2010深圳二模数学

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深圳部分学校2009-2010学年度第二学期期中考试高二数学(理科)

深圳部分学校2009-2010学年度第二学期期中考试高二数学(理科)

深圳部分学校2009-2010学年度第二学期期中考试高二数学(理科)(满分:150分 考试时间:120分钟)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的,答案填入答题卡内.1.若(2)a i i b i -=-,其中a 、b R ∈,i 使虚数单位,则22a b +=A .0B .2C .52D .5 2.用反证法证明命题:“如果,a b N ∈,ab 可被5整除,那么,a b 中至少有一个能被5整除” 时,假设的内容应为A .,a b 都能被5整除B .,a b 都不能被5整除C .,a b 不都能被5整除D .a 不能被5整除 3.已知向量(0,2,1),(1,1,2)==--a b ,则a 与b 的夹角为A .0B .45C .90D .1804.用4种不同的颜色涂入如图四个小矩形中,要求相邻矩形的涂色 不得相同,则不同的涂色方法种数是A .36B .72C . 24D .545.从4种蔬菜品种中选出3种,分别种植在3块不同的土地上,不同种植方法的种类数是 A .36 B .64 C .24 D .81 6.用数学归纳法证明1111(*,1)2321n n N n n ++++<∈>-时,第一步即证下述哪个不等式成立A .12<B .111223++< C .1122+< D .1123+< 7.在棱长为1的正四面体ABCD 中,,E F 分别是,BC AD 中点,则AE CF ⋅=A . 0B .12 C .34- D .12- 8.已知结论::“在正三角形ABC 中,若D 是边BC 的中点,G 是三角形ABC 的重心,则2AGGD=”,若把该结论推广到空间,则有结论:“在棱长都相等的四面体ABCD 中,若BCD ∆ 的中心为M ,四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等,则AOOM=A .1B .2C .3D .4二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡横线 上.9.设复数4z a i =+(i 为虚数单位,[0,3]a ∈),z 的最小值为m ,最大值为n .则mn A = .10.若在5(1)ax +的展开式中3x 的系数为80-,则a = .11.从0,1,2,3,,9⋅⋅⋅这十个数字中任选2个不同的数字分别作复数z a bi =+的实部和虚部, 在复数z 为虚数的条件下,它为纯虚数的概率大小为________. 12.已知(2,4,),(2,,2)x y ==a b ,若//a b ,则x y +的值为________.13. 一次数学期中考试出了8道选择题,每题附有,,,A B C D 四个答案,其中只有一个是符合要求的.某学生每做一道选择题都对,,,A B C D 四个字母抽签,抽到谁就把这个答案填上去,则恰好做对4题的概率为________(用数学式子表示). 14.观察以下几个等式:(1)1011021111C C C C C =+; (2)20211204222222C C C C C C C =++; (3)303122130633333333C C C C C C C C C =+++,归纳其特点可以获得一个猜想是:2nn C =三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.15.(本小题满分12分)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量ξ表示所选3人中女生的 人数.(1)求ξ的分布列;(2)求“所选3人中女生人数1ξ≤”的概率.16.(本小题满分12分)已知n (其中715n <<)的展开式中第5项,第6项,第7项的二项式系数成等差数列. (1)求n 的值;(2)写出它的展开式中的有理项. 17.(本小题满分14分)4个男同学,3个女同学站成一排,下列情况各有多少种不同排法:(1)3个女同学必须排在一起;(2)同学甲和同学乙之间恰好有3人;(3)女同学从左往右按从高到低排(3个女同学身高互不相等); (4)同学甲不站在左端,同学乙不站在右端.注:解答须列式,答案要用数字表示,下面给出数据供参考18.(本小题满分14分)如图,在底面是矩形的四棱锥A B C D P -中,PA ⊥平面A B C D , 2==AB PA ,4=BC .E 是PD 的中点.(1)求证:平面PDC ⊥平面PAD ; (2)求二面角D AC E --所成平面角的余弦值; (3)求B 点到平面EAC 的距离.19.(本小题满分14分)已知正项数列{}n a 和{}n b 中,11(01),1a a a b a =<<=-.P BA CD E当2n ≥时,n n n b a a 1-=,1211n n n b b a --=-. (1)用数学归纳法证明:对任意*n N ∈,有1=+n n b a ; (2)求数列{}n a 的通项公式.20. (本小题满分14分)已知数列{}n a 的首项为1,1212()knn n k n n n f n a C a C a C a C =+++++ ()n N +∈.(1)若{}n a 为常数列,求(4)f 的值;(2)若{}n a 为公比为2的等比数列,求()f n 的解析式;(3)数列{}n a 能否成等差数列,使得()1(1)2nf n n -=-对一切n N +∈都成立. 若能,求出数列{}n a 的通项公式;若不能,试说明理由.2009-2010学年度第二学期期中联考考参考答案一.选择题二填空题9.120 10.2- 11.1912.6 13. 444813()()44C14.01102n n n n n n n n n n n C C C C C C C -=++⋅⋅⋅+ 三.解答题15. 解:(1)ξ可能取的值为0,1,22,1,0,)(36342=⋅==-k C C C k P k k ξ 所以,ξ的分布列为ξ …………………7分 (2)解:由(1),“所选3人中女生人数1ξ≤”的概率为54)1()0()1(==+==≤ξξξP P P …………………12分16.解:(1)n (其中715n <<)的展开式中第5项,第6项,第7项的二项式系数分别是4n C ,5n C ,6n C .依题意得4652n n n C C C +=,即:!!!24!(4)!6!(6)!5!(5)!n n n n n n +=⨯---, ……………………3分化简得30(4)(5)12(4)n n n +--=-,即:221980n n -+=解得7n =或14n =,因为715n <<所以14n = …………………6分 (2)展开式的通项 421436211414r r r rr r T C xx C x--+== ……………………10分展开式中的有理项当且仅当r 是6的倍数,014r ≤≤,所以展开式中的有理项共3项:0771140,r T C x x ===;6667146,3003r T C x x ===;1255131412,91r T C x x === …………………12分17.解:(1)3535A A ⋅=720 (3分)(2)323523A A A ⋅⋅=720 (3分)(3)3474C A ⋅=840 或7733840A A = (4分)(4)76576523720A A A -+= (4分)18.解:以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线 为y 轴,AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,则 (0,0,0)A ,(2,0,0),(2,4,0),(0,4,0)B C D ,(0,2,1),(0,0,2)E P∴(2,0,0),(0,4,0),(0,0,2)AB AD AP ===, (2,0,0)CD =-,(0,2,1),(2,4,0)AE AC ==. ……………3分 (1)证:0=⋅ AD CD ⊥∴又0=⋅ AP CD ⊥∴A AD AP =⋂ PAD CD 平面⊥∴ 而PDC CD 平面⊂∴平面PDC ⊥平面PAD . …………………6分 (2)设平面AEC 的法向量(,,)n x y z =由00n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()()()()1,,10,2,102101240,,12,4,002x x y y x y y x y =⎧⋅=⎧+=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨+==-⋅=⎩⎪⎪⎩⎩∴11,,12n ⎛⎫=-⎪⎝⎭……………………9分 平面ABC 的法向量(0,0,2)AP =,22cos ,3322n AP n AP n AP⋅〈〉===⨯⨯ 所以二面角D AC E --所成平面角的余弦值是32. …………………10分 (3) 设点B 到平面AEC 的距离为h ,(2,0,0)AB =, =⎪⎭⎫⎝⎛-1,21,1则h =24332n ABn⋅==,所以B 点到平面EAC 的距离是34.………14分 19.(1)①当1n =时,1111a b a a +=+-=,命题成立;②假设n k =时,命题成立,即1k k a b +=则当1n k =+时,111112(1)(1)111k kk k k k k k k k k kb b a b a b b b a a a a ++++++=+=+=+==-- 这就是说1n k =+时,命题也成立PBEDCA由①②可知,对于对任意*n N ∈,有1=+n n b a …………………7分(2)当2n ≥时,n n nb a a 1-=又1=+n n b a故1(1)n n n a a a -=-,即11n n n n a a a a ---=, 1111n n a a --=, 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,而1a a = 所以111(1)1n n a n a a a+-=+-= 故1(1)1n a aa n a a na==+--+ ………14分20.解:(1)∵{}n a 为常数列,∴1n a =()n N +∈.∴12344444(4)15f C C C C =+++=.………………3分(2)∵{}n a 为公比为2的等比数列,∴12n n a -=()n N +∈.………………5分 ∴1231()242n nn n n n f n C C C C -=++++,∴1223312()12222n nn n n n f n C C C C +=+++++(12)3nn+=,故31()2n f n -=.………………9分(3)假设数列{}n a 能为等差数列,使得()1(1)2nf n n -=-对一切n N +∈都成立,设公差为d ,则121121()kn nn n k n n n n n f n a C a C a C a C a C --=++++++,且121121()n n kn n n n k n n n f n a C a C a C a C a C --=++++++,相加得 121112()2()()kn n n n n n n f n a a a C C C C --=+++++++,∴12111()()2k n n n n n n n a a f n a C C C C --+=++++++11(22)2nn n a a a -+=+-[]11(1)2(2)(21)n n d n d -=+-++--. ∴[]1()1(2)2(2)2n f n d n d --=-++-(1)2n n =-恒成立,即1(2)(2)(2)20n d d n --+-+=n N +∈恒成立,∴2d =.………………13分故{}n a 能为等差数列,使得()1(1)2nf n n -=-对一切n N +∈都成立,它的通项公式为21n a n =-.………………14分(其它方法相应给分)。

