初二数学平方根+立方根讲义
平方根与立方根
平方根与立方根在数学中，平方根和立方根是两个常见的运算符号。
它们分别表示一个数的平方和立方的根。
平方根表示一个数的二次方根，而立方根则表示一个数的三次方根。
平方根和立方根的概念在解决数学问题和实际应用中都有着广泛的应用。
一、平方根平方根是指一个数的二次方根，通常用符号√来表示。
对于一个非负数x，其平方根为正的实数y，满足y^2 = x。
平方根可以通过计算或者近似的方法来求解。
1.计算方法计算平方根的方法有很多种，其中最常见的方法有以下几种。
（1）二分法：该方法通过猜测一个数的平方根，然后逐步逼近最终结果。
首先确定一个上下界，然后根据猜测的平方根和实际值的大小关系进行二分查找，最终得到较为准确的结果。
（2）牛顿法：牛顿法是一种迭代的方法，利用函数的斜率来逐步逼近平方根的值。
首先选择一个初始值，然后通过迭代计算来逼近平方根。
（3）开方公式：对于一些特定的数，可以使用开方公式来直接求解平方根。
例如对于完全平方数，它的平方根就是这个数的整数解。
2.近似值除了精确计算平方根，我们还可以使用近似值来表示平方根。
例如在科学计算中，经常使用的近似值是保留2位小数的平方根。
例如，√2的近似值为1.41，√3的近似值为1.73。
二、立方根立方根是指一个数的三次方根，通常用符号∛来表示。
对于一个实数x，其立方根为实数y，满足y^3 = x。
立方根和平方根类似，可以通过计算或者近似的方法来求解。
1.计算方法计算立方根的方法与计算平方根类似，有多种常见的方法可以使用。
（1）二分法：通过猜测一个数的立方根，然后利用二分查找来逼近最终结果。
（2）牛顿法：利用函数的导数和斜率来迭代逼近立方根的值。
（3）开方公式：对于一些特定的数，可以使用开方公式来直接求解立方根。
2.近似值立方根的近似值也可以使用在实际计算中。
例如在物理学中，常用的近似值是保留3位小数的立方根。
例如，∛2的近似值为1.26，∛3的近似值为1.44。
总结：平方根和立方根是数学中常见的运算符号，它们表示一个数的二次方根和三次方根。
平方根、算术平方根、立方根重点 例题讲解
For personal use only in study and research; not for commercial use6.1平方根、算术平方根、立方根例题讲解第一部分：知识点讲解1、学前准备【旧知回顾】2.平方根（1）平方根的定义：一般的，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也叫做二次方根。
即若a x =2，)0(≥a ，则x 叫做a 的平方根。
即有a x ±=，（0≥a ）。
（2）平方根的性质：（3）注意事项： a x ±=，a 称为被开方数，这里被开方数一定是一个非负数（0≥a ）。
（4）求一个数平方根的方法：（5）开平方：求一个数平方根的运算叫做开平方。
它与平方互为逆运算。
3. 算术平方根（1）算术平方根的定义：若a x =2，)0(≥a ，则x 叫做a 的平方根。
即有a x ±=，（0≥a ）。
其中a x =叫做a 的算术平方根。
（2）算术平方根的性质：（3）注意点：在以后的计算题中，像22-52）（++，其中，25分别指的是2和5的算术平方根。
4.几种重要的运算： ① b a ab ∙=()0,0>>b a , ab b a =∙()0,0>>b a② b a b a =)0,0(>≥b a , b a ba =)0,0(>≥b a ③ a a =2)()0(≥a , a a =2 ， a a =2-）（★★★ 若0<+b a ，则()b a b a b a b a --=+-=+=+2)(5.立方根（1）立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三次方根。
即若a x =3，则x 叫做a 的立方根。
即有3a x =。
（2）立方根的性质：（3）开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方，它与立方互为逆运算。
6.几个重要公式：③ 333b a ab ∙= , 333ab b a =∙ 333b a b a = )0(≠b , 333b a b a = )0(≠b ④ a a =33)(可以为任何数）a (, a a =33 ，a a --33=）（ 第二部分：例题讲解题型1：求一个数的平方根、算术平方根、立方根。
平方根与立方根知识点总结
平方根与立方根知识点总结1. 平方根平方根是指一个数的平方等于给定数的正数解。
以√a表示a的平方根，其中a为非负实数。
1.1 平方根的概念对于非负实数a，如果存在一个非负实数x，使得x的平方等于a，则这个非负实数x被称为a的平方根。
平方根的记号为√a。
1.2 平方根的性质- 平方根不一定是一个整数，可以是一个无理数或者有理数。
- 非负实数的平方根有两个解，一个是正数，另一个是负数，但我们在常见的情况下只讨论正数平方根。
- 非负实数的平方根可以通过求解方程x^2 = a得到。
2. 立方根立方根是指一个数的立方等于给定数的正数解。
以³√a表示a的立方根，其中a为实数。
2.1 立方根的概念对于实数a，如果存在一个实数x，使得x的立方等于a，则这个实数x被称为a的立方根。
立方根的记号为³√a。
2.2 立方根的性质- 立方根不一定是一个整数，可以是一个无理数或者有理数。
- 实数的立方根有两个复数解和一个实数解，其中实数解为正数立方根。
- 实数的立方根可以通过求解方程x^3 = a得到。
3. 计算平方根与立方根3.1 通过近似方法计算- 对于非完全平方数和非完全立方数，可以通过近似方法利用计算器或者数学软件计算得到一个接近真实值的结果。
3.2 通过公式计算- 对于完全平方数，可以利用公式进行计算。
例如，对于一个完全平方数a，其平方根可以通过√a = a的1/2次方得到。
- 对于完全立方数，可以利用公式进行计算。
例如，对于一个完全立方数a，其立方根可以通过³√a = a的1/3次方得到。
4. 应用场景平方根和立方根在日常生活和科学领域中有广泛的应用。
4.1 数学- 在代数中，求解方程的过程中常常需要计算平方根和立方根。
- 在概率统计中，方差和标准差的计算中，需要使用平方根。
- 在计算几何中，勾股定理的应用需要计算平方根。
4.2 自然科学- 物理学中，运动速度、加速度等的计算中，需要使用平方根。
平方根与立方根课件华东师大版数学八年级上册
边长
134 5 6
你能指出“面积→边长”这些数据变化的共同点吗？
都是已知一个正数的平方，求这个正数.
知识点一 平方根
概念：如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的 平方根. 举例：5 的平方等于 25，所以 5 叫做 25 的一个平方根. 25 的平方根只有一个吗？还有没有别的数的平方也等 于 25？
二 算术平方根
算术平方根的概念
概念：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x²= a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根.
