2012线性代数作业

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2012届钻石卡学员基础阶段线性代数巩固练习题

2012届钻⽯卡学员基础阶段线性代数巩固练习题2012届钻⽯卡学员基础阶段线性代数巩固练习题1. 计算⾏列式221 411 2021991012. 计算⾏列式123x x x x x x3. 计算⾏列式0004 0043 0432 43214. 计算⾏列式00010 0020008000 90000 000010"" """""""""5. 计算⾏列式1234 2341 3412 41236. 计算⾏列式12345 678910 00013 00024 010117. 计算⾏列式00112 00302 00240 12401 312588. 证明：111112222233333++++++a b xa xbc a b xa xbc a b xa xbc 1111222223333(1)+=?++a b x b c x a b x b c a b x b c 9. 证明：1111111111111111+?+?x x y y 22=x y10. 计算⾏列式122222222222322222122222"""""""""""n n11. 解⽅程组134123412312345423,21,421,0.++=++=??++=??+++=?x x x x x x x x x x x x x x 12. 解⽅程组234513451245123512341,2,3,4,5.+++=??+++=??+++=??+++=??+++=?x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x13. 问：齐次线性⽅程组12341234123412340,20,30,0.+++=??+++=??+?+=??+++=?x x x ax x x x x x x x x x x ax bx 有⾮零解时，,a b 必须满⾜什么条件？14. 设 311111212,210123101A B==，求?AB BA15. 计算()11121212221212,,,??""""""n n n n n nn a a a a a a y y y a a a16. 计算111212122212110""""""%"n n n n nn a a a aa a a a a17. 计算1112121222121200""""""%"n n n n nn a a a a a a a a a 18. ⽤分块矩阵的乘法，计算下列矩阵的乘积：（1）1300028000001010023200311A =，1300028000101010123223311B=，求AB ；（2）10100101000210002000,310000030000020000130000200042A B==，求AB . 19. 设00??=?B AC ，其中B 是n 阶可逆矩阵，C 是m 阶可逆矩阵，证明A 可逆，并求1?A . 20. ⽤矩阵分块的⽅法，证明下列矩阵可逆，并求其逆矩阵：（1）1200025000003000001000001（2）121000000.000000n n a a a a"""""""""21. ⽤初等变换法求逆矩阵122212221??22. ⽤初等变换法求逆矩阵1234231211111026??23. 求逆矩阵100011001110111124. 解矩阵⽅程：1235.3459X=?25. 解矩阵⽅程：12313032410272101078X =26. 求矩阵12345001230000400121??的秩，并指出该矩阵的⼀个最⾼阶的⾮零⼦式.27. 求矩阵11210224203061103001的秩，并指出该矩阵的⼀个最⾼阶的⾮零⼦式. 28. 求矩阵321322131345561的秩，并指出该矩阵的⼀个最⾼阶的⾮零⼦式.29. 求矩阵1100211002110021的秩，并指出该矩阵的⼀个最⾼阶的⾮零⼦式. 30. 将向量α表⽰成1234,,,αααα的线性组合：1211=α，11111=α，21111=??α，31111=α，41111=α31. 将向量α表⽰成1234,,,αααα的线性组合：()0,0,0,1=α，()11,1,0,1=α，()22,1,3,1=α，()31,1,0,0=α，()40,1,1,1=??α32. 论述每个向量()12,,,="n αααα线性相关和线性⽆关的条件.33. 证明：若12,αα线性⽆关，则1212,+?αααα也线性⽆关34. 证明：122331,,αααααα+++线性⽆关的充要条件是123,,ααα线性⽆关. 35. 下列命题（或说法）是否正确？如正确，证明之；如不正确，举反例：（1）12,,,(2)>"m m ααα线性⽆关的充要条件是任意两个向量线性⽆关；（2）12,,,(2)>"m m ααα线性相关的充要条件是有1?m 个向量线性相关；（3）若12,αα线性相关，12,ββ线性相关，则有不全为零的数1k 和2k ，使11220+=k k αα，且11220+=k k ββ，从⽽使111222()()0+++=k k αβαβ，故11+αβ，22+αβ线性相关；（4）若123,,ααα线性⽆关，则122331,,αααααα线性⽆关；（5）若1234,,,αααα线性⽆关，则12233441,,,++++αααααααα线性⽆关；（6）若12,,,"n ααα线性相关，则122311,,,,?++++"n n n αααααααα线性相关. 36. 求下列向量组的秩及其⼀个极⼤线性⽆关组，并将其余向量⽤极⼤⽆关组线性表⽰：（1）()16,4,1,9,2=α，()21,0,2,3,4=?α，()31,4,9,6,22=??α，()47,1,0,1,3=?α（2）()11,1,2,4=?α，()20,3,1,2=α，()33,0,7,14=α，()42,1,5,6=α，()51,1,2,0=?α（3）()11,1,1=α，()21,1,0=α，()31,0,0=α，()41,2,3=?α37. 设向量组：()11,1,2,4=?ξ，()20,3,1,2=ξ，()33,0,7,14=ξ，()41,1,2,0=?ξ，()52,1,5,6=ξ（1）证明12,ξξ线性⽆关；（2）求向量组包含12,ξξ的极⼤线性⽆关组.38. 已经()1,2,1,1=?α，()2,3,1,1=?β，()1,1,2,2=γ（1）求,,αβγ的长度及()(),,,αβαγ；（2）求与,,αβγ都正交的所以向量.39. ⽤施密特正交化⽅法，由下列向量组分别构造⼀组标准正交向量组：（1）()1,2,2,1?，()1,1,5,3?，()3,2,8,7?；（2）()1,1,1,2??，()5,8,2,3??，()3,9,3,8；40. 证明：若A 是正交矩阵，则A 的伴随矩阵*A 也是正交矩阵. 41. 证明：若A 是正交矩阵，则：（i ）A 的⾏列式等于1或者-1；（ii ）1=T A A42. 求下列矩阵的特征值和特征向量：(1) 452221111(2) 220212020????43. 已知矩阵74147144A x=?的特征值13λ=(⼆重),212λ=,求x 的值,并求其特征向量.44. 设12,x x 是矩阵A 不同特征值的特征向量，证明12x x +不是A 的⼀个特征向量. 45. 设A 可逆，讨论A 与*A 的特征值(特征向量)之间的相互关系. 46. 已知10~02AΛ=?，求det()A I ?. 47. 已知12110,3202P P AP ==?，求nA . 48. 设1B P AP ?=，x 是矩阵A 属于特征值0λ的特征向量.证明：1P x ?是矩阵B 的对应其特征值0λ的⼀个特征向量.49. 设三阶实矩阵A 有⼆重特征值1λ，如果1(1,0,1),=Tx 2(1,0,1),=??Tx 3(1,1,0),Tx =4(0,1,1)T x =?都是对应于1λ的特征向量，问A 可否对⾓化？50. 对下列实对称矩阵A ，求正交矩阵T 和对⾓矩阵Λ，使1T AT ?=Λ：(1) 130341011； (2) 00410********40； (3) 133331333313333151. ⽤正交变换x Qy =，将下⾯的⼆次型化为标准形，并求正交矩阵Q ：22221234121423342222f x x x x x x x x x x x x =++++52. 已知22212312323(,,)2332f x x x x x x ax x =+++通过正交变换x Qy =可化为标准形22212325f y y y =++，试求参数a 及正交矩阵Q .53. 设4200021000005000004600061A=，求正交矩阵Q ，使得T Q AQ 为对⾓矩阵. 54. ⽤配⽅法将⼆次型222123122331254484x x x x x x x x x +++??化为标准形，并写出所⽤的坐标变换. 55. 求下列⼆次型中的参数t ，使得⼆次型正定： (1) 2221231213235422x x tx x x x x x x +++??； (2) 22212312132322x x x tx x x x ++++.56. 设A 是正定矩阵，C 是实可逆矩阵，证明：TC AC 是实对称矩阵，⽽且也是正定矩阵. 57. 设A 是正定矩阵，证明A 的伴随矩阵*A 也是正定矩阵.。

