集合不等式复习讲座

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第一讲：集合与不等式

第一讲：集合与基本不等式要点精讲1.集合:某些指定的对象在一起成为集合(1)集合中的对象称元素,若a是集合A的元素，记作a∈A；若b不是集合A的元素，记作b∉A(2)集合中的元素必须满足：确定性、互异性、无序性确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，或者是A的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，统一集合中不应重复出现同一元素无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无序(3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法(4)常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N+或N*整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R2.集合的包含关系：(1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作A⊆B(2)集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

若A⊆B且B⊆A，则称A等于B,记作A=B；若A⊆B且A≠B，则称A是B的真子集，记作A B(3)简单性质：1）A⊆A；2）Φ⊆A；3）若A⊆B, B⊆C,则A⊆C; 4)若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n 个子集（其中有2n-1个真子集）3.全集与补集：(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U(2)若S是一个集合，A⊆S，则C S={x| x∈S且x∉A }称S中子集A的补集(3)简单性质：1）C S (C S)=A; 2) C S S=Φ，C SΦ=S.4. 交集与并集：(1)一般的，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。

交集A∩B={x| x∈A且x∈B}(2)一般的，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。

并集A∪B={x |x∈A或x∈B}注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合文氏图。

专题1-集合、函数、导数、不等式-数学-大纲人教版

第１讲 │ 教师备用习题
【解析】 B 若△ABC 为等边三角形，即 a＝b＝c，则 a b c a b c max ，，＝1＝min ，，，则 l＝1；若△ABC 为等腰 b c a b c a 三角形，如 a＝2，b＝2，c＝3 时，则
a b c 2 min ，，＝，此时 b c a 3 a b max ，， b c
第１讲 │ 教师备用习题
教师备用习题
(备选理由：1.为易错题，其中 x∈Z 易忽视；2.是含字母的运算，需要重点掌握；3.为新定义问题，是近几年高考的常见问题，需充分结合推理归纳，理解题意后解答)
1．集合 P＝{x∈Z|0≤x<3}， M＝{x∈Z|x2≤9}， P∩M＝( 则 A．[0,3) B．{0,1,2} C．{1,2,3} D．{0,1,2,3} )
)
【解析】 D A＝{x|a－1<x<a＋1}，B＝{x|x<b－2 或 x>b＋2}，因为 A⊆B，所以 a＋1≤b－2 或 a－1≥b＋2，即 a－b≤－3 或 a－b≥3，即|a－b|≥3.
第１讲 │ 教师备用习题
3．[2010· 湖北卷] 记实数 x1，x2，„，xn，中的最大数为 max{x1，x2，„，xn}，最小数为 min{x1，x2，„，xn}．已知 △ABC 的三边边长为 a、b、c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为 a b c a b c l＝maxb， c ，a· b， c ，a， min 则“l＝1”是“△ABC 为等边三角形”的( ) A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件
第１讲 │ 集合与简易逻辑
第1讲集合与简易逻辑

中职数学第一抡复习讲义第01章集合与不等式

（2）已知2∈ + = ,则 b=
答案（1）1.
（2）-3.
.
.
第二节集合与集合的关系
知识清单
（一）集合的关系
1.子集
（1）定义：对于两个集合A与B，如果集合A中所有元素都
在集合B中，则称集合A为集合B的子集，记作
A⊆ B （或B⊇A）.
（2）性质：
①A ⊆ A.
②Φ ⊆ A.（空集是任何集合的子集）
C. = 2 + 1, ∈ D. = 2 − 1, ∈
答案 D
【点评】N表示自然数，Z表示正数，奇数为不能
被2整除的整数.
知识点3：集合的表示方法（描述法）
6.(1)若2∈ 2 + > 0 ,则实数m的取值范围是___.
(2)若4 ∉ 2 + > 0 ,则实数m的取值范围是
中职数学知识点通关秘籍
第一章集合与不等式
第一节集合的表示
第二节集合的关系及运算
第三节充要条件
第四节不等式的性质及区间
第五节一元二次不等式的解法
第六节含绝对值的不等式的解法
第一节集合的表示
知识清单
1.
（1）定义：由某些确定的对象组成的总体称为集合，常用
大写英文字母A，B，C，…表示.其中，组成集
③若A ⊆ B，B ⊆ C，则A ⊆ C.
④含有n个元素的集合子集的个数为个，其中真子集的个
数为 -1个.非空真子集个数为 -2个。
2.相等集合
如果Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ⊇B，且B ⊇A，则称集合A与B相等，记作 = .
注意:若两个集合相等，则两个集合所含元素相同.
3.真子集

