QR, QS1)
第二章矩阵的分解
第一节 QR分解
定理1：设满秩方阵A Rnn ,则存在正交矩阵Q及正线上三角阵R，满足A=QR,且分解唯一.

第二节QR分解

定理
是一个单位向量，设 u ∈ C 是一个单位向量，则对于任意的
n
x∈C
n
a = x 2 , ax H u 为实数存在Householder矩阵H Householder矩阵存在Householder矩阵H，使得 Hx = au其中
证明则当则
当x=0时，任取单位向量 x=0时
ω ∈Cn
1 x 2 = y1 + y 2 = e1 + 5e 2 2
1 x3 = y1 − y 2 + y 3 = 2e1 − e 2 + 2e3 5
从而
A = QR =
3 0 5 0 4 5 1 0
4 2 0 5 − 1 2
y1 = x1 T y y2 = x2 − (( x21 ,, y11 )) y1 = x2 − y1 = (1,−1,1) y y x y3 = x3 − (( x31 ,, y11 )) y1 − (( y32 ,, y22 )) y2 y y T 1 1 = x3 − 2 y1 − 3 y2 = 3 (− 1,1,2 )
(
)
由于 (x − au) (x − au) = x x − ax u − au x + a u u
H H H H 2 H
= x x − ax u
H H
(
)
H
− au x + x
H
2 2
= 2( x H x − a u H x) = 2( x − au ) H x
( x − au) H x ( x − au) = au 所以 H (ω ) x = x − 2 H ( x − au) ( x − au)

QR分解

最近在看张贤达老师的《矩阵分析与应用》，在看到HouseHolder 的QR 分解时，看到了书中的一些错误。

现在记录一下。

HouseHolder 变换可以实现任意mxn 矩阵A 的QR 分解，其原理是使用变维向量的HouseHolder 变换，使得该向量除第一个元素以外，其它元素都变为0.HouseHolder 向量取值:)(11x e X w --=-βββ其中 ||||||||,||||-111X x X x x -==-ββ(书中的公式), 根据这个公式我们是得不到正确w 的，除非1x 等于1.而实际上，这个公式应该是:||||||-11-X x x ==ββ，利用这个公式，才能得到正交矩阵 T ww I H -=。

随后给出的例子4.7.1，求线性方程组的最小二乘解。

17623252212121=+-=+=+x x x x x x后面给出的增广矩阵却是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2176832521A 这个8和21不知是哪里出来的。

然后后面的算法也很不靠谱，根据个人程序的运行结果:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------===⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------==-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----==--2176832521100010001154.0313.0937.0772.0554.0312.0617.0771.0156.0154.000711.1012.10958.22809.7403.6]809.0,160.1,0[659.1950.00447.0350.00958.22809.7403.6]871.0,290.0,0752.1[21121112211QR QQ H H H H Q A H H R u A H u T T T T。

QR-快速反应课件

厂家和零售商联合开发新产品，其关系的密切超过了购买与销售的业务关系，缩短从新产品概念到新产品上市的时间，而且经常在店内对新产品实时试销。
17
6、QR的集成：
快速反应
Summary and report of atmospheric simple creative work ppt template of microsomal Business ReportSummary and report
QR方法要求供应链中企业在面对纺织服务业这一类型多品种、小批量的买方市场时，不是预先储备好了“产品”，而是准备了各种“要素”，一旦客户提出要求时，能以最快速度抽取“要素”，及时“组装”，为其提供所需服务或产品。
11
快速反应
QR的实施步骤：
Summary and report of atmospheric simple creative work ppt template of microsomal Business ReportSummary and report
QR的自动补货要求供应商更快、更频繁地运送重新订购的商品，以保证店铺货
源充足，提高销售额。某些基本商品每年的销售模式实际上都是一样的，一般不会
受到流行趋势的影响，因为这些商品的销售是可以预测的。
14
快速反应
Summary and report of atmospheric simple creative work ppt template of microsomal Business ReportSummary and
QR前4步的实施，可以使零售商和消费品制造商重新设计产品补货、采购和销
售业务流程。前5步使配送中心得以改进，可以适应频繁的小批量运输，使配送业务

