(全国通用版)中考数学复习第五单元四边形方法技巧训练(五)几何中与中点有关的计算与证明课件
中考数学系统复习第五单元四边形方法技巧训练二几何中与中点有关的计算与证明练习
方法技巧训练(二) 几何中与中点有关的计算与证明方法指导1 有关中点的常见考法 (1)直角三角形斜边上的中线如图,在Rt △ABC 中,点D 是斜边AB 的中点,则BD ＝12AB,AD ＝CD ＝DB.反过来,在△ABC 中,点D 在AB 边上,若AD＝BD ＝CD ＝12AB,则有∠ACB ＝90°.解题通法：直角＋中点⇒直角三角斜边上的中线．(1)图 (2)图 (3)图(2)等腰三角形“三线合一”如图,在△ABC 中,若AB ＝AC,通常取底边BC 的中点D,则AD ⊥BC,且AD 平分∠BAC.解题通法：事实上,在△ABC 中：①AB ＝AC ；②AD 平分∠BAC ；③BD ＝CD ；④AD ⊥BC.对于以上四条语句,任意选择两个作为条件,就可以推出另两条结论,即“知二得二”．(3)线段垂直平分线如图,直线l 是线段BC 的垂直平分线,则可以在直线l 上任意取一点A,得到AB ＝AC,即△ABC 是等腰三角形． 解题通法：遇到垂直平分线⇒线段相等⇒等腰三角形． (4)倍长中线在△ABC 中,M 为BC 的中点．①如图1,连接AM 并延长至点E,使得AM ＝ME,连接CE,则△ABM ≌△ECM.②如图2,点D 在AB 边上,连接DM 并延长至点E,使得ME ＝DM,连接CE,则△DMB ≌△EMC.解题通法：遇到三角形一边上的中点,常常倍长中线,利用“8”字形全等将题中条件集中,以达到解题的目的．图1 图2(5)构造三角形的中位线在△ABC 中,D 为AB 边的中点．①如图1,取AC 边上的中点E,连接DE,则DE ∥BC,且DE ＝12BC.②如图2,延长BC 至点F,使得CF ＝BC,连接CD,AF,则DC ∥AF,且DC ＝12AF.解题通法：三角形的中位线从位置关系和数量关系两个方面将图形中分散的线段关系集中起来,通常需要再找一个中点来构造中位线,或倍长某段线段构造中位线．拓展：如果已知中点的边不在一个三角形中,则需先添加辅助线构造中点,然后构造三角形的中位线解题．如在四边形ABCD 中,点E,H 分别为AB,CD 边的中点,则先连接AC,然后取AC 边的中点F,连接EF,FH,则EF 为△ABC 的中位线,FH 为△ACD 的中位线．图1 图2(6)中点四边形如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是四边形的边AB,BC,CD,AD的中点．结论：①连接EF,FG,GH,EH,则中点四边形EFGH是平行四边形．②若对角线AC和BD相等,则中点四边形EFGH是菱形．③若对角线AC与BD互相垂直,则中点四边形EFGH是矩形．④若对角线AC与BD互相垂直且相等,则中点四边形EFGH是正方形．方法指导2中考数学中涉及“一半”的相关内容①直角三角形斜边中线等于斜边的一半；②30°角所对的直角边等于斜边的一半；③三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半；④圆周角的度数等于它所对弧圆心角度数的一半．题组11．如图,在△ABC中,E为BC边的中点,CD⊥AB,AB＝2,AC＝1,DE＝32,则∠CDE＋∠ACD＝(C)A．60°B．75°C．90°D．105°2．如图,在△ABC中,D是BC上一点,AB＝AD,E,F分别是AC,BD的中点,EF＝2,则AC的长是(B) A．3 B．4 C．5 D．63．如图,在四边形ABCD中,∠DAB＝90°,∠DCB＝90°,E,F分别是BD,AC的中点,AC＝6,BD＝10,则EF的长为(B) A．3 B．4 C．5 D.74．如图,在钝角△ABC中,已知∠A为钝角,边AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E.若BD2＋CE2＝DE2,则∠A的度数为135°．5．(青岛)如图,已知正方形ABCD的边长为5,点E,F分别在AD,DC上,AE＝DF＝2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为342．题组26．如图,在△ABC 中,两条中线BE,CD 相交于点O,则S △DOE ∶S △DCE ＝(B)A ．1∶4B ．1∶3C ．1∶2D ．2∶37．(陕西)如图,在菱形ABCD 中,点E,F,G,H 分别是边AB,BC,CD 和DA 的中点,连接EF,FG,GH 和HE.若EH ＝2EF,则下列结论正确的是(D)A ．AB ＝2EF B ．AB ＝2EFC ．AB ＝3EFD ．AB ＝5EF8．(苏州)如图,在△ABC 中,延长BC 至D,使得CD ＝12BC,过AC 中点E 作EF ∥CD(点F 位于点E 右侧),且EF ＝2CD,连接DF.若AB ＝8,则DF 的长为(B)A ．3B ．4C ．2 3D ．3 29．如图,在△ABC 中,AB ＝10,AC ＝6,则BC 边上的中线AD 的取值范围是2＜AD ＜8．10．(武汉)如图,在△ABC 中,∠ACB ＝60°,AC ＝1,D 是边AB 的中点,E 是边BC 上一点．若DE 平分△ABC 的周长,则DE 的长是32．11．(1)如图1,在四边形ABCD 中,F,E 分别是BC,AD 的中点,连接FE 并延长,分别与BA,CD 的延长线交于点M,N,已知∠BME ＝∠CNE,求证：AB ＝CD ；(提示：取BD 的中点H,连接FH,HE 作辅助线)(2)如图2,在△ABC 中,点O 是BC 边的中点,D 是AC 边上一点,E 是AD 的中点,直线OE 交BA 的延长线于点G.若AB ＝DC ＝5,∠OEC ＝60°,求OE 的长度．图1 图2解：(1)证明：连接BD,取DB 的中点H,连接EH,FH. ∵F,E 分别是BC,AD 的中点, ∴EH ∥AB,EH ＝12AB,FH ∥CD,FH ＝12CD.∴∠BME ＝∠HEF,∠CNF ＝∠HFE.∵∠BME ＝∠CNE, ∴∠HEF ＝∠HFE.∴HE ＝HF.∴AB ＝CD.(2)连接BD,取DB 的中点H,连接EH,OH. ∵O,E 分别是BC,AD 的中点,∴EH 平行且等于12AB,OH 平行且等于12CD.∵AB ＝CD,∴HO ＝HE.∴∠HEO ＝∠HOE ＝∠OEC. ∵∠OEC ＝60°,∴∠HEO ＝∠HOE ＝60°. ∴△OEH 是等边三角形． ∵AB ＝DC ＝5,∴OE ＝52.。
四边形解题技巧专题中点问题作业ppt
特殊四边形面积的求解
总结词
掌握特殊四边形的面积计算方 法
具体步骤
对于平行四边形，面积等于底乘 以高；对于正方形，面积等于边 长的平方；对于矩形，面积等于 长乘以宽
适用情况
适合解决面积问题、周长问题等
04
中点问题解题技巧
利用中点进行倍长线段
倍长中线
利用中点的性质，可以倍长四边形中的线段，构造出新的三 角形或四边形，从而利用已知条件解决问题。
解析。
针对经典例题的多种解法进行 比较分析，帮助学生了解不同 解法的优劣，开拓解题思路。
