14届希望杯数学邀请赛培训题初二
历届希望杯初二试题及答案
历届希望杯初二试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数不是质数？- A. 2- B. 3- C. 4- D. 5答案：C2. 如果一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是多少？- A. 5- B. 6- C. 7- D. 8答案：A3. 一个数的平方根是4，这个数是多少？- A. 16- B. 8- C. 4- D. 2答案：A4. 一个圆的半径是5厘米，那么它的面积是多少平方厘米？- A. 25π- B. 50π- C. 100π- D. 200π答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 一个数的立方根是2，这个数是______。
答案：82. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可能是______或______。
答案：5，-53. 一个数的倒数是1/4，这个数是______。
答案：44. 一个圆的直径是10厘米，那么它的半径是______厘米。
答案：55. 一个直角三角形的两个锐角的度数之和是______度。
答案：90三、解答题（每题10分，共30分）1. 一个长方形的长是宽的两倍，如果长是10厘米，求这个长方形的面积。
答案：首先，我们知道长方形的宽是长的一半，即5厘米。
长方形的面积是长乘以宽，所以面积是10厘米乘以5厘米，等于50平方厘米。
2. 一个数列的前三项是2，4，8。
如果这个数列是一个等比数列，求第四项。
答案：等比数列的每一项都是前一项的固定倍数。
这里，每一项都是前一项的2倍。
所以，第四项是8乘以2，等于16。
3. 一个水池的容积是100立方米，如果每小时流入水池的水是5立方米，求需要多少小时才能填满水池。
答案：要填满100立方米的水池，每小时流入5立方米，需要的时间是100除以5，等于20小时。
结束语希望杯数学竞赛不仅考查学生的数学知识，更注重考查学生的逻辑思维和解决问题的能力。
通过这样的竞赛，学生能够更好地理解数学知识，提高自己的数学素养。
2003年希望杯第14届及答案
2003年希望杯第14届及答案2003年第十四届“希望杯” (初二笫2试)一、选择题:(50分)1.y-2x+1是4xy-4x 2-y 2-k 的一个因式,则k 的值是( ) (A)0; (B)-1;(C)1; (D)42.不等式0≤ax+5≤4的整数解是1、2、3、4,则a 的取值范围是( ) (A)a ≤-54; (B)a<-1;(C)-54≤a<-1;(D)a ≥-543.整数x 、y 满足不等式x 2+y 2+1≤2x+2y,则x+y 的值有( ) (A)1个; (B)2个; (C)3个; (D)4个4.如图1,在矩形ABCD 中,AE,AF 三等分∠BAD,若BE=2,CF=1,则最接近矩形面积的是( )(A)13; (B)14; (C)15; (D)16CBAFE D图1CB AGFED 图25.如图2,Rt ΔABC 中,∠C=900,∠DAF=13∠DAB,∠EBG=13∠EBA,则射线AF 与BG( )(A)平行;(B)延长后相交;(C)反向延长后相交;(D)可能平行也可能相交 6.If the radius(半径) of circle Ⅲ in the figure3(图3) is 34of the radius of circle Ⅱ,and the radius of circle Ⅱ is 45of the radius of circle Ⅰ,then the area of the shaded region iswhat part of the area of circle Ⅰ?( ) (A)725; (B)920;(C)35;(D)1625 7.凸n 边形(n ≥4)中,不算两个最大的内角,其余内角的和为1100,则n 等于( ) (A)12; (B)11; (C)10或9; (D)108.将长为12的线段截成长为整数的三段,使它们成为一个三角形的三边,则构成的三角形( )ⅢⅡⅠⅡⅢ图319.如图6,ΔABC 中,AC=BC=5,∠ACB=800,O 为ΔABC 中一点,∠OAB=100,∠OBA=300,则线段AO 的长是_______.20.已知x 、y 、z 均为正整数,且7x+2y-5z 是11的倍数,那么3x+4y+12z 除以11,得到的余数是_____.三、解答题:(要求写出推算过程,21题20分,22,23题各15分)21.有一批影碟机(VCD)原售价:800元/台.甲商场用如下办法促销:购买台数 1~5台 6~10台 11~15台 16~20台 20台以上 每台价格 760元 720元 680元640元600元乙商场用如下办法促销:每次购买1~8台,每台打九折;每次购买9~16台,每台打八五折;每次购买17~24台,每台打八折;每次购买24台以上,每台打七五折.(1)请仿照甲商场的促销列表,列出到乙商场购买VCD 的购买台数与每台价格的对照表.(2)现在有A 、B 、C 三个单位,A 单位要买10台VCD,B 单位要买16台VCD,C 单位要买20台VCD,问他们到哪家商场购买花费较少?O CBA 图622.如图7,在锐角ΔABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA边上的三等分点,P、Q、R 分别是ΔADF、ΔBDE、ΔCEF的三余中线的交点.(1)求ΔDEF与ΔABC的面积比;(2)求ΔPDF与ΔADF 的面积比;(3)求多边形PDQERF与ΔABC 的面积比.Q RD BAPF 图723.两条直线上各有n个点,用这n对点按如下规则连结线段:①同直线上的点不连结;②连结的任意两条线段可以有共同的端点,但不得有其它的端点;(1)画图说明当n=1、2、3时,连结的线段最多各有多少条?(2)由(1)猜想n(n为正整数)对点之间连结的线段最多有多少条,证明你的结论.(3)当n=2003时,所连结的线段最多有多少条?参考答案:一.BCCCA,ADDDC.二.11.29;12.28;13.52;14.8;15.12;16.40或90;17.等腰三角形;18.480;19.5;20.0.三.21.(1)乙商场的促销办法列表如下: (2)比较两商场的促销办法可知:购买台数1~5台6~8台9~10台11~15台16台17~19台20~24台24台以上选择商场乙甲,乙乙甲,乙甲甲,乙甲甲,乙购买台数1~8台9~16台17~24台24台以上每台价格720元680元640元600元因为到甲商场买21台VCD 时共需 600×21=12600元,而到乙商场买20台VCD 时共需640×20=12800元, 12800>12600,所以购买20台VCD 时应去甲商场购买.所以甲单位应到乙商场购买,B 单位应到甲商场购买,C 单位应到甲商场购买. 22.(1)如图1,过点D 作DG ⊥BC 于G,过点A 作AH ⊥BC 于H,则DG ∥AH,所以ΔBDG ∽ΔBAH,又13BD BA ,BE=23BC,所以DG=13AH,S ΔBDE =29S ΔABC ,同理S ΔADF =S ΔCEF =29S ΔABC所以S ΔDEF =S ΔABC -S ΔADF -S ΔCEF =13S ΔABC.(2)分别延长DP,FP 交AF,AD 于M,N,因为点P 是ΔADF 的三条中线的交点, 所以M,N 分别是AF,AD 的中点,且DP=23DM,过点P,M 分别作DF 的垂线,垂足分别为K,S,则ΔDKP ∽ΔDSM,相似比为2∶3,所以KP=23SM,S ΔPDF =23S ΔMDF , 又S ΔMDF =12S ΔADF ,得 S ΔPDF =13S ΔADF . (3)由(2)知,S ΔQDE =13S ΔBDE ,S ΔREF =13S ΔCEF , 所以S ΔPDF =S ΔQDE =S ΔREF =127S ΔABC . KQRDCBAGP NM F图1所以SPDQERF =SΔDEF+SΔPDF+SΔQDE+SΔREF=59SΔABC.23.(1)由图2可以看出,n=1时,最多可以连结1条线段,n=2时,最多可以连结3条线段,n=3时,最多可以连结5条线段.(2)猜想:对于正整数n,这n对点之间连结的直线段最多有2n-1条.n=3n=2n=1图2n+1B i+1iAnl2l图3证明: 将直线标记为l1,l2,它们上面的点从左到右排列为A1,A2A3,┉,An和B1,B2,B3,┉,Bn ,设这n对点之间连结的直线段最多有Pn条,显然,其中必有AnBn这一条,否则,Pn就不是最多的数.当在l1,l2分别加上笫n+1个点时,不妨设这两个点在An与Bn的右侧,那么除了原来已经有的Pn 条直线段外,还可以连结An+1Bn,An+1Bn+1这两条线段,或连结An Bn+1,An+1Bn+1,这两条线段.所以Pn+1≥Pn+2.另一方面,设对于n+1对点有另一种连法:考虑图3中以An+1为端点的线段,若以An+1为端点的线段的条数大于1,则一定可以找到一个i≤n,使得对于任意的j<i,An+1Bj都不在所画的线段中,这时,Bi+1,Bi+2,┉,Bn+1只能与An+1连结,不妨设An+1Bi+1,An+1Bi+2,┉,An+1Bn+1都已连结,此时图中的线段数为Pn+1,我们做如下操作:去掉An+1Bi,连结AnBi+1,得到新的连结图,而新的连结图满足要求且线段总数不变,将此操作一直续断下去,直到与An+1连结的线段只有一条An+1Bn+1为止.最后图中,与点Bn+1相关的线段只剩两条,即AnBn+1,An+1Bn+1,去掉这两条线段,则剩余Pn+2-2条线段,而图形恰是n对点的连结图,所以Pn+1-2≤Pn.由此,我们得到Pn+1=Pn+2,而P1=1,P2=3,所以Pn=1+2×(n-1)=2n-1.(3)当n=2003时,P2003=4005(条).。
数学初二希望杯试题及答案
