优化的非等时距灰色模型在湖南高速公路路基沉降预测中的应用

1
概述
列的数据默认为是满足等时距的 。 灰色系统随 着不断的研究和发展， 各种多维和非等时距等方面 也有了很好的改善和补充
［2 ～ 5 ］
［1 ］
近年来， 湖南省高速公路发展迅猛， 修建里程不 断刷新， 为交通的提速和便捷起到了非常重要的促 进作用。在高速公路修建中难免遇到高填方和软土 地基， 此类地基具有沉降量大、 固结完成时间长的特 。 ， 点 如果任其发展 则地基可能局部承载力迅速降 低， 或者沉降过大而引起路面变形甚至破坏 ， 对行车 舒适度和行车安全构成了隐患乃至直接威胁 。对路 可 基沉降的监测是对路基沉降发展轨迹进行记录 ， 为分析其影响和发展趋势提供基础数据的重要手 段。而路基沉降的监测量通常不一定是等间隔时间 但其本身确是一组具有时间变化的灰色现 测得的， 象。 1 ） 对建模序 灰色理论的传统核心模型 GM （ 1 ，
（ 0） 设原始数据序列为 x1 （ t i ） =
{
b： 求待定系数 a，
（ 0） （ 0） x1 （ t1 ） ， x1 T u =［ a， b］ = （ B T B） －1
BT YN 。
（ 0） （ t2 ） ， …， x1 （ tn ）
每个 x }，
（ 0） 1
（ t i ） 即是对应 t i 的原
列做累减生成：
（ －1） （ 0） （ 0） x2 （ i + 1 ） = x2 （ i + 1 ） － x2 （ i） ，
i = 1， 2， …， n。 一次累减生成的生成序列为：
（ 6）
（ 1） z0 （ t i ） 将势必不断积累误差， 拟时间较长时， 使模 。 拟结果有较大的单向偏差 这种模型上的缺陷是有
其中， B = － － － 1 2 1 2
始观测值。 设原始数据的时间间距差为： 2， …， n － 1。 Δt i = t i + 1 － t i ，i = 1 ， 如果 Δt i ≠const， 则称建立的灰色模型为非等时 距预测模型。非等时距数列无法直接建立传统的等 1 ） 模型， 时距 GM（ 1 ， 本文拟采用非等时距数列等时 距处理后再建模。此外， 路基沉降通常存在终值， 即 沉降量的变化会收敛于一个定 在时间足够久之后， 1 ） 的时间响应函数通常是指 值。而一般的 GM （ 1 ， 数增长函数， 通过累减构建微分方程往往可以得到 有效的增长呈收敛的负指数函数 。具体构建过程如 下： ① 求平均时间间隔 Δt0 。 1 1 （ t － t1 ） 。 Δ t0 = Δt i = n － 1∑ n －1 n i =1 数。 μ（ t i ） = t i － （ i － 1 ） Δ t0 ，i∈{ 1 ， 2， …， n }。 （ 2） Δ t0
背景值是直接影响灰色模型模拟和预测精度的
{
（ 0） （ 0） （ 0） x2 （ 1） ， x2 （ 2） ， …， x2 （ n）
}
。 （ 5）
1 ） 模型建模中背景值取均 关键因素。一般 GM （ 1 ， x （ 1） （ t i － 1 ） + 值形式， 即如上式 （ 9 ） 中的形式： 0 ． 5［
第 38 卷， 第4 期 2 0 1 3 年 8 月
公 路 工 程 Highway Engineering
Vol． 38 ，No． 4 Aug ． ， 2013
优化的非等时距灰色模型在湖南高速公路路基 沉降预测中的应用
1 2 曾鼎文 ，吴浩中
（ 1． 湖南省路桥建设集团公司，湖南 长沙 410004 ； ［ 摘
（ －1） 2
（ 3） ， …， x
（ －1） 2
]
T
。
（ 10 ） ⑥对x 应函数。
（ 0） 2
（ t） 建立 GM（ 1 ， 1 ） 模型， 得到时间响
^ （ 0） （ k + 1 ） = x 2
(x
（ －1） 2
（ 1） －
b e －ak + b ， a a （ 11 ）
)Baidu Nhomakorabea
k = 1， 2， …， n。 （ 1）
2． 葛洲坝集团第六工程有限公司，福建 厦门 443002 ）
要］ 通过对非等时距原始数据等时距处理和累减构建基于灰色理论的微分模型的方法， 成功建立了高
