解三角形的进一步讨论

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三角形解的个数的进一步讨论

龙源期刊网三角形解的个数的进一步讨论作者：刘振龙来源：《新课程·教师》2016年第03期在学习了正弦定理、余弦定理之后，学生经常对如何判断三角形解的个数而烦扰。

结合初中全等三角形的判定定理，若已知三角形的三边（且符合任意两边之和大于第三边）、两边一夹角、两角一边，则该三角形有唯一解。

但是如果已知三角形的两边及其中一边的对角时，解的情况又如何呢？普通高中课程标准实验教科书《数学必修5》在第8页到第9页的“探究与发现《解三角形的进一步讨论》”中有详细的说明（此处略），但分类种数较多，学生容易混淆结论，故在实际操作中仍存在很多困惑。

因此，针对学生的具体学情，笔者以课堂实例为依托，对已知“两边一对角”的三角形解的个数问题进行多种方法的探究讨论。

方法二：画圆找交点解：由于角A为已知角，故先画出角A，在角A的其中一边上确定顶点C，使得AC=24，即b=24，接着以点C为圆心，a=18为半径画圆，观察所画得的圆与角A的另一边出现的交点个数（交点即为三角形的顶点B），若没有交点，则说明该三角形无解；若只有一个交点，则说明该三角形解的个数为1个；若有两个交点，则说明该三角形解的个数为2个。

如图所示，以C为圆心，为半径所画得的圆与角A的另一边交于B1，B2两点，故该三角形有两解。

在判断交点个数时，可利用半径a与过点C作射线AB1的垂线段CH的长度大小进行对比：若a数学教学活动中，不断渗透、总结相关的数学思想并有效地理解掌握，对于寻找解题途径和提高解题能力具有重大意义。

上述方法体现了数学学习中常见的分类讨论思想、数形结合思想、化归思想等多种数学思想。

当面临问题时，先思考该问题所属类别，尽可能多地联想解决此类问题所能包含的各种数学思想，选择其中一种或多种思想予以解决。

所以，平时注重对数学思想的认识归纳和掌握，对于提升认识并解决问题的能力大有益处。

编辑尹军。

解三角形的进一步讨论教学设计

解三角形的进一步讨论——教学设计一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（5）》（人教A版）第一章第一节第三课（1.1.3）《正、余弦定理及其应用》。

根据我所任教的学生的实际情况，我将《正、余弦定理及其应用》划分为三节课（正弦定理、余弦定理、解三角形的进一步讨论），这是第三节课“解三角形的进一步讨论”。

正余弦定理是解三角形的重要工具，是三角函数的重要应用，是在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以正余弦定理应重点研究。

二、学生学习况情分析解三角形是在学生系统学习了正余弦定理，基本掌握了正余弦定理的各种变型形式的基础上进行研究的，是学生对正余弦定理的第一次应用。

教材在之前的学习中给出了实际例子，已经让学生感受到正余弦定理的实际背景。

本节课先设计一个看似简单的问题，通过不同的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。

三、设计思想1. 正余弦定理在解三角形中占有很重要的位置。

如何突破这个即重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望――持久的好奇心。

从实际实例出发，逐步体会不同情形下产生的不同结果，从看似杂乱的现象中发现规律、总结规律，形成直观、快速、准确的判断方法。

本节课，力图让学生从不同的角度去研究解三角形，对解三角形进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到一般规律，让学生去体会这种的研究方法,以便能将其迁移到其他现象的研究中去。

2.在本课的教学中我努力实践以下两点：（1）在课堂活动中通过恰当的游戏式引入，让学生快速进入情景，迅速进入节奏。

（2）在教学过程中努力做到知识节点环环相扣、逐步深入，注重生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。

（3）通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。

页 1 第四、教学目标根据任教班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：知过程与方法：正余弦定理在解三角形中的应用讨论；识与技能：讨论总结，讲练结合；让学生体会数学中多角度看问题的思维，情感态度与价值观：使学同时通过本节课的学习，在数学活动中感受数学思想方法之美；合作交流的培养学生主动学习、生获得研究数学问题的规律和方法；意识。

