【2014高考通关】核心点6：不等式(清晰扫描版,考点透视+考点突破)
2014年全国高考真题(理科数学)分类汇编六、不等式和线性规划(逐题详解)
2014年高考题专题整理 --不等式和线性规划第I 部分1.【2014年四川卷（理04）】若0a b >>，0c d <<，则一定有A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a bd c<【答案】D【解析】由1100c d d c <<⇒->->，又0a b >>， 由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a bd c<2.【2014年江西卷（理11）】(1).（不等式选做题）对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】()|1||||1||1|1||11|123x x y y x x y y -++-++≥--+--+=+=3.【2014年安徽卷（理05）】y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为（A ）21或1- （B ）2或21（C ）2或1（D ）2或1-【答案】D【解析】可行域如右图所示，ax y z -=可化为z ax y +=，由题意知2=a 或1-2=-+y x 022=--y x 022=+-y x xyO1-=k 2=k 21=k4.【2014年天津卷（理02）】设变量x 、y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】画出可行域，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即点A (1，1)．当目标函数线过可行域内A 点时，目标函数有最小值，即z min ＝1×1＋2×1＝3.5.【2014年山东卷（理09）】已知y x,满足的约束条件⎩⎨⎧≥≤0,3-y -2x 0,1-y -x 当目标函数0)b 0,by(a ax z >>+=在该约束条件下取得最小值52时，22a b +的最小值为（A ）5（B ）4（C ）5（D ）2【答案】B【解析】10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩求得交点为()2,1，则225a b +=，即圆心()0,0到直线2250a b +-=的距离的平方2225245⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭。
2014年高考第六章不等式1.6.4
解析：(1)设该厂应隔 x(x∈N＋)天购买一次饲料，平均每天支付 的总费用为 y1. ∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少 200×0.03＝6(元)， ∴x 天饲料的保管与其他费用共是 6(x－1)＋6(x－2)＋„＋6＝3x2－3x(元)． 1 300 从而有 y1＝ x(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝ x ＋3x＋357≥417. 300 当且仅当 x ＝3x，即 x＝10 时，y1 有最小值． 即每隔 10 天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．
2．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公 a2＋b2 a＋b 式的逆用， 例如 a2＋b2≥2ab 逆用就是 ab≤ 2 ； 2 ≥ ab a＋b 2 (a，b＞0)逆用就是 ab≤ 2 (a，b＞0)等．还要注意“添、 拆项”技巧和公式等号成立的条件等.
题型探究 题型一 利用基本不等式求最值 例 1 解下列问题： (1)已知 a＞0，b＞0，且 4a＋b＝1，求 ab 的最大值； 4 (2)已知 x＞2，求 x＋ 的最小值； x－2 4 9 (3)已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝1，求x ＋y 的最小值．
(2)∵x＞0，y＞0，且 x＋y＝1， 8 2 8 2 8y 2x ∴x ＋y ＝x ＋y (x＋y)＝10＋ x ＋ y 8y 2x ≥10＋2 x · ＝18. y 8y 2x 当且仅当 x ＝ y ，即 x＝2y 时等号成立， 2 1 8 2 ∴当 x＝3，y＝3时， x＋ y有最小值 18.
(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最 低总造价； (2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过 16 米，试 设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
200 解析：设污水处理池的长为 x 米，则宽为 x 米，再设总造价为 y 元，则有 200 200 (1)y＝2x＋ x ×2×400＋248×2× x ＋80×200 259 200 ＝800x＋ x ＋16 000 259 200 ≥2 800x· x ＋16 000＝2×800×18＋16 000＝44 800， 259 200 当且仅当 800x＝ x ，即 x＝18 米时，y 取得最小值． 100 ∴当污水池的长为 18 米，宽为 9 米时总造价最低为 44 800 元
2014年高考数学不等式复习知识
（1）不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.（2）一元二次不等式①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. ②通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. ③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.（4）基本不等式：①了解基本不等式的证明过程.②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.考纲解读：不等式的考查主要以中档题为主，以选填题为主；不等式的性质常与简易逻辑结合考查；不等式的解法主要以一元二次不等式为主，兼顾其它（如简单的分式不等式、绝对值不等式、指对数不等式、与分段函数有关的不等式等），常与集合（选填题）、导数（解答题中对参数的分类讨论）结合；线性规划问题难度不大；基本不等式求最值是重点，要加强训练；不等式的恒成立也应当重视。
近几年考点分布从近几年的高考试题来看，对不等式重点考查的有四种题型：解不等式、证明不等式、不等式的应用、不等式的综合性问题。
这些不等式试题主要体现了等价转化、函数与方程、分类讨论等数学思想．随着以培养创新精神和实践能力为重点的素质教育的深入发展，近年来高考命题越来越关注开放性、探索性等创新型问题，尤其是与函数、导数、数列综合的不等式证明问题以及涉及不等式的应用题等。
考查的内容及其难度主要以有以下几点：1、不等式的性质、基本不等式和绝对值不等式的考查，大多出现在选择题或填空题中，一般属于容易题或中档题。
因此，关于这一部分的知识，重在理解并深刻记忆基本公式. 2、含参的不等式问题是近几年考的较多的一种题型，特别是不等式恒成立问题中参数取值范围的求法。
3、不等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系，通常以不等式与函数、三角、向量、数列、解析几何、数列的综合问题的形式出现，尤其是以导数或向量为背景的导数（或向量）、不等式、函数的综合题和有关不等式的证明或性质的代数逻辑推理题。
专题03 不等式-2014年高考数学考纲解读及热点难点试题演练 Word版含解析
