102-简谐运动的动力学方程

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简谐运动公式

T 2唇
6、角频率
2
T
7、能量
121212E -kA -kx -mv
2 2 2
三、单摆
1、周期
l百度文库
T—2id
$2gl cos cos
2、重力加速度
g2l料
简谐运动公式
一、简谐运动判定方法
1、恢复力判定法
Fkx
2、运动方程判定法
x Acos( t )
3、动力学方程判疋法
a2x0
4、能量判疋
—mv2—kx2E
2 2
一、弹簧振子
1、恢复力
F mam2xkx
2、位移
x Acos( t )
3、速度
vAcos( t )
4、加速度
2 2
aAcos( t )x
5、周期

简谐运动的动力学和运动学

解方程
d2 x 2 x
dt 2 设初始条件为:
简谐运动的微分方程
t 0 时，x x0 ，v=v0
解得 x Acos(t )
简谐运动方程
积分常数，根据初始条件确定
第九章振动
9
物理学
第五版
9-1 简谐振动的动力学和运动学
由 x Acos(t )
简谐运动方程
得 v dx A sin(t )
dt 2 l
转
A
动
l
正向
FT m
O
J
ml 2
P
第九章振动
11
物理学
第五版
9-1 简谐振动的动力学和运动学
d2 g
dt 2 l
令 2 g
l
d2 2
dt 2
m cos(t )
T 2π l g
转
A
动
l
正向
FT m
O
J
ml 2
P
第九章振动
12
物理学
第五版
9-1 简谐振动的动力学和运动学
x Acos(t )
x x t图
A
T 2π 取 0
o
t
T
A
v A sin(t )
v
A
A cos(t π)
2
o

简谐运动的表达式动力学表达式

度方向上的力充当向心力，即F向=F-mgcosθ；摆球重力在平行于速度方向上的分力充当摆球的回复
力.当单摆做小角度摆动时，由于F回=-mgsinθ= - mg x=-kx，所以单摆的振动近似为简谐运动.
l
3.单摆的周期公式 (1)单摆振动的周期公式T=2π l ,该公式提供了
g
一种测定重力加速度g的方法. (2)l为等效摆长,表示从悬点到摆球重心的距离, 要区分摆长和摆线长，悬点实质为摆球摆动所在
(2)简谐运动的表达式动力学表达式：F=-kx
运动学表达式：x=Asin(ω t+ )
(3)简谐运动的图象 ①物理意义：表示振子的位移随时间变化的规律，为正弦（或余弦）曲线. ②从平衡位置开始计时，函数表达式为x= Asinω t,图象如图1.
图1
从最大位移处开始计时，函数表达式为x= Acosω t，图象如图2.
D.若Δ t=T/2,则在t时刻和(t+Δ t)时刻弹簧的长度一定相等
解析弹簧振子做简谐运动的图
象如右图所示，图中A点与B、E、 F、I等点的振动位移大小相等,方向相同.由图可知，A点与E、I等点对应的时间差为 T或T的整数倍，A点与B、F等点对应的时间差不为T 或T的整数倍，因此A选项不正确. 图中A点跟B、C、F、G等点的振动速度大小相等，方向相反,由图可知A点与C、G等点对应的时间差为T/2或T/2的整数倍,A点与B、F等点对应的时间差不为T/2或T/2的整数倍,因此B选项不正确;如果 t时刻和(t+Δt)时刻相差为一个周期T,则这两个时刻振动情况完全相同,加速度一定相等,选项C正

