102-简谐运动的动力学方程

合集下载

2021年高考复习：机械振动点点清专题3 简谐运动的公式和图像

1机械振动点点清专题 3 简谐运动的公式和图像1.简谐运动的公式和图像（1）表达式①动力学表达式：F ＝－kx ，其中“－”表示回复力与位移的方向相反.②运动学表达式：x ＝A sin(ωt ＋φ0)，A 表示简谐运动的振幅，ω是一个与周期成反比、与频率成正比的量，叫做简谐运动的“圆频率”，表示简谐运动的快慢，ω＝2π＝2πf 。

φT叫做初相，ωt ＋φ0代表简谐运动的相位。

（2）图象①从平衡位置开始计时，函数表达式为 x ＝A sin ωt ，图象如图 1 甲所示.②从最大位移处开始计时，函数表达式为 x ＝A cos ωt ，图象如图乙所示.2.简谐运动图象中可获取的信息：(1)简谐运动的图像不是振动质点的轨迹,它表示的是振动质点的位移随时间变化的规律随时间的增加而延伸。

(2)某时刻质点的位移，振幅 A 、周期 T (或频率 f )和初相位φ0(如图 5 所示).图 5 中 t1、t2 时刻的位移分别为 x1＝7 cm ，x2＝－5 cm.图 5 中的振幅 A ＝10 cm.周期 T ＝0.2 s ，频率 f ＝1/T ＝5 Hz ，OD 、AE 、BF 的间隔都等于振动周期．图 5(3)确定质点的回复力和加速度的方向,比较它们的大小：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同，在图象上总是指向 t 轴.图中 t1 时刻回复力 F1、加速度 a1 为负，t2 时刻回复力 F2、加速度 a2 为正，又因为|x1|>|x2|，所以|F1|>|F2|.|a1|>|a2|.(4)确定某时刻质点的振动方向，比较不同时刻质点的速度大小：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度的大小和速度的方向，速度的方向也可根据下一时刻质点的位移的变化来确定.若下一时刻位移增加,振动质点的速度方向就是背离平衡位置;若下一时刻位移减小,振动质点的速度方向就是指向平衡位置。

图中的 t1、t3 时刻，质点向正方向运动；t2 时刻，质点向负方向运动．(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的大小变化情况.F＝kx――→F＝ma――→质点的位移越大，它所具有的势能越大，动能则越小，速度越小3.简谐运动的对称性：(图 6)(1)相隔Δt＝(n＋1)T(n＝0,1,2，…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位2移、速度、回复力、加速度等大反向，动能、势能大小相等。

简谐运动的表达式动力学表达式

动的依据） 2.对称性——简谐振动物体具有对平衡位置的对称
性，在关于平衡位置对称的两个位置，动能、势能相等，位移、回复力、加速度大小相等，方向相反,速度大小相等，方向可能相同，也可能相反,振动过程相对平衡位置两侧的最大位移值相等.
3.周期性——简谐运动的物体经过相同时间t=nT(n) 为整数,必回复到原来的状态,经时间t=(2n+1) T2 (n为整数)，则物体所处的位置必与原来的位置关于平衡位置对称，因此在处理实际问题中，
图2 3.简谐运动的能量
简谐运动过程中动能和势能相互转化，机械能守恒，振动能量与振幅有关，振幅越大，能量越大.
二、简谐运动的两种基本模型
弹簧振子（水平）
单摆
模型示意图
条件平衡位置
回复力
忽略弹簧质量、无摩擦等阻力
细线不可伸长、质量忽略、无空气等阻力、摆角很小
弹簧处于原长处
最低点
度方向上的力充当向心力，即F向=F-mgcosθ；摆球重力在平行于速度方向上的分力充当摆球的回复
力.当单摆做小角度摆动时，由于F回=-mgsinθ= - mg x=-kx，所以单摆的振动近似为简谐运动.
l
3.单摆的周期公式 (1)单摆振动的周期公式T=2π l ,该公式提供了
g
一种测定重力加速度g的方法. (2)l为等效摆长,表示从悬点到摆球重心的距离, 要区分摆长和摆线长，悬点实质为摆球摆动所在
2. 简谐运动的描述（1）描述简谐运动的物理量 ①位移x：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段表示振动位移，是矢量. ②振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，表示振动的强弱. ③周期T和频率f:做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间叫周期，而频率则等于单位时间内完成全振动的次数；它们是表示振动快慢的物理量.二者互为倒数关系.