专题3 不等式2014高考对本内容的考查主要有：(1)一元二次不等式是C 级要求，线性规划是A 级要求．(2)基本不等式是C 级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用．试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与函数、实际应用题综合考查，构成中高档题.1．不等式的解法(1)求解一元二次不等式的基本思路：先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．(2)解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因．确定好分类标准、层次清楚地求解．2．基本不等式(1)基本不等式a 2＋b 2≥2ab 取等号的条件是当且仅当a ＝b . (2)几个重要的不等式：①ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．②a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥2aba ＋b(a ＞0，b ＞0)． ③a ＋1a≥2(a ＞0，当a ＝1时等号成立)．④2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R ，当a ＝b 时等号成立)． (3)最值问题：设x ，y 都为正数，则有①若x ＋y ＝s (和为定值)，则x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24；②若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p . 3．不等式的恒成立、能成立、恰成立问题 (1)恒成立问题若不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )min >A ； 若不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )max <B ； (2)能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立，则等价于在区间D 上f (x )max >A ； 若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立，则等价于在区间D 上f (x )min <B ； (3)恰成立问题若不等式f (x )>A 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )>A 的解集为D ； 若不等式f (x )<B 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )<B 的解集为D .4．使用基本不等式以及与之相关的不等式求一元函数或者二元函数最值时，基本的技巧是创造使用这些不等式的条件，如各变数都是正数，某些变数之积或者之和为常数等，解题中要根据这个原则对求解目标进行适当的变换，使之达到能够使用这些不等式求解最值的目的．在使用基本不等式求函数的最值、特别是求二元函数最值时一定要注意等号成立的条件，尽量避免二次使用基本不等式．5．平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集．线性目标函数z ＝ax ＋by 中的z 不是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，把目标函数化为y ＝－ab x ＋z b ，可知z b是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值.考点1、一元二次不等式的解法及应用【例1】 (1)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12成立，则a 的取值范围是________．(2)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1，或x >12，则f (10x )>0的解集为______．【规律方法】解一元二次不等式一般要先判断二次项系数的正负也即考虑对应的二次函数图象的开口方向，再考虑方程根的个数也即求出其判别式的符号，有时还需要考虑其对称轴的位置，根据条件列出方程组或结合对应的函数图象求解．【变式探究】已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．考点2、简单的线性规划问题【例2】设实数n ≤6，若不等式2xm ＋(2－x )n －8≥0对任意x ∈[－4,2]都成立，则m 4－n 4m 3n的最小值为________．【答案】－803【规律方法】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想．需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错，比如上题中目标函数所对应直线的斜率－ab＜0；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．【变式探究】若点(x ，y )位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为________．【例1】 (1)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z取得最大值时，2x ＋1y－2z的最大值为________．(2)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．【规律方法】在使用基本不等式求最值时，一定要注意等号成立的条件，“一正、二定、三相等”的基本要求，在解题中一定要检验这些条件是否能够得到满足，在一些字母系数不为1的问题中要善于进行常数代换，这是化解使用基本不等式时的一种常用方法．【变式探究】 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________． (2)已知任意非零实数x ，y 满足3x 2＋4xy ≤λ(x 2＋y 2)恒成立，则实数λ的最小值为________．1．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为________．2．已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩∁R B 等于________．3．设实数x ，y 满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x3y4的最大值是________．【解析】根据不等式的基本性质求解.⎝⎛⎭⎫x 2y 2∈[16,81]，1xy 2∈⎣⎡⎦⎤18，13，x 3y 4＝⎝⎛⎭⎫x 2y 2·1xy 2∈[2,27]，x 3y 4的最大值是27. 【答案】274．已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a x －3 ，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于________．5．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．6．已知圆心角为120°的扇形AOB的半径为1，C为AB的中点，点D，E分别在半径OA，OB上．若CD2＋CE2＋DE2＝269，则OD＋OE的最大值是________．7．设a>b>0，则a2＋1ab＋1a a－b的最小值是________．8．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．9．已知函数f (x )＝2xx 2＋6.(1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3，或x >－2}，求k 的值； (2)对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围．10．已知函数f (x )＝13ax 3－14x 2＋cx ＋d (a ，c ，d ∈R )满足f (0)＝0，f ′(1)＝0，且f ′(x )≥0在R 上恒成立．(1)求a ，c ，d 的值；(2)若h (x )＝34x 2－bx ＋b 2－14，解不等式f ′(x )＋h (x )<0.11．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )，对任意的x ∈R ，恒有f ′(x )≤f (x )．(1)证明：当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2；(2)若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式f (c )－f (b )≤M (c 2－b 2)恒成立，求M 的最小值．。
