点电荷和介质球静电问题的积分方程解

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第2章静电场

“立个球面”的立体角＝？ 2. “任意曲面”dS对“某点”所张的立体角 (1) 以R0为半径的“球面”
3. “立体角”的重要结论
散度方程微分形式的引出：
请注意：此处的ρ 是指自由电荷的体密度ρvf ！
（强调）散度方程
• 物理意义：它们描述了静电场的发散性，给出了通过封闭面的电通量与面内所围电荷量之间的关系； • 积分形式说明：任意封闭面的电通量＝面内所围电荷总量；电通量为0，则封闭面内不包含电荷，即面内无源; 进而说明：静电场具有通量源，即自由电荷。 • 微分形式说明：静电场(电位移)散度＝该点处电荷体密度; 进而，静电场具有散度源，即自由电荷的体密度。
例2. 求电荷分布
已知真空中电场分布,求各处电荷分布的体密度. 分析: 由电场分布可知, 球对称, 电场只有径向分量；可以直接运用散度方程求解；仍要分球内和球外两种情况；
作业
• 试计算电荷面密度为σ 的无限大平面周围的电场。
静电场的旋度方程
• 首先应注意，这是静电场，不是任意电场； • 积分形式: 电场沿任意闭合曲线的积分为0； C指任意闭合曲线； C自身方向与C所围曲面方向满足右手规则；积分式即电场的环流量； • 微分形式: 静电场的旋度为0 无论在有源区还是无源区；电荷是静电场的什么源？体密度是什么源？
真空中距离为R的两点电荷q1，q2 q1对q2的作用力，电荷量正比，距离平方反比矢量方向：q1指向q2 真空中介电常数(Dielectric Constant)
1 12 0 8.85 10 ( F / m) 9 4 9 10
真空中静止点电荷的电场强度
q 2受到的电场力：F R, q1 , q2

总结1：
库仑定律(真空中静止电荷电场)

静电场的基本方程微分形式积分形式物理意义

对场中一个点电荷，受力 F QE 仍成立
已知 x ，原则上可求出 E x 。若不能
积分,可近似求解或数值积分。但是在许多实际情
况 x 不总是已知的。例如，空间存在导体介
质，导体上会出现感应电荷分布，介质中会出现束缚电荷分布，这些电荷分布一般是不知道或不为
三、静电场的环路定理与旋度方程
1. 环路定理

⑴ ⑵
L
E dl 0
静电场对任意闭合回路的环量为零。说明在回路内无涡旋存在，静电场线是不闭合的。
2、旋度方程

L
E dl E dS 0
S

E 0
⑴ 又称为环路定理的微分形式，仅适用静电场。 ⑵ 它说明静电场为无旋场，电力线永不闭合。
§1. 电荷和电场
一、库仑定律和电场强度
1. 库仑定律
F
Q’
F
QQ ˆ r 2 40 r 1
r
Q
描述一个静止点电荷对另一静止点电荷的作用力
⑴ 静电学的基本实验定律； ⑵ Q’ 对Q的作用力为 F F ；⑶ 两种物理解释: 对静电情超距作用：一个点电荷不需中间媒介况两种观直接施力与另一点电荷。点等价场传递：相互作用通过场来传递。
例题：电荷 Q均匀分布于半径为 a的球体内，求各点场强的散度和旋度。
§2
电流和静磁场
一、电荷守恒定律
1、电流强度和电流密度（矢量）
I 单位时间通过空间任意曲面的电量（单位：安培）
J 大小：单位时间垂直通过单位面积的电量
方向：沿导体内一点电荷流动的方向两者关系：
I dI J dS

真空中静电场的基本方程

s
V=4r3/3 dv=4r2dr
r0
r 0
r2
r4 a2
4
r 2 dr
4r0
r3 3
r5
5a2
D内
r0
r 3
r3 5a2
r=a时 (连续)
D内
D外
2 15
r0a
解法二：微分形式解 • Dvr r r 球坐标
∵对称性,D外仅有er 分量：
evr ev 0 evr ev 0
在球外 r r 0
1 r2 r
r 2 D外
0
D外
C2 r2
当 r ∞ 时可看成点电荷：
D外
1
4
q r2
1
4
8
15
r
0
a
3
1 r2
C2
2 15
r0a3
D外
2 15
r0
a3 r2
球内(r≤a):
1
r2
r
r 2D内
r0
1
r2 a2
r 2D内
2r 0
r0 1
r2 a2
r
2dr
q
4e 0 R
c
点
1
4e
0
1
rd c
R
sds c
4e
0
1
4e0
s l
R
rl dl
R
c
体面线
式子中： R r r为场与源的距离
电位——电场的表示式对比
f 1 rd c 3.7
4e 0 R
Er
1
4e
0
r r
1 R
d
2.6
可见f 的计算式简便得多标量积分，

点电荷和介质球静电问题的叠加法解

文章编号：１０－８３２０）４０９－５０３２４（０２０－４０１
点电荷和介质球静电问题的叠加法解
王礼祥
（西南民族学院大学预科部，成都６０４）１０１
摘
要：用电介质的真空物理图像与电介质边界上的边值关系结合叠加原理巧妙求解了点电荷和介质球静电问题
把（）６和（）４、（）７代入边值关系：Ｄ内：ｎＤ外有
．
一
数
（）７
的
正
∑
（ｓ）＝ｃ０Ｊｏｌ
］
交
归
性并
令
Ｉ３
、
ｃ＇ｉｒｓｎ０＇
ｏ
￣１ｏ０姜）Ｐ（］］（Ｉ０ｄ１［＇＋ｃ－）ｓ）
１］ｔｏ（’Ｏ］Ｏ— Ｑ（一））［ｓ０一）Ｐｃｄｅ
．
一
—
１
４ — Ｘｅ
Ｑｒ（２＋ｄ＿２ｄｏＯ￣＋ｒ２ — ｃｓ）ｏ
—
刚 ’ ）
【＋２ｃｓ・），Ｒ一。（一】ｊ２）
维普资讯
维普资讯
４冗ｏｓ
：
移项整理得
∑
（ｏ）ｃｓ
（）８
∞
、
２ｏ’ Ｃｕ
应用公式【】
有
【ｓＬ）＝（ｃ（】ｏＯ
（）９
去
比较上式两边的系数知
Ｑ（ —ｅ）／、Ｒ一ｅｏ（＋１／２４［ｘｄ＋Ｅ（＋１川Ｏ，）】ｄＱ（ｏ（１ｃ２－ｅ）

静电场的解法

静电场的解法第三章静电场的解法第三章静电场的解法静电场问题的类型唯一性定理分离变量法镜像法有限差分法第三章静电场的解法静电场问题的类型分布型问题已知全空间的电荷分布利用电场强度或电位的计算公式直接计算场中各点的电场强度或电位这类问题称为分布型问题对此问题有如下几种解法。

、根据电荷分布利用场源积分式直接求解电场。

、根据电荷分布利用场源积分式直接求解电位再根据计算电场。

、若电荷分布具有某种对称性从而判断场的分布也具有某种对称性时可用高斯定理直接求解电场此法主要是要正确选取高斯面一般高斯面上的场强要保持常量并且方向与所在面的法向相同计算才可化简。