高中数学综合讲座第一讲集合命题不等式

高三数学第一讲集合与命题一、基础概念1．概念：集合、元素、元素的特性（确定性、互异性、无序性）； 2．表示法：列举法、描述法、图示法、区间表示法；3．两种关系：①包含关系：子集、相等集合、真子集、全集、空集；②运算关系：交集、并集、补集；性质：B A A B A ⊆⇔= ；B A A B A ⊇⇔= ；()u u u A B A B = 痧?；()u u u A B A B = 痧?；4．子集个数：n 个元素的集合可包含有n 2个子集，其中真子集有12-n 个，非空真子集有22-n 个；5．常用数集的表示与关系：NN Z Q R C *苘苘?.6．命题的概念：是表示判断的语句，由条件与结论两部分构成.命题有两层涵义：（1）命题必须是一个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出肯定或者是否定的判断。

7．推出关系的概念：如果事件α成立则事件β成立，那么称由事件α可推出事件β，记作αβ⇒.推出关系具有传递性：若,αββγ⇒⇒，则αγ⇒；等价关系：若,αββα⇒⇒，则αβ⇔，即α与β等价.8．命题的四种形式：原命题：若p ，则q ；逆命题：若q ，则p ；否命题：若p ，则q ；逆否命题：若q ，则p .其中，原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价. 注意：区分“否命题”和“命题的否定”： 9．判断充分条件、必要条件的步骤：第一步：明确命题的条件和结论；第二步：推理与判断；第三步：下结论.10．一元二次不等式：二次项系数变为正→结合对应二次函数图像求解．11．分式不等式：)0(0)()()0(0)()(<>⋅⇔<>x g x f x g x f ； ⎩⎨⎧≤≥⋅≠⇔≤≥)0(0)()(0)()0(0)()(x g x f x g x g x f ； 12．含绝对值的不等式：|()|()()()()()f x g x f x g x f x g x >⇔><-或；|()|()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<<；或讨论去掉绝对值． 13．高次不等式：“穿针引线”法.14．掌握基本不等式:222a b ab +≥（当且仅当a b =时等号成立，,a b R ∈）0,0,2a ba b +>>≥a b =时，等号成立） 15.24)(,,222b a b a ab R b a +≤+≤∈，当且仅当b a =时等号成立；*16.2,,112a b a b R a b++∈≤≤≤+b a =时等号成立；二、例题精讲例1：用以下符号填入空格，使得命题为真命题：∅____{}∅，其中满足条件的有_________ A ．∈B ．∉C ．⊂≠D ．⊆解：ABC 均可以。

2024届高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式第一讲集合课件

解析：A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}，
由 A∩B＝B，知 B⊆A.
当 B＝∅时，m＝0，满足题意；
当 B≠∅，即 m≠0 时，B＝xx＝－m1
，
可得－m1 ＝2 或－m1 ＝－3，
解得 m＝－21或 m＝13. 综上所述，m 的取值集合为0，－12，13.
答案：0，－12，13
【考法全练】 1.(考向 1)(多选题)已知全集 U＝Z，集合 A＝{x|2x＋1≥0，
考点一集合的概念
1.已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素
的个数为( )
A.9
B.8
C.5
D.4
解析：由题意可知 A＝{(－1，0)，(0，0)，(1，0)，(0，－1)，
(0，1)，(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}，故集合 A 中
共有 9 个元素.故选 A.
A.(∁UB)∩A C.∁U(A∩B)
图 1-1-1
B.(∁UA)∩B D.A∩∁U(A∩B)
解析：设阴影部分表示的集合为C，由图可知C⊆A，C⊆∁UB， C⊆∁U(A∩B)，∴C为(∁UB)∩A或A∩∁U(A∩B).故选AD.
答案：AD
3.(考向 2)已知集合 M ＝{x|x2 －4x ＜0}，N ＝{x|m＜x ＜5}.若
解析：由题意，得 B＝{x|log2x<1}＝{x|0<x<2}. ∵A∩B 有 2 个子集，∴A∩B 中的元素个数为 1. ∵1∈(A∩B)，∴a (A∩B)，即 a B， ∴a≤0 或 a≥2，
即实数 a 的取值范围为(－∞，0]∪[2，＋∞). 答案：D
(2)已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∩B ＝B，则实数 m 的取值集合是________.

