平面内线段和最小问题学案

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最短路径问题学案教案

最短路径问题【目标导航】1.理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”. “饮马问题”，“造桥选址问题”.考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等.2.解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”.关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理.这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用. 【合作探究】探究一：（1）如图1，一个牧童从P 点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线．（2）如图2，直线l 是一条河，A 、B 是两个村庄，欲在l 上的某处修建一个水泵站M ，向A 、B 两地供水，要使所需管道M A +M B 的长度最短，在图中标出M 点．（3）如图3，在一条河的两岸有A ，B 两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段C D 表示．试问：桥C D 建在何处，才能使A 到B 的路程最短呢？请在图中画出桥C D 的位置．画出示意图，并用平移的原理说明理由．变式1．在边长为2㎝的正方形ABC D 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝．变式2．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为__________第2题第3题第4题变式3.已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当PA +PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为_________变式4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是A D 和AB 上的动点，则B M+MN 的最小值是____．变式5．一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）．OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，则PC ＋PD 的最小值________，此时P 点的坐标为________．探究二：如图：C 为马厩，D 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线.A DE P BC 第5题O x y B D A C P变式1.如图，已知平面直角坐标系中，A ，B 坐标为A （-1，3），B （-4，2），设M ，N 分别为x 轴，y 轴上一动点，问是否存在这样的点M （m ，0），N （0，n ）使四边形AB MN 的周长最短？并求m ，n 的值．第1题第2题第3题第4题变式2.如图，在△ABC 中，D 、E 为边AC 上的两个点，试在AB ，BC 上各取一个点M ，N ，使四边形DMNE 的周长最短．变式3.如图，已知平面直角坐标系，A 、B 两点的坐标分别为A （2，-3），B （4，-1）．若C （a ，0），D （a +3，0）是x 轴上的两个动点，则当a = 时，四边形AB D C 的周长最短．变式4.如图，抛物线23212--=x x y 与直线y=x -2交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），动点P 从A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E ，再到达x 轴上的某点F ，最后运动到点B ．若使点P 运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为．探究三：1.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5寸和3寸，A 和B 是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是寸．第1题第2题第3题第4题第5题第6题 2.如图，在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽A D 平行且大于A D ，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A 处，到达C 处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）3.如图所示，是一个圆柱体，A BCD 是它的一个横截面，A B=，BC=3，一只蚂蚁，要从A 点爬行到C 点，那么，最近的路程长为．4.如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是．5.有一长、宽、高分别是5cm ，4cm ，3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A 处沿长方体的表面爬到长方体上和A 相对的顶点B 处，则需要爬行的最短路径长为．6.如图，圆锥的底面半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A 的最短路程是．y O x P D B (40)A ， (02)C ，【课后练习】1.如图，在矩形OABC 中，已知A 、C 两点的坐标分别为(40)(02)A C ，、，，D 为OA 的中点．设点P 是AOC ∠平分线上的一个动点（不与点O 重合）．（1）试证明：无论点P 运动到何处，PC 与PD 相等；（2）当点P 运动到与点B 的距离最小时，试确定过O P D 、、三点的抛物线的解析式；（3）设点E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P 运动到何处时，PDE △的周长最小？求出此时点P 的坐标和PDE △的周长；（4）设点N 是矩形OABC 的对称中心，是否存在点P ，使90CPN ∠=°？若存在，请直接写出点P 的坐标．2.如图，已知点A （-4，8）和点B （2，n ）在抛物线y=ax 2上．（1）求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB 最短，求出点Q 的坐标；（2）平移抛物线y=ax 2，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C （-2，0）和点D （-4，0）是x 轴上的两个定点．①当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′最短，求此时抛物线的函数解析式；②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′C D 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．3. 如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、EC ，已知AB=5，DE =1，BD =8，设CD=x ．(1)用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；(2)请问点C 满足什么条件时，AC ＋CE 的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式224(12)9x x ++-+的最小值．小结：上式中，原式=22222(12)3x x ++-+，而22a b +的几何意义是以a 、b 为直角边的直角三角形斜边长．【拓展提升】 1．阅读材料：例：说明代数式221+(3)4x x +-+的几何意义，并求它的最小值．解：2222221+(3)4(0)1+(3)2x x x x +-+=-+-+，如图，建立平面直角坐标系，点P （x ，0）是x 轴上一点，则22(0)1x -+可以看成点P 与点A （0，1）的距离，22(3)2x -+可以看成点P 与点B （3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与PB 长度之和，它的最小值就是PA+PB 的最小值．设点A 关于x 轴的对称点为A ′，则PA=PA ′，因此，求PA+PB 的最小值，只需求PA ′+PB 的最小值，而点A ′、B 间的直线段距离最短，所以PA ′+PB 的最小值为线段A ′B 的长度．为此，构造直角三角形A ′CB ，因为A ′C =3，CB =3，所以A ′B =32，即原式的最小值为32．根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）代数式22(1)1+(2)9x x -+-+的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点 A （1，1）、点B 的距离之和．（填写点B 的坐标）（2）代数式2249+1237x x x +-+的最小值为．2.如图，已知点A (-4，8)和点B (2，n )在抛物线2y ax =上．(1) 求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB 最短，求出点Q 的坐标； (2) 平移抛物线2y ax =，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C (-2，0)和点D (-4，0)是x 轴上的两个定点．①当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．4 x2 2A8 -2 O-2 -4 y 6 B C D -44((2)①图)4 x2 2 A ′8-2 O -2 -4 y 6 B ′ CD -4 4 A ′′((2)②图)4 x2 2 A ′8 -2 O-2 -4 y6 B ′ C D -4 4 A ′′B ′′。

小学数学（线段、射线、直线教案）

小学数学（线段、射线、直线教案）第一篇：小学数学 (线段、射线、直线教案)小学数学（线段、射线、直线教案）一、教案背景1，面向学生：小学2，学科：数学2，课时：1 3，学生课前准备：学生准备直尺二、教学课题：教养方面：1.认识直线、射线和线段。

2.能正确区分直线、射线和线段；掌握它们的联系和区别。

3.会度量线段的长度；会画指定长度的线段。

培养学生动手能力以及良好的空间观念。

教育方面：线段、射线、直线的认识。

及线段、射线、直线的区别与联系三、教材分析：本单元是在初步认识了长方形、正方形、平行四边形、三角形等几种平面图形及角的基础上进行教学的，是进一步学习空间与图形认识的基础。

本单元的主要教学内容是：线段、射线和直线及线段射线和直线的区别及联系。

四、教学方法及教学思路：利用课件，视频等，并创建活动让学生亲身参与，由此来引导学生对问题的思考，并逐步掌握解决问题的关键。

本课的设计内容分为以下几个部分：1、导入设疑，自主学习。

2、小组合作、讨论探究；3、抓住重点、精讲点拨；4、对比拓展；5、巩固新知、当堂检测；6、课堂小结。

五、教学过程：一、导学预习案1、探索活动阅读课本55—56页，你能提出什么问题？你有什么发现？线段、射线、直线有什么区别和联系？2、收获与困惑A、通过预习自学，你学会了什么？B、你的困惑是什么？二、教学案(一)导入设疑、自主学习：师导入：同学们喜欢猜谜语吗？（喜欢）我们先来猜一个谜语：两棵小树十个杈，不长叶子不开花，能写会算还会画，天天干活不说话。

是什么？今天这节课我们就用我们一双灵巧的小手完成我们这节课所要学习的内容。

师：现在老师来检查同学们提前预习的情况。

请同学们看屏幕：画面上展示的是我国自行设计建造的斜拉索大桥。

最后展示的是世界第一的苏通大桥。

这些雄伟的大桥凝聚了无数设计师们的辛勤劳动，小明的爸爸就是这样一名桥梁设计师。

瞧，小明正在和爸爸学画设计图呢，我们一起去看看吧。

（学生仔细观察情境图）师：看了这幅图，你能提出什么问题（二）小组合作、讨论探究、师：根据学生提出的问题，下面就让我们来当一回设计师，以小组为单位，研究怎样画出这幅设计图。

2020年中考数学压轴题专题4 几何最值存在性问题学案(原版+解析)

专题四几何最值的存在性问题【考题研究】在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

从历年的中考数学压轴题型分析来看，经常会考查到距离或者两条线段和差最值得问题，并且这部分题目在中考中失分率很高，应该引起我们的重视。

几何最值问题再教材中虽然没有进行专题讲解，到却给了我们很多解题模型，因此在专题复习时进行压轴训练是必要的。

【解题攻略】最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归归于几何模型：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型．（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型．两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，PA与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB 的延长线上，即P′．解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，建立一次函数或者二次函数求解最值问题．【解题类型及其思路】解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。