第三章静电场的解法边值型问题已知确定区域中的电荷分布和其边界上的电位或电位函数的法向导数分布求解该区域中电位的分布状况这类问题称为边值型问题或简称为边值问题边值问题根据边界条件给出的形式不同可分为以下三种类型。

第一类边值问题：给定整个边界上的电位函数求区域中电位分布这类问题又称为狄利克莱问题。

第二类边值问题：给定整个边界上电位函数的法向导数求区域中电位分布这类问题又称为诺伊曼问题。

第三类边值问题：一部分边界上的电位给定另一部分边界上的法向导数给定求区域中电位分布这类问题又称为混合型边值问题。

如果边界是导体则上述三类问题分别变为：已知导体表面的电位已知各导体的总电量已知一部分导体表面上的电位和另一部分导体表面上的电量。

第三章静电场的解法唯一性定理唯一性定理：满足边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解必定唯一。

或：如果给定一个区域中的电荷分布和边界上的全部边界条件则这个区域中的解是唯一的。

格林定理格林定理是由散度定理直接导出的数学恒等式。

将散度定理用于闭合面S所包围的体积V内任一矢量场式中参量是在区域内两个任意的标量函数并要求在边界上一阶连续在区域内二阶连续。

第三章静电场的解法则有格林第一恒等式上述两式相减得格林第二恒等式第三章静电场的解法唯一性定理的证明设φφ是同一无源区域的边值问题的解。

第22讲唯一性定理第4章介质中的电动力学2§2唯一性定理

第22讲唯一性定理第4章介质中的电动力学2§2唯一性定理第22讲唯一性定理第4章介质中的电动力学（2）§4.2 唯一性定理在上节中我们说明静电学的基本问题是求出所有边界上满足边值关系或给定边界条件的泊松方程的解。

本节我们把这问题确切地表述出来，即需要给出哪一些条件，静电场的解才能唯一地被确定。

静电场的唯一性定理对于解决实际问题有着重要的意义。

因为它首先告诉我们，哪些因素可以完全确定静电场，这样在解决实际问题时就有所依据。

其次，对于许多实际问题，往往需要根据给定的条件作一定的分析，提出尝试解。

如果所提出的尝试解满足唯一性定理所要求的条件，它就是该问题的唯一正确的解。

下面我们先提出并证明一般形式的唯一定理，然后再证明有导体存在时的唯一性定理。

1. 静电问题的唯一性定理下面我们研究可以均匀分区的区域V ，即V 可以分为若干个均匀区域 V i ，每一个区域的电容率为ε i 。

设V 内有给定的电荷分布ρ（x ）。

电势φ 在均匀区域 V i 内满足泊松方程2i ρε?=- （4.2---1）在两区域 V i 和 V j 的分界上满足边值关系()()i j i i j j nn εε=??= （4.2---2）泊松方程（4.2---1）式和边值关系（4.2---2）式是电势所必须满足的方程，它们属于电场的基本规律。

除此之外，要完全确定V 内的电场，还必须给出V 的边界S 上的一些条件。

下面提出的唯一性定理具体指出所需给定的边界条件。

唯一性定理：设区域V 内给定自由电荷分布，在V 的边界上S 上给定（1）电势φ| s 或（2）电势的法向导数?φ/?n | s ，则V 内的电场唯一确定。

也就是说，在V 内存在唯一的解，它在每个均匀区域内满足泊松方程（4.2---1），在两均匀区域分界面上满足边值关系，并在V 的边界S 上满足该给定的φ或?φ/?n 值。

证明设有两组不同的解φ' 和φ'' 满足唯一性条件定理的条件。

电磁场与电磁波（第4版）第3章部分习题参考解答

ρ ≥ a 时， E = −∇ϕ = −eρ
G
G ∂ ∂ρ
3.4 已知 y > 0 的空间中没有电荷，试判断下列函数中哪些是可能的电位解？ (1) e− y cosh x ；(2) e− y cos x ；(3) e− 2 sin x cos x ；(4) sin x sin y sin z 。解：在电荷体密度 ρ = 0 的空间，电位函数应满足拉普拉斯方程 ∇ 2ϕ = 0 。
∂2 − y ∂2 − y ∂2 − y (e cosh x) + 2 (e cosh x) + 2 (e cosh x) = 2e− y cosh x ≠ 0 (1) ∂x 2 ∂y ∂z −y 所以函数 e cosh x 不是 y > 0 空间中的电位解； ∂2 − y ∂2 − y ∂2 − y (e cos x) + 2 (e cos x) + 2 (e cos x) = −e− y cos x + e− y cos x = 0 (2) ∂x 2 ∂y ∂z −y 所以函数 e cos x 是 y > 0 空间中可能的电位解； ∂ − 2 ∂ ∂ (e sin x cos x) + 2 (e− 2 sin x cos x) + 2 (e − 2 sin x cos x) (3) 2 ∂x ∂y ∂z
G ρ = −eρ l 0 2πε 0 G = eρ
ρl 0 4πε 0 ρ
⎧ ρ 1⎫ ⎪ ⎪ − ⎬ ⎨ 2 2 2 2 ρ⎪ ⎪[ L / 2 + ρ + ( L / 2) ] ρ + ( L / 2) ⎩ ⎭ z'
ρ 2 + ( L / 2) 2
3.2 点电荷 q1 = q 位于 P 1 ( − a, 0, 0) ，另一点电荷 q2 = −2q 位于 P 2 ( a, 0, 0) ，求空间的零电位面。解：两个点电荷 + q 和 −2q 在空间产生的电位 ⎤ q 1 ⎡ 2q ϕ ( x, y , z ) = − ⎢ ⎥ 2 2 2 2 2 2 4 πε 0 ⎢ ( ) ( ) ⎥ x a y z x a y z + + + − + + ⎣ ⎦ 1 2 − =0 令 ϕ ( x, y, z ) = 0 ，则有 2 2 2 2 ( x + a) + y + z ( x − a) + y 2 + z 2

电磁场公式整理

第一章标量三重积：矢量三重积方向导：梯度：计算公式：矢量线方程:通量：散度：散度计算公式：散度定理（高斯定理）：旋度：斯托克斯定理：拉普拉斯运算：第二章电流连续性方程微分形式：对于恒定电流场： )()()(B A C A C B C B A⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅CB A BC A C B A )()()(⋅-⋅=⨯⨯grad nu u en∂=∂zy x x y x∂∂+∂∂+∂∂=∇e e e ),,(d ),,(d ),,(d z y x F zz y x F y z y x F x z y x ==00cos cos cos |lim M l u u u u ul lx y z αβγ∆→∂∆∂∂∂==++∂∆∂∂∂d d d n SSψψF S F e S==⋅=⋅⎰⎰⎰ττ∆⋅=⎰→∆SSd F div F lim 0z F y F x F Sd F div z y x S ⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂=∆⋅=⎰→∆ττF lim⎰⎰⋅∇=⋅VSVF S F d dmax ]rot [F e F n n =⨯∇zy x z y xF F F z y xe e e F ∂∂∂∂∂∂=⨯∇=⎰⎰⋅⨯∇=⋅SCS F l F d d )()(2F F F ⨯∇⨯∇-⋅∇∇=∇uu 2)(∇=∇⋅∇0d ⎰=⋅SS J 、0=⋅∇JtJ ∂∂-=⋅∇ρ静电场散度：高斯定理的积分形式：静电场旋度：毕奥萨法尔定律：任意电流回路 C 产生的磁感应强度恒定磁场散度：恒定磁场是无散场恒定磁场旋度：恒定磁场是有旋场，它在任意点的旋度与该点的电流密度成正比，电流是磁场的旋涡源。