2010年深圳市高三年级第二次调研考试(理科数学答案)word版

2010年深圳市高三年级第二次调研考试(理科数学答案)word版

2010年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)参考答案及评分标准说明:1、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2、对于计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.(一)必做题(9~13题)log0.9(填b也算对).13.9. 2 .10.56.1112. 1.1(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)14..15三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(本题考查向量的数量积、两角和的正弦公式、三角形的面积公式、三角函数的性质等知识,考查化归转化的数学思想和运算求角能力)解:由已知可知()2=⋅=⋅cos cosf x m n x x x1cos 212sin 22262x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭ . ……………3分 (1)()x f 的最小正周期是π. …………4分 由 222262k x k πππππ-≤+≤+( Z k ∈),解得 36k x k ππππ-≤≤+(Z k ∈).所以()x f 的单调递增区间是 ,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z k ∈). …………7分(2)∵ ()21=A f , 即212162sin =+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA ,∴ 062sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πA , ∵ A B C ∆是锐角三角形. ∴02A π<<,∴72666A πππ<+<, ∴ ππ=+62A ,∴125π=A . …………9分 而 4266sin 4cos 6cos 4sin 64sin 125sin+=⋅+⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+=πππππππ, ………11分∴111sin 2242S b c A =⋅⋅=⋅⋅= . …………12分 17. (本小题满分12分)(本题主要考查频率分布表、直方图、分层抽样、分布列、期望等统计概率知识,考查学生运用所学知识解决实际应用问题的能力)解:(1)①处填20,②处填0.35; 507个画师中年龄在[)35,30的人数为17750735.0≈⨯人……………3分补全频率分布直方图如图所示.…………6分(2)用分层抽样的方法,从中选 取20人,则其中“年龄低于30岁”岁的有5人,“年龄不低于30岁”的有15人。

2010深圳中考数学试卷附答案

2010深圳中考数学试卷附答案
设BD的解析式为,则有ykxb=+203kbkb+=⎧⎨−+=−⎩,12kb=⎧⎨=−⎩,
故BD的解析式为2yx=−;令0,x=则2y=−,故(0,2)M−xyMCBDAO图245
1
(3)、如图3,连接AM,BC交y轴于点N,由(2)知,OM=OA=OD=2,90AMB∠=
易知BN=MN=1,易求22,2AMBM==
参考答案
第一部分:选择题
1、A2、C3、D4、B5、D6、A7、C8、B9、C10、A
11、B12、D
第二部分:填空题:13、14、315、916、154(1)(1)xx+−
解答题:
17、原式=1922122192−++×−=
18、22(3)(3)(3)2(3)31aaaaaaaaaaaa+−+−=−=+−−原式
在AMKΔ和中,∠=;NMAΔ12AMKNM∠
故;AMKNMAΔ
MNAMAMMK=;
即:24MNMKAM==
故存在常数,始终满足aMNMK
易知Δ,故CHPDQPDPDQPHCH=,
322DQ=,,由于,3DQ=4CD=
3coscos4QDQHCQDCCD∴∠=∠==;
(3)、如图6,连接AK,AM,延长AM,
与圆交于点G,连接TG,则∠90GTA
2490∴∠+∠=°
34∠=∠,2390°∴
由于∠+,故,∠;390BKO2BKO
而,故1BKO∠=12∠=∠
(2)、依题意,215(204)(6040)4604004()6252Wx
故当157.52x==(元)时,W625(元)
22、(1)、因为点A、B均在抛物线上,故点A、B的坐标适合抛物线方程

