重积分练习题

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考研数学二重积分练习

习题8 二重积分一、填空题1、若D 是以(0，0)，(1，0)及(0，1)为顶点的三角形区域，由二重积分的几何意义知(1)Dx y --⎰⎰=_____。

2、设区域D 是221x y +≤与222x y x +≤的公共部分，在极坐标系下(,)Df x y dxdy ⎰⎰的累次积分。

3、当{(,)1,1}D x y x y x y =+=-=}时 Ddxdy ⎰⎰＝。

4、设{}222(,)D x y x y a =+≤，若Dπ=，则a = 。

5、设区域D 由曲线sin ,,02y x x y π==±=所围成，则()51Dx y dxdy -⎰⎰＝。

二、选择题 1、设2211cos sin x y dxdyI x y +≤=++⎰⎰，则（）。

A 、2/32I ≤≤ B 、23I ≤≤ C 、1/2D I ≤≤ D 、10I -≤≤ 2、设(,)f x y 是连续函数，则1(,)xdx f x y dy =⎰⎰（）。

A 、1(,)y dy f x y dx ⎰⎰ B 、110(,)y dy f x y dx ⎰⎰ C 、101(,)ydy f x y dx ⎰⎰ D 、1(,)xydy f x y dx ⎰⎰。

3、设D 是第一象限中由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰（）。

A 、()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰B 、()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰ C 、()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰D 、()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰4、设1DI σ=⎰⎰,σd y x I D ⎰⎰+=)cos(222,σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(, 其中 }1),{(22≤+=y x y x D ，则（）A 、123I I I >>B 、321I I I >>C 、312I I I >>.D 、213I I I >>5、累次积分cos 2(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰可以写成：（） A、1(,)dyf x y dx ⎰ B 、1(,)dy f x y dx ⎰ C 、1100(,)dxf x y dy ⎰⎰D 、1(,)dx f x y dy ⎰。

高数厦门理工高数作业重积分

《高等数学Ⅰ》练习题系专业班姓名学号 08060122436．1 二重积分（1）一．选择题1．设积分区域D 是4122≤+≤y x ，则⎰⎰Ddxdy = [ B ]（A ）π （B ）3π （C ）4π （D ）15π 2．设积分区域D 是1≤+y x ，则⎰⎰Ddxdy = [ B ]（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 3．设平面区域D 由1,21=+=+y x y x 与两坐标轴所围成，若⎰⎰+=Ddxdy y x I 91)][ln(， ⎰⎰+=Ddxdy y x I 92)(，⎰⎰+=Ddxdy y x I 93)][sin(，则它们之间的大小顺序为： [ C ]（A ）321I I I ≤≤ （B ）123I I I ≤≤ （Ｃ）231I I I ≤≤ （Ｄ）213I I I ≤≤ 4．设区域D 是由两坐标轴及直线1=+y x 围成的三角形区域，则⎰⎰Dxydxdy ＝ [ D ]（A ）41 （B ）81 （C ）121 （D ）241二．填空题1．设区域D 是20,10≤≤≤≤y x ，估计积分的值 2 ⎰⎰≤++≤Ddxdy y x )1( 82．设⎰⎰≤+++=10||||22sin cos 100y x yx d I σ，则I 的取值范围是 ≤≤I 23．120xdx xy dy ⎰⎰= 三．计算题1．设区域D 由11≤≤-x ，11≤≤-y 所确定，求 ⎰⎰-Ddxdy x y xy )(解：原式=111221112()03----==⎰⎰⎰dx xy x y dy xdx2．设D 是由直线2=x ，x y =及双曲线1=xy 所围成的平面区域，求⎰⎰Ddxdy yx 22解：由题意知112;⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭D x y x x，于是原式=222312119()4=-=⎰⎰⎰xxx dx dy x x dx y3．设区域D 由x y x y ==22,所围成，求σd y xD)(2⎰⎰+.解; 由题意知{}x y x x D ≤≤≤≤=2;10，于是原式=2511242333)()22140+=+-=⎰⎰x x dx x y dy x x dx《高等数学Ⅰ》练习题系专业班姓名学号6．1 二重积分（2）一．选择题1．设区域D 是顶点为)0,0(O 、)1,10(A 、)1,1(B 的三角形，则⎰⎰-Ddxdy y xy 2= [ C ]（A ）3 （B ）5 （C ）6 （D ）10 2．设),(y x f 是连续函数，则0(,)a xdx f x y dy ⎰⎰= [ B ]（A ）00(,)a ydy f x y dx ⎰⎰ （B ）0(,)aaydy f x y dx ⎰⎰（C ）(,)ay ady f x y dx ⎰⎰ （D ）0(,)a ady f x y dx ⎰⎰3．二次积分220(,)x dx f x y dy ⎰⎰的另一种积分次序是 [ A ]（A）420(,)dy f x y dx ⎰ （B）40(,)dy f x y dx ⎰ （C ）242(,)xdy f x y dx ⎰⎰ （D）402(,)dy f x y dx ⎰⎰4．设f 是连续函数，而D ：122≤+y x 且0>y ，则dx dy y x f D)(22⎰⎰+= [ A ]（A ）10()rf r dr π⎰ （B ）1()f r dr π⎰ （C ）21()rf r dr π⎰ （D ）21()f r dr π⎰二．填空题 1．改换积分的次序12201(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰=2．改换积分的次序212(,)xdx f x y dy -⎰⎰=3．化二次积分为极坐标的二次积分101(,)xdx f x y dy -⎰=⎰⎰+1c o ss i n 120)s i n ,c o s (θθπθθθdr r r rf d三．计算题 1．求222y xdx e dy -⎰⎰解：因为2y e -在简单区域{}02,2=≤≤≤≤D x x y 连续，所以原式=2222401(1)2---==-⎰⎰⎰y y y edy dx yedy e2．设区域D 由y 轴与曲线y x cos =（22ππ≤≤-y ）所围成，求⎰⎰Dydxdy x22sin 3解：由题意，积分区域,0cos 22ππ⎧⎫=-≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭D y x y ，所以原式=cos 222322022sin 3sin cos ππππ--=⎰⎰⎰yydy x dx y ydy22202sin (1sin )sin π=⋅-⎰y y d y 415=3．设积分区域D 为122≤+y x ，求⎰⎰-+Ddxdy xy y x )(22解：令c o s,s i n θθ==x r y r 则积分区域{}02,01θπ=≤≤≤≤D r于是原式=2122000112(sin cos )(sin 2)383πππθθθθθ-=-=⎰⎰⎰d r r r dr d4．设区域D 是由22224ππ≤+≤y x 所围成，求dxdy y x D⎰⎰+22sin解：令cos ,sin ,θθ==x r y r 则积分区域{}02,2θπππ=≤≤≤≤D r 于是原式=⎰⎰220sin d r rdr πππθ=⋅-+22(cos sin )|r r r πππ=-26π《高等数学Ⅰ》练习题系专业班姓名学号6．3 三重积分（1）一．选择题1．设区域2222|),,{(R z y x z y x ≤++=Ω，}0≥z ，22221|),,{(R z y x z y x ≤++=Ω，}0,0,0≥≥≥z y x ，则等式成立的是 [ C ]（A ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=14xdv xdv （B ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=14ydv ydv（C ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=14zdv zdv （D ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=14xyzdv xyzdv2．若三重积分⎰⎰⎰Ω=328πdxdydz ，积分区域Ω为 [ C ] （A ）4122≤+≤y x ，380≤≤z （B ）422≤+y x ，380≤≤z （C ）41222≤++≤z y x （D ）4222≤++z y x 二．计算题 1．计算⎰⎰⎰Ωdv z xy32，其中Ω是由曲面xy z =与平面x y =，1=x 和0=z 所围成的闭区域.解：由题意，积分区域{}01,0,0x y x z xy Ω=≤≤≤≤≤≤，则原式=1231364xxydx dy xy z dz =⎰⎰⎰ 2．计算⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22，其中Ω是由曲面z y x 222=+及平面2=z 所围成的闭区域. 解：由题意，利用柱坐标变换cos sin x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩可得积分区域2r ⎧⎫则原式=2222302163r d r dr dz πθπ=⎰⎰⎰ 3．计算⎰⎰⎰Ωzdv ，其中闭区域Ω是由不等式2222)(a a z y x ≤-++，222z y x ≤+所确定. 解：由题意，利用柱坐标变换cos sin x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩可得积分区域{02,0,Ω=≤≤≤≤≤≤r a r z a θπ，则原式=42076=⎰⎰⎰aa ra d rdr πθπ《高等数学Ⅰ》练习题系专业班姓名学号6．3 三重积分（2）1．求由曲面226y x z --=及22y x z +=所围成的立体的体积.解：由题意，利用柱坐标变换cos sin x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩可得积分区域{}202,02,6r r z r θπΩ=≤≤≤≤≤≤-，则所求立体的体积22260323r rV dv d rdr dz ππθ-Ω===⎰⎰⎰⎰⎰⎰2．求锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下部分的曲面面积.解：锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下部分的曲面在xy 平面上的投影{}22(,);(1)1,,xy x y x y x y R σ=-+=∈于是所求曲面面积2cos 202S d πθπσθ-==⎰⎰⎰⎰2202d πθθ==⎰3．设平面薄片所占的闭区域D 由抛物线2x y =及直线x y =所围成，它在点),(y x 处的面密度y x y x 2),(=μ，求该薄片的质心。