简谐振动的方程

x Acos(t )
(4)
约定(4)式简谐振动的运动学方程
1 简谐振动速度加速度
v dx A sin(t )
dt
a
d2x dt 2
A 2
cos(t
)
x
x t 图
A
t
x Acost
Hale Waihona Puke vt 图A vv A sint
t
A cos(t )
2
a t 图
a
A 2
t
a A2 cost
A2 cos(t )
2 描述简谐振动的特征量
(1)振幅 A
x Acos(t )
(2)周期、频率、圆频率
弹簧振子 k
m
单摆 g
l
T 2 m
k
T 2 l
g
1 k 2 m
1 g 2 l
复摆 mgh T 2 I 1 mgh
I
mgh
2 I
(3) 位相和初位相
x Acos(t 0 )
t 0 — 位相，决定谐振动物体的运动状态 0 是t =0时刻的位相—初位相
1 7
66
3.14s1
A vm 31.4 10cm
3.14
故振动方程为 x 10 cos( t )cm
6
方法2：用旋转矢量法辅助求解。
x Acos(t )
v
A
sin(t
)
vm
cos(t
2
)
vm A 31.4cms1
v的旋转矢量与v轴夹角表示t 时刻相位
t
(4)简谐振动的旋转矢量表示法
t t A
t
t 0
x
o
x

简谐运动的描述课件

详细描述
能量图是用来描述简谐运动时振子的能量随时间变化的图像。这个图像通常以时间为横坐标，以振子的能量为纵坐标。在能量图中，我们可以看到振子的能量是如何随时间变化的，以及在运动过程中能量的转换和损耗。
05
简谐运动的实例分析
单摆的简谐运动
定义
单摆是一种理想的物理模型，由一根固定在一端的轻杆或细线，另一端悬挂质量块组成。
《简谐运动的描述课件》
2023-10-30
目录
• 简谐运动概述 • 简谐运动的基本概念 • 简谐运动的公式与计算 • 简谐运动的图像描述 • 简谐运动的实例分析 • 简谐运动的总结与展望
01
简谐运动概述
简谐运动的定义
简谐运动的定义
简谐运动是指物体在一定范围内周期性地来回运动，其运动轨迹呈现为正弦或余弦函数的形状。这种运动是自然界中最简单、最基本的周期性运动之一。
高阶效应
对于一些高阶的振动系统，除了振幅和频率的变化外，还需要考虑高阶效应的影响。高阶效应会导致系统的响应呈现出更为复杂的特性。
未来对简谐运动的研究方向与价值
研究方向
未来对简谐运动的研究方向主要包括：研究更为复杂的振动系统，例如多自由度振动系统和耦合振动系统；研究更为精细的振动模型，例如包含更多影响因素和非线性效应的模型；研究更为高效的求解方法，例如能够处理大规模数据和复杂情况的数值方法。
加速度与速度
加速度
在简谐运动中，振子的速度会不断变化，因此加速度也会不断变化。加速度是描述速度变化快慢的物理量。
速度
在简谐运动中，振子的位置不断变化，因此速度也会不断变化。速度是描述物体运动快慢的物理量。
位移与回复力
位移
在简谐运动中，振子的位置会不断变化，这种变化称为位移。位移是描述物体位置变化的物理量。

简谐振动方程

简谐振动的方程
一、简谐振动的动力学方程
1.弹簧振子
l0 k
m
d2x m dt2
F
kx
A o
x
A
k 2
m
d2x k
dt 2
m
x0
d2 dt
x
2
2
x
0
(1)
2 单摆
sin
(ml
2
)
d2
dt 2
M mgl
d2
dt 2
g l
0
(2)
记 2 g x
l
d2x dt 2
2x
0
(1)
O
l
T
mg
mg k
1
1
(m
2kh M
)g
一、简谐振动的动力学方程
小
d2 dt
x
2
2
x
0
结
二、简谐振动的运动学方程
x Acos(t )
t t A
t
t 0 x
o
x
x Acos(t )
旋转矢量法
初始条件确定A 初位相
例:如图m=2×10-2kg,弹簧的静止形变为l=9.8 cm. t=0 时,x0=-9.8cm,v0=0
2 描述简谐振动的特征量
(1)振幅 A
x Acos(t )
(2)周期、频率、圆频率
弹簧振子 k
m
单摆 g
l
T 2 m
k
T 2 l
g
1 k 2 m
1 g 2 l
复摆 mgh T 2 I 1 mgh
I
mgh
2 I
(3) 位相和初位相
x A cos(t 0 )