极化强度：----------电介质的电极化率电位移矢量：电介质中高斯定理的积分形式：磁化强度矢量：磁化电流体密度：真空中安培环路定理推广到磁介质中：磁场强度：M B H-=0μ麦克斯韦方程组的微分形式传导电流和变化的电场都能产生涡旋磁场。

电磁场理论课件 2-1静电场的标势及其微分方程

P r
(P)
Q
4 0
(1 r
1 r
)
r2 R 2 l 2 2Rl cos
Q
2l
x -Q
求近似值：
r R
1
l2 R2
2l
cos
/
R
R
1 2l cos / R
R(1 1 2l cos ) R l cos
2R
R r
y
(l R)
同理
r R l cos
1 1 r r 2l cos 2l cos
R02 R2
20
ln
R R0
若选P0为参考点，则
(P)
ln R
ER
R
20
,
2 0 R
R0 E EZ 0
解2：
z
电荷源
dq dz z' o
r
场点
p
R
选取柱坐标：源点的坐标为（0, z'），场点的坐标为
（R, 0），考虑到导线是无限长，电场强度显然与z
无关。
这里，先求场强 E
，后求电势
E 0
D
E
这两方程连同介质的电磁性质方程是解决静电问题的基础。
静电场的无旋性是它的一个重要特性，由于无旋性，我们可以引入一个标势来描述静电场。
无旋性的积分形式是电场沿任一闭合回路的环量等于零，即
E dl 0
设C1和C2为P1和P2点的两条不同路径。C1与C2合成闭合回路，因此
量与存在着电荷分布的空间有关。真实的静电能量是以
密度 w 1 E D的形式在空间连续分布，场强大的地方 2
能量也大；
（4）W 1 dV中的是由电荷分布激发的电势； 2

2.5介质中的静电场方程

S
ˆ qr D 4r 2
在 a<r<a+b
在r>a+b
D E

ˆ qr E 4r 2 ˆ qr E 4 0 r 2
a b qdr qdr q 1 r 1 (a) E dl ( ) 2 2 4r a b 4 0 r 4 a a b a a
D E
介质的结构方程
r
与坐标无关，是常数－－均匀介质与坐标有关，是函数－－非均匀介质
(r )
与电场大小无关－－线性介质与电场大小有关——非线性介质 ( E )
与方向无关——各向同性介质与方向有关——各向异性介质
各向异性介质的介电常数不是标量，而是矩阵
Dx 11 12 13 Ex D E y 21 22 23 y Dz 31 32 33 Ez
D(r ) dS q
S
积分形式
静电场高斯定理
E 0
D
微分形式
E dl 0
l
D E
E
电位方程
E
为常数时

2
图示平行板电容器中放入一块介质后，其D 线、E 线和P 线的分布。
1 1 ' ( 1) D
r
r
无源区的均匀介质中
' 0
r
4.高斯定律的积分形式
D
V 散度定理
DdV

S
V
dV
D dS q
D 的通量与介质无关，但不能认为D 的分布与介质无关。

第二章静电场中的导体和电介质：电容器的电容

D 0 E P 0 r E E
P e 0 E
§2.8 电容器的电容
一.孤立导体的电容
q C V
单位：F（法拉）
C是与导体的尺寸和形状以及周围的电介质有关,与q，V无关的常数。
1F 10 F 10 PF
6 12
例1 .求半径为R的孤立导体球的电容。
q1:q2: · :qn = C1:C2: · :Cn · · · ·
q qi (V A VB ) C i ,
i 1 i 1
n
n
n q C Ci VA VB i 1
并联电容器的总电容等于各电容器的电容之和 2. 串联
C Ci
i 1
n
A +
VA +q –q +q –q 。
q dA udq dq C
从开始极板上无电荷直到极板上电量为Q的过程中，电源作的功为
2 q 1 Q 1Q dq 0 qdq C C 2 C
A dA 0
Q
Q CU
U为极板上电量为Q时两板间的电势差
1 Q2 1 1 2 A CU QU 2 C 2 2
E
0
( r R1 , r R2 )
λ er 2πεr
B A
( R1 r R2 )
2
VA VB
R E dl R Edr
1
λdr R1 2πεr
R2
R2 q R2 λ ln ln 2πε R1 2πεL R1
q 2πεL C V A VB ln( R2 / R1 )
②所求的C = q/VA–VB一定与q和VA–VB无关，仅由电容器本身的性质决定。

郭硕鸿《电动力学》课后答案

郭硕鸿《电动力学》课后答案第 2 页电动力学答案第一章电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：B A B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇ A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A 解：（1）)()()(cc A B B A B A ⋅∇+⋅∇=⋅∇B A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=cc c c B A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=（2）在（1）中令B A =得：AA A A A A )(2)(2)(∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇，所以 A A A A A A )()()(21∇⋅-⋅∇=⨯∇⨯ 即 A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u u f u f ∇=∇d d )( ， u u u d d )(A A ⋅∇=⋅∇， uu u d d )(AA ⨯∇=⨯∇ 证明：（1）z y x z u f y u f x u f u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇)()()()(zy x zuu f y u u f x u u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d du uf z u y u x u u f z y x ∇=∂∂+∂∂+∂∂=d d )(d d e e e（2）z u A y u A x u A u z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇)()()()(A zuu A y u u A x u u A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d du z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x dd)()d d d d d d (e e e e e e ⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂⋅++=第 3 页（3）u A u A u A zu y u x u uu z y x zy x d /d d /d d /d ///d d ∂∂∂∂∂∂=⨯∇e e e Azx y y z x x y z yu u A x u u A x u u A z u u A z uu A y u u A e e e )d d d d ()d d d d ()d d d d (∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=zx y y z x x y z yu A x u A x u A z u A z u A y u A e e e ])()([])()([])()([∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=)(u A ⨯∇=3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。