重积分例题

球面为: 2 cos , 其中
c
下页
例 3 利用柱面坐标计算三重积分 zdxdydz , 其中是
由曲面zx2y2与平面z4所围成的闭区域. 解闭区域可表示为:

2z4, 02, 02.
于是
zdxdydz zdddz

d d 2 zdz
0 0
x
I d
0
2

/4
0
d

R
0
2 2sin d
2 2 5 R . 5
练习
试用三种坐标系分别计算三重积分 I zdv, 其中(V ) : x 2 y 2 z 2 2 z.
(V )
z
2
z
解法1
直角坐标系 (切片法)
2 2 2
( z ) : x y 2z z ; 0 z 2.
D
2a cos 2 d 0 0

4a 2 2 d

32 a 2 ( 2 ) . 3 2 3
例 1 计算三重积分 xdxdydz , 其中为三个坐标面及

平面x2yz1所围成的闭区域. 解区域可表示为:
0z1x2y, 0 y 1 (1 x) , 0x1. 2
V 4 4a 2 x 2 y 2 dxdy ,
D
其中 D 为半圆周 y 2ax x 2 及 x 轴所围成的闭区域. 在极坐标系中D可表示为 02acos , 0 . 2
于是
V 4 4a 2 2 dd 4
32 a 2 2 (1 sin 3 )d 0 3
于是
e
D
x2 y2

考研数学三重积分练习

习题9 三重积分一、填空题1、若{}22(,,)|1,01x y z x y z Ω=+≤≤≤，则d z v Ω⎰⎰⎰= 。

2、d z v Ω⎰⎰⎰＝，其中222{(,,)|1,0}x y z x y z z Ω=++≤≥3、曲面z =被1z =截下部分的面积为。

4、曲面22z x y =+被1z =截下部分的体积为。

5、锥面z =被柱面22z x =所割下部分的面积为。

二、解答题1、I=d x v Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由1x y z ++=与三个坐标平面所围的闭区域。

2、()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰ 其中Ω：由平面1x y z ++=及三坐标面所围成的区域。

3、I=22()d x y v Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由2222x y z z ++= 所围成的闭区域。

4、I＝⎰⎰⎰Ω+•dvyxz)(22，其中Ω是由球面222yxz--=与圆锥面22yxz+=所围成的闭区域。

5、⎰⎰⎰Ω++dvzyx)(222，Ω＝｛2224,0x y z z++≤≥｝。

6、⎰⎰⎰Ω+•dvyxz)(22，Ω是由球面222yxz--=与圆锥面22yxz+=所围成的闭区域。

7、⎰⎰⎰Ω++dvzyx222，Ω是由球面zzyx2222=++所围成的闭区域。

8、求函数22y x z +=在区域D ：x 4y x x 222≤+≤上与z=0所围成的体积。

9、求由平面1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的几何体的体积。

10、在由椭圆1422≤+y x 绕其长轴旋转一周而成的椭球体上，沿长轴方向打一穿过中心的圆孔，并使剩下部分的体积恰好等于椭球体体积的一半，求该圆孔的直径。

高数第六章重积分课堂练习题及答案

r O
图3
D {(r, ) | 0 r r( ), 0 2}
f
(r cos , r sin )rdrd
2
0
d r( ) 0
f
(r cos , r sin )rdr
D
2o 极点在区域 D 的边界上，如图 8-10 所示.
O
r
图4
D {(r, ) | 0 r r( ), }
r( )
D
D
大小. 先判断 f (x, y) 和 g(x, y) 在 D 上的大小关系，再应用二重积分的比较性质比较两个二
重积分的大小.
解: 由 (x 1)2 ( y 1)2 2 ，可得
y
x y 1 (x2 y2 2x 3) 1 [(x 1)2 y2 ] 1 1
2
2
x
如图 8-22.
o
图 8-22
成的在第一卦限内的立体体积. R3 arctan K
y
3
z x2 y2 z2 1
y
O Dxy
y
x
x2 y2 1
O
x
o
x
图6
2. 求由曲面 z x2 2 y2 及 z 6 2x2 y2 所围成的立体的体积. 6 3. 求由曲面 z x2 y 2 及 z x 2 y 2 所围成的立体的体积
D
[思路] 利用二重积分的估值性质估计二重积分，先计算被积函数在积分区域上的最大、最小值和积分区域的面积，应用估值性质来估计二重积分的值.
解: 因为在积分区域 D 上， 0 x 1,0 y 2 ，所以 0 xy 2, 1 x y 1 4
于是可得 0 xy(x y 1) 8 ，而 D 的面积 1 2 2 ，应用估值性质有