简谐运动的动力学方程

在振动过程中, 物体所受到的合外力与其相对于平衡位置的位移成正比而反向(始终指向平衡位置), 这样的力称为线性恢复力.
简谐运动的动力学方程
由牛顿第二定律
m d 2x kx dt2
或
d2x k x 0
dt2 m
令
2 k
m
得
d2x2 x 0
dt2
—简谐运动动力学方程
微分方程的解为 x Acos(t)
(1)单摆
如图, 细线的上端固定, 另一端悬挂一可看作质点, 质量为 m 的重物, 细线的质量和伸长可忽略不计. 这一振动系统叫做单摆. 重物叫做摆球, 细线叫做摆线.
若把摆球从平衡位置略为拉开后放手, 摆球就在竖直平面内来回摆动.
解: 规定: 右方顺时针 > 0 左方逆时针 < 0
在忽略空气阻力的情况下, 合外力沿切线方向的分力(即重力分力) 为
它拉开一个微小角度 θ后释放. 若忽
略阻力和摩擦力, 则物体将绕轴 O作微小的自由摆动. 这样的装置叫做复摆.
简谐运动的动力学方程
简谐运动的动力学方程
解: 复摆在力矩 M的作用下的作用下的作用下的作用下,,由
定定轴律转动定M律由m定g轴l转J动定d律2由定轴转动定律由定轴转动
dt2
动力学方程为 d2 mgl
Fτ mgsin
切向运动方程为
mgsin maτ ml
d2
dt2
即
d2 g sin 0
dt2 l
为非简谐运动.
简谐运动的动力学方程
Fτ
当θ很小时 < 50 0.0873rad sin
为简谐运动 d22
dt2
0
单摆的角频率和周期分别为

简谐运动ppt课件

解：方法1
31.4
15.7
设振动方程为
0
x Acos(t 0 ) 15.7
31.4
1
t(s)
v0 A sin0 15.7cms 1 a0 2 Acos0 0
A vm 31.4cms 1
sin 0
v0
A
15.7 31.4
1 2
0
6
或
5 6
a0
0,则cos0
0
0
6
t 1 v 15.7cms 1 sin( 1 ) v v 1
两振动步调相反,称反相
0
2 超前于1 或 1滞后于 2
相位差反映了两个振动不同程度的参差错落
谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系
x Acos( t 0 )
v
A
sin(
t
0
)
vm
cos(
t
0
2
)
a A 2 cos( t 0 ) am cos( t 0 )
x.v.a. x
衡位置的运动。
• 平衡位置：质点在某位置所受的力（或沿运动方向受的力）等于0，则此位置称为平衡位置。
•线性回复力：若作用于质点的力总与质点相对于平衡位置的位移（线位移或角位移）成正比，且指向平衡位置，则称此作用力为线性回复力。
若以平衡位置为原点，以X表示质点相对于平衡
位置的位移，则
f kx
3
a 0.12 2 cos( 0.5 ) 0.103
3
(3) 当x = -0.06m时，该时刻设为t1,得 cos(t ) 1
13
2
t 2 , 4
133 3
因该时刻速度为负，应舍去

简谐振动的运动学讲解

x 0, v x 0 A
x 0, v x 0 A
上页下页返回结束
第九章振动 [例题2] 二同频率不同振幅的简谐振动表示为 x1 A1 cos(0t a1 ) x2 A2 cos(0t a2 ) 试分别就 1 2 2nπ (n 0,1, , n) 和 1 2 (2n 1)π (n 0,1, , n) 的情况比较两种振动. [解] （1） 1 2 2nπ
上页下页返回结束
(4) 常数 A和的确定
第九章振动
x A cos( 0 t )
dx vx A 0 sin( 0 t ) dt
初始条件 t = 0, x = x0 ,v = v0
则 x0 A cos
A
v0 A0 sin
2 v0 2 0
上页
第九章振动两简谐振动步调的比较二振动相位差 (1 - 2), 若 (1 - 2 ) = 2n ,n为整数，称两简谐振动同相位.
若 (1 - 2) = (2n+1), n为整数，称两简谐振动反相位.
若 0 < (1 - 2 ) < , 则称相位1超前相位2. 若 < (1 - 2 ) < 2 ,则称相位1落后于相位2.
v0 A0 sin 0
sin
π 0取 2
A
o
x t 图
T
T 2
π x A cos(0t ) 2
o
A
t
上页
下页
返回
结束
第九章振动
[例题1] 质点按 x A cos( 0t ) 作简谐振动.设于某时刻, 相位 π π 0 t 0, π, , , 问在这些瞬时质点的运动状态如何? 2 2

