正余弦定理的应用2导学案

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高中数学《正、余弦定理在实际中的应用》导学案

第1课时正、余弦定理在实际中的应用1.基线在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做□01基线．一般来说，基线越长，测量的精确度□02越高．2．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，□03把视线在水平线上方的角称为仰角，□04视线在水平线下方的角称为俯角．如图(1)．3．方向角从指定方向到□05目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.如图(2)所示．4．方位角指从正北方向□06按顺时针转到目标方向线所成的水平角．如方位角是45°，指北偏东45°，即东北方向．5．视角观察物体的两端，视线张开的□07夹角，如图(3)．6．坡角与坡度□08坡面与水平面所成的二面角叫做坡角，坡面的□09铅直高度与□10水平宽度之比叫坡度⎝ ⎛⎭⎪⎫i ＝h l ，如图(4)．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)仰角与俯角都是与铅垂线所成的角．( ) (2)方位角的范围是(0，π)．( )(3)两个不能到达的点之间无法求两点间的距离．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× 2．做一做(1)如图所示，OA ，OB 的方向角各是________．(2)A ，B 两点间有一小山，选定能直接到达点A ，B 的点C ，测得AC ＝60 m ，BC ＝160 m ，∠ACB ＝60°，则A ，B 两点间的距离为________．(3)身高为1.70米的李明站在离旗杆20米的地方，目测该旗杆的高度，若李明此时的仰角为30°，则该旗杆的高度约为________米(精确到0.1)．(4)(教材改编P 11例1)如图所示，A ，B 两点在一条河的两岸，测量者在A 的同侧，且B 点不可到达，测量者在A 点所在的岸边选定一点C ，测出AC ＝60 m ，∠BAC ＝75°，∠BCA ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________．答案 (1)北偏东60°，北偏西30° (2)140 m (3)13.2 (4)20 6 m解析 (4)∠ABC ＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理，得AB sin C ＝ACsin B ， ∴AB ＝AC sin C sin B ＝60×sin45°sin60°＝20 6 m.探究1两点间有一点不可达到的距离问题例1(1)A，B两点之间隔着一座小山，现要测量A，B两点间的距离，选择在同一水平面上且均能直线到达的C点，经测量AC＝50 m，BC＝40 m，B在C 北偏东45°方向上，A在C西偏北15°方向上，求AB的长；(2)如图，某河岸的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝100米．求该河段的宽度．解(1)依题意知∠ACB＝120°，AC＝50 m，BC＝40 m，应用余弦定理得AB＝AC2＋BC2－2AC×BC cos∠ACB＝502＋402－2×50×40×cos120°＝1061，故AB的长为1061 m.(2)在△CAB中，∠ACB＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得ABsin∠ACB ＝BCsin∠CAB，于是BC＝AB sin∠CABsin∠ACB＝100×6＋2432＝503(32＋6)．于是河段的宽度为d ＝BC sin ∠CBA ＝503(32＋6)×22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5033＋50(米)． [条件探究] 把本例(1)中“经测量AC ＝50 m ，BC ＝40 m ”改为“经测量∠CAB ＝30°，BC ＝40 m ”又如何求A ，B 之间的距离？解解法一：∠ACB ＝120°，∠CAB ＝30°， ∴∠CBA ＝30°，∵BC ＝40 m ，∴AC ＝40 m. ∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2×AC ×BC cos120° ＝402＋402－2×40×40×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4800， ∴AB ＝40 3 m.解法二：由正弦定理，得 BC sin ∠CAB ＝ABsin (45°＋75°)，40sin30°＝ABsin120°， AB ＝40 3 m. 拓展提升三角形中与距离有关的问题的求解策略(1)解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解．(2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．【跟踪训练1】如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？解在△ABC中，BC＝30海里，B＝30°，∠ACB＝135°，∴∠BAC＝15°，由正弦定理BCsin A ＝ACsin B，即30sin15°＝ACsin30°，AC＝15sin15°＝15sin(45°－30°)＝15sin45°cos30°－cos45°sin30°＝156－24＝15(6＋2)(海里)，∴A到直线BC的距离为d＝AC sin45°＝15(3＋1)≈40.98海里>38海里，所以继续向南航行，没有触礁危险．探究2两点都不能到达的两点间距离问题例2如图所示，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距3千米的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．解在△ACD 中，∵∠ADC ＝30°，∠ACD ＝120°， ∴∠CAD ＝30°，∴AC ＝CD ＝ 3.在△BDC 中，∵∠CBD ＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理，得BC ＝3sin75°sin60°＝6＋22.由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos ∠BCA . ∴AB 2＝(3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋22×cos75°＝5. ∴AB ＝5(千米)．故两目标A ，B 间的距离为5千米．拓展提升求距离问题的注意事项(1)选定或确定所求量所在的三角形．若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．【跟踪训练2】如图所示，为了在一条河上建一座桥，施工前先要在河两岸打上两个桥位桩A ，B ，若要测算A ，B 两点之间的距离，需要测量人员在岸边定出基线BC ，现测得BC ＝50米，∠ABC ＝105°，∠BCA ＝45°，则A ，B 两点的距离为________米．答案502解析在△ABC中，BC＝50米，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠BCA＝180°－105°－45°＝30°.由正弦定理，得ABsin∠BCA ＝BCsin∠BAC，∴AB＝BC sin∠BCAsin∠BAC＝50×sin45°sin30°＝50×2212＝502(米)．探究3测量高度问题例3如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求山高CD.解在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.根据正弦定理，得ACsin∠ABC ＝BCsin∠BAC，即ACsin(90°－α)＝BCsin(α－β)，∴AC＝BC cosαsin(α－β)＝h cosαsin(α－β).在Rt△ACD中，CD＝AC sin∠CAD＝AC sinβ＝h cosαsinβsin(α－β).即山的高度为h cosαsinβsin(α－β).拓展提升1.解决实际问题时，通常是从实际问题中抽象出一个或几个三角形，先解够条件的三角形，再利用所得结果解其他三角形．2．测量高度的方法对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题，由于不能直接通过解直角三角形解决，可通过构造含建筑物高度的三角形用正、余弦定理解决．【跟踪训练3】如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C 测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.解在△BCD中，∵∠BCD＝α，∠BDC＝β，∴∠CBD＝π－α－β，由正弦定理，得BCsin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD ，∴BC ＝CD sin ∠BDC sin ∠CBD＝s ·sin βsin (α＋β)，在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝s tan θsin βsin (α＋β).探究4 测量角度问题例4 如图所示，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船，奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．解设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里．在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC cos A ＝(3－1)2＋22－2(3－1)×2×cos120°＝6，∴BC ＝6海里．又∵BC sin A ＝ACsin ∠ABC，∴sin ∠ABC ＝AC ×sin A BC ＝2×sin120°6＝22.∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得BD sin∠BCD ＝CD sin∠CBD.∴sin∠BCD＝BD×sin∠CBDCD＝10t·sin120°103t＝12.∴∠BCD＝30°，∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴∠D＝30°.∴BD＝BC，即10t＝6，∴t＝610小时≈15分钟．∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．拓展提升测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．拓展提升【跟踪训练4】某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出求救信号，如图，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以103海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．解设所需时间为t小时，在△ABC中，根据余弦定理，有AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC cos120°，可得(103t)2＝102＋(10t)2－2×10×10t×cos120°，整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－12(舍去)．故护航舰需1小时靠近货船．此时AB＝103，BC＝10，又AC＝10，所以∠CAB＝30°，所以护航舰航行的方位角为75°.[规律小结]1.解三角形应用题的步骤(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形的模型．(3)选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形的解还原为实际问题的解，注意实际问题中的单位、近似计算要求．2.解三角形在实际测量中的常见问题(1)距离问题(2)高度问题(3)角度问题测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要得出所求的角．3.解决问题的策略(1)测量高度问题策略“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面．将空间问题转化为平面问题，利用“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思想．(2)测量角度问题策略测量角度问题主要指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等，解决它们的关键是根据题意和图形的有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需求哪些量，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求量．(3)测量距离问题策略选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．