概率论与数理统计第三章课后习题答案
概率论与数理统计教程第三章课后习题答案概率(03章)
... 。。。
p
i 1 j 1
ij
1
... 。。。
。。。...
。。。...
。。。
...
例
掷三次均匀的硬币，以X表示出现正面的
次数，以Y表示正面出现次数与反面出现
次数之差的绝对值，求（X，Y）的分布列。
解 ( X ,Y )
的可能取值为(0， 3)， (1， 1)， (2， 1)，（3，3）.
k 6
y x (2u 3v ) 2 x 3 y 6 e dudv (1 e )(1 e ), y 0, x 0 0 0 0 其它
(3)
P{0 X 4, 0 Y 1}
y
x 0, y 0 y x
1 0
4 0
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6e
联合分布函数表示矩形域概率
P （ x 1 X x 2， y 1 X y 2）
y y2 2 2 y y1 1 1 x x1 1 1 x x2 2 2
F(x2,y2) -F(x2,y1) -F(x1,y2)
+F(x1,y1) P （ x 1 X x 2， y 1 Y y 2）
= F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2) + F(x1,y1)
f ( x, y) 0
概率论与数理统计(第三版)第三章课后答案
第三章随机向量
X
1
2
2
C ；C ； 3
c ； 5
3
C ；C ； 2
5.4 (1) a=-
9
5 12
P{1<X < 乙 KYS 5张只2.5肝(1.3"仏5)—F(2.3 卜
3 128
<3)
P{(X.r)eD}=f^『*6*必"制：［(6-〉”-討疗&
T：(护-®+5討詁(护3+5”)|：=諾=善
3.5 K： (1)
y)工J： J：01 皿=f eP寸"血=(-<- UXr^ IS)=(1 -0X1 - 严)
<2>
P（rsx）= f：\f*如2严创;『dy =「2严（-八Qdx =J； 2宀（i十肚.j：（2宀》女肚=（・严
3.6H： PC^ + JSa
3.9B ： x 術加HK 昨通»斤（0为:
饴X>1 或xvOirL /(xj) = Op
斤0) = [4.8>・(2-如=4 83[2*4门：*8川卜2》+黑计
Zr(x) = O y > 或 <0
0<><1
A(x) = f>.8y(2 “妙=2 妒(2-纠；=2*(2-x)
©SOSxMl 时，/t (x) = | 4.8y(2-x>A =2 4y :
(2-x)|r =2 4工(2・兀)
3・7參见课本后面P227的答案
3.8 f x (x) = J ：/(x, >•>” J：訊如扌吟|：■专
厶ox J ：討法訐
£ 'X
0SXS2
AW= 2* 0苴它
/iO)h
3>2
0<> <1 0其它
Zr(x)h [(沖0<x<l
概率论与数理统计第三章习题及答案
概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布
习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律.
（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=
35147
2222=C C C P {X=1, Y=1 }=356
47
221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=
3564
7
1
2
2213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353
472
223=C C C P {X=2, Y=1 }=
35124
712
1223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353
47
2
223=C C C P {X=3, Y=0 }=
35247
1233=C C C P {X=3, Y=1 }=352
47
1233=C C C P {X=3, Y=2 }=0
习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为
⎩⎨
⎧<<<<--=其它
,
0,
42,20),
6(),(y x y x k y x f
（1） 确定常数k ； （2） 求{}3,1<<Y X P （3） 求{}5.1<X P ； （4） 求{}4≤+Y X P . 分析：利用P {(X , Y)∈G}=
⎰⎰⎰⎰⋂=o
D G G
dy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，其中
⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o
概率论与数理统计(经管类)第三章课后习题答案
(1) Z 的可能取值为‐30,‐20,‐10,0,10 Z 30 X 20,Y 10 P Z 30 P X 20,Y 10 320
同理
P Z 20 P X 10,Y 10 P X 20,Y 0 220 320 520
P Z 10 P X 10,Y 0 520
P Z 0 P X 20,Y 20
120 P Z 10 P X 10,Y 20 620 则Z=X+Y 的分布律为
(2) Z 的可能取值为‐40,‐30,‐20,‐10,0 P Z 40 P X 20,Y 20 1
20
P Z 30 P X 10,Y 20
620
P Z 20 P X 20,Y 0 3
20
P Z 10 P X 10,Y 0 P X 20,Y 10 520 320 820
P Z 0 P X 10,Y 10 2
20
则Z=X ‐Y 的分布律为
3. 设X,Y 相互独立,且X,Y 的分布律分别为
求: (1)(X,Y)的分布律; (2)Z=XY 的分布律.