数学初二希望杯试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.14159B. πC. 0.33333…D. √22. 如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，且满足a^2 + b^2 = c^2，这个三角形是什么类型的三角形？A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形3. 一个数的平方根是4，这个数是多少？A. 16B. 8C. -16D. 44. 以下哪个表达式的结果不是正数？A. -1 + 2B. √4C. -√4D. (-2)^25. 一个圆的半径是5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π6. 一个数的倒数是1/3，这个数是多少？A. 3B. 1/3C. 1/9D. 97. 如果一个角的余角是30°，那么这个角是多少度？A. 60°B. 45°C. 30°D. 15°8. 一个正方体的棱长是3，那么它的体积是多少？A. 27B. 9C. 3D. 19. 一个数的绝对值是5，这个数可能是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 010. 以下哪个是二次根式？A. √3B. √(-1)C. √(2x)D. √(2x+1)二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个数的立方根是2，这个数是______。
12. 如果一个数的相反数是-5，那么这个数是______。
13. 一个数的绝对值是10，这个数可能是______或______。
14. 如果一个角的补角是120°，那么这个角是______。
15. 一个数的平方是25，这个数是______或______。
16. 一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，斜边的长度是______。
17. 一个数的平方根是±3，这个数是______。
18. 一个数的倒数是1/4，这个数是______。
19. 一个圆的直径是10，那么它的半径是______。
2014年“希望杯”全国数学邀请赛赛前模拟试卷(1)
考点：
整数、分数、小数、百分数四则混合运算．
专题：
运算顺序及法则．
分析：
先算小括号里面的乘法和除法，再算小括号里面的减法，再算中括号里面的减法，最后算括号外面的除法．
解答：
解：25.5%÷[3﹣（5.55×1 ﹣2 ÷0.4）]
=25.5%÷[3﹣（7.4﹣5.25）]
6．（1+0.12+0.23）×（0.12+0.23+0.34）﹣（1+0.12+0.23+0.34）×（0.12+0.23）=_________．
7． ．
8．20.07×39+200.7×4.1+40×10.035．
9． ．
10．3.625+0. ﹣1 ．
11．计算： ×5.4=_________．
=20.07×39+20.07×41+20×20.07，
=20.07+（39+41+20），
=20.07×100，
=2007；
点评：
此题考查的目的是理解掌握乘法分配律的意义，并且能够灵活运用乘法分配律进行简便计算．
9． ．
考点：
分数的巧算．
专题：
计算问题（巧算速算）．
分析：
通过观察，此题数字很有特点，可把原式变为： ，分子、分母可运用乘法分配律计算．
通过观察发现这个算式较长，数据较多，但括号中有重复的数据，因此可设0.12+0.23=x，0.12+0.23+0.34=y，算式就简化为：（1+x）y﹣（1+y）x由此将算式整理计算即可．
“希望杯”数学邀请赛培训题1
“希望杯”数学邀请赛培训题1一．选择题（以下每题的四个选择支中，仅有一个是正确的）1．－7的绝对值是（ ）（A ）－7 （B ）7 （C ）－71 （D ）71 2．1999－{1998－[1999－(1998－1999)]}的值等于（ ）（A ）－2001 （B ）1997 （C ）2001 （D ）19993．下面有4个命题：①存在并且只存在一个正整数和它的相反数相同．②存在并且只存在一个有理数和它的相反数相同．③存在并且只存在一个正整数和它的倒数相同．④存在并且只存在一个有理数和它的倒数相同．其中正确的命题是：（ ）（A ）①和② （B ）②和③ （C ）③和④ （D ）④和①4．4ab 2c 3的同类项是（ ）（A ）4bc 2a 2 （B ）4ca 2b 3 （C ）41ac 3b 2 （D ）41ac 2b 3 5．某工厂七月份生产某产品的产量比六月份减少了20％，若八月份产品要达到六月份的产量，则八月份的产量比七月份要增加（ ）（A ）20％ （B ）25％ （C ）80％ （D ）75％6．21，116，158，2413四个数中，与137的差的绝对值最小的数是 （ ） （A ）21 （B ）116 （C ）158 （D ）2413 7．如果x ＝―41，Y ＝0.5，那么X 3―Y 3―2X 的值是（ ）（A ）0 （B ）1613 （C ）165 （D ）―165 8．ax ＋b ＝0和mx ＋n ＝0关于未知数x 的同解方程，则有 （ ）（A ）a 2＋m 2＞0 （B ）m b ≥an （C ）mb ≤an （D ）mb ＝an9．(－1)＋(－1)－(－1)×(－1)÷(－1)的结果是（ ）（A ）－1 （B ）1 （C ）0 （D ）210．下列运算中，错误的是（ ）（A ）2X 2＋3X 2＝5X 2（B ）2X 2－3X 2＝－1（C ）2X 2·3X 2＝6X 4 （D ）2X 4÷4X 3＝2X 11．已知a ＜0，化简aa a －，得（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）－2 12．计算(－1)2000＋(－1)1999÷｜－1｜的结果是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）213．下列式子中，正确的是（ ）（A ）a 2·a 3＝a 6 （B ）(x 3)3＝x 6 （C ）33＝9 （D ）3b ·3c ＝9bc14．－｜－3｜的相反数的负倒数是（ ）（A ）－31 （B ）31 （C ）－3 （D ）3 15．十月一日亲朋聚会，小明统计大家的平均年龄恰是38岁，老爷爷说，两年前的十月一日也是这些人相聚，那么两年前相聚时大家的平均年龄是（ ）（A ）38岁 （B ）37岁 （C ）36岁 （D ）35岁16．若a ＜0，则4a ＋7｜a ｜等于（ ）（A ）11a （B ）－11a （C ）－3a （D ）3a17．若有理数x ，y 满足｜2x －1｜＋(y ＋2)2＝0，则xy 的值等于 （ ）（A ）－1 （B ）1 （C ）－2 （D ）218．有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下面式子中正确的是 （ ）（A ）c ＋b ＞a ＋b （C ）ac ＞ab （B ）cb ＜ab （D ）cb ＞ab 19．不等式1254－x ＜1的正整数解有（ ）（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 20．某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且完成该任务后才能执行下一项任务，现有U ，V ，W 的时间分别为10秒，2分和15分，一项任务的相对等待时间为提交任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比，则下面四种执行顺序中使三项任务相对等候时间之和最小的执行是 （ ）（A ）U ，V ，W （B ）V ，W ，U （C ）W ，U ，V （D ）U ，W ，V22．第一届希望杯的参赛人数是11万，第十届为148万，则第届参赛人数的平均增长率最接近的数值是 （ ）（A ）21.8% （B ）33.5% （C ）45% （D ）50%23．已知X 和Y 满足3X ＋4Y ＝2，X －Y ＜1，则（ ）（A ）X ＝76（B ）Y ＝－71 （C ）X ＞76 （D ）Y ＞－71 24．下面的四句话中正确的是 （ ）（A ）正整数a 和b 的最大公约数大于等于a （B ）正整数a 和b 的最小公倍数大于等于ab（C ）正整数a 和b 的最大公约数小于等于a （D ）正整数a 和b 的公倍数大于等于ab25．已知a ≤2，b ≥－3，c ≤5，且a －b ＋c ＝10，则a ＋b ＋c 的值等于（ ）（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）4二、填空题26．53的相反数除－6的绝对值所得的结果是_________． 27．用科学记数法表示：890000＝_____________．c b a x28．用四舍五入法，把1999.509取近似值（精确到个位），得到的近似数是________．29．已知两个有理数－12.43和－12.45．那么，其中的大数减小数所得的差是________．30．已知1999a m b 3与－11a 2b n 是同类项，则－m n ＝________．31．｜－41｜的负倒数与－｜4｜的倒数之和等于________． 32．近似数0.1990的有效数字是________．33．甲、乙、丙、丁四个数之和等于－90，甲数减－4，乙数加－4，丙数乘－4，丁数除－4彼比相等，则四个数中的最大的一个数比最小的一个数大________．34．已知式子－421241________． 35．(4212－＋1137÷11324－83)÷1251＝_________． 36．已知角a 的补角等于角a 的3.5倍，则角a 等于________度．37．已知方程(1.9x －1.1)－(21－x )＝0.9(3x －1)＋0.1，则解得x 的值是________． 38．甲楼比丙楼高24.5米，乙楼比丙楼高15.6米，则乙楼比甲楼低_____米．39．如图，四个小三角形中所填四个数之和等于零，则这四个数绝对值之和等于________． 40．关于x 的方程3mx ＋7＝0和2x ＋3n ＝0是同解方程，那么(mn )2＝_______．41．方程组⎩⎨⎧2000219992＝－＝－y x y x 的解是____________________． 42．小明骑车自甲地经乙地，先上坡后下坡，到达乙地后立即返回甲地，共用34分钟，已知上坡速度是400米／分，下坡速度是450米／分，则甲地到乙地的路程是________米．