山东省高三数学10月联考试题
2024 届高三 10 月大联考(新课标卷)数学参考答案
2024届高三10月大联考（新课标卷）数学·全解全析及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．B 【解析】由题意,知{|44}{4,3,2,1,0,1,2,3,4}A x x Z .又{|14}B x x ，所以{1,0,1,2,3}A B ，所以()A A B {4,3,2,4} .故选B ．2．A 【解析】若“ 是第二象限角”，则sin 0,tan 0 ，所以sin tan 0 ，所以“ 是第二象限角”是“sin tan 0 ”的充分条件；若sin tan 0 ，则sin 0,tan 0 或sin 0,tan 0 ，所以θ是第二象限角或第三象限角，则“ 是第二象限角”不是“sin tan 0 ”的必要条件，故选A ． 3．D 【解析】方法一：由题意，知函数242()log 2xf x x x的定义域为(2,2) ，关于原点对称，且242()()log ()2xf x x f x x，所以函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，C ； 当(0,2)x 时，212x x ，即42log 02xx，因此()0f x ，故排除A ．故选D ． 方法二：由方法一，知函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，C ； 又21(1)log 302f ，所以排除A ．故选D ．4．B【解析】方法一：因为||||2,||NO MO MN ,所以π6OMN,||3MP ,所以2()MO OP MO MP MO MO MP MOπ2cos 424236 ．故选B ．方法二：如图，设MN 的中点为Q ，连接OQ ，则OQ MN .由||||2NO MO，||MN得||MQ ||1OQ ，所以π6OMQ，||3MP ，所以||3PQ ，所以π6POQ ，所以π6POM，||OP ，所以π||||cos 226MO OP OM OP OM OP .故选B ．5．C 【解析】令 4.60.1100e 60x y ，得0.1 4.6ln 400.9,x 解得9x ，故至少需要10个月,总质量为 100g 的PBAT 才会被分解为对环境无害的物质．故选C ．6．D 【解析】设圆的半径为R ,依题意，由余弦定理，得2222crd (45)2cos 45(2R R R R R ，所以crd(45) .故选D.7．A 【解析】因为1cos (cos cos )sin (sin sin )5，所以11cos()5 ，所以4cos()5.因为(0,2) ，， ，所以π02 ，所以3sin()5 ，所以3sin cos cos sin 5 .又7sin cos 10，所以1cos sin 10 ，所以714sin()sin cos cos sin 10105．故选A ． 8．B 【解析】易知2()cos (1)x x f x a a x x a 是偶函数，()()ln 2sin x x f x a a a x x ，当0x 时， 因为1a ，所以ln 0a ,0x x a a .令()2sin x x x ，0x ，则()2cos 0'x x ，所以()x 单调 递增，所以()(0)0x ，所以()0f x ，()f x 在(0,) 上单调递增．构造函数ln ()xg x x，则 ()g'x21ln xx.令()0g'x ，得0e x ，令()0g'x ，得e x ，所以()g x 在区间(0,e)上单调递增，在 区间(e,) 上单调递减．又ln 2ln 424 ，所以(4)(π)(e)g g g ，所以ln 2ln 4ln πln e24πe，所以 111πe22πe ，所以111πee(π)(e )(e )f f f f ，即11πe(π)(e )f f f ．故选B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
齐鲁名校联盟天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题(解析版)
“天一大联考·齐鲁名校联盟” 2024—2025学年高三年级第二次联考数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则()U A B =（ ） A {}2,4,5,6 B. {}4,6 C. {}2,4,6D. {}2,5,6【答案】A 【解析】【分析】由集合的交集运算、补集运算即可求解.【详解】由题意集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则{}1,3A B = ，(){}2,4,5,6U A B = .故选：A.2. 已知0,0m n >>，且3m n +=+的最大值为（ ） A. 8B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最大值..【详解】由0,0m n >>，3m n +=，得6(2)(1)m n =+++≥，当且仅当213m n +=+=，即1,2m n ==时取等号，=≤+的最大值为故选：B3. 函数)()(e e x x f x x −=−的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数()f x 奇偶性排除两个选项，再利用0x >时，函数值的正负判断即可. 【详解】函数)()(e e x x f x x −=−的定义域为R ，()()(e )e x x f x x f x −=−=−−， 因此函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除AC ；当0x >时，0e e 1x x −<<<，则()0f x <，排除D ，选项B 符合题意. 故选：B4. 一块扇形薄铁板的半径是30，圆心角是120 ，把这块铁板截去一个半径为15的小扇形后，剩余铁板恰好可作为一个圆台的侧面，则该圆台的体积为（ ）A.B.1750π9C.D.【解析】【分析】根据给定条件，求出原扇形及截去的小扇形围成的圆锥体积，再利用圆台的定义求出圆台体积.【详解】半径为30，圆心角为120 的扇形围成圆锥的底面圆半径r ，则2π2π303r =⋅，解得10r =，该圆锥的高h =，体积为2211ππ1033V r h ==⋅⋅=， 截去半径为15的小扇形围成圆锥的底面圆半径0r ，则02π2π153r =⋅，解得05r =，该圆锥的高0h =2200011ππ533V r h ⋅⋅，所以该圆台的体积为0πV V −=. 故选：C5. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】由321a a a >>可得10,01a q <<<或10,1a q >>，由{}n S 递增得出0n a >恒成立，再由充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】令等比数列{}n a 的公比为q ，由321a a a >>，得1112a a a q q >>，则10,01a q <<<或10,1a q >>，由数列{}n S 为递增数列，得110n n n a S S ++−>，即N n ∗∀∈，10na q >，因此10,0a q >>，所以“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的既不充分也不必要条件. 故选：D6. 函数221,2()2,2x x f x x x −<−= −≥−的最小值为（ ）A. 4−B. 2−C. 3D. 5【答案】B【分析】根据给定条件，分段探讨函数()f x 的单调性，进而求出最小值. 【详解】当2x <−时，函数()21x f x =−在(,2)−∞−上单调递增，31()4f x −<<−； 当2x ≤−时，函数2()2f x x =−在[2,0]−上单调递减，在[0,)+∞上单调递增，()(0)2f x f ≥=−， 所以当0x =时，min ()2f x =−. 故选：B7. 已知数列{}n a 满足：11a =，点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，其中k 为常数()0k ≠，且124,,a a a 成等比数列，则k 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】【分析】根据递推公式求出2a ，4a ，再根据124,,a a a 成等比数列，可求k 的值.【详解】因为点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上， 所以11n n a a kn ++=+⇒11n n kn a a +=+−， 所以11a =，211k k a a =+−=，32211a k k a =+−=+，43312k k a a =+−=， 因为124,,a a a 成等比数列，所以212k k =×⇒2k =或0k =（舍去）. 故选：A8. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()1(1)f x f x =−−，若函数442xxy =+与函数()y f x =的图象的交点为112220252025(),),(,),,(,x y x y x y ，则20251)(iii x y =+=∑（ ） A. 0 B.20252C. 2025D.60752【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 及442xx y =+的图象的对称中心，再结合中心对称图形的性质计算即得.【详解】依题意，由()1(1)f x f x =−−，得()(1)1f x f x +−=，则函数()y f x =的图象关于点11(,)22对称，令4()42x x g x =+，则114444()(1)1424242424x x x x x x xg x g x −−+−=+=+=++++⋅， 因此函数()y g x =的图象关于点11(,)22对称，显然函数()y f x =与()y g x =的图象对称中心相同， 则函数()y f x =与()y g x =的图象的交点关于点11(,)22对称，不妨令点(,)i i x y 与20262026(,)(1,2,3,,2025)i i x y i −−= 关于点11(,)22对称，则202620261,1i i i i x x y y −−+=+=，20262026()()2i i i i x y x y −−+++=， 所以202512(202520252)i ii x y =+=×=∑. 故选：C【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，①存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +−=⇔++−=，则函数()y f x =图象关于点(,)a b 对称.②存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =−⇔+=−，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的是（ ） A. 若,a b c >∈R ，则22ac bc > B. 若22,a bc c c >∈R ，则a b > C. 若a b >，则22a b > D. 函数2sin sin y x x=+的最小值为【答案】BC 【解析】【分析】对A 举反例即可；对B 根据不等式性质即可判断；对C ，利用指数函数单调性即可判断；对D 举反例即可.【详解】对A ，当0c =时，22ac bc =，故A 错误； 对B ，当22a b c c>，则20c >，则a b >，故B 正确； 对C ，根据指数函数2x y =在R 上单调递增，且a b >，则22a b >，故C 正确；对D ，当sin 1x =−时，2sin 3sin y x x=+=−<D 错误. 故选：BC.10. 如图，有一列曲线012,,, P P P ，已知0P 所围成的图形是面积为1的等边三角形，1(0,1,2,3,)k P k += 是对k P 进行如下操作得到的：将k P 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记k S 为曲线k P 所围成图形的面积，则（ ）A. 3P 的边数为128B. 24027S =C. n P 的边数为34n ×D. 834()559nn S =−⋅【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定信息，归纳可得n P 的边数判断AC ；依次计算归纳得n P 所围图形的面积判断BD. 【详解】依题意，令0P 图形边长为a21=，边数是3； 根据图形规律，1P 图形边长为3a，边数为0P 边数的4倍，即34×； 2P 图形边长为23a，边数为234×；依此类推，n P 图形边长为3n a ，边数为34n ×，C 正确；3P 的边数为334192×=，A 错误；由图形规律知曲线n P 所围图形的面积n S 等于曲线1n P −所围面积加上每一条边增加的小等边三角形的面积，2a，的则121(34)()3n n n n a S S −−=+×，整理得1114()39n n n S S −−−=×，数列1{}n n S S −−是等比数列，1P图形的面积21413()33a S =+=， 121321144[1()]4183499()433559()9()()1n n n n n S S S S S S S S −−−=+×−=+−+−−×++=− ，D 正确； 2831640558127S =−×=，B 正确.故选：BCD11. 已知函数()32,f x x ax a =−+∈R ，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()0,2对称B. (),a f x ∃∈R 仅有一个极值点C. 当1a =时，()f x 图象的一条切线方程为240x y −+=D. 当3a <时，()f x 有唯一的零点 【答案】ACD 【解析】【分析】根据函数的奇偶性判断A ，根据三次函数的性质判断B ，根据导数的意义求切线判断C ，利用极值点的符号判断D.【详解】对A ：设()3g x x ax =−，则函数()g x 为奇函数，图象关于原点()0,0对称，将()3g x x ax=−的图象向上平移2个单位，得函数()32f x x ax =−+的图象，故函数()f x 的图象关于点()0,2对称，A正确；对B ：由三次函数的性质可知，函数()f x 要么有2个极值点，要么没有极值点，所以B 错误；对C ：当1a =时，()32f x x x =−+，()231f x x ′=−. 由()2f x ′=⇒2312x −=⇒1x =或1x =−.若1x =，则2y =，所以()f x 在1x =处的切线方程为：即2y x =；若1x =−，则2y =，所以()f x 在1x =−处的切线方程为：()221y x −=+即240x y −+=.故C 正对D ：因为()23f x x a ′=−， 若0a ≤，则()0f x ′≥在(),−∞+∞上恒成立，则()f x 在(),−∞+∞上单调递增，由三次函数的性质可知，此时函数()f x 只有一个零点；若0a >，由()0f x ′<⇒x <<()0f x ′>⇒x <或x >.所以函数()f x 在,−∞和 +∞ 上单调递增，在上单调递减，要使函数()f x 只有1个零点，须有0f >（因为()02f =，所以0f < 不成立），即320a −>⇒3a <，得0<<3a . 综上可知：当3a <时，函数()f x 有唯一的零点，故D 正确. 故选：ACD【点睛】方法点睛：本题可以结合三次函数的图象和性质进行分析.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知集合*2{13,{|(2)20}|}A x x B x ax a x =∈≤<=−++=N ，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，则实数a 的所有取值组成的集合是______. 【答案】{0,2} 【解析】【分析】用列举法表示集合A ，利用充分不必要条件的定义，借助集合的包含关系分类求解即得.【详解】依题意，{1,2}A =，{|(2)(1)0}B x ax x =−−=，显然B ≠∅， 由“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，得B A ，当0a =时，{1}B =，符合题意，当0a ≠时，方程2(2)20ax a x −++=的根为1和2a， 显然22a ≠，否则B A =，不符合题意，因此21a，解得2a =，此时{1}B =，符合题意， 所以实数a 的所有取值组成的集合是{0,2}.故答案为：{0,2}13. 蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱,,,,,AG BH CI DJ EK FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形,,PGHI PIJK PKLG 构成，10928GPI IPK KPG θ′∠=∠=∠=≈ ，设1BC =，则上顶的面积为______.（参考数据：1cos ,tan 32θθ=−）【解析】.【详解】依题意，由10928GPI IPK KPG θ′∠=∠=∠=≈ ，得10928GHI θ′∠=≈ ，在菱形PGHI 中，连接GI 并取其中点O ，连接OH，则tan2GOOHθ==，由正六边形ABCDEF 的边长1BC =，得2sin 60AC AB == ，由蜂巢结构特征知，AG CI =，又,AG CI 都垂直于平面ABCDEF ，则//AG CI ，于是四边形ACIG是平行四边形，有GI AC =OH =因此一个菱形面积为1222GHI S GI OH =⋅⋅ ，所以上顶的面积为3的故答案14. 已知函数()ln f x x x =，则()f x 的最小值为______；设函数()()2g x x af x =−，若()g x 在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是______.【答案】 ①. 1e− ②. []0,2 【解析】【分析】空1，直接求导利用()f x 的单调性去求其最小值即可；空2，利用导数与单调性的关系建立不等式，利用不等式的恒成立解决参数范围即可.【详解】由题可知()ln f x x x =定义域为()0,∞+()ln 1f x x =′− 显然，当10,e x ∈时，ff ′(xx )<0，()f x 单调递减；当1,+e x ∞ ∈时，ff ′(xx )>0，()f x 单调递增； 所以()f x 的最小值为11e ef =−； 由题可知，()()22ln g x x af x x ax x =−=− 所以()2ln g x x a x a =−−′ 由题可知()2ln 0g x x a x a ′−−≥恒成立，当0a <，显然当0x →时，()g x ∞′→−，故不成立；为当0a >时，由2ln 0x a x a −−≥恒成立，得21ln x a x+≥恒成立， 即max21ln x a x +≥ 不妨令()1ln xh x x+=，所以()2ln x h x x −=′ 所以显然当xx ∈(0,1)时，ℎ′(xx )>0，ℎ(xx )单调递增；当()1,+x ∞∈时，ℎ′(xx )<0，ℎ(xx )单调递减；所以()()max11h x h ==，即2102a a≥⇒<≤ 综上所述：[]0,2a ∈ 故答案为：1e−；[0,2]【点睛】关键点点睛，当不等式化简时，不要在不等式两边去随意乘或者除以一个未知数，要保证知道其正或负，再去作乘除计算.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知数列{}n a 满足()2*112,1n n n a a a a n +==−+∈N.（1）比较20242026,a a 的大小，并写出过程；（2）设数列1n a的前n 项和为n S ，证明：1n S <.【答案】（1）20242026a a < （2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）证明数列的单调性，可比较给出的两项的大小.（2）先根据统计得到111111n n n a a a +=−−−，再求n S 进行判断即可. 【小问1详解】因为211n n n a a a +=−+⇒()2212110n n n n n a a a a a +−=−+=−≥，所以1n n a a +≥.若1n n a a +=，则211n n n n a a a a +=−+=⇒1n a =，这与12a =矛盾.所以1n n a a +>. 故20242026a a <. 【小问2详解】由211n n n a a a +=−+⇒()2111n n n n n a a a a a +−=−=−，所以()11111111n n n n n a a a a a +==−−−−⇒111111n n n a a a +=−−−. 所以11111111nnn i i i i i S a a a ==+==− −−∑∑1111111111n n a a a ++=−=−−−−. 由（1）可知：12n a +>，所以1n S <16. 已知函数()f x 与其导函数()f x ′的定义域均为R ，且()f x 为奇函数，当0x >时，()()()2,10f x f x f −>=′.（1）判断()y f x ′=的奇偶性； （2）解不等式()0f x >.【答案】（1）偶函数，理由见解析 （2）(1,0)(1,)−+∞ 【解析】【分析】（1）对()()f x f x −=−两边同时求导即可证明； （2）构造函数2()()exf x h x =，求导得到其单调性即可得到()f x 在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零，再根据其为奇函数即可得到答案. 【小问1详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x −=−， 两边同时求导可得()()f x f x ′′−−=−，即()()f x f x ′′−=， 所以()y f x ′=为偶函数. 【小问2详解】.因为当0x >时，()2()f x f x ′−>，所以()2()f x f x ′>. 构造函数2()()e x f x h x =，则2()2()()exf x f x h x ′−′=， 所以当0x >时，()0,()h x h x >′在(0,)+∞上单调递增，又因为(1)0f =，所以(1)0,()h h x =在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零， 又因为2e 0x >，所以()f x 在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零， 因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以(0)0,()f f x =在(,1)∞−−上小于零，在(1,0)−上大于零， 综上所述，()0f x >的解集为(1,0)(1,)−+∞ .17. 如图，在四棱锥P ABCD −中，侧棱PA ⊥底面,ABCD AB BC ⊥，且2,PA AB BC AD CD =====（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）求平面PBC 与平面PAD 夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）首先证明AC BD ⊥，再利用线面垂直的性质得PA BD ⊥，最后线面垂直的判定即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，最后根据面面角的空间向量求法即可得到答案. 【小问1详解】 记AC BD O = ，如图.因为,AB BC AD CD ==，BD BD =，所以ABD CBD ≅ ， 所以ADO CDO ∠=∠，由等腰三角形三线合一知90AOD COD °∠=∠=，即AC BD ⊥， 又PA ⊥底面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥， 因为AC PA A ∩=，且AC ⊂平面,PAC PA ⊂平面PAC ， 所以BD ⊥平面PAC .【小问2详解】取PC 的中点M ，连接OM ，则//OM PA ，所以OM ⊥平面ABCD ， 所以,,OC OD OM 三条直线两两互相垂直，以,,OC OD OM 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，由题意及（1）知1,2OA OD ==， 则(1,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,2)A B C D P −−−，所以(1,2,2),(1,2,0),(1,1,2),(1,1,0)PD AD PB BC =−==−−=，设平面PAD 的法向量为mm��⃗=(xx 1,yy 1,zz 1)， 同理设平面PBC 的法向量为nn�⃗=(xx 2,yy 2,zz 2)， 则2222220n PB x y z n BC x y ⋅=−−= ⋅=+= ，可取(1,1,1)n =− .所以cos ,m nm n m n ⋅===⋅所以平面PBC 与平面PAD， 所以平面PBC 与平面PAD18. 设函数()ln(1)(0)f x x k x k =+−≠. （1）讨论()f x 的单调区间.（2）已知直线l 是曲线()y f x =在点(,())(2)t f t t >处的切线. （i ）求直线l 的方程；（ii ）判断直线l 是否经过点(2,2). 【答案】（1）答案见解析； （2）（i ）(1)ln(1)11k kt y x k t t t =++−−−−；（ii ）不经过. 【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，再按0k <和0k >分类求出()f x 的单调区间.（2）（i ）由（1）结合导数的几何意义求出切线l 的方程；（ii ）令2x =，求出y 的值并判断与2的大小. 【小问1详解】函数()ln(1)f x x k x =+−的定义域为(1,)+∞，求导得(1)()111k x k f x x x −−′=+=−−， 当0k <时，11k −>，由()0f x ′<，得11x k <<−；由()0f x ′>，得1x k >−， 函数()f x 在(1,1)k −上单调递减，在(1,)k −+∞上单调递增，当0k >时，11k −<，则恒有()0f x ′>，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以当0k <时，函数()f x 的单调递减区间是(1,1)k −，单调递增区间是(1,)k −+∞； 当0k >时，函数()f x 的单调递增区间是(1,)+∞，无递减区间. 【小问2详解】（i ）由（1）知，()11kf t t ′=+−，而()ln(1)f t t k t =+−， 则直线l 的方程为ln(1)](1))1[(y k t k t x t t +−−=+−−，即(1)ln(1)11k kt y x k t t t =++−−−−.（ii ）由（i ）知，直线l 的方程为(1)ln(1)11k kt y x k t t t =++−−−−， 当2x =时，22(1)ln(1)2[ln(1)]111k kt t y k t k t t t t −=++−−=++−−−−， 令21()ln(1)1ln(1)11t g t t t t t −=+−=−+−−−，而2t >， 求导得22112()0(1)1(1)t g t t t t −′=−+=>−−−，函数()g t 在(2,)+∞上单调递增， 因此()(2)0g t g >=，即2t ∀>，()0g t ≠，而0k ≠，于是22[ln(1)]21tk t t −++−≠−， 所以直线l 不经过点(2,2).19. 设数阵111202122x x X x x=，其中{}11122122,,,1,2,3,4,5,6x x x x ∈.设{}{}12,,,1,2,3,4,5,6k Bn n n ⊆ ，其中*12,k n n n k <<<∈N 且6k ≤.定义变换t M 为“对于数阵的每一列，若其中有t 或t −，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t 且没有t −，则这一列中每个数都乘以()121,,,k t n n n −=”，()0B M X 表示“将0X 经过1n M 变换得到1X ，再将1X 经过2n M 变换得到2,X ，以此类推，最后将1k X −经过k n M 变换得到k X ”.记数阵k X 中四个数的和为()0B T X .（1）若{}021,2,534X B ==，写出0X 经过2M 变换后得到的数阵1X ，并求()0B T X 的值； （2）若{}012321,,,34X Bn n n==，求所有()0B T X 取值的和；（3）对任意确定的一个数阵0X ，证明：所有()0B T X 取值的和不大于8−；（4）如果01336X=，其他条件不变，你研究（1）后得出什么结论？【答案】（1）0 （2）40（3）证明见解析 （4）()013B T X = 【解析】【分析】（1）先写出12134X − =−，再计算得22134X −=− ，最后相加即可； （2）分{1,2,3,4}B ⊆和{}32,3,B n =或{}331,4,,{5,6}B n n =∈以及{}11,5,6,{1,2,3,4}B n n =∈讨论即可；（3）分若1121x x ≠和1121x x =两大类讨论即可； （4）直接代入计算得11336X −− = −−，21336X= 即可得到答案. 【小问1详解】因为021,{2,5}34X B==，0X 经过2M 变换后得到数阵12134X −= −，1X 经过5M 变换后得到数阵22134X − =−， 所以()021340B T X =−+−+=. 【小问2详解】若{1,2,3,4}B ⊆，则32134X −= − 或32134X − = −，可得()00,4B T X =种情况；若{}32,3,B n =或{}331,4,,{5,6}B n n =∈，则32134X −−= −−，可得()010,4B T X =−种情况；若{}123,,B n n n =，从{1,4}和{2,3}中各取出一个元素a ，b ，123min{,},max{,},{5,6}n a b n a b n ==∈，则32134X=，可得()010,8B T X =种情况；若{}11,5,6,{1,2,3,4}Bn n =∈，则32134X −= − 或32134X − = −，可得()00,4B T X =种情况.综上，所有()0B T X 取值的和为404(10)8104040×+×−+×+×=.【小问3详解】若1121x x ≠，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中， ①含有11x 且不含21x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ， 其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x −−； ②含有21x 且不含11x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ， 其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x −−； ③同时含有11x 和21x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x −−， 其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ； ④不含11x 也不含21x 的子集共421−个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x −−， 其中含有偶数个元素的集合有7个，经过变换后第一列均仍为1121,x x . 若1121x x =，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中， ①含有11x 的子集共52个，其中含有奇数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ， 其中含有偶数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均变为1121,x x −−； ②不含11x 的子集共521−个，其中含有奇数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均变为1121,x x −−， 其中含有偶数个元素的集合有15个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ； 综上，经过变换后，所有k X 的第一列数的和为()()()112111211121(88881616)(88871615)2x x x x x x +++++−−+++++++=−−同理，经过变换后所有k X 的第二列数的和为()12222x x −−.所以所有()0B T X 取值的和为()112112222x x x x −−−−，又因为11122122,,,{1,2,3,4,5,6}x x x x ∈，所以所有()0B T X 取值的和不超过8−. 【小问4详解】如果01336X=，其他条件不变，0X 经过2M 变换后得到数阵11336X −−= −− ，1X 经过5M 变换后得到数阵21336X=，则（1）中()013B T X =.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用分类讨论的思想，分1121x x ≠和1121x x =讨论即可.。
天一大联考齐鲁名校联盟2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题