[走出误区]易错点⊳结果不符合实际意义导致错误[典例]某观测站C在城市A的南偏西20°的方向上，由城市A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上距C为31 km的B处有一人正沿公路向城市A走去，走了20 km后到达D处，此时CD间的距离为21 km，则此人还要走多远才能到达城市A？[错解档案] 如图所示，∠CAD ＝60°.在△BCD 中，由余弦定理，得cos B ＝BC 2＋BD 2－CD 22BC ×BD＝312＋202－2122×31×20＝2331，∴sin B ＝1－cos 2B ＝12331.在△ABC 中，AC ＝BC sin B sin ∠CAB＝31×sin Bsin60°＝24.在△ACD 中，由余弦定理，得CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ×AD cos ∠CAD ，即212＝242＋AD 2－24AD ，∴AD ＝15或AD ＝9. 答：此人还要走15 km 或9 km 才能到达城市A .[误区警示] 错解中未检验得出的解是否符合题意而导致错误．因为余弦定理中线段长度都带着平方，开平方后可能求出两个值，因此要验证解的合理性．对于这种情况，用正弦定理优于余弦定理．[规范解答] 设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β，在△CBD 中，由余弦定理，得cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ×CD ＝202＋212－3122×20×21＝－17，所以sin β＝437.而sinα＝sin(β－60°)＝sinβcos60°－sin60°cosβ＝437×12＋32×17＝5314.在△ACD中，由正弦定理，得CD sin60°＝ADsinα，AD＝21×sinαsin60°＝15(km)．答：此人再走15 km就可以到达城市A.[名师点津]在解决实际问题时，画出图形后应用正弦定理或余弦定理进行求解，得到的结果要检验其是否符合实际意义，这点容易被忽略而造成多解.1．在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶A与塔底B的俯角分别是30°，60°，则塔高AB＝()A．200 m B.2003m C.4003m D．100 m答案C解析设AB＝x，则(200－x)tan60°＝200tan30°，解得x＝400 3.2．某次测量中，A在B的北偏东55°方向上，则B在A的()A．北偏西35°方向上B．北偏东55°方向上C．南偏西35°方向上D．南偏西55°方向上答案D解析根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示．已知α＝55°，则β＝α＝55°.所以B在A的南偏西55°方向上．故选D.3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时()A．5 n mile B．5 3 n mileC．10 n mile D．10 3 n mile答案C解析如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，∴∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10.在Rt△ABC中，求得AB＝5，∴这艘船的速度是50.5＝10(n mile/h)．4．如图所示，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物点C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度CD为________．答案60 m解析由三角形的内角和定理知∠ACB＝75°，即∠ABC＝∠ACB，所以AC＝AB＝120，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，则CD＝12AC＝60(m)．5．某海轮以30海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离．解如图，在△ABP中，AB＝30×4060＝20，∠APB＝30°，∠BAP＝120°，由正弦定理，得ABsin∠BP A＝BPsin∠BAP，即2012＝BP32，解得BP＝20 3.在△BPC中，BC＝30×8060＝40，由已知，得∠PBC＝90°，∴PC＝PB2＋BC2＝(203)2＋402＝207(海里)．所以P，C间的距离为207海里．A级：基础巩固练一、选择题1．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝519 m，起吊的货物与岸的距离AD为()A ．30 m B.1532 m C ．15 3 m D ．45 m答案 B解析在△ABC 中，AC ＝15 m ，AB ＝519 m ，BC ＝10 m ，由余弦定理，得cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ×BC＝152＋102－(519)22×15×10＝－12，∴sin ∠ACB ＝32.又∠ACB ＋∠ACD ＝180°， ∴sin ∠ACD ＝sin ∠ACB ＝32.在Rt △ADC 中，AD ＝AC ·sin ∠ACD ＝15×32＝1532 m ．故选B.2．已知A ，B 两地的距离为10 km ，B ，C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地的距离为( )A ．10 km B. 3 km C ．10 5 km D ．107 km答案 D解析在△ABC 中，AB ＝10，BC ＝20，∠ABC ＝120°，则由余弦定理，得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC cos ∠ABC ＝100＋400－2×10×20cos120° ＝100＋400－2×10×20×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝700，∴AC ＝107，即A ，C 两地的距离为107 km.3．某公司要测量一水塔CD 的高度，测量人员在该水塔所在的东西方向水平线上选A ，B 两个观测点，在A 处测得该水塔顶端D 的仰角为α，在B 处测得该水塔顶端D 的仰角为β，已知AB ＝a,0<β<α<π2，则水塔CD 的高度为( )A.a sin (α－β)sin βsin αB.a sin αsin βsin (α－β)C.a sin (α－β)sin αsin βD.a sin αsin (α－β)sin β答案B解析如图，在△ABD中，∠ADB＝α－β，由正弦定理，得AD sinβ＝ABsin∠ADB，即AD＝a sinβsin(α－β)，在Rt△ACD中，CD＝AD·sinα＝a sinαsinβsin(α－β).4．若甲船在B岛的正南方A处，AB＝10 km，甲船以4 km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是()A.1507min B.157hC．21.5 min D．2.15 h答案A解析当时间t<2.5 h时，如图．∠CBD＝120°，BD＝10－4t，BC＝6t.在△BCD中，利用余弦定理，得CD2＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t )×6t ×cos120°＝28t 2－20t ＋100.当t ＝202×28＝514(h)，即1507 min 时，CD 2最小，即CD 最小为6757.当t ＝2.5 h 时，CF ＝15×32，CF 2＝6754，当t >2.5 h 时，甲、乙两船之间的距离总大于6754. 故距离最近时，t <2.5 h ，即t ＝1507 min. 二、填空题5．一船以24 km/h 的速度向正北方向航行，在点A 处望见灯塔S 在船的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B 时与灯塔S 的距离是________ km(精确到0.1 km)．答案 5.2解析作出示意图如图．由题意，知AB ＝24×1560＝6，∠ASB ＝35°，由正弦定理，得6sin35°＝BSsin30°，解得BS ≈5.2(km)．6．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B 地测得树尖的仰角为30°，量得AB ＝AC ＝10 m ，树根部为C (A ，B ，C 在同一水平面上)，则∠ACB ＝________.答案 30°解析如图，AC ＝10，∠DAC ＝45°，∴DC ＝10，∵∠DBC ＝30°，∴BC ＝10 3. 由余弦定理，得cos ∠ACB ＝102＋(103)2－1022×10×103＝32，∴∠ACB ＝30°. 7．在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿BE 方向前进30 m 至点C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进10 3 m 至D 点，测得顶端A 的仰角为4θ，则θ等于________．答案 15°解析如图，由题意知BC ＝CA ＝30，CD ＝DA ＝103，设AE ＝h ，则⎩⎪⎨⎪⎧h ＝30sin2θ，h ＝103sin4θ，所以30sin2θ＝103sin4θ＝203sin2θcos2θ，所以2cos2θ＝3，cos2θ＝32，所以2θ＝30°，θ＝15°.三、解答题8．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，为测出A，B的距离，其方法为测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．解∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝32.在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得BC＝DCsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin45°·sin30°＝64.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC cos45°＝3 4＋38－2×32×64×22＝38.∴AB＝64(km)．∴A，B两点间的距离为64km.9．如图所示，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，求电视塔的高度．解设电视塔AB的高为x，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°，得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，∴BD＝3x.在△BDC中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC×CD cos120°，即(3x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，所以电视塔的高为40 m.10．一艘船以32.2 n mile/h的速度向正北航行．在A处看灯塔S在船的北偏东20°的方向，30 min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5 n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？解在△ASB中，∠SBA＝115°，∠S＝45°.由正弦定理，得SB＝AB sin20°sin45°＝16.1sin20°sin45°≈7.787(n mile)．设点S到直线AB的距离为h，则h＝SB sin65°≈7.06(n mile)．∵h>6.5 n mile，∴此船可以继续沿正北方向航行．B级：能力提升练1．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90 n mile.此时海盗船距观测站107 n mile,20 min后测得海盗船距观测站20 n mlie，再过________min，海盗船到达商船．答案40 3解析如图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A，B，C处，20 min 后，海盗船到达D处，在△ADC中，AC＝107，AD＝20，CD＝30，由余弦定理，得cos∠ADC＝AD2＋CD2－AC22AD×CD＝400＋900－7002×20×30＝12.∴∠ADC＝60°.在△ABD中，由已知得∠ABD＝30°，∠BAD＝60°－30°＝30°，∴BD＝AD＝20，2090×60＝403(min)．2．据气象台预报，在S岛正东距S岛300 km的A处有一台风中心形成，并以每小时30 km的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的影响．问：S岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由．解如图，设台风中心经过t h到达B点，由题意，∠SAB＝90°－30°＝60°，在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60°，由余弦定理，得SB2＝SA2＋AB2－2SA×AB cos∠SAB＝3002＋(30t)2－2×300×30t cos60°.若S岛受到台风影响，则应满足条件|SB|≤270，即SB2≤2702，化简整理，得t2－10t＋19≤0，解得5－6≤t≤5＋ 6.所以从现在起，经过(5－6) h S岛开始受到影响，(5＋6)小时后影响结束，持续时间：(5＋6)－(5－6)＝26(h)．。