大学物理静电场中的导体和电介质习题答案

第13章静电场中的导体和电介质P70．13．1 一带电量为q ，半径为r A 的金属球A ，与一原先不带电、内外半径分别为r B 和r C 的金属球壳B 同心放置，如图所示，则图中P 点的电场强度如何？若用导线将A 和B 连接起来，则A 球的电势为多少？（设无穷远处电势为零）[解答]过P 点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧会感应出异种，但是高斯面内只有电荷q ．根据高斯定理可得 E 4πr 2 = q /ε0，可得P 点的电场强度为204q E rπε=．当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q 时，外侧将出现同种电荷q ．用导线将A 和B 连接起来后，正负电荷将中和．A 球是一个等势体，其电势等于球心的电势．A 球的电势是球壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是r c ，所以A 球的电势为04cq U r πε=．13．2 同轴电缆是由半径为R 1的导体圆柱和半径为R 2的同轴薄圆筒构成的，其间充满了相对介电常数为εr 的均匀电介质，设沿轴线单位长度上导线的圆筒的带电量分别为+λ和-λ，则通过介质内长为l ，半径为r 的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少？圆柱面上任一点的场强为多少？[解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r 、长为l 的圆柱形高斯面，根据介质中的高斯定理，通过圆柱面的电位移通过等于该面包含的自由电荷，即 Φd = q = λl ．设高斯面的侧面为S 0，上下两底面分别为S 1和S 2．通过高斯面的电位移通量为d d SΦ=⋅⎰D S12d d d 2S S S rlD π=⋅+⋅+⋅=⎰⎰⎰D S D S D S ，可得电位移为 D = λ/2πr ，其方向垂直中心轴向外．电场强度为 E = D/ε0εr = λ/2πε0εr r ，方向也垂直中心轴向外．13．3 金属球壳原来带有电量Q ，壳内外半径分别为a 、b ，壳内距球心为r 处有一点电荷q ，求球心o 的电势为多少？[解答]点电荷q 在内壳上感应出负电荷-q ，不论电荷如何分布，距离球心都为a ．外壳上就有电荷q+Q ，距离球为b ．球心的电势是所有电荷产生的电势叠加，大小为000111444o q q Q qU r a bπεπεπε-+=++13．4 三块平行金属板A 、B 和C ，面积都是S = 100cm 2，A 、B 相距d 1 = 2mm ，A 、C 相距d 2 = 4mm ，B 、C 接地，A 板带有正电荷q = 3×10-8C ，忽略边缘效应．求（1）B 、C 板上的电荷为多少？图14.3图14.4（2）A板电势为多少？[解答](1)设A的左右两面的电荷面密度分别为σ1和σ2，所带电量分别为q1 = σ1S和q2 = σ2S，在B、C板上分别感应异号电荷-q1和-q2，由电荷守恒得方程q = q1 + q2 = σ1S + σ2S．①A、B间的场强为E1 = σ1/ε0，A、C间的场强为E2 = σ2/ε0．设A板与B板的电势差和A板与C板的的电势差相等，设为ΔU，则ΔU = E1d1 = E2d2，②即σ1d1 = σ2d2．③解联立方程①和③得σ1 = qd2/S(d1 + d2)，所以q1 = σ1S = qd2/(d1+d2) = 2×10-8(C)；q2 = q - q1 = 1×10-8(C)．B、C板上的电荷分别为q B= -q1 = -2×10-8(C)；q C= -q2 = -1×10-8(C)．(2)两板电势差为ΔU = E1d1 = σ1d1/ε0 = qd1d2/ε0S(d1+d2)，由于k = 9×109 = 1/4πε0，所以ε0 = 10-9/36π，因此ΔU = 144π= 452.4(V)．由于B板和C板的电势为零，所以U A = ΔU = 452.4(V)．13．5 一无限大均匀带电平面A，带电量为q，在它的附近放一块与A平行的金属导体板B，板B有一定的厚度，如图所示．则在板B的两个表面1和2上的感应电荷分别为多少？[解答]由于板B原来不带电，两边感应出电荷后，由电荷守恒得q1 + q2 = 0．①虽然两板是无限大的，为了计算的方便，不妨设它们的面积为S，则面电荷密度分别为σ1 = q1/S、σ2 = q2/S、σ = q/S，它们产生的场强大小分别为E1 = σ1/ε0、E2 = σ2/ε0、E = σ/ε0．在B板内部任取一点P，其场强为零，其中1面产生的场强向右，2面和A板产生的场强向左，取向右的方向为正，可得E1 - E2–E = 0，即σ1 - σ2–σ= 0，或者说q1 - q2 + q = 0．②解得电量分别为q2 = q/2，q1 = -q2 = -q/2．13．6 两平行金属板带有等异号电荷，若两板的电势差为120V，两板间相距为1.2mm，忽略边缘效应，求每一个金属板表面的电荷密度各为多少？[解答]由于左板接地，所以σ1 = 0．由于两板之间的电荷相互吸引，右板右面的电荷会全部吸引到右板左面，所以σ4 = 0．由于两板带等量异号的电荷，所以σ2 = -σ3．两板之间的场强为E = σ3/ε0，而 E = U/d，所以面电荷密度分别为σ3 = ε0E = ε0U/d = 8.84×10-7(C·m-2)，σ2 = -σ3 = -8.84×10-7(C·m-2)．13．7 一球形电容器，内外球壳半径分别为R1和R2，球壳与地面及其他物体相距很远．将内球用细导线接地．试证：球面间电容可用公式202214RCR Rπε=-表示．（提示：可看作两个球电容器的并联，且地球半径R>>R2）[证明]方法一：并联电容法．在外球外面再接一个半径为R3大外球壳，外壳也接地．内球壳和外球壳之间是一个电容器，电容为P2图14.5图14.61210012211441/1/R R C R R R R πεπε==--外球壳和大外球壳之间也是一个电容器，电容为2023141/1/C R R πε=-．外球壳是一极，由于内球壳和大外球壳都接地，共用一极，所以两个电容并联．当R 3趋于无穷大时，C 2 = 4πε0R 2．并联电容为12120022144R R C C C R R R πεπε=+=+-202214R R R πε=-．方法二：电容定义法．假设外壳带正电为q ，则内壳将感应电荷q`．内球的电势是两个电荷产生的叠加的结果．由于内球接地，所以其电势为零；由于内球是一个等势体，其球心的电势为0201`044q q R R πεπε+=，因此感应电荷为12`R q q R =-．根据高斯定理可得两球壳之间的场强为122002`44R q q E r R rπεπε==-，负号表示场强方向由外球壳指向内球壳．取外球壳指向内球壳的一条电力线，两球壳之间的电势差为1122d d R R R R U E r =⋅=⎰⎰E l121202()d 4R R R qr R rπε=-⎰ 1212021202()11()44R q R R q R R R R πεπε-=-= 球面间的电容为202214R q C U R R πε==-．13．8 球形电容器的内、外半径分别为R 1和R 2，其间一半充满相对介电常量为εr 的均匀电介质，求电容C 为多少？[解答]球形电容器的电容为120012211441/1/R R C R R R R πεπε==--．对于半球来说，由于相对面积减少了一半，所以电容也减少一半：0121212R R C R R πε=-．当电容器中充满介质时，电容为：0122212r R R C R R πεε=-．由于内球是一极，外球是一极，所以两个电容器并联：01212212(1)r R R C C C R R πεε+=+=-．13．9 设板面积为S 的平板电容器析板间有两层介质，介电常量分别为ε1和ε2，厚度分别为d 1和d 2，求电容器的电容．[解答]假设在两介质的介面插入一薄导体，可知两个电容器串联，电容分别为C 1 = ε1S/d 1和C 2 = ε2S/d 2．总电容的倒数为122112*********d d d d C C C S S Sεεεεεε+=+=+=，总电容为 122112SC d d εεεε=+．13．10 圆柱形电容器是由半径为R 1的导线和与它同轴的内半径为R 2的导体圆筒构成的，其长为l ，其间充满了介电常量为ε的介质．设沿轴线单位长度导线上的电荷为λ，圆筒的电荷为-λ，略去边缘效应．求：（1）两极的电势差U ；（2）介质中的电场强度E 、电位移D ；（3）电容C ，它是真空时电容的多少倍？