1.1.3 解三角形的进一步讨论

1．1．3 解三角形的进一步讨论三维目标一、知识与技能1．掌握已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；2．三角形各种形状的判定方法；3．三角形面积定理的应用．二、过程与方法通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．三、情感态度与价值观通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系．教学过程一、情境导入1、回顾一下正、余弦定理的内容正弦定理：；余弦定理：2、正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系，运用定理可以进行边与角之间的转换．这一节，我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在判断三角形形状和证明三角恒等式时的应用．二、新课探究1、思考在△ABC中，已知A=22cm，B=25cm，A=133°，解三角形．阅读课本第9页解答过程并思考．从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形．下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题．2、探究分析探究一在△ABC中，已知A，B，a，讨论三角形解的情况．师：分析：先由可进一步求出；则，从而．一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况．1．当A为钝角或直角时，必须a＞b才能有且只有一解；否则无解．2．当A为锐角时，如果a≥b，那么只有一解；如果a＜b，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若a＞bsinA，则有两解；（2）若a=bsinA，则只有一解；（3）若a＜bsinA，则无解．注意：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且bsinA＜a＜b时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．（1）A为直角或钝角（2）A为锐角探究二在△ABC中，已知a=7，b=5，c=3，判断△ABC的类型．分析：由余弦定理可知a2=b2+c2A是直角△ABC是直角三角形，a2＞b2+c2A是钝角△ABC是钝角三角形，a2＜b2+c A是锐角△ABC是锐角三角形。

人教版高中数学必修五第一章《解三角形的进一步讨论-解三角形中的一类倍角问题》教学设计

解三角形的进一步讨论——解三角形中的一类倍角问题1．教学内容解析“正弦定理和余弦定理”是高中数学必修5中“解三角形”的一节内容．本节教学内容与前后知识联系紧密，涉及多种数学思想方法，主要工具是正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和三角形内角和定理，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中边角之间的数量关系．有些问题的求解还会用到三角函数中的和、差角公式和二倍角公式．根据问题的不同类型和不同形式，广泛联想、合理选择、灵活运用公式是求解问题的关键．2．教学目标设置教学目标：(1)掌握并熟练运用正弦、余弦定理转化三角形中的边角关系；(2)理解三角形中有关边角关系的几何意义，如cos a B 、sin b A 、22a b bc 、2A B ，并对以此为背景的试题进行深入的探究，理解其数学本质；(3)通过对问题背景与变式探究学习，激发学生参与数学活动的兴趣与热情．教学重难点：(1)能够熟练运用正弦、余弦定理转化三角形中的边角关系；(2)理解三角形中有关边角关系的几何意义，如cos a B 、sin b A 、22a b bc 、2A B ，探究其数学本质．3．学生学情分析学生通过必修5的学习，已了解正弦和余弦定理的内容，但如何合理选择、灵活运用定理解决解三角形综合问题，怎样合理选择定理进行边角关系转化进而解决三角形综合问题，还需通过复习指导有待进一步提高．4．