2012年1月(A卷解答)

2012年1月(A卷解答)2011~2012学年秋季学期线性代数（B ）(A 卷)课程考试试题（解答）一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在每题的空中）1. 设,A B 都是n 阶矩阵，且它们的行列式分别为3 2 A B ==-，，则AB 2= 62 n-⨯．2．若向量组T T T123(1,2,3),(2,3,4),(3,4,)t ααα===线性相关，则t = 5 ．3. 设n 阶矩阵A 与B 相似，且3A E +不可逆，则B 的一个特征值为 3 -．4．设3阶矩阵A 的特征值互不相同, 若行列式||0=A , 则A 的秩为 2 ．5. 若二次型()()222212312332f x ,x ,x x t x t x =+--是正定的，那么t 取值范围为 20 t <．二、选择题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．已知四阶行列式312D 201321=-，则13332A A +的值为【 C 】．（其中ijA 为行列式D 中元素a ij 的代数余子式．）(A) 2； (B) 1； (C) 0； (D) 3． 2．设12,,,sa a a 均为n 维列向量，下列选项不正确的是【 B 】．(A) 对于任意一组不全为0的数12,,,sk k k 都有s s k a k a k a 1122,0+++≠，则12,,,sa a a 线性无关；(B) 若12,,,sa a a 线性相关，则对于任意一组不全为0数12,,,sk k k 都有s s k a k ak a 1122,0+++=；(C) 12,,,sa a a 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s ；(D) 若12,,,sa a a 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关． 3. 设3阶矩阵A 的特征值为123221λλλ==-=，，，对应的特征向量依次为123,,p p p ，令()123,,P =p p p ，则1-PAP =【 D 】．(A) 200020001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (B) 100020002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭； (C)200010002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭；(D)200020001⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.4. 已知12,ββ是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是其对应的齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系，则Ax b=的通解为【 A 】． (A)k k k k R 112212121()(,)2ααββ+++∈； (B)k k k k R 112212121()(,)2ααββ++-∈;(C)k k k k R 1122112(,)ββα++∈； (D)11!ni n i==∑10分四、（本题满分10分）设矩阵300011014A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭，361123B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，且满足B X AX +=2，求矩阵X .解答：由BX AX +=2得，(2)A E X B-=4分1100(2)021011A E -⎛⎫⎪-=-- ⎪⎪⎝⎭8分1(2)X A E B -=-=100021011⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭361123⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭364132⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭10分或1003610036(2,)01111 010410122300132A E B r ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，X =364132⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭．五、（本题满分14分，第1题10分，第2题4分）1. 已知非齐次线性方程组121312311x x x x x ax x b+=⎧⎪-=⎨⎪++=⎩ ；（1）求参数的值为何值时，方程组无解，有无穷多解，有惟一解；（2）并在有解时，求其解． 2. 设矩阵1234(,,,)αααα=A ，矩阵A的秩()3R =A ，且234,ααα=+12βαα=-+3α4α-，求方程β=Ax 的通解．解答：1. 对增广矩阵进行行初等变换，得 11011101(,)1011 0110110021A b r a b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，3分（1）21a b =≠，时，方程组无解； 4分2a ≠时，方程组有惟一解；5分21a b ==，时，方程组有无穷多解解；6分（2）惟一解为1231121212b x a b x a b x a -⎧=+⎪-⎪-⎪=⎨-⎪-⎪=⎪-⎩8分21a b ==，时，11011011(,)1011 0110110000A b r a b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭通解为1110()10x k k R ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．10分2．由()3R A =知，齐次线性方程组0Ax =的基础解系中含一个非零的解向量．由于234,ααα=+，则有123401(,,,)011⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭αααα，于是0111⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ξ是齐次线性方程组Ax =基础解系． 2分由12βαα=-+3α4α-，则有123411(,,,)11⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ααααβ，3分于是1111η*⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭是方程β=Ax 的特解，故β=Ax 的通解为()x k k R ξη*=+∈． 4分六、（本题满分14分）已知二次型T 21221232313(,,)222(0)f x x x x Ax =ax x x bx x b =+-+>，其中f 的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12．(1) 求a ，b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．解答：(1) 二次型f的矩阵为002002a b A b ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭2分设A 的特征值为iλ（1, 2, 3i =）．由题设条件，有1232(2)1a λλλ++=++-=，21230020421202a ba b b λλλ==--=-，解得1, 2a b ==．4分(2) 矩阵A 的特征多项式()21020202(3)22A E λλλλλλ--=-=--+--，所以A的特征值122λλ==，33λ=-． 7分对于122λλ==，解齐次线性方程组(2)0A E x -=，得对应的特征向量T1(2,0,1)a =， T2(0,1,0)a =．9分对于33λ=-，解齐次线性方程组(3)0A+E x =，得对应的特征向量T3(1,0,2)a=-． 10分由于1a ，2a ，3a 已是正交向量组，只需将1a ，2a ，3a 单位化，由此得T155β=，T2(0,1,0)β=，T355β=．令矩阵()123055,,010055Q βββ⎛⎫ ⎪⎪==⎪⎪ ⎝，则Q 为正交矩阵．在正交变换=X QY 下，有T 200020003Q AQ ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪-⎝⎭，13分且二次型f的标准形为222123223f y y y =+-．14分七、（本题满分12分，每小题各6分）证明下列各题： 1. 若向量1234,,,ξξξξ是n 元非齐次线性方程组Ax b =的解向量，那么它们的线性组合11223344k k k k ξξξξ+++也是该方程组解向量的充分必要条件是12341k kk k +++=；2. 设A 是n 阶矩阵，1λ和2λ是A 的两个不同的特征值，12,ηη是A的属于特征值1λ的两个线性无关的特征向量，3η是A的属于特征值2λ的特征向量，证明：123,,ηηη线性无关．证：1. 向量1234,,,ξξξξ是n 元非齐次线性方程组Ax b =的解向量，则(1,2,3,4)iA b i ξ==， 2分于是，11223344112233441234() (),A k k k k k A k A k A k A k k k k b ξξξξξξξξ+++=+++=+++4分故11223344k k k k ξξξξ+++也是该方程组解向量的充分必要条件是12341k k k k +++=． 6分 2. 令1122330k k k ηηη++=． (1)2分用A 左乘上式得1122330k A k A k A ηηη++=，由111212323,,A A A ηληηληηλη===得，1112123230k k k ληληλη++=． (2)1(1)(2)λ⨯-得3123()0k λλη-=，由12λλ≠，30η≠，知30k =，代入(1)得11220k k ηη+=，4分再由12,ηη线性无关知，120k k ==，故123,,ηηη线性无关． 6分八、（本题满分6分）设A 为3阶实对称矩阵，且A 的秩()2R A =，已知111100001111A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求： A 的所有特征值及每一个特征第 11 页共 11 页 11 值所对应的特征向量．解答：由111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭得，111100, 001111A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则11λ=-是A 的特征值，p k k 110(0)1⎛⎫ ⎪=≠ ⎪ ⎪-⎝⎭是与之对应的特征向量， 2分21λ=是A 的特征值，p k k 210(0)1⎛⎫ ⎪=≠ ⎪ ⎪⎝⎭是与之对应的特征向量． 4分由()2R A =知，30λ=是A 的特征值．设与30λ=对应的特征向量为1323x p x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，由于A 为3阶实对称矩阵，故3p 分别与12, p p 正交，于是有121200x x x x -=⎧⎨+=⎩，则p k k 301(0)0⎛⎫ ⎪=≠ ⎪ ⎪⎝⎭ ．6分。