不等式组全章复习课件

科学中的不等式问题
80%
物理实验数据处理
通过不等式确定实验数据的可信区间和误差范围。
100%
环境监测与保护
比较不同地区的环境质量，制定相应的环境保护措施。
80%
生物医学研究
分析不同药物或治疗方法的效果，为临床决策提供依据。
05
综合练习与解答
综合练习题
练习题1
解不等式组$left{ begin{array}{l} 3(x + 1) > x 1 2x > 3x - 2 end{array} right.$
。
提高数学思维能力和解决复杂问题的能力。
THANK YOU
感谢聆听
下一步学习计划与展望
01
学习计划
02
深入理解不等式组的性质和解题技巧。
学习不等式组的实际应用案例，提高解决实际问题的能力。
03
下一步学习计划与展望
• 通过练习题和模拟题巩固所学知识。
下一步学习计划与展望
01
展望
02
03
04
进一步学习不等式的其他类型和解题方法。
学习如何将不等式与其他数学知识点结合，如代数、几何等
练习题2
解不等式组$left{ begin{array}{l} frac{x + 1}{2} > 2 x - 3 < 4 end{array} right.$
练习题3
解不等式组$left{ begin{array}{l} 3(x - 1) < x + 5 frac{x + 9}{3} > x + 1 end{array} right.$
不等式组全章复习课件
目

数学艺考生总复习第一章集合常用逻辑用语不等式第5节基本不等式课件

4．(人教 A 版教材习题改编)设 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝18，
则 xy 的最大值为________．答案：81
5．已知
x>0 ， y>0 ，且
2x
＋
y
＝
1
，
则
1 x
＋
2 y
的
最
小
值
是
________________．解析：因为1x＋2y＝(2x＋y)(1x＋2y)＝4＋xy＋4yx≥
() A．①②④
B．①②③
C．②③④
D．①③④
(2)已知函数 f(x)＝x2＋xa＋x＋1 11(a∈R)，若对于任意 x∈N*，f(x)≥3
恒成立，则 a 的取值范围是________．
[解析] (1)因为 a>0，b>0，a＋b＝2，
所以由
a2＋2 b2≥a＋2 b＝1≥ ab ≥1a＋2 1b得 a2＋b2≥2; 1a＋1b
[跟踪训练]
1．(2019·濮阳市质检)若正实数 x，y 满足 4x＋y＝xy，则 x＋4y
取最小值时，y 的值为( )
A．1
B．2
C．3
D．5
解析：D [(1)∵x＞0，y＞0 且 4x＋y＝xy，
14
∴x＋y＝1，
∴x＋4y＝(x＋4y)1x＋4y＝17＋4yx＋4xy≥25，当且仅当 x＝y＝5 时
11
a＋b，则有 a＋b＝1，所以
a＋
b
＝
1a＋b1
(a＋
b)＝
2
＋
b a＋
a b≥
2
＋
ba 2 a·b＝4，当且仅当 a＝b＝2 时等号成立，所以 a＋b 的最小值为

