2017-2018学年高中数学 第三章 推理与证明 3.3 综合法与分析法课件 北师大版选修1-2
高中数学第三章推理与证明3.3综合法与分析法学案含解析北师大版选修1
学习资料§3 综合法与分析法授课提示：对应学生用书第22页[自主梳理]一、综合法的定义从命题的________出发,利用________、________、________及________，通过________一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法．二、综合法证明的思维过程用P 表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框图表示为:错误!→错误!→错误!→…→错误!三、分析法的定义从________出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的________，直到归结为这个命题的______，或者归结为________、________、________等，这种思维方法称为分析法．四、分析法证明的思维过程用Q 表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为： Q ⇐P 1→错误!→错误!→…→错误
A命题的条件或已有的定义、公理、定理等 ⇒ 结论B ⇒ 结论C ⇒ 命题的结论D
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
综合法的特点 1．从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导果，其 逐步推理，实际上是寻找它的必要条件． 2．用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步 步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹． 3．由于综合法证明命题“若A则D”的思考过程可表示为如 下图所示：
答案： p≥q
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
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4．已知a，b，c∈R，且它们互不相等，求证： a4＋b4＋c4>a2b2＋b2c2＋c2a2. 证明：∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，a4＋c4≥2a2c2， ∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)． 即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. 又∵a，b，c互不相等， ∴a4＋b4＋c4>a2b2＋b2c2＋c2a2.
2．用综合法证明不等式时常用的结论有： ①ab≤a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)；②a＋b≥2 ab(a≥0， b≥0)．
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
1．在△ABC中，三角形内角A、B、C对应的边分别为a、 b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
1.用综合法证明有关角、边的不等式时，要分 析不等式的结构，利用正弦定理、余弦定理将角化为边或将边 化为角，通过恒等变形、基本不等式等手段，可以从左证到右， 也可以从右证到左，还可两边同时证到一个中间量．一般遵循 “化繁为简”的原则．
高中数学第三章推理与证明综合法与分析法分析法课后演练提升北师大版选修
2016-2017学年高中数学第三章推理与证明 3 综合法与分析法3.2 分析法课后演练提升北师大版选修1-2一、选择题1．要证明3＋7＜25可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( )A．综合法B．分析法C．类比法D．归纳法解析：要证明3＋7＜25，只需证3＋7＜5＋ 5.两边平方有10＋221＜10＋10.即只要证221＜10.再两边平方有84＜100成立．故3＋7＜25成立．由证明过程可知分析法最合理．答案： B2．如果a、b都是非零实数，则下列不等式不恒成立的是( )A．|a＋b|－|b|≤|a| B．2ab≤|a＋b|(ab＞0)C．|a－b|≥|b|－|a| D．|a＋b|≥a－b解析：A中，|a|＝|(a＋b)－b|≥|a＋b|－|b|成立；B中，要使2ab≤|a＋b|成立，只需4ab≤a2＋2ab＋b2，即(a－b)2≥0成立，∴B中不等式恒成立；C中，|a－b|≥|b|－|a|成立；但D中不一定恒成立，当a≤b时显然成立，当a＞b时，要使|a＋b|≥a－b成立，只需使(a＋b)2≥(a－b)2即4ab≥0成立，但a＞b不一定有ab≥0成立，所以D中不等式不恒成立．答案： D3．设正数a、b、c、d满足a＋d＝b＋c，且|a－d|＜|b－c|，则( )A．ad＝bc B．ad＜bcC．ad＞bc D．ad≤bc解析：|a－d|＜|b－c|，∴|a－d|2＜|b－c|2，即a2＋d2－2ad＜b2＋c2－2bc.∵a＋d＝b＋c，∴(a＋d)2＝(b＋c)2∴a 2＋d 2＋2ad ＝b 2＋c 2＋2bc . ∴－4ad ＜－4bc .∴ad ＞bc . 答案： C4．已知a ，b 为非零实数，则使不等式：a b ＋ba≤－2成立的一个充分不必要条件是( ) A ．ab ＞0 B ．ab ＜0 C ．a ＞0，b ＜0D ．a ＞0，b ＞0解析： ∵a b 与b a 同号，由a b ＋b a ≤－2，知a b ＜0，b a ＜0，即ab ＜0.又若ab ＜0，则a b ＜0，b a＜0.∴a b ＋b a＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－2， 综上，ab ＜0是a b ＋b a≤－2的充要条件，∴a ＞0，b ＜0是a b ＋b a≤－2的一个充分而不必要条件． 答案： C 二、填空题5．如右图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧棱垂直于底面，满足____________________时，BD ⊥A 1C .(写出一个条件即可)．解析： 欲使BD ⊥A 1C ， 只需BD ⊥面A 1ACC 1，∴可填条件：BD ⊥AC 或ABCD 为菱形(正方形)等． 答案： BD ⊥AC (不唯一)6．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是__________________． 解析： a a ＋b b ＞a b ＋b a ⇔a a －a b ＞b a －b b ⇔a (a －b )＞b (a －b ) ⇔(a －b )(a －b )＞0 ⇔(a ＋b )(a －b )2＞0，只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可． 答案： a ≥0，b ≥0且a ≠b 三、解答题7．已知a>6，求证：a－3－a－4<a－5－a－6.证明：证法一：要证a－3－a－4<a－5－a－6，只需证a－3＋a－6<a－5＋a－4⇐(a－3＋a－6)2<(a－5＋a－4)2，⇐2a－9＋2a－3a－6<2a－9＋2a－5a－4⇐a－3a－6<a－5a－4，⇐(a－3)(a－6)<(a－5)(a－4)，⇐18<20因为18<20显然成立，所以原不等式a－3－a－4<a－5－a－6成立．证法二：要证a－3－a－4<a－5－a－6，只需证1a－3＋a－4<1a－5＋a－6，只需证a－3＋a－4>a－5＋a－6.∵a>6，∴a－3>0，a－4>0，a－5>0，a－6>0. 