简谐运动

傅里叶变换在简谐运动中的应用
通过傅里叶变换将简谐运动信号从时域转换到频域，分析其频率成分和振幅谱，进而研究系统的动态特性。
频谱分析和滤波技术
频谱分析
对信号的频率成分进行分析，了解信号的频率结构和能量分布。
滤波技术
根据信号频谱的特点，设计滤波器对信号进行滤波处理，提取感兴趣的频率成分或抑制干扰成分。
通过实验测量和信号处理技术，识别出系统的模态参数，为系统设计和优化提供依据。
05
实验技术与数据处理方法
实验设计原则及注意事项
确保实验环境稳定
避免外部干扰，如电磁场、振动等，对实验结果的影响。
确定合适的实验参数
如振幅、频率等，确保实验数据具有代表性和可比性。
选择合适的实验装置
根据实验需求，选用精度高、稳定性好的实验装置。
行波解及时域特性分析
行波解概念
波动方程的解表示波在介质中的传播行为，行波解是波动方程的一类特解。
时域特性
分析行波解在时域上的特性，如振幅、频率、相位等。
波形图
绘制行波解的波形图，直观展示波的传播过程。
边界条件对波动影响
1 2 3
反射现象
当波传播到介质边界时，会发生反射现象，反射波的振幅、相位等特性与入射波和边界条件有关。
减振技术
在结构物上安装阻尼器或耗能装置，通过吸收或消耗振动能量，减小结构的振动幅度。

高中物理复习：简谐运动规律

做机械振动的物体的偏离平衡位置的位移x 随时间t 做正弦规律变化时，物体的运动就被称之为简谐运动，其基本规律是

sin()x A t ωϕ=+，

其中ω为简谐运动的圆频率，由振动系统本身决定，A 为振幅，φ为初相位，这两者由振动系统的初始状态决定。

一、求导角度理解已知位移随时间的变化规律，即可根据x v t ∆=

∆和v a t

∆=∆得出振动物体的速度、加速度随时间的变化规律，这需要用到求导的知识。1、简谐运动的速度规律：由x v t

∆=

∆得m cos()cos()v x A t v t ωωϕωϕ'==+=+，其中m v A ω=。2、简谐运动的加速度规律：由v a t ∆=∆得2m sin()sin()a v A t a t ωωϕωϕ'==-+=-+，其中2m a A ω=。由上述分析可知，振动物体的位移x 和速度v 这两个物理量中，一个振动量按正弦规律变化，另一个振动量就按余弦规律变化，而且有2

a x ω=-，即振动物体的加速度a 大小正比于物体偏离平衡位置的位移x ，方向与位移x 的方向相反。

二、从运动方程角度理解将2

a x ω=-写成微分方程，即222d d x x t ω=-，由数学知识可知，这个方程的解为sin()x A t ωϕ=+，其中A 为振幅，φ为初相位，这两者由振动系统的初始状态决定。

三、从动力学角度理解

由牛顿第二定律，有2F ma m x ω==-，令2k m ω=，可得F kx =-，

即做简谐运动的物体的回复力F 大小正比于物体偏离平衡位置的位移x ，方向与位移x 的方向相反。将2k m ω=

简谐振动的方程

第14-1讲简谐振动的方程
课本的内容: 14-1 简谐振动
14-2 简谐振动中的振幅周期频率位相
14-3 旋转矢量
14-4 单摆和复摆
课本pp1〜pp14 (本讲内容重新组合)
一、简谐振动的动力学方程 1.弹簧振子
d x m 2 F kx dt
k 2 m
2
l0
k
m
A
o
v0 tan 0 x0
例
质量为M的盘子,系于
竖直悬挂的轻弹簧下端.
弹簧的劲度系数为k. 质
量为m的物体自离盘高处
自由落下掉在盘上，没有反弹。求盘子的最大位移.
m M h
解：如图，选(m+M)平衡位置为坐标原点，选向下为x轴正方向。设振动方程为：
O
,
x A cos(t )
x A cos(t ) x A sin(t )
(4)
或
或
x A cos t B sin t
x A cos(t )
约定(4)式简谐振动的运动学方程 1 简谐振动速度加速度
(4)
dx v A sin(t ) dt 2 d x 2 a 2 A cos(t ) dt
(2)周期、频率、圆频率
弹簧振子单摆
k m g l