高考集合经典复习讲义第一讲

第一讲集合【考纲解读】1．集合的含义与表示2．集合间的基本关系3．集合的基本运算【知识回顾】必须记住1.数集的表示符号，自然数N ，正整数集N* 或N+，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R2.若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空子集有21n -个，非空真子集有22n-个． 3.空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.4.有关集合的一些简单性质及结论：若A B B C ⊆⊆，，则A C ⊆；,,.A A B A B A A B A B ⊆⊆⊆；A B A B B ⊆⇔=;A B A B A ⊆⇔=.【考点剖析】考点一：集合中元素的特征例11．设集合A={1，x 2}，x ≠2．(2013·XX 卷)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．5D ．9考点二：集合的特征和关系例2.(2016·新课标全国卷Ⅰ模拟)1．设A ＝{1,4,2x }，若B ＝{1，x 2}，若B ⊆A ，则x ＝( )A ．0B ．－2C ．0或－2D ．0或±2考点三：集合的运算(2017·XX 月考)已知集合M ＝{a,0}，N ＝{x |2x 2－3x ＜0，x ∈Z }，如果M ∩N ≠∅，则a ＝__________.(2015·聊城月考)设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤，则A B = （） A ．{12}x x -≤< B ．1{|1}2x x -<≤ C ．{|2}x x <D ．{|12}x x ≤<课后练习题1．[2013·XX 一模] (1)设集合A ＝{1，2}，则满足A ∪B ＝{1，2，3，4}的集合B 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．52．[2015·XX 二模] 已知全集U ＝{0，1，2，3，4}，A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4}，则图K11中阴影部分表示的集合为( )图K11A ．{0，2}B ．{0，1，3}C ．{1，3，4}D ．{2，3，4}3．[2017·XX 质检] 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2≥1}，那么∁U A 等于( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，1)C ．[－1，1]D ．(1，＋∞)4．[2014·XX 四模] 已知集合A ＝{0，1，2}，集合B ＝{x |x ＝2a ，a ∈A }，则A ∩B ＝( )A ．{0}B ．{2}C ．{0，2}D ．{1，4}5．[2017·XX 卷] 已知A ＝{x |x ＋1>0}，B ＝{－2，－1，0，1}，则(∁R A )∩B ＝( )A ．{－2，－1}B ．{－2}C ．{－1，0，1}D ．{0，1}6．[2016·XX 卷] 若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A ．4B ．2C ．0D ．0或47．[2018·乌鲁木齐一模] 已知集合A ＝{x ||x |>1}，B ＝{x |x <m }，且A ∪B ＝R ，则m 的值可以是( )A ．－1B ．0C ．1D ．28.[2017·内蒙一联] 集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16AB =,则a的值为( )A.0B.1C.2D.49．[2016·XX 一联] 如图K12所示,A ，B 是非空集合，定义A *B 表示阴影部分的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A *B ＝( )图K12A ．(2，＋∞)B ．[0，1)∪(2，＋∞)C ．[0，1]∪(2，＋∞)D ．[0，1]∪[2，＋∞)。

第一讲《集合与不等式》

第一讲集合与不等式一、知识梳理1、解分式不等式注意转化要等价；2、解绝对值不等式注意采用零点分段讨论；3、方程的根与不等式解集的关系:二、典型例题题型1解不等式例1、解下列不等式2（1）不等式 X -5x-6v0的解集为（）A {X -2<XC 3}B {x| — 1cx<6}C X 2 + X -2(2)不等式 ------------ >0的解集为( )X -1A {x|x<—1 或1<xc2}B {x|—1<x<1 或XA 2}C {X |XA —2且x H 1}D {X |XA —2且例 5、(1)解关于 X 的不等式 MxT) >1 ( k<^R )； (2 )设 aHb ，解不等式 a 2x+b 2(1 —x) > [ax + b(1—x)】2X —2{xx 吒-2或X A 3} D {X |X <_1或XA 6}解关于 x 的不等式 (X 2+ X-2)(x-3)2(X +4)兰0(X-1) ]x | 7^不等式 |2x —1| —X <1的解集是不等式 X 2 —2|x|—15》0的解集为(6) 若集合 A ={x| X 2-2x +a >0}，且作A ，则实数a 的取值范围是例2、在R 上定义运算O : A. （0,2） B. a 0 b =ab +2a+b ,则满足x O (x-2)<0的x 的取值范围为(). (-2,1)C. ( = ,-2)U(1,母)D. (-1,2)题型2含参数不等式例3、已知关于x 的不等式 ax —1 < 0的解集是 X +11宀叽（-厂）.则a =例4、若关于X 的不等式（m-1）x V J4x - X 2 A. 12 B. 1 C. 2的解集为{X |0 e x c 2}，则实数m 的值是（）(3)已知集合 A ={x 忘 R|x 2 +(p + 2)x +1=0} , B ={y 忘 R|y =x 2,x c 0}，若，求由实数 p 的取值构成的集合.X 2 +ax +1 >0恒成立，贝U a 的取值范围是3 * 2 彳2 X-一的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

