高一数学必修4综合试卷(1)
(完整版)高一数学必修4测试题及答案详解
BCCAB BDBDD BD(-2，-1) -6 -3 [-1，3] 根号2118解：（1）336tan )64tan()623tan(==+-=-ππππ……（4分）（2）原式=︒︒+︒︒=︒+︒30sin 45cos 30cos 45sin )3045sin(=42621222322+=⨯+⨯ ……（8分）19解：由已知有：３·2)cos(1B A +-＋2)cos(1B A -+＝２ ……（3分）∴－３cos(A ＋B)+cos(A －B)＝0,∴－３(cosAcosB －sinAsinB)+(cosAcosB ＋sinAsinB)＝0, ………（6分）∴cosAcosB ＝2sinAsinB, ∴tan ＡtanB=21…………（8分） 20解：设),(y x =，由题意得：⎩⎨⎧=--=-⋅⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⋅)1,3()2,1(),(0)2.1(),(0λλy x y x ……（3分）)7,14(7142312=⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=⇒y x y x yx λλ……（6分）)6,11(=-=……（8分）21解：（Ⅰ）)cos 23sin 21(2x x y +=＝)3sin cos 3cos (sin 2ππx x +＝)3sin(2π+x……（2分）函数)(x f 的周期为T ＝π2，振幅为2。
……（.4分）（Ⅱ）列表：……（6分） 图象如上（作图不规范者扣1分）。
……（8分） （Ⅲ）由)(232322Z k k x k ∈+≤+≤+πππππ解得： )(67262Z k k x k ∈+≤≤+ππππ所以函数的递减区间为)(],672,62[Z k k k ∈++ππππ……（10分）22解：（Ⅰ）因为A （1,1），B （2,1）所以＝（1,1），＝（2,1）……（2分） cos ∠AOB 1010310121411)1,2()1,1(||||=+=+⋅+⋅=⋅OB OA . ……（4分）（Ⅱ）因为C （3,1），D （3，0），所以tan ∠BOD ＝21，tan ∠COD ＝31……（6分） 所以 tan(∠BOD ＋∠COD)=CODBOD COD BOD ∠∠-∠+∠tan tan 1tan tan 1312113121=⋅-+= ……（8分） 又因为∠BOD 和∠COD 均为锐角，故∠BOD ＋∠COD ＝45° ……（10分） 考查向量数量积的几何意义，向量夹角求法，两角和的正切，。
【2019-2020高一数学试题】人教A版必修4《正弦函数、余弦函数的性质(1)》试题 答案解析
正弦函数、余弦函数的性质(1)——基础巩固类——一、选择题1．下列函数中，最小正周期为π的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝cos x C ．y ＝sin x2D ．y ＝cos2x2．函数f (x )＝x ＋sin x ，x ∈R ( )A ．是奇函数，但不是偶函数B ．是偶函数，但不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数3．定义在R 上的函数f (x )周期为π，且是奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．24．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的对称轴方程可能是( ) A ．x ＝－π6 B ．x ＝－π12 C ．x ＝π6 D ．x ＝π12 5．下列四个函数中，是以π为周期的偶函数的是( )A ．y ＝|sin x |B ．y ＝|sin2x |C ．y ＝|cos2x |D ．y ＝cos3x6．如果函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为π6，则ω的值为( )A ．3B ．6C ．12D ．24二、填空题7．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的周期为π4，则ω＝ .8．已知函数f (x )＝ax ＋b sin x ＋1，若f (2 015)＝7，则f (－2 015)＝ . 9．已知函数f (x )是以2为周期的函数，且当x ∈[1,3)时，f (x )＝x －2，则f (－1)＝ .三、解答题10．判断函数f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )的奇偶性．11．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |. (1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．——能力提升类——12．已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ是奇函数，则φ的值可以是( )A ．0B ．－π4 C.π2 D ．π13．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则函数y ＝f (x )的图象是( )14．设函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝95，则sin α的值为 .15．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，若函数g (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，求关于x 的方程g (x )＝32的解集．正弦函数、余弦函数的性质(1)(答案解析)——基础巩固类——一、选择题1．下列函数中，最小正周期为π的是( D ) A ．y ＝sin x B ．y ＝cos x C ．y ＝sin x2D ．y ＝cos2x解析：A 项，y ＝sin x 的最小正周期为2π，故A 项不符合题意；B 项，y ＝cos x 的最小正周期为2π，故B 项不符合题意；C 项，y ＝sin x2的最小正周期为T ＝2πω＝4π，故C 项不符合题意；D 项，y ＝cos2x 的最小正周期为T ＝2πω＝π，故D 项符合题意．故选D.2．函数f (x )＝x ＋sin x ，x ∈R ( A ) A ．是奇函数，但不是偶函数 B ．是偶函数，但不是奇函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．既不是奇函数又不是偶函数解析：函数f (x )＝x ＋sin x 的定义域为R ，f (－x )＝－x ＋sin(－x )＝－x －sin x ＝－f (x )，则f (x )为奇函数．故选A.3．定义在R 上的函数f (x )周期为π，且是奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4的值为( B )A ．1B ．－1C ．0D ．2解析：∵T ＝π，且为奇函数．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π－π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－1. 4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的对称轴方程可能是( D )A ．x ＝－π6 B ．x ＝－π12 C ．x ＝π6D ．x ＝π12解析：令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )．故选D. 5．下列四个函数中，是以π为周期的偶函数的是( A ) A ．y ＝|sin x | B ．y ＝|sin2x | C ．y ＝|cos2x |D ．y ＝cos3x解析：A 中的函数周期为π.B 中的函数周期为π2.C 中的函数周期为π2.D 中的函数周期为23π.故选A.6．如果函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为π6，则ω的值为( B )A ．3B ．6C ．12D ．24解析：函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为π6，∴T ＝2×π6＝π3，又2πω＝π3，∴ω＝6.选B.二、填空题7．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的周期为π4，则ω＝8. 解析：π4＝2πω，∴ω＝8.8．已知函数f (x )＝ax ＋b sin x ＋1，若f (2 015)＝7，则f (－2 015)＝－5. 解析：由f (2 015)＝2 015a ＋b sin2 015＋1＝7， 得2 015a ＋b sin2 015＝6，∴f (－2 015)＝－2 015a －b sin2 015＋1＝－(2 015a ＋b sin2 015)＋1＝－6＋1＝－5.9．已知函数f (x )是以2为周期的函数，且当x ∈[1,3)时，f (x )＝x －2，则f (－1)＝－1.解析：因为T ＝2，则f (x )＝f (x ＋2)．又f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)，且x ∈[1,3)时，f (x )＝x －2，所以f (－1)＝f (1)＝1－2＝－1.三、解答题10．判断函数f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )的奇偶性． 解：由题意知函数定义域为R .f (－x )＝lg(－sin x ＋1＋sin 2x )＝lg 1sin x ＋1＋sin 2x＝－lg(sin x ＋1＋sin 2x )＝－f (x )，∴函数f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )为奇函数． 11．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |. (1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期． 解：(1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，0，x ∈[2k π－π，2k π)(k ∈Z ).函数图象如图所示．(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的最小正周期是2π.——能力提升类——12．已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ是奇函数，则φ的值可以是( B ) A ．0 B ．－π4 C.π2D ．π解析：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ为奇函数，则只需π4＋φ＝k π，k ∈Z ，从而φ＝k π－π4，k ∈Z .显然当k ＝0时，φ＝－π4满足题意．13．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则函数y ＝f (x )的图象是( B )解析：A 项，由f (－x )＝f (x )知函数f (x )为偶函数，故A 错．B 项，由函数f (x )为偶函数，周期为2，故B 正确．C 项，由函数f (x )为偶函数，故C 错．D 项，由函数f (x )周期为2.故D 错．14．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝95，则sin α的值为±45. 解析：由题意得2πω＝π2， ∴ω＝4，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝3cos α＝95. ∴cos α＝35，∴sin α＝±1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝±45. 15．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，若函数g (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，求关于x 的方程g (x )＝32的解集．解：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.因为x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以由g (x )＝32 解得x ＋π3＝－π6或π6， 即x ＝－π2或－π6.又因为g (x )的最小正周期为π.所以g (x )＝32的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝k π－π2或x ＝k π－π6，k ∈Z .。
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4：本册综合能力测试学生用
高中数学必修4综合测试题一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2013·泰安期末)tan 83π的值为( )A.33 B ．－33C.3 D ．－ 3 2．(2013·辽宁理)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A ．(35，－45) B ．(45，－35) C ．(－35，45) D ．(－45，35)3．(2013·诸城月考)集合{x |k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )4．已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为( )A ．4 cm 2B ．6 cm 2C ．8 cm 2D ．16 cm 25．已知α是锐角，a ＝(34，sin α)，b ＝(cos α，13)，且a ∥b ，则α为( )A ．15°B ．45°C ．75°D ．15°或75° 6．若sin α＝1213，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan2α的值为( ) A.60119 B.120119 C ．－60119 D ．－1201197．(2013烟台模拟)已知cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，α，β都是锐角，则cos β＝( )A ．－6365B ．－3365 C.3365 D.63658．函数y ＝sin x (π6≤x ≤2π3)的值域是( )A ．[－1,1]B ．[12，1]C ．[12，32]D ．[32，1]9．要得到函数y ＝3sin(2x ＋π4)的图象，只需将函数y ＝3sin2x 的图象( )A ．向左平移π4个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π8个单位D ．向右平移π8个单位10．已知a ＝(1，－1)，b ＝(x ＋1，x )，且a 与b 的夹角为45°，则x 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．0或－1 D ．－1或1 11．(2012·全国高考江西卷)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan2α＝( )A ．－34 B.34 C ．－43 D.4312．设a ＝sin17°cos45°＋cos17°sin45°，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则有( ) A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．若tan α＝3，则sin αcos α的值等于________．14．已知：|a |＝2，|b |＝2，a 与b 的夹角为π4，要λb －a 与a 垂直，则λ为________．15．