2010二模18题整理

2010二模18题整理

A 1NM CBAB 1(宝山)18.如图4,⊙A 、⊙B 的圆心A 、B 都在直线l 上,⊙A 的半径为1cm ,⊙B 的半径为2cm , 圆心距AB =6cm. 现⊙A 沿直线l 以每秒1cm 的速度向右移动,设运动时间为t 秒,写出 两圆相交时,t 的取值范围: .(崇明)18.在ABC ∆中,4==BC AC ,6=AB ,E 为AB 边上一点,沿过点E 的一条直线折叠ACB ∆,使点A 落在射线BC 上的点F 处. 若FEB ∆∽ACB ∆,则AE 的长为 .(虹口)18. 已知平行四边形ABCD 中,点E 是BC 的中点,在直线BA 上截取2BF AF =,EF 交BD 于点G ,则GBGD= .(黄埔)18.如图4,在ABC ∆中,∠ACB =︒90,AC =4,BC =3,将ABC ∆绕点C 顺时针旋转至C B A 11∆的位置,其中B 1C ⊥AB ,B 1C 、A 1B 1交AB 于M 、N 两点,则线段MN 的长为 .l(图4)BA(嘉定)18.如图1,在矩形ABCD 中,1=AB ,2=AD ,点E 在边DC 上,联结AE ,将△AED 沿折痕AE 翻折,使点D 落在边BC 上的 1D 处,那么=∠EAD 度.(金山)18.如图2,在△ABC 中,AD 是BC 上的中线,BC =4,∠ADC =30°,把△ADC 沿AD 所在直线翻折后点C 落在点C ′ 的位置,那么点D 到直线BC ′ 的 距离是 .(静安)18.如图,半径为1且相外切的两个等圆都内切于半径为3的圆,那么图中阴影部分的周长为 .(卢湾)18.在⊙O 中,若弦AB 是圆内接正四边形的边,弦AC 是圆内接正六边形的边,则∠BAC = .A B C D E 1D 图1 C / BD CA图2(第18题图)(闵行)18.如图,在△ABC 中,AB = AC ,BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的中线,且BD ⊥CE ,那么tan ∠ABC =___________.(浦东)18.已知在△AOB 中,∠B =90°,AB =OB ,点O 的坐标为(0,0),点A 的坐标为(0,4),点B 在第一象限内,将这个三角形绕原点O 逆时针旋转75°后,那么旋转后点B 的坐标 为 .(普陀)18.中心角是40°的正多边形的边数是 .(青浦)18.在△ABC 中,AB=AC ,∠A=80°,将△ABC 绕着点B 旋转,使点A 落在直线BC 上,点C 落在点'C ,则∠'BCC = .(松江)18.如图,已知在直角三角形ABC 中,∠C =90°,AB =5,BC =3,将ABC 绕着点B 顺时针旋转,使点C 落在边AB 上的点C ′处,点A 落在点A ′处,则AA ′的长为 ________ .ABCDE (第18题图)ABC(第18题图)(徐汇)18.如图,将矩形纸片ABCD 折叠,B 、C 两点恰好重合落在AD 边上点P 处,已知︒=∠90MPN ,PM=3,PN=4,,那么矩形纸片ABCD 的面积为 ______.(杨浦)18.如图,Rt △ABC 中,∠C =900,AC =3,BC =4,⊙O 是以BC 边为直径的圆,点P 为AC 边上动点,⊙P 的半径为1。