七年级下人教版数学第九章不等式与不等式组的讲座

七年级下人教版数学第九章不等式与不等式组的讲座不等式与不等式组的讲座尊敬的老师们和亲爱的同学们：大家好！今天我将为大家讲解七年级下册数学第九章的内容——不等式与不等式组。

这是一个非常重要的主题，不仅在数学中应用广泛，还在日常生活中有很多实际意义。

首先，我们来了解不等式的基本概念。

不等式是描述两个数之间大小关系的数学表示式。

例如，5 > 2就是一个不等式，表示5大于2；4 < 7也是一个不等式，表示4小于7。

我们可以通过比较两个数的大小来确定不等式的真假。

在学习不等式的过程中，我们需要掌握一些基本的运算规则。

首先是不等式的加减法运算规则。

如果一个不等式两边同时加上或减去一个数，那么不等式的方向会保持不变。

例如，如果a > b，那么a + c > b + c，a - c > b - c也成立。

不等式的乘除法运算规则如下：如果一个不等式两边同时乘上或除以一个正数k，那么不等式的方向保持不变；如果乘以或除以一个负数k，那么不等式的方向会发生改变。

例如，如果a > b，那么ka > kb，但如果k是一个负数，那么ka < kb。

接下来，我们来讲解不等式组的概念。

不等式组是由多个不等式组成的一个集合。

不等式组一般由若干个不等式和它们的关系符号组成。

例如，下面是一个简单的不等式组：{a < 4,b > 6}这个不等式组表示a小于4且b大于6，我们可以通过解这个不等式组来找出满足条件的变量的取值范围。

不等式组的解可以用图像表示，我们可以将每个不等式看作平面上的一个区域，并将满足所有不等式的点标记出来，这个标记出来的区域就是不等式组的解集。

除了图像表示，我们还可以通过逐个解不等式的方式来解决不等式组。

首先，我们要解决每个不等式，找出满足每个不等式的变量的取值范围，然后再找出所有不等式的交集，即为不等式组的解集。

最后，我们要了解一些重要的不等式。

三角不等式是描述三个数之间大小关系的一个定理。

备考2024届高考数学一轮复习讲义第一章集合常用逻辑用语与不等式第1讲集合

第1讲集合1.集合的概念空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 规律总结（1）A ⊆B （子集）{A ＝B （相等）⇔A ⊆B 且A ⊇B ，A⫋B （真子集）⇔A ⊆B 且A ≠B.（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即⌀⊆A ，⌀⫋B （B ≠⌀）. （3）任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A .空集只有一个子集，即它本身.（4）含有n 个元素的集合的子集个数是2n ，非空子集的个数是2n －1，真子集的个数是2n －1，非空真子集的个数是2n －2.（5）对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，且B ⊆C ，那么A ⊆C . 3.集合的基本运算集合的运算性质（1）A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B .（2）∁U （A ∩B ）＝（∁U A ）∪（∁U B ），∁U （A ∪B ）＝（∁U A ）∩（∁U B ）.1.下列说法正确的是（ D ）A.{x ｜y ＝x 2}＝{y ｜y ＝x 2}＝{（x ，y ）｜y ＝x 2}B.方程√x －2024＋（y ＋2 025）2＝0的解集为{2 024，－2 025}C.若{x 2，1}＝{0，1}，则x ＝0或1D.对任意两个集合A ，B ，（A ∩B ）⊆（A ∪B ）恒成立 2.若集合P ＝{x ∈N ｜x ≤√2025}，a ＝2√2，则（ D ）A.a∈PB.{a}∈PC.{a}⊆PD.a∉P3.集合{a，b}的真子集的个数为3.解析解法一集合{a，b}的真子集为⌀，{a}，{b}，有3个.解法二集合{a，b}有2个元素，则集合{a，b}的真子集的个数为22－1＝3.4.设a，b∈R，P＝{2，a}，Q＝{－1，－b}，若P＝Q，则a－b＝1.解析∵P＝Q，∴{a＝－1，－b=2，∴a－b＝－1－（－2）＝1.5.已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，则A∩（∁U B）＝{2，4} ，（∁U A）∩（∁U B）＝{6} .