教学策略分析(1)问题引入，激发求知欲望(2)广泛联想，挖掘数形背景(3)分析例题，落实核心知识(4)重视应用，培养实践能力设计思路：(1)重视教学各环节的合理安排；(2)重视多种教学方法有效整合，以小组讨论、讲练结合、分析引导、变式训练、扩展训练等多种方法贯穿整个教学过程；(3)重视提出问题、解决问题策略的指导．在教学中引导学生发现问题、提出问题，并指导学生掌握观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等解决问题的科学思维方法．5．教学过程过程问题驱动下的教学设计（1）问题引入【引题】人教A 版必修五第25页B 组练习3：研究一下，是否存在一个三角形具有以下性质：（1）三边是连续的三个自然数；（2）最大角是最小角的2倍．【设计意图】通过引题的解决，回顾正弦定理和余弦定理的内容，初步体问题引入揭示本质变式探究探究不止知识重建会通过三角恒等变换和正、余弦定理实现三角形边角关系转化，从而求解三角形的作用．【提问】一般地，在ABC中，由等式2B A可以得到什么结论?（2）问题探究揭示本质【探究一】一般地，在ABC中，由等式2B A可以得到什么结论?它具有什么代数特征呢？【设计意图】通过发散性探究，学生能够体会正、余弦定理在转化三角形边角关系中的作用，以及在解三角形的过程中三角恒等变换的作用．在问题的解决过程中，引导学生发现等式2B A的代数特征．【提问】反之是否成立呢？【探究二】一般地，在ABC中，若22b a ac，则2B A．【设计意图】通过探究，进一步体会正、余弦定理在转化三角形边角关系中的作用．同时，通过两次探究，我们得到了一个重要的推论：一般地，在ABC中，222a b bc A B．并能利用正弦定理和余弦定理证明该推论，感受正弦定理和余弦定理的内在联系．【提问】在ABC中，222a b bc A B，这个代数恒等式具有怎么样的几何意义呢？【设计意图】引导学生发现其几何背景，从几何角度看清问题本质，感受在三角形中的数与形的统一性，培养数学抽象与数形结合的能力，了解此类问题的命题策略，（3）应用探究尝试解决【练习】在ABC中，,,a b c分别为角,,A B C所对的边，已知B C A，且2,4,8B A c a b，求,a b的值．【设计意图】通过微调题目条件，增加了思维容量，培养学生综合运用正弦定理和余弦定理的能力，并在问题的解决过程中，引导学生体会等式2B A的代数特征．【高考链接】（2019年高考北京卷（理））在ABC中，,,a b c分别为角,,A B C 所对的边，若3,26,2a b B A．(I)求cos A的值； (II)求c的值．【高考链接】（2019年浙江高考）在ABC中，内角,,A B C所对的边分别为,,a b c．已知2cosb c a B．（I）证明：2A B；（II）若ABC的面积2=4aS，求角A的大小．【设计意图】进一步熟悉正弦、余弦定理，注重推论的应用性，引导学生落实核心知识，培养实践能力．（4）直通自招探究不止（2019上海交大自招）是否存在三边长为连续自然数的三角形，使得(1)最大角是最小角的两倍；(2)最大角是最小角的三倍．若存在，求出该三角形；若不存在，请说明理由．【探究三】一般地，在ABC中，由等式3B A可以得到什么结论?它具有什么代数特征和几何意义呢？【设计意图】体会推论应用的广泛性，培养学生数学抽象，逻辑推理，数学运算等能力，树立用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界的数学核心素养．（5）自主命题总结反思【学生命题】以三角形中有关边角关系的几何意义为背景，如cosa B、sinb A、22a b bc、2A B（或者其它自选），命制一道解答题．【学生归纳】1．正弦定理、余弦定理体现了三角形中边与角存在的一种内在联系，其主要作用是将已知的边、角互化或统一；2．理解三角形中有关边角关系的几何意义，如cosa B、sinb A、22a b bc、2A B，掌握此类问题的“源”与“流”；【设计意图】学生通过归纳，回顾自己在本节课所学得知识要点与思想方法，并与同学，老师交流，完善知识结构与思维方式；通过自主命题，旨在引导学生与命题者对话，加深对问题本质的理解，拓展探究学习的维度．（6）作业布置1．书本P25 B组练习3；2．小组合作完成探究三；3．以三角形中有关边角关系的几何意义为背景命制一道解答题．。

