第3讲 和差倍半角公式

(1 + sinθ + cosθ )(sin − cos ) 2 2 ( 3π < θ < 2π ) 化简： 例1.化简： 化简 2 2 + 2 cosθ
变式练习：1.已知 已知tanα/2=2，则tanα=_____， 变式练习： 已知 ， ， tan(α+π/4)=______ 2.求值：（1+tan10)(1+tan20) …（1+tan440)(1+tan450) 求值： 求值 （ 3.求值：tan200+tan400+ 求值： 求值
1+ cosx - sinx 1− cosx - sinx 4. 已知 ( x) = + ， x f 并且 ≠ 2kπ 1- sinx −cosx 1- sinx + cosx π x + ， ∈Z； 化简 ( x)； 是否存在 ， k f x 使得 tan ⋅ f ( x) ① ② 2 2 2 x 1+ tan 2 相等 若存在，求x的值；若不存在，请说明 相等?若存在 若存在， 的值； 的值 若不存在， 与 sinx 理由. 理由
第3讲 和、差、倍、半角公式
回顾感知领悟 1. 公式回顾： 公式回顾：
Cα −β ⇒ Cα + β
推导过程你 熟悉吗？ 熟悉吗？
⇓ ⇒ tan(α + β ) Sα + β
Sα－β － tan(α-β)
二倍角 公式
2. 公式的变形式有哪些？ 公式的变形式有哪些？ 注意： 认识倍角的相对性 认识倍角的相对性； 公式的适应范围 公式的适应范围. 注意： (1)认识倍角的相对性； (2)公式的适应范围
θ
θ
3
tan200tan400
小结：公式的正用与逆用. 小结：公式的正用与逆用
2.角的变换 角的变换
例2.设cos(α-β)= -4/5，cos(α+β)=12/13， 设 ， ， α-β∈(π/2，π)，α+β∈(3π/2，2π)， ∈ ， ， ∈ ， ， 的值. 求cos2α、cos2β的值 、 的值 变式练习： 变式练习： β α 1 2 设 cos( α − ) = − , sin( − β) = , 其中
1.诱导公式
α+k·360°(k∈Z)，-α，180°±α，360°-α 的 三 角 函 ° ∈ ， ， ° ， ° 数值，等于α的同名函数值 前面加上一个把α看成锐角 的同名函数值， 数值，等于 的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角 时原函数值的符号. 时原函数值的符号 n·90°±α(n∈Z)诱导公式满足十字诀“奇变偶不变， 诱导公式满足十字诀“ ° ∈ 诱导公式满足十字诀 奇变偶不变， 符号看象限” 符号看象限”
作业： 导与练》P49第 作业：一.《导与练》P49第5、6、7、8、9题
二、1.在△ABC中，若sinA=3/5，cosB=5/13，求cosC 在 中 ， ，
3 2.已知 cos ( + x) + 3 cos ( − x) = ，求cotx的值 的值. 已知 的值 4 4 2
2 2
π
π
自测题： 导与练》 自测题：《导与练》P48第1、2、3、4题 第 、 、 、 题
2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 两角和与差的正弦、余弦、
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式 二倍角的正弦、余弦、
sin2α = 2sinαcosα， 2 2 2 2 cos2α = cos α - sin α = 2cos α - 1 = 1 - sin α
2tanα tan2α = 1− tan2α
Hale Waihona Puke 已知α∈ 例2.已知 ∈(0,π/2), β∈(π/2,π), 已知 ∈
1 5 3 cos α = , sin β = 7 14
的值. 求β-α的值 的值
小结】求角，先求其某一个三角函数值， 【小结】求角，先求其某一个三角函数值，再 根据三角函数的值 角的范围得出角 得出角。 根据三角函数的值及角的范围得出角。
误解分析
1.在利用诱导公式求三角函数的值时，一定要注意符号 在利用诱导公式求三角函数的值时， 在利用诱导公式求三角函数的值时 2.如何巧妙地灵活地运用两角和与差 、 倍角 、 半角公式 ， 如何巧妙地灵活地运用两角和与差、 倍角、 半角公式， 如何巧妙地灵活地运用两角和与差 是三角变换的关键 3.三角变换一般有①化切、割为弦，②降次，③变角，④ 三角变换一般有①化切、割为弦， 降次， 变角， 三角变换一般有 化单一函数， 妙用1， 分子分母同乘除， 化单一函数 ， ⑤ 妙用 ， ⑥ 分子分母同乘除 ， ⑦和积互化 等技巧，方法不当就会很繁，只能通过总结积累解题经验， 等技巧，方法不当就会很繁，只能通过总结积累解题经验， 选择出最佳方法. 选择出最佳方法
