备战2021高考《第4讲指数函数对数函数幂函数》近5年高考数学分类研讨
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第四讲 指数函数、对数函数、幂函数
2020年
1.(2020•全国3卷)Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领城.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位:天)的Logistic 模型:0.23(53)
()=
1e t I K t --+,其中K 为最大确
诊病例数.当I (*t )=0.95K 时,标志着已初步遏制疫情,则*t 约为( )(ln19≈3) A. 60 B. 63 C. 66 D. 69
【答案】C
【解析】将t t *
=代入函数()()0.23531t K
I t e
--=
+结合
()0.95I t K *
=求得t
*
即可得解.
【详解】
()()
0.23531t K I t e
--=
+,所以()(
)
0.2353
0.951t K I t K e
*
*
--=
=+,则
(
)0.2353
19t e
*-=,
所以,(
)
0.2353ln193t *
-=≈,解得3
53660.23
t *
≈
+≈.故选:C. 【点睛】本题考查对数的运算,考查指数与对数的互化,考查计算能力,属于中等题. 2.(2020•全国3卷)已知55<84,134<85.设a =log 53,b =log 85,c =log 138,则( ) A. a
【答案】A
【解析】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈,利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系,由8log 5b =,得85b =,结合5458<可得出45b <,由13log 8c =,得138c =,结合45138<,可得出4
5
c >,综合可得出a 、b 、c 的大小关系. 【
详
解
】
由
题
意
可知
a
、
b
、
()
0,1c ∈,
()2
2
2
528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫
++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,a b ∴<; 由8log 5b =,得85b =,由5458<,得5488b <,54b ∴<,可得4
5
b <
;
由13log 8c =,得138c =,由45138<,得451313c <,54c ∴>,可得4
5
c >.综上所述,a b c <<. 故选:A.
【点睛】本题考查对数式的大小比较,涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用,考查推理能力,属于中等题.
3.(2020•新全国1山东)基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律,指数增长率r 与R 0,T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28,T =6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) ( ) A. 1.2天 B. 1.8天 C. 2.5天 D. 3.5天
【答案】B
【解析】根据题意可得()0.38rt
t
I t e e
==,设在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时
间为1t 天,根据10.38()0.382t t t e e +=,解得1t 即可得结果. 【详解】因
0 3.28R =,6T =,01R rT =+,所以 3.281
0.386
r -=
=,所以()0.38rt t I t e e ==, 设在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天, 则10.38()0.382t t t e e +=,所以10.382t e =,所以10.38ln 2t =,所以1ln 20.69
1.80.380.38
t =
≈≈天.故选:B. 【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用,考查了指数式化对数式,属于基础题.
4.(2020•天津卷)设0.8
0.7
0.713,,log 0.83a b c -⎛⎫
=== ⎪
⎝⎭
,则,,a b c 的大小关系为( )
A. a b c <<
B. b a c <<
C. b c a <<
D. c a b <<
【答案】D
【解析】利用指数函数与对数函数的性质,即可得出,,a b c 的大小关系.
【详解】因为0.7
31a =>,0.8
0.80.71333b a -⎛⎫
==>= ⎪
⎝⎭
,0.70.7log 0.8log 0.71c =<=,
所以1c a b <<<.故选:D.