2008-2009-2微积分II期末考试题A卷

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2008级下期微积分A期末考试试题评分标准

2008级下期微积分期末考试试题(A)评分标准二、填空题（每题３分，合计１５分）1．{}(2,4,1)2,4,1--或；2.121cos sin x C e C x C x ++；3.11)3；4.32R π；5., 00, 0/2, x x x x ππππ--<≤⎧⎪<<⎨⎪=±⎩.三、（9 分）[解] 令 (,,) 2--=-+-x y zF x y z x ex y z ①(1)1,--=+-x y z x F x e 1,--=-+x y z y F xe 2,--=--x y z z F xe ②(1)1,2,----∂+-=-=-∂-x y z x x y z z F z x e x F xe ②， 1,2,----∂+=-=-∂-x y z y x y z z F zxe y F xe ② 3(0,2,1)(0,2,1)11(1), .22-∂∂=-=∂∂z z e x y ②四、（9分）[解] 椭圆2244+=x y 上点(,)x y 到直线2360+-=x y 的距离=d ① 令222(,,)(236)(44)λλ=+-++-F x y x y x y ②，224(236)206(236)80440λλλ=+-+=⎧⎪=+-+=⎨⎪=+-=⎩x xF x y x F x y y F x y ③，解得88553355⎧⎧==-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩x x y y ， ② 代入距离公式知所求点为83(,)55①五. (9分) [解] 收敛区间为[1,1)- ②,令 110011()() (0)11+∞∞=====≠++∑∑n n n n x x S x S x x n x n x ①()11001()11+∞∞=='⎛⎫'===⎪+-⎝⎭∑∑n n n n x S x x n x ② 1111001()()(0)()d d ln(1)1'=-===---⎰⎰xxS x S x S S x x x x x② 11ln(1)0:()() (1001)-≠==--≤<<<x x S x S x x x x x或 ① 0:() 1.==x S x① 六、(9分) [解] 将函数()f x 作偶延拓，周期为2π.① 0.n b = ①，002d ,a x x πππ==⎰①，2022cos d [cos 1]n a x nx x n n ππππ==-⎰②224, 2[(1)1] (1,2,)0, nn n n n n ππ⎧-⎪=--==⎨⎪⎩为奇数为偶数② 2141()cos(21), [,]2(21)n f x n x x n ππππ∞==--∈--∑ ②七、( 9分) [解] 22222()∂-∂==∂+∂Q y x Px x y y② 记L 所围成的区域为D ，选取适当小的0>ε，在D 内作圆周2221:+=L x y ε，取顺时针方向. ②在L 与1L 所围成区域1D 上用格林公式得=+-⎰+122d d L L y x xy y x 1()0∂∂-=∂∂⎰⎰D Q Pd x y σ ②故 ⎰+-L y x xy y x 22d d =-=+-⎰122d d L y x x y y x ⎰--121L ydx xdy ε222211(2)(2)2=--==⎰⎰D d σπεπεε③其中2D 为1L 所围成的区域.八、( 9 分) [解] 取1S 为圆盘：2210⎧+≤⎨=⎩x y z ，方向取下侧 ①，则⎰⎰⎰⎰⎰++=++++++VS S V z y x y x y z x z x y z y z x )d (3d )d (d )d (d )d (2222323231②2122200063d sin d d 5=⋅=⎰⎰⎰ππθϕϕρρρπ ② ⎰⎰+++++1d )d (d )d (d )d (232323S y x y z x z x y z y z x=⎰⎰-xyD y x y d d 2①2122001d sin d 4r r πθθπ=-=-⎰⎰ ② =-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰+11S S S S6129()5420=--=πππ ①九、( 9分)[解] 由对称性，所求面积是第一卦限的4倍：44xyxyD D S σσ==⎰⎰⎰⎰③cos 2004d d r πθθ=⎰⎰ ③204(1sin )d πθθ=-⎰ ② =2(2)π- ①十、( 7分)[证] (,,)(,),=x y G x y y F z z 令12122211, , ,=⋅=⋅=-⋅-⋅x y z x yG F G F G F F z z z zn 12122211, , ⎛⎫=⋅⋅-⋅-⋅ ⎪⎝⎭x y F F F F z z z z ()121221, , =--zF zF xF yF z ③在任一点(), , x y z 处的切平面方程为1212() ()()()0-+-+---=zF X x zF Y y xF yF Z z 即 1212()0+-+=zF X zF Y xF yF Z ③显然，0===X Y Z 满足方程,即任意一点处的切平面都通过原点. ①。

2008-2009微积分BII(A)答案试卷

2008-2009学年第二学期〈微积分(B)II 〉期末考试试卷(A)答案一、填空题（每小题4分，共24分） 1．设dz x z y则,2==xdy x dx yx y y ln 2222+.2． 0),(),,(),,(====），，（都是由设z y x F y x z z z x y y z y x x 所确定的函数,且F 的一阶偏导数连续, xzz y y x F F F z y x ∂∂⋅∂∂⋅∂∂≠'''则,0= -1 . 3．设函数),ln(),,(222z y x z y x f ++=则此函数的梯度)(f grad =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++2222222222,2,2z y x z z y x y z y x x . 4．交换二次积分的积分次序.后,⎰⎰--ydx y x f dy121),(= ⎰⎰--0121),(xdy y x f dx .5．⎰⎰∑+≥=++∑dS y x z z y x )(,0,122222则是上半球面设= 34π. 6．下列4个级数的收敛性(填收敛或发散)为(A)发散, (B)收敛, (C)收敛, (D)发散.(A)∑∞=+++13254321n n n n, (B)∑∞=++++++1)1()12)(1()9()92)(9(n n ne e e πππ , (C)∑∞=+-1)1ln()1(n n n , (D)∑∞=-+-1])1([)1(n n nn n . 评分：第4题差一个负号给3分。

第2题差一个负号给1分。

二、简单计算题（每小题6分，共36分） 7. 计算⎰⎰+Ddxdy y x)(22,其中D 是由1,0,2===x y x y 所围成的区域.解：原式=10526]31[]31[)(101640320221022=+=+=+⎰⎰⎰⎰==dx x x dx y y x dy y x dx x y y x .评分：第一个等号给4分,积分限3分(前1后2)。