【最高考系列】(14年3月新版)高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第六章不等式第4课时不等式的
第六章 不 等 式第4课时 不等式的综合应用第七章 (对应学生用书(文)、(理)91～92页)1. (必修5P 102习题7改编)函数y ＝x ＋4x (x ≠0)的值域是________．答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞) 解析：当x>0时，y ＝x ＋4x ≥2x·4x ＝4，当x<0时，y ＝x ＋4x＝－⎣⎡⎦⎤（－x ）＋⎝⎛⎭⎫－4x ≤－2（－x ）·⎝⎛⎭⎫－4x ＝－4. 2. (必修5P 102习题9改编)某种产品按下列三种方案两次提价．方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；方案丙：第一次提价p ＋q2%，第二次提价p ＋q2%.其中p>q>0，上述三种方案中提价最多的是________．答案：方案丙解析：设原来价格为A ，方案甲：经两次提价后价格为A ⎝⎛⎭⎫1＋p 100⎝⎛⎭⎫1＋q100＝A ⎝⎛⎭⎫1＋p ＋q 100＋pq 10000；方案乙：经两次提价后价格为A ⎝⎛⎭⎫1＋p 100⎝⎛⎭⎫1＋q 100；方案丙：经两次提价后价格为A ⎝⎛⎭⎫1＋p ＋q 2002＝A[1＋p ＋q 100＋⎝⎛⎦⎤p ＋q 2）2·110 000.因为p ＋q 2>pq ，所以方案丙提价最多．3. (2013·海门联考)设x ∈R ，f(x)＝⎝⎛⎭⎫12|x|，若不等式f(x)＋f(2x)≤k 对于任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是________．答案：k ≥2解析：不等式化为k ≥⎝⎛⎭⎫12|x|＋⎝⎛⎭⎫12|2x|，因为⎝⎛⎭⎫12|x|∈(0，1]，所以k ≥2.4. (2013·苏州期中)设变量x ，y 满足|x|＋|y|≤1，则x ＋2y 的最大值为________．答案：2解析：作出可行域为正方形，4个顶点分别为(1，0)，(0，1)，(－1，0)，(0，－1)，则z＝x ＋2y 过点(0，1)时最大值为2.[备课札记]题型1 含参数的不等式问题例1 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，2x 2＋（5＋2k ）x ＋5k ＜0的解集中所含整数解只有－2，求k 的取值范围．解：由x 2－x －2>0有x ＜－1或x ＞2，由2x 2＋(5＋2k)x ＋5k ＜0有(2x ＋5)(x ＋k)＜0. 因为－2是原不等式组的解，所以k ＜2.由(2x ＋5)·(x ＋k)＜0有－52＜x ＜－k.因为原不等式组的整数解只有－2， 所以－2＜－k ≤3，即－3≤k ＜2， 故k 的取值范围是[－3，2)． 变式训练不等式(－1)na<2＋（－1）n ＋1n对任意n ∈N *恒成立，求实数a 的取值范围．解：当n 为奇数时，－a ＜2＋1n ，即a ＞－⎝⎛⎭⎫2＋1n . 而－⎝⎛⎭⎫2＋1n ≤－3，则a>－3； 当n 为偶数时，a ＜2－1n ，而2－1n ≥2－12＝32，所以a ＜32.综上可得：－3<a<32.题型2 不等式在函数中的应用例2 已知函数f(x)＝2x －ax 2＋2在区间[－1，1]上是增函数．(1) 求实数a 的值组成的集合A ；(2) 设x 1、x 2是关于x 的方程f(x)＝1x 的两个相异实根，若对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]，不等式m 2＋tm ＋1≥|x 1－x 2|恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1) f′(x)＝4－2x 2＋2ax（x 2＋2）2，因为f(x)在[－1，1]上是增函数，所以当x ∈[－1，1]时， f ′(x)≥0恒成立，令φ(x)＝x 2－ax －2，即x 2－ax －2≤0恒成立．⎩⎪⎨⎪⎧φ（1）＝－a －1≤0，φ（－1）＝a －1≤0，解得－1≤a ≤1. 所以A ＝{a|－1≤a ≤1}． (2) 由f(x)＝1x得x 2－ax －2＝0.设x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个根，所以x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝－2.从而|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝a 2＋8，因为a ∈[－1，1]，所以a 2＋8≤3，即|x 1－x 2|max ＝3， 不等式对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]不等式恒成立， 即m 2＋tm －2≥0恒成立．设g(t)＝m 2＋tm －2＝mt ＋m 2－2，则⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝m 2＋m －2≥0，g （－1）＝m 2－m －2≥0. 解得m ≥2或m ≤－2.故m 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 备选变式（教师专享）设a ，b ＞0，且ab ＝1，不等式a a 2＋1＋bb 2＋1≤λ恒成立，则λ的取值范围是________．答案：[1，＋∞)解析：因为ab ＝1，所以a a 2＋1＋b b 2＋1＝a a 2＋ab ＋b b 2＋ab ＝2a ＋b ≤1ab＝1，所以λ≥1.题型3 不等式在实际问题中的应用例3 某森林出现火灾，火势正以100 m 2/分钟的速度顺风蔓延，消防站接到报警立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人灭火50 m 2/分钟，所消耗的灭火材料，劳务津贴等费用为人均125元/分钟，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用人均100元，而烧毁森林的损失费60元/m 2，应该派多少消防队员前去救火才能使总损失最少？解：设派x 名消防队员前去救火，用t 分钟将火扑灭，总损失为y ，则t ＝5×10050x －100＝10x －2，y ＝灭火劳务津贴＋车辆、器械装备费＋森林损失费 ＝125xt ＋100x ＋60(500＋100t) ＝125x ×10x －2＋100x ＋30 000＋60 000x －2＝100(x －2)＋62 500x －2＋31 450≥2100（x －2）·62 500x －2＋31 450＝36 450，当且仅当100(x －2)＝62 500x －2，即x ＝27时，y 有最小值36 450，故应派27人前去救火才能使总损失最少，最少损失36 450元．备选变式（教师专享）某学校拟建一块周长为400 m 的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？