(2013南通调研)设α、 β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝513，tan α2＝12，则cos β的值为________． 16．已知△ABC 中，AC ＝4，AB ＝2，若G 为△ABC 的重心，则AG →·BC →＝__ . . 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π6，π2]上的最大值和最小值．18．(本题满分12分)已知向量a ＝3e 1－2e 2，b ＝4e 1＋e 2，其中e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，求：(1)a ·b ；|a ＋b |；(2)a 与b 的夹角的余弦值．19．(本题满分12分)(2011～2012浙江调研)设向量α＝(3sin 2x ，sin x ＋cos x )，β＝(1，sin x －cos x )，其中x ∈R ，函数f (x )＝α·β.(1)求f (x )的最小正周期； (2)若f (θ)＝3，其中0<θ<π2，求cos(θ＋π6)的值．20．(本题满分12分)(2012济宁模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，θ∈[0，π]，向量b ＝(3，－1)．(1)若a ⊥b ，求θ的值； (2)若|2a －b |<m 恒成立，求实数m 的取值范围．21．(本题满分12分)(2013山东潍坊高一期末)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示． (Ⅰ)求f (x )的解析式；(Ⅱ)将函数y ＝f (x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，再将所得函数图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(Ⅲ)当x ∈[－π2，5π12]时，求函数y ＝f (x ＋π12)－2f (x ＋π3)的最值．22．(本题满分12分)(2012·全国高考山东卷)已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos2x )(A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)将函数y ＝f (x )的图象像左平移π12个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π24上的值域。
人教A版必修四高一数学必修4综合考试卷(人教A版附答案.docx
高中数学学习材料唐玲出品高一数学必修4综合考试卷（人教A 版附答案）第I 卷注意事项：本次考试试卷分为试题和答题卷两部分，学生应把试题中的各个小题答在第II 卷中相应的位置上，不能答在试题上，考试结束后，只交答题卷。
一、选择题：本大题共10题，每小题3分，共30分。
在每一题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在．．．．．．．．．．．第．II ．．卷的选择题答案表中．．．．．．．．．。
1．将－300o 化为弧度为（ ） A ．－；34π B ．－；35π C ．－；67π D ．－；47π2．若角α的终边过点（sin30o ,－cos30o ）,则sin α等于（ ） A ．；21 B ．－；21 C ．－；23 D ．－；33 3．下列四式不能化简为AD 的是（ ）A ．；）＋＋（BC CD AB B ．）；＋）＋（＋（CM BC M B ADC ．；－＋BM AD M B D ．；＋－CD OA OC 4．oooo26sin 19sin -26cos 71sin 的值为（ ） A ．；21B ．1；C ．－；22 D ．；22 5．函数)23cos(3x y π+=的图象是把y=3cos3x 的图象平移而得，平移方法是（ ）A ．向左平移2π个单位长度； B ．向左平移6π个单位长度； C ．向右平移2π个单位长度； D ．向右平移6π个单位长度； 6．在下列四个函数中，在区间），（20π上为增函数，且以π为最小正周期的偶函数是（ ） A ．y=x 2; B ．y=|sinx|; C ．y=cos2x; D ．y=sinxe ;7．在∆ABC 中，若sinAsinB<cosAcosB ，则∆ABC 一定是（ ） A ．锐角三角形； B ．直角三角形； C ．钝角三角形； D ．不能确定；8．已知）（），点＝（），，－＝（－21x,P 1,1ON 32OM 在线段NM 的中垂线上， 则x 等于（ ）A ．；－25B ．；－23C ．；－27 D ．－3；9．在平面直角坐标系中，已知两点A （cos80o ,sin80o ）,B(cos20o ,sin20o ),则｜AB ｜的值是（ ） A ．；21 B ．；22 C ．；23 D ．1； 10．平面直角坐标系中，已知两点A （3,1），B （－1,3），若点C 满足，＋＝OB OA OC βα 1R ＝＋，且、其中βαβα∈，则点C 的轨迹方程是（ ）A ．3x+2y －11=0;B ．(x －1)2+(y －2)2=5;C ．2x －y=0;D ．x+2y －5=0;二、填空题：本大题共有5小题，每小题3分，满分15分。
高一数学必修4试题及答案
高 一 数 学 测 试 卷1（必修4）一、填空题（1-8题每题5分 , 9-14题每题6分，共76分）1、比较大小： 0cos(508)-0cos(144)- 2、函数tan 2y x =的定义域是3、函数y ＝cos(2x －4π)的单调递增区间是_________________4、若21tan =α，则ααααcos 3sin 2cos sin -+=5、函数2cos 1y x =+的定义域是___________6、函数)23cos(3x y π+=的图象是把y=3cos3x 的图象平移而得，平移方法是______________ 7、函数xxy sin 3sin 3+-=的值域为______________________ 8、①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③相等向量一定共线；④共线向量一定相等；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量，其中正确的命题是 。
9、函数)sin(ϕω+=x A y (A ＞0,0＜ϕ＜π)在一个周期内的图象如右图，此函数的解析式为___________________10、函数2005sin(2004)2y x π=-是_______函数 (填：奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数又是偶函数 ) 11、 关于函数f(x)＝4sin(2x ＋3π), (x ∈R )有下列命题：①y ＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；② y ＝f(x)可改写为y ＝4cos(2x －6π)；③y ＝f(x)的图象关于点(－6π，0)对称； ④ y ＝f(x)的图象关于直线x ＝512π-对称；其中正确的序号为 。
12、直线y a = （a 为常数）与正切曲线tan y x ω=（0ω>）相交的相邻两点间的距离是_______ 13、如下图，函数)656(3sin 2ππ≤≤=x x y 与函数y=2的图像围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是_________________________14、如上图，函数f(x)=Asin(ωx ＋ϕ) (A>O ，ω>0)的部分图象如图所示，则f(1)+f (2)+…+f(2008)的值等于________二、解答题（共6大题，共84分） 15、(本题满分14分)（1）已知tan 3α=-，且α是第二象限的角,求αsin 和αcos ; （2）已知5sin cos ,2,tan ααπαπα-=-p p 求的值。
高一下学期第一次月考数学试题1(必修4)(含答案)
高一下学期第一次月考数学试题一、 选择题（每题5分，共计60分）1、sin 210︒的值为A ．12B ． 12- C ．2 D ． 2- 2、已知4tan 3α=-，且α为第四象限角，则sin α的值为 A ．35 B ．35- C ．45 D ．45- 3、若sin 0α<且tan 0α>是，则α是A ．第一象限角B ．第二象限角C ． 第三象限角D ． 第四象限角4、所有与角α终边相同的角, 连同角α在内, 可构成的一个集合S 是A ．{β|β=α+k ·180°，k ∈Z}B ．{β|β=α+k ·360°, k ∈Z}C ．{β|β=α+k ·180°，k ∈R}D ．{β|β=α+k ·360°, k ∈R}5、下列函数是周期为π的偶函数为A ． cos 2y x =B ． sin 2y x =C ． tan 2y x =D ． 1cos 2y x = 6、函数)32sin(2π+=x y 的图象A ．关于原点对称B ．关于点（－6π，0）对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x =6π对称 7、若[]0,2x π∈，则使函数sin y x =为增函数，cos y x =为减函数的区间为A ．[0,]2πB ． [,]2ππC ． 3[,]2ππD ．3[,2]2ππ 8、若函数234y x x =--的定义域为[0, m]，值域为25[,4]4--，则m 的取值范围是A.[0,4]B.[4,23] C.[3,23]D.[+∞,23) 9、函数sin()y A x ωϕ=+在一个周期内的图象如下，此函数的解析式可以为A ．)322sin(2π+=x yB ．)32sin(2π+=x y C ．)32sin(2π-=x y D ．)32sin(2π-=x y10、若函数3cos(2)y x ϕ=+的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，则||ϕ的最小值为 A. 6π B. 4π C. 3π- D. 2π11、为了得到函数)321sin(π-=x y 的图像，需将x y 21sin =的图像上每一个点 A.向左平移3π个单位长度 B.向右平移3π个单位长度 C.向右平移32π个单位长度 D.向左平移32π个单位长度 12、函数0.5log cos 2y x =的单调递增区间是A ． 2,22k k πππ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭（Z k ∈） B ． ,2k k πππ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭（Z k ∈） C ． ,4k k πππ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭（Z k ∈） D ．. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡++2,4ππππk k （Z k ∈） 二、填空题(每小题5分, 共20分)13、角α的终边上有一点()4,P m -，且sin (0)5m m α=<，则sin cos αα+= ； 14、一个扇形的弧长为cm 5,它的面积为25cm ，则这个扇形的圆心角的弧度数是______.15、()sin tan 1,(5)7,(5)f x a x b x f f =++=-=已知满足则 ；16、 函数[]()sin 2sin ,0,2f x x x x π=+∈的图像与直线y=k 有且只有两个不同的交点，则 k 的取值范围是 。
高中数学 阶段质量检测(一)(含解析)新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题
阶段质量检测（一）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若角α的终边经过点P (－1,3)，则tan α的值为( ) A ．－13 B ．－3C ．－1010 D.31010解析：选B 由定义，若角α的终边经过点P (－1,3)，∴tan α＝－3.故选B. 2．若sin α＝33，π2<α<π，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A ．－63 B ．－12C.12 D.63解析：选A ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，又π2<α<π，sin α＝33，∴cos α＝－63. 3．已知扇形的半径为r ，周长为3r ，则扇形的圆心角等于( ) A.π3 B ．1C.2π3D ．3 解析：选B 弧长l ＝3r －2r ＝r ，则圆心角α＝lr＝1.4．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2解析：选C f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的对称轴为x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋3π4， 当k ＝－1时，则其中一条对称轴为x ＝－π4.5．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 解析：选D 周期为π，排除A ，B ；y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为增函数，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数，所以选D.6．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 解析：选C 令k π－π2<x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π4<x <k π＋π4，k ∈Z ，选C.7．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α的值为( )A.12 B ．－12C.32 D ．－32 解析：选C ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＝π，∴3π4－α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32.8．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度解析：选B 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos π2－2x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＝cos2x －π3.故选B.9．函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6的最大值与最小值之和为( )A.32 B ．2C ．0 D.34解析：选A f (x )＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54，∵－π6≤x ≤π6，∴－12≤sin x ≤12.当sin x ＝－12时，f (x )min ＝14；当sin x ＝12时，f (x )max ＝54，∴f (x )min ＋f (x )max ＝14＋54＝32.10．同时具有下列性质的函数可以是( ) ①对任意x ∈R ，f (x ＋π)＝f (x )恒成立； ②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数． A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6 B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 C ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 D ．f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6解析：选B 依题意知，满足条件的函数的周期是π，图象以直线x ＝π3为对称轴，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数．