“天一大联考·齐鲁名校联盟”2024—2025学年高三年级第二次联考数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则()U A B =ð（）A.{}2,4,5,6 B.{}4,6 C.{}2,4,6 D.{}2,5,62.已知0,0m n >>，且3m n +=，则21m n +++的最大值为（）A.8B.23C.22D.572+3.函数)()(e e x x f x x -=-的图象大致为（）A. B. C. D.4.一块扇形薄铁板的半径是30，圆心角是120 ，把这块铁板截去一个半径为15的小扇形后，剩余铁板恰好可作为一个圆台的侧面，则该圆台的体积为（）A.17502π9B.1750π9C.17502π3D.17502π5.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.函数221,2()2,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩的最小值为（）A .4- B.2- C.3D.57.已知数列{}n a 满足：11a =，点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，其中k 为常数()0k ≠，且124,,a a a 成等比数列，则k 的值为（）A.2B.3C.4D.58.已知定义在R 上的函数()f x 满足()1(1)f x f x =--，若函数442x xy =+与函数()y f x =的图象的交点为112220252025(),),(,),,(,x y x y x y ，则20251)(i i i x y =+=∑（）A.0B.20252C.2025D.60752二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.下列说法正确的是（）A.若,a b c >∈R ，则22ac bc >B.若22,a b c cc >∈R ，则a b >C.若a b >，则22a b >D.函数2sin sin y x x=+的最小值为2210.如图，有一列曲线012,,, P P P ，已知0P 所围成的图形是面积为1的等边三角形，1(0,1,2,3,)k P k += 是对k P 进行如下操作得到的：将k P 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记k S 为曲线k P 所围成图形的面积，则（）A.3P 的边数为128B.24027S =C.n P 的边数为34n⨯ D.834()559nn S =-⋅11.已知函数()32,f x x ax a =-+∈R ，则（）A.()f x 的图象关于点()0,2对称B.(),a f x ∃∈R 仅有一个极值点C.当1a =时，()f x 图象的一条切线方程为240x y -+=D.当3a <时，()f x 有唯一的零点三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合*2{13,{|(2)20}|}A x x B x ax a x =∈≤<=-++=N ，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，则实数a 的所有取值组成的集合是______.13.蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱,,,,,AG BH CI DJ EK FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形,,PGHI PIJK PKLG 构成，10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，设1BC =，则上顶的面积为______.（参考数据：1cos ,tan232θθ=-=）14.已知函数()ln f x x x =，则()f x 的最小值为______；设函数()()2g x x af x =-，若()g x 在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是______.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 满足()2*112,1n n n a a a a n +==-+∈N.（1）比较20242026,a a 的大小，并写出过程；（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：1n S <.16.已知函数()f x 与其导函数()f x '的定义域均为R ，且()f x 为奇函数，当0x >时，()()()2,10f x f x f ->='.（1）判断()y f x '=的奇偶性；（2）解不等式()0f x >.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面,ABCD AB BC ⊥，且2,2,5PA AB BC AD CD =====.（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）求平面PBC 与平面PAD 夹角的正弦值.18.设函数()ln(1)(0)f x x k x k =+-≠.（1）讨论()f x 的单调区间.（2）已知直线l 是曲线()y f x =在点(,())(2)t f t t >处的切线.（i ）求直线l 的方程；（ii ）判断直线l 是否经过点(2,2).19.设数阵111202122x x X x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中{}11122122,,,1,2,3,4,5,6x x x x ∈.设{}{}12,,,1,2,3,4,5,6k B n n n =⊆ ，其中*12,k n n n k <<<∈N 且6k ≤.定义变换t M 为“对于数阵的每一列，若其中有t 或t -，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t 且没有t -，则这一列中每个数都乘以()121,,,k t n n n -= ”，()0B M X 表示“将0X 经过1n M 变换得到1X ，再将1X 经过2n M 变换得到2,X ，以此类推，最后将1k X -经过k n M 变换得到k X ”.记数阵k X 中四个数的和为()0B T X .（1）若{}021,2,534X B ⎛⎫==⎪⎝⎭，写出0X 经过2M 变换后得到的数阵1X ，并求()0B T X 的值；（2）若{}012321,,,34X B n n n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求所有()0B T X 取值的和；（3）对任意确定的一个数阵0X ，证明：所有()0B T X 取值的和不大于8-；（4）如果01336X ⎛⎫=⎪⎝⎭，其他条件不变，你研究（1）后得出什么结论？“天一大联考·齐鲁名校联盟”2024—2025学年高三年级第二次联考数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则()U A B =ð（）A.{}2,4,5,6 B.{}4,6 C.{}2,4,6 D.{}2,5,6【答案】A 【解析】【分析】由集合的交集运算、补集运算即可求解.【详解】由题意集合{}1,2,3,4,5,6U=，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则{}1,3A B = ，(){}2,4,5,6U A B = ð.故选：A.2.已知0,0mn >>，且3m n +=，则21m n +++的最大值为（）A.8B.23C.22D.572+【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最大值.【详解】由0,0mn >>，3m n +=，得6(2)(1)2(2)(1)m n m n =+++≥++，当且仅当213m n +=+=，即1,2m n ==时取等号，因此221(21)62(2)(1)23m n m n m n +++=+++=+++≤，所以21m n +++的最大值为23.故选：B3.函数)()(e e x x f x x -=-的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数()f x 奇偶性排除两个选项，再利用0x >时，函数值的正负判断即可.【详解】函数)()(e e x x f x x -=-的定义域为R ，()()(e )e x x f x x f x -=-=--，因此函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除AC ；当0x >时，0e e 1x x -<<<，则()0f x <，排除D ，选项B 符合题意.故选：B4.一块扇形薄铁板的半径是30，圆心角是120 ，把这块铁板截去一个半径为15的小扇形后，剩余铁板恰好可作为一个圆台的侧面，则该圆台的体积为（）A.2π9B.1750π9C.2π3D.17502π【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出原扇形及截去的小扇形围成的圆锥体积，再利用圆台的定义求出圆台体积.【详解】半径为30，圆心角为120 的扇形围成圆锥的底面圆半径r ，则2π2π303r =⋅，解得10r =，该圆锥的高h=2211ππ10π333V r h ==⋅⋅=，截去半径为15的小扇形围成圆锥的底面圆半径0r，则02π2π153r =⋅，解得05r =，该圆锥的高0h==2200011ππ5π333V r h ==⋅⋅=，所以该圆台的体积为0π27π31π33VV -=-=.故选：C5.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】由321a a a >>可得10,01a q <<<或10,1a q >>，由{}n S 递增得出0n a >恒成立，再由充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】令等比数列{}n a 的公比为q ，由321a a a >>，得1112a a a q q >>，则10,01a q <<<或10,1a q >>，由数列{}n S 为递增数列，得110n n n a S S ++=->，即N n *∀∈，10n a q >，因此10,0a q >>，所以“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的既不充分也不必要条件.故选：D6.函数221,2()2,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩的最小值为（）A.4- B.2- C.3 D.5【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，分段探讨函数()f x 的单调性，进而求出最小值.【详解】当2x <-时，函数()21x f x =-在(,2)-∞-上单调递增，31()4f x -<<-；当2x ≤-时，函数2()2f x x =-在[2,0]-上单调递减，在[0,)+∞上单调递增，()(0)2f x f ≥=-，所以当0x =时，min ()2f x =-.故选：B7.已知数列{}n a 满足：11a =，点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，其中k 为常数()0k ≠，且124,,a a a 成等比数列，则k 的值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】根据递推公式求出2a ，4a ，再根据124,,a a a 成等比数列，可求k 的值.【详解】因为点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，所以11n n a a kn ++=+⇒11n n kn a a +=+-，所以11a =，211k ka a =+-=，32211a k k a =+-=+，43312k k a a =+-=，因为124,,a a a 成等比数列，所以212k k =⨯⇒2k =或0k =（舍去）.故选：A8.已知定义在R 上的函数()f x 满足()1(1)f x f x =--，若函数442x x y =+与函数()y f x =的图象的交点为112220252025(),),(,),,(,x y x y x y ，则20251)(i i i x y =+=∑（）A.0B.20252C.2025D.60752【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 及442x xy =+的图象的对称中心，再结合中心对称图形的性质计算即得.【详解】依题意，由()1(1)f x f x =--，得()(1)1f x f x +-=，则函数()y f x =的图象关于点11(,)22对称，令4()42xxg x =+，则114444()(1)1424242424x x x x x x x g x g x --+-=+=+=++++⋅，因此函数()y g x =的图象关于点11(,)22对称，显然函数()y f x =与()y g x =的图象对称中心相同，则函数()y f x =与()y g x =的图象的交点关于点11(,22对称，不妨令点(,)i i x y 与20262026(,)(1,2,3,,2025)i i x y i --= 关于点11(,)22对称，则202620261,1i i i i x x y y --+=+=，20262026()()2i i i i x y x y --+++=，所以202512(202520252)i i i x y =+=⨯=∑.故选：C 【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，①存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=，则函数()y f x =图象关于点(,)a b 对称.②存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若,a b c >∈R ，则22ac bc >B.若22,a bc c c>∈R ，则a b >C.若ab >，则22a b > D.函数2sin sin y x x=+的最小值为【答案】BC 【解析】【分析】对A 举反例即可；对B 根据不等式性质即可判断；对C ，利用指数函数单调性即可判断；对D 举反例即可.【详解】对A ，当0c=时，22ac bc =，故A 错误；对B ，当22a b c c >，则20c >，则a b >，故B 正确；对C ，根据指数函数2x y =在R 上单调递增，且a b >，则22a b >，故C 正确；对D ，当sin 1x =-时，2sin 3sin y x x=+=-<D 错误.故选：BC.10.如图，有一列曲线012,,,P P P ，已知0P 所围成的图形是面积为1的等边三角形，1(0,1,2,3,)k P k += 是对k P 进行如下操作得到的：将k P 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记k S 为曲线kP 所围成图形的面积，则（）A.3P 的边数为128 B.24027S =C.n P 的边数为34n⨯ D.834()559n n S =-⋅【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定信息，归纳可得n P 的边数判断AC ；依次计算归纳得n P 所围图形的面积判断BD.【详解】依题意，令0P 图形的边长为a ，2314a =，边数是3；根据图形规律，1P 图形边长为3a，边数为0P 边数的4倍，即34⨯；2P 图形边长为23a，边数为234⨯；依此类推，n P 图形边长为3n a ，边数为34n ⨯，C 正确；3P 的边数为334192⨯=，A 错误；由图形规律知曲线n P 所围图形的面积n S 等于曲线1n P -所围面积加上每一条边增加的小等边三角形的面积，而每一个边增加的小等边三角形面积为23()43n a ⨯，则1213(34)()43n nn n a SS --=+⨯⨯，整理得1114()39n n n S S ---=⨯，数列1{}nn S S --是等比数列，1P 图形的面积213413()433a S =+⨯⨯=，121321144[1(]4183499()433559()9()()1n n n n n S S S S S S S S ---=+⨯-=+-+--⨯++=- ，D 正确；2831640558127S =-⨯=，B 正确.故选：BCD 11.已知函数()32,f x x ax a =-+∈R ，则（）A.()f x 的图象关于点()0,2对称B.(),a f x ∃∈R 仅有一个极值点C.当1a=时，()f x 图象的一条切线方程为240x y -+= D.当3a <时，()f x 有唯一的零点【答案】ACD 【解析】【分析】根据函数的奇偶性判断A ，根据三次函数的性质判断B ，根据导数的意义求切线判断C ，利用极值点的符号判断D.【详解】对A ：设()3g x x ax =-，则函数()g x 为奇函数，图象关于原点()0,0对称，将()3g x x ax =-的图象向上平移2个单位，得函数()32f x x ax =-+的图象，故函数()f x 的图象关于点()0,2对称，A 正确；对B ：由三次函数的性质可知，函数()f x 要么有2个极值点，要么没有极值点，所以B 错误；对C ：当1a=时，()32f x x x =-+，()231f x x '=-.由()2f x '=⇒2312x -=⇒1x =或1x =-.若1x =，则2y =，所以()f x 在1x =处的切线方程为：即2y x =；若1x =-，则2y =，所以()f x 在1x =-处的切线方程为：()221y x -=+即240x y -+=.故C 正确；对D ：因为()23f x x a '=-，若0a ≤，则()0f x '≥在(),-∞+∞上恒成立，则()f x 在(),-∞+∞上单调递增，由三次函数的性质可知，此时函数()f x 只有一个零点；若0a >，由()0f x '<⇒3333x -<<，由()0f x '>⇒33x <-或33x >.所以函数()f x 在3,3⎛-∞-⎝⎭和3,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，要使函数()f x 只有1个零点，须有03f ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭（因为()02f =，所以03f ⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭不成立），即3332033a ⎛⎫-⋅+> ⎪ ⎪⎝⎭⇒3a <，得0<<3a .综上可知：当3a <时，函数()f x 有唯一的零点，故D 正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：本题可以结合三次函数的图象和性质进行分析.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合*2{13,{|(2)20}|}A x x B x ax a x =∈≤<=-++=N ，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，则实数a 的所有取值组成的集合是______.【答案】{0,2}【解析】【分析】用列举法表示集合A ，利用充分不必要条件的定义，借助集合的包含关系分类求解即得.【详解】依题意，{1,2}A =，{|(2)(1)0}B x ax x =--=，显然B ≠∅，由“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，得BA ，当0a=时，{1}B =，符合题意，当0a ≠时，方程2(2)20ax a x -++=的根为1和2a，显然22a ≠，否则B A =，不符合题意，因此21a=，解得2a =，此时{1}B =，符合题意，所以实数a 的所有取值组成的集合是{0,2}.故答案为：{0,2}13.蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱,,,,,AG BH CI DJ EK FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形,,PGHI PIJK PKLG 构成，10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，设1BC =，则上顶的面积为______.（参考数据：1cos ,tan 232θθ=-=）【答案】924【解析】【分析】根据蜂房的结构特征，即可根据锐角三角函数以及三角形面积公式求解.【详解】依题意，由10928GPIIPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，得10928GHI θ'∠=≈ ，在菱形PGHI 中，连接G I 并取其中点O，连接OH ，则2224tan2GOOH GO GI θ===，由正六边形ABCDEF 的边长1BC =，得2sin 603AC AB == ，由蜂巢结构特征知，AG CI =，又,AG CI都垂直于平面ABCDEF ，则//AG CI ，于是四边形ACIG 是平行四边形，有=3GI AC =，则26=44OH GI =，因此一个菱形的面积为1632223244GHISGI OH =⋅⋅=⨯=，所以上顶的面积为3292344⨯=.故答案为：92414.已知函数()ln f x x x =，则()f x 的最小值为______；设函数()()2g x x af x =-，若()g x 在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是______.【答案】①.1e-②.[]0,2【解析】【分析】空1，直接求导利用()f x 的单调性去求其最小值即可；空2，利用导数与单调性的关系建立不等式，利用不等式的恒成立解决参数范围即可.【详解】由题可知()ln f x x x =定义域为()0,∞+()ln 1f x x ='-显然，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，′<0，()f x 单调递减；当1,+e x ∞⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，′>0，()f x 单调递增；所以()f x 的最小值为11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；由题可知，()()22ln g x x af x x ax x=-=-所以()2ln g x x a x a =--'由题可知()2ln 0g x x a x a '=--≥恒成立，当0a <，显然当0x →时，()g x ∞'→-，故不成立；当0a=时，()2g x x '=，因为∈0,+∞，所以()20g x x '=>，故成立；当0a >时，由2ln 0x a x a --≥恒成立，得21ln xax +≥恒成立，即max 21ln x a x +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭不妨令()1ln x h x x +=，所以()2ln xh x x -='所以显然当∈0,1时，ℎ′>0，ℎ单调递增；当()1,+x ∞∈时，ℎ′<0，ℎ单调递减；所以()()max 11h x h ==，即2102a a ≥⇒<≤综上所述：[]0,2a ∈故答案为：1e-；0,2【点睛】关键点点睛，当不等式化简时，不要在不等式两边去随意乘或者除以一个未知数，要保证知道其正或负，再去作乘除计算.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 满足()2*112,1n n n a a a a n +==-+∈N .（1）比较20242026,a a 的大小，并写出过程；（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：1n S <.【答案】（1）20242026a a <（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）证明数列的单调性，可比较给出的两项的大小.（2）先根据统计得到111111n n n a a a +=---，再求n S 进行判断即可.【小问1详解】因为211n n n a a a +=-+⇒()2212110n n n n n a a a a a +-=-+=-≥，所以1n n a a +≥.若1n n a a +=，则211n n n n a a a a +=-+=⇒1n a =，这与12a =矛盾.所以1n n a a +>.故20242026a a <.【小问2详解】由211n n n a a a +=-+⇒()2111n nn n n a a a a a +-=-=-，所以()11111111n n n n n a a a a a +==----⇒111111n n n a a a +=---.所以11111111nnn i i i i i S a a a ==+⎛⎫==- ⎪--⎝⎭∑∑1111111111n n a a a ++=-=----.由（1）可知：12n a +>，所以1n S <.16.已知函数()f x 与其导函数()f x '的定义域均为R ，且()f x 为奇函数，当0x >时，()()()2,10f x f x f ->='.（1）判断()y f x '=的奇偶性；（2）解不等式()0f x >.【答案】（1）偶函数，理由见解析（2）(1,0)(1,)-+∞ 【解析】【分析】（1）对()()f x f x -=-两边同时求导即可证明；（2）构造函数2()()ex f x h x =，求导得到其单调性即可得到()f x 在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零，再根据其为奇函数即可得到答案.【小问1详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x -=-，两边同时求导可得()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-=，所以()y f x '=为偶函数.【小问2详解】因为当0x >时，()2()f x f x '->，所以()2()f x f x '>.构造函数2()()e x f x h x =，则2()2()()e xf x f x h x '-'=，所以当0x >时，()0,()h x h x >'在(0,)+∞上单调递增，又因为(1)0f =，所以(1)0,()h h x =在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零，又因为2e 0x>，所以()f x 在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零，因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以(0)0,()f f x =在(,1)∞--上小于零，在(1,0)-上大于零，综上所述，()0f x >的解集为(1,0)(1,)-+∞ .17.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面,ABCD AB BC ⊥，且2,2,5PA AB BC AD CD =====.（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）求平面PBC与平面PAD 夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）105【解析】【分析】（1）首先证明AC BD ⊥，再利用线面垂直的性质得PA BD ⊥，最后线面垂直的判定即可证明；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，最后根据面面角的空间向量求法即可得到答案.【小问1详解】记AC BD O = ，如图.因为,AB BC AD CD ==，BD BD =，所以ABD CBD ≅ ，所以ADOCDO ∠=∠，由等腰三角形三线合一知90AOD COD ︒∠=∠=，即AC BD ⊥，又PA ⊥底面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，因为AC PA A ⋂=，且AC ⊂平面,PAC PA ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC .【小问2详解】取PC 的中点M，连接OM ，则//OM PA ，所以OM ⊥平面ABCD ，所以,,OC OD OM 三条直线两两互相垂直，以,,OC OD OM 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，由题意及（1）知1,2OAOD ==，则(1,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,2)A B C D P ---，所以(1,2,2),(1,2,0),(1,1,2),(1,1,0)PD AD PB BC =-==--=，设平面PAD 的法向量为()111,,m x y z =，同理设平面PBC的法向量为()222,,n x y z =，则2222220n PB x y z n BC x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，可取(1,1,1)n =- .所以15cos ,553m n m n m n ⋅===-⋅⨯，所以平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值为155，所以平面PBC 与平面PAD 夹角的正弦值为105.【点睛】18.设函数()ln(1)(0)f x x k x k =+-≠.（1）讨论()f x 的单调区间.（2）已知直线l 是曲线()y f x =在点(,())(2)t f t t >处的切线.（i ）求直线l 的方程；（ii ）判断直线l 是否经过点(2,2).【答案】（1）答案见解析；（2）（i ）(1)ln(1)11k kty x k t t t =++----；（ii ）不经过.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，再按0k <和0k >分类求出()f x 的单调区间.（2）（i ）由（1）结合导数的几何意义求出切线l 的方程；（ii ）令2x =，求出y 的值并判断与2的大小.【小问1详解】函数()ln(1)f x x k x =+-的定义域为(1,)+∞，求导得(1)()111kx k f x x x --'=+=--，当0k <时，11k ->，由()0f x '<，得11x k <<-；由()0f x '>，得1x k >-，函数()f x 在(1,1)k -上单调递减，在(1,)k -+∞上单调递增，当0k>时，11k -<，则恒有()0f x '>，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以当0k <时，函数()f x 的单调递减区间是(1,1)k -，单调递增区间是(1,)k -+∞；当0k>时，函数()f x 的单调递增区间是(1,)+∞，无递减区间.【小问2详解】（i ）由（1）知，()11kf t t '=+-，而()ln(1)f t t k t =+-，则直线l 的方程为ln(1)](1))1[(y kt k t x t t +--=+--，即(1ln(1)11k kt y x k t t t =++----.（ii ）由（i ）知，直线l 的方程为(1)ln(1)11kkt y x k t t t =++----，当2x =时，22(1)ln(1)2[ln(1)]111k ktt y k t k t t t t -=++--=++----，令21()ln(1)1ln(1)11t g t t t t t -=+-=-+---，而2t >，求导得22112()0(1)1(1)t g t t t t -'=-+=>---，函数()g t 在(2,)+∞上单调递增，因此()(2)0g t g >=，即2t ∀>，()0g t ≠，而0k ≠，于是22[ln(1)]21tk t t -++-≠-，所以直线l 不经过点(2,2).19.设数阵111202122x x X x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中{}11122122,,,1,2,3,4,5,6x x x x ∈.设{}{}12,,,1,2,3,4,5,6k B n n n =⊆ ，其中*12,k n n n k <<<∈N 且6k ≤.定义变换t M 为“对于数阵的每一列，若其中有t 或t -，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t 且没有t -，则这一列中每个数都乘以()121,,,k t n n n -= ”，()0B M X 表示“将0X 经过1n M 变换得到1X ，再将1X 经过2n M 变换得到2,X ，以此类推，最后将1k X -经过k n M 变换得到k X ”.记数阵k X 中四个数的和为()0B T X .（1）若{}021,2,534X B ⎛⎫== ⎪⎝⎭，写出0X 经过2M 变换后得到的数阵1X ，并求()0B T X 的值；（2）若{}012321,,,34X B n n n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求所有()0B T X 取值的和；（3）对任意确定的一个数阵0X ，证明：所有()0B T X 取值的和不大于8-；（4）如果01336X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其他条件不变，你研究（1）后得出什么结论？【答案】（1）0（2）40（3）证明见解析（4）()013BTX =【解析】【分析】（1）先写出12134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，再计算得22134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，最后相加即可；（2）分{1,2,3,4}B ⊆和{}32,3,B n =或{}331,4,,{5,6}B n n =∈以及{}11,5,6,{1,2,3,4}B n n =∈讨论即可；（3）分若1121x x ≠和1121x x =两大类讨论即可；（4）直接代入计算得11336X --⎛⎫= ⎪--⎝⎭，21336X ⎛⎫= ⎪⎝⎭即可得到答案.【小问1详解】因为021,{2,5}34X B ⎛⎫== ⎪⎝⎭，0X 经过2M 变换后得到数阵12134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，1X 经过5M变换后得到数阵22134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，所以()021340B T X =-+-+=.【小问2详解】若{1,2,3,4}B ⊆，则32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭或32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，可得()00,4B T X =种情况；若{}32,3,B n =或{}331,4,,{5,6}B n n =∈，则32134X --⎛⎫= ⎪--⎝⎭，可得()010,4B T X =-种情况；若{}123,,B n n n =，从{1,4}和{2,3}中各取出一个元素a ，b ，12min{,},max{,},{5,6}n a b n a b n ==∈，则32134X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()010,8BT X =种情况；若{}11,5,6,{1,2,3,4}B n n =∈，则32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭或32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，可得()00,4B T X =种情况.综上，所有()0BT X 取值的和为404(10)8104040⨯+⨯-+⨯+⨯=.【小问3详解】若1121x x ≠，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，①含有11x且不含21x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --；②含有21x 且不含11x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --；③同时含有11x和21x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ；④不含11x也不含21x 的子集共421-个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --，其中含有偶数个元素的集合有7个，经过变换后第一列均仍为1121,x x .若1121x x =，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，①含有11x的子集共52个，其中含有奇数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ，其中含有偶数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均变为1121,x x --；②不含11x的子集共521-个，其中含有奇数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均变为1121,x x --，其中含有偶数个元素的集合有15个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ；综上，经过变换后，所有k X 的第一列数的和为()()()112111211121(88881616)(88871615)2x x x x x x +++++--+++++++=--同理，经过变换后所有k X 的第二列数的和为()12222x x --.所以所有()0BT X 取值的和为()112112222x x x x ----，又因为11122122,,,{1,2,3,4,5,6}x x x x ∈，所以所有()0B T X 取值的和不超过8-.【小问4详解】如果01336X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其他条件不变，0X 经过2M 变换后得到数阵11336X --⎛⎫= ⎪--⎝⎭，1X 经过5M 变换后得到数阵21336X ⎛⎫=⎪⎝⎭，则（1）中()013B T X =.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用分类讨论的思想，分1121x x ≠和1121x x =讨论即可.。
山东省齐鲁名校联盟天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题
山东省齐鲁名校联盟·天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考（10月）数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则()U A B =I ð（ ）A ．{}2,4,5,6B ．{}4,6C ．{}2,4,6D ．{}2,5,62．已知0,0m n >>，且3m n += ）A ．8B ．C ．D 3．函数)()(e e x x f x x -=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．一块扇形薄铁板的半径是30，圆心角是120o ，把这块铁板截去一个半径为15的小扇形后，剩余铁板恰好可作为一个圆台的侧面，则该圆台的体积为（ ）A B ．1750π9C D ．5．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数221,2()2,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩的最小值为（ ）A ．4-B ．2-C ．3D ．57．已知数列{}n a 满足：11a =，点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，其中k 为常数()0k ≠，且124,,a a a 成等比数列，则k 的值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．58．已知定义在R 上的函数()f x 满足()1(1)f x f x =--，若函数442xx y =+与函数()y f x =的图象的交点为112220252025(),),(,),,(,x y x y x y L ，则20251)(i i i x y =+=∑（ ）A ．0B ．20252C ．2025D ．60752二、多选题9．下列说法正确的是（ ） A ．若,a b c >∈R ，则22ac bc > B ．若22,a b c c c >∈R ，则a b > C ．若a b >，则22a b >D ．函数2sin sin y x x=+的最小值为10．如图，有一列曲线012,,,L P P P ，已知0P 所围成的图形是面积为1的等边三角形，1(0,1,2,3,)k P k +=L 是对k P 进行如下操作得到的：将k P 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记k S 为曲线k P 所围成图形的面积，则（ ）A ．3P 的边数为128B ．24027S =C ．n P 的边数为34n ⨯D ．834()559n n S =-⋅11．已知函数()32,f x x ax a =-+∈R ，则（ ）A ．()f x 的图象关于点()0,2对称B ．(),a f x ∃∈R 仅有一个极值点C ．当1a =时，()f x 图象的一条切线方程为240x y -+=D ．当3a <时，()f x 有唯一的零点三、填空题12．已知集合*2{13,{|(2)20}|}A x x B x ax a x =∈≤<=-++=N ，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，则实数a 的所有取值组成的集合是.13．蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱,,,,,AG BH CI DJ EK FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形,,PGHI PIJK PKLG 构成，10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈o ，设1BC =，则上顶的面积为.（参考数据：1cos ,tan 32θθ=-=14．已知函数()ln f x x x =，则()f x 的最小值为；设函数()()2g x x af x =-，若()g x 在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是.四、解答题15．已知数列{}n a 满足()2*112,1n n n a a a a n +==-+∈N .(1)比较20242026,a a 的大小，并写出过程；(2)设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：1n S <.16．已知函数()f x 与其导函数()f x '的定义域均为R ，且()f x 为奇函数，当0x >时，()()()2,10f x f x f ->='.(1)判断()y f x '=的奇偶性； (2)解不等式()0f x >.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面,ABCD AB BC ⊥，且2,PA AB BC AD CD =====(1)证明：BD ⊥平面PAC ；(2)求平面PBC 与平面PAD 夹角的正弦值. 18．设函数()ln(1)(0)f x x k x k =+-≠. (1)讨论()f x 的单调区间.(2)已知直线l 是曲线()y f x =在点(,())(2)t f t t >处的切线. （i ）求直线l 的方程；（ii ）判断直线l 是否经过点(2,2).19．设数阵111202122x x X x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中{}11122122,,,1,2,3,4,5,6x x x x ∈.设{}{}12,,,1,2,3,4,5,6k B n n n =⊆L ，其中*12,k n n n k <<<∈N L 且6k ≤.定义变换t M 为“对于数阵的每一列，若其中有t 或t -，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t 且没有t -，则这一列中每个数都乘以()121,,,k t n n n -=L ”，()0B M X 表示“将0X 经过1n M 变换得到1X ，再将1X 经过2n M 变换得到2,X L ，以此类推，最后将1k X -经过k n M 变换得到k X ”.记数阵k X中四个数的和为()0B T X .(1)若{}021,2,534X B ⎛⎫== ⎪⎝⎭，写出0X 经过2M 变换后得到的数阵1X ，并求()0B T X 的值；(2)若{}012321,,,34X B n n n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求所有()0B T X 取值的和；(3)对任意确定的一个数阵0X ，证明：所有()0B T X 取值的和不大于8-；(4)如果01336X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其他条件不变，你研究（1）后得出什么结论？。