【典例指引】类型一【确定线段（或线段的和，差）的最值或确定点的坐标】【典例指引1】（2018·天津中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．点B的坐标为（8，4），将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D，OD与BC交于点E．（I）证明：EO=EB；（Ⅱ）点P是直线OB上的任意一点，且△OPC是等腰三角形，求满足条件的点P的坐标；（Ⅲ）点M是OB上任意一点，点N是OA上任意一点，若存在这样的点M、N，使得AM+MN 最小，请直接写出这个最小值．【举一反三】（2020·云南初三）如图，抛物线y=ax2+bx+3经过点B（﹣1，0），C（2，3），抛物线与y轴的焦点A，与x轴的另一个焦点为D，点M为线段AD上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）过点M作y轴的平行线，交抛物线于点P，设线段PM的长为1，当t为何值时，1的长最大，并求最大值；（先根据题目画图，再计算）（3）在（2）的条件下，当t为何值时，△PAD的面积最大？并求最大值；（4）在（2）的条件下，是否存在点P，使△PAD为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．类型二【确定三角形、四边形的周长的最值或符合条件的点的坐标】【典例指引2】（2020·重庆初三期末）如图，抛物线2y ax bx =+（0a >）与双曲线k y x=相交于点A 、B ，已知点A 坐标()1,4，点B 在第三象限内，且AOB ∆的面积为3（O 为坐标原点）.（1）求实数a 、b 、k 的值；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P 使得POB ∆为等腰三角形？若存在请求出所有的P 点的坐标，若不存在请说明理由.（3）在坐标系内有一个点M ，恰使得MA MB MO ==，现要求在y 轴上找出点Q 使得BQM ∆的周长最小，请求出M 的坐标和BQM ∆周长的最小值.【举一反三】（2019·重庆实验外国语学校初三）如图1，已知抛物线y ＝﹣23384x +x +3与x 轴交于A 和B 两点，（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求出直线BC 的解析式．（2）M 为线段BC 上方抛物线上一动点，过M 作x 轴的垂线交BC 于H ，过M 作MQ ⊥BC 于Q ，求出△MHQ 周长最大值并求出此时M 的坐标；当△MHQ 的周长最大时在对称轴上找一点R ，使|AR ﹣MR |最大，求出此时R 的坐标．（3）T 为线段BC 上一动点，将△OCT 沿边OT 翻折得到△OC ′T ，是否存在点T 使△OC ′T 与△OBC 的重叠部分为直角三角形，若存在请求出BT 的长，若不存在，请说明理由．类型三【确定三角形、四边形的面积最值或符合条件的点的坐标】【典例指引3】（2019·甘肃中考真题）如图，已知二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 为抛物线上的一点，点F 为对称轴上的一点，且以点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；（3）点E 是二次函数第四象限图象上一点，过点E 作x 轴的垂线，交直线BC 于点D ，求四边形AEBD 面积的最大值及此时点E 的坐标．【举一反三】（2019·内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A -），()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；（2）点D 为抛物线对称轴上一点，连接CD BD 、，若DCB CBD ∠=∠，求点D 的坐标；（3）已知()1,1F ，若(),E x y 是抛物线上一个动点（其中12x <<），连接CE CF EF 、、，求CEF ∆面积的最大值及此时点E 的坐标．B C M N为顶点（4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以,,,的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【新题训练】1．如图，直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y＝ax2＋4x ＋c的图象交x轴于另一点B.(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND 长度的最大值；(3)若点H为二次函数y＝ax2＋4x＋c图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F、E的坐标．2．（2019·江苏中考真题）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合），直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.（1）如图1，当PB=4时，若点B’恰好在AC边上，则AB’的长度为_____；（2）如图2，当PB=5时，若直线l//AC，则BB’的长度为；（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线l始终垂直于AC，△ACB’的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值.3．（2019·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．(1)当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；(2)设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为212时，求OA的长；(3)当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．4.（2018·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣23x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒．（1）当t=13秒时，点Q的坐标是；（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值．5.（2020·江苏初三期末）已知二次函数223y x x =--+的图象和x 轴交于点A 、B ，与y轴交于点C ，点P 是直线AC 上方的抛物线上的动点.(1)求直线AC 的解析式.(2)当P 是抛物线顶点时，求APC ∆面积.(3)在P 点运动过程中，求APC ∆面积的最大值.6．（2020·江苏初三期末）如图，抛物线265y ax x =+-交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()5,0，直线5y x =-经过点B 、C .（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，求BCP ∆面积S 的最大值并求出此时点P 的坐标；（3）过点A 的直线交直线BC 于点M ，连接AC ，当直线AM 与直线BC 的一个夹角等于ACB ∠的3倍时，请直接写出点M 的坐标.7.（2019·石家庄市第四十一中学初三）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x （x ﹣b ）﹣与y轴相交于A点，与x轴相交于B、C两点，且点C在点B的右侧，设抛物线的顶点为P．（1）若点B与点C关于直线x＝1对称，求b的值；（2）若OB＝OA，求△BCP的面积；（3）当﹣1≤x≤1时，该抛物线上最高点与最低点纵坐标的差为h，求出h与b的关系；若h 有最大值或最小值，直接写出这个最大值或最小值．8.（2020·江西初三期中）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．9．（2020·山东初三期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q （2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P 点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．10．（2020·盘锦市双台子区第一中学初三月考）如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB 的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.11．（2020·四川初三）如图，一次函数122y x=-+的图像与坐标轴交于A、B两点，点C 的坐标为(1,0)-，二次函数2y ax bx c =++的图像经过A 、B 、C 三点．（1）求二次函数的解析式（2）如图1，已知点(1,)D n 在抛物线上，作射线BD ，点Q 为线段AB 上一点，过点Q 作QM y ⊥轴于点M ，作QN BD ⊥于点N ，过Q 作//QP y 轴交抛物线于点P ，当QM 与QN 的积最大时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AP ，若点E 为抛物线上一点，且满足APE ABO ∠=∠，求点E 的坐标．12．（2019·广东初三）如图，已知抛物线y ＝﹣3x 2+bx +c 与x 轴交于原点O 和点A （6，0），抛物线的顶点为B ．（1）求该抛物线的解析式和顶点B 的坐标；（2）若动点P 从原点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿线段OB 运动，设点P 运动的时间为t （s ）．问当t 为何值时，△OPA 是直角三角形？（3）若同时有一动点M 从点A 出发，以2个长度单位的速度沿线段AO 运动，当P 、M 其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t （s ），连接MP ，当t 为何值时，四边形ABPM 的面积最小？并求此最小值．13．（2019·山东初三期中）如图，已知抛物线经过两点A （﹣3，0），B （0，3），且其对称轴为直线x ＝﹣1．（1）求此抛物线的解析式．（2）若点Q 是对称轴上一动点，当OQ +BQ 最小时，求点Q 的坐标．（3）若点P 是抛物线上点A 与点B 之间的动点（不包括点A ，点B ），求△PAB 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．14.（2019·四川中考真题）如图，抛物线212y x bx c =-++过点(3,2)A ，且与直线72y x =-+交于B 、C 两点，点B 的坐标为(4,)m ．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 为抛物线上位于直线BC 上方的一点，过点D 作DE x ⊥轴交直线BC 于点E ，点P 为对称轴上一动点，当线段DE 的长度最大时，求PD PA +的最小值；（3）设点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点Q ，使45AQM ︒∠=？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．15.（2019·天津中考真题）已知抛物线2y x bx c =-+（b c ，为常数，0b >）经过点(1,0)A -，点(,0)M m 是x 轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当2b =时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点(,)D D b y 在抛物线上，当AM AD =，5m =时，求b 的值；（Ⅲ）点1(,)2Q Q b y +在抛物线上，当22AM QM +的最小值为332时，求b 的值． 16.（2019·湖南中考真题）如图，抛物线y ＝ax 2+bx （a ＞0）过点E （8，0），矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点A 在点B 的左侧），点C 、D 在抛物线上，∠BAD 的平分线AM 交BC 于点M ，点N 是CD 的中点，已知OA ＝2，且OA ：AD ＝1：3.（1）求抛物线的解析式；（2）F 、G 分别为x 轴，y 轴上的动点，顺次连接M 、N 、G 、F 构成四边形MNGF ，求四边形MNGF 周长的最小值；（3）在x 轴下方且在抛物线上是否存在点P ，使△ODP 中OD 610求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）矩形ABCD 不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K 、L ，且直线KL 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.17.（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +2（a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线经过点D （﹣2，﹣3）和点E （3，2），点P 是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE 和抛物线的表达式；（2）在y 轴上取点F （0，1），连接PF ，PB ，当四边形OBPF 的面积是7时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P 在抛物线对称轴的右侧时，直线DE 上存在两点M ，N （点M 在点N 的上方），且MN ＝22，动点Q 从点P 出发，沿P →M →N →A 的路线运动到终点A ，当点Q 的运动路程最短时，请直接写出此时点N 的坐标．18.（2019·湖南中考真题）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(1,0)A ，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，=3OC ．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)过点A 作AM BC ⊥，垂足为M ，求证：四边形ADBM 为正方形；(3)点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点，当PBC ∆面积最大时，求点P 的坐标； (4)若点Q 为线段OC 上的一动点，问：12AQ QC +是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．专题四几何最值的存在性问题【考题研究】在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

高中数学：第一章(立体几何初步)学案(新人教版B版必修2) 学案

数学：第一章《立体几何初步》学案（新人教版B 版必修2）第一章《立体几何初步》单元小结导航知识链接点击考点（1）了解柱，锥，台，球及简单组合体的结构特征。

（2）能画出简单空间图形的三视图，能识别三视图所表示的立体模型，并会用斜二测法画出它们的直观图。

（3）通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。

（4）理解柱，锥，台，球的表面积及体积公式。

（5）理解平面的基本性质及确定平面的条件。

（6）掌握空间直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质。

（7）掌握空间直线与平面，平面与平面垂直的判定及性质。

名师导航1.学习方法指导（1）空间几何体①空间图形直观描述了空间形体的特征，我们一般用斜二测画法来画空间图形的直观图。

②空间图形可以看作点的集合，用符号语言表述点，线，面的位置关系时，经常用到集合的有关符号，要注意文字语言，符号语言，图形语言的相互转化。

③柱，锥，台，球是简单的几何体，同学们可用列表的方法对它们的定义，性质，表面积及体积进行归纳整理。

④对于一个正棱台，当上底面扩展为下底面的全等形时，就变为一个直棱柱；当上底面收缩为中心点时，就变为一个正棱锥。

由1()2S c c h ''=+正棱台侧和()3hV s s '=正棱台，就可看出它们的侧面积与体积公式的联系。

（2）点，线，面之间的位置关系①“确定平面”是将空间图形问题转化为平面图形问题来解决的重要条件，这种转化最基本的就是三个公理。

②空间中平行关系之间的转化：直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行。

③空间中垂直关系之间的转化：直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直。

2.思想方法小结在本章中需要用到的数学思想方法有：观察法，数形结合思想，化归与转化思想等。

主要是立体几何问题转化为平面几何问题，平行与垂直的相互转化等。

3.综合例题分析例1：如图，P 是∆ABC 所在平面外一点，A '，B '，C '分别是PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的重心。

期末复习学案——基本平面图形北师大版七年级数学上册

期末复习学案——基本平面图形北师大版七年级数学上册
考点5 角的度量及换算
6. 把
换算成秒的结果是___2_7_0_0_″___.
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考点6 钟面角与方向角 7. 如图，OA是表示北偏东55°方向的一条射线，则 OA的反向延长线OB表示的是（ D ）
期末复习学案——基本平面图形北师大版七年级数学上册
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考点10 多边形和圆 12. 如图所示的图形中，属于多边形的有（ A ）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
期末复习学案——基本平面图形北师大版七年级数学上册
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A. AB<CD C. AB=CD
B. AB>CD D. 以上都不对
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考点4 角的定义及表示方法 5. 下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（ B ）
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21. 时钟的时针由4点转到5点45分，时针转过的角度是（ A ）
A. 52°30′ C. 54°5′
B. 50°45′ D. 10°45′
期末复习学案——基本平面图形北师大版七年级数学上册
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22. 如图，点C在线段AB上，AC∶BC=3∶2，M是AB 的中点，N是BC的中点，若AB=10 cm，求线段MN的长.

