江西省赣州市2020年高三摸底考试理科数学 参考答案
江西省2020届高三(6月份)高考数学(理科)模拟试卷及答案解析
江西省2020届高三（6月份）高考数学（理科）模拟试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知集合}240A x x x =-≤，(){}2log 2B x y x ==-，则A B =（ ）A.{}02x x ≤< B.{}2x x < C.{}04x x ≤≤D.{}4x x ≤2.复数12i1iz +=-，则z =（）C.5D.23.已知1a =，3b =，且()()722a b a b +⋅-=-，则向量a 与b 的夹角为（ ） A.π6B.π3C.2π3 D.5π64.已知实数x ，y 满足不等式组4020250x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则34z x y =+-的最小值为（ ）A.0B.2C.6D.305.用一个平面去截正方体，截面的形状不可能是（ ） A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形6.在数列{}n a 中，23a =，35a =，且212n n n a a a ++=-，则6a =（ ） A.9B.11C.13D.157.已知()2na b +的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，则()21nx -展开式中3x 的系数为（ ） A.80B.40C.40-D.80-8.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 的图象关于直线2x =对称，当02x <<时，()22x x f x +=-，则()5f =（ ）A.3B.3-C.7D.7-9.在四面体ABCD 中，2BD AC ==，AB BC CD DA ====E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与AC 所成的角为（ ）A.π6B.π4C.π3D.π210.已知函数()π4sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为[],n m ，值域为[]4,2-，则m n -的最大值是（ ） A.πB.2π3C.4π9D.2π911.设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，点()0,Q b .已知点P 在双曲线C 的左支上，且P ，Q ，F 不共线，若PQF △的周长的最小值是8a ，则双曲线C 的离心率是（ ）A.3C.512.若对任意的x ∈R ，都存在[]0ln 2,2x ∈，使不等式02002640xe x x x x x m +--++≥成立，则整数m 的最小值为（ ）（提示：ln 20.693≈） A.3B.4C.5D.6第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13.已知函数2(1)3x ++，若(2)5f a +=，则a =___________．14.辊子是客家传统农具，南方农民犁开田地后，仍有大的土块.农人便用六片叶齿组成辊轴，两侧装上木板，人跨开两脚站立，既能掌握平衡，又能增加重量，让牛拉动辊轴前进，压碎土块，以利于耕种.这六片叶齿又对应着菩萨六度，即布施､持戒､忍辱､精进､禅定与般若.若甲从这六片叶齿中任取两片不同的叶齿，放回后，乙再从这六片叶齿中任取两片不同的叶齿，则这两人选的叶齿对应的“度”没有相同的概率为______.15.在数列{}n a 中，11a =，且()131nn n a a +=+-，则数列{}n a 的前2n 项和为______.(用含n 的式子表示)三、解答题（题型注释）B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知44cos c b a B =+. （1）求sin A ；（2）若6c =，AD 为BAC ∠的角平分线，D 在BC 上，且AD =b .17.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>C 的右顶点到直线0x y -的距离为3.（1）求椭圆C 的方程； （2）过点()2,0P ，且斜率为12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求OAB 的面积(O 为坐标原点).18.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，E 为AC 的中点，且2AC BE =.（1）证明：BC ⊥平面PAB ；（2）若PA AB BE ==，求二面角--A PB E 的余弦值.19.某公司为了丰富员工的业余文化生活，召开了一次趣味运动会.甲､乙两人参加“射击气球”这项比赛活动，他们依次轮流射击气球一次，每人射击n 次(射击次数由参与比赛的两人决定)，其中射击气球只有两种结果：“中”与“不中”.比赛规则如下：甲先射击，若结果是“中”，则本次射击得2分，否则得1分；再由乙第一次射击，若结果为“中”，其得分在甲第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再由甲第二次射击，若结果为“中”，其得分在乙第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再由乙第二次射击，若结果为“中”，其得分在甲第二次得分的基础上加1分，否则得1分；再由甲第三次射击，按此规则，直到比赛结束.已知甲､乙每次击中气球的概率均为23.记i X ，()1,2,3,,i Y i n =分别表示甲，乙第i 次射击的得分.（1）若3n =，记乙的累计得分为Y ，求3Y >的概率. （2）①求数学期望()1E X ，()1E Y ，()2E X ；②记()11a E X =，()21a E Y =，()32a E X =，….证明：数列{}3n a -为等比数列. 20.已知函数()()ln f x x x a a R =--∈. （1）讨论()f x 的零点个数； （2）若()()ln 1x ag x ex x a x -=-+-，(]1,1a e ∈-，求()g x 的极小值()h a 的值域.21.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为213x ty t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，曲线2C 的参数方程为212x m y m⎧=-⎨=⎩ (m 为参数). （1）求曲线1C ，2C 的普通方程；（2）已知点(2,1)M ，若曲线1C ，2C 交于A ，B 两点，求||MA MB -‖‖的值. 22.已知函数()|2||21|f x x x =-+-. （1）求不等式()6f x <的解集；（2）若函数()f x 的最小值为m ，且实数,a b 满足222a b m +=，求34a b +的最大值.四、新添加的题型23.已知抛物线():20C x py p =>的焦点为F ，直线():0l y kx b k =+≠与抛物线C 交于A ，B 两点，且6AF BF +=，线段AB 的垂直平分线过点()0,4M ，则抛物线C 的方程是______；若直线l 过点F ，则k =______.参考答案1.A【解析】1.解一元二次不等式得集合A ，求对数型复合函数的定义域得集合B ，然后由交集定义得结论．因为{}{}24004A x x x x x =-≤=≤≤，{}{}20}2B x x x x =->=<，所以{}02A B x x ⋂=≤<. 故选：A ． 2.D【解析】2.根据复数除法的运算法则，结合共轭复数的定义和复数模的计算公式进行求解即可.因为()()()()2121121221311122i i i i i i iz i i i ++++++-+====--+，所以1322i z =--，则2z ==. 故选：D 3.A【解析】3.由数量积的运算律求出a b ⋅，再根据的定义求出夹角的余弦，从而得夹角大小．因为()()722a b a b +⋅-=-，所以22722a ab b +⋅-=-.因为1a =，3b =，所以32a b ⋅=， 32cos ,213a b a b a b ⋅<>===⨯，则向量a 与b 的夹角为π6. 故选：A ． 4.B【解析】4.画出可行域，解出可行域的顶点坐标，代入目标函数求出相应的数值，比较大小得到目标函数最值.由401203x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩(1,3),A ∴同理(3,1),B (7,9),C 如图，直线34z x y =+-平移到B 点时，z 取最小值为33142+⨯-= 故选：B 5.C【解析】5.不难作出截面是正三角形和正方形的例子，正六边形的例子是由相应棱的中点连接而成，利用反证法，和平面平行的性质定理可以证明不可能是正五边形．如图所示：截面的形状可能是正三角形（图1），正方形（图2），正六边形（图3）图1 图2 图3假若截面是正五边形，则截面中的截线必然分别在5个面内，由于正方体有6个面，分成两两平行的三对，故必然有一对平行面中有两条截线，而根据面面平行的性质定理，可知这两条截线互相平行，但正五边形的边中是不可能有平行的边的，故截面的形状不可能是正五边形． 故选：C ． 6.B【解析】6.由已知212n n n a a a ++=-可得数列为等差数列，从而通过23,a a 求出公差和首项后可得数列的第6项．因为212n n n a a a ++=-，所以211n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 是等差数列. 因为23a =，35a =，即11325a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以61511a a d =+=.故选：B ． 7.A【解析】7.由两个二项式系数相等根据组合数的性质求出n ，写出展开式的通项公式，得出3x 所在项数，从而可得其系数．由题意3722n n C C =，所以372n +=，解得5n =，则()521x -的展开式的通项为555155(2)(1)(1)2r r r r r r rr T C x C x ---+=-=-⋅，由53r -=得2r ，所以3x 的系数为()23522801C ⋅⋅=-.故选：A ． 8.D【解析】8.由题意可得()()22f x f x +=-+，再将()5f 化成()1f -，即可得到答案； 由题意可得()()22f x f x +=-+，所以()()()()()()35323211217f f f f f =+=-+=-=-=--=-.故选：D. 9.B【解析】9.把四面体ABCD ，1的长方体，取AB 的中点G ，连接GE ，GF ，运用条件可得GEF △是等腰直角三角形，然后可得出答案.如图，把四面体ABCD ，1的长方体， 取AB 的中点G ，连接GE ，GF .因为G ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以//GF AC ，112GF AC ==， 同理//GE BD ，112GE BD ==. 因为AC BD ⊥，所以GE GF ⊥， 所以GEF △是等腰直角三角形，则π4EFG ∠=， 即异面直线EF 与AC 所成的角为π4. 故选：B 10.C【解析】10.解不等式π44sin 326x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，找解集中的最大区间即可． 因为π44sin 326x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以π11sin 362x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，则满足条件的π36x -的最大范围是()7πππ2π32π666k x k k -≤-≤+∈Z ， 解得()2ππ2ππ3339k k x k -≤≤+∈Z ， 故m n -的最大值是ππ4π939+=. 故选：C ． 11.D【解析】11.由双曲线的定义可得2PF PF a '=+，结合图示，可得当'P Q F 、、共线时，PQF △的周长最小，进而可得a 与c 的关系，代入公式，即可求出离心率。
2020届江西省赣州市高三1月考前适应性考试数学(理)试题(解析版)
2020届江西省赣州市高三1月考前适应性考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{|24}A x x =≤<,{|3782}B x x x =-≥-,则A B 等于（ ）A ．{|34}x x ≤<B ．{|3}x x ≥C ．{|2}x x >D ．{|2}x x ≥【答案】D【解析】先求得集合B,根据并集运算即可求解. 【详解】因为{|3782}B x x x =-≥-,即{|3}B x x =≥ 集合{|24}A x x =≤<由并集运算可得{|24}{|3}{|2}A B x x x x x x ⋃=≤<⋃≥=≤ 故选:D 【点睛】本题考查了集合并集的简单运算,属于基础题.2．若复数z 满足(34)112i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．2- B ．2C ．2i -D ．2i【答案】B【解析】用复数除法运算求得z ，由此求得z 的虚部. 【详解】 依题意()()()()1123411225501234343425i i i iz i i i i ++++====+--+，虚部为2. 故选B. 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数虚部的概念，属于基础题.3．为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是( )A ．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B ．是否倾向选择生育二胎与性别有关C ．倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同D ．倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 【答案】C【解析】由题意，通过阅读理解、识图，将数据进行比对，通过计算可得出C 选项错误． 【详解】由比例图可知，是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人员中，男性人数为0.812096⨯=人，女性人数为0.68048⨯=人，男性人数与女性人数不相同，故C 错误，故选C ． 【点睛】本题主要考查了条形图的实际应用，其中解答中认真审题，正确理解条形图所表达的含义是解答的关键，着重考查了阅读理解能力、识图能力，属于基础题. 4．函数1()ln ||=-f x x x的图象大致为( ) A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数的奇偶性可排除A ，当0x >时，1()ln f x x x=-根据函数的单调性可得答案． 【详解】解：1()ln ||f x x x=- 定义域为：()(),00,x ∈-∞+∞，11()ln ||ln ||f x x x x x-=--=--- 所以()f x 为非奇非偶函数，故A 错误； 当0x >时，则1()ln f x x x=-，因为1y x =在()0,x ∈+∞上单调递减，ln y x =在()0,x ∈+∞上单调递增，则1()ln f x x x=-在()0,x ∈+∞上单调递减，只要D 满足条件， 故选D 【点睛】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力．5．甲、乙两个不透明的袋中各有5个仅颜色不同的球，其中甲袋中有3个红球，2个白球，乙袋中有2个红球，3个白球，现从两袋中各随机取一球，则两球不同颜色的概率为（ ） A ．45B ．925C ．1225D ．1325【答案】D【解析】现从两袋中各随机取一球，基本事件总数5525n =⨯=，两球不同颜色包含的基本事件个数332213m =⨯+⨯=，由此能求出两球不同颜色的概率． 【详解】甲、乙两个不透明的袋中各有5个仅颜色不同的球，其中甲袋中有3个红球、2个白球，乙袋中有2个红球、3个白球， 现从两袋中各随机取一球，基本事件总数5525n =⨯=， 两球不同颜色包含的基本事件个数332213m =⨯+⨯=， 则两球不同颜色的概率为1325p =． 故选D ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 6．若非零向量a ，b 满足||a b |=|，向量2a b +与b 垂直，则a 与b 的夹角为（ ） A ．150︒ B ．120︒C ．60︒D ．30【答案】B【解析】∵||||a b =，且2a b +与b 垂直，∴(2)0a b b +⋅=，即220a b b ⋅+=，∴2||2ba b ⋅=-，∴2||12cos ,2b a b a b a b b b-⋅===-⋅⋅，∴a 与b 的夹角为120︒． 故选B ．7．执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )A ．201921-B ．201922-C ．202022-D ．202021-【答案】C【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，由于()2019232019202021222222212S -=+++⋯+==--．故选：C ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2375150a a a +-+=，则9S =（ ）A ．35B ．36C ．45D ．54【答案】C【解析】由等差数列{}n a 通项公式得2375150a a a +-+=，求出5a ，再利用等差数列前n 项和公式能求出9S . 【详解】正项等差数列{}n a 的前n 项和n S ，2375150a a a +-+=，2552150a a ∴--=，解得55a =或53a =-（舍），()91959995452S a a a ∴=+==⨯=，故选C. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系. 9．已知A ，B 是过抛物线22y px =（0p >）焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足2AF FB =，||OAB S AB ∆=，则抛物线的标准方程为（ ） A ．24y x = B ．214y x =C ．28y x =D ．218y x =【答案】A【解析】分析：求出21,2y p y ==，339,,424BF p AF p AB p ===，利用方程121(|))22OAB p S y y ∆=⋅⋅+=，求得2p =，从而可得结果. 详解：设1122(,),(,)A x y B x y , 2AF FB =，则122y y =-，又由抛物线焦点弦性质， 212y y p =-，所以2222y p -=-，得21,2y p y ==， 11322AF BF BF p+== ，得339,,424BF p AF p AB p ===．21219(|))22834OAB p S y y p p ∆=⋅⋅+==⋅ ， 得2p = ，抛物线的标准方程为24y x =，故选A.点睛：过抛物线22y px =（0p >），焦点的弦的常见性质有：（1）弦长12AB x x p =++；（2）221212,4y y p x x p =-=；（3）112+FA FB p= 10．关于函数()cos cos f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间()0,1单调递减； ③()f x 在[],ππ-有2个零点；④()f x 的最大值为2. 其中所有正确结论．．．．．．的编号是（ ） A ．①②④ B ．②④C ．①④D ．①③【答案】A【解析】利用偶函数的定义可判断出命题①的正误；去绝对值，利用余弦函数的单调性可判断出命题②的正误；求出函数()y f x =在区间[]0,π上的零点个数，并利用偶函数的性质可判断出命题③的正误；由()y f x =取最大值知()2,222x k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，然后去绝对值，即可判断出命题④的正误.【详解】对于命题①，函数()cos cos f x x x =+的定义域为R ，且()()cos cos f x x x -=-+-()cos cos x x f x =+=，则函数()y f x =为偶函数，命题①为真命题；对于命题②，当01x <<时，cos 0x >，则()2cos f x x =，此时，函数()y f x =在区间()0,1上单调递减，命题②正确； 对于命题③，当02x π<<时，cos 0x >，则()2cos 0f x x =>，当2x ππ≤≤时，cos 0x ≤，则()cos cos 0f x x x =-=，由偶函数的性质可知，当2x ππ-≤≤-时，()0f x =，则函数()y f x =在[],ππ-上有无数个零点，命题③错误；对于命题④，若函数()y f x =取最大值时，cos 0x ≥，则()2,222x k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，()2cos f x x =，当()2x k k Z π=∈时，函数()y f x =取最大值2，命题④正确. 