线性代数标准化作业

线性代数标准化作业普通⾼等教育“⼗⼀五”国家级规划教材经济管理数学基础系列线性代数标准化作业(C)吉林⼤学数学中⼼2012年9⽉学院班级姓名学号第⼀章作业（⾏列式）1、计算下列各⾏列式的值：（1）2116415012051422D--=----；（2）111122211112221111222D=；（3）112233100110011011b b b D b b b --= ----；（4）222b c c a a bD a b c a b c +++=；（5）3333333333333333aa Db b+-=+-；（6）11()11nDαβαβαβαβαβαβαβ++=≠++；（7）102201202013 D=.2、设4阶⾏列式的第2列元素依次为2、m、k、1，第2列元素的余⼦式依次为1、-1、1、-1，第4列元素的代数余⼦式依次为3、1、4、5，且⾏列式的值为2，求m、k的值.3、设a ,b ,c ,d 是不全为零的实数,证明线性⽅程组12341234123412340,0,0,0ax bx cx dx bx ax dx cx cx dx ax bx dx cx bx ax +++=??-+-=??--+=??+--=?仅有零解.4、已知齐次线性⽅程组123123123230,220,50x x x x x x x x x λ++=??+-=??-+=?有⾮零解，求λ的值.学院班级姓名学号第⼆章作业（1）（A +B ）（A -B ）=A 2-B 2；（）（2）若AX =AY ，则X =Y ，其中X 、Y 都是n ×m 矩阵；（）（3）若A 2=O ，则A =O ；（）（4）若AB =O ，则A =O 或B =O ；（）（5）(ABC )T = C T B T A T ；（）（6）(A+B )1- =A 1-+ B 1-。

（） 2、填空题（1）设3阶⽅阵Ｂ≠0，A =13524353t ??，且AB =O ，则t ＝；（2）设A ＝100220345??，A *为A 的伴随矩阵，则(A *)1-= ；（3）设A 为4阶标量矩阵，且|A |=16，则A ＝，A 1-＝， A *＝；（4）设A , B 均为n 阶⽅阵,且2+=()A B E ，其中A 为对称矩阵且可逆，求1T 1()--+-()A B E B A E ＝；（5）设A＝5200210000120011-，则│A│＝，A1-＝；（6）设实矩阵A33?＝≠)(ija O，0ij ijijA为ija的代数余⼦式），则│A│＝；（7）设A为4阶可逆⽅阵，且│A1-│＝2，则│3(A*)1-－2A│＝；（8）设A为2阶⽅阵，B为3阶⽅阵，且│A│＝1B＝21，则1(2)--O BA O＝；（9）设A＝111222333，则A100＝；（10）设A为5阶⽅阵，且A2 = O，则R(A*)＝__________. 3、选择题（1）若A，B为同阶⽅阵，且满⾜AB＝O，则有（）.（A）A＝O或B＝O；（B）|A|＝0或|B|＝0；（C）(A＋B)2＝A2＋B2；（D）A与B均可逆.（A）(AB)k＝A k B k；（B）|－AB|＝－|AB|；（C ）E 2－(AB )2＝（E －AB ）（E ＋AB ）；（D ）|A ＋B |＝|A |＋|B |.（4）已知A 为任意n 阶⽅阵，若有n 阶⽅阵B 使AB ＝BA ＝A ，则（）. （A ）B 为单位矩阵；（B ）B 为零⽅阵；（C ）B 1-＝A ；（D ）不⼀定.（5）若A ，B ，(B 1-+A 1-)为同阶可逆⽅阵，则(B 1-+A 1-)1-＝（）. （A ）B 1-+A 1-；（B ）B ＋A ；（C ）(B +A )1-；（D ）B (B +A )1-A . （6）设A 为3阶⽅阵，且|A |＝3，*A 为A 的伴随矩阵，若交换A 的2，3两⾏得到矩阵B ，则||*BA ＝（）.（A ）27；（B ）－27；（C ）3；（D ）－3. 4、计算题:（1）431112315701-????; （2）()31,2,321??;（3）()211,2,13-??; （4）111213112312222321323333(, , )a a a x x x x a a a x a a a x;（5）12101031 01010121 00210023 00030003----.5、计算下列⽅阵的幂:（1）已知α=（1，2，3），β=（1，－1，2），A=αTβ，求A4 .（2）已知024003000A=轾，求A n.(3) 已知112224112----??A=，求A n .6、设3阶矩阵1122,2,3A=B=αβγγγγ，其中α，β，γ1，γ2均为3维⾏向量，且|A |=18，|B |=2，求|A -B |.7、设121132a b-A=,B=,若矩阵A 与B 可交换，求a 、b 的值.8、求下列矩阵的逆矩阵:（1）A＝1234 1134 1344 0101----；（2）A＝500000 000021 000053 010000 011000 011100.9、已知A＝210121012，C＝123421，求解下列矩阵⽅程：（1）AX=X+C ;(2)AXB=C．10、设矩阵300050,003-A=且满⾜ABA*+BA*+180E=O，求矩阵B.11、设A为n阶可逆矩阵，将A的第i⾏和第j⾏对换后得矩阵B，试证：（1）B可逆；（2）求AB-1。