正弦定理、余弦定理应用举例导学案

NO.5 正弦定理和余弦定理应用举例学习目标：(1) 了解仰角、俯角、方位角等基本概念。

（2）运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．学习重点：（1）针对不同的环境测量并计算两点之间的距离。

（2）针对不同的环境测量并计算物体的高度。

学习过程：思考1：你清楚下列与角有关的基本概念吗？用图像表达下列各角：仰角：仰角为300俯角：俯角为450方位角：如北偏东600、南偏西750、A点的正东南方向。

思考2：阅读课本p11-p12例1、例2的内容，思考如何针对不同的环境测量两点之间的距离？探究1：如何测量不可到达两点A、B之间的距离？写出你设计的测量程序：实例1：如图1所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，（图1）∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．思考3：阅读课本p13-p14例3、例4、例5的内容，思考如何针对不同的环境测量物体的高度？探究2：AB是底部B不能到达的建筑物，A为建筑物的最高点，如何测量AB 的高度？写一写你设计的测量程序：实例2：如图2，在一个塔底的水平面上某点测得该塔顶的仰角为θ，由此点向塔底沿直线行走了30 m ，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔底前进103 m ，又测得塔顶的仰角为4θ，求塔的高度？当堂练习：（图2）1.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么C 等于 ( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°2．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定3、如图3，一货轮航行到M 处，发现灯塔S 在货轮的北偏东150处，两者相距20海里。

正余弦定理的应用举例教案

正余弦定理的应用举例教案一、教学目标1. 理解正余弦定理的概念及其在几何中的应用。

2. 学会运用正余弦定理解决实际问题，提高解决问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。

二、教学内容1. 正余弦定理的定义及公式。

2. 正余弦定理在直角三角形中的应用。

3. 正余弦定理在非直角三角形中的应用。

4. 正余弦定理解决实际问题举例。

三、教学重点与难点1. 教学重点：正余弦定理的定义及公式，正余弦定理在几何中的应用。

2. 教学难点：正余弦定理在非直角三角形中的应用，解决实际问题。

四、教学方法1. 采用讲授法讲解正余弦定理的定义及公式。

2. 利用案例分析法讲解正余弦定理在直角三角形和非直角三角形中的应用。

3. 利用小组讨论法解决实际问题。

五、教学过程1. 引入：通过讲解正弦、余弦的概念，引导学生理解正余弦定理的背景。

2. 讲解：详细讲解正余弦定理的定义及公式，结合实际例子，让学生理解并掌握定理的应用。

3. 练习：布置练习题，让学生运用正余弦定理解决直角三角形和非直角三角形的问题。

4. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用正余弦定理进行解决，培养学生的解决问题的能力。

5. 小组讨论：让学生分组讨论，分享各自的解题思路和方法，培养学生的团队协作能力。

6. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调正余弦定理在几何中的应用及其重要性。

7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂练习：通过课堂练习，了解学生对正余弦定理的理解和应用情况。

2. 课后作业：布置有关正余弦定理应用的作业，收集并批改，分析学生的掌握情况。

3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解他们的合作能力和问题解决能力。

七、教学反思1. 教师应根据学生的反馈，及时调整教学方法和进度。

2. 对于学生的共性问题，应加强讲解和辅导。

3. 鼓励学生积极参与课堂和课后实践，提高他们的实际应用能力。

八、拓展与延伸1. 引导学生思考正余弦定理在其他领域的应用。

正弦定理和余弦定理的运用教案

正弦定理和余弦定理的运用教案正文：正弦定理和余弦定理的运用教案一、教学目标1. 理解正弦定理和余弦定理的含义和基本公式；2. 掌握正弦定理和余弦定理在解决三角形相关问题中的应用方法；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

二、教学重点1. 正弦定理的推导和应用；2. 余弦定理的推导和应用。

三、教学难点1. 正弦定理和余弦定理的理解和记忆；2. 通过具体问题实际运用，使学生深入理解定理的应用方法。

四、教学准备1. 教材：三角函数学科教材；2. 工具：投影仪、黑板、粉笔、直尺、量角器。

五、教学过程Ⅰ. 导入（10分钟）1. 教师简要复习三角比的概念和计算方法；2. 教师引导学生思考：在已知某一角的情况下，如何确定三角形的边长呢？Ⅱ. 正弦定理的推导和应用（20分钟）1. 教师通过投影仪展示正弦定理的基本公式：a/sinA = b/sinB =c/sinC；2. 教师讲解正弦定理的推导过程，并与学生一同完成推导；3. 教师给出具体问题，引导学生运用正弦定理解决问题，并逐步引导学生总结出应用方法。