Z=X+Y ‐30 ‐20 ‐10 0 10 P 320 520 520
120
620
Z=X ‐Y ‐40 ‐30 ‐20 ‐10 0 P 120 620 320 820 220 Y 1 1 2 3 P
14
512
14
112
X 0 1
2 P 14 24 14
概率论与数理统计第三章习题及答案
概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布
习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律.
（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=
35147
2222=C C C P {X=1, Y=1 }=356
47
221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=
3564
7
1
2
2213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353
472
223=C C C P {X=2, Y=1 }=
35124
712
1223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353
47
2
223=C C C P {X=3, Y=0 }=
35247
1233=C C C P {X=3, Y=1 }=352
47
1233=C C C P {X=3, Y=2 }=0
习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为
⎩⎨
⎧<<<<--=其它
,
0,
42,20),
6(),(y x y x k y x f
（1） 确定常数k ； （2） 求{}3,1<
⎰⎰⎰⎰⋂=o
D G G
dy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，其中
⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o
解：（1）∵⎰⎰⎰
⎰
+∞∞-+∞
∞
---=
=
20
12
)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴8
概率论与数理统计第三章课后答案
第三章 连续型随机变量
3.1 设随机变数ξ的分布函数为)(x F ，试以)(x F 表示下列概率： （1）)(a P =ξ；（2）)(a P ≤ξ；（3）)(a P ≥ξ；（4）)(a P >ξ 解：（1）)()0()(a F a F a P -+==ξ； （2）)0()(+=≤a F a P ξ； （3）)(a P ≥ξ=1-)(a F ； （4）)0(1)(+-=>a F a P ξ。 3.2 函数2
11
)(x x F +=
是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果
（1）∞<<∞-x π
（2）0∞<<x ，在其它场合适当定义； （3）-0<<∞x ，在其它场合适当定义。
解：（1）)(x F 在（-∞∞,）内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数； （2）)(x F 在（0，∞）内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数； （3）)(x F 在（-)0,∞内单调上升、连续且)0,(-∞F ，若定义
⎩⎨
⎧≥<<∞-=01
0)()(~
x x x F x F
则)(~
x F 可以是某一随机变量的分布函数。
3.3 函数x sin 是不是某个随机变数ξ的分布密度？如果ξ的取值范围为 （1）]2,
0[π
；（2）],0[π；（3）]2
3
,0[π。 解：（1）当]2
,0[π
∈x 时，0sin ≥x 且⎰20
sin π
xdx =1，所以x sin 可以是某个随机变量的分
布密度； （2）因为
⎰x
xdx 0
sin =21≠，所以x sin 不是随机变量的分布密度；
概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案
概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案
1．设二维随机变量),(Y X 只能取下列数组中的值：)0,0(，)1,1(-，3
1
,1(-及)0,2(，
且取这几组值的概率依次为61，31，121和12
5
，求二维随机变量),(Y X 的联合
分布律．
解：由二维离散型随机变量分布律的定义知，),(Y X 的联合分布律为