2024届高三10月大联考(全国乙卷)理科数学含答案解析
2024届高三10月大联考（全国乙卷）理科数学一、单选题(共36 分)1已知集合A={x∈Z∣x2−x−2≤0},B={x∣0≤x≤5}则A∩B=（）A{0,1}B{0,1,2}C[0,2)D[0,2]【答案】B【分析】先求A集合再利用交集概念求解即可【详解】因为A={x∈Z∣(x−2)(x+1)≤0}={−1,0,1,2},B={x∣0≤x≤5}所以A∩B={0,1,2}故选：B2命题“∀x>011−x≥1+x”的否定是（）A∃x0>011−x0<1+x0或x0=1B∃x0>011−x0≥1+x0C∃x0≤011−x0<1+x0D∀x≤011−x<1+x【答案】A【分析】由全称量词命题的否定是特称命题直接写出结果【详解】根据全称命题的否定为特称命题可知命题“∀x>0,11−x ≥1+x”的否定是“∃x0>0,11−x0<1+x0或x0=1”故选：A3已知向量a⃗=(−1,x),b⃗⃗=(2,y)若a⃗//b⃗⃗则（）A x y =12B xy=−12C2x−y=0D2x+y=0【答案】D【分析】根据共线坐标表示得到2x+y=0,结合选项进行判断即可【详解】因为a⃗//b⃗⃗所以2x+y=0所以AC错误；因为x=0,y=0也成立所以B错误故选：D4下列函数中满足对任意的x1,x2∈(0,+∞)都有f(x1x2)=f(x1)f(x2)的是（）A f(x)=2x2B f(x)=lnxC f(x)=x−12D f(x)=−x3【答案】C【分析】根据各项函数解析式结合指对数运算性质或特例判断是否满足题设即可得答案【详解】A：若f(x)=2x2由f(x1x2)=f(x1)f(x2)得2x12x22=4x12x22取x1=x2=1得2=4不成立；B：若f(x)=lnx由f(x1x2)=f(x1)f(x2)得ln(x1x2)=lnx1lnx2取x1=1,x2=2得ln2=0不成立；C：若f(x)=x−12则f(x1x2)=(x1x2)−12,f(x1)f(x2)=x1−12⋅x2−12=(x1x2)−12即f(x1x2)=f(x1)f(x2)成立；D：若f(x)=−x3由f(x1x2)=f(x1)f(x2)得−x13x23=x13x23取x1=x2=1得−1=1不成立故选：C5已知p:1<a<53,q:log a43>2(a>0且a≠1)则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【分析】对于q：利用对数函数单调性解得1<a<2√33再根据包含关系结合充分、必要条件分析判断【详解】当0<a <1时y =log a x 在定义域内单调递减则a 2>43无解； 当a >1时y =log a x 在定义域内单调递增则a 2<43可得1<a <2√33； 综上所述：不等式log a 43>2的解集为(1,2√33) 又因为(1,2√33)是(1,53)的真子集所以p 是q 的必要不充分条件 故选：B6若θ∈(π2,π)则使sin2θ>cosθ成立的θ的取值范围为（ ） A (π2,2π3) B (2π3,π)C (π2,5π6) D (5π6,π)【答案】D 【分析】根据题意由正弦的二倍角公式化简即可得到sinθ<12从而可得θ的范围 【详解】由sin2θ>cosθ得2sinθcosθ>cosθ因为θ∈(π2,π)所以cosθ<0所以2sinθ<1即sinθ<12所以5π6<θ<π所以使sin2θ>cosθ成立的θ的取值范围为(5π6,π) 故选:D7白色污染是人们对难降解的塑料垃圾（多指塑料袋）污染环境现象的一种形象称谓经过长期研究一种全生物可降解塑料（简称PBAT ）逐渐被应用于超市购物袋､外卖包装盒等产品研究表明在微生物的作用下PBAT 最终可被完全分解为二氧化碳和水进入大自然当其分解率（分解率=已分解质量总质量×100%）超过60%时就会成为对环境无害的物质为研究总质量为100g 的PBAT 的已分解质量y （单位：g ）与时间x （单位：月）之间的关系某研究所人员每隔1个月测量1次PBAT 的已分解质量对通过实验获取的数据做计算处理研究得出已分解质量y 与时间x 的函数关系式为y =100−e 4.6−0.1x 据此研究结果可以推测总质量为100g 的PBAT 被分解为对环境无害的物质的时间至少为（ ）（参考数据：ln40≈3.7） A8个月 B9个月C10个月D11个月【答案】C根据题意令y =100−e 4.6−0.1x >60求解即可 【详解】令y =100−e 4.6−0.1x >60得0.1x >4.6−ln40≈0.9解得x >9故至少需要10个月总质量为100g 的PBAT 才会被分解为对环境无害的物质 故选：C8若函数f (x )=log 2(2ax +1)−(x +3)2(a ∈R )是偶函数则a =（ ） A-6 B6 C-12 D12【答案】D 【分析】根据偶函数的定义可得f (x )−f (−x )=0从而得到(a −12)x =0求解即可 【详解】因为f (x )是偶函数所以f (x )−f (−x )=log 22ax +12−ax +1−12x =log 22ax (1+2−ax )2−ax +1−12x =(a −12)x =所以a =12 故选：D9若函数f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示则下列说法正确的个数为（ ）①ω=2；②φ=−π6；③f (x )在(π2,5π6)上单调递减；④f (−π2)=√3 A1 B2C3D4【答案】C 【分析】由图像经过的特殊点(5π12,2)和(π6,0)逐项判断即可由题图得A =2最小正周期T =4×(5π12−π6)=π 又T =2πω=π所以ω=2故①正确；f (x )=2sin (2x +φ)又f (x )的图象过点(5π12,2) 所以2×5π12+φ=2kπ+π2,k ∈Z 所以φ=2kπ−π3,k ∈Z又|φ|<π2所以φ=−π3故②错误； f (x )=2sin (2x −π3)令t =2x −π3当π2<x <5π6时2π3<t <4π3函数y =sint 在(2π3,4π3)上单调递减故③正确；f (−π2)=2sin (−π−π3)=√3故④正确 故选：C10已知O 是△ABC 所在平面内一点若OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=yAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,x,y 均为正数则xy 的最小值为（ ） A 12 B 49C1D 43【答案】B 【分析】先根据OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗分析出O 点位置为重心再根据三点共线性质等到关于x,y 的等式最后由均值不等式得到xy 的最小值 【详解】因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗所以点O 是△ABC 的重心所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗) 因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=yAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1y AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所以AO⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+13yAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 又因为MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λON⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗所以M,O,N 三点共线所以13x +13y =1即1x +1y =3 因为x,y 均为正数所以3=1x +1y ≥2√1xy 即√1xy ≤32所以xy ≥49（当且仅当1x =1y =32即x =y =23时取等号） 所以xy 的最小值为49 故选：B11已知函数f (x ),g (x )及其导函数f ′(x ),g ′(x )的定义域均为R 且f (x +2)为偶函数函数y =g (x +1)的图象关于点(−1,0)对称则f(g ′(−1))=（ ） A f(4−g ′(1)) B f(4+g ′(1)) C f(−g ′(1)) D −f(g ′(1))【答案】A 【分析】根据f (x +2)为偶函数可求出f (x )关于x =2对称y =g (x +1)关于点(−1,0)对称可求出g (x )为奇函数从而得出g ′(x )为偶函数然后通过利用函数的奇偶性和对称性从而求解 【详解】因为f (x +2)为偶函数所以函数y =f (x )的图象关于直线x =2对称所以可得：f (x )=f (4−x ) 因为函数y =g (x +1)的图象关于点(−1,0)对称所以函数y =g (x )关于点(0，0)对称所以可得y =g (x )为奇函数 所以y =g ′(x )为偶函数所以g ′(−1)=g ′(1) 所以f(g ′(−1))=f(g ′(1))=f(4−g ′(1)) 故选A12已知a,b,c ∈(e,+∞),lna 10=aln8,lnb 9=bln9,lnc 8=cln10则（ ）A a >b >cB c >b >aC b >c >aD c >a >b【答案】B 【分析】 由题设有lna a=10ln8,lnb b=9ln9,lnc c =8ln10构造g (x )=(18−x )lnx 且x ∈[8,+∞)研究单调性比较g (8),g (9),g (10)大小进而确定lna a,lnb b,lncc再构造f (x )=lnx x且x ∈(e,+∞)研究单调性比较参数由lna10=aln8,lnb 9=bln9,lnc 8=cln10得lna a=10ln8,lnb b=9ln9,lnc c=8ln10令g (x )=(18−x )lnx 且x ∈[8,+∞)则g ′(x )=−lnx +18x−1且在[8,+∞)上单调递减而g ′(8)=−ln8+94−1=54−ln8<54−lne 2=54−2<0 所以g ′(x )<0在[8,+∞)上恒成立故g (x )在[8,+∞)上单调递减 所以g (8)>g (9)>g (10)即10ln8>9ln9>8ln10 所以lna a>lnb b >lnc c令f (x )=lnx x且x ∈(e,+∞)则f ′(x )=1−lnx x 2<0所以f (x )在(e,+∞)上单调递减故c >b >a 故选：B 【点睛】 关键点点睛：由lna a=10ln8,lnb b=9ln9,lnc c=8ln10构造g (x )=(18−x )lnx 研究单调性比较等式右侧大小确定lna a ,lnb b,lncc大小构造f (x )=lnx x并利用单调性确定参数大小二、填空题(共 12 分)13已知幂函数y =f (x )的图象过点(16,164)则f (14)=__________ 【答案】8 【分析】设f (x )=x α根据幂函数过的点求出其解析式再代入数值求得答案 【详解】设f (x )=x α由f (16)=16α=164得42α=4−3所以α=−32所以f (x )=x −32所以f (14)=(14)−32=432=22×32=23=8故答案为：814已知x,y 均为正数x +2y =a 若xy 的最大值为b 且1≤b ≤2则满足条件的一个实数a 的值为__________利用基本不等式即可求出8≤a 2≤16解出即可 【详解】因为x +2y =a ≥2√2xy （当且仅当x =2y =a2时取等号）所以xy ≤a 28所以1≤b =a 28≤2所以8≤a 2≤16又易知a >0所以2√2≤a ≤4故答案为：415《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作书中有一道测量山上松树高度的题目受此题启发小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度如图把塔底与塔顶分别看作点CDCD 与地面垂直小李先在地面上选取点AB （点A,B 在建筑物的同一侧且点A,B,C,D 位于同一个平面内）测得AB =20√3m 在点A 处测得点C,D 的仰角分别为30∘,67∘在点B 处测得点D 的仰角为33.5∘则塔高CD 为__________m （参考数据：sin37∘≈35）【答案】24 【分析】在△ACD 中求出AD =20√3∠CAD =37∘,∠ACD =120∘利用正弦定理求解即可 【详解】如图延长DC 与BA 的延长线交于点E 则∠DAE =67∘,∠CAE =30∘,∠DBA =33.5∘所以∠ADB =67∘−33.5∘=33.5∘,∠CAE =90∘−30∘=60∘ 所以AD =AB =20√3在△ACD 中∠CAD =67∘−30∘=37∘,∠ACD =180∘−60∘=120∘ 由正弦定理得CD =ADsin37∘sin120∘≈20√3×35√32=24（m ）故答案为：2416当x≥1时恒有ln x2+1e x−mx≤e x−x2−mx−1成立则m的取值范围是__________【答案】(−∞,e−2]【分析】根据函数有意义可得m<e xx 在[1,+∞)上恒成立进而可得m<e：由ln x2+1e x−mx≤e x−x2−mx−1可得ln(x2+1)+(x2+1)≤ln(e x−mx)+(e x−mx)构造函数可得m≤e x−x2−1x进而可得m≤e−2从而可得答案【详解】由题意得x 2+1e x−mx>0又x2+1>0恒成立所以e x−mx>0在[1,+∞)上恒成立即m<e xx在[1,+∞)上恒成立令g(x)=e xx (x≥1)则g′(x)=e x(x−1)x2当x≥1时g′(x)≥0所以g(x)在[1,+∞)上单调递增所以g(x)min=g(1)=e所以m<e①由ln x 2+1e x−mx≤e x−x2−mx−1得ln(x2+1)−ln(e x−mx)≤(e x−mx)−(x2+1)即ln(x2+1)+(x2+1)≤ln(e x−mx)+(e x−mx)构造函数ℎ(x)=lnx+x则ℎ(x2+1)≤ℎ(e x−mx)因为ℎ(x)=lnx+x在(0,+∞)上是增函数所以x2+1≤e x−mx所以m≤e x−x2−1x令f(x)=e x−x2−1x(x≥1)则f′(x)=(x−1)(e x−x−1)x2构造函数m(x)=e x−(x+1)⇒m′(x)=e x−1,x∈(−∞,0)时m′(x)<0m(x)递减：x∈(0,+∞)时m′(x)>0m(x)递增所以f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立所以f(x)在[1,+∞)上单调递增所以f(x)min=f(1)=e−2所以m≤e−2②由①②知m≤e−2故答案为：(−∞,e−2]【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数a≥f(x)恒成立(a≥f(x)max即可)或a≤f(x)恒成立（a≤f(x)min即可）；②数形结合(y=f(x)图象在y=g(x)上方即可)；③讨论最值f(x)min≥0或f(x)max≤0恒成立；④讨论参数排除不合题意的参数范围筛选出符合题意的参数范围三、问答题(共12 分)已知平面向量m⃗⃗⃗=(sinx,2sinx),n⃗⃗=(2cosx,√3sinx)函数f(x)=m⃗⃗⃗⋅n⃗⃗−√317 求不等式f(x)≥1的解集；18 求函数f(x)在[−π2,π2]上的单调递增区间【答案】17 [kπ+π4,kπ+7π12],k∈Z18 单调递增区间为[−π12,5π12]【分析】（1）先利用三角恒等变化将函数表达式化简成f(x)=2sin(2x−π3)从而f(x)≥1等价于sin(2x−π3)≥12即2kπ+π6≤2x−π3≤2kπ+5π6,k∈Z解不等式即可（2）由题意令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2,k∈Z解不等式即可进一步求解【17题详解】由题意得f(x)=2sinxcosx+2√3sin2x−√3=sin2x+2√3×1−cos2x2−√3=sin2x−√3cos2x=2sin(2x−π3 )由f(x)≥1得2sin(2x−π3)≥1即所以2kπ+π≤2x−π≤2kπ+5π,k∈Z解得kπ+π4≤x ≤kπ+7π12,k ∈Z所以不等式f (x )≥1的解集为[kπ+π4,kπ+7π12],k ∈Z 【18题详解】由（1）知f (x )=2sin (2x −π3)令2kπ−π2≤2x −π3≤2kπ+π2,k ∈Z 解得kπ−π12≤x ≤kπ+5π12,k ∈Z所以f (x )的单调递增区间为[kπ−π12,kπ+5π12],k ∈Z 当k =0时f (x )的单调递增区间为[−π12,5π12]所以函数f (x )在[−π2,π2]上的单调递增区间为[−π12,5π12]如图在平行四边形ABCD 中AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗令AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗19用a ⃗,b ⃗⃗表示AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗； 20若AB =AM =2且AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=10求cos⟨a ⃗,b⃗⃗⟩ 【答案】19 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13(b ⃗⃗−a ⃗)BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13b ⃗⃗−43a ⃗CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−13a ⃗−23b⃗⃗ 20√3468【分析】（1）利用平面向量的四则运算法则求解即可； （2）利用平面向量数量积的公式和运算律求解即可 【19题详解】因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗且ABCD 是平行四边形 所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗−a ⃗所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13(b ⃗⃗−a ⃗) 所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13(b ⃗⃗−a ⃗)−a ⃗=13b ⃗⃗−43a ⃗所以CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13b ⃗⃗−43a ⃗−(b ⃗⃗−a ⃗)=−13a ⃗−23b ⃗⃗【20题详解】方法一：由（1）知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13(b ⃗⃗−a ⃗),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13b ⃗⃗−43a ⃗ 又AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗,AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=10,AB =AM =2所以b ⃗⃗⋅(13b ⃗⃗−43a ⃗)=10,|13(b ⃗⃗−a ⃗)|=2,|a ⃗|=2即b ⃗⃗2−4a ⃗⋅b ⃗⃗=30,b ⃗⃗2+a ⃗2−2a ⃗⋅b ⃗⃗=36 解得a ⃗⋅b⃗⃗=1,|b ⃗⃗|=√34 所以cos⟨a ⃗,b ⃗⃗⟩=a ⃗⃗⋅b ⃗⃗|a ⃗⃗||b ⃗⃗|=√3468方法二：因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,AM =2所以AD =BC =6因为AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+13BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+23BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+13BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2且AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=10 所以−22+23×6×2×cos∠ABC +13×62=10 解得cos∠ABC =14所以a ⃗⋅b⃗⃗=(−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=−2×6×14+22=1 又|a ⃗|=2,|b⃗⃗|=√(BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)2=√BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−2BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=√34 所以cos⟨a ⃗,b ⃗⃗⟩=a ⃗⃗⋅b ⃗⃗|a ⃗⃗||b ⃗⃗|=√3468四、应用题(共 6 分)某公园池塘里浮萍的面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）的关系如下表所示：现有以下三种函数模型可供选择：①y =kt +b ②y =p ⋅a t +q ③y =m ⋅log a t +n 其中k,b,p,q,m,n,a 均为常数a >0且a ≠121 直接选出你认为最符合题意的函数模型并求出y 关于t 的函数解析式；22 若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到15m 2,31m 2,211m 2所经过的时间分别为t 1,t 2,t 3写出一种t 1,t 2,t 3满足的等量关系式并说明理由 【答案】21 模型②y =2t +122 t1+t2=t3+1理由见解析【分析】（1）根据表格数据选择函数模型然后求解析式；（2）根据指数幂运算公式计算【21题详解】应选择函数模型②y=p⋅a t+q依题意得{p×a1+q=3p×a2+q=5 p×a3+q=9解得{p=1 a=2 q=1所以y关于t的函数解析式为y=2t+1【22题详解】t1+t2=t3+1理由：依题意得2t1+1=152t2+1=312t3+1=211所以2t1=142t2=302t3=210所以2t1⋅2t2=420所以2t1⋅2t2=2t1+t2=420=2×2t3=2t3+1所以t1+t2=t3+1五、问答题(共6 分)已知函数f(x)=e x−ax2+x−123 若ℎ(x)为函数f(x)的导函数求ℎ(x)的极值；24 若f(x)=0有两个不等的实根求实数a的取值范围【答案】23 答案见解析24 (−∞,0)∪{e2+14}【分析】（1）求导得到导函数再次求导考虑a≤0和a>0两种情况根据函数单调性计算极值即可（2）确定f(0)=0变换得到a=e x+x−1x2构造新函数求导得到单调区间和极值画出函数图像根据图像得到取值范围【23题详解】f′(x)=e x−2ax+1(x∈R)故ℎ(x)=e x−2ax+1(x∈R)则ℎ′(x)=e x−2a当a≤0时ℎ′(x)>0,ℎ(x)在R上单调递增所以ℎ(x)无极值；当a>0时令ℎ′(x)=e x−2a=0得x=ln(2a)当x<ln(2a)时ℎ′(x)<0,ℎ(x)单调递减当x>ln(2a)时ℎ′(x)>0,ℎ(x)单调递增所以当x=ln(2a)时ℎ(x)取得极小值无极大值ℎ(x)极小值=ℎ(ln(2a))=2a−2aln(2a)+1综上所述：当a≤0时ℎ(x)无极值；当a>0时ℎ(x)有极小值ℎ(ln(2a))=2a−2aln(2a)+1无极大值【24题详解】显然f(0)=0要使方程f(x)=0有两个不等的实根只需当x≠0时f(x)=0有且仅有一个实根当x≠0时由方程f(x)=0得a=e x+x−1x2令g(x)=ex+x−1x2(x≠0)则直线y=a与g(x)=e x+x−1x2(x≠0)的图象有且仅有一个交点g′(x)=(e x+1)x2−2x(e x+x−1)x4=(x−2)(e x−1)x3当x<0时g′(x)<0,g(x)单调递减；当0<x<2时g′(x)<0,g(x)单调递减；当x>2时g′(x)>0,g(x)单调递增所以当x=2时g(x)取得极小值g(2)=e 2+1 4又当x<0时e x<1所以e x+x−1<0,g(x)<0当x>0时e x>1,e x+x−1>0,g(x)>0所以作出g(x)的大致图象如图所示由图象知要使直线y=a与g(x)=e x+x−1x2(x≠0)的图象有且仅有一个交点只需a<0或a=e 2+1 4综上所述：若f(x)=0有两个不等的实根则实数a的取值范围为(−∞,0)∪{e 2+1 4}【点睛】关键点睛：本题考查了求函数极值利用导数解决函数的零点问题意在考查学生的计算能力转化能力和综合应用能力其中利用参数分离的思想将零点问题转化为函数图像的交点问题数形结合可以简化运算便于理解是解题的关键六、其它(共6 分)在斜三角形ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sinC−sinA=b5c+5asinB25 求证：2tanC=3tanA；26 若点D在边AC上BD⊥AC且AD=3,sin∠ABC=20ac求BD的长【答案】25 证明见解析26 4【分析】（1）方法一：根据正弦定理角化为边再结合余弦定理正弦定理将边化为角利用三角恒等变换即可化简证明；方法二：根据正弦定理将边化为角再结合三角恒等变换即可证明；（2）首先根据正切关系以及（1）的结果求得CD=2再根据面积公式求得BD的长【25题详解】方法一：由sinC−sinA=b5c+5a sinB及正弦定理得c−a=b25c+5a所以c2−a2=15b2,c2+b2−a2=65b2由余弦定理得2bccosA=65b2即5ccosA=3b由正弦定理得5sinCcosA=3sinB=3sin(A+C)=3sinAcosC+3cosAsinC 所以2sinCcosA=3sinAcosC易得cosAcosC≠0上式两边同时除以cosAcosC得2tanC=3tanA方法二：由sinC−sinA=b5c+5asinB及正弦定理得5sin2C−5sin2A=sin2B=sin2(A+C)=(sinAcosC+cosAsinC)2易得cosAcosC≠0上式两边同时除以cos2Acos2C得5tan 2C ⋅sin 2A+cos 2Acos 2A−5tan 2A ⋅sin 2C+cos 2Ccos 2C=(tanA +tanC)2即5tan 2C −5tan 2A =(tanA +tanC)2因为0<A +C <π,tanA +tanC ≠0所以5tanC −5tanA =tanA +tanC 整理得2tanC =3tanA 【26题详解】由BD ⊥AC 得tanA =BDAD ,tanC =BD CD因为2tanC =3tanA 所以CD =23AD因为AD =3所以CD =2所以AC =AD +CD =5 因为sinB =20ac 所以△ABC 的面积S =12acsinB =10 所以S =12×BD ×AC =12×BD ×5=10 解得BD =4所以BD 的长为4 七、问答题(共 6 分)已知函数g (x )=e ax cosx −e ax−x27 若a =1求g (x )的图象在点(0,g (0))处的切线方程； 28 若g (x )在区间(−π4,π4)上单调递增求实数a 的取值范围 【答案】27 x −y =0 28 [1,1+2√2e π4−1]【分析】（1）求导根据导数的几何意义运算求解；（2）方法一：求导根据题意分析可得当x ∈(−π4,π4)时e x (acosx −sinx )−(a −1)≥0恒成立构建新函数ℎ(x )=e x (acosx −sinx )−(a −1)利用导数分类讨论判断其单调性和最值结合恒成立问题分析求解；方法二：求导根据题意分析可得(e x cosx −1)a ≥e x sinx −1在x ∈(−π4,π4)上恒成立分类讨论运用参变分离法结合恒成立问题分析求解 【27题详解】当a =1时g (x )=e x cosx −1则g ′(x )=e x (cosx −sinx ) 可得g (0)=0g ′(0)=1即切点坐标为(0,0)斜率k =1所以g (x )的图象在点(0,g (0))处的切线方程为y =x 即x −y =0【28题详解】方法一：因为g (x )=e ax cosx −e ax−x所以g ′(x )=e ax (acosx −sinx )−(a −1)e ax−x =e ax−x [e x (acosx −sinx )−(a −1)] 设ℎ(x )=e x (acosx −sinx )−(a −1)且e ax−x >0由题意可知：当x ∈(−π4,π4)时ℎ(x )≥0恒成立 则ℎ′(x )=e x [(a −1)cosx −(a +1)sinx ] 当x ∈(−π4,π4)时e x >0,cosx >0整理得ℎ′(x )=e x cosx [a −1−(a +1)tanx ] 设m (x )=a −1−(a +1)tanx（i ）当a +1<0即a <−1时则m (x )在区间(−π4,π4)上单调递增 则m(x)<m (π4)=−2<0即ℎ′(x )<0所以ℎ(x )单调递减 所以ℎ(π4)=√22e π4(a −1)−a +1≥0解得a ≥1不符合题意舍去；（ⅱ）当a +1=0即a =−1时ℎ′(x )=−2e x cosx 当x ∈(−π4,π4)时ℎ′(x )<0 所以ℎ(x )在(−π4,π4)上单调递减ℎ(π4)=2−√2e π4<0不符合题意舍去； （ⅲ）当a +1>0即a >−1时则m (x )在区间(−π4,π4)上单调递减 ①若−1<a ≤0则m(x)<m (−π4)=2a ≤0 即ℎ′(x )≤0可知ℎ(x )在区间(−π4,π4)上单调递减 所以ℎ(π4)=√22e π4(a −1)−a +1≥0解得a ≥1不符合题意舍去；②当a >0时因为m (−π4)=2a >0,m (π4)=−2<0 所以存在x 0∈(−π4,π4)使得m (x 0)=0当x ∈(−π4,x 0)时m (x )>0即ℎ′(x )>0,ℎ(x )单调递增； 当x ∈(x 0,π4)时m (x )<0即ℎ′(x )<0,ℎ(x )单调递减； 由题意可得{ℎ(−π4)=√22e −π4(a +1)−a +1≥0ℎ(π4)=√22e π4(a −1)−a +1≥0解得1≤a ≤√2+e −π4√2−e −π4=1+2√2e π4−1综上所述：实数a 的取值范围是[1,1+2√2e π4−1]方法二：因为g (x )=e ax cosx −e ax−x则g ′(x )=e ax (acosx −sinx )−(a −1)e ax−x =e ax [(acosx −sinx )−(a −1)e −x ] 由题意可知：当x ∈(−π4,π4)时g ′(x )≥0恒成立 因为e ax >0则(acosx −sinx )−(a −1)e −x ≥0恒成立 又因为e x >0则e x (acosx −sinx )−(a −1)≥0恒成立 所以(e x cosx −1)a ≥e x sinx −1在x ∈(−π4,π4)上恒成立 令k (x )=e x cosx −1则k ′(x )=e x (cosx −sinx ) 因为x ∈(−π4,π4)则cosx >sinx可知k ′(x )>0所以k (x )在(−π4,π4)上单调递增且k (0)=0 可得：当x ∈(−π4,0)时则k (x )<0；当x ∈(0,π4)时则k (x )>0； 设ℎ(x )=e x sinx−1e x cosx−1则ℎ′(x )=e x (e x −2sinx )(e x cosx−1)2设m (x )=e x −2sinx①当x =0时e x cosx −1=0,e x sinx −1=−1该不等式成立所以a ∈R ； ②当x ∈(−π4,0)时e xcosx −1<0可得a ≤e x sinx−1e x cosx−1当x ∈(−π4,0)时e x >0,sinx <0则m (x )=e x −2sinx >0即ℎ′(x )>0 所以ℎ(x )在(−π4,0)上单调递增 可得ℎ(x )>ℎ(−π4)=√2+e −π4√2−e −π4=1+2√2e π4−1所以a ≤1+2√2e π4−1；③当x ∈(0,π4)时e x cosx −1>0所以a ≥e x sinx−1e x cosx−1 因为m (x )=e x −2sinx 所以m ′(x )=e x −2cosx 且y =e x 和y =−2cosx 在(0,π4)上单调递增 则m ′(x )在(0,π4)上单调递增且m ′(0)<0,m ′(π4)>0 可知∃x 0∈(0,π4)使得m ′(x 0)=0即e x 0−2cosx 0=0可得当x ∈(0,x 0)时m ′(x )<0,m (x )单调递减；当x ∈(x 0,π4)时m ′(x )>0,m (x )单调递增； 所以当x ∈(0,π4)时m (x )>m (x 0)=e x 0−2sinx 0=2cosx 0−2sinx 0>0 即ℎ′(x )>0则ℎ(x )在(0,π4)上单调递增可得ℎ(x )<ℎ(π4)=1所以a ≥1； 综上所述：实数a 的取值范围是[1,1+2√2e π4−1]【点睛】方法点睛：1．两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．。
2020届山东省新高考质量测评联盟高三上学期10月联考数学试题(解析版)