2012年全国自考线性代数试卷有答案

线性代数（经管类）试题一、单项选择题 1．设行列式1122a b a b =1，1122a c a c --=-1，则行列式111222a b c a b c --= B.02.设A 是n 阶矩阵，O 是n 阶零矩阵，且A 2-E =O ，则必有 C.A =A -13.A =001010a b c⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭为反对称矩阵，则必有 B.a =c =—1,b =04.设向量组1α=（2，0，0）T ，2α=（0，0，—1）T ，则下列向量中可以由1α，2α线性表示的D.（—1，0，—1）T5.已知4×3矩阵A 的列向量组线性无关，则r(A T )= C.36.设1α，2α是非齐次线性方程组Ax =b 的两个解向量，则下列向量中为方程组解的是 D.121α+122α7.齐次线性方程组134234020x x x x x x ++=⎧⎨-+=⎩的基础解系所含解向量的个数为 B.28.若矩阵A 与对角矩阵D =111-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭相似，则A 2= A.E9.设3阶矩阵A 的一个特征值为-3，则-A 2必有一个特征值为 A.-9 10.二次型f (x 1,x 2,x 3)=222123121323222x x x x x x x x x +++++的规范形为 C.21z二、填空题11.行列式123111321的值为____0_____.12.设矩阵A =4321⎛⎫⎪⎝⎭，P =0110⎛⎫⎪⎝⎭，则PAP 2_________.13.设向量α=（1，2，1）T ，β=（-1，-2，-3）T ，则3α-2β_________.14.若A 为3阶矩阵，且|A |=19，则|（3A ）-1|_________.15.设B 是3阶矩阵，O 是3阶零矩阵， r(B )=1,则分块矩阵EO BB ⎛⎫⎪-⎝⎭的秩为____4_____.16.向量组1α=（k,-2,2）T ,2α=(4,8,-8)T线性相关，则数k =___-1______.17.若线性方程组123233x +2x +3x =1-2x +x =-2(λ+1)x =-λ⎧⎪⎨⎪⎩无解，则数λ=_____-1____.18.已知A 为3阶矩阵，12,ξξ为齐次线性方程组Ax =0的基础解系，则|A |=______0___.19.设A 为3阶实对称矩阵，1α=（0，1，1）T ，2α=（1，2，x ）T 分别为A 的对应于不同特征值的特征向量，则数x =___-2______. 20.已知矩阵A =001011112⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，则对应的f (x 1,x 2,x 3)=_________.三、计算题21.计算行列式D =a ba b a a b b aba b+++的值.22.设矩阵A =100210222⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭,B =112022046⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭,求满足方程AX =B T 的矩阵X .23.设向量组11234α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,21104α-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,32463α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,41211α⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭,求该向量组的秩和一个极大线性无关组.24.求解非齐次线性方程组123412341234124436x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪+++=⎨⎪+--=⎩.(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)25.求矩阵A=010001000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的全部特征值和特征向量.26.确定a ,b 的值,使二次型22212312313(,,)222f x x x ax x x bx x =+-+的矩阵A 的特征值之和为1,特征值之积为—12.四、证明题(本题6分)27.设A ,B 均为n 阶(n ≥2)可逆矩阵,证明(AB )*=B *A *.。

海南大学2012-2013《线性代数》试题(A卷)

海南大学2012-2013学年度第二学期试卷科目：（工科类）《线性代数》试题(A 卷)姓名：学号：学院：专业班级：时限： 120 分钟考试形式：闭卷笔试所有试卷均配有答题纸，考生应将答案写在答题纸上，写在试卷上一律无效大题号一二三四五六七八总分得分一、选择题：(每题3分，共15分)1.行列式0100002000034000=_____-24_____2. 设4阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵A *的行列式为0___3. 设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，若m n >，则AB =____0___4.若n 元齐次线性方程组AX O =有n 个线性无关的解向量，则A =O5. 设三阶方阵A 有三个特征值1232,3,λλλ==，若 A =24，则3λ=4二、填空题（每题3分，共15分）1. 设A 为n 阶方阵，且AX O =有非零解，则矩阵A 必有一个特征值为（ C ）(A) 1 (B) -1 (C) 0 (D) 无法确定得分阅卷教师得分阅卷教师2. 设矩阵A 、B 都为n 阶方阵A =2，B =-3，则13A B *-＝（ D ）(A) 6 (B) 6n (C) -6 (D) 16n --3.若可逆方阵A 满足2A A = ，则 A =（ A ）(A)1 (B) 0 (C) -1 (D)无法确定4. 设三阶行列式D 的第三行元素依次是1、-1、1，它们的代数余子式依次是2、8、-5，则D =（ B ）（A ） 11 (B) -11 (C) 5 (D)-55. n 元非齐次线性方程组AX β=有解，其中A 为(1)n n +⨯的矩阵，则A β=（ A ）(A) 0 (B) 1 (C) -1 (D) 无法确定三、计算题（14分）求非齐次线性方程组1234123412343133445980x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩的通解。

2012年10月线代

4.设向量组 =（2，0，0）T， =（0，0，—1）T，则下列向量中可以由，线性表示的是
A.（—1，—1，—1）TB.（0，—1，—1）T
C.（—1，—1，0）TD.（—1，0，—1）T
5.已知4×3矩阵A的列向量组线性无关，则r(AT)=
A.1B.2
C.3D.4
6.设，是非齐次线性方程组Ax=b的两个解向量，则下列向量中为方程组解的是
5.C
解：A的列向量组线性无关，即r(A)=3,
考点：考察向量组的秩，书p100，定理3.3.5
6.D
解：由题知，故选D
考点：考察非齐次线性方程组的解得结构，书p119，性质1
7.B
解：齐次线性方程组的系数矩阵A= ,r(A)=2
考点：考察齐次线性方程组基础解系所含解向量个数，书p112，定理4.1.1
……6分
……9分
22.解因，故可逆， ……4分
……9分
23.解 ……2分
……5分
向量组的秩为3……7分
为一个极大线性无关组（答案不惟一）……9分
24.解由
……2分
……5分
得到，故方程组有无穷多解……7分
通解为，为任意常数……9分
25.解由
得的3个特征值为 ……4分
当时，由 ……6分
得基础解系
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.计算行列式D= 的值.
22.设矩阵A= ,B= ,求满足方程AX=BT的矩阵X.
23.设向量组 , , , ,求该向量组的秩和一个极大线性无关组.
24.求解非齐次线性方程组 .(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)
25.求矩阵A= 的全部特征值和特征向量.