2．某高校学生会有8名委员，其中来自理科的2名，来自工科和文科的各3名．现从8名委员中随机地指定3名担任学生会主席．设X ，Y 分别为主席来自理科、工科的人数，
求：(1)),(Y X 的联合分布律；(2)X 和Y 的边缘分布律．
解：(1)由题意，X 的可能取值为0，1，2，Y 的可能取值为0，1，2，3，则
561
)0,0(3833====C C Y X P ，
569
)1,0(3
81
323====C C C Y X P ，569
)2,0(382313====C C C Y X P ，
561
)3,0(3833====C C Y X P ，
283
)0,1(3
82312====C C C Y X P ，28
9
)1,1(3
8131312====C C C C Y X P ，283
)2,1(382312====C C C Y X P ，
0)3,1(===Y X P ，
56
3
)0,2(3
81322====C C C Y X P ，56
3
)1,2(3
81322====C C C Y X P ，0)2,2(===Y X P ，0)3,2(===Y X P ．
),(Y X 的联合分布律为：
(2)X 的边缘分布律为
《概率论与数理统计》习题及答案第三章
《概率论与数理统计》习题及答案
第 三 章
1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p (01)p <<，若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X 的分布列。
解 ()X k =表示事件：前1k -次出现正面，第k 次出现反面，或前1k -次出现反面，第k 次出现正面，所以 1
1()(1)(1),2,3,
.k k P X k p p p p k --==-+-=
2．袋中有b 个黑球a 个白球，从袋中任意取出r 个球，求r 个球中黑球个
数X 的分布列。
解 从a b +个球中任取r 个球共有r
a b C +种取法，r 个球中有k 个黑球的取法有k
r k
b a
C C -，所以X 的分布列为
()k r k
b a
r
a b
C C P X k C -+==，max(0,),max(0,)1,,min(,)k r a r a b r =--+， 此乃因为，如果r a <，则r 个球中可以全是白球，没有黑球，即0k =；如果r a >则r 个球中至少有r a -个黑球，此时k 应从r a -开始。
3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率1
(1,2,3)1
i p i i ==+，以X 表示三个零件中合格品的个数，求X 的分布列。
解 设i A =‘第i 个零件是合格品’1,2,3i =。则
1231111
(0)()23424
P X P A A A ===
⋅⋅=
， 123123123(1)()P X P A A A A A A A A A ==++
概率论与数理统计习题及答案第3章习题详解
习题三
1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与
出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 111222⨯⨯111222
⨯⨯=
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 2324
7C 3
C 35= 1
32
4
7C 2C 35= 12
322
4
7C C 6C 35= 11322
4
7C C 12C 35= 132
4
7C 2C 35
= 24
27C /C =
21322
4
7C C 6C 35
= 2324
7C 3
C 35
=
3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为
F （x ，y ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤
≤≤≤.,
020,20,sin sin 其他ππy x y x
求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧≤<≤<36
,40ππ
πy x 内的概率. 【解】如图πππ
{0,}(3.2)463
P X Y <≤
<≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636
F F F F --+
ππππππsin sin sin sin sin 0sin sin 0sin 434636
2
(31).4