学生易错题解析
总结词：难点突破，扫清误区
分析学生在解决四边形专题中点问题时容易出现的典型错误和易混淆知识点
通过正误对比、辨析，帮助学生认识自身解题中的常见错误，防止在考试中出现 类似错误。
同类型题目实战演练
总结词：强化训练，举一反三
构造平行四边形
通过倍长中线，可以构造出平行四边形，从而可以利用平行 四边形的性质解决问题。
中点与直角三角形的性质
利用中点构造直角三角形
在四边形中，如果有一个内角是直角，那么可以利用中点的性质，构造出两 个直角三角形，从而可以利用直角三角形的性质解决问题。
斜边上的中线
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，可以利用这个性质，构造 出等腰三角形或平行四边形，从而解决问题。
性质2
四边形中点与四个顶点连线的交点为四个外接圆的圆心
四边形内切圆的性质
1 2
性质1
四边形内切圆的圆心到四边形各边的距离相等
性质2
四边形内切圆的直径等于四边形两相邻边长之 和
3
应用
利用内切圆性质可以判断四边形是否为正方形 或长方形，以及计算面积等
四边形解题技巧专题中点问题作业ppt
中点在平行四边形中的应用
总结词
矩形中点性质
详细描述
矩形的对角线相等且互相平分，中点到矩形四个顶点的距离相等，利用这一性质可以解决关于矩形中点的问题。
中点在矩形中的应用
菱形中点性质
总结词
菱形的对角线互相垂直且平分，中点到菱形四个顶点的距离相等，利用这一性质可以解决关于菱形中点的问题。
详细描述
中点在菱形中的应用
中点问题经典例题解析
03
VS
平行四边形中点应用例题是解决中点问题的重要题型之一，通过证明两个三角形全等，得到对应边相等，从而得出中点结论。
详细描述
平行四边形中点应用例题通常涉及两个三角形，其中一个是平行四边形，另一个是三角形或平行四边形。通过证明这两个三角形全等，可以得出对应边相等，从而得出中点结论。在证明全等时，通常需要利用平行四边形的性质和全等三角形的判定方法。
总结词
平行四边形中点应用例题
总结词
矩形中点应用例题通常涉及矩形的对角线，通过对角线平分矩形得到两个全等的三角形，从而得出中点结论。
详细描述
矩形中点应用例题通常涉及两个全等的三角形，通过证明这两个三角形全等，可以得出对应边相等，从而得出中点结论。在证明全等时，通常需要利用矩形的性质和对角线平分矩形的性质。
菱形中点应用练习题
中点问题易错点及注意事项
05
1
中点应用常见的错误及解决办法
2
3
四边形中点与中位线概念不同，中点是四边形两边中点的连线，而中位线是四边形两对角线中点的连线。
混淆中点与中位线的概念
中点四边形是指以四边形的各边中点为顶点的四边形，其具有平行四边形的性质，但并不总是平行四边形。
未掌握中点四边形的性质
(全国通用版)中考数学复习第五单元四边形方法技巧训练(五)与中点有关的基本模型练习
方法技巧训练（五）与中点有关的基本模型题组11.如图，在△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB＝2，AC＝1，DE＝32，则∠CDE＋∠ACD＝（C）A.60°B.75°C.90°D.105°第1题图第2题图2.如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E，F分别是AC，BD的中点，EF＝2，则AC的长是（B）A.3B.4C.5D.63.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠DCB＝90°，E，F分别是BD，AC的中点，AC＝6，BD＝10，则EF的长为（B）A.3B.4C.5D.7第3题图第4题图4.如图，在钝角△ABC中，已知∠A为钝角，边AB，A C的垂直平分线分别交BC于点D，E.若BD2＋CE2＝DE2，则∠A 的度数为135°Ｗ.5.（2018·青岛）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为342Ｗ.题组26.如图，在△ABC中，两条中线BE，CD相交于点O，则S△DOE∶S△DCE＝（B）A.1∶4B.1∶3C.1∶2D.2∶3第6题图第7题图7.（2018·陕西）如图，在菱形ABCD中.点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD和DA的中点，连接EF，FG，GH和HE.若EH＝2EF，则下列结论正确的是（D）A.AB＝2EFB.AB＝2EFC.AB＝3EFD.AB＝5EF8.（2018·苏州）如图，在△ABC 中，延长BC 至D ，使得CD ＝12BC ，过AC 中点E 作EF∥CD（点F 位于点E 右侧），且EF ＝2CD ，连接DF.若AB ＝8，则DF 的长为（B ）A .3B .4C .2 3D .3 29.如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，则BC 边上的中线AD 的取值范围是2＜AD ＜8Ｗ.第9题图 第10题图10.（2018·武汉）如图，在△ABC 中，∠ACB＝60°，AC ＝1，D 是边AB 的中点，E 是边BC 上一点.若DE 平分△ABC 的周长，则DE 的长是32Ｗ. 11.（1）如图1，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连接FE 并延长，分别与BA ，CD 的延长线交于点M ，N ，则∠BME＝∠CNE，求证：AB ＝CD.（提示：取BD 的中点H ，连接FH ，HE 作辅助线）（2）如图2，在△ABC 中，点O 是BC 边的中点，D 是AC 边上一点，E 是AD 的中点，直线OE 交BA 的延长线于点G.若AB ＝DC ＝5，∠OEC＝60°，求OE 的长度.图1 图2 解：（1）证明：连接BD ，取DB 的中点H ，连接EH ，FH. ∵E，F 分别是BC ，AD 的中点，∴EH∥AB，EH ＝12AB ，FH∥CD，FH ＝12CD ，∴∠BME＝∠HEF，∠CNF＝∠HFE.∵∠BME＝∠CNE， ∴∠HEF＝∠HFE. ∴HE＝HF. ∴AB＝CD.（2）连接BD ，取DB 的中点H ，连接EH ，OH. ∵AB＝CD ，∴HO＝HE. ∴∠HEO＝∠HOE＝∠OEC. ∵∠OEC＝60°，∴∠HEO＝∠HOE＝60°. ∴△OEH 是等边三角形. ∵AB＝DC ＝5， ∴OE＝52.【以下方法指导排版时是在边栏】 方法指导1 有关中点的常见考法 （1）直角三角形斜边上的中线如图，在Rt △ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，则BD ＝12AB ，AD ＝CD ＝DB.反过来，在△ABC 中，点D 在AB 边上，若A D ＝BD ＝CD ＝12AB ，则有∠ACB＝90°.解题通法：直角＋中点⇒直角三角斜边上的中线.（1）图 （2）图 （3）图 （2）等腰三角形“三线合一”如图，在△ABC 中，若AB ＝AC ，通常取底边BC 的中点D ，则AD⊥BC，且AD 平分∠BAC.