备战2021高考《第4讲指数函数对数函数幂函数》近5年高考数学分类研讨

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专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第四讲 指数函数、对数函数、幂函数

2020年

1.(2020•全国3卷)Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领城.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位:天)的Logistic 模型:0.23(53)

()=

1e t I K t --+,其中K 为最大确

诊病例数.当I (*t )=0.95K 时,标志着已初步遏制疫情,则*t 约为( )(ln19≈3) A. 60 B. 63 C. 66 D. 69

【答案】C

【解析】将t t *

=代入函数()()0.23531t K

I t e

--=

+结合

()0.95I t K *

=求得t

*

即可得解.

【详解】

()()

0.23531t K I t e

--=

+,所以()(

)

0.2353

0.951t K I t K e

*

*

--=

=+,则

(

)0.2353

19t e

*-=,

所以,(

)

0.2353ln193t *

-=≈,解得3

53660.23

t *

+≈.故选:C. 【点睛】本题考查对数的运算,考查指数与对数的互化,考查计算能力,属于中等题. 2.(2020•全国3卷)已知55<84,134<85.设a =log 53,b =log 85,c =log 138,则( ) A. a

【答案】A

【解析】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈,利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系,由8log 5b =,得85b =,结合5458<可得出45b <,由13log 8c =,得138c =,结合45138<,可得出4

5

c >,综合可得出a 、b 、c 的大小关系. 【

可知

a

b

()

0,1c ∈,

()2

2

2

528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫

++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

,a b ∴<; 由8log 5b =,得85b =,由5458<,得5488b <,54b ∴<,可得4

5

b <

由13log 8c =,得138c =,由45138<,得451313c <,54c ∴>,可得4

5

c >.综上所述,a b c <<. 故选:A.

【点睛】本题考查对数式的大小比较,涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用,考查推理能力,属于中等题.

3.(2020•新全国1山东)基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律,指数增长率r 与R 0,T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28,T =6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) ( ) A. 1.2天 B. 1.8天 C. 2.5天 D. 3.5天

【答案】B

【解析】根据题意可得()0.38rt

t

I t e e

==,设在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时

间为1t 天,根据10.38()0.382t t t e e +=,解得1t 即可得结果. 【详解】因

0 3.28R =,6T =,01R rT =+,所以 3.281

0.386

r -=

=,所以()0.38rt t I t e e ==, 设在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天, 则10.38()0.382t t t e e +=,所以10.382t e =,所以10.38ln 2t =,所以1ln 20.69

1.80.380.38

t =

≈≈天.故选:B. 【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用,考查了指数式化对数式,属于基础题.

4.(2020•天津卷)设0.8

0.7

0.713,,log 0.83a b c -⎛⎫

=== ⎪

⎝⎭

,则,,a b c 的大小关系为( )

A. a b c <<

B. b a c <<

C. b c a <<

D. c a b <<

【答案】D

【解析】利用指数函数与对数函数的性质,即可得出,,a b c 的大小关系.

【详解】因为0.7

31a =>,0.8

0.80.71333b a -⎛⎫

==>= ⎪

⎝⎭

,0.70.7log 0.8log 0.71c =<=,

所以1c a b <<<.故选:D.