(数学)热点06+数列-2018年高考数学三轮讲练测核心热点总动员(江苏版)+Word版含解析

热点六 数列【名师精讲指南篇】【高考真题再现】例1．数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为例2．已知{n a }是等差数列，n S 是其前n 项和.若2123a a +=-，5S =10，则9a 的值是 ▲ .【解析】由510S =得32a =，因此2922(2)33,23620.d d d a -+-=-⇒==+⨯=故 【考点】等差数列的性质【名师点睛】本题考查等差数列的基本量，对于特殊数列，一般采取待定系数法，即列出关于首项及公差（比）的两个独立条件即可.为使问题易于解决，往往要利用等差数列相关性质，如*1()(),(1,,,)22n m t n n a a n a a S m t n m n t ++==+=+∈N 及().n m a a n m d =+-等 例3．等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a = ▲ ．【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=． 【考点】等比数列的前n 项和公式、通项公式【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法． 【热点深度剖析】1. 数列在15-17年以填空题、解答题的形式进行考查，题目多为中高档题，涉及到函数与方程思想、分类讨论思想，着重考查学生分析探究及逻辑推理能力.数列常与其它章节知识（如不等式、函数）结合考查，也可单独设置题目.2. 对于数列的复习，一要明确等差数列与等比数列的基本性质及其求和公式，二要注意分类讨论思想、函数与方程思想的运用，数列属于重点考察知识，考查的难度较大，复习时应以难度中等或中等偏上题为主，加强对数列与其它章节知识（如不等式、函数）相结合题目的训练. 3. 预计18年考查等差、等比数列通项及前n 项和及等差、等比数列的性质. 【最新考纲解读】【重点知识整合】一、n a 与n S 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥．二、（１）定义：从第2项起每一项与它前一项的差（比）等于同一常数的数列叫等差（比）数列． （２）递推公式：110n n n n a a d a a q q n *++-==≠∈N ，·，，． （３）通项公式：111(1)n n n a a n d a a q n -*=+-=∈N ，，．（４）等差数列性质①单调性：0d ≥时为递增数列，0d ≤时为递减数列，0d =时为常数列． ②若m n p q +=+，则()m n p q a a a a m n p q *+=+∈N ，，，．特别地，当2m n p +=时，有2m n p a a a +=③()()n m a a n m d m n *-=-∈N ，． ④232k k k k k S S S S S --，，，…成等差数列．等比数列性质①单调性：当1001a q <⎧⎨<<⎩，或101a q >⎧⎨>⎩时，为递增数列；当101a q <⎧⎨>⎩，，，或1001a q >⎧⎨<<⎩时为递减数列；当0q <时为摆动数列；当1q =时为常数列．②若m n p q +=+，则()m n p q a a a a m n p q *=∈N ··，，，特别地若2m n p +=则2m n p a a a =·③(0)n m nma q m n q a -*=∈≠N ，，．④232k k k k k S S S S S --，，，…，当1q ≠-时为等比数列；当1q =-时，若k 为偶数，不是等比数列．若k 为奇数是公比为1-的等比数列． 【应试技巧点拨】一、数列通项公式的求解常用方法：1、定义法，直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．2、公式法， 若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n n n 求解。

3、由递推式求数列通项法，对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。

4、待定系数法（构造法），求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。

通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。

二、数列求和的基本方法：1.基本公式法：()1等差数列求和公式：()()11122n n n a a n n S na d +-==+ ()2等比数列求和公式：()111,11,111n n nna q S a q a a q q q q =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩()30122nn n n n n C C C C ++++=.2.错位相消法：一般适应于数列{}n n a b 的前n 向求和，其中{}n a 成等差数列，{}n b 成等比数列。

3.分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和。

4.拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有：()1若{}n a 是公差为d 的等差数列，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭； ()2()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；()31k=；()411m m m n n n C C C -+=-；()5()!1!!n n n n ⋅=+-.5.倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的。