(理数)深圳2010年高三二模

(理数)深圳2010年高三二模

绝密★启用前 试卷类型:A2010年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)2010.5本试卷共6页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项:1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码是否正确;之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号,同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区,请保持条形码整洁、不污损.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.不按要求填涂的,答案无效.3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答.漏涂、错涂、多涂的答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回. 参考公式:锥体的体积公式13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.圆柱的侧面积2S rl π=,其中r 是圆柱的底面半径,l 是圆柱母线长.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.1.设i 是虚数单位,则复数2i 1i +-()()在复平面内对应的点位于A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.若命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题,则A .命题p 不一定是假命题B .命题q 一定是真命题C .命题q 不一定是真命题D .命题p 与命题q 同真同假 3.在△ABC 中,若sin :sin :sin 3:4:30A B C =,则ABC ∆是A .直角三角形B .锐角三角形C .钝角三角形D .不能确定4.直线:10l mx y m -+-=与圆C :2215x y +-=()的位置关系是A .相交B .相切C .相离D .不确定A B C D 5.如图1,是一个空间几何体的三视图,其主(正)视图是一个边长为2的正三角形,俯视图是一个斜边为2的等腰直角三角形,左(侧)视图是一个两直角边分别为3和1的直角三角形,则此几何体的体积为 A .33 B .1 C .32D .26.设0a >,0b >,则以下不等式中,不恒成立的是A .114a b a b++≥()()B .22b ba a+>+ C .111a b a ba b a b+<+++++ D .a b b a a b a b ≥7.已知a 是实数,则函数sin f x ax =()的导函数的图象可能是8.将长度为1的线段随机折成三段,则三段能构成三角形的概率是A .12B .13C .14D .15二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9~13题)9.设全集}}{}{{23 23 2 3 5U U a a a A A =+-==,,,,,ð,则a 的值为 .10.在82x y -()的展开式中,62x y 项的系数是 .11.已知双曲线222210x y a b a b -=>>()的两条渐近线的夹角为3π,则双曲线的离心率为.12.给出以下一个算法的程序框图(图2),如果sin 2a =, 1.1log 0.9b =,0.91.1c =,则输出的结果是 .(注:框图中的的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”)主(正)视图左(侧)视图俯视图图113.设P 是边长为a 的正ABC ∆内的一点,P点到三边的距离分别为123h h h 、、,则12332h h h a =++;类比到空间,设P 是棱长为a 的空间正四面体A B C D 内的一点,则P 点到四个面的距离之和1234h h h h +++= .(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,若圆C 的极坐标方程为24cos 103πρρθ---=(),若以极点为原点,以极轴为x 轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系xOy 中,则在直角坐标系中,圆心C 的直角坐标是 .15.(几何证明选讲选做题)如图3,在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,以BC 为直径作半圆交AB 于D ,过D 作半圆的切线交AC 于E ,若2AD =,4DB =,则DE = .三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)已知()cos ,3sin m x x = ,()cos ,cos n x x = ,设()f x m n =⋅ .(1)求函数()f x 的最小正周期及其单调递增区间;(2)若b c 、分别是锐角ABC ∆的内角B C 、的对边,且62b c ⋅=-,()12f A =,试求ABC ∆的面积S .17.(本小题满分12分)上海世博会深圳馆1号作品《大芬丽莎》是由大芬村507名画师集体创作的999幅油画组合而成的世界名画《蒙娜丽莎》,因其诞生于大芬村,因此被命名为《大芬丽E ABCD图3开始结束Na b =a c > a c =输出aa b >YN输入a,b,c图2 Y频率组距20 25 30 35 40 45 年龄 岁图4莎》.某部门从参加创作的507名画师中随机抽出100名画师,测得画师年龄情况如下表所示.(1)频率分布表中的①、②位置应填什么数据?并在答题卡中补全频率分布直方图(图4),再根据频率分布直方图估计这507个画师中年龄在[)30,35岁的人数(结果取整数);(2)在抽出的100名画师中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加上海世博会深圳馆志愿者活动,其中选取2名画师担任解说员工作,记这2名画师中“年龄低于30岁”的人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.18.(本小题满分14分)如图5,四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面,点P 在圆柱OQ 的底面圆周上,G 是DP 的中点,圆柱OQ 的底面圆的半径2OA =,侧面积为83π,120AOP ∠=︒.(1)求证:AG BD ⊥;(2)求二面角P AG B --的平面角的余弦值.19.(本小题满分14分)设函数()()2ln 21f x x a x =-+(1,12x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦,0a >).(1)若函数()f x 在其定义域内是减函数,求a 的取值范围;分组 (单位:岁)频数 频率 [)20,255 0.050 [)25,30① 0.200 [)30,35 35 ② [)35,40 30 0.300 []40,4510 0.100 合计 1001.00OQ DBCAGP .图5(2)函数()f x 是否有最小值?若有最小值,指出其取得最小值时x 的值,并证明你的结论.20.(本小题满分14分)已知抛物线C :24x y =的焦点为F ,过点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点;椭圆E 的中心在原点,焦点在x 轴上,点F 是它的一个顶点,且其离心率32e =. (1)求椭圆E 的方程;(2)经过A 、B 两点分别作抛物线C 的切线1l 、2l ,切线1l 与2l 相交于点M .证明:MF AB ⊥;(3) 椭圆E 上是否存在一点M ',经过点M '作抛物线C 的两条切线M A ''、M B ''(A '、B '为切点),使得直线A B ''过点F ?若存在,求出抛物线C 与切线M A ''、M B ''所围成图形的面积;若不存在,试说明理由.21.(本小题满分14分)设n S 是数列{}n a 的前n 项和,且n a 是n S 和2的等差中项. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)当1i j n ≤≤≤(,,i j n 均为正整数)时,求i a 和j a 的所有可能的乘积i j a a 之和n T ; (3)设212222*n n M n N T T T =+++∈() ,求证:1324M ≤<.BF AM图6xyO数学(理科)参考答案说明:1、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2、对于计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DBCAABCC二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9~13题)9. 2 . 10.56. 11.233. 12. 1.1log 0.9(填b 也算对).13.63a .(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)14.(1,3). 15.3.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(本题考查向量的数量积、两角和的正弦公式、三角形的面积公式、三角函数的性质等知识,考查化归转化的数学思想和运算求角能力) 解:由已知可知()2cos 3sin cos f x m n x x x =⋅=+⋅1cos 231sin 2sin 22262x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭ . ……………3分 (1)()x f 的最小正周期是π. …………4分 由 222262k x k πππππ-≤+≤+( Z k ∈),解得 36k x k ππππ-≤≤+(Z k ∈).所以()x f 的单调递增区间是 ,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z k ∈). …………7分 (2)∵ ()21=A f , 即212162sin =+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA ,∴ 062sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πA , ∵ ABC ∆是锐角三角形. ∴02A π<<,∴72666A πππ<+<, ∴ ππ=+62A ,∴125π=A . …………9分 而 4266sin 4cos 6cos 4sin 64sin 125sin+=⋅+⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+=πππππππ, ………11分 ∴()11621sin 622242S b c A +=⋅⋅=⋅-⋅= . …………12分 17. (本小题满分12分)(本题主要考查频率分布表、直方图、分层抽样、分布列、期望等统计概率知识,考查学生运用所学知识解决实际应用问题的能力)解:(1)①处填20,②处填0.35; 507个画师中年龄在[)35,30的人数为17750735.0≈⨯人……………3分补全频率分布直方图如图所示.…………6分(2)用分层抽样的方法,从中选 取20人,则其中“年龄低于30岁”的有5人,“年龄不低于30岁”的有15人。

深圳中学10届高三第二次测试(文数)

深圳中学10届高三第二次测试(文数)

试卷类型:A深圳中学2009-2010学年度高三年级第二次阶段测试试题数 学(文科) 2009.12命题人:洪建明考试注意:本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,共4页。

满分150分.考试时间120分钟。

注意事项:1.答第I 卷前考生必须将自己的姓名、班级、考号、考试科目、试卷类型用2B 铅笔填涂在答题卷上.2.答第I 卷时每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干狰后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.3.第II 卷必须用黑水钢笔或签字笔在答题卡上作答,答在试题卷上无效(特殊规定除外). 4.答第II 卷前将答题卡密封线内的项目填写清楚. 5.答案超出答题框外不得分.第I 卷(选择题共50分)一.选择题:本大题共10小题,每小题5分.共50分。

