甲型H1N1流感在预防控制措施下的传播数学模型构建_张齐鹏

第21卷第4期湖南文理学院学报（自然科学版）Vol. 21 No. 4 2009年12月 Journal of Hunan University of Arts and Science(Natural Science Edition) Dec. 2009 doi：10.3969/j.issn.1672-6146.2009.04.006甲型H1N1流感在预防控制措施下的传播数学模型构建张齐鹏(南阳师范学院数学与统计学院, 河南南阳, 473061)摘要：从数学应用的角度，研究甲型H1N1流感的传播规律，将人群分为易感人群、病毒潜伏人群、发病人群、退出者人群四类. 分析了甲型H1N1流感在人群间的转化过程；日接触率和“聚集性突然爆发”事件被数学刻画，尝试性地构建了一个在预防控制阶段的传播数学模型.关键词：甲型H1N1流感病毒；脉冲函数；日接触率；数学模型中图分类号：O 175.1 文献标识码：A文章编号：1672-6146(2009)04-0016-03H1N1是Orthomyxoviridae系列的一种病毒，它的宿主是鸟类和一些哺乳动物. 与H1N1同一系列的还有H5N1, H7N2, H1N7, H7N3, H13N6, H5N9, H11N6, H3N8, H9N2, H5N2, H4N8, H10N7, H2N2, H8N4, H14N5, H6N5, H12N5等. H1N1病毒引起严重的疾病大多发生于家禽方面，变种有时根据宿主而改变的，而人类却很少出现. 2009年3月，墨西哥和美国等先后发生人感染H1N1流感病毒，为A 型流感病毒，H1N1亚型猪流感病毒毒株，随即该“流感”有席卷全球之势. 该毒株包含有猪流感、禽流感和人流感三种流感病毒的基因片断，可以人传染人. 通常猪流感并不会传染人类，即使有人感染也仅限于那些与猪有直接接触的人. 但目前这次猪流感不同，感染者大都没有同猪接触，并且是通过人与人之间传播感染的. 人们至今仍在寻找此H1N1流感疫情的真实源头. 不少流行病学专家怀疑，墨西哥东部韦拉克鲁斯州的养猪场是最初的传染源. 但也有人认为，该流感病毒可能在几个月甚至一年前就已发生变异，也许是从世界其他地方传入墨西哥. 现在已经证明，猪是各种动物和人流感病毒的“中间宿主”，也可以说是其他动物流感病毒跨跃物种感染人类的“跳板”.世界卫生组织、联合国粮农组织和世界动物卫生组织最终宣布，一致同意使用Ａ(H1N1)型流感指代当前疫情，而不再使用“猪流感”一词. 我国卫生部4月30日发布2009年第8号公告，明确将原称人感染猪流感改称为甲型H1N1流感，并将甲型H1N1流感纳入传染病防治法规定管理的乙类传染病，并采取甲类传染病的预防、控制措施[1-2].甲型H1NI病毒非常活跃，可在人群间传播，其方式主要以感染者的咳嗽和喷嚏为媒介. 如果咳嗽或者打喷嚏时没有遮住自己的鼻子和嘴，猪流感病毒就会散发到空气中，从而使他人感染，且人群普遍易感. 流感传到人身上以后，大约有四五天的潜伏期，没有出现症状的时候会给防控带来一定困难. 美国疾病预防控制中心的数据显示，被感染者在症状出现的前一天开始到病倒后的第7天为止，都会散发出流感病菌，而症状也可能在7天后才表现出来，因此一些潜在病毒携带者正在全球范围内流动. 人感染甲型H1N1流感后的症状与普通人流感相似，包括发热、咳嗽、喉咙痛、身体疼痛、头痛、发冷和疲劳等，有些还会出现腹泻和呕吐，重者会继发肺炎和呼吸衰竭，甚至死亡.如今，甲型H1N1流感问题已经引起了许多生物学、医药学等领域相关专家、学者及研究人员的关注. 如对甲型流感H1N1病毒遗传进化关系分析[3]、甲型H1N1亚型流感病毒抗原性及遗传特性研究[4]等. 这些结果着重从病理或病因等方面进行相关研究. 本文将从数学应用的角度，定量地研究甲型H1N1流感的传播基本规律，在预防控制措施假设条件下，对甲型H1N1流感传播进行数学模型构建提出尝试，为预测和控制甲型H1N1流感蔓延创造条件.1 甲型H1N1流感在仓室结构人群间的转化过程根据数学建模流行病仓室结构[5-6]分析方法，通过对甲型H1N1流感的观察与研究，可以将人群分为易感人群S、病毒潜伏人群E、发病人群I、退出者人群R(包括死亡者和治愈者)四类. 甲型H1N1流感的传染过程为：易感人群→第4期张齐鹏甲型H1N1流感在预防控制措施下的传播数学模型构建17病毒潜伏人群→发病人群→退出者人群. 由于甲型H1N1流感的传染期不是很长，故不考虑这段时间内的人口出生率和自然死亡率. N表示疫区总人口数；()S t表示t时刻健康人数占总人口数的比例；()I t表示t时刻感染人数占总人口数的比例；()E t表示t时刻潜伏期的人数占总人口数的比例；()R t表示t时刻退出人数占总人口数的比例；()λt表示日接触率，即表示每个病人平均有效接触的人数.