2020届山东省新高考质量测评联盟高三上学期10月联考数学试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}2|log 2B x x =≤，则A B 等于（ ）A.{}1,0,1-B.{}0,1,2C.{}1,2D.{}0,1【答案】C【解析】先化简集合B ，再由交集的概念，即可求出结果. 【详解】因为{}{}2|log 2|04=≤=<≤B x x x x ，{}1,0,1,2A =-， 所以{}1,2A B =.故选C 【点睛】本题主要考查交集的运算，熟记概念即可，属于基础题型. 2．命题“1x ∃>，2x x e +≥”的否定形式是（ ） A.1x ∀≤，2x x e +< B.1x ∀>，2x x e +< C.1x ∃>，2x x e +< D.x ∃≤1，2x x e +<【答案】B【解析】根据特称命题的否定是特称命题，可直接写出结果. 【详解】命题“1x ∃>，2x x e +≥”的否定是“1x ∀>，2x x e +<”. 故选B 【点睛】本题主要考查全称命题的否定，熟记含有一个量词的命题的否定即可，通常只需改写量词和结论即可，属于基础题型.3．总体由编号为01，02，…，49，50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（ ） 附：第6行至第9行的随机数表2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 16207477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125 3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732 2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950 A.3 B.19 C.38 D.20【答案】B【解析】根据题意，直接从所给随机数表中读取，即可得出结果. 【详解】由题意，编号为01~50的才是需要的个体； 由随机数表依次可得：41，48，28，19，16，20…… 故第四个个体的编号为19. 故选B 【点睛】本题主要考查随机数表法确定抽取的样本，熟记随机数表法的抽取原则即可，属于基础题型.4．下列函数中是偶函数，且在区间()0,∞+上是减函数的是（ ） A.1y x =+ B.12y x =C.1y x x=+D.3x y -=【答案】D【解析】根据函数奇偶性的定义，排除BC ，由函数单调性，排除A ，即可得出结果. 【详解】A 选项，因为11-+=+x x ，所以1y x =+是偶函数；又0x >时，1y x =+显然单调递增，不满足题意，排除A ；B 选项，12y x =的定义域为[)0,+∞，所以12y x =是非奇非偶函数，排除B ； C 选项，因为11⎛⎫-+=-+ ⎪-⎝⎭x x x x ，所以1y x x =+是奇函数，排除C ； D 选项，因为33---=xx，所以3xy -=是偶函数；当又0x >时，3331--⎛⎫== =⎪⎝⎭xxxy ，单调递减，满足题意，D 正确. 故选D 【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性判定函数解析式，熟记函数奇偶性，以及基本初等函数单调性即可，属于常考题型.5．在2019年高中学生信息技术测试中，经统计，某校高二学生的测试成绩()286,X N σ~，若已知()80860.36P X <≤=，则从该校高二年级任选一名考生，他的测试成绩大于92分的概率为（ ） A.0.86 B.0.64C.0.36D.0.14【答案】D【解析】由正态分布的特征，得到()1(8092)922-<≤>=P X P X ，根据题中条件，即可求出结果. 【详解】 因为()286,X N σ~，()80860.36P X <≤=，所以()1(8092)12(8086)10.72920.14222-<≤-<≤->====P X P X P X .故答案为D 【点睛】本题主要考查正态分布中求指定区间的概率问题，熟记正态分布的特征即可，属于常考题型.6．已知α是第一象限的角，且5cos 13α=，求()sin 4cos 23πααπ⎛⎫- ⎪⎝⎭+的值为（ ）B.D. 【答案】A【解析】根据题中条件，先求出sin α，再将所求式子化简整理，即可求出结果. 【详解】因为α是第一象限的角，且5cos 13α=，所以12sin 13α==，因此()22sin cos )cos )422cos 23cos 2sin cos πααααααπααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭==+--2217sin cos 3413αα===+. 故选A 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，给值求值的问题，熟记公式即可，属于常考题型. 7．设函数()()()321f x x ax a x a R =++-∈为奇函数，则曲线2()=f x y x在点()1,0处的切线方程为（ ） A.22y x =-+ B.1y x =-+ C.22y x =- D.1y x =-【答案】C【解析】先由函数奇偶性，求出0a =，得到()3f x x x =-，进而得到2()1==-f x y x x x ，对其求导，计算曲线2()=f x y x 在点()1,0处的切线斜率，从而可求出切线方程. 【详解】因为函数()()()321f x x ax a x a R =++-∈为奇函数，所以()()()(1)1111120+=-+-++++-==-f f a a a a a ，故0a =； 所以()3f x x x =-，因此322()1-===-f x x x y x x x x, 所以211'=+y x ， 因此曲线2()=f x y x 在点()1,0处的切线斜率为12x k y ='==， 所以曲线2()=f x y x在点()1,0处的切线方程为2(1),22y x y x =-=-. 故选C 【点睛】本题主要考查求曲线在某点处的切线方程，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型. 8．在空间中，已知l ，m ，n 为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是（ ） A.若l αβ=，m α，m β⊥，则αβ⊥ B .若m α，n β，αβ∥，则m nC.若m α⊥，n β，αβ⊥，则m n ⊥D.若m αβ=，m γ⊥，n m ⊥，则∥γn【答案】A【解析】根据空间中线线、线面、面面位置关系，结合线面、面面平行或垂直的判定定理与性质定理，逐项判断，即可得出结果. 【详解】对于A 选项，因为m α，m β⊥，根据面面平行的判定定理，即可得出αβ⊥；A 正确；对于B 选项，若m α，n β，αβ∥，则m n 或mn 、异面；B 错误； 对于C 选项，若m α⊥，αβ⊥，则m β或m β⊂，又n β，所以m n 或m n 、异面或mn 、相交；C 错误； 对于D 选项，若m αβ=，m γ⊥，n m ⊥，则∥γn 或γ⊂n ；D 错误.故选A 【点睛】本题主要考查线面关系、面面关系相关命题的真假性判断，熟记线线、线面、面面位置关系，以及判定定理与性质定理即可，属于常考题型.9．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造.根据史书的记载和考古材料的发现，古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，一般长为1314cm ~，径粗0.20.3cm ~，多用竹子制成，也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的，大约二百七十几枚为一束，放在一个布袋里，系在腰部随身携带.需要记数和计算的时候，就把它们取出来，放在桌上、炕上或地上都能摆弄.在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示数字.如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用这6根算筹能表示的两位数的个数为（ ）A.13B.14C.15D.16【答案】D【解析】根据题意，确定6根算筹，可以表示的数字组合，进而可确定每个组合可以表示的两位数，即可得出结果. 【详解】根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为（1，5），（1，9），（2，4），（2，8），（6，4），（6，8），（3，3），（3，7），（7，7）；数字组合（1，5），（1，9），（2，4），（2，8），（6，4），（6，8），（3，7）中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2714⨯=个两位数；而数字组合（3，3），（7，7）每组可以表示1个两位数，共2个两位数； 因此，用这6根算筹能表示的两位数的个数为16个. 故选D 【点睛】本题主要考查简单的排列组合的应用，熟记排列组合的定义即可，属于常考题型. 10．函数()211xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A. B.C. D.【答案】C【解析】先由函数奇偶性，排除BD ；再由函数值的大致范围，即可确定结果. 【详解】 因为()211xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭，x ∈R 所以()222111111-⎛⎫--⎛⎫-=--=--=-⋅ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭x x x x x xe e ef x x x x e e e 1122211()1111-+-⎛⎫⎛⎫=-⋅=-⋅=--=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭x x x x xx e e x x x x f x e e ee ， 所以()211xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭是偶函数，排除BD ；又当0x >时，22110111-<-=++xe ，所以2()101⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭x f x x e ， 当0x <时，22110111->-=++x e ，所以2()101⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭xf x x e ， 故排除D ，选C. 故答案为C 【点睛】本题主要考查函数图像的识别，熟记函数的奇偶性即可，属于常考题型.11．在正方形ABCD 中，2AB =，E 是AB 中点，将ADE ∆和BCE ∆分别沿若DE 、EC 翻折，使得A 、B 两点重合，则所形成的立体图形的外接球的表面积是（ ）A.283πB.193πC.9πD.4π【答案】B【解析】根据题意，作出翻折后的几何体，取CD 中点M ，记A C D ∆外接圆圆心为G ，过点G 作⊥NG 平面ACD ，由题中条件得到//NG AE ，记几何体外接球球心为O ，连接,OA OE ，得到12=OG AE ，再由题中数据，即可求出外接球半径，从而可得出球的表面积. 【详解】由题意，作出翻折后的几何体如图所示： 取CD 中点M ，记ACD ∆外接圆圆心为G ，因为在正方形ABCD 中，2===BC AD CD ，所以翻折后，ACD ∆为等边三角形， 则ACD ∆外接圆圆心即是ACD ∆重心，所以、、A G M 三点共线，且23===AG AM ； 过点G 作⊥NG 平面ACD ，记所求几何体外接球球心为O ，外接球半径为r ， 则球心在直线NG 上，连接,OA OE ，则==OA OE r又AE AD ⊥，BE BC ⊥，所以翻折后，EA AD ⊥，EA AC ⊥， 所以EA ⊥平面ACD ，因此//EA NG ， 又==OA OE r ，所以OAE ∆是等腰三角形， 易得111242===OG AE AB ，所以====r OA故所求外接球表面积为21943ππ==S r . 故选B【点睛】本题主要考查几何体外接球的表面积问题，熟记三棱锥的结构特征，以及球的表面积公式即可，属于常考题型.12．函数()2321,0log ,0x x x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨>⎪⎩，则方程()1f f x ⎡⎤=⎣⎦的根的个数是（ ） A.7 B.5 C.3 D.1【答案】A【解析】根据题意，分别讨论()0f x >，和()0f x ≤两种情况，根据函数解析式，即可求出结果. 【详解】因为()1f f x ⎡⎤=⎣⎦（1）当()0f x >时，由()3log ()1⎡⎤==⎣⎦f f x f x ，解得()3f x =或1()3f x =， 若0x >，则3lo g 3=x 或31log 3=x ，解得27x =或127=x ；或13x 3=或133-=x ； 若0x ≤，则2213-++=x x 或21213-++=x x，解得32-=x ； （2）当()0f x ≤时，由()[]2()2()11⎡⎤=-++=⎣⎦f f x f x f x ，解得()0f x =或()2f x =（舍），所以()0f x =.若0x >，则3log 0=x ，解得1x =； 若0x ≤，则2210-++=x x，解得1x =-综上，方程()1f f x ⎡⎤=⎣⎦的根的个数是7个.故选A 【点睛】本题主要考查由复合函数值求参数的问题，灵活运用分类讨论的思想即可求解，属于常考题型.二、填空题13．已知函数()2xf x a =-（0a >且1a ≠），则()y f x =的图象恒过的定点的坐标为______. 【答案】()0,1-【解析】由指数函数恒过定点的坐标，即可得出结果. 【详解】因为指数函数xy a =恒过定点(0,1)， 所以()2xf x a =-恒过定点(0,1)-.故答案为()0,1- 【点睛】本题主要考查函数恒过定点的问题，熟记指数函数的性质即可，属于常考题型. 14．若2x >，则函数342y x x =+-的最小值为______.【答案】8+【解析】根据题意，由基本不等式，即可求出最小值. 【详解】因为3344888822=+=-++≥=+--y x x x x当且仅当3482-=-x x ，即2=x即函数342y x x =+-为8+故答案为8+【点睛】本题主要考查由基本不等式求最小值，熟记基本不等式即可，属于常考题型.15．如图，在圆柱的轴截面ABCD 中，4AB =，2BC =，1O ，2O 分别为圆柱上下底面的中心，M 为12O O 的中点，动点P 在圆柱下底面内（包括圆周）.若AM MP ⊥，则点P 形成的轨迹的长度为______.【解析】由题意，以2O 为坐标原点，以2O B 方向为y 轴，以底面内垂直于2O B 的直线为x 轴，以21O O 方向为z 轴，建立空间直角坐标系，设(,,0)P x y ，用向量的方法，确定点P 形成的轨迹是底面的一条弦，根据圆的弦长公式，即可求出结果. 【详解】以2O 为坐标原点，以2O B 方向为y 轴，以底面内垂直于2O B 的直线为x 轴，以21O O 方向为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为4AB =，2BC =，所以(0,2,0)A -，(0,0,1)M ，设(,,0)P x y ， 所以(0,2,1)=AM ，(,,1)=-MP x y ，又AM MP ⊥，所以210⋅=-=AM MP y u u u r u u u r，所以12y =， 即点P 形成的轨迹是，底面上与x 轴平行，且过2O B 靠近点2O 的四等分点的线段（也是底面圆的一条弦）；所以形成的轨迹长度为==【点睛】本题主要考查立体几何中的轨迹问题，灵活运用空间向量的方法求解即可，属于常考题型.16．关于二项式)20201及其展开式，有下列命题：①该二项展开式中非常数项的系数和是-1；②该二项展开式中第六项为610072020C x ；③该二项展开式中不含有理项；④当100x =时，)20201除以100的余数是1.其中，正确命题的序号为______.【答案】①④【解析】根据二项展开式的通项公式，逐项判断，即可得出结果. 【详解】因为二项式)20201的展开式的第1r +项为()20202120201-+=-r r r rTCx，对于①，当2020=r 时，得到常数项为20211=T ；又二项式)20201的展开式的各项系数和为)202010= ，所以该二项展开式中非常数项的系数和是1-；故①正确； 对于②，因为该二项展开式中第六项为()20205526202051-=-T C x，故②错误；对于③，当20202()-=∈r n n N 时，对应的各项均为有理项；故③错误；对于④，当100x =时，)20220200(1011)-=0202001201912018220182019120192020020202020202020202020202010(1)10(1)...10(1)10(1)10(1)=-+-++-+-+-C C C C C 因为02020012019120173201720202020202010(1)10(1)...10(1)-+-++-C C C 显然是100的倍数，能被100整除，而20182201820191201920200202020202020202010(1)10(1)10(1)-+-+-C C C 1010201910020200110102018100101000202001=⨯⨯-+=⨯⨯+-+10102018100808011001=⨯⨯+=⋅+m ，m N ∈，所以)20201除以100的余数是1. ④正确；故答案为①④ 【点睛】本题主要考查二项展开式的有理项，系数和，以及整除问题，熟记二项式定理即可，属于常考题型.三、解答题17．已知关于x 的不等式2430ax x -+<的解集为{}|1x x b <<. （1）求实数a ，b 的值； （2）求关于x 的不等式0ax bx c->+（c 为实数）的解集. 【答案】（1）1a =，3b =；（2）①当3c =-时，不等式的解集为{}|3x x ≠；②当3c >-时，不等式的解集为{|x x c <-或}3x >；③当3c <-时，不等式的解集为{|3x x <或}x c >-.【解析】（1）根据题意得到1和b 是方程2430ax x -+=的两个实数根，由韦达定理列出方程组，求解，即可求出结果；（2）先由题意，将不等式化为()()30x x c -+>，分别讨论3c -=，3c -<和3c ->三种情况，即可得出结果. 【详解】（1）因为不等式2430ax x -+<的解集为{}|1x x b <<， 所以1和b 是方程2430ax x -+=的两个实数根，且0a >， 由韦达定理可得41b a =+，且31b a=⨯， 且16120a α=->，0a >， 解得1a =，3b =. （2）关于x 的不等式0ax bx c->+等价于()()0ax b x c -+>， 即()()30x x c -+>，①当3c -=，即3c =-时3x ≠；②当3c -<，即3c >-时x c <-或3x >；③当3c ->，即3c <-时3x <或x c >-， 综上：①当3c =-时，不等式的解集为{}|3x x ≠；②当3c >-时，不等式的解集为{|x x c <-或}3x >； ③当3c <-时，不等式的解集为{|3x x <或}x c >-. 【点睛】本题主要考查由不等式的解集求参数的问题，以及含参数的不等式的解法，熟记三个二次之间的关系，灵活运用分类讨论的思想，即可求解，属于常考题型. 18．已知函数()222sin 4cos 1f x x x =-+.（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值. 【答案】（1）π；（2）最小值是-3，最大值是32. 【解析】（1）先将函数化简整理，得到()3cos 2=-f x x ，从而可得出最小正周期； （2）由0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得到220,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，根据余弦函数的单调性，即可得出结果. 【详解】（1）()222sin 4cos 1f x x x =-+()1cos221cos21x x =--++ 3cos2x =-，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==. （2）因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以220,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 于是1cos 2,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以()33,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是-3，最大值是32.【点睛】本题主要考查余弦型函数的周期，以及余弦型函数在给定区间的最值问题，熟记余弦函数的性质即可，属于常考题型.19．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()1323xx f x +⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）()13,02332,03x x x x f x x x ⎧+⎛⎫-≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎪-+<⎪⎩；（2）13k <-.【解析】（1）0x <时，0x ->，由题意，得到()1332233xx x x f x --+-⎛⎫-=-=+⎪⎝⎭，再由奇函数的性质，即可得出结果；（2）先由题意得到()f x 在[)0,+∞上单调递减，根据函数奇偶性，推出()f x 在(),-∞+∞上单调递减，再将不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，转化为2320t t k -->在t R ∈上恒成立，进而可得出结果.【详解】（1）当0x <时，0x ->，则()1332233xx x x f x --+-⎛⎫-=-=+⎪⎝⎭， 又因为()f x 为奇函数，所以()323xx f x --=+， 所以()323xx f x -=-+，所以()13,02332,03x x x x f x x x ⎧+⎛⎫-≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎪-+<⎪⎩. （2）因为当0x ≥时，()1323xx f x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，33+=-x y 也单调递减，因此()f x 在[)0,+∞上单调递减， 又()f x 为奇函数，所以()f x 在(],0-∞上单调递减， 所以()f x 在(),-∞+∞上单调递减，因为()()22220f t t f t k -+-<在t R ∈上恒成立， 所以()()2222f t t f t k -<--，又因为()f x 为奇函数，所以()()2222f t t f k t-<-，所以2222t t k t ->-在t R ∈上恒成立， 即2320t t k -->在t R ∈上恒成立， 所以4120k ∆=+<，即13k <-. 【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数解析式，以及由不等式恒成立求出参数的问题，熟记函数奇偶性的定义，以及函数单调性解不等式即可，属于常考题型. 20．甲、乙两位同学参加诗词大会，设甲、乙两人每道题答对的概率分别为23和34.假定甲、乙两位同学答题情况互不影响，且每人各次答题情况相互独立.（1）用X 表示甲同学连续三次答题中答对的次数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）设M 为事件“甲、乙两人分别连续答题三次，甲同学答对的次数比乙同学答对的次数恰好多2”，求事件M 发生的概率. 【答案】（1）分布列见解析，()2E X =；（2）7144. 【解析】（1）先由题意，得到X 服从二项分布，以及X 的所有可能的取值，求出对应的概率，即可得出分布列与数学期望；（2）先设Y 为乙连续3次答题中答对的次数，由题意得到Y 服从二项分布，根据二项分布的概率计算公式，即可求出结果. 【详解】（1）由题意知2~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，X 的所有可能的取值为0，1，2，3，()030321103327P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()1213212121333399P X C ⎛⎫⎛⎫===⨯⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； ()2123214142333939P X C ⎛⎫⎛⎫===⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()33321833327P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以X 的分布列为数学期望()2323E X =⨯=. （或()124801232279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.） （2）设Y 为乙连续3次答题中答对的次数， 由题意知33,4Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， ()030331104464P Y C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()121331914464P Y C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()P M P =（3X =且1Y =）P +（2X =且Y 0=）894172764964144=⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查二项分布的分布列与数学期望，熟记二项分布与分布列的概念，以及二项分布的数学期望即可，属于常考题型.21．如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，SAD ∆是等边三角形，平面SAD ⊥平面ABCD ，1AB =，E 为棱SA 上一点，P 为AD 的中点，四棱锥S ABCD -的体积为3.（1）若E 为棱SA 的中点，F 是SB 的中点，求证：平面∥PEF 平面SCD ；（2）是否存在点E ，使得平面PEB 与平面SAD 所成的锐二面角的余弦值为10？若存在，确定点E 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点E 位于AS 的靠近A 点的三等分点. 【解析】（1）根据面面平行的判定定理，即可证明结论成立；（2）假设存在点E 满足题意，根据题中条件，先求出AD 的长，再以P 为坐标原点，PA 所在直线为x 轴，过点P 与AB 平行的直线为y 轴，PS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，得到()0,0,0P ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，(S ，设(()()01AE AS λλλλ==-=-≤≤，分别表示出平面PEB 与平面SAD 的一个法向量，根据向量夹角余弦值，求出13λ=，即可得出结果. 【详解】（1）证明：因为E 、F 分别是SA 、SB 的中点， 所以EF AB ∥，在矩形ABCD 中，AB CD ∥， 所以EF CD ∥，又因为E 、P 分别是SA 、AD 的中点， 所以∥EP SD ，又因为EF CD ∥，EF EP E ⋂=，,EF EP ⊂平面PEF ，,SD CD ⊂平面SCD ，所以平面∥PEF 平面SCD .（2）解：假设棱SA 上存在点E 满足题意. 在等边三角形SAD 中，P 为AD 的中点，于是SP AD ⊥，又平面SAD ⊥平面ABCD ， 平面SAD ⋂平面ABCD AD =，SP ⊂平面SAD ，所以SP ⊥平面ABCD ，所以SP 是四棱锥S ABCD -的高， 设AD m =，则SP =，ABCD S m =矩形，所以1133S ABCD ABDD V S SP m -=⋅==矩形 所以2m =，以P 为坐标原点，PA 所在直线为x 轴，过点P 与AB 平行的直线为y 轴，PS 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0P ，()1,0,0A ，()1,1,0B，(S ，设(()()01AE AS λλλλ==-=-≤≤，()()1,0,0PE PA AE λ=+=+-()1λ=-，()1,1,0PB =，设平面PEB 的一个法向量为()1,,n x y z =，有()11100n PE x z n PB x y λ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令3x λ=，则()13,,1n λλ=-，易知平面SAD 的一个法向量()20,1,0n =u u r，所以121212cos ,7n n n n n n ⋅==10=， 因为01λ≤≤， 所以13λ=， 所以存在点E ，位于AS 的靠近A 点的三等分点.【点睛】本题主要考查证明面面平行，以及由二面角的大小求其它量的问题，熟记面面平行的判定定理以及空间向量的方法求二面角的大小即可，属于常考题型.22．根据《山东省全民健身实施计划（2016-2020年）》，到2020年乡镇（街道）普遍建有“两个一”工程，即一个全民健身活动中心或灯光篮球场、一个多功能运动场.某市把甲、乙、丙、丁四个多功能运动场全部免费为市民开放.（1）在一次全民健身活动中，四个多功能运动场的使用场数如图，用分层抽样的方法从甲、乙、丙、丁四场馆的使用场数中依次抽取a ，b ，c ，d 共25场，在a ，b ，c ，d 中随机取两数，求这两数和ξ的分布列和数学期望；（2）设四个多功能运动场一个月内各场使用次数之和为x ，其相应维修费用为y 元，根据统计，得到如下表的y 与x 数据：（i ）用最小二乘法求z 与x 之间的回归直线方程； （ii ）40yx +叫做运动场月惠值，根据（i ）的结论，试估计这四个多功能运动场月惠值最大时x 的值.参考数据和公式：4z =，()721700ii x x =-=∑，()()7170i i i x x z z =--=∑，320e =，()()()71721ˆiii i i x x z z bx x ==--=-∑∑，a y bx =-$$.【答案】（1）分布列见解析，252；（2）（i ）13102ˆz x =+；（ii ）20.【解析】（1）根据题意，确定抽样比，得到a ，b ，c ，d 的值分别为5，6，9，5；所以这两数和ξ的所有可能的取值为10，11，14，15，求出对应概率，即可得出分布列与数学期望；（2）（i ）由最小二乘法，结合题中数据，求出a ，b 的估计值，从而可得回归直线方程；（ii ）由（i ）得到1001313102102yz e x =+=+，所以100ln y x =，设()100ln 4040y x g x x x ==++，用导数的方法求其最值即可.【详解】（1）根据题中所给的条形图，易知总场数为100，所以抽样比例为2511004=， 所以a ，b ，c ，d 的值分别为5，6，9，5.所以这两数和ξ的所有可能的取值为10，11，14，15. 于是()2411106P C ξ===，()2421113P C ξ===， ()2421143P C ξ===，()2411156P C ξ===， 所以随机变量ξ的分布列为：所以()1111251011141563362E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.第 21 页 共 21 页 （2）（i ）因为25x =，4z =，()721700i i x x =-=∑，()()7170i i i x x z z =--=∑， 所以()()()717217017010ˆ0i ii i i x x z z b x x ==--===-∑∑， 即13425ˆ102ˆa z bx =-=-⨯=， 所以z 与x 之间的回归直线方程为13102ˆzx =+. （ii ）因为1001313102102y z e x =+=+， 所以100ln y x =，设()100ln 4040y x g x x x ==++， 则()()2401ln '10040x x g x x +-=+，令()401ln h x x x =+-，()2401'0h x x x=--<在()0,∞+恒成立， 则()y h x =在()0,∞+为减函数，又()200h =，所以当()0,20x ∈时，()0h x >，()'0g x >，所以()g x 在()0,20上单调递增， 当()20,x ∈+∞时，()0h x <，()'0g x <，所以()g x 在()20,+∞上单调递减， 所以估计这四个多功能运动场月惠值最大时x 的值为20.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与期望，回归直线方程的求法，以及导数的方法求函数的最值问题，熟记离散型随机变量分布列与期望的概念，会用最小二乘法求回归直线系数的估计值，以及导数的应用即可，属于常考题型.。
山东新高考联合质量测评高三10月联考数学答案和解析
山东新高考联合质量测评高三数学参考答案1.C2.A3.C 解： 底面边长为4，∴底面的对角线长为设正四棱柱和正四棱锥的高为h ，因正四棱锥的侧棱长为32，则根据题意可得222h +=，解得2h =，故该几何体的体积为112844244233⨯⨯+⨯⨯⨯=，故选C.6.D 解：函数2e ()e x a f x +=的定义域为R ，因为()()0f x f x -+=，所以函数()f x 是R 上的奇函数，所以()010f a =+=，解得1a =-，所以2e 1()ex x f x -=，则()22e 11e ()e e x x x x f x f x -----===-，所以2e 1()e x x f x -=，则()222212e e 1()e e e e ex x x x x x xf x '==⋅--⋅+，因为()f x 在(,())b f b 处的切线方程为2y x =，所以2e 1()2eb b f b '+==，解得0b =，所以=+b a 2-2.故答案为：D.8.D 解：由已知1(1)(2)n n n a n a ++=+，所以121n n a a n n +=++，所以数列{}1n an +是常数列.又23a =，所以21121n a an ==++，从而1n a n =+，所以数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，故232n n nS +=．由存在n N +∈使得214n n S ka +≤成立可知，存在n N +∈使得2314(1)n n k n ++≤+成立，即2min 314()1n n k n ++≥+．设1t n =+，则1n t =-，从而22314(1)3(1)141211n n t t t n t t++-+-+==+++．记12()1f t t t=++，由对勾函数性质可知，()f t 在(0,23)上单调递减，在(23,)+∞上单调递增，又t N +∈，所以8143)3(=++=f ，8134)4(=++=f ，所以121t t++的最小值是8．故选：D．9.ACD 解：选项A ：设幂函数)(x f αx =，由2)41(=f 得21-=α，故选项A 正确；选项B ：032)(2=-+=x x x f 得13或-=x ，所以)(x f 的零点为13和-，故选项B 不正确；选项C ：因为)1(+x f 是偶函数，所以)1()1(+-=+x f x f ，因为()f x 是奇函数，所以)1()1()1(--=+-=+x f x f x f 因此函数()f x 的周期为4，所以()()()2024450600f f f =⨯==，故选项C 正确；选项D ：因为函数()3ln f x x x=-在()1,2x ∈时单调递增，而013ln )3(>-=f ，故选项D 正确.故选ACD.10.BD 解因为1132++-=n n n n a a a a ，所以1a ＋1＝2a ＋3，所以1a ＋1＋3＝21a n ＋3，且1a ＋3＝4≠0，所1a n ＋34为首项，2为公比的等比数列，即1a n ＋3＝4×2n-1，所以1a n ＝2n+1－3，可得a n ＝12n ＋1－3，故选项A ，C 错误；因为1a n ＝2n+1－3单调递增，所以a n ＝12n ＋1－3单调递减，即{a n }为递减数列，故选项B 1a n 前n 项和T n ＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n+1－3)＝(22＋23＋…＋2n+1)－3n ＝22×1－2n1－2－3n ＝2n+2－3n －4，故选项D 正确．故选BD.为正四面体.12.BD 解：作出f （x ）在（0，12]上的图象，如图所示：因为f （）＝f （）＝f （4）＝f （12）＝，又因为方程()x f ＝a 有四个互不相等的实数根，所以210≤<a ，故A 错误；对于B ，由题意可得＝﹣，且有0＜x 1≤，≤x 2＜2，所以x 1＝，所以2x 1+x 2＝+x 2≥2＝2，当＝x 2，即x 2＝时，等号成立，故正确；对于C ，由题意可得⎪⎭⎫ ⎝⎛27f ＝,212243sin 6276sin >==⎪⎭⎫⎝⎛+⨯πππ由A 可知210≤<a ，所以,27a f >⎪⎭⎫⎝⎛故错误；对于D ，由题意可知：x 3与x 4关于直线x ＝8对称，且,543<≤x ,12114≤<x 所以x 3+x 4＝16，所以.161143434343x x x x x x x x =+=+因为x 3+x 4＝16，所以x 3＝16﹣x 4.又因为,12114≤<x 所以x 3•x 4＝（16﹣x 4）x 4＝﹣+16x 4＝64﹣（x 4﹣8）2，单调递减，所以48≤64﹣（x 4﹣8）2＜55，所以,31165516,48115514343≤<≤<x x x x 所以.3111551643≤+<x x 因为(2,12∈x ,所以2221212121111x x x x x x x x x x +=+=+=+，单调递增，所以⎦⎤ ⎝⎛∈+2232122，x x ，所以]223,2(1121∈+x x .所以43211111x x x x +++的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛+629255126，,故D 正确．故选BD ．13.314.解：∵BD ⊥AB ，AC ⊥AB，∴，设二面角C ﹣AB ﹣D 为θ，则()θθπcos 12cos 34-=-⨯⨯=∙AC DB .又，则，即42＝42+22+32﹣24cosθ，所以．故答案为：．15.12+-n n 解：由=(14)得()214321+-=------=n n n b n 则()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-=1112121n n n n b n ，所以121112111413131212112+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-+--=n n n n n T n .16.⎥⎦⎤⎝⎛24,1e e 解由题意可知f (2)＝0，且f (x )在R 上单调递减，所以函数f (x )只有一个零点2，由|2－β|<1，得1<β<3，所以函数g (x )＝x 2－a e x 在区间(1,3)上存在零点．由g (x )＝x 2－a e x ＝0，得a ＝x 2ex .令h (x )＝x 2e x ，则h ′(x )＝2x －x 2ex ，所以h (x )在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，且h (1)＝1e ，h (2)＝4e 2，h (3)＝9e 3>1e，要使函数g (x )在区间(1,3)上存在零点，只需a ∈⎥⎦⎤⎝⎛24,1e e .17.解（1）由已知()f x 图象的对称中心到对称轴的最小距离为4π，则44T π=，T π∴=，2222T ππωπ∴===，解得1ω=.∴函数()f x 的解析式是()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭.（2分）令∈+≤-≤+k k x k ,2324222πππππZ,解得∈+≤≤+k k x k ,8783ππππZ.所以函数的减区间为∈⎦⎤⎢⎣⎡++k k k ,87,83ππππZ .（5分）（2）由（1）知，函数在区间3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，在区间33,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数.（7分）因为08f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，1)43(-=πf ，故函数()f x 在区间3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[1-（10分）18.解（1）由{}为递增的等差数列，n a ,65,18424251=⋅=+=+a a a a a a 解得,13,542==a a 所以11=a ，公差4=d ，所以n n S n -=22，（4分）2.又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++ ，（8分）两式相减得2111311121()222222n n n n T -++=++++- ，（10分）所以2552n nn T +=-．（12分）19.（1）证明：因为DA ⊥平面ABEF ，AB ，AF ⊂平面ABEF ，所以DA AB ⊥，DA AF ⊥.又AB AF ⊥，所以以A 为坐标原点，,,AF AB AD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，（2分）则()0,2,0B 、()1,2,0E 、()0,2,1C 、()0,0,2D 、()2,0,0G ，所以()1,0,1EC =- ，()1,2,2ED =-- ，()2,2,0BG =-，（4分）设平面DCE 的法向量为(),,n x y z = ，则0220n EC x z n ED x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令2x =，则2,1z y ==，所以()2,1,2n =，因为()221220n BG ⋅=⨯+⨯-=≠ ，即不存在λ使得BG与n垂直，所以BG 与平面DCE 不平行.（6分）（2）设AF a =（0a>且1a ≠），则(),0,0F a，所以(),2,0BF a =-.（7分）∵直线BF 与平面DCE ∴,3422cos 552⨯+-===a a 化简得21140160a a --=，解得4a =或411a =-（舍去）.故4AF =．（9分）∴()0,0,4F ()()知由1,2,0,4-=→FD 平面DCE 的一个法向量()2,1,2n =,所以F 到平面DCE 的距离34||=∙=→n n FD d（12分）f （x ）+2+f （-x ）+2=f （0）+2=0，所以函数f （x ）+2为奇函数；（4分）（2）证明：在R 上任取x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，所以f （x 1－x 2）＞－2.又f （x 1）＝f [（x 1－x 2）＋x 2]＝f （x 1－x 2）＋f （x 2）＋2＞f （x 2），所以函数f （x ）在R 上是增函数.（8分）（3）解：由f （1）＝2，得f （2）＝6，f （3）＝10.（9分）由f （x 2＋x ）＋f （1－2x ）＞8得f （x 2－x ＋1）＞f （3）.（10分）因为函数f （x ）在R 上是增函数，所以x 2－x ＋1＞3，解得x ＜－1或x ＞2.故原不等式的解集为{x ｜x ＜－1或x ＞2}.（12分）22.解：（1）函数()f x 的定义域为(0)+∞，，xx a x x a x f 2)(-=-=',（2分）当0a ≤时,0)(<'x f 恒成立，()f x 在(0)+∞，上单调递减.当0a >时，x ∈，0)(>'x f 恒成立，()f x 单调递增；（4分）)x ∈+∞，0)(<'x f 恒成立，()f x 单调递减.综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0)+∞，上单调递减；当0a >时，()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减.（5分）（2）当0a >时，要使)(41)(2a g a x f <，则2max 1()()4f x a g a <.（6分）由（1）可知，max 11()ln (ln )22f x f a a a a a ===-，所以211(ln )(sin )24a a a a a e a -<-，即ln 11(sin )2aa e a a -<-.（8分）令aa a 1ln )(-=ϕ，1()(sin )2a h a e a =-2ln 2)(aa a -=ϕ'，可知)(a ϕ在2(0,)e 上单调递增，在2()e +∞，上单调递减.所以22max 1)()(ee a =ϕ=ϕ.（10分）0cos )(>-='a e a h a 恒成立，故()h a 在(0)+∞，上单调递增，21)0()(min =>h a h ,因为2112e <，所以)()(a h a <ϕ，所以当0a >时，21()()4f x a g a <.（12分）。