平面的基本性质 - 学案

平面的基本性质（1）一、思考：1.集合与元素的关系？集合间的关系？点线面的思考？2.一条线上有多少个点？一个面上有多少个点？一个面上有多少条线？线和线相交得到什么？线和面相交得到什么？面和面相交得到什么？二、课堂内容问题：光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面的形象. 它们具有什么共同特性？1.平面的特性2.平面的画法3.平面的表示4.点、线、面之间的位置关系的符号表示例1:将下列文字语言转化为符号语言： (1)点A 在平面α内，但不在平面β内； (2)直线l 在平面α内，又在平面β内； (3)直线a 经过平面α外一点M ； (4)直线l 与直线m 相交于平面α内一点N .练习1：.图形符号语言文字语言点A 在直线a 上点A 不在直线a 上点A 不在平面α内直线a 、b 交于A 点直线a 在平面α内直线a 与平面α无公共点直线a 与平面α交于点A平面α、β相交于直线l{}(1)(2)(3)=(4)A A l l l l l l αααααβαβαα⊂∈≠∅ 下列写法正确吗？为什么？错误的请改正.点在平面内，记作；直线在平面内，记作；平面与平面相交于直线，记作；直线与平面相交，记作.例2：用符号语言表示下列图形中的点、直线、平面之间的位置关系．练习2：把下列图形中的点、线、面关系用符号语言表示.例3.将下列符号语言转化为图形语言： (1)α∈A ，β∈B ，l A ∈，l B ∈；(2) c αβ= ，a α⊂，b β⊂， a c , b c P = ．练习3：把下列文字语言用符号语言表示，并画出直观图. (1)点A 在平面α内，点B 不在平面α内，点A ，B 都在直线 a 上；(2)平面α与平面β相交于直线 m ，直线a 在平面α内且平行于直线 m.αβla AB αAalα βlmCA B课堂练习（1）下列叙述中，正确的是_______①因为P∈α，Q∈α，所以PQ∈α；②因为P∈α，Q∈β，所以α∩β＝PQ；③因为AB⊂α，C∈AB，D∈AB，所以CD∈α；④因为AB⊂α，AB⊂β，所以α∩β＝AB.（2）用符号表示下列语句，并画出图形：①点A在平面α内，点B在平面α外；②直线l 经过平面α外一点P和平面α内一点Q；③直线l在平面α内，直线m不在平面α内；④平面α和β相交于直线AB；⑤直线l是平面α和β的交线，直线m在平面α内，l 和m相交于点P．要点归纳与方法小结本节课学习了什么内容，有何收获？平面的基本性质（2）思考1：如果直线l 与平面α有两个公共点，问：直线l 是否在平面α内？例1：温度计上的玻璃管被两个卡子固定在刻度盘上，可以看到，玻璃管就落在了刻度盘上．公理1 :如果一条直线上有两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．公理的作用是什么？思考2当线段AB 在平面内时，直线AB 是否在此平面内？例2.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，判断下列命题是否正确，并说明理由： (1)直线AC 1在平面CC 1B 1B 内； (2)直线BC 1在平面CC 1B 1B 内．思考3：如果两个平面、β相交，得到什么线？几条线？例3：相邻的两面墙相交，在墙角处交于一点，它们相交于过这点的一条直线.公理2 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理的作用是什么？思考41.将三角板的一个角戳在桌面上，则三角板所在平面与桌面所在平面有几个公共点？2.长方体的两个相交平面A 1B 1C 1D 1 和BB 1C 1C 有几条公共直线？为什么？注：公共直线 B 1C 1 叫做平面A 1B 1C 1D 1 和平面 BB 1C 1C 的交线．例4 如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为棱BB 1的中点，画出由A 1，C 1，P 三点所确定的平面α与长方体表面的交线.ABCDA 1C 1B 1D 1A B C DP练习1：如图,点C B A ,,确定的平面与点F E D ,,确定的平面相交于直线l , 且直线AB 与直线l 相交于点G ,直线EF 与直线l 相交于点H ,试作出面ABD 与面CEF 的交线．练习2：如图所示过，正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F 为AD 、AB 上的中点,求作正方体的对角线A 1C 与截面EFB 1D 1的交点思考5：平面A 1B 1C 1D 1 内的直线m 和平面BB 1C 1C 内的直线n 相交于点P ，点P 在直线B 1 C 1 上吗？为什么？练习. 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中, ⋂=⋂D B O D B C A 111111,平面P BC A =11，求证：1BO P ∈．例5 已知：△ABC 在平面α外，AB ∩α＝P ，AC ∩α＝R ，BC ∩α＝Q ，求证：P ，Q ，R 三点共线．练习. 四面体ABCD 中,G E ,分别为AB BC ,的中点,F 在CD 上, H 在AD 上,且有3:2::==HA DH FC DF , 求证：BD GH EF ，，三线共点．平面的基本性质（3）思考5：至少过几个点才能确定一个平面？例6：照相机支架为什么只需三条腿就够了？公理3 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3的作用是什么？PABC RQα思考6空间中有四个点，其中任意三个都不共线，则经过任意三个点的平面有几个？推论1：一条直线和直线外的一点可以确定一个平面．推论2：两条相交直线可以确定一个平面．推论3：两条平行直线可以确定一个平面．推论的作用是什么？思考7：木匠用两根细绳分别沿桌子四条腿底端的对角线拉直，以判断桌子四条腿的底端是在同一平面内，依据是什么？问题：①梯形是平面图形吗？为什么？②四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形吗？举例说明.例7 ：直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，判断这三条直线是否共面，并说明理由.例8：已知A ∈l，B ∈l，C ∈l，D∉l(如图所示)．求证：直线AD，BD，CD共面.BACαABCDlα例9：如图，若直线l 与四边形ABCD 的三条边 AB ，AD ，CD 分别交于点E ，F ，G ．求证：四边形ABCD 为平面四边形．例10 已知a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝A ，P ∈ a ，PQ ∥b ．求证：PQ ⊂α．例1.在正方体ABCD —A ’B ’C ’D ’中，画出过其中三条棱的中点P 、Q 、R 的平面截正方体的截面.课堂练习（1）判断下列命题是否正确．①如果一条直线与两条直线都相交,那么这三条直线确定一个平面. ②经过一点的两条直线确定一个平面． ③经过一点的三条直线确定一个平面． ④平面α和平面β交于不共线的三点A 、B 、C .（2）空间四点A 、B 、C 、D 共面但不共线，则下列结论成立的是______． ①四点中必有三点共线． ②四点中必有三点不共线． ③AB 、BC 、CD 、DA 四条直线中总有两条平行．④直线AB 与CD 必相交．（3）下列命题中，①有三个公共点的两个平面重合；②梯形的四个顶点在同一平面内；③三条互相平行的直线必共面；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中正确命题个数是___________．l C DABGF E（4）直线l 1∥l 2，在l 1上取三点，在l 2上取两点，由这五个点能确定_____个平面．（5）已知a ∥b ，l ∩a ＝A ，l ∩b ＝B ，求证：a ，b ，l 三条直线共面．(6)在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，R 分别是棱CC 1，A 1D 1，A 1B 1的中点，画出过这三点的截面．要点归纳与方法小结1．公理1,2，3，及公理3的三条推论及作用； 2．证明共面问题的方法及步骤．B A b a l。

2020届二轮复习平面向量中范围、最值等综合问题学案(全国通用)

专题03 平面向量中范围、最值等综合问题一．方法综述平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查生的思维品质和习潜能，能综合考察生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．二．解题策略类型一与向量的模有关的最值问题【例1】【2018河北定州中模拟】设向量,,a b c r r r满足2a b ==r r ， 2a b ⋅=-r r ， ,c>60a c b <--=︒r r r r ，则c r的最大值等于（）A. 4B. 2C.D. 1【答案】A【指点迷津】由已知条件得四点共圆是解题关键，从而转化为求外接圆直径处理. 【举一反三】1、【2018辽宁沈阳东北育才模拟】在Rt ABC ∆中， 090A ∠=，点D 是边BC 上的动点，且，则当λμv ）A.B. 3C.D. 【答案】D2、【2018湖南长沙市长郡中模拟】已知向量,a b v v 满足： 1a b ==vv ，且12a b ⋅=v v ，若c xa yb =+v v v ，其中0x >， 0y >且2x y +=，则c v的最小值是__________．【答案】3【解析】1a b ==Q vv，且12a b ⋅=vv ，当c xa yb =+v v v 时， 222222c x a xya b y b =+⋅+v v v v v ， ()222x xy y x y xy =++=+-，又0,0x y >>且22,12x y x y xy +⎛⎫+=∴≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1x y ==时取“=”， ()2222213,2x y c x y c +⎛⎫∴≥+-=-=∴ ⎪⎝⎭v v 的最小值是3，故答案为3.* 3、【2018浙东北联盟联考】已知向量,,a b c v v v ，满足1,2,3a b c ===v v v， 01λ≤≤，若0b c ⋅=v v ，则()1a b c λλ---v v v的最大值为_________，最小值为__________．【答案】 4613113- 【解析】设()()1,1n b c a b c a n λλλλ=+----=-v v v v v v v v，n a a n n a -≤-≤+v v v v v v，即11n a n n -≤-≤+v v v v ，()()()2222221121n b c b c bc λλλλλλ=--=+-+-v v v v v v v()()2224911318901λλλλλ=+-=-+≤≤，由二次函数性质可得，266136139,3,1114131313n n n a n n ≤≤≤≤-≤-≤-≤+≤v v v v v v ， ()1a b c λλ∴---v v v，最大值为4，最小值为613113-，故答案为4， 613113-.* 类型二与向量夹角有关的范围问题【例2】已知向量→OA 与→OB 的夹角为θ，→→→→→→→-====PQ OB t OQ OA t OP OB OA ,)1(,,1,20t 在时取得最小值，当0105t <<时，夹角θ的取值范围为________________. 【分析】将PQ u u u r 表示为变量t 的二次函数PQ u u u r1)cos 42()cos 45(2+--++=t t θθ，转化为求二次函数的最小值问题，当θθcos 45cos 210++=t 时，取最小值，由已知条件0105t <<，得关于夹角θ的不等式，解不等式得解．【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解．【举一反三】1、非零向量b a ϖϖ,满足b a ϖϖ⋅2=22b a ϖϖ，2||||=+b a ϖϖ，则b a ϖϖ与的夹角的最小值是．【答案】3π【解析】由题意得2212a b a b ⋅=r r r r ，()24a b +=r r ，整理得22422a b a b a b +=-⋅≥⋅r r r r r r ，即1a b ⋅≤r11cos ,22a b a b a b a b ⋅==⋅≤r rr r r r r r ，,3a b ππ∴≤≤r r ，夹角的最小值为3π*2、已知向量=（－2，－1），=（λ，1），则与的夹角θ为钝角时，λ的取值范围为（）A. B. C. 且λ≠2 D. 无法确定【答案】C【解析】∵与的夹角θ为钝角，∴=－2λ－1＜0，解得λ＞，又当λ=2时，满足向量∥，且反向，此时向量的夹角为180°，不是钝角，故λ的取值范围为λ＞，且λ≠2.故选C.类型三与向量投影有关的最值问题【例3】设1,2OA OB ==u u u v u u u v ， 0OA OB ⋅=u u u v u u u v ， OP OA OB λμ=+u u u v u u u v u u u v，且1λμ+=，则OA u u u v 在OP u u u v 上的投影的取值范围( ) A. 25-,15⎛⎤⎥ ⎝⎦ B.25,15⎛⎤⎥⎝⎦ C. 5,15⎛⎤⎥⎝⎦ D. 5-,15⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D当λ0=时， 0,x =当222215λ8λ4482λ0521x λλλλ-+⎛⎫>==-+=-+ ⎪⎝⎭，故当λ1=时，1x 取得最小值为1，即1101x x≥∴<≤，当λ0<时， 222215844825215x λλλλλλ-+⎛⎫=-=--+=--+=- ⎪⎝⎭，即15x <- 505x ∴-<< 综上所述]5( ,15x ∈-故答案选D 【指点迷津】由已知求得OA OP→⋅→及OP→，代入投影公式，对λ分类后利用二次函数求最值，在分类讨论时需要讨论完整，不要漏掉哪种情况，讨论完可以检查下是否把整个实数全部取完。

