高等代数北大版3-3

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高等代数(北大第三版)习题答案完整

P44.4 2) 结果
f ( x) = x 4 − 2 x 2 + 3 = ( x + 2) 4 − 8( x + 2)3 + 22( x + 2) 2 − 24( x + 2) + 11
3)
f ( x) = x 4 + 2ix 3 − (1 + i ) x 2 + 3 x + 7 + i
= ( x + i − i )4 + 2i ( x + i − i )3 − (1 + i )( x + i − i ) 2 − 3( x + i − i ) + 7 + i = ( x + i ) 4 − 2i( x + i)3 + (1 + i)( x + i ) 2 − 5( x + i ) + 7 + 5i
2
ε1 =
− 1 + 3i − 1 − 3i ,ε 2 = 2 2
证：设 ( f ( x ) h( x ), g ( x ) h( x )) = m( x ) 由
( f ( x ), g ( x)) h( x ) | f ( x) h( x) ∴ ( f ( x ), g ( x)) h( x ) | m( x )
设 d ( x ) = ( f ( x ), g ( x )) = u ( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ).
由 12 题 ( fg , f + g ) = 1 令 g = g1 g 2 … g n
∴ 每个i, ( fi , g ) = 1 ⇒ ( f1 f1 , g ) = 1, ⇒ ( f1 f 2 f3 , g ) = 1 , ⇒ ( f1 f 2

高等代数课件北大版第三章线性方程组

定义：将线性方程组中的每一行进行加减、倍乘等操作，使得方程组简化
作用：将增广矩阵化为阶梯形矩阵，便于求解线性方程组
步骤：对增广矩阵进行初等行变换，得到阶梯形矩阵
注意事项：变换过程中需保持矩阵的行列式不变，避免出现错误结果
矩阵的逆法
定义：如果矩阵A存在逆矩阵，则称A为可逆矩阵性质：可逆矩阵的行列式不为0 计算方法：通过行初等变换将矩阵变为单位矩阵，得到逆矩阵应用：解线性方程组的重要工具之一
束优化问题等。
线性方程组在其他领域的应用
物理学中的应用：描述物理现象和规律，如牛顿第二定律、万有引力定律等。经济学中的应用：分析经济问题，如供需关系、生产成本等。计算机科学中的应用：解决优化问题、机器学习算法等。统计学中的应用：处理数据分析和预测问题，如回归分析、主成分分析等。
线性方程组的扩展知识
添加标题
逆矩阵的计算方法：通过高斯消元法或拉普拉斯展开式等方法计算行列式|A|，然后通过|A|*|A^(1)|=1计算逆矩阵A^(-1)。
添加标题
逆矩阵的应用：在解线性方程组、求矩阵的秩、计算行列式、求向量空间的一组基等方面都有应用。
线性方程组的通解与特解的关系
通解与特解的定义
通解与特解的关系
通解与特解的求解方法
线性方程组在计算机科学中的应用
线性方程组在计算机图形学中的应用：用于计算光照、纹理映射和渲染等。

线性方程组在计算机视觉中的应用：用于图像处理、特征提
取和目标检测等。
线性方程组在机器学习中的应用：用于训练和优化模型，如线性回归和逻辑回归。
线性方程组在人工智能领域的应用：用于优化算法、求解约
通解与特解的应用
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(完整版)高等代数(北大版第三版)习题答案II