=--+=
-
题3图
说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度
f （x ，y ）=⎩⎨⎧>>+-.,
0,
0,0,)43(其他y x A y x e
求：（1） 常数A ；
《概率论与数理统计答案》第三章
2 3 （1） EX =
（2） EXY =
元；若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损 100 元；若供不应求，则可从 外部调剂供应， 此时每单位商品仅获利 300 元， 为使商店所获利润期望值不小于 9280 元，试确定最小进货量。 答案与提示：依题意，需求量 X 服从[10，30]上的均匀分布，因此其概率密度为 ⎧1 ⎪ ， 10 ≤ x ≤ 30 f ( x) = ⎨ 20 ⎪ 它 ⎩ 0， 其 而此商店经销该种商品每周所得利润是与 X 和进货数量 n 有关的，所以该问题化为 求利润函数的数学期望。最小进货量应不少于 21 个单位。
ρ XY = −1 / 2 ，设 Z = X / 3 + Y / 2 ，求：
（1）求数学期望 EZ ，方差 DZ ； （2） Y 与 Z 的相关系数 ρ YZ ； 答案与提示：本题要求熟悉数学期望、方差、协方差的性质、计算及有关正态
（2）由协方差的性质 3 及相关系数定义得
ρ YZ =
Cov(Y , Z ) DY DZ
f ( x) = 1 − x− β e 2α
/α
课
答
（2） D( X − 1) 2 = 0.16 ⎧1 / 8, 0 < x < 8 f ( x) = ⎨ 其它 ⎩ 0,
求 X 的数学期望。 答案与提示：该题要求熟练掌握计算连续型随机变量的数学期望的公式。
概率论与数理统计（茆诗松）第二版第三章课后习题.参考答案（PDF）
第三章 多维随机变量及其分布
习题3.1
1． 一批产品中有一等品50%，二等品30%，三等品20%．从中有放回地抽取5件，以X 、Y 分别表示取
出的5件中一等品、二等品的件数，求 (X , Y ) 的联合分布列． 解：X , Y 的全部可能取值分别为0, 1, 2, 3, 4, 5，
且i j i j i j i j Y i X P j i j i −==×××−−⋅⋅=
==−−5,,0;5,4,3,2,1,0,2.03.05.0)!
5(!!!
5},{5L ，
故 (X , Y ) 的联合分布列为
03125
.05
000009375.00625.040001125.015.005.03000675.0135
.009
.002.02002025.0054.0054.0024.0004.0100243.00081.00108
.00072.00024.000032.00543210X Y
2． 100件商品中有50件一等品，30件二等品，20件三等品．从中不放回地抽取5件，以X 、Y 分别表
示取出的5件中一等品、二等品的件数，求 (X , Y ) 的联合分布列． 解：X , Y 的全部可能取值分别为0, 1, 2, 3, 4, 5，
且i j i j i j i j Y i X P −==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=
==5,,0;5,4,3,2,1,0,51005203050},{L ，
故 (X , Y ) 的联合分布列为
0281
.05
00000918.00612.04000
《概率论与数理统计》习题及答案 第三章
《概率论与数理统计》习题及答案
第 三 章
1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p (01)p <<，若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X 的分布列。
解 ()X k =表示事件：前1k -次出现正面，第k 次出现反面，或前1k -次出现反面，第k 次出现正面，所以 1
1
()(1)(1)
,
2,3,.k k P X k p
p p p k --==-+-=
2．袋中有b 个黑球a 个白球，从袋中任意取出r 个球，求r 个球中黑球个数X 的分布列。
解 从a b +个球中任取r 个球共有r
a b C +种取法，r 个球中有k 个黑球的取法有k
r k
b a
C C -，所以X 的分布列为
()k
r k
b a
r a b
C C P X k C -+==
，m a x (0,),m a x (0,)1,,m in (,)k r a r a b r =--+ ，
此乃因为，如果r a <，则r 个球中可以全是白球，没有黑球，即0k =；如果r a >则r 个球中至少有r a -个黑球，此时k 应从r a -开始。