复习课学案---线段的计算及简单推理

复习课学案---线段的计算及简单推理★学习目标：1、通过知识结构图的回顾加强大家知识的系统性，口诀有助于大家用正确的格式书写2、通过两人小小组共同选学，达到互帮互助、共同提高的目的3、通过全班展示交流，加深对难题及易错题的理解 ★课前准备：1、做完学案，然后核对答案并用红笔改错（开放性试题不给答案）2、四人小组交流任务：四人组长负责组织小组汇总老师所布置的题目的错误答案，并指定组员将本组认为最优的分析方法或与答案不同的方法板演在白板上，并写出书写格式的注意事项时间：课前完成 ★ 活动流程：活动一：回顾知识结构图，检查口诀目标：检查口诀背诵效果，提高学习积极性任务：全班分组检查时间：2分钟分值：1分活动二：两人小小组共同“选”学目标：通过白板学习分析思路及书写格式任务：两人小小组自由选择学习内容，针对错题、难题进行讨论学习时间：5分钟活动三：全班交流展示目标：解决全班公认的难题任务：请四人小组派代表进行展示，其他小组进行补充时间：15分钟分值：1-2分活动四：总结反思、盘点收获任务：将自己的学案认真地再学一遍将思路在大脑中理顺，做小测前准备，然后谈谈你的收获，提醒大家小测中的注意事项时间：2分钟分值：1分活动五：课堂检测、检验学习效果 ▲ 直接求线段的和差1、已知线段AB=4，在线段AB 的延长线上有一点C ，使BC=3，则线段AC= ▲ 公共部分2、看到这幅图，回想以前的学过的内容，你想到了什么常用结论？▲ 单中点计算3、如图，已知AD=10cm ，B 是AC 的中点， CD ：AC=2：3，则AB 长为 ▲ 双中点及整体思想4、如图4，C 是AB 的中点，D 是BC 的中点。

下面等式不正确的是（）（A ）CD ＝AC －DB （B ）CD ＝AD －BC （C ）CD ＝21AB －BD （D ）CD ＝31AB 5、如图，线段AB 的长为16，点C 在线段AB上， M 为线段AC 的中点，N 为线段CB 的中点，（1）若AC=10,求线段MN 的长（2）若点C 为线段AB 上任意一点，求线段MN 的长D C B A6、已知：如图，点C 是线段AB 上一点，且BC=4．D 是AB 的中点，E 是CB 的中点，DE =6，求：AB 的长▲ 双解7、请把“第1题”改编成一个多解题已知线段AB=4，在线段AB 的延长线上有一点C ，使BC=3，则线段AC= 8、在直线m 上取A 、B 两点，使AB=10cm ，再在m 上取一点P ，使PA=2cm ，M 、N 分别为PA 、PB 的中点。

高中数学第一章立体几何初步1.2.1平面的基本性质与推论学案新人教B版必修2(2021年整理)

（鲁京辽）2018-2019学年高中数学第一章立体几何初步1.2.1 平面的基本性质与推论学案新人教B版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（鲁京辽）2018-2019学年高中数学第一章立体几何初步1.2.1 平面的基本性质与推论学案新人教B版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1.2。

1 平面的基本性质与推论学习目标 1.理解平面的基本性质与推论，能运用平面的基本性质及推论去解决有关问题。

2.会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质.3.理解异面直线的概念．知识点一平面的基本性质与推论思考1 直线l与平面α有且仅有一个公共点P。

直线l是否在平面α内？有两个公共点呢？答案前者不在，后者在．思考2 观察图中的三脚架,你能得出什么结论？答案不共线的三点可以确定一个平面．思考3 观察正方体ABCD—A1B1C1D1(如图所示)，平面ABCD与平面BCC1B1有且只有两个公共点B，C吗？答案不是，平面ABCD与平面BCC1B1相交于直线BC.梳理（1）平面的基本性质平面内容作用图形基本性质1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内（即直线在平面内或平面经判断直线是否在平面内的依据过直线)基本性质2经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即不共线的三点确定一个平面)确定平面及两个平面重合的依据基本性质3如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线判断两平面相交，线共点，点共线的依据(2)平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线,有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线,有且只有一个平面．知识点二点、直线、平面之间的关系及表示思考直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？答案点和直线、平面的位置关系可用数字符号“∈”或“∉”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号“⊂”或“⊄”表示．梳理点、直线、平面之间的基本位置关系及表示文字语言符号语言图形语言A在l上A∈lA在l外A∉lA在α内A∈αA在α外A∉αl在α内l⊂αl在α外l⊄αl,m相交于A l∩m＝A l，α相交于Al∩α＝Aα，β相交于l α∩β＝l知识点三共面与异面直线思考如图，直线AB与平面α相交于点B，点A在α外,那么直线l与直线AB能不能在同一个平面内?为什么?直线l与直线AB的位置关系是怎样的?答案不可能在同一个平面内，因为如果在同一个平面内,点A就在α内，这与点A在α外矛盾．由图知，直线l与直线AB没有公共点,所以它们不相交,直线l与直线AB不可能平行,否则它们就会同在平面α内,所以直线l与直线AB既不相交也不平行．梳理共面与异面直线(1）共面①概念：空间中的几个点或几条直线，都在同一平面内．②特征：共面的直线相交或者平行．（2）异面直线①概念:既不平行又不相交的直线．②判断方法:与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线．1．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线．（×)2．两直线若不是异面直线，则必相交或平行．（√）类型一点、直线、平面之间的位置关系的符号表示例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．解在（1)中，α∩β＝l,a∩α＝A,a∩β＝B。

人教版七年级数学上册同步备课 4.2.2 线段长短的比较与运算(教学设计)