又∵a－3>a－5，∴a－3>a－5.同样有a－4>a－6，则a－3＋a－4>a－5＋a－6.∴a－3－a－4<a－5－a－6.8．已知a，b是正实数，求证：ab＋ba≥a＋b.证明：证法一(比较法)：∵ab＋ba－a－b＝b－aa＋a－bb＝a－b a－bab＝a－b2a＋bab≥0，∴ab＋ba≥a＋b.证法二(分析法)：要证ab＋ba≥a＋b，只要证：a a＋b b≥ab(a＋b)．即证(a ＋b －ab )(a ＋b )≥ab (a ＋b )． 即证a ＋b －ab ≥ab . 也就是要证a ＋b ≥2ab . 显然a ＋b ≥2ab 成立， 故a b ＋ba≥a ＋b . 证法三(综合法，因为左边是分式型，利用基本不等式x ＋1x≥2(x >0)使左边向整式型过渡)：(法一)∵a b ＋b ＋ba＋a ≥2ab ·b ＋2ba·a ＝2a ＋2b ，当且仅当a ＝b 时取等号，∴a b ＋ba≥a ＋b . (法二)∵⎝⎛⎭⎪⎫a b ＋b a (a ＋b )＝a ＋b ＋a a b ＋b b a≥a ＋b ＋2a a b ·b ba＝a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当a ＝b 时取等号，∴a b ＋ba≥a ＋b .9．设a 、b 、c 为三角形的三边，且S 2＝2ab ，S ＝12(a ＋b ＋c )，试证：S ＜2a .证明： 欲证S ＜2a ，∵S ＝12(a ＋b ＋c )，即只需证12(a ＋b ＋c )＜2a ，即需证b ＋c ＜3a ，再往下无法进行，故需另用其他证法．又由S 2＝2ab ，故只需证S ＜S 2b即b ＜S ，即2b ＜a ＋b ＋c故只需证b ＜a ＋c ，由三角形一边小于其他两边和，此式显然成立．原命题得证．。
高中数学第三章推理与证明3.3综合法与分析法1学业分层测评含解析北师大版选修1_2
3.3 综合法与分析法（1）学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知a ，b 为非零实数，则使不等式a b ＋ba≤－2成立的一个充分不必要条件是( )A ．a ·b >0B ．a ·b <0C ．a >0，b <0D ．a >0，b >0【解析】∵a b ＋b a ≤－2，∴a2＋b2ab≤－2.∵a 2＋b 2>0，∴ab <0，则a ，b 异号，故选C.【答案】 C2．平面内有四边形ABCD 和点O ，OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形【解析】∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →，∴OA →－OB →＝OD →－OC →，∴BA →＝CD →，∴四边形ABCD 为平行四边形．【答案】 D3．若实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( )A.12B ．a 2＋b2C ．2abD ．a 【解析】∵a ＋b ＝1，a ＋b >2ab ，∴2ab <12.而a 2＋b 2>＋2＝12. 又∵0<a <b ，且a ＋b ＝1，∴a <12，∴a 2＋b 2最大，故选B.【答案】B4．A ，B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【解析】 若A >B ，则a >b ，又a sin A ＝b sin B，∴sin A >sin B ； 若sin A >sin B ，则由正弦定理得a >b ，∴A >B .【答案】C5．若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是()A ．若m β，α⊥β，则m ⊥αB ．若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥βC ．若m ⊥β，m ∥α，则α⊥βD ．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ【解析】 对于A ，m 与α不一定垂直，所以A 不正确；对于B ，α与β可以为相交平面；对于C ，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于D ，β与γ不一定垂直．【答案】 C 二、填空题6．设e 1，e 2是两个不共线的向量，AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，若A ，B ，C 三点共线，则k ＝________.【解析】 若A ，B ，C 三点共线，则AB →＝λCB →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1＋3e 2)＝λe 1＋3λe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，3λ＝k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝6.【答案】 67．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________．【解析】∵a 2－c 2＝2－(8－43)＝48－36>0，∴a >c .又∵c b ＝6－27－3＝7＋36＋2>1，∴c >b ，∴a >c >b .【答案】a >c >b。
【高中数学优质课件】推理与证明03综合法与分析法 课件(31张)
• 预学3:用框图表示综合法与分析法的证明过 程
• (1)综合法可用框图表示:(用P表示已知条件， 已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证 明的结论)
• P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q • (2)若用Q表示所要证明的结论，分析法可用
框图表示: • Q⇐P1→P1⇐P2➝P2⇐P3→…→得到一个明
• 即证b2c2＋a2d2≥2abcd， • 只需证(bc－ad)2≥0. • 因为(bc－ad)2≥0显然成立， • 所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2成立.
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第3课时 综合法与分析法
• (综合法)因为b2c2＋a2d2≥2abcd(当且仅当bc ＝ad时取等号)，
第3课时 综合法与分析法
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第3课时 综合法与分析法
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第3课时 综合法与分析法
• 变式训练3设a≥b>0，求证:3a3＋2b3≥3a2b＋ 2ab2.
• 【解析】(法一)综合法: • 3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2) • ＝3a2(a－b)＋2b2(b－a) • ＝(3a2－2b2)(a－b). • 因为a≥b>0，所以a－b≥0，3a2－2b2>0， • 所以(3a2－2b2)(a－b)≥0， • 所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2成立.
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第3课时 综合法与分析法
• 分析法与综合法的关系 • (1)区别:综合法是“由因导果”，而分析法则
是“执果索因”，它们是截然相反的两种证 明方法.分析法便于我们去寻找思路，而综 合法便于过程的叙述，两种方法各有所长， 在解决具体问题时，结合起来运用效果会 更好.