解题通法：事实上，在△ABC 中：①AB＝AC ；②AD 平分∠BAC；③BD＝CD ；④AD⊥BC.对于以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出另两条结论，即“知二得二”.（3）线段垂直平分线 如图，直线l 是线段BC 的垂直平分线，则可以在直线l 上任意取一点A ，得到AB ＝AC ，即△ABC 是等腰三角形. 解题通法：遇到垂直平分线⇒线段相等⇒等腰三角形. （4）倍长中线在△ABC 中，M 为BC 的中点.①如图1，连接AM 并延长至点E ，使得AM ＝ME ，连接CE ，则△ABM≌△ECM.②如图2，点D 在AB 边上，连接DM 并延长至点E ，使得ME ＝DM ，连接CE ，则△DMB≌△EMC.解题通法：遇到三角形一边上的中点，常常倍长中线，利用“8”字形全等将题中条件集中，以达到解题的目的.图1 图2（4）图图1 图2（5）图（5）拓展图 （6）图（5）构造三角形的中位线 在△ABC 中，D 为AB 边的中点.①如图1，取AC 边上的中点E ，连接DE ，则DE∥BC，且DE ＝12BC.②如图2，延长BC 至点F ，使得CF ＝BC ，连接CD ，AF ，则DC∥AF，且DC ＝12AF.解题通法：三角形的中位线从位置关系和数量关系两个方面将图形中分散的线段关系集中起来，通常需要再找一个中点来构造中位线，或倍长某段线段构造中位线.拓展：如果已知中点的边不在一个三角形中，则需先添加辅助线构造中点，然后构造三角形的中位线解题.如在四边形ABCD 中，点E ，H 分别为AB ，CD 边的中点，则先连接AC ，然后取AC 边的中点F ，连接EF ，FH ，则EF 为△ABC 的中位线，FH 为△ACD 的中位线.（6）中点四边形如图，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是四边形的边AB ，BC ，CD ，AD 的中点. 结论：①连接EF ，FG ，GH ，EH ，则中点四边形EFGH 是平行四边形. ②若对角线AC 和BD 相等，则中点四边形EFGH 是菱形. ③若对角线AC 与BD 互相垂直，则中点四边形EFGH 是矩形.④若对角线AC 与BD 互相垂直且相等，则中点四边形EFGH 是正方形. 方法指导2中考数学中涉及“一半”的相关内容①直角三角形斜边中线等于斜边的一半；②30°所对的直角边等于斜边的一半；③三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半；④圆周角的度数等于它所对弧圆心角度数的一半.。
四边形综合(解析版)--中考数学抢分秘籍(全国通用)
四边形综合--中考数学抢分秘籍（全国通用）概率预测☆☆☆题型预测解答题☆☆☆①三角形全等的判定考向预测②特殊四边形的判定四边形综合题是全国中考常考题型。
好多学生因特殊四边形的定理弄混淆而失分。
1．从考点频率看，三角形的综合和四边形的综合会二选一，四边形综合题以考查特殊四边形性质和判定为主，除了考查四边形的性质和判定外，还会结合三角形的全等进行考查。
2．从题型角度看，以解答题为主，分值8-12分左右！平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质图形边角对角线平行四边形对边平行且相等对角相等对角线互相平分矩形对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分且相等对角线互相垂直平分，每一条菱形对边平行，四边相等对角相等对角线平分一组对角对角线互相垂直平分、相等，正方形对边平行，四边相等四个角都是直角每一条对角线平分一组对角平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定图形判定平行四边形1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
5：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
矩形1：有三个角是直角的四边形是矩形2：有一个角是直角的平行四边形是矩形3：对角线相等的平行四边形是矩形。
菱形1：四边都相等的四边形是菱形。
2：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
正方形1：有一组邻边相等的矩形是正方形2：有一个角是直角的菱形是正方形3：对角线互相垂直的矩形是正方形4：对角线相等的菱形是正方形典例1．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 在对角线BD 上，且BE ＝DF ．求证：(1)△ABE ≌△CDF ；(2)四边形AECF 是平行四边形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB CD ∥，AB CD =，根据平行线的性质可得ABE CDF ∠=∠，结合已知条件根据SAS 即可证明ABE CDF △≌△；（2）根据ABE CDF △≌△可得,AE CF AEB CFD =∠=∠，根据邻补角的意义可得AEF CFE ∠=∠，可得AE CF ∥，根据一组对边平行且相等即可得出．【详解】（1）证明：解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ∥，AB CD =，∴ABE CDF ∠=∠，又BE DF =，∴ABE CDF △≌△（SAS ）；（2）证明：∵ABE CDF △≌△，∴,AE CF AEB CFD=∠=∠AEF CFE∴∠=∠∴AE CF ∥，∴四边形AECF 是平行四边形【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．典例2．如图，在▱ABCD 中，点O 为对角线BD 的中点，EF 过点O 且分别交AB 、DC 于点E 、F ，连接DE 、BF ．求证：(1)△DOF ≌△BOE ；(2)DE =BF ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据平行四边形ABCD 的性质，利用ASA 即可证明△DOF ≌△BOE ；（2）证明四边形BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，O 是BD 的中点，∴AB ∥DC ，OB =OD ，∴∠OBE =∠ODF ．在△BOE 和△DOF 中，OBE ODF OB OD BOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BOE ≌△DOF （ASA ）；（2）证明：∵△BOE ≌△DOF ，∴EO =FO ，∵OB =OD ，∴四边形BEDF 是平行四边形．∴DE =BF ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，证明三角形全等是解决问的关键．典例3．