二重积分部分练习题

题目部分，（卷面共有100题,405.0分，各大题标有题量和总分）（3分）［2］二重积分 xydxdy （其中D :D2(3 分)[3]若区域 D 为 0W y w X 2,|X|W 2,则xy dxdy =Df(x 2, y 2)dxdyD2 2f(x , y )dxdyD1(3分)[5]设f(x,y)是连续函数, 0 dx1一、选择（2 分）［1］（16小题,共53.0分）(A)1(C ) 21(D )- 4答()3264(A ) 0;( B )(C )(D ) 25633答（（3分）［4］设D 1是由ox 轴， oy 轴及直线 x+y=1所圈成的有界闭域, 的连续函数，则二重积分)f 是区域D : |x|+|y|w 1上(A) 2(B) 4(C ) 8(D)-2(A) (B) 1 dy 0 J1dy 0丿 f(x,y)dx 2 1dy y 2 1 1 f(x,y)dx (C) 1 0d y (D) 2°dy f(x, y)dx f(x, y)dx . :产 f(x, y)dx -2 1 dy y~1 1 f (x, y)dx （3分）［6］设函数f （x,y ）在区域D : y 2W — x ）,y > x 2上连续，则二重积分f (x, y) dxdy可D化累次积分为 0(A) dx 1 1(C) 0dyx 2-f(x,y)dyy 2y f (x,y)dxy(B) dx1 1(D) 0dyx 2 x f (x, y)dyy 2y f (x, y)dx0< y W x 2,0< X W 1)的值为则二次积分f (x, y)dy（3分）［7］设f （x,y ）为连续函数，则二次积分；dy 1；2—2yf （x, y ）dx 可交换积分次序为1 、页 (3)：^3 x 2(A) dx 0 0 f (x,y)dy 1 dx 0f (x,y)dy127、21、3rv(B) 2dx 00 f (x, y)dy1dx 0 f(x, y)dy2dx 02'13 x 2(C) dx 0 厶 f （x,y ）d y(D) ?d 0 32cos f (r cos ,r sin )rdr2sin f (x,y)dy（3分）［8］设f （x,y ）为连续函数，则积分 dx f (x,y)dy dx f (x, y)dy可交换积分次序为1 y2 2 y(A) dy 0丿 0 f(x,y)dx 1 dy 0 f(x,y)dx 1 x 2 2 2 x (B) dy 0 J 0 f (x,y)dx 1 dy 0 f (x, y)dx1 2 y(C) dy 0 J曲f (x,y)dx1 2 x (D) dy 0丿x 2 f (x,y)dx（4分）［9］若区域D 为（x - -1）2+y 2< 1,则二重积分 2 0 02cos 2 i （A ）0d1 0 x2 ） f （x, y ）dxdy 化成累次积分为 F(r, )dr (B) 2cos0 F(r, )dr 2cos F(r, )dr(D) ；d 2cosF(r, )dr 其中 F(r, B )=f(rcos 9 ,rsin 0 )r. （3分）［10］若区域D 为x 2+y 2w 2x ,则二重积分 (x______ 答（）y ）'.x 2 y 2 dxdy 化成累次积分为 (A) [d 2 2cos0 (cossin ) 2r cos rdr(B) 0 (cos sin )d2cos 3 r 3drD2cos 3(C) 2 02 (cos sin )d 0 r dr答()(3 分)[15]若区域 D 为 |x|w 1,|y|w 1,则xe cos(xy) sin(xy)dxdyD(A) e; (B) e 1; (C) 0；(D) n .答（(4 分)[16]设 D : x 2+/w a 2(a >0),当 a=时，Ja 2 x 2 y 2 dxdy(D) 2 2 (cos2sin )d2cosr 3dr(4 分)[11]设 h答()[ln(x y)]7dxdy,l 2 (x y)7dxdy,l 3sin 7(x y)dxdy 其中 D 是DDD由 x=0,y=0, x y-,x+y=1所围成的区域，贝U 11, 12, 13的大小顺序是2(A) IK |2V |3； (C)l l V l 3 V l 2；(B) |3V l 2V l i ; (D)l 3V l i V I 2.(5分)[12]设I弊—，则I 满足ix |y 11cos X sin y2 , c(A )3 l21 (C) DI- 2 (B)2 I 3 (D) 1 I 0(4 分)[13]设 x y1其中D 是由直线x=0,y=0,及x+y=1所围成的区域,2则I 1, 12，13的大小顺序为(A) 13V I 2V I 1; (C)l 1V I 3V I ；(B)l 1V l 2V l 3；V V（3分）［14］设有界闭域 D 1与D 2关于oy 轴对称，且D 1A D 2= ,f （x,y ）是定义在D 1U D 2上的连续函数，则二重积分2f (x , y)dxdyD2(A) 2 f (x , y)dxdyD12(B) 4 f (x , y)dxdyD 22(C) 4 f (x , y)dxdyD 11(D)2D 2 2f(x , y)dxdy(A)1(B )32(3分)[6]设D : O W x w 1,0 < y w 2(1 — x)，由二重积分的几何意义知■y dxdy = ____________三、计算(78小题,共331.0分)(3分)[1]设f(x,y)为连续函数，交换二次积分2 y0dy 亠 f (x, y)dx2 y 的积分次序。

重积分练习题及答案

重积分练习题A一、填空题1.222x y R σ+≤=⎰⎰323R π； 2.1(1)x y x y d σ+≤++=⎰⎰2；（对称性及积分性质3） 3. 将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为二次积分1(,)(,)(,)x yf x y dx f x y dy f x y dy =+⎰，其中D 为,0,y x y y ===在第一象限所围成的封闭区域；4. 改变积分次序 (1)2120(,)yy dy f x y dx -=⎰⎰12201(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰；(2)120(,)xxdx f x y dx -=⎰⎰12201(,)(,)y ydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰；5. 将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰转化为极坐标系下的两次单积分2cos 20(cos ,sin )d f d πθθρθρθρρ⎰⎰，其中D为0,y y ==6. 将三重积分(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰化为三次积分110(,,)xxydx dy f x y z dz -⎰⎰⎰，其中Ω为z xy =，1,0x y z +==所围成的封闭区域；7.将三重积分(,,)f x y z dvΩ⎰⎰⎰化为柱面坐标系下的三次积分21(cos ,cos ,)d d f z dz πρθρρρθρθ⎰⎰，其中Ω为z =，z =所围成的封闭区域.二、计算题 1. 计算二重积分D xydxdy ⎰⎰，其中D 是由,1,3y x xy x ===所围成的区域；解：3321211111()10ln 322xxDxydxdy dx xydy x x dx x ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰2. 计算二重积分()Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 是由,2,1y x y x y ===所围成的区域；解：1112200022177()()()2824y yy y Dx y dxdy dy x y dx x xy dy y dy +=+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰3.计算二重积分D，其中D : 22(1)1x y -+≤；解：极坐标系下，由对称性2cos 23220016322cos 39Dd d d ππθθρρθθ===⎰⎰⎰4. 计算二重积分2211Dxydxdy x y +++⎰⎰，其中D :221,0x y x +≤≥；解：由对称性1222222110,2111D D D xy dxdy dxdy dxdy x y x y x y ==++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中1D 为D 的第一象限部分所以原式11222200122ln 2112D dxdy d d xyπρπθρρ===+++⎰⎰⎰⎰5.计算三重积分Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由柱面y =及平面0, (0),0z z a a y ==>=所围成的区域；解：运用柱面坐标系22cos 2cos 2222022320248cos 39aa d d zdz d d a a d ππθθπθρρθρρθθΩ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰6. 计算三重积分3z dv Ω⎰⎰⎰，其中Ω：1z ≥≥解：运用先重后单法2221133506x y z z dv z dzdxdy z dz ππΩ+≤===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰B1.计算二重积分D，其中D 是由,1,0y x y x ===所围成的区域；解：31112220002122()339yDdy y xy dx y dx y ⎡⎤==--==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰.（要先对y 积）2. 计算二重积分sin sin sin Dxdxdy x y +⎰⎰，其中:0,0D x y ππ≤≤≤≤；解：由对换对称性，sin sin sin sin sin sin D Dx ydxdy dxdy x y x y =++⎰⎰⎰⎰，所以2sin 1sin sin 11()1sin sin 2sin sin sin sin 22D D DD x x y dxdy dxdy dxdy dxdy x y x y x y π=+==+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 3.计算二重积分)Dy dxdy ⎰⎰，其中D 为224x y +=和22(1)1x y ++=所围成的区域；；解：记1D ：224x y +≤，2D ：22(1)1x y ++≤，由对称性12)DDD D y dxdy ==-⎰⎰⎰⎰ 3222cos 2220002163239d d d d ππθπθρρθρρπ-=-=-⎰⎰⎰⎰4. 设直线l 过点(1,0,0)A 和(0,1,1)B 两点，将l 绕z 旋转一周所得旋转曲面为∑，∑与平面0z =和2z =所围成的立体为Ω，求Ω的形心坐标（即密度为1时的质心坐标）.解：直线l 的参数1,,x t y t z t =-==，所以∑的方程为222122x y z z +=-+，由对称性 0,0x y ==，2222222221220222122(122)75(122)x y z z x y z z zdzdxdyzdv z z z dz z dvdzdxdyz z dz +≤-+ΩΩ+≤-+-+====-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5. 设函数()0f x >且连续，222()22()()()()t D t f x y z dv F t f x y d σΩ++=+⎰⎰⎰⎰⎰，22()2()()()D t ttf x y d G t f x dxσ-+=⎰⎰⎰，其中2222222(){(,,)|},(){(,)|}t x y z x y z t D t x y x y t Ω=++≤=+≤. （1）讨论()F t 在(0,)+∞内的单调性；（2）证明当0t >时，2()()F t G t π>.（1）解：222222220()()sin ()4()t tt f x y z dv d d r f r dr r f r dr ππθϕϕπΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222220()()()2()ttD t f x y d d rf r dr rf r dr πσθπ+==⎰⎰⎰⎰⎰，所以220202()()()ttr f r drF t rf rdr =⎰⎰，2222222200222202[()()()()]2()[()()()0(())(())t ttttt f t rf r dr tf t r f r dr f t tr t r f r drF t rf r dr rf r dr --'==>⎰⎰⎰⎰⎰所以()F t 在(0,)+∞内的单调递增；（2）因为220()2()tttf x dx f r dr -=⎰⎰，所以202()()()ttrf r drG t f r dr π=⎰⎰，令222222220002222002()2()[()][()][()]2()()()2()()[()][()]tttttttttr f r drrf r drr f r dr f r dr rf r dr h t F t G t rf rdrf r drrf r dr f r dr π-=-=-=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，222220()[()][()][()]t tt v t r f r dr f r dr rf r dr =-⎰⎰⎰，则(0)0v =，当0t >时，222222220()()()()()2()()tttv t t f t f r dr f t r f r dr tf t rf r dr '=+-⎰⎰⎰22222220()(2)()()()()0t t f t t r tr f r dr f t t r f r dr =+-=->⎰⎰所以当0t >时，()(0)0v t v >=，所以2222()()()()0[()][()]ttv t h t F t G t rf r dr f r dr π=-=>⋅⎰⎰，即2()()F t G t π>.。