[解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r 、长为l 的圆柱形高斯面，侧面为S 0，上下两底面分别为S 1和S 2．通过高斯面的电位移通量为d d SΦ=⋅⎰D S12d d d 2S S S rlD π=⋅+⋅+⋅=⎰⎰⎰D S D S D S ，高斯面包围的自由电荷为 q = λl ，根据介质中的高斯定理 Φd = q ，可得电位为 D = λ/2πr ，方向垂直中心轴向外．电场强度为 E = D/ε = λ/2πεr ，方向也垂直中心轴向外．取一条电力线为积分路径，电势差为21d d d 2R LLR U E r r r λπε=⋅==⎰⎰⎰E l 21ln 2R R λπε=．电容为 212ln(/)q lC U R R πε==．在真空时的电容为00212ln(/)l q C U R R πε==，所以倍数为C/C 0 = ε/ε0．13．11 在半径为R 1的金属球外还有一层半径为R 2的均匀介质，相对介电常量为εr ．设金属球带电Q 0，求：（1）介质层内、外D 、E 、P 的分布；（2）介质层内、外表面的极化电荷面密度．[解答]（1）在介质内，电场强度和电位移以及极化强度是球对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r 的球形高斯面，通过高斯面的电位移通量为2d d 4d SSD S r D Φπ=⋅==⎰⎰D S高斯面包围的自由电荷为q = Q 0，根据介质中的高斯定理 Φd = q ，可得电位为 D = Q 0/4πr 2，方向沿着径向．用矢量表示为D = Q 0r /4πr 3．电场强度为E = D /ε0εr = Q 0r /4πε0εr r 3，方向沿着径向．由于 D = ε0E + P ，所以 P = D - ε0E = 031(1)4rQ rεπ-r．在介质之外是真空，真空可当作介电常量εr = 1的介质处理，所以D = Q 0r /4πr 3，E = Q 0r /4πε0r 3，P = 0．（2）在介质层内靠近金属球处，自由电荷Q 0产生的场为E 0 = Q 0r /4πε0r 3；极化电荷q 1`产生的场强为E` = q 1`r /4πε0r 3；总场强为 E = Q 0r /4πε0εr r 3．由于 E = E 0 + E `，解得极化电荷为 `101(1)rq Q ε=-，介质层内表面的极化电荷面密度为``01122111(1)44r Q q R R σπεπ==-．在介质层外表面，极化电荷为``21q q =-，面密度为``02222221(1)44r Q q R R σπεπ==-．13．12 两个电容器电容之比C 1:C 2 = 1:2，把它们串联后接电源上充电，它们的静电能量之比为多少？如果把它们并联后接到电源上充电，它们的静电能之比又是多少？[解答]两个电容器串联后充电，每个电容器带电量是相同的，根据静电能量公式W = Q 2/2C ，得静电能之比为W 1:W 2 = C 2:C 1 = 2:1．两个电容器并联后充电，每个电容器两端的电压是相同的，根据静电能量公式W = CU 2/2，得静电能之比为W 1:W 2 = C 1:C 2 = 1:2． 13．13 一平行板电容器板面积为S ，板间距离为d ，接在电源上维持其电压为U ．将一块厚度为d 相对介电常量为εr 的均匀介电质板插入电容器的一半空间内，求电容器的静电能为多少？[解答]平行板电容器的电容为C = ε0S/d ，当面积减少一半时，电容为C 1 = ε0S /2d ；另一半插入电介质时，电容为C 2 = ε0εr S /2d ．两个电容器并联，总电容为C = C 1 + C 2 = (1 + εr )ε0S /2d ，静电能为W = CU 2/2 = (1 + εr )ε0SU 2/4d ． 13．14 一平行板电容器板面积为S ，板间距离为d ，两板竖直放着．若电容器两板充电到电压为U 时，断开电源，使电容器的一半浸在相对介电常量为εr 的液体中．求：（1）电容器的电容C ；（2）浸入液体后电容器的静电能；（3）极板上的自由电荷面密度．[解答]（1）如前所述，两电容器并联的电容为C = (1 + εr )ε0S /2d ．（2）电容器充电前的电容为C 0 = ε0S/d ，充电后所带电量为 Q = C 0U ．当电容器的一半浸在介质中后，电容虽然改变了，但是电量不变，所以静电能为W = Q 2/2C = C 02U 2/2C = ε0SU 2/(1 + εr )d ．（3）电容器的一半浸入介质后，真空的一半的电容为 C 1 = ε0S /2d ；介质中的一半的电容为 C 2 = ε0εr S /2d ．设两半的所带自由电荷分别为Q 1和Q 2，则Q 1 + Q 2 = Q ． ① 由于C = Q/U ，所以U = Q 1/C 1 = Q 2/C 2． ② 解联立方程得01112211/C U C QQ C C C C ==++，真空中一半电容器的自由电荷面密度为00112122/2(1/)(1)r C U U Q S C C S dεσε===++．同理，介质中一半电容器的自由电荷面密度为0021222(/1)(1)r r C U UC C S dεεσε==++．13．15 平行板电容器极板面积为200cm 2，板间距离为1.0mm ，电容器内有一块1.0mm 厚的玻璃板(εr = 5)．将电容器与300V 的电源相连．求：（1）维持两极板电压不变抽出玻璃板，电容器的能量变化为多少？（2）断开电源维持板上电量不变，抽出玻璃板，电容器能量变化为多少？[解答]平行板电容器的电容为C 0 = ε0εr S/d ，静电能为 W 0 = C 0U 2/2．玻璃板抽出之后的电容为C = ε0S/d ．（1）保持电压不变抽出玻璃板，静电能为 W = CU 2/2，电能器能量变化为ΔW = W - W 0 = (C - C 0)U 2/2 = (1 - εr )ε0SU 2/2d = -3.18×10-5(J)．（2）充电后所带电量为 Q = C 0U ，保持电量不变抽出玻璃板，静电能为W = Q 2/2C ，电能器能量变化为2000(1)2C C U W W W C ∆=-=- 20(1)2r r SU dεεε=-= 1.59×10-4(J)．13．16 设圆柱形电容器的内、外圆筒半径分别为a 、b ．试证明电容器能量的一半储存在半径R =[解答]设圆柱形电容器电荷线密度为λ，场强为 E = λ/2πε0r ，能量密度为 w = ε0E 2/2，体积元为 d V = 2πrl d r ，能量元为 d W = w d V ．在半径a 到R 的圆柱体储存的能量为20d d 2VVW w V E V ε==⎰⎰2200d ln 44Ral l R r r a λλπεπε==⎰．当R = b 时，能量为210ln 4l b W aλπε=；当R =22200ln48l l b W aλλπεπε==，所以W 2 = W 1/2，即电容器能量的一半储存在半径R =13．17 两个同轴的圆柱面，长度均为l ，半径分别为a 、b ，柱面之间充满介电常量为ε的电介质（忽略边缘效应）．当这两个导体带有等量异号电荷(±Q )时，求：（1）在半径为r (a < r < b )、厚度为d r 、长度为l 的圆柱薄壳中任一点处，电场能量体密度是多少？整个薄壳层中总能量是多少？（2）电介质中总能量是多少（由积分算出）？（3）由电容器能量公式推算出圆柱形电容器的电容公式？[解答]（1）圆柱形内柱面的电荷线密度为 λ = Q/l ，根据介质是高斯定理，可知电位移为D = λ/2πr = Q /2πrl ，场强为 E = D/ε = Q /2πεrl ，能量密度为w = D ·E /2 = DE /2 = Q 2/8π2εr 2l 2．薄壳的体积为d V = 2πrl d r ，能量为 d W = w d V = Q 2d r /4πεlr ．（2）电介质中总能量为22d d ln 44bV aQ Q bW W r lr l a πεπε===⎰⎰．（3）由公式W = Q 2/2C 得电容为222ln(/)Q lC W b a πε==．13．18 两个电容器，分别标明为200PF/500V 和300PF/900V ．把它们串联起来，等效电容多大？如果两端加上1000V 电压，是否会被击穿？[解答]当两个电容串联时，由公式211212111C C C C C C C +=+=，得 1212120PF C C C C C ==+．加上U = 1000V 的电压后，带电量为Q = CU ，第一个电容器两端的电压为U1 = Q/C1 = CU/C1 = 600(V)；第二个电容器两端的电压为U2 = Q/C2 = CU/C2 = 400(V)．由此可知：第一个电容器上的电压超过它的耐压值，因此会被击穿；当第一个电容器被击穿后，两极连在一起，全部电压就加在第二个电容器上，因此第二个电容器也接着被击穿．。