如图，▱ABCD 中，E 为BC 边的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ，延长EC 至点G ，使CG =CE ，连接DG 、DE 、FG ．(1)求证：△ABE ≌△FCE ；(2)若AD =2AB ，求证：四边形DEFG 是矩形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由平行四边形的性质推出∠EAB =∠CFE ，利用AAS 即可判定△ABE ≌△FCE ；（2）先证明四边形DEFG 是平行四边形，【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，再证明DF =EG ，即可证明四边形DEFG 是矩形．∴AB CD ，∴∠EAB =∠CFE ，又∵E 为BC 的中点，∴EC =EB ，∴在△ABE 和△FCE 中，EAB CFE BEA CEF EC EB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△FCE (AAS)；（2）证明：∵△ABE ≌△FCE ，∴AB =CF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =DC ，∴DC =CF ，又∵CE =CG ，∴四边形DEFG 是平行四边形，∵E 为BC 的中点，CE =CG ，∴BC =EG ，又∵AD =BC =EG =2AB ，DF =CD +CF =2CD =2AB ，∴DF =EG ，∴平行四边形DEFG 是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE ≌△FCE 是解题的关键．典例4．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点P 处，折痕为EF ．(1)求证：PDE CDF △≌△；(2)若4cm,5cm CD EF ==，求BC 的长．【答案】(1)证明见解析(2)163cm【分析】（1）利用ASA 证明即可；（2）过点E 作EG ⊥BC 交于点G ，求出FG 的长，设AE =xcm ，用x 表示出DE 的长，在Rt △PED 中，由勾股定理求得答案．【详解】（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，∠A =∠B =∠ADC =∠C =90°，由折叠知，AB =PD ，∠A =∠P ，∠B =∠PDF =90°，∴PD =CD ，∠P =∠C ，∠PDF =∠ADC ，∴∠PDF -∠EDF =∠ADC -∠EDF ,∴∠PDE =∠CDF ，在△PDE 和△CDF 中，P C PD CD PDE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴PDE CDF △≌△（ASA ）；（2）如图，过点E 作EG ⊥BC 交于点G ，∵四边形ABCD 是矩形,∴AB =CD =EG =4cm ，又∵EF =5cm ，∴223GF EF EG =-=cm,设AE =x cm ，∴EP =x cm ，由PDE CDF △≌△知，EP =CF =x cm ，∴DE =GC =GF +FC =3+x ，在Rt △PED 中，222PE PD DE +=,即()22243x x +=+，解得，76x =，∴BC =BG +GC =77163663++=(cm ）．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据翻折变换的性质将问题转化到直角三角形中利用勾股定理是解题的关键．典例5．如图，四边形ABCD 是菱形，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ．(1)求证：△ABE ≌△ADF ；(2)若AE =4，CF =2，求菱形的边长．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）利用AAS 即可证明△ABE ≌△ADF ；（2）设菱形的边长为x ，利用全等三角形的性质得到BE =DF =x −2，在Rt △ABE 中，利用勾股定理列方程求解即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD （菱形的四条边相等），∠B =∠D （菱形的对角相等），∵AE ⊥BC AF ⊥CD ，∴∠AEB =∠AFD =90°（垂直的定义），在△ABE 和△ADF 中，AEB AFD B D AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADF (AAS)；（2）解：设菱形的边长为x ，∴AB =CD =x ，CF =2，∴DF =x −2，∵△ABE ≌△ADF ，∴BE =DF =x −2（全等三角形的对应边相等），在Rt △ABE 中，∠AEB =90°，∴AE 2+BE 2=AB 2（勾股定理），∴42+(x −2)2=x 2，解得x =5，∴菱形的边长是5．【点睛】本题主要考查菱形的性质、勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．典例6．如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC <．点D 是AC 的中点，过点D 作DE AC ⊥交BC 于点E .延长ED 至点F ，使得DF DE =，连接AE 、AF 、CF ．(1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)若14BE EC =，则tan BCF ∠的值为_______．【答案】(1)见解析(2)15【分析】（1）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得证；（2）设BE a =，则4EC a =，根据菱形的性质可得4AE EC a ==，AE FC ∥，勾股定理求得AB ，根据BCF BEA ∠=∠，tan BCF ∠=tan AB BEA BE∠=，即可求解．【详解】（1）证明： AD DC =，DE DF =，∴四边形AECF 是平行四边形，∵DE AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形；（2）解： 14BE EC =，设BE a =，则4EC a =，四边形AECF 是菱形；4AE EC a ∴==，AE FC ∥，∴BCF BEA ∠=∠，在Rt ABE △中，()2222415AB AE BE a a a =-=-=，∴tan BCF ∠=15tan 15AB a BEA BE a∠===，故答案为：15．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，求正切，掌握以上知识是解题的关键．典例7．