解析∵∁U A＝{1，3，6，7}，∁U B＝{2，4，6}，∴A∩（∁U B）＝{2，4，5}∩{2，4，6}＝{2，4}，（∁U A）∩（∁U B）＝{1，3，6，7}∩{2，4，6}＝{6}.研透高考明确方向命题点1集合的概念例1 （1）[2022全国卷乙]设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁U M＝{1，3}，则（A）A.2∈MB.3∈MC.4∉MD.5∉M解析由题意知M＝{2，4，5}，故选A.（2）[全国卷Ⅲ]已知集合A＝{（x，y）｜x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）｜x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为（C）A.2B.3C.4D.6解析由题意得，A∩B＝{（1，7），（2，6），（3，5），（4，4）}，所以A∩B中元素的个数为4，故选C.方法技巧1.解决集合含义问题的三个关键点：一是确定构成集合的元素；二是分析元素的限制条件；三是根据元素的特征（满足的条件）构造关系式解决相应问题.2.常见集合的含义训练1 （1）[多选/2024黑龙江模拟]已知集合A ＝{x ｜4ax 2－4（a ＋2）x ＋9＝0}中只有一个元素，则实数a 的可能取值为（ ABD ） A.0B.1C.2D.4解析当a ＝0时，－8x ＋9＝0，解得x ＝98，所以A ＝{98}，符合题意；当a ≠0时，由题意，得Δ＝[4（a ＋2）]2－4×4a ×9＝0，解得a ＝1或a ＝4.故选ABD.（2）[多选/2023江苏省镇江中学模拟]已知集合A ＝{y ｜y ＝x 2＋2}，集合B ＝{（x ，y ）｜y ＝x 2＋2}，下列关系正确的是（ AB ） A.（1，3）∈B B.（0，0）∉B C.0∈AD.A ＝B解析 ∵集合A ＝{y ｜y ≥2}＝[2，＋∞），集合B ＝{（x ，y ）｜y ＝x 2＋2}是由抛物线y ＝x 2＋2上的点组成的集合，∴AB 正确，CD 错误，故选AB.（3）已知集合A ＝{0，m ，m 2－5m ＋6}，且2∈A ，则实数m 的值为 1或4 .解析因为A ＝{0，m ，m 2－5m ＋6}，2∈A ，所以m ＝2或m 2－5m ＋6＝2.当m ＝2时，m 2－5m ＋6＝0，不满足集合中元素互异性，所以m ＝2不符合题意.当m 2－5m ＋6＝2时，m ＝1或m ＝4，若m ＝1，A ＝{0，1，2}符合题意；若m ＝4，A ＝{0，4，2}符合题意.所以实数m 的值为1或4.命题点2 集合间的基本关系例2 （1）[2023新高考卷Ⅱ]设集合A ＝{0，－a }，B ＝{1，a －2，2a －2}，若A ⊆B ，则a ＝（ B ） A.2B.1C.23D.－1解析依题意，有a －2＝0或2a －2＝0.当a －2＝0时，解得a ＝2，此时A ＝{0，－2}，B ＝{1，0，2}，不满足A ⊆B ；当2a －2＝0时，解得a ＝1，此时A ＝{0，－1}，B ＝{－1，0，1}，满足A ⊆B .所以a ＝1，故选B.（2）[2024山西太原模拟]满足条件{1，2}⊆A ⫋{1，2，3，4，5}的集合A 的个数是（ C ） A.5B.6C.7D.8解析解法一因为集合{1，2}⊆A ⫋{1，2，3，4，5}，所以集合A 可以是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，共 7 个.故选C.解法二问题等价于求集合{3，4，5}的真子集的个数，则共有23－1＝7个.故选C. 方法技巧1.求集合的子集个数，常借助列举法和公式法求解.2.根据两集合间的关系求参数，常根据集合间的关系转化为方程（组）或不等式（组）求解，求解时注意集合中元素的互异性和端点值能否取到.注意在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的情况，如已知集合A、非空集合B满足A⊆B或A⫋B，则有A＝⌀和A≠⌀两种情况.训练2 （1）设集合P＝{y｜y＝x2＋1}，M＝{x｜y＝x2＋1}，则集合M与集合P的关系是（D）A.M＝PB.P∈MC.M⫋PD.P⫋M解析∵P＝{y｜y＝x2＋1}＝{y｜y≥1}，M＝{x｜y＝x2＋1}＝R，∴P⫋M.故选D.（2）已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为（－∞，3] .