记法
±a
根号 被开方数
（a 是非负数，a≥0）
问题1：算一算，下面两种运算有什么关系？
x
x2
+1
1
平 -1
方 +2
4
运 -2
算 +3
9
-3
x2
x
这
1
+1
是
2.判断 （1）5 是 25 的算术平方根； （2）-6 是 36 的算术平方根； （3）0 的算术平方根是 0； （4）0.01 是 0.1 的算术平方根； （5）-5 是 -25 的算术平方根.
3.你知道下列各式中字母 x 的取值范围吗？
x4
2x 6
x
x≥4
x≥ 3
x≤0
4.填空 （1）正数的算术平方根是__正__数，0 的算术平方根 是__0__，算术平方根等于它本身的数是__0_，__1_；
这个数
2.求下列各式的值
（1）3 64 ； 3 64 4 .
（2）3 0.001； 3 0.001 0.1.
3
(3)
64
.
125
3 64 4 . 125 5
初二上学期数学《平方根及立方根》知识点
初二上学期数学《平方根及立方根》知识点
平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
0的平方根是0。
负数在实数范围内不能开平方，只有在正数范围内，才可以开平方根。
例如：-1的平方根为i，-9的平方根为3i。
平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中的一种。
平方根和算术平方根都只有非负数才有。
被开方数是乘方运算里的幂。
求平方根可通过逆运算平方来求。
开平方：求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数。
若x的平方等于a，那么x就叫做a的平方根，即√a=x
立方根
知识点：
1、立方根的概念：如果一个数x的立方等于a，即x3=a，则这个数x叫做a的立方根.如(-13111)=-，所以-是-的立方根。
2、立方根的的表达形式：一个数a的立方根记作“a”，读作“三次根号a”，a是被开方数，3是根指数。
如512551255=()3，则的立方根是，记作=。
273273273
3、立方根的*质：任何数都有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.。
平方根和立方根知识点总结
平方根和立方根知识点总结平方根和立方根是数学中非常重要的概念，它们在解决数学问题、理解数学规律以及实际应用中都有着广泛的用途。
接下来，让我们详细地了解一下平方根和立方根的相关知识。
一、平方根1、定义如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。
用数学语言表达为：若 x²＝ a，则 x 叫做 a 的平方根，记作±√a 。
例如，因为 3²＝ 9，（－3)²＝ 9，所以 9 的平方根是 ±3，即±√9 ＝ ±3 。
2、性质（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
比如 4 的平方根是 ±2 。
（2）0 的平方根是 0 。
（3）负数没有平方根。
这是因为在实数范围内，任何数的平方都不可能是负数。
3、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作√a 。
0 的算术平方根是 0 。
例如，4 的算术平方根是 2 ，即√4 ＝ 2 。
4、开平方求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。
开平方与平方互为逆运算。
在进行开平方运算时，需要注意被开方数的取值范围，被开方数必须是非负数。
5、平方根的估算对于一些不是完全平方数的数，我们可以通过估算来确定其平方根的大致范围。
例如，估算√7 的值。
因为 4 ＜ 7 ＜ 9 ，所以 2 ＜√7 ＜ 3 。
二、立方根1、定义如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。
用数学语言表达为：若 x³＝ a，则 x 叫做 a 的立方根，记作³√a 。
例如，因为 2³＝ 8 ，所以 8 的立方根是 2 ，即³√8 ＝ 2 。
2、性质（1）正数的立方根是正数。
（2）负数的立方根是负数。
（3）0 的立方根是 0 。
也就是说，任意一个数都有且只有一个立方根。
3、开立方求一个数 a 的立方根的运算，叫做开立方。
开立方与立方互为逆运算。
三、平方根与立方根的区别1、个数不同平方根中，正数有两个平方根，0 的平方根是0 ，负数没有平方根；而立方根中，任何数都只有一个立方根。
平方根与立方根及解析
平方根与立方根及解析一、平方根的概念与运算性质平方根是数学中常见的运算，表示一个数的平方根。
如果一个数a的平方等于b（即a²=b），那么a就是b的平方根。
平方根通常用符号√表示。
平方根的运算性质如下：1. 非负数的平方根都是有意义的，即对于非负数b，b的平方根√b一定存在。
2. 负数的平方根在实数范围内没有实数解。
例如，-1的平方根不存在于实数范围内。
3. 如果a>0，那么a的平方根有两个解：一个是正的，一个是负的。
例如，4的平方根有±2两个解。
4. 平方根具有乘法性质，即√(ab)=√a * √b。
这个性质有助于进行平方根的计算。
二、立方根的概念与运算性质立方根是指一个数的立方等于另一个数的根。
如果一个数a的立方等于b（即a³=b），那么a就是b的立方根。
立方根通常用符号³√或者∛表示。
立方根的运算性质如下：1. 任意实数都有唯一的立方根。
即对于任意实数b，b的立方根³√b存在且唯一。
2. 正数的立方根只有一个解，即正数本身。
例如，8的立方根为2。
3. 负数的立方根在实数范围内没有实数解。
例如，-1的立方根不存在于实数范围内。
4. 立方根具有乘法性质，即³√(ab)=³√a *³√b。
这个性质有助于进行立方根的计算。
三、平方根与立方根的解析方法1. 平方根的解析方法求一个数的平方根可以使用不同的解析方法，其中最常见的方法有以下几种：（1）因数分解法：将一个数分解成若干个因数的乘积形式，然后对每个因数求平方根。
（2）二分法：首先确定一个范围，然后将范围内的数逐次求平方，直到找到与目标数接近的解。
（3）牛顿迭代法：利用泰勒级数来逼近目标数的平方根，通过迭代计算最终得到解。
2. 立方根的解析方法求一个数的立方根可以使用类似的解析方法，其中常见的方法包括：（1）因数分解法：将一个数分解成若干个因数的乘积形式，然后对每个因数求立方根。
初中数学知识归纳平方根与立方根的运算
初中数学知识归纳平方根与立方根的运算平方根和立方根都是数学中常见的概念，它们在数学运算中起着重要的作用。
本文将对初中数学中关于平方根和立方根的知识进行归纳和总结，帮助同学们更好地理解和运用这些概念。
一、平方根的运算平方根是指一个数的平方等于该数的正平方根。
平方根的运算可以通过开方的方式进行。
下面是一些平方根的性质和运算规则：1. 平方根的定义：设a和b是整数，且b≥0，若a^2 = b，则称a为b的平方根，记作√b，其中√b≥0。
2. 平方根的运算法则：a) 非负数的平方根都是非负数，即√a ≥ 0。
b) 平方根和平方的运算互为逆运算，即(√a)^2 = a。
c) 平方根符号√可以消去平方符号^2，即√(a^2) = a（其中a≥0）。
d) 平方根的运算满足乘法法则，即√(ab) = √a * √b。
e) 平方根的运算满足除法法则，即√(a/b) = √a / √b（其中b≠0）。
二、立方根的运算立方根是指一个数的立方等于该数的正立方根。
立方根的运算可以通过开方的方式进行。
下面是一些立方根的性质和运算规则：1. 立方根的定义：设a和b是整数，且b≥0，若a^3 = b，则称a为b的立方根，记作³√b，其中³√b≥0。
2. 立方根的运算法则：a) 实数的立方根是实数，即³√a是一个实数。
b) 立方根和立方的运算互为逆运算，即(³√a)^3 = a。
c) 立方根符号³√可以消去立方符号^3，即³√(a^3) = a。
d) 立方根的运算满足乘法法则，即³√(ab) = ³√a *³√b。
e) 立方根的运算满足除法法则，即³√(a/b) = ³√a / ³√b（其中b≠0）。