重积分练习题

第6章重积分练习题习题6.11．设xoy 平面上的一块平面薄片Ｄ，薄片上分布有密度为),(y x u 的电荷，且),(y x u 在Ｄ上连续，请给出薄片上电荷Q 的二重积分表达式．2．由平面1342=++z y x ，0=x ， 0=y ，0=z 围成的四面体的体积为V ，试用二重积分表示V ．3．由二重积分的几何意义计算⎰⎰--Dd y x Rσ222，222:R yx D ≤+．4．⎰⎰=Dd y x f I σ),(．y y x D 2:22≤+，写出I 的累次积分式．5．交换下列累次积分的积分顺序： ⑴⎰⎰--aa x a dy y x f dx 22),(． ⑵⎰⎰⎰⎰-+31301020),(),(y y dx y x f dy dx y x f dy ．6．计算下列二重积分： ⑴⎰⎰+Dyx d eσ23．2||,2||:≤≤y x D ． ⑵⎰⎰+Dd y x σ)(22．1||||:≤+y x D ．⑶⎰⎰+Ddxdy yx221．10,10:≤≤≤≤y x D ． ⑷⎰⎰--Ddxdy y x )2(21．2,:x y x y D ==．7．运用极坐标变换计算下列二重积分： ⑴⎰⎰+Ddxdy y x 22．1:22≤+yx D ．⑵⎰⎰+Ddxdy y x )(22．y y x D 6:22≤+．⑶⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22．4:22≤+y x D ，0≥x ，0≥y ．8．现有一平面薄片，占有xy 平面上的区域D ，在点),(y x 处的面密度为),(y x u ，且),(y x u 在D 上连续，求该平面薄片的重心表达式．9．学习（或复习）物体转动惯量的相关物理知识．探究均匀薄片转动惯量的二重积分表达式，然后计算斜边长为a 的等腰直角梯形关于一直角边的转动惯量．习题6.21．在直角坐标系中计算下列三重积分：⑴dxdydz z xy V42⎰⎰⎰．31,20,10:≤≤≤≤≤≤z y x V ．⑵dxdydz z y x V⎰⎰⎰++)sin(．V 由平面0=x ，0=y ，0=z ，2π=++z y x 围成．2．在柱面坐标系下计算三重积分dxdydzy xV⎰⎰⎰+)(22，其中V 由旋转抛物面)(2122y x z +=及平面2=z 所围成的立体．3．在球面坐标系中计算三重积分dxdydz zy x z y x V⎰⎰⎰++++222222cos ，222224:ππ≤++≤z y x V ．4．运用三重积分求半径为R 的球体的体积．5．运用三重积分求球面z z y x 2222=++和锥面（以z 轴为轴，顶角为︒90）所围部分的体积．6．求曲面z z y x 8)(2222=++围成部分的体积．习题6.31．求球面16222=++z y x 被平面1=z 和2=z 所夹部分的面积．2．一段铁丝刚好围成三角形ABC ，其中)0,0(A 、)0,1(B 、)1,0(C ，三边上点),(y x 处的线密度为y x +，求这段铁丝的质量．3．求⎰τzds ，τ为圆锥螺线⎪⎩⎪⎨⎧===t z t t y t t x sin cos ．4．求ds y x ⎰+τ22，其中τ为圆周x y x 222=+．5．计算⎰+Lxdy ydx ，其中L 是由点)0,1(沿上半圆122=+y x 到)0,1(-．6．)0,0(A ， )1,1(B 在抛物线2x y =上，一质点从A 移动到B 沿上．在点),(y x 处所受的力F 等于该点到原点的距离，且指向原点，求力F 所作的功半圆．7．利用格林公式计算：dy y x dx y x )()(222+++⎰τ，τ为区域10≤≤x ，x y x ≤≤2的正向边界曲线．8．计算ydx x dy xy 22-⎰τ，其中τ为圆周122=+y x ．9．计算球面的质量m ，已知球半径为1，球面上各点密度等于这点到铅直直径的距离．10．计算⎰⎰++SdS z y x )(．4:222=++z y x S ，0≥z ．11．计算⎰⎰SzdS ．S 是平面1=++z y x 在第一卦限部分．12．计算⎰⎰++Szdxdy ydxdz xdydz ．S 为球面1222=++z y x 的外表面．13．用高斯公式计算上面第12题．复习题六一、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）1．若0),(≥y x f ，则⎰⎰Ddxdy y x f ),(的几何意义是以区域D 为底、曲面),(y x f z =为曲顶的曲顶柱体的体积．（）2．若设}11,10|),{(≤≤-≤≤=y x y x D ，则0≥⎰⎰dxdy xe Dxy ．（）3．若设D 是由1=+y x 、1=-y x 和0=y 所围成的区域，则有=⎰⎰dxdy xy Ddy xy dx x x⎰⎰--111．（）4．⎰⎰⎰⎰=11ln 0),(),(eeexydxy x f dy dy y x f dx ．（）5．若设L 是围成区域D 的边界曲线，则dy y x Q dx y x P L ),(),(+⎰σd yQ xP D)(∂∂-∂∂=⎰⎰．（）二、填空题1．设}2||,1|||),{(≤≤=y x y x D ，则⎰⎰=Ddxdy ．2．设}14|),{(22≤+=y xy x D ，则⎰⎰=Ddxdy ．3．设}|),{(222R y x y x D ≤+=，由重积分的几何意义得⎰⎰=--Dd y x R σ222．4．若dr r r f r d dy y x f dx aa xa ⎰⎰⎰⎰--=)sin ,cos (),(22θθθβα，则=),(βα．5．设L 为椭圆14922=+yx的正向边界，=+⎰Lydy xdx cos 3 ．三、选择题1．若D 是由kx y =)0(>k ，0=y 和1=x 围成的三角形区域，且⎰⎰=Ddxdy xy 1512，则=k （）A ．1B ．354 C ．3151 D ．3522．将极坐标系下的二次积分dr r r f r d I ⎰⎰=θπθθθsin 20)sin ,cos (化为直角坐标系下的二次积分，则=I （）A ．⎰⎰--+--11111122),(y y dx y x f dy B ．⎰⎰---202222),(xx xx dyy x f dx C ．⎰⎰----112222),(yy yy dxy x f dy D ．⎰⎰--+--11111122),(xxdyy x f dx3．二次积分⎰⎰2142),(x dy y x f dx 交换积分次序为（）A ．⎰⎰2014),(ydxy x f dy B ．⎰⎰2040),(ydx y x f dyC ．⎰⎰1040),(ydx y x f dy D ．⎰⎰1024),(ydxy x f dy4．若D 是由2x y =和2y x =所围成的区域，L 为区域D 的正向边界，则⎰-Ldxy dy x 222131= （）A ．143 B ．91 C ．41 D ．52415．若L 是围成平面内一闭区域D 的正向边界曲线，则曲线积分⎰+Lxy dy x dx xe 2可化为二重积分（）A ．⎰⎰-Dxy d x e x σ)2(2 B ．⎰⎰-Dxy d e x x σ)2(2C ．⎰⎰+Dxy xy d e x e σ)(2 D ．⎰⎰-Dxy xy d e x e σ)(2四、解答题1．区域D 是由抛物线yx =，直线0=x 和0223=+-y x 围成，计算⎰⎰Dxdxdy 的值2．设}|),{(222π≤+=y x y x D ，求二重积分⎰⎰+Ddxdy y x 22sin3．计算dy y e dx y y e x Lx )1cos ()sin (-+-⎰，其中Ｌ是圆周x y x 422=+，且正向为逆时针方向4．求半径为R ，高为H )(R H <的球冠面积5．求两个底面半径相等的直交圆柱面222R y x =+与222R z x =+所围成的立体的体积。