Ⅲ. 余弦定理的推导和应用（20分钟）1. 教师通过投影仪展示余弦定理的基本公式：c² = a² + b² - 2abcosC；2. 教师讲解余弦定理的推导过程，并与学生一同完成推导；3. 教师给出具体问题，引导学生运用余弦定理解决问题，并逐步引导学生总结出应用方法。

Ⅳ. 正弦定理和余弦定理的综合应用（25分钟）1. 教师给出一些复合问题，要求学生结合正弦定理和余弦定理解决问题；2. 学生分组讨论、解答问题，并在黑板上展示解题过程；3. 教师组织学生展示解题思路和方法，并针对不同解题方法进行及时点评。

Ⅴ. 拓展应用（15分钟）1. 教师布置一些拓展性应用题，要求学生在课后完成；2. 学生自主学习拓展内容，并在下节课讲解时与教师进行互动讨论。

Ⅵ. 总结与作业（10分钟）1. 教师对本节课的要点进行总结，并强调正弦定理和余弦定理的重要性；2. 布置作业：完成课后习题，复习和巩固所学知识。

2014届高三数学一轮复习导学案：正余弦定理(2)

4
（3）若 b 13, a c 4 ，求 SABC
2
课堂检测——正余弦定理（2）
姓名：三角形. .
1.在△ABC 中，若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 一定是 2.在△ABC 中，A=120° ,AB=5,BC=7，则
sin B 的值为 sin C
3.已知△ABC 的三边长分别为 a,b,c,且面积 S△ABC= （b2+c2-a2），则 A= .
b+c=8，求 ABC 面积的最大值。
例 2： ABC 中， AB 求 sin A 的值。
4 6 6 , cos B , AC 边上的中线 BD 5, 3 6
1
例 3 ABC 中 (2a c) cos B b cos C 0 （1）求 B；（2）求 y sin 2 A sin 2 C 的范围；
5 4 ，cosC= . 5 13
1 4
4.在△ABC 中，cosB=（C 的面积 S△ABC=
33 ，求 BC 的长. 2
3
课外作业——正余弦定理（2） 1.在△ABC 中，BC=2，B=
2 2 2
姓名： .
3 ，若△ABC 的面积为，则 tanC 为 3 2
课题：正余弦定理（2）
一：学习目标
班级
姓名：
备注
（1）掌握：正弦定理及其变式；余弦定理及其变式；（2）掌握：边角互化及求解三角形。（3）掌握：三角形面积公式，三角形内切圆半径、外接圆半径公式；（4）掌握：三角形的中线公式及角平分线性质及其应用。二：课前预习 1、RtΔ ABC 的两条直角边长分别为 5、12 则其内切圆半径 r= 外接圆半径 R= 2、已知△ABC 的周长为 18，且 sin A : sin B : sin C 3 : 2 : 4 ，则△ABC 的面积为 BC 边上中线长为 3．Δ ABC 中，cos(A-B)+sin(A+B)=2，则Δ ABC 的形状是 4．边长为 5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和的 5．若△ABC 的 3 条边的长分别为 3，4，6，则它的较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形的面积比是三：课堂研讨例 1 ：已知 a,b,c 是 ABC 的三边， ABC 面积 S a 2 (b c)2 且内切圆半径 r= 外接圆半径为

新人教A版必修5高中数学第一章1.1.2余弦定理(二)导学案

1．1.2 余弦定理(二)课时目标1．熟练掌握正弦定理、余弦定理；2．会用正、余弦定理解三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C .(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.(4)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c .2．余弦定理及其推论 (1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A .(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角．3．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有：(1)A ＋B ＋C ＝π，A ＋B 2＝π2－C2.(2)sin(A ＋B )＝sin_C ，cos(A ＋B )＝－cos_C ，tan(A ＋B )＝－tan_C .(3)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C2.一、选择题1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝a b，则∠C的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 答案 C解析 ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ，即a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴cos C ＝－12，∴∠C ＝120°.2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 ( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形答案 C解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .3.在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，不妨设a ＝3，b ＝5，c ＝7，C 为最大内角，则cos C ＝32＋52－722×3×5＝－12.∴C ＝120°.∴最小外角为60°.4．△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( )A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形答案 D解析∵2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2，即(a－c)2＝0.∴a＝c.∴2b＝a＋c＝2a.∴b＝a，即a＝b＝c.5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，c＝2a，则( )A．a>b B．a<bC．a＝b D．a与b的大小关系不能确定答案 A解析在△ABC中，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab cos 120°＝a2＋b2＋ab.∵c＝2a，∴2a2＝a2＋b2＋ab.∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．由增加的长度确定答案 A解析设直角三角形三边长为a，b，c，且a2＋b2＝c2，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，∴c＋x所对的最大角变为锐角．二、填空题7．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c＝________.答案19解析由题意：a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，∴c＝19.8．设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是________．答案2<a<8解析 ∵2a －1>0，∴a >12，最大边为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2，化简得：0<a <8.又∵a ＋2a －1>2a ＋1， ∴a >2，∴2<a <8.9．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________．答案 12解析 S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A＝12AB ·AC ·sin 60°＝23， ∴AB ·AC ＝8，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝AB 2＋AC 2－AB ·AC ＝(AB ＋AC )2－3AB ·AC ， ∴(AB ＋AC )2＝BC 2＋3AB ·AC ＝49， ∴AB ＋AC ＝7，∴△ABC 的周长为12.10．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则△ABC 外接圆的面积是________．答案 13π3解析 S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c ＝4，由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13， ∴a ＝13.∴2R ＝a sin A ＝1332＝2393，∴R ＝393.∴S 外接圆＝πR 2＝13π3. 三、解答题11．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝A －Bsin C.证明右边＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin Asin C·cos B －sin Bsin C·cos A ＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c 2＝左边．所以a 2－b 2c 2＝A －B sin C.12.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边的长，cosB =53，且·＝－21. (1)求△ABC 的面积； (2)若a ＝7，求角C .解（1）∵·＝－21，∴·=21.∴· = ||·||·cosB = accosB = 21.∴ac=35，∵cosB = 53，∴sinB = 54.∴S △ABC = 21acsinB = 21×35×54 = 14. (2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32， ∴b ＝4 2.由正弦定理：c sin C ＝bsin B. ∴sin C ＝c b sin B ＝542×45＝22.∵c <b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角． ∴C ＝45°. 能力提升13．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( )A ．0<C ≤π6B ．0<C <π2C.π6<C <π2D.π6<C ≤π3 答案 A解析方法一 (应用正弦定理)∵AB sin C ＝BC sin A ，∴1sin C ＝2sin A∴sin C ＝12sin A ，∵0<sin A ≤1，∴0<sin C ≤12.∵AB <BC ，∴C <A ，∴C 为锐角，∴0<C ≤π6.方法二 (应用数形结合)如图所示，以B 为圆心，以1为半径画圆，则圆上除了直线BC 上的点外，都可作为A 点．从点C 向圆B 作切线，设切点为A 1和A 2，当A 与A 1、A 2重合时，角C 最大，易知此时：BC ＝2，AB ＝1，AC ⊥AB ，∴C ＝π6，∴0<C ≤π6.14．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C的值；（2）设· = 23，求a+c 的值.解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2 B ＝sin A sin C .于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝A ＋C sin 2 B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由· = 23得ca ·cosB = 23 由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.。