《微积分》(二)期末试卷 A答案

对外经济贸易大学 2007─2008学年第二学期《微积分二》期末考试试卷A课程课序号：CMP124－0～15学号：姓名：成绩：班级：课序号：任课教师：一、选择题（每小题2分，共14分）：得分 1．若函数()f x 在区间[a ，b]上可积，则下列不等式中成立的是（ A ）。

.()().()().()().()()bbb ba aaabbbbaaaaA f x dx f x dxB f x dx f x dxC f x dx f x dxD f x dx f x dx≤≥==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2. 设)(x f 为连续函数，='=⎰)(,)()(ln 1x F dt t f x F xx则（ A ）。

A.)1(1)(ln 12x f x x f x + B ． )1()(ln xf x f +C.)1(1)(ln 12x f xx f x -D ．)1()(ln x f x f - 3．二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数''x00y 00f(x ,y ),f(x ,y )存在是函数 00f(x,y)在点(x ,y )连续的（ D ）。

A. 必要而非充分条件；B. 充分而非必要条件；C. 充分必要条件；D. 既非充分又非必要条件。

4．设(,)f x y 为连续函数，则14(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（ C ）。

A ．(,).xf x y dy ⎰⎰B.(,).f x y dy ⎰⎰C.(,).yf x y dx ⎰⎰D.(,).f x y dx ⎰⎰5．函数21212(,xx y c e c e c c -=+为任意常数）为下列二阶常系数齐次线性微分方程（ D ）的通解。

A. 20y y y '''+-= B. 20y y y '''-+=C. 20y y y '''++=D. 20y y y '''--=6．设()1ln(1nn u =-+，则下列结论中正确选项是( B )。

近十份大学微积分下期末试题汇总(含答案)