三、平方根和立方根的综合运用平方根和立方根在实际生活和数学问题中经常被使用，下面举几个例子说明它们的综合运用：1. 体积问题：当我们计算一个立方体的边长时，可以通过求边长的立方根来获取。
平方根和立方根经典讲义
内容基本要求略高要求较高要求平方根、算术平方根了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根 会用平方运算求某些非负数的平方根立方根 了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根会用立方根运算求某些数的立方根 实数了解实数的概念会进行简单的实数运算实数可按下图进行详细分类：0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 实数与数轴上的点一一对应.(以下概念均在实数域范围内讨论)平方根的定义及表示方法：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根．也就是说，若2x a =，则x 就叫做a 的平方根．一个非负数a 的平方根可用符号表示为“a±”．算术平方根：一个正数a 有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a的算术平方根，可用符号表示为“a”；有一个平方根，就是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根.（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究）一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若0a ≥，则0a≥.平方根的计算：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．知识点睛中考要求平方根和立方根开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．通过验算我们可以知道：⑴ 当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n 倍(0n ≥)． ⑵ 平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：①若0a ≥，则2()a a =；②不管a 为何值，总有2(0)||(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩注意二者之间的区别及联系．⑶若一个非负数a 介于另外两个非负数1a 、2a 之间，即120a a a ≤<<时，它的算术平方根也介于1a 、2a 之间，即：120a a a ≤<<利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致范围．立方根的定义及表示方法：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根， 一个数a 的立方根可用符号表“3a ”，其中“3”叫做根指数，不能省略. 前面学习的“a ”其实省略了根指数“2”，即：2a 也可以表示为a .3a 读作“三次根号a ”，2a 读作“二次根号a ”，a 读作“根号a ”.任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0.立方根的计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．通过归纳我们可以知道：⑴当被开方数(大于0)扩大(或缩小)3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍． ⑵33a a =，33()a a =⑶若一个数a 介于另外两个数1a 、2a 之间，即12a a a <<， 它的立方根也介于31a 和32a 之间，即33312a a a << 利用这个结论我们可以来估算一个数的立方根的大致范围．重点：平方根和立方根的基本概念，以及灵活应用 难点：平方根的性质重、难点【例1】 判断下列各题，并说明理由⑴81的平方根是9±． ( ) ⑵a 一定是正数． ( ) ⑶2a 的算术平方根是a ． ( ) ⑷ 若2()5a -=，则5a =-. ( ) ⑸93=±. ( ) ⑹ 6-是2(6)-的平方根． ( ) ⑺ 2(6)-的平方根是6-．( )⑻ 若236x =，则366x =±=±. ( ) ⑼ 若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． ( ) ⑽ 如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等． ( ) ⑾ 算术平方根一定是正数． ( ) ⑿ 2a -没有算术平方根． ( ) ⒀ 64的立方根是4±． ( )⒁ 12-是16-的立方根． ( )⒂ 33x x =． ( ) ⒃ 互为相反数的两个数的立方根互为相反数． ( ) ⒄ 正数有两个互为相反数的偶数次方根，任何数都有唯一的奇数次方根． ( )【例2】 ⑴ 若22(2)a =-，则a = ；若22()(3)x -=-，则x = .⑵ 若22x +=，则(25)x +的平方根是 ；若25x =，则x = .⑶ 若21a a=-，则a ；若20a a +=，则a . ⑷ 当0m <，2m 的算术平方根是 .⑸ 2()a b -算术平方根是a b -，则a b .⑹ 若一个自然数的一个平方根是m ，那么比它大1的自然数的平方根是 .⑺ 平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是 ，立方根等于它本身的数是 ；平方根与立方根相等的数是 .【例3】 计算下列各题⑴21(51)303x --=； ⑵3(100.2)0.027x -=-⑶3312573511164168-+---；⑷33321600010.125+--【例4】 已知某正数的两个平方根是35a -与1a +，求这个正数．【例5】 已知3(2)27a b +=-，235a b -=，求21(3)n a b ++的值(n 为正整数).例题精讲【例6】 求22221995199519961996+⋅+的平方根.【例7】 (人大附单元测试)已知a 为实数，且满足200201a a a -+-=，求2200a -的值.【练习1】若22(3)x =-，33(2)y =-，求x y +所有可能值．【练习2】一个数的平方根是22a b +和4613a b -+，求这个数．课堂作业【练习3】(101数学实验班单元练习)已知2a -的平方根是2±，27a b ++的立方根是3，求22a b +的平方根．【练习4】(2007年成都)已知22(5)0a b -++=，那么a b +的值为 .【练习5】221111a ab a -+-+=-，求a ，b 的值.【练习6】若a 、b 为实数，且|1|20a ab -+-=，求1111(1)(1)(2)(2)(1993)(1993)ab a b a b a b +++++++++的值.1． ⑴ (安顺市中考题)16的平方根是 ；2( 2.5)-的平方根是 ；2(2)-的平方根是 .⑵ (威海中考题)38的相反数是 ；64的立方根是 .⑶ 平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是 ，立方根 等于它本身的数是 ；平方根与立方根相等的数是 .⑷ (江西省中考题)已知：20n 是整数，则满足条件的最小正整数n 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 ⑸ (上海市中考题)方程12x -=的根是 . ⑹若31.815848 1.22=，则31815848-= . 2．若一正数的平方根是36a +与29a +，求这个正数．家庭作业3． 已知x y +的负的平方根是3-，x y -的立方根是3，求25x y -的平方根. 4． 243a b x a -+=+是3a +的算术平方根，323b a y b -+=-是3b -的立方根，求y x -的立方根.5． 已知：|1|2340a b a b -++--=．求：24a b +的立方根．。