《正余弦定理的综合运用学案》

《正弦定理、余弦定理综合运用》导学案【知识要点】1．在△ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C，则有(1)A＋B＋C＝，A＋B2＝.(2)sin(A＋B)＝，cos(A＋B)＝，tan(A＋B)＝.(3)sin A＋B2＝，cosA＋B2＝ .2．正弦定理及其变形(1)asin A＝bsin B＝csin C＝.(2)a＝，b＝，c＝.(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝.(4)sin A∶sin B∶sin C＝.3．余弦定理及其推论(1)a2＝. (2)cos A＝.(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为；c2>a2＋b2⇔C为_____；c2<a2＋b2⇔C为．4．三角形常用面积公式(1)S＝(h a表示a边上的高)；(2)S＝＝＝；(3)S＝12r(a＋b＋c) (r为三角形内切圆半径)．【小题巧练】在ABC ∆中，解决下列问题00(1)60,75b A C ===，则=_________=__________ABC a s ∆，4(2)5,4,cos =_______=_________5ABC a b C s ∆===，则ｃ，(3)1,2,=________=_________ABC a b c s ∆==，0(4)8,7,60=_______=_________ABC a b B s ∆===，则ｃ，【题型一】判断三角形形状例1、在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，试确定△ABC 的形状．【我来试试】根据下列条件,分别判断ABC ∆的形状．222(1)sin sin sin A B C +=(2)cos cos a B b A ⋅=⋅(3)cos cos a A b B ⋅=⋅(4)cos cos a b c B c A -=-小结：判断三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路，通常是运用正弦定理。

导学案023 正弦定理和余弦定理的应用

正弦定理、余弦定理的应用教学目标：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 教学重点：1.对解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题的考查是高考考查的重点．2.在选择题、填空题、解答题中都可能考查，多属中、低档题. 教学过程：基础知识实际问题中的有关概念及常用术语(1)基线：在测量上，根据测量需要适当确定的 _______ 叫做基线． (2)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．(3)方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)． (4)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图③) ①北偏东α：指北方向顺时针旋转α到达目标方向． ②东北方向：指北偏东45°或东偏北45°. ③其他方向角类似．(5)坡角与坡比坡面与水平面所成的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直高度h 与水平宽度之比即i ＝hb ＝tan α(其中α为坡角) 叫做坡比(如图)．(6)视角观测点与观测目标两端点的连线所成的夹角叫做视角(如图)．基础自测1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β之间的关系是 ( )A ．α>βB ．α＝βC ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180° 2．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B ( ) A ．北偏东15° B ．北偏西15° C ．北偏东10° D ．北偏西10°3．(教材习题改编)如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°， ∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为 ( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m 4．(2011·上海高考)在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A 、C 两点之间的距离为________千米． 5．(2012·泰州模拟)一船向正北航行，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上．继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60°，另一灯塔在船的南偏东75°，则这艘船每小时航行________海里．关键点点拨：解三角形应用题常有以下几种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两或两个以上的三角形，这里需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．(3)实际问题经抽象概括后，涉及到的三角形只有一个，所以由已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理．考点一：测量距离问题 [例1] (2010·陕西高考)如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2012·衢州质检)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B 望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则这条河的宽度为________．2．(2012·舟山联考)如图，为了计算渭河岸边两景点B 与C 的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A 和D 两个测量点．现测得AD ⊥CD ，AD ＝100 m ，AB ＝140 m ，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求两景点B 与C 之间的距离(假设A ，B ，C ，D 在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：2＝1.414，3＝1.732，5＝2.236)．[冲关锦囊]求距离问题要注意(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理. 考点二：测量高度问题 [例2] (2012·郑州质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A 、B 、C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A 、B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217秒．在A 地测得该仪器至最高点H 时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH .(声音的传播速度为340米/秒)[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)3．(2012·台州模拟)如图，测量河对岸的旗杆高AB 时，选与旗杆底B 在同一水平面内的两个测点C 与D.测得∠BCD ＝75°，∠BDC ＝60°，CD ＝a ，并在点C 测得旗杆顶A 的仰角为60°，则旗杆高AB 为________．4．(2012·丽水模拟)要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，求电视塔的高度．[冲关锦囊]求解高度问题首先应分清(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.考点三：测量角度问题[例3](2012·苏北四市联考)如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C 三点进行测量．已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE ＝200 m，于C处测得水深CF＝110 求∠DEF的余弦值[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)5．(2012·无锡模拟)如图，两座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD的大小是________．[冲关锦囊]1.测量角度，首先应明确方位角，方向角的含义．2.在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理综合使用的特点．利用正、余弦定理解实际问题的答题模板[考题范例](12分)(2010·福建高考)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．解：(1)设小艇与轮船在B处相遇，相遇时小艇航行的距离为S 海里，如图所示．在△AOB 中A ＝90°－30°＝60° ∴S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos 60° ＝900t 2－600t ＋400＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋300.(4分)∵0＜v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23，又t ＝23时，v ＝30(海里/小时)．故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇． (12分)[模板建构]解斜三角形应用题的一般步骤为：第一步：分析.理解题意，分清已知与未知，画出示意图；第二步：建模.根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形AOB 中，建立一个解斜三角形的数学模型；第三步:求解.利用余弦定理，把S 用t 表示出来．第四步：检验.检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．一、选择题1．在某次测量中，在A 处测得同一平面方向的B 点的仰角是50°，且到A 的距离为2，C 点的俯角为70°，且到A 的距离为3，则B 、C 间的距离为( )A.16B.17C.18D.192．地上画了一个角∠BDA ＝60°，某人从角的顶点D 出发，沿角的一边DA 行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达∠BDA 的另一边BD 上的一点，我们将该点记为点N ，则N 与D 之间的距离为( )A ．14米B ．15米C ．16米D ．17米3．(2012·大连联考)如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是( )A ．10米B ．102米C ．103米D ．106米4．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m5．(2012·北师大附中模拟)一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B 、C 两点间的距离是( )A ．102海里B ．103海里C ．202海里D ．203海里二、填空题6．如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A 处沿正北方向行进x m 到达B 处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m 到达C 处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x ＝________.7．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________ km.三、解答题8．(2012·兰州模拟)某单位在抗雪救灾中，需要在A ，B 两地之间架设高压电线，测量人员在相距6 km 的C ，D 两地测得∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝30°(如图，其中A ，B ，C ，D 在同一平面上)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是A ，B 之间距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？9．(2012·泉州模拟)如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里的C 处的乙船． (1)求处于C 处的乙船和遇险渔船间的距离；(2)设乙船沿直线CB 方向前往B 处救援，其方向与CA 成θ角，求f (x )＝sin 2θsin x ＋34cos 2θcos x (x ∈R)的值域．10．如图，扇形AOB ，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．解：因为CP ∥OB ，所以∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ， ∴∠OCP ＝120°.在△POC 中，由正弦定理得OP sin ∠PCO ＝CP sin θ，∴2sin 120°＝CP sin θ，所以CP ＝43sin θ. 又OC sin (60°－θ)＝2sin 120°，∴OC ＝43sin(60°－θ)．因此△POC 的面积为 S (θ)＝12CP ·OC sin 120°＝12·43sin θ·43sin(60°－θ)×32 ＝43sin θsin(60°－θ) ＝43sin θ⎝⎛⎭⎫32cos θ－12sin θ ＝23⎣⎡⎦⎤cos (2θ－60°)－12，θ∈(0°，60°)．所以当θ＝30°时，S (θ)取得最大值为33.。