对于A 选项，函数周期为4π，因此A 选项不符合；对于C 选项，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1，但该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上不是增函数，因此C 选项不符合；对于D 选项，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3≠±1，即函数图象不以直线x ＝π3为对称轴，因此D 选项不符合．综上可知，应选B.11.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4或y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4 解析：选C 由图象可知A ＝2，因为π8－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝π4，所以T ＝π，ω＝2.当x ＝－π8时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8·2＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π4＝1，又|φ|<π，解得φ＝3π4.故函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4. 12．函数f (x )＝A sin ωx (ω>0)，对任意x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－a ，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94等于( )A ．aB ．2aC ．3aD ．4a解析：选A 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，得f (x ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－12＝f (x )，即1是f (x )的周期．而f (x )为奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝a .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知tan α＝－3，π2<α<π，那么cos α－sin α的值是________． 解析：因为π2<α<π，所以cos α<0，sin α>0，所以cos α＝－cos 2α＝－cos 2αcos 2α＋sin 2α＝－11＋tan 2α＝－11＋3＝－12.sin α＝32，所以cos α－sin α＝－1＋32.答案：－1＋3214．函数f (sin x )＝cos 2x ，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为________． 解析：令sin x ＝12，得x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋5π6，k ∈Z ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π3＝12. 答案：1215．定义运算a *b 为a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≤b ，b a >b ，例如1*2=1，则函数f （x ）=sin x *cos x的值域为________．解析：由题意可知，这实际上是一个取小的自定义函数，结合函数的图象可得其值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22 16．给出下列4个命题：①函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期是π2；②直线x ＝7π12是函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的一条对称轴；③若sin α＋cos α＝－15，且α为第二象限角，则tan α＝－34；④函数y ＝cos(2－3x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3上单调递减．其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)．解析：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期是π，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期为π2，故①正确． 对于②，当x ＝7π12时，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3×7π12－π4＝2sin 3π2＝－2，故②正确．对于③，由(sin α＋cos α)2＝125得2sin αcos α＝－2425，α为第二象限角，所以sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以tan α＝－34，故③正确． 对于④，函数y ＝cos(2－3x )的最小正周期为2π3，而区间⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3长度73>2π3，显然④错误．答案：①②③三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知tan α＋1tan α＝52，求2sin 2(3π－α)－3cos π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2的值．解：tan α＋1tan α＝52，即2tan 2α－5tan α＋2＝0，解得tan α＝12或tan α＝2.2sin 2(3π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2 ＝2sin 2α－3sin αcos α＋2 ＝2sin 2α－3sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2 ＝2tan 2α－3tan αtan 2α＋1＋2. 当tan α＝12时，原式＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－3×12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝－45＋2＝65；当tan α＝2时，原式＝2×22－3×222＋1＋2＝25＋2＝125. 18．(12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R .(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫13×5π4－π6＝2sin π4＝ 2(2)令2k π－π2≤13x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，所以2k π－π3≤13x ≤2π3＋2k π，k ∈Z ，解得6k π－π≤x ≤2π＋6k π，k ∈Z ，所以函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6的单调递增区间为[6k π－π，2π＋6k π]，k ∈Z .19．(12分)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象； (2)写出f (x )的值域、最小正周期、对称轴，单调区间．解：(1)列表如下：x －π4 π4 3π4 5π4 7π4 x ＋π4π2 π3π2 2πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π40 10 －13sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 0 3 0 －3 0描点画图如图所示．(2)由图可知，值域为[－3,3]，最小正周期为2π， 对称轴为x ＝π4＋k π，k ∈Z ，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋2k π，5π4＋2k π(k ∈Z )．20．(12分)如图，函数y ＝2sin(πx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中0≤φ≤π2的图象与y 轴交于点(0,1)．(1)求φ的值；(2)求函数y ＝2sin(πx ＋φ)的单调递增区间； (3)求使y ≥1的x 的集合． 解：(1)因为函数图象过点(0,1)， 所以2sin φ＝1，即sin φ＝12.因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6.(2)由(1)得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，所以当－π2＋2k π≤πx ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，即－23＋2k ≤x ≤13＋2k ，k ∈Z 时，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6是增函数，故y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋2k ，13＋2k ，k ∈Z . (3)由y ≥1，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6≥12，所以π6＋2k π≤πx ＋π6≤5π6＋2k π，k ∈Z ，即2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z ，所以y ≥1时，x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z .21．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x ＝π12时，f (x )取得最大值3；当x ＝7π12时，f (x )取得最小值－3. (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6时，函数h (x )＝2f (x )＋1－m 的图象与x 轴有两个交点，某某数m 的取值X 围．解：(1)由题意，A ＝3，T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π，ω＝2πT ＝2.由2×π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，又因为－π<φ<π，所以φ＝π3.所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋2k π≤2x ≤7π6＋2k π，k ∈Z ， 则π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )．(3)由题意知，方程sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝m －16在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上有两个根．因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6，所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3.所以m －16∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1.所以m ∈[33＋1,7)．22．(12分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)－b (ω>0,0<φ<π)的图象两相邻对称轴之间的距离是π2.若将f (x )的图象先向右平移π6个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象对应的函数g (x )为奇函数．(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )的对称轴及单调区间；(3)若对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，f 2(x )－(2＋m )f (x )＋2＋m ≤0恒成立，某某数m 的取值X 围．解：(1)因为2πω＝2×π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)－b .又因为函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋φ－b ＋3为奇函数，且0<φ<π，所以φ＝π3，b ＝3，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－ 3. (2)令2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，得对称轴为直线x ＝π12＋k π2，k ∈Z .令2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，得单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，令2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z ，得单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z .(3)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以－3≤f (x )≤1－3，所以－1－3≤f (x )－1≤－ 3.因为f 2(x )－(2＋m )f (x )＋2＋m ≤0恒成立， 整理可得m ≤1f x －1＋f (x )－1.由－1－3≤f (x )－1≤－3，得－1－332≤1f x －1＋f (x )－1≤－433， 故m ≤－1－332，即实数m 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－1－332.。
高一数学(人教B版)必修4：第3章综合素质检测