解：设中间矩形区域的长，宽分别为x m ，y m ， 中间的矩形区域面积为S m 2，则半圆的周长为πy2 m.∵ 操场周长为400 m ，所以2x ＋2×πy2＝400，即2x ＋πy ＝400⎝⎛⎭⎫0＜x ＜200，0＜y ＜400π.∴ S ＝xy ＝12π·(2x)·(πy) ≤12π·⎝⎛⎭⎫2x ＋πy 22＝20 000π. 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝πy ，2x ＋πy ＝400，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100，y ＝200π.∴ 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100，y ＝200π时等号成立．即把矩形的长和宽分别设计为100 m 和200πm 时，矩形区域面积最大．1. (2013·连云港模拟)关于x 的不等式x 2－ax ＋2a ＜0的解集为A ，若集合A 中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是________．答案：⎣⎡⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎦⎤253，9 解析：设方程x 2－ax ＋2a ＝0的两根为x 1、x 2，则1<|x 1－x 2|＝a 2－8a ≤3，解得4＋17<a ≤9或－1≤a<4－17.当4＋17<a ≤9时，考虑抛物线的对称轴，因为4<4＋172<a 2≤92，集合A 中恰有两个整数即4和5，所以5－a 2<a 2－8a 2≤a 2－3，解得253<a ≤9；当－1≤a<4－17时，考虑抛物线的对称轴，因为－12≤a 2<4－172<0，集合A 中恰有两个整数即－1和0，所以a 2－(－1)<a 2－8a 2≤1－a 2，解得－1≤a<－13. 2. (2013·天津)已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)．设关于x 的不等式f(x ＋a)<f(x)的解集为A ，若⎣⎡⎦⎤－12，12A ，则实数a 的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫1－52，0解析：由题意得0∈A ，所以f(0＋a)<f(0)，即a(1＋a|a|)<0，显然a<0，解得－1<a<0，函数f(x)＝x(1＋a|x|)是奇函数且图象中两条抛物线的对称轴x ＝12a ，x ＝－12a 之间的距离大于1，而－1<a<0，所以f(x ＋a)<f(x)的解集为⎝⎛⎭⎫12a －a 2，－12a －a 2，所以⎣⎡⎦⎤－12，12(12a －a 2，－12a －a2)，解得1－52<a<1＋52.又－1<a<0，所以1－52<a<0.3. (2013·宿迁模拟)若a>0，b>0，且12a ＋b ＋1b ＋1＝1，则a ＋2b 的最小值为________． 答案：23＋12解析：2a ＋4b ＋3＝(2a ＋4b ＋3)·⎝⎛⎭⎫12a ＋b ＋1b ＋1＝[(2a ＋b)＋3(b ＋1)]·⎝⎛⎭⎫12a ＋b ＋1b ＋1＝1＋2a ＋b b ＋1＋3（b ＋1）2a ＋b ＋3≥4＋23，所以a ＋2b ≥23＋12.4. (2013·天津)设a ＋b ＝2，b>0，则当a ＝________时，12|a|＋||a b取得最小值． 答案：－2 解析：12|a|＋|a|b ＝a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋b 4|a|＋|a|b ≥－14＋2b 4|a|·|a|b ＝34，当且仅当b 4|a|＝||a b 且a<0取等号，即a ＝－2，b ＝4.1. (2013·徐州模拟)若对满足条件x ＋y ＋3＝xy (x ＞0，y ＞0)的任意x 、y ，(x ＋y)2－a(x ＋y)＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案：⎝⎛⎦⎤－∞，376 解析：x ＋y ＋3＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，所以x ＋y ≥6，则a ≤x ＋y ＋1x ＋y ，因为上述不等式右边的的最小值为6＋16＝376，故a ≤376.2. (2013苏州模拟)已知实数x 、y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋y －4≥0，x ≤3则2x 3＋y 3x 2y的取值范围是________．答案：⎣⎡⎦⎤3，559解析：作出可行域，求得y x ∈⎣⎡⎦⎤13，2，令t ＝y x ∈⎣⎡⎦⎤13，2，则2x 3＋y 3x 2y ＝2t ＋t 2，求导可得2t ＋t 2在⎝⎛⎭⎫13，1上递减，在(1，2)上递增，故2x 3＋y 3x 2y ＝2t＋t 2∈⎣⎡⎦⎤3，559. 3. (2013·南通模拟)设P(x ，y)为函数y ＝x 2－1(x ＞3)图象上一动点，记m ＝3x ＋y －5x －1＋x ＋3y －7y －2，则当m 最小时，点P 的坐标为________． 答案：(2，3)解析：m ＝3x ＋x 2－6x －1＋x ＋3x 2－10x 2－3＝6＋x 2－3x －1＋x －1x 2－3.当且仅当x 2－3x －1＝x －1x 2－3，即x ＝2时m 取得最小，此时点P 的坐标为(2，3)．4. (2013·镇江模拟)已知x 、y 为正数，则x 2x ＋y ＋yx ＋2y 的最大值为________．答案：23解析：设t ＝y x ∈(0，＋∞)，则令f(t)＝x 2x ＋y ＋y x ＋2y ＝1t ＋2＋t2t ＋1，求导得f(t)在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，故所求的最大值为f(1)＝23.1. 不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围，或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用基本不等式求最值问题．不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角函数等知识的综合．解决这些问题的关键是找出综合题的各部分知识及联系，充分利用数学思想和数学方法解题．2. 建立不等式的主要途径有：利用基本不等式；利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性等．3. 解答不等式的实际应用问题一般分四步，即审题、建模、求解、检验．请使用课时训练（B ）第4课时（见活页）.[备课札记]。
2014高考数学总复习(人教新课标)配套章末综合检测：第6章 不等式含解析
第六章章末综合检测（学生用书为活页试卷解析为教师用书独有）(检测范围：第六章）（时间:120分钟满分：150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的)1．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是A．若a〉b，则ac2>bc2B．若错误!>错误!,则a〉bC．若a3>b3且ab〈0，则1 a>错误!D．若a2>b2且ab〉0,则错误!〈错误!解析C 当c＝0时，可知选项A不正确；当c〈0时,可知B不正确；由a3〉b3且ab<0知a>0且b〈0,所以错误!〉错误!成立；当a〈0且b<0时，可知D不正确．2．(2013·洛阳模拟)若集合A＝{x｜|x－2|≤3,x∈R｝，B＝{y|y＝1－x2，x∈R｝,则A∩B＝( A．［0，1］B。
［0,＋∞）C．[－1，1] D。
∅解析C 由｜x－2|≤3，得－1≤x≤5，即A＝｛x|－1≤x≤5｝;B＝{y|y≤1}．故A∩B＝［－1,1］．3．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为（A．1 B.1＋2C．1＋2＋22D。