简谐振动方程

⑴ 取开始振动时为计时零点，写出振动方程；
(2)若取x0=0，v0>0 为计时零点，写出振动方程,
并计算振动频率。
解：⑴ 确定平衡位置 mg k l
取平衡位置为原点
m
O
k mg / l
x
X
令向下有位移x, 则 f mg k (l x) kx
作谐振动
设振动方程为 x A cos(t 0 )
sin( 1 ) v v 1 6 A vm 2
1 7 或 11
66 6
a1 0,则
cos( 1 0 ) 0
1 7
66
3.14s1
A vm 31.4 10cm
3.14
故振动方程为 x 10 cos( t )cm
6
方法2：用旋转矢量法辅助求解。
x A cos(t 0 )
v0 A sin 0 15.7cms1
v (cms 1 )
31.4
a0 2 A cos0 0
15.7
0
15.7
1
t(s)
31.4
A vm 31.4cms1
sin
0
v0
A
15.7 31.4
1 2
0
6
或
5 6
a0 0,则 cos0 0
0
6
t 1 v 15.7cms1
简谐振动的方程

简谐运动

周期和频率由振动系统固有条件决定；振幅和
初相由初始条件决定。
4、振幅和初相的求法
已知t =0时的初位移x0和初速度v0（称为初始条件） x Acos( t ) v Asin( t )
x0 Acos， v0 Asin
由此，可解得：A
x02
v02
2
tan v0 x0
振动周期为
T 2 2 l
1018 1017 1016 1015 1014 1013 1012 1011 1010 109 108 107 106 105
104
宇宙年龄地球年龄
103
形成富氧大气层 102
恐龙灭绝
101
100
出现古人类
10-1
10-2
人类文明史
10-3
古树的年龄 10-4
人类的寿命
10-5
10-6
地球公转周期(年)
10-7 10-8
月球周期(月) 10-9
10-10
地球自转周期(日) 10-11
中子的寿命
10-12 10-13
百米赛跑世界纪录钟摆的周期
10-14 10-15 10-16
市电的周期
10-17
10-18
超快速摄影曝光时间 10-19
子的寿命
10-20 10-21
10-22
介子的寿命

振动

2 xT: A cos t 周期。 ν: 频率 2 Acos ω:t圆频率 T Acos 2t 3 相位 t
表示每一时刻振动的状态。若已知：

为初相。
振动由于具备相位而显得极具特色。
A, , , 可写出简谐振动表达式。
2 2
t = 0 时,A1 、A2 角速
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 ) 度为ω, 其夹角 φ1－φ2 恒定 , 从而 A 的角速度亦为 A1 sin1 A2 sin 2 tan ω,即合振动频率与两分振 A1 cos 1 A2 cos 2
三、速度与加速度方程
dx v Asint Acos t dt 2
速度与位移不同步 ——存在相位差。
dv 2 2 A cost x a dt Acost
加速度与位移成正比并始终反相、反向。
四、简谐振动曲线
x,v,a
o
T 2
t
x,v,a
o
T 2
x
x Acost
难点：初相的确定。
要求：已知方程求曲线；已知曲线求方程。方法：先画出初相为零的曲线经沿横轴位移得到具有任意初相的曲线。
五、矢量参考圆
矢量 A逆时针转动，其与振动三个特征量关系如下：矢量 A大小等于简谐振动振幅 A。矢量 A转动的角速度等于简谐振动圆频率。初时刻矢量 A与 x轴夹角为简谐振动的初相。矢量 A转动周期即为简谐振动周期。

机械振动——简谐运动的基本概念

简谐运动

在一切振动中，最简单和最基本的振动称为简谐运动，其运动量按正弦函数或余弦函数的规律随时间变化。任何复杂的运动都可以看成是若干简谐运动的合成。本节以弹簧振子为例讨论简谐运动的特征及其运动规律。

一、简谐运动的基本概念： 1．弹簧振子：

轻质弹簧(质量不计)一端固定，另一端系一质量为m 的物体，置于光滑的水平面上。物体所受的阻力忽略不计。设在O 点弹簧没有形变，此处物体所受的合力为零，称O 点为平衡位置。系统一经触发，就绕平衡位置