阶段性测试题六(第三章综合素质检测)本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．有下列四个命题：①存在x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12； ②存在x 、y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；③x ∈[0，π]，1－cos2x 2＝sin x ； ④若sin x ＝cos y ，则x ＋y ＝π2. 其中不正确的是( )A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③[答案] A[解析] ∵对任意x ∈R ，均有sin 2x 2＋cos 2x 2＝1， 故①不正确，排除B 、D ；又x ∈[0，π]，1－cos2x 2＝sin 2x ＝sin x ，故③正确，排除C ，故选A.2．(2009·广东)函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数 [答案] A[解析] y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π22x ＝sin2x∴函数是最小正周期为π的奇函数．3．在△ABC 中，若4sin A ＋2cos B ＝1,2sin B ＋4cos A ＝33，则sin C 的大小是( )A ．－12 B.32 C.12或32 D.12[答案] D[解析] 由条件，得(4sin A ＋2cos B )2＝1，(2sin B ＋4cos A )2＝27，∴20＋16sin A cos B ＋16sin B cos A ＝28.∴sin A cos B ＋cos A sin B ＝12.即sin(A ＋B )＝12.∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝12.4．函数y ＝(sin x ＋cos x )2＋1的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.3π2 D ．2π[答案] B[解析] y ＝(sin x ＋cos x )2＋1＝1＋2sin x cos x ＋1＝2＋sin2x .∴最小正周期T ＝π.5．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4的值等于( )A ．－1＋a 2B ．－1－a2C ．－1＋a 2D ．－1－a2[答案] D[解析] ∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2，∴sin θ4<0，∴sin θ4＝－1－cos θ22＝－1－a2.6．(2009·江西)函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为() A ．1 B ．2C.3＋1D.3＋2[答案] B[解析] f (x )＝cos x ＋3sin xcos x ·cos x＝cos x ＋3sin x ＝2⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， ∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<2π3，∴f (x )的最大值为2.7．函数y ＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A.π4 B.π2C ．πD ．2π[答案] B[解析] y ＝sin 4x ＋cos 2x ＝(1－cos 2x )2＋cos 2x＝cos 4x －cos 2x ＋1＝(cos 2x －12)2＋34＝(1＋cos2x 2－12)2＋34＝cos 22x 4＋34＝1＋cos4x8＋34＝18cos4x ＋78.∴T ＝2π4＝π2，故选B.8．cos 275°＋cos 215°＋cos75°cos15°的值为( ) A.62 B.32C.54 D ．1＋34[答案] C[解析] 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝54.9．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])单调递增区间是()A.⎣⎡⎦⎤－π，－5π6B.⎣⎡⎦⎤－5π6，－π6 C.⎣⎡⎦⎤－π3，0D.⎣⎡⎦⎤－π6，0 [答案] D[解析] f (x )＝sin x －3cos x＝2⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. ∵x ∈[－π，0]，∴x －π3⎣⎡⎦⎤－4π3，－π3. 当x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π3时，f (x )递增， 此时x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，0.故选D. 10．(2009·重庆)设△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6 [答案] C[解析] ∵m·n ＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )， ∴3sin(A ＋B )－cos(A ＋B )＝1， ∴3sin C ＋cos C ＝1，即2sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝12，∴C ＋π6＝5π6，∴C ＝2π3. 11．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝2，则△ABC 为( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形[答案] C[解析] 由已知，得1－cos2A 2＋1－cos2B 2＋sin 2C ＝2， ∴1－12(cos2A ＋cos2B )＋sin 2C ＝2， ∴cos2A ＋cos2B ＋2cos 2C ＝0，∴cos(A ＋B )·cos(A －B )＋cos 2C ＝0，∴cos C [－cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝0，∴cos A ·cos B ·cos C ＝0，∴cos A ＝0或cos B ＝0或cos C ＝0.∴△ABC 为直角三角形．12．若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝( )A ．3－cos2xB ．3－sin2xC ．3＋cos2xD ．3＋sin2x[答案] C[解析] f (sin x )＝3－cos2x＝3－(1－2sin 2x )＝2＋2sin 2x ，∴f (x )＝2＋2x 2∴f (cos x )＝2＋2cos 2x＝2＋1＋cos2x ＝3＋cos2x .第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．(2009·上海)函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是________．[答案] 1－ 2[解析] y ＝2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x＝1＋2sin ⎝⎛2x ＋π4，∴y min ＝1－ 2. 14.2tan150°1－tan 2150°的值为________． [答案] － 3[解析] 原式＝2×⎝⎛⎭⎫－331－⎝⎛⎭⎫－332＝－233·32＝－ 3. 15．cos θ＝－35，且180°<θ<270°，则tan θ2＝________. [答案] －2[解析] ∵180°<θ<270°，∴90°<θ2<135°， ∴tan θ2，又∵cos θ＝－35，∴tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1－⎝⎛⎭⎫－351＋⎝⎛⎭⎫－35＝－2. 16．在△ABC 中，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝513，则cos2A 的值为________． [答案] 120169[解析] 在△ABC 中，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝513>0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝1213∴cos2A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2A ＝sin2⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋A cos ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝2×1213×513＝120169. 三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)求值(tan5°－cot5°)·cos70°1＋sin70°. [解析] 解法一：原式＝⎝⎛⎭⎫tan5°－1tan5°·cos70°1＋sin70°＝tan 25°－1tan5°·sin20°1＋cos20°＝－2·1－tan 25°2tan5°·sin20°1＋cos20°＝－2cot10°·tan10°＝－2.解法二：原式＝⎝⎛⎭⎫sin5°cos5°－cos5°sin5°·sin20°1＋cos20°＝sin 25°－cos 25°sin5°·cos5°·sin20°1＋cos20°＝－cos10°12sin10°·2sin10°·cos10°2cos 210°＝－2. 解法三：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－cos10°sin10°－1sin10°1＋cos10°·sin20°1＋cos20° ＝⎝⎛⎭⎫1－cos10°sin10°－1＋cos10°sin10°·sin20°1＋cos20°＝－2cos10°sin10°·2sin10°·cos10°2cos 210°＝－2.18．(本小题满分12分)已知cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求tan α＋β2的值．[解析] ∵π2<α<π，0<β<π2，∴π4<α－β2<π. ∵cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝459. 又∵π4<α2<π2， ∴－π4<α2－β<π2. ∵sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝53. 故sin α＋β2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝sin ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β－cos ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝459×53－⎝⎛⎭⎫－19×23＝2227， cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－19×53＋459×23＝7527，∴tan α＋β2＝sinα＋β2cos α＋β2 ＝22277527＝22535. 19．(本小题满分12分)已知α＋β＝3π4，求证：cos 2α＋cos 2β＋2cos αcos β＝12. [解析] 左边＝1＋cos2α2＋1＋cos2β2＋2cos αcos β ＝1＋12(cos2α＋cos2β)＋2cos αcos β ＝1＋cos(α＋β)cos(α－β)＋22[cos(α＋β)＋cos(α－β)] ＝1＋cos 3π4cos(α－β)＋22⎣⎡⎦⎤cos 3π4＋cos (α－β)＝1－22cos(α－β)＋22×⎝⎛⎭⎫－22＋22cos(α－β) ＝1－12＝12＝右边． 20．(本小题满分12分)若函数f (x )＝1＋cos2x 4sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x －a sin x 2·cos ⎝⎛⎭⎫π－x 2的最大值为2，试确定常数a 的值．[解析] f (x )＝2cos 2x 4cos x ＋a sin x 2cos x 2＝12cos x ＋a 2sin x ， f (x )的最大值为14＋a 24 ∴14＋a 24＝2， 解得a ＝±15.21．(本小题满分14分)(2010·南安一中高一下学期期末测试)已知f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋a ，其中a ∈R .(1)若x ∈R ，求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在[－π6，π6]上最大值与最小值之和为3，求a 的值． [解析] f (x )＝1＋cos2x ＋3sin2x ＋a＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1， (1)f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)∵x ∈[－π6，π6]，2x ∈[－π3，π3]， 2x ＋π6∈[－π6，π2]， sin(x ＋π6)∈[－12，1]， ∴f (x )max ＝a ＋3，f (x )min ＝a ，∴2a ＋3＝3，∴a ＝0.22．(本小题满分14分)(2009·湖南)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)．(1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．[解析] (1)∵a ∥b ，∴2sin θ＝cos θ－2sin θ，∴4sin θ＝cos θ，∴tan θ＝14. (2)由|a |＝|b |，得sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， ∴1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.∴－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝－22. 又∵0<θ<π，∴π4<2θ＋π4<9π4，∴2θ＋π4＝5π4或7π4. ∴θ＝π2或θ＝3π4.。
人教版高一数学必修四测试题(含详细答案)
高一数学试题（必修4） （特别适合按14523顺序的省份） 必修4 第一章 三角函数(1)一、选择题：1.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A∩CB ．B ∪C=CC ．A CD ．A=B=C22120s i n 等于 （ ） A 23±B 23C 23-D 21 3.已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα-=-+那么的值为（ ）A ．－2B ．2C ．2316 D ．－23164．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是 （ ）A.y=sin2xB.y=cos 2xC .sin2x+cos2x D. y=x x 22tan 1tan 1+-5 若角0600的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是 （ ）A 34B 34-C 34± D36． 要得到函数y=cos(42π-x )的图象，只需将y=sin 2x的图象 （ ） A ．向左平移2π个单位 B.同右平移2π个单位C ．向左平移4π个单位 D.向右平移4π个单位7．若函数y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将 整个图象沿x 轴向左平移2π个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数y=21sinx 的图象则y=f(x)是 （ ）A ．y=1)22sin(21++πx B.y=1)22sin(21+-πx C.y=1)42sin(21++πx D. 1)42sin(21+-πx8. 函数y=sin(2x+25π)的图像的一条对轴方程是 （ ） A.x=-2π B. x=-4π C .x=8πD.x=45π9．若21cos sin =⋅θθ，则下列结论中一定成立的是 （ ）A.22sin =θ B ．22sin -=θC ．1cos sin =+θθD ．0cos sin =-θθ10.函数)32sin(2π+=x y 的图象（ ）A ．关于原点对称B ．关于点（－6π，0）对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x=6π对称 11.函数sin(),2y x x R π=+∈是 （ ）A ．[,]22ππ-上是增函数 B ．[0,]π上是减函数C ．[,0]π-上是减函数D ．[,]ππ-上是减函数 12.函数2cos 1y x =+的定义域是 （ ） A ．2,2()33k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．2,2()66k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．