因此，正确的命题序号为①②④. 故选A. 【点睛】本题考查与余弦函数基本性质相关的命题真假的判断，解题时要结合自变量的取值范围去绝对值，结合余弦函数的基本性质进行判断，考查推理能力，属于中等题. 11．如图，矩形ABCD 中，2,AB AD E =为边AB 的中点，将ADE ∆直线DE 翻转成1(A DE A ∆∉平面ABCD )，若,M O 分别为线段1,A C DE 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，下列说法错误的是（ ）A ．与平面1A DE 垂直的直线必与直线MB 垂直 B ．异面直线BM 与1A E 所成角是定值C ．一定存在某个位置，使DE MO ⊥D ．三棱锥1A ADE -外接球半径与棱AD 的长之比为定值 【答案】C【解析】取DC 中点N ，连MN,NB,则1/?/,//MN A D NB DE ， 所以平面/?/MNB 平面1A DE ，即/?/MB 平面1A DE ，A 正确； 取1A D 的中点为F,连接MF,EF ，则平面BEFM 是平行四边形， 所以1A EF ∠为异面直线BM 与1A E 所成角，故B 正确；A 关于直线DE 对称点N ，则DE ⊥平面1A AN ，即过O 与DE 垂直的直线在平面1A AN 上，故C 错误；三棱锥1A ADE -外接球的半径为22AD ，故D 正确. 故选C.12．若关于x 的方程0xx xx e m e x e++=+有三个不相等的实数解123,,x x x ，且1230x x x <<<，其中m ∈R ，e 为自然对数的底数，则3122312111x x x x x x e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ） A ．1+m B ．eC ．m-1D ．1【答案】D 【解析】令xx t e=，则有101t m t ++=+，即2(1)10t m t m ++++=，作出函数()x x g x e=的图象，结合图象可得关于t 的方程2(1)10t m t m ++++=一定有两个实根1t ，2t ，12(0)t t <<，且111x x t e =，32322=x x x xt e e =，即可求解.【详解】由方程0x x x x e m e x e++=+可得1+0+1xxx m x e e +=. 令x xt e=，则有101t m t ++=+，即2(1)10t m t m ++++=. 令函数()x x g x e=，则1()x xg x e -'=.∴()g x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减. 作出图象如下：要使关于x 额方程0xx xx em e x e++=+有三个不相等的实数解123,,x x x ，，且1230.x x x <<<结合图象可得关于关于t 的方程2(1)10t m t m ++++=一定有两个实根1t ，2t ，12(0)t t <<，且111x x t e =，32322=x x x x t e e=，12(1)t t m +=-+，121t t m =+. ∴3122231212(1)(1)(1)[(1)(1)]x x xx x x t t e e e +++=++ ∵121212(1)(1)()1(1)(1)11t t t t t t m m ++=-++=+-++= ∴31222312(1)(1)(1)11x x x x x x e e e+++== 故选D. 【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.二、填空题13．曲线()ln f x x x x =+在点1x =处的切线方程为 ． 【答案】21y x =- 【解析】试题分析：.【考点】导数的几何意义.14．已知n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若6334S S -=，则96S S -的最小值为________．【答案】32【解析】利用等比数列前n 项和的性质知3S ，63S S -，96S S -成等比数列，即可用3S 的式子表示96S S -，然后用基本不等式求最小值。
2020年江西省赣州市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(含答案解析)
2020年江西省赣州市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知z是复数，且，则z在复平面内对应的点的坐标为A. B. C. D.2.已知集合，则A. B.C. D.3.从某班50名同学中选出5人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将50名同学按01，02，进行编号，然后从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始从左往右依次选取5注：表为随机数表的第1行与第2行243646 D. 474.已知函数在R上单调递减，且当时，有，则关于x的不等式的解集为A. B. C. D.5.九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的侧面积为A.B.C.D. 36.若变量x，y满足约束条件，则的最大值为A. 0B.C.D. 17.2020年我国实现全面建设成小康社会的目标之年，也是全面打赢脱贫攻坚战之年．某乡镇为了了解本镇脱贫攻坚情况，现派出甲、乙、丙3个调研组到A、B、C、D、E等5个村去，每个村一个调研组，每个调研组至多去两个村，则甲调研组到A村去的派法有A. 48种B. 42种C. 36种D. 30种8.将函数的图象上的点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位得到函数的图象，则下列说法正确的是A. 函数的最小正周期为B. 函数的单调递增区间为C. 函数的图象有一条对称轴为D. 函数的图象有一个对称中心为9.已知函数为自然对数的底数，若关于x的不等式解集中恰含有一个整数，则实数a的取值范围为A. B. C. D.10.已知点O是边长为6的正方形ABCD内的一点，且，则A. 5B. 6C. 7D. 811.在中国，“女排精神”概括的是顽强战斗、勇敢拼搏精神．在某年度排球超级杯决赛中，中国女排与俄罗斯女排相遇，已知前四局中，战成了2：2，且在决胜局中，中国队与俄罗斯队战成了13：13，根据中国队与俄罗斯队以往的较量，每个球中国队获胜的概率为，假定每个球中国队是否获胜相互独立，则再打不超过4球，中国队获得比赛胜利的概率为注：排球的比赛规则为5局3胜制，即比赛双方中的一方先拿到3局胜利为获胜队，其中前四局为25分制，即在一方先得到25分，且与对方的分差大于或等于2分，则先拿到25分的一方胜；若一方拿到25分后，但双方分差小于2分，则比赛继续，直到一方领先2分为止；若前四局打成2：2，则决胜局采用15分制．A. B. C. D.12.在四面体ABCD中，，则四面体的体积最大时，它的外接球的表面积为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量的夹角为，满足，则______．14.抛物线M：的焦点为F，双曲线的一条渐近线与抛物线M交于A，B两点，则的面积为______．15.圆上恰有两点到直线的距离为，则实数a的取值范围是______．16.已知函数，则函数的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在数列中，且求证：数列为等差数列；求数列的前n项和．18.如图，在正三棱柱中，，，点D，E满足，．证明：面；求二面角的余弦值．19.为了保障某种药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定每间隔2小时对该药品进行检测，每天检测4次：每次检测由检验员从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量单位：根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的其主要药理成分含量服从正态分布假设生产状态正常，记X表示某次抽取的20件产品中其主要药理成分含量在之外的药品件数，求X的数学期望；在一天的四次检测中，如果有一次出现了主要药理成分含量在之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现异常情况，需对本次的生产过程进行检查；如果有两次或两次以上出现了主要药理成分含量在之外的药品，则需停止生产并对原材料进行检测．20经计算得，，其中为抽取的第i件药品的主要药理成分含量2，，，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？试确定一天中需停止生产并对原材料进行检测的概率精确到．附：若随机变量Z服从正态分布，则，，，，，．20.已知圆：，圆：，动圆C与圆和圆均内切．求动圆圆心C的轨迹E的方程；过点的直线l与轨迹E交于P，Q两点，过点且垂直于l的直线交轨迹E于两点M，N 两点，求四边形PMQN面积的最小值．21.已知函数，的导函数为．当时，证明：函数在上单调递增；若，讨论函数零点的个数．22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，曲线的参数方程为为参数．求曲线，的普通方程已知点，若曲线，交于A，B两点，求的值．23.已知正实数a，b满足．求的最小值．证明：-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：，，化为：，则z在复平面内对应的点的坐标为．故选：A．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：集合，，，，故A错误；，故B正确，D错误；或，故C错误．故选：B．先分别求出集合P和Q，再由补集、并集、交集的定义能求出结果．本题考查补集、并集、交集的求法，考查补集、并集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：A解析：【分析】由题知从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始，依次选取相应的个体，就可得出答案．本题主要考查的是简单随机抽样的随机数表法，依次选取要注意超范围和重复的要跳过，是道基础题．【解答】解：由题知从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始，由表可知依次选取43，36，47，46，24．故选：A．4.答案：C解析：解：根据题意，当时，有，有，，又由函数在R上单调递减，则有，即不等式的解集为；故选：C．根据题意，由函数的解析式可得，又由，结合函数的单调性分析可得答案．本题考查函数的单调性的性质的应用，涉及函数值的计算，属于基础题．5.答案：B解析：【分析】据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的侧面积．本题考查三视图求几何体的侧面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．【解答】解：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个等腰直角三角形，直角边是、斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是3，几何体的侧面积，故选：B．6.答案：C解析：【分析】先根据约束条件画出可行域，设，再利用z的几何意义求最值，只需求出过定点直线过可行域内的点A时，斜率的值即可．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，由，解得，的几何意义是可行域内的点与连线的斜率，将最大值转化为过定点的直线DQ的斜率最大值，当直线DQ经过区域内的点时，z最大，最大值为：．故选：C．7.答案：D解析：【分析】根据题意，分2步进行分析：，将5个村分为1、2、2的三组，，将A所在的组安排给甲调研组，剩下的2个组安排给乙、丙调研组，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意先分组，再进行排列，属于基础题．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：，将5个村分为1、2、2的三组，有种分组方法，，将A所在的组安排给甲调研组，剩下的2个组安排给乙、丙调研组，有种情况，则有种派法；故选：D．8.答案：B解析：【分析】首先根据函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步利用函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题型．【解答】解：函数的图象上的点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位得到：的图象．由于，，所以：，．故，得到：，，所以：，．故函数的周期为，A错误；令，，解得，，函数单调递增区间为，故B正确；由于，故CD错误．故选：B．解析：【分析】先画出函数的图象，再对a分成与两类情况借助于数形结合求出a的取值范围．本题主要考查分段函数及其图象和数形结合法求解参数范围，属于中档题．【解答】解：函数的图象如下图所示，当时，恒有，，故，显然不合题意；当时，当时与相切时，解得；当时，与相切时，设切点坐标为，切线方程为，即与重合，解得，，此时切点为，又直线过点时，有，解得，又关于x的不等式解集中恰含有一个整数，由数形结合可知这个整数必是1，故．故选：A．10.答案：B解析：解：，为正方形ABCD的对称轴MN上一点，又，，故，，又，．故选：B．过O作正方形的对称轴，根据勾股定理即可求出OA的长．本题考查了解三角形的应用，属于基础题．解析：解：再打不超过4球，中国队获得比赛胜利的概率为：．故选：D．利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出结果．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.答案：A解析：【分析】取AB中点E，连接CE，DE，设，则，当平面平面ABD时，四面体体积最大，求出体积的表达式利用函数的导数求解最大值，求解半径，然后求解外接球表面积．本题考查函数的导数在最值中的应用，几何体的体积以及外接球的表面积的求法，考查空间想象能力以及转化思想的应用．【解答】解：如图，取AB中点E，连接CE，DE，设，则，当平面平面ABD时，四面体体积最大，四面体的体积：，；当时，V为增函数，当时，V为减函数，则当时，V有最大值，与外接圆的半径，则四面体ABCD的外接球半径，所以时其外接球表面积为：，故选：A．13.答案：3解析：【分析】根据题意，设，由数量积的计算公式可得，变形解可得t的值，即可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算公式，属于基础题．【解答】解：根据题意，设，若，，则有，变形可得，解可得：或，又由，则；故答案为：314.答案：8解析：解：抛物线M：的焦点为，双曲线的一条渐近线方程设为，联立抛物线方程，可得，或，可设，，则的面积为．故答案为：8．求得抛物线的焦点F的坐标，设出双曲线的一条渐近线方程，联立抛物线的方程可得A，B的坐标，再由三角形的面积公式，计算可得所求值．本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．15.答案：解析：解：根据题意，圆即圆，圆心为，半径，圆心到直线的距离，若圆上恰有两点到直线的距离为，则有，即，变形可得：，解可得：或，即a的取值范围为；故答案为：．根据题意，分析圆的圆心以及半径，求出圆心到直线的距离，结合直线与圆的位置关系可得，变形可得：，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及点到直线的距离公式，属于基础题．16.答案：解析：解：令，则．函数，．，，解得，时，函数取得极小值即最小值．．故答案为：．令，则函数，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出结论．本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、换元法、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：证明：由，，可得，即，可得数列是以3为首项，1为公差的等差数列；由可得，则，可得前n项和，，两式相减可得，化简可得．解析：由已知递推式可得，结合等差数列的定义，即可得证；由等差数列的通项公式可得，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．本题考查等差数列的定义和通项公式、等比数列的求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18.答案：解：证明：连结，交于点F，连结DF，由，得∽，，，，在中，，，面，面，面．解：正三棱柱中，以A为坐标原点，在平面ABC中，过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，0，，2，，3，，2，，4，，3，，，1，，设平面ADE的法向量y，，则，取，则0，，设平面的法向量b，，则，取，得，设二面角的平面角为，由图知为钝角，则．二面角的余弦值为．解析：连结，交于点F，连结DF，推导出，由此能证明面．过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：抽取的一件药品的主要成分含量在之内的概率为．从而主要成分在该区间之外的概率为故．X 的数学期望为．由，得的估计值为，．结合样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分含量在之外．因此需对本次的生产过程进行检查．设“在一次检测中，发现需要对本次生产过程进行检查”为事件A．则．如果在一天中，需停止生产并对原材料进行检测，则在一天的四次检测中，两次或两次以上出现了主要药理成分含量在区间外的药品，故概率为：．．故确定一天中需要对原材料进行检测的概率为．解析：易知：20件产品中其主要药理成分含量在之外的药品件数X服从二项分布，根据题意求出均值与方差即可；根据中求出的，，给出区间，看看给的样本中有没有落在该区间外的数据，有的话就需要对生产过程检查；要停止生产并对原材料进行检测，说明四次检测，有两次或两次以上出现区间以外的数据，根据这四次检测相当于四次独立重复试验，计算两次或两次以上出现意外的对立事件四次全部都在在区间以内的概率即可．本题考查正态分布密度函数的性质及应用，要注意对题意的理解和相互独立事件、对立事件概率性质的应用．属于中档题．20.答案：解：由圆：，可得圆，半径为6，圆：的圆心，半径为2，设C点的坐标为，圆C的半径为r，由题意可得，，从而，所以圆C的轨迹E是以，为焦点，以4为长轴长的椭圆，设其方程为，可得，，，故动圆C的轨迹方程为；当直线l的斜率不存在或为0时，此时不妨设，，此时；当直线l的存在且不为0时，不妨设其方程为，，，联立，可得，可得，，所以，同理可得，故，当且仅当即时等号成立，又，故四边形PMQN的面积的最小值为．解析：分别求得已知圆的圆心和半径，由两圆相内切的条件，结合椭圆的定义可得轨迹E的方程；讨论当直线l的斜率不存在或为0时，求得，，运用，计算可得面积；当直线l的存在且不为0时，不妨设其方程为，，，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得，将m换为可得，再由，结合基本不等式可得所求最小值，进而得到所求面积的最小值．本题考查轨迹方程的求法，注意运用定义法解题，考查椭圆的方程和性质，直线和椭圆的位置关系，注意运用韦达定理和弦长公式，考查基本不等式的运用，主要考查化简运算能力和分类讨论思想，属于中档题．21.答案：证明：当时，，，令，则．当时，，单调递减，当时，，单调递增．．当时，，函数在上单调递增；解：．令，得．，则．令，则，当时，，当时为增函数，，即，令，则．当时，，当时，，．当时，无解，即无零点；当时，有一个解，即有一个零点；当时，有两个解，即有两个零点．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法及灵活变形能力，属难题．把代入函数解析式，求出导函数，再利用导数求得导函数大于0，可得函数在上单调递增；由，得令，则，证明当时为增函数，可得，即，利用导数求的最小值，然后对m分类可得函数零点的个数．22.答案：解：由为参数，消去参数t，可得曲线的普通方程为；由为参数，得，则曲线的普通方程为；由可知为左焦点，直线过右焦点，又直线的斜率一条渐近线的斜率，点A、B在双曲线的右支．．令点A，B对应的参数分别为，，把代入，可得．则，．．解析：直接把直线的参数方程中的参数消去，可得直线的普通方程，利用同角三角函数基本关系式消去曲线的参数方程中的参数，可得曲线的普通方程；把直线的参数方程代入曲线的普通方程，化为关于t的一元二次方程，利用双曲线定义转化后结合根与系数的关系求解的值．本题考查参数方程化普通方程，考查直线参数方程中参数t的几何意义的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．23.答案：解：正实数a，b满足，，当且仅当且即，时取得最小值；证明：，，，当且仅当时取等号解析：由已知可得，，展开后利用基本不等式可求；由，展开后结合基本不等式可求范围，然后由即可证明．本题主要考查了利用基本不等式求解最值及证明不等式，解题的关键是进行1的代换．。