如图，已知四边形ABCD 是正方形，G 为线段AD 上任意一点，CE BG ⊥于点E ，DF CE ⊥于点F ．求证：DF BE EF =+．【答案】证明见解析【分析】先根据正方形的性质可得,90BC CD BCD =∠=︒，从而可得90BCE DCF ∠+∠=︒，再根据垂直的定义可得90BEC CFD ∠=∠=︒，从而可得CBE DCF ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理证出BCE CDF ≅ ，根据全等三角形的性质可得,BE CF CE DF ==，最后根据线段的和差、等量代换即可得证．【详解】证明： 四边形ABCD 是正方形，,90BC CD BCD ∴=∠=︒，90BCE DCF ∴∠+∠=︒，,CE BG DF CE ⊥⊥ ，90BEC CFD ∴∠=∠=︒，90BCE CBE ∴∠+∠=︒，CBE DCF ∴∠=∠，在BCE 和CDF 中，90BEC CFD CBE DCF BC CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCE CDF AAS ∴≅ ，,BE CF CE DF ∴==，CE CF EF BE EF ∴=+=+，DF BE EF ∴=+．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．典例8．四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH 称为中点四边形．（1）我们知道：无论四边形ABCD 怎样变化，它的中点四边形EFGH 都是平行四边形．特殊的：①当对角线AC BD =时，四边形ABCD 的中点四边形为__________形；②当对角线AC BD ⊥时，四边形ABCD 的中点四边形是__________形．（2）如图：四边形ABCD 中，已知60B C ∠=∠=︒，且BC AB CD =+，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD 的中点四边形EFGH 的形状并进行证明．【答案】（1）①菱；②矩；（2）菱形，菱形见解析【分析】（1）①连接AC 、BD ，根据三角形中位线定理证明四边形EFGH 都是平行四边形，根据邻边相等中考四边形综合题常考的是平行四边形、矩形、菱形和正方形。
2019年中考数学专题复习第五单元四边形课时训练二十六正方形及中点四边形练习-精选.doc
2019年中考数学专题复习第五单元四边形课时训练二十六正方形及中点四边形练习课时训练( ( 二十六) ) 正方形及中点四边形 (限时:30 分钟) | 夯实基础 | 1 . [2017广安] 下列说法: ①四边相等的四边形一定是菱形; ②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形; ③对角线相等的四边形一定是矩形; ④经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分 . 其中说法正确的个数为 ( ) A . 4 B . 3 C . 2 D . 1 2 . 小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形,她对折了 ( ) A . 1 次 B . 2次 C . 3 次 D . 4 次 3 . 若顺次连接四边形 ABCD 四边的中点,得到的图形是一个矩形,则四边形 ABCD 一定是 ( )A . 矩形B . 菱形C . 对角线相等的四边形D . 对角线互相垂直的四边形 4 .[2017河北] 如图 K26 - 1 是边长为 10 cm 的正方形铁片,过两个顶点剪掉一个三角形,以下四种剪法中,裁剪线长度所标的数据(单位:cm)不正确的是 ( )图 K26 - 1 图 K26 - 2 5 . [2017黔东南州] 如图 K26 - 3,正方形 ABCD 中,E 为 AB 中点, FE AB , AF= 2 AE , FC 交 BD 于点 O ,则 DOC 的度数为 ( )图 K26 - 3 A . 60 B . 67 . 5 C . 75 D . 54 6 . 小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,从下列四个条件: ①AB=BC ; ② ABC= 90; ③AC=BD ; ④AC BD 中选两个作为补充条件,使▱ ABCD成为正方形(如图 K26 - 4),现有下列四种选法,你认为错误的是 ( ) 图 K26- 4 A .①② B .②③ C .①③D .②④ 7 . [2017黄冈] 已知:如图 K26 - 5,在正方形 ABCD 的外侧,作等边三角形 ADE ,则 BED= 度 . 图 K26 - 5 8 . [2017大庆] 如图 K26 - 6,点 M , N 在半圆的直径 AB 上,点 P , Q 在上,四边形 MNPQ 为正方形 . 若半圆的半径为 ,则正方形的边长为 . 图 K26 - 6 9 . [2018深圳] 如图 K26 - 7,四边形 ACDF 是正方形, CEA 和 ABF 都是直角且 E , A , B 三点共线, AB= 4,则阴影部分的面积是 . 图 K26 - 7 10 . [2018武汉] 以正方形 ABCD 的边 AD为边作等边三角形 ADE ,则 BEC 的度数是 . 11 . [2017义乌] 如图 K26- 8 为某城市部分街道示意图,四边形 ABCD 为正方形,点 G 在对角线 BD 上,GE CD , GF BC , AD= 1500 m,小敏行走的路线为 B A G E ,小聪行走的路线为 B A D E F ,若小敏行走的路程为 3100 m,则小聪行走的路程为m . 图 K26 - 8 12 . [2018舟山] 如图 K26 - 9,等边三角形 AEF 的顶点 E ,F 在矩形 ABCD 的边 BC , CD 上,且 CEF= 45 . 求证:矩形 ABCD 是正方形 .图 K26 - 913 . 如图 K26 - 10,四边形 ABCD 是正方形,点 E 是 BC 边的中点,AEF= 90,且 EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F. 求证: AE=EF. 图 K26 - 10 | 拓展提升 | 14 . [2018烟台] 【问题解决】一节数学课上,老师提出了这样一个问题:如图 K26 - 11 ① ,点 P 是正方形 ABCD 内一点, PA= 1, PB= 2, PC= 3,你能求出 APB的度数吗? 小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路:思路一:将△ PBC 绕点 B 逆时针旋转 90,得到△ BP'A ,连接 PP' ,求出 APB 的度数; 思路二:将△ APB 绕点 B 顺时针旋转 90,得到△ CP'B ,连接 PP' ,求出 APB 的度数 . 请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程 . 