正弦定理和余弦定理及应用(导学案) (2)

课题：正弦定理和余弦定理及应用（导学案）学习目标：1、熟练掌握正弦定理及其变式的结构特征和作用2、探究三角形的面积公式3、能根据条件判断三角形的形状4.能根据条件判断某些三角形解的个数学法指导1.利用正弦定理可以将三角形中的边角关系互化，同时要注意互补角的正弦值相等这一关系的应用；2.利用正弦定理判定三角形形状，常运用变形形式，结合三角函数有关公式，得出角的大小或边的关系。

课前预习已知在A B C ∆中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边。

则：1.正弦定理：____________________===_______（）2.正弦定理的几个变形(1)a =________ ,b=_________ ,c=_________(2)sinA=_______, sinB=________ , sinC=_______(3)a:b:c =____________________.3、余弦定理222____________________________________________________________________________________a b c ===推论：cos ____________________________cos ____________________________cos ____________________________A B C === 4.在解三角形时，常用的结论（1）在A B C ∆中，A>B ⇔______（大边对大角，大角对大边） ( 2 ) A+B+C= ；sin sin()C A B =+； cos cos()C A B =-+（3）三角形的面积公式：______________________________________ABC S ===______________________________________ABC S ===基础练习：1、在ABC ∆中， 45=A ， 60=B ，4=b ，求a .2、已知 30=A ，4=a ，5=b ，则=B sin .3、已知8=b ，3=c ， 60=A ，则=a .4、已知5=a ，13=b ，12=c ，求角B .5、在ABC ∆中，1=AB ，4=BC ， 30=B ，则ABC ∆的面积等于 .归纳：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角，常用定理；（2）已知两边和一边的对角，求第三边和其他两角，常用定理或余弦定理（方程思想）；（3）已知三边求三角，常用定理；（4）已知两边和它的夹角，求第三边和其他两个角，常用定理.要数形结合，画图分析边角关系，合理使用公式.课堂探究题型一：探究三角形中的边角运算例1 在ABC ∆中，已知4=a ，24=b ， 45=B ，求角A .变式：1、在ABC ∆中，已知4=a ，24=b ， 30=A ，求角B .2、在ABC ∆中，已知4=a ，24=b ， 150=A ，求角B .题型二：探究三角形的面积求解例2 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且1=a ，3=b ，求ABC S ∆.变式：在ABC ∆中， 120=A ，5=AB ，7=BC ，求ABC ∆的面积.题型三：探究三角形的形状判断例3 在ABC ∆中，已知A b B a cos cos =，判断ABC ∆的形状.变式：1、在ABC ∆中，已知C cB bA acos cos cos ==，判断ABC ∆的形状.2、已知ABC ∆的三内角A 、B 、C 成等差数列，而A 、B 、C 三内角的对边a 、b 、c 成等比数列，试证明：ABC ∆为正三角形.高考真题体验：（2008年高考）在ABC ∆中，B ∠，C ∠的对边分别为b ，c ，且 45=∠B ，2=b ，3=c .（1）求C ∠；（2）求ABC S ∆.课后巩固1、在A B C ∆中，若,60,3︒==A a 那么ABC ∆的外接圆的周长为________ 2、在A B C ∆中,______,cos cos 的形状为则ABC BCb c∆= 3、A B C ∆中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么A B C ∆一定是_______4、在ABC ∆中，7:5:3sin :sin :sin =C B A ，那么这个三角形的最大角是_____5、已知三角形一个内角为 60，周长为20，面积为310，求三角形的三边长。

高中《正弦和余弦定理》数学教案4篇

高中《正弦和余弦定理》数学教案4篇教案是讲课的前提，是讲好课的基础，教案则备课的具体表现形式。

它可以反映教师在整个教学中的总体设计和思路尤其是教学态度认真与否的重要尺度。

以下是小编为大家整理的高中《正弦和余弦定理》数学教案，感谢您的欣赏。

高中《正弦和余弦定理》数学教案1教学目标进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.教学重难点教学重点：熟练运用定理.教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.教学过程一、复习准备：1.写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.2.讨论各公式所求解的三角形类型.二、讲授新课：1.教学三角形的解的讨论：①出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.分两组练习→讨论：解的个数情况为何会发生变化②用如下图示分析解的情况.(A为锐角时)②练习：在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.2.教学正弦定理与余弦定理的活用：①出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求角的余弦. 分析：已知条件可以如何转化→引入参数k，设三边后利用余弦定理求角.②出示例3：在ΔABC中，已知a=7，b=10，c=6，判断三角形的类型.分析：由三角形的什么知识可以判别→求角余弦，由符号进行判断③出示例4：已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.分析：如何将边角关系中的边化为角→再思考：又如何将角化为边3.小结：三角形解的情况的讨论;判断三角形类型;边角关系如何互化.三、巩固练习：3.作业：教材P11B组1、2题.高中《正弦和余弦定理》数学教案2一)教材分析(1)地位和重要性：正、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。

(2)重点、难点。

重点：正余弦定理的证明和应用难点：利用向量知识证明定理(二)教学目标(1)知识目标：①要学生掌握正余弦定理的推导过程和内容;②能够运用正余弦定理解三角形;③了解向量知识的应用。

北师大版必修5高中数学2.1正余弦定理的应用导学案(二)

总结反思
(本节课有哪些收获？请写下来，并与组内同学分享)
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
[ B ]4．a、b、c是△ABC的三边，B＝60°，那么a2－ac＋c2－b2的值()
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．不确定
个性笔记
哪能通过探究一总结出已知三角形三边判断三角形形状的方法吗？
（提示：b2+c2=(b+c)2-2bc.本题是对正，余弦定理及三角形面积公式的总和应用）
（二）当堂检测
[ A ]1．△ABC的内角A，B， C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，B＝120°，则a等于()
A. B．2
C.D.
[ B ]2．若△ABC的三个内角满足sinA∶ sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△
北师大版必修5
【学习目标】
1.能利用正,余弦定理解三角形
2.能利用正,余弦定理解判断三角形的形状
【学习重点】
正弦定理与余弦定理的综合应用
【使用说明】
[A]2三角形面积定理是什么？写出来。
[A]3余弦定理的内容是什么？它的变形有哪些？写出来。
（一）学习探究
探究一
[B]在△ABC中，AB＝5,BC=6,AC=8,则△ABC是什么三角形
(提示：利用三角形最大内角的余弦值与零的大小关系判断)
探究二
[B]在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2a 错误！未找到引用源。= 错误！未找到引用源。b
(1)求角A的大小
(2)若a=6,b+c=8.求△ABC的面积，

《余弦定理、正弦定理的应用》教学设计、导学案、同步练习

《6.4.3 余弦定理、正弦定理》教学设计第3课时余弦定理、正弦定理的应用【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要学习利用正弦定理、余弦定理来求不能到达的两点之间的距离、底部不能到达的建筑物的高、角度问题。

正弦定理、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。

这是一节关于正、余弦定理应用举例课.利用应用举例培养学生的数学建模能力。

把应用正余弦定理解决有关距离、高度、角度等问题融合起来，让学生经历情景的过程中解决数学问题。

【教学目标与核心素养】A.进一步熟悉余弦定理、正弦定理；B.了解常用的测量相关术语；C.能运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决有关距离、高度、角度的实际问题。