高中数学第三章推理与证明3.2分析法课件北师大版选修1-2
2.分析法证题的书写格式 用分析法书写证明过程时的格式为： “要证……, 只需证……, 只需证……, … 由于…显然成立(已知,已证…), 所以原结论成立.”其中的关联词语不能省略.
第三章——
推理与证明
§3 综合法与分析法
3.2 分析法
[学习目标]
1.理解分析法的意义,掌握分析法的特点. 2.会用分析法解决问题. 3.会综合运用分析法、综合法解决数学问题.
1 知识梳理 2 题型探究 3 当堂检测
自主学习 重点突破 自查自纠
知识点一 分析法的定义
从 求证的结论 出发,一步一步地探索保证前一个结论成立 的充分条件,直到归结为这个命题的 条件,或者归结为定义、 公理 、 定理等,这种思维方法称为分析法.
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1.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的 ( A)
A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.；②综合法是顺推法；
③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；
⑤分析法是逆推法.
其中正确的语句有( C )
A.2个
B.3个 C.4个 D.5个
知识点三 综合法和分析法的综合应用
在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使用： 根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q′；根 据 结 论 的 结 构 特 点 去 转 化 条 件 , 得 到 中 间 结 论 P′. 若 由 P′可以推出Q′成立,即可证明结论成立.
题型一 用分析法证明不等式
只需证AE⊥BC(因为AE⊥SB), 只需证BC⊥平面SAB, 只需证BC⊥SA(因为AB⊥BC), 由SA⊥平面ABC可知,上式成立.∴AF⊥SC.
反思与感悟 立体几何问题证明中,由于垂直、平行关系 较多,不容易确定如何在证明过程中使用条件,因此利用综 合法证明比较困难.这时,可用分析法.
高中数学 第三章 推理与证明 3 综合法与分析法教案(含解析)北师大版选修1-2-北师大版高二选修1
3综合法与分析法综合法阅读下面的例题．例：若实数a，b满足a＋b＝2，证明：2a＋2b≥4.证明：因为a＋b＝2，所以2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝222＝4，故2a＋2b≥4成立．问题1：本题利用了什么公式？提示：基本不等式．问题2：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论．综合法(1)含义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明的思维方法，称为综合法．(2)思路：综合法的基本思路是“由因导果”．(3)模式：综合法可以用以下的框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q其中P为条件，Q为结论.分析法你们看过侦探小说《福尔摩斯探案集》吗？福尔摩斯在探案中的推理，给人印象太深刻了．有时，他先假定一个结论成立，然后逐步寻找这个结论成立的一个充分条件，直到找到一个明显的证据．问题1：福尔摩斯的推理如何入手？提示：从结论成立入手．问题2：他又是如何分析的？提示：逐步探寻每一结论成立的充分条件．问题3：这种分析问题方法在数学问题的证明中可以借鉴吗？提示：可以．分析法(1)含义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．这种证明问题的思维方法称为分析法．(2)思路：分析法的基本思路是“执果索因”．(3)模式：若用Q 表示要证明的结论，则分析法可以用如下的框图来表示：1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．综合法的应用[例1] 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：a ＋b≥4.[思路点拨] 由已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论． [精解详析] 法一：∵a ，b 为正数，且a ＋b ＝1， ∴a ＋b ≥2ab ， ∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4.法二：∵a ，b 为正数， ∴a ＋b ≥2ab ＞0，1a ＋1b ≥21ab＞0，∴(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b≥4.法三：∵a ，b 为正数，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b＝1＋b a ＋ab ＋1≥2＋2a b ·ba＝4， 当且仅当a ＝b 时，取“＝”号． [一点通] 综合法的解题步骤1．在△ABC 中，AC AB ＝cos Bcos C，证明B ＝C .证明：在△ABC 中，由正弦定理及已知得sin B sin C ＝cos Bcos C .于是sin B cos C －cos B sin C＝0，即sin(B －C )＝0，因为－π<B －C <π，从而B －C ＝0，所以B ＝C .2．已知点P 是直角三角形ABC 所在平面外的一点，O 是斜边AB 的中点，并且PA ＝PB ＝PC .求证：PO ⊥平面ABC . 证明：连接OC ，如图所示，∵AB 是Rt △ABC 的斜边，O 是AB 的中点，∴OA ＝OB ＝OC . 又∵PA ＝PB ＝PC ，∴PO ⊥AB ，且△POA ≌△POC ， ∴∠POA ＝∠POC . ∴∠POC ＝90°，即PO ⊥AB ，PO ⊥OC ，且AB ∩OC ＝O ，所以PO ⊥平面ABC .分析法的应用[例2] 当a ＋b >0时，求证： a 2＋b 2≥22(a ＋b )． [思路点拨] 条件和结论的联系不明确，考虑用分析法证明，将要证明的不等式一步步转化为较简单的不等式．[精解详析] 要证 a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22a ＋b 2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .因为a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， 所以a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． [一点通] 分析法是“执果索因”，一步步寻找结论成立的充分条件．它是从求证的结论出发，逆向分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的，它的常见书写表达式是“要证……，只需证……”．3．求证：3＋6<4＋ 5.证明：欲证不等式3＋6<4＋5成立， 只需证3＋218＋6<4＋220＋5成立， 即证18<20成立， 即证18<20成立．由于18<20成立，故3＋6<4＋ 5.4.如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F ，求证：AF ⊥SC .证明：要证AF ⊥SC ，只需证SC ⊥平面AEF ， 只需证AE ⊥SC (因为EF ⊥SC )．只需证AE ⊥平面SBC ， 只需证AE ⊥BC (因为AE ⊥SB )， 只需证BC ⊥平面SAB ， 只需证BC ⊥SA (因为AB ⊥BC )， 由SA ⊥平面ABC 可知，BC ⊥SA 成立． ∴AF ⊥SC .综合法和分析法的应用[例3] 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，记A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c.