43．父亲比小明大24岁，并且1998年的年龄是小明2000年年龄的3倍，则小明1999年时的年龄是________岁．44．已知19991a 3n －m b n －m 和9999b 7－n a m ＋10是同类项，则m 2＋n 2＝_________． 45．(5x －7)∶(3y ＋2)＝1∶2，并且(y －3)∶(4x －1)＝1∶3．则x 2－y 2＝__________．46．m ，n ，l 都是二位的正整楼，已知它们的最小公倍数是385，则m ＋n ＋l 的最大值是________．47．甲瓶食盐水浓度为8％，乙瓶食盐水浓度为12％，两瓶食盐水共重1000克，把甲、乙两瓶食盐后的浓度是10.08％，则甲瓶食盐水重____________克．48．如图所示的五角星形中共可数出________个三角形．49．已知a ＝1999，则｜3a 3－2a 2＋4a －1｜－｜3a 3－3a 2＋3a +－2001｜＝__________．50．已知数串1，1，2，3，5，8，13，……，从第3个数起每个数都等于它前面相邻的两个数之和，那么，数串中第1999个数被3除所得的余数是________．51．将一个长为a ，宽为b 的矩形分为六个相同的小矩形，然后在矩形中画出形如字母M 的图形，记字母M 的图形面积为S ，则S ＝________．52．有理数－3，＋8，－21，0.1，0，31，－10.5，－0.4中，所有正数的和填在下式的〇中，所有负数的和填在正式下式的□中，并计算出下式的结果填在等号左边的横线上．〇÷□＝________．53．填数计算：〇中填入最小的自然数，△中填入最小的非负数，□中填入不小于－5且小于3的整数的个数，将下式的计算结果写在等号右边的横线上．(〇＋□)×△＝________． 54．从集合{－3，－2，－1，4，5}中取出三个不同的数，可能得到的最大乘积填在□中，可－能得到的最小乘积填在〇中并将下式计算的结果写在等号右边的横线上．－(－□)÷〇＝________．55．计算：)4151()3141()2131(1|4151||3141||2131|1－－－－－－－－－－－－＝________． 56．有这样一个衡量体重是否正常的简单算法．一个男生的标准体重（以公斤为单位）是其身高（以厘米为单位）减去110．正常体重在标准体重减标准体重的10％和加标准体重的10之间．已知甲同学身高161厘米，体重为W ，如果他的体重正常，则W 的公斤数的取值范围是_________．57．若A 是有理数，则(－a )＋｜a ｜＋｜－a ｜＋(－｜a ｜)的最小值是____________． 58．计算：)100011)(99911()511)(411)(311)(211(10201970198019902000－－－－－－－＋＋－＋－ ＝________． 59．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简｜a ＋b ｜－｜b －1｜－｜a －c ｜－｜1－c ｜＝___________．60．X 是有理数，则｜x －221100｜＋｜x ＋22195｜的最小值是_____． x 2.4 －1 －5.761．如图，C 是线段AB 的中点，D 是线段AC 的中点，已知图中所有线段的长度之和为23，则线段AC 的长度为_____．62．设m 和n 为非负整数，已知5m ＋3和3n ＋1的最小公倍数为36，m ＋n ＝________．63．甲、乙同在一百米起跑线处，甲留在原地未动，乙则以每秒7米的速度跑向百米终点，5秒后甲听到乙的叫声，看到乙跌倒在地，已知声音的传播速度是每秒340米，这时乙已经跑了_____米．（精确到个位）64．现有一个代数式x (x －1)(x －2)(x －3)…(x －19)(x －20)，x ＝10.5时该数式的值为a ，x ＝9.5时该代数式的值为b ，则a＋b ＝_______．65．如图，一个面积为50平方厘米的正方形与另一个小正方形并排放在一下起，则△ABC 的面积是________平方厘米． 66．在六位数25xy 52中x ，y 皆是大于7的数码，这个六位数被11整除，那么，四位数1xy 5＝_________．67．今有1分，2分和5分的硬币共计15枚，共值5角2分，则三种硬币个数的乘积是____________． 68．数学小组中男孩子数大于小组总人数的40％小于50％，则这个数学小组的成员至少有_________人．69．用三个数码1和三个数码2可以组成________个不同的四位数．70．在三位数中，百位比十位小，并且十位比个位小的数共有________个．71．在100～1999这一千九百个自然数中，十位与个位数字相同的共有________个．72．有人问毕达哥拉斯，他的学校中有多少学生，他回答说：“一半学生学数学，四分之一学音乐，七分之一正休息，还剩三个女学生．”问毕达哥拉斯的学校中有多少学生？答：毕达哥拉斯的学校中有________个学生．73．丢番图（二世纪时希腊数学家）的基碑上的墓志铭记载：“哲人丢番图，在此处埋葬，寿命相当长，六分之一是童年，十二分之一是少年，又过了生命的七分之一，娶了新娘，五年后生了个儿郎，不幸儿子只活了父亲寿命的一半，先父四年亡，丢番图到底寿多长？”答：丢番图的寿命是________岁．74．有人问某儿童，有几个兄弟、有几个姐妹，他回答说：“有几个兄弟，就有几个姐妹．”再问他妹妹，有几个兄弟、几个姐妹，她回答说：“我的兄弟是姐妹的两倍．”问他们兄弟、姐妹各几人？答：他们有兄弟________人，姐妹________人．75．甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的罗数等于我今年岁数的一半，当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”两人现年各多少岁？答：甲现年________岁，乙现年________．三、解答题76．一辆公共汽车由起点站到终点站（含起点站与终点站在内）共行驶8个车站．已知前6个车站共上车100人，除终点站外共下车总计80人，问从前6站上车而在终点下车的乘客共有多少人？77．已知代数式dcx b ax ＋＋2，当x ＝－1，0，1时的值分别为－1，2，2，而且d 不等于0，问当x ＝2时该代数式的值是多少？78．如图，在一环行轨道上有三枚弹子同时沿逆时针方向运动．已知甲于第10秒钟时追上乙，在第30秒时追上丙，第60秒时甲再次追上乙，并且在第70秒时再次追上丙，问乙追上丙用了多少时间？79．有理数a ，b ，c 均不为0，且a ＋b ＋c ＝0，设x ＝||bb c a c b c b a ＋＋＋＋＋，试求代数x 19－99x ＋2000之值．80．已知a ，b 为整数，n ＝10a ＋b ，如果17｜a －5b ，请你证明：17｜n ．C A B C AD B。
第14届“希望杯”全国数学邀请赛试卷(初二1)试题和详解
6，midline for hypotenuse（斜边）is 1，then
AC•BC= _________ ． 17、如图，两点 A、B 在直线 MN 外的同侧，A 到 MN 的距离 AC=8，B 到 MN 的距离 BD=5， CD=4，P 在直线 MN 上运动，则|PA﹣PB|的最大值等于 _________ ．
18、如图，等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠DAB=60°，AC 平分∠DAB，且 AC=2 ABCD 的周长等于 _________ ．
3边形 ABCDEF、 PQRSTU， 其中点 P 位于正六边形 ABCDEF 的中心， 如果它们的面积均为 1，则阴影部分的面积是 _________ ．
1 2
）
A、90° B、100° C、110° D、120° 10、2002 年 9 月 28 日，“希望杯”组委会第二次赴俄考查团启程，途经哈巴罗夫斯克和莫斯 科，两地航程约 9000 千米，往返飞行所用的时间并不相同，这是因为在北半球的高纬度地 区，有一股终年方向恒定的西风，人们称它为“高空西风带”．已知往返飞行的时间相差 1.5 小时，飞机在无风天气的平均时速为每小时 1000 千米，那么西风速度最接近（ ） A、60 千米/小时 B、70 千米/小时 C、80 千米/小时 D、90 千米/小时 二、填空题（共 15 小题，满分 100 分） 11、设 0＜x＜1＜y＜2，则
������﹣������ ≥ 0 ������﹣������ ≥ 0
，
1 ������﹣1 1 ������﹣������ + ������﹣������ + ������﹣ ������ =0+0+ ������ =1﹣������．
故选 A． 点评：本题主要考查了二次根式的意义和性质．
2003年第14届全国希望杯数学邀请赛初二第1试试卷