。
证 1）作变换，即
，
则
。
因为是正定矩阵，所以是负定二次型。
2）为正定矩阵，故对应的阶矩阵也是正定矩阵，由1）知
或，
从而
，
令
，
则
。
由于是正定的，因此它的级顺序主子式，从而的秩为。
即证。
3．设
。
其中是的一次齐次式，证明：的正惯性指数，负惯性指数。
证设，
的正惯性指数为，秩为，则存在非退化线性替换
，
使得
。
下面证明。采用反证法。设，考虑线性方程组
，
该方程组含个方程，小于未知量的个数，故它必有非零解，于是
，
上式要成立，必有
，，
这就是说，对于这组非零数，有
，，
这与线性替换的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以
。
同理可证负惯性指数，即证。
4．设
是一对称矩阵，且，证明：存在使，其中表示一个级数与相同的矩阵。
证只要令，则，
注意到
，，
则有
。
即证。
5．设是反对称矩阵，证明：合同于矩阵
。
设的秩为，作非退化线性替换将原二次型化为标准型
，
其中为1或-1。由已知，必存在两个向量使
和，
故标准型中的系数不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有个1，个-1，
且，即
，
这时与存在三种可能：
，，
下面仅讨论的情形，其他类似可证。
令，，，
则由可求得非零向量使
，
即证。
证采用归纳法。当时，合同于，结论成立。下面设为非零反对称矩阵。

高等代数北大版(第三版)答案

令(x2+x+1)=0
得 ε1
=
−1+ 2
3i
,ε2
=
−1− 2
3i
∴f(x)与g(x)的公共根为 ε1,ε2 .
P45.16 判断有无重因式
① f (x) = x5 − 5 x4 + 7x3 + 2x2 + 4x − 8 ② f (x) = x4 + 4x2 − 4x − 3
解① f '(x) = 5x4 − 20x3 + 21x 2 − 4x + 4
设
f (x) d ( x)
=
f1 ( x),
g(x) d ( x)
=
g1 ( x),
及
d
(x)
=Байду номын сангаас
u(x)
f
(x)
+
v( x) g ( x).
所以 d (x) = u(x) f1(x)d (x) + v(x)g1(x)d (x).
消去 d (x) ≠ 0 得1 = u(x) f1(x) + v(x)g1(x)
P45.5
(1) g(x) = (x −1)(x2 + 2x +1) = (x −1)(x +1)2 f (x) = (x + 1)(x3 − 3x −1) ∴ ( f (x), g(x)) = x +1
(2) g(x) = x3 − 3x2 +1不可约 f (x) = x4 − 4x3 + 1不可约
3
u = − 1 [(t 2 + t + 3)(t 2 + 2t − 8) + 6t + 24] = −2(t + 4) ∴3

北京大学数学系《高等代数》(第3版)课后习题-第一章至第三章(上册)【圣才出品】

所以 q（x）＝2x4－6x3＋13x2－39x＋109，r（x）＝－327．（2）q（x）＝x2－2ix－（5＋2i），r（x）＝－9＋8i．
4．把 f（x）表成 x－x0 的方幂和，即表成 c0＋c1（x－x0）＋c2（x－x0）2＋…的形式．（1）f（x）＝x5，x0＝1；
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6．求 u（x），v（x）使 u（x）f（x）＋v（x）g（x）＝（f（x），g（x））：（1）f（x）＝x4＋2x3－x2－4x－2，g（x）＝x4＋x3－x2－2x－2．（2）f（x）＝4x4－2x3－16x2＋5x＋9，g（x）＝2x3－x2－5x＋4．（3）f（x）＝x4－x3－4x2＋4x＋1，g（x）＝x2－x－1．解：（1）用辗转相除法进行计算．
所以 x5＝（x－1）5＋5（x－1）4＋10（x－1）3＋10（x－1）2＋5（x－1）＋1．
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（2）应用综合除法
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所以 f（x）＝（x＋2）4－8（x＋2）3＋22（x＋2）2－24（x＋2）＋11．（3）f（x）＝（x＋i）4－2i（x＋i）3－（1＋i）（x＋i）2－5（x＋i）＋7＋5i． 5．求 f（x）与 g（x）的最大公因式：（1）f（x）＝x4＋x3－3x2－4x－1，g（x）＝x3＋x2－x－1．（2）f（x）＝x4－4x3＋1，g（x）＝x3－3x2＋1．
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第二部分课后习题
第 1 章多项式
1．用 g（x）除 f（x），求商 q（x）与余式 r（x）：（1）f（x）＝x3－3x2－x－1，g（x）＝3x2－2x＋1；（2）f（x）＝x4－2x＋5，g（x）＝x2－x＋2．解：（1）用分离系数的竖式进行计算