解析因为B⊆A，所以分以下两种情况：①若B＝∅，则2m－1＜m＋1，此时m＜2；②若B≠∅，则{2m－1≥m+1，m+1≥－2，2m－1≤5，解得2≤m≤3.由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为（－∞，3].命题点3集合的基本运算角度1集合的交、并、补运算例3 （1）[2023新高考卷Ⅰ]已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x｜x2－x－6≥0}，则M∩N＝（C）A.{－2，－1，0，1}B.{0，1，2}C.{－2}D.{2}解析解法一因为N＝{x｜x2－x－6≥0}＝{x｜x≥3或x≤－2}，所以M∩N＝{－2}，故选C.解法二因为1∉N，所以1∉M∩N，排除A，B；因为2∉N，所以2∉M∩N，排除D.故选C. （2）[2023全国卷甲]设全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U（M∪N）＝（A）A.{x｜x＝3k，k∈Z}B.{x｜x＝3k－1，k∈Z}C.{x｜x＝3k－2，k∈Z}D.∅解析解法一M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以∁U（M∪N）＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即∁U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}，故选A.解法二集合M ∪N 表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好能被3整除的整数集，故选A.角度2 已知集合运算结果求参数例4 （1）[全国卷Ⅰ]设集合A ＝{x ｜x 2－4≤0}，B ＝{x ｜2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x ｜－2≤x ≤1}，则a ＝（ B ） A.－4B.－2C.2D.4解析易知A ＝{x ｜－2≤x ≤2}，B ＝{x ｜x ≤－a 2}，因为A ∩B ＝{x ｜－2≤x ≤1}，所以－a 2＝1，解得a ＝－2.故选B.（2）已知集合A ＝{x ｜y ＝ln （1－x 2）}，B ＝{x ｜x ≤a }，若（∁R A ）∪B ＝R ，则实数a 的取值范围为（ B ） A.（1，＋∞） B.[1，＋∞） C.（－∞，1）D.（－∞，1]解析由题可知A ＝{x ｜y ＝ln （1－x 2）}＝{x ｜－1＜x ＜1}，∁R A ＝{x ｜x ≤－1或x ≥1}，所以由（∁R A ）∪B ＝R ，B ＝{x ｜x ≤a }，得a ≥1. 方法技巧1.处理集合的交、并、补运算时，一是要明确集合中的元素是什么，二是要能够化简集合，得出元素满足的最简条件.2.对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可借助Venn 图求解；如果集合中的元素是连续的，可借助数轴求解，此时要注意端点的情况.训练3 （1）[2023全国卷乙]设集合U ＝R ，集合M ＝{x ｜x ＜1}，N ＝{x ｜－1＜x ＜2}，则{x ｜x ≥2}＝（ A ） A.∁U （M ∪N ） B.N ∪∁U M C.∁U （M ∩N ）D.M ∪∁U N解析由题意知M ∪N ＝{x ｜x ＜2}，所以∁U （M ∪N ）＝{x ｜x ≥2}，故选A.（2）[2023江西省联考]已知集合A ＝{（x ，y ）｜（x －1）2＋y 2＝1}，B ＝{（x ，y ）｜kx －y －2＜0}.若A ∩B ＝A ，则实数k 的取值范围是（ A ） A.（－∞，34）B.（34，3）C.（34，＋∞）D.（－∞，34]解析因为A ∩B ＝A ，所以A ⊆B ，则圆（x －1）2＋y 2＝1在直线y ＝kx －2的上方，则{k ×1－2<0，√k 2＋（－1）2>1，解得k ＜34.命题点4 集合中的计数问题例5 [全国卷Ⅲ]《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（C）A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8解析解法一由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为 90－80＋60＝70，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70÷100＝0.7.