平方根、立方根讲义
平方根、立方根
1、平方根：
⑴、定义：如果x 2
=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“a ±”（a 称为被开方数）。
⑵、性质：
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
2、立方根：
⑴、定义：如果x 3
=a ，则x 叫做a 的立方根，记作“3a ”（a 称为被开方数）。
⑵、性质：
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
4、规律总结：
1）平方根是其本身的数是 ；算术平方根是其本身的数是 ；立方根是其本身的数是 。
2）每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3）a 本身为非负数，即a ≥0；a 有意义的条件是a ≥0。
4）公式：⑴(a )2
=a （a ≥0）；⑵3a -=3a -（a 取任何数）。
5）非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0
实数：有理数和无理数统称为实数．我们一般用下列两种情况将实数进行分类： ①按属性分类： ②按符号分类。
初中数学知识点精讲精析 平方根与立方根
11.1 平方根与立方根学习目标1. 了解平方根的概念、开平方的概念。
会用根号表示一个数的平方根。
2. 了解立方根的概念,能够用根号表示一个数的立方根。
知识详解1.平方根如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
一个正数如果有平方根数的范围从有理数扩充到实数以后，每一个正实数必定有两个平方根，那么必定有两个，它们互为相反数，显然，如果我们知道了这两个平方根中的一个，那么立即可以得到它的另一个平方根。
正数a的正的平方根，叫做a a”；另一个平方根是a a称为被开方数。
因为0的平方等于0，而其他任何数的平方都不等于0，所以0的平方根只有一个，就是0，=0.求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。
将一个正数开平方，关键是找出它的一个算术平方根。
利用开方与平方的关系来开平方的，如果被开方数比较复杂，我们常用计算器直接得出一个正数的算术平方根。
用计算器求一个非负数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可。
2. 立方根如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。
任何数（正数、负数或零）的立方根如果存在的话，必定只有一个。
数a a”，a称为被开方数，3称为根指数，求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
计算器求一个有理数的立方根，只需要直接按书写顺序按键，若被开方数为负数，“－”号的输入可以按（－），也可以按－。
与2的关系a的算术平方根，依据算术平方根的定义，2＝a（a≥0）表示2a的算术平方根，依据算术平方根的定义，若a≥0，则2a的算术平方根为a；若a＜0，则2a的算术平方根为－a ＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a≥0，－a ，a<0.（1）区别：①意义不同：2表示非负数a a 的平方的算术平方根．②取值范围不同：2中的a 为非负数，即a 为任意数．③运算顺序不同：2是先求a 的算术平方根，先求a 的平方，再求平方后的算术平方根．④写法不同．在2中，幂指数2在根号的外2在根号的里面．⑤运算结果不同：2＝a ＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a≥0，－a ，a<0.（2）联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算．②两式运算的结果都是非负数，即2a≥0时，有24. 平方根与算术平方根的关系（1）区别： ①概念不同平方根的概念：如果一个数x 的平方等于a ，即2x＝a ，那么这个数x 叫做a 的平方根．算术平方根的概念：如果一个正数x 的平方等于a ，即2x＝a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根． ②表示方法不同平方根：正数a算术平方根：正数a 的算术平方根用符号a 表示，正数a 的负的平方根－a 可以看成是正数a 的算术平方根的相反数。
平方根和立方根知识点总结
平方根和立方根知识点总结平方根和立方根是数学中非常基础且重要的概念，它们在解决数学问题、理解数学规律以及应用于实际生活中都有着广泛的用途。
接下来，让我们一起深入地了解一下平方根和立方根的相关知识。
一、平方根1、定义如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。
即若 x²＝a，则 x 叫做 a 的平方根，记作±√a 。
例如，因为 3²＝ 9，（－3）²＝ 9，所以 9 的平方根是 ±3。
2、性质（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
比如 4 的平方根是 ±2，2 和－2 互为相反数。
（2）0 的平方根是 0。
（3）负数没有平方根。
这是因为在实数范围内，任何数的平方都不可能是负数。
3、开平方求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。
开平方与平方互为逆运算。
例如，求 16 的平方根，即求±√16 的值。
因为 4²＝ 16，（－4）²＝ 16，所以±√16 ＝ ±4 。
4、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作√a 。
0 的算术平方根是 0。
例如，9 的算术平方根是 3，即√9 ＝ 3。
5、平方根的估值对于一些非完全平方数的平方根，可以通过估算来确定其大致范围。
比如，估算√7 的值。
因为 4 ＜ 7 ＜ 9，所以 2 ＜√7 ＜ 3。
二、立方根1、定义如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。
即若 x³＝a，则 x 叫做 a 的立方根，记作³√a 。
例如，因为 2³＝ 8，所以 8 的立方根是 2，记作³√8 ＝ 2 。
2、性质（1）正数的立方根是正数。
（2）负数的立方根是负数。
（3）0 的立方根是 0。
也就是说，任意一个数都有且只有一个立方根。
3、开立方求一个数 a 的立方根的运算，叫做开立方。
开立方与立方互为逆运算。
平方根和立方根知识点总结
平方根和立方根知识点总结数字运算是数学中的基础内容，而平方根和立方根是其中常见且重要的概念。
它们用来求解数字的根号运算，能够帮助我们计算数字的次方根。
本文将对平方根和立方根进行知识点总结，帮助读者更好地理解和运用这两个概念。
一、平方根平方根是一个数学运算符号，用symbol √ 表示。
它表示一个数的平方根。
对于一个非负数 a，其平方根记作√a，表示满足 b² = a的正数 b。
例如，√25 = 5，因为 5² = 25。
1. 平方根的性质平方根有一些基本的性质，包括：（1）非负性质：一个非负数的平方根是非负的。
例如，√25 = 5，√0 = 0。
（2）保号性质：如果两个非负数 a 和 b 满足 a < b，则有√a < √b。
例如，√9 = 3 < √16 = 4。
（3）开方法则：对于任意非负数 a 和 b，有以下等式成立：√(a × b) = √a × √b。
例如，√(4 × 9) = √4 × √9 = 2 × 3 = 6。
2. 平方根的应用平方根在数学和实际生活中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：形的斜边长度等。
（2）物理学公式：平方根可以用于求解物理学公式中的问题，如求解速度、加速度等。
（3）统计学问题：平方根可以用于求解统计学问题，如计算方差、标准差等。