浙江大学2007-2008学年春季学期《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷一、填空题（每小题5分.共25分.把答案填在题中横线上） 1.点M （1,－1, 2）到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a =,3b =,3a b ⋅=,则a b += . 3.设(,)f u v 可微.(,)yxz f x y =,则dz = .4.设()f x 在[0.1]上连续.且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y =≤≤≤≤,则()()()()Daf x bf y d f x f y σ++⎰⎰= .5.设(,)f x y 为连续函数.交换二次积分次序2220(,)x x dx f x y dy -=⎰⎰.二、选择题（每小题5分.共20分.在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.把所选字母填入题后的括号内）6.直线l 1:155121x y z --+==-与直线l 2:623x y y z -=⎧⎨+=⎩的夹角为（A ）2π . （B ）3π . （C ）4π . （D ）6π. [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数.极坐标系中的二次积分cos 2d (cos ,sin )d f r r r r πθθθθ⎰⎰可以写成直角坐标中的二次积分为（A）100(,)dy f x y dx ⎰⎰ （B）100(,)dy f x y dx ⎰⎰（C）10(,)dx f x y dy ⎰⎰（D）10(,)dx f x y dy ⎰⎰[ ]8.设1, 02()122, 12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩ ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数.则5()2S -=（A ）12. （B ）12-. （C ）34. （D ）34-. [ ] ＜9.设,)(0,0),(,)0, (,)(0,0),x y f x y x y ≠==⎩则(,)f x y 在点O (0,0)处（A ）偏导数存在.函数不连续（B ）偏导数不存在.函数连续（C ）偏导数存在.函数连续（D ）偏导数不存在.函数不连续 [ ] 三、解答题10.（本题满分10分）求曲线L ：2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在其上点M （1.－1.2）处的切线方程与法平面方程.11.（本题满分10分）设F 可微.z 是由F (x y -,,)0y z z x --=确定的可微函数.并设23F F ''≠.求z zx y∂∂+∂∂. 12.（本题满分10分）设D 是由曲线3y x =与直线y x =围成的两块有界闭区域的并集.求2[e sin()]d xDx y σ++⎰⎰. 13.（本题满分10分）求空间曲线L ：222920335x y z x y z ⎧+-=⎨++=⎩上的点到xOy 平面的距离最大值与最小值.14.（本题满分10分）设平面区域D ={}(,)01,01x y x y ≤≤≤≤.计算二重积分22 1 d Dx y σ+-⎰⎰.15.（本题满分5分）设当y ＞0时(,)u x y 可微.且已知222222(,)()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y=++-++++. 求(,)u x y .浙江大学2007－2008学年春季学期《微积分II 》课程期末考试试卷答案一、填空题（每小题5分.共25分） 1．231421=-++=d .2．22()()2496a b a b a b a b a b +=+⋅+=++⋅=++=3．()()dy xy f x x f dx y y f yx f dz x y x y 121211ln ln --'+⋅'+'+⋅'=4．()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰++=++=D Dd x f y f x bf y af d y f x f y bf x af I σσ. ()()⎰⎰+=+=+=∴Db a I b a d b a I 21,2σ.5．()()2220111,,x x dx f x y dy dy f x y dx --=⎰⎰⎰⎰或 ()0111,dy f x y dx -⎰⎰或 ()1101,dy f x y dx -⎰⎰.二、选择题（每小题5分.共20分） 6．选（B ）.l 1的方向向量{}1,2,1-.l 2的方向向量{}2,1,1--.{}{}3,2163662,1,11,2,1cos πθθ===--⋅-=.7．选（D ）. 积分区域(){}0,,22≥≤+=y x y x y x D .化成直角坐标后故知选（D ）.8．选（C ）. 511111113()()()((0)(0))(1)222222224S S S f f -=-==-++=+=.9．选（A ）. ()()0000,0lim0,0,00x y x f f x→-''===.偏导数存在. 取kx y =.()4411lim,lim kk kk kx x f x x +=+=→→随k 而异.所以不连续．三、解答题（10～14每题10分.15题5分.共55分） 10．由L .视x 为自变量.有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++.0226,0264dx dz z dx dy y x dx dz z dx dy y x 以()()2,1,1,,-=z y x 代入并解出dxdzdx dy ,.得 87,45==dx dz dx dy . 所以切线方程为87245111-=+=-z y x .法平面方程为()()()57112048x y z -+++-=.即0127108=-++z y x .11．133212232332,,1y x z z F F F F F F F F z z z z x F F F y F F F x y F F ''''''''--+∂∂∂∂=-=-=-=-+==''''''''∂-+∂-+∂∂-.12．D 在第一象限中的一块记为D 1.D 在第三象限中的一块记为D 2.()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++++=++2122122sin sin sin D D DD x D x x d y x d y x d e d e d y x eσσσσσ.32222312101xx x x x xxxD D e d e d dx e dy dx e dy σσ-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()()()()222210103333011x x x x x x e dx xx e dx x x e dx xx e dx -=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰()2111130021()112x u u u u x x e dx e du ue du e ue e e e =-=-=---=--=-⎰⎰⎰()()()()3312101sin sin sin sin x x xxD D x y d x y d dx x y dy dx x y dy σσ-+++=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()103301cos cos cos cos x x x x dx x x x x dx -⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ()()()()13301cos cos cos cos 0x x x x dx x x x x dx ⎡⎤⎡⎤=-+-+++-+=⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 所以.原式2-=e .13．L 上的点到平面xoy 的距离为z .它的最大值点.最小值点与2z 的一致.用拉格朗日乘数法.设()()()53329,,,,2222-+++-++=z y x zy x z z y x F μλμλ.求偏导数.并令其为零有：20F x x λμ∂=+=∂.1830F y x λμ∂=+=∂. 2430F z z z λμ∂=-+=∂.22920Fx y z x∂=+-=∂ . 3350Fx y z μ∂=++-=∂ ．解之得两组解()()1215,,(1,,1);,,(5,,5)33x y z x y z ==--. 所以当31,1==y x 时.1=z 最小；当35,5-=-=y x 时.5=z 最大.14．将分成如图的两块.41的圆记为D 1.另一块记为D 2()⎰⎰⎰⎰--=-+DD d y x d y x 1222211σσ+()⎰⎰-+2122D d y x σ ()()()σσσd y x d y x d y xD DD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+--++--=11111222222()()()()1222211122220211211211()43343D Dx y d x y d d r rdr dy xy dx πσσθππ=--++-=-++-=+-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰15．由()222222,()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y =++-++++.有222xy y x y x u ++=∂∂.从而知()()y y x y x y x u ϕ++=2221arctan,.又由y y x yx x y u 2222+++-=∂∂.推知 ()22222221()xx y x y y x y y x x y y ϕ-'++=-++++. ()()22,y y y y C ϕϕ'==+所以.()2221,arctan2x u x y x y y C y =+++. 注：若用凑的办法亦可：222222()(2)y x xy dx x y y dy x y x y++-++++()()22222211221()ydx xdy ydx xdy xy ydx xdy ydy d xy dy x x y y y--=+++=++++ ()221(arctan)2x d xy y y =++ 所以.()C y y x y x y x u +++=22221arctan,． ()()u f u F ='．浙江大学2006–2007学年春季学期《微积分Ⅱ 》课程期末考试试卷开课学院：理学院考试形式：闭卷考试时间：年月日所需时间：120 分钟考生姓名： _____学号：专业： ________一、填空题（每小题5分.满分30分） 1．直线63321-==+z y x 在平面0522=--+z y x 上的投影直线方程为.2．数量场2),,(zye z y x g x +=在)0,3,1(P 点的梯度为 .=u函数)ln(),,(22z y x z y x f ++=在P 点沿u的方向导数为 .3．设ϕϕ,),2,3(),,(f y x x u u x f z+== 具有二阶连续偏导数.则=∂∂∂yx z 2.4．设}1,11|),{(3≤≤≤≤-=y x x y x D.则=+⎰⎰+Dy xy x e y x x d d )(222.5．已知曲面1=z y x 与椭球面193222=++z y x 在第一卦限内相切.则切点坐标为 .公共切平面方程为.6．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤=121,210,)(2x x x x x f .∑∞=+=10cos 2)(n n x n a a x S π.其中,2,1,0,d cos )(210==⎰n x x n x f a n π.则.)27(=S二、（满分10分）求直线 ⎩⎨⎧=-++=-+-022012z y x z y x 绕x 轴旋转一周所得的旋转曲面方程.1002 22dd x yex y.三、（满分10分）计算⎰⎰-四、 (满分15分)已知),(y x z z =由方程013=++zxe z y 确定.试求1022==∂∂y x x z.五、（满分15分）设平面),,(,1:z y x d y x =+π为曲线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++014222z y x z y x 上的点),,(z y x 到平面π的距离.求),,(z y x d 的最大.最小值 .六、 (满分15分)如图是一块密度为ρ（常数）的薄板的平面图形（在一个半径为R 的半圆直径上拼上一个矩形.矩形的另一边为h ）,已知平面图形的形心位于原点(0, 0). 试求：1. 长度 h ；2.薄板绕x 轴旋转的转动惯量.七、 (满分5分) 求证:当0,1≥≥s t 时.成立不等式 s e t t t ts +-≤ln .参考解答：一．1．⎩⎨⎧=--+=+-0522043z y x z y x ； 2. 21},0,,3{e e ；3. )3(2))(3(2222122222122212ϕϕϕϕϕϕ''+''⋅'+'+'⋅'⋅''+'''f f f ； 4.;32 5. ;03313,3,1,31=-++⎪⎭⎫⎝⎛z y x 6. 83.二．直线：t z t y t x -=-==1,1,曲面上点→),,(z y x P 直线上点00000001,1),,,(x z x y z y x -=-=22222020220)1()1(,,x x z y z y z y x x -+-=+⇒+=+=则旋转曲面方程：222)1(2x z y -=+三．⎰⎰10222d d xy ex y -⎰⎰⎰-==--212212220142)d 41(d d y y e x e y 2y yy2120202020221d d d d 212212212212212------=-+=+=⎰⎰⎰⎰e y e ey y e e y y e yy y y y四．,1)1,0(-=z ,032=∂∂++∂∂⋅x z xe e x z z y z z ex z y x 3110-=∂∂∴== ,02632222222=∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+∂∂⋅x z xe x z xe x z e x z z y x z z y z z z 2102294ex zy x =∂∂∴== 五．|1|21),,(-+=y x z y x d )14()()1(2222-++++++-+=z y x z y x y x L μλ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++='=±===++='==+='-==⇒≠=++-+='=⇒==++-+='014,01302,002)1(20,002)1(22223231221z y x L z y x z y x L x z L xz x y y y x L x y x L z y xμλμλμμλλμμλ，无解最小距离：2236),,(323131-=-d .最大距离：2236),,(323131+=--d六．形心：01,0=⇒==⎰⎰⎰⎰DDxdxdy xdxdyx y σ即0d cos d d d 220=⋅+⎰⎰⎰⎰---ππθθRhRRr r r y x xR h R h R 320312)21(232=⇒=⋅+-⋅ ⎰⎰=Dxdxdy y I 2302202)832(d θsin d d d 22R R h r r r y y x RhRR πθππ+=⋅+=⎰⎰⎰⎰--- 七．设0)0,1(,ln ),(=-+-=F ts e t t t s t F s.ln ,0),(t s e t t e s t F s s s ==⇒=-=' 且对固定的1>t . 当,0),(,ln 0<'<<s t F t s s 当,0),(,ln >'>s t F t ss所以.t s ln =取得最小值且为0.则 0),(≤s t F .即s e t tt ts +-≤ln1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.π=⎰∞+∞--dx e x 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________. 6 知dxexp ⎰∞+- 0)1(与⎰-ep x x dx11ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( b ).(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( a).(A)123I I I >> (B)213I I I >> (C)123I I I << (D)213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛.则∑∞=-1)1(n nna ( d ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 2、、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：32y x =的函数为23,0x y y =>。