作来回往复的周期性运动。这样的运

动系统叫做弹簧振子（harmonic Oscillator ），它是一个理想化的模型。 2．弹簧振子运动的定性分析：

考虑物体的惯性和作用在物体上的弹性力：

B →O ：弹性力向左，加速度向左，加速，O 点，加速度为零，速度最大； O →

C ：弹性力向右，加速度向右，减速，C 点，加速度最大，速度为零； C →O ：弹性力向右，加速度向右，加速，O 点，加速度为零，速度最大； O →B ：弹性力向左，加速度向左，减速，B 点，加速度最大，速度为零。物体在B 、C 之间来回往复运动。结论：物体作简谐运动的条件：

● 物体的惯性 ——阻止系统停留在平衡位置 ● 作用在物体上的弹性力——驱使系统回复到平衡位置

二、弹簧振子的动力学特征： 1．线性回复力

分析弹簧振子的受力情况。取平衡位置O 点为坐标原点，水平向右为X 轴的正方向。由胡克定律可知，物体m (可视为质点)在坐标为x (即相对于O 点的位移)的位置时所受弹簧的作用力为

f=-kx

简谐振动的动力学方程

由起始能量求振幅 A 2E 2E0
k
k
1
2
dx dt

c1
sin( t

c2 )
Kf m
o
x
x 0
f Kx x
x c cos(t c )
1
2
初始条件：
dx dt

c1
sin( t

c2 )
t 0， x x
Байду номын сангаас
0,
x0 c1 cos c2 0 c1 sin c2 dx
c x ，c 0
O
l
m o
t 时刻细绳与竖直方向
夹角为θ
忽略空气阻力，
小球受力如图.
小球所受合外力矩为

M M M
T
G
选择逆时针方向为正
●
l
T
o mg
M mgl sin
M 0 T
M mgl sin G
M mgl sin
由转动定律 d 2
M J dt 2
J ml 2

1 T
t T
Ek dt
t
1 kA2 4
E P

1 T
t T

E dt P
t

1 kA2 4
(3) 机械能

简谐运动的动力学方程

自自然然长长度度b
静平衡位置
OOOO
静平衡位置 m
静平衡
m d2x kx dt 2
位置静平衡
位置
x
即
d2x k x0
dt2 m
简谐运动的动力学方程
简谐运动的角频率（固有角频率）为
k g
mb
初始条件:
x t0
x0 b
v
dx dt
t0
v0
0
代入计算振幅和初相的公式得: Ab, π
简谐运动表达式为: x bcos( g t π) b
Fτ mgsin
切向运动方程为
mgsin maτ ml
d2
dt2
即
d2 g sin 0
dt2 l
为非简谐运动.
简谐运动的动力学方程
Fτ
当θ很小时 < 50 0.0873rad sin
为简谐运动 d22
dt2
0
单摆的角频率和周期分别为
g
l
T2π2π l
g
通过测量T,,确定该地点的重力加速度确
在振动过程中, 物体所受到的合外力与其相对于平衡位置的位移成正比而反向(始终指向平衡位置), 这样的力称为线性恢复力.
简谐运动的动力学方程
由牛顿第二定律
m d 2x kx dt2
或
d2x k x 0

简谐振动的运动学方程

质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动叫简谐振动。
讨论的步骤为：
（1）先确定振动系统的平衡位置，并以平衡位置为坐标原点，建立坐标系；（2）让振动系统偏离平衡位置，然后分析系统的受力情况，求出系统所受的合外力；（3）根据牛顿运动定律，导出简谐振动的运动微分方程。
一、弹簧振子的振动
一端固定、质量可忽略、劲度系数为 K 的弹簧，在另一端固结一个质量为 m 的物体，就构成一个弹簧振子。把它平放在光滑水平面上。
基本的振动是简谐振动，可以证明，任何复杂的振动都可以看作是不同频率的简谐振动的合成。因此，掌握简谐振动的特征
和规律非常重要，振动是波动的基础，一切波动都是某种振动的传播过程。本章的基本内容可分为三部分：第一，简谐振动；第二，振动的合成与分解；第三，阻尼振动和受迫振动。主要是利用质点和刚体运动规律来研究振动这种特殊的而又具有普遍意义的运动形式。
动力学特征：
（1）在怎样的力（或力矩）的作用下物体作简谐振动；
（2）根据力（或力矩）和运动的关系，求出简谐振动的动力学方程。
质点在某位置所受的力（或沿运动方向受的力）等于零，则此位置称为平衡位置。
若作用于质点的力总与质点相对于平衡位置的位移（线位
移或角位移）成正比，且指向平衡位置，则此作用力称线性回复力。
0
三、扭摆的摆动
M z c
I z