2020届江西省赣州市高三上学期期末考试数学(理)试卷及答案
分
∴ Sn
1 4
1
1 32
1 22
1 42
1 32
1 52
(n
1 1)2
(n
1 1)2
1 n2
1 ( n 2)2
∴ Sn
1 4
1
1 22
1 (n 1)2
1 (n 2)2
1
4
5 4
1 (n 1)2
(n
1 2)2
∵ FO 平面BDF ， EC 平面BDF ……………………………………4 分 F D
C
O
∴ EC / / 平面 FBD ……………………………………………………………5 分
(2)∵ EB CB AD 4 , ED CD AB 2 ， BAD 60
A
B
∴ BD 2 3 ,∴ BE 2 BD2 ED2 ,
∴ AC 2 3, 4, 0 , AE 2 3, 2, 2
∴ DB 2 3, 0, 0 为平面 ECD 的一个法向量…………………………8 分
令平面ACD 的一个法向量为 n x, y, z ，
∴ nAC 2 3x 4y 0
4
B
D
C
由 角 平 分 线 定 理 可 知 BA BD , DC 2 b ， 在 ACD 中 ,
AC DC
3
cos
10
10 b2
2 3
b
江西省南昌市2020届高三上学期开学摸底考试数学(理)试题答案
2020 届高三摸底测试卷理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D B B B A C D C B C A 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分，满分 20 分．813．24014．3 15．316．3三．解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第 17 题-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22 题、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分．17．【解析】（Ⅰ）因为sin(2 ) , (0, ) CC π3 C π ,即2 π ( π , 2π)32 23 3 3即 π2C C………2 分π π 3 3 3 2 2 2 32所以sin A，………4 分sinsin2A3又因为ac ，所以0π ，因此 πA CA ；………6 分3 4（Ⅱ）在ABC 中，由c 2 a 2 b 2 2ab cos C ,得12 a 2 b 2 abab …8 分 1sin 3 3 ， Sab CABC2当且仅当时a b ，即ABC 为等边三角形时，上式等号成立，………10 分，所以面积的最大值是．………12 分ABC 3 31 118.【解析】（Ⅰ）连接AE，AF ，在ABC中，AB AC BCAEsin 1202 2故AE 1.由于三棱柱 1 ，ABC A B C是直三棱柱，故AA 平面ABC AA AE1 1 1 11直角三角形A1 AE中，因为AA 1 3 ，AE 1，所以A1E 2 EF ，2AEA E1 为直角，即A E AF又因AFE 1 . ………3 分EF AE再由E为BC 中点并且ABC为等腰三角形可知AE BC,1 ，AA AE A1结合AA BC 1 得BC 平面A AE ，BC AF，综合A1E AF，BC AF，BC A E E，得到AF 平面A BC，………6 分1 1（Ⅱ）由于AE BC，如图以点E为坐标原点建立空间直角坐标系，AEBE 3 ，故B3, 0, 0，A ，E 0,0,0，1 0, 1, 3 B 1 3, 0, 3 ，tan 60—理科数学（摸底）答案第1 页—3, 0,0，，EBEA 10,1, 3EB, 0,33，设面BA En 1 x , y , z ，111B 11 法向量为1222面B A E n 2 x , y , z ，nn EB 0 3xz,得11，取 1110,3,1，n EA 0y 3z 01111nB，取z 21，得2(1, 3,1)n EBx z 0 332122n EAy3z 02122，yA 1 A zFEC 1Cxnn42 512则二面角B A 1E B 1 的余弦值cos. ………12 分4 5 5 nn1219.【解析】（Ⅰ）获得三等奖学金的频率为：(0.0080.016 0.04)50.15(0.045000.32 160， 0.056 0.016) 5 0.4 (0.016 0.008) 5 0.4 0.32 故这 500 名学生获得专业三等奖学金的人数为160人. ………3 分（Ⅱ）每周课外学习时间不超过 35 小时的“非努力型”学生有5000.008 0.016 0.04 0.04 0.056 0.016 5 440 人，………4 分其中获得一、二等奖学金学生有5000.0080.016 0.0450.055000.040.056 0.01650.250.0592 (5)分每周课外学习时间超过35 小时称为“努力型”学生有5000.12 60人，………6 分其中获得一、二等奖学金学生有600.350.2536 人,………7 分列2 2 联表如图所示：“非努力型”学生“努力型”学生总计获得一二等奖学金学生92 36 128未获得一二等奖学金学生348 24 372总计440 60 50022 500 348 36 92 24K42.36 10.8344060128372故有99.9%的把握认为获得一二等奖学金与学习“努力型”学生的学习时间有关；…8 分（Ⅲ）X的可能取值为0,600,1500,3000P(X600) 0.32, P(X1500) 0.198, P(X3000) 0.058,P X………11 分( 0) 1 0.32 0.198 0.058 0.424其期望为EX00.424 6000.32 15000.19830000.058=192+297+174=663元.………12 分—理科数学（摸底）答案第2 页—。
2020年高考摸底考试理科数学试题及答案
2020年高考摸底考试理科数学试题及答案（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 如果复数1 2aii-+（a R∈，i为虚数单位）的实部与虚部相等，则a的值为A. 1B. -1C. 3D. -32. 若{0,1,2}A=，{|2,}aB x x a A==∈，则A B=UA. {0,1,2}B. {0,1,2,3}C. {0,1,2,4}D. {1,2,4}3. 在等比数列{}n a中，若()57134a a a a+=+，则62aa=( )A.14B.12C. 2D. 44. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）A. 12B. 24C. 48D. 965. 若直线1y mx=+与圆22:220C x y x y+++=相交于A，B两点，且AC BC⊥，则m=A.34B. 1-C. 12-D.326. 若x 、y 满足约束条件，则z=3x-2y 的最小值为A.B.C.D. 57. 已知(1)nx λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，且01(1)n x a a x λ+=++22n n a x a x +⋯+,若12242n a a a ++⋯+=,则4()x xλ+展开式中常数项A. 32B. 24C. 4D. 88. 如图所示的网格是由边长为1的小正方形构成，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 40B.103C.163D.8039. 若:,sin 2p x R x a ∃∈=-，:q 函数321()3f x x x ax =-+在R 上是增函数，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件10. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为12,F F ，P 为椭圆上一点，1290F PF ∠=︒。
赣州市2020年高三适应性考试理科数学参考答案
（2）（方法一）
解： g(x) f (x) m 1 e xm ln x m (x 0) …………………………………………6 分 令 g(x) exm ln x m 0 ，则 exm ln x m
Sn
2 3
1 2
1
1 3n
n
2
1 3
n1
∴ Sn
7 4
n 2
7 4
1 n 3
7 4
2n 7 4 3n
……………………………………………………12 分
18. 证明：(1)法一：连接 AB1 交 A1E 于点 F ，连接 DF ……1 分
由 又 又
AA1 BE AD
/ /23BEDBBC11，知 ，从从BA而1而AE1在B1EBAA1FFFB与1C BB中A1BE1，1A有F 13相AA…似BF1…，…AA…DC……34………………34分分
sin x cos x
∴
f
x
的最小值即为当
x
0,
2
时
f
(x)
的最小值，
∴当
x
0,
2
时
f
x
8 sin
x
1 cos
x
，
f
x
8cos x sin2 x
sin x cos2 x
sin 3 x 8 cos3 x sin2 x cos2 x
∴当 sin x 2 cos x 时 f x 0 ，当 sin x 2 cos x 时 f x 0
2
当且仅当“
3m2
4
4m2
3
2020年江西省高考数学(理科)模拟试卷(4)
→
→
→
椭圆于点 C，若 ????= ????+ ???，? 求四边形 ABCD 面积的最大值．
21．（ 12 分）已知函数 ??(??)= ??????- ??(?-? ??????)∈(???) （ 1）若 f（ x）在（ 1，f （1））处的切线为 x 轴，求证 f（ x）≥ 0；
（ 2）若 f（ x）≥ 0，求 a 的取值范围，
第 2页（共 19页）
进的次数，则 E（ X）＝
．
14．（5 分）已知函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数， 其图象关于直线 x＝ 1 对称， 当 x∈（ 0， 1] 时， f（ x）＝﹣ eax（其中 e 是自然对数的底数） ，若 f（ 2020﹣ ln2）＝ 8，则实数 a 的值
为
．
15．（ 5 分）已知半径为 2 的球的球面上有 A、 B、 C、D 不同的四点，△ ABC 是边长为 3 的
一．选择题（共 12 小题，满分 60 分，每小题 5 分）
1．（ 5 分）设全集为 R，集合 A＝ { x|﹣ 3＜ x＜ 3} ，B＝{ x|x2﹣ 4x﹣5＜ 0} ，则 A∩? RB＝（
）
A ．（﹣ 3， 0）
B ．（﹣ 3，﹣ 1]
C．（﹣ 3，﹣ 1）
D．（﹣ 3， 3）
【解答】 解：∵ A＝ { x|﹣ 3＜ x＜ 3} ， B＝ { x|﹣ 1＜ x＜ 5} ，
．
三．解答题（共 5 小题，满分 60 分，每小题 12 分）
17．（ 12 分）近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的
出行方式．为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方
APP 中设置了用户评价反馈
江西省赣州市2020年高三数学摸底考试理科
江西省赣州市2020年高三年级摸底考试理 科 数 学2020年3月本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合A ＝{x |x x －1＜0}，B ＝{x |x －2＜2}，则“m ∈A ”是“m ∈B ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.z ∈C ，若|z |－z －＝1－2i ，则4＋3i z的值是 A.－2 B.－2i C.2 D.2i3.已知(x －a x)8展开式中的常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和为 A.28 B.38 C.1或38 D.1或284.在等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }的前9项之和S 9等于A.66B.99C.144D.2975.设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，△ABC 的三个顶点都在此抛物线上，且F A ＋FB ＋FC ＝0，则|F A |＋|FB |＋|FC |等于A.9B.6C.4D.36.已知a ，b 为空间两条异面直线，A 是直线a ，b 外一点，则经过A 点与两条异面直线a ，b 都相交的直线的可能情况为A.至多有一条B.至少有一条C.有且仅有一条D.有无数条7.已知f (x )＝1＋log 2x (1≤x ≤4)，则g (x )＝f (x 2)的最大值为A.1B.3C.5D.98.有下列命题：①函数f (x )＝sin x ＋2sin x(x ∈(0，π))的最小值是22； ②在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 是等腰三角形或直角三角形；③如果正实数a ，b ，c 满足a ＋b ＞c ，则a 1＋a ＋b 1＋b ＞c 1＋c； ④如果y ＝f (x )是可导函数，则f ′(x 0)＝0是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极值的必要不充分条件. 其中正确的命题是A.①②③④B.①④C.②③④D.②③9.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝x ＋y ＋2x ＋3的最小值为 A.13 B.136 C.4 D.－2310.方程2sin θ＝cos θ在区间[0,2π)上解的个数是A.0个B.1个C.2个D.4个11.设函数f (x )＝∑10n ＝1|nx －1|≥m 恒成立(记∑ni ＝1a i ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )，则m 的取值范围是 A.(－∞，5] B.(－∞，256] C.(－∞，277] D.(－∞，318]12.已知C为线段AB上的一点，P为直线AB外一点，满足|P A|－|PB|＝2，|P A－PB|＝25，P A·PC |P A|＝PB·PC|PB|，I为PC上一点，且BI＝BA＋λ(AC|AC|＋AP|AP|)(λ＞0)，则BI·BA|BA|的值为A.1B.2C. 5D.5－1第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案填写在题中横线上.13.设随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1)，且P(|ξ|＜b)＝a(0＜a＜1，b＞0)，则P(ξ≥b)的值是(用a表示).14.已知集合{1，12，14，…，12n－1}，它的所有的三个元素的子集的所有元素之和是S n，则limn→∞2S nn2＝.15.已知棱长为26的正四面体内切一球，然后在它四个顶点的空隙处各放一个小球，则这些球的最大半径为.16.五个同学传一个球，球从小王同学手中首先传出，第五次传球后，球回到小王手中的概率是.三、解答题：本大题共6小题，满分74分.解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知△ABC 三个内角为A 、B 、C ，若cos A cos B cos C ＞0，且p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )与向量q ＝(sin A －cos A,1＋sin A )是共线向量.(1)求∠A 的值；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2的最大值.甲、乙两个人射击，甲射击一次中靶概率是p 1，乙射击一次中靶概率是p 2，已知1p 1、1p 2是方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，若两人各射击5次，甲的方差是54. (1)求p 1、p 2的值；(2)两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？已知函数f (x )＝－14x 4＋23x 3＋ax 2－2x －2在区间[－1,1]上单调递减，在区间[1,2]上单调递增. (1)求实数a 的值；(2)若关于x 的方程f (2|x |－1)＝m (x ≠0)有六个不同的实数解，求实数m 的取值范围.如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，DC⊥平面ABC，DC＝4，G为△ABC的重心.(1)若M为GD的中点，求异面直线CG与MB所成角的大小；(2)若M为线段GD上的动点，求(AM＋BM＋CM)·MD的最大值.已知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2，记点P 的轨迹为S ，若直线l 过点F 2且与轨迹S 交于P 、Q 两点.(1)求轨迹S 的方程；(2)无论直线l 绕点F 2怎样转动，在x 轴上总存在定点M (m,0)，使MP ⊥MQ 恒成立，求实数m 的值；(3)过P 、Q 作直线x ＝12的垂线P A 、QB ，垂足分别为A 、B ，设PM 交AB 于E ，QM 交AB 于F ，λ＝|AE |·|BF |.求证：当λ取最小值时，△PMQ 的面积为9.设A n 为数列{a n }的前n 项和，A n ＝32(a n －1)，数列{b n }的通项公式为b n ＝4n ＋3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对数列{2n ln a n }，是否存在等差数列{c n }，使得c 1C 1n ＋c 2C 2n ＋…＋c n C n n ＝2n ln a n 对一切正整数n ∈N *都成立？若存在，求出数列{c n }的通项公式，若不存在，说明理由.高三摸底数学(理科)答案 第页(共3页)赣州市2020年高三年级摸底考试理科数学参考答案2020年3月1.A2.D3.C4.B5.B6.A7.B8.C9.A 10.C 11.C 12.D13.12(1－a ) 14.2 15.12 16.5125617.解：(1)∵p ，q 共线，∴(2－2sin A )(1＋sin A )＝(cos A ＋sin A )(sin A －cos A )，1分∴sin 2A ＝34.2分 ∵cos A cos B cos C ＞0，∴A 为锐角.3分∴sin A ＝32，∴A ＝π3.5分 (2)y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2＝2sin 2B ＋cos (π－π3－B )－3B 26分 ＝2sin 2B ＋cos(π3－2B )＝1－cos 2B ＋12cos 2B ＋32sin 2B 8分 ＝32sin 2B －12cos 2B ＋1＝sin(2B －π6)＋1.10分 ∵B ∈(0，π2)，∴2B －π6∈(－π6，5π6).11分 ∴当2B －π6＝π2时，即B ＝π3时，y max ＝2.12分 18.解：(1)由题意可知ξ甲～B (5，p 1)，∴Dξ甲＝5p 1(1－p 1)＝541分 ⇒p 21－p 1＋14＝03分 ⇒p 1＝12.4分 又1p 1·1p 2＝6，∴p 2＝13.6分 (2)分两类情况：①共击中3次概率C 22(12)2(12)6·C 12(13)(23)＋C 1212·12·C 22(13)2＝16.9分 ②共击中4次概率C 22(12)2·C 22(13)2＝136.11分 所求概率为16＋136＝736.12分 19.解：(1)由函数f (x )＝－14x 4＋23x 3＋ax 2－2x －2在区间[－1,1]上是单调递减，在区间[1,2]上单调递增，所以x ＝1取得极小值.1分∴f ′(1)＝0，∴－1＋2＋2a －2＝0，3分∴a ＝12.4分 (2)由(1)知f (x )＝－14x 4＋23x 3＋12x 2－2x －2， ∴f ′(x )＝－x 3＋2x 2＋x －2.5分令f ′(x )＝0，得x ＝－1，x ＝1，x ＝2.6分∴函数f (x )有极大值f (－1)＝－512，f (2)＝－83，极小值f (1)＝－3712.8分 关于x 的方程f (2|x |－1)＝m (x ≠0)有六个不同的实数解，令2|x |－1＝t (t ＞0)，即关于t 的方程f (t )＝m 在t ∈(0，＋∞)上有三个不同的实数解.9分在t ∈(0，＋∞)上函数f (t )的图象与直线y ＝m 的图象在t ∈(0，＋∞)上有三个不同的交点，而f (t )的图象与f (x )的图象一致.11分又f (0)＝－2，由数形结合可知，－3712＜m ＜－83.12分 20.解：(1)延长CG 交AB 于N ，∵G 是△ABC 的重心，∴N 是AB 的中点.1分∵∠ACB ＝90°，∴CN ＝12AB ＝6，∴CG ＝23CN ＝4.2分 作ME ∥GC 交DC 于E ，∴∠EMB 是异面直线GC 与BM 所成的角或补角.3分∵M 是DG 的中点，ME ＝12GC ＝2， BE ＝EC 2＋BC 2＝(12DC )2＋62＝210.4分 过M 作MH ⊥GC 于H ，MH ⊥平面ABC ，∴MH ＝2，∴MB 2＝MH 2＋HB 2＝4＋4＋36－2·2·6·cos 60°＝32，∴cos ∠EMB ＝ME 2＋MB 2－BE 22ME ·MB ＝－28.5分 ∴异面直线GC 与BM 所成的角为arccos 28.6分 (2)AM ＋BM ＋CM ＝－(MA ＋MB ＋MC )，∵G 是△ABC 的重心，∴MA ＋MB ＋MC ＝3MG .7分∴(AM ＋BM ＋CM )·MD ＝－3MG ·MD .8分△DGC 是等腰直角三角形，DG ＝2CD ＝4 2.9分设MG ＝x ，则MD ＝42－x ，∴－3MG ·MD ＝－3|MG ||MD |cos 180°＝3·x ·(42－x )10分≤3(x ＋42－x 2)2＝24.11分 ∴(AM ＋BM ＋CM )·MD 的最大值是24.