在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集I=R ,集合A=},,20{},,1{R x x x x B R x x y x ∈<<=∈-=,则(C 1A)∩B=A .(1,2)B .(1,+∞)C .[0,+∞)D .(0,+∞)2.设一次函数y=k i x+b i 的图象为直线l i (i=1,2,3,4),如右图所示,则有 A .k 2>k 1>k 4>k 3 B .k 2>k 1>k 3>k 4C .k 1>k 2>k 3>k 4D .k 1>k 2>k 4>k 33.已知条件甲:函数f(x)=a x(其中a>O 且a≠1)在区间(-∞,+∞)上 是减函数,条件乙:021log >α,则条件甲是条件乙的 A .充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C .充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知等差数列{a n }的公差为d(d ≠0),且a 3+a 6+a 10+a 13=32,若a m =8,则m 为 A .12 B .6 C .4 D .8 5.若b<a<0,则下列结论不正确的是 A.a 2<b 2B. a b )21()21(< C . ab<b 2 D .2>+abb a 6.曲线0222222=-++y x y x关于A .直线2=x 对称 B.直线y=-x 对称 C .点)2,2(-对称 D .原点(0,0)对称7.为了得到函数y=sin )62(π-x 的图象,可将函数y=cos2x 的图象A.向左平移6π个单位长度 B .向右平移3π个单位长度 C .向右平移6π个单位长度 D .向左平移3π个单位长度8.在直角坐标系中,下列函数的图象完全落在x 轴的下方的是A. y=-x2+1B. 109sin -=x y C .212+-=-x yD .2662--+-=x x y9.右图是一个算法的程序框图,该算法输出的结果是 A .21 B .32 C .43 D .54 10.在直角坐标系中,点A(4,3),点B(x ,0)在x 轴正半轴上移动,设,则函数)()(x l xx f =的最大值为 A .43 B .43 C .53 D. 35 第II 卷(非选择题共100分)二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,只要求直接填写结果, 11.函数y=32227-x(x ∈R)的最小值为_____________________.12.若曲线y=x+lnx 的切线l 与直线022=--y x 平行,则切线l 的方程为__________.13.已知向量)3,5(),3,6(),4,3(m m OC OB OA ---=-=-=,点A ,B ,C 在同一条直线上,则实数m=______.14.若数列{a n }满足:对于任意正整数k a a a a n nn n n =++++112,(k 为常数),则称数列{a n }为等比和数列,称k 为公比和。

广东省深圳高级中学2010届高三上学期第二次模拟(数学)

广东省深圳高级中学2010届高三上学期第二次模拟(数学)

深圳高级中学2010届高三上学期第二次测试数学(理)命题人:张英哲 审题人:胡远东本试卷满分150分,考试时间120分钟. 一、选择题:本大题共8个小题;每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的。

1.不等式01312>+-x x 的解集是(A )}2131|{>-<x x x 或(B )}2131|{<<-x x (C )}21|{>x x(D )}31|{->x x2.设等比数列}{n a 的前三项为2,32,62,则该数列的第四项为 (A )122 (B ) 92 (C )82 (D )13. 若||1,||2,a b c a b ===+,且c a ⊥ ,则向量a 与b 的夹角为(A )30° (B )60° (C )120° (D )150°4.在坐标平面上,不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥1||31x y x y 所表示的平面区域的面积为(A )2(B )23 (C )223 (D )25.已知)(x f y =是周期为π2的函数, 当[)π2,0∈x 时, ()sin4xf x =, 则方程 21)(=x f 的解集为 (A) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,62ππ (B) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,652ππ(C) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,322ππ (D) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,352ππ6.设0>b ,二次函数122-++=a bx ax y 的图像为下列之一则a的值为 (A )1(B )1-(C )251-- (D )251+- 7. 在ABC ∆中,已知C BA sin 2tan=+,给出以下四个论断: ①1cot tan =⋅B A②2sin sin 0≤+<B A③1cos sin 22=+B A④C B A 222sin cos cos =+其中正确的是(A )①③ (B )②④ (C )①④ (D )②③8.已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意实数b a ,都有)()()(a bf b af b a f +=⋅, 则(A))(x f 是奇函数,但不是偶函数 (B))(x f 是偶函数,但不是奇函数 (C))(x f 既是奇函数,又是偶函数 (D))(x f 既非奇函数,又非偶函二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。

2010年深圳市初中毕业生学业考试数学全真模拟试卷(二)

2010年深圳市初中毕业生学业考试数学全真模拟试卷(二)

新世纪教育网 精品资料 版权所有@新世纪教育网新世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。

版权所有@新世纪教育网2010年深圳市初中毕业生学业考试数学全真模拟试卷(二)说明:1.全卷共8页,满分100分,考试时间为90分钟。

2.答题前,请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不 得在试卷上作任何标记。

3.答选择题时,请将选项的字母写在题后的括号内;答填空题和简答题时,请将答案写在指定的位置上。

第一部分 (选择题,共30分)1.12-的倒数是 ( )A .12-B .-2C .12D .22.废电池是一种危害严重的污染源,一粒纽扣电池可以污染600000升水,用科学记 数法表示为 ( ) A .5610⨯升 B .6610⨯升C .60.610⨯升D .50.610⨯升3.某人从正面观察下图所示的物体,看到的是 ( )A B C D4.一件商品按成本价提高40%后标价,再打8折(标价的80%)销售,售价为130元,设这件商品的成本价为x 元,根据题意,下面所列的方程正确的是 ( ) A .x ·40%×80%=130 B .x ·(1+40%)×80%=130 C .130×40%×80%=xD .x ·40%=130×80%5.△ABC 中∠A = 40°,点P 在△ABC 外,且BP 平分∠B ,CP 平分∠C 的外角,则∠P 的度数为 ( ) A .20°B .40°C .50°D .70°6.钟表的轴心到分针针端的长为5cm ,那么经过40分钟,分针针端转过的弧长是( )A .103cm πB .203cm πC .253cm πD .503cm π7.某校篮球队五名主力队员的身高分别是174、179、180、174、178(单位:㎝),则这组数据的中位数是 ( ) A .174㎝ B .177㎝C .178㎝D .180㎝8.已知方程组42ax by ax by -=⎧⎨+=⎩的解为21x y =⎧⎨=⎩,则2a -3b 的值为 ( )A .4B .-4C .-6D .69.如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD 垂直平分OB ,则∠ADC 等于 ( )A .750B .600C .450D .30010.如图,矩形纸片ABCD 中,AB =4,AD =3,折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合,折痕为DG ,则AG 的长为 ( ) A .1 B .43 C .32D .2第二部分 (非选择题,共70分)第9题图DCAG B A第10题图10小题,每小题3分,共30分。