故选C.解法二用Venn图表示调查的100位学生中阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系，如图，易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70，所以该校阅读过《西游记》＝0.7.故选C.的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100方法技巧集合中元素的个数问题的求解策略关于集合中元素的个数问题，常借助Venn图或用公式card（A∪B）＝card（A）＋card（B）－ card（A∩B），card（A∪B∪C）＝card（A）＋card（B）＋card（C）－card（A∩B）－card（A∩C）－card（B∩C）＋card（A∩B∩C）（card（A）表示有限集合A中元素的个数）求解.训练4 向50名学生调查对A，B两种观点的态度，结果如下：赞成观点A的学生人数是全体人数的3，其余的不赞成；赞成观点B的学生人数比赞成观点A的多3人，其余的不赞5成；另外，对观点A，B都不赞成的学生人数比对观点A，B都赞成的学生人数的1多13人，则对观点A，B都赞成的学生有21人.＝30，赞成观点B的学生人数为30解析赞成观点A的学生人数为50×35＋3＝33.如图，记50名学生组成的集合为U，赞成观点A的学生全体为集合A，赞成观点B的学生全体为集合B.设对观点A，B都赞成的学生人数为x，则对观点A，B都不赞成的学生人数为x＋1，赞成观点A或赞成观点B的学生人数为303＋1＝50，解得x＝21.故对观点A，B都赞成的学生有21人. ＋33－x.依题意30＋33－x＋x3命题点5集合的新定义问题例6 （1）[2024上海市晋元高级中学模拟]已知集合M＝{1，2，3，4，5，6}，集合A⊆M，定义M（A）为A中元素的最小值，当A取遍M的所有非空子集时，对应的M（A）的和记为S，则S＝120.解析由M＝{1，2，3，4，5，6}得，M的非空子集A共有26－1个，其中最小值为1的有25个，最小值为2的有24个，最小值为3的有23个，最小值为4的有22个，最小值为5的有21个，最小值为6的有20个，故S＝25×1＋24×2＋23×3＋22×4＋2×5＋1×6＝120. （2）若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素但不互为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”.已知集合A＝{x｜－t＜x＜t，t＞0}和集合B＝{x｜x2－x－2＜0}，若集合A，B构成“偏食”，则实数t的取值范围为（1，2）.解析由题意，可知集合A＝{x｜－t＜x＜t，t＞0}，集合B＝{x｜－1＜x＜2}，因为集合A，B构成“偏食”，所以{t>0，－t＜－1<t<2，解得1＜t＜2.所以实数t的取值范围为（1，2）.方法技巧解决集合新定义问题的关键紧扣新定义，分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义混淆.训练5 [多选/2023山东省淄博一中月考]在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k｜n∈Z}（k＝0，1，2，3，4），给出如下四个结论，正确结论为（ACD）A.2 023∈[3]B.－2∈[2]C.Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]D.整数a，b属于同一“类”的充要条件是a－b∈[0]解析由2 023÷5＝404……3，得2 023∈[3]，故A正确；－2＝5×（－1）＋3，所以－2∈[3]，故B错误；因为整数集中的被5除的数可以且只可以分成五类，所以Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故C正确；因为整数a，b属于同一“类”，所以整数a，b被5除的余数相同，从而a－b被5除的余数为0，反之也成立，故整数a，b属于同一“类”的充要条件是a－b∈[0]，故D正确.故选ACD.。