(当且仅当M 为GD 的中点时取得).12分(备注：以上各小题都可以通过建立空间直角坐标系求解，建议参照给分)21.解：(1)由|PF 1|－|PF 2|＝2＜|F 1F 2|知，点P 的轨迹S 是以F 1、F 2为焦点的双曲线右支.1分由c ＝2,2a ＝2，∴b 2＝3.2分故轨迹S 的方程为x 2－y 23＝1(x ≥1).4分 (2)当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －2)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)与双曲线方程联立消y 得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－3≠0，Δ＞0，x 1＋x 2＝4k 2k 2－3＞0，x 1·x 2＝4k 2＋3k 2－3＞0，解得k 2＞3.5分∵MP ·MQ ＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝(x 1－m )(x 2－m )＋k 2(x 1－2)(x 2－2)＝(k 2＋1)x 1x 2－(2k 2＋m )(x 1＋x 2)＋m 2＋4k 2＝3－(4m ＋5)k 2k 2－3＋m 2.6分∵MP ⊥MQ ，∴MP ·MQ ＝0，故得3(1－m 2)＋k 2(m 2－4m －5)＝0对任意的k 2＞3恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m 2＝0，m 2－4m －5＝0，解得m ＝－1.7分 当m ＝－1时，MP ⊥MQ ，当直线l 的斜率不存在时，由P (2,3)，Q (2，－3)及M (－1,0)知结论也成立. 综上，当m ＝－1时，MP ⊥MQ .8分(3)由(1)知，存在M (－1,0)使得MP ⊥MQ ，∴∠AEP ＝∠MEF ＝∠BQF ，∴△P AE ～△FBE ，∴|AP ||FB |＝|AE ||BQ |.9分 |AE |·|FB |＝|AP |·|BQ |＝|PF 2|e ·|QF 2|e ＝14|PF 2|·|OF 2|， |PF 2|＝ex 1－a ＝2x 1－1，|PF 2|＝ex 2－a ＝2x 2－1，∴|AE ||FB |＝14(2x 1－1)(2x 2－1)10分 ＝14[4x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋1]＝x 1x 2－x 1＋x 22＋14＝4k 2＋3k 2－3－2k 2k 2－3＋14＝2k 2＋3k 2－3＋14＝94＋9k 2－3＞94. 当斜率不存在时|AE |·|AF |＝94，∴λ的最小值为94.11分 此时，|PQ |＝6，|MF |＝3，S △PMQ ＝12|MQ |·|PQ |＝9.12分 22.解：(1)由A n ＝32(a n －1)，A n ＋1＝32(a n ＋1－1)，1分 ∴a n ＋1＝32(a n ＋1－a n )，即a n ＋1a n＝3，2分 且a 1＝A 1＝32(a 1－1)， 得a 1＝3.3分∴数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列.4分通项公式为a n ＝3n .5分(2)∵2n ln a n ＝2n ln 3n ＝(n ln 3)·2n＝2n ln 3·2n －1＝2n ln 3(1＋1)n －16分＝2n ln 3(C 0n －1＋C 1n －1＋…＋C n －1n －1)7分＝2n ln 3(n C 1－1n －1＋n C 2－1n －1＋n C 3－1n －1＋…＋n C n －1n －1)8分＝2n ln 3(C 1n ＋2C 2n ＋…＋k C k n ＋…n C n n )9分＝(2ln 3)C 1n ＋(2ln 3)·2C 2n ＋…＋(2ln 3)·k C k n ＋…＋(2ln 3)·n C n n .12分故存在等差数列{c n }，c n ＝(2ln 3)·n 对一切正整数n ∈N *，c 1C 1n ＋c 2C 2n ＋…＋c n C n n ＝2n ln a n 都成立.14分。
江西省赣州市高考数学一模试卷（理科）含答案解析
江西省赣州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈R}，B={x|lg（x+1）＜1，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}2．已知复数z=1+i，则=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i3．执行如图的程序框图（N∈N*），那么输出的p是（）A．B．C．D．4．离心率为2的双曲线E的一个焦点到一条渐近线的距离为1，则E的标准方程可以是（）A．3x2﹣y2=1 B．=1 C．x2﹣3y2=1 D．5．已知数列{a n}满足：a1=2，且对任意n，m∈N*，都有a m+n=a m•a n，S n是数列{a n}的前n项和，则=（）A．2 B．3 C．4 D．56．设点（x，y）在平面区域E内，记事件A“对任意（x，y）∈E，有2x﹣y≥1”，则满足事件A发生的概率P（A）=1的平面区域E可以是（）A．B．C．D．7．已知函数y=f（x）的图象为如图所示的折线ABC，则dx=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣18．甲、乙、丙3名教师安排在10月1日至5日的5天中值班，要求每人值班一天且每天至多安排一人．其中甲不在10月1日值班且丙不在10月5日值班，则不同的安排方法有（）种．A．36 B．39 C．42 D．459．在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，BC=2，PA⊥平面ABC，若三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为8π，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．10．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于A、B两点，与l交于点P，若|AF|=3|FB|，则|PF|=（）A．7.5 B．7 C．8.5 D．811．某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图（2），其中O1A1=6，O1C1=2，则该几何体的侧面积为（）A．48 B．64 C．96 D．12812．对于函数f（x），g（x）满足：对任意x∈R，都有f（x2﹣2x+3）=g（x），若关于x的方程g（x）+sin x=0只有5个根，则这5个根之和为（）A．5 B．6 C．8 D．9二、填空题：本大题共4小题，每小题5分1，3，5．13．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，则=______．14．设θ为第二象限角，若，则sinθ+cosθ=______．15．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x6，y6）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，6）都在曲线y=bx2﹣附近波动．经计算x i=11，y i=13，x i2=21，则实数b的值为______．16．在等差数列{a n}中，首项a1=3，公差d=2，若某学生对其中连续10项迸行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为______．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．在△ABC，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cosB+（cosA﹣2sinA）cosC=0．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若a=，AB边上的中线CM=，求sinB及△ABC的面积．18．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，分别测出它们的高度如下（单位：cm）甲：19 20 21 23 25 29 32 33 37 41乙：10 24 26 30 34 37 44 46 47 48（Ⅰ）用茎叶图表示上述两组数据，并对两块地抽取树苗的高度进行比较，写出两个统计结论；（Ⅱ）苗圃基地分配这20株树苗的栽种任务，小王在苗高大于40cm的5株树苗中随机的选种3株，记X是小王选种的3株树苗中苗高大于45cm的株数，求X的分布列与数学期望EX．19．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°．（Ⅰ）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；（Ⅱ）若BD=D=2，求平面A1BD与平面B1BD所成角的大小．20．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，若△PQF1的周长为短轴长的2倍．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设l的斜率为1，在C上是否存在一点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．21．设函数f（x）=e x+ln（x+1）﹣ax．（Ⅰ）当a=2时，证明：函数f（x）在定义域内单调递增；（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≥cosx恒成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24两题中任选一题做答[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在正△ABC中，点D、E分别在边BC，AC上，且BD=BC，CE=CA，AD，BE相交于点P．求证：（Ⅰ）四点P、D、C、E共圆；（Ⅱ）AP⊥CP．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，已知曲线C1：=1（0＜a＜2），曲线C2：x2+y2﹣x﹣y=0，Q是C2上的动点，P是线段OQ延长线上的一点，且P满足|OQ|•|OP|=4．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，化C2的方程为极坐标方程，并求点P的轨迹C3的方程；（Ⅱ）设M、N分别是C1与C3上的动点，若|MN|的最小值为，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设a、b为正实数，且+=2．（1）求a2+b2的最小值；（2）若（a﹣b）2≥4（ab）3，求ab的值．江西省赣州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈R}，B={x|lg（x+1）＜1，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】分别解不等式，再求它们的交集即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈R}=[﹣1，2]，∵lg（x+1）＜1=lg10，∴﹣1＜x＜9，∴B={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，∴A∩B={0，1，2}，故选：D2．已知复数z=1+i，则=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把复数z=1+i代入要求的式子，应用复数相除的法则化简得到结果．【解答】解：∵复数z=1+i，∴===2，故选：A．3．执行如图的程序框图（N∈N*），那么输出的p是（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量p的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，k=1，p=A11，满足继续循环的条件，k=2；第二次执行循环体，k=2，p=A22，满足继续循环的条件，k=3；第三次执行循环体，k=3，p=A33，满足继续循环的条件，k=4；…第N次执行循环体，k=N，p=A N N，满足继续循环的条件，k=N+1；第N+1次执行循环体，k=N+1，p=A N+1N+1，不满足继续循环的条件，故输出的p值为A N+1N+1，故选：C4．离心率为2的双曲线E的一个焦点到一条渐近线的距离为1，则E的标准方程可以是（）A．3x2﹣y2=1 B．=1 C．x2﹣3y2=1 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】对照选项，可设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），运用离心率公式和点到直线的距离公式，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：可设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），由题意可得e==2，一个焦点（c，0）到一条渐近线y=x的距离为1，可得=b=1，又c2=a2+1，解得a=，即有双曲线的方程为﹣y2=1．故选：A．5．已知数列{a n}满足：a1=2，且对任意n，m∈N*，都有a m+n=a m•a n，S n是数列{a n}的前n项和，则=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】数列的求和．【分析】通过在a m+n=a m•a n中令m=1，结合a1=2数列{a n}是首项、公比均为2的等比数列，进而计算可得结论．【解答】解：∵对任意n，m∈N*，都有a m+n=a m•a n，∴对任意nN*，都有a n+1=a1•a n，又∵a1=2，∴a n+1=2a n，∴数列{a n}是首项、公比均为2的等比数列，∴S n==2（2n﹣1），∴==5，故选：D．6．设点（x，y）在平面区域E内，记事件A“对任意（x，y）∈E，有2x﹣y≥1”，则满足事件A发生的概率P（A）=1的平面区域E可以是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据条件若事件A发生的概率P（A）=1，则等价为面区域E都在直线2x﹣y=1的下方区域即可．【解答】解：若满足事件A发生的概率P（A）=1，则2x﹣y≥1对应的平面区域在平面区域E内，A．平面区域E不都在直线2x﹣y=1的下方区域，不满足条件．B．平面区域E都在直线2x﹣y=1的下方区域，满足条件．C平面区域E不都在直线2x﹣y=1的下方区域，不满足条件．．D．平面区域E不都在直线2x﹣y=1的下方区域，不满足条件．．故选：B7．已知函数y=f（x）的图象为如图所示的折线ABC，则dx=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【考点】定积分．【分析】先根据图象求出f（x）的表达式，在分段求出定积分．【解答】解：当0≤x≤1，f（x）=x﹣1，当﹣1≤x＜0时，f（x）=﹣x﹣1，则dx=（x+1）（x﹣1）dx+（x+1）（﹣x﹣1）dx=（x2﹣1）dx﹣（x2+2x+1）dx=（）|﹣（）|=﹣1+（﹣+1﹣1）=﹣1，故选：D．8．甲、乙、丙3名教师安排在10月1日至5日的5天中值班，要求每人值班一天且每天至多安排一人．其中甲不在10月1日值班且丙不在10月5日值班，则不同的安排方法有（）种．A．36 B．39 C．42 D．45【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据甲，可以分两类，第一类，甲在10月5日值班，第二类，甲不在10月5日值班，根据分类计数原理可得答案．【解答】解：第一类，甲在10月5日值班，则乙丙在剩下的4天各选择一天，故有A42=12种，第二类，甲不在10月5日值班，则甲再10月2，3，4天选择一天，丙在除了10月5日的三天中选择一天，乙在剩下的三天中选择梯田，故有3×3×3=27种，根据分类计数原理可得，共有12+27=39种，故选：B．9．在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，BC=2，PA⊥平面ABC，若三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为8π，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，设出底面三角形的外心G，找出三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O，通过求解直角三角形得到三棱锥的高，则答案可求．【解答】解：如图，取BC中点为E，连接AE，∵底面ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，BC=2，∴△ABC的外心G在AE上，设为G，取AB中点F，连接GF，在Rt△AEB中，由BE=1，∠BAE=60°，得AF==，又在Rt△AFG中，得，过G作PA的平行线与PA的中垂线HO交于O，则O为三棱锥P﹣ABC的外接球的球心，即R=OA，由4πR2=8π，得R=，∵PA⊥平面ABC，∴OG⊥AG，在Rt△AGO中，求得OG=，∴三棱锥P﹣ABC的高PA=2OG=，则三棱锥的体积为V=．故选：B．10．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于A、B两点，与l交于点P，若|AF|=3|FB|，则|PF|=（）A．7.5 B．7 C．8.5 D．8【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线AB的方程为：y=k（x﹣2），与抛物线方程联立化为：k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，由|AF|=3|FB|，可得x A+2=3（x B+2），再利用根与系数的关系可得k，即可得出．【解答】解：设直线AB的方程为：y=k（x﹣2），联立，化为：k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，∴x A+x B=，x A x B=4．∵|AF|=3|FB|，∴x A+2=3（x B+2），联立解得：k=．∴P．∴|PF|==8．故选：D．11．某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图（2），其中O1A1=6，O1C1=2，则该几何体的侧面积为（）A．48 B．64 C．96 D．128【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，计算出底面的周长和高，进而可得几何体的侧面积．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，∵它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，O1A1=6，O1C1=2，∴它的俯视图的直观图面积为12，∴它的俯视图的面积为：24，∴它的俯视图的俯视图是边长为：6的菱形，棱柱的高为4故该几何体的侧面积为：4×6×4=96，故选：C．12．对于函数f（x），g（x）满足：对任意x∈R，都有f（x2﹣2x+3）=g（x），若关于x的方程g（x）+sin x=0只有5个根，则这5个根之和为（）A．5 B．6 C．8 D．9【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据条件，先判断g（x）关于x=1对称，然后利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题进行求解即可．【解答】解：∵y=x2﹣2x+3的对称轴为x=1，∴由f（x2﹣2x+3）=g（x）得g（x）关于x=1对称，由g（x）+sin x=0得g（x）=﹣sin x，作出函数y=﹣sin x的图象，若程g（x）+sin x=0只有5个根，则其中一个根x=1，其余四个根两两关于x=1对称，则关于对称的根分别为x1，和x2，x3和x4，则，，则x1+x2=2，x3+x4=2，则这5个根之和为2+2+1=5，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分1，3，5．13．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，则=﹣2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据图形，，而，且，这样即可求出的值，即得出的值．