1＋2＋22＋23解析D 当n＝1时，左边＝1＋2＋22＋23。
4．已知f(x)＝x＋1x－2（x<0)，则f（x）有(A．最大值为0 B.最小值0C．最大值为－4 D。
最小值为－4解析C ∵x〈0，∴－x>0，∴x＋错误!－2＝－错误!－2≤－2·错误!－2＝－4，等号成立的条件是－x＝错误!,即x＝－1.5．设a,b，c∈（－∞，0),则a＋错误!，b＋错误!，c＋错误!A．都不大于－2 B。
都不小于－2C．至少有一个不大于－2 D。
至少有一个不小于－2解析C 因为a＋错误!＋b＋错误!＋c＋错误!≤－6，所以三者不能都大于－2.6．（2013·西安模拟）设函数f （x ）＝⎩⎨⎧ x 2－4x ＋6，x ≥0，，x ＋6， x 〈0，则不等式f （x )>f (1)的解集是A ．（－3，1）∪（3，＋∞)B.（－3,1)∪(2，＋∞） C ．（－1，1)∪(3，＋∞)D 。
2014年高考全程第六章不等式1.6.2
Δ＝0
Δ＜0
一元二次方程 有两相等实根 有两不等实根 ax2＋bx＋c＝0 b x1，x2，(x1＜x2) x1＝x2＝－ 2a (a＞0)的根
没有实根
ax2＋bx＋c ＞ 0(a ＞ 0) 的 解集 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
①________ ④_______
②________ ⑤______
变式探究 1 解关于 x 的不等式 a2x2－2ax＋1－b2＜0(a≠0，b＞0)．
解析：原不等式可化为(ax－1＋b)(ax－1－b)＜0， 1－b 1＋b 2 ∵a≠0， ＞0， a ∴(x－ a )(x－ a )＜0， 1－b＜1＋b， 且 1－b 1＋b ∴①若 a＜0，则 a ＞ a ， 1＋b 1－b 此时不等式的解集为{x| a ＜x＜ a }； 1－b 1＋b ②若 a＞0，则 a ＜ a ， 1－b 1＋b 此时不等式的解集为{x| a ＜x＜ a }.
1 1 故原不等式的解集为{x|－3＜x＜2}． 答案：A
2．不等式 x2－|x|－2＜0 的解集是( ) A．{x|－2＜x＜2} B．{x|x＜－2 或 x＞2} C．{x|－1＜x＜1} D．{x|x＜－1 或 x＞1}
解析：原不等式⇔|x|2－|x|－2＜0⇔(|x|－2)(|x|＋1)＜0⇔|x| －2＜0⇔－2＜x＜2，故选 A. 答案：A
题型探究 题型一 一元二次不等式的解法 例 1 解关于 x 的不等式：ax2－2x＋1＞0.
解析： 1 ①当 a＝0 时，不等式即－2x＋1＞0，∴解集为{x|x＜2}； ②当 a＜0 时，△＝4－4a＞0， 2 1 2 此时不等式为 x －ax＋a＜0， 1－ 1－a 2 1 2 由于方程 x －ax＋a＝0 的两根分别为 、 a 1＋ 1－a 1－ 1－a 1＋ 1－a ，且 ＞ ， a a a 1＋ 1－a 1－ 1－a ∴不等式的解集为：{x| ＜x＜ }； a a
不等式讲义知识点详解+例题+习题(含详细答案)(最新整理)
不等式讲义最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )．(2)|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R ).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c ，|x －c |＋|x －b |≥a .3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ；(2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.问题探究：不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中，“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，右侧“＝”成立的条件是ab ≥0，左侧“＝”成立的条件是ab ≤0且|a |≥|b |；不等式|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，右侧“＝”成立的条件是ab ≤0，左侧“＝”成立的条件是ab ≥0且|a |≥|b |.3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a 、b 为正数，则≥，当且仅当a ＝b 时，等号成立．a ＋b 2ab 定理3：如果a 、b 、c 为正数，则≥，当且仅当a ＝b ＝c 时，a ＋b ＋c 33abc 等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则≥，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．a 1＋a 2＋…＋a nn n a 1a 2…a n 4．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则()()≥(i b i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝n ∑i ＝1a 2i n ∑i ＝1b 2i n ∑i ＝1a 1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．( )(2)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( )(3)|ax ＋b |≤c (c >0)的解等价于－c ≤ax ＋b ≤c .( )(4)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为Ø.( )(5)若实数x 、y 适合不等式xy >1，x ＋y >－2，则x >0，y >0.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√2．不等式|2x －1|－x <1的解集是( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x <2}C ．{x |0<x <1}D ．{x |1<x <3}[解析] 解法一：x ＝1时，满足不等关系，排除C 、D 、B ，故选A.解法二：令f (x )＝Error!则f (x )<1的解集为{x |0<x <2}．[答案] A3．设|a |<1，|b |<1，则|a ＋b |＋|a －b |与2的大小关系是( )A ．|a ＋b |＋|a －b |>2B ．|a ＋b |＋|a －b |<2C ．|a ＋b |＋|a －b |＝2D ．不能比较大小[解析] |a ＋b |＋|a －b |≤|2a |<2.[答案] B4．若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则＋＋的最大值为( )a b c A ．1 B ． 2C. D ．23[解析] (＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤ (12＋12＋12)(a ＋b ＋c )a b c a b c ＝3.当且仅当a ＝b ＝c ＝时，等号成立．13∴(＋＋)2≤3.a b c ＋＋的最大值为.故应选C.a b c 3[答案] C5．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．[解析] 利用数轴及不等式的几何意义可得x 到a 与到1的距离和小于3，所以a 的取值范围为－2≤a ≤4.[答案] －2≤a ≤4考点一 含绝对值的不等式的解法解|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型不等式，其一般步骤是：(1)令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根．(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间．