2010考研数学二真题及答案解析

2010考研数学二真题及答案解析

(20)(本题满分 10 分)
∫∫ 计 算 二 重 积 = 分 I r2 sinθ 1− r2 cos 2θ drdθ D
=D
( r ,θ
)
|
0

r

secθ , 0
≤θ

π 4
.
,其中
(21) (本题满分 10 分)
设函数 f (x) 在闭区间 [0,1] 上连续,在开区间 (0,1) 内可导,且 f (0) = 0 , f (1) = 1 ,证
= n2 + j2 )( i 1
1) n+i
∑ ∑ = = lni→m∞ jn1= n2 +n j2 lni= →m∞ 1n jn1 1+ (1 j )2
n
∫1 1
0 1+ y2 dy,
∑ ∑ ∫ = lim n n li= m 1 n 1
= n→∞ i 1= n + i n→∞ n i 1 1 + ( i )
.
(12) 当 0 ≤ θ ≤ π 时,对数螺线 r = eθ 的弧长为
.
(13) 已知一个长方形的长 l 以 2 cm/s 的速率增加,宽 w 以 3 cm/s 的速率增加.则当
l = 12cm , w = 5cm 时,它的对角线增加的速率为
.
(14)设 A, B 为 3 阶矩阵,且 A= 3,B= 2, A−1 + B= 2 ,则 A + B−1 =
x ∂z + y ∂z = yF1′ + zF2′ − yF1′ = F2′ ⋅ z = z .
∂x ∂y
F2′
F2′ F2′
∑ ∑ ( ) ∑ ∑ ∑ ∑ ( ) n n

【2010年高考二模数学·深圳卷】2010年广东省深圳市高考二模数学文科试题(word版含答案)

【2010年高考二模数学·深圳卷】2010年广东省深圳市高考二模数学文科试题(word版含答案)

广东省深圳市2010年高三年级第二次调研考试数学试题(文科)本试卷共21小题,满分150分.考试用时120分钟. 参考公式:锥体的体积公式13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.圆柱的侧面积2S rl π=,其中r 是圆柱的底面半径,l 是圆柱母线长.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是 符合题目要求的.1.{}1234U =若,,,,{}12M =,,{}23N =,,则 U M N =() ð( )A .{}2B .{}4C .{}1 2 3,,D .{}1,2,42.设i 是虚数单位,则复数2i 1i +-()()在复平面内对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.命题:“若21x <,则11x -<<”的逆否命题是( ) A .若21x ≥,则1x ≥,或1x ≤- B .若11x -<<,则21x < C .若1x >,或1x <-,则21x > D .若1x ≥,或1x ≤-,则21x ≥ 4.已知等差数列{}n a 中,6104202a a a +==,,则12a 的值是 ( )A .18B .20C .26D .28 5.在ABC ∆中,若sin :sin :sin 4A B C =ABC ∆是( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等边三角形6.若函数y f x =()的图象如左下图所示,则函数1y f x =-+()的图象大致为( )7.若实数x y ,满足100x y x y ≤⎧⎪≥⎨-≥⎪⎩,则x y +的取值范围是 ( )A .20-[,]B .01[,]C .12[,]D .02[,] 8.两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm ,4cm ,3cm ,把它们重叠在一起组成一个对角线最长的新长方体,则该最长对角线的长度是 ( )AB.C.D.A BCDD. C.B.A. (xf y =y f x =()9.如图,在OAB ∆中,P 为线段AB 上的一点,OP xOA yOB =+, 且2BP PA =,则 ( )A .2133x y ==, B .1233x y ==,C .1344x y ==,D .3144x y ==,10.若曲线21:20C y px p =>()的焦点F 恰好是曲线22222:100x y C a b a b-=>>(,)的右焦点,且1C 与2C 交点的连线过点F ,则曲线2C 的离心率为 ( )A1 B1CD二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.(一)必做题(11~13题)11.上海世博会深圳馆1号作品《大芬丽莎》是由大芬村507名画师集体创作的999幅油画组合而成的世界名画《蒙娜丽莎》,因其诞生于大芬村,因此被命名为《大芬丽莎》.根据下图所示的频率分布直方图,估计这507个画师中年龄在[)30 35,岁的人数约为 人(精确到整数).12.如图所示的程序框图输出的结果是 .13.已知3x >,则函数23y x x =+-的最小值为 .(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题,如两题都做,只按第14题计分) 14.(坐标系与参数方程选做题)极坐标方程分别为4cos ρθ=和8sin ρθ=-的两个圆的圆心距为 . 15.(几何证明选讲选做题)已知圆的直径10AB =,C 为圆上一点,过C 作CD AB ⊥于D (AD BD <),若4CD =, 则AC 的长为 .(第11题图)(第12题图)三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知向量m (sin cos )x x =-,,n (cos sin )θθ=-,,其中0πθ<<.函数f x =()m n ⋅在πx =处 取最小值.(Ⅰ)求θ的值;(Ⅱ)设A ,B ,C 为ABC ∆的三个内角,若sin 2sin B A =,12f C =(),求A . 17.(本小题满分13分)汽车是碳排放量比较大的行业之一.欧盟规定,从2012年开始,将对2CO 排放量超过130g/km 的M1型新车进行惩罚.某检测单位对甲、乙两类M1型品牌车各抽取5辆进行2CO 排放量检测,记录如下(单位:g/km ).经测算发现,乙品牌车2CO 排放量的平均值为120x =乙g/km .(Ⅰ)从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆,则至少有一辆不符合2CO 排放量的概率是多少? (Ⅱ)若90130x <<,试比较甲、乙两类品牌车2CO 排放量的稳定性.18.(本小题满分14分)一个三棱柱111ABC A B C -直观图和三视图如图所示(主视图、俯视图都是矩形,左视图是直角三角形),设E 、F 分别为1AA 和11B C 的中点. (Ⅰ)求几何体11E B C CB -的体积; (Ⅱ)证明:1//A F 平面1EBC ; (Ⅲ)证明:平面EBC ⊥平面11EB C .19.(本小题满分13分)已知函数29()(3)e 4x f x x x =-+,其中e 是自然对数的底数.(Ⅰ)求函数f x ()的图象在0x =处的切线方程; (Ⅱ)求函数f x ()在区间[]1 2-,上的最大值与最小值.主视图20.(本小题满分14分)已知圆22:50C x t y t ++=>()()和椭圆2222:1x y E a b+=0a b >>()的一个公共点为02B (,).F 为椭圆E 的右焦点,直线BF 与圆C 相切于点B . (Ⅰ)求t 值和椭圆E 的方程;(Ⅱ)圆C 上是否存在点M ,使M BF ∆为等腰三角形?若存在,求出点M 的坐标.21.(本小题满分14分)已知数列{}n a 满足:1221,222,2n n n na n a n a n +⎧+⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为正奇数为正偶数. (Ⅰ)问数列{}n a 是否为等差数列或等比数列?说明理由; (Ⅱ)求证:数列22nna ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,并求数列{}2n a 的通项公式; (Ⅲ)设21n n b a -=,求数列{}n b 的前n 项和n S .参考答案二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. (一)必做题(11~13题) 11.177; 12.54;(如写45A = 不扣分) 13.223+; (二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题) 14.52; 15.54三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)解:(Ⅰ) ()f x =m n ⋅sin cos cos sin x x θθ=+)sin(θ+=x ……………………………2分又 函数()f x 在πx =处取最小值,1)sin(-=+∴θπ , 即 s i n1θ=- ……………………………3分 又0πθ<<,π2θ∴=…………………………5分 π()sin()cos 2f x x x ∴=+= …………………6 分(Ⅱ)法一:∵21)(=C f ,21cos =∴C0πC << , π3C ∴=. ………………………………8 分πA B C ++= ,∴ 2π3B A =- ………………………………9分 代入A B sin 2sin =中,2πsin()2sin 3A A ∴-=, 2π2πsin cos cos sin 2sin 33A A A ∴-=,33tan =∴A , ……………10分0πA << ,π6A ∴=. …………………12分 (Ⅱ)法二:∵21)(=C f ,21cos =∴C0πC << ,π3C ∴=. ………………………………8 分A B sin 2sin = ,由正弦定理有a b 2=. ……………………………9分又由余弦定理得222222π2cos 422cos 33c a b ab C a a a a a =+-=+-⋅⋅=222b c a =+∴, π2B ∴=……………………………11分πA B C ++= ,π6A ∴=. ……………………………12分 17.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆,共有10种不同的2CO 排放量结果:110,80;120,80;140,80;150,80;120,110;140,110;150,110;140,120;150,120;150,140 ……3分设“至少有一辆不符合2CO 排放量”为事件A ,则事件A 包含以下7种不同的结果:140,80;150,80;140,110;150,110;140,120;150,120;150,140 ………………5分所以,7.0107)(==A P ………6分 答:至少有一辆不符合2CO 排放量的概率为7.0 …………………7分 (Ⅱ)由题可知,120==乙甲x x ,220=+y x ………………7分()22580120S =-+甲()+-2120110()+-2120120()+-2120140()30001201502=-25S =乙()+-2120100()+-2120120()+-2120x ()+-2120y ()2120160- +=2000()+-2120x ()2120-y ………………8分220,x y +=∴ 25S =乙+2000()+-2120x ()2100-x ,令t x =-120,13090<<x ,1030<<-∴t ,25S ∴=乙+2000+2t ()220+t ,2255S S ∴-=乙甲22406002(30)(10)0t t t t +-=+-< ……………12分 120==乙甲x x ,22<S S 乙甲, ∴乙类品牌车碳排放量的稳定性好。