高等代数(北大版第三版)习题答案II

设 A 的秩为 r ，作非退化线性替换 X CY 将原二次型化为标准型
2 X AX d1 y12 d 2 y 2 d r y r2 ，
其中 d r 为 1 或-1。由已知，必存在两个向量 X 1 , X 2 使
AX 1 0 X1
和
AX 2 0 ， X2
故标准型中的系数 d1 , , d r 不可能全为 1，也不可能全为-1。不妨设有 p 个 1， q 个-1，且 p q r ，即
X AX 0 ，
因此
X BX 0 ，
X A B X X AX X BX 0 ，
于是 X A B X 必为正定二次型，从而 A B 为正定矩阵。 14．证明：二次型 f x1 , x2 ,, xn 是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。证必要性。采用反证法。若正惯性指数 p 秩 r ，则 p r 。即
高等代数（北大*第三版）答案
目录
第一章第二章第三章第四章第五章第六章第七章第八章第九章第十章多项式行列式线性方程组矩阵二次型线性空间线性变换
—矩阵
欧氏空间双线性函数与辛空间
注：
答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！
12．设 A 为一个 n 级实对称矩阵，且 A 0 ，证明：必存在实 n 维向量 X 0 ，使

2 2 xn （ 2 x1 x2 2 x1 xn 2 x2 x3 n 1 x12 x2

2 x2 xn 2 xn1 xn ）
2 2 2 2 x12 2 x1 x2 x2 x12 2 x1 x3 x3 xn 1 2 x n 1 x n x n

高等代数北京大学第三版

高等代数北京大学第三版简介高等代数是数学中的一门重要课程，是数学的基础和核心课程之一。

北京大学的高等代数课程被广泛认为是高等代数学习中的经典教材之一。

本文将介绍北京大学第三版《高等代数》教材的主要内容和特点。

内容概述《高等代数北京大学第三版》是一本教材，由北京大学吴传荣、李建平合著。

全书共分为十五章，每章围绕一个主题展开讲解。

主要内容包括线性方程和矩阵、行列式、矩阵的相抵标准形及其应用、线性空间与线性变换、特征值与特征向量、正交线性变换与二次型、群、环和域等。

特点1. 详细而全面的内容本教材详细介绍了高等代数的各个重要概念和定理，并给出了充分的例题和习题来帮助学生掌握和巩固所学的知识。

每章的开头都给出了该章的学习目标，使学生能够清晰地了解该章的所学内容，并有针对性地学习。

2. 理论与实践相结合教材既注重理论的讲解，又注重实践的应用。

通过大量的实例和应用，教材将抽象的数学概念与实际问题相结合。

这有助于学生更好地理解数学原理，并在实践中灵活运用。

3. 重点突出，条理清晰教材对于重要的概念和定理都做了重点强调，并给出了详细的证明过程和推导。

条理清晰的内容安排使学生能够逐步建立起完整的知识体系。

4. 多样化的习题除了充分的例题之外，本书还提供了丰富的习题，涵盖了各个难度级别。

习题中融入了不同类型的问题，既能巩固基础知识，又能培养学生的综合运用能力。

习题的解答也提供了详细的步骤和解析，方便学生检查自己的答案和思考方式。

5. 适用范围广泛这本教材不仅适合北京大学的高等代数课程，也适合其他高校的相应课程。

无论是学生还是教师，都能从本书中获得很多学习和教学的帮助。

总结《高等代数北京大学第三版》是一本经典的高等代数教材，内容详细而全面，既注重理论讲解，又注重实际应用。

教材的特点包括多样化的习题和解答、重点突出、条理清晰以及适用范围广泛。

这本教材不仅帮助学生掌握高等代数的基本概念和定理，也培养了学生的分析问题和解决问题的能力。

高等代数北大编第1章习题参考答案

第一章多项式一、习题及参考解答1 .用g(x)除了(x),求商g(x)与余式r(x)：1 ) f (x) = x3 - 3x2 - x -1, g(x) = 3x2 - 2x +1;2 ) f(x) = x4 -2x + 5,g(x) = x2 - x + 2。