二、立方根立方根是另一种常见的根号运算，用 symbol ∛表示。
它表示一个数的立方根。
对于一个实数 a，其立方根记作∛a，表示满足 b³ = a 的实数 b。
例如，∛8 = 2，因为 2³ = 8。
1. 立方根的性质立方根与平方根一样，也有一些基本的性质。
其中包括：（1）非负性质：一个实数的立方根可以是正数、负数或零。
（2）保号性质：如果两个实数 a 和 b 满足 a < b，则有∛a < ∛b。
例如，∛1 = 1 < ∛8 = 2。
平方根与立方根讲义(含答案)
平方根与立方根二、知识点+例题+练习知识点一：平方根与算术平方根1．平方根2．算术平方根3．平方根与算术平方根的区别（1）定义不同；（2）个数不同，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个； （3）表示方法不同，正数a 的平方根表示为a （4）取值范围不同，正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根为一正一负．一、求平方根和算术平方根若求一个算式的算术平方根，一般是先求出算式的值，再求出它的算术平方根，有时也可通过简单的变形化成一个正数的平方的形式，从而提高运算的速度和准确率．【例1】（1）求下列各数的平方根和算术平方根：①4964；②0.0001；③5；④2(3)-（2）平方根等于本身的数是________，算术平方根等于它本身的数是________．（3）一个数的平方根是22a b +和4613a b -+，则这个数是________．【例2】求下列各式的值（1）（2（3（4（5（6（1）2612=⨯=；（27512+=；（30.30.80.5=-=-；（429 0.91365 =⨯=；（520==；（6110.8250.25 5.2 45=⨯+⨯=+=；【答案】（1）12；（2）12；（3）0.5-；（4）965；（5）20；（6）5.2．【变式训练1-1】9的算术平方根是A B．-3 C．±3 D．3【答案】D【解析】∵32=9，∴9的算数平方根是3，故选D．【变式训练1-2】（-2）2的算术平方根是A．2 B．±2 C．-2 D【答案】A【解析】∵（-2）2=4，4的算术平方根是2，∴（-2）2的算术平方根是2，故选A．【名师点睛】求一个式子的算术平方根时，先把这个式子化简，再按算术平方根的定义求化简所得数的算术平方根即可．【变式训练1-3】25的平方根是A．5 B．-5 C．D．±5【答案】D【解析】∵（±5）2=25，∴25的平方根为±5，故选D．【变式训练1-4】设a-3是一个数的算术平方根，那么A ．a ≥0B ．a >0C ．a >3D ．a ≥3【答案】D【解析】∵3a -是一个数的算术平方根，∴30a -≥，解得3a ≥，故选D ．【名师点睛】本题考查的是算术平方根的“非负性”，即非负数a0≥． 【变式训练1-5】下列说法正确的是是2的一个平方根②–4的算术平方根是2 的平方根是±2 ④0没有平方根 A．①②③ B ．①④C ．①③D ．②③④【答案】C是2的一个平方根，正确；②–4没有算术平方根，错误； 的平方根是±2，正确；④0有平方根，是0，错误；故选C ． 【变式训练1-6】求下列各式的值：（12）3）；（4 【解析】（1． （2）=-0.9． （3）=1114±． （4．二、利用平方根的知识解方程先将方程转化为一个式子的平方等于一个非负数的形式，再利用开平方发求解． 【例1】求下列各式中的x ．（1）x 2=17；（2）212149x -=0．【解析】（1）因为2(17=，所以x =． （2）2121049x -=， 212149x =， x =117±． 【例2】求下列各式中x 的值：（1）4（x -1）2-16=0； （2）8（2x +1）3-1=0.【解析】（1）4（x -1）2-16=0， 4（x -1）2=16， （x -1）2=4， x -1=±2， x =-1或x =3．（2）8（2x +1）2-1=0， 8（2x +1）2=1， （2x +1）2=18，2x +1=±4，2x =-1±4，x =-128-或x =-12+8．【变式训练2--1】求下列等式中的x ：（1）若x 2＝1．21，则x ＝______； （2）x 2＝169，则x ＝______；（3）若294x =，则x ＝______； （4）若x 2＝2(2)-，则x ＝______． 【解析】一个正数的平方根有两个，且互为相反数．【答案】（1） 1.1x =±；（2）x =±13；（3）32x =±；（4）x 2=±．【变式训练2-2】求下列各式中x 的值．（1）29x =； （2）22500x -=（3）21(51)303x --= （4）2(100.2)0.64x -=【解析】本题考察的是平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数．（1）3x =±； （2）225,5x x ==±；（3）221(51)3,(51)9,513,5133x x x x -=-=-=±=+；或513x =-，解得45x =或25x =-．（4）100.20.8,0.2100.8,0.210.8x x x -=±=±=或0.29.2x =解得54x =或x =46．【答案】（1）3x =±； （2）5x =±；（3）45x =或25x =-； （4）54x =或x =46．三、对定义和性质的考察【例1】判断下列各题，并说明理由（19±． （ ） （2）算术平方根一定是正数．（ ）（3 （ ） （4）2a -没有算术平方根． （ ）（53=±． （ ）（6）若236x =，则6x ==±． （ ） （7）6-是2(6)-的平方根． （ ） （8）2(6)-的平方根是6-． （ ） （9）2a 的算术平方根是a ．（ ）（105，则5a =-．（ ）（11）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． （ ） （12）如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等． （ ）【解析】（6）（7）（12）正确． 【变式训练3-1】判断题：（1 ( ) （2）2a 的算术平方根是a ． ( )（36，则6a =-．( )（4）若264x =，则8x =±．( )（58±． ( ) （6）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． ( ) （7）如果一个数的平方根存在，那么必有两个，且互为相反数． ( ) （8）2a -没有平方根． ( ) （9）如果两个非负数相等，那么他们各自的算术平方根也相等． ( ) 【解析】 （1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×；（6）×；（7）×；（8）×；（9）√．【例2】x 为何值时，下列各式有意义？（1；（2（3（4）；（5）；（6；【解析】略【答案】（1）0x≥；（2）x=0；（3）2x≤；（4）x为任意数；（5）x>1；（6）112x-≤≤．【变式训练3-2】若A=A的算术平方根是_________．【解析】A22(16)a+，故A的算术平方根为216a+．【答案】216a+【变式训练3-3】设a a的值是________．【解析】a48a必须是完全平方数，因为24843=⨯整数的整数a为3．【答案】3四、算术平方根非负性的应用常用的三类非负性的表示形式：绝对值、偶次幂、算术平方根，当几个非负数的和为0时，则每一个非负数均为0，这一结论在解答许多数学问题中起着关键的作用．【例1】a的取值为A．0 B．−12C．–1 D．1【答案】B【解析】∵2a+1≥02a+1=0，∴a的取值为–12．故选B．【例2】若实数x，y20（y+-=，则xy的值为__________．【答案】【解析】根据题意得：20xy⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得2xy⎧=⎪⎨=⎪⎩，则xy=【例3】x、y0，则xy=__________．【答案】–6【解析】由题意可知：x+2=0，y–3=0，∴x=–2，y=3，∴xy=–6，故答案为：–6．