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2010年深圳市高三年级第二次调研考试2010年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)参考答案及评分标准说明:1、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2、对于计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9~13题)9. 2 . 10.56. 11312. 1.1log 0.9(填b 也算对).133.(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)14.. 15.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(本题考查向量的数量积、两角和的正弦公式、三角形的面积公式、三角函数的性质等知识,考查化归转化的数学思想和运算求角能力) 解:由已知可知()2cos cos f x m n x x x =⋅=+⋅1cos 212sin 22262xx x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭ . ……………3分 (1)()x f 的最小正周期是π. …………4分 由 222262k x k πππππ-≤+≤+( Z k ∈),解得 36k x k ππππ-≤≤+(Z k ∈).所以()x f 的单调递增区间是 ,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z k ∈). …………7分(2)∵ ()21=A f , 即212162sin =+⎪⎭⎫⎝⎛+πA ,∴ 062sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πA , ∵ ABC ∆是锐角三角形.∴02A π<<,∴72666A πππ<+<,∴ ππ=+62A ,∴125π=A . …………9分而 4266sin 4cos 6cos 4sin 64sin 125sin+=⋅+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πππππππ, ………11分∴111sin 2242S b c A =⋅⋅=⋅-=. …………12分17. (本小题满分12分)(本题主要考查频率分布表、直方图、分层抽样、分布列、期望等统计概率知识,考查学生运用所学知识解决实际应用问题的能力)解:(1)①处填20,②处填0.35; 507个画师中年龄在[)35,30的人数为17750735.0≈⨯人……………3分补全频率分布直方图如图所示.…………6分(2)用分层抽样的方法,从中选取20人,则其中“年龄低于30岁” 的有5人,“年龄不低于30岁”的有15人。