解1)由带余除法,可得q(x) =L-Z,“x) =-竺x-2 ；2)同理可得g(x) = / +x-l,r(x) = -5x + 7。

2. 〃?,PM适合什么条件时，有1 ) X2 +/?1¥-1 I X3 + px + c/ 92) x2 + nix + 11 x4 + px2 +q。

解1 )由假设,所得余式为0,即(〃 + l + 〃?2)x + (q-〃?) = O,所以当 1 + 。

时有 /+〃a-11 X* + px +g 0q _ in = 0 .2)类似可得= 于是当〃? = 0时，代入(2)可得〃=夕+ 1;q + 1 —〃一" = 0而当2- 〃 -J = 0时，代入(2)可得4 = 1 04 = ] _, 时，皆有 / + + 1 I X，+ px2 + 9。

综上所诉，当p + nr = 23 .求g(x)除f(x)的商q(x)与余式:1 ) /(x) = 2«?-5x3-8x,g(x) = x + 3 ;2) f(x) = x3-x2 - xg(x) = x-l + 2i o解[)q(x) = 2x4 - 6x3 +13x2 - 39A+ 109 ,r(x) = -327 '2)= x2 -2LV-(5+2/)r(x) = -9 + 8/ °4 .把/1(X)表示成x-%的方幕和，即表成c()+ G(X —“0)+。

2(X — X。

)~ + …+ C n(X — X。

)” + …的形式：1)/(x) = x',x()= 1 ；2) /(X)= X4-2X2+3,X0 =-2 ;3) f (x) = x4 + 2汉3 -(1 + i)x2 -3x + 7 + i,x0 =-i o解 1 ) 由综合除法，可得f(x) = l + 5(x-l) + 10(x-l)2 + 10(x-1)3+5(X-1)4 + (x-1)5 ;2 ) 由综合除法，可得X4-2X2+3=11-24(X + 2) + 22* + 2)2 -8(.r + 2)3 + (x + 2)，;3）由综合除法，可得『+2立3_（1 +82_3工+ （7 +，）= (7 + 5i)-5(x + i) + (-l-i)(x + i)2 -2i(x + i)3 + (x + i),。

北京大学高等代数3

向量空间是带运算的集合
数域 K 上全体 n 维向量构成的集合, 连同其上定义的加法、数乘运算, 构成 n 维向量空间, 记为 Kn .
从向量空间到线性空间
在前两章中, 我们已经可以看到向量方法的威力. 在 Gauss 消元法中, 我们对行向量组做初等变换, 用向量表示解集合; 要从几何上理解行列式, 理解克莱姆法则, 也离不开向量…
例: 仅由八条性质就可推出
4) k K , 有 k 0 = 0 . 证: k 0 = 0 + k 0
= ((–k0)+k0)+k0 =(–k0)+( k0 + k0 ) =(–k0)+ k(0+0) =(–k0)+ k0 =0
性质 (3) 性质 (4) 性质 (2) 性质 (7) 性质 (3) 性质 (4)
1. α β β α
2. ( α β ) γ α ( β γ )
3. 0, α , α 0 α (存在零元素)
4. α , β, α β 0
(存在负元素)
5. 1α α
6. ( k l )α k α l α
7. k (α β) k α k β 8. ( k l )α k (l α)
（麻省理工开放课程教学影片）
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第三章线性空间
1 向量空间与线性空间 2 线性相关与线性无关 3 向量组的极大无关组与秩 4 线性空间的基与维数 5 矩阵的秩 6 线性方程组解的结构

高等代数(北大版第三版)习题答案

高等代数（北大*第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章 —矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第一部分，其他请搜索，谢谢！第一章多项式1．用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。

解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。

2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。

解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。

2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。

综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。

3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。

解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。

4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。

高等代数北大版课后答案完整版

高等代数（北大高等代数（北大**第三版）答案第一章多项式1．用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ：1）123)(,13)(223+−=−−−=x x x g x x x x f ；2）2)(,52)(24+−=+−=x x x g x x x f 。