三角形解题技巧探讨

三角形解题技巧探讨标题：三角形解题技巧探讨引言：三角形作为几何学中的基本形状之一，在解题过程中经常出现。

本文将探讨一些三角形解题的技巧，帮助读者更深入地理解三角形的性质和应用。

文章将从简单的概念出发，逐步深入，为读者提供对三角形解题的全面指导。

第一部分：三角形基本概念在解题之前，我们首先需要了解三角形的基本概念。

介绍三角形的定义、性质，以及常见的分类（等腰、等边、直角等）。

也需要提及三角形的内角和外角之间的关系，以及三角形的重心、外心、垂心等特殊点的意义和应用。

通过对这些基本概念的详细介绍，读者可以更好地理解后续解题中所使用的相关概念和定理。

第二部分：三角形解题的基本方法在此部分，我们将介绍一些常用的解题方法和技巧。

我们将探讨角的性质在三角形解题中的应用。

通过列举一些典型的例题，说明如何利用角的性质推导出准确的解答。

我们会着重讲解三角形的边长关系，并介绍边长比例、相似三角形、勾股定理等相关知识。

这些方法可以帮助读者在解题过程中找到合适的路径，从而得出正确的答案。

第三部分：进阶解题技巧在掌握了基本方法之后，我们将进一步讨论一些较为复杂的解题技巧。

这些技巧包括如何利用三角相似性质解决几何问题，如何运用正弦、余弦和正切的关系求解三角形的边长和角度等。

我们还将介绍一些特殊三角形的性质，如等腰直角三角形、等边等腰三角形等，以及它们在解题中的应用。

总结：通过本文的讨论，读者应该对三角形解题技巧有了更全面、深刻和灵活的理解。

我们从三角形的基本概念出发，逐步介绍了解题的基本方法和进阶技巧。

希望读者可以通过学习和应用这些技巧，提高解决三角形问题的能力，并在其他几何题目中能够得心应手。

作者观点和理解：个人认为，三角形的解题过程并不复杂，关键在于理解和掌握相关的性质和方法。

通过熟练应用基本概念和技巧，可以在解题过程中省时、省力、准确地得出答案。

对于一些复杂的题目，需要主动思考和拓展解题思路，灵活运用所学知识，从而得出更精确的结论。

解三角形问题的6种突破方法,收藏起来

解三角形问题的6种突破方法,收藏起来解三角形问题的6种突破方法在解决三角形问题时，我们常常遇到各种困难和障碍。

为了能够更好地解决这些问题，我们需要采取一些突破方法来提高解题的效率和准确性。

本文将介绍六种突破方法，帮助读者更好地解决三角形问题。

方法一：角度追踪法角度追踪法是一种通过确定三角形内的特定角度来解决问题的方法。

当我们遇到三角形问题时，首先要测量和计算已知角度的大小，然后根据这些已知角度的关系来推导出其他未知角度的数值。

通过角度追踪法，我们可以准确地计算三角形内各个角度的大小，从而更好地解决问题。

方法二：辅助线引入法辅助线引入法是一种通过引入辅助线来简化问题的方法。

当我们遇到复杂的三角形问题时，可以尝试在三角形内部或者外部引入一条辅助线，从而将原始问题转化为更简单的几何关系。

通过巧妙地选择辅助线的位置和方向，我们可以更好地理解和解决三角形问题。

方法三：相似三角形法相似三角形法是一种通过找到相似三角形的性质来解决问题的方法。

当我们遇到复杂的三角形问题时，可以通过发现三角形之间的相似性质，从而简化问题的求解过程。

通过利用相似三角形的边比例关系和角度对应关系，我们可以更准确地求解三角形的各个边长和角度。

方法四：三角函数法三角函数法是一种通过应用三角函数的性质来解决问题的方法。

在解决三角形问题时，我们可以利用正弦、余弦和正切等三角函数的定义和性质，从而求解未知的边长和角度。

通过运用三角函数的计算公式和特性，我们可以更快速和准确地解决各类三角形问题。

方法五：平行线法平行线法是一种通过找到平行线的性质来解决问题的方法。

在解决三角形问题时，我们可以利用平行线的特性来推导和求解三角形的各边和角度。

通过巧妙地运用平行线的定理和性质，我们可以更好地理解和解决三角形问题。

方法六：向量法向量法是一种通过引入向量的概念来解决问题的方法。

当我们遇到复杂的三角形问题时，可以将三角形的边和角表示为向量的形式，然后运用向量的运算法则来解决问题。

《解三角形的进一步讨论》教学设计

《解三角形的进一步讨论》教学设计一、教学目标〔一〕知识与技能：正余弦定理在解三角形中的应用争论〔二〕过程与方法：争论总结，讲练结合〔三〕情感立场与价值观：体会数学中多角度看问题的思维，让同学在数学活动中感受数学思想方法之美;使同学获得讨论数学问题的规律和方法;培育同学主动学习、合作沟通的意识。

二、教学重点与难点教学重点：正余弦定理的应用教学难点：判断三角形解的个数三、教学过程：〔一〕课前游戏导入师：第一组快速回答非常角的正弦值：在30?，45?，60?，90?，120?，135?，150?中随机选，让同学快速回答;第二组快速回答非常角的余弦值：在30?，45?，60?，90?，120?，135?，150?中随机选，让同学快速回;第三组快速回答非常角的正弦或余弦值：在30?，45?，60?，90?，120?，135?，150?中随机选，让同学快速回答;师：大家回忆下三角形中的边角关系：生：A+B+C=180?师：〔2〕边与边之间的关系：生：a+bc;a-bc师：〔3〕边与角之间的关系：生：大边对大角，正弦定理，余弦定理。

〔二〕师生互动、探究新知正弦定理的其他表示形式：师：从方程的思想看，四个量的方程中可以“知三解一”，从而求出B。

让同学思索以下问题：在直角三角形ABC中，已知a=3，b=3，A=30°，求角B？师：sinB等于多少？那么B等于多少？满意题目要求的三角形有几个？练习1：在三角形ABC中，b=20，A=60°，a=20，求B师：这两个解都对吗？为什么？怎样才能避开出错呢？生：解出答案后要记得验证。