简谐振动的方程

由初条件得
A
x02

( v0

)2

0.098m
0

arctg( v0
x0
)

0,
由x0=Acos0=-0.098<0
cos0<0, 取0=
m
振动方程为：x=9.810-2cos(10t+)m
O
x
(2)按题意 t=0 时 x0=0，v0>0
x0=Acos0=0 , cos0=0 0=/2 ,3/2
v0 Asin 0 15.7cms1
v(cms 1 )
31.4
a0 2 A cos0 0
15.7
0
15.7
1
t(s)
31.4
A vm 31.4cms1

sin 0

v0
A

15.7 31.4

1 2
0

6
或
5 6

a0 0,则cos0 0
并计算振动频率。
解：⑴ 确定平衡位置 mg kl
取平衡位置为原点
m
O
k mg / l
x
X
令向下有位移x, 则 f mg k(l x) kx
作谐振动
设振动方程为 x A cos(t 0 )

大学物理简谐运动

π 反相
x
x
x
o
t
o
t
o
t
14 – 3 旋转矢量精析6.8 已知两个简谐振动曲线如图所示．x1 的相位比x2的相位超前_______．
x
x1 x2
π/2
O
t
例，两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同．第一个质点的振动方程为 x1 = Acos(t + a)．当第一个质点从正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处．求第二个质点的振动方程
v
0.08 0.04
o
x/m
0.04 0.08
法一设由起始位置运动到 x 0.04 m 处所需要的最短时间为 t
1 π arccos ( ) 2 2 3 t s s 0.667 s 3 π2
π π 0.04m ( 0.08 ) cos[ t ] 2 3
解法二，由旋转矢量判断
t
时刻

π 3
t
o
起始时刻
π 3
0.04 0.08
x/m
0.08 0.04
π t 3
π 1 s 2
2 t s 0.667 s 3
例1 如图，一轻弹簧连着一物体，弹簧的劲 1 m 20g . 度系数 k 0.72N m ，物体的质量（1）把物体从平衡位置拉到 x 0.05 m 处停下再释放，求简谐运动方程； A （2）求物体从初位置运动到第一次经过 2 处时的速度；（3）如果物体在 x 0.05 m 处时速度不等于 1 v 0 . 30 m s 零，而是具有向右的初速度 0 ，求其运动方程.

简谐振动的方程

mgl
d2 mgl 0
dt 2 J
记 2 mgl x
J
d2x dt 2
2
x
0
o
(3)
*C
(1)
d2x dt 2
2x
0
(1)
简谐振动的动力学方程
二、简谐振动的运动学方程
(1)式的解是
x Acos(t ) (4)
或 x Asin(t ) 或 x Acost Bsint
x Acos(t )
三简谐运动的特征
1） F kx (平衡位置 x 0 )
2）
d2x dt 2
2 x
3） x Acos(t )
补一例……
四根据初始条件确定振幅和初位相
x A cos(t 0 )
初始条件
例质量为M的盘子,系于
竖直悬挂的轻弹簧下端.
弹簧的劲度系数为k. 质
量为m的物体自离盘高处
自由落下掉在盘上，没有 m
故振动方程为方法2：用旋转矢量法辅助求解。
v的旋转矢量与v轴夹角表示t 时刻相位
由图知
(4)
约定(4)式简谐振动的运动学方程
1 简谐振动速度加速度
v dx A sin(t )
dt
a
d2x dt 2
A 2
cos(t
)
x
x t 图