解1）由带余除法，可得92926)(,9731)(−−=−=x x r x x q ；2）同理可得75)(,1)(2+−=−+=x x r x x x q 。

2．q p m ,,适合什么条件时，有1）q px x mx x ++−+32|1，2）q px x mx x ++++242|1。

解1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=−+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=−=++012m q m p 时有q px x mx x ++−+32|1。

2）类似可得⎩⎨⎧=−−+=−−010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=−−m p 时，代入（2）可得1=q 。

综上所诉，当⎩⎨⎧+==1q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。

3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =−−=+；2）32(),()12f x x x x g x x i =−−=−+。

解1）432()261339109()327q x x x x x r x =−+−+=−；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=−−+=−+。

4．把()f x 表示成0x x −的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +−+−++−+⋯的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =−+=−；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+−+−++=−。

高等代数课件(北大版)第三章-线性方程组§3-3

一、线性组合二、向量组的等价三、线性相关性四、极大无关组
2024/7/17
数学与计算科学学院
一、线性组合
定义设 1,2, ,s Pn , k1, k2 , , ks P
和
k11 k22 kss
称为向量组 1,2, ,s 的一个线性组合.
若向量可表成向量组 1,2, ,s 的一个线性组
2）一个向量组中若有一向量为零向量，则该向量组一定线性相关.
3）一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表出.
§3.3 2024/7/17 线性相关性
数学与计算科学学院
4）一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关；
一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组都线性无关.
( x1 x3 )1 ( x1 x2 )2 ( x2 x3 )3 0
由于 1,2 ,3 线性无关，于是有
x1 x1
x3 x2
0 0
解之得 x1 x2 x3 0.
x2 x3 0
所以 1, 2 , 3 线性无关 .
§3.3 2024/7/17 线性相关性
数学与计算科学学院
四、极大线性无关组秩
§3.3 2024/7/17 线性相关性
数学与计算科学学院
1）证：由于 1,2 不成比例，1,2 线性无关. 2）解：由 k11 k22 k33 0,
k1 3k3 0
即
k1 3k2 2k1 k2 4k1 2k2
0 7k3 0 14k3 0
解得 k1 3k3 , k2 k3 , k3 为自由未知量.
k1, k2 , , kr , 使 k11 k22 k rr 0.
r
作线性组合 x11 x22 x rr xii