2008-2009学年第2学期期末考试 A卷试卷及解答

中国海洋大学2008-2009学年第2学期期末考试试卷数学科学学院《线性代数》课程试题(A卷) 共4 页第2 页中国海洋大学 2008-2009学年第2学期期末考试试卷数学科学学院《线性代数》课程试题(A 卷) 共 4 页第 3 页解： 1X A B -=，根据初等行变换求解可得 ()()213132132323102211022110221311133,201570015702,521891014510012110021010351,100121rr r r r r r r r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-------+---+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫ ⎪-⨯-⨯-⎪ ⎪---⎝⎭uuuuuuuuuuuuu r uuuuu r uuuuuuuuuuuuu r uuuuu r 100210103500121--⎛⎫ ⎪--⎪ ⎪⎝⎭uuuuuuuuuuu因此213521X --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭4. 已知3R 的两组基为()()()1231,0,0,1,1,0,1,1,1TTTααα==-=与()()()1231,2,1,2,3,3,3,7,1T T Tβββ===，求：（1）基{}123,,ααα到基{}123,,βββ的过渡矩阵；（2）向量()5,2,1Tα=在基{}123,,ααα下的坐标。

解：（1）设基{}123,,ααα到基{}123,,βββ的过渡矩阵为C ，则()()123123,,,,C βββααα=，即123111237011131001C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此1111123011237001131C -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用初等变换法求解得()2313122111123110012100118011237,010106,1010106001131001131001131r r r r r r r --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪----+⨯--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭uuuuuuuuuuu r uuuuuuuuuuuuur12,,,,n αααβL 线性无关；（2）若1β可由12,,,n αααL 表出，而2β不能由12,,,n αααL 表出，则1212,,,,n αααββ+L 线性无关。

2008-2009微积分期末考试及答案

2008-2009微积分期末考试及答案一、填空题(将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每小题3分，共15分.） 1. =→xx x 1sinlim 0________.2. 设1)1(lim)(2+-=∞→nxx n x f n ，则)(x f 的间断点是________.3. 已知(1)2f =，41)1('-=f ,则12()x dfx dx-== _______.4. ()axx '=_______.5. 函数434)(x x x f -=的极大值点为________.二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题3分，共15分.） 1. 设)(x f 的定义域为)2,1(, 则)(lg x f 的定义域为________. A.)2lg ,0( B. ]2lg ,0[ C. )100,10( D.)2,1(.2. 设对任意的x ，总有)()()(x g x f x ≤≤ϕ，使lim[()()]0x g x x ϕ→∞-=，则lim ()x f x →∞______.A.存在且一定等于零B. 存在但不一定等于零C.不一定存在D. 一定存在. 3. 极限=-→xxx xe21lim0________.A. 2eB. 2-eC. eD.不存在. 4. 设0)0(=f ，1)0(='f ，则=-+→xx f x f x tan )2()3(lim 0________.A.0B. 1C. 2D. 5.5. 曲线221x y x=-渐近线的条数为________.A ．0B ．1C ．2D ．3. 三、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求2sin 1limsin xx e x x→--.四、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求21lim (cos )x x x +→.五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）确定常数,a b , 使函数2(sec )0()0x x x x f x ax bx -⎧>=⎨+≤⎩处处可导.六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）设21()arctan ln(1)2f x x x x =-+,求dy .七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）已知2326x xy y -+=确定y 是x 的函数,求y ''. 八、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）列表求曲线523333152y x x =-+的凹向区间及拐点.九、经济应用题（请写出主要计算步骤及结果，10分.）某工厂生产一种产品的总成本函数为Q Q C 21200)(+=，需求函数为QP 100=，其中Q 为产量，P 为价格，求（1）生产该产品的最优产量和最大利润. (2)该产品在销售价格2=P 时需求对价格的弹性，并指出其经济意义. 十、证明题（请写出推理步骤及结果，共6+6=12分.）1. 设)(x f 在[,]a b 上连续，且(),(),f a a f b b <>证明在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使()f ξξ=.2. 设函数)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导, 且0)1(=f ,求证:至少存在一点)1,0(∈ξ,使得3'()()0f f ξξξ+=.2008－2009微积分期末考试及答案一、填空题（3×5=15）1、02、 0x = 3 、4- 4、()1ln 1ax a x xa x -⋅+ 5、3x =二、单项选择题（3×5=15）1、C2、C3、A4、B5、D三、（8×1=8）22sin 1sin 1limlim2sin cos lim 62sin 1lim822xxx x xx xx e x e x xxe xx e x→→→→----=-=+== 分分分四、（8×1=8）()2ln cos 1lim1sin cos lim112lim (cos )268x x x xx x x xx e e e+→++→→-⋅--=== 分分分五、（8×1=8）因为()f x 在(),-∞+∞处处可导，所以()f x 在0x =处连续可导。