22,2()33k k k Z ππππ++∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．222,2()33k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：13. 函数])32,6[)(8cos(πππ∈-=x x y 的最小值是 . 14 与02002-终边相同的最小正角是_______________15. 已知,24,81cos sin παπαα<<=⋅且则=-ααsin cos . 16 若集合|,3A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，{}|22B x x =-≤≤， 则B A =_______________________________________三、解答题：17．已知51cos sin =+x x ，且π<<x 0． a) 求sinx 、cosx 、tanx 的值． b) 求sin 3x – cos 3x 的值．18 已知2tan =x ，（1）求x x 22cos 41sin 32+的值 （2）求x x x x 22cos cos sin sin 2+-的值19. 已知α是第三角限的角，化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+20．已知曲线上最高点为（2，2），由此最高点到相邻的最低点间曲线与x 轴交于一点（6，0），求函数解析式，并求函数取最小值x 的值及单调区间必修4 第一章 三角函数(2)一、选择题：1．已知0tan ,0sin ><θθ，则θ2sin 1-化简的结果为 （ ） A ．θcos B. θcos - C ．θcos ± D. 以上都不对 2．若角α的终边过点(-3，-2)，则 ( )A ．sin α tan α＞0B ．cos α tan α＞0C ．sin α cos α＞0D ．sin α cot α＞0 3 已知3tan =α，23παπ<<，那么ααsin cos -的值是 （ ） A 231+-B 231+- C 231- D 231+4．函数)22cos(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是 （ ）A ．2π-=x B. 4π-=x C. 8π=x D. π=x5．已知)0,2(π-∈x ，53sin -=x ,则tan2x= ( ) A ．247 B. 247- C. 724 D. 724-6．已知31)4tan(,21)tan(-=-=+παβα，则)4tan(πβ+的值为 （ ）A ．2 B. 1 C. 22D. 2 7．函数xx xx x f sin cos sin cos )(-+=的最小正周期为 （ ）A ．1 B. 2πC. π2D. π8．函数)32cos(π--=x y 的单调递增区间是 （ ）A ．)(322,342Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ B. )(324,344Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ C ．)(382,322Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ D. )(384,324Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ 9．函数x x y cos sin 3+=，]2,2[ππ-∈x 的最大值为 （ ）A ．1 B. 2 C. 3 D.23 10．要得到)42sin(3π+=x y 的图象只需将y=3sin2x 的图象（ ）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移8π个单位 D ．向右平移8π个单位11．已知sin(4π+α)=23，则sin(43π-α)值为 （ ）A.21 B. —21C. 23D. —2312．若).(),sin(32cos 3sin 3ππφφ-∈-=-x x x ，则=φ （ ）A. 6π-B.6π C. 65π D. 65π-二、填空题13．函数tan 2y x =的定义域是14．)32sin(3π+-=x y 的振幅为 初相为15．求值：00cos20sin202cos10-=_______________ 16．把函数)32sin(π+=x y 先向右平移2π个单位，然后向下平移2个单位后所得的函数解析式为_____________2)322sin(--=πx y ___________________三、解答题17 已知1tan tan αα，是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根，且παπ273<<，求ααsin cos +的值18．已知函数x x y 21cos 321sin+=，求： （1）函数y 的最大值，最小值及最小正周期；（2）函数y 的单调递增区间19． 已知βαtan tan 、是方程04332=++x x 的两根，且)2,2(ππβα-∈、， 求βα+的值20．如下图为函数)0,0,0()sin(>>>++=ϕωϕωA c x A y 图像的一部分（1）求此函数的周期及最大值和最小值（2）求与这个函数图像关于直线2=x 对称的函数解析式必修4 第三章 三角恒等变换(1)一、选择题:1.cos 24cos36cos66cos54︒︒︒︒-的值为 ( ）A 0 B12 C 32 D 12-2.3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（ ）A 3365-B 6365C 5665D 1665- 3.设1tan 2,1tan x x +=-则sin 2x 的值是 ( )A 35B 34-C 34D 1- 4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为 （ ）A 47-B 47C 18D 18-5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，则βsin 的值是 （ ）A 3365B 1665C 5665D 63656. )4,43(ππ-∈x 且3cos 45x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭则cos2x 的值是 （ ）A 725-B 2425-C 2425D 7257.在3sin cos 23x x a +=-中，a 的取值域范围是 ( )A 2521≤≤aB 21≤aC 25>aD 2125-≤≤-a 8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于54,则这个三角形底角的正弦值为 （ ）A 1010B 1010-C 10103D 10103-9.要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-=的图像 （ ）A 、向右平移6π个单位 B 、向右平移12π个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、向左平移12π个单位10. 函数sin 3cos 22x xy =+的图像的一条对称轴方程是 （ ）A 、x =113πB 、x =53π C 、53x π=- D 、3x π=- 11.若x 是一个三角形的最小内角，则函数sin cos y x x =-的值域是 ( )A [2,2]-B 31(1,]2-- C 31[1,]2-- D 31(1,)2--12.在ABC ∆中，tan tan 33tan tan A B A B ++=，则C 等于 ( )A3π B 23π C 6π D 4π二、填空题:13.若βαtan ,tan 是方程04332=++x x 的两根，且),2,2(,ππβα-∈则βα+等于14. .在ABC ∆中，已知tanA ,tanB 是方程23720x x -+=的两个实根，则tan C = 15. 已知tan 2x =，则3sin 22cos 2cos 23sin 2x xx x+-的值为16. 关于函数()cos223sin cos f x x x x =-，下列命题： ①若存在1x ，2x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立； ②()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增； ③函数()f x 的图像关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图像； ④将函数()f x 的图像向左平移512π个单位后将与2sin 2y x =的图像重合． 其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题：17. 化简000020cos 1)]10tan 31(10sin 50sin 2[+++18. 求)212cos 4(12sin 312tan 30200--的值．19. 已知α为第二象限角，且 sin α=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值.20.已知函数22sin sin 23cos y x x x =++，求 （1）函数的最小值及此时的x 的集合。
人教版高一数学必修四测试题(含详细答案)
高一数学试题（必修4）（特别适合按14523顺序的省份）必修4 第一章三角函数(1)一、选择题：1.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C2 等于（）A B C D3.已知的值为（）A．－2 B．2 C．D．－4．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（）A.y=sin2xB.y=cos C .sin2x+cos2x D. y=5 若角的终边上有一点，则的值是（）A B C D6．要得到函数y=cos()的图象，只需将y=sin的图象（）A．向左平移个单位 B.同右平移个单位C．向左平移个单位 D.向右平移个单位7．若函数y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数y=sinx的图象则y=f(x)是（）A．y= B.y=C.y=D.8. 函数y=sin(2x+)的图像的一条对轴方程是（）A.x=-B. x=- C .x=D.x=9．若，则下列结论中一定成立的是（）A. B． C． D．10.函数的图象（）A．关于原点对称 B．关于点（－，0）对称 C．关于y轴对称 D．关于直线x=对称11.函数是（）A．上是增函数 B．上是减函数C．上是减函数D．上是减函数12.函数的定义域是（）A．B．C． D．二、填空题：13. 函数的最小值是 .14 与终边相同的最小正角是_______________15. 已知则 .16 若集合，，则=_______________________________________三、解答题：17．已知，且．a)求sinx、cosx、tanx的值．b)求sin3x – cos3x的值．18 已知，（1）求的值（2）求的值19. 已知α是第三角限的角，化简20．已知曲线上最高点为（2，），由此最高点到相邻的最低点间曲线与x轴交于一点（6，0），求函数解析式，并求函数取最小值x的值及单调区间必修4 第一章三角函数(2)一、选择题：1．已知，则化简的结果为（）A． B. C． D. 以上都不对2．若角的终边过点(-3，-2)，则( )A．sin tan＞0 B．cos tan＞0C．sin cos＞0 D．sin cot＞03 已知，，那么的值是（）A B C D4．函数的图象的一条对称轴方程是（）A． B. C. D.5．已知，,则tan2x= ( ) A． B. C. D.6．已知，则的值为（）A． B. 1 C. D. 2 7．函数的最小正周期为（）A．1 B. C. D.8．函数的单调递增区间是（）A． B.C． D.9．函数，的最大值为（）A．1 B. 2 C. D.10．要得到的图象只需将y=3sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位11．已知sin(+α)=，则sin(-α)值为（）A. B. — C. D. —12．若，则（）A. B. C. D.二、填空题13．函数的定义域是14．的振幅为初相为15．求值：=_______________16．把函数先向右平移个单位，然后向下平移2个单位后所得的函数解析式为________________________________三、解答题17 已知是关于的方程的两个实根，且，求的值18．已知函数，求：（1）函数y的最大值，最小值及最小正周期；（2）函数y的单调递增区间19．已知是方程的两根，且，求的值20．如下图为函数图像的一部分（1）求此函数的周期及最大值和最小值（2）求与这个函数图像关于直线对称的函数解析式必修4 第三章三角恒等变换(1)一、选择题:1.的值为 ( ）A 0BC D2.，，，是第三象限角，则（）A B C D3.设则的值是( )A B C D4. 已知，则的值为（）A B C D5.都是锐角，且，，则的值是（）A B C D6. 且则cos2x的值是（）A B C D7.在中，的取值域范围是 ( )A B C D8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于,则这个三角形底角的正弦值为（）A B C D9.要得到函数的图像，只需将的图像（）A、向右平移个单位B、向右平移个单位C、向左平移个单位D、向左平移个单位10. 函数的图像的一条对称轴方程是（）A、 B、 C、 D、11.若是一个三角形的最小内角，则函数的值域是( )A B C D12.在中，，则等于 ( )A B C D二、填空题:13.若是方程的两根，且则等于14. .在中，已知tanA ,tanB是方程的两个实根，则15. 已知，则的值为16. 关于函数，下列命题：①若存在，有时，成立；②在区间上是单调递增；③函数的图像关于点成中心对称图像；④将函数的图像向左平移个单位后将与的图像重合．其中正确的命题序号（注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题：17. 化简18. 求的值．19. 已知α为第二象限角，且sinα=求的值.20.已知函数，求（1）函数的最小值及此时的的集合。
高一数学(人教B版)必修4：第1章基本知能检测