【解答】解：==2•2cos120°=﹣2．故答案为：﹣2．14．设θ为第二象限角，若，则sinθ+cosθ=﹣．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的正切函数．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（θ+）的值，再利用两角差的正弦公式求得要求式子的值．【解答】解：∵θ为第二象限角，若＞0，∴θ+为第三象限角，由=，sin（θ+）＜0，cos（θ+）＜0，+=1，求得sin（θ+）=﹣，则sinθ+cosθ=2sin（θ+）=﹣，故答案为：﹣．15．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x6，y6）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，6）都在曲线y=bx2﹣附近波动．经计算x i=11，y i=13，x i2=21，则实数b的值为．【考点】线性回归方程．【分析】求出各对应点的坐标，代人曲线方程，可以求出实数b的值．【解答】解：根据题意，把对应点的坐标代人曲线y=bx2﹣的方程，即y1=b﹣，y2=b﹣，…，y6=b﹣，∴y1+y2+…+y6=b（++…+）﹣×6；又y i=13，x i2=21，∴13=b×21﹣6×，解得b=．故答案为：．16．在等差数列{a n}中，首项a1=3，公差d=2，若某学生对其中连续10项迸行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为200．【考点】等差数列的前n项和．【分析】先排除不是遗漏掉首项与末项，从而设9项为a n，a n+1，a n+2，…，a n+m﹣1，a n+m+1，a n+m+2，…，a n+9，从而可得10（2n+1）+90﹣2（m+n）﹣1=185，从而求得．【解答】解：若遗漏的是10项中的第一项或最后一项，则185=9•a中，故a中=20（舍去）；故设9项为a n，a n+1，a n+2，…，a n+m﹣1，a n+m+1，a n+m+2，…，a n+9，其中（0＜m＜9，m∈N*）故10a n+×2﹣a m+n=185，即10（2n+1）+90﹣2（m+n）﹣1=185，故m=9n﹣43，故n=5，m=2；故10×a5+×2=110+90=200；故答案为：200．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．在△ABC，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cosB+（cosA﹣2sinA）cosC=0．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若a=，AB边上的中线CM=，求sinB及△ABC的面积．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用化简已知可得sinAsinC﹣2sinAcosC=0，由sinA ≠0，可得tanC=2，利用同角三角函数基本关系式即可求cosC的值．（Ⅱ）由，两边平方得b2+2b﹣3=0，解得b，由余弦定理可解得c的值，即可求得sinB，利用三角形面积公式即可求△ABC的面积．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）因为cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC，…又已知cosB+（cosA﹣2sinA）cosC=0，所以sinAsinC﹣2sinAcosC=0，…因为sinA≠0，所以sinC﹣2cosC=0，…于是tanC=2，…所以．…（Ⅱ）因为，…两边平方得b2+2b﹣3=0，解得b=1，…在△ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=4，所以c=2，…由此可知△ABC是直角三角形，故，…可得：△ABC的面积．…18．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，分别测出它们的高度如下（单位：cm）甲：19 20 21 23 25 29 32 33 37 41乙：10 24 26 30 34 37 44 46 47 48（Ⅰ）用茎叶图表示上述两组数据，并对两块地抽取树苗的高度进行比较，写出两个统计结论；（Ⅱ）苗圃基地分配这20株树苗的栽种任务，小王在苗高大于40cm的5株树苗中随机的选种3株，记X是小王选种的3株树苗中苗高大于45cm的株数，求X的分布列与数学期望EX．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由已知作出两组数据茎叶图，利用茎叶图能求出结果．（Ⅱ）由题意得X=1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由已知作出两组数据茎叶图：由茎叶图得到：（1）乙品种树苗的平均高度大于甲品种树苗的平均高度．（或：乙品种树苗的高度普遍大于甲品种树苗的高度）．（2）乙品种树苗的高度较甲品种树苗的高度更分散．（或：甲品种树苗的高度较乙品种树苗的高度更集中（稳定）．（3）甲品种树苗的高度的中位数为27mm，乙品种树苗的高度的中位数为35.5mm．（4）甲品种树苗的高度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．乙品种树苗的高度不对称，其分布不均匀．（注：以上四点答对任意两点均给分）…（Ⅱ）由题意得X=1，2，3，，，，…∴X的分布列为：X 1 2 3PEX==．…19．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°．（Ⅰ）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；（Ⅱ）若BD=D=2，求平面A1BD与平面B1BD所成角的大小．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出△A1AB和△A1AD均为正三角形，A1O⊥BD，AC⊥BD，由此能证明平面A1BD⊥平面A1AC．（Ⅱ）以O为原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A1BD与平面B1BD所成角的大小．【解答】证明：（Ⅰ）因为AA1=AB=AD，∠A1AB=∠A1AD=60°，所以△A1AB和△A1AD均为正三角形，于是A1B=A1D…设AC与BD的交点为O，则A1O⊥BD…又ABCD是菱形，所以AC⊥BD…而A1O∩AC=O，所以BD⊥平面A1AC…而BD⊂平面A1BD，故平面A1BD⊥平面A1AC…解：（Ⅱ）由A1B=A1D及，知A1B⊥A1D…又由A1D=AD，A1B=AB，BD=BD，得△A1BD≌△ABD，故∠BAD=90°…于是，从而A1O⊥AO，结合A1O⊥BD得A1O⊥底面ABCD…如图，以O为原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），A1（0，0，1），，…设平面B1BD的一个法向量为，由得，令x=1，得…平面A1BD的一个法向量为，设平面A1BD与平面B1BD所成角为θ，则…解得θ=45°，故平面A1BD与平面B1BD所成角的大小为45°．…20．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，若△PQF1的周长为短轴长的2倍．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设l的斜率为1，在C上是否存在一点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，△PQF1的周长为短轴长的2倍，得到，由此能求出椭圆C的离心率．（Ⅱ）设椭圆方程为，直线的方程为y=x﹣c，代入椭圆方程得，由此利用韦达定理、椭圆性质、向量知识，结合已知条件能求出不存在点M，使成立．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，△PQF1的周长为短轴长的2倍，△PQF1的周长为4a…∴依题意知，即…∴C的离心率…（Ⅱ）设椭圆方程为，直线的方程为y=x﹣c，代入椭圆方程得…设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，…设M（x0，y0），则①…由得…代入①得…因为，，所以②…而…从而②式不成立．故不存在点M，使成立…21．设函数f（x）=e x+ln（x+1）﹣ax．（Ⅰ）当a=2时，证明：函数f（x）在定义域内单调递增；（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≥cosx恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当a=2时，f（x）的定义域为（﹣1，+∞），，记，则，分类讨论，即可证明：函数f（x）在定义域内单调递增；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）在（0，+∞）上递增，分类讨论，利用当x≥0时，f（x）≥cosx 恒成立，求实数a的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：f（x）的定义域为（﹣1，+∞），…记，则当x＞0时，e x＞1，，此时g'（x）＞0…当x＜0时，e x＜1，，此时g'（x＜0…所以f'（x）在（﹣1，0）上递减，在（0，+∞）上递增，…故f'（x）≥f'（0）=0，从而f（x）在（﹣1，+∞）上递增…（Ⅱ）解：，由（Ⅰ）知f'（x）在（0，+∞）上递增，所以当a≤2时，f'（x）≥f'（0）=2﹣a≥0，所以f（x）在[0，+∞）上递增…故f（x）≥f（0）=1≥cosx恒成立…当a＞2时，记φ（x）=f（x）﹣cosx，则记，则当x＞1时，…显然0≤x＜1时，h'（x）＞0，从而φ'（x）在[0，+∞）上递增…又φ'（0）=2﹣a＜0，则存在x0∈（0，+∞），使得φ'（x0）=0…所以φ（x）在（0，x0）上递减，所以当x∈（0，x0）时，φ（x）＜φ（x0）=0，即f（x）＜cosx，不符合题意…综上，实数a的取值范围是a≤2…请考生在第22、23、24两题中任选一题做答[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在正△ABC中，点D、E分别在边BC，AC上，且BD=BC，CE=CA，AD，BE相交于点P．求证：（Ⅰ）四点P、D、C、E共圆；（Ⅱ）AP⊥CP．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【分析】（I）由已知条件推导出△ABD≌△BCE，由此能证明四点P，D，C，E共圆．（II）连结DE，由正弦定理知∠CED=90°，由四点P，D，C，E共圆知，∠DPC=∠DEC，由此能证明AP⊥CP．【解答】证明：（I）在△ABC中，由BD=，CE=，知：△ABD≌△BCE，…∴∠ADB=∠BEC，即∠ADC+∠BEC=π．所以四点P，D，C，E共圆．…（II）如图，连结DE．在△CDE中，CD=2CE，∠ACD=60°，由正弦定理知∠CED=90°．…由四点P，D，C，E共圆知，∠DPC=∠DEC，所以AP⊥CP．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，已知曲线C1：=1（0＜a＜2），曲线C2：x2+y2﹣x﹣y=0，Q是C2上的动点，P是线段OQ延长线上的一点，且P满足|OQ|•|OP|=4．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，化C2的方程为极坐标方程，并求点P的轨迹C3的方程；（Ⅱ）设M、N分别是C1与C3上的动点，若|MN|的最小值为，求a的值．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C2，运用三角函数的恒等变换可得极坐标方程；设Q（ρ'，θ），P（ρ，θ），代入极坐标方程，化简整理可得所求点P的轨迹C3的方程；（Ⅱ）设M（acosθ，sinθ），运用点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，可得最小值，解方程可得a的值．【解答】解：（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲线C2：x2+y2﹣x﹣y=0，即为ρ2﹣ρ（sinθ+cosθ）=0，可得C2的极坐标方程为，设Q（ρ'，θ），P（ρ，θ），则，由|OQ|•|OP|=4得ρ'•ρ=4，从而，即有ρ（sinθ+cosθ）=4，故C3的直角坐标方程为x+y=4；（Ⅱ）设M（acosθ，sinθ），则M到直线C3的距离，所以=，解得．[选修4-5：不等式选讲]24．设a、b为正实数，且+=2．（1）求a2+b2的最小值；（2）若（a﹣b）2≥4（ab）3，求ab的值．【考点】基本不等式．【分析】（1）根据基本不等式得出ab（a=b时等号成立），利用a2+b2≥2ab=（a=b时等号成立）求解即可．（2）根据+=2．∴a，代入得出（a+b）2﹣4ab≥4（ab）3，即（2）2﹣4ab≥4（ab）3求解即可得出ab=1【解答】解：（1）∵a、b为正实数，且+=2．∴a、b为正实数，且+=2≥2（a=b时等号成立）．即ab（a=b时等号成立）∵a2+b2≥2ab=（a=b时等号成立）．∴a2+b2的最小值为1，（2）∵且+=2．∴a∵（a﹣b）2≥4（ab）3，∴（a+b）2﹣4ab≥4（ab）3即（2）2﹣4ab≥4（ab）3即（ab）2﹣2ab+1≤0，（ab﹣1）2≤0，∵a、b为正实数，∴ab=19月16日。
江西省赣州市白石中学2020年高三数学理模拟试卷含解析
江西省赣州市白石中学2020年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 复数A. B. C. D.参考答案：A略2. 已知复数（其中a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则a+i的模为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、纯虚数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数==+i是纯虚数，∴=0，≠0，∴a=，则|a+i|===．故选：C．3. 已知实数x，y满足x2+y2≤1，3x+4y≤0，则的取值范围是（）A．[1，4] B．[，4] C．[1，] D．[，]参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】画出x2+y2≤1，3x+4y≤0，表示区域，化简目标函数，利用目标函数的几何意义，求解即可．【解答】解：实数x，y满足x2+y2≤1，3x+4y≤0，表示的区域如图：则==，表示阴影区域与（3，1）连线的斜率，解得A（，﹣）．k PA==，令y﹣1=k（x﹣3），可得kx﹣y﹣3k+1=0，由题意可得：，可得k=0或k=．，∈[0，]，1﹣∈[，1]．∴∈[1，]．故选：C．4. 一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（）A．AB∥CD B．AB 与CD 相交 C ．AB⊥CD D ．AB 与CD 所成的角为60°参考答案：D略5. 如图，一个棱柱的正视图和侧视图分别是矩形和正三角形，则这个三棱柱的俯视图为（）参考答案：D略6. 已知函数的定义域为，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．参考答案：B略7. 已知直线过双曲线右焦点，交双曲线于，两点，若的最小值为2，则其离心率为（）A． B． C．2 D．3参考答案：B8. 已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为（）A． B． C． D．参考答案：D9.设双曲线的半焦距为c，离心率为.若直线与双曲线的一个交点的横坐标恰为c，则k等于（）A． B． C． D．参考答案：答案：C10. 下列函数在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y=﹣|x﹣1| B．y=x2﹣2x+3 C．y=ln（x+1）D．y=2参考答案：D【考点】二次函数的性质．【分析】根据对数函数，指数函数，二次函数和一次函数的性质，对A、B、C、D四个选项进行判断，从而求解．【解答】解：对于A，y=，故函数在（0，1）递增，不合题意；对于B，函数的对称轴是x=1，函数在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，不合题意；对于C，y=ln（x+1）在（0，+∞）递增，不合题意；对于D，函数在R递减，符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了对数函数、指数函数以及二次函数，一次函数的基本性质，是一道基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的零点个数为_____________.参考答案：【知识点】函数与方程B9【答案解析】2 令f（x）=0，得到解得x=-1；和，令y=2-x和y=lnx，在同一个坐标系中画出它们的图象，观察交点个数，如图函数y=2-x和y=lnx，x＞0时，在同一个坐标系中交点个数是1个，所以函数f（x）的零点在x＜0时的零点有一个，在x＞0时零点有一个，所以f（x）的零点个数为2；故答案为：2．【思路点拨】令f（x）=0，得到方程根的个数，就是函数的零点的个数；在x-2+lnx=0时，转化为y=2-x与y=lnx的图象的交点个数判断．12. 已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是．参考答案：13. 已知双曲线﹣=1（a ＞0，b＞0）的左、右端点分别为A、B两点，点C（0， b），若线段AC的垂直平分线过点B，则双曲线的离心率为．参考答案：【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】运用平面几何的性质可得△ABC为等边三角形，则b=?2a，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由线段AC的垂直平分线过点B，结合对称性可得△ABC为等边三角形，则b=?2a，即b=a，c===a，则e==，故答案为：．14. △ABC的三个内角为A，B，C，若，则2cosB+sin2C的最大值为．参考答案：【考点】GQ ：两角和与差的正弦函数；HW ：三角函数的最值．【分析】由已知利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用可得2cosB+sin2C=﹣2（cosB ﹣）2+，进而利用余弦函数的值域，二次函数的性质求得2cosB+sin2C 的最大值．【解答】解：∵，∴2cosB+sin2C=2cosB+sin2[π﹣（A+B ）]=2cosB+sin2[π﹣（+B ）]=2cosB+sin （﹣2B ）=2cosB ﹣cos2B=2cosB ﹣（2cos 2B ﹣1）=﹣2cos 2B+2cosB+1=﹣2（cosB ﹣）2+， ∵B∈（0，），cosB∈（﹣，1），∴当cosB=时，2cosB+sin2C 取得最大为． 故答案为：．15. 已知f （x ）=4x +1，g （x ）=4﹣x ．若偶函数h （x ）满足h （x ）=mf （x ）+ng （x ）（其中m ，n 为常数），且最小值为1，则m+n= ．参考答案：考点： 函数最值的应用；函数奇偶性的性质． 专题： 函数的性质及应用．分析： 利用函数是偶函数，确定m=n ，利用基本不等式求最值，确定m 的值，即可得到结论． 解答： 解：由题意，h （x ）=mf （x ）+ng （x ）=m4x +m+n4﹣x ，h （﹣x ）=mf （﹣x ）+ng （﹣x ）=m4﹣x+m+n4x ，∵h（x ）为偶函数，∴h（x ）=h （﹣x ），∴m=n ∵h（x ）=m （4x +4﹣x ）+m ，4x +4﹣x ≥2∴h（x ）min =3m=1∴m=∴m+n=故答案为：点评： 本题考查函数的奇偶性，考查基本不等式的运用，考查函数的最值，属于中档题．16. 18世纪的时候，欧拉通过研究，发现凸多面体的面数F 、顶点数V 和棱数E 满足一个等式关系. 请你研究你熟悉的一些几何体（如三棱锥、三棱柱、正方体……），归纳出F 、V 、E 之间的关系等式：___________________.参考答案：V+F-E=217. 15．若满足约束条件，则的最小值为．参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
2020年江西省赣州市麻州中学高三数学理模拟试题含解析
2020年江西省赣州市麻州中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 甲，乙，丙，丁，戊5名学生进行某种劳动技术比赛决出第1名到第5名的名次（无并列）．甲乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”。