高三物理简谐运动的公式描述

例1、从Ｘ－t图象可以获取的信息有哪些？
①可求Ａ、Ｔ、f、Ｘ（任 X/cm
意时刻）
右图：
5 0 -5
0.2 0.5
t/s
②判断X、Ｆ、a、Ｖ的方
向右图：0.2S和0.35S时刻 ③Ｘ、Ｆ、a、Ｖ的变化规律( 0.2-0.4s)
右图：
例2两个简谐振动分别为
x１＝４asin(4πbt＋π) x2＝2asin（4πbt＋π）
高三物理简谐运动的公式描述简谐运动公式简谐运动周期公式简谐运动振幅公式简谐运动速度公式简谐运动公式推导简谐运动的描述高中物理简谐运动物理简谐运动简谐运动
简谐运动的公式描述
旋转矢量为了直观地表明简谐运动的三个特征量的物理意义，可用一个旋转矢量来表示简谐运动。
A
t=t

t = 0 A
t+
(ωt+ φ 2)－（ωt＋ φ １）＝ φ 2－ φ 1
知识应用： 1.一质点作简谐运动，图象如图所示，在0.2s 到0.3s这段时间内质点的运动情况是（ CD ） A．沿负方向运动，且速度不断增大 B．沿负方向运动的位移不断增大 C．沿正方向运动，且速度不断增大 D．沿正方向的加速度不断减小弹力、动能、势能、机械能、动量呢？

o x x A cos t ）（
因此， o 为圆点，旋转矢量以投影点的运动是简谐运动。
·
x
A 的末端在
ox 轴上的
参考圆
用旋转矢量图画简谐运动的
xt
图
T 2 π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
x A cos( t )
矢量 A的
端点在 x 旋转
轴上的投

简谐运动的动力学方程

定作简谐运动。也就是说，质点在与对平衡位置的位移成正比而反向的合外力作用下的运动就是简谐运动。其为简谐运动的动力学定义。
7
讨论2
得到
比较
a

d 2x dt 2

2 x
d2x dt 2

k m
x

0
简谐运动的角频率
k m
令 2 k
m
简谐运动的周期 T 2π m k
d2x dt 2
摆球的切向加速度为：
a
l
d 2
dt 2
转动
A
正向
l

FT m
o
P
9
由牛顿第二定律
ml
d 2
dt 2
mg
d 2
dt 2

g
l

0
具有
d2x k dt 2 m x 0
的形式
在角位移很小的情况下，单摆的振动是简谐运动。
转动
A
正向
l

FT m
o
P
10
m cos(t )

2x

0
简谐运动的周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关。这一周期和频率分别叫振动系统的固有周期和固有频率。
8
2. 三个简谐振动的实例
(1) 单摆一个质量可以忽略不计并且不会伸缩的细线，上端固定，下端系一可看作质点的重物就构成一个单摆。
5 时 ,sin
Ft mg sin mg
振幅
A

2 A1 cos 2π
2
1
2
t
Amax 2 A1 Amin 0

简谐振动的运动学方程

简谐振动的运动学方程一、简谐振动的概念和特征简谐振动是指在没有阻力的情况下，一个物体围绕着平衡位置做往复运动的现象。

简谐振动具有以下特征： - 循环性：振动物体围绕平衡位置做往复运动，一次完整的运动称为一个循环。

- 周期性：振动物体完成一个循环所需的时间称为振动的周期，记为T。

- 频率性：振动的频率是指单位时间内完成的循环数，记为f，与周期的倒数成正比。

二、简谐振动的描述简谐振动的运动学方程用来描述振动物体位置随时间的变化关系。

对于单摆、弹簧振子等简谐振动系统，可以根据其运动状态和受力情况建立相应的方程。

2.1 单摆的简谐振动单摆的简谐振动是指将一个质点用一根轻细线连接到固定点上，质点在重力作用下围绕该固定点做往复运动的现象。

单摆的运动学方程可以通过下面的推导得到：•设单摆的质点离开平衡位置的角度为θ，质点到固定点的距离为l。

•考虑到单摆的往复运动，可将角度θ表示为θ = θ0sin(ωt + φ)，其中θ0为最大摆角，ω为角速度，t为时间，φ为相位角。

•根据几何关系可知，质点在水平方向上的位移为l sinθ，根据物体在一维直线运动中的位移与时间的关系，可得到质点在水平方向上的位移与时间的关系方程为x = l sin(θ0sin(ωt + φ))。

2.2 弹簧振子的简谐振动弹簧振子是指将一根具有一定弹性的弹簧的一端固定，另一端挂上质点后产生的简谐振动现象。

弹簧振子的运动学方程可以通过下面的推导得到：•设弹簧振子的质点离开平衡位置的位移为x，弹簧的劲度系数为k，质点的质量为m。

•根据胡克定律可知，弹簧的拉力与位移成正比，即F = -kx。

•根据牛顿第二定律可知，质点所受的合力与加速度成正比，即F = ma。

•将上述两个等式联立可得到弹簧振子的运动学方程为m*d2x/dt2 + kx = 0。

三、求解简谐振动的运动学方程为了求解简谐振动的运动学方程，我们需要确定简谐振动的周期、频率和振幅。

借助初态条件和边界条件，我们可以使用微分方程求解的方法得到简谐振动的解析解。