[思路点拨] 综合分析此题，利用等差数列的性质及余弦定理即可得证． [精解详析] 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c ＝3， 即证明c a ＋b ＋ab ＋c＝1，所以只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 即证明c 2＋a 2＝ac ＋b 2.(*)∵△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， ∴∠B ＝60°.由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°. ∴b 2＝c 2＋a 2－ac .代入(*)式，等式成立． ∴c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立．故命题得证．[一点通] 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证．5．设x ，y ∈(0，＋∞)，求证：12(x ＋y )2＋14(x ＋y )≥x y ＋y x .证明：原不等式等价于2(x ＋y )2＋x ＋y ≥4x y ＋4y x ，即证(x ＋y )[2(x ＋y )＋1]≥2xy (2x ＋2y )．∵x ，y ∈(0，＋∞)， ∴x ＋y ≥2xy >0.∴只需证2(x ＋y )＋1≥2x ＋2y ，即证⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋14≥x ＋y . ∵x ＋14≥x ，y ＋14≥y ，当且仅当x ＝y ＝14时，等号成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋14≥x ＋y 成立． ∴12(x ＋y )2＋14(x ＋y )≥x y ＋y x . 6．证明函数f (x )＝log 2(x 2＋1＋x )是奇函数． 证明：∵x 2＋1>|x |， ∴x 2＋1＋x >0恒成立，∴f (x )＝log 2(x 2＋1＋x )的定义域为R ， ∴要证函数y ＝log 2(x 2＋1＋x )是奇函数， 只需证f (－x )＝－f (x )，只需证log 2(x 2＋1－x )＋log 2(x 2＋1＋x )＝0， 只需证log 2[(x 2＋1－x )(x 2＋1＋x )]＝0， ∵(x 2＋1－x )(x 2＋1＋x )＝x 2＋1－x 2＝1， 而log 21＝0.∴上式成立．故函数f (x )＝log 2(x 2＋1＋x )是奇函数．分析法与综合法的优缺点：综合法和分析法是直接证明的两种基本方法，两种方法各有优缺点．分析法解题方向较为明确，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后用综合法有条理地表述解题过程．1．下列表述：①综合法是由因导果法； ②综合法是顺推法； ③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法； ⑤分析法是逆推法． 其中正确的说法有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个解析：选C 由分析法、综合法的定义知①②③⑤正确.2．2．平面内有四边形ABCD 和点O ，OA ―→＋OC ―→＝OB ―→＋OD ―→，则四边形ABCD 为( ) A ．菱形 B ．梯形 C ．矩形D ．平行四边形解析：选D ∵OA ―→＋OC ―→＝OB ―→＋OD ―→， ∴OA ―→－OB ―→＝OD ―→－OC ―→.∴BA ―→＝CD ―→. ∴四边形ABCD 为平行四边形．3．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．a ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3解析：选C ∵a ＋b ＝2≥2ab ，∴ab ≤1. ∵a 2＋b 2＝4－2ab ，∴a 2＋b 2≥2.4．用分析法证明命题“已知a －b ＝1.求证：a 2－b 2＋2a －4b －3＝0.”最后要具备的等式为( )A ．a ＝bB ．a ＋b ＝1C ．a ＋b ＝－3D ．a －b ＝1解析：选D 要证a 2－b 2＋2a －4b －3＝0，即证a 2＋2a ＋1＝b 2＋4b ＋4，即(a ＋1)2＝(b ＋2)2，即证|a ＋1|＝|b ＋2|， 即证a ＋1＝b ＋2或a ＋1＝－b －2，故a －b ＝1或a ＋b ＝－3，而a －b ＝1为已知条件，也是使等式成立的充分条件． 5．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．答案：a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥06．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2的值是________．解析：∵a ＋b ＋c ＝0，a·b ＝0，∴c ＝－(a ＋b )． ∴|c |2＝(a ＋b )2＝1＋b 2. 由(a －b )·c ＝0，∴(a －b )·[－(a ＋b )]＝－|a |2＋|b |2＝0. ∴|a |2＝|b |2＝1. ∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4. 答案：47．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大． 证明：设圆和正方形的周长为L ，则圆的面积为π⎝ ⎛⎭⎪⎫L 2π2，正方形的面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫L 42，则本题即证π⎝⎛⎭⎪⎫L 2π2>⎝ ⎛⎭⎪⎫L 42.要证π⎝ ⎛⎭⎪⎫L 2π2>⎝ ⎛⎭⎪⎫L 42，只需证πL 24π2>L 216，只需证1π>14，即证4>π.因为4>π显然成立，所以π⎝⎛⎭⎪⎫L 2π2>⎝ ⎛⎭⎪⎫L 42.故原命题成立．8．求证：x 2－3x ＋4x 2＋3x ＋4≤7.证明：因为x 2＋3x ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋74>0，所以要证x 2－3x ＋4x 2＋3x ＋4≤7，只需证x 2－3x ＋4≤7(x 2＋3x ＋4)， 只需证x 2＋4x ＋4≥0.因为x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2≥0成立，所以x 2－3x ＋4x 2＋3x ＋4≤7成立．9．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数f (x ＋1)与f (x )的图像关于y 轴对称．求证：f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数．证明：要证f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数，只需证f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的对称轴为x ＝0. 只需证－b 2a －12＝0.只需证a ＝－b .∵函数f (x ＋1)与f (x )的图像关于y 轴对称， 即x ＝－b 2a －1与x ＝－b2a关于y 轴对称．∴－b 2a －1＝－－b2a，∴a ＝－b .∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数．。
2017-2018年度高中数学 第三章 推理与证明 3.3 综合法与分析法讲义 北师大版选修1-2
������2 + ���1���2+4≥a2+2+���1���2+2√2
������
+
1 ������
+2 成立.
从而只需证 2
������2
+
1 ������2
≥
√2
������
+
1 ������
成立,
只需证 4
������2
+
1 ������2
≥2
������2
+
2
+
1 ������2
,
即 a2+���1���2≥2 成立.