【变式训练4-1】如果3a b-+【解析】由绝对值和算术平方根的非负性及相反数的定义解题．有题可知30220a ba b-+=⎧⎨+-=⎩解得4353ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3==．【答案】3【变式训练4-2】已知2b=，求11a b+的平方根．【解析】由题可知940490aa-≥⎧⎨-≥⎩，49a∴=，b=2，==【答案】【变式训练4-3】已知x，y，z满足21441()02x y z-+-=，求()x z y-的值．【解析】由题可知44102012x yy zz⎧⎪-+=⎪+=⎨⎪⎪-=⎩，解得121412xyz⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，()x z y-1111()()22416=--⨯-=．【答案】1 161．立方根的概念和性质2．开立方（1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方．（2）性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；=③3==a ．（3）开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．开立方所得的结果就是立方根．3．平方根和立方根的区别和联系1．被开方数的取值范围不同在a 是非负数，即a ≥0中，被开方数a 是任意数．2．运算后的数量不同一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根．一、求立方根和开立方根据开立方与立方互为逆运算的关系，我们可以求一个数的立方根，或者检验一个数是不是某个数的立方根．【例1】-64的立方根是 A ．-4B ．4C ．±4D ．不存在【答案】A【解析】∵（−4）3=−64，∴−64的立方根是−4，故选A ．【例2 A ．－1B ．0C ．1D ．±1【答案】C-1-1，故选A ．【名师点睛】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．【变式训练1-1】下列计算中，错误的是AB 34=-C 112= D ．25=- 【答案】D【解析】A ．正确；B ．正确；C ．正确；D D ． 【变式训练1-2】求下列各数的立方根：（1）-343；（2）8125． 【解析】（1）因为3(7)343-=-， 所以-343的立方根是-7． （2）因为328()5125=， 所以8125的立方根是25． 【变式训练1-3】求下列各式的值：（123）【解析】（1（2（3【例3】求下列各式的值（1（2（3） （4）3（5（6（7【答案】（1）0.4；（2）2-；（3）25-；（4）64；（5）43；（6）9；（7）6．【变式训练1-4】（1）填表：（2）由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律．（3） 根据你发现的规律填空：① 1.442== ，= ；① 7.696=，= ．【答案】（1）0.01； 0.1； 1； 10； 100．（2）当被开方数(大于0)扩大(或缩小)3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍（3） ①14.42； 0.01442； ①0.7696．二、利用立方根的知识解方程只含有未知数或某个关于未知数的整体的三次方的方程，可以先通过“移项、合并同类项、系数化为1”等变形为x 3=m 或（ax +b ）3=m 的形式，再利用开立方的方法求解．【例1】若a 3=–8，则a =__________．【答案】–2【解析】∵a 3=–8，∴a =–2．故答案为：–2．【例2】求下列各式中的x ：（1）8x 3+125=0；（2）（x +3）3+27=0． 【解析】因为381250x +=， 所以38125x =-，（2）因为3(3)270x ++=，所以3(3)27x +=-， 所以33x +=-，所以6x =-．【变式训练2-1】求下列等式中的x ：（1）若x 3＝0．729，则x ＝______； （2）x 3＝6427-，则x ＝______；（3）若52，则x ＝______； （4）若x 3＝3(2)--，则x ＝______． 【答案】（1）0.9；（2）43-；（3）1258；（4）2． 三、对立方根定义和性质的考察【例1】（1）下列说法中，不正确的是 （ ）A ． 8的立方根是2B ． 8-的立方根是2-C ． 0的立方根是0D ． a（2）61164-的立方根是（ ）A ． -B ．114±C ． 114D ．114- （3）某数的立方根是它本身，这样的数有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个（4）下列说法正确的是（ ）① 正数都有平方根；① 负数都有平方根，① 正数都有立方根；① 负数都有立方根；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（5）若a 立方比a 大，则a 满足（ ）A ． a <0B ． 0< a <1C ． a >1D ． 以上都不对（6）下列运算中不正确的是（ ）A ． =B ． 3=C 1-D ．4【答案】（1）D ；（2）D ；（3）C ；（4）C ；（5）D ；（6）B ．【变式训练3-1】（1）若x 的立方根是4，则x 的平方根是______．（2）3311-+-x x 中的x 的取值范围是______，11-+-x x 中的x 的取值范围是______．（3）－27______．（40+则x 与y 的关系是______．（54=那么(66)2a -⋅的值是______．（6则x ＝______．（7）若m ＜0，则m ．（8）若59x +的立方根是4，则34x +的平方根是______．【答案】 （1）8±；（2）任意数； x =1；（3）1-或5-；（4）互为相反数；（5）-12；（6）x =1； （7）0； （8） 四、平方根和立方根的综合应用在解决立方运算与开立方运算时，遵循的原则为正数的立方和立方根为正数，负数的立方和立方根为负数．【例1】64的平方根和立方根分别是A ．8，4B ．8，±4C ．±8，±4D ．±8，4【答案】D【解析】因为（±8）2=64，43=64，所以64的平方根和立方根分别是±8，4，故选D ．【例9】已知2a -1的平方根是±3，3a +b -1的立方根是4，求a +b 的平方根．【名师点睛】此题主要考查了立方根和平方根的意义的应用，关键是根据平方根，求出2a -1=9，根据立方根求出3a +b -1=64，转化为解方程得问题解决．【例2】已知x +122x +y -6的立方根是2．（1）求x ，y 的值；（2）求3xy 的平方根．【解析】（1）∵x +12的算术平方根是，2x +y -6的立方根是2．∴x +12=2=13，2x +y -6=23=8，∴x =1，y =12．（2）当x =1，y =12时，3xy =3×1×12=36，∵36的平方根是±6，∴3xy 的平方根±6.【名师点睛】本题考查了算术平方根、立方根的性质，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义，能熟练运用它们的逆运算是解本题的关键．【变式训练4-1】2(27)b +的立方根．【解析】由题可知80270a b +=⎧⎨+=⎩，解得827a b =-⎧⎨=-⎩，235,+= 【答案】1【变式训练4-2】已知2x -的平方根是±2，27x y ++的立方根是3，求22x y +的平方根．【解析】2(2)=±，6x ∴=；3=，8y ∴=，10==±．【答案】101.在，，0，-2这四个数中，是无理数的为（）A．0 B． C． D．-22. 下列无理数中，与最接近的是（）A． B． C． D．3. ±3是9的（）A．平方根B．相反数C．绝对值D．算术平方根答案与解析1.【答案】 C.【解析】根据无理数的概念: 无限不循环的小数,就是无理数;无理数主要有三类: ①开方开不尽的, ②π及含π的倍分等, ③如:0.1010010001…这类的无规律的数．