阶段性测试题 一(第一章基本知能检测)本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．sin480°的值是( )A ．－12B ．－32 C.12 D.32[答案] D[解析] sin480°＝sin(360°＋120°)＝sin120°＝32. 2．tan300°＋cot405°的值为( )A ．1＋ 3B ．1－3C ．－1－ 3D ．－1＋ 3 [答案] B[解析] tan300°＋cot405°＝tan[360°＋(－60°)]＋cot(360°＋45°)＝－tan60°＋cot45°＝1－ 3.3．下列命题中不正确的个数是( )①小于90°的角是锐角； ②终边不同的角的同名三角函数值不等； ③若sin α>0，则α是第一、二象限角；④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－x x 2＋y2.A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] D[解析] 对于①，负角小于90°，但不是锐角． π4和3π4终边不同，但正弦值相等，所以②错． sin π2＝1，但π2不是一、二象限角．是轴线角所以③错，对于④由定义cos α＝xx 2＋y 2，所以④也不对．4．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则|tan α|tan α＋sin α1－cos 2α的值等于( )A ．2或－2B ．－2或0C ．2或－2D ．0或2 [答案] B[解析] 由题意知α终边可在第二或第四象限．当α终边在第二象限时，tan α<0，sin α>0， ∴原式＝－1＋1＝0.当α终边在第四象限时，tan α<0，sin α<0， ∴原式＝－1＋(－1)＝－2.5．函数y ＝|sin(13x －π4)|的周期为( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π [答案] A[解析] ∵y ＝sinsin(13x －π4)的周期T ＝6π，∴y ＝|sin(13x －π4)|的周期为T ＝3π.6．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则该三角形是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形 [答案] A[解析] ∵sin α＋cos α＝23，∴1＋2sin αcos α＝49，∴sin αcos α＝－518<0，∴α为钝角，故选A. 7．若0≤x ≤π2，sin x ·cos x ＝12，则11＋sin x ＋11＋cos x 的值是( )A ．39＋10 5B ．9－25C ．9＋215D ．4－2 2 [答案] D[解析] (sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x ·cos x ＝1＋1＝2， ∴sin x ＋cos x ＝±2，∵0≤x ≤π2∴sin x >0，cos x >0，∴sin x ＋cos x ＝2，原式＝1＋cos x ＋1＋sin x (1＋sin x )(1＋cos x )＝2＋sin x ＋cos x1＋sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x＝2＋21＋2＋12＝4－2 2.8．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z[答案] C[解析] 令x ＋π4＝t ，则t 单调递增．由复合函数单调性知，只有tan t 单调递增才能使原函数单调递增，∴x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，∴x ∈⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4 (k ∈Z )． 9．若把函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移π2个单位，向下平移1个单位，最后得到的图象正好与函数y ＝12sin x 的图象相同，则f (x )的解析式为( )A ．y ＝－12cos2x ＋1B ．y ＝12cos2x ＋1C ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 ＋1D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1[答案] A[解析]10．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数、又是周期函数，若f (x )最小正周期为π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f⎝⎛⎭⎫5π3的值为( ) A ．－12 B.12 C.32 D ．－32[答案] C[解析] f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＋2π＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3 ＝sin π3＝32.11．若角α是三角形的一个内角，且sin α＝13，则α等于( )A ．π－arccos 223B ．arcsin 13C ．arcsin 13或π－arcsin 13D ．arccos 223或π－arccos 223[答案] C[解析] sin α＝13>0，α为三角形内角α∈(0，π)，当α为锐角时α＝arcsin 13，当α为钝角时α＝π－arcsin 13.12．已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12x －cos x |，则f (x )的值域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－22，1 C.⎣⎡⎦⎤－1，22 D.⎣⎡⎦⎤－1，－22[答案] C[解析] 当sin x ≥cos x ，f (x )＝cos x ，当sin x <cos x ，f (x )＝sin x ，∴f (x )＝⎩⎨⎧cos x (sin x ≥cos x )sin x (sin x <cos x ).其图象如图实线表示．所以值域为⎣⎡⎦⎤－1，22，故选C. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．cos π3tan 5π4＋34tan 2⎝⎛⎭⎫－π6＋sin 11π6＋cos 27π6＋sin 7π2＝________.[答案] －1[解析] 原式＝cos π3－tan ⎝⎛⎭⎫π＋π4＋34tan 2π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2π－π6＋cos 2⎝⎛⎭⎫π＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫3π＋π2 ＝cos π3－tan π4＋34tan 2π6－sin π6＋cos 2π6－sin π2＝12－1＋34×13－12＋34－1＝－1. 14．函数y ＝cos x 的单调递减区间是________． [答案] ⎣⎡2k π，2k π＋π2(k ∈Z )[解析] 由cos x ≥0得，－π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴函数的定义域为[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )，要求y ＝cos x 的单调递减区间，即求y ＝cos x 在定义域范围内的单调递减区间．故所求函数的单调递减区间为[2k π，2k π＋π2](k ∈Z )．15．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的图象的一部分，则函数的解析式为________．[答案] y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋3[解析] |A |＝5－12＝2，T ＝4⎝⎛⎭⎫π8＋π8＝π，B ＝3， ∴ω＝2，而2⎝⎛⎭⎫－π8＋φ＝0， ∴φ＝π4，∴A ＝－2，∴y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋3.16．若函数y ＝f (x )同时具有性质： ①是周期函数且最小正周期为π； ②在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上是增函数；③对任意x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＋x .则函数y ＝f (x )的解析式可以是________．(只需写出满足条件的函数y ＝f (x )的一个解析式即可)[答案] f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6[解析] 由①知ω＝2.由③知x ＝π3为对称轴，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6(答案不惟一)．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋β，3sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝ －2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋β，且0<α<π，0<β<π，求α，β的值． [解析] cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2cos⎝⎛⎭⎫3π2＋β，即 sin α＝2sin β.①3sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋β，即 3cos α＝2cos β.②式①2＋②2得2＝sin 2α＋3cos 2α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝12.所以cos α＝±22.又因为α∈(0，π)， 所以α＝π4或α＝3π4.当α＝π4cos α＝22，cos β＝32cos α＝32.又β∈(0，π)，所以β＝π6当α＝3π4时，cos α＝－22，cos β＝32cos α＝－32. 又β∈(0，π)，所以β＝5π6.综上所述，α＝π4，β＝π6或α＝3π4，β＝5π6.18．(本小题满分12分)若集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪sin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪cos θ≤12，0≤θ≤π，求M ∩N .[解析] 解法一：可根据正弦函数图象和余弦函数图象，作出集合N 和集合M ，然后求M ∩N .首先作出正弦函数与余弦函数的图象以及直线y ＝12.如图．结合图象得集合M 、N 分别为M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π6θ≤5π6，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤π. 得M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤56π.解法二：如图所示，由单位圆中的三角函数线知M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ π6θ≤5π6，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤π.由此可得M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤5π6. 19．(本小题满分12分)图为函数y 1＝A sin(ωx ＋φ)的一段图象，已知A >0，ω>0，φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.(1)写出函数y 1的解析式；(2)若函数y 2与y 1的图象关于直线x ＝2对称，求函数y 2的解析式．[解析] (1)由图知A ＝2，T ＝8，ω＝2πT ＝π4.当x ＝7时，有0＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4·7＋φ，∴φ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪θ＝k π－7π4，k ∈Z. 又∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以φ＝π4.∴y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4； (2)设y 2图象上任一点P (x ，y )，点P 关于直线x ＝2的对称点为Q (x 0，y 0)， 即Q (4－x ，y )在y 1图象上， 有y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π4(4－x )＋π4，即y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π＋π4－π4x ，即y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4，∴y 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4.20．(本小题满分12分)说明y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象是由y ＝sin x 的图象怎样变换而来的．21．(本小题满分12分)某港口水的深度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据：经长期观察，y＝f(t)的曲线可以近似地看成函数y＝A sinωt ＋b的图象.(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时被认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，问：它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?[解析](1)由已知数据，易知y＝f(t)的周期T＝12.由已知，振幅A＝3，b＝10，所以y＝3sin πt6＋10；(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5(米)，∴3sin π6＋10≥11.5，即sinπt6≥12. 解得2k π＋π6≤πt 6≤2k π＋56π(k ∈Z )，∴12k ＋1≤t ≤12k ＋5(k ∈Z )， 在同一天内，取k ＝0或1， 所以1≤t ≤5或13≤t ≤17.故该船可在当日凌晨1时进港，下午17时离港，它在港内至多停留16小时． 22．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝23sin(3ωx ＋π3)，其中ω>0.(1)若f (x ＋θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ的值； (2)若f (x )在(0，π3]上是增函数，求ω的最大值．[解析] (1)由函数解析式f (x )＝23sin(3ωx ＋π3)，ω>0整理可得f (x ＋θ)＝23sin[3ω(x ＋θ)＋π3]＝23sin(3ωx ＋3ωθ＋π3)，由f (x ＋θ)的周期为2π，根据周期公式2π＝2π3ω，且ω>0，得ω＝13，∴f (x ＋θ)＝23sin(x ＋θ＋π3)， ∵f (x ＋θ)为偶函数，定义域x ∈R 关于原点对称， 令g (x )＝f (x ＋θ)＝23sin(x ＋θ＋π3)，∴g (－x )＝g (x )，23sin(x ＋θ＋π3)＝23sin(－x ＋θ＋π3)，∴x ＋θ＋π3π－(－x ＋θ＋π3)＋2k π，k ∈Z ，∴θ＝k π＋π6k ∈Z .∴ω＝13，θ＝k π＋π6，k ∈Z .(2)∵ω>0，∴2k π－π2≤3ωx ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴2k π3ω－15π18ω≤x ≤π18ω＋2k π3ω，k ∈Z ，若f (x )在(0，π3]上是增函数，∴(0，π3]为函数f (x )的增区间的子区间，∴π18ω≥π3，∴ω≤16，∴ωmax ＝16.。
高一数学(必修4)综合试卷(1)
高一数学(必修4)综合试卷(1)一、选择题：（5′×10）1.sin2400的值是 [ ] A.-21 B.21 C.23 D.-23 2.已知=(– 2,4),=(1,2), 则·等于 [ ] A.0 B.10 C.6 D.-10 3.已知=(4, – 2),=(4,2)，则21AB 等于 [ ] A.(0,2) B.(0,-2) C.(4,0) D.(0,4)4.cos150·cos1050– cos750·sin1050的值是 [ ]A.0B.-21C.21D.±21 5.设点P(2,3)分21P P 所成的比为21，点P 1坐标为(1,2),则点P 2的坐标是 [ ] A.(2,3) B.(3,4) C.(4,5) D.(5,6)6.函数f(x)=sin2x ·cos2x 是 [ ] A.周期为π的偶函; B.周期为π的奇函数; C.周期为2π的偶函数; D.周期为2π的奇函数. 7.若=(1,2),=(–3,2),且(k +)∥(–3),则实数k 的值是 [ ] A.-31 B.19 C.911D.-2 8.函数f(x)=3cosx – sinx(0≤x ≤6π)的值域是 [ ] A.[-3,1] B.[1,3] C.[-3,2] D.[1,2]9.如图, △ABC 中,AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线， 它们交于点G ，则下列各等式中不正确的是 [ ]A.32=；B.21=；C.FG CG 2-= ；D.213231=+BC . 10.对于函数f(x)=sin(2x+6π),下列命题: ①函数图象关于直线x=-12π对称;②函数图象关于点(125π,0)对称;③函数图象可看作是把y=sin2x 的图象向左平移个6π单位而得到;④函数图象可看作是把y=sin(x+6π)的图象上所有点的横坐标变为原来的21倍(纵坐标不变)而得到;其中正确的命题的个数是 [ ]GD FECB AA.0B.1C.2D.3 二、填空题：（4′×6） 11. 若cos2α =53, 则sin 4α – cos 4α = . 12.已知向量=（x+3，x 2– 3x – 4）与相等，若A(1,2),B(3,2),则x= ; 13.已知tan(α+β)=52,tan(β–4π)=41,则tan(α+4π)= ; 14.设i , j 是平面直角坐标系内x 轴，y 轴正方向上的两个单位向量，且→--AB = 4i + 2j ,→--AC= 3i + 4 j . 则△ABC 的形状是__________________。