速公路高填方路堤沉降的非等时距灰色预测模型 。并在此基础上， 引入加权因子， 优化重构了背景值函数 。 优化 预测结果经检验显示， 优化的模型效果更佳。 的非等时距灰色模型在沉降监测的实践应用中， ［ 关键词］ 灰色理论； 沉降监测； 路基； 高速公路 ［ 中图分类号］ U ［ 文献标识码］ A ［ 文章编号］ 1674 — 0610 （ 2013 ） 04 — 0269 — 04
第4 期
曾鼎文， 等： 优化的非等时距灰色模型在湖南高速公路路基沉降预测中的应用
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待改进的。
小型山地， 高速公路网络贯穿中高填方路基时有使 用。对高路基沉降进行监测得到的数据通常为非等 时距的。且从土体固结的角度分析， 其沉降的数据 而不会 应是随时间的不断发展会收敛于某一终值 ， 随时间的发展呈无限制的不断增大趋势 。此类现象 1 ） 经典灰色模型。 的预测不宜采用传统的 GM （ 1 ， 实例应用中选取了长湘高速公路 k118 + 420 （ 实例 1 ） 和垄茶高速 k28 + 200 的左 1． 5 m （ 实例 2 ） 的高
n －1
[x [x
（ 0） 2
（ 0） 2 （ 0） 2
（ 0） （ 1 ） + x2 （ 2） （ 0） （ 2 ） + x2 （ 3）
] ] ]
（ n）
1 2
[x
（ 0） （ n － 1 ） + x2 （ n）
1 1 。 1 （ 9）
YN =
[x
（ －1） 2
（ 2） ， x
图 1 均值形式背景值构造示意 Figure 1 sketch map of structure
填方区在压实后非等时间监测得到的数据进行分 析， 其 中 长 湘 高 速 监 测 数 据 共 14 组， 采集历时 397 d； 垄茶高速监测数据共 10 组， 采集历时 378 d。 本文拟用前文中构建的非等时距灰色模型和优化背 景值后的模型进行分析。结果见表 1 。 从两个计算 实例来看： 两个模型预测的检验效果都达到了非常 满意的程度。如实例 1 后验差检验中， 非等时距模 p = 1， 型 I 和优化的非等时距模型 II 的 c = 0 ． 20 ， 检 验效果均达到了优的级别。实例 2 分别用两个模型 进行模拟后检验也均达到了优的级别 。为了详细比 较两个模型的精确度， 再采用残差检验进行分析， 得 到各自模型的误差和平均相对残差如表 1 ， 图2 所 示。 此外， 对两个建模过程中的拟合函数分析可得 ， 实例 1 在 t→∞ 时， 非等时距模型Ⅰ预测沉降存在终 值， 为 147． 54 mm； 优化的非等时距模型Ⅱ预测沉降 为 201． 33 mm。 实例 2 终沉降值按模 也存在终值， 型Ⅱ预测为 371 mm。 此值可在高填土路基预测固 结终值中作为参考数据使用。
为了减小这种背景函数构造中引起的建模误 差， 本文引入一个权因子 m， 得到一种新的背景值构 造方法： 1） Z （m （ t i ） = mx （ 1） （ t i － 1 ） + （ 1 － m） x （ 1） （ t i ） ， 0 ≤m≤1 。 （ 13 ） ： m ， m 其中 待定 可以通过变动 值来调节两侧原始 序列对实际值的贡献权重。 这样即可针对图 1 中 a， b 的不同情况， 得到不同灰色模型下的最优 m 值， 适用性和精度都得到了很好拓展 。m 值的选择可以 通过规划求解求取， 也可直接通过遍历优选求得。 为继承其适应性， 本文采用后者。 通过后面实例即 背景值的优化是有必要的， 且本文采用的新 可看出， 办法简单可行和行之有效。
(x
（ 0） 1
（ 1） －
b a
)e
－at i / Δt
+
b 。（ 12 ） a
Δx
（ 0） 1
（ t i ） = μ（ t i ）
（ 0） 1
[x
（ 0） 1
（ t i +1 ） － x
（ 0） 1
（ ti ）
]。
（ 3）
由此可得到原始数列的预测值或拟合值 ： ^ （ 0） （ t） = { x ^ （ 0） （ 1 ） ， ^ （ 0） （ 2 ） ， ^ （ 0） （ n） } 。 x x …， x 1 1 1 1 模型的检验本文综合考虑了残差检验， 关联度 。 检核和后验差检验 以三者作为模型适应性的检验 并以残差检验中的平均相对误差作为背景值 手段， 优化模型的比较参数。
并补充 Δx x
（ 0） 2
（ tn ） = 0。 （ t i ） － Δx
（ 0） 1