北京理工大学2012级线性代数(A)A卷及答案

课程编号：A073122 北京理工大学2012-2013学年第一学期线性代数A 试题 A 卷班级 ________ 学号 _________ 姓名 __________ 成绩 ___________一、（10分）已知3阶方阵123035002A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，计算行列式*123A I+。

二、（10分）设423110, 2123A AX A X ⎛⎫ ⎪⎪==+ ⎪ ⎪-⎝⎭, 求X 。

三、（10分）已知线性空间4][x F 的自然基为231,,,x x x 。

(1) 证明：2231,12,123,1234x x x x x x ++++++为4][x F 的一个基；(2) 求自然基231,,,x x x 到基2231,12,123,1234x x x x x x ++++++的过渡矩阵，以及23()1h x x x x =--+在后一个基下的坐标。

四、（10分）已知123(1,0,1), (2,2,0), (0,1,1)TTTααα=-==。

(1) 求向量组123,,ααα的一个极大无关组；(2) 求生成子空间123(,,)L ααα的一个标准正交基。

五、（10分）设A 是5阶方阵，且已知存在5阶可逆矩阵P ，使得111112P AP --⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭试写出A 的初等因子，同时判断P 的哪几列是A 的特征向量。

六、（10分）在多项式空间4[]R x 中定义变换σ：233012330201()()a a x a x a x a a a x a a x σ+++=-+++（1）证明：σ是4[]R x 上的线性变换；（2）求σ在4[]R x 的自然基231,,,x x x 下的矩阵，并判断σ是否可逆。

七、（10分）假设A 是m n ⨯的实矩阵，证明：()()TA A A =秩秩八 (10分）已知(1,1,1)T ξ=-是矩阵2125312A a b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的一个特征向量，（1）确定参数a , b 及特征向量ξ所对应的特征值；（2）判断A 是否可以相似对角化，说明理由。

2012年线性代数试卷B(经管)

的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量表示成此极大线性无关组的线性组合。
13. 设向量组 1 (a, 2,10)T , 2 (2,1,5)T , 3 (1,1, 4)T , (1, b, c)T , 问：当 a, b, c 满足什么条件时，（1）可由 1 , 2 , 3 线性表示，且表示式唯一，并写出此表示式；（2）不可由 1 , 2 , 3 线性表示；（3）
解时，求出其解。
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五、计算题(本题 15 分) 得分评阅人
2 2 16．已知二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) X AX x12 2x2 3x3 4x1x2 4x2 x3
（1）写出对应的矩阵 A ；（2）求出 A 的特征值及所对应的全部特征向量；（3）求正交变换 X QY ，将 f ( x1 , x2 , x3 ) 化为标准形。
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 Nhomakorabea。
2. 设 A, B 均为可逆矩阵，则分块矩阵 ç ç
骣 çB 桫
A÷ ÷的逆阵为 ÷ ÷
。
A (A) ç ç
骣- 1 ç ç 桫
÷ ÷ - 1÷ B ÷
(B) ç ç
骣 ç çB- 1 桫
A- 1 ÷ ÷ ÷ ÷
B (C) ç ç
骣- 1 ç ç 桫
÷ (D) 骣 ç ÷ ç -1 - 1÷ çA ÷ ç A 桫
得分评阅人三、计算行列式（本题 9 分）
。
。
1
2
3
4 0 0
5
2 1 0 11．计算行列式 D5 3 0 1 4 5 0 0 0 0

全国2012年4月高等教育自学考试(经管类)线性代数参考答案

全国2012年4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题参考答案一、选择题1~5 DABCB 6~10 BABDD 二、填空题11~15 16 2 0000⎛⎫⎪⎝⎭2 3 16~20 2020,2201k k R ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+∈ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6 32 222123f y =++ 三、计算题21 解：351212011201120112014533453301331011101111201351201110133100101220342034043204320016120112010111011111148480016001600101200048-----=-=-=-=-------------===⨯⨯⨯=--22解：()A X XA XA X A X A E A +=⇒-=⇒-=130100030210010200002001001A E --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,020()300001T A E ⎛⎫⎪-=- ⎪⎪⎝⎭,120310002T A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭()11001030201203003101((),)300310020120010102001002001002001002,T T T A E A E X ⎛⎫-⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪-=--→→ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎝⎭=11031102002T X ⎛⎫-⎪ ⎪⎪⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11021103002X ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⇒=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭23解：()()234234234,,,,,,,2,2,2A B αγγγβγγγαβγγγ+=+=+33234234234234,2,2,2,2,2,22,,,2,,,88A B αγγγβγγγαγγγβγγγ=+=+=+848140=⨯+⨯=24解：()1234120312031203204204480112,,,15402570257102102240000A t t t t tt αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-----⎪ ⎪ ⎪==→→⎪ ⎪ ⎪-+++++ ⎪ ⎪⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭12031021011201120033003300000000t t t t --⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪→→⎪ ⎪-+-+-+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭当t=3时，矩阵继续化为011200000000 ⎪⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭此时，向量组的秩为2，一个极大线性无关组为12,αα。