3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率1(1,2,3)1
i p i i ==+，以X 表示三个零件中合格品的个数，求X 的分布
列。
解 设i A =‘第i 个零件是合格品’1,2,3i =。则 1231111
(0)()23424
P X P A A A ===
⋅⋅=， 123123123(1)()P X P A A A A A A A A A ==++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 1111211136
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题参考答案
（1）试求常数 k；
4
（2）求 P{X > 0.5}和 P{Y < 0.5}．
y
∫ ∫ 解：（1）由正则性： +∞ +∞ p(x, y)dxdy = 1 ，得 −∞ −∞
1
1
∫ ∫ ∫ ∫ 1
x
dx kdy =
0
x2
故 k = 6；
1
dx ⋅ k y
0
x x2
=
1 0
k
(x
−
x
2
)dx
=
k⎜⎜⎝⎛
y
（2）(X, Y ) 的联合分布函数 F (x, y)；
（3）P{0 < X ≤ 1, 0 < Y ≤ 2}．
∫ ∫ 解：（1）由正则性： +∞ +∞ p(x, y)dxdy = 1 ，得 −∞ −∞
0
x
∫ ∫ ∫ ∫ +∞ dx
+∞ k e −(3x+4 y) dy =
0
0
+∞
+∞ 0
dx
⋅
k ⎢⎣⎡−
1 4
e−(3x+4 y)
⎤ ⎥⎦
0
=
+∞ k e −3x dx = − k e −3x
04
12
+∞
=
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题参考答案
x
y
x
y
x
= − e −3u (1 − e − 4 y ) = (1 − e −3 x )(1 − e − 4 y )
0
x
故(X, Y ) 的联合分布函数为
y 2
⎧(1 − e −3 x )(1 − e −4 y ), x > 0, y > 0, F ( x, y ) = ⎨ 其他. ⎩0,
2
=∫
1.5
0
1.5 1 1 27 ； (6 − 2 x)dx = (6 x − x 2 ) = 0 8 8 32 2 4− x 2 y ⎞ 1 1⎛ ⎟ (6 − x − y ) dy = ∫ dx ⋅ ⎜ 6 y − xy − ⎜ 0 8 8⎝ 2 ⎟ ⎠2 2 2 4− x
（4） P{ X + Y < 4} = ∫ dx ∫
试求 （1）P{0 < X < 0.5, 0.25 < Y < 1}； （2）P{X = Y }； （3）P{X < Y }； （4）(X, Y ) 的联合分布函数． 解： （1） P{0 < X < 0.5, 0.25 < Y < 1} = ∫ dx ∫
0 0.5 1 0.25
y 1
0
1
x
4 xydy = ∫ dx ⋅ 2 xy 2
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题参考答案
0.5 1
dx
4xydy =
0.5
dx
⋅
2xy 2
1
0
0.25
0
0.25
（2）P{X = Y } = 0；
∫= 0.5 15 xdx = 15 x2 0.5 = 15 ；
08
16 0 64
∫ ∫ ∫ ∫ （3） P{X < Y} =
1
dx
1
4xydy =
1 dx ⋅ 2xy 2 1 =
1 (2x − 2x3 )dx
故 (X, Y ) 的联合分布列为
Y X
0 1 2 3 4 5
0
0.0002 0.0032 0.0185 0.0495 0.0612 0.0281
1
0.0019 0.0227 0.0927 0.1562 0.0918
0
2
0.0066 0.0549 0.1416 0.1132
0 0
3
0.0102 0.0539 0.0661
p(x,
y)
=
⎧k (6 ⎩⎨0,
−
x
−
y),
0 < x < 2, 2 < y < 4, 其他.
试求
（1）常数 k；
（2）P{X < 1, Y < 3}；
y
（3）P{X < 1.5}；
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题参考答案
4
0.0073 0.0182
0 0 0 0
5
0.0019 0 0 0 0 0
（2）(X, Y )服从多项分布，X, Y 的全部可能取值分别为 0, 1, 2, 3, 4, 5，
且 P{X = i, Y = j} =
5!
× 0.5i × 0.3 j × 0.25−i− j ,
i!⋅ j!⋅ (5 − i − j)!