(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集．(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号．(1)(2015·山东卷)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，1)C ．(1,4)D ．(1,5)(2)(2014·湖南卷)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为Error!，则a ＝________.[解题指导] 切入点：“脱掉”绝对值符号；关键点：利用绝对值的性质进行分类讨论．[解析] (1)当x <1时，不等式可化为－(x －1)＋(x －5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)；当1≤x ≤5时，不等式可化为x －1＋(x －5)<2，即2x －6<2，解得x <4，又1≤x ≤5，所以此时不等式的解集为[1,4)；当x >5时，不等式可化为(x －1)－(x －5)<2，即4<2，显然不成立，所以此时不等式无解．综上，不等式的解集为(－∞，4)．故选A.(2)∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5.当a >0时，－<x <，与已知条件不符；1a 5a当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；当a <0时，<x <－，又不等式的解集为Error!，故a ＝－3.5a 1a[答案] (1)A (2)－3用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．对点训练已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝－3时，f (x )＝Error!当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．考点二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式对于形如|x －a |＋|x －b |>c 或|x －a |＋|x －b |<c 的不等式，利用绝对值的几何意义或者画出左、右两边函数的图象去解不等式，更为直观、简捷，它体现了数形结合思想方法的优越性．|x －a |＋|x －b |的几何意义是数轴上表示x 的点与点a 和点b 的距离之和，应注意x 的系数为1.(1)(2014·重庆卷)若不等式|x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋a ＋2对任意实数x 恒成立，12则实数a 的取值范围是________．(2)不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，则实数k 的取值范围是__________．[解题指导] 切入点：绝对值的几何意义；关键点：把恒成立问题转化为最值问题．[解析] (1)∵|x －1|＋|x ＋2|≥|(x －1)－(x －2)|＝3，∴a 2＋a ＋2≤3，解得≤a ≤.12－1174－1＋174即实数a 的取值范围是.[－1－174，－1＋174](2)解法一：根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，则原不等式等价于PA －PB >k 恒成立．∵AB ＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3.故当k <－3时，原不等式恒成立．解法二：令y ＝|x ＋1|－|x －2|，则y＝Error!要使|x＋1|－|x－2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可．故k<－3满足题意．[答案] (1) (2)(－∞，－3)[－1－174，－1＋174]解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f(x)<a恒成立⇔a>f(x)max，f(x)>a恒成立⇔a<f(x)min.对点训练(2015·唐山一模)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a，a∈R，g(x)＝|2x－1|.(1)若当g(x)≤5时，恒有f(x)≤6，求a的最大值；(2)若当x∈R时，恒有f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．[解] (1)g(x)≤5⇔|2x－1|≤5⇔－5≤2x－1≤5⇔－2≤x≤3；f(x)≤6⇔|2x－a|≤6－a⇔a－6≤2x－a≤6－a⇔a－3≤x≤3.依题意有，a－3≤－2，a≤1.故a的最大值为1.(2)f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋|2x－1|＋a≥|2x－a－2x＋1|＋a＝|a－1|＋a，当且仅当(2x－a)(2x－1)≤0时等号成立．解不等式|a－1|＋a≥3，得a的取值范围是[2，＋∞)．考点三 不等式的证明与应用不等式的证明方法很多，解题时既要充分利用已知条件，又要时刻瞄准解题目标，既不仅要搞清是什么，还要搞清干什么，只有兼顾条件与结论，才能找到正确的解题途径．应用基本不等式时要注意不等式中等号成立的条件．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab >cd ，则＋>＋；a b c d (2)＋>＋是|a －b |<|c －d |的充要条件．a b c d [解题指导] 切入点：不等式的性质；关键点：不等式的恒等变形．[证明] (1)因为(＋)2＝a ＋b ＋2，(＋)2＝c ＋d ＋2，a b ab c d cd 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(＋)2>(＋)2.a b c d ＋>＋.a b c d (2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .由(1)得＋>＋.a b c d ＋>＋，则(＋)2>(＋)2，即a b c d a b c d a ＋b ＋>c ＋d ＋2.ab cd 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |<|c －d |.＋>＋是|a －b |<|c －d |的充要条件．a b c d分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．对点训练(2014·新课标全国卷Ⅱ)设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤；13(2)＋＋≥1.a 2b b 2c c 2a[证明] (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤.13(2)因为＋b ≥2a ，＋c ≥2b ，＋a ≥2c ，a 2b b 2c c 2a故＋＋＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，a 2b b 2c c 2a即＋＋≥a ＋b ＋c .a 2b b 2c c 2a所以＋＋≥1.a 2b b 2c c 2a———————方法规律总结————————[方法技巧]1．绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号．2．绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时需灵活运用，同时还要注意等号成立的条件．3．在证明不等式时，应根据命题提供的信息选择合适的方法与技巧．如在使用柯西不等式时，要注意右边为常数．[易错点睛]1．