师：在上例中，将已知条件改为以下几种状况，再求角B，结果如何？〔1〕a=15，b=20，A=60°〔2〕a=10，b=20，A=60°师：思索：已知两边和其中一边所对的角，争论求三角形的解的状况？师：判断在以下条件下，三角形解的个数：〔1〕.a=20，b=25，A=120 〔2〕a=20，b=12，A=135°〔3〕.a=20，b=25，A=90°〔4〕.a=20，b=12，A=90°师、生：当A为直角或钝角时，分析如上。

三招破解三角形解的个数问题

第 1 页共 2 页三角形解的个数问题学了正、余弦定理后，不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼．知道3边，2角1边，2边及其夹角时不会出现两解；在已知三角形的两边及其中一边的对角(即“边边角”）的条件下解三角形时，解的个数有几个呢?一解，二解还是无解?《必修5》在第8页到第9页的“探究与发现”《解三角形的进一步讨论》有详细说明．即在已知ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理求出sin B 的值， ①若该值大于1,与sin 1B ≤矛盾，则无解；②若该值小于或等于1，则要考虑a ，b 的大小关系及A 为锐角还是钝角：若A 是钝角,且该值小于1，则有1解,若该值等于1，则无解;若A 是锐角,且b a >，则有1解;若b a <，且该值小于1,则有2解；b a <，且该值等于1，则有1解．但分类层次多，分类种数多，注重形，又指定边角，不易被学生所接受．即本节能理解，操作应用起来也很不方便．下面提供“几招"供同学们选择，希望能帮助同学们顺利破解．第一招：大角对大边在已知ABC ∆中的边长a ,b 和角A ,且已知a ，b 的大小关系,常利用正弦定理结合“大边对大角” 来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B 与角A 的大小关系,然后求出B 的值,根据三角函数的有界性求解．【例1】在ABC ∆中，已知a =b =45B =︒，求A 、C 及c ．解：由正弦定理，得sin sin a B A b ===4590B =︒<︒，b a <，∴60A =︒或120︒．当60A =︒时，75C =︒，sin 75sin sin 452b Cc B ︒===︒; 当120A =︒时,15C =︒,sin sin sin 452b Cc B ︒===︒．点评：在三角形中,sin sin a b A B A B >⇔>⇔>这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘．第二招：二次方程的正根个数一般地,在ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，常常可对角A 应用余弦定理，并将其整理为关于c 的一元二次方程2222cos 0c bc A b a -+-=，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解．【例2】如图,在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥，10AD =，14AB =，60BDA ∠=︒，135BCD ∠=︒，求BC 的长．解:在ABD ∆中，设BD x =，由余弦定理得2221410210cos60x x =+-⋅︒,整理得210960x x --=，解得16x =．由正弦定理,得sin 16sin30sin sin135BD CDB BC BCD ∠︒===∠︒ 点评:已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出，利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷．第三招：画圆法已知ABC ∆中，A 为已知角（90≠︒),先画出A ，确定顶点A ，再在A 的一边上确定顶点C ，使AC 边长为已知长度，最后以顶点C 为圆心,以CB 边长为半径画圆，看该圆与A 的另一边是否有交点，如果没有交点,则说明该三角形的解的个数为0；若有一个交点,则说明该三角形的解的个数为1；若有两个交点，则说明该三角形的解的个数为2．【例3】在ABC ∆中，60A ∠=︒，a =3b =,则ABC ∆解的情况（）（A ）无解 (B)有一解 (C)有两解（D ）不能确定解:在A 的一边上确定顶点C ,使3AC b ==，作60CAD ∠=︒，以顶点C 为圆心,以CB a ==,看该圆与AD 没有交点, A BC D A b C a D则说明该三角形的解的个数为0，故选A．第 2 页共 2 页。

解三角形的进一步讨论

解三角形的进一步讨论●教学目标知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。

情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。

●教学重点在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

●教学难点正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

●教学过程Ⅰ.课题导入[创设情景]思考：在∆ABC 中，已知22a cm =，25b cm =，0133A =，解三角形。

（由学生阅读课本第9页解答过程）从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。

下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。

Ⅱ.讲授新课[探索研究]例1．在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况分析：先由sin sin b A B a =可进一步求出B ；则0180()C A B =-+ 从而sin a C c A= 1．当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解。