从这个人的回答中分析，5人的名次情况共有 ( )种A 54B 48C 36D 72参考答案：A2. 已知，，则（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】由辅助角公式将所求的角化为与已知同角，再利用同角间的三角函数关系，即可求解.【详解】，，，.故选:C.【点睛】本题考查三角恒等变换、同角间的三角函数关系求值，应用平方关系要注意角的范围判断，属于中档题.3. 函数在上为减函数，则的取值范围是A. B. C. D.参考答案：B因为函数在上为减函数，则有且，解得，选B.4. 函数的图象大致是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】函数的图象．【分析】利用函数的奇偶性排除选项，特殊值的位置判断求解即可．【解答】解：函数是偶函数，排除B，x=e时，y=e，即（e，e）在函数的图象上，排除A，当x=时，y=，当x=时，y=﹣=，，可知（，）在（）的下方，排除C．故选：D．【点评】本题考查函数的图象的判断与应用，考查转化思想以及计算能力．5. 设表示三条不同的直线，表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．如∥，，则∥；B．如，则；C．如，则；D．如∥，∥，，则∥．参考答案：D6. 若集合A={2，4，6，8}，B={x|x2﹣9x+18≤0}，则A∩B=（）A．{2，4} B．{4，6} C．{6，8} D．{2，8}参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：∵A={2，4，6，8}，B={x|x2﹣9x+18≤0}={x|（x﹣3）（x﹣6）≤0}={x|3≤x≤6}，∴A∩B={4，6}，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．7. 直线为参数），被圆截得的弦长为A、 B、 C、 D、参考答案：B略8. 定义区间（a，b），，的长度均为d=b﹣a．用表示不超过x的最大整数，记{x}=x﹣，其中x∈R．设f（x）={x}，g（x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集区间的长度，则当0≤x≤3时，有( )A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4参考答案：A【考点】进行简单的合情推理．【专题】新定义．【分析】先化简f（x）=?{x}=?（x﹣）=x﹣2，再化简f（x）＜（x），再分类讨论：①当x∈时，求出f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集的长度．【解答】解：f（x）=?{x}=?（x﹣）=x﹣2，g（x）=x﹣1f（x）＜g（x）?x﹣2＜x﹣1即（﹣1）x＜2﹣1当x∈=0，上式可化为x＞1，∴x∈?；当x∈=1，上式可化为0＞0，∴x∈?；当x∈时，﹣1＞0，上式可化为x＜+1，∴x∈；∴f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集为，故d=1．故选：A．【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了创新能力，以及分类讨论的思想和转化思想，属于中档题9. 不等式的解集是（）A. B . C.D.参考答案：C10. 己知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为（x），满足（x）<f（x），且 f（x+2）为偶函数， f（4）=l，则不等式f（x）<e x的解集为A．（-2，+）B．（0．+）C．（1, ）D．（4,+）参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在△ABC中，，则的值为参考答案：略12. 以抛物线y2＝4x上的点A(4.，4)为圆心，且与抛物线的准线相切的圆被x轴截得的弦长为＿＿＿＿参考答案：613. 从装有10个黑球，6个白球的袋子中随机抽取3个球，则抽到的3个球中既有黑球又有白球的概率为（用数字作答）．参考答案：14. 已知集合，，若，则实数的取值范围是．参考答案：[2,+∞）15. 设定义在上的函数满足，若，则参考答案：略16. 四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的外接球的表面积为．参考答案：17. 已知函数为（）的反函数，若，则参考答案：2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020届 江西名师联盟高三上学期第一次模拟考试 数学(理)试题(解析版)
2020届江西名师联盟高三第一次模拟考试卷理 科 数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|25}A x x =-<<，{1,3,6}B =，{6}M =，则M =（ ） A ．A B IB ．A B UC ．()A B R I ðD ．()A B R I ð2．若复数z 满足(1)(i 1)i z --=，则2z =（ ）A ．43i2+-B ．43i2- C ．34i2+-D ．34i2- 3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，33a =，714S =，则公差d =（ ）A ．12B ．12-C ．1D ．1-4．已知1525a =，256b =，652c =，则（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a c b <<班级 姓名 准考证号 考场号 座位号5．函数22log (1)()x f x x-=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．设x ，y 满足约束条件2632x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则y z x =的最大值是（ ）A ．1-B ．0C ．12D ．27．在ABC △中，23BD BC =u u u r u u u r ，E 为AD 的中点，则CE =u u u r（ ）A ．1263AB AC -u u ur u u u rB ．2136AB AC -u u ur u u u rC ．1536AB AC -u u ur u u u rD ．5163AB AC -u u ur u u u r8．若存在π[0,]2x ∈，使2πsin(2)03x x m +-+<成立，则m的取值范围为（ ） A ．()+∞ B ．(,1-∞-- C．(,-∞ D ．(1)--+∞9．在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为（ ）AB ．12C ．13D ．1410．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）A．3B．3C． D．11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅u u u r u u u u r取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为1S ，2S ，则21S S =（ ） A ．4 B ．8 C．D．12．设函数()f x 在定义域(0,)+∞上是单调函数，且(0,)x ∀∈+∞，(())x f f x e x e -+=． 若不等式()()f x f x ax '+≥对(0,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(,2]e -∞-B ．(,1]e -∞-C ．(,23]e -∞-D ．(,21]e -∞-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，()cos πx f x x =+，则4π()3f = ．14．已知22962100012100(1)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x -+=+++++++L ，则210012100222a a a +++=L ．15．已知函数()ln(||1)cos 2f x x a x =+++只有一个零点，则a = ．16．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且PAD △为等边三角形，若四棱锥P ABCD -的体积与四棱锥P ABCD -棱锥P ABCD -的表面积为 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知26sin cossin 2Aa Bb A =． （1）求cos A ；（2）若a =5b c +=，求ABC △的面积．18．（12分）某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为200元，低于100箱按原价销售，不低于100箱则有以下两种优惠方案：①以100箱为基准，每多50箱送5箱；②通过双方议价，买方能以优惠8%成交的概率为0.6，以优惠6%成交的概率为0.4．（1）甲、乙两单位都要在该厂购买150箱这种零件，两单位都选择方案②，且各自达成的成交价格相互独立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率；（2）某单位需要这种零件650箱，以购买总价的数学期望为决策依据，试问该单位选择哪种优惠方案更划算?19．（12分）如图，在四面体ABCD 中，AD AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC，2AB BC AC ==，且4AD BC +=．（1）证明：BC ⊥平面ABD ；（2）设E 为棱AC 的中点，当四面体ABCD 的体积取得最大值时，求二面角C BD E --的余弦值．EBACD20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点1)2-倍．（1）求椭圆C 的方程；（2）若A ，B 是椭圆C 上的两个动点（A ，B 两点不关于x 轴对称），O 为坐标原点，OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，问是否存在非零常数λ，使12k k λ⋅=时，AOB △的面积S 为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数ln ()xx af x e+=． （1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）设()x g x xe a -=-，对任意12,(0,)x x ∈+∞都有11112()()xx e f x ax g x ->成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2431x t a y t ⎧=+⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为21||cos 2sin x a y a θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）． （1）求l 和C 的普通方程；（2）将l 向左平移(0)m m >后，得到直线l '，若圆C 上只有一个点到l '的距离为1，求m ．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 设函数()|||4|(0)f x x a x a =-+-≠． （1）当1a =时，求不等式()f x x <的解集；（2）若4()1f x a≥-恒成立，求a 的取值范围．2020届江西名师联盟高三第一次模拟考试卷理科数学答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】∵{|2A x x =≤-R ð或5}x ≥，∴(){6}A B =R I ð． 2．【答案】B【解析】因为i 2i 11i 1i 1z -=+=--，所以234i 43i 2i 2z ---==-． 3．【答案】D【解析】∵74714S a ==，∴42a =，∴431d a a =-=-． 4．【答案】A【解析】255a =，256b =，258c =，故a b c <<． 5．【答案】C【解析】由函数22log (1)()x f x x -=，得定义域为(,1)(1,)-∞-+∞U ，且有()()f x f x -=-成立，所以函数22log (1)()x f x x-=的图象关于原点对称，且与x 轴交于(和两点．当x >222log (1)log (21)0x ->-=，所以在内函数图象在x 轴下方，在)+∞内函数图象在x 轴上方，再用对称性得到完整的函数图象．6．【答案】D【解析】yz x=的几何意义是可行域内的点(,)x y 与原点(0,0)连线的斜率， 画出可行域（图略），得z 的最大值为2． 7．【答案】A【解析】11111112()22262663CE CA CD CA CB CA AB AC AB AC =+=+=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ．8．【答案】C【解析】记2ππ()sin(2)cos(2)36f x x x m x m =+-+=-+，因为存在π[0,]2x ∈，使2πsin(2)03x x m +-+<成立，所以只需当π[0,]2x ∈时，min π()()02f x f m ==+<，即m <． 9．【答案】C【解析】如图，连接BQ ，则由椭圆的对称性易得PBF QBF ∠=∠，EAB EBA ∠=∠， 所以EAB QBF ∠=∠，所以ME BQ ∥．因为PME PQB ~△△，所以||||||||PE PM EB MQ =． 因为PBF EBO ~△△，所以||||||||OF EP OB EB =，从而有||||||||PM OF MQ OB =． 又因为M 是线段PF 的中点，所以||||1||||3c OF PM e a OB MQ ====．10．【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥A BCD -，F 为BD 的中点， 外接球球心O 在过CD 的中点E 且垂直于平面BCD 的直线l 上，又点O 到A ，B ，D 的距离相等，所以O 又在过左边正方体一对棱的中点M ，N 所在直线上，在OEN △中，由NF MF NE OE =，即223OE=，得3OE =，所以三棱锥A BCD -外接球的球半径R===3V =． DCEFBNMAO11．【答案】A【解析】由2ce a==，得2c a =，b=， 故线段MN 所在直线的方程为)y x a =+，又点P 在线段MN上，可设()P m +，其中[,0]m a ∈-， 由1(,0)F c -，2(,0)F c ，即1(2,0)F a -，2(2,0)F a ，得1(2,)PF a m =--u u u r ，2(2,)PF a m =-u u u u r，所以222212313464()44PF PF m ma a m a a ⋅=+-=+-u u u r u u u u r ． 由于[,0]m a ∈-，可知当34m a =-时，12PF PF ⋅u u u r u u u u r 取得最小值，此时21134)24S a a a =⨯-+=，当0m =，12PF PF ⋅u u u r u u u u r 取得最大值，此时22142S a =⨯=，所以214S S =．12．【答案】D【解析】由于()f x 是单调函数，则()x f x e x -+为定值， 不妨设()x f x e x t -+=，则()x f x e x t =-+．又()t f t e t t e =-+=，解得1t =，则()1x f x e x =-+，()1x f x e '=-，所以2xe x ax -≥，即21xe a x≤-． 设2()1x e g x x =-，则22(1)()x e x g x x -'=， 易知()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 则min ()(1)21g x g e ==-，所以21a e ≤-．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】116【解析】∵4π4π4111()cos 333326f 4-=-+=--=-，所以4π11()36f =． 14．【答案】0【解析】令1x =-，可得00a =；令1x =，可得2100296012100222(11)(11)0a a a a ++++=-+=L ，所以2100121002220a a a +++=L ．15．【答案】2-【解析】因为函数()f x 为偶函数，且函数()f x 只有一个零点， 故(0)0f =，所以2a =-．16．【答案】8+【解析】如图，连接AC ，BD 交于点1O ，取AD 的中点为N ，连接PN ． 设四棱锥P ABCD -外接球的球心为O ，等边三角形PAD 外接圆的圆心为2O ，则2O 为PAD △的重心，则22||||3PO PN =，正方形ABCD 外接圆的圆心为1O ． 因为PN AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PN ⊥平面ABCD ，所以1OO PN ∥， 所以四边形12OO NO 为矩形，所以21OO NO =．设正方形ABCD 的边长为2x ，则||PN =，所以2||PO =，2||OO x=， 所以四棱锥P ABCD -外接球的半径为2222227||||||3PO PO OO x =+=，所以四棱锥P ABCD -外接球的表面积为228π3S x =球， 四棱锥P ABCD -的体积为231433P ABCD V x x -=⨯=，所以P ABCD V S -=球=，解得1x =， 所以正方形ABCD 的边长为2，所以PAD S =△，2PAB S =△，2PDC S =△，PCB S =△，4ABCD S =正方形，所以四棱锥P ABCD -的表面积为8O O 1DCBAN O 2P三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）23-；（2【解析】（1）∵26sin cossin 2A a B b A =，∴26cos 2A ab ba =，∴21cos 26A =， 故22cos 2cos123A A =-=-． （2）∵2222cos a b c bc A =+-，又a =，5b c +=，∴24221()22533b c bc bc bc =+-+=-，∴6bc =．由（1）可知sin 3A =，从而ABC △的面积1sin 2S bc A ==18．【答案】（1）0.76；（2）选择方案①更划算．【解析】（1）因为甲单位的优惠比例低于乙单位的优惠比例的概率为0.40.60.24⨯=， 所以甲单位的优惠比例不低于乙单位的优惠比例的概率为10.240.76-=． （2）设在折扣优惠中每籍零件的价格为X 元，则184X =或188．X 的分布列为则1840.61880.4EX =⨯+⨯=若选择方案②，则购买总价的数字期望为185.6650120640⨯=元．若选择方案①，由于购买600箱能获赠50箱，所以该单位只需要购买600箱， 从而购买总价为200600120000⨯=元．因为120640120000>，所以选择方案①更划算．19．【答案】（1）证明见解析；（2）6． 【解析】（1）因为AD AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC ，平面ABD I 平面ABC AB =，AD ⊂平面ABD ，所以AD ⊥平面ABC ． 因为BC ⊂平面ABC ，所以AD BC ⊥．因为AB BC AC ==，所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥．因为AD AB A =I ，所以BC ⊥平面ABD ． （2）设(04)AD x x =<<，则4AB BC x ==-，四面体ABCD 的体积232111()(4)(816)(04)326V f x x x x x x x ==⨯-=-+<<．211()(31616)(4)(34)66f x x x x x '=-+=--，当403x <<时，()0f x '>，()V f x =单调递增； 当443x <<时， ()0f x '<，()V f x =单调递减， 故当43AD x ==时，四面体ABCD 的体积取得最大值． 以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系B xyz -，则(0,0,0)B ，8(0,,0)3A ，8(,0,0)3C ，84(0,,)33D ，44(,,0)33E ．设平面BCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0BC BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n ，即80384033x y z ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令2z =-，得(0,1,2)=-n ．同理可得平面BDE 的一个法向量为(1,1,2)=-m ，则cos ,==m n由图可知，二面角C BD E --为锐角，故二面角C BD E --的余弦值为6．20．【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，14λ=-，1AOB S =△．