山东省高三上学期数学10月联考试卷
山东省高三上学期数学10月联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分） (2018高一上·宜宾月考) 已知集合， ,设全集则（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高二下·吉林期中) 已知复数满足，则复数的共轭复数为（）A .B .C .D .3. （2分） (2020高一下·温江期末) 的值是（）A . -B . 0C .D .4. （2分） (2020高一上·郑州期中) 若，，，则，，的大小关系为（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二上·日喀则期中) 若数列{an}为等差数列，a2 ， a10是方程x2﹣3x﹣5=0的两根，则a4+a8的值为（）A . 3B . ﹣3C . 5D . ﹣56. （2分） (2019高二下·深圳月考) 曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（）A .B .C . 和D . 和7. （2分） (2016高三上·湖州期末) 设平面向量均为非零向量，则“ = ”是“（﹣）• =0”的（）A . 充分不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分）要得到y=2sin（2x+ ）的图象，只需将y=2sinx的图象上的所有的点（）A . 向左平移个单位长度，再横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）B . 向右平移个单位长度，再横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）C . 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），向左平移个单位长度D . 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），向右平移个单位长度二、多选题 (共4题；共12分)9. （3分） (2020高一下·沈阳期末) 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（）A .B . 是钝角三角形C . 的最大内角是最小内角的2倍D . 若，则外接圆半径为10. （3分）(2020·平邑模拟) 关于函数下列结论正确的是（）A . 图像关于轴对称B . 图像关于原点对称C . 在上单调递增D . 恒大于011. （3分） (2019高二上·中山月考) 数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，以下运算和结论正确的是（）A .B . 数列是等比数列C . 数列的前项和为D . 若存在正整数，使，则12. （3分） (2019高三上·济南期中) 已知函数 ,若 ,且,则下列结论正确的是（）A .B .C .D .三、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·佛山月考) 已知向量，，，若与互相垂直，则的值是________，若与互相平行，则k的值是________.14. （1分） (2016高一上·乾安期中) 函数f（x）= （常数a∈Z）为偶函数且在（0，+∞）是减函数，则f（2）=________15. （1分） (2016高二下·黑龙江开学考) 若函数f（x）=x3﹣3a2x+1的图像与直线y=3只有一个公共点，则实数a的取值范围________．16. （1分） (2019高三上·浙江月考) 已知正项等比数列满足，，则________，数列的前项和为________.四、解答题 (共6题；共60分)17. （5分） (2020高二下·南宁期中) 在中，内角所对的边分别为，已知．（1）求角C的大小（2）若，的面积为，求的周长．18. （10分） (2016高一下·上栗期中) 已知数列{an}的通项为an ，前n项和为sn ，且an是sn与2的等差中项，数列{bn}中，b1=1，点P（bn ， bn+1）在直线x﹣y+2=0上．（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式an ， bn（Ⅱ）设{bn}的前n项和为Bn ，试比较与2的大小．（Ⅲ）设Tn= ，若对一切正整数n，Tn＜c（c∈Z）恒成立，求c的最小值．19. （15分）(2020·上饶模拟) 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点M是棱的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的大小.20. （10分） (2020高二下·长春期中) 某车间在两天内，每天生产10件某产品，其中第一天､第二天分别生产了1件､2件次品，而质检部每天要在生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过.（1）求两天全部通过检查的概率；（2）若厂内对该车间生产的产品质量采用奖惩制度，两天全不通过检查罚300元，通过1天，2天分别奖300元､900元.那么该车间在这两天内得到奖金的数学期望是多少元？21. （10分）(2019·新乡模拟) 已知直线与椭圆交于两点，与直线交于点（1）证明：与C相切；（2）设线段的中点为，且 ,求的方程.22. （10分）(2019·枣庄模拟) 已知函数f（x）= -x2+e•f′（）x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若存在x1 ， x2（x1＜x2），使得f（x1）+f（x2）=1，求证：x1+x2＜2．参考答案一、单选题 (共8题；共16分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：二、多选题 (共4题；共12分)答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：三、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：四、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、。
山东省高三上学期数学10月联考试卷
山东省高三上学期数学10月联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共16分)1. （1分） (2018高一上·海安月考) 函数的定义域是________．2. （1分） (2019高二下·慈溪期中) 若复数（i是虚数单位），则z的虚部为________，________.3. （2分） (2018高二上·灌南月考) 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为________.4. （2分） (2019高二上·开福月考) 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，则估计这人的月平均收入为________元．5. （1分） (2018高二下·黄陵期末) 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是________6. （1分）(2020·秦淮模拟) 已知某正四棱锥的底面边长和侧棱长均为，则该棱锥的体积为________.7. （1分） (2019高二下·上海期末) 双曲线的焦点坐标为________.8. （1分） (2016高二上·邹平期中) 函数y=2sinxcosx﹣1，x∈R的值域是________．9. （1分） (2016高三上·苏州期中) 已知tanα=﹣，则tan（α﹣）=________．10. （1分） (2019高一上·衡阳月考) 已知定义在上的偶函数满足以下两个条件:①在上单调递减；② ，则使不等式成立的的取值范围是________.11. （1分） (2016高一下·江阴期中) 数列{an}的前n项和Sn=2n2﹣3n（n∈N*），则a4=________．12. （1分）已知向量=（， 1），=（﹣2， 2），则向量与的夹角为________13. （1分） (2018高二上·杭州期中) 在平面直角坐标系中，点，直线，设圆C的半径为1，圆心 C在直线上，若圆上存在点，使，则圆心的横坐标的取值范围是________14. （1分）已知关于x的方程e﹣|x|+kx﹣1=0有2个不相等的实数根，则k的取值范围是________．二、解答题 (共6题；共65分)15. （10分）(2017·来宾模拟) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b=acosC+3bsin （B+C）．（1）若，求角A；（2）在（1）的条件下，若△ABC的面积为，求a的值．16. （10分）如图，在多面体PQR﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AB=2AD=2，∠DAB=60°，PD⊥面ABCD，PD=1，PQ∥DA，PR∥DC，且．（1）求证：平面PQB⊥平面PBD；（2）求三棱锥P﹣BQR的体积．17. （10分）定义符号函数sgn（x）= ，已知a，b∈R，f（x）=x|x﹣a|sgn（x﹣1）+b．（1）求f（2）﹣f（1）关于a的表达式，并求f（2）﹣f（1）的最小值．（2）当b=时，函数f（x）在（0，1）上有唯一零点，求a的取值范围．（3）已知存在a，使得f（x）＜0对任意的x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．18. （10分） (2020高二下·通辽期末) 已知抛物线C： =2px（p>0）的准线方程为x=- ,F为抛物线的焦点（I）求抛物线C的方程；（II）若P是抛物线C上一点，点A的坐标为（ ,2）,求的最小值；（III）若过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于M，N两点，求线段MN的中点坐标．19. （15分） (2018高二上·扬州期中) 已知函数f（x）=|ax-2|+lnx（其中a为常数）（1）若a=0，求函数g（x）= 的极值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）令F（x）=f（x）- ，当a≥2时，判断函数F（x）在（0，1]上零点的个数，并说明理由．20. （10分） (2015高一下·西宁期中) 设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1﹣c（n∈N*），其中a，c为实数，且c≠0．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{bn}的前n项和Sn ．参考答案一、填空题 (共14题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共65分)15-1、15-2、16-1、16-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、。
2025届高三10月大联考试题(新高考卷)数学含答案
2025届高三10月大联考（新课标卷）数学（答案在最后）本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1|1A x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{|1B x x =≤-或}1x >，则A B = （）A.(](),11,∞∞--⋃+B.C.()(),11,∞∞-⋃+ D.∅2.数据25，30，32，35，37，39，40，42，43，44的上四分位数为（）A.30B.32C.40D.423.已知a ，b 为非零向量，1a b ⋅= ，()3,4b = ，则a 在b上的投影向量为（）A.15br B.125b C.bD.1125b 4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，7434S a =+，则10S =（）A.5- B.5C.52-D.525.函数()()23ππsin cos 22sin cos 1sin 2cos 2x x f x x x x x⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+--+图象的对称中心为（）A.π,04k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z B.π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z C.()π,0k ，k ∈Z D.()2π,0k ，k ∈Z6.()5121x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为（）A.10B.20C.10- D.20-7.榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，通过将连接部分紧密拼接，使整个结构能够承受较大的重量，并具有优异的抗震能力.其中，木楔子的运用极大地增加了榫卯连接的牢固性.木楔子是一种简单的机械工具，用于填充器物的空隙，使其更加稳固.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形ABCD 是正方形，//EF AB ，且ADE V ，BCF V 均为正三角形，28EF AB ==，则ED 与BF 所成角的大小为（）A.π2B.π3C.π4D.π68.已知函数()f x 满足()()2sin tan f x f x x x --=+，若函数()y f x =在[]3π,5π-上的零点为1x ，2x ，…，n x ，则1ni i x ==∑（）A.8πB.9πC.16πD.17π二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设1z ，2z 为复数，则下列说法中正确的有（）A.若1i z a b =+，2i z c d =+，其中a ，b ，c ，d ∈R ，且a c >，b d >，则12z z >B.若()22321i m m m -++-（m ∈R ）为纯虚数，则2m =C.若关于x 的方程20x px q ++=，p ，q ∈R 的一个虚根为2i 1-，则5p q +=-D.若112i z =-+，234i z =+，则复数12z z -在复平面内对应的点位于第三象限10.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l 与C 交于,A B 两点，设1,1，2,2，AB 的中点为()00,M x y ，则下列说法中正确的有（）A.若直线l 过焦点F ，则024AB x =+B.若直线l 过焦点F ，则·AF BF 的最小值为4C.若直线AB 的斜率存在，则其斜率与0x 无关，与0y 有关D.若O 为坐标原点，直线l 的方程为()4y k x =-，则OA OB ⊥11.已知函数()f x 的定义域为ππ,42k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，其导函数为′，π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π18f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()()()()()()f x y f x f y f x y f x f y +-+=+，则（）A.()00f = B.′为奇函数C.π2n （*n ∈N ）是函数()f x 的周期D.2024ππ202482i i f =⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若定义在R 上的函数()f x 满足()21f =，且()()22lim12x f x f x →-=-，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为_____.13.已知椭圆22221y x a b +=（0a b >>）的长轴长为4，离心率为2.若A ，B 分别是椭圆的上、下顶点，1F ，2F 分别为椭圆的上、下焦点，P 为椭圆上任意一点，且12PA PB ⋅=- ，则12PF F 的面积为_____.14.已知不等式()2e2ln e 21x axx xx a x+-+--<恒成立，则实数a 的取值范围为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1a =，2πcos cos 2cos 3b A a B c B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.（1）求B ；（2）若D 是边AC 上一点，且2DC AD =，3BD =，求b .16.为提高学生的身体素质，某校决定开展一次学生自愿报名参加的体能训练活动.已知该校学生人数为m ，参加体能训练活动的男生人数为13m ，不参加体能训练活动的男生人数为14m ，参加体能训练活动的女生人数为14m .（1）若该校有1200名学生，根据题意完成如图所示的22⨯列联表，并依据小概率值0.1α=的2χ独立性检验，分析学生参加体能训练活动的意愿与性别是否有关联；参加不参加合计男生女生（2）按是否参加体能训练活动，采用按比例分配的分层随机抽样方法从该校男生中抽取14人，再从这14人中随机抽取2人，设这2人中参加体能训练活动的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.10.050.010.001x α2.7063.8416.63510.82817.如图，在正三棱锥P ABC -中，PA PB PC a ===，AB AC BC b ===，BC 的中点为D ，过点P 作底面ABC 的垂线，垂足为H ，O 是线段PH 上的一个动点.（1）证明：OA BC ⊥；（2）若O 是正三棱锥P ABC -外接球的球心，且a b =，求平面OAB 与平面OBD 夹角的余弦值.18.在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()2,0B ，C 是平面内的动点，且ABC V 内切圆的圆心在直线1x =上.（1）求动点C 的轨迹W 的方程；（2）过点B 作三条不同的直线1l ，2l ，3l ，且1l x ⊥轴，2l 与W 交于M ，N 两点，3l 与W 交于P ，Q 两点，M ，P 都在第一象限，直线MP ，NQ 与1l 分别交于点G ，H ，证明：11BG BH-为定值.19.一般地，n 元有序实数组()12,,,n a a a ⋅⋅⋅称为n 维向量（如用一个实数可表示一维向量，用二元有序实数对可表示二维向量，⋅⋅⋅）.类似我们熟悉的二维向量和三维向量，对于n 维向量，也可以定义两个向量的加法运算、减法运算、数乘运算、两个向量的数量积、向量的长度（模）等，如()12,,,n a a a a =⋅⋅⋅r，则a = 若存在不全为零的r 个实数1k ，2k ，⋅⋅⋅，r k ，使得11220r r k a k a k a ++⋅⋅⋅+=u r u u r u u r r ，则称向量组1a ，2a ，⋅⋅⋅，r a 是线性相关的，否则，称向量组1a ，2a ，⋅⋅⋅，r a是线性无关的.（1）判断向量组()1,1,1a =，()1,2,2b =- ，()4,2,1c =- 是否线性相关.（2）已知函数()e xf x =，()1g x ax =+，且()()0f x g x -≥恒成立.①求a 的值；②设()12,,,n a a a a =⋅⋅⋅r，其中()1n a g n =，若()n b f n =，()n c g n =，数列{}n n b c 的前n 项和为n S ；证明：当*n ∈N 时，217212n n n S a n n +->⋅-≥+ .2025届高三10月大联考（新课标卷）数学本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1|1A x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{|1B x x =≤-或}1x >，则A B = （）A.(](),11,∞∞--⋃+B.C.()(),11,∞∞-⋃+ D.∅【答案】C 【解析】【分析】根据题意先求集合A ，进而根据并集运算求解.【详解】由题意可知：{}1||11A x y x x x ⎧⎫===≠⎨⎬-⎩⎭，且{|1B x x =≤-或}1x >，所以A B = ()(),11,∞∞-⋃+.故选：C.2.数据25，30，32，35，37，39，40，42，43，44的上四分位数为（）A.30B.32C.40D.42【答案】D 【解析】【分析】从小到大排序后，位于75%位置的数值.计算步骤为先确定位置，再根据位置情况确定上四分位数的值.【详解】10n =，计算75%位置的序号100.757.5i =⨯=.由于7.5i =不是整数，向上取整为8，所以上四分位数是第8个数，即42.故选：D.3.已知a ，b 为非零向量，1a b ⋅= ，()3,4b = ，则a 在b上的投影向量为（）A.15br B.125b C.bD.1125b 【答案】B 【解析】【分析】由模长的坐标表示可得b，再结合投影向量的定义分析求解.【详解】由题意可得：5b == ，所以a 在b上的投影向量为2125a b b b b ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭r rr r r .故选：B.4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，7434S a =+，则10S =（）A.5-B.5C.52-D.52【答案】D 【解析】【分析】根据等差数列性质可得41a =，结合等差数列通项公式列式求1,a d ，代入等差数列求和公式即可.【详解】设等差数列的公差为d ，因为744734S a a ==+，可得41a =，且22a =，则4121312a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得15212a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以10510915102222S ⨯⎛⎫=⨯+-= ⎪⎝⎭.故选：D.5.函数()()23ππsin cos 22sin cos 1sin 2cos 2x x f x x x x x⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+--+图象的对称中心为（）A.π,04k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z B.π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z C.()π,0k ，k ∈Z D.()2π,0k ，k ∈Z【答案】A 【解析】【分析】由三角恒等变换化简再结合正切函数的对称中心可得答案；【详解】()()()23ππ1sin cos sin 2cos sin 1222tan 21sin 21sin 2cos 2cos 22sin cos 1sin 2cos 2x x x x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪-⨯-⎝⎭⎝⎭====+--++--+，令π2,Z 2k x k =∈，则π,4k x k Z =∈，所以对称中心为π,04k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z ，故选：A.6.()5121x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为（）A.10 B.20C.10- D.20-【答案】B 【解析】【分析】因为()555111212x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结合二项展开式的通项公式运算求解.【详解】因为()555111212x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式为()5521551C 1C ,0,1,2,3,4,5rr r r rr r T x x r x --+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅= ⎪⎝⎭，令521r -=，解得2r =，可得()22351C 10T x x =-⋅=；令522r -=，解得32r =∉Z ，不合题意；所以2x 项的系数为21020⨯=.故选：B.7.榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，通过将连接部分紧密拼接，使整个结构能够承受较大的重量，并具有优异的抗震能力.其中，木楔子的运用极大地增加了榫卯连接的牢固性.木楔子是一种简单的机械工具，用于填充器物的空隙，使其更加稳固.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形ABCD 是正方形，//EF AB ，且ADE V ，BCF V 均为正三角形，28EF AB ==，则ED 与BF 所成角的大小为（）A.π2B.π3C.π4D.π6【答案】A 【解析】【分析】作出图形，取EF 的中点G ，连接,,AG CG AC ，可求出AGC ∠为异面直线ED 与BF 所成的角，再由勾股定理计算即可；【详解】如图，取EF 的中点G ，连接,,AG CG AC ，因为//EF AB ，28EF AB ==，所以四边形ABFG 为平行四边形，所以//BF AG ，同理可得//ED CG ，所以AGC ∠为异面直线ED 与BF所成的角或其补角，AC =4AG CG ==，即222AC AG CG =+，所以π2AGC ∠=，即ED 与BF 所成角的大小为π2，故选：A.公众号：高中试卷君8.已知函数()f x 满足()()2sin tan f x f x x x --=+，若函数()y f x =在[]3π,5π-上的零点为1x ，2x ，…，n x ，则1ni i x ==∑（）A.8πB.9πC.16πD.17π【答案】B 【解析】【分析】先利用方程组法求出()f x 的解析式，结合()f x 的奇偶性将[]3π,5π-上的零点和转化为(]3π,5π上的零点和问题，令()0f x =，转化为sin tan x x =-，结合正弦和正切函数的图象性质得到结果.【详解】由()()2sin tan f x f x x x --=+，可得()()()()2sin tan sin tan f x f x x x x x --=-+-=--，解得()()1sin tan 3f x x x =+，易知()f x 为奇函数，故()f x 的图象关于原点对称，则函数=在[]3π,3π-上的图象关于原点对称，故函数=在[]3π,3π-上的零点也关于原点对称，和为0，在(]3π,5π上的零点和即为[]3π,5π-上的零点和，令()0f x =，得sin tan 0x x +=，sin tan x x =-，(]3π,5πx ∈，作出sin y x =和tan y x =-在同一坐标系中的图象，可知=在(]3π,5π内的零点有4π和5π两个，故14π5π9πni i x ==+=∑.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设1z ，2z 为复数，则下列说法中正确的有（）A.若1i z a b =+，2i z c d =+，其中a ，b ，c ，d ∈R ，且a c >，b d >，则12z z >B.若()22321i m m m -++-（m ∈R ）为纯虚数，则2m =C.若关于x 的方程20x px q ++=，p ，q ∈R 的一个虚根为2i 1-，则5p q +=-D.若112i z =-+，234i z =+，则复数12z z -在复平面内对应的点位于第三象限【答案】BD 【解析】【分析】对于A ：根据复数不能比较大小即可判断；对于B ：根据纯虚数的概念列式求解；对于C ：可知另一个虚根为2i 1--，利用韦达定理运算求解；对于D ：可得1242i z z =---，结合复数的几何意义分析判断.【详解】对于选项A ：因为b d >，可知1z ，2z 不可能均为实数，故不能比较大小，故A 错误；对于选项B ：若()22321i m m m -++-（m ∈R ）为纯虚数，则2232010m m m ⎧-+=⎨-≠⎩，解得2m =，故B 正确；对于选项C ：若关于x 的方程20x px q ++=，p ，q ∈R 的一个虚根为2i 1-，则另一个虚根为2i 1--，可得()()()()2i 12i 122i 12i 15p q ⎧-=-+--=-⎪⎨=---=⎪⎩，所以7p q +=，故C 错误；对于选项D ：若112i z =-+，234i z =+，则1242i z z =---，复数12z z -在复平面内对应的点为()4,2--，位于第三象限，故D 正确；故选：BD.10.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l 与C 交于,A B 两点，设1,1，2,2，AB 的中点为()00,M x y ，则下列说法中正确的有（）A.若直线l 过焦点F ，则024AB x =+B.若直线l 过焦点F ，则·AF BF 的最小值为4C.若直线AB 的斜率存在，则其斜率与0x 无关，与0y 有关D.若O 为坐标原点，直线l 的方程为()4y k x =-，则OA OB ⊥【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：由条件，结合抛物线的定义判断A ；对于B ：设直线:1l x my =+，根据抛物线的定义结合韦达定理可得12y y +，12y y ，故244AF BF m =+，求其最值可得结论；对于C ：利用点差法分析判断；对于D ：利用韦达定理可得1216x x =，结合方程可得1216y y =-，再根据向量垂直分析判断.【详解】由题意可知：1,0，且12012022x x x y y y +=⎧⎨+=⎩，直线l 的斜率可以不存在，但不为0.对于A ，因为()()()1212011222AB AF BF x x x x x =+=+++=++=+，故A 错误；对于选项B ：若直线l 过焦点F ，设直线:1l x my =+，联立方程=B +12=4，消去x 可得2440y mx --=，则216160m ∆=+>，可得12124,4y y m y y +==-，所以()()()()()212121212112224AF BF x x my my m y y m y y =++=++=+++222484444m m m =-++=+≥，当且仅当0m =时，等号成立，所以AF BF 的最小值为4，故B 正确；对于选项C ：因为1,1，2,2在抛物线C 上，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差可得()()()22121212124y y y y y y x x -=+-=-，若直线AB 的斜率存在，则121212042AB y y k x x y y y -===-+，所以直线AB 的斜率与0x 无关，与0y 有关，故C 正确；对于选项D ：联立方程()244y k x y x⎧=-⎨=⎩，消去y 可得()222284160k x k x k -++=，可得()2242Δ846464160k k k =+-=+>，且1216x x =，由选项C 可知：22121216256y y x x ==，且120y y <，可得1216y y =-，则12120OA OB x x y y ⋅=+=，所以OA OB ⊥，故D 正确；故选：BCD.11.已知函数()f x 的定义域为ππ,42k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，其导函数为′，π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π18f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()()()()()()f x y f x f y f x y f x f y +-+=+，则（）A.()00f = B.′为奇函数C.π2n （*n ∈N ）是函数()f x 的周期D.2024ππ202482i i f =⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑【答案】AC 【解析】【分析】对于A ：利用赋值法令0x y ==，代入运算即可；对于B ：令y x =-，可得()()f x f x =--，进而可得()()f x f x '='-，即可判断；对于C ：令π2y =，可得()π2f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合周期性分析判断；对于D ：根据周期性运算求解即可.【详解】因为()()()()()()f x y f x f y f x y f x f y +-+=+，π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π18f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，对于选项A ：令0x y ==，可得()()()30020f f f -=，即()()20010f f ⎡⎤+=⎣⎦，显然()2010f+≠，所以()00f =，故A 正确；对于选项B ：因为数()f x 的定义域为ππ,42k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，关于原点对称，令y x =-，可得()()()()()()00f f x f x f f x f x --=+-，即()()f x f x =--，可得()()f x f x '='-，且()f x 不为常函数，′不恒为0，所以′为偶函数，故B 错误；对于选项C ：令π2y =，可得()()ππππ2222f x f x f f x f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()π2f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可知π2为()f x 的一个周期，所以π2n （*n ∈N ）是函数()f x 的周期，故C 正确；对于D ：因为π2n （*n ∈N ）是函数()f x 的周期，则*πππ1,828n f f n ⎛⎫⎛⎫+==∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N ，所以2024ππ202582i i f =⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑，故D 错误；故选：AC.【点睛】关键点点睛：对于抽象函数的研究，常常利用赋值法，结合题设条件合理赋值是解题的关键，对于本题关键赋值有：令0x y ==，y x =-和π2y =.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若定义在R 上的函数()f x 满足()21f =，且()()22lim12x f x f x →-=-，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为_____.【答案】1y x =-【解析】【分析】根据导数的定义，得到切线斜率，运用点斜式计算即可.【详解】2()(2)lim12x f x f x →-=-，所以(2)1f k '==.且(2)1f =，曲线()y f x =在点00(,)x y 处的切线方程为00()y y k x x -=-.已知02x =，0(2)1y f ==.将这些值代入切线方程公式，得到11(2)y x -=⨯-.化简这个方程，得到1y x =-.故答案为:1y x =-.13.已知椭圆22221y x a b +=（0a b >>）的长轴长为4，离心率为2.若A ，B 分别是椭圆的上、下顶点，1F ，2F 分别为椭圆的上、下焦点，P 为椭圆上任意一点，且12PA PB ⋅=- ，则12PF F 的面积为_____.【答案】2【解析】【分析】先根据长轴及离心率列式求出s s 得出椭圆方程，再设点应用数量积得出点P 的坐标，最后计算面积即可.【详解】因为222242a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩,所以2,1,a b c ===,所以椭圆方程为2214y x +=,设()00,P x y ,椭圆的上、下顶点()()0,2,0,2A B -,所以()()0000,2,,2,PA x y PB x y =--=--- 且220014y x +=，所以222200001·44442PA PB x y x x =+-=+--=- ，所以2016x =，即得1212011662222662PF F S F F x c =⨯=⨯⨯==.故答案为：2.14.已知不等式()2e 2ln e 21xaxxxx a x+-+--<恒成立，则实数a 的取值范围为_____.【答案】()0,∞+【解析】【分析】根据题意整理可得()()2ln 2e2ln e2x xx axx x x ax ++++<++，构建()e 2,0x f x x x =+>，结合单调性可得2ln x x x ax +<+，参变分离可得ln 1xx a x-+<，再构建()ln 1x g x x x =-+，利用导数求最值即可.【详解】因为()2e 2ln e 21xaxxxx a x+-+--<，且0x >，则22e 222e 2ln x x axx x x ax x ++--<-，整理可得()()2ln 2e2ln e 2x xxaxx x x ax ++++<++，令()e 2,0xf x x x =+>，则()()2ln 2e2ln e2x xx axx x x ax ++++<++，即为()()2ln f x x f x ax +<+，因为e ,2x y y x ==在0,+∞内均为增函数，则()f x 在0,+∞内为增函数，可得2ln x x x ax +<+恒成立，即ln 1xx a x-+<恒成立，令()ln 1x g x x x =-+，则()2221ln ln 11x x x g x x x-+-=-+=-'，令()2ln 1,0h x x x x =+->，因为2,ln 1y x y x ==-在0,+∞内均为增函数，则ℎ在0,+∞内为增函数，且ℎ1=0，当01x <<时，则ℎ<0，即()0g x '>；当1x >时，则ℎ>0，即()0g x '<；可知()g x 在0,1内单调递增，在1,+∞内单调递减，则()()10g x g ≤=，可得0a >，所以实数a 的取值范围为0,+∞.故答案为：0,+∞.【点睛】关键点点睛：对原式同构可得()()2ln 2e 2ln e 2x xxaxx x x ax ++++<++，构建函数结合单调性分析可得ln 1xx a x-+<恒成立.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1a =，2πcos cos 2cos 3b A a B c B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.