4.2.2 线段长短的比较与运算教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第四章“几何图形初步”4.2.2 线段长短的比较与运算，内容包括：运用线段的和、差、倍、分关系求线段的长度；理解“两点之间，线段最短”的线段性质，并学会运用.2.内容解析本节知识是本教材第四章的第2节内容，是学习几何知识的开端，对调动学生学习几何的积极性，以及学习以后的几何知识非常重要，必须把握好教学的进度和难度.应充分注重直观认识和操作活动，充分培养学生的几何语言表达能力.立足于学生实际，着眼于中小学的衔接，从他们的生活背景和已有经验出发，鼓励他们的积极参与、动手操作、观察归纳，让他们了解几何学习的基本的操作方法，学习结论获得的策略，对进一步去理解线段本质属性与现实生活的紧密相关都有着较为深刻的意义，也有利于学生图形意识的培养.基于以上分析，确定本节课的教学重点为：线段比较大小以及线段的性质.二、目标和目标解析1.目标(1)会用尺规画一条线段等于已知线段，会比较两条线段的长短. 理解线段等分点的意义.(2)能够运用线段的和、差、倍、分关系求线段的长度.(3)体会文字语言、符号语言和图形语言的相互转化.(4)了解两点间距离的意义，理解“两点之间，线段最短”的线段性质，并学会运用.2.目标解析学生能够熟练运用叠合法和度量法比较线段的大小；会表示线段的大小关系；会画一条线段等于已知线段.学生能够分别用图形和符号来表示线段之间的和差关系；能够由等分点确定数量关系，或由数量关系确定等分点，综合运用几何语言的能力有所提高.学生通过思考、探究、比较得到“两点之间，线段最短”的基本事实，并能举例说明其实际应用；理解两点的距离是指连接两点的线段的长度，而不是线段本身.三、教学问题诊断分析虽然学生在小学阶段已经学习了一些几何知识，但将对图形的认识与对数量的认识结合起来，是学生未曾深入体验过的.尤其用作图来表示线段的和、差等数量关系，是文字语言、图形语言与符号语言的综合运用，对于刚刚进入几何语言学习的学生而言，是比较困难的学习任务.学生在前一学段对两点之间，线段最短已有所体会，但学生容易将两点的距离与连接两点的线段混淆，教学中应加强对这两个概念的辨析.基于以上学情分析，确定本节课的教学难点为：运用线段的和、差、倍、分关系求线段的长度.四、教学过程设计（一）自学导航问题：老师手里的纸上有一条线段，你能在你的本上作出一条同样大小的线段来吗？尺规作图在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.作一条线段等于已知线段.则：线段AB就是所求的线段.思考：如何比较两个人的身高？怎样比较两条线段的长短呢？你能从比身高上受到一些启发吗？判断线段AB和CD的大小.(1)如图1，线段AB和CD的大小关系是AB___CD；(2)如图2，线段AB和CD的大小关系是AB___CD；(3)如图3，线段AB和CD的大小关系是AB___CD.（二）合作探究如图，线段AB和AC的大小关系是怎样的？线段AC与线段AB的差是哪条线段？你还能从图中观察出其他线段间的和、差关系吗？(1) AB＜AC(2) AC－AB＝BC，AC－BC＝AB，BC＋AB＝AC.如图，已知线段a和线段b，怎样通过作图得到a与b的和、a与b的差呢？如图，已知线段a、b，作一条线段，使它等于2a－b.解：则：线段AC=2a－b.如图，已知线段a，求作线段AB＝2a.解：则：线段AB＝2a.如上图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM和BM；点M叫做线段AB的中点.AB，AB＝2AM＝2BM.因此可得：AM＝BM＝12类似地，还有线段的三等分点、四等分点等.AB，AM＝MN＝NB＝13AB＝3AM＝3MN＝3NBAB，AM＝MN＝NP＝PB＝14AB＝4AM＝4MN＝4NP＝4PB思考：如图，从A地到B地有四条道路，除它们之外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请联系你以前所学的知识，在图上画出最短路线.估计下列图中线段AB与线段AC的大小关系，再用刻度尺或用圆规来检验你的估计.AB___AC AB___AC AB___AC（二）考点解析例1.如图①，有一张三角形的纸片，你能准确地比较线段AB与线段BC的长短吗？解法1(度量法)：用刻度尺测量AB=2.0cm，BC=1.7cm，所以AB>BC.解法2(叠合法):(1)如图①，折叠纸片，使线段BC与线段AB在一条直线上，这时点C落在A，B之间，所以AB>BC.(2)如图①，利用圆规在射线BA上截取BC＇=BC.因为AB＞BC＇所以AB＞BC.【迁移应用】1.如图，比较线段a和b的长度，结果正确的是( )A.a＞bB.a＜bC.a=bD.无法确定2.如图，用圆规比较两条线段AB和A＇B＇的长短，其中正确的是( )A.AB＞A＇B＇B.AB=A＇B＇C.AB＜A＇B＇D.没有刻度尺，无法确定3.体育课上，小悦在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四点处，则表示他最好成绩的点是( )A.MB.NC.PD.Q4.如图，比较这两组线段的长短.解：如图①，把图中的线段AB、线段CD放在同一条直线上，使端点A，C重合，点B与点D在点A的同侧，得点B在C，D之间，所以AB<CD.如图①，把图中的线段AB、线段CD放在同一条直线上，使端点A，C重合，得点D和点B重合，所以AB=CD.例2.如图，已知线段a、b、c，其中a＞b＞c.(1)尺规作图：在射线AP上求作线段AB，使AB=a+c-b；(2)若a=4、b=3、c=2，求AB的长.解：(1)如图，在射线AP上作线段AC=a，在AC的延长线上作线段CD=c，在线段AD上作BD=b，则AB=a+c-b.(2)因为a=4，b=3，c=2，所以AB=a+c-b=4+2-3=3.【迁移应用】1.如图，已知线段a，b，求作线段AB，使得AB=a+2b.小明给出了四个步骤：①在射线AM上截取线段AP=a；①则线段AB=a+2b；①在射线PM上截取PQ=b，QB=b；①画射线AM.你认为正确的顺序是( )A.①①①①B.①①①①C.①①①①D.①①①①2.如图，下列关系式中与图形不符合的是( )A.AD -CD=ACB.AC -BC=ABC.AB+BD=ADD.AC+BD=AD例3.如图，AC=6cm ， BC=15cm ， M 是AC 的中点，在CB 上取一点N ，使得CN=13BC ，求MN 的长.解：因为M 是AC 的中点，AC=6cm ，所以MC=12AC=12×6=3(cm)因为BC=15cm所以CN=13BC=13×15=5(cm)所以MN=MC+CN=3+5=8(cm) 【迁移应用】1.下列条件中能确定C 是线段AB 的中点的是( )A.AC=BCB.AB=BCC.AC=BC=12AB D.AC+BC=AB2.如图，C ，D 是线段AB 上的两点，且D 是线段AC 的中点.若AB=10cm ，BC=4 cm ，则AD 的长为( ) A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm3.如图，点C 在线段AB 的延长线上，且BC=2AB ，D 是AC 的中点，若AB=2cm ，求BD 的长.解：因为AB=2cm ，所以BC=2AB=4cm.所以AC=AB+BC=6cm.因为D是AC的中点，AC=3cm.所以AD=12所以BD=AD-AB=lcm.4.如图，C，D是线段AB的三等分点，E是线段DB的中点，AB=12cm，求线段CE的长.解：因为C，D为线段AB的三等分点，×12=4(cm)所以CD=DB=13因为E是线段DB的中点，DB=2cm，所以DE=12所以CE=CD+DE=4+2=6(cm).例4.如图，小明家在B处，现在小明要去位于D处的同学家.(1)最近的路线是__________；(2)B，D两点的距离是线段______的长度.【迁移应用】1.若AB=4cm，BC=3cm，则A，C两点的距离( )A.1cmB.7cmC.1cm或7cmD.不确定2.小明捡到一片沿直线折断了的银剩下的杏叶(如图)，他发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是____________________.3.如图，A，B是公路l两旁的两个村庄，若要在公路上修建一个汽车站Р，使它到A，B两个村庄的距离和最小，试在l上标出汽车站P的位置.解：如图，连接AB与直线l相交，交点即为汽车站Р的位置.例5.如图①，一只蚂蚁要沿着正方体表面从点A爬到点B，画出它爬行的最短路径(下底面不可通行).解：如图①，有4条最短路径，以A→E→B为例进行说明：如图①，将正方体的正面，右面展开，连接AB，与中间的一条边交于点E，则A→E→B即为其中一条最短路径.(其他三条类似)【迁移应用】如图，A，B，C，D为四个居民小区，现要在附近建一个购物中心.应把购物中心建在何处，才能使四个居民小区到购物中心的距离之和最小？请确定购物中心的位置，并说明理由.解：如图，连接AC ，BD 相交于点P ，点Р就是购物中心的位置. 理由：两点之间，线段最短.例6.如图，已知线段AB ，延长AB 到点C ，使BC=12AB ，D 为AC 的中点，DC=3cm ，求DB 的长.解：因为D 为AC 的中点，DC=3cm ，所以AC=2DC=2×3=6(cm). 因为BC=12AB ，所以BC=13AC=13×6=2(cm) 所以DB=DC -BC=3-2=1(cm). 【迁移应用】1.如图，已知线段AB=3cm ，延长线段AB 到点C ，使BC=2AB ，延长线段BA 到点D ，使AD①AC=4①3，M 是BD 的中点.求线段AM 的长.解：因为AB=3cm ，BC=2AB ，所以BC=6cm ，所以AC=AB+BC=9cm. 因为AD:AC=4①3，所以AD=43AC=12cm ，因为M 是BD 的中点，所以BM=12BD=152cm ，所以AM=BM -AB=152-3=92(cm).例7.如图，已知C ，D 两点将线段AB 分为三部分，且AC:CD:DB=2:3:4.若M 为AB 的中点，N 为BD 的中点，且MN=5，求AB 的长.解：因为AC:CD:DB=2①3①4，所以设AC=2x ，CD=3x ，DB=4x. 所以AB=AC+CD+DB=2x+3x+4x=9x. 因为M 为AB 的中点，N 为BD 的中点，所以BM=12AB=92x ，BN=12BD=2x.因为MN=BM -BN=5，所以92x -2x=5，解得x=2. 所以AB=9×2=18. 【迁移应用】1.如图，B 和C 为线段AD 上两点，AB①BC:CD=3①1①6，M 是AD 的中点.若MC=2，则AD 的长为________.2.如图，点C ，D 在线段AB 上，且满足CD=14AD=16BC ，E ，F 分别为线段AC ，BD 的中点.如果EF=5cm ，求线段AB 的长度.解：设CD=xcm. 因为 CD=14AD=16BC ，因为E ，F 分别为线段AC ，BD 的中点，所以EC=12AC=12(AD -CD)=1.5xcm ， DF=12BD=12(BC -CD)=2.5xcm.因为EF=EC+CD+DF=5cm ，所以1.5x+x+2.5x=5，所以x=1.所以AB=AD+BC -CD=4x+6x -x=9x=9(cm).例8.在直线l 上有四点A ，B ，C ，D ，已知AB=24，AC=6，D 是BC 的中点，求线段AD 的长. 解：分两种情况讨论：①如图①，当点C 在线段AB 的反向延长线上时，得 BC=AB+AC=24+6=30.由D 是BC 的中点，得CD=12BC=15.以AD=CD -AC=9.①如图①，当点C 在线段AB 上时，得 BC=AB -AC=24-6=18.由D 是BC 的中点，得CD=12BC=9.所以AD=CD+AC=15.综上所述，线段AD 的长为9或15.【迁移应用】1.如图，C 为线段AD 上的一点，B 为CD 的中点，且AD=9，CD=4.若点E 在直线AD 上，且EA=1，则BE 的长为( )A.4B.6或8C.6D.82.A ，B ，C 是直线l 上的点，线段BC 的长为4，M ，N 分别为线段AB ，BC 的中点，MN 的长为3，则线段AB 的长为__________.例9.如图，点C 在线段AB 上，M ，N 分别是AC ，BC 的中点. (1)若AC=9cm ，CB=6cm ，求线段MN 的长；(2)若C 为线段AB 上任意一点，AC+CB=acm ，其他条件不变，求线段MN 的长.解：(1)因为M ，N 分别是AC ，BC 的中点，所以MC=12AC ，CN=12BC.因为AC=9cm ，CB=6cm ，所以MN=MC+CN=12AC+12BC=12(AC+BC)=12×(9+6)=7.5(cm). (2)因为M ，N 分别是AC ，BC 的中点，所以MC=12AC ，CN=12BC.因为AC+CB=a cm ，所以MN=MC+CN=12(AC+CB)=12a cm. 【迁移应用】如图，D 为线段BC 的中点，E 为线段AC 的中点.若ED=9，求线段AB 的长度.解：因为D 是线段BC 的中点，所以CD=BD.因为E 为线段AC 的中点，所以AE=CE.所以AB=AC+BC=2EC+2CD=2ED=2×9=18.五、教学反思。