第十四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试2003年3月23日 上午8：30至10：00校名____________班__________姓名____________辅导老师____________成绩____________一、选择题（每小题5分，共50分） 1．已知x 是实数，则π－x ＋x －π＋π1－x 的值是（ ）（A ）1－π1 （B ）1＋π1 （C ）π1－1 （D ）无法确定的 2．若x ＋y ＝－1，则x 4＋5x 3y ＋x 2y ＋8x 2y 2＋xy 2＋5xy 3＋y 4的值等于（ ）（A ）0（B ）－1 （C ）1 （D ）33．设［a ］表示不超过a 的最大整数，如［4.3］＝4，［－4.3］＝－5，则下列各式中正确的是（ ）（A ）［a ］＝｜a ｜ （B ）［a ］＝｜a ｜－1 （C ）［a ］＝－a（D ）［a ］＞a －14．a ，b ，c 为三角形的三边长，化简｜a ＋b ＋c ｜－｜a －b －c ｜－｜a －b ＋c ｜－｜a ＋b －c ｜，结果是（ ） （A ）0（B ）2a ＋2b ＋2c（C ）4a（D ）2b －2c5．下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（ ） （A ）两个锐角对应相等 （B ）两条边对应相等（C ）一条边与一个锐角对应相等 （D ）斜边与一个锐角对应相等6．如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠1＝30°，∠DCB ＝60°，则图中的等腰三角形有（ ） （A ）1个 （B ）2个（C ）3个 （D ）4个7．如图2，△ABC ≌△AEF ，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，则下列结论中不一定成立的是（ ）（A ）AC ＝AF （B ）∠F AB ＝∠EAB（C ）EF ＝BC（D ）∠EAB ＝∠F AC8．如图3，△ABC 中，∠C ＝90°，∠BAD ＝31∠BAE ，∠ABD ＝31∠ABF ，则∠D 的大小是（ ） （A ）105° （B ）90° （C ）75° （D ）60°9．（Figure 4）In the trapezium （梯形）ABCD ，AD ∥BC ，point E is midpoint （中点）of the AD ，pointF is midpoint of the BC ，EF ＝21(BC －AD )，the result of the ∠B ＋∠C is （ ） （A ）90°（B ）100° （C ）110° （D ）120°10．2002年9月28日，“希望杯”组委会第二次赴俄考查团启程，途经哈巴罗夫斯克和莫斯科，两地航程约9000千米，往返飞行所用的时间并不相同，这是因为在北半球的高纬度地区，有一股终年方向恒定的西风，人们称它为“高空西风带”．已知往返飞行的时间相差1.5小时，飞机在无风天气的平均时速为每小时1000千米，那么西风速度最接近．．．（ ） （A ）60千米／小时 （B ）70千米／小时 （C ）80千米／小时（D ）90千米／小时二、A 组填空题（每小题5分，共50分）图2ABCEF图3DAB CEFFigure 4ABCDEF 图111．设0＜x ＜1＜y ＜2，则444222＋－＋－＋y x xy y x ＋221x x ＋－－442＋－y y ＝__________． 12．已知a 5－a 4b －a 3＋a －b －1＝0，且2a －3b ＝1，则a 3＋b 3的值等于____________． 13．四种水果糖的价格分别是每斤6、7、9、12元．现将每斤6元和7元的糖各10斤，每斤9元和12元的糖各6斤混合为什锦糖，以四种糖的平均价格出售，这32斤糖可多收入_______元．14．某市举行中学生运动会，有7千多人参加入场式，如果他们10人站一排，将多出1人，如果分别以9人、8人、7人、6人、5人、4人、3人站成一排，都将多出1人，那么参加入场式的人数是____________．15．If polynomial （多项式）5x 3－34x 2＋94x －81 can be espressed as （表示成）a (x －2)3＋b (x －2)2＋c (x－2)＋d ，then numerical value （数值）if ad ＋bc is ____________．16．In the Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，AB ＋BC ＋CA ＝2＋6，midline for hypotenuse （斜边）is 1，then AC ·BC ＝__________．17．如图5，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC ＝8，B 到MN 的距离BD ＝5，CD ＝4，P 在直线MN 上运动，则｜P A －PB ｜的最大值等于__________．18．如图6，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，AC 平分∠DAB ，且AC ＝23，则梯形ABCD 的周长等于__________．19．如图7，两个全等的正六边形ABCDEF 、PQRSTU ，其中点P 位于正六边形ABCDEF 的中点，如果它们的面积均为1，则阴影部分的面积是__________．20．正整数A 除以3余2，除以4余1，那么A 除以12的余数是__________． 三、B 组填空题（每小题10分，共50分）21．四个数w 、x 、y 、z 满足x －2001＝y ＋2002＝z －2003＝w ＋2004，那么其中最小的数是______，最大的数是_______．22．从1开始的n 个连续整数的和等于一个各个数码都相同的两位数，则n 的值等于__________或__________．23．如图8，三个含30°角的直角三角形从小到大依次排列，彼此有一条边相等，AB ＝A'C'＝B''C''，在这三个三角形中，BC ∶B'C'∶B''C''＝3∶_______∶_______．24．若x ，y 为正整数，且x 2＋y 2＋4y －96＝0，则xy ＝________或________．25．已知612602－＋a a 是正整数，则正整数a ＝____________．图6图5 ABCDMN P 图7A/A //AB/B //B C /C //C 图8【详解】一、选择题（每小题5分，共50分）1、2、B、当a等于正整数时，[a]=a，[a]≠|a|-1，故本选项错误；C、当a等于正整数时，[a]=a，故本选项错误；D、[a]≤a且为整数，与a的差不会超过1，a-1与a的差为1，则[a]＞a-1，故本选项正确．故选D．4、解：|a+b+c|-|a-b-c|-|a-b+c|-|a+b-c|，=a+b+c+a-b-c-a+b-c-a-b+c，=0．故选A．5、解：A、可以利用边角边判定两三角形全等，故本选项正确；B、可以利用角角边判定两三角形全等，故本选项正确；C、根据斜边直角边定理判定两三角形全等，故本选项正确；D、面积相等，不能说明两三角形能够完全重合，故本选项错误．故选D．6、解：∵AD∥BC，∠ADB=30°，∴∠CBD=∠ADB=30°，∵ABCD为等腰梯形，∴∠ABC=∠DCB=60°，则∠BAD=∠ABC-∠CBD=30°，∴△ABD为等腰三角形，同理可证△ACD为等腰三角形，∵∠ABO=∠DCO=30°，∠AOB=∠DOC，AB=CD，∴△AOB≌△DOC，∴AO=DO，BO=CO，∴△AOD，△BOC也是等腰三角形．等腰三角形共4个，故选D．7、解：∵△ABC≌△AEF∴AB=AE，∠B=∠E，AC=AF，EF=BC故A，C选项正确．∵△ABC≌△AEF∴∠EAF=∠BAC∴∠EAB=∠FAC故D答案也正确．∠FAB和∠EAB找不到对应关系，故不一定相等．故选B．8、9、10、二、填空题11、12、13、解：（6+7+9+12）÷4×32-（6×10+7×10+9×6+12×6）=8.5×32-256=16元．故答案为16．14、解：假设参加总人数是x，令t=x-1，即t是10、9、8、7、6、5、4、3的整数倍，又因为10是5的倍数，8是4的倍数，9是3的倍数，所以只需求10、9、8、7、6的倍数．题目条件给出总人数有7千多人，也就是说7000＜x＜8000，即6999＜t＜7999．可以分步求能整除这几个数的最小数目．10跟9的最小倍数是90，90跟8的最小倍数是360，360跟7的最小倍数是2520，也就是说，2520是能整除10、9、8、7、6、5、4、3的最小整数．又因为t是6999到7999之间的数，所以把2520扩大倍数，使之能满足这个范围要求，2520的3倍正好满足条件，得出t=7560，x=t+1=7561．故答案为：7561．15、16、17、18、19、解：ABCDEF是正六边形，且点P位于正六边形ABCDEF的中心，PQRSTU与ABCDEF 全等，故题中阴影的面积为正六边形面积的1/ 3 ，又正六边形面积为1，故阴影的面积为1 /3 ．故答案为：1 /320、解：将这个数看成A+B，A为可以被12整除的部分，B则为除以12的余数．A可以被12整除，则也可以被3或4整除．因为这个数“除以3余2，除以4余1”，所以B也是“除以3余2，除以4余1”，又因为B是大于等于1而小于等于11，在这个区间内，只有5是符合的．故答案是：5．三、B组填空题（每小题10分，共50分）21、解：由x-2001=y+2002=z-2003=w+2004，得x-y=2001+2002=4003＞0，∴x＞y，①x-z=2001-2003=-2＜0，∴z＞x，②y-w=2004-2002=2＞0，∴y＞w，③由①②③，得z＞x＞y＞w；∴四个数w、x、y、z中最小的数是w，最大的数是z；故答案为：w、z．22、23、24、25、。
2014年希望杯初二培训题
2014年“希望杯”八年级培训题一、选择题4、已知4235a a a a a <<<<,则实数a 的取值范围是（ ）(A)O<a<1． (B)a>1．（C ）-1<a<0．(D)a<-1．(A)a 最大． (B)b 最大． (C)c 最大． (D)c 最小．9、已知a,b,c,d 都是正数，并且a 2=3，b 3=4，c 4=5，d 5=6，则a,b,c,d 中最大的是( )(A)a ． (B)b ． (C)c ． (D)d ．10、已知二次三项式x 2- mx -8（m 是整数）在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则m 的值可能是( )(A)1．(B)2． (C)3． (D)4．12、方程组⎩⎨⎧=-=-4||10|y x y x ｜的解的个数是( )(A)1． (B)2． (C)3． (D)4．13、在xy 直角坐标系中，函数｜xy ｜+｜x-y+1|=O 的图象是( )(A)三条直线x=0，y=0，x-y+l —0． (B)两条直线x=0，x-y+l —0．(C)一个点(O，O)和一条直线x-y+l=0．(D)两个点(O ，1)，(-1，O)．则p 的最大值是( )(A)16. (B)8. (C)4. (D)2.15、在xy 直角坐标系中，在y 轴上找一点P ，使P 到点A(4，3)，点B （2，-l ）的距离之和最小，则点P 的坐标是( )16、已知A(x 1，y 1)，B （x 2，y 2）是一次函数y=(2m-1)x+3的图象上的两点，当x 1<x 2时，有y 1> y 2．则m 的取值范围是( )17.当-l ≤x ≤2时，函数y=ax+6满足y ≤10，则a 的取值范围是( )(A)a ≥-4．