【解析】（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点1)2-，所以223114a b +=，c =，从而22224a b c b =+=．联立方程组222231144a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）设存在这样的常数λ，使12k k λ⋅=，AOB △的面积S 为定值． 设直线AB 的方程为y kx m =+，点11(,)A x y ，点22(,)B x y ， 则由12k k λ⋅=知12120y y x x λ-=，1212()()0kx m kx m x x λ++-=，所以221212()()0k x x km x x m λ-+++=①．联立方程组2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得222(14)8440k x kmx m +++-=．所以122814km x x k -+=+②，21224414m x x k-⋅=+③，又点O 到直线AB 的距离d =则AOB △的面积121||||||22m S AB d x x =⋅=⋅-= 将②③代入①得222222()(44)8(14)0k m k m m k λ---++=，化简得224()14k m λλ-=-⑤，将⑤代入④得22224222222422(41)4()(14)16()64(644)41()2(14)(41)1681(14)S k k k k k k k k λλλλλλλλ+⋅-----++-==⋅-+++-， 要使上式为定值，只需26464441681λλλ-+-==，即需2(41)0λ+=，从而14λ=-， 此时21()24S =，1S =，所以存在这样的常数14λ=-，此时1AOB S =△．21．【答案】（1）()f x 的极大值为1(1)f e =，无极小值；（2）2(,)e+∞．【解析】（1）当1a =时，ln 1()xx f x e +=，所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 所以1ln ()xx x xf x xe--'=，且0x xe >， 令()1ln h x x x x =--，所以当01x <<时，10x ->，ln 0x x <，所以()1ln 0h x x x x =-->． 又()2ln h x x '=--，所以当1x >时，()2ln 0h x x '=--<， 所以()h x 在(1,)+∞上单调递减，故()(1)0h x h <=．同理当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)是单调递增，在(1,)+∞单调递减，所以当1x =时，()f x 的极大值为1(1)f e =，无极小值．（2）令()()x m x xe f x ax =-，因为对任意12,(0,)x x ∈+∞都有11112()()xx e f x ax g x ->成立，所以1min 2max ()()m x g x >．因为()()ln x m x xe f x ax x x =-=，所以()1ln m x x '=+．令()0m x '>，即1ln 0x +>，解得1x e >；令()0m x '<，即1ln 0x +<，解得10x e <<．所以()m x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增，所以min 11()()m x m e e ==-．因为()x g x xe a -=-，所以()(1)x g x x e -'=-，当0x >时0x e ->，令()0g x '>，即10x ->，解得01x <<；令()0g x '<，即10x -<，解得1x >． 所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以max 1()(1)g x g a e ==-， 所以11a e e ->-，所以2a e >，即实数a 的取值范围为2(,)e +∞．22．【答案】（1）3470x y --=，22(1)(2)1x y -++=；（2）2m =．【解析】（1）由题意可得||1a =，故l 的参数方程为4131x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），消去参数t ，得l 的普通方程为3470x y --=，消去参数θ，得C 的普通方程为22(1)(2)1x y -++=． （2）l '的方程为37()44y x m =+-，即34370x y m -+-=，因为圆C 上只有一个点到l '的距离为1，圆C 的半径为1，所以(1,2)C -到l '的距离为2， 即|3837|25m ++-=，解得2m =（1403m =-<舍去）．23．【答案】（1）(3,5)；（2）(,0)[1,)-∞+∞U ．【解析】（1）当1a =时，52,1()3,1425,4x x f x x x x -≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，故不等式()f x x <的解集为(3,5)．（2）∵()|||4||()(4)||4|f x x a x x a x a =-+-≥---=-， ∴44|4|1aa a a --≥-=，当0a <或4a ≥时，不等式显然成立；当04a <<时，11a ≤，则14a ≤<．故a 的取值范围为(,0)[1,)-∞+∞U ．。
2020届江西名师联盟高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2020届江西名师联盟高三第一次模拟考试卷理 科 数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|25}A x x =-<<，{1,3,6}B =，{6}M =，则M =（ ） A ．A B IB ．A B UC ．()A B R I ðD ．()A B R I ð2．若复数z 满足(1)(i 1)i z --=，则2z =（ ） A ．43i2+-B ．43i2- C ．34i2+-D ．34i2- 3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，33a =，714S =，则公差d =（ ）A ．12B ．12-C ．1D ．1-4．已知1525a =，256b =，652c =，则（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a c b <<5．函数22log (1)()x f x x-=的图象大致是（ ）A ．yx1O-1B ．yx1O-1班级 姓名 准考证号 考场号 座位号C ．D ．6．设x ，y 满足约束条件2632x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则y z x =的最大值是（ ）A ．1-B ．0C ．12D ．27．在ABC △中，23BD BC =u u u r u u u r ，E 为AD 的中点，则CE =u u u r（ ）A ．1263AB AC -u u u r u u u r B ．2136AB AC -u u u r u u u r C ．1536AB AC -u u u r u u u rD ．5163AB AC -u u ur u u u r8．若存在π[0,]2x ∈，使2πsin(2)03x x m +-+<成立，则m 的取值范围为（ ） A．()+∞ B ．(,1-∞- C ．(,-∞ D ．(1)--+∞9．在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．2B ．12C ．13D ．1410．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）A．BC． D ．11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅u u u r u u u u r取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为1S ，2S ，则21S S =（ ） A ．4B ．8C．D．12．设函数()f x 在定义域(0,)+∞上是单调函数，且(0,)x ∀∈+∞，(())x f f x e x e -+=． 若不等式()()f x f x ax '+≥对(0,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(,2]e -∞-B ．(,1]e -∞-C ．(,23]e -∞-D ．(,21]e -∞-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．若()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，()cos πx f x x =+，则4π()3f = ． 14．已知22962100012100(1)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x -+=+++++++L ， 则210012100222a a a +++=L ．15．已知函数()ln(||1)cos 2f x x a x =+++只有一个零点，则a = ．16．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且PAD △为等边三角形，若四棱锥P ABCD -的体积与四棱锥P ABCD -外接球的表面积大小之比为7π，则四棱锥P ABCD -的表面积为 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知26sin cos sin 2Aa Bb A =． （1）求cos A ；（2）若a =，5b c +=，求ABC △的面积．18．（12分）某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为200元，低于100箱按原价销售，不低于100箱则有以下两种优惠方案：①以100箱为基准，每多50箱送5箱；②通过双方议价，买方能以优惠8%成交的概率为0.6，以优惠6%成交的概率为0.4．（1）甲、乙两单位都要在该厂购买150箱这种零件，两单位都选择方案②，且各自达成的成交价格相互独立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率；（2）某单位需要这种零件650箱，以购买总价的数学期望为决策依据，试问该单位选择哪种优惠方案更划算?19．（12分）如图，在四面体ABCD 中，AD AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC，2AB BC AC ==，且4AD BC +=．（1）证明：BC ⊥平面ABD ；（2）设E 为棱AC 的中点，当四面体ABCD 的体积取得最大值时，求二面角C BD E --的余弦值．EBACD20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点1)2-（1）求椭圆C 的方程；（2）若A ，B 是椭圆C 上的两个动点（A ，B 两点不关于x 轴对称），O 为坐标原点，OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，问是否存在非零常数λ，使12k k λ⋅=时，AOB △的面积S 为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数ln ()xx af x e +=． （1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）设()x g x xe a -=-，对任意12,(0,)x x ∈+∞都有11112()()xx e f x ax g x ->成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2431x t a y t ⎧=+⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为21||cos 2sin x a y a θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）． （1）求l 和C 的普通方程；（2）将l 向左平移(0)m m >后，得到直线l '，若圆C 上只有一个点到l '的距离为1，求m ．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 设函数()|||4|(0)f x x a x a =-+-≠． （1）当1a =时，求不等式()f x x <的解集； （2）若4()1f x a≥-恒成立，求a 的取值范围．2020届江西名师联盟高三第一次模拟考试卷理科数学答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】∵{|2A x x =≤-R ð或5}x ≥，∴(){6}A B =R I ð． 2．【答案】B 【解析】因为i 2i 11i 1i 1z -=+=--，所以234i 43i 2i 2z ---==-． 3．【答案】D【解析】∵74714S a ==，∴42a =，∴431d a a =-=-． 4．【答案】A【解析】255a =，256b =，258c =，故a b c <<． 5．【答案】C【解析】由函数22log (1)()x f x x -=，得定义域为(,1)(1,)-∞-+∞U ，且有()()f x f x -=-成立，所以函数22log (1)()x f x x-=的图象关于原点对称，且与x 轴交于(和两点．当x >222log (1)log (21)0x ->-=，所以在内函数图象在x 轴下方，在)+∞内函数图象在x 轴上方，再用对称性得到完整的函数图象． 6．【答案】D 【解析】yz x=的几何意义是可行域内的点(,)x y 与原点(0,0)连线的斜率， 画出可行域（图略），得z 的最大值为2．7．【答案】A【解析】11111112()22262663CE CA CD CA CB CA AB AC AB AC =+=+=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ．8．【答案】C【解析】记2ππ()sin(2)cos(2)36f x x x m x m =+-+=-+，因为存在π[0,]2x ∈，使2πsin(2)03x x m +-+<成立，所以只需当π[0,]2x ∈时，min π()()02f x f m ==+<，即2m <-． 9．【答案】C【解析】如图，连接BQ ，则由椭圆的对称性易得PBF QBF ∠=∠，EAB EBA ∠=∠， 所以EAB QBF ∠=∠，所以ME BQ ∥． 因为PME PQB ~△△，所以||||||||PE PM EB MQ =． 因为PBF EBO ~△△，所以||||||||OF EP OB EB =，从而有||||||||PM OF MQ OB =． 又因为M 是线段PF 的中点，所以||||1||||3c OF PM e a OB MQ ====．10．【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥A BCD -，F 为BD 的中点， 外接球球心O 在过CD 的中点E 且垂直于平面BCD 的直线l 上，又点O 到A ，B ，D 的距离相等，所以O 又在过左边正方体一对棱的中点M ，N 所在直线上， 在OEN △中，由NF MF NE OE =，即223OE=，得3OE =， 所以三棱锥A BCD -=V =11．【答案】A【解析】由2ce a==，得2c a =，b =，故线段MN 所在直线的方程为)y x a =+，又点P 在线段MN 上，可设()P m +，其中[,0]m a ∈-， 由1(,0)F c -，2(,0)F c ，即1(2,0)F a -，2(2,0)F a ，得1(2,)PF a m =--u u u r ，2(2,)PF a m =-u u u u r，所以222212313464()44PF PF m ma a m a a ⋅=+-=+-u u u r u u u u r ．由于[,0]m a ∈-，可知当34m a =-时，12PF PF ⋅u u u r u u u u r 取得最小值，此时21134)24S a a a =⨯-+=，当0m =，12PF PF ⋅u u u r u u u u r 取得最大值，此时22142S a =⨯=，所以214S S =．12．【答案】D【解析】由于()f x 是单调函数，则()x f x e x -+为定值， 不妨设()x f x e x t -+=，则()x f x e x t =-+．又()t f t e t t e =-+=，解得1t =，则()1x f x e x =-+，()1x f x e '=-，所以2xe x ax -≥，即21xe a x≤-． 设2()1x e g x x =-，则22(1)()x e x g x x-'=， 易知()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 则min ()(1)21g x g e ==-，所以21a e ≤-．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】116【解析】∵4π4π4111()cos 333326f 4-=-+=--=-，所以4π11()36f =． 14．【答案】0【解析】令1x =-，可得00a =；令1x =，可得2100296012100222(11)(11)0a a a a ++++=-+=L ， 所以2100121002220a a a +++=L ．15．【答案】2-【解析】因为函数()f x 为偶函数，且函数()f x 只有一个零点， 故(0)0f =，所以2a =-．16．【答案】8+【解析】如图，连接AC ，BD 交于点1O ，取AD 的中点为N ，连接PN ． 设四棱锥P ABCD -外接球的球心为O ，等边三角形PAD 外接圆的圆心为2O ， 则2O 为PAD △的重心，则22||||3PO PN =，正方形ABCD 外接圆的圆心为1O ． 因为PN AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PN ⊥平面ABCD ，所以1OO PN ∥， 所以四边形12OO NO 为矩形，所以21OO NO =．设正方形ABCD 的边长为2x ，则||PN =，所以2||PO =，2||OO x=， 所以四棱锥P ABCD -外接球的半径为2222227||||||3PO PO OO x =+=， 所以四棱锥P ABCD -外接球的表面积为228π3S x =球，四棱锥P ABCD -的体积为23143P ABCD V x x -=⨯=，所以P ABCD V S -=球，即7π7π=，解得1x =，所以正方形ABCD 的边长为2，所以PAD S =△，2PAB S =△，2PDC S =△，PCB S =△，4ABCD S =正方形，所以四棱锥P ABCD -的表面积为8O O 1DCBAN O 2P三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）23-；（2．【解析】（1）∵26sin cos sin 2A a B b A =，∴26cos 2A ab ba =，∴21cos 26A =， 故22cos 2cos123A A =-=-． （2）∵2222cos a b c bc A =+-，又a =，5b c +=，∴24221()22533b c bc bc bc =+-+=-，∴6bc =．由（1）可知sin 3A =，从而ABC △的面积1sin 2S bc A ==18．【答案】（1）0.76；（2）选择方案①更划算．【解析】（1）因为甲单位的优惠比例低于乙单位的优惠比例的概率为0.40.60.24⨯=， 所以甲单位的优惠比例不低于乙单位的优惠比例的概率为10.240.76-=． （2）设在折扣优惠中每籍零件的价格为X 元，则184X =或188．X 的分布列为则1840.61880.4185.6EX =⨯+⨯=．若选择方案②，则购买总价的数字期望为185.6650120640⨯=元．若选择方案①，由于购买600箱能获赠50箱，所以该单位只需要购买600箱， 从而购买总价为200600120000⨯=元．因为120640120000>，所以选择方案①更划算． 19．【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】（1）因为AD AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC ，平面ABD I 平面ABC AB =，AD ⊂平面ABD ，所以AD ⊥平面ABC ． 因为BC ⊂平面ABC ，所以AD BC ⊥．因为2AB BC AC ==，所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥． 因为AD AB A =I ，所以BC ⊥平面ABD ． （2）设(04)AD x x =<<，则4AB BC x ==-，四面体ABCD 的体积232111()(4)(816)(04)326V f x x x x x x x ==⨯-=-+<<．211()(31616)(4)(34)66f x x x x x '=-+=--，当403x <<时，()0f x '>，()V f x =单调递增；当443x <<时， ()0f x '<，()V f x =单调递减， 故当43AD x ==时，四面体ABCD 的体积取得最大值．