新教材人教A版数学必修第二册学案：第8章8.4.1 平面Word版含解析

8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.1平面学习任务核心素养1．了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．(难点)2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(重点)3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(难点、易错点)1．通过对平面有关概念的学习，培养直观想象的数学素养．2．通过平面基本性质的应用，培养逻辑推理、直观想象的数学素养．宁静的湖面、海面，生活中的课桌面、黑板面，一望无垠的草原给你什么样的感觉？问题：(1)生活中的平面有大小之分吗？(2)几何中的“平面”是怎样的？知识点1平面平面的描述性概念几何里所说的“平面”，就是从生活中一些物体中抽象出来的．平面是向四周无限延展的画法水平放置常把平行四边形的一边画成横向竖直放置常把平行四边形的一边画成竖向记法(1)用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内(2)用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，如平面ABCD(3)用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，如平面AC，平面BD1．一个平面能否把空间分成两部分？[提示]因为平面是无限延展的，所以一个平面能把空间分成两部分．1．下列说法正确的是________．(填序号)(1)平面的形状是平行四边形；(2)任何一个平面图形都是一个平面；(3)两个平面相交的画法中，一个平面被另一个平面遮住时，被遮部分的线段应画成虚线或不画；(4)三角形、圆、平行四边形都可以表示平面．(3)(4)[(1)不正确．平面常用平行四边形表示，但不是平行四边形，平面是无限延展的．(2)不正确．平面图形与平面是两个不同的概念，平面图形具有大小、面积等属性，而平面则没有，平面是无限延展的，不可度量的．(3)正确．符合直观图画法的规则．(4)正确．三角形、圆、平行四边形都是平面图形，都可以表示平面．]知识点2点、直线、平面之间的位置关系文字语言表达图形语言表达符号语言表达点A在直线l上A∈l点B在直线l外B∉l点A在平面α内A∈α点P在平面α外P∉α直线l在平面α内l⊂α直线l不在平面α内l⊄α平面α与β相交于直线lα∩β＝l2．如图，点A________平面ABC；点A________平面BCD；BD________平面ABD；平面ABC∩平面BCD＝________．[答案]∈∉⊂BC知识点3平面的基本事实及推论(1)基本事实：基本事实内容图形符号基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l(2)基本事实1的推论．①②③推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面(图①)．推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)．2．(1)如何理解基本事实1中的“有且只有一个”？(2)两个不重合的平面可能存在有限个公共点吗？(3)如果两个不重合的平面有无数个公共点，那么这些公共点有什么特点？[提示](1)这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，本公理强调的是存在性和唯一性两个方面，因此“有且只有一个”，必须完整地使用，不能仅用“只有一个”来代替“有且只有一个”，否则就没有表达存在性．确定一个平面中的“确定”是“有且只有一个”的同义词，也就是存在性和唯一性这两个方面的，这个术语今后学习中会经常出现．(2)不能．要么没有公共点，要么有无数个公共点．(3)这些公共点落在同一条直线上．3．空间任意四点最多可以确定平面的个数是()A．1B．2C．3D．4D[空间任意四点最多可以确定平面的个数是4，例如空间任意四点为三棱锥A-BCD的顶点时，可以确定平面ABC，平面ABD，平面ACD，平面BCD．]类型1立体几何三种语言的相互转化【例1】用符号表示下列语句，并画出图形．(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．[解](1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图．三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．[跟进训练]1．用符号语言表示下列语句，并画出图形：(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于P A，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC．[解](1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝P A，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示：如图①．(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示：如图②．类型2点、线共面问题【例2】如图，已知：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α．[解]∵PQ∥a，∴PQ与a确定一个平面β．∴直线a⊂β，点P∈β．∵P∈b，b⊂α，∴P∈α．又∵a⊂α，∴α与β重合．∴PQ⊂α．解决点线共面问题的基本方法[跟进训练]2．求证：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．[解]已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C．求证：直线AB，BC，AC共面．证明：法一：因为AC∩AB＝A，所以直线AB，AC可确定一个平面α．因为B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC⊂α．因此直线AB，BC，AC都在平面α内，所以直线AB，BC，AC共面．法二：因为A不在直线BC上，所以点A和直线BC可确定一个平面α．因为B∈BC，所以B∈α，又A∈α，所以AB⊂α．同理AC⊂α，故直线AB，BC，AC共面．法三：因为A，B，C三点不在同一条直线上，所以A，B，C三点可以确定一个平面α．因为A∈α，B∈α，所以AB⊂α，同理BC⊂α，AC⊂α，故直线AB，BC，AC共面．类型3点共线、线共点问题【例3】如图，已知平面α，β，且α∩β＝l．设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β．求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E．能否判断点E在平面A1BCD1内？[提示]如图，连接BD1，∵A1C∩平面ABC1D1＝E，∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1．∵A1C⊂平面A1BCD1，∴E∈平面A1BCD1．2．上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？[提示]由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又E∈BD1，根据基本事实3可知B，E，D1三点共线．[证明]因为梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰．所以AB，CD必定相交于一点．设AB∩CD＝M．又因为AB⊂α，CD⊂β，所以M∈α，M∈β．所以M∈α∩β．又因为α∩β＝l，所以M∈l．即AB，CD，l共点(相交于一点)．1．证明三点共线的方法(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上．(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．2．证明三线共点的步骤(1)首先说明两条直线共面且交于一点．(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交．(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点．[跟进训练]3．三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝α，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线必相交于同一点．[证明]如图，∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ．∵直线a和b不平行，∴a，b必相交．设a∩b＝P，则P∈a，P∈b．∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α．又α∩β＝c，∴P∈c．故a，b，c三条直线必相交于同一点．1．下列空间图形画法错误的是()A B C DD[遮挡部分应画成虚线或不画，故D错．]2．如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为()A．A⊂a，a⊂α，B∈αB．A∈a，a⊂α，B∈αC．A⊂a，a∈α，B⊂αD．A∈a，a∈α，B∈αB[点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a⊂α，B∈α．]3．下列说法正确的是()A．镜面是一个平面B．一个平面长10 m，宽5 mC．一个平面的面积是另一个平面面积的2倍D．所有的平面都是无限延展的D[镜面可以抽象成平面，但不是平面，所以选项A不正确；平面没有大小，所以选项B和选项C都不正确，故选D．]4．不重合的三条直线，若相交于一点，最多能确定________个平面．3[三条直线相交于一点，最多可确定3个平面，如图所示，直线a，b，c相交于点A，直线a，b确定平面α，直线b，c确定平面β，直线a，c确定平面γ，共3个平面．]5．如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，求证：点P在直线DE上．[证明]因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC．又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE．所以点P在直线DE上．回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)如何用符号表示空间点、线、面的位置关系？(2)3个基本事实的内容是什么？各有什么作用？(3)基本事实1的3个推论是什么？有什么作用？(4)如何证明点、线共面问题？(5)如何证明点共线、线共面问题？。

2019年中考二轮专题复习《平面几何最值问题的解法》教学案

平面几何最值问题的解法平面几何的最值问题多为在存在动点或者不确定的位置关系的情况下求最值，有两种解题思路，一个是通过几何图形的性质实现对位置的确定，另一个是通过数量关系实现最值问题的解答. 一、利用对称性质，实现问题简单化图形经过某一点或者轴对称之后，就会有很多固有的由对称产生的等量关系，不同的对称性(如中心对称、轴对称等)也有独特的对称性质.合理地利用相应的性质会使问题得到简化，这会给解题带来很大的帮助.例1 在如图所示的平面直角坐标系中，在:轴的正半轴上有一点A ，B 的坐标为，点C 的坐标为1(,0)2，三点构成直角三角形OAB ，斜边OB 上有一个动点P ，求PA PC +的最小值.解析我们利用对称的性质，会使解题息路得到转化.如右图所示，以OB 为轴，作点A 的对称点D ，连接AD 交OB 于点M .有AP DP =恒成立.利用三角形关系中两边之和大于第三边可得出当P 在DC连线上时取得最小值，即为图中所示的情形，只要求出CD 的长即可.根据B 点坐标可求出AB =，OB =由三角形面积不同求法间的等量关系可得出32AM =.故1322AN AD ==，由C 点坐标可求出1CN =.由勾股定理可求出2DC =，此值即为所求PA PC +的最小值. 点拨本题中是作直线的对称点，实现直线同侧点到异侧点的转化，这是我们在解题中常遇到的情况以及常见的解题方法.对称性的应用注重于问题的解题技巧，目的是通过对称性使复杂的问题简单化. 二、构造不等关系，巧用基本不等式对于平面几何问题，不等关系的构造是离不开几何图形本身的数量关系的.想要利用基本不等式求解，学生需要在图形中找出满足不等式的条件，这不光对于学生的平面几何知识有考查，还要学生深入理解不等式的相关知识.例 2 已知四边形ABCD ，O 点为对角线AC 与BD 的交点，4AOB S =V ，9COD S =V ，求四边形ABCD 的面积S 的最小值解析题中的四边形为不规则图形，没有直接求此类图形的公式，我们需要将其拆分成几个三角形进行分别求解.题中给出了两个三角形的面积，我们再表示出另两个三角形的面积就可以了.四边形按照此种分解后求面积，我们发现有很多等高的三角形，出现此类三角形，其面积比就只与底的长度有关，这时就可利用此关系计算.即有AOD CODAOB BOCS S S S =V V V V ，设AOD S a =V ，BOC S b =V ，整理得36ab =.又有131325S a b =++≥=，故最小值为25.点拨本题中对于三角形知识的考察非常深入，将三角形面积间的关系转化为长度关系进行解答是最为关键的步骤，学生要有思维模式的转化才会想出这一解决方法，而后结合不等式知识解题，否则盲目地求面积是不能实现的.三、化为二次函数，列出方程再求解二次函数是初中数学中最重要的一类函数，此处并不是像压轴题那样对二次函数进行全面的考察，而是将所求的量转化为二次函数的形式，利用二次函数的相关性质解题，更加注重于对问题的分析转化能力.例3 有一三角形ABC ，底边120BC =，高80AD =，如图所示。

线段大小的比较与运算(学案)

4.2.2 线段的大小比较与运算学习目标1.会用尺规画一条线段等于已知线段，会比较两条线段的大小.（重点）2.理解线段等分点的意义.3.进行线段的运算（难点）一、提出问题，引入新课：你有什么方法比较两个同学的身高吗？思考：是否可以通过比较身高的方法类比得出比较两条线段的大小？结论：MN AB 结论：MN CD 结论：MN EF二、类比迁移探求新知假如限定用无刻度的直尺和圆规，你能作一条线段等于已知线段MN 吗？M N 练一练比较以下3组线段的大小，并表示出来。