(B)a ≤2．(C) -4≤a ≤2且a ≠0．(D) -4≤a ≤2．19.某班50名同学中，5月份出生的频率是0.14，那么这个班不是5月份出生的同学有( )(A)43名． (B)7名． (C)14名． (D)36名．21．已知质数p ，q 满足5p 2+ 3q=59，则以p+3，1-p+q ，2p+q-4为边长的三角形是( )(A)锐角三角形．(B)直角三角形．(C)钝角三角形．(D)等腰三角形．22.有下列三个命题：①五边形的内角中至少有两个钝角；②十二边形共有54条对角线；③内角和等于外角和的多边形的边数为4.其中正确命题的个数是（ ）(A)0． (B)1． (C)2． (D)3．23.在菱形ABCD 中,∠A:∠B ＝1:5，若菱形的周长是8，则高是（ ）25. The side of square ABCD is 1.ABCD rotates around point A 30°and becomes square D C B A ''''.The area of the overlapping part of the square ABCD and the square D C B A '''' is ( )27．如图，周长是34的矩形ABCD被分成7个全等的小矩形，则矩形ABCD 的面积是( )(A)280. (B)140. (C)70． (D)196．(A)5. (B)6. (C)12． (D)22．of [m] is( )(A) 2702. (B) 2701. (C) 2700.(D) 2699.二、填空题36．若两个不等实数m ，n 满足a m m =+22，a n n =+22，322=+n m ，则实数45．观察下列各式：l ×3=22-1，3×5=42-1，5×7=62-1，…49.若a,b,c 是互不相等的实数，化简53.在xy 直角坐标系中，无论k 为何值，一次函数(2k –l)x-(k+3)y 54.在xy直角坐标系中，若函数y= ax + b 和y= kx 的图象交于点P ，并且点P 关于原点的对称点p '的坐标是(-4，2）,则关于x ，y 的方程组58．图(1)是一个正三角形，分别连接这个正三角形各边上的中点得到图(2)，再连接图(2)中间的小三角形各边上的中点得到图(3)，按此方法继续下去．前三个图形中三角形的个数分别是1个，5个，9个，那图（1） 图（2） 图（3）59．已知P 是正方形ABCD 所在平面上的点，使△PAB ，△PBC ，△PCD ，（填“锐角”、“直角”或“钝角”）61．过等腰三角形一个底角顶点的直线将等腰三角形分为两个等腰三角63．如图，已知△ABC 与△CDE 都是等边三角形，E A 65．如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1．若正方形ABCD 的四个顶点分别在四条66．如图，分别以△ABC 的AB 、AC 为边在形外作正方形ABEF 、ACMN ，若△ABC 的面积S △A B C ＝6，67．如图，矩形ABCD 中,AB=8，BC ＝4，将矩形沿AC折叠，点D 落在点D '处，则重叠部分△AFC 的面积69．如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，点E ，F 分别从点B 、D 出发以③当点E 、F 分别是边是边BC ，DC 的中点时，△AEF 是等边三角形． 70．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，∠C=45°,E 是CD 的中点，AB 72．The positive real number solution for the equation set三、解答题76．若m，n是整数，且n2+3m2n2=30m2+517，求3m2n2的值．77．一个三角形可以被分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角是36°，求原三角形的最大内角的所有可能值．78．如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，点D在Array AC上，将△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBE，若AB＝４，AD：DC＝1：3，求DE的长度。
希望杯数学八年级竞赛真题及答案(1-23届)
1、第一届希望杯初二第1试试题2、第一届希望杯初二第2试试题3、第二届希望杯初二第1试试题4、第二届希望杯初二第2试试题5、第三届希望杯初二第1试试题6、第三届希望杯初二第2试试题7、第四届希望杯初二第1试试题8、第四届希望杯初二第2试试题9、第五届希望杯初二第1试试题10、第五届希望杯初二第2试试题11、第六届希望杯初二第1试试题12、第六届希望杯初二第2试试题13、第七届希望杯初二第1试试题14、第七届希望杯初二第2试试题15、第八届希望杯初二第1试试题16、第八届希望杯初二第2试试题17、第九届希望杯初二第1试试题18、第九届希望杯初二第2试试题19、第十届希望杯初二第1试试题20、第十届希望杯初二第2试试题21、第十一届希望杯初二第1试试题22、第十一届希望杯初二第2试试题23、第十二届希望杯初二第1试试题24、第十二届希望杯初二第2试试题25、第十三届希望杯初二第1试试题26、第十三届希望杯初二第2试试题27、第十四届希望杯初二第1试试题28、第十四届希望杯初二第2试试题28、第十五届希望杯初二第1试试题30、第十五届希望杯初二第2试试题31、第十六届希望杯初二第1试试题32、第十六届希望杯初二第2试试题33、第十七届希望杯初二第1试试题34、第十七届希望杯初二第2试试题35、第十八届希望杯初二第1试试题36、第十八届希望杯初二第2试试题37、第十九届希望杯初二第1试试题38、第十九届希望杯初二第2试试题39、第二十届希望杯初二第1试试题40、第二十届希望杯初二第2试试题41、第二十一届希望杯初二第1试试题42、第二十一届希望杯初二第2试试题43、第二十二届希望杯初二第1试试题44、第二十二届希望杯初二第2试试题45、第二十三届希望杯初二第1试试题46、第二十三届希望杯初二第2试试题希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 ( )A ．45°.B ．75°.C ．55°.D ．65°2．2的平方的平方根是 ( )A ．2.B ．2. C ．±2. D ．43．当x=1时，a 0x 10-a 1x 9+a 0x 8-a 1x 7-a 1x 6+a 1x 5-a 0x 4+a 1x 3-a 0x 2+a 1x 的值是( ) A ．0B ．a 0.C ．a 1D ．a 0-a 14. ΔABC,若AB=π27则下列式子成立的是( )A ．∠A ＞∠C ＞∠B;B ．∠C ＞∠B ＞∠A;C ．∠B ＞∠A ＞∠C;D ．∠C ＞∠A ＞∠B 5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( ) A ．4个B ．5个.C ．6个.D ．76．725-的立方根是[ ] （A ）12-. （B ）21-.（C ）)12(-±. （D ）12+.7．把二次根式a a 1-⋅化为最简二次根式是[ ](A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a -8．如图1在△ABC 中，AB=BC=CA ，且AD=BE=CF ，但D ，E ，F 不是AB ，BC ，CA 的中点．又AE ，BF ，CD 分别交于M ，N ，P ，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( ) A ．2组B ．3组.C ．4组D ．5组。
历年初中希望杯数学竞赛试题大全
历年初中希望杯数学竞赛试题大全][ 真诚为您服务试试题希望杯”全国数学邀请赛初二第 2 ·2009 年第20 届“次·161 ·[4-30]★ 详细简介请参考下载页]·[ 竞赛 2 试试题届“希望杯”全国数学邀请赛初一第年第·200920 次·153 ·[4-28]详细简介请参考下载页★]·[ 竞赛数学大赛初赛试卷（扫描版）届5“希望杯”年湖北省黄冈市第·2009 ·76 次·[4-17]★ 详细简介请参考下载页]·[ 竞赛试试题”全国数学邀请赛初二第1·2009 年第20 届“希望杯次·133 ·[4-7]对不起，尚无简介☆]竞赛·[ 试试题全国数学邀请赛初一第 1 届“希望杯”20 ·2009年第·122 次·[4-7]详细简介请参考下载页★]·[ 竞赛全国数学邀请赛初二训练题”第十四届“希望杯·次·44 ·[9-9]详细简介请参考下载页★]竞赛·[ 2 试试题“希望杯”全国数学邀请赛初一第19 ·2008年第届次·203 ·[9-4]详细简介请参考下载页★]·[ 竞赛 1 ”“19 ·2008 年第届希望杯全国数学邀请赛初一第试试题次·169 ·[9-4]详细简介请参考下载页★]竞赛·[ 试试题全国数学邀请赛初二第219 年第届“希望杯”·2008 次·156 ·[9-2]详细简介请参考下载页★]·[ 竞赛 1 试试题希望杯”全国数学邀请赛初二第“·2008 年第19 届·146 次·[9-2]详细简介请参考下载页★]竞赛·[ 2 试试题”届“希望杯全国数学邀请赛初二第18 ·2007年第·101 次·[9-2]详细简介请参考下载页★]竞赛·[ 1 全国数学邀请赛初二第试试题” “18 ·2007 年第届希望杯次·95 ·[9-2]详细简介请参考下载页★]竞赛·[ 试试题”全国数学邀请赛初二第2·2006 年第17 届“希望杯次·76 ·[9-2]详细简介请参考下载页★]竞赛·[ 1 试试题“希望杯”全国数学邀请赛初二第届·2006年第17 ·76 次·[9-2]详细简介请参考下载页★]竞赛·[ 试试题全国数学邀请赛初二第 2 希望杯·2005 年第16 届“”次·65 ·[9-1]详细简介请参考下载页★]·[ 竞赛 1 试试题全国数学邀请赛初二第届·2005 年第16“希望杯”次·52 ·[9-1]详细简介请参考下载页★]·[ 竞赛试试题全国数学邀请赛初二第希望杯”2·2004 年第15 届“次·47 ·[9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛·[ 