四川大学2008-2009学年下学期微积分期末考卷(A)答案

dt + C ] = e1000 k ln(50−t ) [ ∫ ge−1000 k ln(50−t ) dt + C ]
= (50 − t )1000 k [ g ∫ (50 − t ) −1000 k dt + C ] g (50 − t )−1000 k +1 + C ] k −1 g = C (50 − t )1000 k + (50 − t ) 1000k − 1 = (50 − t )1000 k [
2008-2009 学年第二学期微积分（数二）期末试题参考答案
一、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 1、
1 3 x +C ， 3
π
4 0
2、
1 ， e
3、 −
π π
2
1 6
1 sin θ 0
4、 ∫
dθ ∫
sin θ cos 2 θ 0
f ( r cos θ , r sin θ )rdr + ∫
六、解：设雨滴下落的速度函数为 v(t ) 由牛顿第二定律
(50 − t ) (50 − t ) g − kv = v ′, 1000 1000 1000k v′ + v=g 50 − t
线性微分
(t ∈ [0,50))
由
一
1000 k dt − 50 − t
阶
方
程
求
解
v=e
∫
[ ∫ ge
∫
1000 k dt 50 − t
D1 D1
0
− x3
−1
0
xdy = −
2 5
四、解答题(每题 8 分,共 24 分)

微积分II期末(A)卷答案

《微积分II 》期末考试题（A ）答案一、填空题（每小题2分，共16分）1、{(,)0,0}x y y x x y ≤≥+>2、=)1,1(dz 2211(ln 2)22e dx e dy ++ 3、 04、235、sin ()x y x c e-=+ 二、选择题（每小题2分，共16分）1、 D2、D3、C4、B5、D6、C三、解答题（每小题5分，共40分）1、解：令xz e yz xy z y x F --=),,(则 xzz y xz x xe y F z x F ze y F --=-=-=,, 所以 xz xz z x xey ze y F F x z +-=-=∂∂ xzz y xe y z x F F y z +-=-=∂∂ 2、两边求全微分02)(=+---dz e dz xy d ez xy 02)(=+-+--dz e dz xdy ydx e z xy2)(-+=-z xy e xdy ydx e dz3、解：e e x dx e dx e dy xe dx dxdy xe x x xy xy D xy 1)()1()(101001011010=+=-===----⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 4、解：因为 11)1(5lim 22=++∞→nn n n n ，又 ∑∞=121n n 收敛，所以∑∞=++12)1(5n n n n 收敛. 5、 313)1(3lim lim 11→+⋅=+∞→+∞→n n n nn n n n a a ，故收敛半径为3.又3=x 时，级数∑∑∞=∞==⋅11133n n n n n n 发散， 3-=x 时，级数()∑∑∞=∞=-=⋅-11)1(33n n n n n n n 收敛，故收敛域为)3,3[- 6、解 1110<=-∑∞=x x x x n∑∑∞=++∞=-=-=-⋅-=-=∴012022233331133)(x n n x n n x x x x x x x x f 收敛域为13<x 即3<x 因此)3,3(330122--=-∑∞=++x n n x x x7、微分方程的特征方程为0522=+-r r特征根i r 211+=，i r 212-=，故方程通解为)2sin 2cos (21x c x c e y x+=。

2008级微积分A(下)期末试卷(A卷)解答 (1)