北京大学数学系《高等代数》(第3版)(线性方程组)笔记和课后习题(含考研真题)详解【圣才出品】

第3章线性方程组3.1复习笔记一、消元法1．初等变换变换1：用一非零的数乘某一方程，变换2：把一个方程的倍数加到另一个方程，变换3：互换两个方程的位置，称为线性方程组的初等变换．2．消元法解方程的过程（1）首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式“0＝0”（如果出现的话）去掉；（2）如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，那么方程组无解，否则有解；（3）在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数，小于未知量的个数，那么方程组就有无穷多个解．3．定理在齐次线性方程组中，如果s＜n，那么它必有非零解．二、n 维向量空间1．n 维向量的定义所谓数域P 上一个n 维向量就是由数域P 中n 个数组成的有序数组a i 称为向量（1）的分量．用小写希腊字母α，β，γ，…来代表向量．2．向量相等的定义如果n 维向量1212(,,...,),(,,...,)n n a a a b b b αβ==的对应分量都相等，即就称这两个向量是相等的．记作α＝β．3．向量和的定义向量1122(,,...,)n n a b a b a b γ=+++，称为向量1212(,,...,),(,,...,)n n a a a b b b αβ==的和，记为γαβ=+．4．零向量和负向量的定义分量全为零的向量（0，0，…，0）称为零向量，记为0；向量（－a 1，－a 2，…，－a n ）称为向量α＝（a 1，a 2，…，a n ）的负向量，记为－α．5．向量加法的基本运算规律（1）α＋β＝β＋α，（交换律）（2）α＋（β＋γ）＝（α＋β）＋γ，（结合律）（3）α＋0＝α，（4）α＋（－α）＝0，（5）α－β＝α＋（－β）．6．向量与数乘的定义设k为数域P中的数，向量称为向量与数k 的数量乘积，记为kα．7．向量乘法的运算性质：（1）k（α＋β）＝kα＋kβ，（2）（k＋l）α＝kα＋lα，（3）k（lα）＝（kl）α，（4）1α＝α．8．n维向量空间的定义以数域P中的数作为分量的n维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域P上的n维向量空间．三、线性相关性1．定义向量α称为向量组β1，β2，…，βs 的一个线性组合，如果有数域P 中的数k 1，k 2，…，k s 使112s k k k 2s αβββ =+++．由定义知，零向量是任一向量组的线性组合（只要取系数全为0就行了）．当向量α是向量组β1，β2，…，βs 的一个线性组合时，也说α可以经向量组β1，β2，…，βs 线性表出．2．等价的定义（1）定义如果向量组α1，α2，…，αt 中每一个向量αi （i＝1，2，…，t）都可以经向量组β1，β2，…，βs 线性表出，那么向量组α1，α2，…，αt 就称为可以经向量组β1，β2，…，βs 线性表出．如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价．（2）向量等价的性质：①反身性：每一个向量组都与它自身等价．②对称性：如果向量组α1，α2，…，αs 与β1，β2，…，βt 等价，那么向量组β1，β2，…，βt 也与α1，α2，…，αs 等价．③传递性：如果向量组α1，α2，…，αs 与β1，β2，…，βt 等价，β1，β2，…，βt 与γ1，γ2，…，γp 等价，那么向量组α1，α2，…，αt 与γ1，γ2，…，γp 等价．3．线性相关性的定义如果向量组α1，α2，…，αs （s≥2）中有一个向量可以由其余的向量线性表出，那么向量组α1，α2，…，αs 称为线性相关的．定义的另一种表述为：向量组α1，α2，…，αs （s≥1）称为线性相关，如果有数域P 中不全为零的数k 1，k 2，…，k s ，使120s k k k 12s ααα +++=4．线性无关性的向量组（1）定义：一向量组α1，α2，…，αs （s≥1）不线性相关，即没有不全为零的数k 1，k 2，…，k s 使120s k k k 12s ααα +++=就称为线性无关；或者说，一向量组α1，α2，…，αs 称为线性无关．（2）两个小结论：①如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关．②如果一向量组线性无关．那么它的任何一个非空的部分组也线性无关．5．向量组的基本性质的几种表述（1）设α1，α2，…，αr 与β1，β2，…，βs 是两个向量组，如果①向量组α1，α2，…，αr 可以经β1，β2，…，βs 线性表出，②r＞s，那么向量组α1，α2，…，αr 必线性相关．（2）如果向量组α1，α2，…，αr 可以经向量组β1，β2，…，βs 线性表出，且α1，α2，…，αr 线性无关，那么r s．（3）任意n＋1个n 维向量必线性相关．（4）两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量．6．极大线性无关组（1）定义一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组．如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关．（2）性质：①向量组的极大线性无关组不是唯一的；②每一个极大线性无关组都与向量组本身等价；③一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的；④一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量．7．向量组的秩（1）定义向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩．（2）性质①线性无关的向量组就是它自身的极大线性无关组，所以一向量组线性无关的充分必要条件为它的秩与它所含向量的个数相同．②每一向量组都与它的极大线性无关组等价．由等价的传递性可知．任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价．所以，等价的向量组必有相同的秩．③含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个无关的部分向量组都能扩充成一个极大线性无关组，全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组．规定这样的向量组的秩为零．。