第二节QR分解

Householder变换又称为反射变换或镜像变换，有
明显的几何意义。在R3 中，给定一个向量，令表示
关于平面（以为法向量）的反射变换所得像，如
图所示，记 R3
H () I 2 T
则 H ()
O
+
即：该变换将向量变成了以为法向量的平
面的对称向量。
定义设是C n一个单位向量，令
2、QR分解在求解线性方程组最小二乘问题中有重要应用。见P121。
例1：利用Schmidt正交化方法求矩阵的QR分解A
0 0
3 4
1 2
2 1 2
设 x1 0,0,2T , x2 3,4,1T , x3 1,2,2T , 则 x1, x2 , x3
线性无关，首先将它们正交化得：
y1 x1 0,0,2T ,
若F（s）是f(t)拉氏变换，则称f(t)是F（s）的拉氏逆变换或向原函数，记为
f (t) L1(F (s))
拉氏变换存在定理：若函数f(t)满足：1）在 t 0 的任一有限区间上分段连续； 2）当 t 时f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即存在 M 0 , 0 , 使得 f (t) Met ,0 t 成立，则 f(t)的Laplace变换在半平面 Re(s) 上一定存在，并且
1
c
s
(k)
1
Tkl
1
s
c 1
(l)
1
(k )
(l )
称Tk为l Givens矩阵或初等旋转矩阵；
由 Tk所l 确定的线性变换称为Givens变换或初等旋转变换。容易验证，Givens矩阵是酉矩阵，且det Tkl 。 1
定理对于任意向量 x ，C存n 在Givens变换，T使kl 得

第十一讲矩阵的QR分解

第十一讲矩阵的QR分解一．Givens 矩阵与Givens 变换1．定义：设实数c 与s 满足221c s +=，称ij T ＝11()11()11c s i s c j←−←(i j <)为Givens 矩阵（初等旋转矩阵），也记作(,)ij ij T T c s =。

由Givens 矩阵所确定的线性变换称为Givens 变换（初等旋转变换）。

说明：（1）实数221c s +=，故存在θ，使cos(),sin()cs θθ=。

（2）ij y T x =中ij T 确定了将向量x 变成y 的一种变换，正是Givens变换。

二阶情况下，cos()sin()sin()cos()y x θθθθ =−确定的正是平面直角坐标系中绕原点的一个旋转变换（旋转θ度）。

（3）以上实Givens 矩阵也可推广称为复初等旋转矩阵。

123411()11()11ikj j U j j ce sei k seceθθθθ=←←−其中c 与s 仍为满足221c s +=的实数，1234,,,θθθθ为实角度。

显然，2314()()22det()j j ik U c e s e θθθθ++=+当1423θθθθ+=+时，14()det()j ik U eθθ+=当14232n θθθθπ+=+=时，det()1ik U = 2. 性质（1）1(,)(,)(,)Tij ij ij T c s T c s T c s − ==− , sin()sin()s θθ−=−=−,旋转θ度再反向旋转度θ()det ,1ij T c s =（2）设[]12T n x ξξξ= ，[]12Tij n y T xηηη== ，则有(,)ii j j i j k kc s s c k i j ηξξηξξηξ=+=−+ =≠ 当220ijξξ+≠时，总可以选22i i j c ξξξ=+，22j i j s ξξξ=+使22221200Ti i jij i j n j T x ηξξξξξξξη =+→=+=定理1. 设[]120Tn xξξξ≠ ，则存在有限个Givens 矩阵的乘积T ，使得1Tx x e =说明：（1）22T x x x x ==(x 为实数时)，H x x x =（x 为复数时）。

矩阵的QR分解57页PPT

45、法律的制定是为了保证每一个人自由发挥自己的才能，而不是为了束缚他的才能。—— 罗伯斯庇尔
Hale Waihona Puke 谢谢11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
矩阵的QR分解
41、实际上，我们想要的不是针对犯罪的法律，而是针对疯狂的法律。 ——马克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就像影子跟随着身体一样。— —贝卡利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进步。— —杰弗逊 44、人类受制于法律，法律受制于情理。— —托·富勒