2 2 2 的取值范围是___________ 则a 的取值范围是
a cos
2
θ
+ sin
2
θ
− cos
2
θ
− a sin
2
θ
2
= a +1
3.△ABC中，角A、B、C所对的边分别为 △ 所对的边分别为a,b,c，若 中 所对的边分别为 ， acosB-bcosA=0，3tanA+tanC=0．试求 、B、C. ， ．试求A、 、
特别指出：公式的逆用，降次公式、 特别指出：公式的逆用，降次公式、升幂公式
自测 1.已知 ∈(-π/2，0)，cosx=4/5，则tan2x=( 已知x∈ 已知 ， ， ， (A)7/24 (B)-7/24 (C)24/7 D)
(D)-24/7
π 1 2.若α是锐角， sinα - = 是锐角， 若 是锐角 6 3 (A) 2 6 - 1 (B) 2 6 +1 (C) 2 6 6 3.已知1+ sinθ 1−cos2θ + cosθ 已知 围是( 围是 C ) (A)(2kπ+π，2kπ+3/2π) k∈Z ， ∈ (B)(2kπ+3/2π，2kπ+2π) k∈Z ， ∈ (C)[2kπ+π，2kπ+3/2π] k∈Z ， ∈ (D)[2kπ+3/2π，2kπ+2π] k∈Z ， ∈
2
辅助角公式： 4.辅助角公式：
a asinx + bcosx = a + b sin( x +ϕ)(tan ϕ = ) b 半角的正弦、余弦、 ※.半角的正弦、余弦、正切公式
2 2
α 1- cosα α 1+ cosα sin = ± ，cos = ± 2 2 2 2
α 1− cosα sinα 1- cosα tan = ± = = 2 1+ cosα 1+ cosα sinα ※.三倍角公式 sin3α = 3sinα - 4sin3α，cos3α = 4cos3α - 3cosα
的值等于( ，则cosα的值等于 A ) 的值等于
3 +1 (D) 2 3 −1 3 4 1−sin2θ = 0，则 θ取值范
4.已知 已知tanA·tanB=tanA+tanB+1,则cos(A+B)的值是 的值是( 已知 则 的值是
C )
2 (A) − 2
(B) 2 2
2 (C) ± 2
1 (D) ± 2
2 9 2 3
α ∈(
π
2
, π ), β ∈ ( 0 ,
π
2
), 求 cos(
α + β
2
), cos( α + β )
小结：角的变换：角的分解与角的组合 如 小结：角的变换：角的分解与角的组合.如： α=(α+ β)- β， α=2 (α/2) ， (π/4)+x=(π/2)-(π/4 -x)
方法总结： 方法总结： 1.明了公式化的推导及公式成立的条件：只有两端 明了公式化的推导及公式成立的条件： 明了公式化的推导及公式成立的条件 有意义时，公式才成立； 有意义时，公式才成立； 2.公式的正用与逆用； 公式的正用与逆用； 公式的正用与逆用 3.角的变换：拆角、配角； 角的变换：拆角、配角； 角的变换
2⋅ sin50° + sin80°⋅ 1+ 3 ⋅ tan10° 求值： 例1.求值： 求值 1+ cos10°
第2课时 课时
(
)
化简： 化简 ： )3 15 sin x + 3 5 cos x. 1
2 π 6 π 2) sin( − x) + cos( − x) 4 4 4 4
小结】 关健在于1+3·tan10°， 通过 “ 切化弦 ” 及 “ 【 小结 】 关健在于 ° 通过“ 切化弦” 辅助角公式”使其得到化简． 辅助角公式”使其得到化简． a ⋅ cosα + b⋅ sinα a 一般地， 一般地， + btanα = cosα 而 a ⋅ cosα + b⋅ sinα 又可以化为一个角的一个三角函 形如1± 的式子的化简应熟练掌握. 数. 形如 ±cosα、1±sinα的式子的化简应熟练掌握 、 ± 的式子的化简应熟练掌握
作业： 《必修4》 组第2、 题 作业：一.《必修 》 P157 A组第 、4题， 组第 B组第 、2、3题 组第1、 、 题 组第
在横线上填上原命题的一个条件： 二 .1.在横线上填上原命题的一个条件 ： 已知均为锐 在横线上填上原命题的一个条件 角，sinα-sinβ=-0.5，________则cos(α-β)=59/72 ， 则 2.设θ是三角形的最小角，且 设 是三角形的最小角 是三角形的最小角，
sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ cos(α ± β) = cosαcosβ m sinαsinβ tanα ± tanβ tan(α ± β) = 1m tanαtanβ