【教学重点】：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解；【教学难点】：根据题意建立数学模型，画出示意图。

3.余弦定理：变形：4.三角形中的结论：5.情境引入：（1）现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物的高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？（2）在实际的航海生活中,人们也会遇到如下的问题：在浩瀚的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？二、探索新知类型一距离问题例1 如图， A ，B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A ，B两点间的距离的方法.并求出A ，B 间的距离。

解：测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，测得RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===c b a C B A ::sin :sin :sin =Cab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=abc b a C ca b a c B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 222222222-+=-+=-+=;π=++C B A C B A C B A cos )cos(,sin )sin(-=+=+2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+CD=a，并且在C，D两点分别测得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA=δ，在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得于是，在△ABC中，应用余弦定理可得A，B两点间的距离思考：在上述测量方案下，还有其他计算A，B两点间距离的方法吗？【分析】先求AD，BD的长度，进而在三角形ABD中，求A，B间的距离。

6.4.3 余弦定理、正弦定理余弦定理、正弦定理应用举例导学案(2)-人教A版高中数学必修第二册

【新教材】6.4.3 余弦定理、正弦定理（人教A版）第3课时余弦定理、正弦定理应用举例1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题,了解常用的测量相关术语;2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值;同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.1.数学抽象:方位角、方向角等概念;2.逻辑推理:分清已知条件与所求,逐步求解问题的答案;3.数学运算:解三角形;4.数学建模:数形结合,从实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得到所求的量,从而得到实际问题的解．重点:由实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后逐个解决三角形,得到实际问题的解;难点:根据题意建立数学模型,画出示意图.一、预习导入阅读课本48-51页,填写。

1、实际测量中的有关名称、术语名称定义图示基线在测量中,根据测量需要适当确定的线段叫做基线方向角从指定方向线到的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西,方向角小于90°)方位角从正北的方向线按时针到目标方向线所转过的水平角1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)已知三角形的三个角,能够求其三条边()(2)两个不可到达的点之间的距离无法求得()(3)方位角和方向角是一样的()2．若P在Q的北偏东44°50′方向上,则Q在P的()A．东偏北45°10′方向上B．东偏北45°50′方向上C．南偏西44°50′方向上D．西偏南45°50′方向上3．从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为（）A．α＞β B．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°4.如图,已知A,B,C三地,其中A,C两地被一个湖隔开,测得AB＝3 km,B＝45°,C＝30°,则A,C两地的距离为________km.仰角在同一铅垂平面内,视线在水平线方时与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内,视线在水平线下方时与水平线的夹角题型一测量高度问题例1济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字,其造型流畅别致,成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度,于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°,他又沿着泉标底部方向前进15.2 m,到达B点,测得泉标顶部仰角为80°.你能帮李明同学求出泉标的高度吗?(精确到1 m)跟踪训练一1、乙两楼相距200 m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则甲、乙两楼的高分别是多少?题型二测量角度问题例2如图所示,A,B是海面上位于东西方向相距5(3＋3) n mile的两个观测点．现位于A点北偏东45°方向、B点北偏西60°方向的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20 3 n mile的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30 n mile/h,则该救援船到达D点需要多长时间?跟踪训练二1、在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A处(3－1)n mile的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°的方向,距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile的速度追截走私船．此时,走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?题型三测量距离问题例3如图所示,要测量一水塘两侧A,B两点间的距离,其方法先选定适当的位置C,用经纬仪测出角α,再分别测出AC,BC的长b,a则可求出A,B两点间的距离．若测得CA＝400 m,CB＝600 m,∠ACB＝60°,试计算AB的长．例4 如图所示,A,B两点在一条河的两岸,测量者在A的同侧,且B点不可到达,要测出A,B的距离,其方法在A所在的岸边选定一点C ,可以测出A ,C 的距离m ,再借助仪器,测出∠ACB ＝α,∠CAB ＝β,在△ABC 中,运用正弦定理就可以求出AB .若测出AC ＝60 m,∠BAC ＝75°,∠BCA ＝45°,则A ,B 两点间的距离为________ m.跟踪训练三1.如图,A ,B 两点在河的同侧,且A ,B 两点均不可到达,测出A ,B 的距离,测量者可以在河岸边选定两点C ,D ,测得CD ＝a ,同时在C ,D 两点分别测得∠BCA ＝α,∠ACD ＝β,∠CDB ＝γ,∠BDA ＝δ.在△ADC 和△BDC 中,由正弦定理分别计算出AC 和BC ,再在△ABC 中,应用余弦定理计算出AB .若测得CD ＝32km,∠ADB ＝∠CDB ＝30°,∠ACD ＝60°,∠ACB ＝45°,求A ,B 两点间的距离．1．已知A ,B 两地的距离为10 km,B ,C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC ＝120°,则A ,C 两地的距离为( ) A ．10 km B. 3 km C ．10 5 kmD ．107 km2．某公司要测量一水塔CD 的高度,测量人员在该水塔所在的东西方向水平线上选A ,B 两个观测点,在A 处测得该水塔顶端D 的仰角为α,在B 处测得该水塔顶端D 的仰角为β,已知AB ＝a,0<β<α<π2,则水塔CD 的高度为( )A.a sin (α－β)sin βsin αB.a sin αsin βsin (α－β)C.a sin (α－β)sin αsin βD.a sin αsin (α－β)sin β3．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC ＝10 m,吊杆AC ＝15 m,吊索AB ＝519 m,起吊的货物与岸的距离AD 为( )A ．30 m B.1532 mC ．15 3 mD ．45 m4．学校里有一棵树,甲同学在A 地测得树尖的仰角为45°,乙同学在B 地测得树尖的仰角为30°,量得AB ＝AC ＝10 m,树根部为C (A ,B ,C 在同一水平面上),则∠ACB ＝________.5．如图所示,要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度,在C 点测得塔顶A 的仰角是45°,在D 点测得塔顶A 的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD ＝120°,CD ＝40 m,求电视塔的高度．答案小试牛刀 1. (1)×(2) ×(3)× 2．C. 3．B. 4. 32. 自主探究例1 【答案】泉城广场上泉标的高约为38 m.【详细解析】如图所示,点C ,D 分别为泉标的底部和顶端．依题意,∠BAD ＝60°,∠CBD ＝80°, AB ＝15.2 m,则∠ABD ＝100°, 故∠ADB ＝180°－(60°＋100°)＝20°. 在△ABD 中,根据正弦定理,BD sin 60°＝AB sin ∠ADB . ∴BD ＝AB ·sin 60°sin 20°＝15.2·sin 60°sin 20°≈38.5(m)．在Rt △BCD 中,CD ＝BD sin 80°＝38.5·sin 80°≈38(m), 即泉城广场上泉标的高约为38 m.跟踪训练一1、【答案】甲楼高为200 3 m,乙楼高为40033 m.【详细解析】如图所示,AD 为乙楼高,BC 为甲楼高．在△ABC 中,BC ＝200×tan 60°＝2003,AC ＝200÷sin 30°＝400,由题意可知∠ACD ＝∠DAC ＝30°, ∴△ACD 为等腰三角形．由余弦定理得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos120°,4002＝AD 2＋AD 2－2AD 2×⎝⎛⎭⎫－12＝3AD 2,AD 2＝40023,AD ＝40033.故甲楼高为200 3 m,乙楼高为40033m.例2 【答案】救援船到达D 点需要的时间为1 h. 【详细解析】由题意,知AB ＝5(3＋3)n mile,∠DBA ＝90°－60°＝30°,∠DAB ＝90°－45°＝45°, ∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB 中,由正弦定理得BD sin ∠DAB ＝AB sin ∠ADB,即BD ＝AB sin ∠DAB sin ∠ADB ＝3)sin 45sin105＝5(33)sin 4545cos 60cos 45sin 60++＝10 3 n mile.又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝60°,BC ＝20 3 n mile, ∴在△DBC 中,由余弦定理,得CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos ∠DBC ＝ 300＋1 200－2×103×203×12＝30 n mile,则救援船到达D 点需要的时间为3030＝1 h.跟踪训练二1、【答案】缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.【详细解析】设缉私船用t h 在D 处追上走私船,画出示意图,则有CD ＝103t ,BD ＝10t ,在△ABC 中,∵AB ＝3－1,AC ＝2,∠BAC ＝120°,∴由余弦定理,得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos 120°＝6, ∴BC ＝6,且sin ∠ABC ＝AC BC ·sin ∠BAC ＝26·32＝22,∴∠ABC ＝45°,∴BC 与正北方向成90°角． ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°,在△BCD 中,由正弦定理,得sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t sin 120°103t＝12,∴∠BCD ＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船. 例3【答案】A ,B 两点间的距离为2007 m. 【详细解析】在△ABC 中,由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ,∴AB 2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000. ∴AB ＝2007 (m)．即A ,B 两点间的距离为2007 m. 例4【答案】20 6 .【详细解析】∠ABC ＝180°－75°－45°＝60°,所以由正弦定理得,AB sin C ＝ACsin B,∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝60×sin 45°sin 60°＝206(m)．即A ,B 两点间的距离为20 6 m.跟踪训练三1.【答案】A ,B 两点间的距离为64km. 【详细解析】∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°,∠ACD ＝60°, ∴∠DAC ＝60°,∴AC ＝DC ＝32.在△BCD 中,∠DBC ＝45°,由正弦定理,得BC ＝DC sin ∠DBC ·sin ∠BDC ＝32sin 45°·sin 30°＝64.在△ABC 中,由余弦定理,得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.∴AB ＝64(km)．∴A ,B 两点间的距离为64km.当堂检测1-3.DAB 4. 30°5．【答案】电视塔的高为40 m. 【详细解析】设电视塔AB 的高为x ,则在Rt △ABC 中, 由∠ACB ＝45°,得BC ＝x .在Rt △ADB 中,∠ADB ＝30°,∴BD ＝3x . 在△BDC 中,由余弦定理,得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ×CD cos120°, 即(3x )2＝x 2＋402－2·x ·40·cos120°, 解得x ＝40,所以电视塔的高为40 m.。