(完整版)QR分解及其应用

《矩阵分析与应用》专题报告――QR分解及应用学生姓名：卢楠、胡河群、朱浩2015年11月25日目录1 引言 (3)2 QR 分解 (4)2.1QR分解的性质 (4)2.2 QR分解算法 (5)2.2.1 采用修正Gram-Schmidt法的QR分解 (5)2.2.2 Householder QR 分解 (6)2.2.3 采用Give ns旋转的QR分解 (8)3 QR分解在参数估计中的应用 (9)3．1 基于QR 分解的参数估计问题 (9)3. 2 基于Householder 变换的快速时变参数估计 (12)3. 3基于Give ns旋转的时变参数估计 (14)4 QR分解在通信系统中的应用 (16)4.1基于QR分解的稳健干扰对齐算法 (16)4.2基于QR分解的MIMO置信传播检测器 (19)总结 (21)参考文献 (22)1 引言矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质的若干矩阵之积或之和，大体上可以分为满秩分解、QR 分解和奇异值分解。

矩阵分解在矩阵分析中占有很重要的地位，常用来解决各种复杂的问题。

而QR分解是工程中应用最为广泛的一类矩阵分解。

QF分解是目前求一般矩阵全部特征值的最有效并广泛应用的方法，一般矩阵先经过正交相似变换成为Hessenberg 矩阵，然后再应用QF分解求特征值和特征向量。

它是将矩阵分解成一个正交矩阵Q与上三角矩阵R, 所以称为QR分解。

参数估计是在已知系统模型结构时，用系统的输入与输出数据计算系统模型参数的过程。

它在系统辨识和无线通信领域有着广泛的应用。

18 世纪末德国数学家C.F. 高斯首先提出参数估计的方法，他用最小二乘法计算天体运行的轨道。

20 世纪60 年代，随着电子计算机的普及，参数估计有了迅猛的发展。

参数估计有很多方法，如矩估计、极大似然法、一致最小方差无偏估计、最小风险估计、同变估计、最小二乘法、贝叶斯估计、极小极大熵法等。

其中最基本的是最小二乘法和极大似然法。

数值分析QR方法PPT课件

（3）如取位移为
，则
最后一行非对角元二
阶收敛于零（特别对于对称矩阵，能达到三阶收敛），其
第39页/共50页
加速技术下的算法：
（（
1 2
））
确对
定矩
计算精
阵Ak
度取1加0速E-因m子an(nk
)
进行加速
（3）判断矩阵 Ak 的最后一行非对角元素是否小于要求
的精度，如果不小于，继续加速迭代，如已经小于精度，
,n ,n
a
(1) pq
a(1) qp
1 2
(aqq
app )sin 2
a pp
cos 2
ai(j1)
a(1) ji
aij ,i,
j
p, q
选取φ满足 cot 2 app a qq
2a pq
我们就有
a(1) pq
a(1) qp
0
第9页/共50页
Jacobi法的算法
1. 令k＝1，R（1）＝I，给定矩阵A（＝A（1）），收敛条件ε
第11页/共50页
QR方法
cf:《矩阵计算》，G.H. Golub& F. Van Loan 袁亚湘等译，第五章（5.1、5.2节）
第12页/共50页
• QR方法是计算中小型矩阵特征值和特征向量的有效方法之一； • QR方法最重要的一步是对A进行正交分解使得A＝QR，其中Q为一特殊正交矩
阵； • 理论上，QR方法可以应用于任何矩阵，但对以下几类矩阵效率很高：1）对称
三对角矩阵；2）Hessenberg矩阵；3）对称带状矩阵
第13页/共50页
QR方法的理论依据
定理（实Schur分解定理）：设A是一个n阶实方阵，那么存在一个正交矩阵Q使得A相似于

快速反应之QRPPT课件

QR快速反应
第一组代表：龚小梅许小玲
.
1
何所谓QR???
• QR（quick reponse）即快速反应，是供应链管理中的术语，指通过共享信息来建立一个快速供应体系来实现销售额的增长，以达到顾客服务的最大化，及商品缺货，商品风险和减价最小化的目的。
.
2
如何实现QR
• 必须改变传统的经营方式，革新企业的经营意识和组织。
• 销售额大幅度提升。 • 商品周转率大幅度提高。 • 需求误差大幅度下降。
.
4
此上使我们第一小组的成果
• 谢谢观赏
.
5
• 必须开发和应用现代化信息和技术，这是成功进行QR的前提。
• 必须与供应链建立战略伙伴关系。
• 必须改变传统的企业商业信息保密的做法，将销售信息，库存信息，成本信息与合作伙伴共享，并在此基础上要求各方一起发现问题，分析问题和解决问题。
• 供应方必须缩短周期，降低商品库