M N M N (1) (2) M N (3) A B D E F三、动手操作丰富新知例：已知两条线段a和b,且a>b，在直线上画出线段AB=a ,再在AB的延长线上画线段BC=b.aｂ结论：AC= .练一练已知两条线段a和b,且a>b，在直线上画出线段AB=a ,再在线段AB上作线段BD=b.aｂ结论：AD= .四、合作学习，提升新知你能在直线上画出一条线段，使它等于2a-b吗？aｂA BC 五、巩固概念，学以致用1.如图，点C 是线段AB 的中点若AB=8cm ，则AC= cm.2估计下列图中线段AB 与线段AC 的大小关系，再用刻度尺或用圆规来检验你的估计。

3如图，点D 是线段AB 的中点，C 是线段AD 的中点，若AB = 4cm,求线段CD 的长是多少?六、课堂小结，反思提高通过本节课的学习，你有什么收获？七、综合运用，巩固提升已知，如图，C 在直线AB 上，且C 是线段的三等分点，并更靠近B 点，线段CB=4cm ，点M 、N 分别是AC 、BC 和中点，求线段MN 的长度。

2024年人教版六年级数学上册教案学案及教学反思3 解决问题教案

“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”和“已知比一个数多(或少)几分之几的数是多少,求这个数”的实际问题教材第35、第36页的内容。

1.结合具体情境,理解“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”和“已知比一个数多(或少)几分之几的数是多少,求这个数”的应用题的结构特征,能够用方程或算术方法解答这类简单的实际问题。

2.借助线段图培养学生分析问题、解决问题的能力。

3.进一步渗透转化的数学思想。

重点:通过分析比较,找出分数乘、除法应用题的区别和联系,掌握解决问题的规律。

难点:运用分数除法解决实际问题。

练习题投影片。

1.口头分析。

下面每组中的两个量,应把谁看作单位“1”?。

生物组的人数是美术组的13。

航模组的人数是生物组的45。

汽车的数量相当于自行车数量的232.复习分数乘法应用题。

他体内的水分约是多少千克?投影出示:一个儿童重35 kg,他体内的水分约占体重的45学生动笔在练习本上做。

学生反馈,汇报这道题如何画线段图。

(老师板演)学生分析,把哪个量看作单位“1”,求儿童体内的水分约是多少千克,也就是在求什么。

老师点明数量关系式:一个儿童的体重×4=这个儿童体内水分的质量。

51.出示例4。

老师:你能从题中找出哪些与问题有关的信息?学生找出题中的关键信息。

2.分析数量关系。

提问:例4与复习题有什么区别和联系?引导学生从已知条件和问题、单位“1”、数量关系式等几个方面进行比较。

在学生汇报过程中,展示下面的线段图。

提问:在此题的数量关系式中,小明的体重是未知的,可以用什么来表示?让学生用含有未知数x的等式表示这个数量关系式,即x×4=小明体内水分的质量。

53.解决问题。

老师:你会用列方程的方法解答这道题吗?学生汇报的同时,老师板书补充完整解题过程。

老师引导学生检验答案是否正确。

汇报检验方法。

请一名学生完整地讲述自己的解题思路和过程。

4.出示例5。

学生读题,选择有用的信息。

根据“小明的体重是35kg,他的体重比爸爸的体重轻8”这两个条件画出线段图。

13.4课题学习最短路径问题教学设计

核心
素养
目标
通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短的公理和三角形两边之和大于第三边的垂线段最短的定理。
运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径问题的思想方法。
在数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心，激发学生的学习兴趣，让学生感受到数学与现实生活的密切联系。
布置任务，复习知识点
为课堂上涉及知识点做知识储备
新课导入（疑）
一．温故知新
问题1.“孝”是中华民族的传统美德，一代代的中国人应该将它传承下去。晴空万里的一天，何将军从军营（点A）出发，到一条笔直的市集（直线l）买礼品，然后到父母家（点B），何将军到市集的什么地方买礼品，可使所走的路径最短？（假设选中的最佳位置刚好能买到礼品）
生自己读题完成题目，并先行自我归纳模型特点、作图方法、证明思路。
1.设置问题：
（1）让生在学案上作图,用点P表示具体位置；
（2）说出这样的作图依据；
（3）简要证明为何最短？
2.分析这样的模型特点：
两个定点在直线异侧，一个动点在直线上。
3.归纳此模型的作图方法、依据、证明思路。
以学生学过的知识为基础引入课题，培养学生的学习兴趣.
再动手作图，做出最短路径。
归纳总结此模型与上述模型的异同，得到作图方法。
5.在学案上作图，并证明路径最短，可以小组合作。
由平移性质可知，AM＝A'N，AA'＝MN＝M'N'，AM'＝A'N'.
AM+MN+BN转化为ＡA'＋A'Ｂ，而ＡM'＋M'N'＋ＢN'转化为ＡA'＋A'N'＋ＢN'

高中数学8.4.2空间点直线平面之间的位置关系学案新人教A版必修第二册

8．4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系问题导学预习教材P128－P131的内容，思考以下问题： 1．空间两直线有哪几种位置关系？ 2．直线与平面的位置关系有哪几种？ 3．平面与平面的位置关系有哪几种？4．如何用符号和图形表示直线与平面的位置关系？ 5．如何用符号和图形表示平面与平面的位置关系？1．空间中直线与直线的位置关系 (1)异面直线①定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线； ②画法：(通常用平面衬托)(2)空间两条直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：在同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.■名师点拨(1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a⊂α，b⊂β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．2．空间中直线与平面的位置关系一般地，直线a在平面α内时，应把直线a画在表示平面α的平行四边形内；直线a 与平面α相交时，应画成直线a与平面α有且只有一个公共点，被平面α遮住的部分画成虚线或不画；直线a与平面α平行时，应画成直线a与表示平面α的平行四边形的一条边平行，并画在表示平面α的平行四边形外．3．空间中平面与平面的位置关系(1)画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．(2)以后我们说到“两条直线”均指不重合的两条直线，“两个平面”均指不重合的两个平面．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)异面直线没有公共点．( )(2)没有公共点的两条直线是异面直线．( )(3)两条异面直线一定在两个不同的平面内．( )(4)分别在两个平面内的直线一定是异面直线．( )(5)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线，则b与c是异面直线．( )(6)若直线l与平面α不相交，则直线l与平面α平行．( )(7)如果直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b.( )(8)如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α. ( )(9)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行．( )(10)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行．( )答案：(1)√(2)×(3)√(4)×(5)×(6)×(7)×(8)√(9)×(10)×异面直线是指( )A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线解析：选D.对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面，所以A应排除．对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可能异面，如图，就是相交的情况，所以B应排除．对于C，如图中的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，所以C应排除．只有D符合定义．正方体的六个面中相互平行的平面有( )A．2对B．3对C．4对D．5对解析：选B.前后两个面、左右两个面、上下两个面都平行．直线a∥b，b⊂α，则a与α的位置关系是( )A．a∥αB．a与α相交C．a与α不相交D．a⊂α解析：选C.当直线a∥b，b⊂α时，直线a与平面α的位置关系有可能是a∥α或a⊂α，不可能相交，所以选C.正方体ABCDA1B1C1D1的各个面中与直线A1B1平行的平面有________个．解析：由正方体图形特点，知直线A1B1与平面CC1D1D和平面ABCD平行．答案：2空间两直线位置关系的判定如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________．【解析】经探究可知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面．所以②④应该填“异面”；直线D1D与直线D1C 相交于D1点，所以③应该填“相交”．【答案】①平行②异面③相交④异面(1)判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用基本事实4(下节学习)判断．(2)判定两条直线是异面直线的方法①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内；②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．1．三棱锥ABCD的六条棱所在直线成异面直线的有( )A．3对B．4对C．5对D．6对解析：选A.三棱锥ABCD的六条棱所在直线中，成异面直线的有：AB和CD，AD和BC，BD和AC，所以三棱锥ABCD的六条棱所在直线成异面直线的有3对．故选A.2．若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是( )A．异面B．相交C．平行D．异面或相交解析：选D.a与c不可能平行，若a∥c，又因为a∥b，所以b∥c，这与b∩c＝A矛盾，但a与c异面、相交都有可能．直线与平面的位置关系下列命题：①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中真命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】因为直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，所以l 不一定平行于α，所以①是假命题．因为直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，所以a和α不一定平行，所以②是假命题．因为直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，所以a不一定平行于α，所以③是假命题．因为a∥b，b⊂α，所以a⊂α或a∥α，所以a可以与平面α内的无数条直线平行，所以④是真命题．综上，真命题的个数为1.【答案】 A判断直线与平面的位置关系应注意的问题(1)在判断直线与平面的位置关系时，直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，这三种情况都要考虑到，避免疏忽或遗漏．(2)解决此类问题时，可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．1．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a与b的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能解析：选D.如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1∥平面AC，A1D1∥平面AC，有A1B1∩A1D1＝A1；又D1C1∥平面AC，有A1B1∥D1C1；取BB1和CC1的中点M，N，则MN∥BC，则MN∥平面AC，有A1B1与MN异面．2．下列命题正确的个数为( )①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；②如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．A．0 B．1C．2 D．3解析：选B.如图所示，借助长方体模型来判断．棱AA1所在直线有无数个点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确．A1B1∥AB，A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB⊂平面ABCD，所以命题②不正确．直线l与平面α平行，则l与α无公共点，l与平面α内所有直线都没有公共点，所以命题③正确．平面与平面的位置关系已知在两个平面内分别有一条直线，并且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是( )A．平行B．相交C．平行或相交D．以上都不对【解析】如图，可能会出现以下两种情况：【答案】 C1．[变条件]在本例中，若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”，则两平面的位置关系如何？解：如图，a⊂α，b⊂β，a，b异面，则两平面平行或相交．2．[变条件]在本例中，若将条件改为平面α内有无数条直线与平面β平行，那么平面α与平面β的关系是什么？解：如图，α内都有无数条直线与平面β平行．由图知，平面α与平面β可能平行或相交．3．[变条件]在本例中，若将条件改为平面α内的任意一条直线与平面β平行，那么平面α与平面β的关系是什么？解：因为平面α内的任意一条直线与平面β平行，所以只有这两个平面平行才能做到，所以平面α与平面β平行．(1)平面与平面的位置关系的判断方法①平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点；②平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．(2)常见的平面和平面平行的模型①棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；②长方体的六个面中，三组相对面平行．下列说法中正确的个数是( )①平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线；②如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线；④如果α∥β，a∥α，那么a∥β.A．0 B．1C．2 D．3解析：选A.①中，交线也可能是1条；②a也可能在经过b的平面内；③中a不平行于平面α，则a可能在平面α内，平面α内有与a平行的直线；④中，a可能在β内．故四个命题都是错误的，选A.点、线、面位置关系图形的画法如图所示，G是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点，试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．(1)过点G及AC.(2)过三点E，F，D1.【解】(1)画法：连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．(2)画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．直线与平面位置关系的图形的画法(1)画直线a在平面α内时，表示直线a的线段只能在表示平面α的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形外．(2)画直线a与平面α相交时，表示直线a的线段必须有部分在表示平面α的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开，又具有较强的立体感．(3)画直线a与平面α平行时，最直观的画法是用来表示直线a的线段在表示平面α的平行四边形之外，且与此平行四边形的一边平行．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由．解：如图，取AB的中点F，连接EF，A1B，CF.因为E是AA1的中点，所以EF∥A1B.在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形．所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1.所以E，F，C，D1四点共面．因为E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE，所以平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF.所以过点D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF.1．不平行的两条直线的位置关系是( )A．相交B．异面C．平行D．相交或异面解析：选D.若两直线不平行，则直线可能相交，也可能异面．2．若M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有( )A．l∥αB．l⊂αC．l与α相交D．以上都有可能解析：选C.由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．故选C.3．若两个平面相互平行，则分别在这两个平面内的直线的位置关系是( )A．平行B．异面C．相交D．平行或异面解析：选D.如图：4．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为( )A．平行B．直线在平面内C．相交或直线在平面内D．平行或直线在平面内解析：选D.若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面平行或直线在平面内．5．已知平面α∩β＝c，直线a∥α，a与β相交，则a与c的位置关系是________．答案：异面6．下列命题正确的是________．(填序号)①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；②若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；③如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交．解析：①显然是正确的；②中，直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面，所以②是错误的；③中，异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定，它们可以相交，可以平行，还可以在该平面内，所以③是错误的．答案：①[A 基础达标]1．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( )A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交答案：B2．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则( )A．a∥c B．a，c是异面直线C．a，c相交D．a，c平行或相交或异面解析：选D.如图，可借助长方体理解，令a＝CC1，b＝A1B1，则BC，AD，DD1均满足题目条件，故直线a和直线c的位置关系是平行、相交或异面．3．已知异面直线a，b，有a⊂α，b⊂β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是( ) A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交解析：选D.若c与a，b都不相交，因为c与a在α内，所以a∥c.又c与b都在β内，所以b∥c.所以a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．4．如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面( )A．只有一个B．恰有两个C．没有或只有一个D．有无数个解析：选C.当点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的平面内时，这样满足条件的平面没有；当点M不在上述两个平面内时，满足条件的平面只有一个．故选C.5．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成( )A．5部分B．6部分C．7部分D．8部分解析：选C.如图所示，可以将空间划分为7部分．6．已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列说法中正确的序号为________．①若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；②若α∥β，a⊂α，则a∥β；③若α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．解析：①中直线a与b没有交点，所以a与b可能异面也可能平行，故①错误；②中直线a与平面β没有公共点，所以a∥β，故②正确；③中直线a与平面β有可能平行，故③错误．答案：②7．下列命题：①平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有两条交线；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________．解析：对于①，当β∥γ时，有2条交线；当β∩γ＝a且a⊂α时，有1条交线；当α、β、γ两两相交且不过同一条直线时，有3条交线(如棱柱的三个侧面)，故①错误；对于②，可借助正方体ABCDA1B1C1D1进行判断，如图所示．因为六面体ABCDA1B1C1D1是正方体，所以AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D.因为AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，所以命题②错误，综上可知①②都错误．答案：①②8．若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a，b是异面直线，则α，β的位置关系是__________．解析：在正方体ABCD A1B1C1D1中，AB⊂平面ABCD，B1C1⊂平面A1B1C1D1，B1C1⊂平面BCC1B1，AB，B1C1是异面直线，但平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD与平面BCC1B1相交．答案：平行或相交9．完成下列作图．(1)在图中画出两个平行平面．(2)在图中画出两个相交平面．(3)在图中画出一个平面与两个平行平面相交．(4)在图中画出三个两两相交的平面．解：10.如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．解：a∥b，a∥β.证明如下：由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，因为α∥β，a⊂α，b⊂β，所以a、b无公共点．又因为a⊂γ且b⊂γ，所以a∥b.因为α∥β，所以α与β无公共点．又a⊂α，所以a与β无公共点，所以a∥β.[B 能力提升]11．经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作( )A．0个B．1个C．0个或1个D．1个或2个解析：选C.若两点所在的直线与平面平行，则可以作1个，否则，为0个．12．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有( )A．3个B．4个C．6个D．7个解析：选D.把不共面的四个定点看作四面体的四个顶点，平面α可以分为两类：第一类：如图(1)所示，四个定点分布在α的一侧1个，另一侧3个，此类中α共有4个．图(1) 图(2)第二类：如图(2)所示，四个定点分布在α的两侧各两个，此类中α共3个．综上，α共有4＋3＝7(个)，故选D.13．如图，点G、H、M、N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是________．解析：①中HG∥MN，③中GM∥HN且GM≠HN，故HG、NM必相交，②④正确．答案：②④14．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，求直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数．解：取CD的中点为G，连接FG，EG，由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行，所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在的平面相交．故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.[C 拓展探究]15.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB 与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．解：平面ABC与β的交线与l相交．证明如下：因为AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，所以AB与l一定相交．设AB∩l＝P(图略)，则P∈AB，P∈l.又因为AB⊂平面ABC，l⊂β，所以P∈平面ABC，P∈β.所以点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC 与β的一个公共点，且P，C是不同的两点，所以直线PC就是平面ABC与β的交线，即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，所以平面ABC与平面β的交线与l相交．。