试试题全国数学邀请赛初二第115 届“希望杯”年第·2004 次·38 ·[9-1]详细简介请参考下载页★]·[ 竞赛 2 试试题希望杯”全国数学邀请赛初二第届·2003 年第14 “次·30 ·[9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛·[ 1 试试题希望杯届“”全国数学邀请赛初二第年第·200314 ·26 次·[9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛·[ 2 试试题全国数学邀请赛初二第希望杯届年第·200213 “”·31 次·[9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛·[ 试试题全国数学邀请赛初二第 1 ”年第13 届“希望杯·2002 次·23 ·[9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛·[ 2 试试题“希望杯”全国数学邀请赛初二第·2001 年第12 届·17 次·[9-1]详细简介请参考下载页★]]·[ 竞赛试试题”全国数学邀请赛初二第1“·2000 年第11 届希望杯次·15 ·[9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛·[ 试试题全国数学邀请赛初二第210 届“希望杯”·1999年第次·13 ·[9-1]详细简介请参考下载页★]·[ 竞赛试试题 1 希望杯”全国数学邀请赛初二第·1999 年第10 届“次·15 ·[9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛·[ 2 试试题“希望杯”全国数学邀请赛初二第9 ·1998年第届次·11 ·[8-29]详细简介请参考下载页★]·试题[ 竞赛 1 ”“9·1998 年第届希望杯全国数学邀请赛初二第试竞赛·[ 试试题全国数学邀请赛初二第112 年第届“希望杯”·2001 ·17 次·[9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛·[ 试试题2“届希望杯”全国数学邀请赛初二第11 ·2000 年第次·15 ·[9-1]★详细简介请参考下载页次·10 ·[8-29]详细简介请参考下载页★]竞赛·[ 试试题全国数学邀请赛初二第28 年第届“希望杯”·1997 次·13 ·[8-29]详细简介请参考下载页★]·[ 竞赛 1 试试题希望杯”全国数学邀请赛初二第“·1997 年第8 届·10 次·[8-29]详细简介请参考下载页★]竞赛·[ 2 试试题”届“希望杯全国数学邀请赛初二第7·1996年第·11 次·[8-29]详细简介请参考下载页★]竞赛·[ 1 全国数学邀请赛初二第试试题” “7·1996 年第届希望杯次·10 ·[8-29]详细简介请参考下载页★]·[ 竞赛试试题”希望杯全国数学邀请赛初二第2·1995 年第6 届“次·14 ·[8-29]详细简介请参考下载页★]竞赛·[ 试试题全国数学邀请赛初二第16 届“希望杯”·1995年第次·14 ·[8-29]★详细简介请参考下载页]·[ 竞赛 2 试试题希望杯”全国数学邀请赛初二第5·1994 年第届“次·12 ·[8-29]详细简介请参考下载页★]竞赛·[ 1 试试题“届希望杯”全国数学邀请赛初二第·1994年第5 ·12 次·[8-29]（每一、选择题: 年第五届希望杯全国数学邀请赛1994 初中二年级第一试试题[] Ax 1.303 小题分，共分）使等式成立的的值是．是]·[ 竞赛试试题初二第 2 ”年第4 届“希望杯全国数学邀请赛·1993 次·9 ·[8-29]详细简介请参考下载页★]竞赛·[ 试试题全国数学邀请赛初二第14 届“希望杯”·1993年第次·10 ·[8-29]详细简介请参考下载页★]·[ 竞赛试试题2 希望杯”全国数学邀请赛初二第·1992 年第3 届“次·11 ·[8-29]详细简介请参考下载页★]竞赛·[ 1 试试题“希望杯”全国数学邀请赛初二第 3 ·1992年第届次·9 ·[8-29]详细简介请参考下载页★]·[ 竞赛 2 ”“2·1991 年第届希望杯全国数学邀请赛初二第试试题·14 次·[8-28]详细简介请参考下载页★]·[ 竞赛试试题”全国数学邀请赛初二第 1 年第·19912 届“希望杯次·12 ·[8-28]详细简介请参考下载页★]竞赛·[ 试试题全国数学邀请赛初二第21 届“希望杯”·1990年第·13 次·[8-28]详细简介请参考下载页★]·[ 竞赛试试题”全国数学邀请赛初二第 1 希望杯·1990 年第1 届“次·11 ·[8-28]分，（每题1 ”全国数学邀请赛初二第一试一、选择题: “1990 年第一届希望杯() 倍，那么这个角是 1 ．一个角等于它的余角的 5 分）共10]竞赛·[ 2 试试题全国数学邀请赛初一第希望杯届年第·200718 “”·94 次·[8-28]详细简介请参考下载页★]竞赛·[ 试试题全国数学邀请赛初一第118 届“希望杯”·2007年第次·42 ·[8-28]详细简介请参考下载页★]·[ 竞赛试试题”希望杯全国数学邀请赛初一第2·2006 年第17 届“次·41 ·[8-28]详细简介请参考下载页★]竞赛·[ 试试题 1 希望杯”全国数学邀请赛初一第“·2006 年第17 届次·43 ·[8-28]试第1 全国数学邀请赛初一希望杯年第十七届2006 “”中考资源网，竞赛试题任你选！更多数学竞赛试题请点击。
2014年奥数希望杯第二试初二试卷及参考答案
在 Rt△ADG 和 Rt△MNF 中,
∠NMF = ∠3= ∠1
= ∠DAG,
MN =BA =AD ,
所以 △ADG ≌ △MNF,
AG =MF.
(10 分 )
在 Rt△MCG 和 Rt△ECG
图1
中,
∠MGC = ∠3= ∠2= ∠EGC, CG =CG,
所以 △MCG ≌ △ECG,GM =GE,
3 2
17
1
1007
三 、解 答 题
于是
AG -GF =MF -GF
21.(1)在y =kx +2中,令x =0,得
y =2,
所以
点 D(0,2).
(4 分 )
=GM =GE. (15分) 23.在 △ABC 中,令 ∠B=36°.分情况讨论: (1)分割线不过点 B
(2)因为 OD =2,DB =2OD =4,
设分割 线 是 AD ,
由S△PBD =4,可得 BP =2,
而
OB =OD +DB =6,
此 时,△BAD 的 三 个 内 角 是 (36°,72°,
所以
点 P (2,6).
将 P(2,6)分别代入y=kx +2与y=xm ,可得
k=2,m =12.
(8 分 )
(3)由图 象 可 知,当 x > 0 时,使 一 次 函
第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛
参考答案及评分标准
一 、选 择 题 (每 小 题 4 分 .)
初二 第2试
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
八年级希望杯培训专题十
八年级希望杯培训专题十1. 如图，已知ABCD 是平行四边形，E 在AC 上，AE ＝2EC ，F 在AB 上，BF ＝2AF ，如果△BEF 的面积为22cm ，则□ABCD 的面积是________.第4题B第3题F EDBC第2题BC第1题B2. 如图，已知P 为矩形ABCD 内一点，P A ＝3，PD ＝4，PC ＝5，则PB ＝________.3. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将矩形折叠，使B 点与D 点重合，则折痕EF 长为________.4. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，使点D 落在点D '处，CD '交AB 于点F ，则重叠部分△AFC 的面积为 ________5. 如图，在矩形ABCD 中，已知AD ＝12，AB ＝5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AC 于F ，那么PE +PF 的值为________.第8题B 第7题BC第6题EDB第5题C6. 如图，菱形ABCD 的边长为4 cm ，且∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点，P 点在BD 上，则PE+PC 的最小值为________.7. 如图，△ABC 的周长为24，M 是AB 的中点，MC ＝MA ＝5，则△ABC 的面积是（ ）A. 30B. 24C.16D.128. 如图，□ABCD 中，∠ABC ＝75°，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，若DE ＝2AB ，则∠AED 的大小是（ ）A. 60°B. 65°C.70°D.75°9. 如图，已知∠A ＝∠B ，1AA ，1PP ，1BB 均垂直于11A B ，1AA ＝17，1PP ＝16，1BB ＝20，11A B ＝12，则AP+PB 的值为（ ）A. 15B.14C. 13D.12图1图3EDBAB CB第9题B A 11P 111.四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠BAD ＝120°，M 为BC 上一点，N 为CD 上一点.求证：若△AMN 有一个内角等于60°，则△AMN 为等边三角形.12. 如图，六边形ABCDEF 中，AB ∥DE ，BC ∥EF ，CD ∥AF ，对边之差BC －EF＝ED －AB ＝AF －CD ＞0.求证：该六边形的各角相等.EB八年级希望杯培训专题十一1. 如图，在四边形ABCD 中，090,=∠=∠=ABC ADC DC AD ，AB DE ⊥于E ，若四边形ABCD 的面积为8，则DE 的长为__________.2.如图，M 是边长为1的正方形ABCD 内一点，若02290,21=∠=-CMD MB MA ，则=∠MCD __________.（北京市竞赛试题）第3题图第1题图第2题图CBAAA3.