人教A版数学必修五《正、余弦定理应用举例》导学案

▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ 辽宁省朝阳县柳城高级中学高中数学必修五导学案：正、余弦定理应用举例一、认知探究：1. 仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做，在水平线下方的角叫做 .2.方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫做 .3.方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角叫做 .如：正南方，东南方，北偏东60.二、合作探究：例1：如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75，距离为在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30，距离为A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120.求：（1）A 处与D 处的距离；（2）灯塔C 与D 处的距离；例2.如图所示，在地面上有旗杆OP ，为测得它的高度h ，在地面上取一基线AB ，AB=20 m,在A 处测得P 点的仰角∠OAP=30,在B 处测得P 点的仰角∠OBP=45,又测得∠AOB=60,求旗杆的高度.三、反馈练习：1.某次测量中，A 处测得同一方向的B 点仰角为60，C点俯角为70，则∠BAC 等于 ( ) A . 10 B . 50 C . 120 D . 1302.在高150米山顶上，测得山下一铁塔塔顶与塔底的俯角分别为30,60,则铁塔高度为（）A . 100米B . 150米C . 200米D .300米3.某车向正南方向开了S km 后，向右转30角，然后又开了 2 km ，结果该车离出发点恰好则S= km.4.在山底测得山顶的仰角∠CAB=45,沿倾斜角为30的斜坡走1000m 至S 点，又测得山顶的仰角∠DSB=75,则山高B C= .5.某人在草地上散步，看到他正西方向有两根相距6米的标杆，当他向正北方向步行了3分钟后，看到一根标杆在其南偏西45方向上，另一根标杆在其南偏西30方向上，求此人步行的速度.D C 30 75 120 P。

高中数学《正余弦定理的举例应用(二)》导学案

数学（高一下）导学案
2.书上24页B 组题：海伦公式
二、合作探究归纳展示
例1、如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75︒的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B,然后从B 出发,沿北偏东32︒的方向航行54.0 n mile 后达到海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1︒,距离精确到0.01n mile)
学生看图思考并讲述解题思路
教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC 边所对的角∠ABC ，即可用余弦定理算出AC 边，再根据正弦定理算出AC 边和AB 边的夹角∠CAB 。

解：在∆ABC 中，∠ABC=180︒- 75︒+ 32︒=137︒，根据余弦定理，
AC=ABC BC AB BC AB ∠⨯⨯-+cos 222
=︒⨯⨯⨯-+137cos 0.545.6720.545.6722 ≈113.15 根据正弦定理,
CAB BC ∠sin = ABC
AC ∠sin。

4.7正余弦定理的应用导学案第二课时

§4.7解三角形的综合应用导与练第二课时题型二求角度问题典例如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为________．跟踪训练如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C 的北偏东40°的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东60°的方向上，则灯塔A在灯塔B的______的方向上．题型三三角形与三角函数的综合问题典例(2018·石家庄模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，(2a－c)cos B－b cos C＝0.(1)求角B的大小；(2)设函数f(x)＝2sin x cos x cos B－32cos 2x，求函数f(x)的最大值及当f(x)取得最大值时x的值．跟踪训练设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．函数思想在解三角形中的应用典例 (12分)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．。

高一数学正余弦定理的应用

高一数学正余弦定理的应用
课题：正弦定理、余弦定理的应用（二）
【教学目标】
知识目标：能熟练应用正弦定理、余弦定理解决三角形等一
些几何中的问题和物理问题．
能力目标：能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能
应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题．
情感目标：能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造
性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力．【教学过程】
一．数学运用
例1：作用在同一点的三个力平衡.已知，，与之间的夹角是，求的大小与方向．
练习：如图，用两根绳子牵引重为的物体，两根绳子拉力分
别为，，此时平衡，如果，与夹角．（1）求的大小；（2）
求与的夹角的值．
例2：把一根长为的木条锯成两段，分别作钝角三角形的两
边和，且，如何锯断木条才能使第三条边最短？
例3：如图，有两条相交成角的直路，，交点是，甲、乙分
别在，上，起初甲离点，乙离点，后来甲沿的方向，乙沿
的方向，同时用的速度步行，
（1）起初两人的距离是多少？（2）后两人的距离是多少？（3）什么时候两人的距离最短．
例4：如图，半圆的直径为，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.问：点在什么位置时，四边形面积最大？
二．回顾小结：
三．课外作业：
1．课本P21 习题（5）
2．课本P24 复习题（5）（7）
【教后反思】。