2008-2009学年《微积分A》第二学期期末考试参考答案及评分标准2009年6月26日一、填空（每小题4分，共28分） 1.112213−+=−=−z y x 2. ;1312;0123412=−+−z y x 3.};,ln ,{1y y y x x z x yz x gradu −=;ln )1()(22x z x z x y y gradu div y y +−=−4. 5.;2π;3R π6.∫∫θπρρθρθρθ=cos 2020)sin ,cos (a d f d I 7..2121;21≤<−>p p 二、 0332=−=∂∂y x xz 0332=−=∂∂x y yz 得驻点为 ……… 2分 )1,1(),0,0(又 y yz y x z x x z 6,3,622222=∂∂−=∂∂∂=∂∂ ……… 4分在点处：)0,0(0,3,022222=∂∂=−=∂∂∂==∂∂=y z C y x z B xz A ,092>=−AC B 所以点不是极值点. ……… 6分)0,0(在点处：)1,1(6,3,622222=∂∂=−=∂∂∂==∂∂=y z C y x z B xz A 06,0272>=<−=−A AC B 且,.1−所以点是极小值点，极小值为：)1,1(=极小z ……… 8分三、(1)圆锥面与抛物面的交线为：⎪⎩⎪⎨⎧−−=+=22222yx z y x z ，即. ⎩⎨⎧=+=1122y x z .1:22≤+Ωy x D xoy 面的投影区域在 ………2分 ,2:221y x z S −−=.)(4112222y x z z y x ++=′+′+,:222y x z S +=.2122=′+′+y x z zdxdy dxdy y x S DD ∫∫∫∫+++=2)(4122 ……… 4分 π+ρρρ+θ=∫∫π10220241d d ……… 6分 .2)155(6π+−π= ……… 7分 (2) )1()(22=μ+μ=∫∫∫V z dVy x J ……… 9分柱坐标系）(2210320∫∫∫ρ−ρπρρθ=dz d d ……… 11分 .154π= ……… 12分四、记2233,3xy y x Y y xy X n m −=−=由题意知：yX x Y ∂∂=∂∂ ……… 2分 121633−−−=−⇒m n my xy y y nx2,3==⇒n m ……… 4分由题意知曲线积分与路径无关，且路径的起点、终点坐标分别为： )2,(),0,0(a a π，选择折线路径：)2,()0,()0,0(a a a π→π→，则 ∫∫π−π+=πa a dy ay y a dx I 20220]3)(3[0 ……… 6分……… 8分 )43(24−ππ=a （也可求出原函数后用牛顿-莱布尼茨公式或选择其他积分路径）五、 )121(21)2(1)(xx x x x f −−=−= ……… 1分 ]331131)3(11[21−+⋅−−+=x x ……… 3分 ∑∑∞=+∞=−−−−−=010]3)3()1()3()1([21n n n n n n n x x ……… 5分 ∑∞=+−−−=01)3)(311()1(21n n n n x ……… 6分收敛域为：.42<<x ……… 8分六、添加辅助面取下侧， ……… 2分,,0:222R y x z S ≤+=ydzdx z xdydz y dxdy z x R I 2222)1(1+++=∫∫Σ ……… 3分 )(12∫∫∫∫+Σ−=SS R （利用高斯公式） ])([1222:2222∫∫∫∫∫≤++++−=R y x D V dxdy dxdydz x z y R ……… 5分 π+ϕϕθ−=∫∫∫πππdr r d d RR 042202sin 1 （由球坐标）…. 8分 .523π+π−=R ……… 10分七、 1lim 1=+∞→nn n a a Q ，所以收敛半径1=R .又当1±=x 时，级数发散，所以幂级数的收敛域为：).1,1(−=D ……… 3分记n n n n n n n n n x n x n n x S ∑∑∑∞=∞=∞=−+−=+−=1111)1()1(1)1()( … 4分∫∑∞=−−++−=x n n n dx x x x 011)1(1 ……..7分 ∫+−++−=x dx xx x 0111 ……… 8分 )1,1()1ln(1−∈+−+−=x x x x ……… 10分八、将)(x f 进行偶延拓，由狄立克莱收敛定理知：⎩⎨⎧π−∈−ππ∈+π=]0,[],0()(x x x x x S ……… 2分由和函数的周期性，当]2,[ππ∈x 时，]0,[2π−∈π−xx x S x S −π=π−=3)2()( ……… 3分又.53)25()5(),,0(25−π=π+−=−∴π∈π+−S S ..…… 5分L ,2,1,0==n b n ,3)(2)(2000π=+ππ=π=∫∫ππdx x dx x f a …….6分 ∫∫ππ+ππ=π=00cos )(2cos )(2nxdx x nxdx x f a n ]1)1[(22−−π=n n ⎪⎩⎪⎨⎧=−=π−===L L ,2,1,124,2,1,202k k n n k k n ……… 8分九、由球坐标与直角坐标的关系，有ϕ=θϕ=θϕ=cos ,sin sin ,cos sin r z r y r x ……… 2分（1）).cos ,sin sin ,cos sin (),,(ϕθϕθϕ==r r r f z y x f u …… 3分（2）令 ,t z f y f x f z y x =′=′=′ .,,tz f ty f tx f z y x =′=′=′⇒θθθ′⋅′+′⋅′+′⋅′=θ∂∂z f y f x f u z y x0cos sin )sin (sin ⋅′+θϕ⋅′+θ−ϕ⋅′=z y x f r f r f ..…… 4分 θϕ⋅+θ−ϕ⋅=cos sin )sin (sin r ty r txθθϕ+θθ−ϕ=sin cos sin cos )sin (sin 2222tr tr =0 ……… 5分 ϕϕϕ′⋅′+′⋅′+′⋅′=ϕ∂∂z f y f x f u z y x ϕ⋅′−θϕ⋅′+θϕ⋅′=sin sin cos cos cos r f r f r f z y x …… 6分 ϕ⋅−θϕ⋅+θϕ⋅=sin sin cos cos cos r tz r ty r txϕϕ−θϕϕ+θϕϕ=cos sin sin cos sin cos cos sin 22222tr tr trϕϕ−ϕϕ=cos sin cos sin 22tr tr =0 ……… 7分由此知.的函数仅为有关，即无关，仅与，与r u r u θϕ ……… 8分。

《微积分2》(经管大类A卷)试卷版修改版

本套练习题由单项选择题, 填空题组成(注: 两种类型的题目是混合排列的), 共 50 题, 每题 2 分, 共 100 分; 内容涵盖定积分应用、向量代数与空间解析几何、多元函数微分学及其应用等三个部分。
y 2 z 2 ) 在点 A(1, 0, 1) 处沿点 A 指向点 B(3, 2, 2) 方向的方向导数为 0.5
yz xz xy , 得 x y z 1, 所以切平面方程为 ( x 1) ( y 1) ( z 1) 0 1 1 1
x 1 y 5 z 8 x y 6, 21. 设有直线 L1 : 与 L2 : 则 L1 与 L2 的夹角为∏/3 1 2 1 2 y z 3,
2 2
8. 曲面 x 2 y 3z 21在点 A(1, 2, 2) 的法线方程为 x-1=(y+2)/(-4)=（z-2)/6
2 2 2 2 3 9. ( 单项选择题 ) 在曲线 x t , y t , z t 的所有切线中 , 与平面 x 2 y z 4 平行的切线

b a
π[m f ( x) g ( x)][ f ( x) g ( x)]dx
A卷第 3 页 ( 共 4 页 ) 24. 若函数 u f (t , x, y), x (s, t ), y (s, t ) 均具有一阶连续偏导数, 则
u t
28. 设方程 y F ( x 2 y 2 ) F ( x y) 确定隐含数 y f ( x) (其中 F 可微), 且 f (0) 2,
3 A. F (3) F ( 2) 4
C. F (3)
5 B. F (3) F (2) 4
D. F ( 3)

2008-2009(2)期末考试试卷(A)参考答案(高等数学)