【类比探究】如图② ,若点 P 是正方形 ABCD 外一点, PA= 3, PB= 1, PC= ,求 APB 的度数 . 图 K26 - 11参考答案 1 . C [解析] ①正确;由于矩形的对角线相等,根据三角形的中位线定理,可得顺次连接矩形各边中点所得四边形的四边都相等,由此可判定所得四边形是菱形,故②错误;对角线相等的平行四边形是矩形,对角线相等的四边形不一定是矩形,故③错误; ④正确 . 综上所述,正确的说法有 2 个 .故选 C . 2 . B 3 . D [解析] 如图,四边形 EFGH 是矩形,且 E , F , G , H 分别是 AB , BC , CD , AD 的中点, 根据三角形中位线定理得: EH ∥ FG ∥ BD , EF ∥ AC ∥ HG. ∵四边形 EFGH 是矩形,即 EF FG , AC BD. 4 . A [解析] 选项 A 不正确 . 理由:正方形的边长为 10,所以对角线 = 10 14,因为 15 14,所以这个图形不可能存在 .故选 A . 5 . A [解析] 连接 BF , ∵E 为 AB 中点, FE AB , EF 垂直平分 AB , AF=BF.∵AF= 2 AE , AF=AB , AF=BF=AB , △ABF 为等边三角形, FBA= 60, BF=BC , FCB= BFC= 15, ∵四边形 ABCD 为正方形, DBC= 45,根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得 DOC= 15 + 45 = 60 . 6 . B [解析] 此题考查正方形的判定,即在平行四边形的基础上,需要再同时具备矩形和菱形的特征 .①是菱形的特征;②是矩形的特征;③是矩形的特征, ④是菱形的特征 . 而 B 中都是矩形的特征 . 故选 B .7 . 45 [解析] 由题意得, AB=AE , BAD= 90, DAE= AED= 60,所以 BAE= 150, AEB= 15 . 所以 BED= AED- AEB= 60 - 15 = 45 .8 . 2 [解析] 连接 OP ,设正方形的边长为 a ( a 0),则 ON= , PN=a ,在 Rt △ OPN 中, ON2 +PN 2 =OP 2 ,即 2 +a 2 = ()2 ,解得a= 2 . 9 . 8 [解析] ∵四边形 ACDF 是正方形, AC=AF , CAF= 90, CAE+ BAF= 90,又 CAE+ ECA= 90, ECA= BAF ,则在△ ACE 和△ FAB 中, ∵△ ACE ≌△ FAB (AAS),AB=CE= 4, 阴影部分的面积 = AB CE= 4 4 = 8 . 10 . 30或 150 [解析] 如图① , ∵△ ADE 是等边三角形, DE=DA , DEA= 1 = 60 . ∵四边形 ABCD 是正方形, DC=DA ,2 = 90 . CDE= 150, DE=DC , 3 = (180 - 150) = 15 . 同理可求得4 = 15 . BEC= 30 . 如图② , ∵△ ADE 是等边三角形, DE=DA ,1 = 2 = 60, ∵四边形 ABCD 是正方形, DC=DA , CDA= 90 . DE=DC ,3 = 30, 4 = (180 - 30) = 75 . 同理可求得5 = 75 . BEC= 360―2―4―5 = 150 . 故答案为 30或 150 .11 . 4600 [解析] 连接 GC ,由四边形 ABCD 为正方形可得△ ADG ≌△ CDG ,所以 GC=AG ,由四边形 GECF 为矩形可得 GC=EF ,所以 EF=AG ,因为小敏行走的路线为 B A G E ,所以 BA+AG+GE= 3100 m . 因为小聪行走的路线为 B A D E F ,所以BA+AD+DE+EF=BA+ 1500 +GE+AG= 3100 + 1500 = 4600(m) . 12 . 证明: ∵四边形 ABCD 是矩形, B= D= C= 90, ∵△ AEF 是等边三角形,AE=AF , AEF= AFE= 60, ∵ CEF= 45, CFE= CEF= 45, AFD= AEB= 180 - 45 - 60 = 75, △ ABE ≌△ ADF , AB=AD , 矩形 ABCD 是正方形 . 13 . 证明:取 AB 的中点 H ,连接 EH. ∵ AEF= 90, 2 + AEB= 90, ∵四边形ABCD 是正方形, 1 + AEB= 90, 1 = 2, ∵E 是 BC 的中点, H 是 AB 的中点,BH=BE , AH=CE , BHE= 45, ∵CF 是 DCG 的平分线, FCG= 45, AHE= ECF= 135, 在△ AHE 和△ ECF 中, △ AHE ≌△ ECF (ASA), AE=EF. 14 . [解析] 将△ PBC 绕点 B 逆时针旋转 90得到△ P'BA ,连接 PP' ,得到等腰直角三角形 BP'P ,从而得到 PP'= 2 ,BPP'= 45,又 AP'=CP= 3, AP= 1, AP2 +P'P 2 = 1 + 8 = 9 =P'A 2 , 根据勾股定理的逆定理得 APP'= 90,从而求出APB= 45 + 90 = 135 . 将△ PBC 绕点 B 逆时针旋转 90,得到△ P'BA ,连接 PP' ,方法和上述类似,求出 APB= 45 . 解:【问题解决】如图① ,将△ PBC 绕点 B 逆时针旋转 90,得到△ P'BA ,连接 PP'. ①∵P'B=PB= 2, P'BP= 90, PP'= 2 , BPP'= 45 . 又 AP'=CP= 3, AP= 1, AP2 +P'P 2 = 1 + 8 = 9 =P'A 2 , APP'= 90, APB= 45 + 90 = 135 .②【类比探究】如图② ,将△ PBC 绕点 B 逆时针旋转 90,得到△ P'BA ,连接 PP'. ∵P'B=PB= 1, P'BP= 90, PP'= , BPP'= 45 . 又 AP'=CP= , AP= 3, AP2 +P'P 2 = 9 + 2 = 11 =P'A 2 , APP'= 90, APB= 90 - 45 = 45 .。
四边形解题技巧专题中点问题作业ppt
四边形的边长和角度关系
对角线分成的两个三角形相似
在四边形中，对角线将四边形分成两个三角形，这两个三角形是相似的。
对角线平分
在凸四边形中，对角线平分四个内角；在凹四边形中，对角线平分四个外角。
四边形的对称性和面积计算
对称性
四边形可以具有轴对称性或中心对称性。轴对称四边形是关 于一条直线对称的，中心对称四边形是关于一个点对称的。
详细描述
1. 构造直角三角形： 利用矩形的性质，通 过连接对角线或构造 直角三角形来寻找中 点之间的关系。
2. 利用中位线定理： 直角三角形的斜边中 线等于斜边的一半。 即如果一个三角形是 直角三角形
3. 解题时要注意：在 解决矩形中点问题时 ，要关注图形中的隐 含条件，如角度、线 K YOU.