重积分重积分习题

三重积分1．将I=zdvΩ⎰⎰⎰分别表示成直角坐标，柱面坐标和球面坐标下的三次积分，并选择其中一种计算出结果．其中Ω是由曲面z=222y x --及z=x 2+y 2所围成的闭区域.分析为计算该三重积分，我们先把积分区域投影到某坐标平面上，由于是由两张曲面222y x z --=及22y x z +=，而由这两个方程所组成的方程组22222,z x y z x y ⎧=--⎨=+⎩ 极易消去z ，我们把它投影到xoy 面上．然后，为在指定的坐标系下计算之，还应该先把Ω的边界曲面用相应的坐标表示，并找出各种坐标系下各个变量的取值范围，最后作代换即可．解将Ω投影到xoy 平面上，由22222,z x y z x y ⎧=--⎨=+⎩消去z 得 (x 2+y 2)2=2-(x 2+y 2)，或(x 2+y 2+2)(x 2+y 2-1)=0，于是有 x 2+y 2=1．即知，Ω在xoy 平面上的投影为圆域D ：x 2+y 2≤1 ．为此在D 内任取一点Q(x ，y)，过Q 作平行于z 轴的直线自下而上穿过Ω．穿入时碰到的曲面为22y x z +=，离开时碰到的曲面为222y x z --=(不画图，仅用代数方法也易判断22y x z +=≤222y x z --=)，这是因为x 2+y 2≤1)(1) 直角坐标系下，我们分直角坐标及柱面坐标，下边找z 的变化范围从而化为三重积分．因此再由D ：x 2+y 2≤1，有22y x z +=≤222y x z --=，于是在直角坐标下，Ω可表示为Ω :2222221111,2,x x y x x y z x y -≤≤⎧⎪--≤≤-⎨⎪+≤≤--⎩，于是有I=⎰⎰----221111x x dy dx ⎰--+22222y x y x zdz.(2) 柱面坐标下首先把Ω的表面方程用柱面坐标表示，这时z=x 2+y 2表示为z= 2ρ，z=222y x --表示为z=22ρ-．再由投影区域D 为x 2+y 2≤1．故0ρ≤≤1，0≤θ≤2π．于是Ω可表示为Ω：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤≤≤≤≤.2,10,2022ρρρπθz将所给三重积分中的体积元素υd 用υd =dz d d θρρ去替换，有I=Ω⎰⎰⎰υzd =Ω⎰⎰⎰dzd d z θρρ=⎰πθ20d ⎰1ρd ⎰-2222ρρρdz.(3) 球面坐标下用球面坐标代换两曲面的方程，得曲面z=x 2+y 2变为ρ=φφ2sin cos ；曲面z=222y x --变为ρ=2．由Ω在xoy 平面上的投影为x 2+y 2≤1知0θ≤≤2π，下边找φ的变化范围．正z 轴在Ω内，即Ω内有点P ，使→op 与→oz 夹角为零，即φ的下界为零．又曲面z=x 2+y 2与xoy平面相切，故φ的上界为2π，于是0≤φ≤2π再找ρ的变化范围．原点在Ω的表面上，故ρ取到最小值为零．为找ρ的上界，从原点出发作射线穿过Ω，由于Ω的表面由两张曲面所组成，因而ρ的上界随相应的φ的不同而不同．为此在两曲面的交线⎪⎩⎪⎨⎧--=+=22222y x z y x z ，上取一点A(0，1，1)，故A 所对应的4πφ=．当24πφπ≤≤时，r 的上界由曲面r=φφ2sin cos 所给，故这时r φφφφcsc cot sin cos 2≤≤．即r 的变化范围为0⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤时。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第二十一章

第十一章重积分§1 二重积分的概念1.把重积分⎰⎰D xydxdy 作为积分和的极限,计算这个积分值,其中D=[][]1,01,0⨯,并用直线网x=n i ,y=nj (i,j=1,2,…,n-1)分割这个正方形为许多小正方形,每一小正方形取其右上顶点为其界点.2.证明:若函数f 在矩形式域上D 可积,则f 在D 上有界.3.证明定理(20.3):若f 在矩形区域D 上连续,则f 在D 上可积.4.设D 为矩形区域,试证明二重积分性质2、4和7.性质2 若f 、g 都在D 上可积,则f+g 在D 上也可积,且()⎰+D g f =⎰⎰+D D g f . 性质4 若f 、g 在D 上可积,且g f ≤,则 ⎰⎰≤D Dg f , 性质7(中值定理) 若f 为闭域D 上连续函数,则存在()D ,∈ηξ,使得()D ,f f D∆ηξ=⎰. 5.设D 0、D 1和D 2均为矩形区域,且210D D D =,∅=11D int D int , 试证二重积分性质3.性质3(区域可加性) 若210D D D =且11D int D int ∅=,则f 在D 0上可积的充要条件是f 在D 1、D 2上都可积,且⎰0D f =⎰⎰+21D D f f , 6.设f 在可求面积的区域D 上连续,证明:(1)若在D 上()0y ,x f ≥,()0y ,x f ≠则0f D>⎰; (2)若在D 内任一子区域D D ⊂'上都有⎰'=D 0f ,则在D 上()0y ,x f ≡。