x du ⋅ [−3 e −(3u+4v) ] y =
x 3 e −3u (1 − e −4 y )du
0
0
0
00
= − e−3u (1 − e−4 y ) x = (1 − e−3x )(1 − e−4 y )
0
y
故(X, Y ) 的联合分布函数为
2
F
(x,
y)
=
⎧(1 ⎨
−
e −3x
)(1
−
e −4 y
0505dydxln16ln163414且取这些值的概率依次为1613112512试求x的边际分布列为12的边际分布列为12max12max12max12dydydxdx设平面区域d由曲线y从均匀分布试求x的边际密度函数
第三章 多维随机变量及其分布
习题 3.1
1． 100 件商品中有 50 件一等品、30 件二等品、20 件三等品．从中任取 5 件，以 X、Y 分别表示取出的 5 件中一等品、二等品的件数，在以下情况下求 (X, Y ) 的联合分布列． （1）不放回抽取；（2）有放回抽取．
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习题三
1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与
出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 111222⨯⨯111
222
⨯⨯=
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 2324
7C 3
C 35= 1
32
4
7C 2C 35= 12
322
4
7C C 6C 35= 11322
4
7C C 12C 35=132
4
7C 2C 35
= 24
27C /C =
21322
4
7C C 6C 35
= 2324
7C 3
C 35
=
3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为
F （x ，y ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤
≤≤≤.,
020,20,sin sin 其他ππy x y x
求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ
{0,}(3.2)463
P X Y <≤
<≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636
F F F F --+
ππππππsin sin sin sin sin 0sin sin 0sin 434636
2
(31).4
=--+=
-
题3图
说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度
f （x ，y ）=⎩⎨⎧>>+-.,
0,
0,0,)43(其他y x A y x e
求：（1） 常数A ；
（2） 随机变量（X ，Y ）的分布函数； （3） P {0≤X <1，0≤Y <2}. 【解】（1） 由
-(34)0
(,)d d e d d 112
x y A
f x y x y A x y +∞+∞
+∞
+∞
+-∞
-∞
==
=⎰⎰
⎰
⎰
得 A =12 （2） 由定义，有 (,)(,)d d y x
F x y f u v u v -∞-∞
=
⎰⎰
(34)340012e
d d (1
e )(1e )0,0,
0,0,
y y
u v x y u v y x -+--⎧⎧-->>⎪==⎨⎨
⎩⎪⎩⎰⎰其他
(3) {01,02}P X Y ≤<≤<
1
2
(34)3800
{01,02}
12e d d (1e )(1e )0.9499.
x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈⎰
⎰
5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）=⎩⎨
⎧<<<<--.,
0,
42,20),6(其他y x y x k
（1） 确定常数k ； （2） 求P {X ＜1，Y ＜3}； （3） 求P {X <}； （4） 求P {X +Y ≤4}. 【解】（1） 由性质有
2
4
2
(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞
-∞
-∞
=--==⎰⎰
⎰
⎰
故 1
8
R =
（2） 13
{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞
<<=⎰⎰
1
3
0213
(6)d d 88
k x y y x =
--=⎰⎰ (3) 1
1.5
{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=⎰⎰
⎰⎰如图
1.5
4
2127d (6)d .832
x x y y =
--=⎰
⎰
(4) 2
4
{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=⎰⎰
⎰⎰如图b
2
40
2
12d (6)d .83
x x x y y -=
--=⎰
⎰
题5图
6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，）上服从均匀分布，Y 的密度函数为
f Y （y ）=⎩⎨⎧>-.,
0,0,55其他y y e
求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2） P {Y ≤X }.
题6图
【解】（1） 因X 在（0，）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为
1
,00.2,
()0.2
0,
.X x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 而
55e ,0,
()0,
.y Y y f y -⎧>=⎨
⎩其他 所以
(,),()()X Y f x y X Y f x f y 独立
5515e
25e ,00.20,0.20,0,
y
y x y --⎧⎧⨯<<>⎪==⎨⎨
⎩⎪⎩且其他. (2) 5()(,)d d 25e
d d y
y x
D
P Y X f x y x y x y -≤≤=
⎰⎰⎰⎰如图
0.2
0.2
-550
-1d 25e d (5e 5)d =e 0.3679.
x
y x x y x -==-+≈⎰⎰⎰
7.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为
F （x ，y ）=⎩⎨⎧>>----.,
0,
0,0),1)(1(24其他y x y x e e
求（X ，Y ）的联合分布密度.
【解】(42)28e ,0,0,
(,)(,)0,x y x y F x y f x y x y -+⎧>>∂==⎨∂∂⎩
其他.
8.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为