0
0
7
a4
10
2
1
6.
7. 补上平面块∑1：z=h,x2+y2≤h2，取上侧。
由高斯公式 xdydz ydzdx zdxdy 3dv =h3
6
1
而 xdydz ydzdx zdxdy h3
8
1
所以原式= 0
10
8．
d y( y
y
1)
dx x
（3 分）
ln y ln x ln C y 1
y(x) 3y(x) 6xex （2 分）
（6 分）（8 分）（10 分）
2
特征方程： r 2 3r 0 的根为： r 0,3
对应的齐次微分方程的通解为 y C1 C2e 3x
4
可设特解为 y* ex (ax b) ，代入方程得 a 3, b 3 2
所以非齐次方程通解为
{2 y,1,3y 4}，
4
z y 3
过（1，1，1）的切向量为 s {2,1,3}
6
所求切线方程为
x 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
1
z
1
，
法平面为 2x y 3z 0
10
2
1 3
4.
5.
解：
Q x
y2，
P y
x 2 由格林公式，原式
(x2 y2)d xd y
5
x2 y 2 a1
2 d a r 2 r d r
高等数学 2 期末试卷（A）参考答案
09.6 一、填空题(每小题 2 分, 共 14 分)
3
1.
4
2.
x3 y4 z4
1
2 1

2008-2009年度高等数学II试题A(含答案)

暨南大学考试试卷答案及评分一、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）1. 已知c x dx x f +=⎰2)(，则)(x f x 2 。

2. 210()x tf x e dt =⎰，则=')(x f 212x xe 。

3. 设级数10)52(+∞=∑n n ，则级数的和 =s32 。

4. 设D 是由4122≤+≤y x 围成的区域，则⎰⎰=Ddxdy π3 。

5. 设)ln(),(y x y x f +=，则=')1,1(y f 21。

二、单项选择题（共10小题，每小题2分，共20分）1. x e 2-的原函数是（ C ）(A ) x e 2- (B) x e 2-- (C ) x e 221-- (D) x e 221- 2. =+∆)1(2x （ C ）(A ) 2x (B) 1+x (C) 12+x (D) x 2 3. 若x x f +='1)(，则=)(x f （ B ）(A) C x x ++2 (B) C x x ++221 (C) C x ++2211 (D) C x x ++224. 21ln d x dx dx=⎰（ D ） (A) C x x +ln (B) C x x x +-ln (C) C x + (D) 0 5. 下列广义积分收敛的是（ C ） (A) 1cos xdx ∞⎰(B)11dx x∞⎰(C)211dx x∞⎰(D) 1x e dx ∞⎰6. 设xy z =，则=dz （ C ）(A) ydy xdx + (B) dy dx + (C) xdy ydx + (D) 0 7.下列级数收敛的是（ B ） (A )∑∞=11n n(B )∑∞=11n nn(C) ∑∞=11n n (D)nn ∑∞=1)56(8. =ΓΓ)21()23(（ D ）(A) 51 (B) 41(C) 31 (D) 219. 函数),(y x f z =在点),(00y x 处的偏导数存在是函数在该点可微的（ A ）(A) 必要条件 (B) 充分条件(C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件 10. 微分方程yxdx dy -=的通解为（B ） (A) C y x =+ (B) C y x =+2323(C) C xy = (D) C y x =-2323三、计算题（共62分）1.dx x x ⎰++11 (7分)解令1+=x t ，则12-=t x ，tdt dx 2= 2分原式= 2121t tdt t-+⎰=22()t t dt -⎰ =32123t t C -+ =2(3x x C ++ 7分其中11C C =-。

2008-2009-2《微积分(二)》(学分3)A卷

校区；浦口姓名：班级：学号： # 部门：数学与统计学院试卷序号： A 考试形式：闭卷学分： 3 # 考试班级：08级国贸1-3, 国审1-5, 保险1-2, 会计1-9, 审计1-4, 市营1-2, 金融1-7, 财管1-2, 财政1-2, 工商1-2,会计(CGA)1-2班, 经济学, 人力1-2, 信用1-2, 行政1-2,税务1-4，投资1-2，法学4-5,IAEP1-2,经济学基地班装订线南京审计学院2008—2009学年第二学期《微积分》（二）试卷一、填空题（共10个空，每空2分,满分20分）1．=⎰πxdt t dx d2sin 。

2．设需求函数为q q D 224)(-=，供给函数为64)(+=q q S ，则消费者剩余为。

3. =-+++→→11lim0y x y x y x 。

4. 设xy z arctan =，则=)1,1(dz，=∂∂∂yx z 2。

5. 交换积分次序=⎰⎰dy y x f dx x x12),( 。

6. 设a u n n =∞→lim ，则=-∑∞=+11)(n n n u u 。

7. 函数x xx f +=1)(3展开成x 的幂级数为，收敛域为。

8．方程21'xxyy +=满足初始条件2)0(=y 的特解为。

二、单项选择题（共5题，每题2分,满分10分） 1. 下列反常积分收敛的是（）)(A ⎰∞+11dx x )(B ⎰∞+11dx x)(C ⎰∞++1211dx x)(D⎰+∞1sin xdx2. 设函数),(y x f 在点),(00y x 处取得极大值，则函数),(0y x f 在点0x 处与函数),(0y x f 在点0y 处（）)(A 都取得极大值 )(B 恰有一个取得极大值 )(C 至多有一个取得极大值 )(D 都不能取得极大值3. 设函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数都存在，则（）)(A ),(y x f 在点),(00y x 处连续 )(B ),(y x f 在点),(00y x 处可微)(C ),(lim 00y x f x x →和),(lim 00y x f y y →都存在 )(D ),(lim 0y x f y y x x →→存在4. 下列级数中，收敛的是（）)(A ∑∞=11n n n n )(B ∑∞=11cos n n )(C∑∞=-1)12(n n)(D∑∞=12ln n nn5. 若幂级数∑∞=-1)1(n nn x a 在1-=x 处收敛，则该级数在2=x 处（）)(A 绝对收敛 )(B 条件收敛 )(C 发散 )(D 敛散性不能确定沉着应对冷静思考诚信为先公平竞争考试班级：08级国贸1-3, 国审1-5, 保险1-2, 会计1-9, 审计1-4, 市营1-2, 金融1-7, 财管1-2, 财政1-2, 工商1-2,会计(CGA)1-2班, 经济学, 人力1-2, 信用1-2, 行政1-2,税务1-4，投资1-2，法学4-5,IAEP1-2,经济学基地班装订线三、计算题（共6题，满分33分） 1.（5分）⎰--122},min{dx x x 2.（5分）⎰--1145dx xx3.（5分）⎰-+ππxdx x xsin )(664.（5分）设),(22xye y xf z -=，f 是可微函数，求xz ∂∂。