（1）求B ；（2）若D 是边AC 上一点，且2DC AD =，3BD =，求b .【答案】（1）π3B =（2【解析】【分析】（1）先由正弦定理化简得出2πsin cos sin cos 2sin cos 3B A A B C B ⎛⎫+=-⎪⎝⎭再结合两角和正弦公式化简得出2π1cos 32B ⎛⎫-=⎪⎝⎭计算得角即可；（2）先根据边长关系得出向量关系1233BD BC BA =+，再应用向量数量积运算解得2c =，最后余弦定理计算得b .【小问1详解】因为2πcos cos 2cos 3b A a B c B ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，由正弦定理得2πsin cos sin cos 2sin cos 3B A A B C B ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，()2πsin sin 2sin cos ,sin 03C B A C B C ⎛⎫=+=-> ⎪⎝⎭，所以()2π1cos ,0,π32B B ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭,所以2ππ33B -=，可得π3B =【小问2详解】因为2DC AD =，所以2DC AD = ，所以1233BD BC BA =+ ，即得32BD BC BA =+，左右两侧平方得222944BD BC BA BC BA =++⋅，又因为π,13B a ==，所以21211442BA BA =++⨯ ，所以22100c c +-=，()()2250c c -+=，解得2c =，由余弦定理得214121232b =+-⨯⨯⨯=，所以b =16.为提高学生的身体素质，某校决定开展一次学生自愿报名参加的体能训练活动.已知该校学生人数为m ，参加体能训练活动的男生人数为13m ，不参加体能训练活动的男生人数为14m ，参加体能训练活动的女生人数为14m .（1）若该校有1200名学生，根据题意完成如图所示的22⨯列联表，并依据小概率值0.1α=的2χ独立性检验，分析学生参加体能训练活动的意愿与性别是否有关联；参加不参加合计男生女生（2）按是否参加体能训练活动，采用按比例分配的分层随机抽样方法从该校男生中抽取14人，再从这14人中随机抽取2人，设这2人中参加体能训练活动的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.10.050.010.001x α2.7063.8416.63510.828公众号：高中试卷君【答案】（1）答案见解析；（2）分布列见解析；数学期望()87E X =【解析】【分析】（1）根据已知数据补全列联表，再由卡方公式计算，由独立性检验得到结论；（2）先由分层抽样确定人数，再计算概率，列出分布列，由期望公式计算即可；【小问1详解】参加体能训练活动的男生人数为13m ，即112004003⨯=人，不参加体能训练活动的男生人数为14m ，即112003004⨯=人，参加体能训练活动的女生人数为14m ，即112003004⨯=人，所以参加不参加合计男生400300700女生300200500()2212004002003003000.980 2.706700500700500x αχ⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯，所以根据小概率0.1α=的独立性检验，没有证据说明学生参加体能训练活动的意愿与性别有关联，【小问2详解】按是否参加体能训练活动，采用按比例分配的分层随机抽样方法从该校男生中抽取14人，则抽取参加体能训练人数为8人，不参加的为6人，由题意可得X 的可能取值为0,1,2()26214C 150C 91P X ===，()1186214C C 481C 91P X ===，()28214C 42C 13P X ===，所以X 的分布列为：X012P15914891413，期望为()1548480129191137E X =⨯+⨯+⨯=，17.如图，在正三棱锥P ABC -中，PA PB PC a ===，AB AC BCb ===，BC 的中点为D ，过点P 作底面ABC 的垂线，垂足为H ，O 是线段PH 上的一个动点.（1）证明：OA BC ⊥；（2）若O 是正三棱锥P ABC -外接球的球心，且a b =，求平面OAB 与平面OBD 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见详解（2）12【解析】【分析】（1）连接,AD PD ，可得PH BC ⊥，AD BC ⊥，可证⊥BC 平面PAD ，结合线面的性质即可得结果；（2）根据外接球的性质可得4OB OA a ==，求相关长度，做辅助线，可得二面角D OB E --的平面角DME ∠，结合余弦定理运算求解.【小问1详解】连接,AD PD ，因为P ABC -为正三棱锥，则H 为等边三角形ABC 的中心，且PH ⊥平面ABC ，由⊂BC 平面ABC ，则PH BC⊥又因为D 为BC 的中点，则,H AD AD BC ∈⊥，且PH AD H ⋂=，,PH AD ⊂平面PAD ，可得⊥BC 平面PAD ，因为OA ⊂平面PAD ，所以OA BC ⊥.【小问2详解】由题意可知：,,236AD a AH HD ===，则3PH a ==，设正三棱锥P ABC -外接球的半径为R ，则22233R a R ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得64R a =，即64OB OA a ==，则12OH AH R =-=，可得4OD ==，因为⊥BC 平面PAD ，OD ⊂平面PAD ，则BC OD ⊥，取AB 的中点E ，连接,,OE EH DE ，则OE AB ⊥，且EB BD =，12ED a =，可知Rt Rt OBE OBD ≅△△，过D 作⊥DM OB ，垂足为M ，连接EM ，则EM OB ⊥，可知二面角D OB E --的平面角DME ∠，由OBD的面积可得1122424a a DM ⨯⨯=⨯，解得6DM a =，可知6DM EM a ==，在DME 中，由余弦定理可得222222*********cos 2266a a a DM EM DE DME DM EM +-+-∠==-⋅，所以平面OAB 与平面OBD 夹角的余弦值为12.18.在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()2,0B ，C 是平面内的动点，且ABC V 内切圆的圆心在直线1x =上.（1）求动点C 的轨迹W 的方程；（2）过点B 作三条不同的直线1l ，2l ，3l ，且1l x ⊥轴，2l 与W 交于M ，N 两点，3l 与W 交于P ，Q 两点，M ，P 都在第一象限，直线MP ，NQ 与1l 分别交于点G ，H ，证明：11BG BH-为定值.【答案】（1）()22113y x x -=>（2）证明见详解【解析】【分析】（1）根据内切圆的性质分析可得2CA CB -=，结合双曲线的定义分析求解；（2）设直线方程和交点坐标，利用韦达定理整理可得1211143m y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，2431143m y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求G ，H 的坐标，代入化简整理即可得结果.【小问1详解】设ABC V 内切圆的圆心为R ，且与三边切于点,,D E F ，则,,CD CF AD AE BE BF ===，可得()()CA CB CD AD CF BF AD BF AE BE -=+-+=-=-，且−2,0，()2,0B ，()1,0E ，即3,1AE BE ==，可得2CA CB AE BE -=-=，可知动点C 的轨迹W 是以,A B 为焦点的双曲线的右半支（顶点E 除外），则221,2,3a c b c a ===-=，所以动点C 的轨迹W 的方程为()22113y x x -=>.【小问2详解】由题意可知：1:2l x =，双曲线2213y x -=的渐近线为3y x =，设21321233:2,:2,,,00,33l x m y l x m y m m ⎛⎫⎛⎫=+=+∈-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()11223344,,,,,,,M x y N x y P x y Q x y ，且12m m ≠，联立方程122213x m y y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x 可得()2211311290m y m y -++=，则112122211129,3131m y y y y m m +=-=--，可得()1211234y y m y y -+=，整理可得1211143m y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，同理可得2431143m y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则直线()133313:y y PM y x x y x x -=-+-，令2x =，可得()13133113331313222G y y y y x y x y y x y x x x x ---+=-+=--()()()()()13231113121311231123222222y y m y y m y y m m y y m y m y m y m y --+++-==+-+-，则()1123211213121311m y m y m m BG m m y y m m y y -==---，同理可得21122411m m BH m m y y =--，则21211212241213111141433m m m m m m BH m m y y m m y y ⎛⎫⎛⎫=-=-+++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭12123111m m m m y y BG=-=-，所以110BG BH -=为定值.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、21x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.19.一般地，n 元有序实数组()12,,,n a a a ⋅⋅⋅称为n 维向量（如用一个实数可表示一维向量，用二元有序实数对可表示二维向量，⋅⋅⋅）.类似我们熟悉的二维向量和三维向量，对于n 维向量，也可以定义两个向量的加法运算、减法运算、数乘运算、两个向量的数量积、向量的长度（模）等，如()12,,,n a a a a =⋅⋅⋅r，则a = 若存在不全为零的r 个实数1k ，2k ，⋅⋅⋅，r k ，使得11220r r k a k a k a ++⋅⋅⋅+=u r u u r u u r r ，则称向量组1a ，2a ，⋅⋅⋅，r a 是线性相关的，否则，称向量组1a ，2a ，⋅⋅⋅，r a 是线性无关的.（1）判断向量组()1,1,1a = ，()1,2,2b =- ，()4,2,1c =- 是否线性相关.（2）已知函数()e xf x =，()1g x ax =+，且()()0f x g x -≥恒成立.①求a 的值；②设()12,,,n a a a a =⋅⋅⋅r，其中()1n a g n =，若()n b f n =，()n c g n =，数列{}n n b c 的前n 项和为n S ；证明：当*n ∈N 时，217212n n n S a n n +->⋅-≥+ .【答案】（1）a ，b ，c 是线性无关的（2）①1a =；②证明见详解【解析】【分析】（1）假设a ，b ，c 线性相关，根据题意列方程解得0x y z ===，即可得出矛盾；（2）①令()()()F x f x g x =-，分析可知原题意等价于()0F x ≥对任意x ∈R 恒成立，结合定点法求得1a =；②利用放缩法结合裂项相消法可得12n n S n +>⋅，21n a n <+r ，进而可得21112211n n n n S a n n n n ++⎛⎫->⋅-=- ⎪++⎝⎭r ，结合数列单调性可得17212n n n n +⋅-≥+.【小问1详解】若a ，b ，c 线性相关，则存在不全为零的3个实数,,x y z ，使得0xa ya zc ++=r r r r ，因为()1,1,1a = ，()1,2,2b =- ，()4,2,1c =- ，则()4,22,2xa ya zc x y z x y z x y z ++=-++++-r r r ，可得4022020x y z x y z x y z -+=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩，解得0x y z ===，故假设不成立，所以a ，b ，c 是线性无关的.【小问2详解】公众号：高中试卷君①令()()()e 1x F x f x g x ax =-=--，则()e x F x a '=-，原题意等价于()0F x ≥对任意x ∈R 恒成立，且()00F =，可得()010F a '=-=，解得1a =；若1a =，则()e 1x F x x =--，()e 1xF x '=-，令()0F x '>，解得0x >；令()0F x '<，解得0x <；可知()F x 在(),0-∞内单调递减，在()0,∞+内单调递增，则()()00F x F ≥=，符合题意；综上所述：1a =；②由①可知：()1g x x =+，则()e nn b f n ==，()1n c g n n ==+，则()()()11e 12212n n n n n n b c n n n n +=+>+=⋅--，可得()()()23211202222122n n n n S n n n ++⎡⎤>-+⨯-+⋅⋅⋅+⋅--=⋅⎣⎦，又因为()()()22211111111n a g n n n n n n ==<=-+++，则22221211111111223111n n a a a a n n n n =++⋅⋅⋅+<-+-+⋅⋅⋅+=-=+++r ，即12n n S n +>⋅，21n a n <+r ，则21n a n ->-+r ，可得21112211n n n n S a n n n n ++⎛⎫->⋅-=- ⎪++⎝⎭r ，因为*n ∈N ，且1121n n +⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭为递增数列，则12117220122n n +-≥-=>+，可得1121n n n +⎧⎫⎛⎫-⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎩⎭为递增数列，则117721122n n n +⎛⎫-≥⨯= ⎪+⎝⎭，综上所述：217212n n n S a n n +->⋅-≥+ .【点睛】关键点点睛：对于②：利用放缩结合裂项相消法可得()()112212n n n n n b c n n n +>+=⋅--，()()221111111n a n n n n n =<=-+++，进而分析证明.。
山东省2020届高三数学10月联考试题
山东省2020届高三数学10月联考试题考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，三角函数与解三角形，平面向量，数列。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分。
在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的不得分。
1.若集合M ＝{x|－1<2－x≤1}，N ＝{x|x 2－6x ＋8<0}，则M∪N＝A.(2，3]B.(2，3)C.[1，4)D.(1，4) 2.若()1)1(20AB BC ==，，,，则AB = A.(2，2) B.(2，0) C.(0，2) D.(0，－2)3.函数()l n x x f 的定义域为A.[－1，＋∞)B.[－1，0)∪(0，＋∞)C.(－∞，－1]D.(－1，0)∪(0，＋∞)4.若{a n }是首项为1的等比数列，则“86a a >9”是“a 2>3”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为60°，向量m ＝5e 1－2e 2，则|m|＝C.6.在△ABC 中，AC ＝3，AB ＝4，BC ＝6，则△ABC 的最大内角的余弦值为 A.4348 B.14- C.712- D.1124- 7.已知(cos72°＋cos18°)的近似值为A.1.77B.1.78C.1.79D.1.818.函数f(x)＝在[－π，π]上的图象大致为9.将曲线y＝2sin(4x＋5π)上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得曲线关于y轴对称，最后得到的曲线的对称轴方程为A.3()808kx k Zππ=+∈ B.3()808kx k Zππ=-+∈C.3()202kx k Zππ=+∈ D.3()202kx k Zππ=-+∈10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)，且f(x)的图象关于点(3，0)对称，当1≤x≤2时，f(x)＝2x＋log3(4x＋3)，则f(16092)＝A.－4B.4C.－5D.511.下列有四个关于命题的判断，其中正确的是A.命题“∃x0∈(0，＋∞)，3x0＋cosx0<1”是假命题B.命题“若xy≠100，则x≠4或y≠25”是真命题C.命题“∀x∈N，lg(x＋1)>0”的否定是“∃x0∉N，lg(x0＋1)>0”D.命题“在△ABC中，若AB BC⋅<0，则△ABC是钝角三角形”是真命题12.已知函数()f x=A.f(x)的最小正周期为πB.f(x)的最大值为2C.f(x)的值域为(－2，2)D.f(x)的图象关于(12π-，0)对称13.若函数f(x)＝2x3－ax2(a<0)在(2a，63a+)上有最大值，则a的取值可能为A.－6B.－5C.－4D.－3第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
山东省新高考联合质量测评2025届高三上学期10月联考数学试题(含答案)
山东省新高考联合质量测评2025届高三上学期10月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|y =2x−1}，B ={y|y =2x +1,x ∈R}，则A ∩∁R B =( )A. {x|x ≥1}B. {x|x <12}C. {x|12≤x ≤1}D. {x|0<x ≤12}2.在等差数列{a n }中，已知a 1=−9，a 3+a 5=−9，a 2n−1=9，则n =( )A. 7B. 8C. 9D. 103.“a ≥1”是“函数f(x)={ax−sin x,x⩽0,x 2+ax−a +2,x >0在R 上单调递增”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知平行六面体ABCD−A 1B 1C 1D 1的各棱长均为6，∠A 1AB =∠A 1AD =∠DAB =60∘，则|AC 1|=( )A. 66B. 65C. 63D. 625.已知无穷等比数列{a n }的公比为q ，其中|q|<1，其前n 项和为S n ，下列条件中，能使得3S n <2a 11−q (n ∈N ∗)恒成立的是( )A. a 1=1，q =12 B. a 1=12，q =13C. a 1=−1，q =−12D. a 1=−12，q =136.已知函数f(x)=x +1x ，若正数a ，b 满足a +b =1，则f(a)f(b)的最小值是( )A. 2B. 174C. 4D. 2547.在直四棱柱ABCD−A 1B 1C 1D 1中，∠BAD =π3，AB =AD =AA 1=2，点Q 在侧面DCC 1D 1内，且A 1Q =7，则点Q 轨迹的长度为( )A. π6 B. π3C. 2π3D. 4π38.若过点(1,m)可以作y =(x +1)e x 的三条切线，则实数m 的取值范围是( )A. (−4e −2,0)B. (−6e −3,0)C. (−6e −3,2e)D. (e,2e)二、多选题：本题共3小题，共18分。
山东省中升大联考2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题(含答案)
山东省中昇大联考2024-2025学年高三上学期10月联考数学本试卷满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“”的否定是A．B．C．D．2．设集合，，则A．B．C．D．3．若，，，则，，的大小关系是A．B．C．D．4．函数的图像大致为A．B．C．D．5．对于函数，，“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．设函数，则下列结论正确的是2,x R x x∃∈>2,x R x x∃∈<2,x R x x∀∈≤2,x R x x∃∉≤2,x R x x∀∈<{}260M x x x=+-<∣{}13N x x=∣……M N=[)1,2[]1,2(]2,3[]2,30.73a=0.813b-⎛⎫= ⎪⎝⎭3log2c=a b ca b c>>b a c>>c b a>>c a b>> ()1lnf x x xx⎛⎫=-⎪⎝⎭()y f x=x∈R()y f x=y()y f x=()sin26f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭A ．的图像关于直线对称B ．的图像关于点对称C ．的最小正周期为，且在上为增函数D ．把的图像向右平移个单位，得到一个偶函数的图像7．函数在点处的切线方程为A ．B ．C ．D ．8．是定义在上的函数，对于任意的，都有，，且时，有，则函数的所有零点之和为A ．14B ．18C ．22D ．26二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9．对于实数，，，下列命题正确的是A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则10．在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则A ．B ．C ．D ．211．已知函数则下列关于函数的结论正确的是A ．B ．若，则C ．的解集为D ．的值域为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若函数的定义域和值域均为，则的值为__________．()f x 3x π=()f x ,06π⎛⎫⎪⎝⎭()f x π0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 12π()()2log 3f x x =1,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭310x y --=3310x y --=3ln210x y --=()33ln210x y --=()y f x =R x R ∈()()2f x f x =-()()13f x f x -=-+[]0,1x ∈()sin 2f x x π=()112y f x x =-+a b c a b >ac bc >22ac bc >a b >0a b <<22a ab b >>0b a >>22a ab b+>+xOy αx ()()3,40P a a a -≠()()2cos sin απα-++=25-2-25()22,1,,12,x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩()f x ()()11ff -=()3f x =x ()1f x <(),1-∞()f x (),4-∞()212f x x x a =-+[]1,b b13．已知，则的最小值是__________．14．已知，都是锐角，，，则__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）函数的图像上相邻两个最高点的距离为，其中一个最高点坐标为．（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间上的单调递增区间．16．（15分）已知函数是奇函数．（1）求实数的值；（2）用定义法证明函数在上是减函数；（3）若对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．17．（15分）在中，为的中点，，．（1）若，求的余弦值；（2）延长到点，使，连接，，若，求的长．18．（17分）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若在恒成立，求整数的最大值．19．（17分）对于四个正数、、、，若满足，则称有序数对是的“下位序列”．（1）对于2、3、7、11，有序数对是的“下位序列”吗？请简单说明理由；（2）设、、、均为正数，且是的“下位序列”，试判断、、之间的大小关系；（3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得02x <<412x x+-αβ1cos 7α=()11cos 14αβ+=-tan β=()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭π,38M π⎛⎫⎪⎝⎭()f x ()f x []0,π()()221xx a f x a R -=∈+a ()f x R t ()()210f t kt f t -+-≤k ABC △D BC 4AB =AC =2AD =BAC ∠AD E 2AD DE =BE EC 4ABC π∠=BE ()()2ln 1af x x a a R x-=+--∈()f x ()0f x >()0,+∞a m n p q mq np <(),m n (),p q ()3,11()2,7a b c d (),a b (),c d a b c d a c b d++n {02024,}mm m N <<∈∣m k是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值．数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B2．A3．B4．C5．B6．C7．C8．D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9．BCD10．BD11．ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．3 13． 14四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）解：（1）因为的一个最高点坐标为，所以．又因为的图像上相邻两个最高点的距离为，所以，即．所以．把代入上式得，即，所以，，即，又因为，所以．所以（2）由得即在上的增区间为．所以，在上的增区间为，．16．（15分）解：（1）法一：(),2024m (),k n (),k n ()1,2025m +n 92()f x ,38M π⎛⎫⎪⎝⎭3A =()f x π2ππω=2ω=()()3sin 2f x x ϕ=+,38M π⎛⎫⎪⎝⎭33sin 4πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1sin 4πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2,42k k Z ππϕπ+=+∈24k πϕπ=+2πϕ<4πϕ=()3sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈()f x R 3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦()f x []0,π0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦5,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦因为函数是奇函数，且定义域为，所以，即：，解之得．当时，，所以，所以，函数是奇函数，所以．法二：因为是奇函数，所以，所以．（2）由（1）得：，任取，且，则，因为，所以，即：，所以，，即函数在上是减函数．（3）因为是奇函数，所以不等式恒成立等价为恒成立，因为在上是减函数，所以，即恒成立，设，可得当时，恒成立，可得，解得．()()221xx a f x a R -=∈+R ()00f =()1002a f -==1a =1a =()1221xx f x -=+()()12212121x x xx f x f x -----===-++()f x 1a =()f x ()()()()12122221102121212121xx x x x x x x x xa a a a a f x f x a ---+----+-=+=+==-=+++++1a =()1221xx f x -=+12,x x R ∈12x x <()()()()()2112121212222121221212121x x x x x x x x f x f x ----=-=++++12x x <21220x x ->()()()()()21121222202121x x x x f x f x --=>++()()12f x f x >()f x R ()f x ()()210f t kt f t -+-≤()()()211f t kt f t f t -≤--=-()f x R 21t kt t -≥-()2110t k t -++≥()()211g t t k t =-++Δ0≤()0g t ≥2(1)40k +-≤31k -≤≤故的取值范围为．17．（15分）解：因为在中，为的中点，所以，即，即，所以．（2）在中，由余弦定理得，即，即．因为为的中点，所以所以，在中，，即．所以，即，所以．因为，所以．在中，由余弦定理得，所以．18．（17分）解：（1）函数的定义域为．因为，所以．当，即时，；当，即时，由，得；由，得．k 31k -≤≤ABC △D BC 2AD AB AC =+ 22242AD AB AC AB AC =++⋅22242424BAC ⨯=++⨯⨯∠cos BAC ∠=ABC △2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯∠280BC -+=BC =D BC BD DC ==ABC △222AC BC AB +=AC BC ⊥22210AD AC CD =+=AD =cos cos DC BDE ADC AD ∠=∠==2AD DE =DE =BDE △22252cos 2BE BD DE BD DE BDE =+-⨯⨯∠=BE =()f x ()0,+∞()2ln 1a f x x a x -=+--()22122a x af x x x x ='--+=-20a -≥2a ≥()0f x '>20a -<2a <()0f x '>2x a >-()0f x '<02x a <<-综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）因为，即，所以，所以对恒成立．设，则．设，显然在上恒成立，即在上单调递增．因为，，所以根据零点存在定理可知，使得，即．当时，，即；当时，，即．所以，在上单调递减，在上单调递增．所以．所以．因为，且，所以的最大值为0．19．（17分）解：（1）因为，所以是的“下位序列”；（2）因为是的“下位序列”所以，即，，因为、、、均为正数，所以，即，所以，2a ≥()f x ()0,+∞2a <()f x ()0,2a -()2,a -+∞()0f x >2ln 10ax a x-+-->()ln 21x x x x a +->+ln 21x x xa x+-<+()0,x ∀∈+∞()ln 21x x xg x x+-=+()2ln 2(1)x x g x x -'+=+()ln 2h x x x =+-()110h x x=+>'()0,+∞()h x ()0,+∞()110h =-<()2ln20h =>()01,2x ∃∈()00h x =00ln 20x x +-=00x x <<()0h x <()0g x '<0x x >()0h x >()0g x '>()g x ()00,x ()0,x +∞()()000000min 000022ln 2()211x x x x x x g x g x x x x -+-+-====-++02a x <-012x <<a Z ∈a 37112⨯<⨯()3,11()2,7(),a b (),c d ad bc <0ad bc -<0bc ad ->a b c d ()0a c a bc adb d b b d b+--=>++a c ab d b +>+ac a bd b+>+同理可得，综上所述：；（3）由已知得，因为，，均为为整数，所以，所以，所以，该式对集合内的每个正整数都成立，所以，所以正整数的最小值为4049．a c cb d d+<+a a c cb b d d+<<+()202412025mn km n k <⎧⎨+>⎩m n k ()12024112025mn km n k+≤⎧⎨+-≥⎩()()202412024202520251mn n k mn +-≥⨯≥+40492024n m≥-{02024,}mm m N <<∈∣m 4049404920242023n ≥=-n。
山东省潍坊市2023-2024学年高三10月联考数学试题含解析
2024届高三上学期10月份阶段性测试题数学试题（答案在最后）注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上．2．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设集合{}13A x x =≤≤，{}2680B x x x =-+≥，则A B ⋂=Rð（）A.{}23x x <≤ B.{}13x x ≤≤ C.{}14x x ≤< D.{}24x x <<【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求出集合B ，再由交集与补集的定义求解即可.【详解】由题意{}13A x x =≤≤，{4B x x =≥或}2x ≤，则{}24R B x x =<<ð，故(){}23R A B x x ⋂=<≤ð.故选：A.2.设a ，b ，c 分别是ABC 的三条边，且a b c ≤≤.则“222a b c +<”是“ABC 为钝角三角形”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义即可得出答案.【详解】由题意可知a b c ≤≤，若222a b c +<，则222cos 02a b c C ab+-=<，所以2C ππ<<，所以ABC 为钝角三角形，充分性满足；若ABC 为钝角三角形，由a b c ≤≤，则cos 0C <，即22202a b c ab+-<，所以222a b c +<，必要性满足.所以“222a b c +<”是“ABC 为钝角三角形”的充要条件.故选：C3.设5log 2a =，9log 3b =，15log 4c =，则（）A.c b a << B.b<c<aC.a c b<< D.a b c<<【答案】D 【解析】【分析】利用对数函数的单调性比较a ，b ，c 与12的大小关系即可得正确选项.【详解】55510log 2log log 2a <==<=，2931log 3log 32b ===，1515151log 4log log 2c ==>=，所以a b c <<，故选：D.4.已知0x >，0y >，21x y +=，则()()11x y xy++的最小值为（）A.4+B.12C.8+D.16【答案】C 【解析】【分析】把待求式中“1”用2x y +替换，然后用基本不等式求得最小值．【详解】因为0x >，0y >，21x y +=，所以()()11(2(2)(22)(3)x y x x y y x y x y x y xyxyxy++++++++==222688x y xy xy ++=≥=+当且仅当2226x y =，即3,2x y ==时，等号成立．故选：C ．5.设D 为ABC 所在平面内一点，2BC CD = ，E 为BC 的中点，则AE =（）A.2133AB AD +B.1233AB AD +C.2133AB AD -D.1323AB AD -【答案】A 【解析】【分析】由已知()1133BE BD AE AB AB AB AD AB +=+==+-即可求解.【详解】解：因为2BC CD =，E 为BC 的中点，所以()11213333AE AB BE AB BD AB AD AB AB AD =+=+=+-=+ ，故选：A.6.曲线2y x x =-在1x =处的切线的倾斜角为α，则cos 21tan αα=+（）A.1- B.15- C. D.2【答案】B 【解析】【分析】先求出2y x x=-的导函数，进而求出1x =时，123y '=+=，由导函数的几何意义和倾斜角与斜率的关系，求出tan 3α=，利用万能公式求出结果.【详解】221y x'=+，当1x =时，123y '=+=，所以tan 3α=，由万能公式得：222222cos sin 1tan 194cos 2cos sin 1tan 195ααααααα---====-+++所以cos 24111tan 545αα=-⨯=-+故选：B7.已知函数1ln e e y x x ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭的图象上存在点P ，函数212c y x -=+的图象上存在点Q ，且P 、Q 关于x 轴对称，则实数c 的取值范围为（）A.211,122e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B.221e 1,12e 2⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦ C.21e ,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.211,12e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】根据题意问题可转化为方程21ln 2c x x =-在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，令21()ln 2g x x x =-，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求出()g x 的值域即可得c 的取值范围.【详解】依题意可知，方程21ln 2x x c =-在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，即21ln 2c x x =-在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，令21()ln 2g x x x =-，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则211(1)(1)()x x x g x x x x x-+-=-='=，1,1e x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时()0g x '<，(]1,e x ∈时()0g x '>，所以()g x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,e 上单调递增，则()g x 的最小值为1(1)2g =，又21(e)e 12g =-，()2111e e 2e g g ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，则()g x 的最大值为21(e)e 12g =-，所以()g x 的值域为21e ,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，即可得c 的取值范围是21e ,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：C8.