.7.证明:若f 在可求面积的有界闭域D 上连续,,g 在D 上可积且不变号,则存在一点()D ,∈ηξ,使得()()⎰⎰D dxdy y ,x g y ,x f =()ηξ,f ()⎰⎰Ddxdy y ,x g .8.应用中值定理估计积分⎰⎰≤-++10y x 22ycos x cos 100dxdy 的值§2 二重积分的计算1.计算下列二重积分:(1)()⎰⎰-Ddxdy x 2y ,其中D=[][]2,15,3⨯;(2)⎰⎰D2dxdy xy ,其中(ⅰ)D=[][]3,02,0⨯,(ⅱ)D=[]3,0 []2,0⨯; (3)()⎰⎰+Ddxdy y x cos ,其中D=[]π⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,02,0; (4)⎰⎰+D dx dy x y 1x ,其中D=[][]1,01,0⨯. 2. 设f(x,y)=()()y f x f 21⋅为定义在D=[]⨯11b ,a []22b ,a 上的函数,若1f 在[]11b ,a 上可积,2f 在[]22b ,a 上可积,则f 在D 上可积,且⎰D f =⎰⎰⋅1122b a b a 21f f . 3.设f 在区域D 上连续,试将二重积分()⎰⎰Ddxdy y ,x f 化为不同顺序的累次积分:(1)D 由不等式x y ≤,a y ≤,b x ≤()b a 0≤≤所确的区域:(2)D 由不等式222a y x ≤+与a y x ≤+(a>0)所确定的区域;(3)D=(){}1,≤+y x y x .4.在下列积分中改变累次积分的顺序:(1) ()⎰⎰20x 2x dy y ,x f dx ; (2) ()⎰⎰----11x 1x 122dy y ,x f dx ; (3)()⎰⎰10x 02dy y ,x f dy +()()⎰⎰-31x 3210dy y ,x f dx .5.计算下列二重积分:(1)⎰⎰D2dxdy xy ,其中D 由抛物线y=2px 与直线x=2p (p>0)所围的区域; (2)()⎰⎰+D 22dxdy y x,其中D=(){1x 0y ,x ≤≤, y x ≤ }x 2≤; (3)⎰⎰-D x a 2dx dy (a>0),其中D 为图(20—7)中的阴影部分； (4)⎰⎰Ddxdy x ,其中D=(){}x y x y ,x 22≤+; (5)⎰⎰D dxdy xy ,其中为圆域222a y x ≤+.6.写出积分()⎰⎰ddxdy y ,x f 在极坐标变换后不同顺序的累次积分:(1)D 由不等式1y x 22≤+,x y ≤,0y ≥所确定的区域;(2)D 由不等式2222b y x a ≤+≤所确定的区域;(3)D=(){}0x ,y y x y ,x 22≥≤+.7.用极坐标计算二重积分: (1) ⎰⎰+D22dxdy y x sin ,其中D=(){222y x y ,x +≤π }24π≤; (2)()⎰⎰+Ddxdy y x ,其中D=(){}y x y x y ,x 22+≤+; (3)()⎰⎰+'D22dxdy y x f ,其中D 为圆域222R y x ≤+.8.在下列符号分中引入新变量后,试将它化为累次积分:(1) ()⎰⎰--20x 2x 1dy y ,x f dx ,其中u=x+y,v=x-y;(2) ()dxdy y ,x f D⎰⎰,其中D=(){a y x y ,x ≤+,0x ≥, }0y ≥,若x=v cos U 4, v sin U y 4=.(3)()⎰⎰dxdy y ,x f ,其中D=(){a y x y ,x ≤+,0x ≥, }0y ≥,若x+y=u,y=uv.9.求由下列曲面所围立体V 的体积:(1) v 由坐标平面及x=2,y=3,x+y+Z=4所围的角柱体;(2) v 由z=22y x +和z=x+y 围的立体; (3) v 由曲面9y 4x Z 222+=和2Z=9y 4x 22+所围的立体.11.试作适当变换,计算下列积分:(1)()()⎰⎰-+Ddxdy y x sin y x ,D=(){π≤+≤y x 0y .x }π≤-≤y x 0;(2)⎰⎰+D y x y dxdy e,D=(){1y x y ,x ≤+,0x ≥,}0y ≥.12.设f:[a,b]→R 为连续函数,应用二重积分性质证明:()≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰2b a dx x f ()()⎰-b a 2dx x f a b ，其中等号仅在f 为常量函数时成立。

重积分的习题

重积分、第一类积分课外练习题1、利用重积分的几何意义求下列积分值.(1){}222,(,)|DD x y x y R σ=+≤；(2){}2,(,)|1,1,0Dd D x y x y y x y σ=+≤−≤≥∫∫.2、计算下列积分. (1){},(,)|1,1x yDed D x y x y σ+=≤≤∫∫；(2)2,Dx ydxdy D ∫∫由直线1,2y x ==及y x =所围成；(3)cos(),Dx x y dxdy D +∫∫是以点(0,0),(,0)π和(,)ππ为顶点的三角形区域；(4)211 0x dy dx ∫∫；(5)1sin , D ydxdy D y ∫∫是由22y x π=与y x =所围成.3、改变下列二次积分的积分顺序.(1) 10(,)xdx f x y dy ∫∫；(2)1221(,)(,)xx dx f x y dy dx f x y dy −+∫∫∫∫4、利用极坐标计算下列二重积分.(1)(4)Dx y dxdy −−∫∫，其中D 是圆域 222x y R +≤；(2)D，其中D 为上半圆域222x y ax +≤；(3)arctanDydxdy x∫∫，其中区域D 是由圆22224,1x y x y +=+=及直线0,y y x ==所围成的第一象限内的部分；(4)122 0 0)dx x y dy +∫∫.5、选择适当的坐标系计算下列二重积分.(1)D，其中D 是由圆周221x y +=及坐标轴所围成的在第一象限内的区域；(2)()22Dx y dxdy +∫∫，其中D 是由直线,,y x y x a y a ==+=及3y a =所围成的区域，其中0a >.6、已知区域D 是由抛物线22,(0)y px y qx p q ==<<与双曲线,xy a xy b ==所围成，其中0a b <<，试求D 的面积A .7、利用广义极坐标：cos ,sin (0,02,0,0)x ar y br r a b θθθπ==≥≤≤>>计算二重积分2Dx dxdy ∫∫，其中D 为椭圆域22221x y a b +≤.8、设[]()(,)f x C a b ∈，证明： 2 2()()()()b x baaadx x y f y dy b y f y dy −=−∫∫∫.9、证明不等式：2216121655x y ππ+≤≤≤∫∫. 答案：1、(1)223R π；(2) 2.2、(1) 21e e ⎛⎞−⎜⎟⎝⎠; (2)2915; (3)32π−; (4)1(1)3e −; (5)21π−3、 21 12 0(1)(,),(2)(,)y y y ydy f x y dx dy f x y dx −∫∫∫∫4、 23248233(1)2(2),(2),(3),(4)3323644R Ra a ππππ⎛⎞+−⎜⎟⎝⎠ 5、4(1)(2),(2)148a ππ− 16()ln 3q b a p−、 374a b π、1、计算下列重积分(1)zdxdydz Ω∫∫∫，Ω由曲面 z =及 1z =围成；(2)()x y z dxdydz Ω++∫∫∫，(){|0,0,0}x y z x a y z c bπΩ=++≤≤≤≤≤≤；(3) cos xy zdxdydz Ω∫∫∫，其中Ω为抛物柱面y =与平面0,0,2y z x z π==+=所围成的区域；(4) ()222x y z dxdydz Ω++∫∫∫，其中Ω是椭圆面 2222221x y z a b c++=的内部2、选择适当的坐标系计算下列三重积分： (1)Ω∫∫∫，Ω是由圆柱面 2220,0,0x y x y z +−=≥=与 ()0z a a =>所围成的； (2)zdxdydz Ω∫∫∫，Ω是由曲面 z =及z =所围成；(3)()22xy dxdydz Ω+∫∫∫，Ω是由 222x y z +=及 2z =所围成；(4)()22xy dxdydz Ω+∫∫∫，Ω是由 z z ==及 0z =所围成的区域，其中 0b a <<； (5)∫∫∫， Ω是由球面 2222x y z Rz ++=所围成的区域；(6)()32222sin x y zdxdydz Ω++∫∫∫，Ω是由锥面z =)a 0z =>所围成的；(7)()222222ln 11z x y z dxdydz x y zΩ++++++∫∫∫， ()222{,,|1}x y z x y z Ω=++≤；(8)222dxdydz x y z Ω++∫∫∫，Ω是2221x y z ++≥ 与2229x y z z ++≤的公共部分；(9)1dx∫∫∫；(10) ) 22 0aadx xy dz −+∫∫∫；(11) ()()2222236,{,,|1}94x y x y z dxdydz x y z z Ω++Ω=++≤∫∫∫3、设 ()3(,,)f x y z C R ∈，证明()()()1211ax by cz dxdydz u f ku du πΩ−++=−∫∫∫∫，其中222:1,0,0,0x y z k a b c Ω++≤=>>>答案：1、 22222224(1)();(3)2;(4)()4415abc bca acb abc a b c πππ++−++1;(2)22、 5581648(1);(3);(4)();(5)93155b a πππ−2a ;(2)8； 3280(6)(1cos )1;(7)0;(8);(9)3298a ππ⎛⎞−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠；251864(10);(11)105a ππ1、计算下列曲线积分 (1)∫v 为圆周222x y y +=−；(2)()Lx y ds +∫是连接点(1,0)和点(0,1)的直线段；(3)22()Lx y ds +∫v 为圆周cos ,sin ,02x a t y a t t π==≤≤； (4)Lxyds ∫是抛物线22y x =上从原点到点(2,2)的那一段弧；(5)L是摆线(sin ),(1cos )x a t t y a t =−=−的第一拱，即对应于02t π≤≤的那一段弧；2、计算下列积分(1)222L ds x y z ++∫为曲线cos ,sin ,t t tx e t y e t z e ===从0到2的一段弧；(2) 2Lx yzds ∫为折线ABCD ：(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)A B C D ；答案：1、(1) 8；； (3) 32a π； (5) 23(2)a π.2、(1)2(1)2e −−；(2) 9.1、计算曲面积分(,,)f x y z dS Σ∫∫，其中Σ是抛物面222()z x y =−+，在xy 平面上方的部分，(,)f x y 分别如下：(1)(,,)1f x y z ≡；(2)22(,,)f x y z x y =+；(3)(,,)3f x y z z = 2、计算下列曲面积分(1)xyzdS Σ∫∫w ，其中Σ为四面体1,0,0,0x y z x y z ++≤≥≥≥的整个表面；(2)()xy yz xz dS Σ++∫∫，Σ为圆锥面z =被曲面222x y ax +=所割下的部分；(3)xyz dS Σ∫∫，其中Σ是22z x y =+被平面1z =所割下的部分；答案：1、(1)133π; (2)14930π; (3)11110π2、(1)120 (2)415a (3)1420−。