高一数学(人教B版)必修4：第1章综合素质检测
阶段性测试题二(第一章综合素质检测)本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．tan600°的值是( ) A ．－33B.33C ．－ 3 D. 3 [答案] D[解析] tan600°＝tan(360°＋180°＋60°) ＝tan60°＝ 3.2．角α满足条件sin αcos α>0，sin α＋cos α<0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 [答案] C[解析] ∵sin αcos α>0，∴α为第一或第三象限角， 又∵sin α＋cos α<0，∴α为第三象限角．3．在区间[－π，π]上既是增函数，又是奇函数的是( ) A ．y ＝sin2(π－x ) B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋x 4 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x2D ．y ＝cos 3π＋x2[答案] D[解析] y ＝cos 3π＋x 2＝sin x2在区间[－π，π]上是增函数，又是奇函数．4．已知sin x －cos x ＝15(0≤x <π)，则tan x 等于( )A ．－34B ．－43C.34D.43 [答案] D[解析] ∵sin x －cos x ＝15，∴1－2sin x cos x ＝125，∴2sin x cos x ＝2425>0，∵0≤x <π，∴x 是第一象限角．(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ＝4925，∴sin x ＋cos x ＝75.由⎩⎨⎧sin x －cos x ＝15sin x ＋cos x ＝75，得⎩⎨⎧sin x ＝45cos x ＝35.∴tan x ＝43.5．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( ) A.⎝⎛－π4，π4 B.⎝⎛π4，3π4 C.⎝⎛π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π [答案] C[解析] 作出函数y ＝|sin x |的图象．由图象可知，选C.6．如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0<θ<π)的最小正周期为T ，且当x ＝2时取得最大值，那么( )A ．T ＝2，θ＝π2B ．T ＝1，θ＝πC ．T ＝2，θ＝πD ．T ＝1，θ＝π2[答案] A[解析] T ＝2πω＝2ππ＝2，又x ＝2时，f (x )取最大值，∴2π＋θ＝π22k π，k ∈Z ，∴θ＝2k π－3π2，k ∈Z .令k ＝1，得θ＝π2，故选A.7．已知α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 [答案] D[解析] ∵⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，∴α2是第三或第四象限角，又α是第三象限角，由等分象限法(如右图)可知，α2D.8．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫32＋π4的图象相邻的两个零点之间的距离是( ) A.π3 B.2π3 C.4π3D ．2π [答案] B[解析] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋π4的图象相邻的两个零点之间的距离为半个周期，又T ＝2π32＝4π3，∴T 2＝2π3. 9．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π3的一个对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎫π6，0B.⎝⎛⎭⎫π3，0C.⎝⎛⎭⎫5π18，0D.⎝⎛⎭⎫π2，0 [答案] C[解析] y ＝cos ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫3x －π3，令3x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π3＋5π18(k ∈Z )．当k ＝0时，x ＝5π18，故选C.10．(2009·浙江)已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能．．．是( )[答案] D[解析] 图A 中函数的最小值小于2，故0<a <1，而周期大于2π，故A 中图象可以是函数f (x )的图象；图B 中，函数的最大值大于2，故a 应大于1，其周期小于2π，故B 中图象可以是函数f (x )的图象；当a ＝0时，f (x )＝1，此时对应C 中图象；对于D 中，最大值大于2，其周期应小于2π，而图象中的周期大于2π，故D 中图象不可能为函数f (x )的图象．11．若|x |≤π4，那么函数y ＝cos 2x ＋sin x 的最小值是( )A.2－12 B.1－22C ．－2＋12D ．－1[答案] B[解析] y ＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋54，∵|x |≤π4，∴－π4≤x ≤π4，∴－22≤sin x ≤22， ∴当sin x ＝－22时，y 取最小值1－22. 12．关于x 的方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2m 在[0，π]内有相异两实根，则实数m 的取值范围为( )A.⎣⎡－12，12 B.⎣⎡⎦⎤12，22 C.⎣⎡⎦⎤－22，22D.⎣⎡⎦⎤－12，24[答案] B[解析] 验证：当m ＝0时，方程化为2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝0，∵x ∈[0，π]， ∴只有当x ＝3π4时，方程成立， ∴m ≠0，故应选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知sin α、cos α是方程2x 2－x －m ＝0的两根，则m ＝________. [答案] 34[解析] 由题意，得⎩⎨⎧sin α＋cos α＝12sin αcos α＝－m2，解得m ＝34，又m ＝342x 2－x －m ＝0有两根．14．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象，需将函数y ＝sin x2的图象至少向左平移________个单位．[答案]2π3[解析] 将函数y ＝sin x 2的图象向左平移2π3得到y ＝sin 12⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＝sin⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象．15．已知函数f (x )＝a sin2x ＋cos2x (a ∈R )的图象的一条对称轴方程为x ＝π12，则a 的值为________．[答案]33[解析] 由题意，得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π6，即a sin0＋cos0＝a sin π3＋cos π3，∴32a ＝12，∴a ＝33. 16．有一种波，其波形为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2的图象，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是________．[答案] 5[解析] ∵54T ≤t ，∴54×2ππ2≤t ，∴t ≥5.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知角α的终边上的一点的坐标是P (－3，y )，且sin α＝24y ，求sin α和tan α.[解析] 当y ＝0时，角α的终边在x 轴的负半轴上，sin α＝0，tan α＝0； 当y ≠0时，r ＝3＋y 2，sin α＝24y ， ∴3＋y 2＝22， 因此y ＝±5， 当y ＝5时，sin α＝104，tan α＝－153； 当y ＝－5时，sin α＝－104，tan α＝153. 18．(本小题满分12分) 求函数f (x )＝sin x ＋lg(25－x 2)cos x的定义域．[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0cos x >025－x 2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤(2k ＋1)π，k ∈Z－π2＋2k π<x <π2＋2k π，k ∈Z－5<x <5，即－5<x <－3π2或0<x <π2 ∴函数f (x )＝sin x ＋lg(25－x 2)cos x的定义域为⎝⎛⎭⎫－5，－3π2∪⎝⎛⎭⎫0，π219．(本小题满分12分)由函数y ＝2sin3x ⎝⎛⎭⎫π6x ≤5π6与函数y ＝2(x ∈R )的图象围成一个封闭图形，求这个封闭图形的面积．[解析] 如图所示，根据对称性，所围成封闭图形的面积等价于一个矩形面积(S 3＝S 1＋S 2)．∴封闭图形的面积 S ＝⎝⎛5π6－π6×2＝4π320．(本小题满分12分)已知sin x ＋sin y ＝13，求t ＝sin y －cos 2x 的最值．[解析] 由sin x ＋sin y ＝13sin y ＝13－sin x .∵－1≤sin y ≤1，∴－1≤13－sin x ≤1，∵－1≤sin x ≤1，∴－23≤sin x ≤1.t ＝sin y －cos 2x ＝13－sin x －1＋sin 2x＝sin 2x －sin x －23＝⎝⎛⎭⎫sin x －122－1112. 又－23≤sin x ≤1，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－1112，49， 即t max ＝49，t min ＝－111221．(本小题满分12分)如图所示，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|≤π2)的图象上相邻的最高点与最低点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫5π12，3和⎝⎛⎭⎫11π12，－3，求该函数的解析式．[解析] 由题意知A ＝3，设最小正周期为T ， 则T 2＝11π12－5π12＝π2， ∴T ＝π，又T ＝2πω，∴ω＝2.∴函数解析式为y ＝3sin(2x ＋φ)． ∵点⎝⎛⎭⎫5π12，3在图象上， ∴3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ，∴sin⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝1. ∴5π6＋φ＝2k π＋π2，∴φ＝2k π－π3，k ∈Z . ∵|φ|≤π2，∴φ＝－π3.∴函数的解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.22．(本小题满分14分)已知某海滨浴场的海浪高达y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )．下表是某日各时的浪高数据.(1)根据以上数据，求出函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8 00至晚上20 00之间，有多长时间可供冲浪者进行运动？[解析] (1)由表中数据，知周期T ＝12， ∵ω＝2πT ＝2π12＝π6. 由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5. 由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0. ∴A ＝0.5，b ＝1，∴振幅为12，∴y ＝12cos π6t ＋1.(2)由题意知，当y >1时才可对冲浪者开放．∴12cos π6t ＋1>1，∴cos π6t >0. ∴2k π－π2<π6<2k π＋π2，即12k －3<t <12k ＋3.∵0≤t ≤24，故可令k 分别为0、1、2，得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24.∴在规定时间上午8 00至晚上20 00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9 00至下午15 00.。
高一数学必修4综合能力测试