线性代数习题

线性代数习题集皖西学院应用数学学院编制2012年9月第一章行列式一、判断题1．行列式如果有两列元素对应成比例，则行列式等于零. ( )2. 213210124121012342=-.( ) 3. 13434121.42042=-( )4. 123213123213123213.a a a b b b b b b a a a c c c c c c =( ) 5. 123123123123123123.a a a a a a b b b b b b c c c c c c ---------=---( ) 6. n 阶行列式n D 中元素ij a 的代数余子式ij A 为1n -阶行列式. ( )7. 312143245328836256=.( ) 8. 111213212223313233a a a a a a a a a 122r r + 111213211122122313313233222+++a a a a a a a a a a a a ( ) 9．如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必等于零. ( )10. 如果方程个数与未知数个数相等，且系数行列式不为零，则方程组一定有解. ( ) 二、选择题1．若12532453r s a a a a a 是5阶行列式中带正号的一项，则,r s 的值为（）． A.1,1r s == B.1,4r s ==C.4,1r s ==D.4,4r s ==2.下列排列是偶排列的是（）A. 4312B. 51432C. 45312D. 6543213.若行列式21120312x--=-，则x =( ). A.–2 B. 2 C. -1 D. 14.行列式000000000ab cd e f的值等于（）.A. abcdefB. abdf -C. abdfD. cdf5.设abc ≠0，则三阶行列式00000d c b a的值是（）.A ．aB ．-bC ．0D ．abc 6.设行列式2211b a b a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a ++=（）.A ．-3B ．-1C ．1D ．37.设非齐次线性方程组123123123238223105ax x x ax x x x x bx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解，则,a b 必须满足（）..0,0Aa b ≠≠ 2.,03B a b ≠≠ 23.,32C a b ≠≠ 3.0,2D a b ≠≠8. 215152521112223030223-=---是按（）展开的.A ．第2列B ．第2行C ．第1列D ．第1行9.设111211212ni i in n n nna a a D a a a a a a = 则下式中（）是正确的. 1122.0i i i i in in A a A a A a A +++= 1122.0i j i j ni nj B a A a A a A +++= 1122.i i i i in ni C a A a A a A D +++= 1122.i j i j ni nj D D a A a A a A =+++10. 349571214的23a 的代数余子式23A 的值为（）. A. 3 B. -3 C. 5 D. -5 三、填空题1．排列36715284的逆序数是________.2．四阶行列式中的一项14322341a a a a 应取的符号是_______. 3.若,0211=k 则k=___________. 4.行列式1694432111中32a 元素的代数余子式A 32=____________.5.598413111=__________. 6.行列式0001001010000100=______.7.行列式0004003002001000=__________. 8.非零元素只有1n -行的n 阶行列式的值等于__________.9. 1231231238,a a a b b b c c c =则123123123222c c c b b b a a a ---=__________. 10.n阶行列式nD 中元素ij a 的代数余子式ij A 与余子式ij M 之间的关系是ij A =__________，n D 按第j 列展开的公式是n D =__________.四、计算题1.写出五阶行列式中含1325a a 并带有正号的所有项.2.计算四阶行列式1002210002100021的值.3.求4阶行列式1111112113114111的值.4.计算行列式D =1111123414916182764的值.5. 计算行列式122224242λλλ--+---+ 6.计算n 阶行列式0111101111011110. 7. 计算n 阶行列式 0 0n a D a⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0;8. 计算n 阶行列式 n xa a a x a D aax⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9. 计算nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112五、证明题1.33()ax byay bz az bx x y z ay bzaz bx ax by a b yz x az bxax byay bzzxy++++++=++++2.2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b cc c cd d d d ++++++=++++++六.用克拉默法则解方程1. 12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩； 2.121232343454556156056056051x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎪+=⎩. 七. 问λ取何值时, 齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解？第二章矩阵一、判断题1.若A 是23⨯矩阵，B 是32⨯矩阵，则AB 是22⨯矩阵. ( )2.若,AB O =且,A O ≠则.=B O ( )3. 12103425X ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解110122534X -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ( ) 4.若A 是n 阶对称矩阵，则2A 也是n 阶对称矩阵. ( ) 5. n 阶矩阵A 为零矩阵的充分必要条件是0.A = ( ) 6. 若,AB 为同阶可逆矩阵，则11()kA kA --=. ( )7. 42042069126232110110⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭. ( )8. n 阶矩阵A 为逆矩阵的充分必要条件是0.A ≠ ( ) 9.设,A B 为同阶方阵，则 A B A B +=+. ( )10.设 ,A B 为n 阶可逆矩阵，则 111A O A O O B OB ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.( ) 二、选择题1. 若,A B 为n 阶矩阵，则下式中（）是正确的.22.()()A A B A B A B -+=- .(),=.-=≠B A B C O A O B C 且，必有 222.(+)+2+B A B A AB B = .D AB A B =2.若,s n n l A B ⨯⨯，则下列运算有意义的是（）..T T A B A .B BA .+C A B .+T D A B3.若,m n s t A B ⨯⨯，做乘积AB 则必须满足（）..=A m t .=B m s .=C n s .=D n t4.矩阵1111A --⎛⎫= ⎪⎝⎭的伴随矩阵*=A （）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11115.设2阶矩阵a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭，则*=A （）A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b d B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c d C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c d 6. 矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0133的逆矩阵是（）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3310B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3130C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-13110 D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-013117. 设2阶方阵A 可逆，且A -1=⎪⎭⎫ ⎝⎛--2173，则A=（）.A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--3172B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3172C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--3172D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2173 8. n 阶矩阵A 行列式为,A 则kA 的行列式为（）. A. k A B. nkA C. k A D. -k A9. 设,A B 为n 阶矩阵满足=,AB A 且A 可逆，则有（）..==A A B E .=B A E .=B B E .,D A B 互为逆矩阵10.设A 是任意阶矩阵，则（）是对称阵..(+)T T A A A .+T B A A .T C AA .T T D A AA三、填空题1.设矩阵120210001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100021013B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则2+=A B _____________2.设A=⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023，B=,010201⎢⎣⎡⎥⎦⎤则AB =___________. 3.设矩阵A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21，B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛31，则A TB =____________. 4.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321(1，2，3)=__________. 5.n1111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=__________. 6.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0410******** ＝______________________. 7.设2阶矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛3202，则A *A =_____________.8.设矩阵A=⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，则行列式|A 2|=__________. 9.设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a ，且det(A)=ad-bc ≠0，则A -1=__________ .10. 设 ,A B 为n 阶可逆矩阵，则 1O A B O -⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________.四、计算题1．已知110123011,124,111021A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦求()TA B +.2.计算下列乘积1).431712325701⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭;2).3(123)21⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；3).)21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛；4).13121400121134131402⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪-⎝⎭； 5).111213112312222321323333()a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.3.求矩阵方程.1) 25461321X -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;2) 211113210432111X -⎛⎫-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭;3) 142031121101X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭;4）010100143100001201001010120X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 4.设矩阵21=53A ⎛⎫⎪⎝⎭，13=20B ⎛⎫⎪⎝⎭，求矩阵方程=XA B 的解X .5.设321=111101A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦⎣，求-1A .6.设101=210,325A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭　求-1A 7.设101=210325A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭，求-1A .8.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2500380000120025A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2600140000540023B . 求：AB BA 和9. 设A 为3阶矩阵, , 求-1(2)-5A A *. 10.设(1,2,1),28,A diag A BA BA E *=-=- 求.B 11.设34432022O A O ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 求8A |及4A五、证明题1. 设,A B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明TB AB 也是对称矩阵. 2.设,A B 为n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB BA =. 3.设为n 阶矩阵A 满足235,A A E O --=试证A E +可逆，且()14A E A E -+=-.4. 设A 为n 阶矩阵，且2,A A =且A E ≠，证明A 是不可逆矩阵.第三章矩阵的初等变换与线性方程组一、选择题1．设n 元齐次线性方程组0AX =的系数矩阵的秩为r ，则0AX =有非零解的充分必要条件是（ B ）(A) r n = (B) r n <(C) r n ≥ (D) r n >2．设A 是m n ⨯矩阵，则线性方程组AX b =有无穷解的充要条件是（ D ）(A) ()r A m < (B) ()r A n < (C) ()()r Ab r A m =< (D) ()()r Ab r A n =<3．设A 是m n ⨯矩阵，非齐次线性方程组AX b =的导出组为0AX =，若m n <，则（C ）(A) AX b =必有无穷多解 (B) AX b =必有唯一解 (C) 0AX =必有非零解 (D) 0AX =必有唯一解4．已知12,ββ是非齐次线性方程组AX b =的两个不同的解，12,αα是导出组0AX =的基础解系，12,k k 为任意常数，则AX b =的通解是（） (A) 1211212()2k k ββααα-+++(B) 1211212()2k k ββααα++-+(C) 1211212()2k k ββαββ-+++ (D) 1211212()2k k ββαββ++-+5．设A 为m n ⨯矩阵，则下列结论正确的是（D ）(A) 若0AX =仅有零解，则AX b =有唯一解 (B) 若0AX =有非零解，则AX b =有无穷多解 (C) 若AX b =有无穷多解，则0AX =仅有零解 (D) 若AX b =有无穷多解，则0AX =有非零解 6．线性方程组123123123123047101x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ （）(A) 无解 (B) 有唯一解 (C) 有无穷多解 (D) 其导出组只有零解二、判断题1．若,αβ是线性方程组Ax b =的两个解向量，则αβ-是方程组0Ax =的解。