二重积分练习题(一)

2
1 y
f ( x, y )dx
四、计算下列二重积分
1、
6 55
2、 5、
64 15
3、
9 4
4、 2
1 (π 2) 4
二重积分
13
五、交换下列二次积分的顺序 1. ∫ dy ∫
0 1 y 1 1 y 2
f ( x , y ) dx
2. ∫
1
0
dy ∫ y f ( x , y ) dx
e
e
3. ∫ dx∫
y = x, x = π围成
π ,其中其中D由 ,其中由 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 围成 2
二重积分
9
五、交换下列二次积分的顺序 1. ∫
0 1
dx ∫
1 x 2
x +1
f ( x , y ) dy
2. ∫1 dx ∫0 3. ∫1 dy ∫1 4. ∫ dx∫
0 2
e
ln x
f ( x, y )dy
化为先x 后 y 的二次积分为 5.将二次积分 5.将二次积分∫1 dx∫2x 应为 6.将二次积分 6.将二次积分 ∫e
1
2
2
2 x x2
f ( x, y)dy 改换积分次序, 改换积分次序,
dy∫
2
ln y
f ( x, y)dx + ∫
1+ 2
1
dy∫
2
( y 1)2
f ( x, y)dx
改换积分次序应为
2
）
f ( x, y)dy
f ( x, y )dx
D
1
2x
B．1 dx ∫x ． ∫
2
2

高数重积分复习题

高数重积分复习题一、选择题1. 对于二重积分 \(\iint_D f(x, y) \,dx\,dy\)，下列说法正确的是：A. 积分区域 D 必须为矩形B. 积分区域 D 可以是任意形状C. 函数 f(x, y) 必须连续D. 积分结果与积分顺序无关2. 在计算二重积分时，若积分区域 D 为圆形，通常采用的坐标变换是：A. 极坐标变换B. 直角坐标变换C. 球坐标变换D. 柱坐标变换3. 对于三重积分 \(\iiint_V f(x, y, z) \,dx\,dy\,dz\)，下列说法不正确的是：A. 积分区域 V 可以是任意形状B. 积分区域 V 必须为立体图形C. 函数 f(x, y, z) 可以是任意函数D. 积分结果与积分顺序有关二、填空题4. 假设函数 \( f(x, y) = x^2 + y^2 \)，计算区域为单位圆 \( D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \leq 1\} \)，则 \(\iint_D f(x, y)\,dx\,dy = \) ________。

5. 若 \(\iint_D xy \,dx\,dy\) 为 \( D = \{(x, y) | 0 \leq x\leq 1, 0 \leq y \leq x\} \) 上的二重积分，则积分结果为________。

三、计算题6. 计算下列二重积分：\[\iint_D (3x^2 - 2y^3) \,dx\,dy\]其中 \( D = \{(x, y) | 1 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq x\} \)。

7. 计算下列三重积分：\[\iiint_V (x + y + z) \,dx\,dy\,dz\]其中 \( V = \{(x, y, z) | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq x + y\} \)。

四、证明题8. 证明：对于任意的连续函数 \( f(x, y) \)，若 \(\iint_D f(x, y) \,dx\,dy = 0\) 对于所有简单连通区域 \( D \) 成立，则\( f(x, y) \equiv 0 \)。

二重积分练习试题

精选文档二重积分自测题（一）选择题1．设 D 是由直线 x0 ， y 0， x y 3 ， x y 5所围成的闭地区，记： I 1ln( x y)d ， I 2ln 2 (x y)d ，则（）DDA ． I 1I 2 B ． I 1 I 2C ． I 22I 1D ．没法比较2．设 D 是由 x 轴和 y sin x (x[0 ， ] ) 所围成，则积分yd（）DA ．B ．C ．D ．64323．设积分地区D 由 yx 2 和 yx 2 围成，则f ( x, y)d（）D2x 22 2A ． 1 d x x 2C ．1 dxx 2 2x 2f ( x, y)dyB ． dx0 f (x, y) dy11x 2f (x, y)dyD ． 0 dx x 2f (x, y)dy4 2 x4．设 f ( x, y) 是连续函数，则累次积分dx0 x 4y4 1 y 2 dy4A ．dy 1 y 2 f ( x, y)dxB ．4yf (x, y)dy（）f (x, y)dx4y4 yC ． 0dy 1 f (x, y)dxD ． 0 dy 1 y 2 f ( x, y)dx425．累次积分2 dx 2e y 2 dy （）0 xA ． 1(1 e 2)B ． 1(1 e 4)C ． 1(1 e 4)D ． 1(1 e 2 )23236．设 D由1x2y21确立，若 I 1Dx2 1 y 2d， I 2(x 2y 2 )d ，4DI 3ln( x 2y 2 )d ，则 I 1 ， I 2 ， I 3 之间的大小次序为（）DA ． I 1I 2 I 3 B ． I 1 I 3 I 2 C ． I 2 I 3 I 1D ． I 3I 2 I 17．设 D 由 | x | 1， | y | 1 确立，则xe cos xy sin xydxdy（）B ． eDA ． 0C ． 2D ． e 28．若积分地区 D 由 xy1 ， x 0 ， y1 f (x)dx10 确立，且xf ( x)dx ，x则f ( x)dxdy （）D1 A ． 2B ． 0C ．D ． 121 xf (x, y)dy 1dx 1 x 1 x 2 ( y)9．若 dxf ( x, y)dydy f (x, y)dx ，则（）1x 1 ( y)A ． x 1 ( y) y 1 ， x 2 ( y) 0B ． x 1 ( y) y 1， x 2 ( y) 1 yC ． x 1 ( y) 1 y ， x 2 ( y) y 1D ． x 1 ( y) 0 ， x 2 ( y)y 1（二）填空题1．设 D 是由直线 yx , y 1x , y2 所围成的地区，则dxdy．2D2．已知 D 是由 ax b ， 0y1所围成的地区，且yf ( x)dxdy 1，则Dbf ( x)dx．a3．若 D 是由 xy1 和两坐标轴围成的地区，且f (x)dxdy1( x) dx ，那么D( x)．4．互换积分序次： 2dy y 2 f ( x, y)dx1y 2．5．设 D 由 x2y 21 确立，则dxdy．4D6．互换积分序次：dxsin x f (x, y) dy．1 x7．互换积分序次：dx2x22y f (x, y)dy =．8. 互换积分序次0 dy y 2 f (x, y)dx =.（三）计算题1．选择适合的坐标系和积分序次求以下二重积分（ 1）x 2 cos ydxdy ，此中 D 由 1 x 2 ， 0 y确立，D2（ 2）(xy) dxdy ，此中 D 由 x 2y 2 2x 确立，D（ 3）x 2y 2 dxdy ，此中 D 是圆环形闭地区： 1x 2y 2 4D（ 4）xydxdy ，此中 D 是由抛物线y 2x及 y=x 所围成的闭地区 .D2．计算以下积分（ 1） 6dy6 cos xdx ，yx3 31（ 2） dydx ，1yy ln x。