……7分 故ξ的可能取值为0,1,2;7642)0(220215===C C P ξ7630)1(22015115===C C C P ξ764)1(22025===C C P ξ …………………10分所以ξ的分布列为频率岁…………11分 所以: 2176427630176420=⨯+⨯+⨯=ξE…………12分18. (本小题满分14分)(本题考查空间的线面关系、二面角、空间向量及坐标运算、圆柱的侧面积、余弦定理等知识,考查数形结合、化归转化的数学思想和方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)解: (1)(解法一):由题意可知22ADπ=⨯⋅ ,解得 AD =, …………1分 在AOP ∆中,AP ==, …………2分∴ AP AD =, 又 ∵G 是DP 的中点,∴ DP AG ⊥. ① …………3分 ∵ AB 为圆O 的直径, ∴ BP AP ⊥.由已知知 ABP DA 底面⊥, ∴ BP DA ⊥,∴ DAP BP 平面⊥ . …………5分 ∴ AG BP ⊥. ②∴ 由①②可知:DPB AG 平面⊥,∴ BD AG ⊥. …………7分 (2) 由(1)知:DPB AG 平面⊥ ,∴BG AG ⊥,PG AG ⊥,∴PGB ∠是二面角B AG P --的平面角 . …………10分622121=⨯==AP PD PG , 2==OP BP , 90B P G ∠=︒.∴ 1022=+=BPPG BG .515106cos ===∠BGPG PGB . ………14分x(解法二):建立如图所示的直角坐标系,由题意可知22AD π=⨯⋅.解得AD = 则()0,0,0A ,()0,4,0B ,()32,0,0D ,()0,3,3P ,∵G 是DP 的中点, ∴ 可求得⎪⎪⎭⎫⎝⎛3,23,23G . …………4分 (1)()0,1,3-=BP ,()32,4,0-=BD ,∴ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3,23,23AG . ∵ ()032,4,03,23,23=-⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅BD AG , ∴ BD AG ⊥. …………8分 (2)由(1)知,()0,1,3-=BP , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3,23,23AG , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3,23,23PG , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3,25,23BG .∵0=⋅PG AG ,0=⋅BP AG .∴BP是平面APG 的法向量. …………10分设()1,,y x n =是平面ABG 的法向量, 由0=⋅AG n ,0=⋅AB n ,解得()1,0,2-=n …………12分c o s 5B P n B P nθ⋅===-⋅ .所以二面角B AG P --5. …………14分19.(本小题满分14分)(考查函数和方程、函数与导数、不等式的求解等知识,考查化归与转化、分类与整合、函数与方程的数学思想和方法、推理论证能力和运算求解能力) 解: (1)∵()()122212222+-+=+-='x ax x x a x x f ,∵()x f 在⎥⎦⎤⎝⎛-∈1,21x 上是减函数, ∴ ()0≤'x f 在⎥⎦⎤⎝⎛-∈1,21x 恒成立. …………2分又∵ 当⎥⎦⎤⎝⎛-∈1,21x 时,012>+x , ∴不等式 022≤-+a x x 在⎥⎦⎤⎝⎛-∈1,21x 时恒成立, 即 x x a +≥22 在⎥⎦⎤⎝⎛-∈1,21x 时恒成立, …………4分设 ()x x x g +=22,⎥⎦⎤⎝⎛-∈1,21x ,则 ()()31max ==g x g ,∴ 3≥a . …………6分(2)∵()()12222+-+='x ax x x f ,令 ()0='x f ,解得: 14x =24x =,由于0a >,∴111()024x ---=>,211()024x --=>,∴211-<x , 212->x , …………8分①当214x =<即03a << 时,在⎪⎭⎫⎝⎛-2,21x 上()0<'x f ;在()1,2x 上()0>'x f ,∴当4x =()x f 在⎥⎦⎤⎝⎛-1,21上取最小值. ……11分 ②当214x =≥即3a ≥ 时,在⎥⎦⎤⎝⎛-1,21上()0≤'x f , ∴当1=x 时,函数()x f 在⎥⎦⎤⎝⎛-1,21上取最小值. 由①②可知,当03a << 时,函数()x f在14x -+=时取最小值;当3a ≥ 时, 函数()x f 在1=x 时取最小值. …………14分20.(本小题满分14分)(考查椭圆、抛物线、直线、定积分等知识,考查数形结合、化归转化等数学思想、以及推理论证能力和运算求解能力) 解:(1)设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b ab+=>>,半焦距为c .由已知条件,得)1,0(F ,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===222231c b a acb解得 1,2==b a . 所以椭圆E的方程为:1422=+yx. …………4分(2)显然直线l 的斜率存在,否则直线l 与抛物线C 只有一个交点,不合题意, 故可设直线l 的方程为 1+=kx y ,112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠, 由⎩⎨⎧=+=yx kx y 412消去y 并整理得 2440x kx --=, ∴421-=x x . …………5分∵抛物线C 的方程为241x y =,求导得12y x '=,∴过抛物线C 上A 、B 两点的切线方程分别是 )(21111x x x y y -=-, )(21222x x x y y -=-,即 2114121x x x y -=, 2224121x x x y -=,解得两条切线1l 、2l 的交点M 的坐标为)4,2(2121x x x x +,即)1,2(21-+x x M ,……7分∴122121(,2)(,)2x x F M A B x x y y +⋅=-⋅-- 0)4141(2)(2121222122=---=x x x x∴MF AB ⊥. …………9分 (3)假设存在点M '满足题意,由(2)知点M '必在直线1-=y 上,又直线1-=y 与椭圆E有唯一交点,故M '的坐标为)1,0(-'M ,设过点M '且与抛物线C 相切的切线方程为:)(21000x x x y y -=-,其中点),(00y x 为切点.令1,0-==y x 得,)0(214110020x x x -=--,解得20=x 或20-=x , …………11分 故不妨取)1,2(),1,2(B A '-',即直线B A ''过点F .综上所述,椭圆E 上存在一点)1,0(-'M ,经过点M '作抛物线C 的两条切线A M ''、B M ''(A '、B '为切点),能使直线B A ''过点F .此时,两切线的方程分别为1y x =--和1-=x y . …………12分抛物线C 与切线A M ''、B M ''所围成图形的面积为222320011142(1)2()41223S x x dx x x x ⎡⎤=--=-+=⎢⎥⎣⎦⎰ . …………14分21.(本小题满分14分)(考查等差数列、等比数列、不等式的证明、数列的求和等知识,考查推理论证能力和运算求解能力和化归转化数学思想)解: (1)∵n a 是n S 和2的等差中项,∴22n n S a +=, ① …………1分当1=n 时,1122S a +=,解得21=a . 当*,2n N n ∈≥时,1122n n S a --+=()2,*≥∈n Nn . ②①-② 得 1122---=-n n n n a a S S ()2,*≥∈n N n ,∴ 122--=n n n a a a , ∴ 12-=n n a a , ∴21=-n n a a ()2,*≥∈n N n .∴ 数列{}n a 是首项为2,公比为2的等比数列,∴ n n a 2= ()*N n ∈ . (5)分(2)由i a 和j a 的所有可能乘积2i ji j a a +⋅=()n j i ≤≤≤1可构成下表:112+,122+,132+,…,()112n +-,12n + 222+,232+,…,()212n +-,22n + 332+,…,()312n +-,32n +………………2n n + …………7分构造如下n 行n 列的数表:112+,122+,132+,…,()112n +-,12n + 212+,222+,232+,…,()212n +-,22n + 312+,322+,332+,…,()312n +-,32n +………………12n +,22n +,32n +,… ,()12n n +-,2n n +设上表第一行的和为T ,则()()41242112nnT -==--.于是 ()()2124221222222n n n T T -=++++++++ ()()()22414212141nnn-=-⋅-+-()()2421223nn +=-⋅-. ∴ ()()1421213nn n T +=-⋅-. …………10分(3)∵()()1421213nn n T +=-⋅-,∴()()112323114212142121nn n n nn nT ++⨯⎛⎫==- ⎪---⋅-⎝⎭, …………12分 ∴212222nnM T T T =+++122334131111111142121212121212121n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1311421n +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭.∵1213n +-≥, ∴11313124421n +⎛⎫≤-< ⎪-⎝⎭. 即1324M ≤<. …………14分。

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