第2章静电场(4) 高斯通量定理

通量仅由面内电荷决定。
27
3、高斯定理的意义 1 e E dS
S
0
q
i
i
(1) 说明静电场是有源场，源即电荷。
q 0, e 0 , 电场线从+q 出发，+q 是源头； q 0, e 0 , 电场线止于 - q ， - q 是尾闾。
(2) 高斯定理不仅适用于静电场，亦适用于运动电荷的电场和随时间变化的电场，是电磁场基本定理之一。
其中， E ：电场强度， P ：电极化强度
18
其中， 0 —— 真空中的介电常数 12 ( 8.854 10 F / m)(电容率) —— 介质的介电常数 ( 0 r ) (电容率) r —— 介质的相对介电常数 ( 1 e )(相对电容率)
e
利用高斯定理求场强 E 比较方便。
(2) 常见的具有对称性分布的电荷系统：
1）球对称（球体，球面）；
2）柱对称（无限长柱体，无限长柱面）； 3）面对称（无限大平板，无限大平面）。
30
(3) 求电场分布的步骤：
1) 分析带电系统的对称性； 2) 选合适的高斯面：使面上场强的大小处处相等(或部分相等，部分为零），场强的方向与曲面正交或平行。 3) 利用高斯定理求场强。
—— 介质的电极化率
0
SI单位： r 、e ：(纯数)
、 0 ：C2/Nm2
(F/m)
19
介真空空气
质
r
1 1.00059
变压器油
瓷
2.24
68
玻璃
钛酸钡
510
103104
20
性质
(1) D是辅助物理量, E 才是真实物理量。 (2) D是一个包含了场与介质极化两种性质的量。 (3) D 线只由自由电荷决定。

《电磁场理论》2.5 介质中的高斯定理

D E
P ( 0 )E
在真空中， P 0
，
r 1
D 0 E
5
各向异性介质的电位移与电场强度的关系可以表示为
D x 11 D y 21 D z 31
12 13 E x 22 23 E y 32 33 E z
7
例1：已知半径为a，介电常数为的介质球带电荷为q，球外为空气，分别在下列情况下求空间各点的电场和介质中的极化电荷分布： 1）电荷q均匀分布在球体内； 2）电荷q集中在球心； 3）电荷q均匀分布在球面上。解：1）电荷q均匀分布在球体内时，电场分布为
q
DdS q
S

4 3 a 3
P P1 ( 0 ) E1
1 d 2 q ( 0 ) 2 (r )0 2 r dr 4 r
r=0处为电场的奇异点，该处应有一极化点电荷，设此 10 极化点电荷为qP，根据高斯定理，有

S
0
E 1 d S q qP
取S为以介质球心为中心，r(r<a) 为半径的球面， q 0 2 4 r q qP 2 4 r
如图，柱形面上、下底面积 1 媒质 1 S ΔS很小，故穿过截面ΔS的电分界面通量密度可视为常数，假设 h 0 2 媒质 2 柱形面的高 h→0 ，则其侧面 2 积可以忽略不计。 D2 设分界面上存在的自由面电荷密度为，由高斯定理
1
1

S
D dS D1 nS D2 nS S

S
D dS q
( D1 D2 ) n
15
说明：1) 为分界面上自由电荷面密度，不包括自由极化电荷。 2）若媒质为理想媒质，则

第6章课堂讨论(静电场中的导体和电介质)

7
接地导体球半径为R，距离球心为l 例1. 接地导体球半径为，距离球心为处附近有一点电荷q,如图所示如图所示.求导体上感应电荷的电量导体上感应电荷的电量. 电荷如图所示求:导体上感应电荷的电量解: 接地即
V = 0
R
o
感应电量为Q 设:感应电量为，感应电量为由导体是个等势体知，由导体是个等势体知，
注意：导体接地仅仅意味着电势为零，注意：导体接地仅仅意味着电势为零，而不一定是 3 导体上的电荷为零。导体上的电荷为零。
静电场中有电介质存在时有关问题计算. 二、静电场中有电介质存在时有关问题计算 1、根据场的叠加原理，首先理解自由电荷和极化（束、根据场的叠加原理，首先理解自由电荷和极化（电荷在场中某点的总场强；缚）电荷在场中某点的总场强； 2、当电场具有适当对称性时，应用有介质时的高斯定、当电场具有适当对称性时，理求场强，方法与上一章相同，关系式为：理求场强，方法与上一章相同，关系式为：
9
由高斯定理，空间的电场：由高斯定理，空间的电场：
空腔与小球之间
空腔金属内
E1 =
q 4πε 0 r 2
Q+q
q
−q
R2 R1 r
E2 = 0 q+Q E3 = 4πε 0 r 2
空腔外部
小球的电势
r r R1 r r R2 r r ∞ r r R1 Vr = ∫ E ⋅ dl = ∫ E1 ⋅ dl + ∫ E2 ⋅ dl + ∫ E3 ⋅ dl = ∫
1 ε E2 = 1 DE we = 2 2
W = ∫ wedV = ∫
ε0εr E
2
2
dV
6
注意：基本步骤为：注意：基本步骤为： 1）根据电荷分布，求出电场分布；）根据电荷分布，求出电场分布； 2）选取合适的体积微元在dV中各点的场强值相）选取合适的体积微元dV,在中各点的场强值相通常在球对称电场中，等.通常在球对称电场中，取薄球壳为体积微元通常在球对称电场中）；在轴对称的电场中（dV=4πr2dr）；在轴对称的电场中，取薄圆柱壳为）；在轴对称的电场中，体积微元（体积微元（dV=2 πrldr ）; 3)按能量公式，正确确定积分上下限，计算出结果按能量公式，正确确定积分上下限，计算出结果. 按能量公式