高等代数(北大版)第3章习题参考答案

第三章线性方程组1．用消元法解下列线性方程组：123412345123451234512345354132211)234321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-+=-⎪⎪-+--=⎨⎪-++-=⎪⎪++-+=-⎩ 124512345123451234523213322)23452799616225x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--+-=⎪⎨-+-+=⎪⎪-+-+=⎩ 1234234124234234433)31733x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+=-⎪⎨+++=⎪⎪-++=-⎩ 123412341234123434570233204)411131607230x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎪⎨+-+=⎪⎪-++=-⎩ 123412341234123421322325)521234x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎪⎨+-+=-⎪⎪-+-=⎩ 12341234123412341232313216)23122215522x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-=⎪⎪+++=⎨⎪++-=⎪⎪++=⎩ 解 1）对方程组得增广矩阵作行初等变换，有135401135401132211003212121113054312141113074512121111014812--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→------⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦10210110010100321200021200200000200000000000000001110010000--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦因为()()45rank A rank B ==<，所以方程组有无穷多解，其同解方程组为1415324122200x x x x x x x -=⎧⎪+=-⎪⎨-=⎪⎪-+=⎩，解得123451022x k x k x x k x k=+⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=--⎩ 其中k 为任意常数。

高等代数北大第三版

由定理10， g1( x)h1( x)本原，从而有 a rs,
即 rs Z . f ( x) rsg1( x) h1( x). 得证．
推论设 f ( x), g( x) 是整系数多项式，且 g( x)是本原
旳，若 f ( x) g( x)h( x), h( x) Q[ x], 则 h( x) 必为整系数多项式．
f ( x) (bl xl bl1 xl1 b0 )(cm xm cm1 xm1 c0 ) bi ,c j Z , l, m n, l m n
an blcm , a0 b0c0 . p | a0 , p | b0 或 p | c0 ,
又 p2 | a0 , p 不能同步整除 b0 , c0 . 不妨设 p | b0 但 p | c0 .
对a,b Q ( a 0), 多项式 g( x) f (ax b) 在有理数域上不可约．
例5 证明：f ( x) x2 1 在 Q上不可约．证：作变换 x y 1, 则
f ( x) y2 2 y 2, 取 p 2, 由Eisenstein鉴别法知， y2 2 y 2 在Ｑ上不可约，所以 f ( x) 在Ｑ上不可约．
bi Z , i 0,1, 2, , n. 若 bn ,bn1, ,b1,b0 没有异于 1 旳公因子，即 bn ,bn1, ,b1,b0 是互素旳，则称 g( x)为本原多项式．
有关性质
1．f ( x) Q[ x], r Q, 使 f ( x) rg( x), 其中 g( x)为本原多项式．（除了相差一种正负号外，这种表达法是唯一旳）．
在 R 上，不可约多项式只有一次多项式与某些二次多项式；
但在 Q上有任意次数旳不可约多项式．如
xn 2, n Z . 怎样判断 Q上多项式旳不可约性呢?

高等代数3-3矩阵的逆

... 0 A En ... A
A A
*
A11 A12 A 1n
A21 A22 A2 n
... An1 a11 ... An 2 a 21 ... Ann a n1
a12 a 22 an2
即矩阵A的逆矩阵是唯一的 .
B1 B1 E B1 ( AB2 ) ( B1 A )B2 EB2 B2
由于A的逆矩阵是唯一的，将A的唯一的逆矩阵记为 A1
则有
AA1 A1 A E
3. 单位矩阵E是可逆矩阵,且E 1 E .
4. 零矩阵O不是可逆矩阵.
a1 0 ... 0 0 a2 ... 0 例A 0 0 ... a n 其中 a1a2 ...an 0 a1 0 0 a2 0 0
可逆
1 0 3 0 1 A 1 2 3 1 2 3 3
1
1 3 A 2 6
A 0
不可逆
用公式法求二阶矩阵的逆矩阵非常方便 .
a b 1 d d 1 若A , 且 A 0, 则 A . A c a c d
已知方阵A满足A3 A2 4 A 5 E O ,则( A 2 E )1 ________.
A2 A 2 E
1 2 0 已知AB B A , 其中B 2 1 0 ,则( A E )1 __________. 0 0 2
( A E )( B E ) E ( A E )1 B E
1 ( A 2E ) 2 1 例5 已知方阵A满足A A 4 E O ,则( A E ) __________. 2