2012年7月线性代数(经管类)考前练习题及答案(试卷+答案)

全国2012年7月高等教育自学考试考前练习题线性代数（经管类）试题（课程代码：04184）1. 设A 为3阶方阵，且3131-=A ,则=A（） A. -9 B. -3 C. -1D. 92. 设A 是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A 等价的矩阵是（） A. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000 B. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0011D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10113. 设A ，B 是同阶正交矩阵，则下列命题错误．．的是（） A. 1-A 也是正交矩阵 B. *A 也是正交矩阵 C. AB 也是正交矩阵 D. B A +也是正交矩阵 4. 设n 阶方阵A 满足02=A ，则必有（）A. E A +不可逆B. E A -可逆C. A 可逆D. 0=A 5. 设有m 维向量组(I)：n a a a ,,,21 ，则( ) A. 当n m <时，(I)一定线性相关 B. 当n m >时，(I)一定线性相关 C. 当n m <时，(I)一定线性无关 D. 当n m >时，(I)一定线性无关6. 若向量组（Ⅰ）：r ,,,ααα 21可由向量组（Ⅱ）：s ,βββ,, 21线性表示，则必有（）A. 秩（Ⅰ）≤秩（Ⅱ）B. 秩（Ⅰ）>秩（Ⅱ）C. r ≤sD. r>s7. 设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B=C T AC. 则（） A. A 与B 相似 B. A 与B 不等价 C. A 与B 有相同的特征值 D. A 与B 合同8. 设n 阶可逆矩阵A 有一个特征值为2，对应的特征向量为x ，则下列等式中不正确的是( )A. xAx2= B. xx A==-211C. x x A 21=-D. x x A 42= 9. 设A 是n 阶正定矩阵，则二次型x T (-A)x （）A. 是不定的B. 当n 为奇数时是正定的C. 当n 为偶数时是正定的D. 是负定的 10. 下列矩阵中是正定矩阵的为（） A. 2334⎛⎝⎫⎭⎪ B. 3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ D.11112012⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

自学考试线性代数2012至2015真题和答案

9．设向量，则 =__________．
10．设A= ，b= ，若非齐次线性方程组Ax=b有解，则增广矩阵的行列式 =__________．
11．齐次线性方程组x1+x2+x3=0的基础解系中所含解向量的个数为__________．
12．设向量，则的长度 =__________．
13．已知-2是矩阵A= 的特征值，则数x=__________．
19．求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出.
20．已知齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系为，求r(A)及该齐次线性方程组.
21．设向量组 .求一个非零向量，使得与均正交.
22．用配方法化二次型为标准形，并写出所用的可逆性变换.
A． B．
C． D．
10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（）
A．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵B．正定矩阵的行列式一定小于零
C．正定矩阵的行列式一定大于零D．正定矩阵的差一定是正定矩阵
二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
11．设det (A)=-1，det (B)=2，且A，B为同阶方阵，则det ((AB)3)=__________．
16．非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是__________．
17．设是齐次线性方程组Ax=0的解，而是非齐次线性方程组Ax=b的解，则 =__________．
18．设方阵A有一个特征值为8，则det（-8E+A）=__________．
19．设P为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则||Px||=__________．

''线性代数B 2011-2012学年第二学期期末考试A卷及答案

上海海洋大学试卷诚信考试承诺书本人郑重承诺：我已阅读且透彻理解了“上海海洋大学学生考场规则”和“上海海洋大学学生违反校纪校规处理规定”，承诺在考试中自觉遵守，如有违反，按有关条款接受处理。

承诺人签名：日期：考生姓名：学号：专业班名：一、选择题（每题4分，共20分）1．矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1001110001100011的元素12a 的代数余子式值为（）.A. 1B. 1-C. 2D. 2-2．已知3阶矩阵A 的行列式为1，则A 2的行列式为（）.A. 2B. 3C. 4D. 8 3．设n 阶方阵A 不可逆，则必有（）.A. A 的秩小于nB. A 的秩等于1n -C. 0A =D. 线性方程组0=Ax 只有零解4．已知34⨯阶矩阵A 的列向量组线性无关，则T A 的秩为（）.A. 1B. 2C. 3D. 45. 设Ax=b 是一非齐次线性方程组，12,ηη是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A. 12ηη-是Ax=0的一个解 B.121122ηη+是Ax=b 的一个解 C. 12ηη+是Ax=0的一个解D. 122ηη-是Ax=b 的一个解二、填空题（每题4分，共20分）1．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3211A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111B ，则AB = . 2．已知向量组)3,1,2(1-=α，)6,,4(2-=k α线性相关，则=k .3．设3阶矩阵A 的秩为2，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101020001P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001010100Q ，则PAQ 的秩为 . 4．设3151A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则A 的特征值为 .5．设3阶可逆方阵A 与它的伴随矩阵*A 相等，则=A . 三、计算题（共54分）1. （8分）计算行列式1234112331101205---，并求1121314122A A A A +-+。

2．（8分）已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1101A ，求n A .3．（8分）已知100025013A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求1-A .4．（10分）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101020101A ，且X A AX +=，求X .5．（10分）求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡422222323101的秩及其列向量组的一个极大无关组，并将不属于这个极大无关组的列向量用极大无关组线性表示.6．（10分）求线性方程组12341234123423222547x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩的通解.四、证明题（6分）证明：若方阵A 的行列式0 A ，则A 可逆.课程考试标准答案和评分标准一、选择题（每题4分，共20分） 1. B 2. D 3. A 4. C 5. C 二、填空题（每题4分，共20分）1． 2255-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦. 2． 2- .3． 2 . 4． 122,4λλ=-= . 5． 1 三、计算题（共54分）1. （8分）计算行列式1234112331101205---，并求1121314122A A A A +-+。

2012-2013(下)派斯学院线性代数试卷(A)