2．当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解；如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sin a b A >，则有两解；（2）若sin a b A =，则只有一解；（3）若sin a b A <，则无解。

（以上解答过程详见课本第9 10页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且 sin b A a b <<时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

1.3解三角形的进一步讨论

1.1.3 解三角形的进一步讨论三维目标一、知识与技能1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；2.三角形各种形状的判定方法；3.三角形面积定理的应用．二、过程与方法通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．三、情感态度与价值观通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系．重难点教学重点1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；2.三角形各种形状的判定方法；3.三角形面积定理的应用．教学难点1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求；3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．教具准备投影仪、幻灯片第一张:课题引入图片(记作1．1．正弦定理:R CcB b A a 2sin sin sin ===；余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bcco s A ,b 2=c 2+a 2-2caco s B ,c 2=a 2+b 2-2abco s C ，bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+= ,abc b a C 2cos 222-+=第二张:例3、例4(记作1．1．B[例3]已知△ABC , BD 为角B 的平分线,求证: AB ∶BC ＝AD ∶DC[例4]在△ABC 中,求证:a 2sin2B +b 2sin2A =2ab sin C第三张:例5(记作1．1．[例5]在△ABC 中,bco s A =aco s B ,试判断三角形的形状教学过程导入新课师前面两节课,我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容,并且接触了利用正、余弦定理解三角形的有关题型.下面,我们先来回顾一下正、余弦定理的内容 (给出幻灯片 1.1.3A ).从幻灯片大体可以看出,正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系,运用定理可以进行边与角之间的转换,这一节,我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在判断三角形形状和证明三角恒等式时的应用推进新课思考：在△ABC 中，已知A =22c m ，B =25c m,A =133°，解三角形．（由学生阅读课本第9页解答过程）从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形．下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题．【例1】在△ABC 中，已知A ,B ,A ，讨论三角形解的情况师分析：先由a A b B sin sin =可进一步求出B ；则C =180°-(A +B ),从而ACa c sin sin =一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况．1.当A 为钝角或直角时，必须a ＞b 才能有且只有一解；否则无解．2.当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解；如果a ＜b ，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若a＞b sin A，则有两解；（2）若a=b sin A，则只有一解；（3）若a＜b sin A，则无解．（以上解答过程详见课本第9到第10页）师注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且b sin A＜a＜b 时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．（1）A为直角或钝角（2）A为锐角【例2】在△ABC中，已知a =7,b=5,c =3，判断△ABC的类型．分析：由余弦定理可知a2=b2+c2⇔A是直角⇔△ABC是直角三角形，a2＞b2+c2⇔A是钝角⇔△ABC是钝角三角形，a2＜b2+c⇔A是锐角/△ABC是锐角三角形。

1.1.3--解三角形的进一步讨论

Ｃ b Ａ
a < bsinA
Ｃ
a
Ｃ
a
Ｃ a Ａ B1
a≥b 即 sinB < 1 且B < A 一解
b Ａ
b
B2
b
a
ＢＡ
Ｂ
a = bsinA
bsinA < a < b 即 sinB < 1 且B > A
即sinB > 1 即sinB = 1
无解
一解
两解
2. A为钝角
Ｃ
b
a
Ｃ
b
a
a≤b
无解
Ａ
a>b 一解
又b < a，∴ B < A，∴ B = 30°有一种结果；
b sin A （2）sin B = =1 a
∴ B = 90°，有一种结果
（3）sin B = b sin A = 2 3 1 ∴ 此时无解 a 3
一、三角形解的个数的判定已知边a, b和角A,求其他边和角的各种类型的图示．
b sin A 法1.A为锐角 sin B = a
解三角形的进一步讨论及应用
引例:以下∆ABC中∠B的结果各有几种 C 1. b = 20, A = 60, a = 20 3 ； b 2. b = 20, A = 60, a = 10 3 ； 60° A 3. b = 20, A = 60, a = 15
B
b sin A 1 解：（1）sin B = = a 2
为a、b、c，且asinAsinBbcos2A =
b (1)求 ; a
2a，
(2)若 c 2 = b2 3a 2 , 求B. 【审题指导】（1）利用正弦定理化简上式，从而求得 b