易感者和发病者有效接触后成为病毒潜伏者，设每个发病者平均每天有效接触的易感者数为()()λt S t，()NI t个发病者平均每天能使()()()λt S t NI t个易感者成为病毒潜伏者.故d()()()()dS tNλt S t NI tt=−，即d()dS tt=()()()λt S t I t−.病毒潜伏人群的变化等于易感人群转入的数量减去转为发病人群的数量，即d() dE tt=()()()()()λt S t I tαt E t−，其中()αt表示潜伏期日发病率，即表示每个潜伏者平均有效发病的人数，根据一般流行病学知识[5]，潜伏期日发病率()αt 可以借助于大量的统计数据简化为常数α.单位时间内退出者的变化等于发病人群的减少，即d()()()dR tγt I tt=，其中()γt表示日退出率，即表示每个病人平均有效病情结束的人数，根据流行病学知识[5]，日退出率()γt可以借助于大量的统计数据得到简化的常数值γ.发病人群的变化等于潜伏人群转入的数量减去转为退出人群的数量，即d()()() dI tαt E tt=−()().γt I t这样，我们分析和讨论了甲型H1N1流感在人群间的转化过程. 考虑甲型H1N1流感的实际情况，疫情主要是受日接触率()λt影响，不同的时段，()λt的影响因素不同. 在甲型H1N1流感传播过程中，卫生部门的预防控制措施起了较大的作用. 下面将疫情传播过程重点在预防控制的非自然传播这个阶段，建立更加接近和符合实际情况的甲型H1N1流感传播数学模型.2 构建甲型H1N1流感在预防控制措施下的传播模型对于甲型H1N1流感在预防控制下传播，在构建的数学模型时，一方面，着眼于随时间t而变化的日接触率()λt的数学刻画：考虑到每日新增死亡人数()d t、新增确诊人数()b t、新增疑似病例人数()v t是影响疫情指标的主要因素. 对这3个因素归一后求加权和得到123()()() ()max{()}max{()}max{()}d t b t v tA t q q qd t b t v t=++,其中123,,q q q依次为(),(),()d t b t v t对疫情指标的相对影响权重. 可以根据实际统计数据，()A t的取值是离散的，为此，可以采用最小二乘拟合方法，得到()A t的近似连续型表达式.在甲型H1N1流感在预防控制阶段，卫生部门的预防措施力度()x t在控制疫情的过程中起到了重要的作用，它与这些因素有关：(1)预防措施力度参考前段时间的疫情情况，不妨取近t 天的平均值()A t；(2)()x t随疫情的增强而增加，前期增加较为缓慢，但疫情发展到一定程度后，社会对疫情的蔓延变得敏感起来，后期预防力度加大，随之疫情的指标增长速度变慢；(3)当疫情最严重时，()x t最大趋向于1. 由此，可以给出()x t随疫情变化的近似表达式.人们对甲型H1N1流感的警惕性程度也随疫情的变化而变化. 在公布疫情初期，疫情的变化引起人们很大的关注，警惕性程度随疫情的微小变化波动很大；到中后期波动逐渐变缓，直至平稳. 可用()y t来表达人们的警惕性指标：当()0A t=时，()y t取常数表示人们固有的警惕性指数；当()A t→+∞时，()1y t→，从而可以近似得到有()A t所表达的()y t的关系式.人们的防范措施()z t受预防措施力度()x t 和警惕性指标()y t的影响，()x t和()y t对防范措施()z t的影响作用大致相当，故可取()z t= 0.5()0.5()x t y t+.()λt表示发病者平均每天有效接触的人数，可知，()λt是防范措施()z t的函数，可以根据：(1)当防范措施()z t为零时，则()λt取最大值λ(预防控制前的未预防控制阶段的常数日传染率λ)；(2)随防范措施()z t的增大，()λt会减小；(3)当防范措施()z t超过一定的数值时，则对()λt的变化影响较明显，当防范措施()z t趋近于1时，则()λt趋近于0. 通过适当的拟合近似得到()λt 随()z t的关系表达式.对于甲型H1N1流感在预防控制下传播，在构建的数学模型时，另一方面，着眼于个别地18 湖 南 文 理 学 院 学 报（自 然 科 学 版） 2009年方出现了“聚集性突然爆发”事件的数学刻画：在疫情发展过程中，人们缺少必要的防范意识，由于甲型H1N1流感的传播特点，在个别地方出现了“聚集性突然爆发”事件. 在甲型H1N1流感传播中，将“聚集性突然爆发”事件对疫情的影响看作一个瞬时的脉冲行为.