对含有参数的不等式求解时，分类要完整．2．应用基本不等式和柯西不等式证明时要注意等号成立的条件．课时跟踪训练(七十)一、填空题1．不等式|2x －1|<3的解集为__________．[解析] |2x －1|<3⇔－3<2x －1<3⇔－1<x <2.[答案] (－1,2)2．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝__________.[解析] ∵|kx －4|≤2，∴－2≤kx －4≤2，∴2≤kx ≤6.∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2.[答案] 23．不等式|2x ＋1|＋|x －1|<2的解集为________．[解析] 当x ≤－时，原不等式等价为－(2x ＋1)－(x －1)<2，即－3x <2，x >－12，此时－<x ≤－.当－<x <1时，原不等式等价为(2x ＋1)－(x －1)<2，即x <0，23231212此时－<x <0.当x ≥1时，原不等式等价为(2x ＋1)＋(x －1)<2，即3x <2，x <，此1223时不等式无解，综上，原不等式的解为－<x <0，即原不等式的解集为.23(－23，0)[答案] (－23，0)4．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，则实数k 的取值范围是__________．[解析] ∵|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，∴当k <1时，不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，故k <1.[答案] (－∞，1)5．(2015·西安统考)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________．[解析] |x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8，故a ≤8.[答案] (－∞，8]6．(2015·重庆卷)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝__________.[解析] 当a ＝－1时，f (x )＝3|x ＋1|≥0，不满足题意；当a <－1时，f (x )＝Error!f (x )min ＝f (a )＝－3a －1＋2a ＝5，解得a ＝－6；当a >－1时，f (x )＝Error!f (x )min ＝f (a )＝－a ＋1＋2a ＝5，解得a ＝4.[答案] －6或47．若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是__________．[解析] ∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＝Error!∴f (x )≥3.要使|a |≥|x ＋1|＋|x －2|有解，∴|a |≥3，即a ≤－3或a ≥3.[答案] (－∞，－3]∪[3，＋∞)8．已知关于x 的不等式|x －a |＋1－x >0的解集为R ，则实数a 的取值范围是__________．[解析] 若x －1<0，则a ∈R ；若x －1≥0，则(x －a )2>(x －1)2对任意的x ∈[1，＋∞)恒成立，即(a －1)[(a ＋1)－2x ]>0对任意的x ∈[1，＋∞)恒成立，所以Error!(舍去)或Error!对任意的x ∈[1，＋∞]恒成立，解得a <1.综上，a <1.[答案] (－∞，1)9．设a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，则＋＋的最小值为__________．2a 2b 2c[解析] ∵(a ＋b ＋c )(2a ＋2b ＋2c )＝[()2＋()2＋()2]a b c [(2a )2＋(2b )2＋(2c )2]≥2＝18，(a ·2a ＋b ·2b ＋c ·2c )∴＋＋≥2，∴＋＋的最小值为2.2a 2b 2c 2a 2b 2c[答案] 210．(2014·陕西卷)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则 m 2＋n 2的最小值为________．[解析] 由柯西不等式，得(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(am ＋bn )2，即5(m 2＋n 2)≥25，∴m 2＋n 2≥5，当且仅当an ＝bm 时，等号成立．∴的最小值为.m 2＋n 25[答案] 511．对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为__________．[解析] ∵|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|＝(|1－x |＋|x |)＋(|1－y |＋|1＋y |)≥|(1－x )＋x |＋|(1－y )＋(1＋y )|＝1＋2＝3，当且仅当(1－x )·x ≥0，(1－y )·(1＋y )≥0，即0≤x ≤1，－1≤y ≤1时等号成立，∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.[答案] 312．若不等式|x ＋1|－|x －4|≥a ＋，对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取4a值范围是________．[解析] 只要函数f (x )＝|x ＋1|－|x －4|的最小值不小于a ＋即可．由于||x ＋1|4a－|x －4||≤|(x ＋1)－(x －4)|＝5，所以－5≤|x ＋1|－|x －4|≤5，故只要－5≥a ＋即4a可．当a >0时，将不等式－5≥a ＋整理，得a 2＋5a ＋4≤0，无解；当a <0时，4a将不等式－5≥a ＋整理，得a 2＋5a ＋4≥0，则有a ≤－4或－1≤a <0.综上可知，4a实数a 的取值范围是(－∞，－4]∪[－1,0)．[答案] (－∞，－4]∪[－1,0)二、解答题13．已知不等式2|x －3|＋|x －4|<2a .(1)若a ＝1，求不等式的解集；(2)若已知不等式的解集不是空集，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，不等式即为2|x －3|＋|x －4|<2，若x ≥4，则3x －10<2，x <4，∴舍去；若3<x <4，则x －2<2，∴3<x <4；若x ≤3，则10－3x <2，∴<x ≤3.83综上，不等式的解集为Error!.(2)设f (x )＝2|x －3|＋|x －4|，则f (x )＝Error!作出函数f (x )的图象，如图所示．由图象可知，f (x )≥1，∴2a >1，a >，即a 的取值范围为.12(12，＋∞)14．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得<x <1；23当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为Error!.(2)由题设可得，f (x )＝Error!所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为(a ＋1)2.(2a －13，0)23由题设得(a ＋1)2>6，故a >2.23所以a 的取值范围为(2，＋∞)．15．设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.(1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，f (x )＝Error!作出函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的图象．由图象可知，不等式f (x )≥3的解集为Error!.