如图，在ABC Rt ∆中，3,900==∠AC C ，以AB 为一边向三角形外作正方形ABEF ，正方形的中心为O ，且24=OC ，则BC 的长为__________.（“希望杯”邀请赛试题）4.如图：边长一定的正方形ABCD ，Q 是CD 上一动点，AQ 交BD 于M ，过M 作AQ MN ⊥交BC 于N 点，作BD NP ⊥于点P ，连接NQ ，下列结论：①MN AM =；②BD MP 21=； ③NQ DQ BN =+；④BMBNAB +为定值，其中一定成立的是( )A . ①②③B ．①②④ C. ②③④ D. ①②③④5.如图，ABCD 是正方形，AC BF //，AEFC 是菱形，则ACF ∠与F ∠度数的比值是( ) A . 3 B ．4 C. 5 D. 不是整数6.一个周长为20的正方形内接于一个周长为28的正方形，那么从里面正方形的顶点到外面正方形的顶点的最大距离是( )A .58 B ．527C. 8D. 65E.35（美国高中考试题）第7题图第5题图第4题图第6题图Q BABADA QP7.如图，正方形ABCD 中，8=AB ，Q 是CD 的中点，设α=∠DAQ ，在CD 上取一点P ，使α2=∠BAP ，则CP 的长度等于 ( )A . 1B ．2 C. 3 D.3（“希望杯”邀请赛试题）8.已知正方形ABCD 中，M 是AB 中点，E 是AB 延长线上一点，DM MN ⊥且交CBE ∠平分线于N （如图1）（1）求证：MN MD =；（2）若将上述条件中的“M 是AB 中点”改为“M 是AB 上任意一点”其余条件不变（如图2），（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图2，点M 是AB 的延长线上（除B 点外）的任意一点，其他条件不变，则（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（临汾市中考试题）图3图2图1AAADDDE `9.已知,10,10<<<<b a 求证：22)1()1()1()1(22222222≥-+-+-+++-++b a b a b a b a ．10.如果，点N M ,分别在正方形ABCD 的边CD BC ,上，已知MCN ∆的周长等于正方形ABCD 周长的一半，求MAN ∠的度数． （“祖冲之杯”邀请赛试题）AD11.如图，两张大小适当的正方形纸片，重叠地放在一起，重叠部分是一个凸八边形ABCDEFGH ，对角线CG AE ,分这个八边形为四个小的凸四边形，请你证明：CG AE ⊥，且CG AE =．（北京市竞赛试题）12.如图，正方形MNBC 内有一点A ，以AC AB ,为边向ABC ∆外作正方形ABRT 和正方形ACPQ ，连接BP RM ,．求证：RM BP //．（武汉市竞赛试题）PR。
希望杯数学竞赛题试卷初二
1. 下列数中，是质数的是（）A. 14B. 15C. 16D. 172. 一个长方形的长是6cm，宽是4cm，它的周长是（）A. 20cmB. 24cmC. 30cmD. 40cm3. 如果a + b = 7，a - b = 3，那么a的值是（）A. 5B. 6C. 7D. 84. 下列各式中，能被3整除的是（）A. 21 ÷ 6B. 24 ÷ 7C. 27 ÷ 9D. 30 ÷ 85. 小明从家到学校的路程是1200米，他骑自行车用了20分钟，那么他骑自行车的速度是（）A. 30米/分钟B. 40米/分钟C. 60米/分钟D. 80米/分钟二、填空题（每题5分，共25分）6. 乘法口诀“六七四十二”中，7乘以6等于（）。
7. 一个等腰三角形的底边长是8cm，腰长是6cm，那么这个三角形的周长是（）cm。
8. 如果一个数的平方是25，那么这个数是（）。
9. 一个数加上它的倒数等于2，这个数是（）。
10. 下列各数中，有（）个正整数。
三、解答题（每题10分，共30分）11. （10分）已知一个数的4倍与9的和是23，求这个数。
12. （10分）一个长方形的长是x厘米，宽是y厘米，它的周长是30厘米，求x和y的值。
13. （10分）一个梯形的上底是5cm，下底是10cm，高是8cm，求这个梯形的面积。
14. （15分）一个正方形的边长增加10%，那么它的面积增加了多少？15. （15分）小明从家到学校的路程是3km，他骑自行车用了30分钟，骑电动车用了20分钟，求骑自行车和骑电动车的速度。
注意：本试卷共五部分，满分100分。
考试时间为60分钟。
请仔细阅读题目，认真作答。
第14届 希望杯 初二 第二试
第二试 试题一、选择题 以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在每题后的圆括号内．1．21y x -+是2244xy x y k ---的一个因式，则k 的值是（ ） A ．0 B ．1- C ．1 D ．42．不等式054ax +≤≤的整数解是1，2，3，4，则a 的取值范围是（ ）A ．54a -≤B ．1a <-C ．514a -<-≤D ．54a -≥3．整数x ，y 满足不等式22122x y x y +++≤，则x y +的值有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．如图1，在矩形ABCD 中，AE 、AF 三等分BAD ∠，若2BE =，1CF =，则最接近矩形面积的是 （ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．16G FED CB AFE D CBA图 1图 2图 35．如图2，Rt ABC △中90C ∠=︒，13DAF DAB =∠∠，13EBG EBA =∠∠，则射线AF 与BG （ ）A ．平行B ．延长后相交C ．反向延长后相交D ．可能平行也可能相交6．If the radius （半径）of circle Ⅲ in the figure 3 is 34of the radius of circle Ⅱ，and the radius ofcircle Ⅱ is 45of the radius of circle Ⅰ，then the area of the shaded region is what part of the areaof circle Ⅰ？（ ）A ．725B ．920C ．35D ．16257．凸n 边形()4n ≥中，不算两个最大的内角，其余内角的和为1100︒，则n 等于（ ） A ．12B ．11C ．10或9D ．108．将长为12的线段截成长度为整数的三段，使它们成为一个三角形的三边，则构成的三角形（ ） A ．不可能是等腰三角形 B ．不可能是直角三角形 C ．不可能是等边三角形 D ．不可能是钝角三角形9．数轴上的点A 、B 、P 分别对应数；1-，4-，x ，并且P 与A 的距离大于P 或B 的距离，则（ ）A ．3x >-B ．2x >-C ．2x <-D ．52x <-10．如图4，啤酒瓶高为h ，瓶内酒面高为a ，若将瓶盖盖好后，倒置，酒面高为()a a b h ''+=，则酒瓶的容积与瓶内酒的体积之比为（ ）图 4A ．1b a +'B ．1a b'+C ．1b a+D ．1a b+二、填空题11．方程93352x x x ++-=+|的解是．12．有人问毕达哥拉斯，他的学校中有多少学生，他回答说：“现在，有一半学生学数学，四分之一的学生学音乐，七分之一的学生在休息，还剩三个女同学……”．那么毕达哥拉斯的学生中学生的人数是 ．13．方程11422x x +=-的一个根是4，则另一个根是 ．14．已知对于正整数n=k 满足()231k +=+，则k = ． 15．已知032x zy ==≠，那么22234xy yz zx x y z ++=-+ ．16．小明到商场购买某个牌子的铅笔x 支，用了y 元（y 为整数）．后来他又去商场时，发现这种牌子的铅笔降价20%，于是他比上一次多买10支铅笔，用了4元钱，那么小明两次共买了铅笔 支．17．If a ，b and c are sides （边） of the ABC △，and ()2a bc a b c -=-，then the figure （形状） ofthe triangle （三角形）is （用汉语填写）．18．如图5，是一个圆形花坛，中间的鲜花构成一个菱形图案（图中尺寸单位为米），如果每平方米种值鲜花20株，那么这个菱形图案中共有鲜花 株．图 5ABC O图 619．如图6，ABC △中，5AC BC ==，80ACB =︒∠，O 为ABC △中一点，10OAB =︒∠，30OBA =︒∠，则线段AO 的长是 ．20．已知x ，y ，z 均为正整数，且725x y z +-是11的倍数，那么3412x y z ++除以11得到的余数是 ．三、解答题 要求写出简要步骤21．有一批影碟机VCD 原售价：800元/台每次购买17~24台，每台打八折；每次购买24台以上，每台打七五折；⑴ 请仿照甲商场的促销列表，列出到乙商场购买VCD 的购买台数与每台价格的对照表；⑵ 现在有A 、B 、C 三个单位，A 单位要买10台VCD ；B 单位要买16台VCD ，C 单位要买20 台VCD ，问他们到哪家商场购买花费较少？22．如图7，在锐角ABC △中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 边上的三等分点，P 、Q 、R 分别是ADF △、BDE △、CEF △的三条中线的交点．⑴ 求DEF △与ABC △的面积比； ⑵ 求PDF △与ADF △的面积比； ⑶ 求多边形PDQERF 与ABC △的面积比．23．两条平行直线上各有n 个点，用这n 对点按如下规则连接线段：①同一直线上的点之间不连接；②连接的任意两条线段可以有共同的端点，但不得有其他的交点． ⑴ 画图说明当123n =，，时，连接的线段最多各有多少条？⑵ 由⑴猜想n （n 为正整数）对点之间连接的线段最多有多少条，证明你的结论． ⑶ 当2003n =时，所连接的线段最多有多少条？P R Q F EDC BA图 7答 案一、选择题1．B【解析】 因为0x =，1y =-满足210y x -+=，21y x -+是2244xy x y k ---的一个因式，所以2x =，1y =-也满足22440xy x y k ---=，代入后解得1k =-，选B ．2．