(A) 的秩小于；（B）；
（C）的特征值都等于零；（D）的特征值都不等于零；
5.设矩阵A的秩为r，则A中（）．
(A)所有r-1阶子式都不为0(B)所有r-1阶子式全为0
(C)至少有一个r阶子式不等于0(D)所有r阶子式都不为0
6. 维向量组（3sn）线性无关的充要条件是（）．
(A) 中任意两个向量都线性无关
四：证明（共6分）
证明：
∴ ，∴ ．
3、若齐次线性方程组有非零解，则．
4、已知矩阵，满足，则与分别是阶矩阵．
5．矩阵的行向量组线性．（填相关或无关）
6．阶方阵满足，则．
7、设若则．
8、设A=(aij)3×3，|A|=2，表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=．
2012—2013学年第二学期线性代数A
参考答案及评分细则
一：填空（每空2分，共22分）
1：4、2：、3：7、4. 5. 相关
6. 7：2 8、4、9、 10、 11、1
二：选择题（每小题2分，共18分）
1：C2：B3:D4：A5：C6:Ｃ7、D 8、A 9、B
三：计算题（每题9分，共54分）
1、解: ------9分
4、设A为3×3矩阵, .（第1问4分，第2问5分）
(1)把A按列分块为，其中是A的第j列，求．
（2）求行列式的值．
5、当实数a，b取何值时，方程组
无解？有唯一解？有无穷多解？当方程组有无穷多解时，求其一般解．

（精选）线性代数课后作业及参考答案

（精选）线性代数课后作业及参考答案《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003，则A-1等于（）A.130012001B.100120013C. 1 3 00 010 00 1 2D. 1 2 00 10013.设矩阵A=312101214---，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解2η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<n< bdsfid="226" p=""></n<>B.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。

自考04184线性代数(经管类)历年真题试题2012年4月-2011年1月

全国2012年4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184说明：在本卷中,A T表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，r (A)表示矩阵A 的秩. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2,则111213212223313233232323a a a a a a a a a ------=( )A.-12B.-6C.6D.122.设矩阵A =120120003⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则A *中位于第1行第2列的元素是()A.-6B.-3C.3D.63.设A 为3阶矩阵，且|A |=3，则1()A --=( )A.-3B.13-C.13D.34.已知4⨯3矩阵A 的列向量组线性无关，则A T 的秩等于( ) A.1B.2C.3D.45.设A 为3阶矩阵,P =100210001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则用P 左乘A ，相当于将A ( )A.第1行的2倍加到第2行B.第1列的2倍加到第2列C.第2行的2倍加到第1行D.第2列的2倍加到第1列 6.齐次线性方程组123234230+= 0x x x x x x ++=⎧⎨--⎩的基础解系所含解向量的个数为( )A.1B.2C.3D.47.设4阶矩阵A 的秩为3，12ηη，为非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，c 为任意常数，则该方程组的通解为( ) A.1212cηηη-+ B.1212c ηηη-+ C.1212cηηη++ D.1212c ηηη++8.设A 是n 阶方阵，且|5A +3E |=0，则A 必有一个特征值为( ) A.53-B.35-C.35D.539.若矩阵A 与对角矩阵D =100010001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭相似，则A 3=( )A.EB.DC.AD.-E10.二次型f 123(,,)x x x =22212332x x x +-是( ) A.正定的B.负定的C.半正定的D.不定的二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

2012年7月线性代数考前练习题及答案(试卷)

全国2012年7月高等教育自学考试考前练习题线性代数试题（课程代码：02198）说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵，T a 表示向量a 的转置，E 表示单位矩阵，)det(A 表示方阵A 的行列式A -1表示矩阵A 的逆矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，A 表示方阵A 的行列式，R(A )表示矩阵A 的秩,a 表示a 的长度。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1. 对任意n 阶方阵A 、B 总有( )A. BA AB =B. BA AB =C. T T T B A AB =)(D. 222)(B A AB = 2. 设矩阵A=100020003⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，则A -1等于（）A. 13000120001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B. 10001200013⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C. 130********⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D. 12000130001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3. 设A ，B 是同阶正交矩阵，则下列命题错误．．的是（） A. 1-A 也是正交矩阵 B. *A 也是正交矩阵 C. AB 也是正交矩阵 D. B A +也是正交矩阵4. 设n 阶方阵A 满足02=A ，则必有（）A. E A +不可逆B. E A -可逆C. A 可逆D. 0=A 5. 设有m 维向量组(I)：n a a a ,,,21 ，则 ( ) A. 当n m <时，(I)一定线性相关 B. 当n m >时，(I)一定线性相关 C. 当n m <时，(I)一定线性无关 D. 当n m >时，(I)一定线性无关6. 若向量组（Ⅰ）：r ,,,ααα 21可由向量组（Ⅱ）：s ,βββ,, 21线性表示，则必有（）A. 秩（Ⅰ）≤秩（Ⅱ） B. 秩（Ⅰ）>秩（Ⅱ） C. r ≤s D. r>s7. 设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B=C T AC. 则（） A. A 与B 相似 B. A 与B 不等价 C. A 与B 有相同的特征值 D. A 与B 合同8. 设n 阶可逆矩阵A 有一个特征值为2，对应的特征向量为x ，则下列等式中不正确的是( )A. x Ax 2=B. x x A ==-211 C. x x A 21=- D. x x A 42= 9. 设A 是n 阶正定矩阵，则二次型x T (-A)x （）A. 是不定的B. 当n 为奇数时是正定的C. 当n 为偶数时是正定的D. 是负定的 10. 下列矩阵中是正定矩阵的为（） A. 2334⎛⎝⎫⎭⎪ B. 3426⎛⎝⎫⎭⎪C. 100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪D. 111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

线性代数习题(2012-2013-1)修订

第一章行列式更多线性代数答案请登陆“黄玉成sky ”：一、温习巩固。

1. 132213321；2. 492357816；3. 00a bac b c ---；4.2111121111211112；5.321103221033210；6.1234214334124321；；7.111110110110111；8. 2704232112131412-；9.152321353140422-----；10.dcb a 10110011001---；11. yy x x-+-+1111111111111111；12. 2341134710x x x x x x x x x ---+-----；13. 请指明每下列行列式计算中每一步所依据的行列式的性质.1)2)1112111211111212212221222122222121223)4)1112112221122221000000000000.a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+=+++=+=-；二、练习提高1.求证:00000000a bc d a b c dy x y x w z w z=.；2.用行列式性质证明1211212212121111nnn nn na a aa b a aa ab a bb ba a a b++=+LLL LM M M O ML；3.用行列式性质证明a b c da e f gD b e h ic f h jd g i j-==---------.；4.今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗。

羊主曰：“我羊食半马”。

马主曰：“我马食半牛”。

今欲衰偿之，问各出几何？5. 问λ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？三、思考与深化1. 证明对于任何实数123,,λλλ及三阶行列式总有111123222333a b ca b ca b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c λλλλλλλλλλλλ''''''''''''''''''++=++''''''''''''''''''''''''''''''''''''2. 小张同学说，二阶行列式都为零，理由如下：21211200r r r r r r a b a c b d a c b d c dc ad b-------===--哪里出了问题？第二章矩阵一、温习巩固 1．设112302A -⎛⎫=⎪⎝⎭，430211B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，121051C --⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求（1）23A B C -+；（2）32A B -；（3）TB C ；（4）若有2A X B +=，求X 。

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