定义脉冲函数：001,;()20,.r x r x x r δx x r ⎧−<<+⎪−=⎨⎪⎩其他 δ函数：000)lim ().r r δx x δx x →−=−（到此，可以得到甲型H1N1流感在预防控制措施下的传播数学模型：110000d ()()()()(),d d ()()()()()(),d d ()()(),d d ()(),d ()()()()1,(0),(0),(0),(0).mi i i mi ii S t λt I t S t N αδt t t E t λt S t I t αE t N αδt t t I t αE t γI t t R t γI t t S t E t I t R t S S E E I I R R ==⎧=−−−⎪⎪⎪=−+−⎪⎪⎪⎨=−⎪⎪=⎪⎪+++=⎪====⎪⎩∑∑ 其中m 为所加δ函数的个数，在实际中即为“聚集性突然爆发”事件的个数；i α为第i 个δ函数的强度，根据统计数据可以给出；0000,,,S E I R 为各 类人群的初始值，可以测定；()λt 是与每天新增死亡人数()d t 、新增确诊人数()b t 、新增疑似病例人数()v t 、卫生部门的预防措施力度()x t 、人们对甲型H1N1流感的警惕性程度指标()y t 和防范措施()z t 有关的连续函数.以上我们根据数学建模流行病仓室结构分析方法，构建了一个理论上较为接近和符合实际的数学模型，所建立的模型是在具体的假设和简化下给出的，这有其合理的方面. 模型中必要的参数量是可取的，相关的统计数据是期待着的，这依赖于对甲型H1N1流感进行更为深入观察、统计和实验、研究等. 由于模型较为复杂，求具体解析解是困难的，故可以考虑将微分方程转化为差分方程求解是可行的，或可以进行必要的仿真分析[9]等. 其中，所建立的数学模型在宏观上对实际预防控制甲型H1N1流感具有一定的指导意义.参考文献:[1] 张树庸. 简述甲型(H1N1)流感疫情[J]. 实验动物科学,2009, 26(3): 65-66.[2] 袁玥. 甲型流感防控策略渐变[J]. 中国新闻周刊, 2009, 7: 68-69.[3] 常彦磊, 石磊. 甲型流感H1N1病毒遗传进化关系分析[J]. 现代食品科技, 2009, 25(7): 834-837.[4] 张文东, 张富强, 范泉水, 等. 2009甲型H1N1亚型流感病毒抗原性及遗传特性研究[J]. 山西南国防医药, 2009, 19(8): 850-852.[5] 姜启源. 数学模型(第2版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 1993: 110-120.[6] 寿纪麟. 数学建模——方法与范例[M]. 西安: 西安交通大学出版社, 1993: 48-52.[7] 杨方廷. 北京SARS 疫情过程的仿真分析[J]. 系统仿真学报, 2003, 15(7): 991-998.Construction of Type-A H1N1 influenzamathematical model in the prevention andcontrol measuresZHANG Qi-peng(School of Mathematics and Statistics, Nanyang NormalUniversity, Nanyang, Henan, 473061)Abstract: The propagation of Type-A H1N1 influenza is studied from the perspective of the application of mathematics, and the populations are divided into susceptible populations, the virus latent populations, the incidence populations and removed. Type-A H1N1 influenza in the population among the conversion process is analysed; Day contact rate and the incident “aggregation of a sudden outbreak” have been portrayed by Mathematics. Mathematical models of the spread in the prevention and control phase is established.Key words: Type-A H1N1 influenza virus; pulse function; day contact rate; mathematical model收稿日期：2009-08-22作者简介：张齐鹏 (1979-), 男, 讲师, 硕士, 研究方向为生物数学.(责任编校：刘刚毅)。