∴A=B=C=60°.因此△ABC 为等边三角形.
探究一
探究二
探究三
规范解答
反思感悟综合法证明问题的思路: (1)分析条件,选择方向.即分析题目的已知条件及已知与结论之 间的联系,选择相关的定理、公式等,确定恰当的解题方法. (2)转化条件,组织过程.即把已知条件转化成所需要的语言,主要 是文字、符号、图形三种语言之间的转化. (3)适当调整,回顾反思.即回顾解题过程,对部分步骤进行调整,并 对一些语言进行适当修饰,反思总结解题方法的选取.
探究一
探究二
探究三
规范解答
变式训练 3 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若 f(x+1)与 f(x)的图像关于 y
轴对称,求证:f
������
+
1 2
为偶函数.
证明:要证 f
������
+
1 2
为偶函数,只需证抛物线 f
������
+
2018_2019学年高中数学第三章推理与证明3综合法与分析法课件北师大版选修1_2
证明
引申探究 a＋b c 本例改为求证 > . 1＋a＋b 1＋c
证明 a＋b c 要证 > ， 1＋a＋b 1＋c
只需证a＋b＋(a＋b)c>(1＋a＋b)c， 即证a＋b>c. 而a＋b>c显然成立，
a＋b c 所以 > . 1＋a＋b 1＋c
证明
反思与感悟
综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，
证明：因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.
又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.
因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc. 答案 利用已知条件a>0，b>0和重要不等式，最后推导出所要证明的结
论.
梳理 综合法的定义及特点
(1)定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通
[思考辨析 判断正误] 1.综合法是执果索因的逆推证法.( × ) 2.分析法就是从结论推向已知.( × ) 3.分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆.( √ )
题型探究
类型一 用综合法证明不等式
例1 已知a，b，c∈R，且它们互不相等，求证：a4＋b4＋c4＞a2b2＋
b2c2＋c2a2. 证明 ∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，a4＋c4≥2a2c2，
1
2
3
4
5
解析
答案
a2x＋1－2 1 4.已知f(x)＝ (x∈R)是奇函数，那么实数a的值为__. x 2 ＋1
解析 a2x＋1－2 ∵f(x)＝ (x∈R)是奇函数， x 2 ＋1
－x
a2 ＋1－2 a2 ＋1－2 ∴f(－x)＋f(x)＝ ＋ ＝0， x －x 2 ＋1 2 ＋1
高中数学第三章推理与证明3综合法与分析法3.1综合法课件北师大版选修1_2
[边听边记] 证明：证法一：(1)∵a＋b＋c＝1， ∴(a＋b＋c)2＝1， ∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝1.① 又 2ab≤a2＋b2,2bc≤b2＋c2,2ca≤c2＋a2， ∴2ab＋2bc＋2ca≤2(a2＋b2＋c2)， ∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤3(a2＋b2＋c2)． 结合①可得 a2＋b2＋c2≥13.
•§3 综合法与分析法 •3．1 综合法
课前预习学案
若ax＋by＝1(a、b、x、y∈R＋，且 a≠b)， 求证：x＋y≥( a＋ b)2. 提示： 证明：∵x、y、a、b＞0 且ax＋by＝1， ∴x＋y＝(x＋y)ax＋by＝a＋b＋yxa＋xyb ≥a＋b＋2 yxa·xyb＝a＋b＋2 ab＝( a＋ b)2
1．综合法的定义
• 从命题的条件出发，利用__定__义___、_公_理____、_定_理____
运及 的算_结法_则论__，__直__到__演完通绎成过推理命__题__的__证__明__，一这步种步思地维接方近法要称证为明
________．
综合法
2．综合法的推证过程
A命题的条件或已有的定义、公理、定理等 ⇒ 结论B ⇒ 结论C ⇒ 命题的结论D
• 3．设p＝2x4＋1，q＝2x3＋x2，x∈R，则p与q的大小 关系是______．
解析： p－q＝2x4＋1－(2x3＋x2) ＝2x4－2x3＋1－x2＝2x3(x－1)＋(1－x)(1＋x) ＝(x－1)(2x3－1－x)＝(x－1)2(2x2＋2x＋1)
＝(x－1)22x＋122＋12≥0 ∴p≥q.