电磁学的复习法宝公式篇镜像法

B=0

JC
=
V
t
微分形式的麦克斯韦方程组给出了空间某点场量之间
及场量与场源之间的关系。
导电材料的物态方程（本构关系）
JC=N eeeE
→ 导体的电导率 =eNee
JC =E
电介质的物态方程 D=r0E 其中： r 称为相对介电常数
磁介质的物态方程 B=0rH
电场法向分量的边界条件（电位移矢量D的边界条件）D1n=D2n 电场切向分量的边界条件（电场强度E的边界条件） E1t = E2t
拉普拉斯方程
Jc =E E = 0
J =0
2 = 0
恒定磁场基本方程
Hdl l
=
S Jc dS
B=H H = J c
S BdS = 0
B =0
矢量泊松方程 2A=Jc
矢量拉普拉斯方程
2A=0
场
内容
场方程
位函数的依据
位与场的关系
微分方程
正弦电磁场
（存在时间因子 e j t ）
lH d l= S (J C jD )d S
lE d l= jSB d S
SD dS=VVdV
SBdS=0
注意：利用积分形式的麦克斯韦方程可直接求解具有对称性的场。
麦克斯韦方程组的微分形式
积分形式:
微分形式:
H=m
恒
m(无
源）
H=0
0
H=J
m =
H dl
p
2m =0
n H1H2
=Jl 0
定磁矢 B=0
磁位
场 A(有
源或
B= H
B=A 2A=J

静电场的基本方程

rp??处体积元在点的电位的贡献处体积元在点的电位的贡献r?pvsovdzyxn?r?r??r?pv???303044rrprqlr??????????????cos??303044rrrrvrprrrpr????????????????????????????楠ewnsr?r??r?p做积分可以得到整个极化介质的电位做积分可以得到整个极化介质的电位????????????vvdvrrrrrprr3041??????????????????303044rrrrvrprrrpr????????????????????????????做变换可得???????vdvrrrpr?????1410??????楠ewns???????vdvrrrpr?????1410??????利用矢量变换性质可得?????????????vvdvrrrpdvrrrpr?????????004141??????????r?r??r?p面电荷电位形式体电荷电位形式nrp????面电荷密度rp?????体电荷密度??????????vsdvrrrpdsrrnrp?????????004141??????r???楠ewns极化介质产生的电位可以看做等效体电荷和等效面电荷在真空中共同产生的这些等效电荷也称为极化介质产生的电位可以看做等效体电荷和等效面电荷在真空中共同产生的这些等效电荷也称为极化电荷或者束缚电荷????????nrprrprspp?????????????上面的结果也适用于极化介质内部任意一点电位的计算有了电位表达式就能求出极化介质产生的电场
N
W楠 E
S
在外电场作用下，或者电介质中的分子产生附加电矩，或者固有偶极矩取得了外电场的取向，这种现象就称为介质的极化
从微观角度看，电介质的极化可以分为两种：非线性分子的极化叫做位移极化，极性分子的极化叫做取向极化。

电荷量的积分公式

电荷量的积分公式
电荷量的积分公式有两个，一个是电荷积分公式，另一个是电荷的计算公式。

电荷积分公式如下：∮S E·dS = Q/ε0。

其中，∮S表示对闭合曲面S进行的
面积积分，E表示电场强度，dS表示曲面S上的微元面积，Q表示曲面S
所包围的电荷量，ε0表示真空介电常数。

另一个电荷的计算公式是：电荷量（q）=电荷密度×面积（s）=电导PN
二极管中对流导电子数×电子电荷（e）。

即：q=Psen×e。

其中，电荷密
度P为某一面上电荷的总数除以该面积，它实际上是材料的电导PN二极管中对流导电子数的概率积分；s代表电荷面积，是面积之积，单位是平方米（m2）；e是电子界的基本电荷，在国际单位制中，它的数值是Χ10−19
克拉（C）。