C【解析】 由054ax +≤≤，得51ax --≤≤，其中0x >，所以0a <，15x a a-≤≤-，又不等式054ax +≤≤的整数解只有1，2，3，4这四个数，所以101a <-≤，且545a -<≤，解得1a -≤，且514a -<-≤，所以a 的取值范围是514a -<-≤，选C ．3．C【解析】 原不等式可化为()()22111x y -+-≤，且x ，y 为整数，()210x -≥，()210y -≥，所以可能有的结果是1010x y -=⎧⎨-=⎩，，或1110x y -=±⎧⎨-=⎩，，或101 1.x y -=⎧⎨-=±⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，，或21x y =⎧⎨=⎩，，或01x y =⎧⎨=⎩，，或12x y =⎧⎨=⎩，，或10.x y =⎧⎨=⎩，则x y +的不同值是1，2，3共有3个，选C ．4．C【解析】 在Rt ABE △中，30BAE =︒∠所以24AE BE ==，AB ==1DF CD CF =-=，在ADF △中，30DAF =︒∠，所以22AF DF ==∠，6AD ==，所以6614.78ABCD S AB AD =⋅==≈．选C ．5．A【解析】 因为90CAB CBA +=︒∠∠，所以36090270DAB EBA +=︒-︒=︒∠∠，因为13DAF DAB =∠∠，13EBG EBA =∠∠，所以()112709033DAF EBG DAB EBA +∠+=⨯︒=︒∠=∠∠，()2180EAB GBA DAF EBG +=+=︒∠∠∠∠，所以AF BG ∥，选A ．6．A【解析】 译文：如果图3中的圆Ⅲ的半径是圆Ⅱ的半径的34，圆Ⅱ的半径是圆Ⅰ的半径的45，那么阴影区域的面积占圆Ⅰ面积的（ ）A ．725B ．920C ．35D ．1625设圆Ⅰ的半径是1，则圆Ⅱ的半径是45，圆Ⅲ的半径是433545⨯=，圆Ⅰ的面积是1πS =，阴影部分的面积是22437πππ5525S ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭阴，占圆Ⅰ面积的725，选A ． 7．D【解析】 因为，在四边形中，两个最大的内角的和大于等于180︒，所以，凸n 边形（4n ≥）中，两个最大的内角和也大于等于180︒，同时小于360， 设两个最大的内角的和为k ︒，则()1100180110021801100360k n ++=-⨯<+≤，所以1172899n -<≤，1191099n <≤，10n =，选D ．8．D【解析】 可以构成的三角形的三条边长分别为3，4，5（直角三角形）；4；4；4（等边三角形）；5；5；2（等腰三角形），选D ．9．D【解析】 因为P 与A 的距离大于P 与B 的距离，所以()()14x x -->--，即()()2214x x +>+，解得52x <-，选D ．10．C【解析】 瓶内酒的体积是高为a 的圆柱体，酒瓶内空着的体积相当于高为b 的圆柱体，整个酒瓶的体积相当于高为a b +的圆柱体，所以酒瓶的容积与瓶内酒的体积之比为1a b ba a+=+，选C ．二、填空题11．29±【解析】 当x -替换x ，方程不变，说明方程的根关于原点对称，所以只需解0x ≥的情况．当03x ≤≤时，方程化为93352x x x ++-=+，解得29x =；当3x >时，方程化为93352x x x ++-=+，解得2x =-（舍去）．所以方程的解是29x =或29x =-．12．28【解析】 设学生的人数为x ，则1113247x x x x =+++，解得28x =． 13．52【解析】 原方程可化为112222x x -+=+-， 因为2x -与12x -互为倒数，2与12也互为倒数，所以22x -=或122x -=，方程的另一个根是52．14．8【解析】 原式213k ⎛=-++++-= ⎝⎝，即213=，解得8k =．15．12【解析】 令032x zy k ===≠，则3x k =，y k =，2z k =， 所以22222222232613493162xy yz zx k k k x y z k k k ++++==-+-+．16．40或90【解析】 铅笔原来的单价为y x元/支，则()()120%104yx x -+=，即105yx y=-． 因为0x >，所以15y <≤，当1y =时， 2.5x =（舍去）；当2y =时，203x =（舍去）；当3y =时，15x =；当4y =时，40x =．所以小明两次共买了1521040⨯+=（支），或4021090⨯+=（支）．17．等腰三角形【解析】 译文：如果a ，b ，c 是ABC △的边长，且()2a bc a b c -=-，那么三角形的形状是 ．原式可化为20a ab ac bc -+-=，()()0a a b c a b -+-=，()()0a b a c -+=， 因为0a c +≠，所以0a b -=，a b =，ABC △是等腰三角形．18．480图 8【解析】 如图8，连接AC 、BD 、OE ，则OE 是圆的半径，5OE =，6BD =，所以3OB =，4BE =，菱形ABCD 的对角线8AC =，6BD =， 所以()224m ABCD S =，这个菱形图案中共有鲜花2420480⨯=（株）．19．5【解析】 如图9，连接CO ，作CAO ∠的平分线AD ，交BO 的延长线于D ，由80ACB =︒∠，AC BC =，得50CAB CBA ==︒∠∠， 又10OAB =︒∠，所以20CAD OAD ==︒∠∠，102030DAB =︒+︒=︒∠， 在DAB △中，30DBA DAB =︒=∠∠， 所以AD BD =，120ADB =︒∠．在ACD △和BCD △中，AC BC =，AD BD =，DC DC =，所以()SSS ACD BCD △△≌，3601201202CDA CDB ︒-︒===︒∠∠，在ACD △和AOD △中，CAD OAD =∠∠，AD AD =，CDA ODA =∠∠， 所以()ASA ACD AOD △△≌，5AO AC ==．20．0【解析】 设72511x y z k +-=（k 是正整数），则()73412212884x y z x y z ⨯++=++ ()37252299x y z y z =⨯+-++ ()33229911329k y z k y z =++=++，所以()73412x y z ⨯++可以被11整除，又7与11互为质数， 所以3412x y z ++可以被11整除，即3412x y z ++除以11的余数是0三、解答题21．【解析】VCD 共需6402012800⨯=元， 1280012600>，所以购买20台VCD 时应去甲商场购买．D OC BA图 9所以A 单位应到乙商场购买，B 单位应到甲商场购买，C 单位应到甲商场购买．22．【解析】 ⑴ 如图10，过点D 作DC BC ⊥于G ，过点A 作AH BC ⊥于H ，则DG AH ∥，所以BDG BAH △△∽，又13BD BA =，23BE BC =， 所以13DG AH =，29BDE ABC S S =△△，同理29ADF CEF ABC S S S ==△△△，所以13DEF ABC ADF BDE CEF ABC S S S S S S =---=△△△△△△．⑵ 分别延长DP 、FP 交AF 、AD 于M 、N ，因为点P 是ADF △ 的三条中线的交点，所以M 、N 分别是AF 、AD 的中点，且23DP DM =， 过点P 、M 分别作DF 的垂线，垂足分别为K 、S ，则DKP DSM △△∽，相似比为23∶，所以23KP SM =，23PDF MDF S S =△△，又12MDF ADF S S =△△，得13PDF ADF S S =△△．⑶ 由⑵知，12QDE BDE S S =△△，13REF CEF S S =△△，所以227PDF QDE REF ABC S S S S ===△△△△，59PDQERF DEF PDF QDE REF ABC S S S S S S =+++=△△△△△．23．【解析】 ⑴ 如图11可以看出，1n =时，最多可以连接1条线段，2n =时，最多可以连接3条线段，3n =时，最多可以连接5条线段．图 11n =3n =2n =1⑵ 猜想：对于正整数n ，这n 对点之间连接的直线段最多有21n -条．证明：将直线标记为1l ，2l ，它们上面的点从左到右排列分别为1A ，2A ，3A ，…，n A 和1B ，2B ，3B ，…，n B ，设这n 对点之间连接的直线段最多有n P 条，显然，其中必有n n A B 这一条，否则，n P 就不是最多的数．当在1l ，2l 上分别加上第1n +个点时，不妨设这两个点在n A 与n B 的右侧，那么除了原来已经有的n P 条直线段外，还可以连接1n n A B +，11n n A B ++这两条线段，或连接1n n A B +，11n n A B ++这两条线段，H G K SM N A BCD E F Q RP 图 10所以12n n P P ++≥，①另一方面，设对于1n +对点有另一种连法：考虑图12中以1n A +为端点的线段，若以1n A +为端点的线段的条数大于1，则一定可以找到一个i n ≤，使得对于任意的j i <，1n j A B +都不在所画的线段中，这时，1i B +，2i B +，…，1n B +只能与1n A +连接，不妨设11n i A B ++，12n i A B ++，…，11n n A B ++都已连接，此时图中的线段数为1n P +，我们做如下操作：去掉1n i A B +，连接1n i A B +，得到新的连接图，而新的连接图满足要求且线段总数不变，将此操作一直进行下去，直到与1n A +连接的线段只有一条11n n A B ++为止．最后图中，与点1n B +相关的线段只剩两条，即1n n A B +，11n n A B ++，去掉这两条线段，则剩余12n P +-条线段，而图形恰是n 对点的连接图，所以12n n P P +-≤，② 由①，②我们得到12n n P P +=+，而11P =，23P =， 所以()12121n P n n =+⨯-=-． ⑶ 当2003n =时，20034005P =（条）．图 12B n +1l 2l 1B i +1B i A n +1A n。