（ 0） ④ 可求得等间隔点的灰数值 x2 （ t i ） 。
（ t） = x
（ 0） 1
（ ti ） ， （ 4）
i∈{ 1 ， 2， …， n }。 于是得到等间隔序列为：
（ 0） x2 （ t） =
3
背景值的优化
2． GEIHOU-
［ Abstract］ Unequal TimeInterval Gray model for embanment settlement of expressway is established successfully， through the quantitative treatment of original Unequal TimeInterval data and building the differential equation based on gray theory by IAGO． And based on this，a weighted factor is introInduced，the background value function is Optimized and reconstructed． The Optimized Unequal Timeterval grey model is applied in the settlement monitoring and the Predicted results by the test is much better． ［ Key words］ grey theory； subsidence monitoring； roadbed； highway
⑦ 还原为非等间隔数列中与 t 有关的函数。 将非等间隔序列中的时间 Δt i 代入模型， 令k + 1 = t i / Δ t0 ， 即可还原为非等间隔数列与 t 有关的函 数。 ^ （ 0） （ t） = x 1
② 求各时间段与平均时间段的单位时段差系
（ 0） ③ 求各时间段的总差值 Δx1 （ t i ） 。
（ 1） x （ 1） （ t i ） ］ ， 记以代号 z0 （ t i ） 。由于不管原始序列如
⑤ 求待定系数向量。 令首项 x2
（ －1） （ 0） （ 1 ） = x2 （ 1） ， 其他项由等间隔序
而累加或者累减生成的序列总是呈凹的 ， 因此背 何， 景值的取均值形式得到的累积面积值会总是大于实 际值， 如图 1 所示。 如果序列数据变化急剧或者模
［ 作者简介］ 曾鼎文（ 1975 — ） ， 男， 湖南湘潭人， 工程师， 从事公路桥梁施工与管理工作。
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公 路 工
程
（ －1） x2 （ t） =
38 卷
好。
{x
（ －1） 2
（ －1） （ －1） （ 1） ， x2 （ 2） ， …， x2 （ n）
}。
（ 7） （ 8）
2
非等时距模型的构建
［ 收稿日期］ 2013 — 07 — 25
。但一般的非等时距
仍存在两个 针对高填土路基沉降的预测模型来说， 方面的不足： 一个是模型的精度有待提高， 一个是一 般模型对填土沉降终值趋于收敛的变化趋势未做考 虑。因此， 对高填土路基沉降发展趋势的预测可以 基于灰色理论进行分析， 但需要对等时距模型和非 并有必要在传统模型上 等时距原始数据进行协调， 对路基沉降本身发展等特点进行适当的调整和优 化。 本文拟在灰色理论的基础上， 对原始数据进行 等时距处理， 在累减的基础上重新构建微分方程 ， 得 到新的灰色模型， 并对此模型的背景值进行了优化 ， 得到的新模型在高填方路基的应用中检验效果良
Application of Optimization Unequal TimeInterval Gray model in Forecast of Subsidence of Embankment Settlement of Expressway
CENG Dingwen1 ，WU Haozhong2 （ 1． Hunan Road and Bridge Construction Group Corp， Changsha， Hunan 410004 ， China； BA GROUP NO． 6 ENGINEERING． CO． LTD，Xiamen，Rujian 443002 ，China）