2.【答案】C.【解析】根据算数平方根的意义,4=16, 再根据算术平方根的性质,被开方数越大, 其算术根越大,通过观察发现17的被开方数最接近16的被开方数,从而得出答案.3.【答案】A.【解析】解: ∵ 9)3(2=±, 3±∴是9的平方根. 故选A.1. 若9.28,89.233==ab a ，则b 等于（ ）A. 1000000B. 1000C. 10D. 100002. 若2,3==b a ，且0<ab ，则：b a -= .3. 下列语句正确是（ ）A ．无限小数是无理数B ．无理数是无限小数C ．实数分为正实数和负实数D ．两个无理数的和还是无理数答案与解析1.【答案】B.【解析】 被开方数扩大2n 10倍，开方后结果扩大10n 倍；根据开方与乘法互逆运算可得.2.【答案】 -7. 【解析】2,3==b a a 3, 4.b ∴=±= 又0<ab ，a 3, 4.b ∴=-=则a-b = -7.3.【答案】B.【解析】 解: A.无限不循环小数是无理数, 故A 不符合题意;B.无理数是无限小数, 符合题意. C.实数分为正实数、负实数和0, 故C 不符合题意 D.互为相反数的两个无理数的和是0,不是无理数, 故D 不符合题意. 故答案为:B.1. 已知：A=y x y x -++3是3++y x 的算术平方根，B=322+-+y x y x 是y x 2+的立方根，求A －B 的平方根.2. 已知4+11的小数部分为a ，411-的小数部分为b ．求：（1）a+b 的值；（2）a-b 的值．1.【答案】A=y x y x -++3是3++y x 的算术平方根，∴x-y=2; 又B=322+-+y x y x 是y x 2+的立方根，∴x-2y+3=3，得方程组x y 2x 2y 33-=⎧⎨-+=⎩，解得：x 42y =⎧⎨=⎩，∴A=3，B=2 ∴A-B=1.【解析】根据算术平方根的概念和立方根的概念解题.2.【答案】3114<<，∴411+的小数部分a=4+11-7=11-3411-的小数部分b=4-11；（1）a+b=11-3+4-11=1；（2）a-b=11-3-（4-11）=-7．【解析】首先估算出11的取值范围：3＜11＜4，进一步确定a 、b 的数值，代入求得（1）（2）即可．基础1. 下列说法不正确的是( )A ．8的立方根是2B ．－8的立方根是－2C ．0的立方根是0D ．125的立方根是±5四、课后作业2. 所有和数轴上的点组成一一对应的数组成（ ）A ．整数B ．有理数C ．无理数D ．实数3. 若2m-1没有平方根，则m 的取值范围是________.答案与解析1.【答案】D.【解析】 125的立方根是5,D 选项错误.根据立方根的定义,因为一个数的立方根只有一个,一个正数的立方根是正数,一个负数的立方根仍是负数.2.【答案】D.【解析】数轴上的点和实数是一一对应的关系.3.【答案】21≥m 【解析】 解: 负数没有平方根. 012≥-∴m , 21≥m . 故答案为:21≥m .1. 估计38的值在( )A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间2. 化简式子 )4(2-结果正确的是（ ）A ．±4B ．4C ．-4D ．±23. 一个正数x 的平方根是3a －4和1－6a ，求a 及x 的值．答案与解析1.【答案】C ．【分析】因为6的平方是36, 7的平方是49.而38在36和49 的中间，所以38的值在6和7之间. 故选：C ．2.【答案】B.【分析】应先算16)4(2=- , 再将求16的算数平方根即可.3.【答案】 解: 由题意得3a-4+1-6a=0, 解得a=-1则3a-4=-7, 4972==x .答:a 的值是-1,x 的值是49.1. 如图，矩形OABC 的边OA 长为2，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）A ．3B ．8C ．5D ．2.52. 已知x+12平方根是±13，2x+y ﹣6的立方根是2，求3xy 的算术平方根．3. 已知2a ﹣1的平方根是±3，3a+b ﹣1的立方根是4，求a+b 的平方根．答案与解析1.【答案】C ．【分析】解答：2＜5＜2.5＜，2与离的最近，故选C．由图可知这个点与2离的最近，而其中四个选项中的数与2离的最近且大于1的数是．2.【答案】解: 由题意可知: X+12=13,2X+y-6=8,∴ x=1,y=13×y=3×1×12=36. 36的算术平方根为6.3.【答案】∵ 2a﹣1的平方根是±3，∴ 2a﹣1=9，∴ a=5，∵ 3a+b﹣1的立方根是4，∴ 3a+b﹣1=64，∴ b=50，∴ a+b=55，．∴ a+b的平方根是55。
第01讲 平方根与立方根(学生版)-八年级数学上册同步讲义(华师大版)[001]
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第1讲 平方根与立方根1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 3. 了解立方根的含义；4. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根. 知识点01 平方根和算术平方根的概念1.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方. a 叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算.2.算术平方根的定义正数a 的两个平方根可以用“a ±”表示，其中a 表示a 的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号a ”；a -表示a 的负平方根，读作“负根号a ”.考点诠释：当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0.【即学即练1】下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根B.l 是l 的一个平方根C.()24-的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0 知识点02 平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：a ±和a2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；目标导航知识精讲（3）0的平方根和算术平方根均为0．考点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.【即学即练2】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）9-没有平方根．（ ）（2）164=±．（ ）（3）21()10-的平方根是110±．（ ） （4）25--是425的算术平方根．（ ） 知识点03 平方根的性质20||000a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩ ()()20a a a =≥知识点04 立方根的定义如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根.这就是说，如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.考点诠释：一个数a 3a a 是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.【即学即练3】下列语句正确的是（ ）A ．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0B ．一个数的立方根不是正数就是负数C ．负数没有立方根D ．一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0知识点05 立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.