高考冲刺-解三角形的进一步讨论课件

C
b sin A 2 3 解： sin B 1, a 3
∴ 无解.
b=20 a=15
A
60
（2） b＝20，A＝60°，a＝10 3
b sin A 解： sin B 1 a
C
所以B＝90°.
B A
难点剖析
思考：已知两边和其中一边所对的角，讨论求三
角形的解的情况？
b sin A 当A为锐角时，可利用正弦定理 sin B 进行讨论： a (1)如果sin B 1, 则问题无解;
4.设 ABC的内角A、B、C所对的边分别是a, b, c，若b cos C +c cos B=a sin A,则 ABC的形状为（） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定
4.解法1：依据题设条件的特点，由正弦定理得 sin B cos C cos B sin C sin 2 A 有 sin B C sin 2 A, 从而 sin B C sin A= sin A
2
4.解法2：依据题设条件，由余弦定理得 a 2 b2 c2 a 2 c2 b2 b c a sin A 2ab 2ac a 2 b2 c2 a 2 c 2 b2 即 + =a sin A 2a 2a a 2 b 2 c 2 +a 2 c 2 b 2 即 =a sin A 2a 即a =a sin A sin A 1, A
解：b是最大边，所有B是最大角 a 2 c2 b2 13 cos B 0 2ac 35 所有B是钝角，ABC为钝角三角形
随堂练习3：一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为（B）
A、1，2，3 B、2，3，4 C、3，4，5 D、4，5，6

1.1.3解三角形的进一步讨论

1.1.3解三⾓形的进⼀步讨论1.1.3 解三⾓形的进⼀步讨论【学习⽬标】1.掌握已知三⾓形的两边及其中⼀边的对⾓时对解个数的讨论； 2.三⾓形各种形状的判断⽅法；【学习重难点】1.已知三⾓形的两边及其中⼀边的对⾓时对解个数的讨论；2.正弦、余弦定理的综合运⽤；⼀、情景问题：我们在解三⾓形时可以会出现⼀些我们预想不到的结果，现在请⼤家思考下⾯问题：在ABC ?中，已知 133,25,22===A cm b cm a ，解三⾓形。

⼆、探索研究：问题：在ABC ?中，已知A b a ,,，讨论三⾓形解的情况，并画图表⽰。

讨论1：当A 为钝⾓时三⾓形解的情况：讨论2：当A 为锐⾓时三⾓形解的情况：结论：；三、解题研究：例1：在ABC ?中，已知 45,100,80===A b a ，讨论三⾓形解的情况；例2：在ABC ?中，已知 45,2,===B b x a ，如果利⽤正弦定理解三⾓形时有两解，求实数x 的取值范围。

例3：在ABC ?中，已知3,5,7===c b a ，判断三⾓形的类型。

对于上述问题你有什么结论吗？变式训练：1.在?ABC 中，已知sin :sin :sin ::A B C =654，试判断△ABC 的形状；2.在△ABC 中，已知⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosB ＋ccosC ＝acosA ，试判断△ABC 的形状。

例4：设2,1,++x x x ，是钝⾓三⾓形的三边长，求实数x 的取值范围。

变式训练：已知锐⾓三⾓形的三边长为：2，3，x ，求实数x 的取值范围。

四、尝试⼩结：五、课后作业：P11 B 组T2 六、课后练习：1.在?ABC 中，c o s c o s s i n s i n A B A B >，则ABC 是： A.锐⾓三⾓形 B.直⾓三⾓形 C.钝⾓三⾓形 D.正三⾓形2.在?ABC 中，A 、B 均为锐⾓，且cos sin A B >，则?ABC 是_________3.在△ABC 中，∠A ，∠B 的对边分别为a,b ，且∠A=60°，4a b =，那么满⾜条件的△ABC ：A.有⼀个B.有两个C.不存在D.不能确定个数 3.设A 是△ABC 中的最⼩⾓，且1cos 1a A a -=+，则实数a 的取值范围是：A.a ≥3B.a ＞－1C.－1＜a ≤3D.a ＞04.关于x 的⽅程22cos cos cos 02C x x A B -??-=有⼀个根为1，则△ABC ⼀定是： A.等腰三⾓形 B.直⾓三⾓形 C.锐⾓三⾓形 D.钝⾓三⾓形5.钝⾓三⾓形的三边长为2,1,++a a a ，其最⼤⾓不超过0120，则a 的取值范围是：A ．30<323<≤a C ．32≤51<≤a6.在△ABC 中，已知cos 2B+cos 2C=1+cos 2A,sinA=2sinBcosC, cosC=sinB.求证：△ABC 是以A 为直⾓顶点的等腰直⾓三⾓形.7.根据下⾯条件判断，已知形状在ABC ?中，有)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+。