设()f x 是定义域R 的奇函数，()1f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈，()()2f x ax x =-.若()()121f f -+=-，则7()2f =()A.1-B.34-C.1D.32【答案】B 【解析】【分析】首先利用函数的奇偶性求出a ，再利用()f x 的对称性和奇函数性质求解即可.【详解】因为()f x 是定义域R 的奇函数，所以(1)(1)f f -=-，(0)0f =，因为当(]0,1x ∈，()()2f x ax x =-，所以(1)f a =-，从而(1)f a -=，因为()1f x +是偶函数，即(1)f x +的图像关于y 轴对称，因为(1)f x +图像是()f x 图像向左平移一个单位得到的，所以()f x 的图像关于1x =对称，故(2)(0)0f f ==，因为()()121f f -+=-，所以01a a +==-，因为733(()(222f f f =-=-，31113()()1(2)22224f f ==-⨯⨯-=，所以733(()224f f =-=-.故选：B.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的给0分）9.下列四个函数中，以π为周期且在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的偶函数有（）A.cos 2y x =B.tan y x =C.sin y x= D.lg sin y x=【解析】【分析】根据题意，结合三角函数的图象性质以及图象的变换，一一判断即可.【详解】对于选项A ，因为cos 2y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以cos 2y x =π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故A 错；对于选项B ，结合tan y x =的图象性质，易知tan y x =是以π为周期且在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的偶函数，故B 正确；对于选项C ，结合sin y x =的图象性质，易知sin y x =没有周期性，故C 错；对于选项D ，令sin t x =，易知sin t x =是以π为周期且在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的偶函数，因lg y t =也是单调递增的，所以lg sin y x =是以π为周期且在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的偶函数，故D正确.故选：BD.10.下列命题正确的是（）A.若0a b <<，0c >，则11ac bc<B.若0a >，0b >2aba b≥+C.已知0a >，0b >，且1a b +=，则2212a b +≥D.已知0a >，0b >，且1ab =，则1124a b a b++≥+【答案】BC 【解析】【分析】A 选项做差法即可比较大小从而得出结果；B 选项结合均值不等式即可判断；C 选项结合二次不等式的恒成立问题即可判断；D 选项举出反例即可说明.【详解】A 因为0a b <<，0c >，则110b a ac bc abc--=>，即11ac bc >，故A 错误；B 因为0a >，0b >22112a b aba b a b+≥≥≥=++当且仅当a b =时等号成立，C 因为1a b +=，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫+=+-=-+≥ ⎪⎝⎭，当12a b ==时等号成立，故C 正确；D 当1a b ==时，满足0a >，0b >，且1ab =，但11234a b a b++=<+，故D 错误.故选：BC.11.设函数()()πsin 05f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[]0,π有且仅有5个极值点，则（）A.()f x 在()0,π有且仅有3个极大值点B.()f x 在()0,π有且仅有4个零点C.ω的取值范围是4353,1010⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.()f x 在π0,20⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】AD 【解析】【分析】根据三角函数的极值点（也即最值点）的性质，求出极值点，然后根据条件，结合图像列出关于ω的不等式组，解出ω的范围，然后再逐一判断每个选项.【详解】作出()f x的草图如下：()f x 的极值点满足πππ,Z 52x k k ω+=+∈，即3ππ10k x ω+=，因为()f x 在[]0,π有且仅有5个极值点，所以0,1,2,3,4k =，则需3π4π10πω+<，且3π5π10πω+≥，解得43531010ω<≤，故C 错误；因为π(0)05f =>，则由图可知0k =时，13π10x ω=是在()0,π上的第一个极大值点，根据正弦型三角函数的图像规律可知，极大值点与极小值点总是交替出现的，2,4k k ==时是()f x 的两个极大值点，另外两个为极小值点，故A 正确；如图可知，在A 点之前已有4个零点，πx =也可能落在C 点的右侧，从而使()f x 在()0,π上有5个零点，故B 错误；当5310ω=时，()f x 的周期最小，此时第一个极大值点为13π3ππ105320x ω==>，而()f x 在3π0,53⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故()f x 在π0,20⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故D 正确.故选：AD12.关于函数()e xf x =，()lng x x =，下列说法正确的是（）A.对x ∀∈R ，()1f x x ≥+恒成立B.对0x ∀>，()11g x x≥-恒成立C.函数()()y xf x x g x =--的最小值为e 1-D.若不等式()()g x f ax a≥对0x ∀>恒成立，则正实数a 的最小值为1e【答案】ABD 【解析】【分析】利用导数证明()()10h x f x x =--≥恒成立，判断A ，A 中不等式绝对值变形的转换可判断B ，利用导数求出函数()()y xf x x g x =--的最小值判断C ，把不等式()()g x f ax a≥进行变形转化为不等式ax e x ≥恒成立，然后求得a 的范围判断D ．【详解】设()()1h x f x x =--e 1x x =--，()e 1x f x '=-，0x <时，()0h x '<，()h x 递减，0x >时，()0h x '>，()h x 递增，所以min ()(0)0h x h ==，所以()1(0)0f x x h --≥=，即()1f x x ≥+恒成立，A 正确；在()1f x x ≥+中令ln x t =，则1ln t t ≥+，ln 1t t -≥-，1ln 1t t≥-，再令1x t=得1ln 1x x ≥-，B 正确；设()()()ln e xp x xf x x g x x x x =--=--，定义域为(0,)+∞，11()e e 1(1)(e x x x p x x x x x'=+--=+-，定义域内10x +>恒成立，令1()e xq x x =-是增函数，1(202q =-<，(1)e 10q =->，所以()q x 在1(,1)2即在(0,)+∞上存在唯一零点0x ，01e 0xx -=，00e 1x x =，00x x <<时，()0q x <，即()0p x '<，()p x 递减，0x x >时，()0q x >，即()0p x '>，()p x 递增，所以0min 0000()()e ln xp x p x x x x ==--000011ln 11ex x x x =--=-+=，C 错；不等式()()g x f ax a≥为ln eaxxa≥，e ln ax a x ≥，0x >，所以e ln ax ax x x ≥，即e ln e ln ax ax x x ≥，令()ln s t t t =，则()ln 1s t t '=+，10et <<时，()0s t '<，()s t 递减，1e t >时，()0s t '>，()s t 递增，min 11()(e es t s ==-，因为0,0a x >>，所以e 1ax >，因此不等式e ln e ln ax ax x x ≥恒成立，则e ax x ≥恒成立，ln ax x ≥，即ln xa x≥，设ln ()x u x x =，21ln ()xu x x -'=，0e x <<时，()0u x '>，()u x 递增，e x >时，()0u x '<，()u x 递减，所以max 1()(e)e u x u ==，所以1e a ≥，即a 的最小值是1e，D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查用导数研究函数的性质，研究不等式恒成立问题，解题关键是掌握导数与函数单调性的关系，深深需要不断求导才能确定函数的单调性与极值．这是问题的难点所在，解题过程中需要不断引进新函数，研究新函数的单调性、极值点、零点等性质，本题属于困难题．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量()3,1a =r ，()1,2b =-r ，c a b λ=- .若a c ⊥，则λ=________.【答案】110-0.1-【解析】【分析】根据0a c ⋅=求解即可.【详解】因为()20a c a a b a a b λλ⋅=⋅-=-⋅=r r r r r r r r，所以()()91320λ+--+=，解得110λ=-.故答案为：110-14.已知1sin 24α=-，则2πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．【答案】380.375【解析】【分析】由余弦二倍角公式结合诱导公式即可求解.【详解】因为1sin 24α=-，所以2ππ11cos 21cos 21π1sin 2344sin 4222282αααα⎛⎫⎛⎫-+-+-⎪ +⎛⎫⎝⎭⎝⎭+===== ⎪⎝⎭.故答案为：3815.已知()221,042,0x x f x x x x -⎧-≤=⎨-+->⎩，若函数()()g x f x k =-有两个零点，则实数k 的取值范围是________.【答案】(){}2,02- 【解析】【分析】画出()f x 的图象，数形结合解决问题【详解】()()g x f x k =-有两个零点，即()f x k =有两个根，即函数()y f x =与y k =有两个交点，如图所示，显然，当2k =或20k -<<时，函数()y f x =与y k =有两个交点，符合题意故答案为：(){}2,02- 16.已知函数()sin xf x e x ax =-在()π,0-上单调递增，则实数a 的取值范围________.【答案】2,e π-⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】【分析】首先求导()sin cos xxe x e x af x =+-'，根据题意得到(),0x π∈-，sin cos 0x x e x e x a +-≥恒成立，再利用导数求解最值即可得到答案.【详解】()sin xf x e x ax =-，()sin cos x x e x e x a f x =+-'，因为函数()sin xf x e x ax =-在()π,0-上单调递增，所以(),0x π∈-，sin cos 0x x e x e x a +-≥恒成立，即(),0x π∈-，()sin cos xa e x x ≤+恒成立，设()()sin cos xg x ex x =+，()()()sin cos cos sin 2cos x x x g x e x x e x x e x '=++-=，,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，()0g x '<，()g x 为减函数，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0g x '>，()g x 为增函数，所以()2min2g x g e ππ-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，即2a e π-≤-.故答案为：2,e π-⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦四、解答题（本题共6小题，共70分）17.已知函数()ππcos 24f x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值.【答案】（1）5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）2【解析】【分析】（1）利用两角和的余弦公式以及辅助角公式可得()214f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由正弦函数单调区间，整体代入即可求解.（2）根据三角函数的单调性即可求解.【小问1详解】()()ππcos sin cos cos sin sin 2444f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=-⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()sin 2cos 2sin x x x =--sin 21cos 2214x x x π⎛⎫=-+-=++ ⎪⎝⎭，3222242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得5,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以函数的单调递增区间为5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【小问2详解】由（1）222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈函数的单调递减区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，所以函数在0,8π⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减，在,82ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，()00f =，22f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以函数的最大值为2.18.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，cb 是1和tan tan A B的等差中项．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若BC 2a =，求ABC 的面积．【答案】（Ⅰ）3π；【解析】【分析】（Ⅰ）根据c b 是1和tan tan A B 的等差中项得到2tan 1tan c Ab B=+，再利用正弦定理结合商数关系，两角和与差的三角函数化简得到2sin cos sin()sin C A A B C =+=，从而得出1cos 2A =，即可求出角A ；（Ⅱ）设中线交BC 于D ，则ADB ADC π∠=-∠，由余弦定理求得228b c +=，再由2214cos 22b c A bc +-==求得4bc =，最后根据三角形的面积公式1sin 2ABC S bc A = ，进行求解即可.【详解】解：（Ⅰ）由题意及正弦定理得2tan 2sin 1tan sin c A C b B B=+=，所以sin cos 2sin 1sin cos sin A B CB A B+=，化简得2sin cos sin()sin C A A B C =+=，因为sin 0C >，所以1cos 2A =，而在ABC 中，0A π<<，所以3A π=；（Ⅱ）设中线交BC 于D ，则ADB ADC π∠=-∠，由余弦定理得22222222BD AD c CD AD b BD AD CD AD+-+-=-⋅⋅，22=化简得228b c +=，因为2214cos 22b c A bc+-==，所以4bc =，所以1sin 24ABC S bc A bc ===△．19.首届中国（宁夏）国际葡萄酒文化旅游博览会于2021年9月24-28日在银川国际会展中心拉开帷幕，183家酒庄、企业携各类葡萄酒、葡萄酒加工机械设备、酒具等葡萄酒产业相关产品亮相.某酒庄带来了2021年葡萄酒新品参展，供购商洽谈采购，并计划大量销往海内外.已知该新品年固定生产成本40万元，每生产一箱需另投入100元.若该酒庄一年内生产该葡萄酒x 万箱且全部售完，每万箱的销售收入为()H x 万元，()()()2803,0203000190,202x x x H x x x x -<≤⎧⎪-=⎨+>⎪+⎩.（1）写出年利润()M x （万元）关于年产量x （万箱）的函数解析式；（利润＝销售收入－成本）（2）年产量为多少万箱时，该酒庄的利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）()()2318040,020300011040,202x x x M x x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+->⎪+⎩（2）年产量为28万箱时，该酒庄的利润最大，最大利润为2380万元.【解析】【分析】（1）分020x <≤和20x >两种情况列出解析式即可；（2）分别结合二次函数在某区间上的最值以及利用均值不等式求出最值，进而比较即可求出结果.【小问1详解】当020x <≤时，()()()40100M x x H x x =⋅-+，所以()()()2280340100318040M x x x x x x =⋅--+=-+-，当20x >时，()()()40100M x x H x x =⋅-+；所以()()()()()30001300019040100104022x x M x x x x x x x ⎡⎤--=⋅+-+=-+⎢++⎣⎦，因此()()2318040,020300011040,202x x x M x x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+->⎪+⎩；【小问2详解】由（1）知当020x <≤时，()2318040M x x x =-+-，对称轴为30x =，开口向下，所以()2318040M x x x =-+-在(]0,20上单调递增，因此当20x =时()2max 32018020402360M x =-⨯+⨯-=；当20x >时，()()3000110402x M x x x -=-+-+90001029602x x =--++()900010229802x x =-+-++29802380≤-=，当且仅当()90001022x x +=+，即28x =时，等号成立，因为23802360>，所以年产量为28万箱时，该酒庄的利润最大，最大利润为2380万元.20.在①sinsin 2A Bb c B+=，②)cos sin c A b a C -=-，③cos cos cos c a b C A B+=+这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________.（1）求C ；（2）若ABC 的面积为AC 的中点为D ，求BD 的最小值.【答案】（1）3C π=（2）4【解析】【分析】（1）选①，利用正弦定理的边角互化以及诱导公式可求解；选②，利用正弦定理的边角互化即可求解；选③，利用正弦定理的边角互化以及两角差的正弦公式即可求解.（2）利用三角形的面积公式可得32ab =，再由余弦定理以及基本不等式即可求解.【小问1详解】选①sinsin 2A Bb c B +=，由正弦定理可得sin sinsin sin 2A BB C B +=，又因为0B π<<，可得sinsin 2A BC +=，即sincos 2C C π-=，所以cos 2sin cos 222C C C=，又因为022C π<<，所以1sin 22C =，所以26C π=，解得3C π=.)cos sin c A b a C -=-，)sin cos sin sin sin C A B A C -=-，()sin cos sin sin sin C A A C A C -+=-⎤⎦，整理可得cos sin sin A C A C =-，又因为0A π<<，解得tan C =因为0C π<<，所以3C π=.③cos cos cos c a b C A B+=+，由正弦定理可得sin sin sin cos cos cos C A BC A B+=+，整理可得sin cos sin cos sin cos sin cos C A C B A C B C +=+，即sin cos sin cos sin cos sin cos C A A C B C C B -=-，即()()sin sin C A B C -=-，所以C A B C -=-或C A B C π-+-=（舍），即2A B C +=，即2C C π-=，解得3C π=.【小问2详解】113sin 222ABC S ab C ab ==⋅= 解得32ab =，由余弦定理可得22222112cos 2162234222b b b b BD a a a ab a ab π⎛⎫=+-⋅⋅=+-≥⋅⋅-= ⎪⎝⎭，所以4BD ≥，当且仅当2ba =时，即4,8ab ==取等号，所以BD 的最小值为4.21.已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明不等式2()x e ax f x --≥恒成立.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数导数，讨论a 的范围结合导数即可得出单调性；（2）构造函数2()ln x x e x ϕ-=-，利用导数可得()x ϕ'在(0,)+∞上有唯一实数根0x ，且012x <<，则可得()0()0x x ϕϕ≥>，即得证.【详解】（1）11()(0)axf x a x x x-'=-=>，当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '=，得到1x a=，所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 单调递减.综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）设函数2()ln x x e x ϕ-=-，则21()x x exϕ-'=-，可知()x ϕ'在(0,)+∞上单调递增.又由(1)0ϕ'<，(2)0ϕ'>知，()x ϕ'在(0,)+∞上有唯一实数根0x ，且012x <<，则()020010x x e x ϕ-'=-=，即0201x e x -=.当()00,x x ∈时，()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减；当()0x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增；所以()0200()ln x x x ex ϕϕ-≥=-，结合021x ex -=，知002ln x x -=-，所以()()22000000001211()20x x x x x x x x x ϕϕ--+≥=+-==>，则2()ln 0x x e x ϕ-=->，即不等式2()x e ax f x --≥恒成立.【点睛】关键点睛：本题考查不等式恒成立的证明，解题的关键是转化为证明2()ln x x e x ϕ-=-的最小值大于0.22.已知函数()22ln f x mx x x =-+，其中m 为正实数.（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；（2）当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2f x mx ≥-，求m 的取值范围.【答案】（1）2（2）(]0,1【解析】【分析】（1）由导数的几何意义求出切线方程即可求解；（2）当1x =时，00≥成立，所以m R ∈；当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，2min2ln 2x x m x x --⎛⎫≤⎪-⎝⎭，令22ln 2()x x g x x x --=-，1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，利用导数研究函数的单调性，可得()g x 在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，然后利用求出(1)g 即可得答案.【小问1详解】解：当1m =时，()22ln f x x x x =-+，()122f x x x'=-+，所以(1)1f '=，()11f =-，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()1(1)1y f x '--=-，即2y x =-，设切线与两坐标轴交点为()()2,0,0,2A B -，所以12222AOB S =⨯⨯= ；【小问2详解】解：由题意，当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2f x mx ≥-即()22ln 2m x x x x -≥--恒成立，当1x =时，00≥成立，所以m R ∈；当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，因为20x x -<，所以22ln 2x x m x x --≤-恒成立，即2min2ln 2x x m x x --⎛⎫≤ ⎪-⎝⎭，令22ln 2()x x g x x x --=-，1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则()()2222321ln 1()x x x x g x x x -++--'=-，令()2()2321ln 1h x x x x x =-++--，1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则1()42ln 5h x x x x'=-+-+，22221421()4x x h x x x x -++''=-++=，令2()421x x x ϕ=-++，1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，由二次函数的知识有()ϕx 在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，因为1()102ϕ=>，(1)10ϕ=-<，所以存在01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭使得0()0x ϕ=，所以01,2x x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0h x ''>，()0,1x x ∈时，()0h x ''<，所以()h x '在01,2x ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在()0,1x 上单调递减，又1()12ln 20,(1)02h h ''=-<=，所以()00h x '>，所以存在01,2x α⎛∈⎫⎪⎝⎭，使得()0h α'=，所以当1,2x α⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0h x '<，(),1x α∈时，()0h x '>，所以()h x 在1,2α⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(),1α上单调递增，又1()(1)02h h ==，所以()0≤h x ，即()0g x '≤，所以()g x 在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以()211122ln 2lim lim 121x x x x x g x x xx →→--->==--，所以01m <≤，综上，m 的取值范围为(]0,1.。
山东省潍坊市(安丘、诸城、高密)三县市2022-2023学年高三10月联考数学试题(解析版)
2023届山东省潍坊市（安丘、诸城、高密）三县市高三10月联考数学试题一、单选题1．已知集合{}1,1A =-，11,Z 2B x x x ⎧⎫=+≤∈⎨⎬⎩⎭，则（ ）A ．{}1AB ⋂= B ．{}1,0,1A B =-UC ．(){}R 1A B ⋂=-ðD ．(){}R 1,0,1A B ⋃=-ð【答案】B【分析】计算绝对值不等式得到{}1,0,1B =-，从而进行交集，并集，补集相关计算. 【详解】由112x +≤得：1112x -≤+≤，所以3122x -≤≤， 又因为Z x ∈，所以{}1,0B =-， 故{}1A B ⋂=-，A 错误； {}1,0,1A B =-U ，B 正确；(){}R 1A B ⋂=ð，C 错误；(){}R1A B x x ⋃=≠ð，D 错误.故选：B2．已知命题p ：有的长方形是正方形，则（ ） A ．p ⌝：有的长方形不是正方形 B ．p ⌝：所有长方形都不是正方形 C ．p ⌝：所有的长方形都是正方形 D ．p ⌝：不是长方形的图形都不是正方形【答案】B【分析】根据特称命题的否定，可得答案.【详解】由题意，p ：存在一个长方形，该长方形是正方形，p ⌝：所有长方形都不是正方形. 故选：B.3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足m n m n S S S ++=，若12a =，则20a =（ ） A ．2 B ．4C ．20D ．40【答案】A【分析】由m n m n S S S ++=可得2020192111a S S S S S a =-=-== 【详解】()20201918218121112a S S S S S S S S S a =-=+-+=-===. 故选：A4．“关于x 的方程()212xxa +=没有实数解”的一个必要不充分条件是（ ） A ．12a ≤B ．1a >C ．12a ≤或1a ≥ D ．12a <或1a ≥ 【答案】C 【分析】先得到1111221x ≤-<+，从而得到12a <或1a ≥，进而判断出四个选项中，符合要求的选项.【详解】()212xxa +=，因为210x+>，所以2112121xxxa ==-++， 因为0221x ≥=，所以212x +≥，110221x<≤+，1111221x ≤-<+， 要想()212xxa +=没有实数解，则12a <或1a ≥， 由于12a <或1a ≥⇒12a ≤，故A 不成立；由于12a <或1a ≥⇒1a >，故B 不成立； 由于12a <或1a ≥⇒12a ≤或1a ≥，且12a ≤或1a ≥⇒12a <或1a ≥，C 正确；D 选项为充要条件，不合要求. 故选：C5．偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学毕业生张华向银行贷款的本金为72万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，30年还清，贷款月利率为0.4%，设张华第n 个月的还款金额为n a 元，则n a =（ ） A ．2288 B ．48728n -C ．48808n -D ．48888n -【答案】D【分析】计算出每月应还的本金数，再计算第n 个月已还多少本金，由此可计算出n 个月的还款金额.【详解】由题意可知：每月还本金为2000元， 设张华第n 个月的还款金额为n a 元，则()2000720000120000.4%48888n a n n ⎡⎤=+--⨯⨯=-⎣⎦， 故选：D6．已知函数()()()ln 10f x x x =+≥，将函数()f x 的图象绕原点逆时针旋转(]()0,ααθ∈角后得到曲线C ，若曲线C 仍是某个函数的图象，则θ的最大值为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】B【分析】利用导数求出函数在原点的切线的斜率，即可求出其倾斜角，再结合函数图象及函数的定义判断即可.【详解】解：因为()()()ln 10f x x x =+≥，所以()11f x x '=+，则()01f '=． 即函数()()ln 1f x x =+在原点的切线OM 的斜率1k =，所以4MOx π∠=．由图可知：当函数图象绕坐标原点逆时针方向旋转时，旋转的角θ大于2MOx π-∠时，旋转所得的图象与y 轴就会存在两个交点， 此时曲线C 不是函数的图象，故θ的最大值是24MOx ππ-∠=．故选：B ．7．足球运动是目前全球体育界最具影响力的项目之一，深受青少年喜爱．有甲，乙，丙，丁四个人相互之间进行传球训练，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙，丙，丁中的任何一个人，以此类推，则经过三次传球后乙只接到一次球的概率为（ ） A ．127B ．19C ．827D ．1627【答案】D【分析】计算出每一种情况后，再求和即可.【详解】由题意，根据第一次传给乙第二次传给甲或丙或丁第三次传给丙丁或甲丁或甲丙，第一次传给丙或丁第二次传给乙第三次传给甲或丙或丁，第一次传给丙或丁第二次传给甲丁或甲丙第三次传给乙分别求出概率，再求和可得答案.122122116=?1?+?×1+?×=333333327P . 故选：D8．已知a ，b ，()e,c ∈+∞，c a a c >，ln ln c b b c <，则（ ） A ．e ln e ln e ln a c b c a b b a c +++>> B ．e ln e ln e ln a b a c b c c b a +++>> C ．e ln e ln e ln a c a b b c b c a +++>> D ．e ln e ln e ln b c a b a c a c b +++>>【答案】D【分析】由题意变形得ln ln ln a c ba c b>>，构造函数()ln x f x x =证得a c b <<，观察选项，通过变形可知比较的是ln ln ln ,,e e e a b c a b c的大小，故构造函数()ln xx g x =e 证得其单调递减，由此得到所比大小排序.【详解】因为a ，b ，()e,c ∈+∞，所以由c a a c >两边取自然对数得ln ln c a a c >，即ln ln c a a c >，故ln ln a ca c>， 再由ln ln c b b c <得ln ln b c b c <，故ln ln ln a c ba c b>>， 令()()ln e x f x x x=>，则()21ln 0xf x x '-=<，故()f x 在()e,+∞上单调递减，又由上式可知()()()f a f c f b >>，故a c b <<， 由四个选项的不等式同时除以e a b c ++可知，比较的是ln ln ln ,,e e e a b ca b c的大小， 故令()()ln e ex x g x x =>，则()211e e ln ln 1ln e e e x x x x x x xx x x x g x x --'-===， 再令()()1ln e h x x x x =->，则()()()ln 1ln e 120h x x =-+<-+=-<'， 故()h x 在()e,+∞上单调递减，所以()()e 1eln e 1e 0h x h <=-=-<，故()0g x '<， 所以()g x 在()e,+∞上单调递减，又因为a c b <<，所以()()()g a g c g b >>，即ln ln ln e e ea cb ac b>>， 上述不等式两边同时乘以e a b c ++得，e ln e ln e ln b c a b a c a c b +++>>. 故选：D.二、多选题9．某产品的质量指标值服从正态分布()250,σ，则下列结论正确的是（ ）A ．σ越大，则产品的质量指标值落在()49.9,50.1内的概率越大B ．该产品的质量指标值大于50的概率为0.5C ．该产品的质量指标值大于50.01的概率与小于49.99的概率相等D ．该产品的质量指标值落在()49.9,50.2内的概率与落在()50,50.3内的概率相等 【答案】BC【分析】对于A ，根据标准差的性质分析判断，对于BCD ，根据正态分布的性质分析判断即可.【详解】对于A ，σ越大，则数据越分散，所以产品的质量指标值落在()49.9,50.1内的概率越小，所以A 错误，对于B ，因为产品的质量指标值服从正态分布()250,σ，所以正态分布的图象关于直线50x =对称，所以该产品的质量指标值大于50的概率为0.5，所以B 正确，对于C ，由选项B 可知正态分布的图象关于直线50x =对称，所以该产品的质量指标值大于50.01的概率与小于49.99的概率相等，所以C 正确，对于D ，由选项B 可知正态分布的图象关于直线50x =对称，所以由正态分布的图象可知该产品的质量指标值落在()49.9,50.2内的概率大于落在()50,50.3内的概率，所以D 错误， 故选：BC10．已知0x >，0y >，且21x y +=，下列结论中正确的是（ ）A ．xy 的最小值是18B ．24x y +的最小值是C ．12x y+的最小值是9D ．22x y +的最小值是25【答案】BC【分析】根据基本不等式即可逐一求解.【详解】由>0,>0x y ，21x y +=得1+28x y xy ≥≤，当且仅当122x y ==时等号成立，故A 错误，由于2>0,4>0x y ，所以2+4x y ≥当且仅当122x y ==时等号成立，故B 正确，>0,>0x y ，()1222++2=5++y x x y x y x y ≥⎛⎫ ⎪⎝⎭，当且仅当12x y ==时等号成立，故C 正确，()222222211+=12+=54+1=5+555x y y y y y y ---≥⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 错误，故选：BC 11．已知194x x y y+=，则关于函数()y f x =说法正确的是（ ） A ．函数()f x 在R 上为减函数 B ．函数()f x 的图象的对称轴为y x = C ．0x ∃<，使得()0f x < D ．()23f x x >-【答案】AD【分析】利用不同象限表示不同的圆锥曲线图象可求解.【详解】当0,0x y ≥≥时，原等式化为22194x y +=，当0,0x y ≥<时，原等式化为22194x y -=，当0,0x y <≥时，原等式化为22149y x -=， 当0,0x y <<时，原等式化为22194x y --=，此方程无解，结合椭圆、双曲线的图象作出图象如下：由图象可知，函数()f x 在R 上为减函数，所以A 正确； 第一象限的图象为椭圆的部分，不关于y x =，所以B 错误； 函数图象不出现在第三象限，所以不存在0x <，使得()0f x <， 所以C 错误；因为第四象限部分双曲线22194x y -=的渐近线与第二象限的双曲线22149y x -=部分的渐近线都为23y x =-，所以结合函数图象()23f x x >-恒成立，所以D 正确.故选:AD.12．将各项均为正数的数列{}n c 中的所有项按每一行比上一行多一项的规律排成数表，如图所示．记表中各行的第一个数1c ，2c ，4c ，7c ，…构成数列{}n a ，各行的最后一个数1c ，3c ，6c ，10c ，…构成数列{}n b ，第n 行所有数的和为()1,2,3,4,n S n =L ．