•
综合法的特点
• 1．从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由
因导果，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条 件．
高中数学第三章推理与证明3.3综合法与分析法2学业分层测评北师大版选修
3.3 综合法与分析法（2）学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若a ，b ∈R ，则1a 3>1b3成立的一个充分不必要条件是( )A ．ab >0B ．b >aC ．a <b <0D ．ab (a －b )<0【解析】 由a <b <0⇒a 3<b 3<0⇒1a 3>1b 3，但1a 3>1b3不能推出a <b <0，∴a <b <0是1a 3>1b3成立的一个充分不必要条件．【答案】 C2．求证：7－1>11－ 5. 证明：要证7－1>11－5， 只需证7＋5>11＋1，即证7＋27×5＋5>11＋211＋1，即证35>11， ∵35>11， ∴原不等式成立． 以上证明应用了( ) A ．分析法 B ．综合法C ．分析法与综合法配合使用D ．间接证法【解析】 该证明方法符合分析法的定义，故选A. 【答案】 A3．(2016·汕头高二检测)要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.a ＋b22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0【解析】 要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明(a 2－1)＋b 2(1－a 2)≤0，只要证明(a 2－1)(1－b 2)≤0，即证(a 2－1)(b 2－1)≥0.【答案】 D4．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足什么条件( )A ．a 2<b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2>b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2【解析】 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0，∴b 2＋c 2－a 2<0， 即b 2＋c 2<a 2. 【答案】 C5．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ”，索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0【解析】 由题意知b 2－ac <3a ⇐b 2－ac <3a 2⇐b 2＋a (a ＋b )<3a 2⇐b 2＋a 2＋ab <3a 2⇐b 2＋ab <2a 2⇐2a 2－ab －b 2>0⇐a 2－ab ＋a 2－b 2>0⇐a (a －b )＋(a ＋b )(a －b )>0 ⇐a (a －b )－c (a －b )>0⇐(a －b )(a －c )>0，故选C. 【答案】 C 二、填空题6．(2016·烟台高二检测)设A ＝12a ＋12b ，B ＝2a ＋b (a >0，b >0)，则A ，B 的大小关系为________．【解析】 ∵A －B ＝a ＋b 2ab －2a ＋b ＝a ＋b 2－4ab 2ab a ＋b ＝a －b 22ab a ＋b≥0，∴A ≥B .【答案】 A ≥B7．(2016·西安高二检测)如果a a >b b ，则实数a ，b 应满足的条件是________． 【解析】 要使a a >b b 成立，只需(a a )2>(b b )2，只需a 3>b 3>0，即a ，b 应满足a >b >0. 【答案】 a >b >08．如图337，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD ⊥A 1C .(写出一个条件即可)图337【解析】要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.【答案】AC⊥BD(或底面为菱形)三、解答题9．设a，b>0，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.【证明】法一：分析法要证a3＋b3>a2b＋ab2成立，只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，又因a＋b>0，只需证a2－ab＋b2>ab成立，只需证a2－2ab＋b2>0成立，即需证(a－b)2>0成立．而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立，由此命题得证．法二：综合法a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)2>0⇒a2－2ab＋b2>0⇒a2－ab＋b2>ab.注意到a，b>0，a＋b>0，由上式即得(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)，∴a3＋b3>a2b＋ab2.10．(2016·深圳高二检测)已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2＋b2＋c2≥43S.【证明】要证a2＋b2＋c2≥43S，只要证a2＋b2＋(a2＋b2－2ab cos C)≥23ab sin C，即证a2＋b2≥2ab sin(C＋30°)，因为2ab sin(C＋30°)≤2ab，只需证a2＋b2≥2ab，显然上式成立，所以a2＋b2＋c2≥43S.[能力提升]1．已知a ，b ，c ，d 为正实数，且a b <c d，则( ) A.a b <a ＋cb ＋d <cd B.a ＋cb ＋d <a b <cdC.a b <c d <a ＋cb ＋dD ．以上均可能【解析】 先取特殊值检验，∵a b <c d， 可取a ＝1，b ＝3，c ＝1，d ＝2， 则a ＋cb ＋d ＝25，满足a b <a ＋c b ＋d <cd. ∴B ，C 不正确． 要证a b <a ＋cb ＋d，∵a ，b ，c ，d 为正实数， ∴只需证a (b ＋d )<b (a ＋c )，即证ad <bc . 只需证a b <c d ，而a b <c d成立， ∴a b <a ＋cb ＋d .同理可证a ＋c b ＋d <cd.故A 正确，D 不正确． 【答案】 A2．(2016·黄冈高二检测)下列不等式不成立的是( ) A ．a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca B.a ＋b >a ＋b (a >0，b >0) C.a －a －1<a －2－a －3(a ≥3) D.2＋10>2 6【解析】 对于A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；对于B ，∵(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(a ＋b )2＝a ＋b ，∴a ＋b >a ＋b ； 对于C ，要证a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)成立，只需证明a ＋a －3<a －2＋a －1，两边平方得2a －3＋2a a －<2a －3＋ 2a －a －，即a a －<a －a －，两边平方得a 2－3a <a 2－3a ＋2，即0<2.因为0<2显然成立，所以原不等式成立；对于D ，(2＋10)2－(26)2＝12＋45－24＝4(5－3)<0，∴2＋10<26，故D 错误．【答案】 D3．使不等式3＋22>1＋p 成立的正整数p 的最大值是________． 【解析】 由3＋22>1＋p ，得p <3＋22－1， 即p <(3＋22－1)2， 所以p <12＋46－42－23，由于12＋46－42－23≈12.7，因此使不等式成立的正整数p 的最大值是12. 【答案】 124．(2016·唐山高二检测)已知a ，b ，c 是不全相等的正数，且0<x <1，求证：log x a ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c .【证明】 要证明log x a ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需要证明log x ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x(abc )，而已知0<x <1，故只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc .∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0，∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a 2b 2c 2＝abc ， 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc 成立， ∴log x a ＋b2＋log xb ＋c 2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立．。
高中数学 第三章 推理与证明 3.3.1 综合法与分析法综