以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系B xyz -，则(0,0,0)B ，8(0,,0)3A ，8(,0,0)3C ，84(0,,)33D ，44(,,0)33E ．设平面BCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0BC BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n ，即80384033x y z ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令2z =-，得(0,1,2)=-n ．同理可得平面BDE 的一个法向量为(1,1,2)=-m ，则cos ,6==m n ．由图可知，二面角C BD E --为锐角，故二面角C BD E --．20．【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，14λ=-，1AOB S =△．【解析】（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点1)2-，所以223114a b +=，c =，从而22224a b c b =+=．联立方程组222231144a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）设存在这样的常数λ，使12k k λ⋅=，AOB △的面积S 为定值． 设直线AB 的方程为y kx m =+，点11(,)A x y ，点22(,)B x y ， 则由12k k λ⋅=知12120y y x x λ-=，1212()()0kx m kx m x x λ++-=，所以221212()()0k x x km x x m λ-+++=①．联立方程组2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得222(14)8440k x kmx m +++-=．所以122814km x x k -+=+②，21224414m x x k-⋅=+③， 又点O 到直线AB的距离d =则AOB △的面积121||||||22m S AB d x x =⋅=⋅-= 将②③代入①得222222()(44)8(14)0k m k m m k λ---++=，化简得224()14k m λλ-=-⑤，将⑤代入④得22224222222422(41)4()(14)16()64(644)41()2(14)(41)1681(14)S k k k k k k k k λλλλλλλλ+⋅-----++-==⋅-+++-， 要使上式为定值，只需26464441681λλλ-+-==，即需2(41)0λ+=，从而14λ=-，此时21()24S =，1S =，所以存在这样的常数14λ=-，此时1AOB S =△．21．【答案】（1）()f x 的极大值为1(1)f e =，无极小值；（2）2(,)e +∞．【解析】（1）当1a =时，ln 1()xx f x e +=，所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 所以1ln ()xx x xf x xe--'=，且0x xe >， 令()1ln h x x x x =--，所以当01x <<时，10x ->，ln 0x x <，所以()1ln 0h x x x x =-->． 又()2ln h x x '=--，所以当1x >时，()2ln 0h x x '=--<， 所以()h x 在(1,)+∞上单调递减，故()(1)0h x h <=． 同理当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<， 所以()f x 在(0,1)是单调递增，在(1,)+∞单调递减，所以当1x =时，()f x 的极大值为1(1)f e =，无极小值．（2）令()()x m x xe f x ax =-，因为对任意12,(0,)x x ∈+∞都有11112()()xx e f x ax g x ->成立， 所以1min 2max ()()m x g x >．因为()()ln x m x xe f x ax x x =-=，所以()1ln m x x '=+．令()0m x '>，即1ln 0x +>，解得1x e >；令()0m x '<，即1ln 0x +<，解得10x e <<．所以()m x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增，所以min 11()()m x m e e ==-．因为()x g x xe a -=-，所以()(1)x g x x e -'=-，当0x >时0x e ->，令()0g x '>，即10x ->，解得01x <<；令()0g x '<，即10x -<，解得1x >．所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以max 1()(1)g x g a e ==-，所以11a e e ->-，所以2a e >，即实数a 的取值范围为2(,)e +∞．22．【答案】（1）3470x y --=，22(1)(2)1x y -++=；（2）2m =． 【解析】（1）由题意可得||1a =，故l 的参数方程为4131x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），消去参数t ，得l 的普通方程为3470x y --=， 消去参数θ，得C 的普通方程为22(1)(2)1x y -++=．（2）l '的方程为37()44y x m =+-，即34370x y m -+-=，因为圆C 上只有一个点到l '的距离为1，圆C 的半径为1，所以(1,2)C -到l '的距离为2， 即|3837|25m ++-=，解得2m =（1403m =-<舍去）．23．【答案】（1）(3,5)；（2）(,0)[1,)-∞+∞U ．【解析】（1）当1a =时，52,1()3,1425,4x x f x x x x -≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，故不等式()f x x <的解集为(3,5)．（2）∵()|||4||()(4)||4|f x x a x x a x a =-+-≥---=-， ∴44|4|1a a a a--≥-=， 当0a <或4a ≥时，不等式显然成立； 当04a <<时，11a≤，则14a ≤<． 故a 的取值范围为(,0)[1,)-∞+∞U ．。
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赣州市2020年高三年级摸底考试理科数学参考答案一、选择题1～5.BAACB ；6～10.ADBDC ；11～12.AB .提示：9.令1ln y x =，2y ax =，(0,)x ∈+∞显然在(0,1)x ∈函数没有三各公共点，故1ln ln y x x ==，111y a x x a '==⇒=，所以21y =，故切点为1(,1)a ，代入1ln y x =得1e a =，1ln 42ln 2y ==，函数过点(4,2ln 2)，2ln 2ln 242a ==，故范围为ln 21(,)2e .10.解法一：不妨设(2,0)a = ，(,)b x y = ，则由()3b b a ⋅-= 得22(1)4x y -+=，22(2)a b x y -=-+ 表示圆22(1)4x y -+=上的点到(2,0)的距离，故max3a b -= .解法二：由()3b b a ⋅-= 得23a b b ⋅=- ，2a = ，222222242(3)10a b a b a b b b b -=+-⋅=+--=- ，要a b - 最大，必须2b 最小，而2cos 30b a b θ-⋅-= ，即22cos 30b b θ--= ，解得2cos cos 3b θθ=++ ，min 121(cos 1)b θ=-+==- ，所以max3a b -= .11三角形1F MN 为直角三角形，故它的内切圆半径1112MF MN NF MF MN NF r +-+-==1212MF MN MN MF MF MF a b +---====，故离心力2e =12.①(2)sin()sin()2x f x x f x π-=-=-，所以成立；④(2)sin sin ()2x f x x f x π+=-=，故该函数为周期函数；②由④得，所以2π是()f x 的一个周期，不妨设02x π≤≤，则2()2sin cos 22x x f x =221cos cos 22x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2cos [1,1]t x =∈-，令()g t ()32t t =-，则()g t 递增区间是,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭递减区间是[1),(,1]33--，，()g t ∴的极大值为39g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(1)0g -=，所以最大值不为34.③当2(0,3x π∈时，1cos ,122x t ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，由②知，()g t 在该区间内有增有减，故不单调.正确结论的个数是2个．故选B ．二、填空题13．12；14．5；15．22142x y +=；16．23.16．分别取AD 和BC 的中点E 、F ，由,PA PD PB PC==知,PE AD PF BC ⊥⊥，又ABCD 是梯形，故EF ∥AB ，从而EF ⊥BC ，故BC ⊥平面PEF ，进而得PE ⊥BC ，而PE ⊥AD ，AD 与BC 相交，故PE ⊥平面ABCD ．由△PBC 的面积为得PF=，由222PF PE EF =+得42PE EF BC⋅≥，进而2PE EF BC ⋅⋅≤，所以1233V PE EF BC =⋅⋅≤．三、解答题17．解（1）由已知得，22sincos sin 2sin 2222A A A A +=…………………………………2分因为sin 02A ≠，所以1sin cos 222A A -=……………………………………………………4分两边平方得，3sin 4A =………………………………………………………………………6分（2）由sin cos 022A A ->得，tan 12A >，从而90A >︒…………………………………7分于是cos 4A =……………………………………………………………………………8分因为△ABC 的面积为1.5，所以4AB AC ⨯=………………………………………………9分由余弦定理得，BC =11分1=………………………………………………………………………………………12分（注：求出AB 和AC 的值给2分，写出余弦定理给1分）18．（1）因为90DAE AEF ∠=∠=︒且A 、D 、E 、F 四点共面，所以AD ∥EF又AD ⊄平面BCFE ，所以AD ∥平面BCFE …………………………………………………2分又平面ABCD 平面BCFE BC =，所以AD ∥BC …………………………………………3分因为BC AB ⊥，所以AD BC ⊥，又AD AE ⊥，所以AD ⊥平面ABE ………………5分而AD ⊂平面ABCD ，故平面ABE ⊥平面ABCD ……………………………………………6分（2）由AD BC CD ==和AD ∥BC ，BC AB ⊥可知，ABCD 是正方形…………………7分由AD ∥EF 及AD ⊥平面ABE 得，EF ⊥平面ABE ………………………………………8分又因为90AEB ∠=︒，所以平面BCFE ⊥平面ADFE ………………………………………9分从而直线CE 与平面AEFD 所成角就是CEF ∠……………………………………………10分因为△ABE 是等腰直角三角形，所以AB =在Rt △CBE 中，tan tan 2BE CEF ECB BC ∠=∠==……………………………………12分另解（建坐标系）（2）由AD BC CD ==和AD ∥BC ，BC AB ⊥可知，ABCD 是正方形………………7分如图建立空间直角坐标系，不妨设2AB =，则(0,1,0),(2,1,0),(0,0,1),(2,1,0)A D E C -(2,0,0),(0,1,1),(2,1,1)AD AE CE ==-=- …………………8分设平面AEFD 的法向量为(,,)x y z =n ，则由0,0AD AE ⋅=⋅= n n 得0,0x y z =-=，故令1z =，得(0,1,1)=n ………………10分设直线CE 与平面AEFD 所成角为θ，则||sin 3||||n CE n CE θ⋅== ，从而tan 2θ=………………………12分19．（1）过M 和N 分别作y 轴的垂线，垂足分别为1M 、1N ，则1||||2pMM MF =-1||||2pNN NF =-依题意知11||||2MM NN +=，即||||2MF NF p +-=……………2分于是，把||||4MF NF +=代入得2p =……………………………………………………4分（2）由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为(0)y kx m m =+<，代入抛物线方程得2440x kx m --=由0∆>得，20k m +>（*）…………………………………………………………………5分设1122(,),(,)A x y B x y ，则124x x m =-．由5OA OB ⋅= 得，12125x x y y +=，即21212(54x x x x +=…………………………………6分把124x x m =-代入得2450m m --=解得1m =-或5m =（舍去）……………………7分（ⅰ）于是直线l 恒过定点(0,1)Q -…………………………………………………………8分（ⅱ）由90FPQ ∠=︒知点P 在以FQ 为直径的圆上，该圆的方程为221x y +=……10分根据（*）得21k >，从而取圆在x 轴的上方部分，又直线l 的斜率存在，因此应剔除与y 轴的交点……………………………………………………………………11分故点P 的轨迹方程为221(0x y y +=>且1)y ≠……………………………………………12分20．（1）记事件C ：“丙受甲感染”，事件D ：“丁受甲感染”，则()0.6P C =，()0.2P D =X 的取值为1,2,3(1)()0.40.80.32P X P C D ==⋅=⨯=(2)()()0.60.80.40.20.56P X P C D P C D ==⋅+⋅=⨯+⨯=(3)()0.60.20.12P X P C D ==⋅=⨯=……………………………………………………3分所以X 的分布列为X123P 0.320.560.12…………………………………………4分10.3220.5630.12 1.8EX =⨯+⨯+⨯=……………………………………………………5分（2）（ⅰ）对于B 区，由2212(2)(2)y y -+-+…27(2)21y +-=知，2(2)21i y -≤（1,2,i =…,7），因为i y 是非负整数，所以|2|4i y -≤，即6i y ≤，所以6N ≤…………………………………………………6分当12,,y y …7,y 中有一个取6，有一个取2，其余取1时，6N =…………………………7分对于A 区，当1230x x x ===，4564x x x ===，79x =时，满足“总体均值为3，中位数4”，此时，9M =………………………………………………………………………………8分所以N M <……………………………………………………………………………………9分（ⅱ）当6N =时，12,,y y …7,y 只有两种情况：①有一个是6，有五个是1或3，有一个是2；②有一个是6，有一个是1或3，有一个是0或4，其余是2．对于①，共有1557621344C C ⨯=组…………………………………………………………10分对于②，共有11127652840C C C ⨯=组…………………………………………………………11分故共有2180组…………………………………………………………………………………12分21．（1）设直线149y x =+切曲线()y f x =于点00(,)x y 0.5()e 14x f x a a+'=+-所以000.50.500e 1414e (14)149x x a a a a x x ++⎧+-=⎪⎨+-=+⎪⎩………………………………………………………2分解得6a =，00.5x =-…………………………………………………………………………4分（2）0.5()6e 8x f x x+=+下证()149f x x +≥（(,2]x ∈-∞）记0.5()6e 69x g x x +=--，则0.5()6(e 1)x g x +'=-，令()0g x '=，得0.5x =-当0.5x <-时，()0g x '<；当0.5x >-时，()0g x '>．于是()g x 在(,0.5)-∞-上递减，在(0.5,2)-是递增，故()(0.5)0g x g -=≥，即()149f x x +≥…………………………7分再证32885149x x x -++≤（(,2]x ∈-∞）记32()88144h x x x x =---，则()2(21)(7)h x x x '=+-当0.5x <-时，()0h x '>；当0.52x -<<时，()0h x '<．于是()h x 在(,0.5)-∞-上递增，在(0.5,2)-是递减，故()(0.5)0h x h -=≤，即32885149x x x -++≤………………10分综上，不等式32()885f x x x -+≥在(,2]-∞上恒成立…………………………………12分第（2）问另证：记32()()885h x f x x x =-+-，则0.5()6e 8(31)(1)x h x x x +'=-+-①当0x ≤时，()h x '递增，且(0.5)0h '-=，所以()h x 在(,0.5)-∞-上递减，在(0.5,0)-上递增，故()(0.5)0h x h =≥……………………………………………………………………6分②当01x <≤时，()0h x '≥，此时()h x 在(0,1)上递增，所以()(0)50h x h >=>………………………………………………………………8分③当1x >时，记()()m x h x '=，则0.5()6e 4816x m x x +'=-+（()m x '的导数为0.56e 48x +-）设0.56e 480x +-=的根为0x ，易知0 1.5x >，()m x '在0(1,)x 上递减，在0(,)x +∞上递增，00.5000()6e 481616(43)0x m x x x +'=-+=-<………………………………………………9分而(1)0m '<，(2.5)0m '>，所以()0m x '=在1x >时只有一个根1(1.5,2.5)x ∈因此()h x '在1(1,)x 上递减，在1(,)x +∞上递增，故22111111()()48168(321)8(381)2h x h x x x x x x ''=----=--+>≥…………………10分从而()h x 在(1,)+∞上递增，所以()(1)0h x h >>…………………………………………11分综上，不等式32()885f x x x -+≥在(,2]-∞上恒成立…………………………………12分（注：在①②中按13x ≤和113x <≤讨论也行）22.（1）设动圆C 的圆心坐标为(,)x y ，则2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩……………………………2分消去参数θ得，得1C 的方程为22184x y +=…………………………………………………3分直线l 的直角坐标方程为0x m -=…………………………………………………4分（2）设,2sin )M θθ，MN 的最小值等于点M 到直线l 的距离的最小值点M 到直线l 的距离|||)|22m m d θθθϕ--+-==………5分因为d 的最小值不为0，所以||m >……………………………………………………7分当m >时，min 2m d -=，则12m -=，解得1)m =………………8分当m <-时，min 2m d =-，则12m +-=，解得1)m =-………9分综上，1)m =±………………………………………………………………………10分23.（1）由1a b c ++=得，2222()1a b c ab bc ca +++++=…………………………2分因为222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥，所以222a b c ab bc ca ++++≥……………………………………………………………4分从而22212()3()a b c ab bc ca ab bc ca =+++++++≥，即13ab bc ca ++≤………5分（2）222222()()()222a b c a b c a b c b c a a b c b c a b c a+++++=+++++++≥………7分所以2221a b c a b c b c a++++=≥（当且仅当13a b c ===时取“=”号）……………9分从而1t ≤，故t 的最大值为1………………………………………………………………10分（注第（2）要指明等号成立的条件，未指的扣1分）。