(2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件；若a <1，f (x )＝Error!f (x )的最小值为1－a ；若a >1，f (x )＝Error!f (x )的最小值为a －1.∴对于∀x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，∴a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．16．(2015·福建卷)已知a >0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值；(2)求a 2＋b 2＋c 2的最小值．1419[解] (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ，当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立．又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得(4＋9＋1)≥(14a 2＋19b 2＋c 2)2＝(a ＋b ＋c )2＝16，(a 2×2＋b 3×3＋c ×1)即a 2＋b 2＋c 2≥.141987当且仅当＝＝，12a 213b 3c 1即a ＝，b ＝，c ＝时等号成立．8718727故a 2＋b 2＋c 2的最小值为.141987。
2014年高考数学重要易错知识点归纳总结(考试必胜)
2014年高考数学重要知识点归纳总结（考试必胜）一、集合、简易逻辑、函数1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy},集合 B={0,｜x ｜,y},且A=B,则x+y=2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。
已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜y=x 2+1,x ∈R},求M ∩N ；与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2+1,x ∈R}求M ∩N 的区别。
3． 集合 A 、B ，∅=⋂B A 时，你是否注意到“极端”情况：∅=A 或∅=B ；求集合的子集BA ⊆时是否忘记∅. 例如：()()012222<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取植范围，你讨论了a ＝2的情况了吗？4． 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n，12-n .22-n 如满足条件}4,3,2,1{}1{⊂⊆M 的集合M 共有多少个5． 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 6． 两集合之间的关系。
},14{},,12{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+==7． (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A =I A B ⊆⇒； 8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”. p9、否 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.10、你对映射的概念了解了吗？映射f ：A →B 中，A 中元素的任意性和B 中与它对应元素的唯一性，哪几种对应能够成映射？11、函数的几个重要性质：①如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+或f （2a-x ）=f （x ），那么函数()x f y =的图象关于直线a x =对称.②函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称； 函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称； 函数()x f y =与函数()x f y --=的图象关于坐标原点对称.③若奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上也是递增函数． ④若偶函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上是递减函数． ⑤函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数()a x f y +=()0(<a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向右平移a 个单位得到的；函数()x f y =+a )0(>a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的;函数()x f y =+a )0(<a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向下平移a 个单位得到的.12、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？ 13、求函数的定义域的常见类型记住了吗？函数y=2)3lg()4(--x x x 的定义域是 ；复合函数的定义域弄清了吗？函数)(x f 的定义域是[0,1],求)(log 5.0x f 的定义域. 函数)(x f 的定义域是[b a ,],,0>->a b 求函数)()()(x f x f x F -+=的定义域14、含参的二次函数的值域、最值要记得讨论。
高考数学高频考点提分密码第六部分不等式
高考数学高频考点提分密码第六部分不等式佚名一、知识结构二、知识要求㈠不等式的证明比较法：作差——分解因式、配方等——判定符号——结论（也可作商与比较）综合法：利用不等式性质、定理证明不等式分析法：从欲证不等式动身，查找它成立的充分条件.注意书写的规范性，否则可能不得分。
反证法：反设→推出矛盾→否定假设→得出结论㈡不等式的解法重点是一元一次、二次不等式、分式不等式、绝对值不等式的解法.1.一元一次不等式：一样形式axb；若a=0，则当b0时，x∈R；当b≥0时，x∈.2.一元二次不等式ax+bx+c0若a0，△0，则x∈R若a0，△0，则x∈注意点：⑴二次项系数a是否大于0；⑵若没有强调是二次函数，则需考虑a=0的情形.3.分式不等式和高次不等式：0f(x)g(x)0.注意：≥0.㈢差不多不等式在用差不多不等式求极值时，注意：⑴“正数”，二“定值”，三“相等”⑵等号是否取到，若不能取到，常常应用函数的单调性求解；⑶注意挖掘应用问题中变量的范畴。
⑷假如连续运用差不多不等式时要注意取等号时的情形也确实是所有取到等号时，极值点相同.三、能力要求1、正确明白得和应用不等式的性质，注意到性质中条件减弱和加强时，条件和结论之间的关系。
把握判定已给不等式是否成立，比较大小，判定不等式中条件和结论之间充分性的方法。
2、证明不等式要依照待证不等式的结构特点，灵活地选用恰当的方法。
3、熟练把握有理不等式的解法，这是解不等式的基础。
对含参数的不等式的求解，要充分明白得什么缘故要分类，这是探究分类的标准和正确分类的前提。
4、关于不等式的应用，要把握把实际问题转化为函数式、代数式的处理方法，提高实际问题数学化的能力。
这类问题大致上能够分为两类：一类是建立不等式，解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值。
利用平均值不等式求函数的最值时，要专门注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可。
4、本章内容较多地表达了四种数学思想，即“等价转化”的思想；“分类讨论”的思想；“数形结合”的思想；“函数与方程”的思想。