3.3.1综合法与分析法-综合法学习目标1．理解综合法的思维过程及其特点；2．掌握运用综合法证明数学问题的一般步骤，能运用综合法证明简单的数学问题。
学法指导在充分理解综合法的特点的基础上，体会综合法证题的思维过程和步骤；并通过例题的学习和练习逐步学会运用综合法进行简单的数学证明。
事实上，我们对综合法应该很熟悉，以前进行的几何、不等式、三角恒等式的证明，大多运用的都是综合法，数学的解答题的解答过程也是运用综合法进行表述的。
重点: 理解综合法的思维过程和特点；难点：运用综合法证（解）题时，找出有效的推理“路线”； 教学过程： 学生探究过程：合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明。
若要证明下列问题：已知a,b>0,求证2222()()4a b c b c a abc +++≥教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。
教师最后归结证明方法。
学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义 证明:因为222,0b c bc a +≥>, 所以22()2a b c abc +≥, 因为222,0c a ac b +≥>, 所以22()2b c a abc +≥.因此, 2222()()4a b c b c a abc +++≥.P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示要证明的结论1. 综合法综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法用综合法证明不等式的逻辑关系是：()()()11223().....n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法例1、在△ABC 中,三个内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ,且A,B,C 成等差数列, ,,a b c 成等比数列,求证△ABC 为等边三角形.分析：将 A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C 为△ABC 的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =π； a , b ，c 成等比数列，转化为符号语言就是2b ac =．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．例2、已知,,+∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
高中数学 第三章 推理与证明 3.3.2 综合法与分析法分
3.3.2综合法与分析法——分析法一、学习目标：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
二、学习重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点。
难点：分析法的思考过程、特点 三、学习方法：探析归纳，讲练结合 四、学习过程 (一)、复习：直接证明的方法：综合法、分析法。
(二）、引入新课分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。
在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。
综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。
对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。
在很多数学命题的证明中，往往需要综合地运用这两种思维方法。
分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法用分析法证明不等式的逻辑关系是：()()1121().....()n n n Q P P P P P P P -⇐←⇐←⇐←⇐分析法的思维特点是：执果索因 分析法的书写格式： 要证明命题B 为真，只需要证明命题1B 为真，从而有…… 这只需要证明命题2B 为真，从而又有…………这只需要证明命题A 为真 而已知A 为真，故命题B 必为真 （三）、例题讲解：例1：如图、已知BE ，CF 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的高，G 为EF 的中点，H 为BC 的中点.求证：HG⊥EF.例2、已知：a ，b 是不相等的正数。
求证：2233ab b a b a +>+。
例3、求证5273<+在本例中，如果我们从“21<25 ”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。
2018年陕西省高三数学第3章《推理与证明》导学案：3.3综合法和分析法(1)
1. 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2. 会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.3. 根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.新知：一般地,利用,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法.反思：框图表示：要点：顺推证法；由因导果.※ 典型例题例1已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c++≥变式：已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：111(1)(1)(1)8a b c---≥.变式：设在四面体P ABC -中,90,,ABC PA PB PC ∠=︒==D 是AC 的中点.求证:PD 垂直于ABC ∆所在的平面.小结：解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言等,还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来.※ 动手试试练1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=练2. ,A B 为锐角，且tan tan tan A B A B +=，求证：60A B +=. （提示：算tan()A B +）三、总结提升※ 学习小结综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.※ 知识拓展综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从已知到未知,从题设到结论的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的命题,综合法是一种由因索果的证明方法.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D.较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知22,,"1""1"x y R xy x y ∈≤+≤则是的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2. 如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（ ）A ．5481a a a a >B ．5481a a a a <C ．5481a a a a +>+D ．5481a a a a =3. 设23451111log 11log 11log 11log 11P =+++，则（ ） A ．01P << B ．12P <<C ．23P <<D ．34P <<4.若关于x 的不等式22133(2)(2)22x x k k k k --+<-+的解集为1(,)2+∞，则k 的范围是____ .5. 已知b a ,是不相等的正数，x y ==,x y 的大小关系是_________.1. 已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证:3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>2. 在△ABC 中，证明：2222112cos 2cos b a b B a A -=-。
2018年陕西省高三数学第3章《推理与证明》导学案：3.3综合法和分析法(2)