已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，从第二行起，每一行中的数按照从左到右的顺序成公比为q 的等比数列，且11c =，18119c =，39179c =．则下列结论正确的是（ ）A ．21n a n =-B ．202320231012b c ⨯=C ．13nn n b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()()1213123n n n n S ---=⨯【答案】ABD【分析】由条件结合确定{}n b 与{}n c 的关系，根据等差数列通项公式和等比数列通项公式求出数列{}n a 的公差d ，由此可得{}n a 的通项公式，再求nnb a ，并根据等比数列求和公式求n S ，由此判断各选项.【详解】由已知第n 行有n 个数，各行的最后一个数1c ，3c ，6c ，10c ，…构成数列{}n b ，所以11b c =，2123b c c +==，31236b c c ++==，⋅⋅⋅，由此可得()12312n n n n b c c +++鬃?+==，所以()20231232023202310122023202312b c c c +++鬃??+===，B 对，又11a c =，，2112a c c +==，31216a c c ++==，⋅⋅⋅，由此可得()()12311112n n n n a c c +++鬃?-+-+==，因为数列{}n a 是首项为1，公差为d 的等差数列，所以1n a dn d =+-，所以61651a c d ==+，93781a c d ==+，由因为从第二行起，每一行中的数按照从左到右的顺序成公比为q 的等比数列，所以()21851c d q =+，()23981c d q =+，由已知可得()211519d q +=，()217819d q +=，所以2d =，13q =，所以21n a n =-，A 正确，由已知1n n n b a q -=，所以113n n n b a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，C 错误，所以()()()()2111121212121333n n S n n n n -骣骣鼢珑=-+-+-+鬃?-鼢珑鼢珑桫桫()()()111213132112313nn n n n S n -骣÷ç-÷ç÷--ç桫=-=´-，D 对，故选：ABD.三、填空题13．已知函数()()12,0,1,0,x x f x f x x +⎧≤⎪=⎨->⎪⎩()2log 3f =______． 【答案】321.5 【分析】由21log 32<<结合条件0x >时，()(1)f x f x =-化简可得()()22log 3log 32f f =-，再由0x ≤时，1()2x f x +=，结合对数运算性质求其值. 【详解】因为函数2log y x =在()0+∞，上单调递增，所以222log 2log 3log 4<<，所以21log 32<<，因为0x >时，()(1)f x f x =-，所以()()()222log 3log 31log 32f f f =-=-，因为0x ≤时，1()2x f x +=，所以()222223log log 321log 31log 3log 2223log 322222f -+--=====， 故答案为：32. 14．在101x y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，7xy 的系数为______．【答案】360-【分析】101x y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开通项为()101101C kkk k T x y x -+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，可得()3778101C T x y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭包含7xy ，再求出31x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开项x 的系数即可【详解】由二项式展开项通项公式可得()101101C kkkk T x y x -+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ，故只有()3778101C T x y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭包含7xy ，又31x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开项通项公式为3321331C C mm m m mm S x xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，故当1m =时，7xy 的系数为()771103-1C C 360=-.故答案为：360-15．已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a +=，则数列{}n a 的前2n 项和2n S =______．【答案】()321n-【分析】当2n ≥时，可知112n n n a a --=，进而可知112n nn n a a a a +-=，即112n n aa +-＝，从而可知{}n a 的奇数项和偶数项都是等比数列，进而分奇偶两部分，可求出2n S .【详解】由11a =，12nn n a a +=，得22a =.当2n ≥时，112n n n a a --=，所以111222nn n n n n a a a a --+==，即112n n a a +-=， 所以{}n a 的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列.则21(12)2(12)3233(21)1212n n n n n S ⨯-⨯-=+=⨯-=---. 故答案为：()321n-.16．进入秋冬季以来某病毒肆虐，已知感染此病毒的概率为10%，且每人是否感染这种病毒相互独立．为确保校园安全，某校组织该校的3000名学生做病毒检测，如果对每一名同学逐一检测，就需要检测3000次，但实际上在检测时都是随机地按()110k k <≤人一组分组，然后将各组k 个人的检测样本混合再检测．如果混合样本呈阴性，说明这k 个人全部阴性，如果混合样本呈阳性，说明其中至少有一人检测呈阳性，就需要对该组每个人再逐一检测一次．当检测次数最少时k 的值为______． 参考数据：20.90.810=，30.90.729=，40.90.656≈，50.90.590≈，60.90.531≈，70.90.478≈，80.90.430≈，90.90.387≈，100.90.349≈．【答案】4【分析】设每个人检测次数为X ，若混合为阴性，则1X k=；若混合为阳性，则11X k =+.依次求出1P X k ⎛⎫= ⎪⎝⎭、11P X k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭、()E X ，则当()E X 最小时，检测次数最少，最后研究()E X 的最小值即可【详解】设每个人检测次数为X ，若混合为阴性，则1X k=；若混合为阳性，则11X k =+.则10.9k P X k ⎛⎫== ⎪⎝⎭，1110.9kP X k ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()111111110.9k E X P X P X k k k k k⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=++⋅=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故当()E X 最小时，检测次数最少.当2k =时，()0.69E X =；当3k =时，()0.604E X =；当4k =时，()0.594E X =；当5k =时，()0.61E X =；当6k =时，()0.636E X =；当7k =时，()0.665E X =；当8k =时，()0.695E X =；当9k =时，()0.724E X =；当10k =时，()0.751E X =.故当4k =时，()0.594E X =最小. 故答案为：4四、解答题17．已知数列{}n a 中，12a =，当2n ≥时，()112n n n a na --=． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()9n nn n c a -=，数列{}n c 中是否存在最大项与最小项？若存在，求出最大项与最小项；若不存在，说明理由．【答案】(1)2nn a n =⋅(2)存在，最小项为14c =-，最大项为101111024c c ==【分析】(1)由递推式证明数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，根据等比数列通项公式求其通项，再求数列{}n a 的通项公式；(2)研究数列的单调性，由此确定其最值. 【详解】(1)因为当2n ≥时，有()112n n n a na --=，所以121n n a an n -=-， 令nn a b n =，则12n n b b -=，2n ≥，又1121a b ==，所以12n n b b -=，2n ≥，所以数列{}n b 为等比数列，公比为2，首项为2，所以2n n b =，所以2nn a n =⋅，(2)由（1）知()992n n n n n n c a --==，得1182n n n c ++-=，1111898218102222n n n n n n n n n n nc c ++++----+--=-==， 当10n =时，10n n c c +-=，1n n c c +=，即1110c c =；当10n <时，10n n c c +->，1n n c c +>，即109821c c c c c >>>>>L ； 当10n >时，10n n c c +-<，1n n c c +<，即111213c c c >>>L ， 所以数列{}n c 是先增后减，最大项为1011101121024c c ===， 因为当19n ≤≤时，0n c ≤且数列{}n c 是单调递增；当10n ≥时0n a >， 所以数列{}n c 的最小项为1842c -==-． 18．从有3个红球和4个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记i A 表示事件“第i 次摸到红球”，1,2,,7i =．(1)求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率；(2)记()123P A A A 表示1A ，2A ，3A 同时发生的概率，()312P A A A 表示已知1A 与2A 都发生时3A 发生的概率．①证明：()()()()123121312P A A A P A P A A P A A A =； ②求()3P A ． 【答案】(1)12 (2)①证明见解析，②37【分析】（1）所求概率为21(|)P A A ，由条件概率的公式计算.(2) ①由条件概率的公式计算推导可证, ②由①的结论,分类计算所求概率.【详解】(1)由条件概率公式可得1221143()176(|)4()27p A A P A A p A ⨯⨯===； 所以第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率为12； (2)①由条件概率乘法公式12331212()(|),()P A A A P A A A P A A =可得12312312()()(|),P A A A P A A P A A A =，由12211()(|)()P A A P A A P A =,可得12121()()(|)P A A P A P A A =,所以123121312()()(|)(|);P A A A P A P A A P A A A =②由①可得()()()()()3123123123123P A P A A A P A A A P A A A P A A A =+++ =121312121312()(|)(|)()(|)(|)P A P A A P A A A P A P A A P A A A ++121312121212()(|)(|)()(|)(|)P A P A A P A A A P A P A A P A A A +32143234243337657657657657=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所以()337P A =．19．已知函数()321f x x ax bx =--+，其中0a >．(1)若函数()f x 的单调减区间为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，求实数a ，b 的值；(2)若2b a =，已知曲线()y f x =在点()(),a f a --处的切线与y 轴的交点为()0,m ，求9m a +的最小值．【答案】(1)1a =，1b = (2)13【分析】(1)由已知()0f x '<的解集为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据二次方程和二次不等式的解的关系求a ，b 的值；(2)根据导数的几何意义确定,a m 的关系，由此可得39931m a a a +=++，利用导数求其最小值．【详解】(1)因为()321f x x ax bx =--+，所以()232f x x ax b '=--，已知函数()f x 的单调减区间为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，故()0f x '<的解集为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()10,310,f f ''⎧⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩故11320,93320,a b a b ⎧⨯+⨯-=⎪⎨⎪--=⎩解得1a =，1b =，当1a =，1b =时，()()()2321311x x x x f x --=+'-=，当13x <-时，()0f x '>，函数()f x 在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递增，当113-<<x 时，()0f x '<，函数()f x 在1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1+∞，单调递增， 满足已知条件，故1a =，1b =；(2)因为2b a =，所以()2232f x x ax a '=--，可得()()()222324f a a a a a a '-=--⨯--=，即24k a =，又由()()()()322311f a a a a a a a -=--⋅--⨯-+=-+，得切线方程为()()3214y a a x a --+=+，即23431y a x a =++，令0x =，可得331y a =+，即331m a =+，则39931m a a a+=++， 令()3931g a a a =++，0a >，可得()42229999a g a a a a -'=-=，0a >，令()0g x '>，即4990a ->，解得1a >，令()0g x '<，即4990a -<，解得01a <<， 所以函数()g a 在区间()0,1单调递减，在区间()1,+∞单调递增， 所以当1a =时，函数()g a 取得最小值，最小值为()131913g =++=．20．一工厂为了提高生产效率，对某型号生产设备进行了技术改造，为了对比改造前后的效果，采集了20台该种型号的设备技术改造前后连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，整理如下表：(1)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并判断能否有99%的把握认为技术改造前与技术改造后的连续正常运行时间有差异？(2)若某台设备出现故障，则立即停工并申报维修，根据长期生产经验，每台设备停工n天的总损失额记为y （单位：元）满足()2100200015001,2,3,4y n n n =++=，现有两种维修方案（一天完成维修）可供选择：方案一：加急维修单，维修人员会在设备出现故障的当天上门维修，维修费用为4000元；方案二：常规维修单，维修人员会在设备出现故障当天或者之后3天中的任意一天上门维修，维修费用为1000元．现统计该工厂最近100份常规维修单，获得每台设备在第()1,2,3,4n n =天得到维修的数据如下：将频率视为概率，若某台设备出现故障，以该设备维修所需费用与停工总损失额的和的期望值为决策依据，应选择哪种维修方案？()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【答案】(1)表格见解析，有99%的把握 (2)方案一【分析】（1）根据已知表中的数据填写22⨯列联表，然后利用()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++求出2K ，再利用临界值表判断即可，（2）根据题意分别计算出1,2,3,4n =时，设备的总损失额，设选择方案一、方案二的设备维修所需费用与设备停工总损失额分别为X 、Y 元，则()36004000E X =+，Y 的可能取值有：4600，6900，9400，12100，求出相应的概率，可得随机变量Y 的分布列，求出()E Y ，然后比较可得结论. 【详解】(1)22⨯列联表为：易知()224055151510 6.63520202020K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯所以有99%的把握认为技术改造前与技术改造后的连续正常运行时间有差异． (2)当1n =时，设备的总损失额为3600y =元； 当2n =时，设备的总损失额为5900y =元； 当3n =时，设备的总损失额为8400y =元； 当4n =时，设备的总损失额为11100y =元；设选择方案一、方案二的设备维修所需费用与设备停工总损失额分别为X 、Y 元， 选择方案一，则()360040007600E X =+=元，选择方案二，则Y 的可能取值有：4600，6900，9400，12100， 所以，()1460010P Y ==，()3690010P Y ==，()4940010P Y ==，()21210010P Y ==，所以，随机变量Y 的分布列如下表所示：所以，()134246006900940012100871010101010E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=元， 所以，()()E X E Y <，故选方案一.21．已知数列{}n a ，{}n b 的各项都是正数，n S 是数列{}n a 的前n 项和，满足()22210n n S n S n +--=；数列{}n b 满足11b a =，331b a =-，()221*n n n b b b n N ++=∈(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记()22167,log ,nn n n n n b n c a a b n ++⎧-⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，数列{}n c 的前2n 项和为2n T ，若不等式()24141nnn T n λ-+<+对一切*n N ∈恒成立，求λ的取值范围． 【答案】(1)21n a n =-，12n n b -=(2)15λ-<<【分析】（1）先根据条件算出n S ，再算出n a 和n b ；（2）对于{}n c 采用分组求和的方法，推出2n T 的解析式，再根据条件，计算不等式()24141nnn T n λ-+<+ ，确定λ 的范围. 【详解】(1)依题意，根据()22210n n S n S n +--=，得()()210n nS n S-+=，又0n a >，0n S >，得2n S n =；当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-；当1n =时，111a S ==适合上式， 所以数列{}n a 的通项公式21n a n =-，所以111b a ==，3314b a =-=，又因为()221*n n n b b b n N ++=∈，所以数列{}n b 为等比数列，所以22314b b q q ===，解得2q =或2q =-（舍去），所以12n n b -=；(2)由题意可知，2n S n =，12n n b +=；由已知()22167,,log ,,nn n n n n b n c a a b n ++⎧-⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数可得()()()1672,2123,n n n n c n n n n -⎧-⎪=-+⎨⎪⎩为奇数为偶数 ， 设{}n c 的前2n 项和中，奇数项的和为n P ，偶数项的和为n Q ， 所以13521n n P c c c c -=++++L ，2462n n Q c c c c =++++L ，当n 为奇数时，()()()1116722221232321n n n n n c n n n n -+--==--++-，所以204264222135212222222251951394143n n n n P c c c c n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L0424141141n nn n =-=-++， 当n 为偶数时，n c n =，所以()()246222246212n n n n Q c c c c n nn +=++++=++++==+L L ，由()24141n nn T n λ-+<+，得()()441114141n n nn n n n λ-+<-++++，即()()111n n n λ-<-++， 当n 为偶数时，21n n λ<+-对一切偶数成立，当2n = 时，215n n +-= 为最小值，所以5λ<，当n 为奇数时，21n n λ<+--对一切奇数成立，当1n = 时()211n n -+-=- 为最大值，所以此时1λ>-，故对一切*n ∈N 恒成立，则15λ-<<．综上，21n a n =-，12n n b -=，λ 的取值范围是15λ-<<.22．已知函数()()3xf x x a e =--，()g x ax =．(1)设()f x '，()g x '分别为()f x ，()g x 的导函数，试讨论()()0f x g x ''-=根的个数； (2)若4a =-，当2x ≥-时，()()2122kf x x g x ⎡⎤≥-+⎣⎦恒成立，求k 的取值范围． 【答案】(1)当0a ≥时，()h x 有一个零点；当10a -<<时，()h x 有两个零点； 当1a =-时，()h x 有一个零点；当1a <-时，()h x 无零点；(2)21,e ⎡⎤⎣⎦【分析】(1)方程的根的个数，转化为函数的零点个数，利用导数讨论单调性来解决. (2) 恒成立问题转化为函数最值问题，讨论函数单调性，得到最值.【详解】(1)由题意可得()()2e xf x x a '=--，()g x a ¢=，令()()()()2e x h x f x g x x a a ''=-=---，()()1e xh x x a '=--，()10h a '+=，当1x a <+时，()0h x '<，()h x 为减函数；当1x a >+时，()0h x '>，()h x 为增函数； 所以()h x 的最小值为()11ea h a a ++=--，令()()11e a p a h a a +=+=--，显然()p a 为减函数，且()10p -=，所以当1a <-，()10h a +>，所以()0h x >，所以()h x 无零点； 当1a =-，()10h a +=，所以()h x 有一个零点；当0a >，()10h a +<，因为当1x a <+时，()h x a <-，故()h x 无零点，当1x a >+，()h x 有一个零点；当0a =时，()()2e xh x x =-，显然有一个零点；当10a -<<时，当1x a <+时，()h x 有一个零点，当1x a >+，()h x 有一个零点；故有两个零点．综上所述，当0a ≥时，()h x 有一个零点；当10a -<<时，()h x 有两个零点； 当1a =-时，()h x 有一个零点；当1a <-时，()h x 无零点；(2)()()()()22112e 12122xF x kf x x g x k x x x ⎡⎤=--+=+---⎣⎦，()2≥-x ()()()()e 222e 1x x F x k x x x k '=+--=+-，由题设可得()00F ≥，即1k ³， 令()0F x '=得1ln x k =-，22x =-， ①若21e k ≤<，则120x -<≤，当()12,x x ∈-时，()0F x '<，当()1,x x ∈+∞时，()0F x '>， 即()F x 在()12,x x ∈-单调递减，在()1,x +∞单调递增， 故()F x 在1x x =取最小值()1F x ，而()()()111221*********1e 211e 212e 2x x x F x k x x x x x x =+---=+---()211111111212022x x x x x =+---=-+≥所以当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()2122kf x x g x ⎡⎤≥-+⎣⎦恒成立． ②若2e k =，则()()()22e 2e e x F x x -'=+-，所以当2x ≥-时，()0F x '≥，∴()F x 在()2,-+∞单调递增， 而()20F -=，∴当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()2122kf x x g x ⎡⎤≥-+⎣⎦恒成立， ③若2e k >，则()()2222e 1e e 0F k k ---=-+=--<，所以当2x ≥-时，()()2122kf x x g x ⎡⎤≥-+⎣⎦不可能恒成立． 综上所述，k 的取值范围为21,e ⎡⎤⎣⎦．【点睛】1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。
新课标卷2025届高三数学10月大联考试卷
新课标卷2025届高三数学10月大联考试卷本卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号\.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|13}A x x =-<≤，2{|4}B x x =>，则R ()A B = ð（）A.()1,2- B.(]1,2-C.(]2,3- D.(]2,32.使不等式312x≤-成立的一个必要不充分条件是（）A.()(),12,-∞-+∞B.(](),12,-∞-+∞ C.()[),12,-∞-⋃+∞ D.(][),12,-∞-⋃+∞3.已知函数()lg f x x =，()13g x x =-，则()()13100g f f g ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A.6B.6- C.5D.5-4.已知a ，b 为非零向量，1a b ⋅= ，()3,4b = ，则a 在b上的投影向量为（）A.15br B.125b C.bD.1125b 5.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，若角α的终边过点()6,8A -，则πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.35B.35-C.45D.45-6.已知函数32()22ln f x x x x =--，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A.2B.1C.12D.147.已知函数()f x 满足()()2sin tan f x f x x x --=+，若函数()y f x =在[]3π,5π-上的零点为1x ，2x ，…，n x ，则1ni i x ==∑（）A.8πB.9πC.16πD.17π8.已知函数()cos(2)(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的图象过点1(0,)2A ，且对任意12π2π,(,23x x ∈，都有1212()[()()]0x x f x f x --≥，则ω的取值范围是（）A.25[,34B.1(0,2C.25811[,][,3434D.15(0,][,2]23二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知01d c a b <<<<<，则（）A.a d b c +<+B.ac bd <C.b aa b < D.2b a a b+>10.已知函数π()cos )(0)6f x a x x a =+->的最小值为，则（）A.直线π2x =为()f x 图象的一条对称轴B.()f x 在区间π4π(,)23上单调递减C.将()f x 的图象向左平移π3个单位长度，得到一个奇函数的图象D.当π[,]3x t ∈-时，()f x的值域为[2-，则t 的取值范围为π[,π]311.已知函数()f x 对任意实数,x y 都有()()(1)()(1)f x y f x f y f y f x +=+++，且(1)1f =，(1)1f -=-，则（）A.(0)0f = B.(2)()f x f x +=-C.20241()2024n f n ==∑ D.对任意*n ∈N ，都有(2)0f n =三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面向量a，b 满足2= a ，3b = ，且a b +=，则a b -=______.13.已知α为锐角且πsin 2cos 24αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.14.已知不等式()242e 822e 2ln x x axx a x x x ++--<-对任意0x >恒成立，则实数a 的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()(ln sin cos f x x x =++.（1）证明：()f x 是周期函数；（2）求()f x 的单调递增区间.16.在平面四边形ABCD 中，AB BC ==120ABC ∠=︒，AC CD ⊥且AC =.（1）求AD 的长；（2）若M 为CD 的中点，求cos AMB ∠.17.已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，6a =，2π3A =，向量()cos ,cos m b C c B = ，()sin ,sin n B C =- ，且m n ⊥，ABC V 所在平面内存在点D ，满足()30AD AC AB λλ=+> .（1）判断ABC V 是否为等腰三角形；（2）当2λ=时，求ABD △的面积；18.已知函数()()e 1()x f x x a a =++∈R .（1）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（2）证明：当0x >时，e e e(e 1)xx x >-.19.阅读材料一：设函数()f x 在区间D 上有定义，若对任意12,x x D ∈和任意()0,1λ∈，都有1212((1))(1())()f f x x x x f λλλλ+-≤+-，则称()f x 是区间D 上的下凸函数；反之，如果都有1212((1))(1())()f f x x x x f λλλλ+-≥+-，则称()f x 是区间D 上的上凸函数.阅读材料二：若函数()f x 在区间D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在区间D 上也可导，则称()f x 在区间D 上存在二阶导函数，即()()()f x x f ''''=.设函数()f x 在区间D 上存在二阶导函数，则()f x 在区间D 上是下凸（上凸）函数的充要条件是对任意x D ∈都有()0f x ''≥（()0f x ''≤）且在区间D 的任意子区间内()f x ''不恒为0.阅读材料三：设函数()f x 在区间D 上连续，00(,)x x D δδ-+⊆（其中δ为无限接近于0的正数），()f x 在00(,)x x δδ-+上存在二阶导函数，若()f x ''在00)(,x x δ-和00(,)x x δ+上的符号相反，则点00(,())x f x 为曲线()y f x =的拐点.请根据以上阅读材料，回答下列问题：（1）证明：对任意0a ≥，0b ≥23a b+≥恒成立；（2）设函数32()69f x mx nx x =+-+，若点(1,1)是曲线()y f x =的拐点，求实数m ，n 的值，并证明()f x 的图象关于拐点(1,1)中心对称：（3）设函数2()2ln 33g x x x x =+-+，若点00(,())x g x 是曲线()y g x =的一个拐点，且120()()2()g x g x g x +=，其中12012x x <<<<，试证明：1202x x x +>.。
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山东省高三数学10月联考试题
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，三角函数与解三角形，平面向量，数列。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分。
在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的不得分。
1.若集合M ＝{x|－1<2－x≤1}，N ＝{x|x 2
－6x ＋8<0}，则M∪N＝
A.(2，3]
B.(2，3)
C.[1，4)
D.(1，4) 2.若()1)1(20AB BC ==，，
,，则AB = A.(2，2) B.(2，0) C.(0，2) D.(0，－2)
3.函数(
)l n x x f 的定义域为
A.[－1，＋∞)
B.[－1，0)∪(0，＋∞)
C.(－∞，－1]
D.(－1，0)∪(0，＋∞)
4.若{a n }是首项为1的等比数列，则“86
a a >9”是“a 2>3”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为60°，向量m ＝5e 1－2e 2，则|m|＝
C.6.在△ABC 中，AC ＝3，AB ＝4，BC ＝6，则△ABC 的最大内角的余弦值为 A.4348 B.14- C.712-
D.1124
- 7.已知
(cos72°＋cos18°)的近似值为
A.1.77
B.1.78
C.1.79
D.1.81
8.函数f(x)＝在[－π，π]上的图象大致为
9.将曲线y ＝2sin(4x ＋5
π)上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得曲线关于y 轴对称，最后得到的曲线的对称轴方程为
A.3()808k x k Z ππ=+∈
B.3()808
k x k Z ππ=-+∈ C.3()202k x k Z ππ=+∈ D.3()202k x k Z ππ=-+∈ 10.已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)，且f(x)的图象关于点(3，0)对称，当1≤x ≤2时，f(x)＝2x ＋log 3(4x ＋3)，则f(16092
)＝ A.－4 B.4 C.－5 D.5
11.下列有四个关于命题的判断，其中正确的是
A.命题“∃x 0∈(0，＋∞)，3x 0＋cosx 0<1”是假命题
B.命题“若xy≠100，则x ≠4或y≠25”是真命题
C.命题“∀x∈N，lg(x ＋1)>0”的否定是“∃x 0∉N ，lg(x 0＋1)>0”
D.命题“在△ABC 中，若AB BC ⋅<0，则△ABC 是钝角三角形”是真命题
12.已知函数3()sin 23cos 2f x x x
=- A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的最大值为2
C.f(x)的值域为(－2，2)
D.f(x)的图象关于(12π-
，0)对称 13.若函数f(x)＝2x 3－ax 2(a<0)在(2a ，63
a +)上有最大值，则a 的取值可能为 A.－6 B.－5 C.－4 D.－3
第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
把答案填在答题卡中的横线上。
14.设函数2lg ,0()1(),04
x x x f x x >⎧⎪=⎨<⎪⎩，则f(－f(10))＝ 。
15.直线2y ＋1＝0与曲线y ＝cosx 在(34π-，32
π)上的交点的个数为 。
16.张军自主创业，在网上经营一家干果店，销售的干果中有松子、开心果、腰果、核桃，价
格依次为120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元/千克，为增加销量，张军对这四种干果进行促销：一次购买干果的总价达到150元，顾客就少付x(2x∈Z)元。
每笔订单顾客网上支付成功后，张军会得到支付款的80%。
①若顾客一次购买松子和腰果各1千克，需要支付180元，则x ＝ ；
②在促销活动中，为保证张军每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 。
(本题每空2分)
17.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则自上而下的第1节的容积为 ，这9节竹子的总容积为 。
(本题每空2分)
三、解答题：本大题共6小题，共82分。
解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
18.(12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝30°，a ＝8，b ＝。
(1)求tanB ；
(2)若△ABC 不是直角三角形，求△ABC 的面积。
19.(12分)已知函数f(x)＝x －ae ax
(a>0)。
(1)求曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若f(x)<0恒成立，求a 的取值范围。
20.(14分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1。
(1)求{a n }的通项公式； (2)若13(1)(1)
n
n n n b a a +=++，求{b n }的前n 项和T n ，并比较T n 与1316的大小。
21.(14分)将函数g(x)＝4sinxcos(x ＋
6π)的图象向左平移φ(0<φ≤2π)个单位长度后得到f(x)的图象。
(1)若f(x)为偶函数，tanα>2，求f(α)的取值范围；
(2)若f(x)在(π，76
π)上是单调函数，求φ的取值范围。
22.(15分)已知函数f(x)＝x(1－sinx)。
(1)求函数f(πx)在(－20，20)上的零点之和；
(2)证明：f(x)在(0，
2
π)上只有1个极值点。
23.(15分)
已知函数f(x)＝12
ax 2－x ＋2a 2lnx(a≠0)。
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)存在两个极值点x 1，x 2，证明：121212
()()11f x f x x x x x -<+-。