本册综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．若α＝－3，则α是第( )象限角．( ) A ．一 B ．二 C ．三 D ．四[答案] C[解析] ∵－π<－3<－π2，∴－3为第三象限角．2．已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为( )A ．4 cm 2B ．6 cm 2C ．8 cm 2D ．16 cm 2[答案] A[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2r ＋l ＝8，l ＝2r.解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝4.所以S ＝12lr ＝4(cm 2)．3．有三个命题：①向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③单位向量都相等，其中真命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[答案] A4．已知sin θ<0，tan θ>0，则1－sin 2θ化简的结果为( ) A ．cos θ B ．－cos θ C ．±cos θ D ．以上都不对[答案] B[解析] ∵sin θ<0，tan θ>0，故θ为第三象限角，∴cos θ<0. ∴1－sin 2θ＝cos 2θ＝|cos θ|＝－cos θ. 5．tan(－1560°)的值为( ) A ．－ 3 B ．－33C.33D. 3 [答案] D[解析] tan(－1560°)＝－tan1560°＝－tan(4×360°＋120°)＝－tan120°＝－tan(180°－60°)＝tan60°＝ 3.6．已知α是锐角，a ＝(34，sin α)，b ＝(cos α，13)，且a ∥b ，则α为( )A ．15°B ．45°C ．75°D ．15°或75°[答案] D[解析] ∵a ∥b ，∴sin α·cos α＝34×13，即sin2α＝12又∵α为锐角，∴0°<2α<180°. ∴2α＝30°或2α＝150° 即α＝15°或α＝75°.7．已知sin α>sin β，那么下列命题中成立的是( ) A ．若α，β是第一象限角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限角，则tan α>tan β C ．若α，β是第三象限角，则cos α>cos β D ．若α，β是第四象限角，则tan α>tan β [答案] D[解析] 可以结合单位圆进行判断． 8．函数y ＝sin x (π6≤x ≤2π3)的值域是( )A ．[－1,1]B ．[121]C ．[12，32]D ．[32，1][答案] B[解析] 可以借助单位圆或函数的图象求解．9．要得到函数y ＝3sin(2x ＋π4)的图象，只需将函数y ＝3sin2x 的图象( )A ．向左平移π4个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π8个单位D ．向右平移π8个单位[答案] C10．已知a ＝(1，－1)，b ＝(x ＋1，x )，且a 与b 的夹角为45°，则x 的值为( )A ．0B ．－1C ．0或－1D ．－1或1[答案] C[解析] 由夹角公式：cos45°＝x ＋1－x2·(x ＋1)2＋x 2＝22，即x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1.11．(2012·全国高考江西卷)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan2α＝( )A ．－34B.34 C ．－43D.43[答案] B[解析] 主要考查三角函数的运算，分子分母同时除以cos α可得tan α＝－3，带入所求式可得结果．12．设a ＝sin17°cos45°＋cos17°sin45°，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则有( )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c[答案] A[解析] a ＝sin62°，b ＝cos26°＝sin64°，c ＝32＝sin60°，∴b >a >c . 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若tan α＝3，则sin αcos α的值等于________．[答案] 310[解析] sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝31＋9＝310. 14．已知：|a |＝2，|b |＝2，a 与b 的夹角为π4，要λb －a 与a 垂直，则λ为________．[答案] 2[解析] 由题意a ·(λb －a )＝0，即λa ·b －|a |2＝0，∴λ·2×2×22－4＝0，即λ＝2.15．函数y ＝sin(π3－2x )＋sin2x 的最小正周期是________．[答案] π[解析] y ＝sin π3cos2x －cos π3sin2x ＋sin2x ＝32cos2x ＋12sin2x ＝cos(2x －π6)，故T ＝2π2＝π.16．已知三个向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A 、B 、C 三点共线，则k ＝________.[答案] －2或11[解析] 由A 、B 、C 三点共线，可得AB →＝λBC →，即(4－k ，－7)＝λ(6，k －5)，于是有方程组⎩⎪⎨⎪⎧k ＋6λ＝4，kλ－5λ＝－7，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2λ＝1，或⎩⎨⎧k ＝11λ＝－76.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)已知tan α＝12，求1＋2sin (π－α)cos (－2π－α)sin 2(α)－sin 2(5π2－α)的值．[解析] 原式＝1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2(sin α－cos α)(sin α＋cos α)＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1 又∵tan α＝12，∴原式＝12＋112－1＝－3.18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π6，π2]上的最大值和最小值．[解析] (1)f (x )＝2sin(π－x )cos x ＝2sin x cos x ＝sin2x ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由－π6≤x ≤π2，知－π3≤2x ≤π∴－32≤sin2x ≤1∴f (x )在区间[－π6，π2]上的最大值为1，最小值为－32.19．(本题满分12分)已知向量a ＝3e 1－2e 2，b ＝4e 1＋e 2，其中e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，求：(1)a ·b ；|a ＋b |；(2)a 与b 的夹角的余弦值．[解析] (1)a ＝3(1,0)－2(0,1)＝(3，－2)， b ＝4(1,0)＋(0,1)＝(4,1)， a ·b ＝3×4＋(－2)×1＝10.∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋20＋|b |2 ＝13＋20＋17＝50， ∴|a ＋b |＝5 2.(2)cos<a ，b >＝a ·b |a ||b |＝1013·17＝10221221.20．(本题满分12分)(2011～2012浙江调研)设向量α＝(3sin 2x ，sin x ＋cos x )，β＝(1，sin x －cos x )，其中x ∈R ，函数f (x )＝α·β.(1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (θ)＝3，其中0<θ<π2cos(θ＋π6)的值．[解析] (1)由题意得f (x )＝3sin2x ＋(sin x ＋cos x )·(sin x －cos x )＝3sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π6)，故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(5分)(2)由(1)知，f (θ)＝2sin(2θ－π6)，若f (θ)＝3，则sin(2θ－π6)＝32.又因为0<θ<π2，所以－π6<2θ－π6<5π6，则2θ－π6＝π3或2θ－π6＝2π3，故θ＝π4或θ＝5π12.(9分)当θ＝π4时，cos(θ＋π6)＝cos(π4＋π6)＝cos π4cos π6－sin π4sin π6＝6－24.(12分)当θ＝5π12时，cos(θ＋π6)＝cos(5π12＋π6)＝cos(π－5π12)＝－cos 5π12＝－cos(π4＋π6)＝－6－24.(15分)21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<π2)的最大值为22，最小值为－2，周期为π，且图象过(0，－24)． (1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间．[解析] (1)∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的最大值为22，最小值为－2.∴A ＝322，B ＝22.又∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的周期为π， ∴φ＝2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝322sin(2x ＋φ)＋22又∵函数f (x )过(0，－24)，∴－24＝322sin φ＋22，即sin φ＝－12.又∵|φ|<π2，∴φ＝－π6，∴f (x )＝322sin(2x －π6)＋22.(2)令t ＝2x －π6，则y ＝322sin t ＋22，其增区间为：[2k π－π2，2k π＋π2]，k ∈Z .即2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z .解得k π－π6≤x ≤k π＋π3.(k ∈Z )所以f (x )的单调递增区间为[k π－π6，k π＋π3]，k ∈Z .22．(本题满分12分)(2012·全国高考山东卷)已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos2x )(A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)将函数y ＝f (x )的图象像左平移π12个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域。
(word完整版)高一数学必修四综合试题及详细答案
1．下列命题中正确的是（ ）A ．第一象限角必是锐角B ．终边相同的角相等C ．相等的角终边必相同D ．不相等的角其终边必不相同2．已知角α的终边过点()m m P 34，-，()0≠m ，则ααcos sin 2+的值是 （ ）A ．1或－1B ．52或52-C ．1或52- D ．－1或523．下列命题正确的是（ ）A ．若→a ·→b =→a ·→c ，则→b =→cB ．若|||b -=+，则→a ·→b =0C ．若→a //→b ，→b //→c ，则→a //→c D ．若→a 与→b 是单位向量，则→a ·→b =14．计算下列几个式子，①οοοο35tan 25tan 335tan 25tan ++,②2(sin35︒cos25︒+sin55︒cos65︒), ③οο15tan 115tan 1-+ , ④ 6tan16tan2ππ-，结果为3的是（ ）A ．①②B ．③C ．①②③D ．②③④5．函数y ＝cos(4π－2x )的单调递增区间是 （ ） A ．[k π＋8π，k π＋85π] B ．[k π－83π，k π＋8π]C ．[2k π＋8π，2k π＋85π]D ．[2k π－83π，2k π＋8π]（以上k ∈Z ）6．△ABC 中三个内角为A 、B 、C ，若关于x 的方程22cos cos cos 02Cx x A B --=有一根为1，则△ABC 一定是 （ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形 7．将函数)32sin()(π-=x x f 的图像左移3π，再将图像上各点横坐标压缩到原来的21，则所得到的图象的解析式为（ ）A ．x y sin =B ．)34sin(π+=x yC ．)324sin(π-=x y D ．)3sin(π+=x y8. 化简10sin 1++10sin 1-，得到（ ） A ．－2sin5 B ．－2cos5 C ．2sin5 D ．2cos59．函数f(x)=sin2x·cos2x 是（ ）A ．周期为π的偶函数B ．周期为π的奇函数C ．周期为2π的偶函数 D ．周期为2π的奇函数. 10．若|2|= ，2||= 且（b a -）⊥a ，则a 与b 的夹角是（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．π125 11．正方形ABCD 的边长为1，记→-AB ＝→a ，→-BC ＝→b ，→-AC ＝→c ，则下列结论错误．．的是（ ）A ．(→a －→b )·→c ＝0B ．(→a ＋→b －→c )·→a ＝0C ．(|→a －→c | －|→b |)→a ＝→D ．|→a ＋→b ＋→c |＝213．已知曲线y =Asin(ωx ＋ϕ)＋k （A>0,ω>0,|ϕ|<π）在同一周期内的最高点的坐标为(8π, 4)，最低点的坐标为(85π, －2)，此曲线的函数表达式是 ．14．设sin α－sin β=31，cos α+cos β=21, 则cos(α+β)= ．15．已知向量OP X OB OA OP 是直线设),1,5(),7,1(),1,2(===上的一点（O 为坐标原点），那么⋅的最小值是___________．16．关于下列命题：①函数x y tan =在第一象限是增函数；②函数)4(2cos x y -=π是偶函数； ③函数)32sin(4π-=x y 的一个对称中心是（6π，0）；④函数)4sin(π+=x y 在闭区间]2,2[ππ-上是增函数; 写出所有正确的命题的题号： 。
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高一数学(必修4)综合试卷(1)
一、选择题：
1.sin2400的值是 [ ]
A.-21
B.21
C.23
D.-2
3 2.已知=(– 2,4),=(1,2), 则·等于 [ ]
A.0
B.10
C.6
D.-10
3.已知=(4, – 2),=(4,2)，则21AB 等于 [ ] A.(0,2) B.(0,-2) C.(4,0) D.(0,4)
4.cos150·cos1050– cos750·sin1050的值是 [ ]
A.0
B.-
21 C.21 D.±2
1 5.设P(2,3)，P 1(1,2),且2121PP P P =则点P 2的坐标是 [ ] A.(2,3) B.(3,4) C.(4,5) D.(5,6)
6.函数f(x)=sin2x ·cos2x 是 [ ]
A.周期为π的偶函;
B.周期为π的奇函数;
C.周期为2π的偶函数;
D.周期为2
π的奇函数. 7.若=(1,2),=(–3,2),且(k +)∥(–3),则实数k 的值是 [ ]
A.-31
B.19
C.911
D.-2 8.函数f(x)=3cosx – sinx(0≤x ≤6
π)的值域是 [ ] A.[-3,1] B.[1,3] C.[-3,2] D.[1,2] 9.如图, △ABC 中,AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，
它们交于点G ，则下列各等式中不正确的是 [ ]
A.32=；
B.21=；
C.FG CG 2-= ；
D.2
13231=+BC . 10.对于函数f(x)=sin(2x+
6
π),下列命题: ①函数图象关于直线x=-12π对称;②函数图象关于点(12
5π,0)对称; ③函数图象可看作是把y=sin2x 的图象向左平移个6
π单位而得到; ④函数图象可看作是把y=sin(x+6π)的图象上所有点的横坐标变为原来的21倍 (纵坐标不变)而得到;其中正确的命题的个数是 [ ] G D F E C B A
A.0
B.1
C.2
D.3
二、填空题：
11. 若cos2α = 5
3, 则sin 4α – cos 4α = . 12.已知向量=（x+3，x 2– 3x – 4）与相等，若A(1,2),B(3,2),则x= ;
13.已知tan(α+β)=52,tan(β–4π)=41,则tan(α+4
π)= ; 14.设i , j 是平面直角坐标系内x 轴，y 轴正方向上的两个单位向量，且→--AB = 4i + 2j ,→
--AC
= 3i + 4 j . 则△ABC 的形状是__________________。
.
15.在△ABC 中，∠A=300,AB=3,BC=1,则AC= ；
16.下列四个命题：①若λa =λb （λ为实数），则a =b ；②若a =b ，则a ·c =b ·c ； ③若a ·c =b ·c ,则a =b ;④若(b ·c )·a =(d ·e )·a (a ≠0),则b ·c =d ·e 其中正确命题的序号是 .
三、解答题：
17.如图，、不共线，=t （t ∈R ），
用、表示.
18. 求证：tan(α+
4π)-tan(α-4π)=α
2cos 2
19. 设=(3,-4),=(2,x),=(2,y), 若∥且⊥,求与的夹角.
O
20. 已知α为第二象限角，化简)23(sin 1)23sin()
cos()5sin(212αππαπααπ+-----+.
21.甲船自某港出发时，乙船也正从相距该港7海里的海面上驶向该港.如图两船
的航线成600角，甲、乙两船的速度之比为2∶1，求两船最靠近时，相距该港各为多远.
22.已知函数y=4cos 2x+43sinxcosx-2,x ∈R.
①求函数的最大值及其相对应的x 值；②写出函数的单调增区间；
③此函数的图象是否可以由函数y=sin2x, x ∈R 的图象按向量=(h,k)(h,k 为常数)平移得到？若能，求出这样的向量a ；若不能，请说明理由.
港口。