.2. 根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.4850复习1：综合法是由导;复习2：基本不等式:新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.反思：框图表示要点：逆推证法；执果索因※典型例题例1>+变式：求证<小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.⊥⊥面SA ABC AB BC-,S ABC例2 在四面体中,,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F ,求证.AF SC ⊥变式：设为一个三角形的三边,,,a b c ,且,试证.1()2s a b c =++22s ab =2s a <小结：用题设不易切入,要注意用分析法来解决问题.※ 动手试试练1. 求证:当一个圆和一个正方形的周长相等时,圆的面积比正方形的面积大.练2. 设a , b , c 是的△ABC 三边，S 是三角形的面积，求证：2224c a b ab --+≥三、总结提升※学习小结分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知，直到所有12,,P P ⋅⋅⋅的已知P 都成立.※ 知识拓展证明过程中分析法和综合法的区别:在综合法中,每个推理都必须是正确的,每个推论都应是前面一个论断的必然结果,因此语气必须是肯定的.分析法中,首先结论成立,依据假定寻找结论成立的条件，这样从结论一直到已知条件.）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. ,其中最合理的是<A.综合法 B.分析法 C.反证法 D. 归纳法2.不等式①;②,其中恒成立的是233x x +>2b a a b+≥A.①B.②C.①②D.都不正确2. 设,且,求证:,a b R +∈a b ≠3322a b a b ab +>+。
高中数学 第三章 推理与证明 3.3 综合法与分析法 3.3.1 综合法知识导航素材 北师大版选修12
3.1 综合法自主整理1.从命题的条件出发,利用____________、____________、____________及____________,通过____________,一步步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明,这种思维方法称为____________. 高手笔记1.综合法的思考过程为“由因导果”的顺序，是从条件逐步推演到结论.2.对于命题“若P 则Q”的综合法证明可用框图表示为：名师解惑 综合法的解释剖析:综合法是从已知条件出发,经过推理,导出所要的结论,步骤比较简洁明了,但入手点比较难找.一般地,对于命题“若A 则D”,用综合法证明时,思考过程可表示为综合法的思考过程是由因导果的顺序,是从A 推演到D 的途径,但由A 推演出的中间结论未必唯一,如B,B 1,B 2等.由B,B 1,B 2推演出的进一步的中间结论则可能更多,如C,C 1,C 2,C 3,C 4等,最终能有一个(或多个)可推演出结论D 即可.在综合法中,每个推理都必须是正确的,每个论断都应当是前面一个论断的必然结果.因此所用语气必须是肯定的. 讲练互动【例1】设数列{a n }的前n 项和为S n ,且(3-m)S n +2ma n =m+3(其中m 为常数,n∈N +),且m≠-3. (1)求证:{a n }为等比数列;(2)若数列{a n }的公比q=f(m),数列{b n }满足b 1=a 1,b n =23f(b n-1)(n∈N +,n≥2),求证:{n b 1}为等差数列.分析：本题要证数列为等差、等比数列,所以需按定义研究a n+1与a n 的关系,而已知为S n ,需将S n 化为a n ,它们之间的关系为⎩⎨⎧≥-=-.2,,1,11n S S n S n na n =S 1,S n -S n-1, n=1,n≥2.证明：(1)由(3-m)S n +2ma n =m+3,得(3-m)S n+1+2ma n+1=m+3, ∴(3+m)a n+1=2ma n (m≠-3). ∴321+=+m mn a n . ∴{a n }为等比数列. (2)由已知q=f(m)=32+m m,b 1=a 1=1,∴当n≥2时,b n =23f(b n-1)=23·3211+--n n b b . ∴b n b n-1+3b n =3b n-1. ∴31111=--n n b b . ∴{n b 1}是首项为1、公差为31的等差数列. 绿色通道证明数列为等差、等比数列需紧扣定义,找到a n+1与a n 之间的关系,由已知前n 项和S n ,求出a n =⎩⎨⎧≥-=-.2,,1,11n S S n S n n 由已知条件逐步变形得到,从而得证.变式训练 1.已知f(x)=214x +-,P n (a n ,11+-n a )在曲线y=f(x)上(n∈N +)且a 1=1,a n >0. (1)求{a n }的通项公式.(2)数列{b n }的前n 项和为T n ,且满足2121++=n n nn a T a T +16n 2-8n-3.设定b 1的值,使得数列{b n }是等差数列.解:(1)由已知P n 在曲线y=f(x)上, ∴11+-n a =214na +-. ∴22111nn a a -+=4. ∴{21na }是等差数列, 21na =1+4(n-1)=4n-3. ∵a n >0,∴a n =3434--n n .(2)∵21nn a T +=21+n n a T +16n 2-8n-3=21+n n a T +(4n-3)(4n+1), 即(4n-3)T n+1=(4n+1)T n +(4n-3)(4n+1),∴141++n T n =34-n T n +1. ∴{34-n T n }为等差数列,首项为3141-⨯T =b 1,34-n T n =b 1+(n-1)=n+(b 1-1).∴T n =(4n-3)［n+(b 1-1)］=4n 2+(4b 1-7)n-3(b 1-1). 要使{b n }为等差数列,需使b 1-1=0,∴b 1=1.当b 1=1时,T n =4n 2-3n,b n =8n-7. ∴{b n }为等差数列.【例2】如图所示,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A 作SB 的垂线,垂足为E,过E 作SC 的垂线,垂足为F.求证:AF⊥SC. 分析：本题所要证的是线线垂直,可通过线面垂直来判定,而已知条件为线线垂直、线面垂直,通常我们需要将线面垂直转化为线线垂直,再由线线垂直转化为线面垂直,从而得证. 证明：∵SA⊥面ABC,∴SA⊥BC. ∵AB⊥BC,∴BC⊥面SAB. ∵AE 面SAB,∴BC⊥AE. ∵AE⊥SB,∴AE⊥面SBC. ∴AE⊥SC.又∵EF⊥SC, ∴SC⊥面AEF.∴SC⊥AF. 绿色通道从已知条件及已有定理入手,直接推证,线线垂直与线面垂直相互转化来加以证明. 变式训练2.如图所示,在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是正方形,PA⊥底面ABCD.求证:PC⊥BD.证明:∵PA⊥面ABCD,PC 为平面ABCD 的斜线, PC 在面ABCD 内的射影为AC,连结BD, ∵四边形ABCD 为正方形,∴AC⊥BD. ∴PC⊥BD.【例3】若a 、b 、c∈R +,求证:cb a ac c b b a ++++222222≥abc.分析：不等式的形式对称,分子出现平方和,可利用重要不等式,用综合法证明.证明：∵a 2b 2+b 2c 2≥2ab 2c, b 2c 2+c 2a 2≥2abc 2, c 2a 2+a 2b 2≥2a 2bc, ∴a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2≥ab 2c+abc 2+a 2bc,即a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2≥abc(a+b+c).∵a、b 、c∈R +,∴a+b+c>0.∴cb a ac c b b a ++++222222≥abc.绿色通道不等式中出现平方和,而其他出现乘积结构,可从重要不等式入手用综合法证明. 变式训练3.已知a+b+c=0,求证:ab+bc+ca≤0.证明:∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0,即a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac=0.∴ab+bc+ac=2222c b a ++-≤0.【例4】已知△ABC 中,AB=c,BC=a,AC=b.AB 边上的中线CD=m,求证:a 2+b 2=21c 2+2m 2. 分析：从已知条件这些长度中可放入到两个三角形中研究,这两个三角形有一对角是互补关系,可利用三边与这一角的关系即余弦定理解答. 证明：设∠ADC=θ,则∠BDC=π-θ.∴cos∠BDC=cos(π-θ)=-cos θ=-cos∠ADC,即DCAD AC DC AD DC BD BC DC BD ∙-+-=∙-+22222222.∴m c b m c m c a m c ∙∙-+-=∙∙-+)2(2)2(22)2(222222. ∴22c +2m 2=a 2+b 2成立.绿色通道有关三角形的边长问题常与正、余弦定理联系. 变式训练4.在△ABC 中,三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c,且A 、B 、C 成等差数列,a 、b 、c 成等比数列,求证:△ABC 为等边三角形.证明:因为A 、B 、C 为△ABC 的内角, 所以A+B+C=π.①因为A 、B 、C 成等差数列, 所以2B=A+C.② 由①②,得B=3π.③ 由a 、b 、c 成等比数列,有b 2=ac.④ 由余弦定理及③,可得 b 2=a 2+c 2-2accosB=a 2+c 2-ac.再由④,得a 2+c 2-ac=ac,即(a-c)2=0. 因此a=c,从而有A=C.⑤ 由②③⑤,得A=B=C=3π,所以△ABC 为等边三角形.。