考点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.考点六、立方根的性质 33a a -=- 33a a =()33a a =考点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.【即学即练4】下列结论正确的是（ ）A ．64的立方根是±4B ．12-是16-的立方根C ．立方根等于本身的数只有0和1D ．332727-=-考法01 平方根与算术平方根意义和区别（1）4-是 的负平方根．（2）116表示 的算术平方根，116= ． （3）181的算术平方根为 ． （4）若3x =，则x = ，若23x =，则x = ．能力拓展考法02 利用平方根解方程（鄂州校级期中）求下列各式中的x值，（1）169x2=144（2）（x﹣2）2﹣36=0．考法03 平方根的应用要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？考法04 立方根定义（吐鲁番市校级期中）下列语句正确的是（）A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0B．一个数的立方根不是正数就是负数C．负数没有立方根D．一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0考法05 利用立方根解方程求出下列各式中的a：（1）若3a＝0.343，则a＝______；（2）若3a－3＝213，则a＝______；a-＝8，则a＝______．（3）若3a＋125＝0，则a＝______；（4）若()31考法06 立方根的应用在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒cm，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了量得铁块排出的水的体积为64316cm．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？9π题组A 基础过关练1. 4的平方根是（ ）A. ± 2B.-2C. 2D. 12± 2．下列各数中没有平方根的是（ ） A ．()23- B ．0 C ．81 D ．36- 3．下列说法正确的是（ ）A ．169的平方根是13B ．1.69的平方根是±1.3C ．()213-的平方根是－13D ．－（－13）没有平方根 4．下列结论正确的是（ ）A ．2764的立方根是34±B ．1125-没有立方根 C ．有理数一定有立方根D ．()61-的立方根是－1 5．-8的立方根是（ ）A ．2B ．-2C ．2±D ．32-6.下列说法中正确的有（ ）个.① 负数没有平方根，但负数有立方根．②49的平方根是28,327±的立方根是23±⋅ ③如果()322x =-，那么x ＝－2． ④算术平方根等于立方根的数只有1．A ．1B ．2C ．3D ．47. 要使代数式有意义，则的取值范围是( ) A ． B ．C ．D ． 8.下列各等式中，正确的是（ ）A ．﹣()23-=﹣3B ．±23=3C ．（3-）2=﹣3D ．23=±3分层提分题组B 能力提升练1．计算：（1121=______；（2）256=______；（3）212=______；（443=______；（52(3)-=______；（6）124=______． 2．（安徽三模）若264a =3a =______． 3．－881______． 4.11125的平方根是______；0.0001算术平方根是______：0的平方根是______． 52(4)-______81______．题组C 培优拔尖练1．求下列各数的立方根：(1)0.001；(2)－2764；2．已知4x －37的立方根为3，求2x ＋4的平方根．3．(1)已知31－a 2＝1－a 2，求a 的值；(2)若31－2x 与33x －5互为相反数，求1－x 的值．4．已知一个正数的两个平方根分别是2m ＋1和5－3m ，求m 的值和这个正数．5．已知2m ＋3和4m ＋9是一个正数的平方根，求m 的值和这个正数的平方根．6．已知2m ＋2的平方根是±4，3m ＋n ＋1的平方根是±5，求m ＋2n 的值．7.321a -313b -a b的值.8．已知5x ＋19的立方根是4，求2x ＋7的平方根．9．求下列各式中的x ．（1）21431x -=； （2）2410x -=； （3）24(2)25x +=．10．（福清市期中）福清某小区要扩大绿化带面积，已知原绿化带的形状是一个边长为10m 的正方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形，并且其面积是原绿化带面积的4倍，求扩大后绿化带的边长．。
平方根与立方根复习课件
立方根的运算性质
立方根具有分配律和结合 律，即 a×(b^3)=(a×b)^3和 (a^3)×(b^3)=(a×b)^3 。
立方根的运算
立方根的近似值
对于一些无法直接开立方的数，我们 可以使用近似值来计算其立方根。例 如，³√17≈4.123，³√213≈12.62。
立方根与平方的关系
对于任何正实数a，都有 (³√a)^2=a^(2/3)。例如， (³√4)^2=4^(2/3)=8。
平方根的应用题
解析与平方根相关的应用题，如面积、体积、勾股定理等问题。
立方根的常见题型解析
立方根的定义与性质
解析立方根的定义，理解立方根的性质，如唯一性、连续性等。
立方根的计算方法
掌握立方根的计算方法，包括直接开立法、因式分解法、配方法 等。
立方根的应用题
解析与立方根相关的应用题，如体积、密度、速度等问题。
平方根与立方根复习课件
目 录
• 平方根基础概念 • 立方根基础概念 • 平方根与立方根的应用 • 平方根与立方根的常见题型解析 • 平方根与立方根的易错点解析
01
平方根基础概念
平方根的定义
平方根的定义
如果一个数的平方等于给定的数 ，则这个数被称为给定数的平方 根。例如，4的平方根是2，因为 2的平方等于4。
VS
运算顺序混淆
与平方根类似，学生在进行立方根运算时 也容易忽略运算的优先级。例如，在计算 表达式 $sqrt[3]{2} times sqrt[3]{3}$ 时 ，应先进行乘法运算再进行开方，但学生 可能会直接将两者相乘后再开方。
平方根与立方根混淆的错误解析
概念混淆
部分学生在处理平方根与立方根问题时容易 将两者概念混淆，导致解题思路和答案出现 偏差。例如，将 $sqrt[3]{8}$ 误认为是 $sqrt{8}$ 的值，或者在处理平方根和立方 根混合运算时出现混乱。
平方根与立方根课件
平方根与立方根课件一、引言平方根与立方根是数学中常见的概念，在实际生活中也有着广泛的应用。
本课件将详细介绍平方根与立方根的概念、计算方法以及应用场景，帮助学生深入理解并掌握相关知识。
二、平方根的概念与计算1. 平方根的定义：平方根是指一个数的平方等于被开方数的数，也就是对于非负实数a，满足a^2=b，那么b就是a的平方根。
2. 平方根的计算方法：通过数学运算，我们可以得到平方根的计算方法，其中包括牛顿迭代法、二分法等。
课件将逐一介绍这些方法，并通过示例演示具体的计算步骤。
三、立方根的概念与计算1. 立方根的定义：立方根是指一个数的立方等于被开方数的数，也就是对于实数a，满足a^3=b，那么b就是a的立方根。
2. 立方根的计算方法：与平方根类似，立方根也有多种计算方法，如二分法、牛顿迭代法等。
课件将详细解释这些方法，并提供示例，帮助学生掌握立方根的计算步骤。
四、平方根与立方根的应用场景1. 面积和体积计算：平方根和立方根在几何计算中有着广泛的应用，可以用于计算图形的面积和体积。
2. 物理学中的应用：平方根和立方根在物理学中也有着重要的应用，例如在速度、加速度以及力的计算中。
3. 统计学中的应用：平方根和立方根在统计学中常用于计算方差和标准差等指标。
五、小结平方根与立方根是数学中的重要概念，通过本课件的学习，我们深入了解了它们的定义、计算方法以及应用场景。
希望本课件能够帮助学生更好地掌握平方根与立方根的知识，提升数学能力。
六、参考文献[参考文献1][参考文献2][参考文献3]。