2. 利用中位线定理：平 行四边形的中位线等于 它的一半，即如果一个 四边形是平行四边形， 那么它的中位线等于它 的两条对角线的一半。
3. 解题时要注意：在解 决平行四边形中点问题 时，要关注图形中的隐 含条件，如角度、线段 长度等。
矩形中点问题例题
总结词：矩形中点问 题主要涉及矩形的性 质和直角三角形的中 位线定理，通过构造 直角三角形或利用中 位线定理进行求解。
2023
四边形解题技巧专题-中点 问题作业
目录
• 四边形基本知识回顾 • 中点问题解题技巧 • 中点问题经典例题解析 • 中点问题解题策略总结
01
四边形基本知识回顾
四边形的定义和性质
定义
四边形是由四条直线段连接的封闭图形。
性质
四边形具有凸性和凹性，其中凸四边形具有最小内角和最大外角，凹四边形 具有最大内角和最小外角。
矩形中点问题
总结词
矩形中点问题主要涉及矩形的性质和直角三角形中的 中位线定理，通过中点连接可以证明两对相等的线段 ，从而得到矩形。
中考数学复习----《中点四边形》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《中点四边形》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.中点四边形的定义：将任意四边形各条边的中点顺次连接起来得到的四边形叫做中点四边形。
2.中点四边形的判定：①任意四边形的中点四边形是平行四边形。
②对角线相互垂直的四边形的中点四边形是矩形。
（菱形的中点四边形是矩形）③对角线相等的四边形的中点四边形是菱形。
（矩形的中点四边形是菱形）④对角线相互垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形。
（正方形的中点四边形是正方形）练习题1、（2022•玉林）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是（）A．互相平分B．互相垂直C．互相平分且相等D．互相垂直且相等【分析】根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是正方形，那么邻边互相垂直且相等，选择即可，【解答】解：如图，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形EFGH是正方形，即EF⊥FG，FE＝FG，∴AC⊥BD，AC＝BD，故选：D．2、（2022•德阳）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA 边上的中点，则下列结论一定正确的是（）A．四边形EFGH是矩形B．四边形EFGH的内角和小于四边形ABCD的内角和C．四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和D．四边形EFGH的面积等于四边形ABCD的面积的【分析】根据三角形中位线定理可得四边形EFGH是平行四边形，进而逐一判断即可．【解答】解：A．如图，连接AC，BD，在四边形ABCD中，∵点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，∴EH∥BD，EH＝BD，FG∥BD，FG＝BD，∴EH∥FG，EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形，故A选项错误；B．∵四边形EFGH的内角和等于360°，四边形ABCD的内角和等于360°，故B选项错误；C．∵点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，∴EH＝BD，FG＝BD，∴EH+FG＝BD，同理：EF+HG＝AC，∴四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和，故C选项正确；D．四边形EFGH的面积不等于四边形ABCD的面积的，故D选项错误．故选：C．。
2020-2021【名校提分专用】中考数学系统复习 第五单元 四边形 方法技巧训练(二)几何中与中点有关的计算与
方法技巧训练(二) 几何中与中点有关的计算与证明方法指导1 有关中点的常见考法 (1)直角三角形斜边上的中线如图，在Rt △ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，则BD ＝12AB ，AD ＝CD ＝DB.反过来，在△ABC 中，点D 在AB 边上，若AD ＝BD ＝CD ＝12AB ，则有∠ACB ＝90°.解题通法：直角＋中点⇒直角三角斜边上的中线．(1)图 (2)图 (3)图(2)等腰三角形“三线合一”如图，在△ABC 中，若AB ＝AC ，通常取底边BC 的中点D ，则AD ⊥BC ，且AD 平分∠BAC.解题通法：事实上，在△ABC 中：①AB ＝AC ；②AD 平分∠BAC ；③BD ＝CD ；④AD ⊥BC.对于以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出另两条结论，即“知二得二”．(3)线段垂直平分线 如图，直线l 是线段BC 的垂直平分线，则可以在直线l 上任意取一点A ，得到AB ＝AC ，即△ABC 是等腰三角形． 解题通法：遇到垂直平分线⇒线段相等⇒等腰三角形． (4)倍长中线在△ABC 中，M 为BC 的中点．①如图1，连接AM 并延长至点E ，使得AM ＝ME ，连接CE ，则△ABM ≌△ECM.②如图2，点D 在AB 边上，连接DM 并延长至点E ，使得ME ＝DM ，连接CE ，则△DMB ≌△EMC.解题通法：遇到三角形一边上的中点，常常倍长中线，利用“8”字形全等将题中条件集中，以达到解题的目的．图1 图2(5)构造三角形的中位线在△ABC 中，D 为AB 边的中点．①如图1，取AC 边上的中点E ，连接DE ，则DE ∥BC ，且DE ＝12BC.②如图2，延长BC 至点F ，使得CF ＝BC ，连接CD ，AF ，则DC ∥AF ，且DC ＝12AF.解题通法：三角形的中位线从位置关系和数量关系两个方面将图形中分散的线段关系集中起来，通常需要再找一个中点来构造中位线，或倍长某段线段构造中位线．拓展：如果已知中点的边不在一个三角形中，则需先添加辅助线构造中点，然后构造三角形的中位线解题．如在四边形ABCD 中，点E ，H 分别为AB ，CD 边的中点，则先连接AC ，然后取AC 边的中点F ，连接EF ，FH ，则EF 为△ABC 的中位线，FH 为△ACD 的中位线．图1 图2(6)中点四边形如图，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是四边形的边AB ，BC ，CD ，AD 的中点． 