08-09第二学期微积分期末试卷及答案(bus)

2008-2009学年第二学期微积分期末考试试卷答案（00224 ）(课程编号00224, 考试时间: 2 小时)一.填空题（每小题6分，共36分）1. 求点到平面的距离是 . (6’)2. 过点且垂直于平面的直线方程是. (6’)3. 若，则，(3’) . (3’)4.设，其中为连续函数，区域由抛物线与直线，所围成，则此二重积分化为二次积分为 .5. 设级数均收敛, 级数发散, 则级数; 级数 . (填写“收敛”或“发散”)6. 幂级数的收敛半径是(3’)；收敛域是(3’).二.微分学解答题7.（8分）设函数，的（1）写出的定义域，并画出图形；（2）求.解：（1）函数的定义域为即：。

(2’)。

画出图形(2’).（2）(4’)8. （8分）设其中函数具有一阶连续偏导数, 证明:9.（10分）求函数在圆域上的最大值和最小值.三.积分学解答题10. （8分）求二重积分，为由轴和上半圆周所围成的平面区域。

11.（8分）设立体由椭圆抛物面与围成，求的体积.yO解：解得两旋转抛物面的交线为，从而积分区域为。

(2’)的体积为(3’)(3’)12.（8分）设球面含在柱面（）内部分的面积恰为全球面积的一半，求的取值. (半径为的球面面积为.)解：上半球面由方程，确定，从而。

(2’)根据题意，上半球面含在柱面（）内部分的面积为全球面积的，由(2’)；(3’)又，从而有：，即，(1’)四.级数13.（6分）级数是绝对收敛还是条件收敛或是发散的？说明理由.答：绝对收敛。

(3’)，而级数收敛。

(3’) 14.（8分）将函数展开为的幂级数, 并写出展开式成立的区间.解：因为,(2’)，所以(3’)，即。

(2’)于是,, 即.(1’)参考答案(修改前的答案)1. ，2.，3. ，4. ，5.，.6.；7.8. ,,, 最大值:.9. .10.11.12.（1），即，，；（2）13.绝对收敛14. ，。

河北大学08-09微积分考试试卷

河北大学课程考核试卷2008—2009学年第二学期 2008级经管专业（类）考核科目微积分2 课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别 A（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、选择题：（共20分，每小题2分）1、已知)(x f 连续，dt t f x F xx ⎰=ln 2)()(，则=)1('F （）)1(2)0(.f f A - )1()0(.f f B - )1(2)0(.f f C + )1()0(.f f D +2、下列广义积分收敛的是（） A ⎰+∞∞-xdx sin B dx x ⎰-111 C ⎰--0121x dx D dx e x ⎰∞--0 3、设⎰-=xdt t x f 0)1()(，则)(x f 有（）. A 极小值21 B 极小值21- C 极大值21 D 极大值21- 4、下列论断正确的是（）A 当1>α时，dx x ⎰+∞11α 发散 B 当10<<α时，dx x⎰+∞11α 收敛 C 当1>α时，dx x ⎰101α 收敛 D 当10<<α时，dx x ⎰101α 收敛 5、当（）时，)0( )1(1>-∑∞=n n n n u u 一定收敛.A 0lim =∞→n n uB 1lim 1<+∞→nn n u u C n n u u ≤+1 D n n u u ≤+1，0lim =∞→n n u 6、 1∑∞=n n u 收敛是0lim =∞→n n u 的（）条件.A. 必要B. 充分C. 充要D. 无关7、函数x y x y x z 9332233-++-=的极小值点为（）A （1，0）B （1，2）C （－3，0）D （－3，2）A —3—18、级数∑∞=-+1212)(n n n u u 是收敛的，则（）A ∑∞=1n n u 必收敛B ∑∞=1n n u 未必收敛C 0lim =∞→n n uD ∑∞=1n n u 发散 9、下列方程中，（）是二阶线性齐次微分方程.A y y dxy d ='+22 B y x y '+=''2)( C y y x y '⋅+=''2 D x y y y +'=''2)(10、下列方程为二阶差分方程的是（）.A x x x x y y y 23412=++++B x y y x x =-++123C 343=-+x x y yD 1223--=++x x x y y y二、填空题：（共14分，每空2分）1、若平面区域{}0,4),(22≥≤+=y y x y x D ，则=⎰⎰D dxdy ___________.2、=ΓΓΓ)4()3()2(________________. 3、设)sin(xy z =，则=∂∂∂yx z 2 . 4、⎰-2 2 2sin ππxdx x ＝__________.5、设⎰⎰-=x dy y x f dx I 1010),(,则改变其积分次序后为6、已知函数xy y x y x xy f ++=+22),(，则x y x f ∂∂),(＝______,y y x f ∂∂),(＝_______.A —3—2三、计算题（共54分，每题6分）1、求定积分dx x e x ⎰20sin π2、求广义积分dx x x ⎰+∞∞-++5412 3、设),(y x z z =是由方程1)sin(=-+xy z e xyz 所确定的隐函数，求yz x z ∂∂∂∂,. 4、计算二重积分⎰⎰=Ddxdy xy x I )cos(2，其中D 是由直线x y x ==,1及x 轴围成的平面区域.5、判断级数∑∞=12)!2()!(n n n 的敛散性. 6、设))ln(,(sin y x xy f z +=，求z 的全微分.7、求解微分方程x x ny y x n sin )1(')1(1++=-+.8、设)(x f 连续，且dt t f x f ⎰+=10)(21)(，求)(x f . 9、已知2x e -为)(x f 的一个原函数，求⎰'10)(dx x f x 的值. 四、应用题（共12分，第1小题4分，第2小题8分）1、求曲线22x x y -=与x 轴所围成图形绕x 轴旋转所成立体的体积。