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点电荷与介质球系统电势的计算和讨论

点电荷与介质球系统电势的计算和讨论二I第22卷第5期2003年5月大学C0LLEGE物理PHYSICSV01.22No.5May.2003点电荷与介质球系统电势的计算和讨论李子军,李根全,白旭芳(1.烟台大学光电学院,山东烟台264005;2.内蒙古民族大学物理系,内蒙古通辽028043)摘要:计算了点电荷与介质球系统的电势.指出点电荷与导体球,点电荷与无限大导体平面或介质分界平面,均匀外电场中有导体球或介质球系统的电势都可由点电荷与介质球系统的电势给出.关键词:点电荷;介质球;电势;极限情形中图分类号:O441.1文献标识码:A文章编号:1000—0712(2003)05—0009—041引育在静电场中引入电势的概念后,可使静电问题的求解大大简化.由电势可以很方便地求出场强,场的能量,带电体的电荷密度和所受的力等.所以,静电场中电势的计算是非常重要的.在一般电动力学教材中都分别计算了点电荷与导体球,点电荷与无限大导体平面,均匀外电场中有导体球或介质球情形的电势,还有一些文献.也计算了点电荷与无限大介质分界平面的电势.本文通过对点电荷与介质球系统电势的计算和讨论(虽有一些文献对此也作了计算和讨论,但讨论得还不够完善)将阐明:所有上述各种情形的电势都可由点电荷与介质球系统的电势给出.2点电荷与介质球系统电势的计算设介电常量为e,,半径为R的各向同性线性介质球处于介电常量为e的无限大各向同性线性介质内,在球外距球心为a处有一点电荷口,如图1所示.在图1所示的坐标系下.边值问题为:图1点电荷与介质球V9l=0V一8(r—n)l=2(r<R)(1)(r>R)(2)(r=R)(3)(r=R)(4)9,=有限值(r:0)(5)92=0(r---~O0)(6)该边值问题可用分离变量法求解.空间电势可视为点电荷口的电势和介质分界面上电荷的电势9之叠加,其中9在球内外都满足拉普拉斯方程.则球内外的电势分别为:,,(r≤R)(7)r≥R)(8)应用分离变量法,由条件(5),(6)知9,和应分别为:.=∑antnP(cos)(r≤R)(9);0=∑:P(cos)r≥R)(10)为确定a和b,需利用特殊函数将1/lr—a1展开为:1一收稿日期:2001—07—12;修回日期:2002—09—03作者筒介:李子军(1957一),男.辽宁朝阳人,烟台大学光电学院教授,主要从事物理教学研究和凝聚态光学性质的研究{刍PP口一rr一口∑∑,●●●●●,,●●●●【10大学物理第22卷田瓦(3),(4),(7),(8),(9),(10)卡口(11)日J求得::4(:0‟l,2,…)a‟e‰一一~…(12)c2,…(13)从而可给出球内外的电势分别为:一[+薹暑?P(cos0)]:?P(COS0)(r≤R)(14)[+薹等?1(≥R)(15)3i.-Iit~以式(14)和(15)为基础,讨论一些极限情形,即可给出各种特殊情况下的结果.3.1点电荷与导体球我们知道,若e./C2一oo,介质e的效果相当于导体,则由式(14)和(15)可分别给出:-一Y_2r”p¨(c刚):+ez—q4~re2co:4‟c￡2以‟￡l口…r≤R)(16)[+耋鲁?]=[去II一口¨rJ4‟c￡2Lr—n薹Pcc0s一+]=『一妻P(瞄)+4~re2【Ir—nI口r,～‟]=[南一+](r≥R)(17)式(16)表明:球内为等势区,是当介质e充满整个空间时,点电荷q在球心处的电势.式(17)表明:球外电场是当介质e:充满整个空间时,n点处的点电荷q,R2点处的象电荷一R和坐标原点(球心)处的象电荷竺q共同激发的.若球外为真空(￡:￡.),式(16)和(17)即为一般电动力学所给的真空中点电荷与中性导体球情形的相应结果[8】.3.2均匀场中有介质球若点电荷q(<0)沿2轴正向趋于无穷远,同时口值也趋于无穷大,但保证q在讨论范围内所激发的电场为非零有限值场,则此时q在讨论范围内所激发的电场是沿z轴正向的均匀电场,其大小为:E:.2a?0”C‟‟即lim:一4￡2E(18)式中负号的引入是因为q<0,这里要求场强大小E非零有限.由式(18)知,此时式(14)中的求和只有当:0,1时不为零,其余都为零.还需特别指出:式(14)是取无穷远为零点的电势表示.若均匀场占据整个空间,不能再取无穷远为电势零点.当零点改变时,电势的表达式应加一常量U.】.则均匀场中有介质球情形的球内电势为q++r≤R)(19)由对称性,取z;0的平面电势为零,得U.=..…|,r￡‟口再由式(18)得l:一.-=3~—2Ercos0(r≤R)(20)l一■lr)【zu)式(15)也可改写为92:[妻P(cos0+妻n=0?](≥n)(21/K)———广ILr同理,由式(18)知,当n(q)一oo时,式(21)中的求和也只有当=0,1时不为零.与上相同,仍把电势零点移到2=0的平面上,再由式(18)可给出球外电势为一ErcosCOS0r≥R)(22)式(20)和(22)即为半径为R,介电常量为￡.的各向同性线性介质球置于均匀外电场E中,球外空间充满介电常量为e的另一种各向同性线性介质时球内外的电势.这与一般电动力学所给的相应结果相同”.3.3均匀场中有导体球考虑到￡./￡一oo,则由式(20)和(22)知,导体球fit第5期李子军等:点电荷与介质球系统电势的计算和讨论内电势.=0.球~1.Eg势为::一Ecos0+宰cos0(≥R)(23)这也与一般电动力学中的相应结果相同….3.4点电荷与无限大介质分界平面与文献[4]相同,可将式(14)和(15)改写为:[一等](r≤R)(24)去I+尚一]cr≥R其中:g.=g,g.=ag,g:(z):g触,g:()=柏～,口I=,口2(z)=a:……“(y),ze,南j.e可以证明:式(14)和(15)与式(24)和(25)等价.需要指出:式(24)和(25)中的,,t都为参量,z,y并非位置坐标.把式(24)中涉及到的相关量代人式(24) 的积分表示,则A=d:柏因为在式(24)的条件下,1r1<ae,则把1川r一ee1 按式(11)展开,代人上式有A=柏妻n=0=由式(11),(24)和(26)司得一1薹[q0一]?rP(COS0)一q2n+1—一一衣‟r.p(cos)(r≤R)这正是式(14).表明式(14)与式(24)等价.同理若将式(25)中涉及到的相关量代入式(25)的积分表式,同时考虑在式(25)条件下,lrI>Re～/a, 则将1/Ir一R2e～eI按式(11)展开有B:=柏R.=lr一一ee.1柏e妻cos刚=￡2(￡2一e1)qRP(COS0)—甲(27)将式(25)中的l/lr一口{也按式(11)展开,再把式(27) 代人式(25)有仇=去{音+妻.～?]}=[+j—广『=赢【_=-妻](,≥R)可—j这正是式(15).表明式(15)与式(25)等价.当介质球半径R—oo时,球面过渡为平面.也可以证明:式(24)和(25)中的积分项,即式(26)和(27)都趋于零.再依坐标变换:f=zY=Y(28)l,:一R取a:R+h(29)式中h为点电荷q到介质分界面的距离.由式(28)和(29)可知:r=z++2=z+Y+(2+R),口=R+h,其中z,Y,2和h都为有限值.所以当R一一时,有AI¨—=0.Bl—.=0.由上,则当R一(一,h有限)时,式(24)和詈::(t+)=?丌l-—(2≤0)(30)川1『q￡l一￡2R1]I伫lF一:gj一[一.[.÷_干‟]=…Tj一赢‟I1￡l一￡2l可了_了=一‟一一尚㈣一12大学物理第22卷](≥0)(31)Jw式(30)和(31)表明:<0区域内的电势,是由(0,0,h)处的点电荷q和象电荷_.q(等效电荷为￡l十￡‟q)共同激发的;>0区域内的电势是由(0,0,h)处的点电荷q和(0,0,一h)处的象电荷.q共0l00,同激发的.式(30)和(31)即为一般电动力学参考书所给的点电荷与无限大介质分界平面情形的相应结果‟.3.5点电荷与无限大导体平面当￡./￡一oo时,则由式(30)和(31)可得:l=0nr1-Il一[+Y+(+h)]球情形的电势都可由点电荷与介质球系统的电势给出.参考文献:[1]张文灿,邓亲俊.电磁场的难题和例题分析[M].北京:高等教育出版社,1987.6,51～53.[2]林璇英,张之翔.电动力学题解[M].北京:科学出版社,1999.162～164.[3]魏春芳.电介质的镜象法[J].大学物理.1990.9(6):46.[4]汪映海,杨双强.点电荷和介质球系统的镜象电荷分布[J].物理,1986,15(12):762～765.[5]张解放,蔡清.点电荷和介质球系统的镜象求解[J].大学物理.1990,9(5):47.[6]曹昌祺.电动力学[M].第2版北京:人民教育出版社,1962.8O～82[7]王竹溪,郭敦仁.特殊函数概论[M].北京:科学出版社,1965.240.](≥.)(32)阚197仲9.元32‟--电3动3.力学教程M北京:人民教育出版社‟同理,由点电荷与导体球情形的式(16)和(17),若令尺一oo(n—oo,h有限),并考虑式(28)和(29),也可得.=0和式(32)(略).若取￡=￡.,则由式(32)即可得一般电动力学所给的点电荷与无限大导体平面情形的相应结果.当点电荷在介质球内时,除不能给出均匀场中有导体球或介质球情形的电势以外.其余情形的电势都可以相应地给出,本文不赘述.综上可见:点电荷与导体球,点电荷与无限大导体平面或介质分界平面,均匀处电场中有导体球或介质[9]封小超.关于电势零点选择的几个问题[J].大学物理.1986,5(7):13.[1O]阚仲元.电动力学教程[M].北京:人民教育出版社,1979.41.[11]郭硕鸿.电动力学[M].第2版.北京:高等教育出版社,1997.68.[12]林璇英,张之翔.电动力学题解[M].北京:科学出版社.1999.164.[13]郭硕鸿.电动力学[M].第2版.北京:高等教育出版社,199772.CalculationanddiscussionofthepotentialofasystemforapointchargeandadielectricsphereLIZi—jun,LIGen—quan,BAIXu—fang(1.InstituteofScienceandTechnologyforOpto—ElectronicInformation,Y antaiUniversity,Shandong. 264005,China;2.DepartmentofPhysics,InnerMongoliaUniversityforNationalities,Tongliao,InnerMongolia,028043,China)Abstract:Thepotentialofasystemforapointchargeandadielectricsphereiscalculated.Itis pointedoutthatthepotentialofsystemsofapointchargeandaconductingordielectricplane,acon—ductingordielectricsphereinhomogeneouselectricfieldcanbealldeducedfromourcalculation. Keywords:pointcharge;dielectricsphere;potential;thelimitconditions。