结论：①连接EF ，FG ，GH ，EH ，则中点四边形EFGH 是平行四边形． ②若对角线AC 和BD 相等，则中点四边形EFGH 是菱形． ③若对角线AC 与BD 互相垂直，则中点四边形EFGH 是矩形．④若对角线AC 与BD 互相垂直且相等，则中点四边形EFGH 是正方形． 方法指导2中考数学中涉及“一半”的相关内容 ①直角三角形斜边中线等于斜边的一半； ②30°角所对的直角边等于斜边的一半；③三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半； ④圆周角的度数等于它所对弧圆心角度数的一半． 题组11．如图，在△ABC 中，E 为BC 边的中点，CD ⊥AB ，AB ＝2，AC ＝1，DE ＝32，则∠CDE ＋∠ACD ＝(C) A ．60° B ．75° C ．90° D ．105°2．如图，在△ABC 中，D 是BC 上一点，AB ＝AD ，E ，F 分别是AC ，BD 的中点，EF ＝2，则AC 的长是(B)A ．3B ．4C ．5D ．63．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠DCB ＝90°，E ，F 分别是BD ，AC 的中点，AC ＝6，BD ＝10，则EF 的长为(B)A ．3B ．4C ．5 D.74．如图，在钝角△ABC 中，已知∠A 为钝角，边AB ，AC 的垂直平分线分别交BC 于点D ，E.若BD 2＋CE 2＝DE 2，则∠A 的度数为135°．5．(2018·青岛)如图，已知正方形ABCD 的边长为5，点E ，F 分别在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝2，BE 与AF 相交于点G ，点H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 2题组26．如图，在△ABC 中，两条中线BE ，CD 相交于点O ，则S △DOE ∶S △DCE ＝(B)A ．1∶4B ．1∶3C ．1∶2D ．2∶37．(2018·陕西)如图，在菱形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD 和DA 的中点，连接EF ，FG ，GH 和HE.若EH ＝2EF ，则下列结论正确的是(D)A ．AB ＝2EF B ．AB ＝2EFC ．AB ＝3EFD ．AB ＝5EF8．(2018·苏州)如图，在△ABC 中，延长BC 至D ，使得CD ＝12BC ，过AC 中点E 作EF ∥CD(点F 位于点E 右侧)，且EF ＝2CD ，连接DF.若AB ＝8，则DF 的长为(B)A ．3B ．4C ．2 3D ．3 29．如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，则BC 边上的中线AD 的取值范围是2＜AD ＜8．10．(2018·武汉)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝60°，AC ＝1，D 是边AB 的中点，E 是边BC 上一点．若DE 平分△ABC的周长，则DE 211．(1)如图1，在四边形ABCD 中，F ，E 分别是BC ，AD 的中点，连接FE 并延长，分别与BA ，CD 的延长线交于点M ，N ，已知∠BME ＝∠CNE ，求证：AB ＝CD ；(提示：取BD 的中点H ，连接FH ，HE 作辅助线)(2)如图2，在△ABC 中，点O 是BC 边的中点，D 是AC 边上一点，E 是AD 的中点，直线OE 交BA 的延长线于点G.若AB ＝DC ＝5，∠OEC ＝60°，求OE 的长度．图1 图2解：(1)证明：连接BD ，取DB 的中点H ，连接EH ，FH. ∵F ，E 分别是BC ，AD 的中点， ∴EH ∥AB ，EH ＝12AB ，FH ∥CD ，FH ＝12CD.∴∠BME ＝∠HEF ，∠CNF ＝∠HFE.∵∠BME ＝∠CNE ， ∴∠HEF ＝∠HFE.∴HE ＝HF.∴AB ＝CD.(2)连接BD ，取DB 的中点H ，连接EH ，OH. ∵O ，E 分别是BC ，AD 的中点，∴EH 平行且等于12AB ，OH 平行且等于12CD.∵AB ＝CD ，∴HO ＝HE.∴∠HEO ＝∠HOE ＝∠OEC. ∵∠OEC ＝60°，∴∠HEO ＝∠HOE ＝60°. ∴△OEH 是等边三角形． ∵AB ＝DC ＝5，∴OE ＝52.。
中考数学复习方案 第五单元 四边形 第25课时 正方形及中点四边形课件
MH.
2
∴②正确.由②得∠DHM=90°,
∵∠CHD>∠CAD=45°,∴∠CHM>135°,∴③正确.
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识
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5.[2013·呼和浩特 23 题 ]如图 25-10,在边长为 3 的正方形 ABCD 中,点 E 是 BC
边上的点,BE=1,∠AEP=90°,且 EP 交正方形外角的平分线 CP 于点 P,交边 CD 于
高
频
考
向
探
究
(2)四对线段(xiànduàn)分别为AQ与AP,AQ与BQ,DP与AP,DP与BQ.
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图25-6
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| 考向精练
( jīngliàn) |
1.[2017·呼和浩特 9 题]如图 25-7,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,E,F 为 BD
所在直线上的两点.若 AE= 5,∠EAF=135°,则以下结论正确的是 (
图25-6
第十四页，共四十四页。
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解:(1)证明(zhèngmíng):∵正方形ABCD,
∴AD=BA,∠BAD=90°,即∠BAQ+∠DAP=90°.
∵DP⊥AQ,∴∠ADP+∠DAP=90°,
∴∠BAQ=∠ADP.
高
频
考
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探
究
∵AQ⊥BE于点Q,DP⊥AQ于点P,
∴∠AQB=∠DPA=90°,
高
频
考
向
探
究
∵∠AEP=90°,∴∠BAE=∠FEC,