北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》之解三角形的进一步讨论

第三课时§ 2． 1．3 解三角形的进一步议论一、教课目的1、知识与技术：掌握在已知三角形的两边及此中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情况；三角形各样种类的判断方法；三角形面积定理的应用。

2、过程与方法：经过指引学生剖析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形相关性质求解三角形问题。

3、感情态度与价值观：经过正、余弦定理，在解三角形问题时交流了三角形的相关性质和三角函数的关系，反应了事物之间的必定联系及必定条件下互相转变的可能，进而从实质上反应了事物之间的内在联系。

二、教课要点：在已知三角形的两边及此中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情况；三角形各样种类的判断方法；三角形面积定理的应用。

教课难点：正、余弦定理与三角形的相关性质的综合运用。

三、教课方法：探析概括，讲练联合四、教课过程Ⅰ. 课题导入[ 创建情况] 思虑：在ABC中，已知a22cm，b25cm， A1330，解三角形。

（由学生阅读课本第9 页解答过程）此后题的剖析我们发现，在已知三角形的两边及此中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情况。

下边进一步来研究这类情况下解三角形的问题。

Ⅱ . 探析新课[ 探究研究 ] ：例 1．在ABC中，已知a,b,A，议论三角形解的状况剖析：先由 sin B b sin A可进一步求出 B；a则C 1800 (A)进而ca sin CB A1．当 A 为钝角或直角时，一定 a b 才能有且只有一解；不然无解。

2．当 A 为锐角时，假如 a ≥b，那么只有一解；假如 a b ，那么能够分下边三种状况来议论：（1）若a b sin A，则有两解；（2）若a b sin A，则只有一解；（3）若 a b sin A ，则无解。

（以上解答过程详见课本第9: 10 页）评论：注意在已知三角形的两边及此中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且b sin A a b 时，有两解；其余状况时则只有一解或无解。

三角形集体备课讨论发言记录

三角形集体备课讨论发言记录时间：学科：年级：中心发言人：缺席人员：无研讨内容：本节课是认识三角形的开始，是为以后学习三角形打基础，三角形三边的关系在以后的学习中也会经常用到。

围绕三角形的概念开展自学，培养学生的自学能力。

围绕三角形三边的关系开展探究，以提高学生操作、探究、归纳、表达的能力。

研讨效果：我在教学的中重视学生识图能力的培养，让学生用小组合作交流来得出三角形三边的关系。

有意识地培养学生探索归纳有能力。

鼓励学生通过动手操作得出三角形的边的性质。

参与教师议课：1.首先，在这节课的课堂教学中，学生的数学学习内容都是学生们熟知的或身边的事实，是现实的、有意义的、富有挑战性，这些内容有利于学生联系实际。

2.主动进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，学生的数学学习活动不同于过去学习函数知识初步时的单纯依赖模仿和刻板记忆，而是在动手实践自主探索与合作交流中，感悟两变量间的对应关系，初步形成函数的思想，学生是乐于参加这种学习活动的。

3.其次在这节课的课堂教学中，教师的角色发生了转变，由过去那种课堂教学的主宰转变为学生学习活动的组织者、引导者和合作者，让学生充当数学学习的主人.4.通过创设问题情境，以生活中的“温度的变化”，向学生提供充分形成函数思想的活动机会，激发学生的学习积极性，肯定他们的作法。

5.这节课的教学设计，要力求注意问题的层次性，由浅人深，逐层递进，从基本到简单开放，以问题串的形式让不同的学生都能有所收获。

这节课是认识三角形的基础，所以讲时应该放慢速度。

1.从教材上看，这节课安排学生动手操作的比较多，所以这处理这些环节时，应该注意掌握时间和学生动手操作时的目的，有时学生会不知道要得到什么。

所以在让学生做时，一定要让学生明白所做的目的。

2.要充分体现新课程课堂教学面向全体学生，让不同的学生在学习上都能得到发展。

总体说来，这节课在教学设计和课堂教学充分体现了新课程课堂的应有特色，体现了新课程对课堂教学的新要求老师提出：以前我们在上课时，发现学生对于动手操作这一块，有不少的学生不知道如何归纳所得到的结论，还有一块就是学生已知三角形的两边求第三边的取值范围时，不知如何书写大于一个数而小于另一数的形式。