【考场经验分享】1.目标要求：数列是高中代数的重要内容之一，由于它既具有函数特征，又能构成独特的递推关系，使得它既与中学数学其他部分知识如：函数、方程、不等式、解析几何、二项式定理等有较紧密的联系，又有自己鲜明的特征，因此它是历年高考考查的重点、热点和难点，在高考中占有极其重要的地位.试题往往综合性强、难度大，承载着考查学生数学思维能力和分析、建模、解决问题的能力以及函数与方程的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想.2.注意问题：(1) 利用a n 与S n 的关系，不要忘记验证a 1 能否与n ≥2时a n 的式子统一; (2) 运用等比数列求和公式时，需对q =1和q ≠1进行讨论.3.经验分享：用函数的观点处理数列问题，数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明以及以函数为背景进行数列的构造命题，体现了在知识的交汇点上命题的特点，一直是高考命题者的首选。

【名题精选练兵篇】 1．已知等差数列满足，，则的值为____．点睛：本题考查等差数列的性质。

当时，。

本题中利用等差数列的性质，得到，，在利用，求得。

2．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =， 8646a a a =+，则3a 的值为_________.【解析】由8646a a a =+得4223263,q q q q a a q =+∴===3．设数列{}n a 为等差数列， n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知3159,225,n S S B ==为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则n B =__________．4．数列{}n a 为等比数列， 11a =且1351,4,7a a a +++成等差数列，则公差d =__________．【解析】1351,4,7a a a +++成等差数列，所以()()()3152417a a a +=++设等比数列{a n }的公比为q ，则()24221111124171413a q a a q q d a q a +=+++∴=∴=+--=5．设数列{}n a 的首项11a =，且满足212121n n a a +-=+与2211n n a a -=+，则数列{}n a 的前20项和为__________．点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项． 6．等比数列{}n a 中， 1473692,18a a a a a a ++=++=，则{}n a 的前9项和9S =__________．点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.7．设数列{}n a 满足2410a a +=，点(),n n P n a 对任意的n N +∈，都有向量()11,2n n P P +=，则数列{}n a的前n 项和n S =__________．【解析】根据题意得： ()()111,1,2n n n n P P a a ++=-=，故12n n a a +-=，则数列{}n a 是等差数列，公差为2d =，因为2410a a +=，故35a =，所以11a =.则()211+2n n n S na d n -==.8．已知数列{}n α满足221221,2,1cos sin ,22n nn n a a a a ππ+⎛⎫===++ ⎪⎝⎭则该数列的前21项的和为__________．所以()()()()210211352124620S 12311222a a a a a a a a =+++++++=++++++++()10112212111611222112221-⨯=+=⨯+-=-.9．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-，则1210181818=a a a -+-+-_______.【解析】因为21n n S a =-，故当1n =时， 1111211a S a a ==-⇒=,1121{21n n n n S a S a --=-=-两式相减得1122n n n n n a S S a a --=-=-,即12n n a a -=，故等比数列的公比为12nn a q a -==,所以12n n a -=；由12186n n a n -=≥⇒≥,()()()()12101561018181818181818a a a a a a a ∴-+-++-=-+-+-+-()()()()5690141256710518518222222961a a a a a a =⨯-++++++-⨯=++-++=点睛：本题考查了数列通项的求法和数列求和，（1）中是由n n S a 和的关系求通项，要注意分1n =和2n ≥两种情况讨论，并且最后结果要看两种情况最后能否合并，根据情况写出正确的通项公式的表达形式;(2)的求和，，由12186n n a n -=≥⇒≥所以从第6项开始各项为正，前五项为负，分组求和即可.10．已知各项都为整数的数列{}n a 中， 12a =，且对任意的*N n ∈，满足1122n n n a a +-<+， 2n n a a +-321n >⨯-，则2017a =__________．11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1378S =， 71210a a +=，则17a =_______； 【解析】因为{}n a 为等差数列,所以()11313713=13782a a S a +== ,所以76a = ,所以21212a a += ,又71210a a += , 217712a a a a +=+ ,所以172a = .12．设等比数列{a n }中，S n 是前n 项和，若36270a a -=，则＝__________. 【解析】由等比数列的通项公式及题设可得363273a q q a ==⇒=，又求数列的公差。