二重积分部分练习题

题目部分，(卷面共有100题,分,各大题标有题量和总分) 一、选择 (16小题,共分) (2分)[1] (3分)[2]二重积分Dxydxdy ⎰⎰ (其中D ：0≤y ≤x 2,0≤x ≤1)的值为（A ）16 （B ）112 （C ）12 （D ）14答 ( ) (3分)[3]若区域D 为0≤y ≤x 2,|x |≤2,则2Dxy dxdy =⎰⎰=（A ）0；（B ）323 （C ）643（D ）256 答 ( )）(3分)[4]设D 1是由ox 轴，oy 轴及直线x +y =1所圈成的有界闭域，f 是区域D ：|x |+|y |≤1上的连续函数，则二重积分22(,)Df x y dxdy =⎰⎰__________122(,)D f x y dxdy ⎰⎰（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）12答 ( ) (3分)[5]设f (x ,y )是连续函数，则二次积分11(,)x dx f x y dy -+⎰(A)112111(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+⎰⎰⎰(B)111(,)y dy f x y dx --⎰⎰`(C)11111(,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+⎰⎰⎰(D)21(,)dy f x y dx -⎰⎰答 ( ) (3分)[6] 设函数f (x ,y )在区域D ：y 2≤－x ,y ≥x 2上连续，则二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰可化累次积分为(A)201(,)x dx f x y dy -⎰(B)21(,)x dx f x y dy -⎰⎰(C)21(,)y dy f x y dx -⎰⎰(D)210(,)y dy f x y dx ⎰答 ( )(3分)[7]设f (x ,y )为连续函数，则二次积分21102(,)y dy f x y dx ⎰⎰可交换积分次序为(A)1010(,)(,)dx f x y dy f x y dy +⎰(B)112102(,)(,)(,)dx f x y dy f x y dy f x y dy ++⎰⎰⎰—(C)1(,)dx f x y dy ⎰(D)222cos 0sin (cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθ⎰⎰答 ( )(3分)[8]设f (x ,y )为连续函数，则积分212201(,)(,)x xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰可交换积分次序为 (A)12201(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰(B)212201(,)(,)x xdy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰(C)120(,)y dy f x y dx -⎰(D)2120(,)xx dy f x y dx -⎰⎰。

第十章重积分

y
( i )
(i ,i )
D
O
x
2. 任取一点 (i ,i ) D ，(i 1,2,...,n) 第 i 个小薄片的质量
mi (i ,i ) . i
y
( i )
(i ,i )
D
O
x
3. 求和
n
n
m mi (i ,i ) . i
i 1
i 1
4. 将 D 分得越细， y
近似值
( i ) n
二重积分的性质（积分中值定理）
(i ,i )
(i ,i ). i
i 1
D
就越接近于精确值m
O
x
记 ( i )的直径为 di ，最大直径 max di
令 0，取极限，则有
1 i n
n
m
lim
0
(i ,i ).
i 1
i
2.二重积分的概念
定义设 f (x, y)是有界闭区域 D 上的有界函数.
将闭区域 D 任意分为 n 个小闭区域：
ln(x2 y2 )d 0 即: 原积分是负的.
D
练习：设 f ( x, y) 在原点的某邻域内连续，
求
lim
0
1
2
D
f
( x,
y)d
?
这里 D {(x, y) | x2 y2 2}
作业问题： P61, 10
四、小结
二重积分的定义（和式的极限）
二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积的代数和）
z z f (x, y)
xO
y
D
( i )
(i ,i )
3. 求和
n
n
V Vi f (i ,i ) . i

重积分

第九章重积分一、教学要点1．了解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的积分中值定理. 2．掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标）. 3．会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、质量、重心、转动惯量、引力）.二、重点、难点1．二重积分的计算方法.2．用重积分求几何量与物理量（图形面积、体积、质量、重心、转动惯量、引力）.三、典型问题解析例1．求二次积分dx xxdy y⎰⎰202sin ππ的值. -------1 解：dx x xdy y ⎰⎰202sin ππdy xx dx x ⎰⎰=200sin π⎰⎰=-=2020sin )0(sin ππxdx dx x xx1)10(cos 2=--=-=πx例2．求二次积分⎰⎰--21312x y dy e dx 的值. ------()1(214--e ）解：⎰⎰--21312x y dy edx ⎰⎰+-=1122y y dx edy⎰-=202ydy e y)1(21214202---=-=e e y例3．求⎰⎰D zdxdy ， 22(,)14,D x y x y x y ⎧⎫⎪⎪=≤+≤≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭.解：21≤≤r ，⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ， 36πθπ≤≤⎰⎰Dzdxdy θθππd rdr ⎰⎰=2136tan arctan⎰=3621221ππθθd r⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=22)6()3(21)212(ππ)369(4322ππ-= 例4．若{}(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤，求Dx ydxdy -⎰⎰解：Dx ydxdy -=⎰⎰1D x y dxdy -+⎰⎰2D x y dxdy -⎰⎰1()D y x dxdy =-+⎰⎰2()D x y dxdy -⎰⎰1110()()xxdx y x dy dx x y dy =-+-⎰⎰⎰⎰1121200011()()22x x y xy dx xy y dx ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 112200111()222x x dx x dx =-++⎰⎰1201()2x x dx =-+⎰0311111()3223x x =-+=例5．计算积分⎰⎰+Ddxdy y x 22，其中{}x y x x y y x D 2,0),(22≤+≤≤=.解：利用极坐标 ⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x 则原式=⎰⎰⎰=403cos 2040cos 38.πθπθθθd rdr r dθθπs i n)s i n 1(38402d ⎰-= 2910sin 31sin 38403=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=πθθ 例6．计算2Dxy d σ⎰⎰，其中D 是直线,23y x y x ==-+和2y =围成的闭区域. 解：三条直线的交点分别为()()1,2,1,1,2,22A B C ⎛⎫⎪⎝⎭. 将D 看作Y -型区域，把二重积分化为先对x 后对y 的二次积分。

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