高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案新人教A版必修4(2021年整理)

（浙江专版）2017-2018学年高中数学第二章平面向量2.3.1 平面向量基本定理学案新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专版）2017-2018学年高中数学第二章平面向量2.3.1 平面向量基本定理学案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2．3。

1 平面向量基本定理预习课本P93～94,思考并完成以下问题（1）平面向量基本定理的内容是什么？（2)如何定义平面向量基底?(3)两向量夹角的定义是什么？如何定义向量的垂直？错误!1．平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底[12向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．2．向量的夹角条件两个非零向量a和b产生过程作向量OA＝a，OB＝b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角范围0°≤θ≤180°特殊情况θ＝0°a与b同向θ＝90°a与b垂直，记作a⊥bθ＝180°a与b反向［点睛］当a与b共线同向时，夹角θ为0°，共线反向时,夹角θ为180°，所以两个向量的夹角的范围是0°≤θ≤180°。

初中数学线段整合教案模板

一、教学目标1. 让学生直观认识线段，了解线段的特点。

2. 培养学生能辨认线段，并初步学会画线段。

3. 发展学生的空间观念，提高想象能力和动手操作能力。

二、教学内容1. 线段的定义及特点2. 线段的画法3. 线段的应用三、教学重点与难点1. 重点：认识线段的特征，掌握线段的画法。

2. 难点：理解线段的概念，并在实际问题中应用。

四、教学准备1. 每人一根毛线、一张长方形纸、一把直尺、小黑板。

2. 教学课件或板书。

五、教学过程1. 导入：教师展示一根毛线，引导学生观察并提问：“你们觉得这根毛线像什么？”学生回答后，教师揭示课题：认识线段。

2. 新授：(1) 初步感知：教师提问：“你们觉得线段是什么样子的？”学生回答后，教师展示毛线，将其拉直，提问：“这样的一段毛线叫做线段，你们能想办法画出一条线段吗？”学生尝试后，教师进行讲解。

(2) 认识端点：教师提问：“线段的两个端点在哪里？”学生回答后，教师进行演示，让学生触摸线段的两个端点。

(3) 总结概念：教师提问：“线段有哪些特征？”学生回答后，教师进行总结。

3. 应用拓展：教师出示一些实际问题，让学生运用线段的知识进行解答。

例如：“在纸上画一条4厘米的线段”、“计算两线段之间的距离”等。

4. 总结：教师提问：“这节课你们学会了什么？”学生回答后，教师进行总结。

六、课后作业1. 复习线段的知识，准备下一节课的学习。

2. 完成课后练习，巩固所学知识。

七、教学反思教师在课后对自己的教学进行反思，看是否达到教学目标，学生是否掌握了线段的知识，以及学生在课堂上表现出的优点和不足之处。

在下一节课中，针对学生的不足之处进行讲解，提高教学效果。

初中数学线段与面积教案

初中数学线段与面积教案知识与技能目标：通过学习，使学生能够理解线段的定义及其基本性质，掌握线段的画法，能够运用线段解决一些实际问题。

过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间观念，提高学生的动手操作能力和解决问题的能力。

情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探究、积极向上的学习态度。

二、教学重点与难点：重点：线段的定义及其基本性质，线段的画法。

难点：理解并掌握线段的性质，能够运用线段解决实际问题。

三、教学准备：教具准备：直尺、三角板、线段模型等。

学具准备：每个学生准备一根毛线、一张长方形纸、一把直尺。

四、教学过程：1.导入：同学们，我们今天要学习一个新的数学概念——线段。

请大家猜想一下，线段是什么样的呢？2.新课：(1)初步感知：请大家观察一下，你们手中的毛线，如果把它拉得直直的，它就变成了一条线段。

我们来试着拉一下，感受一下线段的特点。

(2)认识端点：线段有两个端点，这两个端点确定了线段的位置。

我们来试着找一下，这两根毛线线段的端点在哪里。

(3)总结概念：线段是直直的，有两个端点。

请大家试着闭上眼睛，把线段的形象印在脑海中。

(4)线段的画法：请大家试着用直尺和三角板，画一条线段。

可以互相交流一下，看看大家的线段画得怎么样。

3.巩固练习：请大家运用手中的学具，尝试解决以下问题：(1)用线段模型，试着拼出一个正方形。

(2)请你用线段来测量一下，这张长方形纸的长和宽分别是多少？4.课堂小结：通过今天的学习，我们认识了线段，知道了线段的特征和画法。

希望大家能够运用线段，解决更多的生活中的问题。

五、课后作业：请大家运用线段的知识，解决以下问题：1.请你用线段测量一下，你家客厅的长和宽分别是多少？2.请你用线段来设计一个正方形，并计算出它的面积。

六、教学反思：本节课通过学生动手操作，合作交流，让学生充分理解线段的特征和性质，掌握线段的画法。

在教学过程中，要注意引导学生运用线段解决实际问题，提高学生的动手操作能力和解决问题的能力。